2016-2017年《金版学案》数学·必修5(苏教版)练习：第2章2.2-2.2.3等差数列的前n项和 Word版含解析

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苏教版高中数学苏教版必修五学案：2
知识点一 递推公式
思考 1 (1)已知数列{an}的首项a1＝1，且有an ＝3an －1＋2(n>1，n∈N*)，则a4＝________.
(2) 已知数列{an}中，a1＝a2＝1，且有an ＋2＝an ＋an ＋1(n∈N*)，则a4＝________.
梳理 如果数列{an}的第1项或前几项已知，并且数列{an}的任一项an 与它的前一项an －1(或前几项)间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子就叫做这个数列的递推公式．递推公式也是数列的一种表示方法．
思考 2 我们已经知道通项公式和递推公式都能表示数列，那么通项公式和递推公式有什么不同呢？
知识点二 数列的表示方法
思考 以数列2,4,6,8,10,12，…为例，你能用几种方法表示这个数。

第2章数列2.3等比数列2.3.1 等比数列的概念2.3.2等比数列的通项公式高效演练知能提升A级基础巩固一、选择题1. 下列说法：①公差为0的等差数列是等比数列；②b2= ac,则a, b, c成等比数列；③2b= a+c,则a, b, c成等差数列；④任意两项都有等比中项.正确的有（）A. 0个B. 1个C . 2个D. 3个解析：公差为0的非零数列是等比数列，故①不正确；②中只有a, b, c都不为0才正确；④也需要看首项是正还是负.所以只有③正确.答案：B2. 在等比数列｛a*｝中，a i = 8, a4= 64,则a3等于（）A. 16B. 16 或—16C. 32 D . 32 或—32解析：因为a4= a“q3= 8 q3= 64,所以q3= 8, q= 2. 所以a3= a1q2= 8X 22= 32.答案：C3. 等比数列x, 3x+ 3, 6x+ 6,…的第四项等于（）A24 B. 0 C. 12 D. 24解析：由(3x + 3)2= x(6x + 6)? x=—3(x= —1 舍去).该数列为—3, —6,—12,—24,…答案：A4. ｛a n｝是等比数列，下面四个命题中真命题的个数为()①｛a2｝也是等比数列；②｛ca n｝(c z0)也是等比数列；③??也是等比数列；④｛In a n｝也是等比数列.L.a nJA. 4个B. 3个C . 2个D. 1个解析：考查等比数列定义，其中①②③为真.答案：B5. 已知等差数列｛a n｝的公差为3,若a1, a3, a4成等比数列，则a2等于()A . 9B . 3 C. —3 D. —9解析：a1 = a2—3, a3 = a2+ 3, a4= a2 + 3x 2 = a2 + 6,由于a1, a3, a4成等比数列，贝y a = a“a4,所以(a2 + 3)2= (a2 —3)(a2 + 6)，解得a2 = —9.答案：D二、填空题6 .等差数列｛a n｝的首项为a1 = 1, a1, a2, a§成等比数列，则d=解析：因为a1, a2, a5成等比数列. 所以a2 = a“a5，即(a“ + d)2= a^ + 4d).所以(1 + d)2= 1+4d・所以d= 0或d=2.答案：0或27.在6和768之间插入6个数，使它们组成共8项的等比数列，则这个等比数列的第6项是_____________ .解析：由条件得，768= 6X q7,解得q= 2.所以a6= 6 X 25= 192.答案：佃28 .某林场的树木每年以25%的增长率增长，则第10年末的树木总量是今年的____________ 倍.解析：设这个林场今年的树木总量是m,第n年末的树木总量为a n,则a n+1 = a n + a n • 25% = 1.25a n.则也=1.25•则数列｛a n｝是公式q= 1.25的等比数列.a n贝U a10= a1q9= 1.259m.所以a10= 1.259.a1答案：1.259三、解答题9. 在等比数列｛a n｝中：1(1) 已知a3 + a6= 36, a4+ a7 = 18, a n= 2，求n；(2) a5 = 8, a7 = 2, a n>0 ,求a n.解：(1)法一：因为a3 + a6=36, a°+ a?= 18.所以a1q2+ a1q5= 36,①a“q3+ a“q6= 18,②② 1 1 1①得q=；,所以；a1 + 3；a1 = 36,所以a“ = 128,10. 已知｛a n ｝是首项为19,公差为一2的等差数列，S n 为｛a n ｝的前 n 项和.(1) 求通项公式a n 及S n ；(2) 设｛b n — a n ｝是首项为1,公比为3的等比数列，求数列｛b n ｝的通 项公式.解：⑴因为｛a n ｝是首项为19,公差为—2的等差数列,所以 a n =佃一2(n — 1) = — 2n + 21,即 a n = — 2n + 21,即 S n = — n 2 + 20n.而 a n =a i q 1, 所以；=128X 所以n =9. 法二： 因为 a 4+ a 7 = a 3q + a 6q = (a 3 + a 6)q, 所以 a 4 + a 7 18 1 古 一 3、 q = a 3 + a 6 = 36=2,而比 + a 6= a 3(1 + q )・所以a 3+ a 6 36 “ a 3 = 3 == 32. 3 1+q 3 1+1 因为 1 MF 3 a n = a 3q n —3,所以；=32 勺•所以 n = 9.(2)因为 a 51又a n >0，所以q = 2. n (n —1)(—2) = — n 2 + 20n ,⑵因为｛b n —a n｝是首项为1,公比为3的等比数列，所以b n —a*n—1即bi = 3n—1+ a n= 3n—1—2n+ 21.B级能力提升一、选择题11. 已知｛a n｝是等比数列，且a n>0, a2a4 + 2a3a5 + a4a6 = 25,那么a3+ a5的值等于（）A. 5B. 10C. 15D. 20解析：a2a4 = a2, a4“ = a5，故得何 + a5)2= 25,又a n>0,所以a3 + a5= 5.答案：A12. 设｛a n｝是由正数组成的等比数列，且a5 • a6= 81,则I OM + Iog3a2+…+ log3a10的值是()A. 5B. 10C. 20D. 40解析：I OM + 1。

