指数函数、对数函数、幂函数的图像与性质
（一）指数与指数函数
1．根式
（1）根式的概念
（2）．两个重要公式
①⎪⎩
⎪⎨⎧⎩⎨⎧<-≥==)0()0(||a a a a a a
a n
n ；
②a a n
n =)(（注意a 必须使n a 有意义）。
2．有理数指数幂 （1）幂的有关概念 ①正数的正分数指数幂:0,,1)m
n
a
a m n N n *=>∈>、且;
②正数的负分数指数幂: 10,,1)m n
m n
a
a m n N n a
-
*=
=
>∈>、且
③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义.
注：分数指数幂与根式可以互化，通常利用分数指数幂进行根式的运算。 （2）有理数指数幂的性质 ①a r a s
=a r+s
(a>0,r 、s ∈Q); ②(a r )s
=a rs
(a>0,r 、s ∈Q); ③(ab)r
=a r b s
(a>0,b>0,r ∈Q);. 3．指数函数的图象与性质
n 为奇数 n 为偶数
y=a x a>1 0 图象 定义域R 值域（0，+∞） 性质（1）过定点（0，1） （2）当x>0时，y>1; x<0时,0 (2) 当x>0时，0 x<0时, y>1 (3)在（-∞，+∞）上是增函 数 （3）在（-∞，+∞）上是减函数 注：如图所示，是指数函数（1）y=a x,（2）y=b x,（3）,y=c x（4）,y=d x的图象，如何确定底数a,b,c,d与1之间的大小关系？ 提示：在图中作直线x=1，与它们图象交点的纵坐标即为它们各自底数的值，即c1>d1>1>a1>b1,∴c>d>1>a>b。即无论在轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大。（二）对数与对数函数 1、对数的概念 （1）对数的定义 如果(01) x a N a a =>≠ 且，那么数x叫做以a为底，N的对数，记作log N a x=，其中a 叫做对数的底数，N叫做真数。 （2 对数形式特点记法 一般对数 底数为a0,1 a a >≠ 且log N a 常用对数底数为10 lg N 自然对数底数为e ln N 2 （1）对数的性质（0,1a a >≠且）：①1log 0a =，②log 1a a =，③log N a a N =，④log N a a N =。 （2）对数的重要公式： ①换底公式：log log (,1,0)log N N a b b a a b N =>均为大于零且不等于； ②1 log log b a a b = 。 （3）对数的运算法则： 如果0,1a a >≠且，0,0M N >>那么 ①N M MN a a a log log )(log +=； ②N M N M a a a log log log -=； ③)(log log R n M n M a n a ∈=； ④b m n b a n a m log log = 。 图象 1a > 01a << 性 质 （1）定义域：（0,+∞） （2）值域：R （3）当x=1时，y=0即过定点（1，0） （4）当01x <<时，(,0)y ∈-∞； 当1x >时，(0,)y ∈+∞ （4）当1x >时，(,0)y ∈-∞； 当01x <<时，(0,)y ∈+∞ （5）在（0,+∞）上为增函数 （5）在（0,+∞）上为减函数 提示：作一直线y=1，该直线与四个函数图象交点的横坐标即为它们相应的底数。 ∴0 4、反函数 指数函数y=a x与对数函数y=log a x互为反函数，它们的图象关于直线y=x对称。 （三）幂函数 1、幂函数的定义 形如y=xα（a∈R）的函数称为幂函数，其中x是自变量，α为常数 注：幂函数与指数函数有本质区别在于自变量的位置不同，幂函数的自变量在底数位置，而指数函数的自变量在指数位置。 2、幂函数的图象 注：在上图第一象限中如何确定y=x3，y=x2，y=x， 1 2 y x =，y=x-1方法：可画出x=x0； 当x0>1时，按交点的高低，从高到低依次为y=x3，y=x2，y=x， 1 2 y x =，y=x-1； 当0 1 2 y x =，y=x，y=x2，y=x3。 y=x y=x2y=x31 2 y x = y=x-1 定义域R R R [0，+∞）{} |0 x x R x ∈≠ 且 值域R [0，+∞）R [0，+∞）{} |0 y y R y ∈≠ 且 奇偶性奇偶奇非奇非偶奇 单调性增x∈[0，+∞）时，增； x∈(,0] -∞时，减 增增x∈(0,+∞)时，减； x∈(-∞,0)时，减定点（1，1） 三：例题诠释，举一反三 知识点1：指数幂的化简与求值 例1.(2007育才A) （1）计算：25 .021 21 3 2 5 .032 0625.0])32.0()02.0()008.0()945()833[(÷⨯÷+---； （2）化简：533233 23 23 3 23 134)2(248a a a a a b a a ab b b a a ⋅⋅⨯ -÷++-- 变式：（2007执信A ）化简下列各式（其中各字母均为正数）: （1） ;)(6 5 3 121211 3 2 b a b a b a ⋅⋅⋅⋅- - （2）.)4()3(6 521 3321 21231----⋅÷-⋅⋅b a b a b a (3) 1 200.2563 43 3 721.5()82(23)()63- ⨯-+⨯+⨯- 知识点2：指数函数的图象及应用 例2.(2009广附A)已知实数a 、b 满足等式b a )3 1()21(=，下列五个关系式：①0＜b ＜a;②a ＜b ＜0;③0＜a ＜b;④b ＜a ＜0;⑤a=b.其中不可能成立的关系式有 （ ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 变式：（2010华附A ）若直线a y 2=与函数 0(|1|>-=a a y x 且)1≠a 的图象有两个公共 点，则a 的取值围是_______. 