热传导基本理论与建模

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x
r
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2.3.9必要的物性参数
表1 实验材料物性参数表 W/(m K) 参数名称 数值 导热系数 2.0~3.099 (kg/m3) 表观密度 1800~2500 J/(kg K) 比热 739~921
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2.3.10加热阶段表面温度计算结果
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2.2垂直埋管传热问题的建模
模型问题解决了吗？前面的定解条件能 符合实际情况吗？ 介质在井筒中的温度是变化的!!!怎么办？ 方程和定解条件还能用吗?
∂t 1 ∂ ∂t ρc =λ (r ) ∂τ r ∂r ∂r
τ = 0, t = t∞ r = R , t = t0 r → ∞, t → t∞
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r =R
2.3 建模的例子——路面材料特性 试验台温度场的预报
• 沥青混合料是目前高速路面最常用的材 料之一； • 沥青混合料到的优点是振动小，噪声 低，车辆运行平稳； • 沥青混合料的缺点是在高温下容易软 化，会造成路面破损； • 高速路面材料需要通过碾压试验检验其 特性，并寻求最佳配比。
∂t 1 ∂ ∂t 1 ∂ 1 ∂t ∂ ∂t & ρc (λ r ) + (λ ) + (λ ) + Q = V ∂τ r ∂r ∂r r ∂φ r ∂φ ∂z ∂z
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r ∂t & ρc = −∇g(q) + Q V ∂τ
2.1.2 各向同性介质热传导方程
球坐标系(Spherical coordinates )
2.2垂直埋管传热问题的建模
O
r
z
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2.2垂直埋管传热问题的建模
解决的一个方案是：
– 从井筒的底部或顶部开始，将底层水平分割成中空 的圆盘，每个圆盘近似看成是径向的一维导热； – 建立介质通过井筒的能量方程——垂直通过这段井 筒的介质能量损失应该等于通过径向的导热； – 每段井筒的介质入口温度等于上一段的出口温度， 该温度也可近似看作该段井筒传热的内边界条件； 注：如果考虑到井筒内的阻力损失，则还要补充介质 的动量方程。
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图3.5 3mm 颗粒的急冷过程 高等传热学
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分析和解释
• 事实
– 理论和实验并不一致
• 问题
理论正确吗？ 实验准确吗？ 如何进一步证实或解释？
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300
250
200
过热度 /℃
150
100
50
0
0
0.05
0.1
0.15 0.2 无 量 纲 时 间 Fo
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高温颗粒急冷过程的数学模型
1 ∂ 2 ∂t ∂t = 2 λr ρc 0<r<R ∂τ r ∂r ∂r ∂t r =0 =0 ∂r ∂t r = R − λ = q ( ∆t f ) ∂r τ = 0 t = t0
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• 背景
– 金属热处理 – 炉渣冷却 – 核反应堆溃堆
• 研究思路
– 数学模型 – 定解条件 – 问题的数学特征
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应用于：地源热泵、地热开采、石油热采等
O
r
井筒内可以是热水、蒸汽、或原油等
z
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2.2 垂直埋管传热问题的建模
圆柱坐标系(Cylindrical coordinates )
∂t 1 ∂ ∂t 1 ∂ 1 ∂t ∂ ∂t & ρc = (λ r ) + (λ ) + (λ ) + Q V ∂τ r ∂r ∂r r ∂φ r ∂φ ∂z ∂z
对于各向同性连续介质(Isotropic Media)
直角坐标系(Cartesian coordinates ) ∂t ∂ ∂t ∂ ∂t ∂ ∂t & ρc = (λ ) + ( λ ) + ( λ ) + Q V ∂τ ∂x ∂x ∂y ∂y ∂z ∂z 圆柱坐标系(Cylindrical coordinates )
• 初始条件(Initial Condition, IC) • 边界条件(Boundary Condition, BC) （1）第一类边界条件（边界温度） （2）第二类边界条件（边界热流） （3）第三类边界条件（对流散热条件） （4）辐射边界条件
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2.2 垂直埋管传热问题的建模
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典型的各向异性材料
• • • • • 木材 纸张 云母 变压器铁芯 复合建材
100
0
0.5
1
1.5
2 时 间 /s
2.5
3
3.5 x 10
4
4
等效直径为5mm的颗粒冷却过程中的平均温度变化
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垂 直 管 式 实 验 电 炉
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900 800 700 中心温度/℃ 600 500 400 300 200 100 0 0 10 20 30 40 时间间隔/个×ms 50 60 70
ρc 1 ∂t = 2 ∂τ r sin θ ∂ 1 ∂t & ∂t ∂ ∂t ∂ 2 ( r sin ) + ( sin ) + ( ) + QV λ θ λ θ λ ∂r ∂r ∂θ ∂θ ∂φ sin θ ∂φ
常用的形式
ρc ∂t ∂t ∂ ∂t 1 ∂ 1 1 = 2 (λ r 2 ) + 2 (λ sin θ )+ 2 2 ∂τ r ∂r ∂r r sin θ ∂θ ∂θ r sin θ ∂ ∂t & ( λ ∂φ ∂φ ) + QV
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2.3.1环道碾压试验设计
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2.3.2加热设计要求
• 温度自上而下逐渐降低 • 温度场基本恒定 • 加热均匀
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2.3.3加热方式选择
• 电加热器＋温度控制系统 • 远红外加热器 • 加热方式
– 侧向加热 – 水平加热
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x
L
0
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r