章末知识整合[整合·网络构建]专题1利用正弦、余弦定理解三角形[典例1]△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a sin A＋c sin C－2a sin C＝b sin B.(1)求B；(2)若A＝75°，b＝2，求a，c.分析：(1)由已知等式的特点，利用正弦定理把已知等式转化为边之间的关系，然后再结合余弦定理求解．(2)由(1)知两角和一角的对边，利用正弦定理求解．解：(1)由正弦定理得a2＋c2－2ac＝b2.由余弦定理得b2＝a2＋c2－2ac cos B.故cos B＝22，因此B＝45°.(2)sin A ＝sin(30°＋45°)＝sin 30°cos 45°＋cos 30°sin 45°＝ 2＋64. 故a ＝b ·sin A sin B ＝2＋62＝1＋3， c ＝b ·sin C sin B ＝2×sin 60°sin 45°＝ 6. 归纳拓展解三角形的一般方法(1)已知两角和一边，如已知A ，B 和c ，由A ＋B ＋C ＝π求C ，由正弦定理求a ，b .(2)已知两边和这两边的夹角，如已知a ，b 和C ，应先用余弦定理求c ，再应用正弦定理先求较短边所对的角，然后利用A ＋B ＋C ＝π求另一角．(3)已知两边和其中一边的对角，如已知a ，b 和A ，应先用正弦定理求B ，由A ＋B ＋C ＝π求C ，再由正弦定理或余弦定理求c ，要注意解可能有多种情况．(4)已知三边a ，b ，c ，可应用余弦定理求A ，B ，C .[变式训练]1．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，设a ，b ，c 满足条件b 2＋c 2－bc ＝a 2和c b ＝12＋3，求A 和tan B 的值． 解：由题意得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12，因此A ＝60°. 在△ABC 中，C ＝180°－A －B ＝120°－B .由已知条件可得：12＋3＝cb＝sin Csin B＝sin（120°－B）sin B＝sin 120°cos B－cos 120°sin Bsin B＝32tan B＋1 2，从而tan B＝1 2.专题2三角形形状的判断[典例2]在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且2a sin A＝(2b＋c)sin B＋(2c＋b)sin C.(1)求A的大小；(2)若sin B＋sin C＝1，试判断△ABC的形状．分析：只要根据已知条件找到三角形的边或角的关系，就可以确定三角形的形状．解：(1)由已知，根据正弦定理，可得2a2＝(2b＋c)b＋(2c＋b)c，即a2＝b2＋c2＋bc，由余弦定理得cos A＝b2＋c2－a22bc＝－12，所以A＝120°.(2)法一：由(1)知B＋C＝60°，B＝60°－C，由sin B＋sin C＝1，得sin(60°－C)＋sin C＝1，即sin 60°cos C－cos 60°sin C＋sin C＝1，即sin(C＋60°)＝1，而0°＜C＜60°，所以C＝30°.故B＝30°，所以△ABC为等腰钝角三角形．法二：由(1)b2＋c2＋bc＝a2得sin2B＋sin2C＋sin B sin C＝sin2A，即(sin B＋sin C)2－sin B sin C＝3 4，所以sin B sin C ＝14. 与sin B ＋sin C ＝1联立，解得sin B ＝sin C ＝12， 而0°＜B ，C ＜60°，所以B ＝C .所以△ABC 为等腰钝角三角形．归纳拓展要注意正弦的多值性，否则可能漏解．另外，还要注意等腰三角形或直角三角形与等腰直角三角形的区别．判断三角形的形状，一般有以下两种途径：将已知条件统一化成边的关系，用代数方法求解；将已知条件统一化成角的关系，用三角函数方法求解．在解三角形时的常用结论有：(1)在△ABC 中，A >B ⇔a >b ⇔sin A >sin B ⇔cos A <cos B .(2)在△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π，A ＋B ＝π－C ，A ＋B 2＝π2－C 2，则cos(A ＋B )＝－cos C ，sin(A ＋B )＝sin C ，sin A ＋B 2＝cos C 2. (3)在△ABC 中，a 2＋b 2<c 2⇔C >π2，a 2＋b 2＝c 2⇔C ＝π2，a 2＋b 2>c 2⇔0<C <π2. [变式训练]2．在△ABC 中，若B ＝60°，2b ＝a ＋c ，试判断△ABC 的形状． 解：法一：由正弦定理，得2sin B ＝sin A ＋sin C .因为B ＝60°，所以A ＋C ＝120°.则A ＝120°－C ，代入上式，得2sin 60°＝sin(120°－C )＋sin C ，整理得32sin C ＋12cos C ＝1. 所以sin(C ＋30°)＝1，所以C ＋30°＝90°，所以C ＝60°.故A ＝60°.所以△ABC 为正三角形．法二：由余弦定理，得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B .因为B ＝60°，b ＝a ＋c 2， 所以⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋c 22＝a 2＋c 2－2ac cos 60°. 整理，得(a －c )2＝0，所以a ＝c ，从而a ＝b ＝c .所以△ABC 为正三角形．专题3 求三角形的面积[典例3] 在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos A －2cos C cos B＝2c －a b . (1)求sin C sin A的值； (2)若cos B ＝14，b ＝2，求△ABC 的面积S . 分析：(1)利用正弦定理将已知等式左边化成角，进而化简整理等式可求解；(2)利用余弦定理及(1)的结论先求出边c ，再求面积．解：(1)由正弦定理，设a sin A ＝b sin B ＝c sin C＝k ， 则2c －a b ＝2k sin C －k sin A k sin B ＝2sin C －sin A sin B，所以cos A－2cos Ccos B＝2sin C－sin Asin B，即(cos A－2cos C)sin B＝(2sin C－sin A)cos B，化简可得sin(A＋B)＝2sin(B＋C)．又A＋B＋C＝π，所以sin C＝2sin A.因此sin Csin A＝2.(2)由sin Csin A＝2得c＝2a.由余弦定理b2＝a2＋c2－2ac cos B及cos B＝14，b＝2，得4＝a2＋4a2－4a2·14，解得a＝1.从而c＝2.又因为cos B＝14，且0<B<π，所以sin B＝15 4.因此S＝12ac sin B＝12×1×2×154＝154.归纳拓展三角形面积公式：S△＝12ah a＝12bc sin A＝abc4R＝pr＝p（p－a）（p－b）（p－c），其中A，B，C分别为△ABC的边a，b，c的对角，R，r分别为△ABC的外接圆和内切圆半径，p＝12(a＋b＋c)．[变式训练]3．在△ABC中，已知a＝3，cos A＝78，且b2－bc－2c2＝0.(1)求b，c的值；(2)求△ABC的面积．解：(1)由b2－bc－2c2＝0得(b＋c)(b－2c)＝0，即b ＝2c ，再由a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A 得3＝(2c )2＋c 2－2×2c 2·78，解得c ＝2，b ＝2 2.(2)因为cos A ＝78，所以sin A ＝ 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫782＝158. 所以S △ABC ＝12bc sin A ＝12×22×2×158＝154. 题型4 正弦、余弦定理的应用[典例4] 已知海岛A 四周8海里内有暗礁，有一货轮由西向东航行，望见岛A 在北偏东75°，航行202海里后，见此岛在北偏东30°，若货轮不改变航向继续前进，有无触礁危险？分析：由题意画出图形，把实际问题转化为数学问题，用解三角形的方法解决．解：如图所示，在△ABC 中，依题意得BC ＝202(海里)，∠ABC ＝90°－75°＝15°，∠BAC ＝60°－∠ABC ＝45°.由正弦定理，得AC sin 15°＝BC sin 45°， 所以AC ＝202sin 15°sin 45°＝10(6－2)(海里)． 故A 到航线的距离为AD ＝AC sin 60°＝10(6－2)×32＝(152－56)(海里)．因为152－56>8，所以货轮无触礁危险．归纳拓展应用解三角形知识解决实际问题的步骤(1)分析题意，准确理解题意，分清已知与所求，尤其要理解题中的有关名词、术语，如坡度、仰角、俯角、视角、方位角等．(2)根据题意画出示意图，并将已知条件在图形中标出．(3)将所求问题归结到一个或几个三角形中，通过合理运用正弦、余弦定理等有关知识正确求解．(4)检验解出的结果是否具有实际意义，对结果进行取舍，得出正确答案．[变式训练]4．2009年国庆阅兵式上举行升旗仪式，如图所示，在坡度为 15°的观礼台上，某一列座位与旗杆在同一个垂直于地面的平面上，在该列第一排和最后一排测得旗杆顶端的仰角分别为60°和30°，且第一排和最后一排距离为106米，求旗杆的高度．解：设旗杆的高度为x 米，∠ABC ＝105°，∠CAB ＝45°， 所以∠ACB ＝30°.根据正弦定理可知BC sin 45°＝106sin 30°， 即BC ＝20 3.所以旗杆高度x ＝BC sin 60°＝203×32＝30(米)． 故旗杆的高度为30米．。

