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[考试标准]知识内容必考要求加试要求说明行星的运动a太阳与行星间的引力a 万有引力定律c 万有引力理论的成就c 宇宙航行c 经典力学的局限性a1.不要求掌握人类对行星运动规律认识的细节．2.不要求用开普勒三个定律求解实际问题．3.不要求掌握太阳与行星间引力表达式的推导方法．4.不要求计算空心球体与质点间的万有引力．5.不要求分析重力随纬度变化的原因.一、开普勒行星运动三定律1．开普勒第一定律：所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上．2．开普勒第二定律：对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过相等的面积．3．开普勒第三定律(又叫周期定律)：所有行星的轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值都相等．[深度思考] 判断下列说法是否正确．(1)开普勒定律只适用于行星绕太阳的运动，不适用于卫星绕地球的运动．( × )(2)行星离太阳较近时，运动速率比较快，行星离太阳比较远时运动速率比较慢．( √ )(3)离太阳越远的行星，周期越长．( √ )二、万有引力定律1．自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量m 1和m 2的乘积成正比，与它们之间距离r 的平方成反比．2．万有引力定律的表达式为F ＝G .m 1m 2r 23．适用条件：万有引力定律的公式只适用于计算质点间的相互作用．4．引力常量是由英国物理学家卡文迪许利用扭称装置测得的，G ＝6.67×10－11 N·m 2/kg 2.三、万有引力理论的成就1．预言未知星体英国的亚当斯和法国的勒维耶，根据天王星的观测资料，各自独立地利用万有引力定律计算出天王星轨道外面“新”行星的轨道．德国的伽勒在勒维耶预言的位置附近发现了海王星．2．计算天体质量天体质量的计算一般有两条思路：(1)中心天体对卫星的万有引力提供卫星所需的向心力．以计算地球质量为例，若已知月球绕地球运动的周期T 和半径r ，则根据＝m ()2r ，得M ＝.GMmr 22πT 4π2r 3GT 2(2)地面(或某行星表面)的物体的重力近似等于物体所受的万有引力．若已知地球半径R 和地球表面的重力加速度g ，由mg ＝得M ＝.GMmR 2gR 2G [深度思考] 当两个物体间的距离趋近于0时，万有引力趋近于无穷大吗？为什么？答案 不是，此时两个物体不能看成质点了．四、宇宙航行1．第一宇宙速度是物体在地面附近绕地球做匀速圆周运动的速度，大小为7.9 km/s ，第一宇宙速度是卫星最大的环绕速度，也是发射卫星的最小发射速度．2．第二宇宙速度是指将卫星发射出去，挣脱地球的束缚所需要的最小发射速度，其大小为11.2 km/s.3．第三宇宙速度是指使发射出去的卫星挣脱太阳引力的束缚，飞到太阳系外所需要的最小发射速度，其大小为16.7 km/s.五、经典力学的局限性1．在经典力学中，物体的质量是不变的，而狭义相对论指出，质量要随着物体运动速度的增大而增大，即m ＝，两者在低速的条件下是统一的．m 01－v 2c 22．经典力学认为位移和时间的测量与参考系无关，相对论认为，同一过程的位移和时间的测量与参考系有关．3．经典力学的适用范围：只适用于低速运动，不适用于高速运动；只适用于宏观世界，不适用于微观世界．4．当物体的运动速度远小于光速c (3×108 m/s)时，相对论物理学与经典物理学的结论没有区别．1．(2016·资阳期末)关于开普勒对行星运动规律的认识，下列说法正确的是( )A ．所有行星绕太阳的运动都是匀速圆周运动B ．所有行星以相同的速率绕太阳做椭圆运动C ．对于每一个行星在近日点时的速率均大于它在远日点的速率D ．所有行星轨道的半长轴的二次方与公转周期的三次方的比值都相同答案 C2．(多选)关于开普勒行星运动的公式＝k ，以下理解正确的是( )R 3T 2A ．k 是一个与行星无关的量B ．若地球绕太阳运动轨道的半长轴为R 地，周期为T 地；月球绕地球运动轨道的半长轴为R 月，周期为T 月，则＝R 3地T 2地R 3月T 2月C ．T 表示行星运动的自转周期D ．T 表示行星运动的公转周期答案 AD3．下面叙述的力，属于万有引力的是( )A ．马拉车的力B ．月球对登月舱的吸引力C ．钢绳吊起重物，重物对钢绳的拉力D ．地磁场对指南针的吸引力答案 B4．卡文迪许利用扭秤实验测量的物理量是( ) A ．地球的半径 B ．太阳的质量C ．地球到太阳的距离 D ．引力常量答案 D5．2012年10月25日，我国再次成功将一颗北斗导航卫星发射升空，并送入绕地球的椭圆轨道．该卫星发射速度v 大小的范围是( )A ．v <7.9 km/sB ．7.9 km /s< v <11.2 km/sC ．11.2 km /s< v <16.7 km/sD ．v >16.7 km/s 答案 B命题点一 万有引力定律的理解和应用例1 过去几千年来，人类对行星的认识与研究仅限于太阳系内，行星“51 peg b ”的发现拉开了研究太阳系外行星的序幕．“51 peg b ”绕其中心恒星做匀速圆周运动，周期约为4天，轨道半径约为地球绕太阳运动半径的，该中心恒星与太阳的质量比约为( ) 120A. B ．1 C ．5 D ．10110解析 根据万有引力提供向心力，有G ＝m r ，可得M ＝，所以恒星质量与太阳Mmr 24π2T 24π2r 3GT 2质量之比为＝＝()3×()2≈1，故选项B 正确．M 恒M 太r 3恒T 2地r 3地T 2恒1203654答案 B应用万有引力定律解题的思路和方法1．解决天体(卫星)运动问题的基本思路(1)天体运动的向心力来源于天体之间的万有引力，即G ＝ma n ＝m ＝mω2r ＝m .Mmr 2v 2r 4π2rT 2(2)在中心天体表面或附近运动时，万有引力近似等于重力，即G ＝mg (g 表示天体表面的MmR 2重力加速度)．2．天体质量和密度的估算(1)利用天体表面的重力加速度g 和天体半径R .由于G ＝mg ，故天体质量M ＝，MmR 2gR 2G天体密度ρ＝＝＝.MV M43πR 33g4πGR (2)通过观察卫星绕天体做匀速圆周运动的周期T 和轨道半径r .①由万有引力等于向心力，即G ＝m r ，得出中心天体质量M ＝；Mmr 24π2T 24π2r 3GT 2②若已知天体半径R ，则天体的平均密度ρ＝＝＝.MV M43πR 33πr 3GT 2R 3题组阶梯突破1．