2018届高三数学每天一练半小时：第29练 正弦定理、余弦定理含答案

1．(2016·隆化期中)在△ABC 中，如果sin A ∶sin B ∶sin C ＝2∶3∶4，那么cos C ＝________.2.(2016·银川月考)如图，设A ，B 两点在河的两岸，一测量者在A 的同侧，在所在的河岸边选定一点C ，测出AC 的距离为50m ，∠ACB ＝45°，∠CAB ＝105°后，就可以计算出A ，B 两点间的距离为______________m.3．(2016·安庆检测)在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c .若a 2－c 2＝3bc ，sin B ＝23sin C ，则A ＝________.4．(2016·苏北四市一模)在△ABC 中，已知AB ＝3，A ＝120°，且△ABC 的面积为1534，那么边BC 的长为________．5．(2016·常州一模)在△ABC 中，已知内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若tan A＝7tan B ，a 2－b 2c ＝3，则c ＝________.6．(2016·东营期中)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，S 表示△ABC 的面积，若a cos B ＋b cos A ＝c sin C ，S ＝14(b 2＋c 2－a 2)，则B ＝________.7．(2016·南京、盐城、徐州二模)如图，在△ABC 中，D 是BC 边上一点，已知∠B ＝60°，AD ＝2，AC ＝10，DC ＝2，那么AB ＝________.8．已知点O 是△ABC 的外接圆圆心，且AB ＝3，AC ＝4.若存在非零实数x ，y ，使得AO→＝xAB →＋yAC →，且x ＋2y ＝1，则cos ∠BAC 的值为________． 9．△ABC 中，A 、B 、C 是其内角，若sin2A ＋sin(A －C )－sin B ＝0，则△ABC 的形状是________________三角形．10．(2016·惠州二调)在△ABC 中，设角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且∠C ＝60°，c ＝3，则a ＋23cos A sin B＝________. 11．(2016·佛山期中)如图，一艘船以每小时15km 的速度向东航行，船在A 处看到一灯塔M 在北偏东60°方向，行驶4h 后，船到达B 处，看到这个灯塔在北偏东15°方向，这时船与灯塔的距离为________km.12．(2016·吉安期中)在△ABC 中，D 为BC 边上一点，若△ABD 是等边三角形，且AC ＝43，则△ADC 的面积的最大值为________．13．(2016·如东高级中学期中)在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，a ＝8，b ＝10，△ABC 的面积为203，则△ABC 的最大角的正切值是________．14．(2016·南通二模)若一个钝角三角形的三个内角成等差数列，且最大边与最小边之比为m ，则实数m 的取值范围是________．答案精析1．－14 2.502 3.π6 4.7 5.46．45°解析 由正弦定理可知a cos B ＋b cos A ＝2R sin A cos B ＋2R sin B cos A ＝2R sin(A ＋B )＝2R sin C ＝c sin C ＝2R sin C ·sin C ，∴sin C ＝1，C ＝90°.∴S ＝12ab ＝14(b 2＋c 2－a 2)，解得a ＝b ，因此B ＝45°. 7.263解析 在△ADC 中，AD ＝2，AC ＝10，DC ＝2，则cos ∠ADC ＝－22，所以∠ADC ＝135°，从而在△ABD 中，∠ADB ＝45°.又因为∠B ＝60°，由正弦定理得AD sin B ＝AB sin ∠ADB ，即232＝AB 22，解得AB ＝263. 8.23解析 设线段AC 的中点为点D ，则直线OD ⊥AC .因为AO→＝xAB →＋yAC →，所以AO →＝xAB →＋2yAD →. 又x ＋2y ＝1，所以点O 、B 、D 三点共线，即点B 在线段AC 的中垂线上，则AB ＝BC ＝3.在△ABC 中，由余弦定理，得cos ∠BAC ＝32＋42－322×3×4＝23. 9．等腰或直角解析 因为sin2A ＋sin(A －C )－sin B＝sin2A ＋sin(A －C )－sin(A ＋C )＝2sin A cos A －2sin C cos A＝2cos A (sin A －sin C )＝0，所以cos A ＝0或sin A ＝sin C ，所以A ＝π2或A ＝C .故△ABC 为等腰或直角三角形．10．4解析 由正弦定理知a sin A ＝c sin C ＝2，所以a ＝2sin A ，代入得原式＝2sin A ＋23cos A sin B＝4·sin (A ＋60°)sin B ＝4.11．30 2解析 依题意有AB ＝15×4＝60，∠MAB ＝30°，∠AMB ＝45°，在△AMB 中，由正弦定理得60sin45°＝BM sin30°，解得BM ＝30 2.12．4 3解析 在△ACD 中，cos ∠ADC ＝AD 2＋DC 2－AC 22AD ·DC ＝AD 2＋DC 2－482AD ·DC ＝－12，整理得AD 2＋DC 2＝48－AD ·DC ≥2AD ·DC ，∴AD ·DC ≤16，当且仅当AD ＝CD 时等号成立，∴△ADC 的面积S ＝12AD ·DC ·sin ∠ADC ＝34AD ·DC ≤4 3.13.533解析 由题意得203＝12×8×10×sin C ⇒sin C ＝32⇒C ＝π3或C ＝2π3(舍)，由余弦定理得c 2＝82＋102－2×8×10×12＝84，由三角形中大边对大角知角B 最大，则cos B ＝82＋84－1022×8×84＝384，所以tan B ＝533. 14．(2，＋∞)解析 设A 为钝角，C 为最小角，则A ＋C ＝120°，C ∈(0°，30°)，由正弦定理得m＝a c ＝sin A sin C ＝sin (120°－C )sin C ＝32tan C ＋12.而0＜tan C ＜33，∴1tan C ＞3，则m ＞2.。

１．解 化弦变形和余弦定理求角． （１）由3cos 4B =得sin B =， 由2b ac =得，2sin sin sin B A C =，于是cot cot A C +cos sin cos sin sin sin A C C A A C +2sin()sin A C B +=2sin 1sin sin B B B ===． （２）由32BA BC ⋅=得3cos 2ca B =，又3cos 4B =所以2ca =，即22b =．由余弦定理2222cos b a c ac B =+-，即2222cos 5a c b ac B +=+=，所以2()9a c +=，即3a c +=．２．解 消元化简．由sin (sin cos )sin 0A B B C +-=消去角C 得 sin sin sin cos sin()0A B A B A B +-+=，即sin sin sin cos sin cos cos sin 0A B A B A B A B +--=，即sin (sin cos )0B A A -=，从而有sin cos A A =，即4A π=． 所以34B C π+=，再消去角C 得3sin cos 2()04B B π+-=， 即sin sin 20,sin (12cos )0B B B B -=-=，1cos ,23B B π==． 最后角512C π=． ３．证明 由正弦定理化边为角．222222224(sin sin )4(cos cos )cos cos cos cos cos cos a b R A B R B A A B A B A B---==+++ 24(cos cos )R B A =-，同理2224(cos cos )cos cos b c R C B B C -=-+， 2224(cos cos )cos cos c a R A B C A-=-+，上面三式相加即得证． 4. 解：设00,60120MOA θθ∠=≤≤， 在MOA ∆、NOA ∆中分别得06sin(30)OM θ=+，06sin(30)ON θ=-，所以2211OM ON +2222212[sin (30)sin (30)]a θθ=++-26(2cos 2)a θ=-， 由θ角的范围可知11cos 22θ-≤≤-，所以其最大值是218a ，最小值为215a ． 5. 解 利用正余弦定理及整数的性质求解．32C A B B πππ=--=->,cos 62B B π∴<>且cos B 是有理数，令cos ,,,,(,)1n B m n m n N m n m =>∈=，由67728<<，故8m ≥． 又22sin 3(34sin )(4cos 1)sin b c B b B b B B =⋅=-=-224(1)n b m=-， 故224bn m 是整数，又(,)1m n =，故24b m 为整数，由8m ≥知16b ≥，再由cos B >，得21]32,c >-=故32c ≥．sin 22cos 21627sin 2b B a b B B ==≥⋅⋅=>，故28a ≥， 即28163377a bc ++≥++=．即周长的最小值为77．此时 28,16,33a b c ===，由余弦定理求得177cos ,cos 328A B ==，故cos cos 2A B =，即满足2A B =，又171cos 322A =>7,cos 8B =>即,63B A ππ<<，从而角C 是钝角，满足条件． 故ABC ∆周长的最小值是77，此时28,16,33a b c ===．。

正弦定理、余弦定理和解斜三角形【注】实战练对应本讲全部内容，（A ）和（B ）同学们可根据自己的学习情况选定一组（或由老师指定），其中（B ）组题对解题能力要求高于（A ）组一、填空题（3⨯10=30分）1．在ABC Δ中，已知613πB ,b ,a ===，则=c ___________ 2．已知等腰三角形的底边上的高与底边长之比为34:，则它的顶角的正切值是__________3．在ABC Δ中，若2=++++B cos A cos B sin A cos B sin A cos B cos A sin B sin A sin ，那么三角形的形状为_______________4．在ABC Δ中，()()211=++B cot A cot ，则=C sin log 2_______________5．在ABC Δ中，313===S ,b ,πA ，则=++++Csin B sin A sin c b a 6．在锐角ABC Δ中，若11-=+=t B tan ,t A tan ，则t 的取值范围是__________7．在ABC Δ中，若1222=-+Csin B sin A sin C sin B sin ，则=A ________________ 8．在ABC Δ中，已知42πA ,a ==，若此三角形有两解，则b 的取值范围是__________________ 9．(A)在ABC Δ中，ac b ,B C A ==+22，则三角形的形状为________________(B) 已知A B C π++=，且sin cos cos A B C =⋅，则在cot cot tan tan B C B C ++、、s i nB+s i nC 及cos cos B C +中必为常数的有_________10．(A)在ABC Δ中，21==a ,c ，则C 的取值范围是__________________(B)已知三角形的三边长分别是()2223,33,20a a a a a a ++++>，则三角形的最大角等于______________二、 选择题 （3⨯4=12分）11．在ABC Δ中，B cos A cos B sin A sin +=+是2πC = （ ） A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件12．在ABC Δ中，若543::C sin :B sin :A sin =则此三角形是 （ ）A. 等腰三角形B.直角三角形C.锐角三角形D.钝角三角形13．在ABC Δ中，若232222b A cos c C cos a =+，那么其三边关系式为 （ ） A.c b a 2=+ B. b c a 2=+ C.a c b 2=+ D. b c a 322=+14．(A)在ABC Δ中，c ,b ,a 为三角形三条边，且方程02222=++-b a cx x 有两个相等的实数根，则该三角形是 （ ）A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形(B)已知关于x 的方程2cos cos 1cos 0x x A B C +⋅-+=的两根之和等于两根之积的一半，则ABC Δ是 （ ）A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰或直角三角形D.等腰直角三角形三、解答题 （10+10+12+12+14=58分）15．在ABC Δ中，若22A cos C sin B sin =，试判断三角形的形状16．在ABC Δ中，若()()ac c b a c b a =+-++，求B 。

高考数学《正弦定理、余弦定理及解三角形》真题练习含答案一、选择题1．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，若a ＝2 ，b ＝3 ，B ＝π3，则A ＝( )A ．π6B ．56 πC ．π4D ．π4 或34 π答案：C解析：由正弦定理得a sin A ＝b sin B ，∴sin A ＝a sin B b ＝2×323＝22 ，又a <b ，∴A为锐角，∴A ＝π4.2．在△ABC 中，b ＝40，c ＝20，C ＝60°，则此三角形解的情况是( ) A ．有一解 B ．有两解C ．无解D ．有解但解的个数不确定 答案：C解析：由正弦定理b sin B ＝c sin C ，∴sin B ＝b sin Cc ＝40×3220 ＝3 >1，∴角B 不存在，即满足条件的三角形不存在．3．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a ＝2，b ＝3，c ＝7 ，则角C ＝( )A ．π6B ．π4C ．π3D ．π2答案：C解析：由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝4＋9－72×2×3 ＝12，又C 为△ABC 内角，∴C ＝π3 .4．已知△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a 2＝b 2＋c 2－bc ，bc ＝4，则△ABC 的面积为( )A ．12 B ．1 C ．3 D ．2答案：C解析：由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，又a 2＝b 2＋c 2－bc ，∴2cos A ＝1，cos A ＝12 ，∴sin A ＝1－cos 2A ＝32 ，∴S △ABC ＝12 bc sin A ＝12 ×4×32＝3 . 5．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 的对边．若b sin A ＝3c sin B ，a ＝3，cos B ＝23，则b ＝( )A.14 B ．6 C ．14 D ．6 答案：D解析：∵b sin A ＝3c sin B ，由正弦定理得ab ＝3bc ，∴a ＝3c ，又a ＝3，∴c ＝1，由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac ·cos B ＝9＋1－2×3×23＝6，∴b ＝6 .6．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，则△ABC 的形状为( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不确定 答案：B解析：∵b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，∴sin B cos C ＋sin C cos B ＝sin 2A ，∴sin A ＝1，又A 为△ABC 的内角，∴A ＝90°，∴△ABC 为直角三角形．7．钝角三角形ABC 的面积是12，AB ＝1，BC ＝2 ，则AC ＝( )A ．5B ．5C ．2D ．1 答案：B解析：∵S △ABC ＝12 AB ×BC ×sin B ＝22 sin B ＝12 ，∴sin B ＝22，若B ＝45°，由余弦定理得AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos 45°＝1＋2－2×2 ×22 ＝1，则AC ＝1，则AB 2＋AC 2＝BC 2，△ABC 为直角三角形，不合题意；当B ＝135°时，由余弦定理得AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos 135°＝1＋2＋2×2 ×22＝5，∴AC ＝5 .8．如图，设A ，B 两点在河的两岸，一测量者在A 所在的同侧河岸边选定一点C ，测出AC 的距离为50 m ，∠ACB ＝45°，∠CAB ＝105°后，就可以计算出A ，B 两点的距离为( )A ．502 mB ．503 mC ．252 mD ．2522m答案：A解析：由正弦定理得AC sin B ＝ABsin C，∴AB ＝AC ·sin Csin B ＝50×22sin （180°－45°－105°） ＝502 .9．[2024·全国甲卷(理)]记△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知B ＝60°，b 2＝94ac ，则sin A ＋sin C ＝( )A ．32 B ．2C ．72D ．32答案：C解析：∵b 2＝94 ac ，∴由正弦定理可得sin 2B ＝94sin A sin C ．∵B ＝60°，∴sin B ＝32 ，∴34 ＝94 sin A sin C ，∴sin A sin C ＝13.由余弦定理可得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝a 2＋c 2－ac ，将b 2＝94 ac 代入整理得，a 2＋c 2＝134ac ，∴由正弦定理得sin 2A ＋sin 2C ＝134 sin A sin C ，则(sin A ＋sin C )2＝sin 2A ＋sin 2C ＋2sin A sin C ＝134 sin A sin C＋2sin A sin C ＝214 sin A sin C ＝214 ×13 ＝74 ，∴sin A ＋sin C ＝72 或－72(舍).故选C.二、填空题10．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若(a ＋b ＋c )(a －b ＋c )＝ac ，则B ＝________．答案：23π解析：由(a ＋b ＋c )(a －b ＋c )＝ac 得a 2＋c 2－b 2＋ac ＝0.由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝－12 ，又B 为△ABC 的内角，∴B ＝23π.11．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且c ＝a cos B ，①则A ＝________；②若sin C ＝13，则cos (π＋B )＝________．答案：①90° ②－13解析：①∵c ＝a ·cos B ，∴c ＝a ·a 2＋c 2－b 22ac，得a 2＝b 2＋c 2，∴∠A ＝90°；②∵cos B ＝cos (π－A －C )＝sin C ＝13 .∴cos (π＋B )＝－cos B ＝－sin C ＝－13 .12．[2023·全国甲卷(理)]在△ABC 中，∠BAC ＝60°，AB ＝2，BC ＝6 ，∠BAC 的角平分线交BC 于D ，则AD ＝________．答案：2 解析：方法一 由余弦定理得cos 60°＝AC 2＋4－62×2AC ，整理得AC 2－2AC －2＝0，得AC＝1＋3 .又S △ABC ＝S △ABD ＋S △ACD ，所以12 ×2AC sin 60°＝12 ×2AD sin 30°＋12 AC ×AD sin30°，所以AD ＝23AC AC ＋2 ＝23×（1＋3）3＋3＝2.方法二 由角平分线定理得BD AB ＝CD AC ，又BD ＋CD ＝6 ，所以BD ＝26AC ＋2，CD ＝6AC AC ＋2 .由角平分线长公式得AD 2＝AB ×AC －BD ×CD ＝2AC －12AC（AC ＋2）2 ，又由方法一知AC ＝1＋3 ，所以AD 2＝2＋23 －12×（1＋3）（3＋3）2＝2＋23 －(23 －2)＝4，所以AD ＝2.[能力提升]13．(多选)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a ＝8，b <4，c ＝7，且满足(2a －b )cos C ＝c ·cos B ，则下列结论正确的是( )A ．C ＝60°B ．△ABC 的面积为63 C ．b ＝2D ．△ABC 为锐角三角形 答案：AB解析：∵(2a －b )cos C ＝c cos B ，∴(2sin A －sin B )cos C ＝sin C cos B ，∴2sin A cos C ＝sin B cos C ＋cos B sin C ，即2sin A cos C ＝sin (B ＋C )，∴2sin A cos C ＝sin A ．∵在△ABC 中，sin A ≠0，∴cos C ＝12 ，∴C ＝60°，A 正确．由余弦定理，得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，得49＝64＋b 2－2×8b cos 60°，即b 2－8b ＋15＝0，解得b ＝3或b ＝5，又b <4，∴b ＝3，C 错误．∴△ABC 的面积S ＝12 ab sin C ＝12 ×8×3×32 ＝63 ，B 正确．又cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc＝9＋49－642×3×7<0，∴A 为钝角，△ABC 为钝角三角形，D 错误． 14．[2023·全国甲卷(理)]已知四棱锥P ­ABCD 的底面是边长为4的正方形，PC ＝PD ＝3，∠PCA ＝45°，则△PBC 面积为( )A ．22B ．32C ．42D ．62 答案：C解析：如图，过点P 作PO ⊥平面ABCD ，垂足为O ，取DC 的中点M ，AB 的中点N ，连接PM ，MN ，AO ，BO .由PC ＝PD ，得PM ⊥DC ，又PO ⊥DC ，PO ∩PM ＝P ，所以DC ⊥平面POM ，又OM ⊂平面POM ，所以DC ⊥OM .在正方形ABCD 中，DC ⊥NM ，所以M ，N ，O 三点共线，所以OA ＝OB ，所以Rt △P AO ≌Rt △PBO ，所以PB ＝P A .在△P AC 中，由余弦定理，得P A ＝PC 2＋AC 2－2PC ·AC cos 45° ＝17 ，所以PB ＝17 .在△PBC 中，由余弦定理，得cos ∠PCB ＝PC 2＋BC 2－BP 22PC ·BC ＝13 ，所以sin ∠PCB ＝223 ，所以S △PBC ＝12 PC ·BCsin ∠PCB ＝42 ，故选C.15．[2022·全国甲卷(理)，16]已知△ABC 中，点D 在边BC 上，∠ADB ＝120°，AD ＝2，CD ＝2BD .当ACAB取得最小值时，BD ＝________．答案：3 －1解析：以D 为坐标原点，DC 所在的直线为x 轴，DC →的方向为x 轴的正方向，过点D 且垂直于DC 的直线为y 轴，建立平面直角坐标系(图略)，易知点A 位于第一象限．由AD ＝2，∠ADB ＝120°，得A (1，3 ).因为CD ＝2BD ，所以设B (－x ，0)，x ＞0，则C (2x ，0).所以AC＝（2x －1）2＋（0－3）2＝4x 2－4x ＋4，AB ＝（－x －1）2＋（0－3）2＝x 2＋2x ＋4 ，所以⎝⎛⎭⎫AC AB 2＝4x 2－4x ＋4x 2＋2x ＋4.令f (x )＝4x 2－4x ＋4x 2＋2x ＋4，x ＞0，则f ′(x )＝（4x 2－4x ＋4）′（x 2＋2x ＋4）－（4x 2－4x ＋4）（x 2＋2x ＋4）′（x 2＋2x ＋4）2＝（8x －4）（x 2＋2x ＋4）－（4x 2－4x ＋4）（2x ＋2）（x 2＋2x ＋4）2＝12（x 2＋2x －2）（x 2＋2x ＋4）2 ．令x 2＋2x －2＝0，解得x ＝－1－3 (舍去)或x ＝3 －1.当0＜x ＜3 －1时，f ′(x )＜0，所以f (x )在(0，3 －1)上单调递减；当x ＞3 －1时，f ′(x )＞0，所以f (x )在(3 －1，＋∞)上单调递增．所以当x ＝3 －1时，f (x )取得最小值，即ACAB 取得最小值，此时BD ＝3 －1.16．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若△ABC 的面积为S ，且6S ＝(a ＋b )2－c 2，则tan C ＝________．答案：125解析：由余弦定理得2ab cos C ＝a 2＋b 2－c 2，又6S ＝(a ＋b )2－c 2，所以6×12 ab sin C ＝(a ＋b )2－c 2＝a 2＋b 2－c 2＋2ab ＝2ab cos C ＋2ab ，化简得3sin C ＝2cos C ＋2，结合sin 2C ＋cos 2C ＝1，解得sin C ＝1213 ，cos C ＝513 ，所以tan C ＝125.。

