高尔顿(Galton)

“回归”名称的由来-――高尔顿的父子身高试验 引自汪荣伟主编的《经济应用数学》高尔顿（Frramcia Galton,1882-1911）早年在剑桥大学学习医学， 但医生的职业对他并无吸引力， 后来他接受了一笔遗产， 这使他可以放弃医生的生涯， 并与 1850－1852
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高尔顿钉板
如下图中每一黑点表示钉在板上的一颗钉子，它们彼此的距离均相等，上一层的每一颗的水平位 置恰好位于下一层的两颗正中间。从入口处放进一个直径略小于两颗钉子之间的距离的小圆玻璃球， 当小圆球向下降落过程中，碰到钉子后皆以 1/2 的概率向左或向右滚下，于是又碰到下一层钉子。如 此继续下去，直到滚到底板的一个格子内为止。把许许多多同样大小的小球不断从入口处放下，只要 球的数目相当大，它们在底板将堆成近似于正态 的密度函数图形（即：中间高，两头低，呈左右对
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= C0 ）(k+1)－0 ( )0 k 1 （ ak+1，k+1=
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ak，k=
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Ck ）k—k( )k k（
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（k+1）—（k+1） = Ck ） ( )k+1 k（ （k+1）—（k+1） 1 = Ck ） ( )k+1 k 1 （
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数理统计
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用数学归纳法证明： 1．当 n=1 时，已如上证。 当 n=2 时，a2，0= a2，1= a2，2=
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a1，0=（ ）2=C 0 ）2—0( )0 2 （
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a1，0+
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a1，1=
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=C 12 （ ）2—1( )1
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数理统计
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高尔顿（Galton）
“高尔顿等人关于回归分析的先驱性的工作，以及时间序列分析方面的一些工作，…是数理统计 学发展史中的重要事件.”──摘自《中国大百科全书》 （数学卷） 高尔顿是英国人类学家、生物统计学家.1822 年 2 月 6 日生于伯明翰,1911 年 1 月 17 日卒于萨 里郡黑斯尔米尔. 高尔顿是生物学家达尔文的表弟.他早年在剑桥学习数学，后到伦敦攻读医学.1860 年当选为 皇家学会会员，1909 年被封为爵士.1845—1852 年深入到非洲腹地探险、考察. 高尔顿是生物统计学派的奠基人，他的表哥达尔文的巨著《物种起源》问世以后，触动他用统计 方法研究智力遗传进化问题，第一次将概率统计原理等数学方法用于生物科学，明确提出“生物统计 学”的名词.现在统计学上的“相关”和“回归”的概念也是高尔顿第一次使用的，他是怎样产生这些 概念的呢？1870 年，高尔顿在研究人类身长的遗传时，发现下列关系：高个子父母的子女，其身高有 低于其父母身高的趋势，而矮个子父母的子女，其身高有高于其父母的趋势，即有“回归”到平均数 去的趋势，这就是统计学上最初出现“回归”时的涵义.高尔顿揭示了统计方法在生物学研究中是有用 的，引进了回归直线、相关系数的概念，创始了回归分析.开创了生物统计学研究的先河.他于 1889 年 在《自然遗传》中，应用百分位数法和四分位偏差法代替离差度量.在现在的随机过程中有以他的姓氏 命名的高尔顿─沃森过程（简称 G─W 过程）. 高尔顿发表了 200 篇论文和出版了十几部专著，涉及人体测量学，实验心理学等领域，其中数学 始终起着重要作用.
