高三数学直线和圆锥曲线的位置关系PPT精品课件

而
x1x2+y1y2=x1x2+(kx1+ 2)(kx2+ 2)=(k 2+1)x1x2+ 2k(x1+x2)+2=(k2+1)·
6 2k
-9
1-3 2
+ 2k·
2
+2=
1-3 2
2
3 +7
于是
3 +7
3 2-1
,
1
3
>2,解此不等式得 <k 2<3.②
3 2-1
1
由①②得 <k 2<1.
3
故 k 的取值范围为 -1,-
3
3
∪
3
,1
3
.
在讨论直线和圆锥曲线的位置关系时,先联立方程组,再消去
x(或 y),得到关于 y(或 x)的方程,如果是直线与圆或椭圆,则所得方程一定为
一元二次方程;如果是直线与双曲线或抛物线,则需讨论二次项系数等于
零和不等于零两种情况,只有二次方程才有判别式,另外还应注意斜率不
或|MN|= 1 +
1

2 |y1-y2|=
1+
1

2
[(1 + 2 )2 -41 2 ]求距离.
(2)当直线的斜率 k 不存在时,可求出交点坐标,直接计算.

3b 2 3 2b b 2 3k 2 1 3k 2 1 0b 2 2 2 1 3k 1 3k 1 3k 2
3k 2 2b 1代入得2b 2 b 1 0
1 b 1(舍)或b k 0 2
解： 由题意得：M,N必在y轴两侧
体现：函数思想
繁
设M ( x1 , y1 ) N ( x2 , y2 )
MN的中点为P（x,y)
3bk b p( , ) 2 2 1 3k 1 3k
K AP 3k 2 b 1 1 1 3k 2 b 2 1 3k k 2
6bk 3b 2 3 x1 x2 ; x1 x2 2 1 3k 1 3b 2
拓展延伸
对于椭圆x 2 a 2 y 2 a 2 (a 1), 是否存在一个以A(0,1) 为直角顶点的等腰直角三角形内接椭圆？
若存在，最多几个？若不存在，说明你的理由。
略解： 设AN的直线方程为：y k x 1; (k 0)
1 则AM的直线方程为y x 1 k
x2 y2 1 (0,-1) 3
猜一猜：
是否存在以A（0，-1）为直角顶点的等 腰直角三角形内接于椭圆？
一定存在
方法1： MN的直线方程为y k x b 设
1 1 3k 2 由 AP＝ MN ，结合b 2 2

1＋1·
－432－4×0＝4
3Fra Baidu bibliotek
2 .
答案：A
3．已知点F是双曲线
x2 a2
－
y2 b2
＝1(a＞0，b＞0)的左焦
点，点E是该双曲线的右顶点，过F且垂直于x轴的直线与双
曲线交于A、B两点，若△ABE是锐角三角形，则该双曲线
的离心率e的取值范围是( )
A．(1，＋∞)
B．(1,2)
C．(1,1＋ 2)
【典例剖析】
(1)(理)过双曲线x2－
y2 2
＝1的右焦点作直线l，交双
曲线于A，B两点，若|AB|＝4，则这样的直线l有
A．1条
B．2条
C．3条
D．4条
(文)已知双曲线C：x2－
y2 4
＝1，过点P(1,1)作直线l，使l
与C有且只有一个公共点，则满足上述条件的直线l共有
A．1条
B．2条
C．3条
方程的判别式Δ
Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0
方程组解的个 数 两个
一个 0个
交点个数 位置关系
两个 一个 0个
相交 相切 相离
(2)当a＝0，且b≠0时，得到一个一元一次方程，则直线与
曲线相交，且只有一个交点，若曲线C为双曲线，则直线l与双
曲线的 渐近线
平行；若曲线C为抛物线，则直