4-61．(2018·石家庄二检)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，则“sin A >sinB ”是“a >b ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】 设△ABC 外接圆的半径为R ，若sin A >sin B ，则2R sin A >2R sin B ，即a >b ；若a >b ，则a 2R >b2R ，即sin A >sin B ，所以在△ABC 中，“sin A >sin B ”是“a >b ”的充要条件，故选C.【答案】 C2．(2016·全国乙卷)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知a ＝5，c ＝2，cos A ＝23，则b 等于( )A. 2B. 3 C ．2D ．3【解析】 由余弦定理，得5＝b 2＋22－2×b ×2×23，解得b ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＝－13舍去，故选D.【答案】 D3．(2018·西安模拟)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，且sin 2B ＝sin 2C ，则△ABC 的形状为( )A ．等腰三角形B ．锐角三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形【解析】 由b cos C ＋c cos B ＝a sin A ， 得sin B cos C ＋sin C cos B ＝sin 2A ， ∴sin(B ＋C )＝sin 2A ，即sin A ＝sin 2A ，在三角形中sin A ≠0， ∴sin A ＝1，∴A ＝90°， 由sin 2B ＝sin 2C ，知b ＝c ， 综上可知△ABC 为等腰直角三角形． 【答案】 D4．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，若b ＋c ＝2a ，3sin A ＝5sin B ，则角C 等于( )A.2π3 B.π3 C.3π4D.5π6【解析】 因为3sin A ＝5sin B ，所以由正弦定理可得3a ＝5b .因为b ＋c ＝2a ，所以c ＝2a －35a ＝75a .令a ＝5，b ＝3，c ＝7，则由余弦定理c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，得49＝25＋9－2×3×5cos C ，解得cos C ＝－12，所以C ＝2π3.【答案】 A5．已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且c －b c －a ＝sin Asin C ＋sin B，则B 等于( )A.π6 B.π4 C.π3D.3π4【解析】 根据正弦定理a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝2R ，得c －b c －a ＝sin A sin C ＋sin B ＝ac ＋b， 即a 2＋c 2－b 2＝ac ，得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝12，故B ＝π3，故选C.【答案】 C6．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知b ＝2，B ＝π6，C ＝π4，则△ABC的面积为( )A ．23＋2 B.3＋1 C ．23－2D.3－1【解析】 ∵b ＝2，B ＝π6，C ＝π4.由正弦定理b sin B ＝csin C，得c ＝b sin Csin B ＝2×2212＝22，A ＝π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋π4＝712π，∴sin A ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋π3＝sin π4cos π3＋cos π4sin π3＝6＋24. 则S △ABC ＝12bc ·sin A ＝12×2×22×6＋24＝3＋1.【答案】 B7．(2016·全国甲卷)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos A ＝45，cosC ＝513，a ＝1，则b ＝________．【解析】 在△ABC 中，由cos A ＝45，cos C ＝513，可得sin A ＝35，sin C ＝1213，sin B＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A ·sin C ＝6365，由正弦定理得b ＝a sin B sin A ＝2113.【答案】 21138．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝3ac ，则角B 的值为________．【解析】 由余弦定理，得a 2＋c 2－b 22ac＝cos B ，结合已知等式得cos B ·tan B ＝32， ∴sin B ＝32，∴B ＝π3或2π3. 【答案】 π3或2π39．(2018·昆明检测)已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，若cos B ＝45，a ＝10，△ABC 的面积为42，则b ＋asin A的值等于________． 【解析】 依题可得sin B ＝35，又S △ABC ＝12ac sin B ＝42，则c ＝14.故b ＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝62， 所以b ＋a sin A ＝b ＋bsin B ＝16 2.【答案】 16 210．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足a sin B ＝3b cos A ．若a ＝4，则△ABC 周长的最大值为________．【解析】 由正弦定理a sin A ＝bsin B，可将a sin B ＝3b cos A 转化为sin A sin B ＝3sin B cos A. 又在△ABC 中，sin B >0，∴sin A ＝3cos A ， 即tan A ＝ 3. ∵0<A <π，∴A ＝π3.由余弦定理得a 2＝16＝b 2＋c 2－2bc cos A＝(b ＋c )2－3bc ≥(b ＋c )2－3⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋c 22，则(b ＋c )2≤64，即b ＋c ≤8(当且仅当b ＝c ＝4时等号成立)， ∴△ABC 周长＝a ＋b ＋c ＝4＋b ＋c ≤12，即最大值为12. 【答案】 1211. (2017·全国Ⅱ卷)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin(A ＋C )＝8sin 2B2.(1)求cos B ；(2)若a ＋c ＝6，△ABC 的面积为2，求b .【解析】 (1)由题设及A ＋B ＋C ＝π得sin B ＝8sin 2B2，故sin B ＝4(1－cos B )．上式两边平方，整理得17cos 2B －32cos B ＋15＝0， 解得cos B ＝1(舍去)，或cos B ＝1517.故cos B ＝1517.(2)由cos B ＝1517得sin B ＝817，故S △ABC ＝12ac sin B ＝417ac .又S △ABC ＝2，则ac ＝172.由余弦定理及a ＋c ＝6得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝(a ＋c )2－2ac (1＋cos B )＝36－2×172×⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1517＝4.所以b ＝2.12．(2018·云南二检)已知a ，b ，c 分别是△ABC 的内角A ，B ，C 对的边，b ＝ 3. (1)若C ＝5π6，△ABC 的面积为32，求c ；(2)若B ＝π3，求2a －c 的取值范围．【解析】 (1)∵C ＝5π6，△ABC 的面积为32，b ＝3，∴12ab sin C ＝12×a ×3×12＝32. ∴a ＝2.由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝4＋3－2×2×3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝13. ∴c ＝13.(2)由正弦定理得a sin A ＝b sin B ＝csin C ，∴a ＝b sin A sin B ＝2sin A ，c ＝b sin Csin B＝2sin C . ∴2a －c ＝4sin A －2sin C ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－C －2sin C＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π3cos C －cos 2π3sin C －2sin C＝23cos C . ∵B ＝π3，∴0<C <2π3，∴－12<cos C <1，∴－3<23cos C <23，∴2a －c 的取值范围为(－3，23).。

一、选择题1．(2016·隆化期中)在△ABC 中，如果sin A ∶sin B ∶sin C ＝2∶3∶4，那么cos C 等于( ) A.23 B ．－23C ．－13D ．－142．北京2008年第29届奥运会开幕式上举行升旗仪式，在坡度15°的看台上，同一列上的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60°和30°，第一排和最后一排的距离为106米(如图所示)，旗杆底部与第一排在一个水平面上，已知国歌长度为50秒，升旗手匀速升旗的速度为( )A.35(米/秒) B.35(米/秒) C.65(米/秒) D.15(米/秒) 3．(2016·安庆检测)在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c .若a 2－c 2＝3bc ，sin B ＝23sin C ，则A 等于( ) A.56π B.23π C.π3D.π64．(2017·武汉调研)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且b 2＝a 2＋bc ，A ＝π6，则角C 等于( ) A.π6 B.π4 C.3π4D.π4或3π45．(2016·衡水中学第二学期调研)设锐角△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ＝1，B ＝2A ，则b 的取值范围为( ) A ．(2，3) B ．(1，3) C ．(2，2)D ．(0,2)6．(2016·东营期中)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，S 表示△ABC 的面积，若a cos B ＋b cos A ＝c sin C ，S ＝14(b 2＋c 2－a 2)，则B 等于( )A ．90°B ．60°C ．45°D ．30°7．(2016·山西大学附中期中)已知三个向量m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，cos A 2，n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b ，cos B 2，p ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，cos C 2共线，其中a 、b 、c 、A 、B 、C 分别是△ABC 的三条边及相对三个角，则△ABC 的形状是( ) A ．等腰三角形 B ．等边三角形 C ．直角三角形D ．等腰直角三角形8．已知点O 是△ABC 的外接圆圆心，且AB ＝3，AC ＝4.若存在非零实数x ，y ，使得AO →＝xAB →＋yAC →，且x ＋2y ＝1，则cos ∠BAC 的值为( ) A.23 B.33C.23D.13二、填空题9．△ABC 中，A 、B 、C 是其内角，若sin 2A ＋sin(A －C )－sin B ＝0，则△ABC 的形状是__________________．10．(2016·惠州二调)在△ABC 中，设角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且∠C ＝60°，c ＝3，则a ＋23cos Asin B＝________.11．(2016·佛山期中)如图，一艘船以每小时15 km 的速度向东航行，船在A 处看到一灯塔M在北偏东60°方向，行驶4 h后，船到达B处，看到这个灯塔在北偏东15°方向，这时船与灯塔的距离为________ km.12．(2016·吉安期中)在△ABC中，D为BC边上一点，若△ABD是等边三角形，且AC＝43，则△ADC的面积的最大值为________.答案精析1．D [由正弦定理可得sin A ∶sin B ∶sin C ＝a ∶b ∶c ＝2∶3∶4，可设a ＝2k ，b ＝3k ，c＝4k (k >0)，由余弦定理可得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝4k 2＋9k 2－16k 22·2k ·3k ＝－14.]2．A [由条件得△ABD 中，∠DAB ＝45°，∠ABD ＝105°，∠ADB ＝30°，AB ＝106，由正弦定理得BD ＝sin ∠DABsin ∠ADB ·AB ＝203，则在Rt △BCD 中，CD ＝203×sin 60°＝30，所以速度v ＝3050＝35(米/秒)，故选A.]3．D [已知sin B ＝23sin C ，利用正弦定理化简得b ＝23c ，代入a 2－c 2＝3bc ，得a 2－c 2＝6c 2，即a ＝7c ，∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12c 2＋c 2－7c 243c2＝32. ∵A 为三角形内角，∴A ＝π6，故选D.]4．B [在△ABC 中，由余弦定理，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，即32＝b 2＋c 2－a 22bc，所以b 2＋c 2－a 2＝3bc ，又b 2＝a 2＋bc ，所以c 2＋bc ＝3bc ，所以c ＝(3－1)b <b ，a ＝2－3b ， 所以cos C ＝b 2＋a 2－c 22ab ＝22，所以C ＝π4.]5．A [∵B ＝2A ，∴sin B ＝sin 2A ， ∴sin B ＝2sin A cos A ，∴b ＝2a cos A ， 又∵a ＝1，∴b ＝2cos A . ∵△ABC 为锐角三角形， ∴0<A <π2，0<B <π2，0<C <π2，即0<A <π2，0<2A <π2，0<π－A －2A <π2，∴π6<A <π4，∴22<cos A <32， ∴2<2cos A <3，∴b ∈(2，3)．]6．C [由正弦定理可知a cos B ＋b cos A ＝2R sin A cos B ＋2R sin B cos A ＝2R sin(A ＋B )＝2R sinC ＝2R sin C ·sin C ，∴sin C ＝1，C ＝90°.∴S ＝12ab ＝14(b 2＋c 2－a 2)，解得a ＝b ，因此B ＝45°.故选C.]7．B [∵m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，cos A 2与n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b ，cos B 2共线，∴a cos B 2＝b cos A2，由正弦定理，得sin A cos B 2＝sin B cos A2， ∵sin A ＝2sin A 2cos A 2，sin B ＝2sin B 2cos B2，∴2sin A 2cos A 2cos B 2＝2sin B 2cos B 2cos A2，化简，得sin A 2＝sin B2.又0<A 2<π2，0<B 2<π2，∴A 2＝B2，可得A ＝B . 同理，由n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b ，cos B 2与p ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，cos C 2共线得到B ＝C ，∴A ＝B ＝C ，可得△ABC 是等边三角形．] 8．A [设线段AC 的中点为点D ，则直线OD ⊥AC . 因为AO →＝xAB →＋yAC →，所以AO →＝xAB →＋2yAD →. 又x ＋2y ＝1，所以点O 、B 、D 三点共线， 即点B 在线段AC 的中垂线上，则AB ＝BC ＝3.在△ABC 中，由余弦定理，得cos ∠BAC ＝32＋42－322×3×4＝23.故选A.]9．等腰或直角三角形解析 因为sin 2A ＋sin(A －C )－sin B ＝sin 2A ＋sin(A －C )－sin(A ＋C ) ＝2sin A cos A －2sin C cos A ＝2cos A (sin A －sin C )＝0， 所以cos A ＝0或sin A ＝sin C ， 所以A ＝π2或A ＝C .故△ABC 为等腰或直角三角形． 10．4解析 由正弦定理知a sin A ＝csin C＝2，所以a ＝2sin A ，代入得原式＝2sin A ＋23cos A sin B ＝4·sin(A ＋60°)sin B ＝4.11．30 2解析 依题意有AB ＝15×4＝60，∠MAB ＝30°，∠AMB ＝45°， 在△AMB 中，由正弦定理得60sin 45°＝BMsin 30°，解得BM ＝30 2.12．4 3解析 在△ACD 中，cos ∠ADC ＝AD 2＋DC 2－AC 22AD ·DC ＝AD 2＋DC 2－482AD ·DC ＝－12，整理得AD 2＋DC 2＝48－AD ·DC ≥2AD ·DC ， ∴AD ·DC ≤16，当且仅当AD ＝CD 时等号成立， ∴△ADC 的面积S ＝12AD ·DC ·sin ∠ADC ＝34AD ·DC ≤4 3.。

