中数学必修二(人教A版)课时作业：10空间中直线与平面之间的位置关系 平面与平面之间的位置关系(含解析)

2.1.3 空间中直线与平面之间的位置关系 2.1.4 平面与平面之间的位置关系A级基础巩固一、选择题1．正方体的六个面中相互平行的平面有( B )A．2对B．3对C．4对D．5对[解析] 正方体的六个面中有3对相互平行的平面．2．三棱台ABC－A′B′C′的一条侧棱AA′所在直线与平面BCC′B′之间的关系是( A )A．相交B．平行C．直线在平面内D．平行或直线在平面内[解析] 由棱台的定义知，棱台的所有侧棱所在的直线都交于同一点，而任一侧面所在的平面由两条侧棱所在直线所确定，故这条侧棱与不含这条侧棱的任意一个侧面所在的平面都相交．3．若直线a∥平面α，直线b∥平面α，则a与b的位置关系是( D )A．平行B．相交C．异面D．以上都有可能[解析] 如图所示，长方体ABCD－A1B1C1D1中，A1B1∥平面AC，A1D1∥平面AC，有A1B1∩A1D1＝A1；又D1C1∥平面AC，有A1B1∥D1C1；取BB1和CC1的中点M、N，则MN∥B1C1，则MN∥平面AC，有A1B1与MN异面，故选D.4．如果直线a∥平面α，那么直线a与平面α内的( D )A．唯一一条直线不相交B．仅两条相交直线不相交C．仅与一组平行直线不相交D．任意一条直线都不相交[解析] 根据直线和平面平行定义，易知排除A、B.对于C，仅有一组平行线不相交，不正确，应排除C.与平面α内任意一条直线都不相交，才能保证直线a与平面α平行，∴D正确．5．平面α∥平面β，直线a∥α，则( D )A．a∥βB．a在面β上C．a与β相交D．a∥β或a⊂β[解析] 如图(1)满足a∥α，α∥β，此时a∥β；如图(2)满足a∥α，α∥β，此时a⊂β，故选D.6．设P是异面直线a，b外一点，则过P与a，b都平行的直线有________条( C ) A．1 B．2C．0 D．0或1[解析] 反证法．若存在直线c∥a，且c∥b，则a∥b与a，b异面矛盾．故选C.二、填空题7．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中判断下列位置关系：(1)AD1所在的直线与平面BCC1的位置关系是_平行_；(2)平面A1BC1与平面ABCD的位置关系是_相交_.8．两个不重合的平面可以把空间分成_三或四_部分．[解析] 两平面平行时，把空间分成三部分．两平面相交时，把空间分成四部分．三、解答题9．如图所示，直线A′B与长方体ABCD－A′B′C′D′的六个面所在的平面有什么位置关系？平面A′ABB′与长方体ABCD－A′B′C′D′的其余五个面的位置关系如何？[解析] ∵直线A′B与平面ABB′A′有无数个公共点，∴直线A′B在平面ABB′A′内．∵直线A′B与平面ABCD，平面BCC′B′都有且只有一个公共点B，∴直线A′B与平面ABCD，平面BCC′B′相交．∵直线A′B与平面ADD′A′，平面A′B′C′D′都有且只有一个公共点A′，∴直线A′B与平面ADD′A′，平面A′B′C′D′相交．∵直线A′B与平面DCC′D′没有公共点，∴直线A′B与平面DCC′D′平行．平面A′B∥平面CD′，平面A′ABB′与平面AD′、平面BC′、平面AC平面A′C′都相交．10．如图所示，已知平面α∩β＝l，点A∈α，点B∈α，点C∈β，且A∉l，B∉l，直线AB与l不平行，那么平面ABC与平面β的交线与l有什么关系？证明你的结论．[解析] 平面ABC与平面β的交线与l相交．证明：∵AB与l不平行，且AB⊂α，l⊂α，∴AB与l一定相交．设AB∩l＝P，则P∈AB，P∈l.又∵AB⊂平面ABC，l⊂β，∴P∈平面ABC，P∈β.∴点P是平面ABC与平面β的一个公共点，而点C也是平面ABC与平面β的一个公共点，且P，C是不同的两点，∴直线PC就是平面ABC与平面β的交线．即平面ABC∩平面β＝PC，而PC∩l＝P，∴平面ABC与平面β的交线与l相交．B级素养提升一、选择题1．直线a在平面γ外，则( D )A．a∥γB．a与γ至少有一个公共点C．a∩γ＝A D．a与γ至多有一个公共点[解析] 直线α在平面γ外，包括两种情况，一种是平行，另一种相交，故选D.2．若平面α∥平面β，则( A )A．平面α内任一条直线与平面β平行B．平面α内任一条直线与平面β内任一条直线平行C．平面α内存在一条直线与平面β不平行D．平面α内一条直线与平面β内一条直线有可能相交3．若三个平面两两相交，且三条交线互相平行，则这三个平面把空间分成( C ) A．5部分B．6部分C．7部分D．8部分[解析] 垂直于交线的截面如图，把空间分成7部分，故选C.4．已知异面直线a，b分别在平面α，β内，且α∩β＝c，那么直线c一定( C ) A．与a，b都相交B．只能与a，b中的一条相交C．至少与a，b中的一条相交D．与a，b都平行[解析] 若c与a，b都不相交，则c与a，b都平行，从而a∥b，与a，b异面矛盾，故c至少与a，b中的一条相交．二、填空题5．下列结论正确的有_①⑤__.①若直线与平面有两个公共点，则直线在平面内；②若直线l上有无数个点不在平面α内，则l∥α；③若直线l与平面α相交，则l与平面α内的任意直线都是异面直线；④如果两条异面直线中的一条与一个平面平行，则另一条直线一定与该平面相交；⑤若直线l与平面α平行，则l与平面α内的直线平行或异面；⑥若平面α∥平面β，直线a⊂α，直线b⊂β，则直线a∥b.[解析] ①显然是正确的；②中，直线l还可能与α相交，所以②是错误的；③中，直线l和平面α内过l与α交点的直线都相交而不是异面，所以③是错误的；④中，异面直线中的另一条直线和该平面的关系不能具体确定，它们可以相交，可以平行，还可以在该平面内，所以④是错误的；⑤中，直线l与平面α没有公共点，所以直线l与平面α内的直线没有公共点，即它们平行或异面，所以⑤是正确的；⑥中，分别在两个平行平面内的直线可以平行，也可以异面，所以⑥是错误的．6．将一个长方体的四个侧面和两个底面延展成平面后，可将空间分成_27_部分．7．已知直线a，b分别在两个不同的平面α，β内．则下列说法正确的是_①__(填序号)．①若直线a和直线b相交，则平面α和平面β相交；②若平面α和平面β相交，则直线a和直线b相交．[解析] 若直线a，b相交，设交点为P，则P∈a，P∈b.又a⊂α，b⊂β，所以P∈α，P∈β，故α，β相交．反之，若α，β相交，则a，b可能相交，也可能异面或平行．三、解答题8．已知三个平面α、β、γ，如果α∥β，γ∩α＝a，γ∩β＝b，且直线c⊂β，c∥b.(1)判断c与α的位置关系，并说明理由；(2)判断c与a的位置关系，并说明理由．[解析] (1)c∥α，因为α∥β，所以α与β没有公共点．又c⊂β，所以c与α无公共点，所以c∥α.(2)c∥a，因为α∥β，所以α与β没有公共点．又γ∩α＝a，γ∩β＝b，则a⊂α，b⊂β，且a、b⊂γ，所以a、b没有公共点．由于a，b都在平面γ内，因此a∥b.又c∥b，所以c∥a.9．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是AA1的中点，画出过D1、C、E的平面与平面ABB1A1的交线，并说明理由．[解析] 如图，取AB的中点F，连接EF、A1B、CF.∵E是AA1的中点，∴EF∥A1B.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，A1D1∥BC，A1D1＝BC，∴四边形A1BCD1是平行四边形．∴A1B∥CD1，∴EF∥CD1.∴E、F、C、D1四点共面．∵E∈平面ABB1A1，E∈平面D1CE，F∈平面ABB1A1，F∈平面D1CE，∴平面ABB1A1∩平面D1CE＝EF.∴过D1、C、E的平面与平面ABB1A1的交线为EF.。

高中数学课时分层作业：课时作业9 空间中直线与直线之间的位置关系——基础巩固类——1．分别和两条异面直线平行的两条直线的位置关系是(C)A．一定平行B．一定异面C．相交或异面D．一定相交解析：在空间中分别和两条异面直线平行的两条直线的位置关系是异面或相交．故选C．2．两等角的一组对应边平行，则(D)A．另一组对应边平行B．另一组对应边不平行C．另一组对应边不可能垂直D．以上都不对解析：另一组对应边可能平行，也可能不平行，也可能垂直．注意和等角定理(若两个角的对应边平行，则这两个角相等或互补)的区别．3．长方体的一条对角线与长方体的棱所组成的异面直线有(C)A．2对B．3对C．6对D．12对解析：如图所示，在长方体中没有与体对角线平行的棱，要求与长方体体对角线AC1异面的棱所在的直线，只要去掉与AC1相交的六条棱，其余的都与体对角线异面，∴与AC1异面的棱有BB1，A1D1，A1B1，BC，CD，DD1，∴长方体的一条对角线与长方体的棱所组成的异面直线有6对．故选C．4．若直线a，b与直线l所成的角相等，则a，b的位置关系是(D)A．异面B．平行C．相交D．相交、平行、异面均可能解析：若a∥b，显然直线a，b与直线l所成的角相等；若a，b相交，则a，b确定平面α，若直线l⊥α，则l⊥a，l⊥b，此时直线a，b与直线l所成的角相等；当直线a，b异面时，同样存在直线l与a，b都垂直，此时直线a，b与直线l所成的角相等．故选D．5．如下图所示，若G，H，M，N分别是三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形有(D)A ．①②B ．②③C ．①④D ．②④解析：①中GH ∥MN ；③中GM ∥HN 且GM ≠HN ，故GH ，MN 必相交，所以①③中GH ，MN 共面，故选D ．6．在四面体ABCD 中，AD ＝BC ，且AD ⊥BC ，E ，F 分别为AB ，CD 的中点，则EF 与BC 所成的角为( B )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90° 解析：如图，取BD 的中点G ，连接EG ，GF ，则∠EFG 即为异面直线EF 与BC 所成的角．因为EG ＝12AD ，GF ＝12BC ，且AD ＝BC ，所以EG ＝GF .因为AD ⊥BC ，EG ∥AD ，GF ∥BC ，所以EG ⊥GF ，所以△EGF 为等腰直角三角形，所以∠EFG ＝45°.7．已知空间两个角α，β，且α与β的两边对应平行，α＝60°，则β为60°或120°. 解析：根据“等角定理”可知，α与β相等或互补，故β为60°或120°. 8．