中考数学复习
二次函数中矩形的存在性
所谓二次函数与矩形存在性问题，即在二次函数中确定动点位置，使其与其他点等构成矩形，本文将
对题型构造及解决方法作简单介绍．首先关于矩形本身，我们已经知道：矩形的判定（1）有一个角是直角的平行四边形；（2）对角线相等的平行四边形；（3）有三个角为直角的四边形．
第一步：先画草图。
因为题目已经明确四边形顶点的顺序，所以可以得知A，M为矩形相对的两个顶点。
第二步：求点坐标，可以直接通过对角线相等计算长度。
解题模型探究
1.铺垫知识
铺垫1：直角三角形存在类问题的几何作图方法
已知点C为直线上一动点，请问是否存在点C使得△ABC为直角三角形，如果存在，请画出示意图.
图1是指以点A为直角顶点时对应的C点；图2是指以点B为直角顶点时对应的C点；图3是指以AB 为直径和直线相交时对应的C点.上述作图方法我们简称为“一圆两垂直”
铺垫2：直角三角形存在类问题的解题策略详情请参考“二次函数与直角三角形存在类问题”
铺垫3：平行四边形顶点坐标公式
根据平行四边形的性质对角线互相平分，可以知道点O为线段AC和线段BD的中点。
在平面直角坐标系背景下的矩形存在类问题其本质就是“直角三角形存在类问题”和“平行四边形存在类问题”的结合.
矩形除了具有平行四边形的性质之外，还有“对角线相等”或“内角为直角”，因此相比起平行四边形，坐标系中的矩形满足以下3个等式：
（AC为对角线时）
因此在矩形存在性问题最多可以有3个未知量，代入可以得到三元一次方程组，可解．确定了有3个未知量，则可判断常见矩形存在性问题至少有2个动点，多则可以有3个．
2.题型分类：
（1）2个定点+1个半动点+1个全动点；
（2）1个定点+3个半动点．
思路1：先直角，再矩形
在构成矩形的4个点中任取3个点，必构成直角三角形，以此为出发点，可先确定其中3个点构造直角三角形，再确定第4个点．对“２定+1半动+1全动”尤其适用．
引例：已知A（1，1）、B（4，2），点C在x轴上，点D在平面中，且以A、B、C、D为顶点的四边形是矩形，求D点坐标．
【小结】这种解决矩形存在性问题的方法相当于在直角三角形存在性问题上再加一步求D点坐标，也是因为这两个图形之间的密切关系方能如此．
思路2：先平行，再矩形
当AC为对角线时，A、B、C、D满足以下3个等式，则为矩形：
其中第1、2个式子是平行四边形的要求，再加上式3可为矩形．表示出点坐标后，代入点坐标解方程即可．无论是“２定1半1全”还是“１定3半”，对于我们列方程来解都没什么区别，能得到的都是三元一次方程组．
引例：已知A（1，1）、B（4，2），点C在x轴上，点D在平面中，且以A、B、C、D为顶点的四边形是矩形，求D点坐标．
【小结】这个方法是在平行四边形基础上多加一个等式而已，剩下的都是计算的故事．典型考题
1.构造对角线互相平分且相等得矩形
例1（2019南充中考题，有删减）如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A（-1，0），点B（-3，0），且OB=OC．
（1）求抛物线的解析式；
（2）抛物线上两点M，N，点M的横坐标为m，点N的横坐标为m+4．点D是抛物线上M、N之间的动点，过点D作y轴的平行线交MN于点E．
①求DE的最大值；
②点D关于点E的对称点为F，当m为何值时，四边形MDNF为矩形．
2.构造直角得矩形
例2（2018铁岭中考题，有删减）如图，抛物线y=-x+bx+c交x轴于点A，B，交y轴于点C．点B的坐标为（3，0）点C的坐标为（0，3），点C与点D关于抛物线的对称轴对称．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点P为抛物线对称轴上一点，连接BD，以PD，PB为边作平行四边形PDNB，是否存在这样的点P，使得平行四边形PDNB是矩形？若存在，请求出tan∠BDN的值；若不存在，请说明理由．
方法梳理
以二次函数为背景的矩形存在性问题，需要在复杂的问题中牢牢把握核心问题，确定求动点坐标，把矩形