— （i=0，1，2，…，n） 现对上猜想给出证明：an，i= P（i）= C in （ ）n i( )i。
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规定：ai，j 表示第 i 行第 j（0≤j≤n）个空球落下的概率。 由高尔顿（钉）板可知：a1，0= ，a1，1=
1 a n,0 2 a n 1,0 1 a 0,n a 0, n 1 2 1 1 a n,i 2 a n 1,i 1 2 a n 1,i
ak+1，i= =
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ak，i-1+
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ak，i
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C ik-1 （ ）k-(i-1)( )i-1+
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C ik （ ）k-i( )i
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=（ C ik-1 + C ik ） （ ）k+1 = C ik 1 （ ）(k+1)-i（ ）i ∴在 n=k 成立的条件下，n=k+1 也成立。 3．由 1，2 得，原命题成立。 由此可知：做一个小球的高尔顿（钉）板试验落入第 i 个空的概率正好满足二项分布。 由大量小球做高尔顿（钉）板试验可知道，小球在各个空格落入的数量关系满足正态分布（已有 人发布了试验的动画在此就不做说明） 。
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数理统计
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称的古钟型） ，其中 n 为钉子的层数。 这是英国生物统计学家高尔顿设计的用来研究随机现象的模型，称为高尔顿钉板（或高尔顿板） 。
高尔顿（钉）板与二项分布的关系的证明
高尔顿（钉）板是在一块竖起的木板上钉上一排排互相平行、水平间 隔相等的铁钉（如图） ，并且每一排钉子数目都比上一排多一个，一排中 各个钉子下好对准上面一排两上相邻铁钉的正中央。 从入口处放入一个直 径略小于两颗钉子间隔的小球， 当小球从两钉之间的间隙下落时， 由于碰 到下一排铁钉， 它将以相等的可能性向左或向右落下， 接着小球再通过两 钉的间隙，又碰到下一排铁休。如此继续下去，小球最后落入下方条状的 格子内。 有兴趣的同学可以通过以下的问题研究高尔顿板与二项分布的关系。 1．通过高尔顿板实验课件，做 1000 个小球的高尔顿板试验，看一看 小球在格子中的分布形状是怎样的？ 2．计算小球落入各个格子所有可能路线的数目。 （提示：考虑它与杨 辉三角的关系） 3．计算小球落入各个格子的概率。 ” 设（如图）高尔顿（钉）板有 n 行钉，第 n 行铁钉共有（n+2）个，两个铁钉之间一个空，则有 （n+1）个空。把这（n+1）个空由左到右依次编号为 i=0，1，2，…，n 共（n+1）个空。 观察 i=0 这个空，小球从这个空落下的条件是：小球从第一次与铁钉碰撞后必须连续向左落下， 即连续 n 次选择向左落下，所以落入第 i=0 个空的概率为 P（i=0）=C 0 ）n( )0。 n（ 观察 i=1 这个空，小球从这个空落下的条件是：小球从第一次与铁钉碰撞后连续 n 次碰撞落下过 程中，有且只有一次选择向右落下，其余都只能是向左落下，所以落入第 i=1 个空的概率为 P（i=1） =C 1 ）n—1( )1。 n（ 猜想第 i 个空，小球从这个空落下的结论是：小球从第一次与铁钉碰撞后连续 n 次碰撞落下过程 中，有 i 次选择向右落下，其余都选择向左落下，所以落入第 i 个空的概率为 P（i）= C in （ ）n—i( )i。 （i=0，1，2，…，n）
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（1≤i≤n－1，n≥2）
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数Hale Waihona Puke 统计y x年期间去非洲考察，他所取得的成就使其在 1853 年获得英国皇家地理学会的金质奖章。此后他研究 过多种学科（气象学、心理学、社会学、教育学和指纹学等） ，在 1865 年后他的主要兴趣转向遗传学， 这也许是受他表兄达尔文的影响。 从 19 世纪 80 年代高尔顿就开始思考父代和子代相似，如身高、性格及其它种种特制的相似性问题。 于是他选择了父母平均身高 X 与其一子身高 Y 的关系作为研究对象。他观察了 1074 对父母及每对父 母的一个儿子，将结果描成散点图，发现趋势近乎一条直线。总的来说是父母平均身高 X 增加时，其 子的身高 Y 也倾向于增加，这是意料中的结果。但有意思的是高尔顿发现这 1074 对父母平均身高的 平均值为 68 英寸（英国计量单位，1 英寸=2.54cm）时，1074 个儿子的平均身高为 69 英寸，比父母 平均身高大 1 英寸 ， 于是他推想， 当父母平均身高为 64 英寸时， 1074 个儿子的平均身高应为 64+1=65 英寸； 若父母的身高为 72 英寸时， 他们儿子的平均身高应为 72=1=73 英寸， 但观察结果确与此不符。 高尔顿发现前一种情况是儿子的平均身高为 67 英寸，高于父母平均值达 3 英寸，后者儿子的平均身 高为 71 英寸，比父母的平均身高低 1 英寸。 高尔顿对此研究后得出的解释是自然界有一种约束力，使人类身高在一定时期是相对稳定的。如果父 母身高（或矮了） ，其子女比他们更高（矮） ，则人类身材将向高、矮两个极端分化。自然界不这样做， 它让身高有一种回归到中心的作用。例如，父母平均身高 72 英寸，这超过了平均值 68 英寸，表明这 些父母属于高的一类，其儿子也倾向属于高的一类（其平均身高 71 英寸 大于子代 69 英寸） ，但不 像父母离子代那么远（71-69<72-68） 。反之，父母平均身高 64 英寸，属于矮的一类，其儿子也倾向 属于矮的一类（其平均 67 英寸，小于子代的平均数 69 英寸） ，但不像父母离中心那么远（69 -67< 68-64） 。 因此，身高有回归于中心的趋势，由于这个性质，高尔顿就把“回归”这个词引进到问题的讨论中， 这就是“回归”名称的由来，逐渐背后人沿用成习了。
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a1，1=（ ）2= C 2 )0（ ）2—0 2 (
显然成立。 2．假设 n=k（k≥2）成立（即假设第 n 行每一个数据都成立） 。 即 ak，i= C ik （ ）k—i( )i 当 n=k+1 时，ak+1，0=
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ak，0=
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C0 ）k—0 ( )0 k（