知识点3：指数函数的性质 例3.（2010省实B ）已知定义域为R 的函数12()22 x x b f x +-+=+是奇函数。 （Ⅰ）求b 的值； （Ⅱ）判断函数()f x 的单调性; （Ⅲ）若对任意的t R ∈，不等式2 2 (2)(2)0f t t f t k -+-<恒成立，求k 的取值围． 变式：（2010B ）设a ＞0,f(x)=x x a a e e +是R 上的偶函数. （1）求a 的值； （2）求证：f(x)在（0，+∞）上是增函数. 知识点4：对数式的化简与求值 例4.（2010A ）计算：（1）)32(log 32-+ （2）2(lg 2)2 +lg 2·lg5+12lg )2(lg 2 +-; （3）21 lg 4932-3 4 lg 8+lg 245. 变式：（2010A ）化简求值. （1）log 2 48 7 +log 212-21log 242-1; （2）(lg2)2 +lg2·lg50+lg25; （3）(log 32+log 92)·(log 43+log 83). 知识点5：对数函数的性质 例5.（2011A ）对于01a <<，给出下列四个不等式： ①1log (1)log ();a a a a a +<+②1log (1)log (1)a a a a +>+； ③111;a a a a + +<④111;a a a a + +>其中成立的是（） （A ）①与③（B ）①与④（C ）②与③（D ）②与④ 变式：（2011A ）已知0＜a ＜1,b ＞1,ab ＞1，则log a b b b b a 1 log ,log ,1的大小关系是 （ ） A.log a b b b b a 1 log log 1<< B.b b b b a a 1log 1log log << C.b b b a b a 1 log 1log log << D.b b b a a b log 1log 1log << 例6.（2010B ）已知函数f(x)=log a x(a ＞0,a ≠1)，如果对于任意x ∈［3，+∞）都有|f(x)|≥1成立， 试求a 的取值围. 变式：（2010广雅B ）已知函数f （x ）=log 2(x 2 -ax-a)在区间（-∞,1-3］上是单调递减函 数.数a 的取值围. 知识点6：幂函数的图象及应用 例7.(2009B)已知点(22)， 在幂函数()f x 的图象上，点124⎛ ⎫- ⎪⎝ ⎭，，在幂函数()g x 的图象上．问当x 为何值时有：（１）()()f x g x >；（２）()()f x g x =；（３）()()f x g x <． 变式：（2009揭阳B ）已知幂函数f(x)=x 3 22 --m m （m ∈Z ）为偶函数，且在区间（0，+∞）上 是单调减函数.（1）求函数f(x);（2）讨论F （x ）=a ） （） （x xf b x f -的奇偶性. 四：方向预测、胜利在望 1．（A ）函数4 1lg )(--=x x x f 的定义域为（ ） A ．(1，4) B ．[1，4) C ．(－∞，1)∪(4，＋∞) D ．(－∞，1]∪(4，＋∞) 2.（A ）以下四个数中的最大者是（ ） (A) (ln2)2 (B) ln(ln2) (C) ln 2 (D) ln2 3（B ）设a>1，函数f(x)=log a x 在区间［a,2a ］上的最大值与最小值之差为,2 1则a=( ) (A)2 （B ）2 （C ）22 （D ）4 4.（A ）已知()f x 是周期为2的奇函数，当01x <<时，()lg .f x x =设 63(),(),52 a f b f ==5 (),2c f =则（ ） （A ）a b c << （B ）b a c << （C ）c b a << （D ）c a b << 5.（B ）设f (x )= 12 32,2, log (1),2, x e x x x -⎧<⎪⎨-≥⎪⎩则不等式f (x )>2的解集为（ ） (A)（1，2）⋃（3，+∞） (B)（10，+∞） (C)（1，2）⋃（10，+∞）(D)（1，2） 6．（A ）设2log 3P =，3log 2Q =，23log (log 2)R =，则（ ） Ａ．R Q P << Ｂ．P R Q << Ｃ．Q R P << Ｄ．R P Q << 7．(A)已知c a b 212 12 1log log log <<，则( ) A ．c a b 222>> B ．c b a 222>>C ．a b c 222>> D ．b a c 222>> 8．（B ）下列函数中既是奇函数，又是区间[]1,1-上单调递减的是（ ） （A ）()sin f x x = (B) ()1f x x =-+ (C) 1()()2x x f x a a -= + (D)2()2x f x ln x -=+ 9.（A ） 函数y =的定义域是：（） A [1,)+∞ B 23(,)+∞ C 23[,1] D 2 3(,1] 10.(A)已知函数kx y x y ==与4 1log 的图象有公共点A ，且点A 的横坐标为2，则k （ ） A ．41- B ．41 C ．21- D ．21 11．（B ）若函数的图象经过第二且)10(1)(≠>-+=a a b a x f x 、三、四象限，则一定 有（ ） A ．010><>b a 且 C ．010<< D ．01<>b a 且 12．(B)若函数)10(log )(<<=a x x f a 在区间]2,[a a 上的最大值是最小值的3倍，则a= （ ） A. 42B. 22C. 41D. 2 1 13.(A)已知0＜x ＜y ＜a ＜1，则有（ ） （A ）0)(log log )(=，那么)8(f 等于（ ） （A ） 3 4 （B ）8 （C ）18 （D ） 2 1 15．（B ）函数y ＝lg|x| （ ） A ．是偶函数，在区间(－∞，0)上单调递增 B ．是偶函数，在区间(－∞，0)上单调递减 C ．是奇函数，在区间(0，＋∞)上单调递增 D ．是奇函数，在区间(0，＋∞)上单调递减 16.