解三角形【考纲说明】1、掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题。

2、能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题【知识梳理】一、正弦定理1、正弦定理：在△ABC 中，R CcB b A a 2sin sin sin ===（R 为△ABC 外接圆半径）。

2、变形公式：（1）化边为角：2sin ,2sin ,2sin ;a R A b R B c R C === （2）化角为边：sin ,sin ,sin ;222a b cA B C R R R=== （3）::sin :sin :sin a b c A B C = （4）2sin sin sin sin sin sin a b c a b c R A B C A B C++====++.3、三角形面积公式：21111sin sin sin 2sin sin sin 22224ABCabc S ah ab C ac B bc A R A B C R∆====== 4、正弦定理可解决两类问题：（1）两角和任意一边，求其它两边和一角；（解唯一）（2）两边和其中一边对角，求另一边的对角，进而可求其它的边和角. （解可能不唯一） 二、余弦定理1、余弦定理：A bc c b a cos 2222-+=⇔bcac b A 2cos 222-+=B ac a c b cos 2222-+=⇔cab ac B 2cos 222-+=C ab b a c cos 2222-+=⇔abc b a C 2cos 222-+=2、余弦定理可以解决的问题：（1）已知三边，求三个角；（解唯一）（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角；（解唯一）：（3）两边和其中一边对角，求另一边，进而可求其它的边和角.（解可能不唯一） 三、正、余弦定理的应用 1、仰角和俯角在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角（如图1）.图1 图2 图3 图42、方位角从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B 点的方位角为α（如图2）. 3、方向角相对于某一正方向的水平角（如图3）.4、坡角：坡面与水平面所成的锐二面角叫坡角（如图4）. 坡度：坡面的铅直高度与水平宽度之比叫做坡度（或坡比）【经典例题】1、（2012天津理）在ABC ∆中,内角A ,B ,C 所对的边分别是,,a b c ,已知8=5b c ,=2C B ,则cos C =（ ）A ．725B ．725-C ．725±D ．2425【答案】A 【解析】85,b c =由正弦定理得8sin 5sin B C =，又2C B =，8sin 5sin 2B B ∴=，所以8sin 10sin cos B B B =，易知247sin 0,cos ,cos cos 22cos 1525B BC B B ≠∴===-=. 2、（2009广东文）已知ABC ∆中，C B A ∠∠∠,,的对边分别为,,a b c 若a c ==75A ∠=o ，则b =( )A ．2B ．4＋ C ．4— D【答案】 A【解析】0sin sin 75sin(3045)sin 30cos 45sin 45cos304A ==+=+=由a c ==可知,075C ∠=,所以030B ∠=,1sin 2B =由正弦定理得1sin 2sin 2ab B A=⋅==,故选A3、（2011浙江）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分,,a b c .若cos sin a A b B =，则2sin cos cos A A B +=( )A ．-12 B ．12C ． -1D ． 1 【答案】D【解析】∵B b A a sin cos =，∴B A A 2sin cos sin =，∴1cos sin cos cos sin 222=+=+B B B A A .4、（2012福建文）在ABC ∆中,已知60,45,BAC ABC BC ∠=︒∠=︒=则AC =_______.【解析】由正弦定理得sin 45AC AC =⇒=︒5、（2011北京）在ABC 中，若15,,sin 43b B A π=∠==，则a = . 【答案】325 【解析】：由正弦定理得sin sin a b A B =又15,,sin 43b B A π=∠==所以5,13sin 34a a π==6、（2012重庆理）设ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,abc ,且35cos ,cos ,3,513A B b ===则c =______ 【答案】145c =【解析】由35412cos ,cos sin ,sin 513513A B A B ==⇒==, 由正弦定理sin sin a b A B=得43sin 13512sin 513b A a B ⨯===, 由余弦定理2222142cos 25905605a cb bc A c c c =+-⇒-+=⇒=7、（2011全国）△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c.己知sin csin sin sin a A C C b B +=. （I ）求B ； （Ⅱ）若075,2,A b ==a c 求，. 【解析】（I）由正弦定理得222a cb +=由余弦定理得2222cos b a c ac B =+-.故cos B =，因此45B = （II ）sin sin(3045)A =+sin30cos 45cos30sin 45=+4=故sin 1sin A a b B =⨯==+ sin sin 6026sin sin 45C c b B =⨯=⨯=8、（2012江西文）△ABC 中,角A,B,C 的对边分别为a,b,c.已知3cos(B-C)-1=6cosBcosC.（1）求cosA;（2）若a=3,△ABC 的面积为求b,c.【解析】（1） 3(cos cos sin sin )16cos cos 3cos cos 3sin sin 13cos()11cos()3B C B C B C B C B C B C A π+-=⎧⎪-=-⎪⎪+=-⎨⎪⎪-=-⎪⎩则1cos3A =. （2）由（1）得sin A =,由面积可得bc=6①,则根据余弦定理 2222291cos 2123b c a b c A bc +-+-===则2213b c +=②,①②两式联立可得32b a =⎧⎪⎨=⎪⎩或32a b =⎧⎪⎨=⎪⎩.9、（2011安徽）在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 所对的边长，12cos()0B C ++=，求边BC 上的高.【解析】：∵A ＋B ＋C ＝180°，所以B ＋C ＝A ， 又12cos()0B C ++=，∴12cos(180)0A +-=， 即12cos 0A -=，1cos 2A =， 又0°<A<180°，所以A ＝60°.在△ABC 中，由正弦定理sin sin a b A B=得sin 602sin b A B a ===，又∵b a <，所以B ＜A ，B ＝45°，C ＝75°，∴BC 边上的高AD ＝AC·sinC 752sin(4530)=+45cos30cos45sin 30)=+1)2==10、（2012辽宁理）在ABC ∆中,角A 、B 、C 的对边分别为a ,b ,c .角A ,B ,C 成等差数列.（I ）求cos B 的值;（Ⅱ）边a ,b ,c 成等比数列,求sin sin A C 的值. 【解析】（I ）由已知12,,,cos 32B AC A B C B B ππ=+++=∴==（Ⅱ）解法一：2b ac =，由正弦定理得23sin sin sin 4A CB ==， 解法二：2222221,cos 222a c b a c ac b ac B ac ac+-+-====，由此得22a b ac ac +-=，得a c =所以3,sin sin 34A B C A C π====【课堂练习】1、（2012广东文）在ABC ∆中,若60A ∠=︒,45B ∠=︒,BC =,则AC =（ ）A ．B ．CD 2、（2011四川）在△ABC 中，222sin sin sin sin sin A B C B C ≤+-，则A 的取值范围是（ ）A ．(0,]6πB ．[,)6ππC ．(0,]3πD ．[,)3ππ3、（2012陕西理）在ABC ∆中,角,,A B C 所对边长分别为,,a b c ,若2222a b c +=,则cos C 的最小值为（ ）A B C ．12 D ．12- 4、（2012陕西）在△ABC 中，角A ,B ,C 所对的边长分别为a ，b ，c ，若2222c b a =+，则C cos 的最小值为（ ） A ．23B ．22 C ．21D ．21-5、（2011天津）如图，在△ABC 中，D 是边AC 上的点，且,2,2AB CD AB BC BD ===则sin C 的值为( )A ．3 B ．6 C ．3 D ．66、（2011辽宁）△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a sin A sin B +b cos 2A =a 2，则=ab（ ）A ．B ．CD 7、（2012湖北文）设ABC ∆的内角,,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,若三边的长为连续的三个正整数,且A B C >>,320cos b a A =,则sin :sin :sin A B C 为（ ）A ．4∶3∶2B ．5∶6∶7C ．5∶4∶3D ．6∶5∶48、（2011上海）在相距2千米的A ．B 两点处测量目标C ，若075,60CAB CBA ∠=∠=，则A C 两点之间的距离是 千米。

正弦定理和余弦定理测试题一、选择题:1.在△ABC^, a=15, b=10, A= 60 ,则 cosB=()2. 在△ABC\内角A, B, C 的对边分别是a, b, c .若a 2—b 2=3bc, sin C= 2 3sin B,则 A=()A. 30B. 60 C . 120D. 1503. E, F 是等腰直角AABCM 边AB 上的三等分点，则tan / ECF=（）4. △ABOt\ 若 lg a —lg c=lgsin B= — lg /且 B6 0, "2■，则AABC的形状是（）A.等边三角形 B .直角三角形 C .等腰三角形 D .等腰直 角三角形5. AABC^, a 、b 、c 分别为/A 、/B /C 的对边，如果 a 、b 、c 成等差数列，/ B= 30° , △ ABC 勺面积为，那么b 为（）A. 1+ 3B. 3+. 3D. 2+. 36.已知锐角A 是△ ABC 勺一个内角，a 、b 、c 是三角形中各内角A.212 3的对应边，若sin 2A — cos 2A= g,则( )A. b+ c=2a B . b+ c <2aC . b+ c<2aD . b+ cn 2a7、若ABC 的内角A 满足sin 2A I ，则sinA 8sA8、如果AB I C I 的三个内角的余弦值分别等于 A 2B 2c 2的三个内角的正 弦值，则A. A 1B i C i 和A 2B 2c 2都是锐角三角形 B . AB 1C 1和A 2B 2c 2都是钝角 三角形C. ABiG 是钝角三角形， 4B 2c 2是锐角三角形D.AB i C i 是锐角三角形，A 2B 2c 2是钝角三角形9、VABC 的三内角A,B,C 所对边的长分别为a,b,c 设向量in r ur r t . ., . .. p (a c,b), q (b a,c a),右 p//q ,则角 C 的大小为(A )6(B)3(C)2(D)i0、已知等腰△ ABC 的腰为底的2倍，则顶角A 的正切值是（ ）i5 D. -15711、 ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c,若a 、b 、c 成等比 数列，且c 2a ,则cosBA.工3平 C . |A., i5A. 1 B, 3 。

§4.7 正弦定理、余弦定理错误！未找到引用源。

1．正弦、余弦定理在△ABC 中，若角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，R 为△ABC 外接圆半径，则定理正弦定理余弦定理 内容_______________________________a 2＝______________；b ＝______________；；c 2＝______________变形(1)a ＝2R sin A ，b ＝_________，c ＝_________；(2)sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R ；(3)a ∶b ∶c ＝_________； (4)a sin B ＝b sin A ，b sin C ＝c sin B ，a sin C ＝c sin A(5)cos A ＝_________ cos B ＝_________；cos C ＝_________2.S △ABC ＝_________＝12bc sin A ＝12ac sin B ＝abc 4R ＝12(a ＋b ＋c )·r (r 是三角形内切圆的半径)3．在△ABC 中，已知a 、b 和A 时，解的情况如下： A 为锐角A 为钝角或直角 图形关系式 a ＝b sin Ab sin A <a <ba ≥b a >b 解的个数【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)在△ABC 中，A >B 必有sin A >sin B ．( √ )(2)若满足条件C ＝60°，AB ＝3，BC ＝a 的△ABC 有两个，那么a 的取值范围是(3，2)．( √ )(3)若△ABC 中，a cos B ＝b cos A ，则△ABC 是等腰三角形．( √ ) (4)在△ABC 中，tan A ＝a 2，tan B ＝b 2，那么△ABC 是等腰三角形．( × )(5)当b 2＋c 2－a 2>0时，三角形ABC 为锐角三角形；当b 2＋c 2－a 2＝0时，三角形为直角三角形；当b 2＋c 2－a 2<0时，三角形为钝角三角形．( × ) (6)在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝1，B ＝30°，则△ABC 的面积等于32.( × )题型一 利用正弦定理、余弦定理解三角形例1 设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ＋c ＝6，b ＝2，cos B ＝79.(1)求a ，c 的值； (2)求sin(A －B )的值．(1)(2014·天津)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .已知b－c ＝14a,2sin B ＝3sin C ，则cos A 的值为 ．(2)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且cos A ＝35，cos B ＝513，b ＝3，则c ＝ .题型二 利用正弦、余弦定理判定三角形的形状例2 在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，且2a sin A ＝(2b －c )sin B ＋(2c －b )sin C .(1)求角A 的大小；（2)若sin B ＋sin C ＝3，试判断△ABC 的形状． （3）在本例条件下，若sin B ·sin C ＝sin 2A ，试判断△ABC 的形状变式 在△ABC 中，若(a 2＋b 2)sin(A －B )＝(a 2－b 2)·sin(A ＋B )，试判断△ABC 的形状．题型三 和三角形面积有关的问题例3 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知a ≠b ，c ＝3，cos 2A －cos 2B ＝3sin A cos A －3sin B cos B . (1)求角C 的大小；(2)若sin A ＝45，求△ABC 的面积．课堂练习1．在锐角△ABC 中，角A ，B 所对的边长分别为a ，b ，若2a sin B ＝3b ，则角A ＝ . 2．在△ABC 中，若sin 2A ＋sin 2B <sin 2C ，则△ABC 的形状是 三角形．3．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .若c 2＝(a －b )2＋6，C ＝π3，则△ABC的面积是 ．4、如果满足∠ABC ＝60°，AB ＝8，AC ＝k 的△ABC 有两个，那么实数k 的取值范围是________．5、在△ABC 中，(2)(2014·山东)在△ABC 中，已知AB →·AC →＝tan A ，当A ＝π6时，△ABC 的面积为 ．6、角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，已知b cos C ＋c cos B ＝2b ，则ab ＝ .4.7 正弦定理、余弦定理作业1．在△ABC 中，若A ＝60°，B ＝45°，BC ＝32，则AC ＝ .2．△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a sin A sin B ＋b cos 2A ＝2a ，则ba＝ . 3．在△ABC 中，A ∶B ＝1∶2，sin C ＝1，则a ∶b ∶c ＝ . 4、在△ABC中，若b ＝5，B ＝π4，tan A ＝2，则a＝ .5．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a sin B cos C ＋c sin B cos A ＝12b ，且a ＞b ，则B ＝ .6．若△ABC 的内角满足sin A ＋2sin B ＝2sin C ，则cos C 的最小值是 ．7．△ABC 中，AC ＝7，BC ＝2，B ＝60°，则BC 边上的高为 ．8、在△ABC 中，C ＝90°，M 是BC 的中点．若sin ∠BAM ＝13，则sin ∠BAC ＝ .9．钝角三角形ABC 的面积是12，AB ＝1，BC ＝2，则AC ＝ .10．在△ABC 中，若b ＝5，B ＝π4，sin A ＝13，则a ＝ .11．在△ABC 中，若AB ＝5，AC ＝5，且cos C ＝910，则BC ＝ .12.在△ABC 中，A ＝60°，AC ＝4，BC ＝23，则△ABC 的面积等于 ．13．在△ABC 中，a ＝3，b ＝26，B ＝2A . (1)求cos A 的值； (2)求c 的值．14．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a >c ，已知BA →·BC →＝2，cos B ＝13，b ＝3.求： (1)a 和c 的值； (2)cos(B －C )的值．15．已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 成等差数列，角B 所对的边b ＝3，且函数f (x )＝23sin 2x ＋2sin x cos x －3在x ＝A 处取得最大值． (1)求f (x )的值域及周期； (2)求△ABC 的面积．§4.7 正弦定理、余弦定理错误！未找到引用源。

