3.1.2两角和与差的正弦(2)

3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式一、教学目标1.知识与技能：了解两角和与差的正弦、余弦、正切公式之间的内在联系，并通过强化题目的训练，加深对公式的理解，培养学生的运算能力及逻辑推理能力，从而提高解决问题的能力。

2.过程与方法：通过让学生探索、发现并推导两角和与差的正弦、余弦、正切公式，自觉地利用联系变化的观点来分析问题，提高学生分析问题解决问题的能力。

3.情感、态度与价值观：通过本节学习，使学生掌握寻找数学规律的方法，提高学生的观察分析能力，培养学生的应用意识，提高学生的数学素质。

二、教学重点难点重点：两角和、差正弦和正切公式的推导过程及运用；难点：灵活运用所学公式进行求值、化简、证明。

三、学情分析鉴于学生的基础一般，前面刚刚学习了两角差的余弦公式，学生对于该公式的简单应用，尚能掌握。

在教学的过程中，对比公式的内在联系，学生可能会在角的正弦与余弦能否建立联系上产生困难，教师应当在教学过程中有意识地对学生的思维进行引导；利用联系的观点和对比理解的办法让学生熟悉公式并逐步做到可以简单的应用。

四、教学方法1.自主性学习法：通过自学掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式。

2.探究式学习法：通过分析、探索、掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式的过程。

3.反馈练习法：以练习来检验知识的应用情况，找出未掌握的内容及其存在的差距。

五、设计思路本节课利用两角差的余弦公式推导出其它公式，并且运用两角和与差的三角函数公式解决一些相关的问题，运用公式的关键在于构造角的和差。

要认识公式结构的特征，了解公式的推导过程，熟知由此衍变的两角和的余弦公式。

在解题过程中注意角的象限，也就是符号问题，学会灵活运用。

在构造过程中，要尽量使其中的角为特殊角或已知角，这样才能尽可能的利用已知条件进行化简或求值。

灵活运用公式的关键在于观察分析待化简、要求值的三角函数式的结构特征，联想具有类似特征的相关公式。

然后经过适当变形、拼凑，再正用或逆用公式解题。

3.12 两角和与差的正弦、余弦、正切公式知识点一 两角和的余弦公式解决给角求值问题的策略(1)对于非特殊角的三角函数式求值问题，一定要本着先整体后局部的基本原则，如果整体符合三角公式的形式，则整体变形，否则进行各局部的变形．(2)一般途径有将非特殊角化为特殊角的和或差的形式，化为正负相消的项并消项求值，化分子．分母形式进行约分，解题时要逆用或变用公式．1．sin7°cos37°－sin83°sin37° 2.sin50°－sin20°cos30°cos20°3、sin14°cos16°＋sin76°cos74°4、sin7°＋cos15°sin8°cos7°－sin15°sin8°5、已知角α的终边经过点(－3,4)，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4的值为6．求函数f (x )＝sin x －cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6的值域．类型二 给值求值1、已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＋α＝513，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β＝35，且0<α<π4<β<3π4，求cos(α＋β)．2、已知cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝35，x ∈(0，π)，求sin x 的值。

3．已知锐角α，β满足sin α＝255，cos β＝1010，求α＋β。

类型三 辅助角公式对于形如y=asinx+bcosx 的三角式，可变形如下： y=asinx=bcosx =++++a b x a a bx b a b222222(sin cos )··。

上式中的a a b22+与b a b22+的平方和为1，故可记a a b22+=cos θ，b a b22+=sin θ，则。

)x sin(b a )sin x cos cos x (sin b a y 2222θ++=θ+θ+=1、求值（1）cos π12＋3sin π12 （2）sin π12－3cos π12（3）2cos π12＋6sin π12 （4）当函数y ＝sin x －3cos x (0≤x ≤2π)取得最大值时，求x.2、求周期求函数y x x x =+-+24432cos()cos()sin ππ的最小正周期。

