(精选3份合集)2020届哈尔滨市第九中学高考数学模拟试卷

哈尔滨市第九中学下学期高三学年第四次模拟考试数学学科试卷（理科）（考试时间：120 分钟满分：150 分共 2 页）第 I 卷(选择题共 60 分)一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.复数11i-（i 是虚数单位）的虚部是A. 1B. iC.12D.2 i2.设集合A x|lg10 x20，集合B x|2x 12，则A BA. 3,1B. 1,3C. 3,1D. 1,33.52xx⎛⎫-⎪⎝⎭的展开式中，x的系数为A.40B.-40C.80D.-804.命题“若x2 4 ，则x 2 且x 2”的否命题为A.若x2 4 ，则x 2 且x 2B.若x2 4 ，则x 2 且x 2C.若x2 4 ，则x 2 或x 2D.若x2 4 ，则x 2 或x 25.抛物线y 4a x2 a 0的焦点坐标是A. 0,aB. a,0C.(0,116a) D.(116a, 0)6.执行如图所示的程序框图，输出的k 值为( )A．7B．9C．3D．117.已知甲,乙两组数据如茎叶图所示,若它们的中位数相同,平均数也相同,则图中的m, n比值m nA. 29B.13C. 1D.388.设a, b是互不垂直的两条异面直线，则下列命题成立的是A.存在唯一平面，使得a ，且b //B. 存在唯一直线l ，使得l // a ，且l bC.存在唯一直线l ，使得l a ，且l bD.存在唯一平面，使得a ，且b9.已知实数x, y 满足1040x yx yy m-+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩,若目标函数z 2 xy 的最大值与最小值的差为2,则实数m的值为A. 4B.2C.3D. 1 210.一个空间几何体的三视图如右图所示，则该几何体的外接球的表面积为A. 24B. 6C. 4D. 211.为得到函数 ysin 3x π⎛⎫+⎪⎝⎭的图象，可将函数 y sin x 的图象向左平移 m 个单位长度，或向右平移 n 个单位长度（ m ， n 均为正数），则| m n |的最小值为A.3π B. 23π C. 43π D. 53π12.已知函数 f xlog xa a x ,要使f x 恒有两个零点，则 a 的取值范围是A. 1(1,)ee B.1, eC.1, 2eD. 12(,)ee e第Ⅱ卷（非 选择 题共 90 分）二、填空题 (本大题共 4 小题，每小题 5 分) 13.已知向量 是两个不共线的向量，若与共线，则=_______________14.由曲线y=x 2,y=x 围成的封闭图形的面积为___________________．15.在小语种提前招生考试中，某学校获得 5 个推荐名额，其中俄语 2 个，日语 2 个，西班牙语 1m 个，日语和俄语都要求有男生参加．学校通过选拔定下 3 男 2 女共 5 名推荐对象，则不同的推比值乙甲n 荐方法共有__________________． 16.已知数列 a n 的通项公式为，其前 n 项和为 S n ，则 S60三、解答题(共 70 分)17.(本题满分 12 分)在 ABC 中，角 A , B ,C 的对边分别为 a ,b , c ，点 (a , b ) 在直线 2x cos B y cos C c cos B上. 求证：(1) 求 cos B 的值； (2) 若 a23, b2, 求角 A 的大小及向量BC uuu r 在BA u uu r 方向上的投影.18. (本题满分 12 分)在某地区举行的一次数学竞赛中，随机抽取了 100 名考生的成绩（单位：分），并把所得数据列成了如下表所示的频数分布表：（1）求抽取的样本平均数x 和样本方差S 2（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）已知这次考试共有 2000 名考生参加， 如果近似地认为这次成绩z 服从正态分布N 2(,)μσ（其中μ近似为样本平均数x , 2σ近似为样本方差S 2），且规定827 .分是复试线，那么在这 2000 名考生中，能进入复试的16112.7≈.若z ～N 2(,)μσ，则，结果取整数部分）（3）已知样本中成绩在[90,100]中的6名考生中，有4名男生，2名女生，现从中选3人进行回访，记选出的男生人数为ξ，求ξ的分布列与期望E（ξ）19. (本题满分 12 分)如图，四棱锥P ABC D 中，底面ABC D是直角梯形， D AB 900, AD // BC ,AD 侧面PAB ，PAB 是等边三角形, DA AB 2 ，BC12AD, E 是线段AB 中点。

黑龙江省哈尔滨市第九中学校2023届高三第二次模拟考试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合{}32A x x =−<，2112x B x x ⎧⎫−=≤⎨⎬−⎩⎭，则A B ⋃=（ ） A ．(]1,2 B ．()1,2 C ．[]1,5− D ．[)1,5−2．命题“[1,2]x ∀∈，20x a −≤”是真命题的充要条件是（ ） A ．4a >B ．4a ≥C ．1a <D ．1a ≥3．已知方程()20,x ax b a b ++=∈R 在复数范围内有一根为23i +，其中i 为虚数单位，则复数i z a b =+在复平面上对应的点在（ ）． A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限4．已知随机变量,X Y 分别满足(8,)X B p ~，()2,Y N μσ，且期望()()E X Y E =，又1(3)2P Y ≥=，则p =（ ） A ．18B ．14C ．38D ．585．密位制是度量角的一种方法，把一周角等分为6000份，每一份叫作1密位的角.在角的密位制中，单位可省去不写，采用四个数码表示角的大小，在百位数与十位数之间画一条短线，如7密位写成“007−”，578密位写成“578−”.若()2sin cos 2sin cos αααα−=，则角α可取的值用密位制表示正确的是（ ） A ．1150−B ．250−C ．1350−D ．3350−6．定义：两个正整数a ，b ，若它们除以正整数m 所得的余数相等，则称a ，b 对于模m 同余，记作()mod a b m =，比如：()2616mod10=.已知0122101010101010888n C C C C =+⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅，满足()mod 7n p =，则p 可以是（ ）A ．23B ．31C ．32D ．197．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b−=>>的左焦点为1F ，直线()0y kx k =>与双曲线C交于,P Q 两点，且12π3PFQ ∠=，114PF FQ ⋅=，则当22212b a a+取得最小值时，双曲线C 的离心率为（ ）A ．3 BC ．2D 8．已知a ，1b >，2b a ≠，22a ba ab +=，则（ ）A ．22(ln ln )b b a a −≤B ．22(ln ln )b b a a−≥ C ．2b a < D ．2b a >二、多选题9．已知圆C ：2230x y Dx Ey ++++=的圆心坐标为()2,0，则（ ） A ．4D =−，0E = B ．圆C 的半径为2C ．圆C 上的点到直线34y x =距离的最小值为15D ．圆C 上的点到直线34y x =距离的最小值为6510．下列说法正确的是（ ）A ．若事件,M N 互斥，()()11,23P M P N ==，则()56P M N ⋃=B ．若事件,M N 相互独立，()()11,23P M P N ==，则()23P M N ⋃=C ．若133(),(),()248P M P M N P M N ===∣∣，则()13P N = D ．若133(),(),()248P M P MN P M N ===∣∣，则()14P N M =∣ 11．已知函数()()πsin 04f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，且()3π2f x f ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，()f x 的最小正周期为T ，π2πT <<，则（ ）A ．56ω=B ．3π12f ⎛⎫= ⎪⎝⎭C ．π3f x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭为奇函数D ．()f x 关于π,02⎛⎫⎪⎝⎭对称12．数学中有许多形状优美，寓意独特的几何体，“勒洛四面体”就是其中之一.勒洛四面体是以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的公共部分.如图，在勒洛四面体中，正四面体ABCD 的棱长为4，则下列结论正确的是（ ）A ．勒洛四面体最大的截面是正三角形B ．若P ，Q 是勒洛四面体ABCD 表面上的任意两点，则PQ 的最大值为4C ．勒洛四面体ABCD的体积是 D ．勒洛四面体ABCD内切球的半径是4三、填空题13．在等比数列{}n a 中，34a =，716a =，则5a =_________.14．设平面向量a ，b 的夹角为60︒，且2a b ==，则a 在b 上的投影向量是______. 15．一组数据为148，150，151，153，153，154，155，156，156，158，163，165，则这组数据的第75百分位数是________.16．“工艺折纸”是一种把纸张折成各种不同形状物品的艺术活动，在我国源远流长，某些折纸活动蕴含丰富的数学内容.例如，用一张圆形纸片，按如下步骤折纸（如图）.步骤1：设圆心是E ，在圆内异于圆心处取一点，标记为F ； 步骤2：把纸片折叠，使圆周正好经过点F ； 步骤3：把纸片展开，并留下一道折痕；步骤4：不停重复步骤2和步骤3，就能得到越来越多的折痕.圆面上所有这些折痕围成一条曲线，记为C .现有半径为4的圆形纸片，定点F 到圆心E 的距离为2，按上述方法折纸，在C 上任取一点M ，O 为线段EF 的中点，则OM 的最小值为________.四、解答题17．ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知()22222(1tan )b b c a A =+−−.(1)求角C ；(2)若c =D 为BC中点，cos B =，求AD 的长. 18．已知数列{}n a 的首项123a =，且满足121n n n a a a+=+．(1)求证：数列11n a ⎧⎫−⎨⎬⎩⎭为等比数列;(2)设数列{}n b 满足**11,2,N 22,21,N 2n n n t t ab n n n t t n n ⎧−=∈⎪⎪=⎨+⎪+−=−∈⎪+⎩，求最小的实数m ，使得122k b b b m +++<对一切正整数k 均成立．19．为调查某地区植被覆盖面积x （单位：公顷）和野生动物数量y 的关系，某研究小组将该地区等面积划分为200个区块，从中随机抽取20个区块，得到样本数据(),(1,2,,20)i i x y i =，部分数据如下：经计算得：20160i i x ==∑，2011200i i y ==∑，()202180i i x x =−=∑，()()201640i i i x x y y =−−=∑.(1)利用最小二乘法估计建立y 关于x 的线性回归方程1l ；(2)该小组又利用这组数据建立了x 关于y 的线性回归方程2l ，并把这两条拟合直线画在同一坐标系xOy 下，横坐标x ，纵坐标y 的意义与植被覆盖面积x 和野生动物数量y 一致.（i ）求这两条直线的公共点坐标. （ii）比较1l 与2l 的斜率大小，并证明.附：y 关于x 的线性回归方程ˆˆˆya bx =+中.()()()121ˆniii nii x x y y b x x ==−−=−∑∑，ˆˆay bx =−，()()niix x y y r −−=∑20．已知函数sin ()e (1)x f x x =−+．(1)求函数()y f x =在点,22f ππ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭处的切线方程； (2)证明：函数()y f x =在(1,0]−上有且仅有一个零点．21．在直角梯形11AA B B 中，11//A B AB ，1AA AB ⊥，11126AB AA A B ===，直角梯形11AA B B 绕直角边1AA 旋转一周得到如下图的圆台1A A ，已知点,P Q 分别在线段1CC ，BC上，二面角111B AA C −−的大小为θ.(1)若120θ=?，123CP CC =，⊥AQ AB ，证明：//PQ 平面11AA B B ；(2)若90θ=︒，点P 为1CC 上的动点，点Q 为BC 的中点，求PQ 与平面11AA C C 所成最大角的正切值，并求此时二面角Q AP C −−的余弦值.22．已知椭圆C ：()2221024x y b b +=<<，设过点()1,0A 的直线l 交椭圆C 于M ，N 两点，交直线4x =于点P ，点E 为直线1x =上不同于点A 的任意一点.(1)若1AM ≥，求b 的取值范围；(2)若1b =，记直线EM ，EN ，EP 的斜率分别为1k ，2k ，3k ，问是否存在1k ，2k ，3k 的某种排列1i k ，2i k ，3i k （其中{}{}123,,1,2,3i i i =，使得1i k ，2i k ，3i k 成等差数列或等比数列？若存在，写出结论，并加以证明；若不存在，说明理由.。

文科数学考试时间：120分钟；试卷总分:150分第I 卷（选择题)一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．若复数(1)(3)mi i ++（i 是虚数单位，m R ∈）是纯虚数，则复数31m ii+-的模等于（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．42．“12m =”是“直线(2)310m x my +++=与直线(2)(2)30m x m y -++-=垂直”的（ ） A ．充分必要条件 B ．充分非必要条件 C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件3．将甲、乙两个篮球队5场比赛的得分数据整理成如图所示的茎叶图，由图可知以下结论正确的是( )A ．甲队平均得分高于乙队的平均得分中乙B ．甲队得分的中位数大于乙队得分的中位数C ．甲队得分的方差大于乙队得分的方差D ．甲乙两队得分的极差相等 4．已知下面程序，若程序执行后输出的结果是11880，则在程序后面的“_____”处应填A ．9i ≥B ．8i =C ．10i ≥D ．8i ≥5．我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里出现了如图所示的表，即杨辉三角，这是数学史上的一个伟大成就.在“杨辉三角”中，第n 行的所有数字之和为12n -，若去除所有为1的项，依次构成数列2,3,3,4,6,4,5,10,10,5,L ，则此数列的前55项和为( )6．有两条不同的直线,m n 与两个不同的平面.αβ，下列结论中正确的是（ ）A ．,,m n m αβαβ⊥=⊥I ，则n β⊥B ．m ,n //αβ⊥，且//αβ，则m n ⊥C ．//,m n n α⊆，则//m αD ．//,//m n αβ且//αβ，则//m n7．已知函数()11|||2|2f x x x x x=++-+-，则下列关于函数()f x 图像的结论正确的是( ） A ．关于点(0,0)对称 B ．关于点(0,1)对称 C ．关于y 轴对称 D ．关于直线1x =对称8．如图，在边长为2的正六边形ABCDEF 中，动圆Q 的半径为1，圆心在线段CD （含端点）上运动，P 是圆Q 上及内部的动点，设向量AP mAB nAF =+u u u v u u u v u u u v（m ，n 为实数），则m n +的最大值是（ ） A ．2B ．3C ．5D ．69．设0.7310.5,log 0.33p q ==，则有（ ） A ．p q pq p q ->>+ B ．p q p q pq ->+>C ．pq p q p q >->+D ．p q p q pq +>->10．设点M (x 0，1)，若在圆O ：x 2＋y 2＝1上存在点N ，使得∠OMN ＝45°，则x 0的取值范围是（ ） A ．[0,1]B ．[1,1]-C ．22[,]22-D ．2[0,]211．