(2016·广西模拟)如图1所示为绕太阳运转的各行星轨道示意图，假设图中各行星只受到太阳引力作用，并绕太阳做匀速圆周运动．下列说法正确的是( )图1A ．水星运行的周期最长B ．地球运行的线速度最大C ．火星运行的向心加速度最小D ．天王星运行的角速度最小答案 D解析 根据G ＝ma n ＝m ＝mrω2＝mr 得，向心加速度a n ＝，线速度v ＝，Mmr 2v 2r 4π2T 2GMr 2GM r 角速度ω＝，周期T ＝，天王星的轨道半径最大，周期最长，角速度最小，向GMr 34π2r 3GM 心加速度最小，水星的轨道半径最小，线速度最大，故D 正确，A 、B 、C 错误．2．某行星与地球的质量比为a ，半径比为b ，则该行星表面与地球表面的重力加速度之比为( )A. B. C ．ab 2 D ．ab a b ab 2答案 B解析 星球表面上万有引力与重力相等，则地球表面上mg ＝G①mMR 2某行星表面上mg ′＝G②mM ′r 2由①②两式得＝＝，故B 正确．g ′g M ′R 2Mr 2ab 23．(2016·广西模拟)两颗行星的质量分别为m 1和m 2，它们绕太阳运行的轨道半径分别是r 1和r 2，若它们只受太阳引力的作用，那么这两颗行星的向心加速度之比为( )A ．1 B. C. D.m 2r 1m 1r 2m 1r 2m 2r 1r 2r 21答案 D解析 万有引力提供行星圆周运动的向心力即：G ＝ma n ，可得行星的向心加速度a n ＝mMr 2，所以＝.GMr 2a 1a 2r 2r 214．如图2所示，a 、b 、c 是在地球大气层外圆形轨道上运动的3颗卫星，下列说法正确的是( )图2A ．b 、c 的线速度大小相等，且大于a 的线速度B ．b 、c 的向心加速度大小相等，且大于a 的向心加速度C ．c 加速可追上同一轨道上的b ，b 减速可等候同一轨道上的cD ．a 卫星由于某种原因，轨道半径缓慢减小，其线速度将增大答案 D命题点二 宇宙航行和卫星问题例2 宇航员在月球上做自由落体实验，将某物体由距月球表面高h 处释放，经时间t 后落到月球表面(设月球半径为R )．据上述信息推断，飞船在月球表面附近绕月球做匀速圆周运动所必须具有的速率为( ) A. B. C. D.2Rht 2Rht Rht Rh2t解析 设月球表面的重力加速度为g ′，由物体“自由落体”可得h ＝g ′t 2，飞船在月球12表面附近做匀速圆周运动可得G ＝m ，在月球表面附近mg ′＝，联立得MmR 2v 2R GMmR 2v ＝，故B 正确．2Rht 答案 B第一宇宙速度求解和同步卫星的特点1．第一宇宙速度的推导方法一：由G ＝m 得v 1＝＝7.9×103 m/s.MmR 2v 21R GMR 方法二：由mg ＝m 得v 21Rv 1＝＝7.9×103 m/s.gR 第一宇宙速度是发射人造卫星的最小速度，也是人造卫星的最大环绕速度．2．同步卫星的六个“一定”题组阶梯突破5．关于我国发射的“亚洲一号”地球同步通讯卫星的说法，正确的是( )A ．若其质量加倍，则轨道半径也要加倍B ．它在北京上空运行，故可用于我国的电视广播C ．它以第一宇宙速度运行D ．它运行的角速度与地球自转角速度相同答案 D解析 由G ＝m 得r ＝，可知轨道半径与卫星质量无关，A 错；同步卫星的轨道平Mmr 2v 2r GMv 2面必须与赤道平面重合，即在赤道上空运行，不能在北京上空运行，B 错；第一宇宙速度是卫星在最低圆轨道上运行的速度，而同步卫星在高轨道上运行，其运行速度小于第一宇宙速度，C 错；所谓“同步”就是卫星保持与赤道上某一点相对静止，所以同步卫星的角速度与地球自转角速度相同，D 对．6．若取地球的第一宇宙速度为8 km/s ，某行星的质量是地球的6倍，半径是地球的1.5倍，则该行星的第一宇宙速度约为( )A ．16 km /sB ．32 km/sC ．4 km /sD ．2 km/s 答案 A解析 由＝，得v ＝＝8km/s ，所以该行星的第一宇宙速度GMmR 2m v 2R GMR v ′＝＝16 km/s ，A 项正确．G ×6M1.5R7．(多选)已知地球质量为M ，半径为R ，自转周期为T ，地球同步卫星的质量为m ，引力常量为G .有关同步卫星，下列表述正确的是( )A ．卫星距地面的高度为3GMT 24π2B ．卫星的运行速度小于第一宇宙速度C ．卫星运行时受到的向心力大小为G MmR 2D ．卫星运行的向心加速度小于地球表面的重力加速度答案 BD解析 天体运动的基本原理为由万有引力提供向心力，地球的引力使卫星绕地球做匀速圆周运动，即F 引＝F 向＝m ＝.当卫星在地球表面运行时，F 引＝＝mg (此时R 为地v 2r 4π2mrT 2GMmR 2球半径)，设同步卫星离地面高度为h ，则F 引＝＝F 向＝ma 向<mg ，所以C 错误、DGMm(R ＋h )2正确．由＝得，v ＝< ，B 正确．由＝，得R ＋h ＝GMm(R ＋h )2m v 2R ＋h GMR ＋h GMR GMm(R ＋h )24π2m (R ＋h )T 2，即h ＝－R ，A 错误.3GMT 24π23GMT 24π2(建议时间：30分钟)1．(2016·朝阳区期末)利用如图1所示的装置首先精确测量引力常量的科学家是( ) 图1A ．第谷B ．牛顿C ．开普勒D ．卡文迪许答案 D解析 牛顿发现万有引力定律后，由英国科学家卡文迪许最先利用扭秤实验较精确测出引力常量G ，故D 正确，A 、B 、C 错误．2．牛顿发现了万有引力定律，卡文迪许通过实验测出了引力常量G ，G 的单位是( )A ．N·m /kg B ．N·m 2/kg C ．N·m /kg 2 D ．N·m 2/kg 2答案 D解析 万有引力定律F ＝G ，公式中，质量m 的单位为kg ，距离r 的单位为m ，引力F mMr 2的单位为N ，由公式推导得出，G 的单位为N·m 2/kg 2，故D 正确，A 、B 、C 错误．3．(2016·宁波质检)地球对月球具有强大的万有引力，为什么不靠在一起，其原因是( )A ．不仅地球对月球有万有引力，而且月球对地球也有万有引力，这两个力大小相等、方向相反，互相平衡了B ．不仅地球对月球有万有引力，而且太阳系里其它星球对月球也有万有引力，这些力的合力等于零C ．地球对月球的万有引力还不算大D ．