第八章 解析几何
高考一轮总复习 • 数学
[解析] 如图，由|AB|＝2ab2， △FAB是正三角形，得 23×2ab2＝2c， 化简可得(2a2－3b2)(2a2＋b2)＝0， 所以2a2－3b2＝0，所以ba22＝32， 所以椭圆的离心率e＝ac＝ 1－ba22＝ 33．故选C．
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第八章 解析几何
D．(1，＋∞)
第八章 解析几何
高考一轮总复习 • 数学
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[解析] 双曲线C：ax22－by22＝1(a＞0，b＞0)的右焦点为F，若过点F且 倾斜角为45°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点．则该直线的斜 率的绝对值小于或等于渐近线的斜率ba，所以ba≥1，e2＝ac22＝a2＋a2 b2≥2， ∴e≥ 2．故选A．
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5．(2019·全国卷Ⅰ)已知抛物线C：y2＝3x的焦点为F，斜率为
3 2
的直
线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为P．
(1)若|AF|＋|BF|＝4，求l的方程；
(2)若A→P＝3P→B，求|AB|．
第八章 解析几何
高考一轮总复习 • 数学
[解析] 设直线l：y＝32x＋t，A(x1，y1)，B(x2，y2)． (1)由题设得F43，0， 故|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋32． 又|AF|＋|BF|＝4，所以x1＋x2＝52．

2px0
圆锥曲线为抛物线 y2＝2px(p＞0)时，有 kAB＝ y0 .
a
17
求椭圆
x2 y2 94
1
被点
Q(2,1)平分的弦 AB
所在的直线方程
.
a
18
已知在平面直角坐标系 中的一个椭圆，它的中心在原点，
左焦点为 F ( 3, 0) ,右顶点为 D ( 2, 0 ) ,设点 A
（1）求该椭圆的标准方程；
|AB|＝ 1＋k2|x1－x2|＝ (1＋k2)[(x1＋x2)2－4x1x2]
＝ 1＋k12|y1－y2|＝ (1＋k12)[(y1＋y2)2－4y1y2].
a
13
1.直线y=kx-k+1与椭圆 x2 y2 1 的位置关系为( A )
(A) 相交 (B) 相切 9 (C)4相离
(D) 不确定
故①△>0 相交 ②△=0 相切 ③△<0 相离
所以“直线与抛物线或双曲线有一个 公共点是直线与抛物线或双曲线相切 的必要不充分条件”
a
11
把直线方程代入圆锥曲线方程
得到一元一次方程
双曲线， 直线与 渐近线平行
相交1
抛物线， 直线与 对称轴平行 或重合
相交1 a
得到一元二次方程 计算判别式
>0 =0 <0
33或
k＜－

变化时，求λ1＋λ2的值；
(2)连结AE、BD，试探索当m变化时，直线AE、BD是否
相交于一定点N？若交于定点N，请求出点N的坐标，并给予
证明，否则说明理由．
【分析】 (1)由直线与椭圆的位置关系建立方程组，利
用韦达定理和向量共线求出λ1＋λ2的值；(2)利用向量证明A、
N、E及B、N、D共线，从而得出结论． 【解析】 (1)由已知知m≠0，故可得M(0，－
2．有关弦的问题： (1)弦的中点问题：“韦达定理”或“点差法”． (2)张长公式：若直线与圆锥曲线交于两点A(x1，y1)， B(x2，y2)(x1≠x2)，则弦长 |AB|＝ 1 k 2 |x1－x2|＝ 1 k 2 (x1 x2 )2 4 x1 x2
＝
1
1 k2
|y1－y2|(k≠0)＝
|AB|＝ 1 k 2 g (x1 x2 )2 4 x1 x2 ·
＝
1 k2g
(
4km 1 2k2
)2
2m2 8
4g 1
2k
2
＝4
k2 1
2 k2 1
2g
2k2 1 g
1
g 3 2k
2
1
．
令
2kk2211＝t，则
1 ＜t≤1，
2
∴|AB|2＝32t(1－ 2 t)＝－ 64 (t－ 3 )2＋12，