如图，已知1,F 2F 分别为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点，P 为第一象限内一点，且满足21122,()0F P a F P F F F P =+⋅=u u u r u u u u r u u u u r，线段2F P 与双曲线C 交于点Q ，若225||F P F Q =，则双曲线C 的渐近线方程为（ ） A ．5y x=±B ．12y x =±C ．3y x =±D ．3y x =± 12．已知数列{}n a 中，112,()1,n n n a n a a a n N *+=-=+∈ ，若对于任意的[]*2,2,a n N ∈-∈，不等式21211n a t at n +<+-+恒成立，则实数t 的取值范围为（ ） A ．(][),21,-∞-⋃+∞ B ．(][),22,-∞-⋃+∞ C ．(][),12,-∞-⋃+∞ D ．[]2,2-第II 卷（非选择题)二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．函数()()5cos 2sin 26f x x x ππ⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭,44x ππ⎛⎫⎡⎤∈- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭的最大值为__________. 14．已知实数x ，y 满足3230{360220x y x y x y --≤-+≥+-≥，在这两个实数x ，y 之间插入三个实数，使这五个数构成等差数列，那么这15．已知,A B 是圆22:82160C x y x y +--+=上两点，点P 在抛物线22x y =上，当APB ∠取得最大值时，AB =__________．16．已知ABC ∆的内角、、A B C 的对边分别为a b c 、、，若2A B =，则2c bb a+的取值范围为______． 三、解答题（本题共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） （一）必考题：共60分.17．（本小题12分）已知向量满足，，函数．（Ⅰ）求在时的值域；（Ⅱ）已知数列，求的前项和．18．（本小题12分）在直三棱柱111ABC A B C -中，12,4AA BC ==，22AB AC ==，过BC 的截面α与面11AB C 交于EF ．（1）求证：EF BC ∥．（2）若截面α过点1A ，求证：α⊥面AEF ． （3）在（2）的条件下，求1A EFA V -．19．（本小题12分）如图，从参加环保知识竞赛的学生中抽出60名，将其成绩（均为整数）整理后画出的频率分布表和频率分布直方图如下，回答下列问题： 分组人数频率 [39．5,49．5） a 0.10 [49．5,59．5） 9 x [59．5,69．5） b 0.15 [69．5,79．5） 18 0.30 [79．5,89．5） 15 y [89．5,99．5] 3 0.05（1）分别求出,,,a b x y 的值，并补全频率分布直方图； （2）估计这次环保知识竞赛平均分；（3）若从所有参加环保知识竞赛的学生中随机抽取一人采访，抽到的学生成绩及格的概率有多大？20．（本小题12分）设函数()(1)ln (1)f x a ax x b x =+---，其中a ，b 是实数．已知曲线()y f x =与x 轴相切于点(1,0)．（1）求常数b 的值；（2）当12x ≤≤时，关于x 的不等式()0f x ≥恒成立，求实数a 的取值范围．21．（本小题12分）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>经过点33A 为椭圆C 的右顶点，直线l 与椭圆相交于不同于点A 的两个点1122(,),(,)P x y Q x y .（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）当•0AP AQ u u u r u u u r=时，求OPQ ∆面积的最大值；（Ⅲ）若直线l 的斜率为2，求证：APQ V 的外接圆恒过一个异于点A 的定点.（二）选考题：共10分。

黑龙江省哈尔滨九中2020届高三高考数学（文科）三模试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合A ＝{－1，12}，B ＝{x |mx －1＝0}，若A∩B ＝B ，则所有实数m 组成的集合是( ) A ．{－1,2}B ．{－12，0,1} C ．{－1,0,2} D ．{－1,0，12} 2．设数列｛n a ｝的前n 项和n s =2n ，则8a 的值为 A ．15B ．16C ．49D ．643．下列函数在其定义域内，既是奇函数又存在零点的是（ ） A ．()1x f x e =- B ．1()f x x x=+ C ．2()f x x x =- D ．22()f x x x=- 4．对四组数据进行统计，获得如图所示的散点图，关于其相关系数的比较，正确的是( )A ．r 2<r 4<0<r 3<r 1B ．r 4<r 2<0<r 1<r 3C ．r 4<r 2<0<r 3<r 1D ．r 2<r 4<0<r 1<r 35．“222a b ab+≤-”是“0a >且0b <”的( )A ．必要不充分条件B ．充要条件C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件6．执行如图所示的程序框图（[x ]表示不超过x 的最大整数），则输出S 的值为（ ）A ．4B ．5C ．7D ．97．已知命题:p 0x R ∃∈，002lg x x ->；命题:q 02x π⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭， ，1sin 2sin x x +>，则（ ）A ．命题p q ∨是假命题B ．命题p q ∧是真命题C ．命题()p q ∧⌝是真命题D ．命题()p q ∨⌝是假命题8．设定义在R 上的函数()f x 满足()(2)1f x f x ⋅+=，若(2)2f =，则(2020)f =（ ） A ．1-B ．1C ．2D ．129．平面向量a 与b 的夹角为60，()2,0a =，223a b +=，则b =（ ）A B ．1C ．2D 110．等比数列{}n a 中，12a =，84a =，函数()()()()128f x x x a x a x a =---，则()0f '=（ ） A ．122B ．92C ．82D ．6211．已知斜率为1k ()10k ≠的直线l 与椭圆2214y x +=交于A ，B 两点，线段AB 的中点为C ，直线OC （O 为坐标原点）的斜率为2k ，则12k k ⋅=（ ） A ．14-B ．4-C ．12-D ．2-12．如图，已知圆的半径为10，其内接三角形ABC 的内角A ，B 分别为60°和45°，现向圆内随机撒一粒豆子，则豆子落在三角形ABC 内的概率为（ ）A ．316π+ B C D二、填空题13．已知复数z 满足1iz i =+(i 为虚数单位)，则||z =________.14．图中（1）（2）（3）（4）为四个平面图形，表中给出了各平面图形中的顶点数、边数以及区域数．现已知某个平面图形有1009个顶点，且围成了1007个区域，试根据以上关系确定这个平面图形的边数为_____．15．如图是某几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积为_____．16．过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一个焦点F 作一条渐近线的垂线，垂足为点A ，与另一条渐近线交于点B ，若2FB FA =，则此双曲线的离心率为_________.三、解答题17．已知向量3sin,14x m ⎛⎫= ⎪⎭，2cos ,cos 44x x n ⎛⎫= ⎪⎝⎭，且函数()f x m n =⋅．（1）若()1f x =，求2cos 3x π⎛⎫-⎪⎝⎭的值； （2）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且满足1cos 2a C cb +=，求()f B 的取值范围．18．如图所示，在三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，A 1A ⊥平面ABC ，AB ＝2BC ，AC ＝AA 1BC ．（1）证明：A 1C ⊥平面AB 1C 1；（2）若D 是棱CC 1的中点，在棱AB 上是否存在一点E ，使DE //平面AB 1C 1？若存在，请确定点E 的位置；若不存在，请说明理由．19．（本小题满分12分）某商场为了了解顾客的购物信息，随机的在商场收集了100位顾客购物的相关数据，整理如下：统计结果显示100位顾客中购物款不低于100元的顾客占60%，据统计该商场每日大约有5000名顾客，为了增加商场销售额度，对一次性购物不低于100元的顾客发放纪念品（每人一件）．（注：视频率为概率）（1）试确定的值，并估计该商场每日应准备纪念品的数量；（2）为了迎接店庆，商场进行让利活动，一次购物款200元及以上的一次返利30元；一次性购物款小于200元的按购物款的百分比返利，具体见下表：估计该商场日均让利多少元？20．高三十二班同学设计了一个如图所示的“蝴蝶形图案”（阴影区域）来预示在6月的高考中，同学们展翅高飞，其中,AC BD 是过抛物线C 的焦点F 的两条弦，且()0,1,0F AC BD ⋅=，点E 为y 轴上一点，记EFA α∠=，其中α为锐角．（1）求抛物线的方程；（2）当“蝴蝶形图案”的面积最小时，求α的大小． 21．已知函数()ln f x x =，()xg x e =．（1）若函数()()11x x f x x ϕ+=--，求函数()x ϕ的单调区间； （2）设直线l 为函数的图象上一点()()00,A x f x 处的切线．证明：在区间()1,+∞上存在唯一的0x ，使得直线l 与曲线()y g x =相切．22．已知圆C 的极坐标方程是2cos ρθ=，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则直线l的参数方程为1x y a ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(t 为参数).若直线l 与圆C 相交于P ，Q两点，且||PQ =. （1）求圆C 的直角坐标方程，并求出圆心坐标和半径； （2）求实数a 的值.23．已知函数()()3,4.f x x g x x m =-=-++(Ⅰ)已知常数2,a <解关于x 的不等式()20f x a +->；（Ⅱ）若函数()f x 的图象恒在函数()g x 图象的上方，求实数m 的取值范围.参考答案1．C 【解析】（1）B =∅，则0m =（2）1B m ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，则11112m m =-=或，解得12m =-或综上，{}m 1,0,2∈-选C点睛：(1)认清元素的属性，解决集合问题时，认清集合中元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合是正确求解的两个先决条件.(2)注意元素的互异性.在解决含参数的集合问题时，要注意检验集合中元素的互异性，否则很可能会因为不满足“互异性”而导致解题错误.(3)防范空集.在解决有关,A B A B ⋂=∅⊆等集合问题时，往往忽略空集的情况，一定先考虑∅是否成立，以防漏解.2．A 【分析】利用887a S S =-求解即可. 【详解】因为数列｛｝的前n 项和n s =2n ， 所以878644915a S S =-=-=， 故选：A. 【点睛】本题主要考查本题主要考查数列的通项公式与前n 项和公式之间的关系，属于中档题. 已知数列前n 项和，求数列通项公式，常用公式11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩. 3．C 【分析】本题先运用()()f x f x -=-判断是否为奇函数，再求零点判断即可.【详解】A 选项：1()11()xx f x ef x e--=-=-≠-，函数不是奇函数，故A 选项错误； B 选项：1()()f x x f x x-=-+=--，函数是奇函数，但不存在零点，故B 选项错误；C 选项：2()()f x x f x x -=+=--，函数是奇函数，且(0f =，故C 选项正确； D 选项：22()()()f x x f x x-=--≠--，函数不是奇函数，故D 选项错误；故选：C. 【点睛】本题考查函数奇偶性的判定，函数是否存在零点，是基础题. 4．A 【分析】根据正相关和负相关以及相关系数的知识，选出正确选项. 【详解】由散点图可知图(1)与图(3)是正相关，故r 1>0，r 3>0，图(2)与图(4)是负相关，故r 2<0，r 4<0，且图(1)与图(2)的样本点集中在一条直线附近，因此r 2<r 4<0<r 3<r 1. 故选:A. 【点睛】本小题主要考查散点图，考查相关系数、正相关和负相关的理解，属于基础题. 5．A 【分析】利用两者之间的推出关系可判断两者之间的条件关系. 【详解】222a b ab +≤-，可得()22220a b a b ab ab+++=≤，⇔0 0a b >⎧⎨<⎩或0 0a b <⎧⎨>⎩， ∴“222a b ab+≤-”是“0a >且0b <”的必要不充分条件，故选：A. 【点睛】本题考查必要不充分条件的判断，此类问题应根据两个条件构造的原命题和逆命题的真假来判断条件关系. 6．B 【分析】根据程序框图，逐步执行，即可得出结果. 【详解】初始值：0S =，0n =第一步：004S =+=<，进入循环；第二步：011n =+=，014S =+=<，进入循环；第三步：112n =+=，124S =+=<，进入循环；第四步：213n =+=，234S =+=<，进入循环；第五步：314n =+=，354S =+=>，结束循环，输出5S =.故选：B. 【点睛】本题主要考查根据循环程序框图求输出值，只需逐步执行框图即可，属于基础题型. 7．B 【分析】根据特殊值，判定p 是真命题；根据基本不等式，判定q 为真命题； 【详解】若03x =，则32g3l ->，所以命题p 是真命题； 又02x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时，()sin 0,1x ∈，1sin 2sin x x +≥=，当且仅当1sin sin =x x ，即sin 1x =时等号成立， 因为()sin 0,1x ∈，所以1sin 2sin x x+>，即命题q 为真命题； 故选：B. 【点睛】本题主要考查判断复合命题的真假，属于基础题型.8．D 【分析】通过赋值0x =，可得1(0)2f =，由递推公式()(2)1f x f x ⋅+=，可得4T =，即可得出结果. 【详解】()(2)1f x f x ⋅+=，(2)2f =，当0x =时可得，1(0)2f =由()(2)1f x f x ⋅+=，可得1(2)()f x f x +=11(4)()1(2)()∴+===+f x f x f x f x 4T ∴=1(2020)(4505)(0)2=⨯==f f f 故选：D 【点睛】本题考查抽象函数求函数值、函数得周期性、特殊值赋值等基本知识，考查了数学运算能力和逻辑推理能力，转化得数学思想，属于中档题目. 9．B 【分析】由题意得出2a =，在等式223a b +=两边平方，可得出关于b 的二次方程，即可求得b 的值.【详解】()2,0a =，2a ∴=，由于平面向量a 与b 的夹角为60，在等式223a b +=两边平方得2244120b a b a +⋅+-=，即2244cos 60120b a b a +⋅+-=，整理得220b b +-=，0b ≥，解得1b =.故选：B.【点睛】本题考查利用平面向量数量积求平面向量的模，由题意得出关于b 的二次方程是解答的关键，考查计算能力，属于中等题. 10．A 【分析】求得()f x '，根据等比数列的下标和性质，即可容易求得结果. 【详解】在等比数列{}n a 中，12a =，84a =， 则345362718242a a a a a a a a ====⨯=，()()()()128f x x x a x a x a =---，()()()()()()()128238f x x a x a x a x x a x a x a ∴=-'--+---()()()()()()138127x x a x a x a x x a x a x a +---++---，因此，()()()()()4312128128022f a a a a a a '=---===.故选：A. 