万有引力不断改变月球的运动方向，使得月球绕地球运行答案 D解析 地球对月球的万有引力和月球对地球的万有引力是相互作用力，两个力大小相等、方向相反，作用在两个物体上，不能平衡，故A 错误；月球绕地球做匀速圆周运动，合力不等于零，故B 错误；月球绕地球做匀速圆周运动，万有引力恰好提供向心力，万有引力不断改变月球的运动方向，使得月球绕地球运行，故C 错误，D 正确．4．理论和实践证明，开普勒定律不仅适用于太阳系中的天体运动，而且对一切天体(包括卫星绕行星的运动)都适用．下面对于开普勒第三定律的公式＝k ，下列说法正确的是( )a 3T 2A ．公式只适用于轨道是椭圆的运动B ．式中的k 值，对于所有行星(或卫星)都相等C ．式中的k 值，只与中心天体有关，与绕中心天体旋转的行星(或卫星)无关D ．若已知月球与地球之间的距离，根据公式可求出地球与太阳之间的距离答案 C解析 开普勒第三定律不仅适用于行星绕太阳的运动，也适用于卫星绕行星的运动．所以也适用于轨道是圆的运动，故A 错误；式中的k 与中心天体的质量有关，与绕中心天体旋转的行星(或卫星)无关．故B 错误，C 正确；已知月球与地球之间的距离，无法求出地球与太阳之间的距离，故D 错误．5．开普勒定律告诉我们( )A ．绕太阳运行的天体称为卫星B ．太阳系的八大行星中，离太阳越远的，其周期就越大C ．太阳系的八大行星中，离太阳越远的，其运行速度就越大D ．太阳系的八大行星绕太阳运行的轨迹都是圆答案 B6．1984年我国第一颗试验同步卫星发射成功到2003年神舟五号载人飞行，我国的航天事业实现了两次质的飞跃．神舟五号历经21小时27分37秒，绕地球运行14圈安全着陆，神舟五号与同步卫星相比( )A ．神舟五号比同步卫星运行时的加速度小B ．神舟五号比同步卫星运行时的速度大C ．神舟五号比同步卫星离地高度大D ．神舟五号与同步卫星在同一轨道平面内答案 B解析 根据G ＝mr 得，T ＝，由题意知，同步卫星的周期大于神舟五号的周Mmr 24π2T 24π2r 3GM 期，则同步卫星的轨道半径大于神舟五号的轨道半径，得知神舟五号比同步卫星离地高度小，故C 错误；根据G ＝ma n ＝m 得，a n ＝，v ＝，同步卫星的轨道半径大，则同Mmr 2v 2r GMr 2GMr步卫星的加速度小，速度小，故A 错误，B 正确；同步卫星的轨道平面在赤道的上空，与神舟五号不在同一轨道平面内，故D 错误．7．(多选)(2016·广西模拟)如图2为绕太阳运转的各行星轨道示意图，假设图中各行星只受太阳引力，并绕太阳做匀速圆周运动．下列说法正确的是( )图2A ．各行星运行的线速度相同B ．各行星运行的角速度相同C ．离太阳越近的行星运行周期越小D ．离太阳越近的行星向心加速度越大答案 CD解析 根据G ＝ma n ＝m ＝mrω2＝mr 得，向心加速度a n ＝，线速度v ＝ ，Mm r 2v 2r 4π2T 2GM r 2GMr 角速度ω＝ ，周期T ＝ ，知各行星的线速度、角速度不等；离太阳越近，轨道GMr 34π2r 3GM 半径越小，周期越小，向心加速度越大，故C 、D 正确，A 、B 错误．8．宇宙飞船围绕太阳在近似圆周的轨道上运动，若其轨道半径是地球轨道半径的9倍，则宇宙飞船绕太阳运行的周期是( )A ．3年B ．9年C ．27年D ．81年答案 C9．已知引力常量为G ，地球表面重力加速度为g ，地球半径为R ，则地球质量为( )A ．M ＝gR 2B ．M ＝gR 2G C ．M ＝D ．M ＝GgR gR G答案 B解析 设地球表面有一物体质量为m ，由万有引力公式得：＝mg ，解得：M ＝.GMm R 2gR 2G 10．地球表面处的重力加速度为g ，则在距地面高度等于地球半径处的重力加速度为( )A ．g B. C. D ．2gg 2g4答案 C解析 根据题意有：G ＝mg ①MmR 2G ＝mg ′ ②mM(R ＋R )2由①和②得：g ′＝g 4故C 正确，A 、B 、D 错误．11．假设地球质量不变，而地球半径增大到原来的2倍，那么从地球上发射人造卫星的第一宇宙速度变为原来的( )A.倍 B. C. D ．2倍22212答案 B12．2011年9月29日，我国成功发射“天宫一号”飞行器，“天宫一号”绕地球做匀速圆周运动的速度约为28 000 km /h ，地球同步卫星的环绕速度约为3.1 km/s ，比较两者绕地球的运动( )A ．“天宫一号”的轨道半径大于同步卫星的轨道半径B ．“天宫一号”的周期大于同步卫星的周期C ．“天宫一号”的角速度小于同步卫星的角速度D ．“天宫一号”的向心加速度大于同步卫星的向心加速度答案 D解析 “天宫一号”绕地球做匀速圆周运动的速度28 000 km /h ≈7.78 km /s ，大于地球同步卫星的线速度，由万有引力提供向心力，有G ＝m ＝m r ＝mω2r ＝ma n ，得出线速度Mm r 2v 2r 4π2T 2v ＝ ，可知“天宫一号”的轨道半径小于同步卫星的轨道半径，所以A 项错误；根据GMr 周期公式T ＝ 可知“天宫一号”的周期小于同步卫星的周期，所以B 项错误；根据4π2r 3GM 角速度公式ω＝ 可知“天宫一号”的角速度大于同步卫星的角速度，所以C 项错误；GM r 3根据向心加速度公式a n ＝可知“天宫一号”的向心加速度大于同步卫星的向心加速度，GMr 2所以D 项正确．13．(多选)质量为m 的探月航天器在接近月球表面的轨道上飞行，其运动视为匀速圆周运动．已知月球质量为M ，月球半径为R ，月球表面重力加速度为g ，引力常量为G ，不考虑月球自转的影响，则航天器的( )A ．线速度v ＝ GMRB ．角速度ω＝gRC ．运行周期T ＝2πRgD ．向心加速度a n ＝GmR 2答案 AC解析 由＝m ＝mω2R ＝m R ＝mg ＝ma n 得v ＝ ，A 对；ω＝，B 错；T ＝2πGMm R 2v 2R 4π2T 2GM R gR ，C 对；a n ＝，D 错．R g GMR 214．据报道，天文学家新发现了太阳系外的一颗行星．这颗行星的体积是地球的a 倍，质量是地球的b 倍．已知近地卫星绕地球运动的周期约为T ，引力常量为G .则该行星的平均密度为( )A.B.3πGT 2π3T 2C. D.3πbaGT 23πa bGT 2答案 C 解析 万有引力提供近地卫星绕地球运动的向心力G ＝m ，且ρ地＝，由以M 地mR 24π2R T 23M 地4πR 3上两式得ρ地＝.而＝＝，因而ρ星＝.3πGT 2ρ星ρ地M 星V 地V 星M 地b a 3πb aGT 215．研究表明，地球自转在逐渐变慢，3亿年前地球自转的周期约为22小时．假设这种趋势会持续下去，地球的其他条件都不变，未来人类发射的地球同步卫星与现在的相比( )A ．距地面的高度变大B ．