章末过关检测卷(二)(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若直线过点(1，2)，(4，2＋3)，则此直线的倾斜角是( ) A ．30° B ．45° C ．60° D ．90° 解析：直线斜率为k ＝2＋3－24－1＝33，故倾斜角为30°.答案：A2．直线mx －y ＋2m ＋1＝0经过一定点，则该定点的坐标为( ) A ．(－2，1) B ．(2，1) C ．(1，－2)D ．(1，2)解析：直线mx －y ＋2m ＋1＝0可化为 (x ＋2)m ＋1－y ＝0，令⎩⎨⎧x ＋2＝0，1－y ＝0，得⎩⎨⎧x ＝－2，y ＝1.答案：A3．直线x ＋ky ＝0，2x ＋3y ＋8＝0和x －y －1＝0交于一点，则k 的值是( )A.12 B ．－12C ．2D ．－2解析：解方程组⎩⎨⎧2x ＋3y ＋8＝0，x －y －1＝0，得⎩⎨⎧x ＝－1，y ＝－2，则点(－1，－2)在直线x ＋ky ＝0上，得k ＝－12.答案：B4．若坐标原点在圆x 2＋y 2－2mx ＋2my ＋2m 2－4＝0的内部，则实数m 的取值范围是( )A ．(－1，1) B.⎝⎛⎭⎪⎫－22，22C ．(－3，3)D ．(－2，2)解析：由题设把原点代入方程 02＋02－2m ·0＋2m ·0＋2m 2－4<0， 所以－2<m < 2. 答案：D5．两圆x 2＋y 2＋4x －4y ＝0与x 2＋y 2＋2x －12＝0的公共弦长等于( )A ．4B ．2 3C ．3 2D ．4 2 解析：公共弦方程为x －2y ＋6＝0，圆x 2＋y 2＋2x －12＝0的圆心(－1，0)，半径r ＝13，d ＝ 5. 所以弦长＝2×13－5＝4 2.答案：D6．与圆(x ＋2)2＋y 2＝2相切，且在x 轴与y 轴上的截距相等的直线条数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：当截距均为0时，即直线过原点易知有两条切线；当截距不为0时，设切线为x a ＋ya ＝1，即x ＋y －a ＝0，由圆心(－2，0)到切线的距离等于半径2，解得a ＝－4，即此时切线为x ＋y ＋4＝0，故共有3条．答案：C7．(2014·安徽卷)过点P (－3，－1)的直线l 与圆x 2＋y 2＝1有公共点，则直线l 的倾斜角的取值范围是( )A.(]0°，30°B.(]0°，60°C.[]0°，30°D.[]0°，60°解析：法一 如图所示，过点P 作圆的切线PA ，PB ，切点为A ，B .由题意知|OP |＝2，|OA |＝1，则sin α＝12，所以α＝30°，∠BPA ＝60°.故直线l 的倾斜角的取值范围是⎣⎡⎦⎤0°，60°.故选D.法二 设过点P 的直线方程为y ＝k (x ＋3)－1，则由直线和圆有公共点知|3k －1|1＋k2≤1.解得0≤k ≤ 3.故直线l 的倾斜角的取值范围是⎣⎡⎦⎤0°，60°.答案：D8．以A (－2，－2)，B (－3，1)，C (3，5)，D (7，－7)为顶点的四边形是( )A ．正方形B ．矩形C ．平行四边形D ．梯形答案：D9．垂直于直线y ＝x ＋1且与圆x 2＋y 2＝1相切于第一象限的直线方程是( )A ．x ＋y －2＝0B ．x ＋y ＋1＝0C ．x ＋y －1＝0D ．x ＋y ＋2＝0答案：A10．平行于直线2x ＋y ＋1＝0且与圆x 2＋y 2＝5相切的直线的方程是( )A ．2x －y －5＝0或2x －y －5＝0B ．2x ＋y ＋5＝0或2x ＋y －5＝0C ．2x －y ＋5＝0或2x －y －5＝0D ．2x ＋y ＋5＝0或2x ＋y －5＝0解析：设所求切线方程为2x ＋y ＋c ＝0，依题有|0＋0＋c |22＋12＝5，解得c ＝±5，所以所求切线的直线方程为2x ＋y ＋5＝0或2x ＋y －5＝0.答案：D11．过球的一条半径的中点，作垂直于该半径的平面，则所得截面的面积是球的表面积的( )A.316B.916C.38D.58 答案：A12．圆锥的表面积是底面积的3倍，那么该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为( )A ．120°B ．150°C ．180°D ．240°解析：S 底＋S 侧＝3S 底，2S 底＝S 侧，即2πr 2＝πrl ，得2r ＝l .设侧面展开图的圆心角为θ，则θπl 180°＝2πr ，所以θ＝180°.答案：C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将正确答案填在题中的横线上)13．直线5x ＋12y ＋13＝0与直线10x ＋24y ＋5＝0的距离是________．解析：把5x ＋12y ＋13＝0化为10x ＋24y ＋26＝0，由平行线之间的距离公式d ＝|26－5|26＝2126.答案：212614．在z 轴上与点A (－4，1，7)和点B (3，5，－2)等距离的点C 的坐标为________．解析：设C 点的坐标为(0，0，z )， 由|AC |＝|BC |，得|AC |2＝|BC |2.于是有16＋1＋(7－z )2＝9＋25＋(－2－z )2， 解得z ＝149.故点C 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，0，149.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫0，0，149 15．已知圆O ：x 2＋y 2＝5，直线l ：x cos θ＋y sin θ＝1⎝ ⎛⎭⎪⎫0＜θ＜π2.设圆O 到直线l 的距离等于1的点的个数为k ，则k ＝________．解析：圆心O 到直线x cos θ＋y sin θ＝1距离d ＝1，即直线与圆相交．因为半径r ＝5＞2，所以O 上到直线l 的距离等于1的点的个数为4个，所以k ＝4.答案：416．直线l 1：y ＝x ＋a 和l 2：y ＝x ＋b 将单位圆C ：x 2＋y 2＝1分成长度相等的四段弧，则a 2＋b 2＝________．解析：作出图象，如图所示．依题意，不妨设直线y ＝x ＋a 与单位圆相交于A ，B 两点，则∠AOB ＝90°，此时a ＝1，b ＝－1，满足题意， 所以a 2＋b 2＝2. 答案：2三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤)17．(本小题满分10分)求经过A (－2，3)，B (4，－1)的两点式方程，并把它化成点斜式、斜截式、截距式和一般式．解：过A ，B 两点的直线方程是y ＋13＋1＝x －4－2－4， 点斜式为：y ＋1＝－23(x －4)，斜截式为：y ＝－23x ＋53，截距式为：x 52＋y53＝1，一般式为：2x ＋3y －5＝0.18．(本小题满分12分)点A (0，2)是圆x 2＋y 2＝16内的定点，B ，C 是这个圆上的两个动点，若BA ⊥CA ，求BC 中点M 的轨迹方程，并说明它的轨迹是什么曲线．解：设点M (x ，y )．M 是弦BC 的中点，故OM ⊥BC ， 又因为∠BAC ＝90°，所以|MA |＝12|BC |＝|MB |.因为|MB |2＝|OB |2－|OM |2，所以|OB |2＝|MO |2＋|MA |2，即42＝(x 2＋y 2)＋[(x －0)2＋(y －2)2]，化简为x 2＋y 2－2y －6＝0，即x 2＋(y －1)2＝7.所以所求轨迹为以(0，1)为圆心，以7为半径的圆．19．(本小题满分12分)若圆C 经过坐标原点和点(4，0)，且与直线y ＝1相切，求圆C 的方程．解：如图所示，因为圆C 经过坐标原点O 和点A (4，0)，所以圆心必在线段OA 的中垂线上， 所以圆心的横坐标为2，设圆心坐标为C (2，b )，b ＜0，半径为R . 因为圆与直线y ＝1相切， 所以R ＝1－b ，且b 2＋22＝ R 2＝(1－b )2.解得b ＝－32，所以圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－32，半径R ＝1－b ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝52. 所以圆的方程为(x －2)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋322＝254.20．(本小题满分12分)已知实数x ，y 满足方程(x －3)2＋(y －3)2＝6，求x ＋y 的最大值和最小值．解：设x ＋y ＝t ，则直线y ＝－x ＋t 与圆(x －3)2＋(y －3)2＝6有公共点．所以|3＋3－t |2≤ 6.所以6－23≤t ≤6＋2 3.因此x ＋y 最小值为6－23，最大值为6＋2 3.21．(本小题满分12分)已知圆C ：x 2＋(y －1)2＝5，直线l ：mx －y ＋1－m ＝0(m ∈R)．(1)判断直线l 与圆C 的位置关系；(2)设直线l 与圆C 交于A ，B 两点，若直线l 的倾斜角为120°，求弦AB 的长．解：(1)直线l 可变形为y －1＝m (x －1)， 因此直线l 过定点D (1，1)， 又12＋（1－1）2＝1<5，所以点D 在圆C 内，则直线l 与圆C 必相交． (2)由题意知m ≠0，所以直线l 的斜率k ＝m ， 又k ＝tan 120°＝－3，即m ＝－ 3.此时，圆心C (0，1)到直线l ：3x ＋y －3－1＝0的距离 d ＝|－3|（3）2＋12＝32，又圆C 的半径r ＝5， 所以|AB |＝2r 2－d 2＝25－⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝17. 22．(本小题满分12分)已知圆C 的圆心在直线l 1：2x －y ＋1＝0上，与直线3x －4y ＋9＝0相切，且截直线l 2：4x －3y ＋3＝0所得的弦长为2，求圆C 的方程．解：设圆C 的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，则⎩⎪⎨⎪⎧2a －b ＋1＝0，|3a －4b ＋9|5＝r ，⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫4a －3b ＋352＋1＝r 2， 即⎩⎪⎨⎪⎧b ＝2a ＋1，|3a －4（2a ＋1）＋9|＝5r ，[4a －3（2a ＋1）＋3]2＋25＝25r 2，即⎩⎪⎨⎪⎧b ＝2a ＋1，|a －1|＝r ，4a 2＋25＝25r 2.化简，得4a 2＋25＝25(a －1)2. 解得a ＝0或a ＝5021.因此⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝1，r ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5021，b ＝12121，r ＝2921.故所求圆的方程为x 2＋(y －1)2＝1或⎝⎛⎭⎪⎫x －50212＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －121212＝⎝ ⎛⎭⎪⎫29212.。