如图所示，已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是AD ，AA 1的中点．(1)直线AB 1和CC 1所成的角为45°； (2)直线AB 1和EF 所成的角为60°.解析：如图．(1)因为BB1∥CC1，所以∠AB1B即为异面直线AB1与CC1所成的角，∠AB1B＝45°.(2)连接B1C，易得EF∥B1C，所以∠AB1C即为异面直线AB1和EF所成的角．连接AC，则△AB1C为正三角形，所以∠AB1C＝60°.9．一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有如下结论：①AB⊥EF；②AB与CM所成的角为60°；③EF与MN是异面直线；④MN∥CD．其中正确结论的序号是①③.解析：把正方体的平面展开图还原成原来的正方体可知，AB⊥EF，EF与MN为异面直线，AB∥CM，MN⊥CD，所以只有①③正确．10．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G分别是棱CC1，BB1，DD1的中点．求证：(1)GB∥D1F；(2)∠BGC＝∠FD1E.证明：(1)因为E，F，G分别是正方体的棱CC1，BB1，DD1的中点，所以CE綊GD1，BF綊GD1，所以四边形CED1G与四边形BFD1G均为平行四边形．所以GC∥D1E，GB∥D1F.(2)因为∠BGC 与∠FD 1E 两边的方向都相同，所以∠BGC ＝∠FD 1E .11.如图，在三棱锥A -BCD 中，O ，E 分别是BD ，BC 的中点，AO ⊥OC ，CA ＝CB ＝CD ＝BD ＝2，AB ＝AD ＝2，求异面直线AB 与CD 所成角的余弦值．解：如图，取AC 的中点M ，连接OM ，ME ，OE ，由E 为BC 的中点知ME ∥AB ，OE ∥DC ，所以直线OE 与EM 所成的锐角就是异面直线AB 与CD 所成的角．EM ＝12AB ＝22，OE ＝12DC ＝1，因为OM 是Rt △AOC 斜边AC 上的中线， 所以OM ＝12AC ＝1，取EM 的中点H ，连接OH ，则OH ⊥EM ，在Rt △OEH 中，所以cos ∠OEM ＝EH OE ＝12×221＝24.——能力提升类——12．已知在空间四边形ABCD 中，M ，N 分别是AB ，CD 的中点，且AC ＝4，BD ＝6，则( A )A ．1<MN <5B ．2<MN <10C ．1≤MN ≤5D ．2<MN <5解析：取AD 的中点H ，连接MH ，NH ，则MH 綊12BD ，NH 綊12AC ，且M ，N ，H 三点构成三角形．由三角形中三边关系可得|MH －NH |<MN <|MH ＋NH |，即1<MN <5.13．在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1上有一只蚂蚁从A 点出发沿正方体的棱前进，若它走进的第(n ＋2)条棱与第n 条棱是异面的，则这只蚂蚁走过第 2 018条棱之后的位置可能在( D )A ．点A 1处B ．点A 处C ．点D 处 D ．点B 1处解析：由图形(如图)结合正方体的性质知，与直线AB异面的直线有A1D1，B1C1，CC1，DD1，共4条．蚂蚁从A点出发，走进的第(n＋2)条棱与第n条棱是异面的，如AB→BC→CC1→C1D1→D1A1→A1A，按照此走法，每次要走6条棱才回到起点．∵2 018＝6×336＋2，∴这只蚂蚁走过第2 018条棱之后的位置与走过第2条棱之后的位置相同．而前2条棱的走法有以下几种情况：AB→BB1，AB→BC，AD→DC，AD→DD1，AA1→A1B1，AA1→A1D1.故走过第2条棱之后的位置可能有以下几种情况：B1，C，D1.故选D．14．在长方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别是棱BB1，B1C1的中点，若∠CMN＝90°，则异面直线AD1与DM所成的角为90°.解析：如图所示，连接BC1，则BC1∥AD1，则异面直线AD1与DM所成的角为直线BC1与DM 所成的角．∵M，N分别是棱BB1，B1C1的中点，∴BC1∥MN.∵∠CMN＝90°，∴BC1⊥MC，又MC是斜线DM在平面BCC1B1上的射影，∴DM⊥BC1，∴直线BC1与DM所成的角为90°，则异面直线AD1与DM所成的角为90°.15．在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，侧面都是矩形，底面四边形ABCD是菱形，且AB ＝BC＝23，∠ABC＝120°，若异面直线A1B和AD1所成的角为90°，求AA1的长．解：如图，连接CD1，AC．由题意得在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，A1D1∥BC，A1D1＝BC＝23，∴四边形A1BCD1是平行四边形，∴A1B∥CD1，∴∠AD1C为A1B和AD1所成的角．∵异面直线A1B和AD1所成的角为90°，∴∠AD1C＝90°.∵在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，侧面都是矩形，且底面是菱形，∴△ACD1是等腰直角三角形，∴AD1＝22AC．∵底面四边形ABCD是菱形且AB＝BC＝23，∠ABC＝120°，∴AC＝23×sin60°×2＝6，∴AD1＝22AC＝32，∴AA1＝AD21－A1D21＝ 6.。

2.1.3 空间中直线与平面之间的位置关系2.1.4 平面与平面之间的位置关系【选题明细表】1.(2018·四川泸州模拟)设a,b是空间中不同的直线,α,β是不同的平面,则下列说法正确的是( D )(A)a∥b,b⊂α,则a∥α(B)a⊂α,b⊂β,α∥β,则a∥b(C)a⊂α,b⊂α,a∥β,b∥β,则α∥β(D)α∥β,a⊂α,则a∥β解析:A,B,C错;在D中,α∥β,a⊂α,则a与β无公共点,所以a∥β,故D正确.故选D.2.(2018·广东珠海高一月考)如图,在正方体ABCD A1B1C1D1中,E,F分别为棱AB,CC1的中点,在平面ADD1A1内且与平面D1EF平行的直线( D )(A)不存在(B)有1条(C)有2条(D)有无数条解析:由题设知平面ADD1A1与平面D1EF有公共点D1,由平面的基本性质中的公理知必有过该点的公共直线l,在平面ADD1A1内与l平行的直线有无数条,且它们都不在平面D1EF内,则它们都与平面D1EF平行,故选D.3.已知a,b是异面直线,直线c平行于直线a,那么c与b( C )(A)一定是异面直线 (B)一定是相交直线(C)不可能是平行直线(D)不可能是相交直线解析:由已知得,直线c与b可能为异面直线也可能为相交直线,但不可能为平行直线,若b∥c,则a∥b,与已知a,b为异面直线相矛盾.故选C.4.给出下列几个说法:①过一点有且只有一条直线与已知直线平行;②过一点有且只有一条直线与已知直线垂直;③过平面外一点有且只有一条直线与该平面平行;④过平面外一点有且只有一个平面与该平面平行.其中正确说法的个数为( B )(A)0 (B)1 (C)2 (D)3解析:(1)当点在已知直线上时,不存在过该点的直线与已知直线平行,故①错;(2)由于垂直包括相交垂直和异面垂直,因而过一点与已知直线垂直的直线有无数条,故②错;(3)过棱柱的上底面内的一点在上底面内任意作一条直线都与棱柱的下底面平行,所以过平面外一点与已知平面平行的直线有无数条,故③错;(4)过平面外一点与已知平面平行的平面有且只有一个,故④对.5.梯形ABCD中,AB∥CD,AB⊂平面α,CD⊄平面α,则直线CD与平面α内的直线的位置关系只能是( B )(A)平行 (B)平行或异面(C)平行或相交(D)异面或相交解析:如图所示,CD与平面α不能有交点,若有,则一定在直线AB上,从而矛盾.故选B.6.(2018·湖北武昌调研)已知直线l和平面α,无论直线l与平面α具有怎样的位置关系,在平面α内总存在一条直线与直线l( C ) (A)相交(B)平行(C)垂直(D)异面解析:当直线l与平面α平行时,在平面α内至少有一条直线与直线l 垂直;当直线l⊂平面α时,在平面α内至少有一条直线与直线l垂直;当直线l与平面α相交时,在平面α内至少有一条直线与直线l垂直,所以无论直线l与平面α具有怎样的位置关系,在平面α内总存在一条直线与直线l垂直.故选C.7.如图的直观图,用符号语言表述为(1) , (2) .答案:(1)a∩b=P,a∥平面M,b∩平面M=A(2)平面M∩平面N=l,a∩平面N=A,a∥平面M8.(2018·云南玉溪模拟)设m,n是两条不同的直线,α,β,γ是三个不同的平面,给出下列四个命题:①若α∥β,α∥γ,则β∥γ;②若α⊥β,m∥α,则m⊥β;③若m⊥α,m∥β,则α⊥β;④若m⊥α,m⊥n,则n∥α其中正确命题的序号是( A )(A)①③(B)①④(C)②③(D)②④解析:对于①,若α∥β,α∥γ,易得到β∥γ;故①正确;对于②,若α⊥β,m∥α,m与β的关系不确定;故②错误;对于③,若m⊥α,m∥β,可以在β内找到一条直线n与m平行,所以n ⊥α,故α⊥β;故③正确;对于④,若m⊥α,m⊥n,则n与α可能平行或者n在α内;故④错误.故选A.9.(2018·南昌调研)若α,β是两个相交平面,则在下列命题中,真命题的序号为.(写出所有真命题的序号)①若直线m⊥α,则在平面β内,一定不存在与直线m平行的直线;②若直线m⊥α,则在平面β内,一定存在无数条直线与直线m垂直;③若直线m⊂α,则在平面β内,不一定存在与直线m垂直的直线;④若直线m⊂α,则在平面β内,一定存在与直线m垂直的直线.解析:对于①,若直线m⊥α,如果α,β互相垂直,则在平面β内,存在与直线m平行的直线,故①错误;对于②,若直线m⊥α,则直线m垂直于平面α内的所有直线,则在平面β内,一定存在无数条直线与直线m 垂直,故②正确;对于③④,若直线m⊂α,则在平面β内,一定存在与直线m垂直的直线,故③错误,④正确.答案:②④10.(2018·贵州贵阳期末)已知下列说法:①若两个平面α∥β,a⊂α,b⊂β,则a∥b;②若两个平面α∥β,a⊂α,b⊂β,则a与b是异面直线;③若两个平面α∥β,a⊂α,b⊂β,则a与b一定不相交;④若两个平面α∥β,a⊂α,b⊂β,则a与b平行或异面;⑤若两个平面α∩β=b,a⊂α,则a与β一定相交.其中正确的序号是.(将你认为正确的序号都填上)解析:①错.a与b也可能异面.②错.a与b也可能平行.③对.因为α∥β,所以α与β无公共点.又因为a⊂α,b⊂β,所以a与b无公共点.④对.由③知a与b无公共点,那么a∥b或a与b异面.⑤错.a与β也可能平行.答案:③④11.如图,平面α,β,γ满足α∥β,α∩γ=a,β∩γ=b,判断a与b,a与β的关系并证明你的结论.解:a∥b,a∥β,理由:由α∩γ=a知a⊂α且a⊂γ,由β∩γ=b知b⊂β且b⊂γ,因为α∥β,a⊂α,b⊂β,所以a,b无公共点.又因为a⊂γ,且b⊂γ,所以a∥b.因为α∥β,所以α与β无公共点,又a⊂α,所以a与β无公共点,所以a∥β.12.如图所示,已知平面α∩β=l,点A∈α,点B∈α,点C∈β,且A∉l,B∉l,C∉l,直线AB与l不平行,那么平面ABC与平面β的交线与l有什么关系?证明你的结论.解:平面ABC与β的交线与l相交.证明:因为AB与l不平行,且AB⊂α,l⊂α,所以AB与l一定相交,设AB∩l=P,则P∈AB,P∈l.又因为AB⊂平面ABC,l⊂β,所以P∈平面ABC,P∈β.所以点P是平面ABC与β的一个公共点,而点C也是平面ABC与β的一个公共点,且P,C是不同的两点,所以直线PC就是平面ABC与β的交线.即平面ABC∩β=PC,而PC∩l=P,所以平面ABC与β的交线与l相交.。