向心加速度变大C ．线速度变大D ．角速度变大答案 A解析 地球对卫星的万有引力提供向心力，由G ＝得：T ＝2π ，由于周期T mM r 2mr (2π)2T 2r 3GM 变大，所以卫星距地面的高度变大，A 正确；由卫星运行的规律可知，向心加速度变小，线速度变小，角速度变小，B 、C 、D 错．16．如图3所示，火箭内平台上放有测试仪器，火箭从地面启动后，以的加速度竖直向上g 2匀加速运动，升到某一高度时，测试仪对平台的压力为启动前压力的.已知地球半径为1718R，求：图3(1)此时火箭所在位置的重力加速度．(2)火箭此时离地面的高度．(g 为地面附近的重力加速度)答案 (1)g (2)49R 2解析 (1)在地面附近的物体，所受重力近似等于物体所受到的万有引力．取测试仪为研究对象，其先后受力分析如图甲、乙所示，据物体的平衡条件有F N1＝mg 1，g 1＝g，当升到某一高度时，根据牛顿第二定律有F N2－mg 2＝m ，g 2所以F N2＝＋mg 2＝mg ，mg 21718所以g 2＝g .49(2)设火箭距地面高度为H ，mg 2＝G ·，mg ＝，Mm (R ＋H )2GMmR 2解得H ＝.R 2。
第4课时 万有引力与航天[考纲定位] 1.万有引力定律及其应用、环绕速度(Ⅱ)2．第二宇宙速度和第三宇宙速度(Ⅰ) 3.经典时空观和相对论时空观(Ⅰ)考点1| 天体质量与密度的估算1．解决天体(卫星)运动问题的基本思路(1)天体运动的向心力来源于天体之间的万有引力，即G Mmr 2＝ma n ＝m v 2r ＝mω2r ＝m 4π2rT 2。
(2)在中心天体表面或附近运动时，万有引力近似等于重力，即G MmR 2＝mg (g 表示天体表面的重力加速度)。
2．天体质量和密度的计算(1)利用天体表面的重力加速度g 和天体半径R 。
由于G MmR 2＝mg ，故天体质量M ＝gR 2G ，天体密度ρ＝M V ＝M 43πR3＝3g4πGR。
(2)通过观察卫星绕天体做匀速圆周运动的周期T 和轨道半径r 。
①由万有引力等于向心力，即G Mm r 2＝m 4π2T 2r ，得出中心天体质量M ＝4π2r 3GT 2； ②若已知天体半径R ，则天体的平均密度ρ＝M V ＝M 43πR 3＝3πr 3GT 2R 3；③若天体的卫星在天体表面附近环绕天体运动，可认为其轨道半径r 等于天体半径R ，则天体密度ρ＝3πGT 2。
可见，只要测出卫星环绕天体表面运动的周期T ，就可估算出中心天体的密度。
[题组突破]1．[环绕法]“嫦娥一号”是我国首次发射的探月卫星，它在距月球表面高度为200 km 的圆形轨道上运行，运行周期为127分钟。
已知引力常量G ＝6.67×10－11N·m 2/kg 2，月球半径约为1.74×103 km 。
利用以上数据估算月球的质量约为( )A ．8.1×1010 kgB ．7.4×1013 kgC ．5.4×1019 kgD ．7.4×1022 kg【解析】 设探月卫星质量为m ，月球质量为M ，根据万有引力提供向心力G mM (R ＋h )2＝m ⎝ ⎛⎭⎪⎫2πT 2(R ＋h )，已知h ＝2×105 m ，T ＝127×60 s ，R ＝1.74×106m ，代入上式解得M ＝7.4×1022 kg ，D 正确。
第4节万有引力与航天【考纲全景透析】一、万有引力定律1.内容：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小跟物体的质量m1和m2的乘积_______，与它们之间距离r的二次方_______.2.公式：F=_______，其中G为引力常量，G=6.67×10-11 N·m2/kg2，由卡文迪许扭秤实验测定.【答案】成正比成反比Gm1m2 r23.适用条件：两个_________的相互作用.(1)质量分布均匀的球体间的相互作用，也可用本定律来计算，其中r为______________.(2)一个质量分布均匀的球体和球外一个质点之间的万有引力也适用，其中r为____________________.【答案】质点之间两球心间的距离质点到球心间的距离二、三种宇宙速度三、经典时空观和相对论时空观1.经典时空观(1)在经典力学中，物体的质量不随_________而改变；(2)在经典力学中，同一物理过程发生的位移和对应时间的测量结果在不同的参考系中是_____的.【答案】运动状态 相同 2.相对论时空观(1)在狭义相对论中，物体的质量随物体的速度的增加而______，用公式表示为m= ______. (2)在狭义相对论中，同一物理过程发生的位移和对应时间的测量结果在不同的参考系中是______的.【答案】增加 不同m 01－v 2c2. 【热点难点全析】考点一 万有引力定律在天体运动中的应用 1.利用万有引力定律解决天体运动的一般思路 （1）一个模型天体(包括卫星)的运动可简化为质点的匀速圆周运动模型． （2）两组公式G Mm r 2＝m v 2r ＝m ω2r ＝m 4π2T2·r ＝ma mg ＝GMmR2(g 为星体表面处的重力加速度)．2.天体质量和密度的计算 (1)估算中心天体的质量.①从环绕天体出发:通过观测环绕天体运动的周期T 和轨道半径r ，就可以求出中心天体的质量M.②从中心天体本身出发:只要知道中心天体表面的重力加速度g 和半径R ，就可以求出中心天体的质量M.（2）设天体表面的重力加速度为g ，天体半径为R ，则mg ＝G Mm R 2，即g ＝GM R2(或GM ＝gR 2)若物体距星体表面高度为h ，则重力mg ′＝GMmR ＋h 2，即g ′＝GMR ＋h2＝R 2R ＋h2g .【例1】“嫦娥一号”于2009年3月1日下午4时13分成功撞月，从发射到撞月历时433天，标志我国一期探月工程圆满结束．其中，卫星发射过程先在近地圆轨道绕行3周，再长途跋涉进入近月圆轨道绕月飞行．若月球表面的重力加速度为地球表面重力加速度的16，月球半径为地球半径的14，根据以上信息得 ( )．A ．绕月与绕地飞行周期之比为3∶ 2B ．绕月与绕地飞行周期之比为2∶ 3C ．绕月与绕地飞行向心加速度之比为1∶6D ．月球与地球质量之比为1∶96 【答案】 ACD【详解】 由G Mm R 2＝mg 可得月球与地球质量之比：M 月M 地＝g 月g 地×R 月2R 地2＝196，D 正确．由于在近地及近月轨道中，“嫦娥一号”运行的半径分别可近似等于地球的半径与月球的半径，由G MmR2＝m ⎝ ⎛⎭⎪⎫2πT 2R ，可得：T 月T 地＝ R 月3M 地R 地3M 月＝32，A 正确．