分数阶微分方程
第三讲分数阶微分方程基本理论
一、分数阶微分方程的出现背景及研究现状
1、出现背景
分数阶微积分是关于任意阶微分和积分的理论，它与整数阶微积分是统一的，是整数阶微积分的推广。
整数阶微积分作为描述经典物理及相关学科理论的解析数学工具已为人们普遍接受，很多问题的数学模型最终都可以归结为整数阶微分方程的定解问题，其无论在理论分析还是数值求解方面都已有较完善的理论。但当人们进入到复杂系统和复杂现象的研究时，经典整数阶微积分方程对这些系统的描述将遇到以下问题：
（1）需要构造非线性方程，并引入一些人为的经验参数和与实际不符的假设条件；
（2）因材料或外界条件的微小改变就需要构造新的模型；
（3）这些非线性模型无论是理论求解还是数值求解都非常繁琐。
基于以上原因，人们迫切期待着有一种可用的数学工具和可依据的基本原理来对这些复杂系统进行建模。分数阶微积分方程非常适合于刻画具有记忆和遗传性质的材料和过程，其对复杂系统的描述具有建模简单、参数物理意义清楚、描述准确等优势，因而成为复杂力学与物理过程数学建模的重要工具之一。
2、研究现状
在近三个世纪里，对分数阶微积分理论的研究主要在数学的纯理论领域里进行，似乎它只对数学家们有用。然而在近几十年来，分数阶微分方程越来越多的被用来描述光学和热学系统、流变学及材料和力学系统、信号处理和系统识别、控制和机器人及其他应用领域中的问题。分数阶微积分理论也受到越来越多的国内外学者的广泛关注，特别是从实际问题抽象出来的分数阶微分方程成为很多数学工作者的研究热点。随着分数阶微分方程在越来越多的科学领域里出现，无论对分数阶微分方程的理论分析还是数值计算的研究都显得尤为迫切。然而由于分数阶微分是拟微分算子，它的保记忆性（非局部性）对现实问题进行了优美刻画的同时，也给我们的分析和计算造成很大困难。
在理论研究方面，几乎所有结果全都假定了满足李氏条件，而且证明方法也和经典微积分方程一样，换句话说，这些工作基本上可以说只是经典微积分方程理论的一个延拓。对分数阶微分方程的定性分析很少有系统性的结果，大多只是给出了一些非常特殊的方程的求解，且常用的求解方法都是具有局限性的。
在数值求解方面，现有分数阶方程数值算法还很不成熟，主要表现为：
（1）在数值计算中一些挑战性难题仍未得到彻底解决，如长时间历程的计算和大空间域的计算等；
（2）成熟的数值算法比较少，现在研究较多的算法主要集中在有限差分方法与有限单元法；
（3）未形成成熟的数值计算软件，严重滞后于应用的需要。
鉴于此，发展新数值算法，特别是在保证计算可靠性和精度的前提下，提高计算效率，解决分数阶微分方程计算量和存储量过大的难点问题，发展相应的计算力学应用软件成为迫切需要关注的课题。
二、 预备知识
1、 分数阶微积分经典定义回顾
作为分数阶微积分方程的基础，本书在第二章中对分数阶微积分的定义及性质做了系统的介绍，为了接下来讨论的需要，我们首先对其进行一个简要的回顾。 （1）分数阶微积分的主要思想
如上图所示，分数阶微积分的主要思想是推广经典的整数阶微积分，从而将微积分的概念延拓到整个实数轴，甚至是整个复平面。但由于延拓的方法多种多样，因而根据不同的需求人们给出了分数阶微积分的不同定义方式。然而这些定义方式不仅只能针对某些特定条件下的函数给出，而且只能满足人们的某些特定需求，迄今为止，人们仍然没能给出分数阶微积分的一个统一的定义, 这对分数阶微积分的研究与应用造成了一定的困难。 （2）几种经典的分数阶微积分定义
下面我们试图从理论依据、定义域、表达式和优缺点几个方面给出常见的四种分数阶微积分定义的比较图。
依据1：整数阶微分的差分定义
()001()lim
(1)(),k k r k
h r k f t f t rh k N r h →=⎛⎫
=--∈ ⎪⎝⎭
∑G-L 分数阶微积分定义：
[
]00
1[()]lim
(1)()
t a
n h
G p r a
t p
h r p D f t f t rh r h -=→=⎛⎫
=-- ⎪⎝⎭
∑
1()1[()]()(),0()t C p
n p n a t a
D f t t u f u du p n p --=
->Γ-⎰11[()]()(),0()t C p
p a t a
D f t t u f u du p p --=
->Γ⎰依据2：整数阶积分的柯西公式
()11()()()()t
n n a
f t t u f u du n --=
-Γ⎰R-L 分数阶微积分定义：
()
11[()]()()()t R n p n p a t
a
D f t t u f u du n p ----=-Γ-⎰()
[()][()],1,n
R p R n p a
t
a t d D f t D f t n p n n N
dt --⎛⎫⎡⎤=-≤<∈ ⎪⎣⎦⎝⎭
Caputo 分数阶微积分定义：
先积分后微分
先微分后积分缺点：定义域较窄计算复杂
优点：定义域较宽缺点：Laplace 变换较复杂优点：Laplace 较简洁缺点：定义域太窄分数阶微积分定义
定义域：
(){()
}
f t f t [a,b]在上逐段连续且
在任意有限子区间上可积
定义域：
(){()
}
f t f t [a,b][p]+1在具有
阶连续导数
定义域：
(){()
}
f t f t [a,b][p]+1在具有
阶连续导数
基于广义函数的分数阶微积分定义：
()()()
p a
t p D f t f t t -=*Φ%1
,0()()
0,0p p t t t p t -⎧>⎪
Φ=Γ⎨⎪≤⎩
定义域：
{()()0;}
f t f t t a =<优点：有利于工程中对系统
的描述
从上图我们看到，在分数阶微积分的发展过程中，人们根据不同的需求，从不同角度给出了分数阶微积分的定义，但这些定义无论从对象上还是从表达式上都无法实现统一，它们之间的关系大致可以用下图来表示。