高中数学正弦定理与余弦定理习题及详解一、选择题1．在△ABC 中，a 、b 、c 分别是三内角A 、B 、C 的对边，且sin 2A －sin 2C ＝(sin A －sin B )sin B ，则角C 等于( )A.π6B.π3C.5π6D.2π3 [答案] B[解析] 由正弦定理得a 2－c 2＝(a －b )·b ，由余弦定理得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝12， ∵0<C <π，∴C ＝π3. 2．(文)(2010·泰安模拟)在△ABC 中，若A ＝60°，BC ＝43，AC ＝42，则角B 的大小为( )A ．30°B ．45°C ．135°D ．45°或135°[答案] B[解析] ∵AC ·sin60°＝42×32＝26<42<43，故△ABC 只有一解，由正弦定理得，42sin B ＝43sin60°， ∴sin B ＝22，∵42<43，∴B <A ，∴B ＝45°. (理)在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，A ＝π3，a ＝3，b ＝1，则c ＝( ) A ．1B ．2 C.3－1D. 3[答案] B[解析] ∵b sin A ＝32<1<3，∴本题只有一解． ∵a ＝3，b ＝1，A ＝π3， ∴根据余弦定理，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝1＋c 2－32c ＝12， 解之得，c ＝2或－1，∵c >0，∴c ＝2.故选B.3．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，若a ＝2，b ＝22，且三角形有两解，则角A 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫0，π4 B.⎝⎛⎭⎫π4，π2 C.⎝⎛⎭⎫π4，3π4D.⎝⎛⎭⎫π4，π3[答案] A[解析] 由条件知b sin A <a ，即22sin A <2，∴sin A <22， ∵a <b ，∴A <B ，∴A 为锐角，∴0<A <π4. [点评] 如图，AC ＝22，以C 为圆心2为半径作⊙C ，则⊙C上任一点(⊙C 与直线AC 交点除外)可为点B 构成△ABC ，当AB 与⊙C 相切时，AB ＝2，∠BAC ＝π4，当AB 与⊙C 相交时，∠BAC <π4，因为三角形有两解，所以直线AB 与⊙C 应相交，∴0<∠BAC <π4. 4．(2010·湖南理)在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边长分别为a 、b 、c .若∠C ＝120°，c ＝2a ，则( )A ．a ＞bB ．a ＜bC ．a ＝bD ．a 与b 的大小关系不能确定 [答案] A[解析] ∵∠C ＝120°，c ＝2a ，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C∴a 2－b 2＝ab ，又∵a >0，b >0，∴a －b ＝ab a ＋b >0，所以a >b . 5．(文)(2010·天津理)在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，若a 2－b 2＝3bc ，sin C ＝23sin B ，则A ＝( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°[答案] A[解析] 由余弦定理得：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc， ∵sin C ＝23sin B ，∴c ＝23b ，∴c 2＝23bc ，又∵b 2－a 2＝－3bc ，∴cos A ＝32， 又A ∈(0°，180°)，∴A ＝30°，故选A.(理)(2010·山东济南)在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝3ac ，则角B 的值为( )A.π6B.π3C.π6或5π6D.π3或2π3 [答案] D[解析] 由(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝3ac 得，a 2＋c 2－b 2ac·tan B ＝3，再由余弦定理cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac 得，2cos B ·tan B ＝3，即sin B ＝32，∴角B 的值为π3或2π3，故应选D. 6．△ABC 中，a 、b 、c 分别为∠A 、∠B 、∠C 的对边，如果a 、b 、c 成等差数列，∠B ＝30°，△ABC 的面积为0.5，那么b 为( )A ．1＋ 3B ．3＋ 3 C.3＋33D ．2＋ 3[答案] C[解析] 12ac sin B ＝12，∴ac ＝2， 又2b ＝a ＋c ，∴a 2＋c 2＝4b 2－4，由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B 得，b ＝3＋33. 7．(2010·厦门市检测)在△ABC 中，角A 、B 、C 所对应的边分别为a 、b 、c ，若角A 、B 、C 依次成等差数列，且a ＝1，b ＝3，则S △ABC 等于( )A. 2B. 3C.32 D ．2 [答案] C[解析] ∵A 、B 、C 成等差数列，∴B ＝60°，∵b sin B ＝a sin A ，∴sin A ＝a sin B b ＝1×323＝12， ∴A ＝30°或A ＝150°(舍去)，∴C ＝90°，∴S △ABC ＝12ab ＝32. 8．(2010·山师大附中模考)在△ABC 中，cos 2B 2＝a ＋c 2c(a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边)，则△ABC 的形状为( )A ．直角三角形B ．正三角形C ．等腰三角形D ．等腰三角形或直角三角形[答案] A [解析] ∵cos 2B 2＝a ＋c 2c ，∴1＋cos B 2＝sin A ＋sin C 2sin C， ∴sin C cos B ＝sin A ，∴sin C cos B ＝sin(B ＋C )，∴sin B cos C ＝0，∵0<B ，C <π，∴sin B ≠0，cos C ＝0，∴C ＝π2，故选A. 9．(2010·四川双流县质检)在△ABC 中，tan A ＝12，cos B ＝31010，若最长边为1，则最短边的长为( ) A.455B.355C.255D.55[答案] D[解析] 由tan A >0，cos B >0知A 、B 均为锐角， ∵tan A ＝12<1，∴0<A <π4，cos B ＝31010>32， ∴0<B <π6，∴C 为最大角， 由cos B ＝31010知，tan B ＝13，∴B <A ，∴b 为最短边， 由条件知，sin A ＝15，cos A ＝25，sin B ＝110， ∴sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B＝15×310＋25×110＝22， 由正弦定理b sin B ＝c sin C 知，b 110＝122，∴b ＝55. 10．(2010·山东烟台)已知非零向量AB →，AC →和BC →满足⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|·BC →＝0，且AC →·BC →|AC →|·|BC →|＝22，则△ABC 为( ) A ．等边三角形B ．等腰非直角三角形C ．直角非等腰三角形D ．等腰直角三角形[答案] D[解析] ∵AC →·BC →|AC →|·|BC →|＝cos ∠ACB ＝22， ∴∠ACB ＝45°，又∵⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|·BC →＝0， ∴∠A ＝90°，∴△ABC 为等腰直角三角形，故选D.二、填空题11．(文)判断下列三角形解的情况，有且仅有一解的是________．①a ＝1，b ＝2，B ＝45°；②a ＝5，b ＝15，A ＝30°；③a ＝6，b ＝20，A ＝30°；④a ＝5，B ＝60°，C ＝45°.[答案] ①④[解析] ①一解，a sin B ＝22<1<2，有一解． ②两解，b ·sin A ＝152<5<15，有两解； ③无解，b ·sin A ＝10>6，无解．④一解，已知两角和一边，三角形唯一确定．(理)在锐角△ABC 中，边长a ＝1，b ＝2，则边长c 的取值范围是________．[答案] 3<c < 5[解析] 边c 最长时：cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝1＋4－c 22×1×2>0， ∴c 2<5.∴0<c < 5.边b 最长时：cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝1＋c 2－42c>0， ∴c 2>3.∴c > 3.综上，3<c < 5.12．(2010·上海模拟)在直角坐标系xOy 中，已知△ABC 的顶点A (－1,0)，C (1,0)，顶点B 在椭圆x 24＋y 23＝1上，则sin A ＋sin C sin B的值为________．[答案] 2[解析] 由题意知△ABC 中，AC ＝2，BA ＋BC ＝4，由正弦定理得sin A ＋sin C sin B ＝BC ＋BA AC＝2. 13．(文)(2010·沈阳模拟)在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，若b 2＋c 2＝a 2＋bc ，且AC →·AB →＝4，则△ABC 的面积等于________．[答案] 2 3[解析] ∵b 2＋c 2＝a 2＋bc ，∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12， ∵AC →·AB →＝4，∴b ·c ·cos A ＝4，∴bc ＝8，∴S ＝12AC ·AB sin A ＝12×bc ·sin A ＝2 3. (理)(2010·北京延庆县模考)在△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，若a ＝c＝2b 且sin B ＝45，当△ABC 的面积为32时，b ＝________. [答案] 2[解析] ∵a ＋c ＝2b ，∴a 2＋c 2＋2ac ＝4b 2(1)∵S △ABC ＝12ac sin B ＝25ac ＝32，∴ac ＝154(2) ∵sin B ＝45，∴cos B ＝35(由a ＋c ＝2b 知B 为锐角)， ∴a 2＋c 2－b 22ac ＝35，∴a 2＋c 2＝92＋b 2(3) 由(1)、(2)、(3)解得b ＝2.14．(2010·合肥市质检)在△ABC 中，sin A －sin B sin (A ＋B )＝2sin A －sin C sin A ＋sin B，则角B ＝________. [答案] π4[解析] 依题意得sin 2A －sin 2B ＝sin(A ＋B )(2sin A －sin C )＝2sin A sin C －sin 2C ， 由正弦定理知：a 2－b 2＝2ac －c 2， ∴a 2＋c 2－b 2＝2ac ，由余弦定理知：cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝22， ∴B ＝π4. 三、解答题15．(文)(2010·广州六中)在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且满足cos A 2＝255，AB →·AC →＝3. (1)求△ABC 的面积；(2)若b ＋c ＝6，求a 的值．[解析] (1)∵cos A 2＝255， ∴cos A ＝2cos 2A 2－1＝35，sin A ＝45. 又由AB →·AC →＝3得，bc cos A ＝3，∴bc ＝5，∴S △ABC ＝12bc sin A ＝2. (2)∵bc ＝5，又b ＋c ＝6，∴b ＝5，c ＝1或b ＝1，c ＝5，由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝20，∴a ＝2 5.(理)(2010·山东滨州)已知A 、B 、C 分别为△ABC 的三边a 、b 、c 所对的角，向量m ＝(sin A ，sin B )，n ＝(cos B ，cos A )，且m ·n ＝sin2C .(1)求角C 的大小；(2)若sin A ，sin C ，sin B 成等差数列，且CA →·(AB →－AC →)＝18，求边c 的长．[解析] (1)m ·n ＝sin A ·cos B ＋sin B ·cos A ＝sin(A ＋B )．在△ABC 中，由于sin(A ＋B )＝sin C .∴m ·n ＝sin C .又∵m ·n ＝sin2C ，∴sin2C ＝sin C ，∴2sin C cos C ＝sin C .又sin C ≠0，所以cos C ＝12.而0<C <π，因此C ＝π3. (2)由sin A ，sin C ，sin B 成等差数列得，2sin C ＝sin A ＋sin B ，由正弦定理得，2c ＝a ＋b .∵CA →·(AB →－AC →)＝18，∴CA →·CB →＝18.即ab cos C ＝18，由(1)知，cos C ＝12，所以ab ＝36. 由余弦定理得，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C＝(a ＋b )2－3ab .∴c 2＝4c 2－3×36，∴c 2＝36.∴c ＝6.16．(文)在△ABC 中，已知AB ＝3，BC ＝2.(1)若cos B ＝－36，求sin C 的值； (2)求角C 的取值范围． [解析] (1)在△ABC 中，由余弦定理知，AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos B＝3＋4－2×23×⎝⎛⎭⎫－36＝9. 所以AC ＝3.又因为sin B ＝1－cos 2B ＝1－⎝⎛⎭⎫－362＝336， 由正弦定理得AB sin C ＝AC sin B. 所以sin C ＝AB AC sin B ＝116. (2)在△ABC 中，由余弦定理得，AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC cos C ，∴3＝AC 2＋4－4AC ·cos C ，即AC 2－4cos C ·AC ＋1＝0.由题意知，关于AC 的一元二次方程应该有解，令Δ＝(4cos C )2－4≥0，得cos C ≥12，或cos C ≤－12(舍去，因为AB <BC ) 所以，0<C ≤π3，即角C 的取值范围是⎝⎛⎦⎤0，π3. [点评] 1.本题也可用图示法，如图：A 为⊙B 上不在直线BC 上的任一点，由于r ＝AB ＝3，故当CA 与⊙B 相切时∠C 最大为π3，故C ∈⎝⎛⎦⎤0，π3. 2．高考命题大题的第一题一般比较容易入手，大多在三角函数的图象与性质、正余弦定理、平面向量等内容上命制，这一部分要狠抓基本原理、公式、基本方法的落实．(理)(2010·东北师大附中、辽宁省实验中学联考)设△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且a cos C ＋12c ＝b . (1)求角A 的大小；(2)若a ＝1，求△ABC 的周长l 的取值范围．[解析] (1)由a cos C ＋12c ＝b 得 sin A cos C ＋12sin C ＝sin B又sin B ＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C∴12sin C ＝cos A sin C ， ∵sin C ≠0，∴cos A ＝12， 又∵0<A <π，∴A ＝π3. (2)解法1：由正弦定理得：b ＝a sin B sin A ＝23sin B ，c ＝23sin C l ＝a ＋b ＋c ＝1＋23(sin B ＋sin C ) ＝1＋23(sin B ＋sin(A ＋B )) ＝1＋2⎝⎛⎭⎫32sin B ＋12cos B ＝1＋2sin ⎝⎛⎭⎫B ＋π6 ∵A ＝π3，∴B ∈⎝⎛⎭⎫0，2π3，∴B ＋π6∈⎝⎛⎭⎫π6，5π6， ∴sin ⎝⎛⎭⎫B ＋π6∈⎝⎛⎦⎤12，1. 故△ABC 的周长l 的取值范围是(2,3]．解法2：周长l ＝a ＋b ＋c ＝1＋b ＋c由(1)及余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，∴b 2＋c 2＝bc ＋1，∴(b ＋c )2＝1＋3bc ≤1＋3⎝⎛⎭⎫b ＋c 22，∴b ＋c ≤2，又b ＋c >a ＝1，∴l ＝a ＋b ＋c ∈(2,3]，即△ABC 的周长l 的取值范围为(2,3]．17．(文)△ABC 中内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，向量m ＝(2sin B ，－3)，n ＝(cos2B,2cos 2B 2－1)且m ∥n . (1)求锐角B 的大小；(2)如果b ＝2，求△ABC 的面积S △ABC 的最大值．[分析] (1)问利用平行向量的坐标表示将向量知识转化为三角函数，利用三角恒等变换知识解决；(2)问利用余弦定理与基本不等式结合三角形面积公式解决．[解析] (1)∵m ∥n ，∴2sin B ⎝⎛⎭⎫2cos 2B 2－1＝－3cos2B ∴sin2B ＝－3cos2B ，即tan2B ＝－ 3又∵B 为锐角，∴2B ∈(0，π)，∴2B ＝2π3，∴B ＝π3. (2)∵B ＝π3，b ＝2， ∴由余弦定理cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac得， a 2＋c 2－ac －4＝0又∵a 2＋c 2≥2ac ，∴ac ≤4(当且仅当a ＝c ＝2时等号成立)S △ABC ＝12ac sin B ＝34ac ≤3(当且仅当a ＝c ＝2时等号成立)， [点评] 本题将三角函数、向量与解三角形有机的结合在一起，题目新疑精巧，难度也不大，即符合在知识“交汇点”处构题，又能加强对双基的考查，特别是向量的坐标表示及运算，大大简化了向量的关系的运算，该类问题的解题思路通常是将向量的关系用坐标运算后转化为三角函数问题，然后用三角函数基本公式结合正、余弦定理求解．(理)(2010·山师大附中模考)在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知sin B ＝513，且a 、b 、c 成等比数列． (1)求1tan A ＋1tan C的值； (2)若ac cos B ＝12，求a ＋c 的值．[解析] (1)依题意，b 2＝ac由正弦定理及sin B ＝513得，sin A sin C ＝sin 2B ＝25169. 1tan A ＋1tan C ＝cos A sin A ＋cos C sin C ＝sin (A ＋C )sin A sin C ＝sin B sin A sin C ＝135. (2)由ac cos B ＝12知cos B >0，∵sin B ＝513，∴cos B ＝1213(b 不是最大边，舍去负值) 从而，b 2＝ac ＝12cos B＝13. 由余弦定理得，b 2＝(a ＋c )2－2ac －2ac cos B .∴13＝(a ＋c )2－2×13×⎝⎛⎭⎫1＋1213. 解得：a ＋c ＝37.。

正弦定理和余弦定理测试题一、选择题：1．在△ABC中，a＝15，b＝10，A＝60°，则 cos B＝() 22226 A．－3 B.3C．－3D.6 32．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c.若 a2－b2＝3bc，sin C＝23sin B，则A＝()A．30°B．60°C．120°D．150°3．E，F是等腰直角△ABC斜边AB上的三平分点，则tan ∠ECF ＝()16233A. 27B. 3C.3D.4．△中，若－lg c ＝＝－lg 2且∈ 0，π，则△ABC4ABC lg a lgsin B B2的形状是 ()A．等边三角形 B ．直角三角形 C ．等腰三角形 D ．等腰直角三角形5．△ABC中，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边，假如a、b、c 成等差数列，∠ B＝30°，△ ABC的面积为0.5，那么 b 为()A．1＋ 3B．3＋ 3 C.3＋ 3D．2＋ 3 36．已知锐角A是△ABC的一个内角，a、b、c是三角形中各内角的对应边，若 sin2－cos2＝1，则 ()A A2A．b＋c＝2a B ．b＋c<2a C．b＋c≤2a D．b＋c≥2a7、若ABC的内角A知足sin 2A 2，则 sin A cos A 3A.153 B．153C．5D．5338、假如A1 B1C1的三个内角的余弦值分别等于A2 B2C2的三个内角的正弦值，则A．A1B1C1和A2B2C2都是锐角三角形B．A1B1C1和A2 B2C2都是钝角三角形C．A1 B1C1是钝角三角形，A2 B2C2是锐角三角形D．A1B1C1是锐角三角形，A2 B2C 2是钝角三角形9、VABC的三内角A,B,C所对边的长分别为 a, b, c 设向量ur r ur rp (a c, b) , q (b a, c a) ,若 p // q ,则角C的大小为(A)(B)(C)(D)233 6210、已知等腰△ABC的腰为底的 2 倍，则顶角A的正切值是（）Ａ．3Ｂ． 3Ｃ．15Ｄ．15 28711、ABC的内角 A、B、C的对边分别为a、b、c，若 a、b、c 成等比数列，且 c2a ，则 cosBA ．1B．3C ．24 44D．2312、在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c, A=, a= 3 , b=1，3则 c=(A)1（B）2（C）3—1（D）3二、填空题：13 、在ABC中，若sin A:sin B :sin C5:7:8 ，则B的大小是___________.14、在 ABC中，已知a 3 3，＝，＝°，则＝.b 4 A30sinB415、在△ ABC中，已知 BC＝12，A＝60°， B＝45°，则 AC＝16、已知△ABC的三个内角A、B、C成等差数列，且AB＝1，BC＝4，则边 BC上的中线 AD的长为．三、解答题：11 17。