2.3.6温度场的数学模型
1 ∂ ∂t ∂ t ∂t =λ ρc r + 2 ∂τ r ∂r ∂r ∂x
2
x=L x=0 r = r0 r=R τ =0
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∂t −λ = εσ (T 4 − T∞4 ) ∂x ∂t −λ =0 ∂x ∂t −λ = 0 ∂r ∂t −λ = h(t − t f ) ∂x t = t0
2 热传导理论
——热传导问题的建模与解析
2.1 热传导基本理论
2.1.1 傅里叶定律（Fourier’s Law)
r q = −λ grad t
v ∂t u v ∂t v ∂t u grad t = i + j + k ∂x ∂y ∂z
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2.1.2 各向同性介质热传导方程
2.2垂直埋管传热问题的建模
垂直温度梯度远小于径向 均匀介质 定解条件
∂t 1 ∂ ∂t ρc = (λ r ) ∂τ r ∂r ∂r
∂t 1 ∂ ∂t ρc =λ (r ) ∂τ r ∂r ∂r
τ = 0, t = t∞ r = R , t = t0 r → ∞, t → t∞
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• 各向同性介质 • 各向异性介质
问题 在相同的热流和其它条件的情况下，哪一 块木板上下两侧的温差会更大？ q q
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可视为各向同性介质的材料
• • • • 钢材 有机玻璃 普通塑料 岩石
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2.3.4加热器布置
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加热器
H
路面
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2.3.5温度场的数学模型
1 ∂ ∂t ∂ t ∂t =λ ρc r + 2 ∂τ r ∂r ∂r ∂x
2
∂t =q ∂x ∂t =0 x = 0 −λ ∂x ∂t r = r0 − λ = 0 ∂r ∂t r = R −λ = h(t − t f ) ∂x τ = 0 t = t0 x = L −λ
x
0
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r
2.3.7温度场的数学模型
1 ∂ ∂t ∂ t ∂t =λ ρc r + 2 ∂τ r ∂r ∂r ∂x
2
x=L x=0 r = r0 r=R τ =0
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∂t −λ = h(t − t f ) ∂x ∂t −λ =0 ∂x ∂t −λ = 0 ∂r ∂t −λ = h(t − t f ) ∂x t = t0
0.25
0.3
0.35
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10
3
10
2
过热度/℃
10
1
10
0
0
0.05
0.1
0.15
0.25 无量纲时间 Fo
0.2
0.3
0.35
0.4
0.45
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问题
隔板中水的运动方向？ 哪一块木板承载更多？
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2.4 各向异性介质的热传导 （Heat Conduction in Anisotropic Media)
∂t 1 ∂ ∂ (rt ) 1 ∂ ∂t 1 ρc = λ + 2 (λ sin θ )+ 2 2 ∂τ r ∂r ∂r r sin θ ∂θ ∂θ r sin θ
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∂ ∂t & ∂φ (λ ∂φ ) + QV
4
2.1.3 热传导方程的定解条件
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2.3.11恒温阶段沿高度方向的温度 变化
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2.3.12附加的因素Hale Waihona Puke Baidu
• • • • • 实际情况与模型的差异 材料物性的不确定性 表面对流传热损失 表面辐射热损失 其它
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2.3.13得到的设计参考数据
• 为了保证加热表面不低于600W/m2 的净 加热强度，系统的加热强度要高于1200 W/m2即可 • 这里的计算要根据最坏情况设计的，实 际情况可能会因为采取保温措施（如遮 盖，底部和侧面加保温材料等），所需 要的加热强度要少一些。
没有内热源
∂t 1 ∂ ∂t 1 ∂ 1 ∂t ∂ ∂t ρc = (λ r ) + (λ ) + (λ ) ∂τ r ∂r ∂r r ∂φ r ∂φ ∂z ∂z
轴对称
∂t 1 ∂ ∂t ∂ ∂t ρc = (λ r ) + (λ ) ∂τ r ∂r ∂r ∂z ∂z
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x
0
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r
2.3.8恒温阶段的温度场模型
1 ∂ ∂t ∂ t ∂t =λ ρc r + 2 ∂τ r ∂r ∂r ∂x
2
x = L t = tw ∂t =0 ∂x ∂t r = r0 − λ = 0 ∂r ∂t r = R −λ = h(t − t f ) ∂x τ = 0 t = t0 x = 0 −λ
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2.3.14小结
• 从实际问题到数学模型的过程需要关于 研究对象的知识 • 数学模型可以有很多个选择，但是一个 能够求解的近似模型的作用远远优于一 个无法求解的详细模型 • 本例中很多的影响因素被忽略了。
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案例：高温颗粒急冷过程的分析
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300
250
200
过热度/℃
150
100
50
0
0
0.1
0.2
0.3 0.4 无 量 纲 时 间 Fo
0.5
0.6
0.7
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40
800
700
600
温度 /℃
500
400
300
200
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2.2垂直埋管传热问题的建模
对于热水，只要补充水的能量方程即可
∂t 1 ∂ ∂t ρc =λ r ∂τ r ∂r ∂r dtW ∂t mc p = − 2πλ r dz ∂r z = 0, tW = tW 0 τ = 0, t = t∞ r = R, t = tWZ 0 r → ∞ , t → t∞