由G Mm R 2＝ma 可得：a 月a 地＝M 月R 地2M 地R 月2＝16，C 正确． 考点二 卫星的在轨运行和变轨问题 (1)圆轨道上的稳定运行G Mm r 2＝m v 2r ＝mr ω2＝mr ⎝ ⎛⎭⎪⎫2πT 2(2)变轨运行分析当卫星由于某种原因速度v 突然改变时，受到的万有引力G Mm r 2和需要的向心力m v 2r 不再相等，卫星将偏离原轨道运动．当G Mm r 2＞m v 2r 时，卫星做近心运动，其轨道半径r 变小，由于万有引力做正功，因而速度越来越大；反之，当G Mm r 2＜m v 2r时，卫星做离心运动，其轨道半径r 变大，由于万有引力做负功，因而速度越来越小． 3.地球同步卫星的特点(1)轨道平面一定：轨道平面和赤道平面重合.(2)周期一定：与地球自转周期相同，即T ＝24 h ＝86 400 s. (3)角速度一定：与地球自转的角速度相同.(4)高度一定：据卫星离地面高度h ＝r －R ≈6R(为恒量).(5)绕行方向一定：与地球自转的方向一致. 4.极地卫星和近地卫星(1)极地卫星运行时每圈都经过南北两极，由于地球自转，极地卫星可以实现全球覆盖. (2)近地卫星是在地球表面附近环绕地球做匀速圆周运动的卫星，其运行的轨道半径可近似认为等于地球的半径，其运行线速度约为7.9 km/s. (3)两种卫星的轨道平面一定通过地球的球心.【例2】如图所示，北京飞控中心对“天宫一号”的对接机构进行测试，确保满足交会对接要求，在“神舟八号”发射之前20天，北京飞控中心将通过3至4次轨道控制，对“天宫一号”进行轨道相位调整，使其进入预定的交会对接轨道，等待神舟八号到来，要使“神舟八号”与“天宫一号”交会，并最终实施对接，“神舟八号”为了追上“天宫一号” ( )．A ．应从较低轨道上加速B ．应从较高轨道上加速C ．应在从同空间站同一轨道上加速D ．无论在什么轨道上只要加速就行 【答案】 A【详解】“神舟八号”要追上“天宫一号”，不能像汽车或飞机那样，对准目标加速飞去，因为在同一轨道上，“神舟八号”一旦加速，它就离开原来轨道，进入另外一条较高的椭圆轨道，为了缩短距离，“神舟八号”应该从较低轨道加速，加速后轨道高度升高，才能与“天宫一号”在同一轨道上完成对接．据G Mm r 2＝m ⎝ ⎛⎭⎪⎫2πT 2r ，得T ＝2πr 3GM，先让“神舟八号”在低轨上运行，“天宫一号”在高轨道上的运动周期大、“神舟八号”在低轨道上的运行周期小，然后“神舟八号”适时加速后做离心运动，使之与“天宫一号”在高轨道上实现对接，故选项A 对B 错．若“神舟八号”在同一轨道上只加速，将要离开原轨道向外，所以只加速不减速是不可能进行对接的，因此选项C 、D 都错． 考点三 双星模型1．模型概述：在天体运动中，将两颗彼此相距较近，且在相互之间万有引力作用下绕两者连线上的某点做周期相同的匀速圆周运动的行星称为双星． 2．模型特点：(1)两颗行星做圆周运动所需的向心力由它们之间的万有引力提供，故F 1＝F 2，且方向相反，分别作用在m 1、m 2两颗行星上．(2)由于两颗行星之间的距离总是恒定不变的，所以两颗行星的运行周期及角速度相等． (3)由于圆心在两颗行星的连线上，所以r 1＋r 2＝L .【例3】宇宙中两颗相距较近的天体称为“双星”，它们以二者连线上的某一点为圆心做匀速圆周运动而不至因万有引力的作用吸引到一起．(1)试证明它们的轨道半径之比、线速度之比都等于质量的反比．(2)设两者的质量分别为m 1和m 2，两者相距L ，试写出它们角速度的表达式．【答案】(1)见解析 (2)G m 1＋m 2L 3【详解】(1)证明 两天体绕同一点做匀速圆周运动的角速度ω一定要相同，它们做匀速圆周运动的向心力由它们之间的万有引力提供，所以两天体与它们的圆心总是在一条直线上．设两者的圆心为O 点，轨道半径分别为R 1和R 2，如图所示．对两天体，由万有引力定律可分别列出Gm 1m 2L2＝m 1ω2R 1① Gm 1m 2L 2＝m 2ω2R 2② 所以R 1R 2＝m 2m 1，所以v 1v 2＝R 1ωR 2ω＝R 1R 2＝m 2m 1，即它们的轨道半径、线速度之比都等于质量的反比． (2)由①②两式相加得G m 1＋m 2L 2＝ω2(R 1＋R 2)，因为R 1＋R 2＝L ，所以ω＝ G m 1＋m 2L 3.。
第4节 万有引力与航天知识点1 开普勒行星运动定律1．开普勒第一定律 所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上．2．开普勒第二定律 对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过相等的面积．3．开普勒第三定律 所有行星的轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值都相等，表达式：a 3T 2＝k .知识点2 万有引力定律1．内容(1)自然界中任何两个物体都相互吸引．(2)引力的方向在它们的连线上．(3)引力的大小与物体的质量m 1和m 2的乘积成正比、与它们之间距离r 的二次方成反比．2．表达式F ＝G m 1m 2r 2，其中G 为引力常量，G ＝6.67×10－11 N·m 2/kg 2，由卡文迪许扭秤实验测定．3．适用条件(1)两个质点之间的相互作用．(2)对质量分布均匀的球体，r 为两球心间的距离．知识点3 地球同步卫星及宇宙速度1．地球同步卫星的特点(1)轨道平面一定：轨道平面和赤道平面重合．(2)周期一定：与地球自转周期相同，即T ＝24 h ＝86 400 s.(3)角速度一定：与地球自转的角速度相同．(4)高度一定：据G Mmr2＝m4π2T2r得r＝3GMT24π2＝4.24×104km，卫星离地面高度h＝r－R≈6R(为恒量)．(5)速率一定：运行速度v＝2πrT＝3.07 km/s(为恒量)．(6)绕行方向一定：与地球自转的方向一致．2．三种宇宙速度比较1．经典时空观(1)在经典力学中，物体的质量是不随速度的改变而改变的．(2)在经典力学中，同一物理过程发生的位移和对应时间的测量结果在不同的参考系中是相同的．2．相对论时空观同一过程的位移和时间的测量与参考系有关，在不同的参考系中不同．3．经典力学有它的适用范围只适用于低速运动，不适用于高速运动；只适用于宏观世界，不适用于微观世界．[物理学史链接]1．德国天文学家开普勒提出天体运动的开普勒三大定律．2．牛顿总结了前人的科研成果，在此基础上，经过研究得出了万有引力定律．3．英国物理学家卡文迪许利用扭秤实验装置比较准确地测出了引力常量．