3.1.2两角和与差的正弦(2)

3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式一、教学目标1.知识与技能：了解两角和与差的正弦、余弦、正切公式之间的内在联系，并通过强化题目的训练，加深对公式的理解，培养学生的运算能力及逻辑推理能力，从而提高解决问题的能力。

2.过程与方法：通过让学生探索、发现并推导两角和与差的正弦、余弦、正切公式，自觉地利用联系变化的观点来分析问题，提高学生分析问题解决问题的能力。

3.情感、态度与价值观：通过本节学习，使学生掌握寻找数学规律的方法，提高学生的观察分析能力，培养学生的应用意识，提高学生的数学素质。

二、教学重点难点重点：两角和、差正弦和正切公式的推导过程及运用；难点：灵活运用所学公式进行求值、化简、证明。

三、学情分析鉴于学生的基础一般，前面刚刚学习了两角差的余弦公式，学生对于该公式的简单应用，尚能掌握。

在教学的过程中，对比公式的内在联系，学生可能会在角的正弦与余弦能否建立联系上产生困难，教师应当在教学过程中有意识地对学生的思维进行引导；利用联系的观点和对比理解的办法让学生熟悉公式并逐步做到可以简单的应用。

四、教学方法1.自主性学习法：通过自学掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式。

2.探究式学习法：通过分析、探索、掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式的过程。

3.反馈练习法：以练习来检验知识的应用情况，找出未掌握的内容及其存在的差距。

五、设计思路本节课利用两角差的余弦公式推导出其它公式，并且运用两角和与差的三角函数公式解决一些相关的问题，运用公式的关键在于构造角的和差。

要认识公式结构的特征，了解公式的推导过程，熟知由此衍变的两角和的余弦公式。

在解题过程中注意角的象限，也就是符号问题，学会灵活运用。

在构造过程中，要尽量使其中的角为特殊角或已知角，这样才能尽可能的利用已知条件进行化简或求值。

灵活运用公式的关键在于观察分析待化简、要求值的三角函数式的结构特征，联想具有类似特征的相关公式。

然后经过适当变形、拼凑，再正用或逆用公式解题。

3.12 两角和与差的正弦、余弦、正切公式知识点一 两角和的余弦公式解决给角求值问题的策略(1)对于非特殊角的三角函数式求值问题，一定要本着先整体后局部的基本原则，如果整体符合三角公式的形式，则整体变形，否则进行各局部的变形．(2)一般途径有将非特殊角化为特殊角的和或差的形式，化为正负相消的项并消项求值，化分子．分母形式进行约分，解题时要逆用或变用公式．1．sin7°cos37°－sin83°sin37° 2.sin50°－sin20°cos30°cos20°3、sin14°cos16°＋sin76°cos74°4、sin7°＋cos15°sin8°cos7°－sin15°sin8°5、已知角α的终边经过点(－3,4)，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4的值为6．求函数f (x )＝sin x －cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6的值域．类型二 给值求值1、已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＋α＝513，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β＝35，且0<α<π4<β<3π4，求cos(α＋β)．2、已知cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝35，x ∈(0，π)，求sin x 的值。

3．已知锐角α，β满足sin α＝255，cos β＝1010，求α＋β。

类型三 辅助角公式对于形如y=asinx+bcosx 的三角式，可变形如下： y=asinx=bcosx =++++a b x a a bx b a b222222(sin cos )··。

上式中的a a b22+与b a b22+的平方和为1，故可记a a b22+=cos θ，b a b22+=sin θ，则。

)x sin(b a )sin x cos cos x (sin b a y 2222θ++=θ+θ+=1、求值（1）cos π12＋3sin π12 （2）sin π12－3cos π12（3）2cos π12＋6sin π12 （4）当函数y ＝sin x －3cos x (0≤x ≤2π)取得最大值时，求x.2、求周期求函数y x x x =+-+24432cos()cos()sin ππ的最小正周期。