2.1.3 空间中直线与平面之间的位置关系2.1.4 平面与平面之间的位置关系【课时目标】1．会对直线和平面的位置关系进行分类．2．会对平面和平面之间的位置关系进行分类．3．会用符号或图形把直线和平面、平面和平面的位置关系正确地表示出来．1．一条直线a和一个平面α有且仅有________________________三种位置关系．(用符号语言表示) 2．两平面α与β有且仅有________和________两种位置关系(用符号语言表示)．一、选择题1．已知直线a∥平面α，直线b⊂α，则a与b的位置关系是()A．相交B．平行C．异面D．平行或异面2．若有两条直线a，b，平面α满足a∥b，a∥α，则b与α的位置关系是()A．相交B．b∥αC．b⊂αD．b∥α或b⊂α3．若直线M不平行于平面α，且M⊄α，则下列结论成立的是()A．α内的所有直线与M异面B．α内不存在与M平行的直线C．α内存在唯一的直线与M平行D．α内的直线与M都相交4．三个互不重合的平面把空间分成6部分时，它们的交线有()A．1条B．2条C．3条D．1条或2条5．平面α∥β，且a⊂α，下列四个结论：①a和β内的所有直线平行；②a和β内的无数条直线平行；③a和β内的任何直线都不平行；④a和β无公共点．其中正确的个数为()A．0 B．1 C．2 D．36．教室内有一根直尺，无论怎样放置，在地面上总有这样的直线与直尺所在的直线()A．异面B．相交C．平行D．垂直二、填空题7．正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别为AA1和BB1的中点，则该正方体的六个表面中与EF平行的有______个．8．若a、b是两条异面直线，且a∥平面α，则b与α的位置关系是__________________．9．三个不重合的平面，能把空间分成n部分，则n的所有可能值为______________．三、解答题10．指出图中的图形画法是否正确，如不正确，请改正．(1)如图，直线a在平面α内．(2)如图，直线a和平面α相交．(3)如图，直线a和平面α平行．11．如图，平面α、β、γ满足α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b，判断a与b、a与β的关系并证明你的结论．能力提升12．若不在同一条直线上的三点A、B、C到平面α的距离相等，且A、B、CD/∈α，则面ABC与面α的位置关系为__________．13．正方体ABCD—A1B1C1D1中，点Q是棱DD1上的动点，判断过A、Q、B1三点的截面图形的形状．1．解决本节问题首先要搞清直线与平面各种位置关系的特征，利用其定义作出判断，要有画图意识，并借助于空间想象能力进行细致的分析．在选择题中常用排除法解题．2．正方体是一个特殊的图形，当点、线、面关系比较复杂时，可以寻找正方体作为载体，将它们置于其中，立体几何的直线与平面的位置关系都可以在这个模型中得到反映．因而人们给它以“百宝箱”之称．2．1．3空间中直线与平面之间的位置关系2．1．4平面与平面之间的位置关系答案知识梳理1．a⊂α，a∩α＝A或a∥α2．α∥βα∩β＝l作业设计1．D2．D3．B4．D5．C6．D[若尺子与地面相交，则C不正确；若尺子平行于地面，则B不正确；若尺子放在地面上，则A 不正确．所以选D．]7．38．b⊂α，b∥α或b与α相交9．4,6,7,810．解(1)(2)(3)的图形画法都不正确．正确画法如下图：(1)直线a在平面α内：(2)直线a与平面α相交：(3)直线a与平面α平行：11．解由α∩γ＝a知a⊂α且a⊂γ，由β∩γ＝b知b⊂β且b⊂γ，∵α∥β，a⊂α，b⊂β，∴a、b无公共点．又∵a⊂γ且b⊂γ，∴a∥b．∵α∥β，∴α与β无公共点，又a⊂α，∴a与β无公共点，∴a∥β．12．平行或相交13．解图(1)由点Q在线段DD1上移动，当点Q与点D1重合时，截面图形为等边三角形AB1D1，如图(1)所示；当点Q与点D重合时，截面图形为矩形AB1C1D，如图(2)所示；图(2)当点Q不与点D，D1重合时，截面图形为等腰梯形AQRB1，如图(3)所示．图(3)。

2.1.3 空间中直线与平面之间的位置关系2.1.4 平面与平面之间的位置关系选题明细表知识点、方法题号线面关系的判断3,5,6,9面面关系的判断1,5线面关系的应用2,8面面关系的应用4,7,10,11,12基础巩固1.正方体的六个面中互相平行的平面有( B )(A)2对(B)3对(C)4对(D)5对解析:作出正方体观察可知,3对互相平行的平面.故选B.2.如果直线a∥平面α,那么直线a与平面α内的( D )(A)一条直线不相交(B)两条直线不相交(C)无数条直线不相交(D)任意一条直线不相交解析:直线a∥平面α,则a与α无公共点,与α内的直线当然均无公共点.故选D.3.如果平面α外有两点A,B,它们到平面α的距离都是a,则直线AB和平面α的位置关系一定是( C )(A)平行(B)相交(C)平行或相交(D)AB⊂α解析:结合图形可知选项C正确.4.平面α∥平面β,直线a⊂α,下列四个命题中,正确命题的个数是( B )①a与β内的所有直线平行;②a与β内的无数条直线平行;③a与β内的任何一条直线都不垂直;④a与β无公共点.(A)1 (B)2 (C)3 (D)4解析:借助于长方体模型,可以举出反例说明①③是错误的;利用面面平行的定义进行判断,则有②④是正确的.故选B.5.给出下列几个说法:①过一点有且只有一条直线与已知直线平行;②过一点有且只有一条直线与已知直线垂直;③过平面外一点有且只有一条直线与该平面平行;④过平面外一点有且只有一个平面与该平面平行.其中正确说法的个数为( B )(A)0 (B)1 (C)2 (D)3解析:①当点在已知直线上时,不存在过该点的直线与已知直线平行,故①错;②由于垂直包括相交垂直和异面垂直,因而过一点与已知直线垂直的直线有无数条,故②错;③过棱柱的上底面内的一点任意作一条直线都与棱柱的下底面平行,所以过平面外一点与已知平面平行的直线有无数条,故③错;④过平面外一点与已知平面平行的平面有且只有一个,故④对.故选B.6.下列说法中,正确的个数是( C )①如果两条平行直线中的一条和一个平面相交,那么另一条直线也和这个平面相交;②经过两条异面直线中的一条直线有一个平面与另一条直线平行;③两条相交直线,其中一条与一个平面平行,则另一条一定与这个平面平行.(A)0 (B)1 (C)2 (D)3解析:易知①正确,②正确.③中两条相交直线中一条与平面平行,另一条可能平行于平面,也可能与平面相交,故③错误.选C.7.如图所示,平面ABC与三棱柱ABC A1B1C1的其他面之间有什么位置关系?解:因为平面ABC与平面A1B1C1无公共点,所以平面ABC与平面A1B1C1平行.因为平面ABC与平面ABB1A1有公共直线AB,所以平面ABC与平面ABB1A1相交.同理可得平面ABC与平面ACC1A1及平面BCC1B1均相交.能力提升8.教室内有一根直尺,无论怎样放置,在地面上总有这样的直线与直尺所在的直线( D )(A)异面(B)相交(C)平行(D)垂直解析:若尺子与地面相交,则C不正确;若尺子平行于地面,则B不正确;若尺子放在地面上,则A不正确.所以选D.9.a,b是异面直线,A,B是a上两点,C,D是b上的两点,M,N分别是线段AC,BD的中点,则MN和a的位置关系是( A )(A)异面(B)平行(C)相交(D)以上均有可能解析:若MN与AB平行或相交,则MN与AB共面α.又知C∈直线AM, D ∈直线BD,所以C∈α,D∈α.又A∈α,B∈α,所以a⊂α,b⊂α,与a,b异面矛盾,故选A.10.如果空间的三个平面两两相交,则下列判断正确的是(填序号).①不可能只有两条交线;②必相交于一点;③必相交于一条直线;④必相交于三条平行线.解析:空间的三个平面两两相交,可能只有一条交线,也可能有三条交线,这三条交线可能交于一点.答案:①11.如图,平面α,β,γ满足α∥β,α∩γ=a,β∩γ=b,判断a与b, a 与β的关系并证明你的结论.解:a∥b,a∥β.证明如下:由α∩γ=a知a⊂α且a⊂γ,由β∩γ=b知b⊂β且b⊂γ,因为α∥β,a⊂α,b⊂β,所以a,b无公共点.又因为a⊂γ且b⊂γ,所以a∥b.因为α∥β,所以α与β无公共点.又a⊂α,所以a与β无公共点,所以a∥β.探究创新12.如图,已知平面α和β相交于直线l,点A∈α,点B∈α,点C∈β,且A∉l,B∉l,直线AB与l不平行,那么,平面ABC与平面β的交线与l 有什么关系?证明你的结论.解:平面ABC与平面β的交线与l相交.证明如下:因为AB与l不平行,AB⊂α,l⊂α,所以AB与l是相交直线.设AB∩l=P,则点P∈AB,点P∈l.又因为AB⊂平面ABC,l⊂β,所以P∈平面ABC且P∈平面β,即点P是平面ABC与平面β的一个公共点.而C也是平面ABC与平面β的一个公共点,又因为P,C不重合,所以直线PC就是平面ABC与平面β的交线,即平面ABC∩平面β=直线PC.而直线PC∩l=P,所以平面ABC与平面β的交线与l相交.。