1．正误判断(1)只有天体之间才存在万有引力．(×)(2)当两物体间的距离趋近于零时，万有引力趋近于无穷大．(×)(3)第一宇宙速度与地球的质量有关．(√)(4)地球同步卫星的运行速度大于第一宇宙速度．(×)(5)地球同步卫星可以定点于北京正上方．(×)(6)若物体的发射速度大于第二宇宙速度，小于第三宇宙速度，则物体可以绕太阳运行．(√)2．[物理学史](2016·全国丙卷)关于行星运动的规律，下列说法符合史实的是()A．开普勒在牛顿定律的基础上，导出了行星运动的规律B．开普勒在天文观测数据的基础上，总结出了行星运动的规律C．开普勒总结出了行星运动的规律，找出了行星按照这些规律运动的原因D．开普勒总结出了行星运动的规律，发现了万有引力定律B[开普勒在前人观测数据的基础上，总结出了行星运动的规律，与牛顿定律无联系，选项A错误，选项B正确；开普勒总结出了行星运动的规律，但没有找出行星按照这些规律运动的原因，选项C错误；牛顿发现了万有引力定律，选项D错误．]3．[同步卫星的特点]由于通讯和广播等方面的需要，许多国家发射了地球同步轨道卫星，这些卫星的()A．质量可以不同B．轨道半径可以不同C．轨道平面可以不同D．速率可以不同A[同步卫星轨道只能在赤道平面内，高度一定，轨道半径一定，速率一定，但质量可以不同，A项正确．]4．[中心天体质量的求解](2015·江苏高考)过去几千年来，人类对行星的认识与研究仅限于太阳系内，行星“51 peg b ”的发现拉开了研究太阳系外行星的序幕．“51 peg b ”绕其中心恒星做匀速圆周运动，周期约为4天，轨道半径约为地球绕太阳运动半径的120，该中心恒星与太阳的质量比约为( )【导学号：92492186】A.110B ．1C ．5D ．10B [行星绕中心恒星做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，由牛顿第二定律得G Mm r 2＝m 4π2T 2r ，则M 1M 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫r 1r 23·⎝ ⎛⎭⎪⎫T 2T 12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1203×⎝ ⎛⎭⎪⎫36542≈1，选项B 正确．]利用天体表面的重力加速度g 和天体半径R .(1)由G Mm R 2＝mg 得天体质量M ＝gR 2G .(2)天体密度：ρ＝M V ＝M 43πR 3＝3g 4πGR . 2．卫星环绕法 测出卫星绕天体做匀速圆周运动的半径r 和周期T .(1)由G Mm r 2＝m 4π2r T 2得天体的质量M ＝4π2r 3GT 2.(2)若已知天体的半径R ，则天体的密度ρ＝M V ＝M 43πR 3＝3πr 3GT 2R 3. (3)若卫星绕天体表面运行时，可认为轨道半径r 等于天体半径R ，则天体密度ρ＝3πGT 2，可见，只要测出卫星环绕天体表面运动的周期T ，就可估算出中心天体的密度．[题组通关]1．(2014·全国卷Ⅱ)假设地球可视为质量均匀分布的球体．已知地球表面重力加速度在两极的大小为g 0，在赤道的大小为g ；地球自转的周期为T ，引力常量为G .地球的密度为( )【导学号：92492187】A.3πGT 2·g 0－g g 0B ．3πGT 2·g 0g 0－g C.3πGT 2 D ．3πGT 2·g 0gB [物体在地球的两极时，mg 0＝G Mm R 2，物体在赤道上时，mg ＋m ⎝ ⎛⎭⎪⎫2πT 2R ＝G Mm R 2，ρ＝M 43πR 3，以上三式联立解得地球的密度ρ＝3πg 0GT 2(g 0－g )，故选项B 正确，选项A 、C 、D 错误．]2．(多选)(2017·上饶二模)2014年11月1日早上6时42分，被誉为“嫦娥5号”的“探路尖兵”载人返回飞行试验返回器在内蒙古四子王旗预定区域顺利着陆，标志着我国已全面突破和掌握航天器以接近第二宇宙速度的高速载人返回关键技术，为“嫦娥5号”任务顺利实施和探月工程持续推进奠定了坚实基础．已知人造航天器在月球表面上空绕月球做匀速圆周运动，经过时间t (t 小于航天器的绕行周期)，航天器运动的弧长为s ，航天器与月球的中心连线扫过角度为θ，引力常量为G ，则( )【导学号：92492188】A ．航天器的轨道半径为θsB ．航天器的环绕周期为2πt θC ．月球的质量为s 3Gt 2θD ．月球的密度为3θ24Gt 2BC [根据几何关系得r ＝s θ，故A 错误；经过时间t ，航天器与月球的中心连线扫过角度为θ，则t T ＝θ2π，得T ＝2πt θ，故B 正确；由万有引力充当向心力而做圆周运动，所以G Mm r 2＝m 4π2T 2r ，得M ＝4π2r 3GT 2＝4π2⎝ ⎛⎭⎪⎫s θ3G ⎝ ⎛⎭⎪⎫2πt θ2＝s 3Gt 2θ，故C 正确；月球的体积V ＝43πr 3＝43π⎝ ⎛⎭⎪⎫s θ3，月球的密度ρ＝M V ＝s 3Gt 2θ43π⎝ ⎛⎭⎪⎫s θ3＝3θ24πGt 2，故D 错误．]两点提醒1．估算的只是中心天体的质量，并非环绕天体的质量．2．区别天体半径R 和卫星轨道半径r ，只有在天体表面附近的卫星才有r ≈R.1.(1)同步卫星的周期、轨道平面、高度、线速度、角速度绕行方向均是固定不变的，常用于无线电通信，故又称通信卫星．(2)极地卫星运行时每圈都经过南北两极，由于地球自转，极地卫星可以实现全球覆盖．(3)近地卫星是在地球表面附近环绕地球做匀速圆周运动的卫星，其运行的轨道半径可近似认为等于地球的半径，其运行线速度约为7.9 km/s.2．四个分析“四个分析”是指分析人造卫星的加速度、线速度、角速度和周期与轨道半径的关系．GMmr 2＝⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧ ma →a ＝GM r 2→a∝1r 2m v 2r →v ＝GM r →v ∝1r mω2r →ω＝GM r 3→ω∝1r 3m 4π2T 2r →T ＝4π2r 3GM →T ∝r 33．同步卫星的六个“一定”：[题组通关]1．(2017·天津模拟)中国北斗卫星导航系统(BDS)是中国自行研制的全球卫星导航系统，是继美国全球定位系统(GPS)、俄罗斯格洛纳斯卫星导航系统(GLONASS)之后第三个成熟的卫星导航系统．预计2020年左右，北斗卫星导航系统将形成全球覆盖能力．如图4-4-1所示是北斗导航系统中部分卫星的轨道示意图，已知a 、b 、c 三颗卫星均做圆周运动，a 是地球同步卫星，则( )图4-4-1A ．