【点睛】本题考查导数的计算，涉及等比数列的下标和性质，属综合基础题. 11．B 【分析】首先设()11,A x y ，()22,B x y ，AB 的中点()00,C x y ，将A ，B 代入椭圆方程再相减得到()()2102011202y y y x x x --+=，从而得到121202k k +⋅=，即可得到答案.【详解】设()11,A x y ，()22,B x y ，AB 的中点()00,C x y ， 则1202x x x +=，1202y y y +=.因为A ，B 两点在椭圆上，所以221114y x +=，222214y x +=.两式相减得：()22222112104x y x y -+=-， ()()()()11112222104x x y y x x y y +-+-+=，()()0122011202x y x y y x --+=，()()2102011202y y y x x x --+=， 即121202k k +⋅=，解得124k k ⋅=-. 故选：B 【点睛】本题主要考查利用点差法求斜率，同时考查学生的计算能力，属于简单题. 12．B 【分析】假设圆的半径为R ，根据题意可知2sin ,2sin ==AC R B BC R A ，根据三角形内角和可知C ，然后利用三角形面积公式可得ABCS，最后根据几何概型的概念，可得结果.【详解】设圆的半径为R 且10R = 由220sin sin ===AC BCR B A，且60,45==A B所以2sin 2sin ====AC R B BC R A 又180A B C ++=，所以75C =()sin 75sin 4530sin 45cos30cos 45sin30=+=+所以6sin 75=则11sin 224△=⋅⋅=⨯ABC S AC BCC 即75△=+ABC S 圆的面积为2100ππ==S R另设向圆内随机撒一粒豆子，则豆子落在ABC 内的概率为P则△===ABC S P S 故选：B 【点睛】本题考查三角形外接圆以及几何概型综合应用，本题关键在于计算,AC BC ，熟悉公式，细心计算，属基础题.13 【分析】先求出复数z ，再利用复数的模的计算公式即可求出． 【详解】1i z i ⋅=+，∴()211111i i i i z i i i ++-====--，即z ==． 【点睛】本题主要考查复数代数形式的运算法则以及复数的模的计算公式的应用，属于基础题． 14．2014 【分析】设平面图形的顶点数为V ，边数为E ，区域数为F ，根据以上4个平面图形可得出2V F E +-=，然后令1009V =，1007F =，可求得E 的值，进而可得结果.【详解】设平面图形的顶点数为V ，边数为E ，区域数为F ，根据表格中的数据可得2V F E +-=， 现已知某个平面图形有1009个顶点，且围成了1007个区域，则1009V =，1007F =，21009100722014E V F ∴=+-=+-=.因此，该平面图形的边数为2014. 故答案为：2014. 【点睛】本题主要考查归纳推理，推导出平面图形的顶点数、边数和围成的平面区域数所满足的等式是解题的关键，考查推理能力与计算能力，属于中等题.15．8π【分析】先还原为直观图，可知是一个三棱锥，再将三棱锥补成长方体，最后计算外接球表面积即可. 【详解】，高为2的长方体，长方体的外接球即为三棱锥的外接球，外接球的直径为长方体的体对角线，故R==22448S Rπππ==⨯=.故答案为：8π.【点睛】本题考查几何体的三视图，考查外接球表面积的求法，考查逻辑思维能力和运算求解能力，考查空间想象能力，属于常考题.16．2【分析】采用数形结合，依题意可知OA是BF的垂直平分线，然后可得32π∠=OFB，进一步可知3π∠=MOF，可得ba=.【详解】如图所示由2FB FA =，则A 为BF 的中点， 又AF OA ⊥，则OA 是BF 的垂直平分线 所以∠=∠OFB OBF ， 又+2π∠∠=OFB AOF ，∠=∠MOF AOF ，MOF OFB OBF ∠=∠+∠所以32π∠=OFB ，则6π∠=OFB ，所以3π∠=MOF又渐近线MB 的方程为b y x a =所以tan tan 3π∠===bMOF a则223b a =，又222b c a =-，则2223c a a-=， 所以224c a =，即2c a =，则2ce a== 故答案为：2 【点睛】本题是对双曲线的渐近线以及离心率的综合考查，本题关键在于得到3π∠=MOF ，考查分析能力以及计算能力，属中档题. 17．（1）12-；（2）31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭．【分析】（1）由已知可得1()sin 262x f x π⎛⎫=++⎪⎝⎭，再由()1f x =得1sin 262x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，而222cos 2cos 12sin 133262x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，从而可求得结果；（2）由1cos 2a C c b +=结合余弦定理可得1cos 2A =，得角A 的值，从而可得角B 的范围，进而可求出()f B 的取值范围 【详解】（1）由题意得211()cos cos cos 4442222x x x x x f x =+=++1sin 262x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭因为()1f x =，所以1sin 262x π⎛⎫+=⎪⎝⎭， 所以2221cos 2cos 12sin 1332622x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=+-=-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．（2）因为22222211cos 222a b c a C c b a c b b c a bc ab +-+=⇒⨯+=⇒+-=．所以1cos 2A =， 又(0,)A π∈，所以3A π=．所以2036262B B ππππ<<⇒<+<， 1sin 1226B π⎛⎫<+< ⎪⎝⎭，131sin 2622B π⎛⎫<++< ⎪⎝⎭ 所以13()sin 1,2622B f B π⎛⎫⎛⎫=++∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．【点睛】此题考查余弦定理的应用，考查平面向量的数量积的坐标运算，考查三角函数恒等变换公式的运用，考查计算能力，属于中档题.18．（1）见解析，（2）存在，E 为AB 的中点，理由见解析 【分析】（1）根据三边满足勾股定理逆定理得ABC 为直角三角形，从而BC AC ⊥，又A 1A ⊥平面ABC ，得11,AA BC BC CC ⊥⊥，从而BC ⊥平面11ACC A ，则1BC A C ⊥，因AC ＝AA 1，则侧面11ACC A 为正方形，从而11AC C A ⊥，又1111B C AC C =，根据线面垂直的判定定理可得A 1C ⊥平面AB 1C 1；（2）存在点E ，且E 为AB 的中点，取1BB 的中点F ，连接FD ，则FD //11B C ，因E 为AB 的中点，连接EF ，则EF //1AB ，11B C 与1AB 是相交直线，从而平面DEF //平面11AB C ，所以根据线面面平行的性质定理可得DE //平面AB 1C 1.【详解】（1）证明：因为AB ＝2BC ，AC ＝AA 1， 所以ABC 为直角三角形，且2ACB π∠=，所以BC AC ⊥，因为A 1A ⊥平面ABC ，所以11,AA BC BC CC ⊥⊥， 因为1ACCC C =，所以BC ⊥平面11ACC A ，所以1BC A C ⊥，则111B C AC ⊥，因为1AC AA =,所以四边形11ACC A 为正方形，所以11AC C A ⊥， 因为1111B C AC C =，所以A 1C ⊥平面AB 1C 1，（2）解：存在点E ，且E 为AB 的中点，理由如下：取1BB 的中点F ，连接FD ，则FD //11B C ， 因为11B C 在平面DEF 外，FD 在平面DEF 内， 所以11B C //平面DEF ，因为E 为AB 的中点，连接EF ，则EF //1AB ， 因为1AB 在平面DEF 外，EF 在平面DEF 内，所以1AB //平面DEF ， 因为11B C 与1AB 是相交直线， 所以平面DEF //平面11AB C ， 因为DE 在平面DEF 内， 所以DE //平面AB 1C 1.【点睛】此题考查了直线与平面垂直的判定，以及直线与平面平行的判定，考查了化归与转化的数学思想，以及空间想象能力、推理能力和运算能力，属于中档题. 19．（1）3000；（2）52000． 【解析】试题分析：本题主要考查统计表、频率、频率分布直方图等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力．第一问，先利用100位顾客中购物款不低于100元的顾客占60%，则n +10+30=100×60%，则可求出n 的值，再利用总数为100，得到m 的值，不低于100元的顾客占60%，则用5000×60%得到纪念品数量；第二问，先分别求出每个购物区间在5000人中分别有多少人，再用区间的平均数×返利百分比×求出的人数，得到结论．试题解析：（1）100位顾客中购物款不低于100元的顾客有n +10+30=100×60%，n =20； m =100−(20+30+20+10)=20． 该商场每日应准备纪念品的数量大约为5000×60100=3000．（2）设购物款为a 元，当a ∈[50,100)时，顾客有5000×20%=1000人， 当a ∈[100,150)时，顾客有5000×30%=1500人， 当a ∈[150,200)时，顾客有5000×20%=1000人，当a ∈[200,+∞)时，顾客有5000×10%=500人，所以估计日均让利为75×6%×1000+125×8%×1500+175×10%×1000+30×500 =52000元考点：统计表、频率、频率分布直方图．20．（1）24x y =；（2）.【分析】试题分析：（1）由抛物线的焦点坐标即可得到抛物线的标准方程；（2）由题意结合图形，把、、、四点的坐标分别用、、、和表示，代入抛物线方程后最终求得、、、，对三角形面积化简整理，换元后利用配方法求面积的最小值． 【详解】（1）由题意可得抛物线方程为：24x y =．（2）由抛物线Γ焦点()0,1F 得，抛物线Γ方程为24x y =；设AF m =，则点()sin ,cos 1A m m αα-+，()()2sin 41cos m m αα-=+，即22sin 4cos 40m m αα--=．解得：()22cos 1sin m αα±=， 0m >，()22cos 1sin AF αα+=．同理：()()()22221sin 21sin 21cos ,,cos cos sin BF DF CF αααααα-+-===． “蝴蝶形图案”的面积()244sin cos sin cos △△αααα-=+=APB CPB S S S ，令[)11sin cos ,0,,2,2t t tαα⎛⎤=∈∈+∞ ⎥⎝⎦．则221114412t S t t -⎛⎫=⋅=-- ⎪⎝⎭， 当12t =，即4πα=时“蝴蝶形图案”的面积最小为．考点：（1）抛物线的简单性质；（2）平面向量数量积的运算. 21．（1）增区间()0,1和()1,+∞；（2）证明见解析. 【分析】（1）求得函数()y x ϕ=的定义域和导数，分析导数的符号变化，即可得出函数()y x ϕ=的单调递增区间和递减区间； （2）求得直线l 的方程为001ln 1y x x x =+-，设直线l 与函数()y g x =相切于点()(),t g t ，可得出0ln t x =-，进而可将直线l 的方程表示为0001ln 1x y x x x +=+，可得0001ln 1x x x +=-，然后利用（1）中的函数()1ln 1x x x x ϕ+=--在区间()1,+∞上的单调性结合零点存在定理可证得结论成立. 【详解】（1）()()11ln 11x x x f x x x x ϕ++=-=---，定义域为()()0,11,+∞，()()()222121011x x x x x x ϕ+'=+=>--， 所以，函数()y x ϕ=的单调递增区间为()0,1，()1,+∞；（2）()ln f x x =，()001f x x '∴=， 所以，直线l 的方程为()0001ln y x x x x -=-，即001ln 1y x x x =+-，()x g x e =，则()x g x e '=，设直线l 与函数()y g x =相切于点()(),t g t ，则()01t g t e x '==，得0ln t x =-，则切点坐标为001ln ,x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭， 所以，直线l 的方程可表示为()00011ln y x x x x -=+，即0001ln 1x y x x x +=+， 由题意可得000ln 1ln 1x x x +-=，则0001ln 1x x x +=-， 下面证明：存在唯一的()01,x ∈+∞使得0001ln 1x x x +=-. 由（1）知，函数()1ln 1x x x x ϕ+=--在区间()1,+∞上单调递增， ()2ln 230ϕ=-<，()22222132011e e e e e ϕ+-=-=>--， 由零点存在定理可知，存在唯一的()202,x e ∈，使得()00x ϕ=，即0001ln 1x x x +=-. 所以，存在唯一的()01,x ∈+∞使得0001ln 1x x x +=-. 因此，在区间()1,+∞上存在唯一的0x ，使得直线l 与与曲线()y g x =相切.【点睛】本题考查利用导数求解函数的单调区间，同时也考查了利用导数证明直线与曲线相切，考查了零点存在定理的应用，考查推理能力与计算能力，属于难题.22．（1）C ：2220x y x +-=，圆C 圆心为(1,0)，半径为1；（2）1a =±.【分析】（1）依题意可知22cos ρρθ=，然后根据222,cos x y x ρρθ==+，可得圆C 的直角坐标方程，转化为圆的标准方程形式，可得结果.（2）通过消参可得直线的普通方程，根据圆的半径以及||PQ ，可得圆心到直线的距离，然后利用圆心到直线的距离公式，简单计算可得结果.【详解】（1）圆C 的极坐标方程是2cos ρθ=，则22cos ρρθ=，由222,cos x y x ρρθ==+，则222x y x +=，即()2211x y -+=，所以圆C 的直角坐标方程为()2211x y -+=圆C 圆心为(1,0)，半径为1.（2）由题可得直线l 的普通方程为220x y a -+-=，又||5PQ =，半径1r =可得圆心到直线l 得距离d则==d = 则1a =±.【点睛】本题考查极坐标方程、参数方程、普通方程的转化，熟记222,cos ,sin x y x y ρρθρθ=+==，以及消参法的应用，重在计算，属基础题.23．（Ⅰ）()(),15,.a a -∞+⋃-+∞（Ⅱ）(),7-∞【解析】试题分析: （Ⅰ）去掉绝对值结合2a <即可求出不等式的解集;（Ⅱ）函数()f x 的图像恒在函数()g x 图像的上方，转化为()()f x g x >恒成立,分离参变量,利用绝对值不等式求出函数的最值,进而求得参数的范围.试题解析:（Ⅰ）由()20f x a +->得32,(2)x a a ->-<,所以32x a ->-或3 2.x a -<-所以5x a >-或1x a <+,故不等式解集为()(),15,.a a -∞+⋃-+∞（Ⅱ）因为函数()f x 的图像恒在函数()g x 图像的上方，所以()()f x g x >恒成立，则34m x x <-++恒成立，因为()()34347x x x x -++≥--+=,所以m 的取值范围是(),7-∞点睛:本题考查解不等式以及由恒成立问题转化的含绝对值函数的最值问题,属于基础题目. 对绝对值三角不等式:|a |－|b |≤|a ±b |≤|a |＋|b |.(1)当ab ≥0时，|a ＋b |＝|a |＋|b |；当ab≤0时，|a－b|＝|a|＋|b|.(2)该定理可以推广为|a＋b＋c|≤|a|＋|b|＋|c|，也可强化为||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|，它们经常用于含绝对值的不等式的推证．。