（A ）函数3) 4lg(--=x x y 的定义域是____________________________. 17．（B ）函数1(01)x y a a a -=>≠，的图象恒过定点A ，若点A 在直线 10(0)mx ny mn +-=>上，则11 m n +的最小值为 ． 18．（A ）设,0.(),0. x e x g x lnx x ⎧≤=⎨>⎩ 则1 (())2g g =__________ 19．（B ）若函数f(x) = 12 22--+a ax x 的定义域为R ，则a 的取值围为___________. 20．(B)若函数)2(log )(22a a x x x f ++ =是奇函数，则a =． 21.(B)已知函数x x x x f -+-=11log 1)(2 ，求函数)(x f 的定义域，并讨论它的奇偶性和单调性. 参考答案： 三：例题诠释，举一反三 例1. 解：（1） 9 2，（2）2a 变式：解：（1）1, （2） .4514545)(23232 12 33 1 3 6 1ab ab ab b a b a b -=⋅-=⋅-=÷---- (3)110 例2. 解：B 变式：解：)2 1,0(； 例3. 解：（Ⅰ）1=b （Ⅱ）减函数。 （Ⅲ）3 1- （3）2 1. 变式：解：(1). 232log 2 21 log 242481272 322-===⨯⨯⨯- （2）2.（3） 4 5 例5. 解：选D 。 变式：解： C 例6. 解：(1，3］∪［3 1，1） 变式：解：{a|2-23≤a ＜2} 例7. 解：（1）当1x >或1x <-时，()()f x g x >； （2）当1x =±时，()()f x g x =； （3）当11x -<<且0x ≠时，()()f x g x <． 变式：解：（1）f(x)=x -4 . （2）F （x ）= 32 bx x a -， ∴F （-x ）= 2 x a +bx 3 . ①当a ≠0，且b ≠0时，F （x ）为非奇非偶函数； ②当a=0,b ≠0时，F （x ）为奇函数； ③当a ≠0,b=0时，F （x ）为偶函数； ④当a=0,b=0时，F （x ）既是奇函数，又是偶函数. 四：方向预测、胜利在望 1—5 ADDDC ； 6—10 AADDA ； 11—15 CADDB. 16. (-∞, 3)⋃(3,4) 17. 4 18. 2 1 19.[-1,0] 20.22 21．[解]x 须满足,11011,0110 <<->-+⎪⎩⎪ ⎨⎧>-+≠x x x x x x 得由 所以函数)(x f 的定义域为（－1，0）∪（0，1）. 因为函数)(x f 的定义域关于原点对称，且对定义域的任意x ，有 )()11log 1(11log 1)(22x f x x x x x x x f -=-+--=+---=-，所以)(x f 是奇函数. 研究)(x f 在（0，1）的单调性，任取x 1、x 2∈（0，1），且设x 1 ,0)112 (log )112(log ,011)],112(log )112([log )11( 11log 111log 1 )()(1 222211 222212 22 2112121>----->------+-=-++--+-=-x x x x x x x x x x x x x x x f x f 由 得)()(21x f x f ->0，即)(x f 在（0，1）单调递减， 由于)(x f 是奇函数，所以)(x f 在（－1，0）单调递减. 一、幂函数 1、幂的有关概念 正整数指数幂： ...() n n a a a a n N =∈ g123 零指数幂： 01(0) a a =≠ 负整数指数幂： 1 (0,) p p a a p N a -=≠∈ 分数指数幂：正分数指数幂的意义是： (0,,,1) m n m n a a a m n N n =>∈> 且 负分数指数幂的意义是： 1 (0,,,1) m n m n m n a a m n N n a a - ==>∈> 且 2、幂函数的定义 一般地，函数 a y x =叫做幂函数，其中x是自变量，a是常数(我们只讨论a是有理数的情况)． 3、幂函数的图象 幂函数a y x = 当 11 ,,1,2,3 32 a= 时的图象见左图；当 1 2,1, 2 a=--- 时的图象见上图： 由图象可知，对于幂函数而言，它们都具有下列性质： a y x =有下列性质： (1)0a >时： ①图象都通过点(0,0)，(1,1)； ②在第一象限内，函数值随x 的增大而增大，即在(0,)+∞上是增函数． (2)0a <时： ①图象都通过点(1,1)； ②在第一象限内，函数值随x 的增大而减小，即在(0,)+∞上是减函数； ③在第一象限内，图象向上与y 轴无限地接近，向右与x 轴无限地接近． (3)任何幂函数的图象与坐标轴至多只有一个交点； (4)任何幂函数图象都不经过第四象限； (5)任何两个幂函数的图象最多有三个交点． 二、指数函数 ①定义：函数)1,0(≠>=a a a y x 且称指数函数， 1）函数的定义域为R ； 2）函数的值域为),0(+∞； 3）当10<a 时函数为增函数. 4）有两个特殊点：零点(0,1)，不变点(1,)a . 5）抽象性质： ()()(),()()/()f x y f x f y f x y f x f y +=?-= 三、对数函数 如果b a N =（0a >，1a ≠），那么b 叫做以a 为底N 的对数，记作log a N b = log b a a N N b =?=（0a >，1a ≠，0N >）． 1．对数的性质 ()log log log a a a MN M N =+． log log log a a a M M N N =-． 高三数学 幂函数、指数函数与对数函数，函数的最值，函数的图像 知识精讲 一、幂函数、指数函数与对数函数 1. 幂函数的定义、图像和性质 （1）定义 形如y x a =（a 是常数，a R ∈）的函数叫做幂函数，定义域是使x a 有意义的x 的取值范围。 （2）图像和性质 ①它们都过点（1，1），除原点外，任何幂函数与坐标轴不相交，任何幂函数都不过第四象限。 ②a = 131 2 123，，，，时，幂函数图像过原点且在[)0，+∞上是增函数。 ③a =---211 2 ，，时幂函数图像不过原点且在[)0，+∞上是减函数。 ④任何两个幂函数最多有三个公共点。 二、函数的最值 1. 值域与最值 值域的概念：即对于定义域A 上的函数y f x =()其值域是指集合 {|()}}y y f x x A =∈，，值域是函数值的变化区域。 函数的最值就是在函数的值域中存在一个最小（大）数，这个数这是函数的最小（大）值。 因此，求函数的最值和值域其实质是相同的，方法也完全一样，即可运用求值域的方法求（证）最值问题。 2. 求函数最值的常用方法有下列八种方法 （1）直接法：直接法也叫观察法，就是直接由函数解析式的本身观察出函数的值域，其题型特征是解析式中的某一部分是独立的。 （2）逆求法：通过反解x ，把x 用含有y 的式子表示出来，使含有y 的式子有意义，求出y 的范围，其题型特征是y f x =()中很容易把x 解出来，并且从y f x =()到x g y =()必须是同解变形。 （3）换元法：通过简单的换元把一个复杂函数变成简单函数，其解题特征是函数解析式中含有根号，当根号里是一次式时用代数换元，当根式里是二次式时，用三角换元。 （4）判别式法：把y f x =()通过同解变形为关于x 的一元二次方程，利用判别式大于等于零求其值域，其题型特征是解析式中含有根式或分式。 （5）基本不等式法：利用基本不等式a b ab a b c abc +++≥，≥23 3 ()a b c R ，，∈+可以求函数y 的最值，其题型特征是解析式是和式时要求积为定值，解析 式是积式时，要求和为定值，不过有时须要用到拆项，添项和平方的技巧。 （6）函数图像法：当一个函数的图像可作时，通过图像可求其值域和最值。 （7）函数的性质法：当一个函数很容易得到其单调性时，利用单调性可求其值域。 （8）几何意义法：当要求的一个解析式明显具备某种几何意义时，像两点间的距离公式、直线斜率、直线在坐标轴上的截距等等，我们可以利用其几何意义来求其值域。 三、函数的图像 1. 画函数的图像主要有以下三种方法 （1）描点法（高中阶段基本不用）； （2）利用函数的性质； （3）利用图像变换或坐标平移变换。 2. 要会熟练地画出基本函数的图像 如一次函数、二次函数、反比例函数、幂指对函数、三角函数、反三角函数的图像等，这是画复杂函数的基础，复杂函数的图像往往是通过这些基本函数的图像经过变换得到的，这是画函数图像的基本方法。 3. 画函数图像的一般步骤 （1）确定函数的解析式； （2）化简函数解析式； （3）讨论函数图像的性质（如定义域、截距、奇偶性、单调性、渐近线、图像上的特殊点等）以缩小描点的范围； （4）采用描点法或利用基本函数图像画出所需的图像。 4. 掌握函数图像的几种变换 （1）平移变换 ①水平变换y f x a a =()()±＞0的图像可由y f x =()的图像向左（＋）或向右（－）平移a 个单位而得到。 ②竖直平移y f x b b =()()±＞0的图像可由y f x =()的图像向上（＋）或向下（－） 幂函数、指数函数和对数函数 一、幂函数 1、函数k x y =（k 为常数，Q k ∈）叫做幂函数 2、单调性： 当k>0时，单调递增；当k<0时，单调递减 3、幂函数的图像都经过点（1，1） 二、指数函数 1、x a y =（0>a 且1≠a ）叫做指数函数，定义域为R ，x 作为指数 2、指数函数的值域：），（∞+0 3、指数函数的图像都经过点（0，1） 4、当a>1时，为增函数；当0 三、对数 1、如果a(a>0,且a ≠－1）的b 次幂等于N ，即N a b =，那么b 叫做以a 为底N 的对数，记作b N a =log ，其中，a 叫做底数，N 叫做真数 2、零与负数没有对数，即N>0 3、对数恒等式：N a N a =log 4、(重点强调）a>0,且a ≠－1，N>0 5、常用对数：以十为底的对数，记作lg N 6、自然对数：以e 为底的对数，记作in N 7、对数的运算性质：如果a>0,a ≠1，M>0,N>0,那么 （1）N M MN a a a log log )(log += （2）N M N M a a a log log log -= （3）M n M a n a log log = 8、对数换底公式：)01,01,(log log log >≠>≠>= N b b a o a N N N b a b ，，其中 9、指数式与对数式的互化，必须并且只需紧紧抓住对数的定义：ab=N logaN=b 四、反函数 1、对于函数)(x f y =，设它的定义域为D ，值域为A ，如果A 中任意一个值y ，在D 中总有唯一确定的x 值与它对应（即一个x 对应一个y ），且满足)(x f y =，这样得到的x 关于y 的函数叫做)(x f y =的反函数，记作)(1 y f x -=，习惯上，自变量用x 表示，而函 数用y 表示，说以把它改写为))((1 A x x f y ∈=- 函数)(x f y = 反函数)(1 x f y -= 定义域 D A 值域 A D 3、函数)(x f y =的图像与反函数)(1 x f y -=的图像关于直线x y =对称 五、对数函数 1、函数)1,0(log ≠>=a a x y a 且叫做对数函数，是指数函数的反函数 指数函数 概念：一般地，函数y=a^x（a＞0，且a≠1）叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R。 注意：⒈指数函数对外形要求严格，前系数要为1，否则不能为指数函数。 ⒉指数函数的定义仅是形式定义。 指数函数的图像与性质： 规律：1. 当两个指数函数中的a互为倒数时，两个函数关于y轴对称，但这两个函数都不具有奇偶性。 2.当a＞1时，底数越大，图像上升的越快，在y轴的右侧，图像越靠近y轴； 当0＜a＜1时，底数越小，图像下降的越快，在y轴的左侧，图像越靠近y轴。 