问题转化为直角三角形存在性问题，画图，并求解。
这样可以让学生清楚问题的来龙去脉，以及相关图形
的组合。
第一步：分类讨论。
分清具体边为对角线，还是为矩形的边。
第二步：作图。
可以利用对角线互分，相等；
边平移，作垂线。
第三步：利用直角三角形的性质求点坐标（转化为直角三角形存在性问题，通过一线三
直角，斜边上的中线等于斜边的一半解决）体会一线三直角方法更好，优化方法。
2019年四川省南充市中考数学第25题
【2019·四川·南充】
如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），点B（﹣3，0），且OB＝OC．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P在抛物线上，且∠POB＝∠ACB，求点P的坐标；
（3）抛物线上两点M，N，点M的横坐标为m，点N的横坐标为m+4．点D是抛物线上M，N之间的动点，过点D作y轴的平行线交MN于点E．
∠求DE的最大值；
∠点D关于点E的对称点为F，当m为何值时，四边形MDNF为矩形．
【考点】HF ：二次函数综合题【分析】（1）已知抛物线与x 轴两交点坐标，可设交点式
(1)(3)y a x x
；由3OC
OB
得(0,3)C ，
代入交点式即求得1a
．
（2）由
POB
ACB 联想到构造相似三角形，因为求点
P 坐标一般会作x 轴垂线PH 得Rt POH ，故可
过点A 在BC 边上作垂线AG ，构造ACG POH ∽．利用点A 、B 、C 坐标求得AG 、CG 的长，由相似三角形对应边成比例推出
12
PH AG OH
CG
．设点P 横坐标为p ，则OH 与PH 都能用p 表示，但需按
P 横
纵坐标的正负性进行分类讨论．得到用
p 表示OH 与PH 并代入2OH PH 计算即求得p 的值，进而求点
P 坐标．
（3）∠用m 表示M 、N 横纵坐标，把m 当常数求直线MN 的解析式．设
D 横坐标为d ，把x d 代入直
线MN 解析式得点E 纵坐标，D 与E 纵坐标相减即得到用m 、d 表示的DE 的长，把m 当常数，对未知数
d 进行配方，即得到当2d
m
时，DE 取得最大值．
∠由矩形MDNF 得MN DF 且MN 与DF 互相平分，所以E 为MN 中点，得到点D 、E 横坐标为2m
．由
∠得2d
m
时，4DE
，所以8MN ．用两点间距离公式用m 表示MN 的长，即列得方程求
m 的值．
【解答】解：（1）Q 抛物线与x 轴交于点(1,0)A ，点(3,0)B 设交点式(1)(3)
y a x
x
3OC
OB
Q ，点C 在y 轴负半轴
(0,3)
C 把点C 代入抛物线解析式得：33
a 1
a
抛物线解析式为2
(1)(3)
43
y
x x
x
x （2）如图1，过点A 作AG
BC 于点G ，过点P 作PH x 轴于点H
90
AGB AGC PHO
ACB
POB
Q
ACG POH ∽AG CG PH
OH
AG PH CG OH 3OB
OC
Q ，
90BOC
45ABC
，2
2
32
BC
OB
OC
ABG 是等腰直角三角形222AG BG AB 32
2
22
CG BC BG 12
PH AG OH CG 2OH
PH
设2
(,43)P p p p ∠当3p 或10p
时，点P 在点B 左侧或在AC 之间，横纵坐标均为负数OH p ，2
2
(43)43
PH p p p
p 2
2(43)p
p
p 解得：1
9334
p ，2
933
4p 933
(
4P ，
9
33)8
或933
(
4，
933)
8∠当31p
或0p 时，点P 在AB 之间或在点C 右侧，横纵坐标异号
2
2(43)
p
p
p
解得：1
2p ，2
32p (2,1)P 或3(2
，
3)
4
综上所述，点
P 的坐标为933(
4，
933)8
、933(
4
，
933)
8
、