2020届黑龙江省哈尔滨市第九中学高三5月第二次模拟考试文科数学试题一、单选题(★) 1. 已知集合，，则（）A．B．C．D．(★) 2. 已知复数满足则（）A．B．C．D．(★) 3. 设非零向量满足，，则与的夹角为（）A．150°B．120°C．60°D．30°(★★★) 4. 4张卡片上分别写有数字1，2，3，4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数学之和为偶数的概率是（）A．B．C．D．(★★) 5. 平面∥ 平面的一个充分条件是（）A．存在一条直线，∥，∥B．存在一条直线，⊂，∥C．存在两条平行直线，，⊂，⊂，∥，∥D．存在两条异面直线，，⊂，⊂，∥，∥(★) 6. 函数图象中最近的对称中心与对称轴间的距离为（）A．B．C．D．(★★) 7. 双曲线的两条渐近线与直线围成一个三角形区域，表示该区域的不等式组是（）A．B．C．D．(★★★) 8. 若，，则的值是（）A．B．C．D．(★★) 9. 甲、乙、丙三人中，一人是律师，一人是医生，一人是记者．已知丙的年龄比医生大；甲的年龄和记者不同；记者的年龄比乙小，根据以上情况，下列判断正确的是（）A．甲是律师，乙是医生，丙是记者B．甲是医生，乙是记者，丙是律师C．甲是医生，乙是律师，丙是记者D．甲是记者，乙是医生，丙是律师(★★★) 10. 过椭圆的左顶点A的斜率为的直线交椭圆C于另一个点B，且点B在轴上的射影恰好为右焦点F，若则椭圆离心率的取值范围是（）A．B．C．D．(★★★) 11. 已知空间几何体是由圆柱切割而成的阴影部分构成，其中，为下底面圆直径的两个端点，，为上底面圆直径的两个端点，且，圆柱底面半径是1，高是2，则空间几何体可以无缝的穿过下列哪个图形（）A．椭圆B．等腰直角三角形C．正三角形D．正方形(★★★)12. 有限数列为其前项和，定义为的“凯森和”，如有504项的数列的“凯森和”为2020，则有505项的数列的“凯森和”为（）A．2014B．2016C．2018D．2020二、填空题(★) 13. 已知是定义在上的偶函数，且当时，，则当时，______．(★) 14. 已知函数，则______．(★) 15. 抛物线的焦点恰好为双曲线的上焦点，则______．三、双空题(★★★) 16. 在中，，，所对的边分别为，，且满足，，则_____，若，则的面积______．四、解答题(★★★) 17. 如图，正三棱柱的底面边长为，点在边上，是以点为直角顶点的等腰直角三角形．（1）求证：点 为 边的中点； （2）求点 到平面的距离． (★★) 18. 等比数列{}的前n 项和为，已知,,成等差数列（1）求{ }的公比q ；（2）求 －＝3，求(★) 19. 某车间 名工人年龄数据如下表：年龄（岁）工人数（人）合计（1）求这名工人年龄的众数与极差；（2）以十位数为茎，个位数为叶，作出这 名工人年龄的茎叶图；（3）求这名工人年龄的方差.(★★★) 20. 设 O为坐标原点，动点 M在椭圆 C 上，过 M作 x轴的垂线，垂足为N，点 P满足.（1）求点 P的轨迹方程；（2）设点在直线上，且.证明：过点 P且垂直于 OQ的直线过 C的左焦点 F.(★★★★) 21. 已知函数，.（Ⅰ）求函数的极值；（Ⅱ）若实数为整数，且对任意的时，都有恒成立，求实数的最小值.(★★★) 22. 已知曲线C ：（t为参数）， C ：（为参数）．（1）化C ，C 的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；（2）若C 上的点P对应的参数为，Q为C 上的动点，求中点到直线（t为参数）距离的最小值．(★★★) 23. 若，，，，求证：．。

2020年黑龙江省哈尔滨九中高考数学二模试卷(文科)一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合P={y|y=−x2+2,x∈R}，Q={x|y=−x+2,x∈R}，那么P∩Q等于()A. (0,2)，(1,1)B. {(0,2)，(1,1)}C. {1,2}D. {y|y⩽2}2.若1+ai2+i=1+2i，则复数a=()A. −5−iB. −5+iC. 5−iD. 5+i3.已知|a⃗|=1,b⃗ =(√3,1)，且a⃗与b⃗ 的夹角为90°，则|2a⃗+b⃗ |为()A. 2√3B. 2√2C. √7D. 24.从分别写有1，2，3，4的4张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为A. 14B. 38C. 12D. 585.已知α，β是两个不重合的平面，在下列条件中，可确定α//β的是()A. α，β都平行于直线lB. α内有三个不共线的点到β的距离相等C. l，m是α内两条直线，且l//β，m//βD. l，m是两条异面直线，且l//β，m//β，l//α，m//α6.函数f(x)=sin (x−π4)的一个对称中心是()A. (−π2,0) B. (π2,0) C. (−π4,0) D. (π4,0)7.双曲线x2−y29=1的渐近线的斜率是()A. ±19B. ±13C. ±3D. ±98.已知α∈(π4,π)，若，则cosα=()A. −2√55B. 2√55C. −√55D. √559.已知甲、乙、丙三人中，一人是数学老师，一人是英语老师、一人是语文老师.若丙的年龄比语文老师大，甲的年龄和英语老师不同，英语老师的年龄比乙小.根据以上情况，下列判断正确的是()A. 甲是数学老师、乙是语文老师、丙是英语老师B. 甲是英语老师、乙是语文老师、丙是数学老师C. 甲是语文老师、乙是数学老师、丙是英语老师D. 甲是语文老师、乙是英语老师、丙是数学老师10.椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左顶点为A，右焦点为F，过点F且垂直于x轴的直线交C于P，Q两点，若cos∠PAQ=35，则椭圆C的离心率e为()A. 12B. √22C. √33D. √2311.定义A∗B，B∗C，C∗D，D∗B依次对应下列4个图形：则下列4个图形中，可以表示A∗D，A∗C的图形分别是()A. (1)(2)B. (1)(3)C. (2)(4)D. (1)(4)12.等差数列{a n}的前n项和为S n，a7+a8+⋯+a11=35，则S17的值为()A. 117B. 118C. 119D. 120二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知函数f(x)为偶函数，且当x<0时f(x)=x2+2x+3，则f(x)的解析式为__________．14.已知函数f(x)=cosx，则______．15.已知双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程是y=2x，它的一个焦点与抛物线y2=20x的焦点相同，则此双曲线的方程是____________．16.在△ABC中，若asinA+bsinB−csinC=√3asinB.则角C等于______ ．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.在直三棱柱中，AA1=AB=BC=3,AC=2,D是AC中点．(Ⅰ)求点B1到平面A1BD的距离；(Ⅱ)求二面角A1−DB−B1的正弦值．18.已知{a n}是等比数列．(1)若a1=−1，q=1，求前n项和S n．(2)若a1=1，S3=3，求公比q．419.某年级教师年龄数据如下表：(Ⅰ)求这20名教师年龄的众数与极差；(Ⅱ)以十位数为茎，个位数为叶，作出这20名教师年龄的茎叶图；(Ⅲ)现在要在年龄为29岁和31岁的教师中选2位教师参加学校有关会议，求所选的2位教师年龄不全相同的概率．20.已知0<m<2，动点M到两定点F1(−m,0)，F2(m,0)的距离之和为4，设点M的轨迹为曲线C，)．若曲线C过点N(√2,√22(1)求m的值以及曲线C的方程；(2)过定点(65,0)且斜率不为零的直线l 与曲线C 交于A ，B 两点．证明：以AB 为直径的圆过曲线C 的右顶点．21. 已知f(x)=12x 2，g(x)=alnx(a >0)．(1)求函数F(x)=f(x)g(x)的极值; (2)求证：当x >0时，lnx +34x 2−1e x >0．22. 【选修4−4:坐标系与参数方程】已知直线l 的参数方程为{x =12+√22t,y =12−√22t(t 为参数)，椭圆C 的参数方程为{x =2cosα,y =sinα(α为参数).在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，点A 的极坐标为2，π3．(1)求椭圆C 的普通方程和点A 在直角坐标系下的坐标;(2)直线l与椭圆C交于P，Q两点，求△APQ的面积．23.(1)已知a，b，c∈R+，且a+b+c=1，证明：1a +1b+1c≥9;(2)已知a，b，c∈R+，且abc=1，证明：1a +1b+1c≥√c+√b+√a．-------- 答案与解析 --------1.答案：D解析：本题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解答本题的关键，属于基础题．先求出集合P，Q，结合交集的定义，可得答案．解：∵集合P={y|y=−x2+2,x∈R}={y|y≤2}，Q={x|x∈R}，∴P∩Q={y|y⩽2}．故选D.2.答案：D解析：本题考查复数的运算，属于基础题．根据复数的运算法则求解即可．解：由题意可知：(1+ai)=(2+i)(1+2i)=5i，=5+i．则a=5i−1i故选：D．3.答案：B解析：本题考查向量数量积的坐标计算，关键是掌握向量数量积的坐标计算公式．根据题意，由b⃗ 的坐标可得|b⃗ |=2，又由(2a⃗+b⃗ )2=4a⃗2+b⃗ 2+4a⃗⋅b⃗ ，代入数据可得(2a⃗+b⃗ )2的值，将其变形即可得答案．解：根据题意，b⃗ =(√3,1)，则|b⃗ |=2，则(2a⃗+b⃗ )2=4a⃗2+b⃗ 2+4a⃗⋅b⃗ =8，则|2a⃗+b⃗ |=2√2；故选B．4.答案：B解析：本题考查古典概型，属于基础题．先求出基本事件总数n=4×4=16，再用列举法求出抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数包含的基本事件个数，由此能求出抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率．从写有1，2，3，4的4张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，基本事件的个数为4×4=16，抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的基本事件为(2,1)，(3,1)，(3,2)，(4,1)，(4,2)，(4,3)共6个，因此抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为616=38．故选B．5.答案：D解析：本题考查面面平行的判定.利用面面平行的判定定理，逐项排除，即可得出结果．解：A.α，β都平行于直线l，则α与β平行或相交，所以不正确；B.α内有三个不共线的点到β的距离相等，则α与β平行或相交，所以不正确；C.l，m是α内两条直线，且l//β，m//β，l，m可能相交或平行，则α与β平行或相交，所以不正确；D.∵l//β，m//β，∴在β内有两条直线l′，m′满足l′//l，m′//m，又l//α，m//α，∴l′//α，m′//α，又l与m异面，∴l′与m′相交，∴α//β，所以正确．故选D．6.答案：D解析：本题考查函数y=Asin(ωx+φ)的图象与性质，属于基础题．求出函数f(x)=sin(x−π4)的对称中心，取k=0即可求解．解：令x−π4=kπ,k∈Z，得x=kπ+π4,k∈Z，即函数的对称中心为(kπ+π4,0),k∈Z，当k=0时，得(π4,0)为函数f(x)=sin(x−π4)的一个对称中心．故选D．7.答案：C解析：【试题解析】本题主要考查了双曲线的性质及几何意义，属于基础题．求出双曲线的渐近线方程，然后推出结果．解：双曲线x2−y29=1渐近线方程为：y=±3x，双曲线x2−y29=1的渐近线的斜率为：±3，故选C．8.答案：D解析：本题考查同角三角函数的基本关系以及二倍角公式，属于简单题．先根据已知条件求出，再运用二倍角公式，解方程，即可得到答案．解：由α∈(π4,π)得到，因为sin2α=45>0，所以，所以，，由二倍角公式可以得到，又因为α∈(π4,π2 )，所以cosα=√55．故选D．9.答案：C解析：本题考查合情推理，考查学生的逻辑思维能力，题目难度一般．根据条件逐级推理即可．解：由甲的年龄和英语老师不同，英语老师的年龄比乙小，可知丙是英语老师．由丙的年龄比语文老师大，英语老师的年龄比乙小，可知甲是语文老师．所以乙是数学老师．故选C．10.答案：A解析：本题考查椭圆的几何性质，求出P、Q的坐标，由∠PAF的正切值建立a，b，c的关系式求离心率．解：P的横坐标为c，代入椭圆方程得纵坐标为b2a，所以|PF|=b2a，|AF|=a+c，所以，由，得，所以b 2a(a+c)=12，所以，故选A ．11.答案：C解析：此题考查了进行简单的合情推理，根据题意确定出A 、B 、C 、D 分别对应的图形是解本题的关键．根据题中新运算所对应的图形确定出A ，B ，C ，D 分别对应的图形，即可得到正确结果．解：根据题意得：A 、B 、C 、D 分别对应的图形为则表示A ∗D ，A ∗C 的分别是(2)、(4)．故选C ．12.答案：C解析：本题考查了等差数列的通项公式性质及其前n 项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 利用等差数列的性质可得a 9，再利用等差数列的前n 项和公式及其性质即可得出．解：∵等差数列{a n }满足：a 7+a 8+⋯+a 11=35，∴5a 9=35，解得a 9=7.则S 17=17(a 1+a 17)2=17a 9=119.故选C .13.答案：f(x)={x 2−2x +3,x >0x 2+2x +3,x <0.解析：由已知，由x >0，则−x <0，有f(−x)=(−x)2+2(−x)+3=x 2−2x +3，又函数为偶函数，所以f(x)=f(−x)=x 2−2x +3，因此f(x)={x 2−2x +3,x >0x 2+2x +3,x <0.14.答案：−1解析：本题考查了基本导数公式，属于基础题．先求导，再代值计算即可．解：∵f(x)=cosx，∴f′(x)=−sinx，∴f(π2)+f′(π2)=cosπ2−sinπ2=−1，故答案为：−1．15.答案：x25−y220=1解析：本题考查双曲线与抛物线的性质及几何意义，考查函数与方程思想，考查运算求解能力，属于中档题．求得抛物线的焦点，可得双曲线的焦点(5,0)，根据渐近线方程，可得双曲线b=2a，根据c=√a2+b2，联立解方程即可得到a，b的值，由此写出双曲线方程．解：抛物线y2=20x的焦点为(5,0)，则双曲线的焦点在x轴上，双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线为y=2x，可得b=2a，由题意双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的一个焦点与抛物线y2=20x的焦点相同，可得√a2+b2=5，解得a=√5，b=2√5，则双曲线的方程为：x25−y220=1．故答案为：x25−y220=1．16.答案：π6解析：解：∵asinA+bsinB−csinC=√3asinB．∴由正弦定理可得a2+b2−c2=√3ab，∴由余弦定理可得cosC =a 2+b 2−c 22ab =√32， ∵0<C <π，∴C =π6．故答案为：π6． 根据正弦定理和余弦定理将条件进行化简即可得到结论．本题主要考查三角函数角的求解，利用正弦定理和余弦定理是解决本题的关键，属于基础题． 17.答案：(1)解：如图建立空间直角坐标系，则B 1(0,2√2,3)，B(0,2√2,0)，A 1(−1,0，3)，DB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2√2,3)，∴DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2√2,0),DA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,0,3)，，设平面A 1BD 的法向量为n 1⃗⃗⃗⃗ =(x,y,z)，由n 1⃗⃗⃗⃗ ·DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,n 1⃗⃗⃗⃗ ·DA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，得{2√2y =0−x +3z =0，令z =1，∴n 1⃗⃗⃗⃗ =(3,0,1)， ∴点B 1到平面A 1BD 的距离d =|n 1⃗⃗⃗⃗⃗ ·DB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||n 1⃗⃗⃗⃗⃗ |=3√1010． (2)解：易得平面DBB 1的一个法向量为n 2⃗⃗⃗⃗ =(1,0,0)， ∴cos <n 1⃗⃗⃗⃗ ,n 2⃗⃗⃗⃗ >=n 1⃗⃗⃗⃗⃗ ·n 2⃗⃗⃗⃗⃗ |n 1⃗⃗⃗⃗⃗ ||n 2⃗⃗⃗⃗⃗ |=3√1010，∴二面角A 1−DB −B 1的余弦值为3√1010． ∴二面角A 1−DB −B 1的正弦值为√1010．