正弦定理和余弦定理习题及答案正弦定理和余弦定理 测试题一、选择题：1．在△ABC 中，a ＝15，b ＝10，A ＝60°，则cos B ＝( )A ．－223 B.223 C ．－63D.632．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c .若a 2－b 2＝3bc ，sin C ＝23sin B ，则A ＝( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°3．E ，F 是等腰直角△ABC 斜边AB 上的三等分点，则tan ∠ECF ＝( )A.1627B.23C.33D.344．△ABC 中，若lg a －lg c ＝lgsin B ＝－lg 2且B ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则△ABC的形状是( )A ．等边三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等腰直角三角形5．△ABC 中，a 、b 、c 分别为∠A 、∠B 、∠C 的对边，如果a 、b 、c 成等差数列，∠B ＝30°，△ABC 的面积为0.5，那么b 为( )A ．1＋ 3B ．3＋ 3 C.3＋33D ．2＋ 36．已知锐角A 是△ABC 的一个内角，a 、b 、c 是三角形中各内角的对应边，若sin 2A －cos 2A ＝12，则( )A ．b ＋c ＝2aB ．b ＋c <2ªC ．b ＋c ≤2aD ．b ＋c ≥2a7、若ABC ∆的内角A 满足2sin 23A =，则sin cos A A +=15．15．53 D ．53-8、如果111A B C ∆的三个内角的余弦值分别等于222A B C ∆的三个内角的正弦值，则A ．111ABC ∆和222A B C ∆都是锐角三角形 B ．111A B C ∆和222A B C ∆都是钝角三角形C ．111A B C ∆是钝角三角形，222A B C ∆是锐角三角形D ．111A B C ∆是锐角三角形，222A B C ∆是钝角三角形9、ABC 的三内角,,A B C 所对边的长分别为,,a b c 设向量(,)p a c b =+,(,)q b a c a =--,若//p q ,则角C 的大小为(A)6π (B)3π (C) 2π (D) 23π10、已知等腰ABC △的腰为底的2倍，则顶角A 的正切值是（ ） Ａ．323 Ｃ．158Ｄ．15720、已知ABC △21，且sin sin 2A B C +=．（I ）求边AB 的长；（II ）若ABC △的面积为1sin 6C ，求角C 的度数．21、△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a ，b ，c 成等比数列，.43cos =B（Ⅰ）求cot A +cot C 的值； （Ⅱ）设32BA BC ⋅=，求a ＋c 的值.22、 某海轮以30海里/小时的速度航行，在A 点测得海面上油井P 在南偏东︒60，向北航行40分钟后到达B 点，测得油井P 在南偏东︒30，海轮改为北偏东︒60的航向再行驶80分钟到达C 点，求P 、C 间的距离．答案1.解析：依题意得0°<B <60°，由正弦定理得a sin A ＝bsin B得sin B ＝b sin A a ＝33，cos B ＝1－sin 2B ＝63，选D. 2.解析：由sin C ＝23sin B 可得c ＝23b ，由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－3bc ＋c 22bc ＝32，于是A ＝30°，故选A. 3.解析：设AC ＝1，则AE ＝EF ＝FB ＝13AB ＝23，由余弦定理得CE ＝CF ＝AE 2＋AC 2－2AC ·AE cos45°＝53，所以cos ∠ECF ＝CE 2＋CF 2－EF 22CE ·CF ＝45，所以tan ∠ECF ＝sin ∠ECF cos ∠ECF＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫45245＝34. 答案：D 4.解析：∵lg a －lg c ＝lgsin B ＝－lg 2，∴lg a c ＝lgsin B ＝lg 22.∴a c ＝sin B ＝22. ∵B ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴B ＝π4，由c ＝2a ， 得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac＝3a 2－b 222a2＝22. ∴a 2＝b 2，∴a ＝b . 答案：D5.解析：2b ＝a ＋c ，12ac ·12＝12⇒ac ＝2，a 2＋c 2＝4b 2－4，b 2＝a 2＋c 2－2ac ·32⇒b 2＝4＋233⇒b ＝3＋33. 答案：C6.解析：由sin 2A －cos 2A ＝12，得cos2A ＝－12， 又A 是锐角，所以A ＝60°，于是B ＋C ＝120°. 所以b ＋c 2a ＝sin B ＋sin C2sin A＝2sinB ＋C2cosB －C23＝cosB －C2≤1，b ＋c ≤2a . 答案：c7.解：由sin2A ＝2sinAcosA >0，可知A 这锐角，所以sinA ＋cosA >0， 又25(sin cos )1sin 23A A A +=+=，故选A8.解：111A B C ∆的三个内角的余弦值均大于0，则111A B C ∆是锐角三角形，若222A B C ∆是锐角三角形，由211211211sin cos sin()2sin cos sin()2sin cos sin()2A A A B B B C C C πππ⎧==-⎪⎪⎪==-⎨⎪⎪==-⎪⎩，得212121222A A B B C C πππ⎧=-⎪⎪⎪=-⎨⎪⎪=-⎪⎩，那么，2222A B C π++=，所以222A B C ∆是钝角三角形。

正弦定理、余弦定理练习题及答案正弦定理、余弦定理练习题年级__________ 班级_________ 学号_________ 姓名__________ 分数____一、选择题(共20题，题分合计100分)1.已知在△ABC中,sin A:sin B:sin C=3:2:4,那么cos C的值为A.-B.C.-D.2.在△ABC中，a=λ,b=λ,A=45°,则满足此条件的三角形的个数是A.0B.1C.2D.无数个3.在△ABC中，b cos A=a cos B，则三角形为A.直角三角形B.锐角三角形C.等腰三角形D.等边三角形4.已知三角形的三边长分别为x2+x+1,x2-1和2x+1(x＞1)，则最大角为A.150°B.120°C.60°D.75°5.在△ABC中，=1，=2，（+）·（+）=5+2则边||等于A.B.5-2 C. D.6.在△ABC中，已知B=30°,b=50,c=150，那么这个三角形是A.等边三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等腰三角形或直角三角形7.在△ABC中，若b2sin2C+c2sin2B=2bc cos B cos C，则此三角形为A.直角三角形B.等腰三角形C.等边三角形D.等腰直角三角形8.正弦定理适应的范围是A.Rt△B.锐角△C.钝角△D.任意△9.已知△ABC中，a=10,B=60°,C=45°，则c=A.10+B.10（-1）C.（+1）D.1010.在△ABC中，b sin A＜a＜b，则此三角形有A.一解B.两解C.无解D.不确定11.三角形的两边分别为5和3，它们夹角的余弦是方程5x2-7x-6=0的根，则三角形的另一边长为A.52B.2C.16D.412.在△ABC中，a2=b2+c2+bc，则A等于A.60°B.45°C.120D.30°13.在△ABC中，，则△ABC是A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.任意三角形14.在△ABC中，a=2，A=30°,C=45°，则△ABC的面积S△ABC等于A. B.2 C.+1 D.(+1)15.已知三角形ABC的三边a、b、c成等比数列，它们的对角分别是A、B、C，则sin A sin C 等于A.cos2BB.1-cos2BC.1+cos2BD.1+sin2B16.在△ABC中，sin A＞sin B是A＞B的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件17.在△ABC中，b Cos A=a cos B，则三角形为A.直角三角形B.锐角三角形C.等腰三角形D.等边三角形18.△ABC中，sin2A=sin2B+sin2C，则△ABC为A.直角三角形B.等腰直角三角形C.等边三角形D.等腰三角形19.△ABC中,A=60°,b=1,这个三角形的面积为,则△ABC外接圆的直径为A. B. C. D.20.在△ABC中，,则k为A.2RB.RC.4RD.(R为△ABC外接圆半径)二、填空题(共18题，题分合计75分)1.在△ABC中，A=60°，C=45°，b=2，则此三角形的最小边长为.2.在△ABC中，= .3.在△ABC中,a∶b∶c=(+1)∶∶2，则△ABC的最小角的度数为.4.在△ABC中，已知sin A∶sin B∶sin C=6∶5∶4，则sec A= .5.△ABC中，，则三角形为_________.6.在△ABC中，角A、B均为锐角且cos A＞sin B，则△ABC是___________.7.在△ABC中，若此三角形有一解，则a、b、A满足的条件为____________________.8.已知在△ABC中，a=10,b=5,A=45°,则B= .9.已知△ABC中，a=181,b=209,A=121°14′，此三角形解.10.在△ABC中,a=1,b=1,C=120°则c= .11.在△ABC中，若a2＞b2+c2，则△ABC为；若a2=b2+c2，则△ABC为；若a2＜b2+c2且b2＜a2+c2且c2＜a2+b2，则△ABC为.12.在△ABC中，sin A=2cos B sin C，则三角形为_____________.13.在△ABC中，BC=3，AB=2，且，A= .14.在△ABC中，B=,C=3,B=30°，则A= .15.在△ABC中，a+b=12,A=60°，B=45°，则a= ,b= .16.若2,3,x为三边组成一个锐角三角形，则x的范围为.17.在△ABC中，化简b cos C+c cos B= .18.钝角三角形的边长是三个连续自然数，则三边长为.三、解答题(共24题，题分合计244分)1.已知在△ABC中，c=10，A=45°，C=30°，求a、b和B.2.已知△ABC的三边长a=3，b=4，c=，求三角形的最大内角.3.已知在△ABC中，∠A=45°，a=2，c=，解此三角形.4.在四边形ABCD中，BC=a，DC=2a，四个角A、B、C、D度数的比为3∶7∶4∶10，求AB的长.5.在△ABC中，A最大，C最小，且A=2C，A+C=2B，求此三角形三边之比.6.证明：在△ABC中，.（其中R为△ABC的外接圆的半径）7.在△ABC中，最大角A为最小角C的2倍，且三边a、b、c为三个连续整数，求a、b、c的值.8.如下图所示，半圆O的直径MN=2，OA=2，B为半圆上任意一点，以AB为一边作正三角形ABC，问B在什么位置时，四边形OACB面积最大？最大面积是多少？9.在△ABC中，若sin A∶sin B∶sin C=m∶n∶l，且a+b+c=S，求a.10.根据所给条件，判断△ABC的形状（1）a cos A=b cos B(2)11.△ABC中，a+b=10，而cos C是方程2x2－3x－2=0的一个根，求△ABC周长的最小值.12.在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，设a+c=2b,A－C=,求sin B的值.13.已知△ABC中，a=1,b=,A=30°,求B、C和c.14.在△ABC中，c=2，tan A=3,tan B=2,试求a、b及此三角形的面积.15.已知S△ABC=10,一个角为60°，这个角的两边之比为5∶2，求三角形内切圆的半径.16.已知△ABC中，，试判断△ABC的形状.17.已知△ABC的面积为1，tan B=,求△ABC的各边长.18.求值：19.已知△ABC的面积，解此三角形.20.在△ABC中，a=,b=2,c=+1，求A、B、C及S△.21.已知（a2+bc）x2+2=0是关于x的二次方程，其中a、b、c 是△ABC的三边，(1)若∠A为钝角，试判断方程根的情况.(2)若方程有两相等实根，求∠A的度数.22.在△ABC中，（a2+b2）sin(A-B)=(a2-b2)sin(A+B)，判断△ABC的形状.23.在△ABC中，a＞b,C=，且有tan A·tan B=6，试求a、b以及此三角形的面积.24.已知：k是整数，钝角△ABC的三内角A、B、C所对的边分别为a、b、c（1）若方程组有实数解，求k的值.（2）对于（1）中的k值，若且有关系式,试求A、B、C的度数.正弦定理、余弦定理答案一、选择题(共20题，合计100分)1 A 2A3C 4 B 5 C 6D 7A 8 D 9B 10 B 11 B 12C 13C 14C 15.B16. C 17：C 18A 19C 20. A二、填空题(共18题，合计75分)1. 2（-1）2 3. 45° 4. 8 5.等腰三角形 6.：钝角三角形7. a=b sin A或b＜a8. 60°或120°9无10.11.钝角三角形直角三角形锐角三角形12.等腰三角形13. 120°14.或215. 36-1216.＜x＜17.a18. 2、3、4三、解答题(共24题，合计244分)1.a=B=105°b=2.∠C=120°3.∠B=75°或∠B=15°b=+1，∠C=60°，∠B=75°或b=－1，∠C=120°，∠B=15°4. AB的长为5.：此三角形三边之比为6∶5∶47.a=6,b=5,c=48.当θ=时，S四边形OACB最大,最大值为+29.10（1）△ABC是等腰三角形或直角三角形（2）△ABC为等边三角形11△ABC周长的最小值为12.13.B1=60°,B2=120°；C1=90°，C2=30°；c1=2, c2=114..15.16.等边三角形17.18.20. A=60°，B=45°，C=75°，S△=21. (1)没有实数根(2)60°22.等腰三角形或直角三角形23.24.（1）k=1，2，3 （2）C=45°,B=15°。