3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式核心必知1．预习教材，问题导入根据以下提纲，预习教材的内容，回答下列问题．(1)把公式cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β中的β用－β代替，结果如何？(2)由公式C(α±β)可以得到sin(α＋β)的公式吗？(3)如何由sin(α＋β)的公式推出sin(α－β)的公式？(4)如何用tan α和tan β表示tan(α＋β)和tan (α－β)?2．归纳总结，核心必记(1)两角和与差的余弦公式(2)两角和与差的正弦公式(3)两角和与差的正切公式问题思考(1)sin(α＋β)＝sin α＋sin β能否成立？若成立，在什么情况下成立？(2)两角和与差的正切公式对任意α，β均成立吗？课堂互动区知识点1 给角求值问题讲一讲1．化简求值：(1)sin 13° cos 17°＋sin 77°cos 73°；(2)sin π12－3cos π12； (3)1－tan 15°1＋tan 15°； (4)tan 72°－tan 42°－33tan 72°tan 42°.类题·通法利用公式T(α±β)化简求值的两点说明(1)分析式子结构，正确选用公式形式：T(α±β)是三角函数公式中应用灵活程度较高的公式之一，因此在应用时先从所化简(求值)式子的结构出发，确定是正用、逆用还是变形用，并注意整体代换．(2)化简求值中要注意“特殊值”的代换和应用：当所要化简(求值)的式子中出现特殊的数值“1”，“3”时，要考虑用这些特殊值所对应的特殊角的正切值去代换，如“1＝tan π4”，“3＝tanπ3”，这样可以构造出利用公式的条件，从而可以进行化简和求值．练一练1．求值：(1)sin 15°＋cos 15°；(2)sin 119°sin 181°－sin 91°sin 29°；(3)tan 10°tan 20°＋tan 20°tan 60°＋tan 60°tan10°.知识点2 给值（式）求角问题讲一讲2．已知α，β均为锐角，且sin α＝55，cos β＝1010，求α－β的值．类题·通法解决给值(式)求角问题的方法解决给值(式)求角问题的关键是寻求所求角的三角函数值与已知值或式之间的关系，利用两角和与差的正弦、余弦、正切公式，求出所求角的三角函数值，从而求出角．练一练2．已知tan(α－β)＝12，tan β＝－17，且α，β∈(0，π)，求2α－β.知识点3 条件求值问题讲一讲3．已知π4<α<3π4，0<β<π4， cos ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝－35，sin(3π4＋β)＝513. (1)求sin(α＋β)的值；(2)求cos(α－β)的值．类题·通法给值求值问题的解题策略在解决此类题目时，一定要注意已知角与所求角之间的关系，恰当地运用拆角、拼角技巧，同时分析角之间的关系，利用角的代换化异角为同角，具体做法是：(1)当条件中有两角时，一般把“所求角”表示为已知两角的和或差．(2)当已知角有一个时，可利用诱导公式把所求角转化为已知角．练一练3．已知cos α＝45，α∈(0，π)，tan(α－β)＝12，求tan β及tan(2α－β)．——————————————[课堂归纳·感悟提升]———————————————1．本节课的重点是两角和与差的正弦、余弦和正切公式，难点是公式的运用．2．要掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式的三个应用(1)解决给角求值问题，见讲1；(2)解决给值(式)求角问题，见讲2；(3)解决条件求值问题，见讲3.3．本节课的易错点是，解决给值(式)求角问题时，易忽视角的范围而造成解题错误，如练2.4．本节课要牢记常见角的变换α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β＝β－(β－α)；α＝⎝⎛⎭⎫α＋π4－π4；α＝12[(α＋β)＋(α－β)]；α＋β＝(2α＋β)－α；2α＝(α＋β)＋(α－β)等．参考答案核心必知1．(1)提示：cos(α＋β)＝cos_αcos_β－sin_αsin_β.(2)提示：可以，sin(α＋β)＝cos ⎣⎡⎦⎤π2－（α＋β） ＝cos ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫π2－α－β＝sin αcos β＋cos αsin β. (3) 提示：以－β代替sin(α＋β)中的β，即可得sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β.(4)提示：①tan(α＋β)＝sin （α＋β）cos （α＋β）＝sin αcos β＋cos αsin βcos αcos β－sin αsin β＝tan α＋tan β1－tan αtan β. ②tan (α－β)＝sin （α－β）cos （α－β）＝sin αcos β－cos αsin βcos αcos β＋sin αsin β＝tan α－tan β1＋tan αtan β. 2．归纳总结，核心必记(1) cos αcos β－sin αsin β cos αcos β＋sin αsin β(2) sin αcos β＋cos αsin β sin αcos β－cos αsin β(3)tan α＋tan β1－tan αtan β tan α－tan β1＋tan αtan β问题思考(1)提示：不一定成立，当α＝2k π或β＝2k π或α＝β＝k π，k ∈Z 时成立．(2)提示：不是的．