[核心必知]
1．预习教材，问题导入
根据以下提纲，预习教材P 139～P 142的内容，回答下列问题． (1)α与α
2是什么关系？
提示：倍角关系．
(2)如何用cos α表示sin 2 α2，cos 2 α2和tan 2 α
2
？
提示：sin 2α2＝1－cos α2，cos 2α2＝1＋cos α2，tan 2α2＝1－cos α
1＋cos α.
2．归纳总结，核心必记 (1)半角公式
(2)三角恒等变换的特点
三角恒等变换常常寻找式子所包含的各个角之间的联系，并以此为依据选择可以联系它们的适当公式．
[问题思考]
(1)能用不含根号的形式用sin α，cos α表示tan α
2吗？
提示：tan_α
2＝sin α1＋cos α＝1－cos αsin α
.
(2)如何用tan α
2表示sin α，cos α及tan α？
提示：sin_α＝2sin α2·cos α
2
＝
2sin α2·cos
α2sin 2
α
2
＋cos 2
α
2＝
2tan
α
2
1＋tan 2
α
2
._cos_α＝cos 2_α2－sin 2_α
2＝
cos 2
α
2－sin 2
α2cos 2 α2＋sin 2 α2＝1－tan 2 α21＋tan 2 α2.tan_α＝sin α
cos α＝2tan
α
21－tan 2
α2
.
[课前反思]
(1)半角公式的有理形式： ；
(2)半角公式的无理形式： .
讲一讲
1．已知sin α＝－45，π<α<3π2，求sin α2，cos α2，tan α
2的值．
[尝试解答] ∵π<α<3π2，sin α＝－4
5，
∴cos α＝－3
5，且π2<α2<3π4，
∴sin α
2＝
1－cos α2＝25
5， cos α
2
＝－ 1＋cos α2＝－5
5
， tan α
2＝sin
α
2cos
α2
＝－2.
解决给值求值问题的思路方法
已知三角函数式的值，求其他三角函数式的值，一般思路为： (1)先化简已知或所求式子；
(2)观察已知条件与所求式子之间的联系(从三角函数名及角入手)； (3)将已知条件代入所求式子，化简求值． 练一练
1．已知sin α2－cos α2＝－15
，450°<α<540°，求tan α
2的值．
解：由题意得????sin α2
－cos α22
＝1
5，
即1－sin α＝15，得sin α＝4
5.
∵450°<α<540°， ∴cos α＝－3
5，
∴tan α2＝1－cos αsin α
＝1－????－3545
＝2.
讲一讲
2．化简：（1＋sin α＋cos α）????sin α2
－cos α
22＋2cos α(180°<α<360°)．
[尝试解答] 原式＝
?
???2cos 2 α2＋2sin α2cos α2????
sin α2－cos α22·2cos 2
α2
＝2cos α2????cos α2＋sin α2????sin α2－cos α22???
?cos α2
＝cos α
2（－cos α）
????cos α2.
又∵180°<α<360°， ∴90°<α
2<180°，
∴cos α
2
<0，
∴原式＝cos α
2
·（－cos α）
－cos
α2
＝cos α.
化简问题中的“三变”
(1)变角：三角变换时通常先寻找式子中各角之间的联系，通过拆、凑等手段消除角之间的差异，合理选择联系它们的公式．
(2)变名：观察三角函数种类的差异，尽量统一函数的名称，如统一为弦或统一为切． (3)变式：观察式子的结构形式的差异，选择适当的变形途径．如升幂、降幂、配方、开方等．
练一练 2．化简：
(1)1＋sin θ－1－sin θ??
?
?3π
2<θ<2π； (2)sin （2α＋β）
sin α－2cos(α＋β)．
解：(1)原式＝?
???sin
θ
2＋cos θ2－???