考点测试29 正弦定理和余弦定理高考 概览本考点是高考必考知识点，常考题型为选择题、填空题和解答题，分值为5分、12分，中、低等难度考纲 研读掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题一、基础小题1．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos A ＝－35，a ＝8，b ＝5，则B ＝( )A.π4 B ．π6 C.π3 D ．5π6答案 B解析 △ABC 中，cos A ＝－35，所以A ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，所以sin A ＝1－cos 2A ＝45.又a ＝8，b ＝5，由正弦定理得a sin A ＝b sin B ，解得sin B ＝b sin A a ＝5×458＝12，又B ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以B ＝π6.故选B.2．在△ABC 中，若AB ＝8，A ＝120°，其面积为43，则BC ＝( ) A ．213 B ．413 C ．221 D ．47答案 C解析 因为S △ABC ＝12AB ·AC sin A ＝43，故AC ＝2；由余弦定理得，BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC cos A ＝84，故BC ＝221.故选C.3．若△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知b sin2A ＝a sin B ，且c ＝2b ，则ab 等于( )A.32 B ．43 C. 2 D ．3答案 D解析 由b sin2A ＝a sin B ，得2sin B sin A cos A ＝sin A sin B ，得cos A ＝12.又c ＝2b ，由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝b 2＋4b 2－4b 2×12＝3b 2，得ab ＝ 3.故选D.4．△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知ac sin B ＝10sin C ，a ＋b ＝7，且cos C 2＝155，则c ＝( )A ．4B ．5 C.2 6 D ．7答案 B解析 ∵ac sin B ＝10sin C .由正弦定理可得abc ＝10c ，即ab ＝10.∵cos C 2＝155，∴cos C ＝2×⎝⎛⎭⎪⎫1552－1＝15，则c ＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝72－2×10－20×15＝5.故选B.5．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，△ABC 的面积为S ，且2S ＝(a ＋b )2－c 2，则tan C ＝( )A.34 B ．43 C.－43 D ．－34答案 C解析 △ABC 中，∵S ＝12ab sin C ，由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，且2S ＝(a ＋b )2－c 2，∴ab sin C ＝(a ＋b )2－(a 2＋b 2－2ab cos C )，整理得sin C －2cos C ＝2，∴(sin C －2cos C )2＝4.∴(sin C －2cos C )2sin 2C ＋cos 2C＝4，化简可得3tan 2C ＋4tan C ＝0.∵C ∈(0,180°)，∴tan C ＝－43，故选C.6．(多选)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若sin A k ＝sin B 3＝sin C4(k 为非零实数)，则下列结论正确的是( )A ．当k ＝5时，△ABC 是直角三角形B ．当k ＝3时，△ABC 是锐角三角形 C ．当k ＝2时，△ABC 是钝角三角形D ．当k ＝1时，△ABC 是钝角三角形 答案 ABC解析 当k ＝5时，sin A 5＝sin B 3＝sin C4，根据正弦定理不妨设a ＝5m ，b ＝3m ，c ＝4m ，显然△ABC 是直角三角形，A 正确；当k ＝3时，sin A 3＝sin B 3＝sin C4，根据正弦定理不妨设a ＝3m ，b ＝3m ，c ＝4m ，显然△ABC 是等腰三角形，C 为最大角，又a 2＋b 2－c 2＝9m 2＋9m 2－16m 2＝2m 2＞0，说明C 为锐角，故△ABC 是锐角三角形，B 正确；当k ＝2时，sin A 2＝sin B 3＝sin C4，根据正弦定理不妨设a ＝2m ，b＝3m ，c ＝4m ，显然C 为最大角，又a 2＋b 2－c 2＝4m 2＋9m 2－16m 2＝－3m 2＜0，说明C 为钝角，故△ABC 是钝角三角形，C 正确；当k ＝1时，sin A 1＝sin B 3＝sin C4，根据正弦定理不妨设a ＝m ，b ＝3m ，c ＝4m ，此时a ＋b ＝c ，不能构成三角形，D 错误．故选ABC.7．(多选)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且(a ＋b )∶(a ＋c )∶(b ＋c )＝9∶10∶11，则下列结论正确的是( )A ．sin A ∶sinB ∶sinC ＝4∶5∶6 B ．△ABC 是钝角三角形C ．△ABC 的最大内角是最小内角的2倍D ．若c ＝6，则△ABC 外接圆的半径为877 答案 ACD解析 (a ＋b )∶(a ＋c )∶(b ＋c )＝9∶10∶11，可设a ＋b ＝9t ，a ＋c ＝10t ，b ＋c ＝11t ，解得a ＝4t ，b ＝5t ，c ＝6t ，t ＞0，由正弦定理可得sin A ∶sin B ∶sin C ＝a ∶b ∶c ＝4∶5∶6，故A 正确；由c 为最大边，可得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝16t 2＋25t 2－36t 22·4t ·5t ＝18＞0，即C 为锐角，故B 错误；cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝25t 2＋36t 2－16t 22·5t ·6t ＝34，cos2A ＝2cos 2A －1＝2×916－1＝18＝cos C ，由2A ，C ∈(0，π)，可得2A ＝C ，故C 正确；若c ＝6，可得2R ＝c sin C ＝61－164＝1677，△ABC 外接圆的半径为877，故D 正确．故选ACD.8．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且cos2B ＋2sin A sin C ＝1，则B 的最大值为________；若b ＝2，则△ABC 的面积的最大值为________．答案 π33解析 由cos2B ＋2sin A sin C ＝1，可得1－2sin 2B ＋2sin A sin C ＝1，即sin 2B ＝sin A sin C ，由正弦定理，可得b 2＝ac ，由余弦定理，可得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac≥2ac －ac 2ac＝12，当且仅当a ＝c 时，等号成立，所以0＜B ≤π3，于是B 的最大值为π3，△ABC 的面积S ＝12ac sin B ≤12×4×32＝ 3.二、高考小题9．(2020·全国Ⅲ卷)在△ABC 中，cos C ＝23，AC ＝4，BC ＝3，则cos B ＝( ) A.19 B ．13 C.12 D ．23答案 A解析 ∵在△ABC 中，cos C ＝23，AC ＝4，BC ＝3，由余弦定理得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC ·cos C ＝42＋32－2×4×3×23＝9，∴AB ＝3，∴cos B ＝AB 2＋BC 2－AC 22AB ·BC ＝9＋9－162×3×3＝19.故选A.10．(2019·全国Ⅰ卷)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a sin A －b sin B ＝4c sin C ，cos A ＝－14，则bc ＝( )A ．6B ．5 C.4 D ．3答案 A解析 ∵a sin A －b sin B ＝4c sin C ，∴由正弦定理得a 2－b 2＝4c 2，即a 2＝4c 2＋b 2.由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝b 2＋c 2－(4c 2＋b 2)2bc ＝－3c 22bc ＝－14，∴bc ＝6.故选A.11．(2021·全国乙卷)记△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，面积为3，B ＝60°，a 2＋c 2＝3ac ，则b ＝________.答案 22解析 由S △ABC ＝12ac sin B ，得3＝12ac sin60°，即3＝34ac ，解得ac ＝4.所以a 2＋c 2＝3ac ＝12.由余弦定理，得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝12－2×4×12＝8.所以b ＝2 2.12．(2021·浙江高考)在△ABC 中，∠B ＝60°，AB ＝2，M 是BC 的中点，AM ＝23，则AC ＝________；cos ∠MAC ＝________.答案 21323913解析 解法一：由∠B ＝60°，AB ＝2，AM ＝23，在△ABM 中，由余弦定理可得BM ＝4，因为M 为BC 的中点，所以BC ＝8.在△ABC 中，由余弦定理可得AC 2＝AB 2＋BC 2－2BC ·AB cos B ＝4＋64－2×8×2×12＝52，所以AC ＝213，所以在△AMC 中，由余弦定理，得cos ∠MAC ＝AC 2＋AM 2－MC 22AC ·AM＝52＋12－16 2×213×23＝23913.解法二：由∠B＝60°，AB＝2，AM＝23，在△ABM中，由余弦定理可得BM＝4，因为M为BC的中点，所以BC＝8.过点C作CD⊥BA交BA的延长线于点D，则BD＝4，AD＝2，CD＝4 3.所以在Rt△ADC中，AC2＝CD2＋AD2＝48＋4＝52，得AC＝213.在△AMC中，由余弦定理，得cos∠MAC＝AC 2＋AM2－MC2 2AC·AM＝52＋12－16 2×213×23＝23913.13．(2020·全国Ⅰ卷) 如图，在三棱锥P－ABC的平面展开图中，AC＝1，AB ＝AD＝3，AB⊥AC，AB⊥AD，∠CAE＝30°，则cos∠FCB＝________.答案－14解析∵AB⊥AC，AB＝3，AC＝1，由勾股定理得BC＝AB2＋AC2＝2，同理得BD＝6，∴BF＝BD＝ 6.在△ACE中，AC＝1，AE＝AD＝3，∠CAE＝30°，由余弦定理得CE2＝AC2＋AE2－2AC·AE cos30°＝1＋3－2×1×3×32＝1，∴CF＝CE＝1.在△BCF中，BC＝2，BF＝6，CF＝1，由余弦定理得cos∠FCB＝CF2＋BC2－BF22CF·BC＝1＋4－62×1×2＝－14.14．(2019·浙江高考)在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3，点D在线段AC上．若∠BDC＝45°，则BD＝________，cos∠ABD＝________.答案122572 10解析如图，易知sin C＝45，sin A＝35，cos A＝45.在△BDC 中，由正弦定理可得BD sin C ＝BC sin ∠BDC ，∴BD ＝BC sin Csin ∠BDC ＝3×4522＝1225.cos ∠ABD ＝cos(45°－∠A )＝22×45＋22×35＝7210.三、模拟小题15．(2021·北京市昌平区实验学校高三期中)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，如果a ＝10，A ＝30°，C ＝105°，那么b ＝( )A.532 B ．52 C ．10 2 D ．202答案 C解析 因为A ＝30°，C ＝105°，所以B ＝180°－A －C ＝180°－30°－105°＝45°，由正弦定理可知，a sin A ＝b sin B ⇒10sin30°＝b sin45°⇒1012＝b 22⇒b ＝10 2.故选C.16．(2021·金华市江南中学期中)钝角三角形ABC 的面积是12，AB ＝1，BC ＝2，则AC ＝( )A ．5B ． 5 C.2 D ．1 答案 B解析 由面积公式得：12×2sin B ＝12，解得sin B ＝22，所以B ＝45°或B ＝135°，当B ＝45°时，由余弦定理得：AC 2＝1＋2－22cos45°＝1，所以AC ＝1，又因为AB ＝1，BC ＝2，所以此时△ABC 为等腰直角三角形，不合题意，舍去；所以B ＝135°，由余弦定理得AC 2＝1＋2－22cos135°＝5，所以AC ＝ 5.故选B.17．(2021·四川省南充高级中学高三期中)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，A ＝π6，且b 2＝a 2＋ac ，则B ＝( )A.π6 B ．π3 C.2π3 D ．π3或2π3答案 B解析 由余弦定理可得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，又A ＝π6，∴a 2＝b 2＋c 2－3bc ，∵b 2＝a 2＋ac ，∴3bc ＝ac ＋c 2，即3b ＝a ＋c ，由正弦定理可得3sin B ＝sin A ＋sin C ，∴3sin B ＝sin π6＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6－B ，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫B －π6＝12，∴B －π6＝π6或5π6，∴B ＝π3或π(舍去)．故选B.18．(2021·秦皇岛市抚宁区第一中学月考)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知3b sin A －a cos B ＝2b －c ，则A ＝( )A.π6 B ．π4 C.π3 D ．2π3 答案 C解析 由已知和正弦定理得3sin B sin A －sin A cos B ＝2sin B －sin C ，即3sin B sin A －sin A cos B ＝2sin B －sin(A ＋B )，即3sin B sin A －sin A cos B ＝2sin B －(sin A cos B ＋cos A sin B )所以3sin B sin A ＝2sin B －cos A sin B ，因为sin B ≠0，所以3sin A ＋cos A ＝2，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π6＝1，所以A ＋π6＝π2＋2k π，k ∈Z ，即A ＝π3＋2k π，k∈Z ，又A ∈(0，π)，所以A ＝π3.故选C.19．(2022·山东省枣庄八中开学考试)在△ABC 中，A ＝π3，b ＝2，其面积为23，则sin A ＋sin B a ＋b等于( )A.14 B ．13 C.36 D ．3＋18答案 A解析 因为在△ABC 中，A ＝π3，b ＝2，其面积为23，所以23＝12bc sin A ，因此c ＝4，所以a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝4＋16－2×2×4×12＝12，所以a ＝23，由正弦定理a sin A ＝b sin B ，可得sin A ＋sin B a ＋b ＝sin A a ＝3223＝14.20．(多选)(2021·山东青岛高三期中)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若a sin A ＝4b sin B ，ac ＝5(a 2－b 2－c 2)，则下列结论正确的是( )A ．a ＝2bB ．cos A ＝55C ．sin B ＝55 D ．△ABC 为钝角三角形答案 ACD解析 由a sin A ＝b sin B ，得a sin B ＝b sin A .又4b sin B ＝a sin A ，两式作比得a 4b ＝ba ，所以a ＝2b ，故A 正确；由ac ＝5(a 2－b 2－c 2)，得b 2＋c 2－a 2＝－55ac ，由余弦定理，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－55ac 2bc ＝－55，故B 错误；由于cos A <0，可得A为钝角，故D 正确；由于2b sin A ＝b sin B ，可得sin B ＝12sin A ＝12×1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－552＝55，故C 正确．故选ACD.21．(多选)(2021·湖北荆州中学上学期月考)在△ABC 中，D 在线段AB 上，且AD ＝5，BD ＝3，若CB ＝2CD ，cos ∠CDB ＝－14，则( )A ．sin ∠CDB ＝310B ．△ABC 的面积为215 C ．△ABC 的周长为12＋26D ．△ABC 为钝角三角形 答案 BCD解析 由cos ∠CDB ＝－14，可得sin ∠CDB ＝1－116＝154，故A 错误；设CD ＝x ，CB ＝2x .在△CBD 中，由余弦定理得－14＝9＋x 2－4x 26x，整理，得2x 2－x－6＝0，解得x ＝2，即CD ＝2，BC ＝4，所以S △ABC ＝S △BCD ＋S △ADC ＝12×3×2×154＋12×5×2×154＝215，故B 正确；由余弦定理得cos B ＝BC 2＋BD 2－CD 22BC ·BD ＝BC 2＋AB 2－AC 22BC ·AB ，即16＋9－42×4×3＝16＋64－AC 22×4×8，解得AC ＝26，故△ABC 的周长为AB ＋AC ＋BC ＝8＋26＋4＝12＋26，故C 正确；在△ABC 中，由余弦定理可得，cos ∠ACB ＝16＋24－642×4×26＝－64<0，故∠ACB 为钝角，故D 正确．故选BCD.22．(2021·宁波中学高三模拟)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且3a cos C ＝4c sin A ，已知△ABC 的面积等于10，b ＝4，则tan C ＝________，a 的值为________．答案 34 253解析 因为3a cos C ＝4c sin A ，由正弦定理得3sin A cos C ＝4sin C sin A ，在△ABC 中，sin A ≠0，所以3cos C ＝4sin C 即tanC ＝34，又根据sin 2C ＋cos 2C ＝1，所以sin C ＝35，又△ABC 的面积等于10，b ＝4，所以S △ABC ＝12ab sin C ＝12a ×4×35＝6a5＝10，所以a ＝253.一、高考大题1．(2021·天津高考)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知sin A ∶sin B ∶sin C ＝2∶1∶2，b ＝ 2.(1)求a 的值； (2)求cos C 的值； (3)求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2C －π6的值．解 (1)∵sin A ∶sin B ∶sin C ＝2∶1∶2， 由正弦定理可得a ∶b ∶c ＝2∶1∶2， 又b ＝2，∴a ＝22，c ＝2. (2)由余弦定理可得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝8＋2－42×22×2＝34.(3)∵cos C ＝34，C ∈(0，π)， ∴sin C ＝1－cos 2C ＝74，∴sin2C ＝2sin C cos C ＝2×74×34＝378， cos2C ＝2cos 2C －1＝2×916－1＝18，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2C －π6＝sin2C cos π6－cos2C sin π6 ＝378×32－18×12＝321－116.2．(2021·新高考Ⅰ卷)记△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知b 2＝ac ，点D 在边AC 上，BD sin ∠ABC ＝a sin C .(1)证明：BD ＝b ；(2)若AD ＝2DC ，求cos ∠ABC .解 (1)证明：∵BD sin ∠ABC ＝a sin C ，由正弦定理，得BD ·b ＝ac . 又b 2＝ac ，所以BD ·b ＝b 2，即BD ＝b . (2)因为AD ＝2DC ， 所以AD ＝23b ，DC ＝13b . 在△ABD 中，由余弦定理，得cos ∠ADB ＝DA 2＋DB 2－AB 22DA ·DB ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23b 2＋b 2－c 22·23b ·b ；在△BCD 中，由余弦定理，得cos ∠BDC ＝DB 2＋DC 2－BC 22DB ·DC ＝b 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13b 2－a 22b ·13b.因为∠ADB ＋∠BDC ＝π，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫23b 2＋b 2－c 22·23b ·b ＋b 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13b 2－a 22b ·13b ＝0，即113b 2＝2a 2＋c 2.又b 2＝ac ，所以113ac ＝2a 2＋c 2，即6a 2－11ac ＋3c 2＝0，即(3a －c )(2a －3c )＝0，所以3a ＝c 或2a ＝3c .当3a ＝c 时，由113b 2＝2a 2＋c 2，得a 2＝13b 2，c 2＝9a 2＝3b 2， 在△ABC 中，由余弦定理，得cos ∠ABC ＝BC 2＋BA 2－AC 22BC ·BA ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝13b 2＋3b 2－b 22b 2＝73b 22b 2＝76＞1，不成立．当2a ＝3c 时，由113b 2＝2a 2＋c 2，得a 2＝32b 2，c 2＝23b 2， 在△ABC 中，由余弦定理，得cos ∠ABC ＝BC 2＋BA 2－AC 22BC ·BA ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝32b 2＋23b 2－b 22b 2＝76b 22b 2＝712. 综上，cos ∠ABC ＝712.3．(2021·北京高考)已知在△ABC 中，c ＝2b cos B ，C ＝2π3. (1)求B 的大小；(2)在下列三个条件中选择一个作为已知，使△ABC 存在且唯一确定，并求出BC 边上的中线的长度．①c ＝2b ；②周长为4＋23；③面积为S △ABC ＝334. 解 (1)∵c ＝2b cos B ，则由正弦定理可得sin C ＝2sin B cos B ， ∴sin2B ＝sin 2π3＝32， ∵C ＝2π3，∴B ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π3，2B ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2π3，∴2B ＝π3，解得B ＝π6. (2)若选择①：由正弦定理结合(1)可得c b ＝sin C sin B ＝3212＝3，与c ＝2b 矛盾，故这样的△ABC 不存在． 若选择②： 由(1)可得A ＝π6，设△ABC 的外接圆半径为R ，则由正弦定理可得a ＝b ＝2R sin π6＝R ， c ＝2R sin 2π3＝3R ，则周长a ＋b ＋c ＝2R ＋3R ＝4＋23， 解得R ＝2，则a ＝2，c ＝23，由余弦定理可得BC 边上的中线的长度为 (23)2＋12－2×23×1×cos π6＝7. 若选择③：由(1)可得A ＝π6，即a ＝b ，则S △ABC ＝12ab sin C ＝12a 2×32＝334， 解得a ＝3，则由余弦定理可得BC 边上的中线的长度为 b 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22－2×b ×a 2×cos 2π3＝3＋34＋3×32＝212.二、模拟大题4．(2021·重庆巴蜀中学高考适应性第三次月考)已知在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，选择下列两个条件之一：①cos2C ＝2sin 2⎝⎛⎭⎪⎫A ＋B 2－1，②a b ＋b a ＋1＝c 2ab 作为已知条件，解答以下问题．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． (1)求角C 的大小；(2)若△ABC 的面积为23，sin A sin B ＝314，求c 的值． 解 (1)若选择条件①：在△ABC 中，因为A ＋B ＋C ＝π，所以cos(A ＋B )＝－cos C ， 因为cos2C ＝2sin 2⎝⎛⎭⎪⎫A ＋B 2－1， 所以cos2C ＝1－cos(A ＋B )－1， 即2cos 2C －cos C －1＝0， 所以(2cos C ＋1)(cos C －1)＝0， 解得cos C ＝－12或cos C ＝1(舍去)， 因为0<C <π，所以C ＝2π3. 若选择条件②：由a b ＋b a ＋1＝c 2ab ，可得a 2＋b 2＋ab ＝c 2，即有a 2＋b 2－c 2＝－ab ， 所以cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－ab 2ab ＝－12， 因为△ABC 中，0<C <π，所以C ＝2π3. (2)△ABC 的面积S ＝12ab sin C ＝23， 结合(1)中C ＝2π3，得ab ＝8， 利用正弦定理，sin A sin B ＝ab (2R )2＝314， 解得2R ＝4213，又C ＝2π3， 所以c ＝2R sin C ＝4213×32＝27.5. (2021·河北省级联测高三第一次考试)已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .a ＝27，b ＝2，且3cos A (c cos B ＋b cos C )＋a sin A ＝0.(1)求A ；(2)设D 为BC 边上一点，且AD ⊥AC ，求△ABD 的面积． 解(1)因为3cos A (c cos B ＋b cos C )＋a sin A ＝0，由正弦定理得3cos A (sin C cos B ＋sin B cos C )＋sin A sin A ＝0，即3cos A sin(B ＋C )＋sin 2A ＝0， 在△ABC 中，sin(B ＋C )＝sin A ≠0， 所以3cos A ＋sin A ＝0， 即tan A ＝sin Acos A ＝－3，因为A 为△ABC 的内角，所以A ＝2π3.(2)在△ABC 中，由余弦定理可得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， 即28＝4＋c 2－2×2c ×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，即c 2＋2c －24＝0.解得c ＝－6(舍去)或c ＝4， 故c ＝4.因为c 2＝b 2＋a 2－2ab cos C ，所以16＝4＋28－2×27×2×cos C ， 所以cos C ＝27，所以CD ＝AC cos C ＝227＝7，所以CD ＝12BC .所以S △ABC ＝12AB ·AC sin ∠BAC ＝12×4×2×32＝23， 所以S △ABD ＝12S △ABC ＝ 3.6．(2021·广东省茂名五校高三第一次联考)在矩形ABCD 所在平面内，E 为矩形ABCD 外一点．且AB ＝2AD ，ED ＝3，AE ＝3.(1)若∠ADE ＝60°，求AD 的长度；(2)若∠DEA ＝θ(θ为钝角)，当多边形ABCDE 的面积最大时，求tan θ的值． 解 (1)在△ADE 中，根据正弦定理，得AE sin ∠ADE ＝DE sin ∠DAE ⇒3sin60°＝3sin ∠DAE⇒sin ∠DAE ＝12.因为AE >DE ，所以∠EAD <60°，所以∠EAD ＝30°，则∠AED ＝90°，所以AD ＝2 3.(2)因为θ是钝角，所以点E 在以AD 为直径的圆内且在矩形ABCD 外，所以多边形ABCDE 是凸五边形．则S 多边形ABCDE ＝S △ADE ＋S 矩形ABCD ，S △ADE ＝332sin θ，S 矩形ABCD ＝AD ·AB ＝2AD 2， 在△ADE 中，由余弦定理，AD 2＝9＋3－63cos θ＝12－63cos θ， S 矩形ABCD ＝2AD 2＝24－123cos θ， 所以S 多边形ABCDE ＝332sin θ－123cos θ＋24 ＝332(sin θ－8cos θ)＋24 ＝31952⎝⎛⎭⎪⎫165sin θ－865cos θ＋24 ＝31952sin(θ－φ)＋24，⎩⎪⎨⎪⎧sin φ＝865，cos φ＝165，当且仅当θ－φ＝π2，即θ＝π2＋φ时， S 多边形ABCDE 取得最大值， 此时sin θ＝cos φ＝165，cos θ＝－sin φ＝－865，所以tan θ＝－18.。