在y轴右边“底大图高”；在y轴左边“底大图低”。 3.四字口诀：“大增小减”。即：当a＞1时，图像在R上是增函数；当0＜a＜1时，图像在R上是减函数。 4. 指数函数既不是奇函数也不是偶函数。 比较幂式大小的方法： 1.当底数相同时，则利用指数函数的单调性进行比较； 2. 当底数中含有字母时要注意分类讨论； 3. 当底数不同，指数也不同时，则需要引入中间量进行比较； 4. 对多个数进行比较，可用0或1作为中间量进行比较 底数的平移： 在指数上加上一个数，图像会向左平移；减去一个数，图像会向右平移。 在f(X)后加上一个数，图像会向上平移；减去一个数，图像会向下平移。 对数函数 1.对数函数的概念 由于指数函数y=a x 在定义域(-∞，+∞)上是单调函数，所以它存在反函数， 我们把指数函数y=a x (a ＞0，a ≠1)的反函数称为对数函数，并记为y=log a x(a ＞0，a ≠1). 因为指数函数y=a x 的定义域为(-∞，+∞)，值域为(0，+∞)，所以对数函数y=log a x 的定义域为(0，+∞)，值域为(-∞，+∞). 2.对数函数的图像与性质 对数函数与指数函数互为反函数，因此它们的图像对称于直线y=x . 据此即可以画出对数函数的图像，并推知它的性质. 为了研究对数函数y=log a x(a ＞0，a ≠1)的性质，我们在同一直角坐标系中作出函数 y=log 2x ，y=log 10x ，y=log 10x,y=log 2 1x,y=log 10 1x 的草图 幂函数指数函数对数函数的图像和性质 在数学中，幂函数，指数函数和对数函数是一类十分重要的函数，它们在各种领域都有着重要的应用，它们之间也有着千丝万缕的联系，而本文的主要重点就是分析它们的关系，以及它们的图像和性质。 首先，对于幂函数而言，它的定义域为实数集，值域也为实数集，其函数多项式形式为$f(x)=a^x(a>0,a eq 1)$其中a为指数，当a>1时，函数图像呈现出递增趋势，而当a<1时，函数则呈现出递减趋势。此外，还可以确定的是，幂函数是一种可导函数，其导函数的形式为$f(x)=ln(a)a^x$ 。 接下来，我们来看看指数函数及其图像和性质，它的定义域也为实数集，值域也为实数集，其函数多项式形式为$f(x)=a^x(a>0)$其 中a为指数，当a>1时，函数图像呈现出递增趋势，而当a<1时，函数则呈现出递减趋势。此外，还可以确定的是，指数函数也是一种可导函数，其导函数的形式为$f(x)=a^xln(a)$可以看出，指数函数也 是一种以连续变量为参数的可导函数。 最后，我们再来看看对数函数及其图像和性质，它的定义域也为实数集，值域也为实数集，其函数多项式形式为$f(x)=ln x$，可以 看出，对数函数的图像呈右斜线形，它是一个单调函数，且为可导函数，其导函数的形式为$f(x)=frac{1}{x}$ 。 接下来，我们来看看三种函数之间的关系，第一，它们之间有着联系，即可以从一种函数通过定义变换到另外一种函数，其具体形式为$f(x)=a^x=ln(y)$，即从一个函数求另一个函数，从而将三种函数 联系在一起；第二，它们之间也存在着双射，可以实现函数的双向转换；第三，它们的应用场景类似，都是应用于数量的变化趋势分析中，以及特定概率的分析等领域。 以上，就是有关幂函数、指数函数和对数函数的图像和性质以及它们之间的联系的全部内容，它们在数学中都有着重要的应用，因此，理解它们的关系以及图像和性质也是十分重要的。 以上，就是本文关于“幂函数指数函数对数函数的图像和性质”的详细介绍，从本文可以看出，它们之间有着千丝万缕的联系，熟悉这些函数的性质及它们之间的关系，对理解数学也是十分有帮助的。 幂运算性质 同底数幂的乘法：底数不变,指数相加m n m n a a a +⨯=同底数幂的除法：底数不变,指数相减 m n m n a a a -÷=幂的乘方：底数不变,指数相乘() n m mn a a =积的乘方：等于各因数分别乘方 的积() m m m a b a b ⨯=⨯商的乘方（分式乘方） ：分子分母分别乘方,指数不变m m m a a b b ⎛⎫= ⎪⎝⎭ 分数指数幂：给定正实数a ，对于任意给定的整数m,n （m,n 互素），存在唯一的正实数b ，使得n m b a =，我们把b 叫做a 的 m n 次幂，记作 m n b a =，则它就是分数指数幂 ①正数的正分数指数幂 :)*0,,1m n a a m n N n =>∈>、且 ②正数的负分数指数幂 : )* 10,,1m n m n a a m n N n a -== >∈>、且 正数与复数指数幂意义相仿，但有区别。 ③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义. 注：分数指数幂与根式可以互化，通常利用分数指数幂进行根式的运算。 化简下列式子 （1） （2） (3) 幂函数 1.幂函数的定义 形如 () a y x a R =∈的函数称为幂函数，其中*是自变量，a 为常数 2.幂函数的图像 幂函数y ＝*α的图象由于α的值不同而不同． α的正负：α＞ 0时，图象过原点和(1,1)，在第一象限的图象上升； α＜0时，图象不过原点，在第一象限的图象下降，反之也成立； 3、幂函数的性质 ;)(6 5 3 121211 3 2b a b a b a ⋅⋅⋅⋅- -.)4()3(6 521 3321 21231----⋅÷-⋅⋅b a b a b a 100.2563 71.5()86- ⨯-+ 指数函数幂函数对数函数图像 指数函数、幂函数和对数函数是高中数学中重要的函数类型，它们在数学和实际应用中都有广泛的应用。其图像具有一定的特点，本文将对这三种函数的图像特点进行详细介绍。 一、指数函数的图像 指数函数是形如$f(x)=a^x$的函数，其中$a>0$且$a eq1$。指数函数的图像通常具有如下特点： 1. 当$a>1$时，指数函数的图像是增长的，当$a<1$时，指数函数的图像是衰减的。 2. 