解析：本题考查用向量法求点到平面的距离和二面角问题，是中档题．(1)建立空间直角坐标系，求出平面A 1BD 的法向量n 1⃗⃗⃗⃗ ，以及向量DB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标，利用公式d =|n 1⃗⃗⃗⃗⃗ ·DB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗||n 1⃗⃗⃗⃗⃗ |可求点B 1到平面A 1BD 的距离．(2)求出平面DBB 1的一个法向量n 2⃗⃗⃗⃗ ，(1)已求出平面A 1BD 的法向量n 1⃗⃗⃗⃗ 利用公式cos <n 1⃗⃗⃗⃗ ,n 2⃗⃗⃗⃗ >=n 1⃗⃗⃗⃗⃗ ·n 2⃗⃗⃗⃗⃗ |n 1⃗⃗⃗⃗⃗ ||n 2⃗⃗⃗⃗⃗ |可求解．18.答案：解：(1)因为a 1=−1，q =1，所以{a n }是常数列，所以S n =na 1=−n ；(2)S 3=a 1(1+q +q 2)=1+q +q 2=34，解得q =−12．解析：(1)由于等比数列的公比为1，所以数列是常数列，由S n =na 1求解；(2)由等比数列的通项公式把前三项用首项和公比表示，即可求得q 的值．19.答案：解：(Ⅰ)年龄为30岁的教师人数为5，频率最高，故这20名教师年龄的众数为30， 极差为最大值与最小值的差，即40−22=18．(Ⅱ)茎叶图如下：(Ⅲ)设事件“所选的2位教师年龄不全相同”为事件A.年龄为29，31岁的教师共有7名，从其中任选2名教师共有C72=21种选法，3名年龄为29岁的教师中任选2名有3种选法，4名年龄为31岁的教师中任选2名有6种选法，所以所选的2位教师年龄不全相同的选法共有21−9=12种，所以P(A)=1221=47．解析：本题考查了众数，极差，茎叶图，方差的基本定义，属于基础题．(Ⅰ)根据众数和极差的定义，即可得出；(Ⅱ)根据画茎叶图的步骤，画图即可；(Ⅲ)利用古典概型的概率计算，代入数据，计算即可．20.答案：解：(1)解：设M(x,y)，因为|MF1|+|MF2|=4>2m，所以曲线C是以两定点F1，F2为焦点，长半轴长为2的椭圆，所以a=2．设椭圆C的方程为x24+y2b2=1(b>0)，代入点N(√2,√22)得b2=1，由c2=a2−b2，得c2=3，所以m=c=√3，故曲线C的方程为x24+y2=1；(2)证明：设直线l ：x =ty +65，A(x 1,y 1)， B(x 2,y 2)， 椭圆的右顶点为P(2,0)，联立方程组 {x =ty +65x 24+y 2=1消去x 得(t 2+4)y 2+125ty −6425=0． △>0，y 1+y 2=−12t 5(t 2+4)，y 1y 2=−6425(t 2+4)，所以PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1−2)(x 2−2)+y 1y 2=(t 2+1)y 1y 2−45t(y 1+y 2)+1625=−64t 2−64+48t 2+16t 2+6425(t 2+4)=0，∴PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，故点P 在以AB 为直径的圆上，即以AB 为直径的圆过曲线C 的右顶点．解析：【试题解析】本题主要考查轨迹方程的求法及动圆过定点的问题，属于中档题．(1)先利用定义法判断出点M 的轨迹为椭圆，再利用题设条件求出方程即可；(2)设直线l ：x =ty +65，曲线C 的右顶点为P ，由直线l 与曲线C 的方程联立得到y 1+y 2与y 1y 2，再证PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥PB ⃗⃗⃗⃗⃗ 即可． 21.答案：解：(1)F(x)=f(x)g(x)=12ax 2lnx(x >0)，∴F′(x)=axlnx +12ax =ax(lnx +12)， ∵a >0，∴由F′(x)>0得x >e −12，由F′(x)<0，得0<x <e −12．∴F(x)在(0,e −12)上单调递减，在(e −12,+∞)上单调递增，∴F(x)的极小值为F(e −12)=−a 4e，无极大值． (2)问题等价于x 2lnx >x 2e x −34， 由(1)知，当a =2时，F(x)=x 2lnx ，且F(x)=x 2lnx 的最小值为−12e ．令R(x)=x 2e x −34(x >0)，则R′(x)=−x(x−2)e x ，易知R(x)在(0,2)上单调递增，在(2,+∞)上单调递减， ∴R(x)max =R(2)=4e 2−34．又−12e −(4e 2−34)=34−12e −4e 2=(3e−8)(e+2)4e 2>0，∴F(x)min >R(x)max ，即x 2lnx >x 2e x −34， ∴当x >0时，lnx +34x 2−1e x >0．解析：本题主要考查了导数及其应用，利用函数的最值证明不等式的基本步骤．(1)对函数F(x)求导，根据函数的单调性可得极值．(2)等价于x 2lnx >x 2e x −34，根据导函数求单调性和函数最值证明即可， 22.答案：解：(1)由{x =2cosαy =sinα，得x 24+y 2=1， 因为A 的极坐标为(2,π3)，所以x =2cos π3=1，y =2sin π3=√3，所以A 在直角坐标系下的坐标为(1,√3) ；(2)把{x =12+√22t y =12−√22t削去参数得直线l 的一般方程为x +y −1=0， 解{x +y −1=0x 24+y 2=1得5x 2−8x =0， ∴|PQ|=√2(x 1−x 2)2=8√25， 所以点A 到直线l 的距离d =√3√2=√62， ∴△APQ 的面积为12×8√25×√62=4√35.解析：本题考查直线的参数方程、椭圆的参数方程、点到直线的距离及三角形面积公式，考查了学生的计算能力，培养了学生分析问题与解决问题的能力．(1)根据题意消去α即可得到椭圆C 的直角坐标方程，然后可得x =2cos π3=1，y =2sin π3=√3，进而可得点A 的直角坐标；(2)消去参数t 可得直线l 的方程，联立{x +y −1=0x 24+y 2=1，求得|PQ|，利用点到直线的距离公式求得点A 到直线l 的距离，进而利用三角形面积公式即可求得结果．23.答案：证明：(1)∵a ，b ，c ∈R +，且a +b +c =1，∴1a +1b +1c =(a +b +c)(1a +1b +1c ) =b a +a b +c a +a c +c b +b c +3 ≥2√b a ⋅a b +2√c a ⋅a c +2√c b ⋅b c +3=9，当且仅当a =b =c =13时取等号，∴1a +1b +1c ≥9；(2)∵a ，b ，c ∈R +，且abc =1，∴1ab =c ，1ac =b ，1bc =a ，∴1a +1b +1c =12(1a +1b +1b +1c +1a +1c ) ≥12(2√1ab +2√1bc +2√1ac) =12(2√a +2√b +2√c) =√a +√b +√c ，当且仅当a =b =c =1时取等号，∴1a +1b +1c ≥√c +√b +√a ．解析：本题主要考查了基本不等式和利用综合法证明不等式，考查了转化思想，属中档题．(1)根据a +b +c =1，可得1a +1b +1c =(a +b +c)(1a +1b +1c )，然后利用基本不等式，进一步证明不等式；(2)由abc =1，得1ab =c ，1ac =b ，1bc =a ，然后根据1a +1b +1c =12(1a +1b +1b +1c +1a +1c )利用基本不等式，进一步证明不等式．。

2020年高考数学二模试卷（文科）一、选择题（共12小题）1．已知集合P ＝|x ||x ﹣1|≤1，x ∈R|，Q ＝{x |x ∈N}，则P ∩Q 等于（ ） A ．PB ．QC ．{1，2}D ．{0，1，2}2．已知复数z 满足（√3+3i ）z ＝3i ，则z ＝（ ） A ．32−√32iB ．34−√34iC ．32+√32iD ．34+√34i3．设非零向量a →，b →，c →满足|a →|=|b →|=√33|c →|，a →+b →=c →，则a →与b →的夹角为（ ）A ．150°B ．120°C ．60°D ．30°4．4张卡片上分别写有数字1，2，3，4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数学之和为偶数的概率是（ ） A ．12B ．13C ．23D ．345．平面α∥平面β的一个充分条件是（ ） A ．存在一条直线a ，a ∥α，a ∥β B ．存在一条直线a ，a ⊂α，a ∥βC ．存在两条平行直线a ，b ，a ⊂α，b ⊂β，a ∥β，b ∥αD ．存在两条异面直线a ，b ，a ⊂α，b ⊂β，a ∥β，b ∥α6．函数y =cos(4x +23)图象中最近的对称中心与对称轴间的距离为（ ）A ．π16B ．π8C ．π4D ．π27．双曲线x 2−y 24=1的两条渐近线与直线x ＝3围成一个三角形区域，表示该区域的不等式组是（ ） A ．{2x −y ≥02x +y ≥00≤x ≤3B ．{2x −y ≥02x +y ≤00≤x ≤3C ．{2x −y ≤02x +y ≤00≤x ≤3D ．{2x −y ≤02x +y ≥00≤x ≤38．若sin2α=14且α∈（π4，π2），则cos α﹣sin α的值是（ ） A ．√32B ．34C ．−√32D ．−349．甲、乙、丙三人中，一人是教师、一人是记者、一人是医生．已知：丙的年龄比医生大；甲的年龄和记者不同；记者的年龄比乙小．根据以上情况，下列判断正确的是（ ） A ．甲是教师，乙是医生，丙是记者 B ．甲是医生，乙是记者，丙是教师 C ．甲是医生，乙是教师，丙是记者 D ．甲是记者，乙是医生，丙是教师 10．过椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的左顶点A 的斜率为k 的直线交椭圆C 于另一个点B ，且点B 在x 轴上的射影恰好为右焦点F ，若13＜k ＜12，则椭圆离心率的取值范围是（ ） A ．(14，94)B ．(23，1)C ．(12，23)D ．(0，12)11．已知空间几何体ABCD 是由圆柱切割而成的阴影部分构成，其中A ，B 为下底面圆直径的两个端点，C ，D 为上底面圆直径的两个端点，且AB ⊥CD ，圆柱底面半径是1，高是2，则空间几何体ABCD 可以无缝的穿过下列哪个图形（ ）A ．椭圆B ．等腰直角三角形C ．正三角形D ．正方形12．有限数列A ＝{a 1，a 2，…，a n }，S n 为其前n 项和，定义S 1+S 2+⋯+S nn为A 的“凯森和”，如有504项的数列a 1，a 2，…，a 504的“凯森和”为2020，则有505项的数列2，a 1，a 2，…，a 504的“凯森和”为（ ） A ．2014B ．2016C ．2018D ．2020二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分，请将答案写在答题纸指定的位置上． 13．已知f （x ）是定义在R 上的偶函数，且当x ＜0时，f （x ）＝2x ﹣3，则当x ＞0时，f （x ）＝ ．14．已知函数f(x)=f′(π3)cosx +sinx ，则f(π3)= ．15．抛物线y ＝ax 2的焦点恰好为双曲线y 2﹣x 2＝2的一个焦点，则a ＝ ．16．在△ABC中，A、B、C所对的边分别为a、b、c，且满足a+b+c=√2+1，sin A+sin B=√2sin C，则c＝；若C=π3，则△ABC的面积S＝．三、解答题：本题共5小题，满分60分（17题至21题12分，选修题10分）．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．如图，正三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面边长为a，点M在边BC上，△AMC1是以点M 为直角顶点的等腰直角三角形．（Ⅰ）求证点M为边BC的中点；（Ⅱ）求C到平面AMC1的距离；（Ⅲ）求二面角M﹣AC1﹣C的大小．18．等比数列{a n}的前n项和为S n，已知S1，S3，S2成等差数列．（1）求{a n}的公比q；（2）若a1﹣a3＝3，求S n．19．某车间20名工人年龄数据如下表：年龄（岁）工人数（人）191283293305314323401合计20（1）求这20名工人年龄的众数与极差；（2）以十位数为茎，个位数为叶，作出这20名工人年龄的茎叶图； （3）求这20名工人年龄的方差． 20．设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C ：x 22+y 2＝1上，过M 作x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足NP →=√2NM →． （1）求点P 的轨迹方程；（2）设点Q 在直线x ＝﹣3上，且OP →•PQ →=1．证明：过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F ．21．已知函数f （x ）＝lnx +x +1，g （x ）＝x 2+2x ． （1）求函数y ＝f （x ）﹣g （x ）的极值；（2）若m 为整数，对任意的x ＞0都有f （x ）﹣mg （x ）≤0成立，求实数m 的最小值． （22，23为二选一的选修题，10分）22．已知曲线C 1：{x =−4+cost y =3+sint （t 为参数），C 2：{x =8cosθy =3sinθ（θ为参数）．（1）化C 1，C 2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；（2）若C 1上的点P 对应的参数为t =π2，Q 为C 2上的动点，求PQ 中点M 到直线C 3：{x =3+2ty =−2+t（t 为参数）距离的最小值． 23．若x ，y ，z ∈R ，a ＞0，b ＞0，c ＞0，求证：b+c a x 2+c+a by 2+a+b cz 2≥2（xy +yz +zx ）．参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将答案填涂在客观题答题卡上.1．已知集合P＝|x||x﹣1|≤1，x∈R|，Q＝{x|x∈N}，则P∩Q等于（）A．P B．Q C．{1，2}D．{0，1，2}【分析】先解出集合P的解集，再根据x属于自然数的意义，求出它们的交集．解：P═{x|||x﹣1|≤1，x∈R}＝{x|0≤x≤2}Q＝{x|x∈N}＝{0，1，2…}P∩Q＝{0，1，2}故选：D．2．已知复数z满足（√3+3i）z＝3i，则z＝（）A．32−√32i B．34−√34i C．32+√32i D．34+√34i【分析】将复数方程变形，然后化简化为a+bi的形式．解：z=3+3i =3i(√3−3i)12=√3i+34=34+√34i．故选：D．3．设非零向量a→，b→，c→满足|a→|=|b→|=√33|c→|，a→+b→=c→，则a→与b→的夹角为（）A．150°B．120°C．60°D．30°【分析】根据题意，设a→与b→的夹角θ，且|a→|＝t，（t＞0），则有|b→|＝t，|c→|=√3t，由a→+b→=c→可得（a→+b→）2=c→2，代入数据变形可得t2+2t2cosθ＝0，解可得cosθ的值，结合θ的范围，分析可得答案．解：根据题意，设a→与b→的夹角θ，且|a→|＝t，（t＞0），又由|a→|＝|b→|=√33|c→|，则|b→|＝t，|c→|=√3t，若a→+b→=c→，则有（a→+b→）2=c→2，变形可得a→2+2a→•b→+b→2=c→2，即t2+2t2cosθ＝0，解可得：cosθ=−12，又由0°≤θ≤180°，则θ＝120°；故选：B．4．4张卡片上分别写有数字1，2，3，4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数学之和为偶数的概率是（ ） A ．12B ．13C ．23D ．34【分析】列举出所有情况，看取出的两张卡片上的数字之和为奇数的情况数占所有情况数的多少即可．