第三讲
直线与圆锥曲线的位置关系及轨迹问题
1．直线与圆锥曲线位置关系的判断 相交 相切 (1)直线与圆锥曲线的位置关系共有三种： 、 、 ． 相离 (2)判断直线与圆锥曲线的位置关系，主要采用代数法，即将 直线的方程与圆锥曲线的方程联立，通过方程组解的个数判 断直线与圆锥曲线的位置关系．
若直线 l 的方程为 Ax＋By＋C＝0(A、B 不同时为 0)， Ax＋By＋C＝0 圆锥曲线 C 的方程为 F(x，y)＝0，则由 消 Fx，y＝0 去 y(或 x)后得到 ax2＋bx＋c＝0(或 ay2＋by＋c＝0)．
1．(2011·广东)设圆C与圆x2＋(y－3)2＝1外切，与直线y＝0相 切，则C的圆心轨迹为 A．抛物线 C．椭圆 D．圆 B．双曲线
解析 设圆C的半径为 r，则圆心 C到直线y＝0的距离为 r.由两 圆外切可得，圆心C到点(0,3)的距离为r＋1，也就是说，圆心 C到点(0,3)的距离比到直线y＝0的距离大1，故点C到点(0,3)的 距离和它到直线 y ＝－ 1 的距离相等，符合抛物线的特征，故 点C的轨迹为抛物线． 答案 A
解析 设曲线 C 上任一点 P(x，y)，由|PF1|· |PF2|＝a2， 可得 x＋12＋y2 · x－12＋y2 ＝ a2(a ＞ 1) ，将原点 (0,0) 代 入等式不成立，故①不正确．
∵点 P(x，y)在曲线 C 上，点 P 关于原点的对称点为 P′(－x，－y)，将 P′代入曲线 C 的方程等式成立，故② 1 1 2 正确． 设∠F1PF2＝θ， 则 S△F1PF2＝2|PF1||PF2|· sin θ＝2a sin 1 2 θ≤2a ，故③正确．

2．已知双曲线 C：x2－y42 ＝1，过点 P(1，2)的直线 l，使 l 与 C 有且只有一个公
共点，则满足上述条件的直线 l 共有( )
A．1 条
B．2 条
C．3 条
D．4 条
【解析】选 B.因为双曲线的渐近线方程为 y＝±2x，点 P 在一条渐近线上，又由于 双曲线的顶点为(±1，0)，所以过点 P 且与双曲线相切的切线只有一条．过点 P 平 行于渐近线的直线只有一条，所以与双曲线只有一个公共点的直线有两条．
类型二 直线与圆锥曲线相切问题(逻辑推理、数学运算) 【典例】设点 M 是椭圆 C：xa22 ＋yb22 ＝1(a＞b＞0)上一动点，椭圆的长轴长为 4 3 ，
离心率为
6 3
.
(1)求椭圆 C 的方程；
(2)求点 M 到直线 l1：x＋y－5＝0 距离的最大值及此时点 M 的坐标．
【思路导引】(1)利用长轴长、离心率求 a，c，再求出 b.(2)利用与直线 l1 平行且与
椭圆相切的直线求最大值．
【解析】(1)由题意可知 2a＝4 3 ，则 a＝2 3 ，
离心率 e＝ca
＝
6 3
，则 c＝2
2 ，b2＝a2－c2＝4，
所以椭圆的标准方程为1x22 ＋y42 ＝1.
(2)由直线 l1 的方程与椭圆的方程可以设为，直线 l1 与椭圆不相交，设直线 m 平行 于直线 l1， 则直线 m 的方程可以设为 x＋y＋k＝0，