当$x=0$时，指数函数的值为1。 3. 当$xrightarrowinfty$时，当$a>1$时，指数函数的值趋近于无穷大，当$a<1$时，指数函数的值趋近于0。 4. 当$xrightarrow-infty$时，当$a>1$时，指数函数的值趋近于0，当$a<1$时，指数函数的值趋近于无穷大。 5. 指数函数的图像一定过点$(0,1)$。 二、幂函数的图像 幂函数是形如$f(x)=x^a$的函数，其中$a$可以是正整数、负整数、分数或小数。幂函数的图像通常具有如下特点： 1. 当$a>0$时，幂函数的图像是增长的，当$a<0$时，幂函数的图像是衰减的。 2. 当$x=0$时，幂函数的值为0或1。 3. 当$xrightarrowinfty$时，当$a>0$时，幂函数的值趋近于 无穷大，当$a<0$时，幂函数的值趋近于0。 4. 当$xrightarrow-infty$时，当$a$为偶数时，幂函数的值趋近于无穷大，当$a$为奇数时，幂函数的值趋近于$-infty$或$infty$。 5. 幂函数的图像过点$(0,0)$或$(0,1)$。 三、对数函数的图像 对数函数是形如$f(x)=log_ax$的函数，其中$a>0$且$a eq1$。对数函数的图像通常具有如下特点： 1. 对数函数的定义域为$x>0$，值域为$(-infty,infty)$。 2. 当$x=a$时，对数函数的值为1。 3. 当$xrightarrow0$时，对数函数的值趋近于$-infty$。 4. 当$xrightarrowinfty$时，对数函数的值趋近于无穷大。 5. 对数函数的图像过点$(1,0)$。 总之，指数函数、幂函数和对数函数在数学和实际应用中都有广泛的应用，了解它们的图像特点可以更好地理解它们的性质和应用。 幂函数指数函数和对数函数知识点梳理 一、幂函数 1.定义：幂函数是形如f(x)=x^n的函数，其中n为常数，x为自变量，n可以是整数、分数或实数。 2.性质： -当n为正偶数时，幂函数是单调递增函数，图像呈现开口向上的抛 物线形状。 -当n为正奇数时，幂函数是单调递增函数，图像呈现开口向上的直 线形状。 -当n为负偶数时，幂函数是单调递减函数，图像呈现开口向下的抛 物线形状。 -当n为负奇数时，幂函数是单调递减函数，图像呈现开口向下的直 线形状。 -当n=0时，幂函数f(x)=x^0恒等于1，所有x轴上的点对应于y=1，即图像是一条水平直线。 3.应用： -幂函数常用于描述成比例关系，如面积和边长的关系、体积和边长 的关系等。 -幂函数还用于经济学、物理学、化学等学科中的一些数学模型。 二、指数函数 1.定义：指数函数是形如f(x)=a^x的函数，其中a为正实数且不等于1，x为自变量。 2.性质： -指数函数的值域为正实数，图像始终位于y轴的上方。 -当a>1时，指数函数是单调递增函数，图像呈现开口向上的曲线形状。 -当0 一、 幂函数 1、幂的有关概念 正整数指数幂： ...() n n a a a a n N =∈ 零指数幂：01(0)a a =≠ 负整数指数幂： 1 (0,)p p a a p N a -= ≠∈ 分数指数幂:正分数指数幂的意义是： (0,,,1)m n m n a a a m n N n =>∈>且 负分数指数幂的意义是:11 (0,,,1) m n m n m n a a m n N n a a - = = >∈>且 2、幂函数的定义 一般地,函数a y x =叫做幂函数，其中x 是自变量，a 是常数（我们只讨论a 是有理数的情况）． 3、幂函数的图象 幂函数a y x = 当11,,1,2,332a =时的图象见左图；当 12,1,2a =--- 时的图象见上图： 由图象可知，对于幂函数而言，它们都具有下列性质： a y x =有下列性质: （1)0a >时： ①图象都通过点(0,0)，(1,1)； ②在第一象限内，函数值随x 的增大而增大，即在(0,)+∞上是增函数． (2)0a <时: ①图象都通过点(1,1); ②在第一象限内，函数值随x 的增大而减小，即在(0,)+∞上是减函数； ③在第一象限内，图象向上与y 轴无限地接近，向右与x 轴无限地接近． （3）任何幂函数的图象与坐标轴至多只有一个交点; (4）任何幂函数图象都不经过第四象限； （5)任何两个幂函数的图象最多有三个交点． 二、指数函数 ①定义：函数)1,0(≠>=a a a y x 且称指数函数， 1）函数的定义域为R ; 2)函数的值域为),0(+∞； 3）当10<a 时函数为增函数。 4)有两个特殊点：零点(0,1)，不变点(1,)a . 5）抽象性质： ()()(),()()/()f x y f x f y f x y f x f y +=⋅-= 三、对数函数 如果b a N =（0a >，1a ≠），那么b 叫做以a 为底N 的对数，记作log a N b = log b a a N N b =⇔=(0a >，1a ≠，0N >）． 1．对数的性质 ()log log log a a a MN M N =+． log log log a a a M M N N =-． log log n a a M n M =．(00M N >>，，0a >,1a ≠)b m n b a n a m log log =（ a, b 〉 0且均不为1） 2．换底公式：log log log m a m N N a = ( a 〉 0 , a ¹ 1 ；0,1m m >≠) 常用的推论： (1)log log 1a b b a ⨯= ；1log log log =⋅⋅a c b c b a ． （一）指数与指数函数 1．根式 （1）根式的概念 （2）．两个重要公式 ①⎪⎩ ⎪⎨⎧⎩⎨⎧<-≥==)0()0(||a a a a a a a n n ； ②a a n n =)(（注意a 必须使n a 有意义）。 2．有理数指数幂 （1）幂的有关概念 ①正数的正分数指数幂:0,,1)m n a a m n N n *=>∈>、且; ②正数的负分数指数幂: 10,,1)m n m n a a m n N n a - *= = >∈>、且 ③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义. 