在两角和的正切公式中，使用条件是：α，β，α＋β≠k π＋π2(k ∈Z )；在两角差的正切公式中，使用条件是：α，β，α－β≠k π＋π2(k ∈Z )． 课堂互动区知识点1 给角求值问题讲一讲1．解：(1)原式＝sin 13°cos 17 °＋sin(90°－13°)·cos(90°－17°)＝sin 13°cos 17°＋cos 13°sin 17°＝sin(13°＋17°)＝sin 30°＝12. (2)原式＝2⎝⎛⎭⎫12sin π12－32cos π12 ＝2⎝⎛⎭⎫sin π12cos π3－cos π12sin π3 ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π12－π3＝－2sin π4＝－ 2. (3)原式＝tan 45°－tan 15°1＋tan 45°tan 15°＝tan(45°－15°)＝tan 30°＝33. (4)∵tan 30°＝tan(72°－42°)＝tan 72°－tan 42°1＋tan 72°·tan 42°， ∴tan 72°－tan 42°＝tan 30°(1＋tan 72°tan 42°)．∴原式＝tan 30°(1＋tan 72°tan 42°)－33tan 72°tan 42° ＝33. 练一练1．解：(1)法一：sin 15°＋cos 15°＝2⎝⎛⎭⎫sin 15°·22＋cos 15°·22 ＝2sin(15°＋45°)＝2sin 60°＝62. 法二：sin 15°＋cos 15°＝2⎝⎛⎭⎫cos 15°·22＋sin 15°·22 ＝2(cos 45°cos 15°＋sin 45°sin 15°) ＝2cos(45°－15°)＝2cos 30°＝62. (2)原式＝sin(29°＋90°)sin(1°＋180°)－sin(1°＋90°)·sin 29°＝cos 29°(－sin 1°)－cos 1°sin 29°＝－(sin29°cos1°＋cos 29°sin 1°)＝－sin(29°＋1°)＝－sin 30°＝－12. (3)原式＝tan 10°tan 20°＋tan 60°(tan 10°＋tan 20°)＝tan 10°tan 20°＋3(tan 10°＋tan 20°)＝tan 10°tan 20°＋3tan 30°(1－tan 10°tan 20°)＝1.知识点2 给值（式）求角问题讲一讲2．解：∵α，β均为锐角，且sin α＝55，cos β＝1010，∴cos α＝255，sin β＝31010. ∴cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝255×1010＋55×31010＝22. 又∵α，β均为锐角，∴－π2<α－β<π2. 又∵sin α<sin β，∴α<β，即α－β<0.从而－π2<α－β<0，故α－β＝－π4. 练一练2．解：tan α＝tan[(α－β)＋β]＝tan （α－β）＋tan β1－tan （α－β）tan β＝12－171－12×⎝⎛⎭⎫－17＝13，而α∈(0，π)，∴α∈⎝⎛⎭⎫0，π2. ∵tan β＝－17，β∈(0，π)∴β∈⎝⎛⎭⎫π2，π， ∴－π<α－β<0.而tan(α－β)＝12>0， ∴－π<α－β<－π2， ∴2α－β＝α＋(α－β)∈(－π，0)，∴tan(2α－β)＝tan[(α－β)＋α]＝tan （α－β）＋tan α1－tan （α－β）tan α＝12＋131－12×13＝1.∴2α－β＝－3π4. 知识点3 条件求值问题讲一讲3．解：(1)∵π4<α<3π4，π2<π4＋α<π， ∴sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝ 1－cos 2⎝⎛⎭⎫π4＋α＝45. ∵0<β<π4，3π4<3π4＋β<π， ∴cos ⎝⎛⎭⎫3π4＋β＝－1－sin 2⎝⎛⎭⎫3π4＋β＝－1213， ∴sin(α＋β)＝－sin(π＋α＋β)＝－sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫π4＋α＋⎝⎛⎭⎫3π4＋β ＝－[sin(π4＋α)cos(3π4＋β)＋cos(π4＋α)·sin ⎝⎛⎭⎫3π4＋β] ＝－⎣⎡⎦⎤45×⎝⎛⎭⎫－1213＋⎝⎛⎭⎫－35×513＝6365. (2)由(1)可知，sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝45，cos ⎝⎛⎭⎫3π4＋β＝－1213， ∴sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫π4＋α－⎝⎛⎭⎫3π4＋β＝sin ⎝⎛⎭⎫π4＋αcos ⎝⎛⎭⎫3π4＋β－cos ⎝⎛⎭⎫π4＋αsin ⎝⎛⎭⎫3π4＋β ＝45×⎝⎛⎭⎫－1213－⎝⎛⎭⎫－35×513＝－3365. 又sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫π4＋α－⎝⎛⎭⎫3π4＋β＝sin ⎣⎡⎦⎤（α－β）－π2 ＝－cos(α－β)，从而cos(α－β)＝3365.练一练3．解：∵cos α＝45>0，α∈(0，π)，∴α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，sin α>0.∴sin α＝1－cos 2α＝ 1－⎝⎛⎭⎫452＝35， ∴tan α＝sin αcos α＝3545＝34.∴tan β＝tan[α－(α－β)] ＝tan α－tan （α－β）1＋tan α·tan （α－β）＝34－121＋34×12＝211，tan(2α－β)＝tan[α＋(α－β)] ＝tan α＋tan （α－β）1－tan α·tan （α－β）＝34＋121－34×12＝2.。