(2,1)或3(2
，
3)4
．
（3）∠如图2，4x m
Q 时，2
2
(4)
4(4)31235
y
m m m
m 2
(,43)M m m
m ，2
(4,1235)
N m
m m 设直线MN 解析式为y
kx n
2
2
43(4)
1235km n m m k m
n
m
m 解得：2
2843
k m n
m
m 直线2
:(28)43
MN y m x
m
m 设(D d ，2
43)(4)
d d
m d
m
//DE y Q 轴
E
D x x d ，(
E d ，2(28)43)m d m m 2222243[(28)43](24)4[(2)]4
DE d d m d m m d m d m m d m 当2d m 时，DE 的最大值为4．
∠如图3，D Q 、F 关于点E 对称
DE EF
Q 四边形MDNF 是矩形
MN DF ，且MN 与DF 互相平分
1
2DE MN ，E 为MN 中点
4
2
2D E m m x x m 由∠得当2d m 时，4
DE 28
MN DE 2222
2(4)[1235(43)]8m m m m m m 解得：13
42m ，23
42
m m 的值为3
42或3
42时，四边形MDNF 为矩形．
【点评】本题考查了求二次函数解析式，求二次函数最大值，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性
质，一元二次方程的解法，二元一次方程组的解法，矩形的性质．第（3）题没有图要先根据题意画草图
帮助思考，设计较多字母运算时抓住其中的常量和变量来分析和计算．
2019年湖南省常德市中考数学第25题
【2019·湖南·常德】
如图，已知二次函数图象的顶点坐标为A（1，4），与坐标轴交于B、C、D三点，且B点的
坐标为（﹣1，0）．
（1）求二次函数的解析式；
（2）在二次函数图象位于x轴上方部分有两个动点M、N，且点N在点M的左侧，过M、N作x轴的垂线交x轴于点G、H两点，当四边形MNHG为矩形时，求该矩形周长的最大值；
（3）当矩形MNHG的周长最大时，能否在二次函数图象上找到一点P，使∠PNC的面积是矩形MNHG面积的？若存在，求出该点的横坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）二次函数表达式为：y＝a（x﹣1）2+4，将点B的坐标代入上式，即可求解；
（2）矩形MNHG的周长C＝2MN+2GM＝2（2x﹣2）+2（﹣x2+2x+3）＝﹣2x2+8x+2，即可求解；
（3）S∠PNC＝＝×PK×CD＝×PH×sin45°×３，解得：PH＝＝HG，即可求解．
【解答】解：（1）二次函数表达式为：y＝a（x﹣1）2+4，
将点B的坐标代入上式得：0＝4a+4，解得：a＝﹣1，
故函数表达式为：y＝﹣x2+2x+3…∠；
（2）设点M的坐标为（x，﹣x2+2x+3），则点N（2﹣x，﹣x2+2x+3），
则MN＝x﹣2+x＝2x﹣2，GM＝﹣x2+2x+3，
矩形MNHG的周长C＝2MN+2GM＝2（2x﹣2）+2（﹣x2+2x+3）＝﹣2x2+8x+2，
∠﹣2＜0，故当x＝﹣＝2，C有最大值，最大值为10，
此时x＝2，点N（0，3）与点D重合；
（3）∠PNC的面积是矩形MNHG面积的，
则S∠PNC＝×MN×GM＝×2×３
＝，
连接DC，在CD得上下方等距离处作CD的平行线m、n，
过点P作y轴的平行线交CD、直线n于点H、G，即PH＝GH，
过点P作PK∠∠CD于点K，
将C（3，0）、D（0，3）坐标代入一次函数表达式并解得：
直线CD的表达式为：y＝﹣x+3，
OC＝OD，∠∠OCD＝∠ODC＝45°＝∠PHK，CD＝3，
设点P（x，﹣x2+2x+3），则点H（x，﹣x+3），
S∠PNC＝＝×PK×CD＝×PH×sin45°×３，
解得：PH＝＝HG，
则PH＝﹣x2+2x+3+x﹣3＝，
解得：x＝，
故点P（，），