第2章函数2.2 函数的简单性质2.2.2 函数的奇偶性A级基础巩固1．下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是增函数的是() A．y＝－x2＋5(x∈R) B．y＝－xC．y＝x3(x∈R) D．y＝－1x(x∈R，x≠0)解析：函数y＝－x2＋5(x∈R)既有增区间又有减区间；y＝－x 是减函数；y＝－1x(x∈R，x≠0)不是定义域内的增函数；只有y＝x3(x∈R)满足条件．答案：C2．函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f(x)＝－x＋1，则当x＜0时，f(x)的解析式为()A．f(x)＝－x＋1 B．f(x)＝－x－1C．f(x)＝x＋1 D．f(x)＝x－1解析：设x＜0，则－x＞0.所以f(－x)＝x＋1，又函数f(x)是奇函数．所以f(－x)＝－f(x)＝x＋1.所以f(x)＝－x－1(x＜0)．答案：B3．若函数f (x )＝x（2x ＋1）（x －a ）为奇函数，则a 等于( )A.12B.23C.34 D ．1 解析：因为f (－x )＝－f (x )，所以－x（－2x ＋1）（－x －a ）＝－x （2x ＋1）（x －a ）.所以(2a －1)x ＝0. 所以a ＝12.故选A.答案：A4．已知f (x )＝ax 2＋bx 是定义在[a －1，2a ]上的偶函数，那么a ＋b 的值是( )A ．－13B.13C.12D ．－12解析：因为f (x )＝ax 2＋bx 是定义在[a －1，2a ]上的偶函数， 所以f (－x )＝f (x )．所以b ＝0.又a －1＝－2a ，所以a ＝13.所以a ＋b ＝13.答案：B5．(2014·课标全国Ⅰ卷)设函数f (x )，g (x )的定义域都为R ，且f (x )是奇函数，g (x )是偶函数，则下列结论中正确的是( )A ．f (x )g (x )是偶函数B ．|f (x )|g (x )是奇函数C ．f (x )|g (x )|是奇函数D ．|f (x )g (x )|是奇函数解析：f(x)为奇函数，g(x)为偶函数，则f(－x)|g(－x)|＝－f(x)|g(x)|.所以y＝f(x)|g(x)|为奇函数．答案：C6．设偶函数f(x)的定义域为R，当x∈[0，＋∞)时，f(x)是增函数，则f(－2)，f(π)，f(－3)的大小关系是()A．f(π)＞f(－3)＞f(－2)B．f(π)＞f(－2)＞f(－3)C．f(π)＜f(－3)＜f(－2)D．f(π)＜f(－2)＜f(－3)解析：因为f(x)是偶函数，则f(－2)＝f(2)，f(－3)＝f(3)，又当x≥0时，f(x)是增函数，所以f(2)＜f(3)＜f(π)，从而f(－2)＜f(－3)＜f(π)．答案：A7．如图所示，给出奇函数y＝f(x)的局部图象，则f(－2)的值是________．解析：利用f(－2)＝－f(2)或作出函数y＝f(x)在区间[－2，0]上的图象(关于原点中心对称)可知，f(－2)＝－32.答案：－328．已知f (x )是奇函数，且x ≥0时，f (x )＝x (1－x )．则当x ＜0时，f (x )＝________ .解析：当x ＜0时，－x ＞0， 又因为f (x )是奇函数，所以f (x )＝－f (－x )＝－[－x (1＋x )]＝x (1＋x )． 答案：x (1＋x )9．已知函数f (x )＝(k －2)x 2＋(k －1)x ＋3是偶函数，则f (x )的单调递增区间是________．解析：因为f (x )为偶函数，所以图象关于y 轴对称，即k ＝1，此时f (x )＝－x 2＋3，其单调递增区间为(－∞，0)．答案：(－∞，0)10．已知函数y ＝f (x )为偶函数，其图象与x 轴有四个交点，则方程f (x )＝0的所有实根之和为________．解析：由于偶函数的图象关于y 轴对称，所以偶函数的图象与x 轴的交点也关于y 轴对称，因此，四个交点中，有两个在x 轴的负半轴上，另两个在x 轴的正半轴上，所以四个实根的和为0.答案：011．已知函数f (x )和g (x )满足f (x )＝2g (x )＋1.且g (x )为R 上的奇函数，f (－1)＝8，求f (1)．解：因为f (－1)＝2g (－1)＋1＝8，所以g (－1)＝72.又因为g (x )为奇函数， 所以g (－1)＝－g (1)． 所以g (1)＝－g (－1)＝－72.所以f (1)＝2g (1)＋1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－72＋1＝－6.12．判断函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3－3x 2＋1，x ＞0，x 3＋3x 2－1，x ＜0的奇偶性． 解：函数的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称． (1)当x ＞0时，－x ＜0，则f (－x )＝(－x )3＋3(－x )2－1＝－x 3＋3x 2－1＝ －(x 3－3x 2＋1)＝－f (x )； (2)当x ＜0时，－x ＞0，则f (－x )＝(－x )3－3(－x )2＋1＝－x 3－3x 2＋1＝ －(x 3＋3x 2－1)＝－f (x )，由(1)(2)知，对任意x ∈(－∞，0)∪(0，＋∞)， 都有f (－x )＝－f (x )，故f (x )为奇函数．B 级 能力提升13．已知f (x )是奇函数，g (x )是偶函数，且f (－1)＋g (1)＝2，f (1)＋g (－1)＝4，则g (1)等于( )A ．4B ．3C ．2D ．1解析：因为f (x )是奇函数，所以f (－1)＝－f (1)．又g(x)是偶函数，所以g(－1)＝g(1)．因为f(－1)＋g(1)＝2，所以g(1)－f(1)＝2.①又f(1)＋g(－1)＝4，所以f(1)＋g(1)＝4.②由①②，得g(1)＝3.答案：B14．已知定义域为R的函数f(x)在区间(8，＋∞)上为减函数，且函数y＝f(x＋8)为偶函数，则()A．f(6)＞f(7) B．f(6)＞f(9)C．f(7)＞f(9) D．f(7)＞f(10)解析：因为函数y＝f(x＋8)为偶函数，其对称轴是y轴，所以y ＝f(x)的对称轴是直线x＝8.所以f(7)＝f(9)，又y＝f(x)在区间(8，＋∞)上是减函数．所以f(9)＞f(10)，故f(7)＞f(10)．答案：D15．若函数f(x)＝x2－|x＋a|为偶函数，则实数a＝________．解析：因为函数f(x)＝x2－|x＋a|为偶函数，所以f(－x)＝f(x)，则(－x)2－|－x＋a|＝x2－|x＋a|.所以|－x＋a|＝|x＋a|，即|x－a|＝|x＋a|.所以a＝0.答案：016．已知函数f(x)＝x2－2|x|.(1)判断并证明函数的奇偶性；(2)判断函数f(x)在区间(－1，0)上的单调性并加以证明．解：(1)函数f(x)是偶函数，定义域为R.因为f(－x)＝(－x)2－2|－x|＝x2－2|x|＝f(x)，所以函数f(x)是偶函数．(2)f(x)在区间(－1，0)上是增函数．证明如下：当x∈(－1，0)时，f(x)＝x2－2|x|＝x2＋2x.设－1＜x1＜x2＜0，则x1－x2＜0，且x1＋x2＞－2，即x1＋x2＋2＞0.因为f(x1)－f(x2)＝(x21－x22)＋2(x1－x2)＝(x1－x2)(x1＋x2＋2)＜0，所以f(x1)＜f(x2)．故f(x)在区间(－1，0)上是增函数．17．设函数f(x)在R上是偶函数，在区间(－∞，0)上递增，且f(2a2＋a＋1)＜f(2a2－2a＋3)，求实数a的取值范围．解：由f(x)在R上是偶函数，在区间(－∞，0)上递增，可知f(x)在(0，＋∞)上递减．因为2a 2＋a ＋1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋142＋78＞0，2a 2－2a ＋3＝2⎝⎛⎭⎪⎫a －122＋52＞0， 且f (2a 2＋a ＋1)＜f (2a －2a ＋3)，所以2a 2＋a ＋1＞2a 2－2a ＋3，即3a －2＞0，解得a ＞23.故a 的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫23，＋∞.18．已知函数f (x )是定义域为R 的奇函数，当x ＞0时，f (x )＝x 2－2x .(1)求出函数f (x )在R 上的解析式； (2)画出函数f (x )的图象．解：(1)①由于函数f (x )是定义域为R 的奇函数，则f (0)＝0； ②当x ＜0时，－x ＞0，因为f (x )是奇函数，所以f (－x )＝－f (x )．所以f (x )＝－f (－x )＝－[(－x )2－2(－x )]＝－x 2－2x .综上：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x ＞0，0，x ＝0，－x 2－2x ，x ＜0.(2)图象如图所示．。

第2章数列2.1 数列A级基础巩固一、选择题1．下列命题中错误的是()A．f(n)＝2n－1(n∈N*)是数列的一个通项公式B．数列通项公式是一个函数关系式C．任何一个数列中的项都可以用通项公式来表示D．数列中有无穷多项的数列叫作无穷数列答案：C2．下列说法中正确的是()A．数列2，3，5可表示为{2，3，5}B．数列2，4，6，8与数列8，6，4，2是相同的数列C．集合{1，3，5，7}与集合{7，5，3，1}是相同的集合D．数列1，3，5，7，…可记为{2n＋1}(n∈N*)解析：考查数列的定义及数列与数集的区别．答案：C3．数列1，3，7，15，…的一个通项公式是a n＝()A．2n B．2n＋1C．2n－1D．2n－1解析：由数列的前四项可知，该数列的一个通项公式为a n＝2n－1.答案：D4．数列{a n }的通项公式是a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝1，n 2，n ≥2，则这个数列的前3项是( )A ．1，4，9B ．2，4，9C ．2，1，4D ．2，6，11解析：考查数列的通项． 答案：B5．已知数列12，23，34，45，…，nn ＋1，…，则0.96是该数列的第( )A ．20项B ．22项C ．24项D ．26项解析：由a n ＝n n ＋1，令nn ＋1＝0.96，解得n ＝24.即a 24＝0.96.答案：C 二、填空题6．数列{a n }的通项公式为a n ＝(－1)n 12n ＋1，则a 10＝______；a 2n ＋1＝________．解析：a 10＝(－1)1012×10＋1＝121，a 2n ＋1＝(－1)2n ＋112（2n ＋1）＋1＝－14n ＋3.答案：121 －14n ＋37．已知a n ＝n 2－7n ＋6，则从第________项起{a n }的各项为正数．解析：由n 2－7n ＋6＞0得n ＜1或n ＞6，而n ∈N *，所以n ＞6. 答案：78．由数列53，108，17a ＋b ，a －b 24，…，可得有序数对(a ，b )为________．解析：从上面的规律可以看出 ⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝15，a －b ＝26，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝412，b ＝－112.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫412，－112 三、解答题9．根据数列的通项公式，写出数列的前5项，并用图象表示出来．(1)a n ＝(－1)n ＋2； (2)a n ＝n ＋1n.解：(1)a 1＝1，a 2＝3，a 3＝1，a 4＝3，a 5＝1.图象如图①所示． (2)a 1＝2，a 2＝32，a 3＝43，a 4＝54，a 5＝65.图象如图②所示．图① 图②10．已知数列{a n }的通项公式a n ＝3n －23n ＋1.(1)求这个数列的第10项；(2)98101是不是该数列的项？ (3)判断数列{a n }的单调性，并求数列的最大项、最小项． 解：(1)由a n ＝3n －23n ＋1，令n ＝10，得a 10＝3×10－23×10＋1＝2831.(2)令3n －23n ＋1＝98101，得：9n ＝300，所以n ＝1003，由于n 不是正整数，因此，98101不是该数列的项． (3)由于a n ＝3n －23n ＋1＝3n ＋1－33n ＋1＝1－33n ＋1，则a n ＋1－a n ＝1－33n ＋4－⎝ ⎛⎭⎪⎫1－33n ＋1＝9（3n ＋1）（3n ＋4）. 又n ∈N ＋，(3n ＋1)(3n ＋4)>0，所以a n ＋1>a n ，即数列{a n }是递增数列，所以数列中的最小项为a 1＝14，无最大项．B 级 能力提升一、选择题11．在数列a 1，a 2，a 3，a 4，…，a n ，…的每相邻两项中插入4个数，构成一个新数列，则新数列的第36项( )A ．不是原数列的项B ．是原数列的第7项C ．是原数列的第8项D ．是原数列的第9项解析：在数列中插入四个数后，原数列中的k 项变为新数列中的[5(k －1)＋1]项．依题意得，5(k －1)＋1＝36，解得k ＝8.故选C.答案：C12．数列1，－1，－1，1，1，－1，－1，1，…的一个通项公式可以是( )A ．a n ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫n π2＋π4B ．a n ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫n π2＋π4C ．a n ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫n π2＋1D ．a n ＝（－1）n ＋1＋12解析：令n ＝1，2，3，检验可知，数列的通项为a n ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫n π2＋π4.答案：A13．已知a n ＝n 2－21n2，则数列{a n }中相等的连续两项是( )A ．第9项，第10项B ．第10项，第11项C ．第11项，第12项D ．第12项，第13项解析：假设a n ＝a n ＋1，则有n 2－21n 2＝（n ＋1）2－21（n ＋1）2，解之得n ＝10，所以，相等的连续两项是第10项和第11项．答案：B 二、填空题14．数列32，83，154，245，356，487，…的一个通项公式为________．解析：数列的分母具有明显规律，因而只要进一步观察分子，发现分母比分子的平方小1，故知数列的通项公式为a n ＝（n ＋1）2－1n ＋1＝n 2＋2n n ＋1(n ∈N *)． 答案：a n ＝n 2＋2nn ＋1(n ∈N *)15．设a n＝1n＋1＋1n＋2＋1n＋3＋…＋12n(n∈N＋)，那么a n＋1－a n等于________．解析：因为a n＝1n＋1＋1n＋2＋1n＋3＋…＋12n(n∈N＋)，所以a n＋1＝1n＋2＋1n＋3＋…＋12n＋12n＋1＋12n＋2.所以a n＋1－a n＝12n＋1＋12n＋2－1n＋1＝12n＋1－12n＋2.答案：12n＋1－12n＋2三、解答题16．已知数列{a n}中，a n＝n2－kn(n∈N＋)，且{a n}单调递增，求实数k的取值范围．解：因为a n＝n2－kn，所以a n＋1＝(n＋1)2－k(n＋1)．所以a n＋1－a n＝(n＋1)2－k(n＋1)－n2＋kn＝2n＋1－k.因为数列{a n}单调递增，所以a n＋1－a n>0，即2n＋1－k>0对n∈N＋恒成立．所以k<2n＋1对任意n∈N＋恒成立．而2n＋1的最小值为3.故只需k<3即可．所以k的取值范围为(－∞，3)．。