§3.1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式教案教学目标：1.知识与技能目标①用代换法推导cos(a + P)，用转化法推导sin (a ± P)、tan (a ± P).②让学生初步学会公式的简单应用和公式的逆用等基本技能.③通过公式的灵活运用，培养学生的转化思想和变换能力2. 过程与方法目标学生在理解、掌握两角差的余弦公式的基础上，进一步推导两角和的余弦、两角和与差的正弦和正切公式，让学生亲自体会三角恒等变换特点的过程，理解推导过程，掌握其应用3. 情感态度、价值观目标①通过学习、观察、对比体会公式的线形美，对称美②通过教师的启发诱导，培养学生不怕困难，勇于探索勇于创新的求知精神二、教学重、难点教学重点：两角和与差的正弦、正切公式的推导过程及运用;教学难点：两角和与差的正弦、余弦和正切公式的灵活运用三.教学方法及用具：教学方法：诱导式、启发式教学、讲练相结合法教学用具：多媒体四、教学过程：1. 复习导入:同学们先回顾一下两角差的余弦公式: cos(a - P ) = cos ot COS P + sin a sin P .由公式cos(a - P)出发，你能推导出两角和与差的三角函数的其他公式吗?2. 讲授新课:思考：(1). COS(a + P ) = ?cos(a + P戶cos A —(-P )］，再利用两角差的余弦公式得出cos(a + P )=cos[a -(—P M = cosa cos(-P )+sin^ sin(-P )=co护cosP -sin^ sin P于是，我们得到了两角和的余弦公式，简记作C(a祁cos(G + P) =coso cosP -sin a sin P(2).问题：上面我们得到了两角和与差的余弦公式，那么如何得到两角和与差的正弦公式呢？即思考sin a = cos ?探究1、让学生动手完成两角和与差正弦公式.sin fa + P \=cos 竖+ P 3= cos〔住一a 】+ P l = cos仁_a losP +sin 倍一a I sin P' 'I2■ J h2丿」I2丿I2丿=sin a cos P 中cosot sinP .sin (ot - P ) = sin 包 +( —P )] = sin a cos( —P )+cos a sin (-P )=sin a cos P —cosot sin P探究2、让学生观察认识两角和与差正弦公式的特征，并思考两角和与差正切公式.(学生动手) 门sin(a + P)sin a cos P+cos。