第八章立体几何初步8.4空间点、直线、平面之间的位置关系8.4.2空间点、直线、平面之间的位置关系课后篇巩固提升必备知识基础练1.如图所示,用符号语言可表示为()A.α∩β=lB.α∥β,l∈αC.l∥β,l⊄αD.α∥β,l⊂α2.在长方体ABCD-A1B1C1D1的六个表面与六个对角面(平面AA1C1C、平面ABC1D1、平面ADC1B1、平面BB1D1D、平面A1BCD1及平面A1B1CD)所在的平面中,与棱AA1平行的平面共有()A.2个B.3个C.4个D.5个,结合图形可知AA1∥平面BB1C1C,AA1∥平面DD1C1C,AA1∥平面BB1D1D.3.(多选题)如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别为棱C1D1,C1C的中点,则以下四个结论正确的是()A.直线AM与CC1是相交直线B.直线AM与BN是平行直线C.直线BN与MB1是异面直线D.直线AM与DD1是异面直线AM与CC1不同在任何一个平面内,直线AM与BN不同在任何一个平面内,故A,B错误;直线BN与MB1不同在任何一个平面内,直线AM与DD1不同在任何一个平面内,故C,D正确.4.如果空间的三个平面两两相交,那么()A.不可能只有两条交线B.必相交于一点C.必相交于一条直线D.必相交于三条平行线,可能相交于一点,也可能相交于一条直线,还可能相交于三条平行线,故选A.5.若两个平面内分别有一条直线,且这两条直线是异面直线,则这两个平面的公共点()A.有有限个B.有无数个C.不存在D.不存在或有无数个,直线AB与直线CC1异面,平面ABCD与平面CDD1C1相交,有无数个公共点;平面ABB1A1与平面CDD1C1平行,没有公共点.6.以下说法正确的是()A.若直线a不平行于平面α,则直线a与平面α相交B.直线a和b是异面直线,若直线c∥a,则c与b一定相交C.若直线a和b都和平面α平行,则a和b也平行D.若点M∈l,点N∈l,N∉α,M∈α,则直线l与平面α相交a不平行于平面α,则直线a与平面α相交,或a⊂α,故A错误;若直线a和b是异面直线,若直线c∥a,则c与b相交或异面,故B错误;若直线a和b都和平面α平行,则a和b可能平行,可能相交,也可能异面,故C错误;若点M,N∈l,N∉α,M∈α,则直线l和平面α相交,故D正确.故选D.7.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,所在直线与BD1异面的棱有条.,知在正方体ABCD-A1B1C1D1中,所在直线与BD1异面的棱有CD,A1B1,AD,B1C1,AA1,CC1共6条.8.已知直线a,平面α,β,且a∥α,a∥β,则平面α与β的位置关系是.a∥α,a∥β,所以平面α与β相交(如图①)或平行(如图②).9.过三棱柱ABC-A1B1C1的任意两条棱的中点作直线,其中与平面ABB1A1平行的直线共有条.,与平面ABB1A1平行的直线有6条:D1E1,E1E,ED,DD1,D1E,DE1.10.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,面对角线B1D1与长方体的六个面之间的位置关系如何?B1∈平面A1B1C1D1,D1∈平面A1B1C1D1,∴B1D1⊂平面A1B1C1D1.∵B1∈平面BB1C1C,D1∉平面BB1C1C,∴直线B1D1∩平面BB1C1C=B1.同理直线B1D1与平面AA1B1B、平面AA1D1D、平面CC1D1D都相交.在平行四边形B1BDD1中,B1D1∥BD,B1D1与BD无公共点,∴B1D1与平面ABCD无公共点,∴B1D1∥平面ABCD.关键能力提升练11.若a,b是异面直线,且a∥平面α,那么b与平面α的位置关系是()A.b∥αB.b与α相交C.b⊂αD.以上三种情况都有可能a,b是异面直线,且a∥平面α,则根据空间中线面的位置关系可得,b∥a,或b⊂α,或b与α相交.12.(多选题)以下结论中,正确的是()A.过平面α外一点P,有且仅有一条直线与α平行B.过平面α外一点P,有且仅有一个平面与α平行C.过直线l外一点P,有且仅有一条直线与l平行D.过直线l外一点P,有且仅有一个平面与l平行①所示,过点P有无数条直线都与α平行,这无数条直线都在平面β内,过点P有且只有一个平面与α平行,故A错,B正确;如图②所示,过点P只有一条直线与l平行,但有无数个平面与l平行,故C正确,D错.13.(多选题)下列说法中正确的是()A.若直线a不在平面α内,则a∥αB.若直线l上有无数个点不在平面α内,则l∥αC.若l∥α,则直线l与平面α内任何一条直线都没有公共点D.平行于同一平面的两直线可以相交中,直线a也可能与平面α相交,故A错误;B中,直线l与平面α相交时,l上也有无数个点不在平面α内,故B错误;C中,当l∥α时,l与α没有公共点,所以l与α内任何一条直线都没有公共点,故C正确;D中,平行于同一个平面的直线,可以平行也可以相交,也可以是异面直线,故D正确.14.一个正方体的平面展开图如图所示,A,B,C,D为原正方体的顶点,则在原来的正方体中()A.AB∥CDB.AB与CD相交C.AB⊥CDD.AB与CD异面,则在原来的正方体中,由异面直线的定义可知AB与CD异面.故选D.15.下列命题正确的有.(填序号)①若直线与平面有两个公共点,则直线在平面内;②若直线l与平面α相交,则l与平面α内的任意直线都是异面直线;③若直线l与平面α平行,则l与平面α内的直线平行或异面;④若直线a⊂平面α,平面α∩平面β=b,a∥b,则a∥β.显然是正确的;②中,直线l和平面α内过l与α交点的直线都相交而不是异面,所以②是错误的;③中,直线l与平面α没有公共点,所以直线l与平面α内的直线没有公共点,即它们平行或异面,所以③是正确的;因为a∥b,所以a与b无公共点.又因为a⊂α,且α与β的公共点都在直线b上,所以a 与β无公共点,故a与β平行,故④是正确的.16.如图,平面α,β,γ满足α∥β,α∩γ=a,β∩γ=b,判断a与b,a与β的关系,并证明你的结论.∥b,a∥β.证明如下.由α∩γ=a知a⊂α,且a⊂γ,由β∩γ=b知b⊂β,且b⊂γ.∵α∥β,a⊂α,b⊂β,∴a,b无公共点.又∵a⊂γ,且b⊂γ,∴a∥b.∵α∥β,∴α与β无公共点.又a⊂α,∴a与β无公共点,∴a∥β.学科素养创新练17.若直线a不平行于平面α,且a⊄α,则下列结论成立的是()A.平面α内的所有直线与a异面B.平面α内不存在与a平行的直线C.平面α内存在唯一的直线与a平行D.平面α内的直线与a都相交a与平面α相交,则平面α内的直线与a可能相交,也可能异面,不可能平行.故选B.18.(多选题)已知a,b是两条不重合的直线,α,β是两个不重合的平面,则下列说法中正确的是()A.若a∥b,b⊂α,则直线a平行于平面α内的无数条直线B.若α∥β,a⊂α,b⊂β,则a与b是异面直线C.若α∥β,a⊂α,则a∥βD.若α∩β=b,a⊂α,则a,b一定相交中,a∥b,b⊂α,则a∥α或a⊂α,所以不管a在平面内还是平面外,结论都成立,故A正确;B中,直线a与b没有交点,所以a与b可能异面,也可能平行,故B错误;C中,直线a与平面β没有公共点,所以α∥β,故C正确;D中,直线a与平面β有可能平行,所以a,b可能相交,也可能平行,故D错误.。

2.1.3 空间中直线与平面之间的位置关系一、教材分析空间中直线与平面之间的位置关系是立体几何中最重要的位置关系，直线与平面的相交和平行是本节的重点和难点.空间中直线与平面之间的位置关系是根据交点个数来定义的，要求学生在公理1的基础上会判断直线与平面之间的位置关系.本节重点是结合图形判断空间中直线与平面之间的位置关系.二、教学目标1．知识与技能（1）了解空间中直线与平面的位置关系；（2）培养学生的空间想象能力.2．过程与方法（1）学生通过观察与类比加深了对这些位置关系的理解、掌握；（2）让学生利用已有的知识与经验归纳整理本节所学知识.3．情感、态度与价值让学生感受到掌握空间直线与平面关系的必要性，提高学生的学习兴趣.三、教学重点与难点正确判定直线与平面的位置关系.四、课时安排1课时五、教学设计（一）导入新课思路1.(情境导入)一支笔所在的直线与我们的课桌面所在的平面,可能有几个交点?可能有几种位置关系?思路2.(事例导入)观察长方体（图1），你能发现长方体ABCD—A′B′C′D′中，线段A′B所在的直线与长方体ABCD—A′B′C′D′的六个面所在平面有几种位置关系？图1（二）推进新课、新知探究、提出问题①什么叫做直线在平面内？②什么叫做直线与平面相交?③什么叫做直线与平面平行?④直线在平面外包括哪几种情况?⑤用三种语言描述直线与平面之间的位置关系.活动：教师提示、点拨从直线与平面的交点个数考虑，对回答正确的学生及时表扬.讨论结果：①如果直线与平面有无数个公共点叫做直线在平面内.②如果直线与平面有且只有一个公共点叫做直线与平面相交.③如果直线与平面没有公共点叫做直线与平面平行.④直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外.⑤直线在平面内a α直线与平面相交a∩α=A直线与平面平行a∥α（三）应用示例思路1例1 下列命题中正确的个数是( )①若直线l上有无数个点不在平面α内，则l∥α②若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任意一条直线都平行③如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行④若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任意一条直线都没有公共点A.0B.1C.2D.3分析：如图2,图2我们借助长方体模型，棱AA1所在直线有无数点在平面ABCD外，但棱AA1所在直线与平面ABCD相交，所以命题①不正确；A1B1所在直线平行于平面ABCD，A1B1显然不平行于BD，所以命题②不正确；A1B1∥AB,A1B1所在直线平行于平面ABCD，但直线AB 平面ABCD,所以命题③不正确；l与平面α平行,则l与α无公共点,l与平面α内所有直线都没有公共点,所以命题④正确.答案：B变式训练请讨论下列问题：若直线l上有两个点到平面α的距离相等，讨论直线l 与平面α的位置关系.图3解：直线l与平面α的位置关系有两种情况（如图3），直线与平面平行或直线与平面相交.点评：判断直线与平面的位置关系要善于找出空间模型，结合图形来考虑，注意考虑问题要全面.例2 已知一条直线与三条平行直线都相交，求证：这四条直线共面.