自然控制系统时域分析与总结

0.707, n0.707
((ss)) s310s2510s5
5
(s8.954)(s21.055s0.563)
8.9540.752
(s8.954)(s220.7030.75s0.752)
主导极点对应的参数为
0.70 , 3 n0.75
p3 8.94511.95 n 0.75
用二阶系统
((ss)) s220.7003.7 502.75s0.752
jω
n 0
-p3 n
σ
图3-36 系统的闭环极点
令 为实数极点与复数极点到虚轴的距离之比，即 p3 n
令α为实数极点与复数极点的模值（极点到原点的距 离）之比，即
p3 5 n
非主导极点影响可忽略的判断准则
n当实数极点与主导闭环极点到原点距离之比大 于5时，非主导闭环极点对时间响应的影响可以 忽略 n与主导闭环极点的到原点的距离大小无关
忽略 T a 后，系统的闭环传递函数为
(s) G (s) 0.5
1 G (s) s(s 1) 0.5 s220.707 0. 70 0.7 7207s0.7072
0.70, 7 n0.707
若不忽略 T a ，系统的开环传递函数为
G (s)
0 .5 s(0 .1s 2
s 1)
系统的闭环传递函数为
图3-35 非主导极点的影响
注释：非主导极点将使最大超调量减少，调节时间增加。 由图还可以看出，当非主导极点远离虚轴时，它的影响 逐渐减少。
非主导极点
设系统具有一对靠近虚轴的复数共轭极点和一个远 离虚轴的实极点。闭环系统的传递函数为
(s)(s22nsn2 p3n2)(sp3)
p3 n
p3 n
n各函数项的系数取决于系统零、极点的分布
n若某极点远离原点，则相应项的系数很小；
n若某极点接近一零点，且远离其它极点和零点，则相应项 的系数也很小；
n若某极点远离零点又接近原点或其它极点，则相应项系数 就比较大。
n系数大而且衰减慢的那些项在瞬态响应中将起主要作用
2.主导极点
高阶系统中，对时间响应起主导作用的闭 环极点称为主导极点，它必须满足：
系统的开环传递函数为
G(s)(TaTms2K T0ms1)s
一般来说，Tm>>Ta。 下面将讨论：在K0取不同数值时，忽略电枢回路 的电感会产生什么效果。
忽略电磁时间常数Ta后，系统的开环传递函数为
G(s) K0 s(T0s 1)
式中， K 0K 0 1 K 0 2K 0 3; T 0 T m
（1）设K0＝0.5s－1
自然控制系统的时 域分析和总结
1.高阶系统的瞬态响应
R(s)
C(s)
G(s)
+-
H(s)
闭环系统特征方程为
为了保证系统的稳定性要求系统的闭环极点全 部位于左半s平面，如图所示。图中，si，sij为
特征方程 (s) 0的根。
系统的单位阶跃响应 时间响应
稳态项 指数衰减项 指数衰减正弦项
c(t) 1(t)
系统的闭环传递函数为
0.2,5n2
((ss))s310s24010s40
40
(s9.39)(s20.61s4.27)
(s9.39)(s2 9 2 .3 9 0 .1 2 4 .0 77 22.07s2.072)
系统的一对主导极点为： 0.147,n2.07。非主
导极点与主导极点到原点的距离之比
Ø在s平面上，距离虚轴比较近，且附近没有其 它的零点与极点；
Ø其到虚轴的距离与其它极点到虚轴的距离相差 五倍以上；
闭环主导极点的几何说明如图所示。
研究主导极点的意义
n系统的性能主要由主导极点决定 n主导极点为一个或一对 n可将系统近似为一阶或二阶系统
稳定高阶系统零、极点分布模式（存在主导极点）
若不忽略Ta，系统的开环传递函数为
G(s)s(0.1s121s1)
闭环传递函数为
((ss)) s310s21 1010s110
根据劳斯稳定判据，a1a2－a0a3＝10×10－110<0，系 统是不稳定的。
百度文库
开环极点的影响
对控制系统进行初步的分析、设计时，常常直接从系 统的开环传递函数入手。
忽略了系统具有小时间常数的环节后，便可以用二阶 或三阶系统来近似，这就是所谓的降阶处理。图3-41 是一个自整角机直流随动系统的结构图。
R(s)
K01
K02 TaTms2 Tms 1
K 03
C(s)
s
图3-41 自整角机直流随动系统的结构图
((ss)) (s22nsn2 p3n2)(sp3)
系统的单位阶跃响应为
C (s)(s22n sn 2 p3n2)(sp3)1 s
c(t)1
ent
2(2)cos(
2(2)1
12nt
[2(2)1]sin(
12
e p3 t
12nt) 2 ( 2) 1
t0
式中，
p3 n
距离的比值。
表示其他极点与主导极点到虚轴
p 3/n 9 .3 9 /2 .0 7 4 .5
两种情况下动态性能有较大的差别。忽略电 磁时间常数Ta是不合理的。
（3）设K0＝11s－1 忽略Ta后，系统的闭环传递函数为
((ss)) G(s) 11
1G(s) s(s1)11
s220.15 3. 33 2.232s3.322
根据劳斯稳定判据，降阶系统是稳定的。
n左半复平面上离虚轴最近的极点是一对共轭复 极点（或实极点），它们的附近没有零点 n系统的其它极点
n恰有邻近的零点与之相消 n在主导极点左方很远，且离所有零点也很远
非主导极点对动态性能的影响
三阶系统－－有三个极点情况 系统有一对靠近虚轴的共轭复数主导极点，还有一 个实数极点的情况。系统的闭环传递函数为
近似原来的三阶系统不会引起明显的误差。忽
略 T a 不会使动态性能有明显的改变。
（2）设K0＝4s－1
忽略 T a 后，系统的闭环传递函数为
((ss)) G(s) 4
1G(s) s(s1)4
s2
22 20.252s22
0.2,5n2
若不忽略 T a ，系统的开环传递函数为
G(s)s(0.1s24s1)
t 0
一般来说，高阶系统的瞬态响应和闭环系统零、极 点有下面的关系：
n一个稳定的高阶系统，其瞬态响应曲线是由指数 曲线（相应于实数极点）和阻尼正弦曲线（相应于 共轭复数极点）合成的
n瞬态响应的类型取决于闭环极点
n瞬态响应的形状却主要取决于系统的零点
n 输出的各分量是按指数规律衰减的，衰减的快慢取决于 极点到虚轴的距离，它只对瞬态响应的初始阶段有影响