正弦定理、余弦定理练习题年级__________ 班级_________ 学号_________ 姓名__________ 分数____一、选择题(共20题，题分合计100分)1.已知在△ABC中,sin A:sin B:sin C=3:2:4,那么cos C的值为B.D.2.在△ABC中，a=λ,b=λ,A=45°,则满足此条件的三角形的个数是D.无数个3.在△ABC中，b cos A=a cos B，则三角形为A.直角三角形B.锐角三角形C.等腰三角形D.等边三角形4.已知三角形的三边长分别为x2+x+1,x2-1和2x+1(x＞1)，则最大角为°°°°5.在△ABC中，=1，=2，（+）·（+）=5+2则边||等于A.C.D.6.在△ABC中，已知B=30°,b=50,c=150，那么这个三角形是A.等边三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等腰三角形或直角三角形7.在△ABC中，若b2sin2C+c2sin2B=2bc cos B cos C，则此三角形为A.直角三角形B.等腰三角形C.等边三角形D.等腰直角三角形8.正弦定理适应的范围是△B.锐角△ C.钝角△ D.任意△9.已知△ABC中，a=10,B=60°,C=45°，则c=+（-1） C.（+1）10.在△ABC中，b sin A＜a＜b，则此三角形有A.一解B.两解C.无解D.不确定11.三角形的两边分别为5和3，它们夹角的余弦是方程5x2-7x-6=0的根，则三角形的另一边长为12.在△ABC中，a2=b2+c2+bc，则A等于°°°13.在△ABC中，，则△ABC是A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.任意三角形14.在△ABC中，a=2，A=30°,C=45°，则△ABC的面积S△ABC等于A.C.+1D.(+1)15.已知三角形ABC的三边a、b、c成等比数列，它们的对角分别是A、B、C，则sin A sin C 等于+cos2B+sin2B16.在△ABC中，sin A＞sin B是A＞B的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件17.在△ABC中，b Cos A=a cos B，则三角形为A.直角三角形B.锐角三角形C.等腰三角形D.等边三角形18.△ABC中，sin2A=sin2B+sin2C，则△ABC为A.直角三角形B.等腰直角三角形C.等边三角形D.等腰三角形19.△ABC中,A=60°,b=1,这个三角形的面积为,则△ABC外接圆的直径为A.B.C.D.20.在△ABC中，,则k为D.(R为△ABC外接圆半径)二、填空题(共18题，题分合计75分)1.在△ABC中，A=60°，C=45°，b=2，则此三角形的最小边长为.2.在△ABC中，= .3.在△ABC中,a∶b∶c=(+1)∶∶2，则△ABC的最小角的度数为.4.在△ABC中，已知sin A∶sin B∶sin C=6∶5∶4，则sec A= .5.△ABC中，，则三角形为_________.6.在△ABC中，角A、B均为锐角且cos A＞sin B，则△ABC是___________.7.在△ABC中，若此三角形有一解，则a、b、A满足的条件为____________________.8.已知在△ABC中，a=10,b=5,A=45°,则B= .9.已知△ABC中，a=181,b=209,A=121°14′，此三角形解.10.在△ABC中,a=1,b=1,C=120°则c= .11.在△ABC中，若a2＞b2+c2，则△ABC为；若a2=b2+c2，则△ABC为；若a2＜b2+c2且b2＜a2+c2且c2＜a2+b2，则△ABC为.12.在△ABC中，sin A=2cos B sin C，则三角形为_____________.13.在△ABC中，BC=3，AB=2，且，A= .14.在△ABC中，B=,C=3,B=30°，则A= .15.在△ABC中，a+b=12,A=60°，B=45°，则a= ,b= .16.若2,3,x为三边组成一个锐角三角形，则x的范围为.17.在△ABC中，化简b cos C+c cos B= .18.钝角三角形的边长是三个连续自然数，则三边长为.三、解答题(共24题，题分合计244分)1.已知在△ABC中，c=10，A=45°，C=30°，求a、b和B.2.已知△ABC的三边长a=3，b=4，c=，求三角形的最大内角.3.已知在△ABC中，∠A=45°，a=2，c=，解此三角形.4.在四边形ABCD中，BC=a，DC=2a，四个角A、B、C、D度数的比为3∶7∶4∶10，求AB的长.5.在△ABC中，A最大，C最小，且A=2C，A+C=2B，求此三角形三边之比.6.证明：在△ABC中，.（其中R为△ABC的外接圆的半径）7.在△ABC中，最大角A为最小角C的2倍，且三边a、b、c为三个连续整数，求a、b、c的值.8.如下图所示，半圆O的直径MN=2，OA=2，B为半圆上任意一点，以AB为一边作正三角形ABC，问B在什么位置时，四边形OACB面积最大？最大面积是多少？9.在△ABC中，若sin A∶sin B∶sin C=m∶n∶l，且a+b+c=S，求a.10.根据所给条件，判断△ABC的形状（1）a cos A=b cos B(2)11.△ABC中，a+b=10，而cos C是方程2x2－3x－2=0的一个根，求△ABC周长的最小值.12.在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，设a+c=2b,A－C=,求sin B的值.13.已知△ABC中，a=1,b=,A=30°,求B、C 和c.14.在△ABC中，c=2，tan A=3,tan B=2,试求a、b及此三角形的面积.15.已知S△ABC=10,一个角为60°，这个角的两边之比为5∶2，求三角形内切圆的半径.16.已知△ABC中，，试判断△ABC的形状.17.已知△ABC的面积为1，tan B=,求△ABC 的各边长.18.求值：19.已知△ABC的面积，解此三角形.20.在△ABC中，a=,b=2,c=+1，求A、B、C及S△.21.已知（a2+bc）x2+2=0是关于x的二次方程，其中a、b、c是△ABC的三边，(1)若∠A为钝角，试判断方程根的情况.(2)若方程有两相等实根，求∠A的度数.22.在△ABC中，（a2+b2）sin(A-B)=(a2-b2)sin(A+B)，判断△ABC的形状.23.在△ABC中，a＞b,C=，且有tan A·tan B=6，试求a、b以及此三角形的面积.24.已知：k是整数，钝角△ABC的三内角A、B、C所对的边分别为a、b、c（1）若方程组有实数解，求k的值.（2）对于（1）中的k值，若且有关系式,试求A、B、C的度数.正弦定理、余弦定理答案一、选择题(共20题，合计100分)1 A 2A3C 4 B 5 C 6D 7A 8 D 9B 10 B 11 B 12C 13C 14C 16. C 17：C 18A 19C 20. A二、填空题(共18题，合计75分)1.2（-1） 23. 45°4. 85.等腰三角形6.：钝角三角形7.a=b sin A或b＜a8.60°或120°9无10.11.钝角三角形直角三角形锐角三角形12.等腰三角形13.120°14.或215. 36-1216.＜x＜17.a18. 2、3、4三、解答题(共24题，合计244分)=B=105°b=2.∠C=120°3.∠B=75°或∠B=15°b=+1，∠C=60°，∠B=75°或b=－1，∠C=120°，∠B=15°4. AB的长为5.：此三角形三边之比为6∶5∶4=6,b=5,c=48.当θ=时，S四边形OACB最大, 最大值为+29.10（1）△ABC是等腰三角形或直角三角形（2）△ABC为等边三角形11△ABC周长的最小值为12.=60°,B2=120°；C1=90°，C2=30°；c1=2,c2=114..15.16.等边三角形17.18.20. A=60°，B=45°，C=75°，S△=21. (1)没有实数根(2)60°22.等腰三角形或直角三角形23.24.（1）k=1，2，3 （2）C=45°,B=15°。