卫星a 的角速度小于c 的角速度B ．卫星a 的加速度大于b 的加速度C ．卫星a 的运行速度大于第一宇宙速度D ．卫星b 的周期大于24 hA [a 的轨道半径大于c 的轨道半径，因此卫星a 的角速度小于c 的角速度，选项A 正确；a 的轨道半径与b 的轨道半径相等，因此卫星a 的加速度等于b 的加速度，选项B 错误；a 的轨道半径大于地球半径，因此卫星a 的运行速度小于第一宇宙速度，选项C 错误；a 的轨道半径与b 的轨道半径相等，卫星b 的周期等于a 的周期，为24 h ，选项D 错误．]2．(2016·全国乙卷)利用三颗位置适当的地球同步卫星，可使地球赤道上任意两点之间保持无线电通讯．目前，地球同步卫星的轨道半径约为地球半径的6.6倍．假设地球的自转周期变小，若仍仅用三颗同步卫星来实现上述目的，则地球自转周期的最小值约为( )【导学号：92492189】A ．1 hB ．4 hC ．8 hD ．16 hB [万有引力提供向心力，对同步卫星有：GMm r 2＝mr 4π2T 2，整理得GM ＝4π2r 3T 2 当r ＝6.6R 地时，T ＝24 h若地球的自转周期变小，轨道半径最小为2R 地三颗同步卫星A 、B 、C 如图所示分布则有4π2(6.6R 地)3T 2＝4π2(2R 地)3T ′2 解得T ′≈T 6＝4 h ，选项B 正确．]利用万有引力定律解决卫星运动的技巧1．一个模型天体(包括卫星)的运动可简化为质点的匀速圆周运动模型．2．两组公式(1)G Mm r 2＝m v 2r ＝mω2r ＝m 4π2T 2r ＝ma(2)mg ＝GMm R 2(g 为星体表面处的重力加速度)3．a 、v 、ω、T 均与卫星的质量无关，只由轨道半径和中心 天体质量共同决定，所有参量的比较，最终归结到半径的比较.1．卫星轨道的渐变当卫星由于某种原因速度突然改变时，万有引力不再等于向心力，卫星将做变轨运行．(1)当卫星的速度逐渐增加时，G Mm r 2<m v 2r ，即万有引力不足以提供向心力，卫星将做离心运动，轨道半径变大，当卫星进入新的轨道稳定运行时由v ＝GMr 可知其运行速度比原轨道时减小．(2)当卫星的速度逐渐减小时，G Mm r 2>m v 2r ，即万有引力大于所需要的向心力，卫星将做近心运动，轨道半径变小，当卫星进入新的轨道稳定运行时由v ＝GM r可知其运行速度比原轨道时增大．2．卫星轨道的突变由于技术上的需要，有时要在适当的位置短时间内启动飞行器上的发动机，使飞行器轨道发生突变，使其进入预定的轨道．如图4-4-2所示，发射同步卫星时，可以分多过程完成：图4-4-2(1)先将卫星发送到近地轨道Ⅰ.(2)使其绕地球做匀速圆周运动，速率为v 1，变轨时在P 点点火加速，短时间内将速率由v 1增加到v 2，使卫星进入椭圆形的转移轨道Ⅱ.(3)卫星运行到远地点Q 时的速率为v 3，此时进行第二次点火加速，在短时间内将速率由v 3增加到v 4，使卫星进入同步轨道Ⅲ，绕地球做匀速圆周运动．[多维探究]●考向1 卫星轨道渐变时各物理量的变化分析1．(多选)2012年6月18日，神舟九号飞船与天宫一号目标飞行器在离地面343 km 的近圆形轨道上成功进行了我国首次载人空间交会对接．对接轨道所处的空间存在极其稀薄的大气．下列说法正确的是( )A ．为实现对接，两者运行速度的大小都应介于第一宇宙速度和第二宇宙速度之间B ．如不加干预，在运行一段时间后，天宫一号的动能可能会增加C ．如不加干预，天宫一号的轨道高度将缓慢降低D ．航天员在天宫一号中处于失重状态，说明航天员不受地球引力作用BC [第一宇宙速度和第二宇宙速度为发射速度，天体运动的速度为环绕速度，均小于第一宇宙速度，选项A 错误；天体运动过程中由于大气阻力，速度减小，导致需要的向心力F n ＝m v 2r减小，做近心运动，近心运动过程中，轨道高度降低，且万有引力做正功，势能减小，动能增加，选项B 、C 正确；航天员在太空中受地球引力，地球引力全部提供航天员做圆周运动的向心力，选项D 错误．]●考向2 卫星轨道突变前后各物理量间的变化分析2．(多选)(2017·唐山模拟)如图4-4-3所示，地球卫星a 、b 分别在椭圆轨道、圆形轨道上运行，椭圆轨道在远地点A 处与圆形轨道相切，则( )【导学号：92492190】图4-4-3A ．卫星a 的运行周期比卫星b 的运行周期短B．两颗卫星分别经过A点处时，a的速度大于b的速度C．两颗卫星分别经过A点处时，a的加速度小于b的加速度D．卫星a在A点处通过加速可以到圆轨道上运行AD[由于卫星a的运行轨道的半长轴比卫星b的运行轨道半径短，根据开普勒定律，卫星a的运行周期比卫星b的运行周期短，选项A正确；两颗卫星分别经过A点处时，a的速度小于b的速度，选项B错误；两颗卫星分别经过A 点处，a的加速度等于b的加速度，选项C错误；卫星a在A点处通过加速可以到圆轨道上运行，选项D正确．]3．(多选)如图4-4-4所示是飞船进入某星球轨道后的运动情况，飞船沿距星球表面高度为100 km的圆形轨道Ⅰ运动，到达轨道的A点时，点火制动变轨进入椭圆轨道Ⅱ，到达轨道Ⅱ的B点时，飞船离星球表面高度为15 km，再次点火制动，下降落到星球表面．下列判断正确的是()【导学号：92492191】图4-4-4A．飞船在轨道Ⅱ上的B点受到的万有引力等于飞船在B点所需的向心力B．飞船在轨道Ⅱ上由A点运动到B点的过程中，动能增大C．飞船在A点点火变轨瞬间，速度增大D．飞船在轨道Ⅰ绕星球运动一周所需的时间大于在轨道Ⅱ绕星球运动一周所需的时间BD[由飞船在轨道Ⅱ上的运动轨迹可知，飞船在B点做离心运动，B点的万有引力小于所需的向心力，A错误；从A到B的运动过程中万有引力做正功，由动能定理可知，动能增大，B正确；由题可知在A点制动进入椭圆轨道，速度减小，C错误；由开普勒第三定律可得，D正确．]卫星变轨问题“四个”物理量的规律总结1．速度：如图所示，设卫星在圆轨道Ⅰ和Ⅲ上运行时的速率分别为v1、v3，在轨道Ⅱ上过A 点和B 点时速率分别为v A 、v B .在A 点加速，则v A >v 1，在B 点加速，则v 3>v B ，又因v 1>v 3，故有v A >v 1>v 3>v B .2．加速度：因为在A 点，卫星只受到万有引力作用，故不论从轨道Ⅰ还是轨道Ⅱ上经过A 点，卫星的加速度都相同，同理，经过B 点加速度也相同．3．周期：设卫星在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ轨道上的运行周期分别为T 1、T 2、T 3，轨道半径分别为r 1、r 2(半长轴)、r 3，由开普勒第三定律r 3T 2＝k 可知T 1<T 2<T 3.4．