?sin θ2－cos θ2， ∵
3π2<θ<2π，∴3π4<θ
2
<π， ∴0 从而sin θ2＋cos θ2<0，sin θ2－cos θ 2>0. ∴原式＝－? ???sin θ 2＋cos θ2－??? ?sin θ2－cos θ 2 ＝－2sin θ 2 . (2)∵2α＋β＝α＋(α＋β)， ∴原式＝sin[（α＋β）＋α]－2cos （α＋β）sin α sin α ＝sin （α＋β）cos α－cos （α＋β）sin α sin α ＝ sin[（α＋β）－α]sin α＝sin β sin α . 讲一讲 3．(1)若π<α<3π2，证明：1＋sin α1＋cos α－1－cos α＋1－sin α 1＋cos α＋1－cos α＝ －2cos α 2 ； (2)已知sin α＝A sin(α＋β)，|A |>1，求证：tan(α＋β)＝sin β cos β－A . [尝试解答] (1)左边＝ sin 2 α2＋cos 2 α2＋2sin α2cos α 21＋??? ?2cos 2 α2－1－1－? ???1－2sin 2 α2＋ sin 2 α2＋cos 2 α2－2sin α2cos α 2 1＋??? ?2cos 2 α 2－1＋ 1－? ???1－2sin 2 α 2 ＝????sin α2＋cos α22 2????????cos α2－????sin α2＋???? sin α2 －cos α22 2??? ?????cos α2＋????sin α2 因为π<α<3π2，所以π2<α2<3π4， 所以sin α2>0>cos α 2. 所以左边 ＝????sin α2＋cos α222????－cos α2－sin α2＋???? sin α2 －cos α22 2? ???－cos α2＋sin α2 ＝ －12????sin α2＋cos α2＋1 2????sin α2 －cos α2 ＝－2cos α 2＝右边．所以原等式成立． (2)因为sin α＝sin[(α＋β)－β] ＝sin(α＋β)cos β－cos(α＋β)sin β， 所以sin α＝A sin(α＋β)化为sin(α＋β)cos β －cos(α＋β)·sin β＝A sin(α＋β)， 所以sin(α＋β)(cos β－A )＝cos(α＋β)sin β， 所以tan(α＋β)＝sin βcos β－A . 三角恒等式证明的常用方法 (1)执因索果法：证明的形式一般化繁为简； (2)左右归一法：证明左右两边都等于同一个式子； (3)拼凑法：针对题设和结论之间的差异，有针对性地变形，以消除它们之间的差异，简言之，即化异求同； (4)比较法：设法证明“左边－右边＝0”或“左边/右边＝1”； (5)分析法：从被证明的等式出发，逐步地探求使等式成立的条件，直到已知条件或明显的事实为止，就可以断定原等式成立． 练一练 3．求证：2sin x cos x （sin x ＋cos x －1）（sin x －cos x ＋1）＝1＋cos x sin x . 证明：左边 ＝ 2sin x cos x ????2sin x 2cos x 2 －2sin 2 x 2???? 2sin x 2cos x 2＋2sin 2 x 2 ＝ 2sin x cos x 4sin 2 x 2 ????cos 2 x 2－sin 2 x 2 ＝sin x 2sin 2 x 2＝cos x 2sin x 2 ＝2cos 2 x 22sin x 2cos x 2＝1＋cos x sin x ＝右边． ∴原等式成立． ——————————————[课堂归纳·感悟提 升]——————————————— 1．本节课的重点是半角公式，难点是半角公式的应用． 2．要掌握三角恒等变换的三个应用 (1)求值问题，见讲1； (2)化简问题，见讲2； (3)三角恒等式的证明，见讲3. 3．对半角公式的四点认识 (1)半角公式的正弦、余弦公式实际上是由二倍角公式变形得到的． (2)半角公式给出了求α 2 的正弦、余弦、正切的另一种方式，即只需知道cos α的值及相 应α的条件，便可求出sin α2，cos α2，tan α 2 . (3)由于tan α2＝sin α1＋cos α及tan α2＝1－cos α sin α不含被开方数，且不涉及符号问题，所以求 解关于tan α 2 的题目时，使用相对方便，但需要注意该公式成立的条件． (4)涉及函数的升降幂及角的二倍关系的题目，常用sin 2 α2＝1－cos α2，cos 2 α 2＝ 1＋cos α 2 求解． 