解：从1，2，3，4中随机取出两个不同的数的基本事件为：（1，2），（1，3），（1，4），（2，3），（2，4），（3，4）共6个， 其中和为偶数的有（1，3），（2，4）共2个， 由古典概型的概率公式可知，从1，2，3，4中随机取出两个不同的数，则其和为偶数的概率为26=13．故选：B ．5．平面α∥平面β的一个充分条件是（ ） A ．存在一条直线a ，a ∥α，a ∥β B ．存在一条直线a ，a ⊂α，a ∥βC ．存在两条平行直线a ，b ，a ⊂α，b ⊂β，a ∥β，b ∥αD ．存在两条异面直线a ，b ，a ⊂α，b ⊂β，a ∥β，b ∥α【分析】依据面面平行的定义与定理依次判断排除错误的，筛选出正确的．【解答】证明：对于A ，一条直线与两个平面都平行，两个平面不一定平行．故A 不对； 对于B ，一个平面中的一条直线平行于另一个平面，两个平面不一定平行，故B 不对； 对于C ，两个平面中的两条直线平行，不能保证两个平面平行，故C 不对；对于D ，两个平面中的两条互相异面的直线分别平行于另一个平面，可以保证两个平面平行，故D 正确．6．函数y =cos(4x +23)图象中最近的对称中心与对称轴间的距离为（ ） A ．π16B ．π8C ．π4D ．π2【分析】根据三角函数对称性质，转化为周期关系进行求解即可． 解：三角函数中，最近的对称中心与对称轴间的距离为T4，T =2π4=π2，则T 4=π8，故选：B ．7．双曲线x 2−y 24=1的两条渐近线与直线x ＝3围成一个三角形区域，表示该区域的不等式组是（ ） A ．{2x −y ≥02x +y ≥00≤x ≤3B ．{2x −y ≥02x +y ≤00≤x ≤3C ．{2x −y ≤02x +y ≤00≤x ≤3D ．{2x −y ≤02x +y ≥00≤x ≤3【分析】先求出双曲线x 2−y 24=1的两条渐近线方程为y ＝±2x ，然后作出三条直线围成的区域，再思考如何取不等号即可．解：双曲线x 2−y 24=1的两条渐近线方程为y ＝±2x ，与直线x ＝3围成的三角形区域分布在第一、四象限和x 轴正半轴，如下图中△OAB 所示，∴表示该区域的不等式组是{2x −y ≥02x +y ≥00≤x ≤3，故选：A ．8．若sin2α=14且α∈（π4，π2），则cos α﹣sin α的值是（ ）A ．√32B ．34C ．−√32D ．−34【分析】通过已知条件，利用二倍角公式，角的范围，确定sin α+cos α的符号，把要求的结论平方，代入求解即可．解：∵α∈(π4，π2)，∴sin α＞cos α＞0， ∴cos α﹣sin α＜0， ∵sin2α=14，∴（cos α﹣sin α）2＝1﹣sin2α＝1−14=34，∴cos α﹣sin α=−√32，故选：C ．9．甲、乙、丙三人中，一人是教师、一人是记者、一人是医生．已知：丙的年龄比医生大；甲的年龄和记者不同；记者的年龄比乙小．根据以上情况，下列判断正确的是（ ） A ．甲是教师，乙是医生，丙是记者 B ．甲是医生，乙是记者，丙是教师 C ．甲是医生，乙是教师，丙是记者 D ．甲是记者，乙是医生，丙是教师【分析】由甲的年龄和记者不同，记者的年龄比乙小，得到丙是记者，由丙的年龄比医生大，得到乙不是医生，从而乙是教师，甲是医生．解：由甲的年龄和记者不同，记者的年龄比乙小，得到丙是记者， 从而排除B 和D ；由丙的年龄比医生大，得到乙不是医生，从而乙是教师，甲是医生． 故选：C ． 10．过椭圆C ：x 2a +y 2b =1（a ＞b ＞0）的左顶点A 的斜率为k 的直线交椭圆C 于另一个点B ，且点B 在x 轴上的射影恰好为右焦点F ，若13＜k ＜12，则椭圆离心率的取值范围是（ ） A ．(14，94)B ．(23，1)C ．(12，23)D ．(0，12)【分析】先作出图形，则易知|AF 2|＝a +c ，|BF 2|=a 2−c 2a，再由∠BAF 2是直线的倾斜角，易得k ＝tan ∠BAF 2=|BF 2||AF 2|=a 2−c 2a(a+c)，然后通过 13＜k ＜12可得 13＜a 2−c 2a(a+c)＜12，再分子分母同除a 2得13＜1−e 21+e＜12求解．解：如图所示：|AF 2|＝a +c ，|BF 2|=a 2−c 2a，∴k ＝tan ∠BAF 2=|BF 2||AF 2|=a 2−c 2a(a+c)， 又∵13＜k ＜12，∴13＜a 2−c 2a(a+c)＜12，∴13＜1−e 21+e ＜12，∴12＜e ＜23， 故选：C ．11．已知空间几何体ABCD 是由圆柱切割而成的阴影部分构成，其中A ，B 为下底面圆直径的两个端点，C ，D 为上底面圆直径的两个端点，且AB ⊥CD ，圆柱底面半径是1，高是2，则空间几何体ABCD 可以无缝的穿过下列哪个图形（ ）A ．椭圆B ．等腰直角三角形C ．正三角形D ．正方形【分析】根据几何体ABCD 在地面的投影为圆，半径为1，故而可得其能无缝穿过正方形解：根据条件可知该空间几何体ABCD 在底面的投影记为圆柱底面， 因为圆柱底面为圆，故而该几何体可无缝穿过边长为2的正方形， 故选：D ．12．有限数列A ＝{a 1，a 2，…，a n }，S n 为其前n 项和，定义S 1+S 2+⋯+S nn为A 的“凯森和”，如有504项的数列a 1，a 2，…，a 504的“凯森和”为2020，则有505项的数列2，a 1，a 2，…，a 504的“凯森和”为（ ） A ．2014B ．2016C ．2018D ．2020【分析】本题根据根据“凯森和”的定义，分别写出两个数列的“凯森和”的定义式，然后进行比较，找出两个定义式的联系，进行转化并加以计算可得正确选项． 解：由题意，可知对于504项的数列a 1，a 2，…，a 504，根据“凯森和”的定义，有S 1+S 2+⋯+S 504504=a 1+(a 1+a 2)+⋯+(a 1+a 2+⋯+a 504)504=2020，则a 1+（a 1+a 2）…+（a 1+a 2+…+a n ）＝2020×504，对于505项的数列2，a 1，a 2，…，a 504，根据“凯森和”的定义，有S 1+S 2+⋯+S 505505=2+(2+a 1)+(2+a 1+a 2)+⋯+(2+a 1+a 2+⋯+a 504)505=2×505+a 1+(a 1+a 2)+⋯+(a 1+a 2+⋯+a 504)505=2×505+2020×504505＝2018． 故选：C ．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分，请将答案写在答题纸指定的位置上． 13．已知f （x ）是定义在R 上的偶函数，且当x ＜0时，f （x ）＝2x ﹣3，则当x ＞0时，f （x ）＝ ﹣2x ﹣3 ．【分析】根据题意，设x ＞0，则﹣x ＜0，由函数的解析式可得f （﹣x ）＝﹣2x ﹣3，结合函数的奇偶性分析可得答案．解：根据题意，设x ＞0，则﹣x ＜0，有f （﹣x ）＝2×（﹣x ）﹣3＝﹣2x ﹣3， 又由f （x ）为偶函数，则f （x ）＝f （﹣x ）＝﹣2x ﹣3； 即f （x ）＝﹣2x ﹣3； 故答案为：﹣2x ﹣3．14．已知函数f(x)=f′(π3)cosx +sinx ，则f(π3)= 1 ．【分析】先对原函数求导，然后代入π3，求出f′(π3)，则f （π3）可求．解：由已知f′(x)=−f′(π3)sinx +cosx ，∴f′(π3)=−f′(π3)×√32+12．∴f′(π3)=2−√3．∴f(x)=(2−√3)cosx +sinx ．∴f(π3)=(2−√3)×12+√32=1．故答案为：1．15．抛物线y ＝ax 2的焦点恰好为双曲线y 2﹣x 2＝2的一个焦点，则a ＝18或−18．【分析】将双曲线化成标准方程，可得它的焦点在y 轴且a 2＝b 2＝2，得它的焦点坐标为（0，2）或（0，﹣2）．抛物线y ＝ax 2化成标准方程，得它的焦点为F （0，14a），结合题意得14a=2或14a=−2，解之即得实数a 的值．解：双曲线y 2﹣x 2＝2化成标准方程，得y 22−x 22=1∴双曲线的焦点在y 轴，且a 2＝b 2＝2因此双曲线的半焦距c =√a 2+b 2=2，得焦点坐标为（0，2）或（0，﹣2） ∵抛物线y ＝ax 2即x 2=1ay ，得它的焦点为F （0，14a），且F 为双曲线的一个焦点∴14a=2或14a=−2，解之得a =18或−18故答案为：18或−1816．在△ABC 中，A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且满足a +b +c =√2+1，sin A +sin B =√2sin C ，则c ＝ 1 ；若C =π3，则△ABC 的面积S ＝ √312．【分析】先利用正弦定理把题设等式中角的正弦转化成边的关系，进而与a +b +c =√2+1联立求得c ，再利用余弦定理求得ab 的值，最后利用三角形面积公式求得△ABC 的面积． 解：依题意及正弦定理得a +b =√2c ，且a +b +c =√2+1， 因此c +√2c =√2+1，c ＝1，当C =π3时，c 2＝a 2+b 2﹣2ab cos C ＝a 2+b 2﹣ab ＝1， ∴（a +b ）2﹣3ab ＝1． 又a +b =√2，因此2﹣3ab ＝1， ∴ab =13，则△ABC的面积S=12ab sin C=12×13sinπ3=√312．故答案为：1；√3 12．三、解答题：本题共5小题，满分60分（17题至21题12分，选修题10分）．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．如图，正三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面边长为a，点M在边BC上，△AMC1是以点M 为直角顶点的等腰直角三角形．（Ⅰ）求证点M为边BC的中点；（Ⅱ）求C到平面AMC1的距离；（Ⅲ）求二面角M﹣AC1﹣C的大小．【分析】（Ⅰ）根据等腰直角三角形，可得AM⊥C1M且AM＝C1M，根据三垂线定理可知AM⊥CM，而底面ABC为边长为a的正三角形，则即可证得点M为BC边的中点；（Ⅱ）过点C作CH⊥MC1，根据线面垂直的判定定理可知AM⊥平面C1CM，CH⊥平面C1AM，则CH即为点C到平面AMC1的距离，根据等面积法可求出CH的长；（Ⅲ）过点C作CI⊥AC1于I，连HI，根据三垂线定理可知HI⊥AC1，根据二面角的平面角的定义可知∠CIH是二面角M﹣AC1﹣C的平面角，在直角三角形ACC1中利用等面积法可求出CI，即可求出二面角M﹣AC1﹣C的大小．解：（Ⅰ）∵△AMC1为以点M为直角顶点的等腰直角三角形，∴AM⊥C1M且AM＝C1M∵三棱柱ABC﹣A1B1C1，∴CC1⊥底面ABC∴C1M在底面内射影为CM，AM⊥CM．∵底面ABC为边长为a的正三角形，∴点M为BC边的中点（Ⅱ）过点C作CH⊥MC1，由（Ⅰ）知AM⊥C1M且AM⊥CM，∴AM⊥平面C1CM∵CH在平面C1CM内，∴CH ⊥AM ， ∴CH ⊥平面C 1AM由（Ⅰ）知，AM ＝C 1M =√32a ，CM =12a ，CC 1⊥BC ，∴CC 1=√34a 2−14a 2=√22a∴CH =C 1C×CM C 1M =√22a×12a 32a=√66a ∴点C 到平面AMC 1的距离为底面边长为√66a （Ⅲ）过点C 作CI ⊥AC 1于I ，连HI ， ∵CH ⊥平面C 1AM ，∴HI 为CI 在平面C 1AM 内的射影，∴HI ⊥AC 1，∠CIH 是二面角M ﹣AC 1﹣C 的平面角，在直角三角形ACC 1中CI =CC 1×AC AC 1=√22a×a√a 2+(√22a)=√33a ，sin∠CIH =CH CI =√66a √33=√22∴∠CIH ＝45°，∴二面角M ﹣AC 1﹣C 的大小为45°18．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 1，S 3，S 2成等差数列． （1）求{a n }的公比q ； （2）若a 1﹣a 3＝3，求S n ．【分析】（1）运用等差数列中项性质，结合等比数列通项公式，解方程可得公比q ； （2）运用等比数列通项公式，解方程可得首项，再由等比数列求和公式，化简计算可得所求和．解：（1）S 1，S 3，S 2成等差数列，可得2S3＝S1+S2，可得2（a1+a2+a3）＝2a1+a2，即有a2+2a3＝0，q=a3a2=−12；（2）a1﹣a3＝3，可得a1−14a1＝3，解得a1＝4，则S n=a1(1−q n)1−q=4(1−(−12)n)1−(−12)=83[1﹣（−12）n]．19．某车间20名工人年龄数据如下表：年龄（岁）工人数（人）191283293305314323401合计20（1）求这20名工人年龄的众数与极差；（2）以十位数为茎，个位数为叶，作出这20名工人年龄的茎叶图；（3）求这20名工人年龄的方差．【分析】（1）根据众数和极差的定义，即可得出；（2）根据画茎叶图的步骤，画图即可；（3）利用方差的计算公式，代入数据，计算即可．解：（1）这20名工人年龄的众数为30，极差为40﹣19＝21；（2）茎叶图如下：（3）年龄的平均数为：19+28×3+29×3+30×5+31×4+32×3+4020=30．这20名工人年龄的方差为S 2=120[（19﹣30）2+3×（28﹣30）2+3×（29﹣30）2+5×（30﹣30）2+4×（31﹣30）2+3×（32﹣30）2+（40﹣30）2]＝12.6． 20．设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C ：x 22+y 2＝1上，过M 作x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足NP →=√2NM →． （1）求点P 的轨迹方程；（2）设点Q 在直线x ＝﹣3上，且OP →•PQ →=1．证明：过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F ．【分析】（1）设M （x 0，y 0），由题意可得N （x 0，0），设P （x ，y ），运用向量的坐标运算，结合M 满足椭圆方程，化简整理可得P 的轨迹方程；（2）设Q （﹣3，m ），P （√2cos α，√2sin α），（0≤α＜2π），运用向量的数量积的坐标表示，可得m ，即有Q 的坐标，求得椭圆的左焦点坐标，求得OQ ，PF 的斜率，由两直线垂直的条件：向量数量积为0，即可得证． 解：（1）设M （x 0，y 0），由题意可得N （x 0，0）， 设P （x ，y ），由点P 满足NP →=√2NM →． 可得（x ﹣x 0，y ）=√2（0，y 0）， 可得x ﹣x 0＝0，y =√2y 0， 即有x 0＝x ，y 0=y √2， 代入椭圆方程x 22+y 2＝1，可得x 22+y 22=1，即有点P 的轨迹方程为圆x 2+y 2＝2；（2）证明：设Q （﹣3，m ），P （√2cos α，√2sin α），（0≤α＜2π），OP →•PQ →=1，可得（√2cos α，√2sin α）•（﹣3−√2cos α，m −√2sin α）＝1， 即为﹣3√2cos α﹣2cos 2α+√2m sin α﹣2sin 2α＝1， 当α＝0时，上式不成立，则0＜α＜2π， 解得m =√2cosα)2sinα，即有Q （﹣3，√2cosα)√2sinα），椭圆x 22+y 2＝1的左焦点F （﹣1，0），由PF →•OQ →=（﹣1−√2cos α，−√2sin α）•（﹣3，√2cosα)√2sinα）＝3+3√2cos α﹣3（1+√2cos α）＝0．可得过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F ． 另解：设Q （﹣3，t ），P （m ，n ），由OP →•PQ →=1， 可得（m ，n ）•（﹣3﹣m ，t ﹣n ）＝﹣3m ﹣m 2+nt ﹣n 2＝1， 又P 在圆x 2+y 2＝2上，可得m 2+n 2＝2， 即有nt ＝3+3m ，又椭圆的左焦点F （﹣1，0），PF →•OQ →=（﹣1﹣m ，﹣n ）•（﹣3，t ）＝3+3m ﹣nt ＝3+3m ﹣3﹣3m ＝0， 则PF →⊥OQ →，可得过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F ． 21．已知函数f （x ）＝lnx +x +1，g （x ）＝x 2+2x ． （1）求函数y ＝f （x ）﹣g （x ）的极值；（2）若m 为整数，对任意的x ＞0都有f （x ）﹣mg （x ）≤0成立，求实数m 的最小值． 【分析】（1）令h （x ）＝f （x ）﹣g （x ）＝lnx +1﹣x 2﹣x ．（x ∈（0，+∞））．利用导数研究其单调性极值即可得出．（2）令f （x ）﹣mg （x ）≤0成立，g （x ）＝x 2+2x ＞0．