注：分数指数幂与根式可以互化，通常利用分数指数幂进行根式的运算。 （2）有理数指数幂的性质 ①a r a s =a r+s (a>0,r 、s ∈Q ); ②(a r )s =a rs (a>0,r 、s ∈Q ); ③(ab)r =a r b s (a>0,b>0,r ∈Q );. 3．指数函数的图象与性质 n 为奇数 n 为偶数 注：如图所示，是指数函数（1）y=a x ,（2）y=b x,（3）,y=c x （4）,y=d x 的图象，如何确定底数a,b,c,d 与1之间的大小关系？ 提示：在图中作直线x=1，与它们图象交点的纵坐标即为它们各自底数的值，即c 1>d 1>1>a 1>b 1,∴c>d>1>a>b 。即无论在轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大。 （二）对数与对数函数 1、对数的概念 （1）对数的定义 如果(01)x a N a a =>≠且，那么数x 叫做以a 为底，N 的对数，记作log N a x =，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数。 （2）几种常见对数 2（1）对数的性质（0,1a a >≠且）：①1 log 0a =，②l o g 1a a =，③l o g N a a N =，④l o g N a a N =。 （2）对数的重要公式： 〔一〕指数与指数函数 1．根式 〔1〕根式的概念 〔2〕．两个重要公式 ①⎪⎩ ⎪⎨⎧⎩⎨⎧<-≥==)0()0(||a a a a a a a n n ； ②a a n n =)(〔注意a 必须使n a 有意义〕。 2．有理数指数幂 〔1〕幂的有关概念 ①正数的正分数指数幂:0,,1)m n m n a a a m n N n *=>∈>、且; ②正数的负分数指数幂: 11 0,,1)m n m n m n a a m n N n a a - *= = >∈>、且 ③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义. 注：分数指数幂与根式可以互化，通常利用分数指数幂进行根式的运算。 〔2〕有理数指数幂的性质 ①a r a s =a r+s (a>0,r 、s ∈Q ); ②(a r )s =a rs (a>0,r 、s ∈Q ); ③(ab)r =a r b s (a>0,b>0,r ∈Q );. 3．指数函数的图象与性质 y=a x a>1 0 图象 定义域 R 值域 〔0，+∞〕 性质 〔1〕过定点〔0，1〕 〔2〕当x>0时，y>1; x<0时,0 五、基本初等函数及其性质和图形 1.幂函数 函数称为幂函数。如，， ，都是幂函数。没有统一的定义域，定义域由值确定。如 ,。但在内 总是有定义的，且都经过（1,1）点。当 时，函数在上是单调增加的，当时，函数在内是单调减少的。下面给出几个常用的幂函数： 的图形，如图1-1-2、图1-1-3。 图1-1-2 图1-1-3 2.指数函数 函数称为指数函数，定义域 ，值域；当时函数为单调增加 的；当时为单调减少的，曲线过点。高等 数学中常用的指数函数是时，即。以与 为例绘出图形，如图1-1-4。 图1-1-4 3.对数函数 函数称为对数函数，其定义域 ，值域。当时单调增加，当 时单调减少，曲线过（1，0）点，都在右半平面 内。与互为反函数。当时的对数 函数称为自然对数，当时，称为常用对数。以为例绘出图形，如图1-1-5。 图1-1-5 4.三角函数有 ，它们都是周期函 数。对三角函数作简要的叙述： （１）正弦函数与余弦函数：与定义域都是，值域都是。它们都是有界函数，周期都是，为奇函数，为偶函数。图形为图1-1-6、图1-1-7。 图1-1-6 正弦函数图形 图1-1-7 余弦函数图形 （２）正切函数，定义域，值 域为。周期，在其定义域内单调增加的奇函数，图形为图1-1-8 图1-1-8 （３）余切函数，定义域，值域为 ，周期。在定义域内是单调减少的奇函数，图形如图1-1-9。 图1-1-9 （４）正割函数，定义域，值域为，为无界函数，周期的偶函数，图形如图1-1-10。 图1-1-10 （５）余割函数，定义域，值域为 ，为无界函数，周期在定义域为奇函 数，图形如图1-1-11。 指数函数、对数函数、幂函数的图像与性质 〔一〕指数与指数函数 1．根式 〔1〕根式的概念 〔2〕．两个重要公式 ①⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧<-≥==)0()0(||a a a a a a a n n ； ②a a n n =)(〔注意a 必须使n a 有意义〕。 2．有理数指数幂 〔1〕幂的有关概念 ①正数的正分数指数幂:0,,1)m n a a m n N n *=>∈>、且; ②正数的负分数指数幂: 10,,1)m n m n a a m n N n a -*== >∈>、且 ③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义. 注：分数指数幂与根式可以互化，通常利用分数指数幂进展根式的运算。 〔2〕有理数指数幂的性质 ①a r a s =a r+s (a>0,r 、s ∈Q ); ②(a r )s =a rs (a>0,r 、s ∈Q ); ③(ab)r =a r b s (a>0,b>0,r ∈Q );. 3．指数函数的图象与性质 n 为奇数 n 为偶数 y=a x a>1 0 六大基本初等函数图像及其性质一、常值函数（也称常数函数）y =C（此中 C 为常数）； 常数函数（ y C ） C 0C0 y y y C x y 0 x O O 平行于x 轴的直线y 轴自己 定义域R定义域R 二、幂函数 y x ，x是自变量，是常数； 1 y y x 1.幂函数的图像：2 y x2y x y x3 y x1O x 2.