(2)设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 x1、x2 是方程 x2＋4x－m＝0 的两个不等实根．
∴|x1－x2|＝ x1＋x22－4x1x2＝ 16＋4m. ∵点 A、B 也在直线 y＝2x 上，
∴|y1－y2|＝2|x1－x2|＝2 16＋4m， ∴|AB|＝ x1－x22＋y1－y22 ＝ 16＋4m＋416＋4m
所求的弦长为 2 答案： 2
1－12＝ 2.
说考点
拓展延伸串知识
疑点清源
1.判断直线 l 与圆锥曲线 C 的位置关系时，可将直线 l 的 方程代入曲线 C 的方程，消去 y(也可以消 x)得一个关于变量 x 的一元方程 ax2＋bx＋c＝0.
(1)当 a≠0 时，则有△＞0，l 与 C 相交；△＝0，l 与 C 相 切；△＜0，l 与 C 相离．
8．8 直线与圆锥曲线的位置关系
考纲点击 1.能用坐标法解决一些与圆锥曲线有关的简单几何问题 (直线与圆锥曲线的位置关系) 2.理解数形结合的思想．
说基础
课前预习读教材
考点梳理 一、直线与圆锥曲线的位置关系 1 ． 从 几 何 角 度 看 ， 可 分 为 三 类 ： ① ____________ ， ② __________________及有两个③____________. 2．从代数角度看，可通过将表示直线的方程代入二次曲 线的方程消元后所得一元二次方程解的情况来判断．设直线 l 的方程为 Ax＋By＋C＝0，圆锥曲线方程为 f(x，y)＝0.

( B )
A.
1
,0
4
B.
2
1
,0
2
2
C.(1,0)
D.(2,0)
(2)已知椭圆 2 + 2 =1(a>b>0)被抛物线 y2=4x 的准线截得的弦
长为 3,以坐标原点为圆心,以椭圆的长半轴长为半径的圆与直线
y=x+2 2相切,则椭圆的离心率为( A )
1
A.2
2
B. 2
2
C. 3
2
D. 4
直线与圆锥曲线
-2知识梳理
双基自测
1.直线与圆锥曲线的位置关系
(1)从几何角度看,可分为三类:没有公共点,仅有一个公共点及有
两个不同的公共点.
(2)从代数角度看,可通过将表示直线的方程代入圆锥曲线的方程
消元后所得一元二次方程解的情况来判断.设直线l的方程为
Ax+By+C=0,圆锥曲线方程为f(x,y)=0.
当Δ = 0时,直线和圆锥曲线相切于一点;
当Δ < 0时,直线和圆锥曲线没有公共点.
-4知识梳理
双基自测
2.直线与圆锥曲线相交时的弦长问题
(1)斜率为k(k不为0)的直线与圆锥曲线交于两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),
1 + 2 ·|x1-x2|
则所得弦长|P1P2|=

直线与圆锥曲线的位置关系
• 知识归纳 • 1．(1)直线与圆、椭圆的方程联立后，消 去一个未知数得到关于另一个未知数的一 元二次方程，可据判别式Δ来讨论交点个 数.
相交 Δ>0
直线与圆锥曲线有两个交 点
相切
相离
直线与圆锥曲线有一个切 Δ＝0 点 Δ<0 直线与圆锥曲线无公共点
• (2)直线与双曲线、抛物线的方程联立后， 消元得到一元二次方程可仿上讨论，但应特 别注意： • 平行于抛物线的轴的直线与抛物线相交，有 且仅有一个交点． • 平行于双曲线的渐近线的直线与双曲线有且 仅有一个交点，但也不是相切． • 上述两种情形联立方程组消元后，二次项系 数为0，即只能得到一个一次方程．
点M的纵、横坐标之比
x y 1 例3 已知双曲线方程 4 2
求直线 AB 的方程；
2
2
（）过 1 M （1，）的直线交双曲线于 1 A、B 两点，若 M 为弦 AB 的中点，
即 x 2y 1 0 .
1 （2）是否存在直线l，使 N 1， 为 l 被双曲线所截弦的中点，若存在， 2 求出直线 l 的方程，若不存在，请说明理由. y
Fra Baidu bibliotek
作业：
1.顶点在坐标原点，焦点在x轴上的抛物线被直线 y=2x+1截得的弦长为 15 ，则求抛物线的方程
x2 y2 1 ， 2. 已知椭圆 2