3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式核心必知1．预习教材，问题导入根据以下提纲，预习教材的内容，回答下列问题．(1)把公式cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β中的β用－β代替，结果如何？(2)由公式C(α±β)可以得到sin(α＋β)的公式吗？(3)如何由sin(α＋β)的公式推出sin(α－β)的公式？(4)如何用tan α和tan β表示tan(α＋β)和tan (α－β)?2．归纳总结，核心必记(1)两角和与差的余弦公式(2)两角和与差的正弦公式(3)两角和与差的正切公式问题思考(1)sin(α＋β)＝sin α＋sin β能否成立？若成立，在什么情况下成立？(2)两角和与差的正切公式对任意α，β均成立吗？课堂互动区知识点1 给角求值问题讲一讲1．化简求值：(1)sin 13° cos 17°＋sin 77°cos 73°；(2)sin π12－3cos π12； (3)1－tan 15°1＋tan 15°； (4)tan 72°－tan 42°－33tan 72°tan 42°.类题·通法利用公式T(α±β)化简求值的两点说明(1)分析式子结构，正确选用公式形式：T(α±β)是三角函数公式中应用灵活程度较高的公式之一，因此在应用时先从所化简(求值)式子的结构出发，确定是正用、逆用还是变形用，并注意整体代换．(2)化简求值中要注意“特殊值”的代换和应用：当所要化简(求值)的式子中出现特殊的数值“1”，“3”时，要考虑用这些特殊值所对应的特殊角的正切值去代换，如“1＝tan π4”，“3＝tanπ3”，这样可以构造出利用公式的条件，从而可以进行化简和求值．练一练1．求值：(1)sin 15°＋cos 15°；(2)sin 119°sin 181°－sin 91°sin 29°；(3)tan 10°tan 20°＋tan 20°tan 60°＋tan 60°tan10°.知识点2 给值（式）求角问题讲一讲2．已知α，β均为锐角，且sin α＝55，cos β＝1010，求α－β的值．类题·通法解决给值(式)求角问题的方法解决给值(式)求角问题的关键是寻求所求角的三角函数值与已知值或式之间的关系，利用两角和与差的正弦、余弦、正切公式，求出所求角的三角函数值，从而求出角．练一练2．已知tan(α－β)＝12，tan β＝－17，且α，β∈(0，π)，求2α－β.知识点3 条件求值问题讲一讲3．已知π4<α<3π4，0<β<π4， cos ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝－35，sin(3π4＋β)＝513. (1)求sin(α＋β)的值；(2)求cos(α－β)的值．类题·通法给值求值问题的解题策略在解决此类题目时，一定要注意已知角与所求角之间的关系，恰当地运用拆角、拼角技巧，同时分析角之间的关系，利用角的代换化异角为同角，具体做法是：(1)当条件中有两角时，一般把“所求角”表示为已知两角的和或差．(2)当已知角有一个时，可利用诱导公式把所求角转化为已知角．练一练3．已知cos α＝45，α∈(0，π)，tan(α－β)＝12，求tan β及tan(2α－β)．——————————————[课堂归纳·感悟提升]———————————————1．本节课的重点是两角和与差的正弦、余弦和正切公式，难点是公式的运用．2．要掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式的三个应用(1)解决给角求值问题，见讲1；(2)解决给值(式)求角问题，见讲2；(3)解决条件求值问题，见讲3.3．本节课的易错点是，解决给值(式)求角问题时，易忽视角的范围而造成解题错误，如练2.4．本节课要牢记常见角的变换α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β＝β－(β－α)；α＝⎝⎛⎭⎫α＋π4－π4；α＝12[(α＋β)＋(α－β)]；α＋β＝(2α＋β)－α；2α＝(α＋β)＋(α－β)等．参考答案核心必知1．(1)提示：cos(α＋β)＝cos_αcos_β－sin_αsin_β.(2)提示：可以，sin(α＋β)＝cos ⎣⎡⎦⎤π2－（α＋β） ＝cos ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫π2－α－β＝sin αcos β＋cos αsin β. (3) 提示：以－β代替sin(α＋β)中的β，即可得sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β.(4)提示：①tan(α＋β)＝sin （α＋β）cos （α＋β）＝sin αcos β＋cos αsin βcos αcos β－sin αsin β＝tan α＋tan β1－tan αtan β. ②tan (α－β)＝sin （α－β）cos （α－β）＝sin αcos β－cos αsin βcos αcos β＋sin αsin β＝tan α－tan β1＋tan αtan β. 2．归纳总结，核心必记(1) cos αcos β－sin αsin β cos αcos β＋sin αsin β(2) sin αcos β＋cos αsin β sin αcos β－cos αsin β(3)tan α＋tan β1－tan αtan β tan α－tan β1＋tan αtan β问题思考(1)提示：不一定成立，当α＝2k π或β＝2k π或α＝β＝k π，k ∈Z 时成立．(2)提示：不是的．在两角和的正切公式中，使用条件是：α，β，α＋β≠k π＋π2(k ∈Z )；在两角差的正切公式中，使用条件是：α，β，α－β≠k π＋π2(k ∈Z )． 课堂互动区知识点1 给角求值问题讲一讲1．解：(1)原式＝sin 13°cos 17 °＋sin(90°－13°)·cos(90°－17°)＝sin 13°cos 17°＋cos 13°sin 17°＝sin(13°＋17°)＝sin 30°＝12. (2)原式＝2⎝⎛⎭⎫12sin π12－32cos π12 ＝2⎝⎛⎭⎫sin π12cos π3－cos π12sin π3 ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π12－π3＝－2sin π4＝－ 2. (3)原式＝tan 45°－tan 15°1＋tan 45°tan 15°＝tan(45°－15°)＝tan 30°＝33. (4)∵tan 30°＝tan(72°－42°)＝tan 72°－tan 42°1＋tan 72°·tan 42°， ∴tan 72°－tan 42°＝tan 30°(1＋tan 72°tan 42°)．∴原式＝tan 30°(1＋tan 72°tan 42°)－33tan 72°tan 42° ＝33. 练一练1．解：(1)法一：sin 15°＋cos 15°＝2⎝⎛⎭⎫sin 15°·22＋cos 15°·22 ＝2sin(15°＋45°)＝2sin 60°＝62. 法二：sin 15°＋cos 15°＝2⎝⎛⎭⎫cos 15°·22＋sin 15°·22 ＝2(cos 45°cos 15°＋sin 45°sin 15°) ＝2cos(45°－15°)＝2cos 30°＝62. (2)原式＝sin(29°＋90°)sin(1°＋180°)－sin(1°＋90°)·sin 29°＝cos 29°(－sin 1°)－cos 1°sin 29°＝－(sin29°cos1°＋cos 29°sin 1°)＝－sin(29°＋1°)＝－sin 30°＝－12. (3)原式＝tan 10°tan 20°＋tan 60°(tan 10°＋tan 20°)＝tan 10°tan 20°＋3(tan 10°＋tan 20°)＝tan 10°tan 20°＋3tan 30°(1－tan 10°tan 20°)＝1.知识点2 给值（式）求角问题讲一讲2．解：∵α，β均为锐角，且sin α＝55，cos β＝1010，∴cos α＝255，sin β＝31010. ∴cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝255×1010＋55×31010＝22. 又∵α，β均为锐角，∴－π2<α－β<π2. 又∵sin α<sin β，∴α<β，即α－β<0.从而－π2<α－β<0，故α－β＝－π4. 练一练2．解：tan α＝tan[(α－β)＋β]＝tan （α－β）＋tan β1－tan （α－β）tan β＝12－171－12×⎝⎛⎭⎫－17＝13，而α∈(0，π)，∴α∈⎝⎛⎭⎫0，π2. ∵tan β＝－17，β∈(0，π)∴β∈⎝⎛⎭⎫π2，π， ∴－π<α－β<0.而tan(α－β)＝12>0， ∴－π<α－β<－π2， ∴2α－β＝α＋(α－β)∈(－π，0)，∴tan(2α－β)＝tan[(α－β)＋α]＝tan （α－β）＋tan α1－tan （α－β）tan α＝12＋131－12×13＝1.∴2α－β＝－3π4. 知识点3 条件求值问题讲一讲3．解：(1)∵π4<α<3π4，π2<π4＋α<π， ∴sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝ 1－cos 2⎝⎛⎭⎫π4＋α＝45. ∵0<β<π4，3π4<3π4＋β<π， ∴cos ⎝⎛⎭⎫3π4＋β＝－1－sin 2⎝⎛⎭⎫3π4＋β＝－1213， ∴sin(α＋β)＝－sin(π＋α＋β)＝－sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫π4＋α＋⎝⎛⎭⎫3π4＋β ＝－[sin(π4＋α)cos(3π4＋β)＋cos(π4＋α)·sin ⎝⎛⎭⎫3π4＋β] ＝－⎣⎡⎦⎤45×⎝⎛⎭⎫－1213＋⎝⎛⎭⎫－35×513＝6365. (2)由(1)可知，sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝45，cos ⎝⎛⎭⎫3π4＋β＝－1213， ∴sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫π4＋α－⎝⎛⎭⎫3π4＋β＝sin ⎝⎛⎭⎫π4＋αcos ⎝⎛⎭⎫3π4＋β－cos ⎝⎛⎭⎫π4＋αsin ⎝⎛⎭⎫3π4＋β ＝45×⎝⎛⎭⎫－1213－⎝⎛⎭⎫－35×513＝－3365. 又sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫π4＋α－⎝⎛⎭⎫3π4＋β＝sin ⎣⎡⎦⎤（α－β）－π2 ＝－cos(α－β)，从而cos(α－β)＝3365.练一练3．解：∵cos α＝45>0，α∈(0，π)，∴α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，sin α>0.∴sin α＝1－cos 2α＝ 1－⎝⎛⎭⎫452＝35， ∴tan α＝sin αcos α＝3545＝34.∴tan β＝tan[α－(α－β)] ＝tan α－tan （α－β）1＋tan α·tan （α－β）＝34－121＋34×12＝211，tan(2α－β)＝tan[α＋(α－β)] ＝tan α＋tan （α－β）1－tan α·tan （α－β）＝34＋121－34×12＝2.。