3 1 tan75= tan(45+30)= 3 3 3 12 6 3 = 2+ 3 6 3 3 3 1 3
2.化简：
1 t an 1 t an t an ; t an t an 2 . 1 t an t an
答案： 1 tan tan ; 2 tan .
tan71o - tan26o 1- 3tan75o 3、求值： (1) o o (2) 1+ tan71 tan26 3 + tan75o
答案： (1) 1； (2) -1.
小结：
通过对和差公式的探索、推导和初步应 用，体会和认识公式的特征及功能.
sin sin cos cos sin
简记为: S( )
公对 式比
两角和与差的正弦角公式：
sin sin cos cos sin sin sin cos cos sin
注意：
cos , tan 的 . 值 4 4
3 解：由sin =- , 是第四象限的角，得 5
4 cos 1 sin 1 ( ) , 5
2 3 2 5
sin 3 所以 tan cos 4
于是有 2 4 2 3 7 2 sin( ) sin cos cos sin ( ) ; 4 4 4 2 5 2 5 10
探公 究式
两角和的余弦公式推导：
把 转 为 ， 有 化 则
cos cos cos cos sin sin cos cos sin sin .

利用公式求值
π π 3π π 3 已知 <α< ，0<β< ，cos 4－α ＝ ， 4 4 4 5 3π 5 sin 4 ＋β ＝ ，求 sin(α＋β)的值． 13
3π π π 分析： 4 ＋β － 4－α ＝ ＋(α＋β). 2
π 3π π π 解析：∵ <α< ，∴－ < －α<0， 4 4 2 4 π π 3 4 ∵cos 4－α ＝ ，∴sin 4－α ＝－ ； 5 5 π 3π 3π ∵0<β< ，∴ < ＋β<π， 4 4 4 3π 5 3π 12 ∵sin 4 ＋β ＝ ，∴cos 4 ＋β ＝－ ； 13 13
∴tan 23° ＋tan 37° ＝ 3－ 3tan 23° tan 37° ， 故得 tan 23° ＋tan 37° ＋ 3tan 23° tan 37° ＝ 3.
点评：化简三角函数式是为了更清楚地显示式中所含量 之间的关系，以便于应用．对于三角函数式的化简，要求： (1)能求出值的应求出值；(2)使三角函数的种数最少；(3)使 项数尽量少；(4)尽量使分母不含有三角函数式；(5)尽量使被 开方数不含有三角函数式．
tan α－tan β 1＋tan αtan β 3 练习：5. 3
思考应用 3．两角和与差的正切公式的适用范围及公式的特 征有哪些？
解析：(1) 适用范围：限制条件：α、β、α＋β 均不为 π kπ＋ (k∈Z)；可以是数、字母和代数式．从公式推导过程进 2 π 行说理：cos(α＋β)≠0，则 α＋β≠kπ＋ ；同除 cos α、cos β， 2 π π 得 cos α≠0，cos β≠0，则 α≠kπ＋ ，cos β≠kπ＋ .cos x≠0， 2 2 保证了 tan x 有意义． (2)公式特征：同名；分子同号，分母异号；容易联想 到韦达定理．

两角和与差的正弦（1）教课目的：1、能由两角和与差的余弦公式推导出和与差的正弦公式2、能用两角和与差的正弦公式进行三角函数求值3、经过推导两角和与差的正弦公式及运用公式求三角函数的值使学生从中领会化归思想教课重难点：1、两角和与差的正弦公式的推导及运用公式进行三角求值2、运用公式进行三角函数求值过程中角的变换(,),求cos()sin3,5233、求cos750上节课，我们在求值sin150时，先将sin150转变为cos750，再利用两角和的余弦公式计算，而sin150 sin(450300)，那么有没有两角和与差的正弦公式呢？三、新课教课1．教师活动:踊跃指引学生，调换学生的激情，启迪他们的思路.2．学生活动:（1）踊跃配合教师达成公式推导（2）能够自己尝试推导公式3．知识建构:S( ):sin() sin coscos sin思虑:能不可以利用同角三角函数的关系,从C()推导出S()?这样做有什么困难?四、例题解说例1：利用两角和差公式求值（1）(2)例2、已知sin2,(,),cos3,(,3),求sin()的值.3252例3：已知cos()5,cos4,,均为锐角，求sin的值135变式：已知，且sin(412 ),cos()42513（1）用，-表示2（2）求sin2的值五、讲堂检测1、化简(1)sin110cos290cos110sin290(2)cos240cos690sin240sin1110(3)sin20cos20(4)2sin150cos152、已知cos3,(,)，求sin()的值5233、已知sin()1(,)，求sin ,432六、小结2,运用两角和与差的正弦公式进行求值七、作业P1094,5,6,7。

π 2sinx＋6 π 2sinx－6 π 2sinx＋3 π 2sinx－3
； ； ； .
研一研·问题探究、课堂更高效
3.1.2
问题 2 请写出把 asin x＋bcos x 化成 Asin(ωx＋φ)形式的过程．
答
本 课 时 栏 目 开 关
π |φ|< . 2
(1)sin x＋cos x＝ (2)sin x－cos x＝
π 2sinx＋4 π 2sinx－4
； ；
研一研·问题探究、课堂更高效
3.1.2
(3) 3sin x＋cos x＝
本 课 时 栏 目 开 关
(4) 3sin x－cos x＝ (5)sin x＋ 3cos x＝ (6)sin x－ 3cos x＝
研一研·问题探究、课堂更高效
探究点三 辅助角公式 asin x＋bcos x＝ a2＋b2sin(x＋φ)
2 2
3.1.2
本 课 (a，b)决定．辅助角公式在研究三角函数的性质中有着重要的 时 栏 应用． 目 开 问题 1 将下列各式化成 Asin(ωx＋φ)的形式，其中 A>0，ω>0， 关
a 使 asin x＋bcos x＝ a ＋b sin(x＋φ)成立时， φ＝ 2 cos 2， a ＋b b sin φ＝ 2 2，其中 φ 称为辅助角，它的终边所在象限由点 a ＋b
所以原等式成立．
3.1.2
本 课 时 栏 目 开 关
研一研·问题探究、课堂更高效
例 3 化简下列各式： (1)3 15sin x＋3 5cos x； 2 π 6 π (2) sin4－x＋ cos4－x. 4 4
解 (1)3 15sin x＋3 5cos x 3 1 ＝6 5 sin x＋ cos x 2 2 π π ＝6 5cos6sin x＋sin6cos x π ＝6 5sinx＋6.