机械能：在一个确定的圆(椭圆)轨道上机械能守恒．若卫星在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ轨道的机械能分别为E 1、E 2、E 3，则E 1<E 2<E 3.1．第一宇宙速度的推导方法一：由G Mm R 2＝m v 21R 得v 1＝GM R＝7.9×103m/s. 方法二：由mg ＝m v 21R 得v 1＝gR ＝7.9×103 m/s.第一宇宙速度是发射人造卫星的最小速度，也是人造卫星的最大环绕速度，此时它的运行周期最短，T min ＝2πRg ＝5 075 s ≈85 min.2．宇宙速度与运动轨迹的关系(1)v 发＝7.9 km/s 时，卫星绕地球做匀速圆周运动．(2)7.9 km/s ＜v 发＜11.2 km/s ，卫星绕地球运动的轨迹为椭圆． (3)11.2 km/s ≤v 发＜16.7 km/s ，卫星绕太阳做椭圆运动．(4)v 发≥16.7 km/s ，卫星将挣脱太阳引力的束缚，飞到太阳系以外的空间． [题组通关]1．(多选)2011年中俄联合实施探测火星计划，由中国负责研制的“萤火一号”火星探测器与俄罗斯研制的“福布斯一土壤”火星探测器一起由俄罗斯“天顶”运载火箭发射前往火星．已知火星的质量约为地球质量的19，火星的半径约为地球半径的12.下列关于火星探测器的说法中正确的是( )A ．发射速度只要大于第一宇宙速度即可B ．发射速度只有达到第三宇宙速度才可以C ．发射速度应大于第二宇宙速度而小于第三宇宙速度D ．火星探测器环绕火星运行的最大速度为地球第一宇宙速度的23 CD [根据三个宇宙速度的意义，可知选项A 、B 错误，选项C 正确；已知M 火＝M 地9，R 火＝R 地2，则v mv 地＝GM 火R 火∶GM 地R 地＝23，选项D 正确．] 2．物体脱离星球引力所需要的最小速度称为第二宇宙速度，第二宇宙速度v 2与第一宇宙速度v 1的关系是v 2＝2v 1.已知某星球半径是地球半径R 的13，其表面的重力加速度是地球表面重力加速度g 的16，不计其他星球的影响，则该星球的第二宇宙速度为( )A.gR B ．13gR C.16gRD ．3gRB [设某星球的质量为M ，半径为r ，绕其飞行的卫星质量为m ，根据万有引力提供向心力，可得G Mm r 2＝m v 21r ，解得：v 1＝GMr ，又因它表面的重力加速度为地球表面重力加速度g 的16，可得G Mm r 2＝m g 6，又r ＝13R 和v 2＝2v 1，解得：v 2＝13gR ，所以正确选项为B.]宇宙速度问题的分析思路[母题] (多选)如图4-4-5所示，A 是地球的同步卫星，B 是位于赤道平面内的近地卫星，C 为地面赤道上的物体，已知地球半径为R ，同步卫星离地面的高度为h ，则( )图4-4-5A ．A 、B 加速度的大小之比为⎝⎛⎭⎪⎫R ＋h R 2B ．A 、C 加速度的大小之比为1＋hR C ．A 、B 、C 速度的大小关系为v A >v B >v CD ．要将B 卫星转移到A 卫星的轨道上运行至少需要对B 卫星进行两次加速 【自主思考】 (1)A 和C 的运动相同点是什么？ 提示：ωA ＝ωC ＝ω地自．(2)A 和B 的运动有什么相同点？提示：都是卫星，满足F 万＝F 向＝ma 向＝m v 2r .BD [根据万有引力提供向心力可知G Mm r 2＝ma ，得a A ＝G M (R ＋h )2，a B ＝G MR 2，故a A a B ＝⎝⎛⎭⎪⎫R R ＋h 2，选项A 错误；A 、C 角速度相同，根据a ＝ω2r 得a A ＝ω2(R ＋h )，a C ＝ω2R ，故a A a C＝1＋h R ，选项B 正确；根据G Mmr 2＝m v 2r 得v ＝GMr ，可知轨道半径越大线速度越小，所以v B >v A ，又A 、C 角速度相同，根据v ＝ωr 可知v A >v C ，故v B >v A >v C ，选项C 错误；要将B 卫星转移到A 卫星的轨道上，先要加速到椭圆轨道上，再由椭圆轨道加速到A 卫星的轨道上，选项D 正确．][母题迁移]1．(多选)地球同步卫星离地心的距离为r ，运行速率为v 1，加速度为a 1，地球赤道上的物体随地球自转的向心加速度为a 2，地球的第一宇宙速度为v 2，半径为R ，则下列比例关系中正确的是( )【导学号：92492192】A.a 1a 2＝rR B ．a 1a 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫r R 2C.v 1v 2＝r R D ．v 1v 2＝R rAD [设地球质量为M ，同步卫星的质量为m 1，在地球表面做匀速圆周运动的卫星的质量为m 2，根据向心加速度和角速度的关系有a 1＝ω21r ，a 2＝ω22R ，又ω1＝ω2，故a 1a 2＝rR ，选项A 正确，B 错误；由万有引力定律和牛顿第二定律得G Mm 1r 2＝m 1v 21r ，G Mm 2R 2＝m 2v 22R ，解得v 1v 2＝Rr ，选项D 正确，C 错误．]2．(2016·四川高考)国务院批复，自2016年起将4月24日设立为“中国航天日”.1970年4月24日我国首次成功发射的人造卫星东方红一号，目前仍然在椭圆轨道上运行，其轨道近地点高度约为440 km ，远地点高度约为2 060 km ；1984年4月8日成功发射的东方红二号卫星运行在赤道上空35 786 km 的地球同步轨道上．设东方红一号在远地点的加速度为a 1，东方红二号的加速度为a 2，固定在地球赤道上的物体随地球自转的加速度为a 3，则a 1、a 2、a 3的大小关系为( )【导学号：92492193】图4-4-6A ．a 2>a 1>a 3B ．a 3>a 2>a 1C ．a 3>a 1>a 2D ．a 1>a 2>a 3D [卫星围绕地球运行时，万有引力提供向心力，对于东方红一号，在远地点时有G Mm 1(R ＋h 1)2＝m 1a 1，即a 1＝GM (R ＋h 1)2，对于东方红二号，有G Mm 2(R ＋h 2)2＝m 2a 2，即a 2＝GM (R ＋h 2)2，由于h 2>h 1，故a 1>a 2，东方红二号卫星与地球自转的角速度相等，由于东方红二号做圆周运动的轨道半径大于地球赤道上物体做圆周运动的半径，根据a ＝ω2r ，故a 2>a 3，所以a 1>a 2>a 3，选项D 正确，选项A 、B 、C 错误．]赤道表面的物体、近地卫星、同步卫星的对比。