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4．解 决 直 线 与 圆 锥 曲 线 关 系 问 题 的 一 般 方 法 1 ( ) 解 决 焦 点 弦 (过 圆 锥 曲 线 焦 点 的 弦
新课标版 · 高三数学（文）
)的 长 的 有 关 问 题 ， 注 意
应 用 圆 锥 曲 线 的 定 义 和 焦 半 径 公 式 ． 2 ( ) 已 知 直 线 与 圆 锥 曲 线 的 某 些 关 系 求 圆 锥 曲 线 的 方 程 时 ， 通 常 利 用 待 定 系 数 法 ． 3 ( ) 圆 锥 曲 线 上 的 点 关 于 某 一 直 线 的 对 称 问 题 ， 解 此 类 题 的 方 法 是 利 用 圆 锥 曲 线 上 的 两 点 所 在 的 直 线 与 对 称 直 线 垂 直 ， 则 圆 锥 曲 线 上 两 点 的 中 点 一 定 在 对 称 直 线 上 ， 再 利 用 根 的 判 别 式 或 中 点与 曲 线 的 位 置 关 系 求 解 ．
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5．重 点 辨 析
新课标版 · 高三数学（文）
1 ( ) 如 果 在 设 直 线 方 程 时 涉 及 斜 率 ， 要 注 意 斜 率 不 存 在 的 情 况 ， 为 了 避 免 讨 论 ， 过 焦 点 2 ( ) 解 方 程 组 的 方 程 F(c,0 )的 直 线 可 设 为 时 ， 若 消 去 x＝my＋c. y， 得 到 关 于 x

(2)代数法:将直线方程与圆方程联立方程组,通过解的情况判断,适合于判断直线与
圆的位置关系.
角度2 弦长问题
[例2](2024·昆明模拟)已知直线y=2x与圆(x-2)2+(y-2)2=1交于A,B两点,则 =(
A.
5
5
2 5
B.
5
3 5
C.
5
4 5
D.
5
【解析】选B.因为圆的方程为(x-2)2+(y-2)2=1,
若点A(a,b)在圆C外,则a2+b2>r2,所以d=
2
2 +2
<r,
则直线l与圆C相交,故C错误;
若点A(a,b)在直线l上,则a2+b2-r2=0,即a2+b2=r2,所以d=
则直线l与圆C相切,故D正确.
2
2 +2
=r,
解题技法
判断直线与圆的位置关系的一般方法
(1)几何法:圆心到直线的距离与圆半径比较大小,特点是计算量较小;
位置关系
相离
相切
相交
方程观点
<
Δ___0
Δ___0
=
Δ___0
>
几何观点
d___r
>
d___r
=
d___r
<
图形
量化

1 b 1 b 因此交点为B(－ ， )，C( ， )，根据 b＋1 b＋1 b－1 b－1 b 2b |AB|＝|BC|知AC的中点为B.因此 ＝ ，解得b＝3(b＝0 b－1 b＋1 a2＋b2 12＋32 c 舍去)，故离心率e＝a＝ a ＝ 1 ＝ 10.
答案： 10
已知双曲线x2－y2＝4，直线l：y＝k(x－1)，讨论直线
2 2 x y 4 ＋ 3 ＝1， 由 y＝－x＋n， 4
消去y得：
13x2－8nx＋16n2－48＝0，
2分
运用中点在直线y＝4x＋m上解决． 13 13 Δ＝64n －4×13(16n －48)>0，解得－ <n< .6分 2 2
2 2
x1＋x2 4n y1＋y2 1 x1＋x2 12n 又 2 ＝13， 2 ＝－4× 2 ＋n＝ 13 ， 4n 12n 所以PQ的中点为M(13， 13 ). 因为M在直线y＝4x＋m上， 12n 4n 4n 所以 13 ＝4×13＋m，所以m＝－13. 2 13 2 13 综上解得：－ 13 <m< 13 . 12分 10分
∴a2＝4b2. 椭圆方程化为x2＋4y2＝4b2，
1 直线AB的方程为y－1＝－2(x－2)， 1 即y＝－2x＋2. 1 把直线方程代入椭圆方程得x ＋4(－2x＋2)2＝4b2，
2
即x2－4x＋8－2b2＝0， ∴x1＋x2＝4，x1x2＝8－2b2. ∵|AB|＝ 1＋k2|x1－x2| 12 ∴10＝[1＋(－2) ][(x1＋x2)2－4x1x2]