例2 求下列各式的值
(1)sin 72 cos 42 cos72 sin 42

(2)cos 20 cos70 sin 20 sin 70


(3)sin160 cos 40 cos160 sin140
（4） sin119 sin181 sin 91 sin 29
记忆口诀：正余余正符号同
sin( ) cos[ ( )] 2

cos[( ) ] 2 cos( ) cos sin( ) sin 2 2 sin cos cos sin

一、公式的推导
C( ) : cos cos cos sin sin C( ) : cos( ) cos cos sin sin


练习：课本课后习题第5题
二、公式的应用
类型二：给值求值
3 例3 (1)已知 sin , 为第四象限角， 5 求 sin( ), cos( ) 4 4


（2）在ABC中， 3 5 sin A (0 A ), cos B ( B ), 5 4 13 4 2 求 sin C.



2



2


2
由sin
12 5 得 cos 13 13 4 3 由 cos 得 sin = 5 5
sin sin
sin cos cos sin
记忆口诀：余余正正符号反 推导过程： cos( ) cos[ ( )]

sin cos cos sin S : sin sin cos cos sin
cos 2 cos cos sin s- sin44o cos14o = ________ 2
12 o o 5、已知cos α - 30 = , 30 < α < 90 , 13 12 3 - 5 cosα = _______ 26
o
tan12o + tan33o ６、求 值. o o 1- tan12 tan33
° = sin 60鞍cos 45 - cos 60鞍sin 45 = cos 75
=
=
cos15 cos(45 30 ) cos 45 cos 30 sin 45 sin 30 6 2 4
或 cos15 cos(60 45 ) 6 2 4


sin15 sin(45 30 ) （2） sin 45 cos 30 cos 45 sin 30 2 3 2 1 2 2 2 2 6 2 4
或 sin15 = sin(60 - 45 ) 6- 2 4
鞍
或 sin15鞍= sin(90 - 75 ) 6- 2 4
知识回顾
复习引入：
上一节学过的公式
C( )（1）它的结
构特点是什么？（2）它的正用逆用；（3） 这里、可以是怎样的角？
新课导入
在数学解题过程中，换元的思 想广泛应用，在公式的推导过程中， 有时候也应用到这种思想。 问题：由公式 C( ) 出发，你能推导出
两角和与差的其它公式
C( ) , S( ) ,
5 sinα 13 = - 5 tanα = = 12 cosα 12 13

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现由正弦到余弦的转化，结合 C (a + b )和 C (a - b ) 你能推导出sin(α＋β)， sin(α－β)分别等于什么吗？ sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ
sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ
思考4：上述公式就是两角和与差的正 弦公式，分别记作 S(a + b ) ，S(a - b )，这两 个公式有什么特点？如何记忆？
思考6：上述公式就是两角和与差的正切
公式，分别记作 T(a -
，T b )
(a + b )
，这两
个公式有什么特点？如何记忆？公式成
立的条件是什么？
思考7：为方便起见，公式S(a + b ), C (a + b ), T(a + b ) 称为和角公式，公式S(a - b ), Ca - b , T(a - b ) 称为差角公式.怎样理解这6个公
探究（一）：两角和与差的基本三角公式
思考1：注意到α＋β＝α―(―β)，结 合两角差的余弦公式及诱导公式， cos(α＋β)等于什么？
cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ.
思考2：上述公式就是两角和的余弦公式， 记作 C (，a +该b )公式有什么特点？如何 记忆？
思考3： 诱导公式 sin( p ? a ) cosa 可以实
cos(a - b) = (cos a + cos b)2 + (sin a + sin b)2 - 2 2
cos( ) 2 [(cos cos )2 (sin sin )2 ]
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2.利用两角差的余弦公式固然能解决一 些问题，但范围太窄，我们希望在此基 础上获取一系列有应用价值的公式，实 现资源利用和可持续发展战略.