章末过关检测卷(三)(测试时间：120分钟 评价分值：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求)1．若a ＜b ＜0，则下列不等式不能成立的是( ) A.1a ＞1b B ．2a ＞2b C ．|a |＞|b |D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12a＞⎝ ⎛⎭⎪⎫12b解析：因为a ＜b ＜0，所以ab ＞0.所以a ·1ab ＜b ·1ab ，即1a ＞1b.由y ＝|x |(x ＜0)为减函数和y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x为减函数知C 、D 成立，因此不能成立的是B.答案：B2．已知a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝2，则y ＝1a ＋4b 的最小值是( )A.72 B ．4 C.92D ．5 解析：1a ＋4b ＝12(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋4b ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋b a ＋4a b ≥12⎝⎛⎭⎪⎫5＋2b a ·4a b ＝92. 答案：C3．不等式ax 2＋5x ＋c >0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪13<x <12，则a ，c 的值为( ) A ．a ＝6，c ＝1 B ．a ＝－6，c ＝－1 C ．a ＝1，c ＝1D ．a ＝－1，c ＝－6解析：由已知得a <0且13，12为方程ax 2＋5x ＋c ＝0的两根，故13＋12＝－5a ，13×12＝ca ，解得a ＝－6，c ＝－1，故选B. 答案：B4．(2014·浙江卷)已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，且0＜f (－1)＝f (－2)＝f (－3)≤3，则( )A ．c ≤3B ．3＜c ≤6C ．6＜c ≤9D ．c ＞9解析：由题意得⎩⎨⎧－1＋a －b ＋c ＝－8＋4a －2b ＋c ，－1＋a －b ＋c ＝－27＋9a －3b ＋c ，化简得⎩⎨⎧3a －b －7＝0，4a －b －13＝0，解得⎩⎨⎧a ＝6，b ＝11.所以f (－1)＝c －6.所以0＜c －6≤3.解得6＜c ≤9，故选C. 答案：C5．已知向量a ＝(x ＋z ，3)，b ＝(2，y －z )且a ⊥b ，若x ，y 满足不等式|x |＋|y |≤1，则z 的取值范围为( )A ．[－2，2]B ．[－2，3]C ．[－3，2]D ．[－3，3]解析：由a ⊥b ⇒a ·b ＝0即2(x ＋z )＋3(y －z )＝0亦即z ＝2x ＋3y ，由约束条件|x |＋|y |≤1，画出平行域．可知z 在(0，－1)和(0，1)时分别得最小值－3和最大值3，故z ∈[－3，3]．答案：D6. 某公司租地建仓库，每月土地费用与仓库到车站距离成反比，而每月货物的运输费用与仓库到车站距离成正比．如果在距离车站10 km 处建仓库，则土地费用和运输费用分别为2万元和8万元，那么要使两项费用之和最小，仓库应建在离车站( )A ．5 km 处B ．4 km 处C ．3 km 处D ．2 km 处解析：设仓库建在离车站x km 处，则土地费用y 1＝k 1x (k 1≠0)，运输费用y 2＝k 2x (k 2≠0)，把x ＝10，y 1＝2代入得k 1＝20，把x ＝10，y 2＝8代入得k 2＝45，故总费用y ＝20x ＋45x ≥220x ·45x ＝8，当且仅当20x＝45x ，即x ＝5时等号成立． 答案：A7．若1a ＜1b ＜0，则下列结论不正确的是( )A ．a 2＜b 2B ．ab ＜b 2 C.b a ＋ab＞2 D ．|a |－|b |＝|a －b |解析：由1a ＜1b＜0，所以a ＜0，b ＜0.所以0＞a ＞b .由不等式基本性质知A 、B 、C 正确． 答案：D8．直线3x ＋2y ＋5＝0把平面分成两个区域，下列各点与原点位于同一区域的是( )A ．(－3，4)B ．(－3，－4)C ．(0，－3)D ．(－3，2)解析：当x ＝y ＝0时，3x ＋2y ＋5＝5>0，则原点一侧对应的不等式是3x ＋2y ＋5>0，可以验证仅有点(－3，4)满足3x ＋2y ＋5>0.答案：A9．方程x 2＋(m －2)x ＋5－m ＝0的两根都大于2，则m 的取值范围是( )A ．(－5，－4]B ．(－∞，－4]C ．(－∞，－2)D ．(－∞，－5)∪(－5，－4]解析：令f (x )＝x 2＋(m －2)x ＋5－m ，要使f (x )＝0的两根都大于2，则⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝（m －2）2－4（5－m ）≥0，f （2）>0，－m －22>2，解得⎩⎪⎨⎪⎧m 2≥16，m >－5，m <－2.⇒－5<m ≤－4，故选A.答案：A10．下列结论正确的是( ) A ．当x ＞0且x ≠1时，lg x ＋1lg x ≥2B ．当x ＞0时，x ＋1x ≥2C ．当x ≥2时，x ＋1x 的最小值为2D ．当0＜x ≤2时，x －1x无最大值解析：由基本不等式知：因为x ＞0，所以x ＞0. 由x ＋1x ≥2x ·1x ，即x ＋1x≥2， 所以x ＝1x，x ＝1 时“＝”成立． 答案：B11．设正实数x ，y ，z 满足x 2－3xy ＋4y 2－z ＝0.则当xyz 取得最大值时，2x ＋1y －2z的最大值为( )A ．0B ．1 C.94D ．3解析：xy z ＝xyx 2－3xy ＋4y 2＝1x y ＋4yx－3≤14－3＝1，当且仅当x ＝2y 时等号成立，此时z ＝2y 2，所以2x ＋1y －2z ＝－1y2＋2y ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫1y －12＋1≤1，当且仅当y ＝1时等号成立，故所求的最大值为1.答案：B12．(2015·重庆卷)若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≤0，x ＋2y －2≥0，x －y ＋2m ≥0表示的平面区域为三角形，且其面积等于43，则m 的值为( )A ．－3B ．1 C.43D ．3解析：作出可行域，如图中阴影部分所示，易求A ，B ，C ，D的坐标分别为A (2，0)，B (1－m ，1＋m )，C ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2－4m 3，2＋2m 3，D (－2m ，0)．S △ABC ＝S △ADB －S △ADC ＝12|AD |·|y B －y C |＝12(2＋2m )⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1＋m －2＋2m 3＝(1＋m )⎝⎛⎭⎪⎪⎫1＋m －23＝43，解得m ＝1或m ＝－3(舍去)．答案：B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)13．(2015·广东卷)不等式－x 2－3x ＋4>0的解集为________．(用区间表示)解析：由－x 2－3x ＋4>0，得x 2＋3x －4<0，解得－4<x <1. 答案：(－4，1)14．(2015·课标全国Ⅰ卷)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －1≥0，x －y ≤0，x ＋y －4≤0，则yx的最大值为________． 解析：作出可行域如图中阴影部分所示，由可行域知，在点A (1，3)处， yx取得最大值3.答案：315．函数y ＝1x －2＋x ＋1(x >2)的图象的最低点的坐标是________．解析：由y ＝1x －2＋x ＋1＝1x －2＋x －2＋3≥2＋3＝5(x >2) 当且仅当1x －2＝x －2，即x ＝3时，取“＝”号．故函数y ＝1x －2＋x ＋1的图象最低点为(3，5)．答案：(3，5)16．如图建立平面直线坐标系xOy ，x 轴在地平面上，y 轴垂直于地平面，单位长度为1千米，某炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程y ＝kx －120(1＋k 2)x 2(k >0)表示的曲线上，其中k 与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标．则炮的最大射程为______千米．解析：令y ＝0，得kx －120(1＋k 2)x 2＝0，由实际意义和题设条件知x >0，k >0，故x ＝20k1＋k 2＝20k ＋1k ≤202＝10，当且仅当k ＝1时取等号． 所以炮的最大射程为10千米． 答案：10三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答题应写出文字说明 、证明过程或推演步骤)17．(本小题满分10分)解下列不等式： (1)3x 2＋5x －2＞0； (2)x ＋1x＜3.解：(1)3x 2＋5x －2＝(3x －1)(x ＋2)＞0， 所以x ＞13或x ＜－2，即不等式的解集为(－∞，－2)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫13，＋∞. (2)原不等可变形为2x －1x＞0，所以原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ＜0或x ＞12. 18．(本小题满分12分)已知不等式ax 2＋4x ＋a >1－2x 2对一切实数x 恒成立，求实数a 的取值范围．解：原不等式等价于(a ＋2)x 2＋4x ＋a －1>0对一切实数x 恒成立．显然a ＝－2时，解集不是R ，因此a ≠－2.从而有⎩⎨⎧a ＋2>0，Δ＝42－4（a ＋2）（a －1）<0，整理得⎩⎨⎧a >－2，（a －2）（a ＋3）>0，所以⎩⎨⎧a >－2，a <－3或a >2，即a >2，故a 的取值范围是(2，＋∞)．19．(本小题满分12分)设f (x )＝ax 2＋bx ，1≤f (－1)≤2，2≤f (1)≤4，求f (－2)的取值范围．解：法一：设f (－2)＝mf (－1)＋nf (1)(m ，n 为待定系数)， 则4a －2b ＝m (a －b )＋n (a ＋b )，即4a －2b ＝(m ＋n )a ＋(n －m )b .于是得⎩⎨⎧m ＋n ＝4，n －m ＝－2，解得⎩⎨⎧m ＝3，n ＝1.所以f (－2)＝3f (－1)＋f (1)． 又因为1≤f (－1)≤2，2≤f (1)≤4， 所以5≤3f (－1)＋f (1)≤10. 故5≤f (－2)≤10.法二：由⎩⎨⎧f （－1）＝a －b ，f （1）＝a ＋b ，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12[f （－1）＋f （1）]，b ＝12[f （1）－f （－1）].所以f (－2)＝4a －2b ＝3f (－1)＋f (1)． 又因为1≤f (－1)≤2，2≤f (1)≤4， 所以5≤3f (－1)＋f (1)≤10. 故5≤f (－2)≤10.20．(本小题满分12分)设f (x )＝2x ＋44x ＋8.(1)求f (x )的最大值；(2)证明：对任意实数a 、b 恒有f (a )＜b 2－3b ＋214.(1)解：f (x )＝16×2x 22x ＋8＝162x ＋82x ≤162 2x ·82x ＝1642＝22，当且仅当2x ＝82x 时，即x ＝32时，等号成立．所以f (x )的最大值为2 2.(2)证明：因为b 2－3b ＋214＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b －322＋3，所以当b ＝32时，b 2－3b ＋214有最小值3.由(1)知f (a )有最大值22，且22＜3，所以对任意实数a ，b 都有f (a )＜b 2－3b ＋214. 21．(本小题满分12分)某厂准备生产甲、乙两种适销产品，每件销售收入分别为3千元，2千元．甲、乙产品都需要在A ，B 两种设备上加工，在每台A ，B 上加工一件甲产品所需工时分别为1小时和2小时，加工一件乙产品所需工时分别为2小时和1小时，A 、B 两种设备每月有效使用工时分别为400小时和500小时．如何安排生产可使月收入最大？解：设甲、乙两种产品的产量分别为x ，y 件，约束条件是⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≤400，2x ＋y ≤500，x ≥0，y ≥0，目标函数是f ＝3x ＋2y ，要求出适当的x ，y 使f ＝3x ＋2y 取得最大值．作出可行域，如图所示．设3x ＋2y ＝a ，a 是参数，将它变形为y ＝－32x ＋a 2，这是斜率为－32，随a 变化的一簇直线． 当直线与可行域相交且截距a 2最大时，目标函数f 取得最大值．由⎩⎨⎧x ＋2y ＝400，2x ＋y ＝500得⎩⎨⎧x ＝200，y ＝100.因此，甲、乙两种产品的每月产量分别为200件和100件时，可得最大收入800千元．22．(本小题满分12分)(1)设x ≥1，y ≥1，证明：x ＋y ＋1xy ≤1x＋1y＋xy ； (2)设1＜a ≤b ≤c ，证明：log a b ＋log b c ＋log c a ≤log b a ＋log c b ＋log a c .证明：(1)由于x ≥1，y ≥1，所以x ＋y ＋1xy ≤1x ＋1y＋xy ⇔xy (x ＋y )＋1≤y ＋x ＋(xy )2， 此式的右边减去左边得y ＋x ＋(xy )2－[xy (x ＋y )＋1]＝[(xy )2－1]－[xy (x ＋y )－(x ＋y )]＝(xy ＋1)(xy －1)－(x ＋y )(xy －1)＝(xy －1)(xy －x －y ＋1)＝(xy －1)(x －1)·(y －1)．因为x ≥1，y ≥1，所以(xy －1)(x －1)(y －1)≥0.故所证不等式成立．(2)令log a b ＝x ，log b c ＝y ，则 log c a ＝1xy ，log b a ＝1x ，log c b ＝1y ，log a c ＝xy .由1＜a ≤b ≤c 得x ＝log a b ≥1，y ＝log b c ≥1. 由(1)亦即得到所证的不等式成立．。