§3.1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式教案教学目标：1.知识与技能目标①用代换法推导cos(a + P)，用转化法推导sin (a ± P)、tan (a ± P).②让学生初步学会公式的简单应用和公式的逆用等基本技能.③通过公式的灵活运用，培养学生的转化思想和变换能力2. 过程与方法目标学生在理解、掌握两角差的余弦公式的基础上，进一步推导两角和的余弦、两角和与差的正弦和正切公式，让学生亲自体会三角恒等变换特点的过程，理解推导过程，掌握其应用3. 情感态度、价值观目标①通过学习、观察、对比体会公式的线形美，对称美②通过教师的启发诱导，培养学生不怕困难，勇于探索勇于创新的求知精神二、教学重、难点教学重点：两角和与差的正弦、正切公式的推导过程及运用;教学难点：两角和与差的正弦、余弦和正切公式的灵活运用三.教学方法及用具：教学方法：诱导式、启发式教学、讲练相结合法教学用具：多媒体四、教学过程：1. 复习导入:同学们先回顾一下两角差的余弦公式: cos(a - P ) = cos ot COS P + sin a sin P .由公式cos(a - P)出发，你能推导出两角和与差的三角函数的其他公式吗?2. 讲授新课:思考：(1). COS(a + P ) = ?cos(a + P戶cos A —(-P )］，再利用两角差的余弦公式得出cos(a + P )=cos[a -(—P M = cosa cos(-P )+sin^ sin(-P )=co护cosP -sin^ sin P于是，我们得到了两角和的余弦公式，简记作C(a祁cos(G + P) =coso cosP -sin a sin P(2).问题：上面我们得到了两角和与差的余弦公式，那么如何得到两角和与差的正弦公式呢？即思考sin a = cos ?探究1、让学生动手完成两角和与差正弦公式.sin fa + P \=cos 竖+ P 3= cos〔住一a 】+ P l = cos仁_a losP +sin 倍一a I sin P' 'I2■ J h2丿」I2丿I2丿=sin a cos P 中cosot sinP .sin (ot - P ) = sin 包 +( —P )] = sin a cos( —P )+cos a sin (-P )=sin a cos P —cosot sin P探究2、让学生观察认识两角和与差正弦公式的特征，并思考两角和与差正切公式.(学生动手) 门sin(a + P)sin a cos P+cos。