m ≥lnx+x+1x 2+2x ，令u （x ）=lnx+x+1x 2+2x，利用导数研究其单调性极值即可得出．解：（1）令h （x ）＝f （x ）﹣g （x ）＝lnx +x +1﹣x 2﹣2x ＝lnx +1﹣x 2﹣x ．（x ∈（0，+∞））．h ′（x ）=1x −2x ﹣1=−(2x−1)(x+1)x ． 可知：当x =12时，函数h （x ）取得极大值，h （12）＝ln 12+1−14−12=−ln 2+14． h （x ）无极小值．（2）令f （x ）﹣mg （x ）≤0成立，g （x ）＝x 2+2x ＞0． ∴m ≥lnx+x+1x 2+2x，令u （x ）=lnx+x+1x 2+2x ，u ′（x ）=−(x+1)(x+2lnx)(x 2+2x)2， 令v （x ）＝x +2lnx ，则v （x ）在x ∈（0，+∞）上单调递增． v （12）=12−2ln 2＜0，v （1）＝1＞0． ∴函数v （x ）存在唯一零点x 0∈(12，1)，使得x 0+2lnx 0＝0． ∴u （x ）存在极大值即最大值，u （x 0）=lnx 0+x 0+1x 02+2x 0=12x 0∈(12，1)， ∴m ≥1．∴整数m 的最小值为1． 一、选择题22．已知曲线C 1：{x =−4+cost y =3+sint （t 为参数），C 2：{x =8cosθy =3sinθ（θ为参数）．（1）化C 1，C 2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；（2）若C 1上的点P 对应的参数为t =π2，Q 为C 2上的动点，求PQ 中点M 到直线C 3：{x =3+2ty =−2+t（t 为参数）距离的最小值． 【分析】（1）分别消去两曲线参数方程中的参数得到两曲线的普通方程，即可得到曲线C 1表示一个圆；曲线C 2表示一个椭圆；（2）把t 的值代入曲线C 1的参数方程得点P 的坐标，然后把直线的参数方程化为普通方程，根据曲线C 2的参数方程设出Q 的坐标，利用中点坐标公式表示出M 的坐标，利用点到直线的距离公式表示出M 到已知直线的距离，利用两角差的正弦函数公式化简后，利用正弦函数的值域即可得到距离的最小值．解：（1）把曲线C 1：{x =−4+cost y =3+sint（t 为参数）化为普通方程得：（x +4）2+（y ﹣3）2＝1，所以此曲线表示的曲线为圆心（﹣4，3），半径1的圆；把C 2：{x =8cosθy =3sinθ（θ为参数）化为普通方程得：x 264+y 29=1，所以此曲线方程表述的曲线为中心是坐标原点，焦点在x 轴上，长半轴为8，短半轴为3的椭圆； （2）把t =π2代入到曲线C 1的参数方程得：P （﹣4，4），把直线C 3：{x =3+2t y =−2+t （t 为参数）化为普通方程得：x ﹣2y ﹣7＝0，设Q 的坐标为Q （8cos θ，3sin θ），故M （﹣2+4cos θ，2+32sin θ） 所以M 到直线的距离d =|4cosθ−3sinθ−13|√5=|5sin(α−θ)−13|√5，（其中sin α=45，cos α=35） 从而当cos θ=45，sin θ=−35时，d 取得最小值8√55．23．若x ，y ，z ∈R ，a ＞0，b ＞0，c ＞0，求证：b+c ax 2+c+a by 2+a+b cz 2≥2（xy +yz +zx ）．【分析】由重要不等式m 2+n 2≥2mn （当且仅当m ＝n 取得等号），结合不等式的可加性，即可得证．【解答】证明：由a ＞0，b ＞0，c ＞0，可得b+c ax 2+c+a by 2+a+b cz 2＝（bax 2+ab y 2）+（cax 2+ac z 2）+（cby 2+bcz 2）≥2xy +2xz +2yz ＝2（xy +xz +yz ）．当且仅当b 2x 2＝a 2y 2，c 2x 2＝a 2z 2，c 2y 2＝b 2z 2取得等号．。

2020年黑龙江省哈尔滨九中高考数学二模试卷(理科)一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.若集合A={x|−5<x<2}，B={x||x|<3}，则A∩B=()A. {x|−3<x<2}B. {x|−5<x<2}C. {x|−3<x<3}D. {x|−5<x<3}2.若复数z=2+i1−2i，则|3+z|=()A. √10B. 2√3C. 4D. √153.命题“∀x∈[14,3]，x2−a−2≤0”为真命题的一个充分不必要条件是()A. a≥9B. a≤8C. a≥6D. a≤114.函数f(x)=(e x−1)cosxe x+1的部分图象大致为()A. B.C. D.5.圆心角为α的扇形的面积为3π，α所对的弧长为2π，则sinα=()A. 12B. √32C. √22D. √336.已知函数f(x)={(x−1)3,x≤1lnx,x>1，若f(a)>f(b)，则下列不等关系正确的是()A. 1a2+1<1b2+1B. √a3>√b3C. a2<abD. ln(a2+1)>ln(b2+1)7.在(x2−2x)7的展开式中，x5的系数为()A. −35B. 35C. −280D. 2808.以双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点为圆心，a为半径的圆与该双曲线的渐近线相切，则该双曲线的离心率为()A. √2B. 2C. √5D. 59. 已知正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1的棱长为2，点M ，N 分别是棱BC ，C 1D 1的中点，点P 在底面A 1B 1C 1D 1内，点Q 在线段A 1N 上，若PM =√5，则PQ 长度的最小值为( )A. √2−1B. √2C. 3√55−1 D. 3√5510. 抛物线y 2=8x 的焦点为F ，设A ，B 是抛物线上的两个动点，|AF|+|BF|=2√33|AB|，则∠AFB的最大值为( )A. π3B. 3π4C. 5π6D. 2π311. 数列{a n }中，a n+1+(−1)n a n =2n −1，则数列{a n }前40项和等于( )A. 820B. 800C. 840D. 86012. 对于∀x ∈[12,+∞)都有2x +a ≥√2x −1恒成立，则a 的取值范围为( )A. (−∞,−14]B. [−14,+∞)C. (−∞,−34]D. [−34,+∞)二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知向量a ⃗ =(3,2)，b ⃗ =(1,−1)，若(a ⃗ −λb ⃗ )⊥b ⃗ ，则λ=______． 14. 当m =7，n =3时，执行如图所示的程序框图，输出的S 值为______．15. 如图，设D 是图中边长分别为1和2的矩形区域，E 是D 内位于直线6x +2y −7=0图象下方的区域(阴影部分)，从D 内随机取一个点M ，则点M取自E内的概率为______．16.已知三棱锥O−ABC中，OA、OB、OC两两垂直，且OA=OB=OC=2，点D是▵ABC的重心，则以OD为体对角线的正方体体积为________．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.如图，空间几何体中，四边形ABCD是边长为2的正方形，AB//EF，AF=EF=BE=1，DF=√5．(1)求证：BF⊥平面ADF；(2)求直线BF与平面DCEF所成角的正弦值．18.在ΔABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知(√3sinB−cosB)(√3sinC−cosC)=4cosBcosC．(1)求角A的大小；(2)若sinB=psinC，且ΔABC是锐角三角形，求实数p的取值范围．19.已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2，离心率e=√22，且椭圆的短轴长为2．(1)求椭圆的标准方程；(2)已知直线l1，l2过右焦点F2，且它们的斜率乘积为−12，设l1，l2分别与椭圆交于点A，B和C，D．①求AB+CD的值；②设AB的中点M，CD的中点为N，求△OMN面积的最大值．20.2018年6月14日，第二十一届世界杯足球赛在俄罗斯拉开帷幕，为了了解喜爱足球运动是否与性别有关，某体育台随机抽取100名观众进行统计，得到2×2列联表．(1)将2×2列联表补充完整；(2)判断能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为喜爱足球运动与性别有关？，n=a+b+c+d附：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)21.已知函数f(x)=1+x，g(x)=1−ax2．e x(1)若函数f(x)和g(x)的图象在x=1处的切线平行，求a的值；(2)当x∈[0,1]时，不等式f(x)≤g(x)恒成立，求a的取值范围．22.在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为{x=−1+2cosφy=2sinφ(其中φ为参数)，以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l1的极坐标方程为ρ=√2sin(θ+π4)，设l1与C相交于A，B两点，AB的中点为M，过点M作l1的垂线l2交C于P，Q两点．(1)写出曲线C的普通方程与直线l1的直角坐标方程；(2)求|PQ||MP|⋅|MQ|的值．23.已知a，b，c为正数，且满足abc=8，证明：(1)(4+a)(4+b)(4+c)≥216；(2)(a+b)2+(b+c)2+(c+a)2≥48．-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：不等式的解法以及集合的交集运算，属于基础题．先解不等式，得到集合B，再根据交集的定义计算，即可得到答案．解：B={x||x|<3}={x|−3<x<3}，又A={x|−5<x<2}，所以A∩B={x|−3<x<2}．故选A．2.答案：A解析：本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础的计算题．利用复数代数形式的乘除运算化简求得z，再代入复数模的计算公式求解．解：因为z= 2+i 1−2i = (2+i)(1+2i) (1−2i)(1+2i) = 5i 5 =i，所以3+z=3+i，故|3+z|=|3+i|=√32+12=√10，故选A．3.答案：A解析：解：∀x∈[14,3]，x2−a−2≤0，则a+2≥x2在x∈[14,3]恒成立，故a+2≥9，解得：a≥7，命题“∀x∈[14,3]，x2−a−2≤0”为真命题的一个充分不必要条件是a≥9，故选：A．问题转化为a+2≥x2在x∈[14,3]恒成立，求出a的范围，得到其充分不必要条件即可．本题考查了函数恒成立问题，考查充分必要条件，是一道基础题．解析：解：f(−x)=(e −x −1) cos(−x)e −x +1=−(e x −1)cosxe x +1=−f(x)，∴函数f(x)为奇函数，故排除B ，D ， 当x →+∞时，f(x)→0，故排除C ， 故选：A ．先判断函数的奇偶性，再根据函数值的变化趋势即可求出．本题考查了函数图象的识别，掌握函数的奇偶性，以及函数值的变化趋势是关键，属于中档题5.答案：B解析：本题考查弧度及弧长公式，扇形面积公式，属于基础题． 解：依题意，有，r =3， 圆心角，sinα=√32． 故选B ．6.答案：B解析：解：∵f(x)在R 上单调递增，且f(a)>f(b)，∴a >b ． ∵a ，b 的符号无法判断，故a 2与b 2，a 2与ab 的大小不确定， 对A ，当a =1，b =−1时，1a 2+1=1b 2+1，故A 错误； 对C ，当a =1，b =−1时，a 2=1，ab =−1，故C 错误； 对D ，当a =1，b =−1时，ln (a 2+1)=ln (b 2+1)，故D 错误；对B ，对a >b ，则√a 3>√b 3，故B 正确，故选B ．易知f(x)在R 上单调递增，可得a >b ，再逐项判断即可． 本题主要考查函数的性质以及不等式的性质，属于基础题．解析：解：二项式(x2−2x)7的展开式的通项公式为T r+1=∁7r⋅(x2)7−r⋅(−2x)r=(−2)r⋅∁7r⋅x14−3r，令14−3r=5，解得r=3；∴展开式中x5的系数为：(−2)3⋅∁73=−280．故选：C．利用二项式展开式的通项公式，求出展开式中x5的系数．本题考查了利用二项式展开式的通项公式求特定项的应用问题，是基础题8.答案：A解析：本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用点到直线的距离公式，以及直线和圆相切的条件，考查运算能力，属于中档题．设F(c,0)，渐近线方程为y=bax，运用点到直线的距离公式可得焦点到渐近线的距离为b，即为圆F 的半径，可得a=b，运用a，b，c的关系和离心率公式，即可得到所求值．解：设F(c,0)，一条渐近线方程为y=bax，可得F bc√22=b，又因为圆F的半径为b，即a=b，c=√a2+b2=√2a，即离心率e=ca =√2，故选A. 9.答案：C解析：本题考查线段长的最小值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想、数形结合思想，是中档题． 取B 1C 1中点O ，则MO ⊥面A 1B 1C 1D 1，即MO ⊥OP ，可得点P 在以O 为圆心，1以半径的位于平面A 1B 1C 1D 1内的半圆上．即O 到A 1N 的距离减去半径即为PQ 长度的最小值，作OH ⊥A 1N 于N ，可得OH =3√55，PQ 长度的最小值为3√55−1．解：如图，取B 1C 1中点O ，则MO ⊥面A 1B 1C 1D 1，OP ⊂面A 1B 1C 1D 1， 即MO ⊥OP ，∵PM =√5，则OP =1，∴点P 在以O 为圆心，1以半径的位于平面A 1B 1C 1D 1内的半圆上． 可得O 到A 1N 的距离减去半径即为PQ 长度的最小值， 作OH ⊥A 1N 于N ，△A 1ON 的面积为2×2−12×2×1−12×1×1−12×2×1=32， ∴12×A 1N ×OH =32，可得OH =3√55，∴PQ 长度的最小值为3√55−1． 故选：C ．10.答案：D解析：本题考查抛物线的定义，考查余弦定理、基本不等式的运用，属于中档题． 根据抛物线的定义，再由余弦定理，结合基本不等式即可求出∠AFB 的最大值． 解：设|AF|=m ，|BF|=n ，∵|AF|+|BF|=2√33|AB|， ∴2√33|AB|≥2√mn ，当且仅当m =n 时取等号，mn ≤13|AB|2，在△AFB 中，由余弦定理cos∠AFB =m 2+n 2−AB 22mn=(m+n)2−2mn−AB22mn=13AB2−2nm2mm≥−12，∵∠AFB∈(0,π)∴∠AFB的最大值为2π3．故选：D．11.答案：A解析：本题考查数列的前40项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意递推思想的合理运用．由已知条件推导出从第一项开始，依次取2个相邻奇数项的和都等于2，从第二项开始，依次取2个相邻偶数项的和构成以8为首项，以16为公差的等差数列．由此能求出{a n}的前40项和．解：由于数列{a n}满足a n+1+(−1)n a n=2n−1，故有a2−a1=1，a3+a2=3，a4−a3=5，a5+a4=7，a6−a5=9，a7+a6=11，…a50−a49=97．从而可得a3+a1=2，a4+a2=8，a7+a5=2，a8+a6=24，a9+a7=2，a12+a10=40，a13+a11=2，a16+a14=56，…从第一项开始，依次取2个相邻奇数项的和都等于2，从第二项开始，依次取2个相邻偶数项的和构成以8为首项，以16为公差的等差数列．∴{a n}的前40项和为：10×2+[10×8+12(10×9)×16]=20+80+720=820．故选：A．12.答案：D解析：本题考查了不等式的恒成立问题，考查函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，是一道中档题．问题转化为a≥√2x−1−2x在[12,+∞)恒成立，令f(x)=√2x−1−2x，x∈[12,+∞)，根据函数的单调性求出a的范围即可．解：对于∀x∈[12,+∞)都有2x+a≥√2x−1恒成立，则a ≥√2x −1−2x 在[12,+∞)恒成立， 令f(x)=√2x −1−2x ，x ∈[12,+∞)， f ′(x)=1−2√2x−1√2x−1， 令f ′(x)>0，解得：12≤x <58， 令f ′(x)<0，解得：x >58，故f(x)在[12,58)递增，在(58,+∞)递减， 故f(x)max =f(58)=−34， 故a ≥−34， 故选：D ．