2.1 函数的概念 2.1.1 函数的概念和图象A 级 基础巩固1．下列各图中，不可能表示函数y ＝f (x )的图象的是( )答案：B2．函数y ＝1－x ＋x 的定义域是( ) A ．{x |x ≤1}B ．{x |x ≥0}C ．{x |x ≥1，或x ≤0}D ．{x |0≤x ≤1}解析：由⎩⎪⎨⎪⎧1－x ≥0，x ≥0，得0≤x ≤1.答案：D3．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x >0，x ＋1，x ≤0，且f (a )＋f (1)＝0，则a ＝( )A ．－3B ．－1C ．1D ．3解析：当a >0时，f (a )＋f (1)＝2a ＋2＝0⇒a ＝－1，与a >0矛盾；当a ≤0时，f (a )＋f (1)＝a ＋1＋2＝0⇒a ＝－3，适合题意．答案：A4．定义域在R 上的函数y ＝f (x )的值域为[a ，b ]，则函数y ＝f (x ＋a )的值域为( ) A ．[2a ，a ＋b ] B ．[0，b －a ] C ．[a ，b ] D ．[－a ，a ＋b ]答案：C5．下列函数完全相同的是( ) A ．f (x )＝|x |，g (x )＝(x )2B ．f (x )＝|x |，g (x )＝x 2C ．f (x )＝|x |，g (x )＝x 2xD ．f (x )＝x 2－9x －3，g (x )＝x ＋3解析：A 、C 、D 的定义域均不同． 答案：B6．二次函数y ＝x 2－4x ＋3在区间(1，4]上的值域是( ) A ．[－1，＋∞) B ．(0，3] C ．[－1，3] D ．(－1，3)解析：y ＝x 2－4x ＋3＝(x －2)2－1≥－1，再结合二次函数的图象(如右图所示)可知，－1≤y ≤3.答案：C7．已知函数f (x )的定义域为(－3，0)，则函数y ＝f (2x －1)的定义域是( ) A ．(－1，1) B.⎝⎛⎭⎪⎫－1，12 C ．(－1，0)D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 解析：由于f (x )的定义域为(－3，0) 所以－3＜2x －1＜0，解得－1＜x ＜12.故y ＝f (2x －1)的定义域为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，12. 答案：B8．函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －120＋x 2－1x ＋2的定义域是__________________．解析：要使f (x )有意义，必有 ⎩⎪⎨⎪⎧x －12≠0，x ＋2＞0，解得x ＞－2且x ≠12. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞9．已知函数f (x )的定义域为[0，1]，值域为[1，2]，则f (x ＋2)的定义域是________，值域是________．解析：因为f (x )的定义域为[0，1]，所以0≤x ＋2≤1.所以－2≤x ≤－1，即f (x ＋2)的定义域为[－2，－1]，值域仍然为[1，2]． 答案：[－2，－1] [1，2]10．(2015·课标全国Ⅱ卷)已知函数f (x )＝ax 3－2x 的图象过点(－1，4)，则a ＝________．解析：因为点(－1，4)在y ＝f (x )的图象上， 所以4＝－a ＋2.所以a ＝－2. 答案：－211．若f (x )＝ax 2－2，a 为正常数，且f [f (2)]＝－2，则a ＝________． 解析：因为f (2)＝a ·(2)2－2＝2a －2， 所以f ()f （2）＝a ·(2a －2)2－2＝－ 2.所以a ·(2a －2)2＝0.又因为a 为正常数，所以2a －2＝0.所以a ＝22. 答案：2212．已知函数f (x )＝x ＋1x.(1)求f (x )的定义域； (2)求f (－1)，f (2)的值； (3)当a ≠－1时，求f (a ＋1)的值．解：(1)要使函数f (x )有意义，必须使x ≠0， 所以f (x )的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)． (2)f (－1)＝－1＋1－1＝－2，f (2)＝2＋12＝52.(3)当a ≠－1时，a ＋1≠0. 所以f (a ＋1)＝a ＋1＋1a ＋1. B 级 能力提升13．若函数y ＝f (x )的定义域为[0，2]，则函数g (x )＝f （2x ）x －1的定义域为( ) A ．[0，1] B ．[0，1) C ．[0，1)∪(1，4]D ．(0，1)解析：因为f (x )的定义域为[0，2]，所以g (x )＝f （2x ）x －1需满足⎩⎪⎨⎪⎧0≤2x ≤2，x －1≠0，解得0≤x ＜1.所以g (x )的定义域为[0，1)． 答案：B14．汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s 看作时间t 的函数，其图象可能是( )解析：因为汽车先启动，再加速、匀速，最后减速，s 随t 的变化是先慢，再快、匀速，最后慢，故A 图比较适合题意．答案：A15．已知函数f (x )＝x 21＋x 2，那么f (1)＋f (2)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋f (3)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋f (4)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝______．解析：因为f (x )＝x 21＋x 2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝1x 2＋1，所以f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x＝1. 所以f (1)＋f (2)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋f (3)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋f (4)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝12＋1＋1＋1＝72.答案：7216．已知函数f (x )＝2x －1－7x .(1)求f (0)，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫17，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫111； (2)求函数的定义域．解：(1)f (0)＝－1，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫17＝217＝277， f ⎝ ⎛⎭⎪⎫111＝2111－1－711＝411－411＝0. (2)要使函数有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，1－7x ≥0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ≤17，所以0≤x ≤17.所以函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪0≤x ≤17.17．已知函数y ＝ 1ax ＋1(a ＜0且a 为常数)在区间(－∞，1]上有意义，求实数a的值．解：已知函数y ＝1ax ＋1(a ＜0且a 为常数)， 因为1ax ＋1≥0，a ＜0，所以x ≤－a ，即函数的定义域为(－∞，－a ]． 因为函数在区间(－∞，1]上有意义， 所以(－∞，1]⊆(－∞，－a ]． 所以－a ≥1，即a ≤－1.所以a 的取值范围是(－∞，－1]．18．试画出函数f (x )＝(x －2)2＋1的图象，并回答下列问题： (1)求函数f (x )在x ∈[1，4]上的值域； (2)若x 1＜x 2＜2，试比较f (x 1)与f (x 2)的大小． 解：由描点法作出函数的图象如图所示．(1)由图象知，f (x )在x ＝2时有最小值为f (2)＝1， 又f (1)＝2，f (4)＝5.所以函数f (x )在[1，4]上的值域为[1，5]． (2)根据图象易知，当x 1＜x 2＜2时，f (x 1)＞f (x 2)．。