课下能力提升(二十五) [学业水平达标练] 题组1 求值问题 1．设5π<θ<6π，cos θ2＝a ，则sin θ 4＝( ) A. 1＋a 2 B. 1－a 2 C ．－ 1＋a 2 D ．－ 1－a 2 解析：选D ∵θ4∈????5π4，6π 4， ∴sin θ 4 ＝－ 1－cos θ 22 ＝－ 1－a 2 . 2．若f (x )＝2tan x －2sin 2 x 2－1 sin x 2cos x 2，则f ????π 12的值是( ) A ．－433 B ．8 C ．4 3 D ．－4 3 解析：选B f (x )＝2tan x －2sin 2 x 2－sin 2 x 2－cos 2 x 2 12 sin x ＝2tan x ＋cos x 12sin x ＝2(tan x ＋1 tan x )． 又tan π12＝sin π61＋cos π6 ＝1 3＋2 ， ∴原式＝2? ?? ? ?13＋2＋3＋2＝8. 3．已知cos θ＝－35，且180°<θ<270°，求tan θ 2 . 解：法一：∵180°<θ<270°，∴90°<θ2<135°，∴tan θ2<0，∴tan θ 2 ＝－ 1－cos θ 1＋cos θ ＝－ 1－??? ?－3 51＋??? ?－35＝－2. 法二：∵180°<θ<270°，∴sin θ<0， ∴sin θ＝－1－cos 2θ＝－ 1－925＝－45 ， ∴tan θ 2＝sin θ1＋cos θ＝－45 1＋????－35＝－2. 题组2 三角函数式的化简 4．化简2＋cos 2－sin 21的结果是( ) A ．－cos 1 B ．cos 1 C.3cos 1 D ．－3cos 1 解析：选C 原式＝2＋1－2sin 21－sin 21＝3－3sin 21＝3（1－sin 21）＝3cos 21＝3cos 1. 5．化简????sin α2＋cos α22 ＋2sin 2??? ?π4－α 2得( ) A ．2＋sin α B ．2＋2sin ????α－π 4 C ．2 D ．2＋2sin ? ???α＋π 4 解析：选C 原式＝1＋2sin α2cos α 2＋1－cos[2(π4－α2)]＝2＋sin α－cos ??? ?π2－α＝2＋sin α－sin α＝2. 题组3 三角恒等式的证明 6．求证：sin 2x 2cos x ?? ??1＋tan x ·tan x 2＝tan x . 证明：∵左边＝2sin x ·cos x 2cos x ???? 1＋sin x cos x · 1－cos x sin x ＝sin x ·????1＋1－cos x cos x ＝sin x cos x ＝tan x ＝右边， ∴原式成立． 7．求证：2sin 4x ＋34sin 22x ＋5cos 4x －1 2(cos 4x ＋cos 2x )＝2(1＋cos 2x )． 证明：左边＝2????1－cos 2x 22 ＋34sin 2 2x ＋ 5????1＋cos 2x 22 －12(cos 4x ＋cos 2x ) ＝2×1－2cos 2x ＋cos 22x 4＋34sin 22x ＋5×1＋2cos 2x ＋cos 22x 4－12(2cos 22x －1＋cos 2x ) ＝(2×14＋54＋12)＋[2×(－2cos 2x 4)＋5×2cos 2x 4－12cos 2x ]＋(2×cos 22x 4＋5×cos 22x 4－ 1 2×2cos 22x )＋34sin 22x ＝94＋cos 2x ＋34cos 22x ＋3 4 sin 22x ＝94＋cos 2x ＋3 4 ＝3＋cos 2x ＝3＋(2cos 2x －1) ＝2(1＋cos 2x )＝右边． ∴原式成立． [能力提升综合练] 1．函数f (x )＝cos 2????x ＋π 4，x ∈R ，则f (x )( ) A ．是奇函数 B ．是偶函数 C ．既是奇函数，也是偶函数 D ．