新高考数学一轮复习考点知识专题讲解与练习考点知识总结29 正弦定理和余弦定理高考 概览本考点是高考必考知识点，常考题型为选择题、填空题和解答题，分值为5分、12分，中、低等难度考纲 研读掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题一、基础小题1．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos A ＝－35，a ＝8，b ＝5，则B ＝( )A.π4 B ．π6 C.π3 D ．5π6 答案 B解析 △ABC 中，cos A ＝－35，所以A ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，所以sin A ＝1－cos 2A ＝45.又a ＝8，b ＝5，由正弦定理得a sin A ＝b sin B ，解得sin B ＝b sin A a ＝5×458＝12，又B ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以B ＝π6.故选B.2．在△ABC 中，若AB ＝8，A ＝120°，其面积为43，则BC ＝( )A ．213B ．413C ．221D ．47 答案 C解析 因为S △ABC ＝12AB ·AC sin A ＝43，故AC ＝2；由余弦定理得，BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC cos A ＝84，故BC ＝221.故选C.3．若△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知b sin2A ＝a sin B ，且c ＝2b ，则ab 等于()A.32 B ．43 C.2 D ． 3 答案 D解析 由b sin2A ＝a sin B ，得2sin B sin A cos A ＝sin A sin B ，得cos A ＝12.又c ＝2b ，由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝b 2＋4b 2－4b 2×12＝3b 2，得a b ＝ 3.故选D.4．△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知ac sin B ＝10sin C ，a ＋b ＝7，且cos C 2＝155，则c ＝( )A ．4B ．5 C.26 D ．7 答案 B解析 ∵ac sin B ＝10sin C .由正弦定理可得abc ＝10c ，即ab ＝10.∵cos C 2＝155，∴cos C ＝2×⎝⎛⎭⎪⎫1552－1＝15，则c ＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝72－2×10－20×15＝5.故选B.5．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，△ABC 的面积为S ，且2S ＝(a ＋b )2－c 2，则tan C ＝( )A.34 B ．43 C.－43 D ．－34 答案 C解析 △ABC 中，∵S ＝12ab sin C ，由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，且2S ＝(a ＋b )2－c 2，∴ab sin C ＝(a ＋b )2－(a 2＋b 2－2ab cos C )，整理得sin C －2cos C ＝2，∴(sin C －2cos C )2＝4.∴(sin C －2cos C )2sin 2C ＋cos 2C＝4，化简可得3tan 2C ＋4tan C ＝0.∵C ∈(0,180°)，∴tan C ＝－43，故选C.6．(多选)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若sin A k ＝sin B 3＝sin C4(k 为非零实数)，则下列结论正确的是( )A ．当k ＝5时，△ABC 是直角三角形B ．当k ＝3时，△ABC 是锐角三角形 C ．当k ＝2时，△ABC 是钝角三角形D ．当k ＝1时，△ABC 是钝角三角形 答案 ABC解析 当k ＝5时，sin A 5＝sin B 3＝sin C4，根据正弦定理不妨设a ＝5m ，b ＝3m ，c ＝4m ，显然△ABC 是直角三角形，A 正确；当k ＝3时，sin A 3＝sin B 3＝sin C4，根据正弦定理不妨设a ＝3m ，b ＝3m ，c ＝4m ，显然△ABC 是等腰三角形，C 为最大角，又a 2＋b 2－c 2＝9m 2＋9m 2－16m 2＝2m 2＞0，说明C 为锐角，故△ABC 是锐角三角形，B 正确；当k ＝2时，sin A 2＝sin B 3＝sin C4，根据正弦定理不妨设a ＝2m ，b ＝3m ，c ＝4m ，显然C 为最大角，又a 2＋b 2－c 2＝4m 2＋9m 2－16m 2＝－3m 2＜0，说明C 为钝角，故△ABC 是钝角三角形，C 正确；当k ＝1时，sin A 1＝sin B 3＝sin C4，根据正弦定理不妨设a ＝m ，b ＝3m ，c ＝4m ，此时a ＋b ＝c ，不能构成三角形，D 错误．故选ABC.7．(多选)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且(a ＋b )∶(a ＋c )∶(b ＋c )＝9∶10∶11，则下列结论正确的是( )A ．sin A ∶sinB ∶sinC ＝4∶5∶6 B ．△ABC 是钝角三角形C ．△ABC 的最大内角是最小内角的2倍D ．若c ＝6，则△ABC 外接圆的半径为877 答案 ACD解析 (a ＋b )∶(a ＋c )∶(b ＋c )＝9∶10∶11，可设a ＋b ＝9t ，a ＋c ＝10t ，b ＋c ＝11t ，解得a ＝4t ，b ＝5t ，c ＝6t ，t ＞0，由正弦定理可得sin A ∶sin B ∶sin C ＝a ∶b ∶c ＝4∶5∶6，故A 正确；由c 为最大边，可得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝16t 2＋25t 2－36t 22·4t ·5t ＝18＞0，即C为锐角，故B 错误；cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝25t 2＋36t 2－16t 22·5t ·6t ＝34，cos2A ＝2cos 2A －1＝2×916－1＝18＝cos C ，由2A ，C ∈(0，π)，可得2A ＝C ，故C 正确；若c ＝6，可得2R ＝csin C ＝61－164＝1677，△ABC 外接圆的半径为877，故D 正确．故选ACD.8．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且cos2B ＋2sin A sin C ＝1，则B 的最大值为________；若b ＝2，则△ABC 的面积的最大值为________．答案 π33解析 由cos2B ＋2sin A sin C ＝1，可得1－2sin 2B ＋2sin A sin C ＝1，即sin 2B ＝sin A sin C ，由正弦定理，可得b 2＝ac ，由余弦定理，可得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ≥2ac －ac 2ac ＝12，当且仅当a ＝c 时，等号成立，所以0＜B ≤π3，于是B 的最大值为π3，△ABC 的面积S ＝12ac sin B ≤12×4×32＝ 3.二、高考小题9．(2022·全国Ⅲ卷)在△ABC 中，cos C ＝23，AC ＝4，BC ＝3，则cos B ＝( ) A.19 B ．13 C.12 D ．23 答案 A解析 ∵在△ABC 中，cos C ＝23，AC ＝4，BC ＝3，由余弦定理得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC ·cos C ＝42＋32－2×4×3×23＝9，∴AB ＝3，∴cos B ＝AB 2＋BC 2－AC 22AB ·BC＝9＋9－162×3×3＝19.故选A.10．(2022·全国Ⅰ卷)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a sin A －b sin B ＝4c sin C ，cos A ＝－14，则bc ＝( )A．6 B．5 C.4 D．3答案A解析∵a sin A－b sin B＝4c sin C，∴由正弦定理得a2－b2＝4c2，即a2＝4c2＋b2.由余弦定理得cos A＝b 2＋c2－a22bc＝b2＋c2－(4c2＋b2)2bc＝－3c22bc＝－14，∴bc＝6.故选A.11．(2022·全国乙卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为3，B＝60°，a2＋c2＝3ac，则b＝________.答案22解析由S△ABC＝12ac sin B，得3＝12ac sin60°，即3＝34ac，解得ac＝4.所以a2＋c2＝3ac＝12.由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2ac cos B＝12－2×4×12＝8.所以b＝2 2.12．(2022·浙江高考)在△ABC中，∠B＝60°，AB＝2，M是BC的中点，AM＝23，则AC＝________；cos∠MAC＝________.答案21323913解析解法一：由∠B＝60°，AB＝2，AM＝23，在△ABM中，由余弦定理可得BM＝4，因为M为BC的中点，所以BC＝8.在△ABC中，由余弦定理可得AC2＝AB2＋BC2－2BC·AB cos B＝4＋64－2×8×2×12＝52，所以AC＝213，所以在△AMC中，由余弦定理，得cos∠MAC＝AC 2＋AM2－MC2 2AC·AM＝52＋12－16 2×213×23＝23913.解法二：由∠B ＝60°，AB ＝2，AM ＝23，在△ABM 中，由余弦定理可得BM ＝4，因为M 为BC 的中点，所以BC ＝8.过点C 作CD ⊥BA 交BA 的延长线于点D ，则BD ＝4，AD ＝2，CD ＝4 3.所以在Rt △ADC 中，AC 2＝CD 2＋AD 2＝48＋4＝52，得AC ＝213.在△AMC 中，由余弦定理，得cos ∠MAC ＝AC 2＋AM 2－MC 22AC ·AM ＝52＋12－162×213×23＝23913. 13．(2022·全国Ⅰ卷) 如图，在三棱锥P －ABC 的平面展开图中，AC ＝1，AB ＝AD ＝3，AB ⊥AC ，AB ⊥AD ，∠CAE ＝30°，则cos ∠FCB ＝________.答案 －14解析 ∵AB ⊥AC ，AB ＝3，AC ＝1，由勾股定理得BC ＝AB 2＋AC 2＝2，同理得BD ＝6，∴BF ＝BD ＝ 6.在△ACE 中，AC ＝1，AE ＝AD ＝3，∠CAE ＝30°，由余弦定理得CE 2＝AC 2＋AE 2－2AC ·AE cos30°＝1＋3－2×1×3×32＝1，∴CF ＝CE ＝1.在△BCF 中，BC ＝2，BF ＝6，CF ＝1，由余弦定理得cos ∠FCB ＝CF 2＋BC 2－BF 22CF ·BC ＝1＋4－62×1×2＝－14.14．(2022·浙江高考)在△ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝4，BC ＝3，点D 在线段AC 上．若∠BDC ＝45°，则BD ＝________，cos ∠ABD ＝________.答案12257210解析 如图，易知sin C ＝45，sin A ＝35，cos A ＝45.在△BDC 中，由正弦定理可得BDsin C ＝BC sin ∠BDC ，∴BD ＝BC sin Csin ∠BDC＝3×4522＝1225.cos ∠ABD ＝cos(45°－∠A )＝22×45＋22×35＝7210.三、模拟小题15．(2022·北京市昌平区实验学校高三期中)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，如果a ＝10，A ＝30°，C ＝105°，那么b ＝( )A.532 B ．52 C ．102 D ．202 答案 C解析 因为A ＝30°，C ＝105°，所以B ＝180°－A －C ＝180°－30°－105°＝45°，由正弦定理可知，a sin A ＝b sin B ⇒10sin30°＝b sin45°⇒1012＝b22⇒b ＝10 2.故选C. 16．(2022·金华市江南中学期中)钝角三角形ABC 的面积是12，AB ＝1，BC ＝2，则AC ＝( )A ．5B ． 5 C.2 D ．1答案 B解析 由面积公式得：12×2sin B ＝12，解得sin B ＝22，所以B ＝45°或B ＝135°，当B ＝45°时，由余弦定理得：AC 2＝1＋2－22cos45°＝1，所以AC ＝1，又因为AB ＝1，BC ＝2，所以此时△ABC 为等腰直角三角形，不合题意，舍去；所以B ＝135°，由余弦定理得AC 2＝1＋2－22cos135°＝5，所以AC ＝ 5.故选B.17．(2022·四川省南充高级中学高三期中)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，A ＝π6，且b 2＝a 2＋ac ，则B ＝( )A.π6 B ．π3 C.2π3 D ．π3或2π3 答案 B解析 由余弦定理可得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，又A ＝π6，∴a 2＝b 2＋c 2－3bc ，∵b 2＝a 2＋ac ，∴3bc ＝ac ＋c 2，即3b ＝a ＋c ，由正弦定理可得3sin B ＝sin A ＋sin C ，∴3sin B ＝sin π6＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6－B ，∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫B －π6＝12，∴B －π6＝π6或5π6，∴B ＝π3或π(舍去)．故选B. 18．(2022·秦皇岛市抚宁区第一中学月考)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知3b sin A －a cos B ＝2b －c ，则A ＝( )A.π6 B ．π4 C.π3 D ．2π3 答案 C解析 由已知和正弦定理得3sin B sin A －sin A cos B ＝2sin B －sin C ，即3sin B sin A －sin A cos B ＝2sin B －sin(A ＋B )，即3sin B sin A －sin A cos B ＝2sin B －(sin A cos B ＋cos A sin B )所以3sin B sin A ＝2sin B －cos A sin B ，因为sin B ≠0，所以3sin A ＋cos A ＝2，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π6＝1，所以A ＋π6＝π2＋2k π，k ∈Z ，即A ＝π3＋2k π，k ∈Z ，又A ∈(0，π)，所以A ＝π3.故选C.19．(2022·山东省枣庄八中开学考试)在△ABC 中，A ＝π3，b ＝2，其面积为23，则sin A ＋sin Ba ＋b等于( )A.14 B ．13 C.36 D ．3＋18 答案 A解析 因为在△ABC 中，A ＝π3，b ＝2，其面积为23，所以23＝12bc sin A ，因此c ＝4，所以a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝4＋16－2×2×4×12＝12，所以a ＝23，由正弦定理asin A ＝b sin B ，可得sin A ＋sin B a ＋b ＝sin A a ＝3223＝14.20．(多选)(2022·山东青岛高三期中)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若a sin A ＝4b sin B ，ac ＝5(a 2－b 2－c 2)，则下列结论正确的是( )A ．a ＝2bB ．cos A ＝55C ．sin B ＝55 D ．△ABC 为钝角三角形 答案 ACD解析 由a sin A ＝b sin B ，得a sin B ＝b sin A .又4b sin B ＝a sin A ，两式作比得a 4b ＝ba ，所以a＝2b ，故A 正确；由ac ＝5(a 2－b 2－c 2)，得b 2＋c 2－a 2＝－55ac ，由余弦定理，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－55ac 2bc ＝－55，故B 错误；由于cos A <0，可得A 为钝角，故D 正确；由于2b sin A ＝b sin B ，可得sin B ＝12sin A ＝12×1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－552＝55，故C 正确．故选ACD.21．(多选)(2022·湖北荆州中学上学期月考)在△ABC 中，D 在线段AB 上，且AD ＝5，BD ＝3，若CB ＝2CD ，cos ∠CDB ＝－14，则( )A ．sin ∠CDB ＝310 B ．△ABC 的面积为215 C ．△ABC 的周长为12＋26 D ．△ABC 为钝角三角形 答案 BCD解析 由cos ∠CDB ＝－14，可得sin ∠CDB ＝1－116＝154，故A 错误；设CD ＝x ，CB ＝2x .在△CBD 中，由余弦定理得－14＝9＋x 2－4x 26x，整理，得2x 2－x －6＝0，解得x ＝2，即CD ＝2，BC ＝4，所以S △ABC ＝S △BCD ＋S △ADC ＝12×3×2×154＋12×5×2×154＝215，故B 正确；由余弦定理得cos B ＝BC 2＋BD 2－CD 22BC ·BD ＝BC 2＋AB 2－AC 22BC ·AB ，即16＋9－42×4×3＝16＋64－AC 22×4×8，解得AC ＝26，故△ABC 的周长为AB ＋AC ＋BC ＝8＋26＋4＝12＋26，故C 正确；在△ABC 中，由余弦定理可得，cos ∠ACB ＝16＋24－642×4×26＝－64<0，故∠ACB 为钝角，故D 正确．故选BCD.22．(2022·宁波中学高三模拟)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且3a cos C ＝4c sin A ，已知△ABC 的面积等于10，b ＝4，则tan C ＝________，a 的值为________．答案 34253解析 因为3a cos C ＝4c sin A ，由正弦定理得3sin A cos C ＝4sin C sin A ，在△ABC 中，sin A ≠0，所以3cos C ＝4sin C 即tanC ＝34，又根据sin 2C ＋cos 2C ＝1，所以sin C ＝35，又△ABC 的面积等于10，b ＝4，所以S △ABC ＝12ab sin C ＝12a ×4×35＝6a 5＝10，所以a ＝253.一、高考大题1．(2022·天津高考)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知sin A ∶sin B ∶sin C ＝2∶1∶2，b ＝ 2.(1)求a 的值； (2)求cos C 的值； (3)求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2C －π6的值．解 (1)∵sin A ∶sin B ∶sin C ＝2∶1∶2， 由正弦定理可得a ∶b ∶c ＝2∶1∶2，又b ＝2，∴a ＝22，c ＝2. (2)由余弦定理可得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝8＋2－42×22×2＝34.(3)∵cos C ＝34，C ∈(0，π)， ∴sin C ＝1－cos 2C ＝74， ∴sin2C ＝2sin C cos C ＝2×74×34＝378， cos2C ＝2cos 2C －1＝2×916－1＝18， ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2C －π6＝sin2C cos π6－cos2C sin π6＝378×32－18×12＝321－116.2．(2022·新高考Ⅰ卷)记△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知b 2＝ac ，点D 在边AC 上，BD sin ∠ABC ＝a sin C .(1)证明：BD ＝b ；(2)若AD ＝2DC ，求cos ∠ABC .解 (1)证明：∵BD sin ∠ABC ＝a sin C ，由正弦定理，得BD ·b ＝ac . 又b 2＝ac ，所以BD ·b ＝b 2，即BD ＝b .(2)因为AD ＝2DC ， 所以AD ＝23b ，DC ＝13b . 在△ABD 中，由余弦定理，得cos ∠ADB ＝DA 2＋DB 2－AB 22DA ·DB ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23b 2＋b 2－c 22·23b ·b ；在△BCD 中，由余弦定理，得cos ∠BDC ＝DB 2＋DC 2－BC 22DB ·DC ＝b 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13b 2－a 22b ·13b.因为∠ADB ＋∠BDC ＝π，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫23b 2＋b 2－c 22·23b ·b ＋b 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13b 2－a 22b ·13b ＝0，即113b 2＝2a 2＋c 2.又b 2＝ac ，所以113ac ＝2a 2＋c 2，即6a 2－11ac ＋3c 2＝0，即(3a －c )(2a －3c )＝0，所以3a ＝c 或2a ＝3c .当3a ＝c 时，由113b 2＝2a 2＋c 2，得a 2＝13b 2，c 2＝9a 2＝3b 2， 在△ABC 中，由余弦定理，得cos ∠ABC ＝BC 2＋BA 2－AC 22BC ·BA ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝13b 2＋3b 2－b 22b 2＝73b 22b 2＝76＞1，不成立．当2a ＝3c 时，由113b 2＝2a 2＋c 2，得a 2＝32b 2，c 2＝23b 2，在△ABC 中，由余弦定理，得cos ∠ABC ＝BC 2＋BA 2－AC 22BC ·BA＝a 2＋c 2－b 22ac＝32b 2＋23b 2－b 22b 2＝76b 22b 2＝712. 综上，cos ∠ABC ＝712.3．(2022·北京高考)已知在△ABC 中，c ＝2b cos B ，C ＝2π3. (1)求B 的大小；(2)在下列三个条件中选择一个作为已知，使△ABC 存在且唯一确定，并求出BC 边上的中线的长度．①c ＝2b ；②周长为4＋23；③面积为S △ABC ＝334. 解 (1)∵c ＝2b cos B ，则由正弦定理可得sin C ＝2sin B cos B ， ∴sin2B ＝sin 2π3＝32， ∵C ＝2π3，∴B ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π3，2B ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2π3，∴2B ＝π3，解得B ＝π6. (2)若选择①：由正弦定理结合(1)可得c b ＝sin C sin B ＝3212＝3，与c ＝2b 矛盾，故这样的△ABC 不存在．若选择②： 由(1)可得A ＝π6，设△ABC 的外接圆半径为R ， 则由正弦定理可得a ＝b ＝2R sin π6＝R ， c ＝2R sin 2π3＝3R ，则周长a ＋b ＋c ＝2R ＋3R ＝4＋23， 解得R ＝2，则a ＝2，c ＝23， 由余弦定理可得BC 边上的中线的长度为 (23)2＋12－2×23×1×cos π6＝7. 若选择③：由(1)可得A ＝π6，即a ＝b ，则S △ABC ＝12ab sin C ＝12a 2×32＝334， 解得a ＝3，则由余弦定理可得BC 边上的中线的长度为 b 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22－2×b ×a 2×cos 2π3＝3＋34＋3×32＝212.二、模拟大题4．(2022·重庆巴蜀中学高考适应性第三次月考)已知在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，选择下列两个条件之一：①cos2C ＝2sin 2⎝⎛⎭⎪⎫A ＋B 2－1，②a b ＋ba ＋1＝c 2ab 作为已知条件，解答以下问题．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． (1)求角C 的大小；(2)若△ABC 的面积为23，sin A sin B ＝314，求c 的值． 解 (1)若选择条件①：在△ABC 中，因为A ＋B ＋C ＝π， 所以cos(A ＋B )＝－cos C ， 因为cos2C ＝2sin 2⎝⎛⎭⎪⎫A ＋B 2－1， 所以cos2C ＝1－cos(A ＋B )－1， 即2cos 2C －cos C －1＝0， 所以(2cos C ＋1)(cos C －1)＝0， 解得cos C ＝－12或cos C ＝1(舍去)， 因为0<C <π，所以C ＝2π3. 若选择条件②：由a b ＋b a ＋1＝c 2ab ，可得a 2＋b 2＋ab ＝c 2，即有a 2＋b 2－c 2＝－ab ，所以cos C＝a 2＋b2－c22ab＝－ab2ab＝－12，因为△ABC中，0<C<π，所以C＝2π3.(2)△ABC的面积S＝12ab sin C＝23，结合(1)中C＝2π3，得ab＝8，利用正弦定理，sin A sin B＝ab(2R)2＝3 14，解得2R＝4213，又C＝2π3，所以c＝2R sin C＝4213×32＝27.5. (2022·河北省级联测高三第一次考试)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.a＝27，b＝2，且3cos A(c cos B＋b cos C)＋a sin A＝0.(1)求A；(2)设D为BC边上一点，且AD⊥AC，求△ABD的面积．解(1)因为3cos A(c cos B＋b cos C)＋a sin A＝0，由正弦定理得3cos A(sin C cos B＋sin B cos C)＋sin A sin A＝0，即3cos A sin(B＋C)＋sin2A＝0，在△ABC中，sin(B＋C)＝sin A≠0，所以3cos A ＋sin A ＝0， 即tan A ＝sin Acos A ＝－3，因为A 为△ABC 的内角，所以A ＝2π3.(2)在△ABC 中，由余弦定理可得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， 即28＝4＋c 2－2×2c ×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，即c 2＋2c －24＝0.解得c ＝－6(舍去)或c ＝4， 故c ＝4.因为c 2＝b 2＋a 2－2ab cos C ，所以16＝4＋28－2×27×2×cos C ， 所以cos C ＝27，所以CD ＝AC cos C ＝227＝7， 所以CD ＝12BC .所以S △ABC ＝12AB ·AC sin ∠BAC ＝12×4×2×32＝23， 所以S △ABD ＝12S △ABC ＝ 3.6．(2022·广东省茂名五校高三第一次联考)在矩形ABCD 所在平面内，E 为矩形ABCD 外一点．且AB ＝2AD ，ED ＝3，AE ＝3.(1)若∠ADE ＝60°，求AD 的长度；(2)若∠DEA ＝θ(θ为钝角)，当多边形ABCDE 的面积最大时，求tan θ的值． 解 (1)在△ADE 中，根据正弦定理，得AE sin ∠ADE ＝DE sin ∠DAE ⇒3sin60°＝3sin ∠DAE⇒sin ∠DAE ＝12.因为AE >DE ，所以∠EAD <60°，所以∠EAD ＝30°，则∠AED ＝90°，所以AD ＝2 3. (2)因为θ是钝角，所以点E 在以AD 为直径的圆内且在矩形ABCD 外，所以多边形ABCDE 是凸五边形．则S 多边形ABCDE ＝S △ADE ＋S 矩形ABCD ，S △ADE ＝332sin θ，S 矩形ABCD ＝AD ·AB ＝2AD 2， 在△ADE 中，由余弦定理，AD 2＝9＋3－63cos θ＝12－63cos θ， S 矩形ABCD ＝2AD 2＝24－123cos θ， 所以S 多边形ABCDE ＝332sin θ－123cos θ＋24 ＝332(sin θ－8cos θ)＋24＝31952⎝⎛⎭⎪⎫165sin θ－865cos θ＋24 ＝31952sin(θ－φ)＋24，⎩⎪⎨⎪⎧sin φ＝865，cos φ＝165，当且仅当θ－φ＝π2，即θ＝π2＋φ时， S 多边形ABCDE 取得最大值，此时sinθ＝cosφ＝165，cosθ＝－sinφ＝－865，所以tanθ＝－18.21 / 21。