（本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订）一、选择题(本大题共12小题,每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．在△ABC中，sin2C＝sin2A＋sin2B，则△ABC为( ）A．直角三角形 B．等腰三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形解析：由正弦定理错误!＝错误!＝错误!＝2R,得sin A＝a2R，sinB＝错误!, C＝错误!，又∵sin2C＝sin2A＋sin2B，∴c2＝a2＋b2。

∴△ABC为直角三角形．答案：A2．在三角形ABC中，AB＝5，AC＝3，BC＝7，则∠BAC的大小为( )A.错误!B。

错误!C。

错误!D。

错误!解析：由余弦定理得cos∠BAC＝错误!＝错误!＝－错误!.∵0<∠BAC<π，∴∠BAC＝错误!.故选A.答案：A3．在△ABC中，若a＝7，b＝3，c＝8，则△ABC的面积等于( ）A．12 B.错误!C．28 D．6错误!解析：由余弦定理可得cos A＝错误!＝错误!，∴A＝60°,∴S△ABC＝错误!bc sin A＝6错误!.答案：D4．在△ABC中,下列关系一定成立的是（）A．a<b sin A B．a＝b sin AC．a>b sin A D．a≥b sin A解析: 由正弦定理知错误!＝错误!，∴sin B＝ba sin A.又∵在△ABC中，0〈sin B≤1，∴0〈错误!sin A≤1,∴a≥b sin A。

答案：D5．已知三角形的两边长分别为4，5，它们夹角的余弦是方程2x2＋3x－2＝0的根，则第三边长是( ）A.错误!B。

错误!C。

错误! D.错误!解析：设长为4,5的两边的夹角为θ,由2x2＋3x－2＝0得：x＝错误!或x＝－2(舍)．∴cos θ＝错误!，∴第三边长为错误!＝错误!。

答案: B6．符合下列条件的三角形有且只有一个的是（）A．a＝1，b＝2，c＝3 B．a＝1，b＝2，A＝30°C．a＝1,b＝2,A＝100°D．b＝c＝1,B＝45°解析: A:a＋b＝3＝c，不能构成三角形；B：b sin A〈a〈b，故有两解．C：a<b，故A应为锐角，而已知A＝100°，故不能构成三角形．D：b＝c＝1,故△ABC为等腰三角形,∴C＝B＝45°，∴A＝90°，故只有一解．答案: D7．在△ABC中，已知2sin A cos B＝sin C，那么△ABC一定是（) A．直角三角形B．等腰三角形C．等腰直角三角形 D．正三角形解析：由2sin A cos B＝sin C得2sin A cos B＝sin A cos B＋cos A sin B。

