高三数学直线和圆锥曲线的位置关系PPT精品课件

由直线 l 与双曲线交于不同的两点得
1-3 2 ≠ 0,
= (-6 2k)2 + 36(1-3 2 ) = 36(1- 2 ) > 0,
1
3
故 k2≠ 且 k 2<1.①
6 2k
-9
1-3
1-32
设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 x1+x2=
2,x1x2=
.
由·>2 得 x1x2+y1y2>2.
直线与圆锥曲线的位置关系
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1.直线与圆锥曲线位置关系的判断方法
(1)代数法,把圆锥曲线方程与直线方程联立消去 y,整理得出关于 x 的
方程 Ax2+Bx+C=0,若圆锥曲线是双曲线或是抛物线,当 A=0 时,表示直线与
双曲线的渐近线或抛物线的轴平行;当 A≠0 时,记该一元二次方程根的判
别式为 Δ.(ⅰ)若 Δ>0 时,直线与圆锥曲线相交;(ⅱ)若 Δ=0 时,直线与圆锥曲
截的线段的中点坐标时,设出直线和圆锥曲线的两个交点坐标,代入圆锥曲
线的方程并作差,从而求出直线的斜率,然后利用中点求出直线方程.“点差
法”的常见题型有:求中点弦方程、求(过定点、平行弦)弦中点轨迹、垂直
平分线问题.必须提醒的是“点差法”具有不等价性,即要考虑判别式 Δ 是否
为正数.
4.圆锥曲线的定值、最值、存在性问题很大一部分是利用等价转化思
B. -∞,-
2
2
∪
2
,+
2
∞
C.(-∞,-2 2)∪(2 2,+∞)
D.(-∞,- 2)∪( 2,+∞)
)
【答案】D
4

4 5k 2 x 2 10k (3k 2) x 5(3k 2) 80 0 设M x1 , y1 , N x2 , y 2


则x1 x2 6 k 5
10k 3k 2 6 2 4 5k
直线MN的方程为：x 5 y 28 0 6
2
y2
2
2 px2
OA OB
2 2 2 2
y1 y2 4 p
y1 y2 4 p x1 x2 4 p y1 y2
2
x1 x2 y1 y2 0
x1 x2 y1 y2 4 p
2
(法二)：设OA的方程为：y kx y kx 2p 2p A( 2 , ) 2 k k y 2 px
AB
4 2 4 2
2
2
8
(法二) :由上得弦AB的方程为：x y 1 0
运用公式： 1 k 2 x1 x2 1 k 2 AB 而x1 x2 6 x1 x2 1
x1 x2 2 4 x1 x2
AB 8
(法三)(利用抛物线的定义解题)
通常利用方程根与系数的关系求得 应用公式： AB 1 k 2 x1 x2 有关弦中点的问题可利用中点公式及根与系数的 关系解决。 例3、抛物线 y 4 x 的一条弦的中点为 求此弦所在的直线方程。
2
3,2 ，
(法一)：设弦交抛物线于A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 )
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直线与圆锥曲线的位置关系
一、要点
1、直线与圆锥曲线有无公共点的问题。 2、直线与圆锥曲线相交所得的弦长的计算， 有关中点弦的问题。 3、圆锥曲线内其它涉及到弦的问题。

y1 y2 y1 y2 2 4 y1 y2
1 k2 4
AB
1
1 k
2
y1
y2
1 k2
1
1 k2
4
M
N
Ox
B
d k 1 k2
1
1
SOAB 2 AB d 2
1 k 2 4 10
k 1. 6
例
x2
4.（1）在双曲线 16
y2 4
1 ，求经过点 P(8,1) 且被
解：设点 P(x0, y0 ) 是抛物线上任一点,d 是点 P 到直线 L 的距离.
则y02 64x0
d
4x0 3y0 46 42 32
y02 16
3 y0
46
因为y0 R
5
( y0 24)2 160 y 80
当y0 24时, dmin 2 此时P(9,24)
另解：设直线L : 4x 3y m 0与抛物线相切
3x 3或 y
3 2
x
3
。
例 1. 过点 (0, 3) 的直线 l 与下列曲线只有一个公共点，求直线 l 的方程：
（3）抛物线 x2 y 。
解： 当 k 不存在时，直线 l 为抛物线的对称轴，与抛物线有一个交点，
合题意。
设直线 l 的方程为 y kx 3
y x2
kx 3 y
x2
1
SAOB 2 AB d
2b 3
6 b2
2 3
b2 3 2 9
b 6, 6 当b 3时, Smax 2, l : y x 3
例 3. 已知抛物线 y2=－x 与直线 y=k（x+1）相交于 A、B 两点.
（1）求证：OA⊥OB；