两角和与差的正弦（1）教课目的：1、能由两角和与差的余弦公式推导出和与差的正弦公式2、能用两角和与差的正弦公式进行三角函数求值3、经过推导两角和与差的正弦公式及运用公式求三角函数的值使学生从中领会化归思想教课重难点：1、两角和与差的正弦公式的推导及运用公式进行三角求值2、运用公式进行三角函数求值过程中角的变换(,),求cos()sin3,5233、求cos750上节课，我们在求值sin150时，先将sin150转变为cos750，再利用两角和的余弦公式计算，而sin150 sin(450300)，那么有没有两角和与差的正弦公式呢？三、新课教课1．教师活动:踊跃指引学生，调换学生的激情，启迪他们的思路.2．学生活动:（1）踊跃配合教师达成公式推导（2）能够自己尝试推导公式3．知识建构:S( ):sin() sin coscos sin思虑:能不可以利用同角三角函数的关系,从C()推导出S()?这样做有什么困难?四、例题解说例1：利用两角和差公式求值（1）(2)例2、已知sin2,(,),cos3,(,3),求sin()的值.3252例3：已知cos()5,cos4,,均为锐角，求sin的值135变式：已知，且sin(412 ),cos()42513（1）用，-表示2（2）求sin2的值五、讲堂检测1、化简(1)sin110cos290cos110sin290(2)cos240cos690sin240sin1110(3)sin20cos20(4)2sin150cos152、已知cos3,(,)，求sin()的值5233、已知sin()1(,)，求sin ,432六、小结2,运用两角和与差的正弦公式进行求值七、作业P1094,5,6,7。