第2章函数2.2 函数的简单性质2.2.1 函数的单调性A级基础巩固1.函数f(x)的图象如图所示，则()A．函数f(x)在[－1，2]上是增函数B．函数f(x)在[－1，2]上是减函数C．函数f(x)在[－1，4]上是减函数D．函数f(x)在[2，4]上是增函数解析：增函数具有“上升”趋势；减函数具有“下降”趋势，故A正确．答案：A2．已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，若a∈R，则() A．f(a)＞f(2a) B．f(a2)＜f(a)C．f(a＋3)＞f(a－2) D．f(6)＞f(a)解析：因为a＋3＞a－2，且f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，所以f(a＋3)＞f(a－2)．答案：C3．y ＝2x 在区间[2，4]上的最大值、最小值分别是( )A ．1，12 B.12，1 C.12，14 D.14，12解析：因为函数y ＝2x 在[2，4]上是单调递减函数，所以y max ＝22＝1，y min ＝24＝12.答案：A4．函数y ＝x 2－6x 的减区间是( ) A ．(－∞.2] B ．[2，＋∞) C ．[3，＋∞)D ．(－∞，3]解析：y ＝x 2－6x ＝(x －3)2－9， 故函数的单调减区间是(－∞，3]． 答案：D5．下列说法中，正确的有( ) ①若任意x 1，x 2∈I ，当x 1＜x 2时，f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2＞0，则y＝f (x )在I 上是增函数；②函数y ＝x 2在R 上是增函数； ③函数y ＝－1x在定义域上是增函数；④函数y ＝1x 的单调区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)．A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个解析：当x 1＜x 2时，x 1－x 2＜0，由f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2＞0知f (x 1)－f (x 2)＜0，所以f (x 1)＜f (x 2)，①正确；②③④均不正确．答案：B6．已知函数f (x )＝4x －3＋x ，则它的最小值是( ) A ．0 B ．1 C.34D ．无最小值解析：因为函数f (x )＝4x －3＋x 的定义域是⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，＋∞，且是增函数，所以f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫34＝34.答案：C7．函数y ＝f (x )的图象如图所示，则函数f (x )的单调递增区间是________________．解析：由图象可知函数f (x )的单调递增区间是(－∞，1]和(1，＋∞)．答案：(－∞，1]和(1，＋∞)8．已知f (x )是R 上的减函数，则满足f (2x －1)＞f (1)的实数x 的取值范围是________．解析：因为f (x )在R 上是减函数，且f (2x －1)＞f (1)，所以2x －1＜1，即x ＜1.答案：(－∞，1)9．已知函数f (x )＝x 2－2x ＋3在闭区间[0，m ]上的最大值为3，最小值为2，则m 的取值范围是________．解析：因为f (x )＝(x －1)2＋2，其对称轴为直线x ＝1， 所以当x ＝1时，f (x )min ＝2，故m ≥1. 又因为f (0)＝3， 所以f (2)＝3.所以m ≤2. 故1≤m ≤2. 答案：[1，2]10．某公司在甲乙两地同时销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L 1＝－x 2＋21x 和L 2＝2x (其中销售量单位：辆)．若该公司在两地共销售15辆，则能获得的最大利润为________万元．解析：设公司在甲地销售x 台，则在乙地销售(15－x )台，公司获利为L ＝－x 2＋21x ＋2(15－x )＝－x 2＋19x ＋30＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1922＋30＋1924， 所以当x ＝9或10时，L 最大为120万元． 答案：12011．讨论函数y ＝x 2－2(2a ＋1)x ＋3在[－2，2]上的单调性． 解：因为函数图象的对称轴x ＝2a ＋1， 所以当2a ＋1≤－2，即a ≤－32时，函数在[－2.2]上为增函数．当－2＜2a ＋1＜2，即－32＜a ＜12时，函数在[－2，2a ＋1]上是减函数，在[2a ＋1，2]上是增函数． 当2a ＋1≥2，即a ≥12时，函数在[－2，2]上是减函数．12．已知f (x )＝x ＋12－x，x ∈[3，5]．(1)利用定义证明函数f (x )在[3，5]上是增函数； (2)求函数f (x )的最大值和最小值．解：(1)f (x )在区间[3，5]上是增函数，证明如下： 设x 1，x 2是区间[3，5]上的两个任意实数，且x 1＜x 2， 则f (x 1)－f (x 2)＝x 1＋12－x 1－x 2＋12－x 2＝3（x 1－x 2）（2－x 1）（2－x 2）.因为3≤x 1＜x 2≤5，所以x 1－x 2＜0，2－x 1＜0，2－x 2＜0. 所以f (x 1)＜f (x 2)．所以f (x )在区间[3，5]上是增函数． (2)因为f (x )在区间[3，5]上是增函数， 所以当x ＝3时，f (x )取得最小值为－4， 当x ＝5时，f (x )取得最大值为－2.B 级 能力提升13．若函数f (x )＝4x 2－kx －8在[5，8]上是单调函数，则k 的取值范围是( )A ．(－∞，40)B ．[40，64]C ．(－∞，40]∪[64，＋∞)D ．[64，＋∞)解析：对称轴为x ＝k 8，则k 8≤5或k8≥8，解得k ≤40或k ≥64.答案：C14．若y ＝ax 与y ＝－bx 在区间(0，＋∞)上都是减函数，则y ＝ax 2＋bx 在区间(0，＋∞)上是( )A ．增函数B ．减函数C ．先增后减D ．先减后增解析：本题通过一次函数、反比例函数的单调性，判断出a ，b 的符号．因为y ＝ax 与y ＝－bx 在区间(0，＋∞)上都是减函数，所以a＜0，b ＜0，所以函数y ＝ax 2＋bx 的对称轴方程为x ＝－b2a ＜0，故函数y ＝ax 2＋bx 在区间(0，＋∞)上是减函数．答案：B15．当0≤x ≤2时，a ＜－x 2＋2x 恒成立，则实数a 的取值范围是________．解析：令f (x )＝－x 2＋2x (0≤x ≤2)＝－(x 2－2x ＋1)＋1＝－(x －1)2＋1，图象如下．所以f (x )最小值为f (0)＝f (2)＝0. 而a ＜－x 2＋2x 恒成立，所以a ＜0.答案：(－∞，0)16．画出函数f (x )＝⎩⎨⎧－2x ，x ∈（－∞，0），x 2＋2x －1，x ∈[0，＋∞）的图象，并写出函数的单调区间及最小值．解：f (x )的图象如图所示，f (x )的单调递增区间是(－∞，0)和[0，＋∞)，函数的最小值为f (0)＝－1.17．已知函数f (x )＝x 2－2x ＋2.(1)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，3上的最大值和最小值； (2)若g (x )＝f (x )－mx 在[2，4]上是单调函数，求m 的取值范围．解：(1)因为f (x )＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，3，对称轴是x ＝1.所以f (x )的最小值是f (1)＝1.又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝54，f (3)＝5，所以f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3上的最大值是5，最小值是1. (2)因为g (x )＝f (x )－mx ＝x 2－(m ＋2)x ＋2， 所以m ＋22≤2或m ＋22≥4，即m ≤2或m ≥6.故m 的取值范围是(－∞，2]∪[6，＋∞)．18．若二次函数满足f (x ＋1)－f (x )＝2x 且f (0)＝1. (1)求f (x )的解析式；(2)若在区间[－1，1] 上不等式f (x )＞2x ＋m 恒成立，求实数m 的取值范围．解：(1)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)， 因为f (0)＝1，所以c ＝1. 所以f (x )＝ax 2＋bx ＋1.因为f (x ＋1)－f (x )＝2x ，所以2ax ＋a ＋b ＝2x .所以⎩⎨⎧2a ＝2，a ＋b ＝0.所以⎩⎨⎧a ＝1，b ＝－1.所以f (x )＝x 2－x ＋1.(2)由题意，得x 2－x ＋1＞2x ＋m 在[－1，1]上恒成立， 即x 2－3x ＋1－m ＞0在[－1，1]上恒成立．令g (x )＝x 2－3x ＋1－m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322－54－m ，其对称轴为x ＝32，所以g (x )在区间[－1，1]上是减函数． 所以g (x )min ＝g (1)＝1－3＋1－m ＞0. 所以m ＜－1.所以实数m 的取值范围是(－∞，－1)．。

(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订!）一、选择题(每小题5分，共20分）1．在△ABC中,a＝7，b＝4错误!,c＝错误!，则△ABC的最小角为（) A.错误!B。

错误!C。

错误!D。

错误!解析：∵a＞b＞c，∴C为最小角,且0＜C＜60°，由余弦定理cos C＝错误!＝错误!＝错误!。

∴C＝错误!。

答案：B2．如果将一直角三角形的三边长都增加1,则新三角形是（）A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．不确定解析: 设直角三角形的三边长分别为a，b，c，且c为斜边，则a2＋b2＝c2，则(a＋1）2＋(b＋1）2－（c＋1）2＝1＋2（a＋b－c）>0.则这个三角形的最大角为锐角，故新三角形为锐角三角形．答案：B3．在不等边三角形中，a 是最大的边，若a 2<b 2＋c 2，则角A 的取值范围是( ）A 。

错误!B 。

错误! C.错误! D.错误!解析： 根据余弦定理：cos A ＝错误!〉0,∴A 为锐角．∵在不等边三角形中,a 是最大边，∴A 是最大角,∴△ABC 为锐角三角形，∴错误!〈A 〈错误!。

答案： B4．在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ,且2c 2＝2a 2＋2b 2＋ab ，则△ABC 是（ ）A ．钝角三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．等边三角形解析： ∵2c 2＝2a 2＋2b 2＋ab ，∴a 2＋b 2－c 2＝－12ab ， ∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab＝－错误!＜0。

则△ABC 是钝角三角形．故选A.答案：A二、填空题（每小题5分，共10分)5．△ABC中a＝错误!,b＝错误!，c＝错误!，则△ABC的形状是______．解析：∵c〉b〉a，∴C为最大角．∴cos C＝a2＋b2－c22ab＝错误!＝－错误!〈0.∵C为三角形内角,∴C为钝角．∴△ABC为钝角三角形．答案：钝角三角形6．在△ABC中，已知A＝30°，且3a＝错误!b＝12，则c的值为________．解析: 由3a＝错误!b＝12,得a＝4，b＝4错误!，利用余弦定理可得a2＝b2＋c2－2bc cos A，即16＝48＋c2－12c，解得c＝4或c＝8.答案: 4或8三、解答题（每小题10分，共20分）7．在△ABC中,设角A，B，C的对边分别为a,b,c，且cos A＝错误!.若a＝4,b＋c＝6，且b〈c,求b、c的值．解析：由余弦定理a2＝b2＋c2－2bc cos A,即a2＝（b＋c）2－2bc－2bc cos A，∴16＝36－52bc，∴bc＝8.由错误!可求得错误!。

（本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！）一、选择题（每小题5分,共20分)1．以下关于正弦定理的叙述或变形错误的是( )A．在△ABC中，a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin CB．在△ABC中，若sin 2A＝sin 2B,则a＝bC．在△ABC中，若sin A>sin B，则A〉B；若A>B，则sin A>sin B都成立D．在△ABC中，错误!＝错误!解析：由正弦定理知A、C、D正确,而sin 2A＝sin 2B，可得A＝B或2A＋2B＝π，∴a＝b或a2＋b2＝c2，故B错误．答案: B2．在△ABC中，A∶B∶C＝4∶1∶1，则a∶b∶c为（) A．3∶1∶1B．2∶1∶1C。

错误!∶1∶1D。

错误!∶1∶1解析: 由已知得A＝120°，B＝C＝30°，根据正弦定理的变形形式，得a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C＝3∶1∶1。

答案：D3．在△ABC中,a＝2b cos C,则这个三角形一定是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰或直角三角形解析：由正弦定理:sin A＝2sin B cos C,∴sin(B＋C)＝2sin B cos C∴sin B cos C＋cos B sin C＝2sin B cos C，∴sin(B－C）＝0，∴B＝C。

答案：A4．不解三角形，确定下列判断中正确的是( ）A．a＝4,b＝5，A＝30°，有一解B．a＝5，b＝4，A＝60°,有两解C．a＝错误!,b＝错误!，B＝120°,有一解D．a＝3，b＝错误!，A＝60°，无解解析: 对于A，b sin A＜a＜b，故有两解;对于B，b＜a，故有一解；对于C，B＝120°且a＞b,故无解；对于D，a＜b sin A，故无解．答案：D二、填空题(每小题5分,共10分)5．在△ABC中,已知a＝32,cos C＝错误!,S△ABC＝4错误!，则b＝________。