3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式（同步练习）一、和角与差角公式应用的规律两角和与差的正、余弦公式主要用于求值、化简、证明等三角变换，常见的规律如下：①配角的方法：通过对角的“合成”与“分解”，寻找欲求角与已知角的内在联系，灵活应用公式，如α=(α+β)-β,α=21(α+β)+21(α-β)等.②公式的逆用与变形公式的活用：既要会从左到右展开，又要会从右到左合并，还要掌握公式的变形.③“1”的妙用：在三角函数式中,有许多关于“1”的“变形”，如1=sin 2α+cos 2α，也有1=sin90°=tan45°等.二、备用习题1.在△ABC 中，sinAsinB<cosAcosB,则△ABC 是( )A.直角三角形B.钝角三角形C.锐角三角形D.等腰三角形 2.3cos 12π-sin 12π的值是( ) A.0 B.-2 C.2 D.23.在△ABC 中，有关系式tanA=BC C B sin sin cos cos --成立，则△ABC 为( ) A.等腰三角形 B.A=60°的三角形C.等腰三角形或A=60°的三角形D.不能确定4.若cos(α-β)=31,cosβ=43,α-β∈(0,2π),β∈(0,2π),则有( ) A.α∈(0,2π) B.α∈(2π,π) C.α∈(-2π,0) D.α=2π 5.求值：25cos 25sin 5cos 2-=_________ 6.若sinα·sinβ=1，则cosα·cosβ=____________7.已知cos(α+β)=31,cos(α-β)=51,则t anα·tanβ=___________ 8.求函数y=2sin(x+10°)+2cos(x+55°)的最大值和最小值.9.求tan70°＋tan50°-3tan50°tan70°的值.10.已知sinβ＝ｍ·sin （2α＋β）.求证：tan （α＋β）＝m m -+11tanα. 11.化简AB A sin )2sin(+-2cos(A+B). 12.已知5sinβ=sin(2α+β).求证：2tan(α+β)=3tanα.13.(2007年高考湖南卷,16) 已知函数f(x)=1-2sin 2(x+8π)+2sin(x+8π)cos(x+8π).求: (1)函数f(x)的最小正周期;(2)函数f(x)的单调增区间.参考答案：1.B2.C3.C4.B5.36.07.41- 8.∵y=2sin(x+10°)+2cos ［(x+10°)+45°］=2sin(x+10°)+cos(x+10°)-sin(x+10°)=sin(x+10°)+cos(x+10°) =2cos ［(x+10°)+45°］ =2cos(x+55°),又∵-1≤sin(x+55°)≤1,∴当x+55°=k·360°-90°,即x=k·360°-145°(k ∈Z)时，y min =-2;当x+55°=k·360°+90°,即x=k·360°+35°(k ∈Z)时，y max =2.9.原式＝tan （70°＋50°）（1-tan70°tan50°）-3tan50°tan70°＝-3（1-tan70°tan50°）-3tan50°tan70°＝-3＋3tan70°tan50°-3tan50°tan70° ＝-3.∴原式的值为-3.10.证明：由sinβ＝ｍsin （2α＋β）sin ［（α＋β）-α］＝ｍsin ［（α＋β）＋α］sin （α＋β）cosα-cos （α＋β）sinα=m ［sin （α＋β）cosα＋cos （α＋β）sinα］（1-ｍ）·sin （α＋β）cosα=（1＋ｍ）·cos （α＋β）sinαtan （α＋β）＝mm -+11tanα. 点评：仔细观察已知式与所证式中的角，不要盲目展开，要有的放矢，看到已知式中的2α＋β可化为结论式中的α＋β与α的和，不妨将α＋β作为一个整体来处理.此方法是综合法，利用综合法证明恒等式时，必须有分析的基础，才能顺利完成证明.11.原式=AA B A A B A A A B A A B A sin sin )cos(cos )sin(sin sin )cos(2])sin[(+-+=+-++ =.sin sin sin ])sin[(A B A A B A =-+ 点评：本题中三角函数均为弦函数，所以变换的问题只涉及角.一般来说，三角函数式的化简问题首先考虑角，其次是函数名，再次是代数式的结构特点.12.∵β=(α+β)-α，2α+β=(α+β)+α，∴5sin ［(α+β)-α］=sin ［(α+β)+α］,即5sin(α+β)cosα-5cos(α+β)sinα=sin(α+β)cosα+cos(α+β)sinα.∴2sin(α+β)cosα=3cos(α+β)sinα.∴2tan(α+β)=3tanα.点评：注意到条件式的角是β和2α+β，求证式中的角是α+β和α，显然“不要”的角β和2α+β应由要保留下来的角α+β与α来替代.三角条件等式的证明，一般是将条件中的角（不要的）用结论式中的角（要的）替代，然后选择恰当的公式变形.三角变换中经常要化复角为单角，化未知角为已知角.因此，看准角与角的关系十分重要.哪些角消失了，哪些角变化了，结论中是哪些角，条件中有没有这些角，在审题中必须对此认真观察和分析.常见的变角方式有：α=(α+β)-β,2α=(α+β)+(α-β),2α-β=(α-β)+α当然变换形式不唯一，应因题而异，要具体问题具体分析. 13.f(x)=cos(2x+4π)+sin(2x+4π) =2sin(2x+4π+4π) =2sin(2x+2π) =2cos2x.(1)函数f(x)的最小正周期是T=22π=π; (2)当2kπ-π≤2x≤2kπ,即kπ-2π≤x≤kπ(k ∈Z )时,函数f(x)=2cos2x 是增函数,故函数f(x)的单调递增区间是［kπ-2π,kπ］(k ∈Z ).。