13.答案：解析：解：a ⃗ −λb ⃗ =(3−λ,2+λ)； ∵(a ⃗ −λb ⃗ )⊥b ⃗ ；∴(a ⃗ −λb ⃗ )⋅b ⃗ =3−λ−(2+λ)=0； 解得λ=12． 故答案为：12．可求出a ⃗ −λb ⃗ =(3−λ,2+λ)，根据(a ⃗ −λb ⃗ )⊥b ⃗ 即可得出(a ⃗ −λb ⃗ )⋅b ⃗ =0，进行数量积的坐标运算即可求出λ．考查向量垂直的充要条件，向量坐标的减法、数乘和数量积的运算．14.答案：210解析：本题考查了循环结构的程序框图，根据框图的流程判断算法的功能是解答本题的关键，属于基础题． 解：由程序框图知：算法的功能是求S =7×6×…×k 的值， 当m =7，n =3时，m −n +1=7−3+1=5， ∴跳出循环的k 值为4，∴输出S =7×6×5=210． 故答案为210．15.答案：1316解析：解：由题意，从D 内随机取一个点M ，则点M 取自E 内的概率为阴影部分的面积与矩形面积比，直线与矩形的交点分别是(1,12)，(12,2)， 所以阴影部分的面积为2×1−12×12×32=138，所以所求概率为1×2−12×12×321×2=1316；故答案为：1316；利用几何概型的公式，求出阴影部分与矩形的面积比即可． 本题考查了几何概型的概率求法；本题利用面积比求概率是关键．16.答案：827解析：本题考查多面体体积的求法，考查空间想象能力与思维能力，是中档题，由题意画出图形，利用等积法求出OD ，进一步求出以OD 为对角线的正方体的棱长，则答案可求． 解：如图，将三棱锥O −ABC 补形为正方体OM ，过D 分别作正方体前侧面、上底面、作侧面的平行面，交正方体可得以OD 为对角线的正方体，设其棱长为a ， 则OD 2=3a 2，又由等体积法可得：13×12×2×2×2=13×12×2√2×√6×OD ， 则OD =2√3， ∴a 2=OD 23=49，a =23．则以OD 为体对角线的正方体体积为(23)3=827． 故答案为827．17.答案：证明：(1)等腰梯形ABEF 中，∵AB =2，EF =AF =BE =1，∴cos∠FAB =π3， ∴BF =√1+4−2×1×2×cos60°=√3， ∴AF 2+BF 2=AB 2，∴AF ⊥BF ， 在△DFB 中，BF 2+DF 2=BD 2，BF ⊥DF ∵AF ∩DF =F ，∴BF ⊥平面ADF ．解：(2)作FO ⊥AB 于O ，以OF ，OB 为x ，y 轴建立如图的空间直角坐标系，则F(√32,0,0),B(0,32,0),E(√32,1,0),C(0,32,2)EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1，0)，EC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√32,12,2)， 设平面DCEF 的法向量n⃗ =(x,y ，z)， 则{n ⃗ ⋅EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =y =0n ⃗ ⋅EC⃗⃗⃗⃗⃗ =−√32x +12y +2z =0，取x =2，得平面DCEF 的法向量为n ⃗ =(2,0,√32)，又BF⃗⃗⃗⃗⃗ =(√32,−32,0) ∴cos <BF ⃗⃗⃗⃗⃗ ,n ⃗ >=BF ⃗⃗⃗⃗⃗⋅n ⃗⃗ |BF ⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=2√1919． ∴BF 与平面DCEF 所成角的正弦值为2√1919．解析：本题考查线面垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．(1)求出cos∠FAB=π3，BF=√3，AF⊥BF，再求出BF⊥DF，由此能证明BF⊥平面ADF．(2)作FO⊥AB于O，以OF，OB为x，y轴建立如图的空间直角坐标系，利用向量法能求出BF与平面DCEF所成角的正弦值．18.答案：解：(1)由题意得3sinBsinC+cosBcosC−√3sinBcosC−√3cosBsinC=4cosBcosC∴−√3sin(B+C)=3cos(B+C)，∴tan(B+C)=−√3，∴B+C=2π3∴A=π3；(2)p=sinBsinC =sin(120°−C)sinC=√32tanC+12，∵△ABC为锐角三角形，且A=π3，∴π6<C<π2，∴tanC>√33，∴12<p<2．解析：本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用，考查了两角和与差的三角函数公式，属于基本知识的考查．(1)由已知及三角函数中的恒等变换应用得−√3sin(B+C)=3cos(B+C)，从而可求tan(B+C)=−√3，即可解得A的值；(2)由已知得p=sinBsinC =sin(120°−C)sinC=√32tanC+12，由△ABC为锐角三角形，且A=π3，可求tan C的范围，即可解得实数p的取值范围．19.答案：解：(1)∵椭圆的短轴长为2，∴b=1，又∵e=√1−b2a2=√1−1a2=√22，a2=2,所以椭圆的方程为x 22+y 2=1．(2)①F 2(1,0)，设直线AB 的方程为y =k(x −1),A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)，{x 2+2y 2=2y =k(x −1)，x 2+2k 2(x 2−2x +1)=2,(1+2k 2)x 2−4k 2x +2k 2−2=0， x 1+x 2=4k 21+2k 2,x 1x 2=2k 2−21+2k 2， |x 1−x 2|=√16k 4(1+2k 2)2−4(2k 2−2)(1+2k 2)(1+2k 2)2=2√2√1+k 21+2k 2，|AB|=2√2(1+k 2)1+2k 2， ∵K AB K CD =−12，用−12k 替换上式中的k 得 ∴|CD|=√2(4k 2+1)2k 2+1， |AB|+|CD|=2√2(k 2+1)1+2k 2+√2(4k 2+1)1+2k 2=6√2k 2+3√21+2k 2=3√2．②由①知，x 1+x 2=4k 21+2k 2，M 点的横坐标为2k 21+2k2，代入直线方程得y =k(2k 21+2k 2−1)=−k 1+2k 2，即M(2k 21+2k 2,−k1+2k 2)，用−12k 替换M 点坐标k 得N(11+2k 2,k1+2k 2)， MN 的中点T 的坐标为(12,0)，S ΔOMN =12×OT ×|y M −y N |=14×|2k|1+2k 2=12×|k|1+2k 2=12×11|k|+2|k|≤122√2=√28，当且仅当|k|=√22时取等号． ∴ΔOMN 面积的最大值为√28．解析：本题考查椭圆的几何性质及直线与椭圆的位置关系，属于中档题． (1)由b 根据离心率求出a 即可；(2)①设直线AB 的方程为y =k(x −1),A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)，根据弦长公式求出|AB|，再根据斜率的关系求出|CD|，整理即可；②求出M ，N 的坐标，代入面积公式，利用基本不等式即可求解．20.答案：解：(1)补充列联表如下：(2)由列联表知K2=100×(30×40−10×20)250×50×40×60≈16.67>10.828，所以可以在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为喜爱足球运动与性别有关．解析：(1)根据表格中数据可将列联表补充完整；(2)根据列联表中数据，利用公式K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)可得K2，与临界值比较从而可得结果．21.答案：解：(1)f′(x)=−xe x ，f′(1)=−1e，g′(x)=−2ax，g′(1)=−2a，由题意得：−2a=−1e ，解得：a=12e；(2)令ℎ(x)=f(x)−g(x)=1+xe x−1+ax2，问题转化为ℎ(x)≤0对∀x∈[0,1]恒成立．则ℎ′(x)=−xe x+2ax，(i)当a≤0时，ℎ′(x)≤0，故ℎ(x)在[0,1]单调递减，ℎmax(x)=ℎ(0)=0，满足条件；(ii)当a>0时，ℎ′(x)=x(2ae x−1)e x，令ℎ′(x)=0，得，(10)当即a≥12时，ℎ′(x)≥0对∀x∈[0,1]恒成立，故ℎ(x)在[0,1]单调递增，ℎmax(x)=ℎ(1)=2e−1+a>0，不满足条件；(20)当，即12e <a<12，当时，ℎ′(x)≤0，ℎ(x)单调递减；当时，ℎ′(x)≥0，ℎ(x)单调递增；又ℎ(0)=0, ℎ(1)=2e −1+a≤0，得a≤1−2e，故12e <a≤1−2e;(iii)当，即0<a≤12e时，ℎ′(x)≤0对∀x∈[0,1]恒成立，故ℎ(x)单调递减，ℎmax(x)=ℎ(0)=0，满足条件．综上可得，a的取值范围为(−∞,1−2e]．解析：本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，是一道难题．(1)分别求出f(x)，g(x)的导数，计算得到f′(1)=g′(1)，求出a的值即可；(2)令ℎ(x)=f(x)−g(x)=1+xe x−1+ax2，问题转化为ℎ(x)≤0对∀x∈[0,1]恒成立，根据函数的单调性求出ℎ(x)的最大值，得到关于a的不等式，解出即可．22.答案：解：(1)由曲线C的参数方程{x=−1+2cosφy=2sinφ，消去参数φ，得曲线C的普通方程为(x+1)2+y2=4．由曲线l1的极坐标方程ρsin(θ−π4)=√22，得ρsinθ+ρcosθ=1，将x=ρcosθ，y=ρsinθ代入，得l1的直角坐标方程为x+y−1=0；(2)由l1⊥l2，得直线l2的斜率k l2=−1k l1=1，所以l2的倾斜角为π4，又l2过圆心(−1,0)，所以l2的方程为y=x+1，与x+y−1=0联立，得AB的中点M(0,1)，故l2的参数方程为{x=tcosπ4y=1+tsinπ4,(t为参数)，即{x=√22ty=1+√22t,(t为参数)，代入(x+1)2+y2=4中，化简、整理得t2+2√2t−2=0，设P，Q对应的参数分别为t1，t2，则由韦达定理得t1·t2=−2，又线段PQ为圆的直径，所以|PQ|=4，所以|PQ||MP|⋅|MQ|=4|−2|=2．解析：本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题型．(1)直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．(2)利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果．23.答案：证明：(1)∵a >0，b >0，c >0，∴4+a =2+2+a ≥3√2×2×a 3=3√4a 3，同理4+b =2+2+b ≥3√2×2×b 3=3√4b 3，4+c =2+2+c ≥3√2×2×c 3=3√4c 3． ∴(4+a)(4+b)(4+c)≥27√64abc 3=216， 当且仅当a =b =c =2时取等号，∴(4+a)(4+b)(4+c)≥216;(2)∵a ，b ，c 为正数，且满足abc =8， ∴(a +b)2+(b +c)2+(c +a)2≥3√(a +b)2(b+c)2(c+a)23=3[(a +b)(b +c)(c +a)]23，≥3×(2√ab ×2√bc ×2√ac)23=3×(8abc)23=3×6423=3×16=48， 当且仅当a =b =c 时取等号，∴(a +b)2+(b +c)2+(c +a)2≥48．解析：本题考查了利用综合法证明不等式和基本不等式的应用，考查了转化思想，属中档题．(1)根据4+a =2+2+a ≥3√2×2×a 3=3√4a 3，利用综合法证明(4+a)(4+b)(4+c)≥216成立；(2)根据a ，b ，c 为正数，且满足abc =8，连续利用基本不等式即可证明不等式．。

2020年黑龙江省哈尔滨九中高考数学二模试卷（文科）、选择题：本题共 12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将答案填涂在客观题答题卡上(5分) 已知集合 P |x||x 1|, 1 ,x R| , Q {x|x N}，则 P |Q 等于（ A . P{1 , 2}D . {0 , 1, 2}(5分)已知复数 z 满足C 33i)z 3i ,r r r r r3. ( 5分)设非零向量 a,b,c 满足|a| |b|A . 150B . 120.3. i2c ，则a 与b 的夹角为（）D . 30r b4. （5分）4张卡片上分别写有数字 1 , 2, 3, 4，从这4张卡片中随机抽取 2张，则取出的A .2 B.3C .3D.-45. （ 5分）平面 II 平面的一个充分条件是 ()A . 存在一条直线a , a/I , a/IB . 存在一条直线a , a ,a/IC . 存在两条平行直线 a ,b , a , baII ,bII D .存在两条异面直线 a ,b , a, baII,bII6. (5 分)函数 y cos(4x 2）图象中最近的对称中心与对称轴间的距离为A.BC .D.-7x 2表示该区域的不等式组是（2x y …0 A . 2x y —0 0剟X 32x y 0B . 2x y, 00剟x 32x y, 0 C . 2x y, 0 0剟x 3 2x y, 0 D . 2x y …0 0剟x 3 ) 1 1 2 16824（5分）双曲线 3围成一个三角形区域, 1的两条渐近线与直线 x 2张卡片上的数学之和为偶数的概率是& ( 5 分)若sin 21且（-，_),则cos sin 的值是()4 4D.A •仝B . 3C.逅24249. （5分）甲、乙、丙三人中，一人是教师、一人是记者、一人是医生•已知：丙的年龄比医生大；甲的年龄和记者不同；记者的年龄比乙小•根据以上情况，下列判断正确的是A •甲是教师，乙是医生，丙是记者B •甲是医生，乙是记者，丙是教师C •甲是医生，乙是教师，丙是记者D •甲是记者，乙是医生，丙是教师2 210. （5分）过椭圆C:笃爲1（a b 0）的左顶点A的斜率为k的直线交椭圆C于另一个a b1 1点B，且点B在x轴上的射影恰好为右焦点F ,若1 k 1，则椭圆离心率的取值范围3 2是（）A • Q,9）B • （2,1）C （丄,2）D • （0,1）4 4 3 2 3 211. （5分）已知空间几何体ABCD是由圆柱切割而成的阴影部分构成，其中 A , B为下底面圆直径的两个端点， C , D为上底面圆直径的两个端点，且AB CD，圆柱底面半径是1,高是2,则空间几何体ABCD可以无缝的穿过下列哪个图形（）A •椭圆B •等腰直角三角形C .正三角形D .正方形12. （5 分）有限数列A 佝,a2, , a.} , S为其前n项和，定义§一包S n为A的n“凯森和”，如有504项的数列a , a2, , a504的“凯森和”为2020,则有505项的数列2, a1 , a2, , a504 的“凯森和”为（）18. （12分）等比数列｛a n ｝的前n 项和为S ，已知S , S 3, S 成等差数列. （1）求｛a n ｝的公比q ; （2）若a !爲3，求$ .19. （12分）某车间20名工人年龄数据如下表:年龄（岁）工人数（人、）191 28 3 293二、填空题：本题共 4小题，每小题5分，共20分，请将答案写在答题纸指定的位置上. 13. （5分）已知f （x ）是定义在 R 上的偶函数，且当 x 0时，f （x ） 2x 3，则当x 0时,f(x) 14. (5 分)已知函数 f(x) f ( )cos x sinx ，贝U f ()3 32 2 215. （5分）抛物线y ax 的焦点恰好为双曲线 y x 2的一个焦点，贝U a 16. （5分）在 ABC 中，A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ,且满足a bsin A sin B 2sin C ，贝U c；若 C ，贝U ABC 的面积 S3三、解答题：本题共 5小题，满分60分（17题至21题12分，选修题10分）. 文字说明、证明过程或演算步骤.17. （12分）如图，正三棱柱 ABC ABQ !的底面边长为a ，点M 在边BC 上， 点M 为直角顶点的等腰直角三角形.解答应写出 AMG 是以（I ）求证点M 为边BC 的中点; （H ）求C 到平面AMC ,的距离;（川）求二面角 M AG C 的大小.。