略解：(向量法）
设 M (x1,y1)N ,(x2,y2) AM (x1,y11 ) AN (x2,y21 ) AM A N AM AN 0
即 x 1 x 2 ： y 1 y 2 y 1 y 2 1 0
3b 2 3 2b b 2 3k 2 1 0 b 1 3k 2
1 3k 2 1 3k 2 1 3k 2
你能求出AM的范围吗？
方法1 写出AM的关系式，然后试图值求域。
方法2 考虑以 A(0,1)为圆心， AM 为半径的圆
体现：转化思想 数形结合的思想
（0，-1）
拓展延伸：
对于椭圆x2 a2
y2 b2
1(ab0)的下顶点为A(0,b),
是否存在以A为直角顶点的内接等腰直角三角形AMN？
若存在，这样的三角形可能有几个？叙述并证明你的
能否找到一条斜 k的率直为线 l与此椭圆交于两个不同 的点M,N.使得MA NA,其中A(0,1)?若存在，试 求出k的范围；若不存说 在明 ，理 请由。
想一想：要求变量的范围，如何根据条件建立不等式呢？ 让直线方程 联与 立y后 椭 ，得 圆 消到 x 方 的关 程 二于 次 令 0
体现：函数与方程的思想
2
3 k22 b 1 代2 入 b 2 b 得 10
b1(舍 )或 b1 k0 2
解： 由题意得：M,N必在y轴两侧
设 AN 斜率 k(k为 0)则 , AM 的斜率 1 为－ k
由 x y 2 k 3 y 2 x 1 3 得 x 2 ： 3 (k x 1 )2 3 x N 1 6 3 k k 2 A N 1 k2xN1 3 k21 6 3 k k2 以 1 k代入 k ， 上 A 得 ＝ M 式 1 ＋ ： 3 k2 的 k2 6 3

(2)依题意，c＝1，|PF1|＝73，可得 xp＝23，
5
75
∴|PF2|＝3，又由椭圆定义得 2a＝|PF1|＋|PF2|＝3＋3＝4，a＝2.
∴b2＝a2－c2＝3，所以曲线 E 的标准方程为x42＋y32＝1；
(3)在(1)、(2)的条件下，直线 l 与椭圆 E 相交于 A、B 两点，若 AB 的中点 M 在曲线 C 上，求直线 l 的斜率 k 的取值范围．
(2)设曲线 C 与曲线 E 相交于第一象限点 P，且|PF1|＝73，求曲线 E 的标准方程；
解:(1)设动圆圆心的坐标为(x，y)(x＞0).因为动圆在 y 轴右侧与 y 轴相
切，同时与圆 F2 相外切，所以|CF2|－x＝1，∴ x－12＋y2＝x＋1，化 简整理得 y2＝4x，曲线 C 的方程为 y2＝4x(x＞0)；
M－3＋4km4k2，3＋3m4k2代入 y2＝4x，
16k3＋4k2
整理得 m＝－ 9 ，
②
将②代入①得 162k2(3＋4k2)＜81，令 t＝4k2(t＞0)，则 64t2＋192t－81 ＜0，∴0＜t＜38.∴－ 86＜k＜ 86且 k≠0.
(方法二)设直线 l 与椭圆 E 交点 A(x1，y1)，B(x2，y2)，A，B 的中 点 M 的坐标为(x0，y0)，
规律方法 1 1.在第(2)问方法一中，根据 Δ＞0 求 t 的范 围，进而去求 k 的取值范围，这是求解的关键．
2．涉及弦的中点与直线的斜率问题，可考虑“点差法”， 构造出 kAB＝yx11－－yx22和 x1＋x2，y1＋y2，整体代换，求出中点或 斜率，体现“设而不求”的思想．
对点训练 设抛物线过定点 A(－1,0)，且以直线 x＝1 为准线． (1)求抛物线顶点的轨迹 C 的方程； (2)若直线 l 与轨迹 C 交于不同的两点 M，N，且线段 MN 恰被