已知直线a∥b∥c，直线l∩a=A，l∩b=B，l∩c=C.求证：l与a、b、c共面.证明：如图4,∵a∥b,图4∴a、b确定一个平面，设为α.∵l∩a=A，l∩b=B,∴A∈α，B∈α.又∵A∈l，B∈l,∴AB⊂α，即l⊂α.同理b、c确定一个平面β，l⊂β,∴平面α与β都过两相交直线b与l.∵两条相交直线确定一个平面,∴α与β重合.故l与a、b、c共面.变式训练已知a⊂α,b⊂α,a∩b=A,P∈b,PQ∥a，求证：PQ⊂α.证明：∵PQ∥a，∴PQ、a确定一个平面，设为β.∴P∈β，a⊂β，P∉a.又P∈α，a⊂α，P∉a,由推论1：过P、a有且只有一个平面,∴α、β重合.∴PQ⊂α.点评：证明两个平面重合是证明直线在平面内问题的重要方法.思路2例1 若两条相交直线中的一条在平面α内，讨论另一条直线与平面α的位置关系.解：如图5,另一条直线与平面α的位置关系是在平面内或与平面相交.图5用符号语言表示为：若a∩b=A,b⊂α,则a⊂α或a∩α=A.变式训练若两条异面直线中的一条在平面α内，讨论另一条直线与平面α的位置关系.分析：如图6,另一条直线与平面α的位置关系是与平面平行或与平面相交.图6用符号语言表示为：若a与b异面,a⊂α,则b∥α或b∩α=A.点评：判断直线与平面的位置关系要善于找出空间模型，结合图形来考虑，注意考虑问题要全面.例2 若直线a不平行于平面α,且a⊄α,则下列结论成立的是( )A.α内的所有直线与a异面B.α内的直线与a都相交C.α内存在唯一的直线与a平行D.α内不存在与a平行的直线分析：如图7,若直线a不平行于平面α,且a⊄α,则a 与平面α相交.图7例如直线A′B与平面ABCD相交，直线AB、CD在平面ABCD内，直线AB与直线A′B相交，直线CD与直线A′B异面，所以A、B都不正确；平面ABCD内不存在与a平行的直线，所以应选D.答案：D变式训练不在同一条直线上的三点A、B、C到平面α的距离相等，且A∉α,给出以下三个命题：①△ABC中至少有一条边平行于α;②△ABC中至多有两边平行于α；③△ABC中只可能有一条边与α相交.其中真命题是_____________.分析：如图8,三点A、B、C可能在α的同侧，也可能在α两侧，图8其中真命题是①.答案：①变式训练若直线a⊄α,则下列结论中成立的个数是( )(1)α内的所有直线与a异面(2)α内的直线与a都相交(3)α内存在唯一的直线与a平行(4)α内不存在与a平行的直线A.0B.1C.2D.3分析：∵直线a⊄α,∴a∥α或a∩α=A.如图9,显然(1)(2)(3)(4)都有反例,所以应选A.图9答案：A点评：判断一个命题是否正确要善于找出空间模型（长方体是常用空间模型），另外考虑问题要全面即注意发散思维.（四）知能训练已知α∩β=l,a⊂α且a⊄β,b⊂β且b⊄α,又a∩b=P.求证：a与β相交,b与α相交.证明：如图10,∵a∩b=P,图10∴P∈a,P∈b.又b β,∴P∈β.∴a与β有公共点P,即a与β相交.同理可证,b与α相交.（五）拓展提升过空间一点，能否作一个平面与两条异面直线都平行？解：(1)如图11,C′D′与BD是异面直线，可以过P点作一个平面与两异面直线C′D′、BD都平行.如图12,图11 图12 图13显然，平面PQ是符合要求的平面.(2)如图13,当点P与直线C′D′确定的平面和直线BD平行时，不存在过P点的平面与两异面直线C′D′、BD都平行.点评：判断一个命题是否正确要善于找出空间模型（长方体是常用空间模型），另外考虑问题要全面即注意发散思维.（六）课堂小结本节主要学习直线与平面的位置关系，直线与平面的位置关系有三种：①直线在平面内——有无数个公共点,②直线与平面相交——有且只有一个公共点,③直线与平面平行——没有公共点.另外，空间想象能力的培养是本节的重点和难点.（七）作业课本习题2.1 A组7、8.11。

最新人教版高中数学必修二第二章《空间中直线与直线、直线与平面的位置关系》精选习题（含答案解析）一、选择题(每小题5分，共40分)1.(2021·菏泽高一检测)已知直线a在平面α外，则( )A.a∥αB.直线a与平面α至少有一个公共点C.a∩α=AD.直线a与平面α至多有一个公共点2.(2021·成都高一检测)已知直线l和平面α，若l∥α，P∈α，则过点P且平行于l的直线( )A.只有一条，不在平面α内B.有无数条，一定在平面α内C.只有一条，且在平面α内D.有无数条，不一定在平面α内3.若直线l不平行于平面α，且l⊄α，则( )A.α内的所有直线与l异面B.α内不存在与l平行的直线C.α内存在唯一的直线与l平行D.α内的直线与l都相交4.(2021·成都高一检测)下列说法中，正确的个数是( )(1)平面α与平面β，γ都相交，则这三个平面有2条或3条交线.(2)如果a，b是两条直线，a∥b，那么a平行于经过b的任何一个平面.(3)直线a不平行于平面α，则a不平行于α内任何一条直线.(4)如果α∥β，a∥α，那么a∥β.A.0B.1C.2D.35.教室内有一根直尺，无论怎样放置，在地面上总有这样的直线与直尺所在的直线( )A.异面B.相交C.平行D.垂直6.如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1，则直线EF是平面ACD1与( )A.平面BDB1的交线B.平面BDC1的交线C.平面ACB1的交线D.平面ACC1的交线7.(2021·嘉兴高二检测)若a是平面α外的一条直线，则直线a与平面α内的直线的位置关系是( )A.平行B.相交C.异面D.平行、相交或异面8.α，β是两个不重合的平面，下面说法中，正确的是( )A.平面α内有两条直线a，b都与平面β平行，那么α∥βB.平面α内有无数条直线平行于平面β，那么α∥βC.若直线a与平面α和平面β都平行，那么α∥βD.平面α内所有的直线都与平面β平行，那么α∥β二、填空题(每小题5分，共10分)9.若a，b是两条异面直线，且a∥平面α，则b与α的位置关系是________.10.平面α∩β=c，直线a∥α，a与β相交，则a与c的位置关系是________.三、解答题(每小题10分，共20分)11.(2021·福州高一检测)如图，在正方体ABCD-A′B′C′D′中，E，F 分别为B′C′，A′D′的中点，求证：平面ABB′A′与平面CDFE相交.12.如图，平面α，β，γ满足α∥β，α∩γ=a，β∩γ=b，判断a 与b、a与β的关系并证明你的结论.参考答案与解析1【解析】选D.因为a在平面α外，所以a∥α或a∩α=A，所以直线a与平面α至多有一个公共点.2【解析】选C.过直线l和点P作一平面β与α相交于m，因为l∥α，所以l与α无公共点，所以l与m无公共点，又l⊂β，m⊂β，故l∥m，又m⊂α，即m是过点P且平行于l的直线.若n也是过P且与l平行的直线，则m∥n，这是不可能的.故C正确.3【解析】选B.因为l不平行于α，且l⊄α，故l与α相交，记l∩α=A.假设平面α内存在直线a∥l，过A在α内作b∥a，则b∥l，这与b∩l=A矛盾，故在α内不存在与l平行的直线.4【解析】选A.(1)错误.平面α与平面β，γ都相交，则这三个平面有可能有1条或2条或3条交线.(2)错误.如果a，b是两条直线，a∥b，那么直线a有可能在经过b的平面内.(3)错误.直线a不平行于平面α，则a有可能在平面α内，此时可以与平面内无数条直线平行.(4)错误.如果α∥β，a∥α，那么a∥β或a⊂β.5【解析】选 D.若尺子与地面相交，则地面上不存在直线与直尺所在的直线平行.故C错误.若尺子平行于地面，则B不正确.若尺子放在地面上，则A不正确.故选D.6【解析】选B.连接BC1.因为E∈DC1，F∈BD，所以EF⊂平面BDC1，故EF=平面ACD1∩平面BDC1.7【解析】选D.若a∥α，则a与α内的直线平行或异面，若a与α相交，则a与α内的直线相交或异面.8【解析】选D.A，B都不能保证α，β无公共点，如图1所示；C中当a∥α，a∥β时α与β可能相交，如图2所示；只有D说明α，β一定无公共点.9【解析】正方体ABCD-A1B1C1D1中，A1A为a，BC为b，若平面BCC1B1为α，则b⊂α；若平面CDD1C1为α，则b与α相交；若过AB，CD，C1D1，A1B1中点的截面为α，则b∥α.答案：b∥α，b⊂α或b与α相交10【解析】因为a∥α，c⊂α，所以a与c无公共点，不相交.若a∥c，则直线a∥β或a⊂β.这与“a与β相交”矛盾，所以a与c异面.答案：异面11【证明】在正方体ABCD-A′B′C′D′中，E为B′C′的中点，所以EC与BB′不平行，则延长CE与BB′必相交于一点H，所以H∈EC，H∈B′B，又BB′⊂平面ABB′A′，CE⊂平面CDFE，所以H∈平面ABB′A′，H∈平面CDFE，故平面ABB′A′与平面CDFE相交.12【解析】a∥b，a∥β.由α∩γ=a知a⊂α且a⊂γ，由β∩γ=b知b⊂β且b⊂γ，所以a⊂α，b⊂β，又因为α∥β，所以a，b无公共点.又因为a⊂γ且b⊂γ，所以a∥b.因为α∥β，所以α与β无公共点，又a⊂α，所以a与β无公共点，所以a∥β.。