既不是奇函数，也不是偶函数 解析：选D 由cos 2x ＝2cos 2x －1，得f (x )＝cos 2(x ＋π4)＝1＋cos ? ???2x ＋π 22 ＝12＋1 2cos ????2x ＋π2＝12 －sin 2x 2， 所以该函数既不是奇函数，也不是偶函数． 2．设a ＝12cos 6°－3 2sin 6°，b ＝2tan 13°1＋tan 213° ，c ＝ 1－cos 50° 2 ，则有( ) A ．a >b >c B ．a C ．a D ．b 解析：选C a ＝sin 30°cos 6°－cos 30°sin 6°＝sin 24°，b ＝sin 26°，c ＝sin 25°，∴a 3．已知关于x 的方程x 2＋x cos A cos B －2sin 2 C 2＝0的两根之和等于两根之积的一半， 则△ABC 一定是( ) A ．直角三角形 B ．钝角三角形 C ．等腰三角形 D ．等边三角形 解析：选C 由一元二次方程根与系数的关系得－cos A cos B ＝1 2????－2sin 2 C 2， 即cos A cos B ＝sin 2 C 2＝sin 2π－（A ＋B ）2＝cos 2A ＋B 2＝12[1＋cos(A ＋B )]．得cos(A －B ) ＝1. ∴A ＝B . 4．若cos 2θ＋cos θ＝0，则sin 2θ＋sin θ＝________． 解析：由cos 2θ＋cos θ＝0得2cos 2θ－1＋cos θ＝0， 所以cos θ＝－1或1 2 . 当cos θ＝－1时，有sin θ＝0； 当cos θ＝12时，有sin θ＝±3 2 . 于是sin 2θ＋sin θ＝sin θ(2cos θ＋1)＝0或3或－ 3. 答案：0或±3 5．设α为第四象限角，且sin 3αsin α＝13 5，则tan 2α＝________． 解析：sin 3αsin α＝sin （2α＋α）sin α ＝（1－2sin 2α）sin α＋2cos 2αsin αsin α＝2cos 2α＋1＝13 5， 所以cos 2α＝4 5 ， 又α是第四象限角，所以sin 2α＝－35，tan 2α＝－3 4. 答案：－3 4 6．化简： (1)2sin 8＋1＋2cos 8＋2； (2) 12＋12 12＋1 2cos 2α??? ?3π2<α<2π. 解：(1)原式＝ 2sin 24＋cos 24＋2sin 4cos 4＋2（2cos 24－1）＋2 ＝2（sin 4＋cos 4）2＋4cos 24 ＝2|sin 4＋cos 4|＋2|cos 4|， 由于π<4<3π 2 ， ∴sin 4<0，cos 4<0，sin 4＋cos 4<0， ∴原式＝－2(sin 4＋cos 4)－2cos 4＝－2sin 4－4cos 4. (2)∵ 3π2<α<2π，∴3π4<α 2 <π. 原式＝ 12＋1 2 1＋cos 2α 2 ＝ 12＋1 2|cos α|＝ 12＋1 2cos α ＝ 1＋cos α 2 ＝ cos 2 α 2＝－cos α 2 . 7．设函数f (x )＝sin 2ωx ＋23sin ωx ·cos ωx －cos 2ωx ＋λ(x ∈R )的图象关于直线x ＝π对称．其中ω，λ为常数，且ω∈???? 12，1. (1)求函数f (x )的最小正周期； (2)若y ＝f (x )的图象经过点????π 4，0，求函数f (x )的值域． 解：(1)因为f (x )＝sin 2ωx －cos 2ωx ＋23sin ωx ·cos ωx ＋λ ＝－cos 2ωx ＋3sin 2ωx ＋λ ＝2sin ? ???2ωx －π 6＋λ . 由直线x ＝π是y ＝f (x )图象的一条对称轴， 可得sin ????2ωπ－π 6＝±1. 所以2ωπ－π6＝k π＋π 2(k ∈Z )， 即ω＝k 2＋1 3 (k ∈Z )． 又ω∈????12，1，k ∈Z ，所以k ＝1，故ω＝56 . 所以f (x )的最小正周期是6π 5. (2)由y ＝f (x )的图象过点?? ??π4，0，得f ??? ?π 4＝0， 即λ＝－2sin ????56×π2－π 6＝－2sin π4＝－2， 即λ＝－ 2. 故f (x )＝2sin ??? ?53x －π 6－2， 函数f (x )的值域为[－2－2，2－ 2 ]．
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