幂函数的性质； 性质 y x y x231 y x1 y x y x2 函数 定义域R R R[0,+ ∞ ){x|x ≠ 0}值域R[0,+ ∞ )R[0,+ ∞ ){y|y ≠ 0}奇偶性奇偶奇非奇非偶奇 单一性增[0,+∞) 增 增增 (0,+∞ )减(-∞ ,0] 减(-∞ ,0)减 公共点（ 1,1） 1）当α为正整数时，函数的定义域为区间为x ( , ) ，他们的图形都经过原点，并当α>1 时 在原点处与x 轴相切。且α为奇数时，图形对于原点对称；α为偶数时图形对于y 轴对称； 2）当α为负整数时。函数的定义域为除掉x=0 的全部实数； 3）当α为正有理数m 时，n为偶数时函数的定义域为（0, +∞），n为奇数时函数的定义域为（-n ∞ ,+∞），函数的图形均经过原点和（ 1 ,1）； 4）假如 m>n 图形于 x 轴相切，假如m 指数函数、对数函数、幂函数的图像与性质 指数函数、对数函数、幂函数的图像与性质 （一）指数与指数函数 1．根式 （1）根式的概念 根式的概念 符号表示 备注 如果n x a =,那么x 叫做a 的n 次方根 1n n N * >∈且 当n 为奇数时,正数的n 次方根是一个正数,负数的n 次方根是一个负数 n a 零的n 次方根是零 当n 为偶数时,正数的n 次方根有两个,它们互为相反数 (0) n a a ±> 负数没有偶次方根 （2）．两个重要公式 ①⎪⎩ ⎪⎨ ⎧⎩⎨⎧<-≥==)0()0(||a a a a a a a n n ； ②a a n n =)( （注意a 必须使n a 有意义）。 2．有理数指数幂 （1）幂的有关概念 ① 正数的 正分数指数 n 为奇 幂:(0,,1) m n m n a a a m n N n *=>∈>、且; ②正数的负分数指数幂: 1(0,,1) m n m n m n a a m n N n a a -*== >∈>、且 ③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义. 注：分数指数幂与根式可以互化，通常利用分数指数幂进行根式的运算。 （2）有理数指数幂的性质 ①a r a s =a r+s (a>0,r 、s ∈Q ); ②(a r )s =a rs (a>0,r 、s ∈Q ); ③(ab)r =a r b s (a>0,b>0,r ∈Q );. 3．指数函数的图象与性质 y=a x a>1 0 性 质 （1）定义域：（0,+∞） （2）值域：R （3）当x=1时，y=0即过定点（1，0） （4）当01 x <<时，(,0) y∈-∞； 当1 x>时，(0,) y∈+∞ （4）当1 x>时， (,0) y∈-∞； 当01 x <<时，(0,) y∈+∞（5）在（0,+∞）上为增函 数 （5）在（0,+∞）上 为减函数 注：确定图中各函数的底数a，b，c，d与1的大小关系 提示：作一直线y=1，该直线与四个函数图象交点的横坐标即为它们相应的底数。 ∴0 指数函数、对数函数、幂函数的图像与性质 （一）指数与指数函数 1．根式 （1）根式的概念 （2）．两个重要公式 ①⎪⎩ ⎪⎨⎧⎩⎨⎧<-≥==)0()0(||a a a a a a a n n ； ②a a n n =)(（注意a 必须使n a 有意义）。 2．有理数指数幂 （1）幂的有关概念 ①正数的正分数指数幂:0,,1)m n a a m n N n *=>∈>、且; ②正数的负分数指数幂: 10,,1)m n m n a a m n N n a - *= = >∈>、且 ③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义. 注：分数指数幂与根式可以互化，通常利用分数指数幂进行根式的运算。 （2）有理数指数幂的性质 ①a r a s =a r+s (a>0,r 、s ∈Q ); ②(a r )s =a rs (a>0,r 、s ∈Q ); ③(ab)r =a r b s (a>0,b>0,r ∈Q );. 3．指数函数的图象与性质 n 为奇数 n 为偶数 注：如图所示，是指数函数（1）y=a x ,（2）y=b x,（3）,y=c x （4）,y=d x 的图象，如何确定底数a,b,c,d 与1之间的大小关系？ 提示：在图中作直线 x=1，与它们图象交点的纵坐标即为它们各自底数的值，即c 1>d 1>1>a 1>b 1,∴c>d>1>a>b 。即无论在轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大。 （二）对数与对数函数 1、对数的概念 （1）对数的定义 如果(01)x a N a a =>≠且，那么数x 叫做以a 为底，N 的对数，记作log N a x =，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数。 （2）几种常见对数 2、对数的性质与运算法则 （1）对数的性质（0,1a a >≠且）：①1 log 0a =，②l o g 1a a =，③l o g N a a N =，④l o g N a a N =。指数函数、对数函数和幂函数知识点归纳
高三数学 幂函数、指数函数与对数函数,函数的最值,函数的图像 知识精讲
幂函数、指数函数和对数函数
指数、对数、幂函数对比
幂函数指数函数对数函数的图像和性质
幂函数、指数函数、对数函数
指数函数幂函数对数函数图像
幂函数指数函数和对数函数知识点梳理
(完整版)指数函数、对数函数和幂函数知识点归纳
指数函数、对数函数、幂函数的图像和性质知识点总结
指数函数、对数函数、幂函数的图像和性质知识点总结
五大基本初等函数性质及其图像
指数函数、对数函数、幂函数的图像与性质
六大基本初等函数图像及其性质
指数函数、对数函数、幂函数的图像与性质
最全指数函数概念、对数函数概念、幂函数概念的图像与性质完整版.doc
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