第三章
三角恒等变换
3.1 两角和与差的正弦、 两角和与差的正弦、 余弦和正切公式
3.1.2 两角和与差的正弦、 两角和与差的正弦、 余弦、 余弦、正切公式
湖州市南浔中学 数学教研组制作
知识回顾: 知识回顾 差角的余弦公式, 简记为C 差角的余弦公式, 简记为Cα-β cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ 巩固练习
探 究
你能根据正切函数与正弦、 你能根据正切函数与正弦、余弦函数 的关 出发， 系，从 C (α ± β ) , S(α ± β ) 出发，推导出用任意 角 α , β 的正切表示 tan(α + β ), tan(α − β ) 的公式吗? 的公式吗
分子分母都除以 cosα•cosβ α•cos cosα•cosβ
tan(α+β)=
sin(α+β) = sinαcosβ+ cosαsinβ sin(α cos(α cos(α+β) cosαcosβ- sinαsinβ tanα+tanβ = 1- tanαtanβ
称为和角的正切公式。 简记为Tα+β 称为和角的正切公式。 简记为Tα+β tanα-tanβ tan(α-β)= 1+tanαtanβ 称为差角的正切公式。 称为差角的正切公式。 简记为Tα-β 简记为T
练习一：
sin15°
⑵
cos75° ⑶ sin75° ⑷ tan15°
2− 3
150 750
α
sin α cosα tan α
例题讲解
3 例1 已知 sin α = − , α是第四象限角 , 5 求 sin(
π
4
− α ), cos(

tan(α+β)= tanα+ tanβ 1- tanαtanβ
记：T( + )
tan(α+β)= tanα+ tanβ 1- tanαtanβ
上式中以代得
tan[ ( )] tan tan( ) = tanα- tanβ 1 tan tan( ) 1+ tanαtanβ
∴tan(α-β)= tanα- tanβ 1+ tanαtanβ
tan(α+β)= tanα+ tanβ 1- tanαtanβ
tan(α-β)= tanα- tanβ 1+ tanαtanβ
变形：
tanα+ tanβ= tan(α+β)(1- tanαtanβ) tanα- tanβ= tan(α-β)(1+ tanαtanβ)
(1 tanαtanβ)= tan tan tan( )
学习知识的能力 （学习新知识 速度、质量等）
长久坚持的能力 （自律性等）
什么是学习力-常见错误学 习方式
案例式 学习
顺序式 学习
冲刺式 学习
什么是学习力-高效学习必 备习惯
积极 主动
以终 为始
分清 主次
不断 更新
高效学习模型
高效学习模型-学习的完 整过程
方向
资料
筛选
认知
高效学习模型-学习的完 整过程
思维导图& 超级记忆法& 费曼学习法
1
外脑- 体系优化
知识体系& 笔记体系
内外脑高效学习模型
超级记忆法
超级记忆法-记忆 规律
记忆前
选择记忆的黄金时段
前摄抑制：可以理解为先进入大脑的信息抑制了后进 入大脑的信息