证: 将级数 un 的前 k 项去掉, 所得新级数n1的部分和为nn uk l Sk n Skl 1极限状况相同, 故新旧两级数敛散性相同.当级数收敛时, 其和的关系为 S Sk .类似可证前面加上有限项的情况 .16机动 目录 上页 下页

解：第一天体内总药量：S1 0.07 . （每天总药量等于 0.07 加前一天总药量的 80%）第二天… ：S2 0.07 S1 80% 0.07 (1 4 5). 第三天… ：S3 0.07 S2 80% 0.07 [1 4 5 (4 5

计算圆的面积R正六边形的面积 a 1正十二边形的面积正 32n形的面积a a1 1 a a2 2 a n即 A a 1a 2 a n1.级数的定义一般项unu1u2u3 unn1—— (常数项)无穷级数级数的部分和nSnu1u2 un ui

n1的部分和为Skn Sk数敛散性相同.极限状况相同, 故新旧两级当级数收敛时, 其和的关系为类似可证前面加上有限项的情况 .2020/10/1211性质4 收敛级数加括弧后所成的级数仍收敛于原级数的和.证: 设收敛级数 S un , 若按

而limk 1k 2故limnSn不存在,即调和级数发散.三.无穷级数的基本性质1. 性质 1若 c 0 为常数, 则 un 与 cunn1n1有相同的敛散性, 且 cun c unn1n1证nun 的部分和为 Sn u，kn1k 1nnc

由于大多数初等函数不能直接计算函数值，这使得 函数的应用存在根本性的困难。多项式函数是能够直接计算函数值的函数形式，于 是产生讨论由多项式函数表示一般函数的问题。由对函 数值问题的精确求解便形成了“无穷多项式”的概念， 即由无穷级数讨论一般

当q 1时，级数变为limqn 0( q 1)nSna1 a1qn 1q10当q 1时，级数变为因此a,S n0,n 为奇数 n 为偶数从而不存在 , 因此级数发散.综上n0aqn收敛，当 发散，当q q1时，其和为 首项1 公比1时，1

无穷级数数项级数 无穷级数 幂级数傅氏级数 表示函数无穷级数是研究函数的工具 研究性质 数值计算第一节第十一章常数项级数的 基本概念和性质一、常数项级数的概念 二 、收敛级数的性质一、常数项级数的概念1. 引例无穷级数的思想蕴涵在 无限循环

2 常数项级数 un 的敛散性 n 1部分和 {s n }高等数学高等数学高等数学芝诺悖论100m10m芝诺(Zeno of Elea) 1m100 10 1 0.1……0.1m 高等数学常数项级数的概念一、常数项级数的定义 二、常数项级数

n1n1如果 {sn } 没有极限， 则称级数 un 发散．n1例1 证明级数 1 2 3 n 是发散的.证 这级数的部分和为sn 1 2 3 nn(n 1) . 2limnsnlimnn(n 1) 2,∴所给级数是发散的.3定 义 如 果

级数为常数项级数；若级数的每一项均为同一个 变量的函数un = un(x), 则称级数 u n ( x) 为函数项n 1 级数.例1. 下列各式均为常数项级数1 1 1 1 n ； n 2 4 2 n 1 2 n 1 2

a 当 q 1 时 , 收敛 , n n 综上 aq 并且 aq ( q 1). 1 q 5 n 0 n 0 当 q 1 时, 发散. | q | 1 时, 收敛, a aq aq aq aq n 0 |

n un 1n收敛 , 这时极限 s 叫做级数un 1n的和. 并写成 s u1 u2 u3 如果sn 没有极限,则称无穷级数un 1n 发散.即 常数项级数收敛(发散

n 1 n 1 n 1 如 果 { sn } 没 有 极 限 ， 则 称 级 数 un 发 散 ．课堂练习 判定级数 ( n 1 n ) 的敛散性． P255.3(1)n

了解：级数的收敛与发散、收敛级数的和的概念, 任意项级数绝对收 敛与条件收敛的概念，以及绝对收敛与条件收敛的关系, 幂级数在 其收敛区间内的基本性质(和函数的连续性、逐项微分和逐项

nln imsna 1q级数收敛sna 1qaqn 1q当q 1时,limqn nln i msn级数发散如果 q 1时当q1时, snn a级数发散当q1时, 级数变为 a a