变式探究 3 (1)已知椭圆 4x2＋5y2＝20 的一个焦点为 F，过点 F 且倾斜角为 45°的直线 l 交椭圆于 A、B 两点，求弦长|AB|. (2)椭圆有两个顶点 A(－1,0)，B(1,0)过其焦点 F(0,1)的直线 l 与椭
圆交于 C，D 两点，若|CD|＝322，求直线 l 的方程．
设 C(x1，y1)，D(x2，y2)，则 x1＋x2＝－k22＋k 2，x1x2＝－k2＋1 2 |CD|＝ 1＋k2· x1＋x22－4x1x2＝2 k22＋k2＋2 1， 由已知得2 k22＋k2＋2 1＝32 2，解得 k＝± 2. 所以直线 l 的方程为 y＝ 2x＋1 或 y＝－ 2x＋1.
24
考点三 有关弦长的综合问题 例 3 设椭圆 C：xa22＋by22＝1(a＞b＞0)的右焦点为 F，过 F 的直线 l 与椭圆 C 相交于 A、B 两点，直线 l 的倾斜角为 60°，A→F＝2F→B. (1)求椭圆 C 的离心率；
(2)如果|AB|＝145，求椭圆 C 的方程． 分析：由直线方程与椭圆方程联立方程组，消元整理成关于 y 的 一元二次方程，由根与系数的关系及向量坐标建立关于 a、b 的方程组， 求离心率，利用弦长公式建立 a、b 的方程．解方程组求得 a、b 的值．
第9课时 直线与椭圆的位置关系
新知识·预习探究
知识点一 点与椭圆的位置关系

B
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
解析 因为直线与圆相交于， 两点，所以设圆心到直线的距离为，则等价于，即 ，所以，解得或，所以“”是“ ”的必要不充分条件.故选B.
（2）（2022 · 新高考Ⅰ卷）写出与圆和 都相切的一条直线的方程：______________________________________________.
圆与圆位置关系问题的解题策略1. 判断两圆的位置关系时常用几何法,即利用两圆圆心之间的距离与两圆半径之间的 关系,一般不采用代数法.2. 若两圆相交,则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去, 项得到.
1.（多选题）（原创）集合 ，，若 ，其中，则 的可能取值为( ) .
或
【易错点】过圆外一点作圆的切线有两条，忽视斜率不存在的切线这种情况而致误.
解析 根据题意，圆，即 ，其圆心为，半径.若直线的斜率不存在，则直线的方程为，圆心 到直线的距离，与圆相切，符合题意； 若直线的斜率存在，设直线的斜率为 ，则直线的方程为，即，则，解得 ，此时直线的方程为.故直线的方程为或 .
解析 圆恒过点，直线 也恒过点 ， 所以对任意实数与 ，直线和圆 有公共点，故B正确； 圆心到直线 的距离，其中 ， 则对任意实数，存在 ，使得直线和圆 的位置关系是相交或者相切，故D正确，A错误； 当时，圆为，此时不存在实数，使得直线和圆 相切，故C错误.故选 .