8.4.2 空间点、直线、平面之间的位置关系A组基础巩固练一、选择题1．若a和b是异面直线，b和c是异面直线，则a和c的位置关系是() A．异面或平行B．异面或相交C．异面D．相交、平行或异面2．(多选题)下列结论正确的是()A．直线a∥平面α，直线b⊂α，则a∥bB．若a⊂α，b⊄α，则a，b无公共点C．若a⊄α，则a∥α或a与α相交D．若a∩α＝A，则a⊄α3．已知平面α与平面β，γ都相交，则这三个平面可能的交线有()A．1条或2条B．2条或3条C．1条或3条D．1条或2条或3条4．若直线a不平行于平面α，则下列结论成立的是()A．α内的所有直线都与直线a异面B．α内不存在与a平行的直线C．α内的直线都与a相交D．直线a与平面α有公共点5．若a，b为异面直线，直线c∥a，则c与b的位置关系是()A．相交B．异面C．平行D．异面或相交二、填空题6．若直线l上有两点到平面α的距离相等，则直线l与平面α的关系是________．7．在四棱锥P-ABCD中，各棱所在的直线互相异面的有________对．8．(一题两空)如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中判断下列位置关系：(1)AD1所在直线与平面BCC1的位置关系是________；(2)平面A1BC1与平面ABCD的位置关系是________．三、解答题9．如图所示，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，直线B1D1与长方体的六个面之间的位置关系如何？10. 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是AA1的中点，画出过D1，C，E的平面与平面ABB1A1的交线，并说明理由．B组素养提升练11．(多选题)以下四个命题是真命题的是()A．三个平面最多可以把空间分成八部分B．若直线a⊂平面α，直线b⊂平面β，则“a与b相交”与“α与β相交”等价C．若α∩β＝l，直线a⊂平面α，直线b⊂平面β，且a∩b＝P，则P∈lD．若n条直线中任意两条共面，则它们共面12．不共面的四个定点到平面α的距离都相等，这样的平面α共有()A．3个B．4个C．6个D．7个13．已知，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊂平面α，CD⊄平面α，则直线CD与平面α内的任意一条直线m的位置关系是________．C组思维提升练14.如图，已知平面α∩β＝l，点A∈α，点B∈α，点C∈β，且A∉l，B∉l，直线AB与l不平行，那么平面ABC与平面β的交线与l有什么关系？证明你的结论．——★参*考*答*案★——A组基础巩固练一、选择题1．『『答案』』D『『解析』』异面直线不具有传递性，可以以长方体为载体加以说明，a，b异面，直线c的位置可如图所示．2．『『答案』』CD『『解析』』结合直线与平面的位置关系可知，AB错误，CD正确．3．『『答案』』D『『解析』』当三个平面两两相交且过同一直线时，它们有1条交线；当平面β和γ平行时，它们的交线有2条；当这三个平面两两相交且不过同一条直线时，它们有3条交线．4．『『答案』』D『『解析』』直线a不平行于平面α，则a与平面α相交或a⊂α.5．『『答案』』D『『解析』』由空间直线的位置关系，知c与b可能异面或相交．二、填空题6．『『答案』』平行或相交『『解析』』当这两点在α的同侧时，l与α平行；当这两点在α的异侧时，l与α相交．7．『『答案』』8『『解析』』以底边所在直线为准进行考察，因为四边形ABCD是平面图形，4条边在同一平面内，不可能组成异面直线，而每一边所在直线能与2条侧棱组成2对异面直线，所以共有4×2＝8(对)异面直线．8．『『答案』』(1)平行(2)相交『『解析』』(1)AD1所在的直线与平面BCC1没有公共点，所以平行；(2)平面A1BC1与平面ABCD有公共点B，故相交．三、解答题9．解：B1D1在平面A1C1内，B1D1与平面BC1，AB1，AD1，CD1都相交，B1D1与平面AC 平行．10. 解：如图，取AB的中点F，连接EF，A1B，CF.因为E是AA1的中点，所以EF∥A1B．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，A1D1∥BC，A1D1＝BC，所以四边形A1BCD1是平行四边形．所以A1B∥CD1，所以EF∥CD1.所以E，F，C，D1四点共面．因为E∈平面ABB1A1，E∈平面D1CE，F∈平面ABB1A1，F∈平面D1CE，所以平面ABB1A1∩平面D1CE＝EF.所以过D1，C，E的平面与平面ABB1A1的交线为EF.B组素养提升练11．『『答案』』AC『『解析』』对于A，正确；对于B，逆推“α与β相交”推不出“a与b相交”，也可能a∥b；对于C，正确；对于D，反例：正方体的侧棱任意两条都共面，但这4条侧棱并不共面，故D错．所以正确的是AC．12．『『答案』』D『『解析』』把不共面的四个定点看作四面体的四个顶点，平面α可以分为两类：第一类：如图(1)所示，四个定点分布在α的一侧1个，另一侧3个，此类中α共有4个．图(1)图(2)第二类：如图(2)所示，四个定点分布在α的两侧各两个，此类中α共3个．综上，α共有4＋3＝7(个)，故选D．13．『『答案』』平行或异面『『解析』』如图，由于ABCD是梯形，AB∥CD，所以AB与CD无公共点，又CD⊄平面α，所以CD与平面α无公共点. 当m∥AB时，则m∥DC；当m与AB相交时，则m与DC异面．C组思维提升练14.解：平面ABC与β的交线与l相交．证明如下：因为AB与l不平行，且AB⊂α，l⊂α，所以AB与l一定相交．设AB∩l＝P(图略)，则P∈AB，P∈l.又因为AB⊂平面ABC，l⊂β，所以P∈平面ABC，P∈β.所以点P是平面ABC 与β的一个公共点，而点C也是平面ABC与β的一个公共点，且P，C是不同的两点，所以直线PC就是平面ABC与β的交线，即平面ABC∩β＝PC，而PC∩l＝P，所以平面ABC与平面β的交线与l相交．。

课时作业27空间点、直线、平面之间的位置关系时间：45分钟——基础巩固类——一、选择题1．在正方体的6个面中，互相平行的平面的组数有(C)A．1组B．2组C．3组D．1组或3组解析：正方体的6个面中，对面互相平行，所以共有3组，故选C.2．分别和两条异面直线平行的两条直线的位置关系是(C)A．一定平行B．一定异面C．相交或异面D．一定相交解析：在空间中分别和两条异面直线平行的两条直线的位置关系是异面或相交．故选C.3．若直线a，b是异面直线，a⊂β，则b与平面β的位置关系是(D)A．平行B．相交C．b⊂βD．平行或相交解析：∵a，b异面，且a⊂β，∴b⊄β，∴b与β平行或相交．故选D.4．长方体的一条体对角线与长方体的棱所组成的异面直线有(C)A．2对B．3对C．6对D．12对解析：如图所示，在长方体中没有与体对角线平行的棱，要求与长方体体对角线AC1异面的棱所在的直线，只要去掉与AC1相交的六条棱，其余的都与体对角线异面，∴与AC1异面的棱有BB1，A1D1，A1B1，BC，CD，DD1，∴长方体的一条体对角线与长方体的棱所组成的异面直线有6对．故选C.5．(多选)平面α∥平面β，直线a⊂α，下列四个命题中，正确的命题是(BCD)A．a与β内的所有直线平行B．a与β内的无数条直线平行C．a与β内的任何一条直线都不相交D．a与β无公共点解析：借助于长方体模型，可以举出反例说明A是错误的；利用平面与平面进行判断，则有B，C，D是正确的．6．如下图所示，若G，H，M，N分别是三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形有(D)A．①②B．②③C．①④D．②④解析：①中GH∥MN；③中GM∥HN且GM≠HN，故GH，MN 必相交，所以①③中GH，MN共面，故选D.二、填空题7．若一个平面内的一条直线与另一个平面相交，则这两个平面的位置关系是相交．8．若a、b是两条异面直线，且a∥平面α，则b与α的位置关系是b与α平行或相交或b在α内．解析：如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，设平面ABCD为α，A1B1为a，则a∥α，当分别取EF，BC1，BC为b时，均满足a与b异面，于是b∥α，b∩α＝B，b⊂α(其中E，F为棱的中点)．9．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，与直线BD成异面直线的有6条，分别是AA1，CC1，A1B1，C1D1，A1D1，B1C1.解析：正方体ABCD-A1B1C1D1如图所示．直线BD分别与直线AA1，CC1，A1B1，C1D1，A1D1，B1C1成异面直线．故共有6条．三、解答题10.已知四棱台ABCD-A1B1C1D1，底面A1B1C1D1是梯形，A1D1∥B1C1，如图所示．(1)直线A1B1与四棱台的各面有什么位置关系？(2)平面ABCD与四棱台的其他面有什么位置关系？解：(1)直线A1B1与平面ABCD平行；直线A1B1与平面BCC1B1、平面ADD1A1、平面CDD1C1均相交；直线A1B1在平面A1B1C1D1、平面AA1B1B内．(2)平面ABCD与平面A1B1C1D1平行；平面ABCD与平面AA1D1D、平面DD1C1C、平面CC1B1B、平面BB1A1A均相交．11．如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别是A1B1和BB1的中点，则下列直线与平面的位置关系是什么？(1)AM所在的直线与平面ABCD的位置关系；(2)CN所在的直线与平面ABCD的位置关系；(3)AM所在的直线与平面CDD1C1的位置关系；(4)CN所在的直线与平面CDD1C1的位置关系．解：(1)AM所在的直线与平面ABCD相交；(2)CN所在的直线与平面ABCD相交；(3)AM所在的直线与平面CDD1C1平行；(4)CN所在的直线与平面CDD1C1相交．——能力提升类——12．平面α与平面β，γ都相交，则这三个平面的交线数为(D) A．1或2 B．2或3C．2 D．1或2或3解析：当α过β与γ的交线时，三平面有一条交线．当β∥γ时，有两条交线．当α与β，γ两两相交且不交于同一直线时，有三条交线．故选D.13．在正方体ABCD-A1B1C1D1上有一只蚂蚁从A点出发沿正方体的棱前进，若它走进的第(n＋2)条棱与第n条棱是异面的，则这只蚂蚁走过第2 018条棱之后的位置可能在(D)A．点A1处B．点A处C．点D处D．点B1处解析：由图形(如图)结合正方体的性质知，与直线AB异面的直线有A1D1，B1C1，CC1，DD1，共4条．蚂蚁从A点出发，走进的第(n＋2)条棱与第n条棱是异面的，如AB→BC→CC1→C1D1→D1A1→A1A，按照此走法，每次要走6条棱才回到起点．∵2 018＝6×336＋2，∴这只蚂蚁走过第2 018条棱之后的位置与走过第2条棱之后的位置相同．而前2条棱的走法有以下几种情况：AB→BB1，AB→BC，AD→DC，AD→DD1，AA1→A1B1，AA1→A1D1.故走过第2条棱之后的位置可能有以下几种情况：B1，C，D1.故选D.14．一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有如下结论：①AB∥CM；②EF与MN是异面直线；③MN∥CD.以上结论中正确结论的序号为①②.解析：把正方体平面展开图还原到原来的正方体，如图所示，EF 与MN是异面直线，AB∥CM，MN与CD相交，只有①②正确．15．如图所示，ABCD-A1B1C1D1是正方体，在图中，E，F分别是D1C1，B1B的中点，画出图①②中有阴影的平面与平面ABCD的交线，并给出证明．解：如图①所示，过点E作EN平行于BB1交CD于N，连接NB 并延长交EF的延长线于M，连接AM，则直线AM即为有阴影的平面与平面ABCD的交线．如图②所示，延长DC，过点C1作C1M∥A1B交DC的延长线于点M，连接BM，则直线BM即为有阴影的平面与平面ABCD的交线．证明：在图①中，因为直线EN∥BF，所以B，N，E，F四点共面，因此EF与NB相交，交点为M.因为M∈EF，且M∈NB，而EF⊂平面AEF，NB⊂平面ABCD，所以M是平面ABCD与平面AEF的公共点．又因为点A是平面ABCD与平面AEF的公共点，故直线AM为两平面的交线．在图②中，C1M在平面CDD1C1内，因此与DC的延长线相交，交点为M，则点M为平面A1C1B与平面ABCD的公共点，又点B也是这两个平面的公共点，因此直线BM是两平面的交线．由Ruize收集整理。

2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系选题明细表知识点、方法题号空间中直线之间的位置关系1,3,9,10平行公理与等角定理2,5,6,8异面直线所成的角4,7,11,12基础巩固1.分别和两条异面直线都相交的两条直线一定( D )(A)异面(B)相交(C)不相交(D)不平行解析:和两条异面直线都相交的两条直线可能相交,也可能异面,但一定不平行.若平行,则确定一个平面,两异面直线也在这个面内.2.已知空间两个角α,β,α与β的两边对应平行,且α=60°,则β等于( D )(A)60°(B)120°(C)30°(D)60°或120°解析:由等角定理可知,β与α相等或互补,故β=60°或120°.3.若a,b是异面直线,b,c是异面直线,则( D )(A)a∥c(B)a,c是异面直线(C)a,c相交(D)a,c平行或相交或异面解析:例如在正方体ABCD-A1B1C1D1中,取AB,CD所在直线分别为a,c, B1C1所在直线为b,满足条件要求,此时a∥c;又取AB,BC所在直线分别为a,c,DD1所在直线为b,也满足题设要求,此时a与c相交;又取AB, CC1所在直线分别为a,c,A1D1所在直线为b,则此时,a与c异面. 故选D.4.如图所示,在正方体ABCD A1B1C1D1中,E,F分别是AB,AD的中点,则异面直线B1C与EF所成的角的大小为( C )(A)30°(B)45°(C)60°(D)90°解析:连接BD,B1D1,D1C知△D1B1C是等边三角形,所以D1B1与B1C所成角为60°,故B1C与EF所成角也是60°.5.三棱锥的对角线互相垂直相等,顺次连接这个四边形各边中点,所组成的四边形是( D )(A)梯形(B)矩形(C)平行四边形(D)正方形解析:如图所示,因为BD⊥AC,且BD=AC,又因为E,F,G,H分别为对应边的中点,所以FG EH BD,HG EF AC.所以FG⊥HG,且FG=HG.所以四边形EFGH为正方形.6.若AB∥A′B′,AC∥A′C′,有下列结论:①∠BAC=∠B′A′C′;②∠ABC+∠A′B′C′=180°;③∠BAC=∠B′A′C′或∠BAC+∠B′A′C′=180°.则一定成立的是(填序号).解析:因为AB∥A′B′,AC∥A′C′,所以∠BAC=∠B′A′C′或∠BAC+∠B′A′C′=180°.答案:③7.空间四边形ABCD中,AB=CD,且异面直线AB与CD所成的角为40°,E,F分别为BC和AD的中点,则异面直线EF和AB所成角的大小是.解析:取AC的中点G,连接GE与GF,AB与CD(异面直线)所成角为40°,因为EG∥AB,FG∥CD,所以∠EGF=40°或∠EGF=140°,而AB=CD,则GE=GF,所以∠GEF=70°或∠GEF=20°.所以EF与AB所成的角是70°或20°.答案:70°或20°8.在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,M,N,P分别是CC1,B1C1,C1D1的中点. 求证:∠NMP=∠BA1D.证明:如图,连接CB1,CD1,因为CD A 1B1,所以四边形A1B1CD是平行四边形,所以A1D∥B1C.因为M,N分别是CC1,B1C1的中点,所以MN∥B1C,所以MN∥A1D.因为BC A 1D1,所以四边形A1BCD1是平行四边形,所以A1B∥CD1.因为M,P分别是CC1,C1D1的中点,所以MP∥CD1,所以MP∥A1B,所以∠NMP和∠BA1D的两边分别平行且方向都相反,所以∠NMP=∠BA1D.能力提升9.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是线段BC,C1D的中点,则直线A1B 与直线EF的位置关系是( A )(A)相交(B)异面(C)平行(D)垂直解析:如图所示,连接BD1,CD1,CD1与C1D交于点F,由题意可得四边形A1BCD1是平行四边形,在平行四边形A1BCD1中,E,F分别是线段BC,CD1的中点,所以EF∥BD1,且A1B,EF共面,所以直线A1B与直线EF相交,故选A.10.(2018·清远市高一期末)一个正方体纸盒展开后如图,在原正方体纸盒中有下列结论:①AB⊥EF;②AB与CM所成的角为60°;③EF与MN是异面直线;④MN∥CD.以上结论中正确的是(填序号).解析:把正方体平面展开图还原为原来的正方体,如图所示,AB⊥EF, EF 与MN是异面直线,AB∥CM,MN⊥CD,只有①③正确.答案:①③11.如图,在四棱锥O-ABCD中,底面ABCD是边长为2的正方形,OA⊥底面ABCD,OA=2,M为OA的中点.(1)求四棱锥O-ABCD的体积;(2)求异面直线OC与MD所成角的正切值的大小.解:(1)由已知可求得,正方形ABCD的面积S=4,所以,四棱锥O-ABCD的体积V=×4×2=.(2)连接AC,设线段AC的中点为E,连接ME,DE,则∠EMD为异面直线OC与MD所成的角(或其补角),由已知,可得DE=,EM=,MD=,因为()2+()2=()2,所以△DEM为直角三角形,所以tan∠EMD===.探究创新12.已知四面体A-BCD中,E,F分别是AB,CD的中点.若BD,AC所成的角为60°,且BD=AC=1.求EF的长度.解:如图,取BC中点O,连接OE,OF,因为OE∥AC,OF∥BD,所以∠EOF即为AC与BD所成的角或其补角.而AC,BD所成的角为60°,所以∠EOF=60°或∠EOF=120°.当∠EOF=60°时,EF=OE=OF=;当∠EOF=120°时,取EF中点M,则OM⊥EF,EF=2EM=2OE·cos 30°=2×=.。

2.1.1 平面 2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系[基础巩固](25分钟，60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．若点M在直线a上，a在平面α内，则M，a，α间的关系可记为( )A．M∈a，a∈α B．M∈a，a⊂αC．M⊂a，a⊂α D．M⊂a，a∈α解析：根据点与直线、直线与平面之间位置关系的符号表示，可知B正确．答案：B2．给出下面四个命题：①三个不同的点确定一个平面；②一条直线和一个点确定一个平面；③空间两两相交的三条直线确定一个平面；④两条平行直线确定一个平面．其中正确的命题是( )A．① B．②C．③ D．④解析：对于①，三个不共线的点确定一个平面，故错；对于②，一条直线和直线外一个点确定一个平面，故错；对于③，空间两两相交的三条直线，且不能交于同一点，确定一个平面，故错；对于④，两条平行直线确定一个平面，正确．答案：D3．下面空间图形画法错误的是( )解析：画立体图时，被平面遮住的部分画成虚线或不画．答案：D4．给出以下四个命题：①不共面的四点中，其中任意三点不共线；②若点A，B，C，D共面，点A，B，C，E共面，则点A，B，C，D，E共面；③若直线a，b共面，直线a，c共面，则直线b，c共面；④依次首尾相接的四条线段必共面．其中正确命题的个数是( )A．0 B．1C．2 D．3解析：①假设其中有三点共线，则该直线和直线外的另一点确定一个平面，这与四点不共面矛盾，故其中任意三点不共线，所以①正确；②如图，两个相交平面有三个公共点A，B，C，但A，B，C，D，E不共面；③显然不正确；④不正确，因为此时所得的四边形的四条边可以不在一个平面上，如空间四边形．答案：B5．在空间四边形ABCD中，在AB，BC，CD，DA上分别取E，F，G，H四点，如果GH，EF 交于一点P，则( )A．P一定在直线BD上B．P一定在直线AC上C．P在直线AC或BD上D．P既不在直线BD上，也不在AC上解析：由题意知GH⊂平面ADC.因为GH，EF交于一点P，所以P∈平面ADC.同理，P∈平面ABC.因为平面ABC∩平面ADC＝AC，由公理3可知点P一定在直线AC上．答案：B二、填空题(每小题5分，共15分)6．设平面α与平面β相交于直线l，直线a⊂α，直线b⊂β，a∩b＝M，则点M与l 的位置关系为________．解析：因为a∩b＝M，a⊂α，b⊂β，所以M∈α，M∈β.又平面α与平面β相交于直线l，所以点M在直线l上，即M∈l.答案：M∈l7．给出以下命题：①和一条直线都相交的两条直线在同一平面内；②三条两两相交的直线在同一平面内；③有三个不同公共点的两个平面重合；④两两平行的三条直线确定三个平面．其中正确命题的个数是________．解析：空间中和一条直线都相交的两条直线不一定在同一平面内，故①错；若三条直线相交于一点时，不一定在同一平面内，如长方体一角的三条线，故②错；若两平面相交时，也可有三个不同的公共点，故③错；若三条直线两两平行且在同一平面内，则只有一个平面，故④错．答案：08．把下列符号叙述所对应的图形的序号填在题后的横线上：(1)A∉α，a⊂α：________.(2)α∩β＝a，P∉α，且P∉β：________.(3)a⊄α，a∩α＝A：________.(4)α∩β＝a，α∩γ＝c，β∩γ＝b，a∩b∩c＝O：________.答案：(1)③(2)④(3)①(4)②三、解答题(每小题10分，共20分)9．完成下列各题：(1)将下列文字语言转换为符号语言．①点A在平面α内，但不在平面β内；②直线a经过平面α外一点M；③直线l在平面α内，又在平面β内(即平面α和平面β相交于直线l)．(2)将下列符号语言转换为图形语言．①a⊂α，b∩α＝A，A∉a；②α∩β＝c，a⊂α，b⊂β，a∥c，b∩c＝P.解析：(1)①A∈α，A∉β.②M∈a，M∉α.③α∩β＝l.(2)①②10．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点M、N、E、F分别是棱CD、AB、DD1、AA1上的点，若MN与EF交于点Q，求证：D、A、Q三点共线．证明：∵MN∩EF＝Q，∴Q∈直线MN，Q∈直线EF，∵M∈直线CD，N∈直线AB，CD⊂平面ABCD，AB⊂平面ABCD，∴M、N∈平面ABCD，∴MN⊂平面ABCD，∴Q∈平面ABCD.同理，EF⊂平面ADD1A1，∴Q∈平面ADD1A1，又∵平面ABCD∩平面ADD1A1＝AD，∴Q∈直线AD，即D，A，Q三点共线．[能力提升](20分钟，40分)11．用一个平面截正方体所得的截面图形不可能是( )A．六边形 B．五边形C ．菱形D ．直角三角形解析：可用排除法，正方体的截面图形可能是六边形、五边形、菱形，故选D. 答案：D12．平面α，β相交，在α，β内各取两点，这四点都不在交线上，这四点能确定________个平面．解析：如果这四点在同一平面内，那么确定一个平面；如果这四点不共面，则任意三点可确定一个平面，所以可确定四个．答案：1或413．如图所示，已知直线a ∥b ∥c ，l ∩a ＝A ，l ∩b ＝B ，l ∩c ＝C .求证：直线a ，b ，c 和l 共面．证明：∵a ∥b ，∴a ，b 确定一个平面α.∵A ∈a ，B ∈b ，∴A ∈α，B ∈α.则a ，b ，l 都在平面α内，即b 在a ，l 确定的平面内．同理可证c 在a ，l 确定的平面内．∵过a 与l 只能确定一个平面，∴a ，b ，c ，l 共面于a ，l 确定的平面．14．如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 为AB 的中点，F 为AA 1的中点．求证：CE ，D 1F ，DA 三线交于一点．证明：连接EF ，D 1C ，A 1B ，因为E 为AB 的中点，F 为AA 1的中点，所以EF 綊12A 1B . 又因为A 1B 綊D 1C ，所以EF 綊12D 1C ， 所以E ，F ，D 1，C 四点共面，可设D 1F ∩CE ＝P .又D 1F ⊂平面A 1D 1DA ，CE ⊂平面ABCD ，所以点P 为平面A 1D 1DA 与平面ABCD 的公共点．又因为平面A 1D 1DA ∩平面ABCD ＝DA ，所以据公理3可得P ∈DA ，即CE ，D 1F ，DA 三线交于一点．。

第二章 2.1 2.1.1 平面A级基础巩固一、选择题1．若一直线a在平面α内，则正确的图形是 ( A )[解析] 选项B、C、D中直线a在平面α外，选项A中直线a在平面α内．2．如图所示，下列符号表示错误的是 ( A )A．l∈αB．P∉l C．l⊂αD．P∈α[解析] 观察图知：P∉l，P∈α，l⊂α，则l∈α是错误的．3．下面四个说法(其中A、B表示点，a表示直线，α表示平面)：①∵A⊂α，B⊂α，∴AB⊂α；②∵A∈α，B∉α，∴AB∉α；③∵A∉a，a⊂α，∴A∉α；④∵A∈a，a⊂α，∴A∈α.其中表述方式和推理都正确的命题的序号是 ( C )A．①④B．②③C．④D．③[解析] ①错，应写为A∈α，B∈α；②错，应写为AB⊄α；③错，推理错误，有可能A∈α；④推理与表述都正确．4．(2016～2017安徽蚌埠高二期中)三条两两平行的直线可以确定平面的个数为( D )A．0 B．1C．0或1 D．1或3[解析] 当三条直线是同一平面内的平行直线时，确定一个平面，当三条直线是三棱柱侧棱所在的直线时，确定三个平面．5．下列命题中，正确的是 ( B )A．经过正方体任意两条面对角线，有且只有一个平面B．经过正方体任意两条体对角线，有且只有一个平面C．经过正方体任意两条棱，有且只有一个平面D．经过正方体任意一条体对角线与任意一条面对角线，有且只有一个平面[解析] 因为正方体的四条体对角线相交于同一点(正方体的中心)，因此经过正方体任意两条体对角线，有且只有一个平面，故选B．6.如图所示，平面α∩β＝l，A、B∈α，C∈β且C∉l，AB∩l＝R，设过A、B、C三点的平面为γ，则β∩γ等于 ( C )A．直线AC B．直线BC C．直线CR D．以上都不对[解析] 由C，R是平面β和γ的两个公共点，可知β∩γ＝CR.二、填空题7．在长方体ABCD－A1B1C1D1的所有棱中，既与AB共面，又与CC1共面的棱有__5__条.[解析] 如图，由图可知，既与AB共面又与CC1共面的棱有CD、BC、BB1、AA1、C1D1共5条．8．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，下列说法正确的是__(2)(3)(4)__ (填序号).(1)直线AC1在平面CC1B1B内．(2)设正方形ABCD与A1B1C1D1的中心分别为O、O1，则平面AA1C1C与平面BB1D1D的交线为OO1.(3)由A、C1、B1确定的平面是ADC1B1.(4)由A、C1、B1确定的平面与由A、C1、D确定的平面是同一个平面．[解析] (1)错误．如图所示，点A∉平面CC1B1B，所以直线AC1⊄平面CC1B1B.(2)正确．如图所示．因为O∈直线AC⊂平面AA1C1C，O∈直线BD⊂平面BB1D1D，O1∈直线A1C1⊂平面AA1C1C，O1∈直线B1D1⊂平面BB1D1D，所以平面AA1C1C与平面BB1D1D的交线为OO1.(3)(4)都正确，因为AD ∥B 1C 1且AD ＝B 1C 1， 所以四边形AB 1C 1D 是平行四边形， 所以A ，B 1，C 1，D 共面．三、解答题9．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 为AB 的中点，F 为AA 1的中点，求证：(1)E 、C 、D 1、F 、四点共面； (2)CE 、D 1F 、DA 三线共点．[解析] (1)分别连接EF 、A 1B 、D 1C ， ∵E 、F 分别是AB 和AA 1的中点，∴EF ∥A 1B 且EF ＝12A 1B .又∵A 1D 1綊B 1C 1綊BC ，∴四边形A 1D 1CB 是平行四边形， ∴A 1B ∥CD 1，从而EF ∥CD 1.EF 与CD 1确定一个平面．∴E 、F 、D 1、C 四点共面．(2)∵EF 綊12CD 1，∴直线D 1F 和CE 必相交．设D 1F ∩CE ＝P ， ∵D 1F ⊂平面AA 1D 1D ，P ∈D 1F ，∴P ∈平面AA 1D 1D . 又CE ⊂平面ABCD ，P ∈EC ，∴P ∈平面ABCD ， 即P 是平面ABCD 与平面AA 1D 1D 的公共点． 而平面ABCD ∩平面AA 1D 1D ＝直线AD ，∴P ∈直线AD (公理3)，∴直线CE 、D 1F 、DA 三线共点．B 级 素养提升一、选择题1．空间中四点可确定的平面有 ( D ) A ．1个 B ．3个C ．4个D ．1个或4个或无数个[解析] 当四个点在同一条直线上时，经过这四个点的平面有无数个；当这四个点为三棱锥的四个顶点时，可确定四个平面；当这四个点为平面四边形的四个顶点时，确定一个平面；当其中三点共线于l ，另一点不在直线l 上时，也确定一个平面，故选D ．2．设P 表示一个点，a 、b 表示两条直线，α、β表示两个平面，给出下列四个命题，其中正确的命题是 ( D )①P ∈a ，P ∈α⇒a ⊂α ②a ∩b ＝P ，b ⊂β⇒a ⊂β③a ∥b ，a ⊂α，P ∈b ，P ∈α⇒b ⊂α ④α∩β＝b ，P ∈α，P ∈β⇒P ∈b A ．①②B ．②③C ．①④D ．③④[解析] 当a ∩α＝P 时，P ∈a ，P ∈α，但a ⊄α，∴①错；a ∩β＝P 时，②错；如图∵a ∥b ，P ∈b ，∴P ∉a ，∴由直线a 与点P 确定唯一平面α，又a ∥b ，由a 与b 确定唯一平面β，但β经过直线a 与点P ，∴β与α重合，∴b ⊂α，故③正确；两个平面的公共点必在其交线上，故④正确，选D ．3．如图，α∩β＝l ，A ∈α，C ∈β，C ∉l ，直线AD ∩l ＝D ，过A 、B 、C 三点确定的平面为γ，则平面γ、β的交线必过 ( D )A．点A B．点BC．点C，但不过点D D．点C和点D[解析] A、B、C确定的平面γ与直线BD和点C确定的平面重合，故C、D∈γ，且C、D∈β，故C，D在γ和β的交线上．4．下列各图均是正六棱柱，P、O、R、S分别是所在棱的中点，这四个点不共面的图形是 ( D )[解析] 在选项A、B、C中，由棱柱、正六边形、中位线的性质，知均有PS∥OR，即在此三个图形中P、O、R、S共面，故选D．二、填空题5．若直线l与平面α相交于点O、A、B∈l、C、D∈α，且AC∥∥BD，则O、C、D三点的位置关系是__共线__.[解析] ∵AC∥BD，∴AC与BD确定一个平面，记作平面β，则α∩β＝直线CD.∵l∩α＝O，∴O∈α.又∵O∈AB⊂β，∴O∈直线CD，∴O、C、D三点共线．6．已知α、β是不同的平面，l、m、n是不同的直线，P为空间中一点．若α∩β＝l，m⊂α、n⊂β、m∩n＝P，则点P与直线l的位置关系用符号表示为__P∈l__.[解析] 因为m⊂α，n⊂β，m∩n＝P，所以P∈α且P∈β.又α∈β＝l，所以点P 在直线l上，所以P∈l.C 级 能力拔高1．如图，在四面体A －BCD 中作截面PQR ，若PQ 、CB 的延长线交于点M ，RQ 、DB 的延长线交于点N ，RP 、DC 的延长线交于点K .求证：M 、N 、K 三点共线．[解析] ∵M ∈PQ ，直线PQ ⊂平面PQR ，M ∈BC ，直线BC ⊂平面BCD ，∴M 是平面PQR 与平面BCD 的一个公共点， ∴M 在平面PQR 与平面BCD 的交线上．同理可证，N 、K 也在平面PQR 与平面BCD 的交线上． ∴M 、N 、K 三点共线．2．如图所示，在棱长为a 的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是AA 1，D 1C 1的中点，过D ，M ，N 三点的平面与正方体的下底面相交于直线l .(1)画出直线l 的位置；(2)设l ∩A 1B 1＝P ，求线段PB 1的长．[解析] (1)延长DM 交D 1A 1的延长线于E ，连接NE ，则NE 即为直线l 的位置．(2)∵M 为AA 1的中点，AD ∥ED 1， ∴AD ＝A 1E ＝A 1D 1＝a . ∵A 1P ∥D 1N ，且D 1N ＝12a ，∴A 1P ＝12D 1N ＝14a ，于是PB 1＝A 1B 1－A 1P ＝a －14a ＝34a .。