直线n的表达式为：y＝﹣x+3﹣＝﹣x+…∠，
联立∠∠并解得：x＝，
即点P′、P″的坐标分别为（，）、（，）；
故点P坐标为：（，）或（，）或（，）．
【点评】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的
思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．
【2019·泰安新泰一模】如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）与x
轴交于A（﹣2，0）、B（4，0）两点，与y轴交于点C，且OC＝2OA．
（1）试求抛物线的解析式；
（2）直线y＝kx+1（k＞0）与y轴交于点D，与抛物线交于点P，与直线BC交于点M，记m＝，试求
m的最大值及此时点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，点Q是x轴上的一个动点，点N是坐标平面内的一点，是否存在这样的点Q、N，使得以P、D、Q、N四点组成的四边形是矩形？如果存在，请求出点N的坐标；如果不存在，请说明理由．
【分析】（1）因为抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣2，0）、B（4，0）两点，所以可以假设y＝a（x+2）（x﹣4），求出点C坐标代入求出a即可；
（2）由△CMD∽△FMP，可得m＝＝，根据关于m关于x的二次函数，利用二次函数的性质即可解决问题；
（3）存在这样的点Q、N，使得以P、D、Q、N四点组成的四边形是矩形．分两种情形分别求解即可：
①当DP是矩形的边时，有两种情形；②当DP是对角线时；
【解答】解：（1）因为抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣2，0）、B（4，0）两点，
所以可以假设y＝a（x+2）（x﹣4），
∵OC＝2OA，OA＝2，
∴C（0，4），代入抛物线的解析式得到a＝﹣，
∴y＝﹣（x+2）（x﹣4）或y＝﹣x2+x+4或y＝﹣（x﹣1）2+．
（2）如图1中，作PE⊥x轴于E，交BC于F．
∵CD∥PE，
∴△CMD∽△FMP，
∴m＝＝，
∵直线y＝kx+1（k＞0）与y轴交于点D，则D（0，1），
∵BC的解析式为y＝﹣x+4，
设P（n，﹣n2+n+4），则F（n，﹣n+4），
∴PF＝﹣n2+n+4﹣（﹣n+4）＝﹣（n﹣2）2+2，
∴m＝＝﹣（n﹣2）2+，
∵﹣＜0，
∴当n＝2时，m有最大值，最大值为，此时P（2，4）．
（3）存在这样的点Q、N，使得以P、D、Q、N四点组成的四边形是矩形．
①当DP是矩形的边时，有两种情形，
a、如图2﹣1中，四边形DQNP是矩形时，
有（2）可知P（2，4），代入y＝kx+1中，得到k＝，
∴直线DP的解析式为y＝x+1，可得D（0，1），E（﹣，0），
由△DOE∽△QOD可得＝，
∴OD2＝OE?OQ，
∴1＝?OQ，
∴OQ＝，
∴Q（，0）．
根据矩形的性质，将点P向右平移个单位，向下平移1个单位得到点N，∴N（2+，4﹣1），即N（，3）
b、如图2﹣2中，四边形PDNQ是矩形时，
∵直线PD的解析式为y＝x+1，PQ⊥PD，
∴直线PQ的解析式为y＝﹣x+，
∴Q（8，0），
根据矩形的性质可知，将点D向右平移6个单位，向下平移4个单位得到点N，
∴N（0+6，1﹣4），即N（6，﹣3）．
②当DP是对角线时，设Q（x，0），则QD2＝x2+1，QP2＝（x﹣2）2+42，PD2＝13，
∵Q是直角顶点，
∴QD2+QP2＝PD2，
∴x2+1+（x﹣2）2+16＝13，
整理得x2﹣2x+4＝0，方程无解，此种情形不存在，
综上所述，满足条件的点N坐标为（，3）或（6，﹣3）．
【点评】本题考查二次函数综合题、一次函数的应用、平行线的性质．相似三角形的判定和性质、矩形
的判定和性质等知识，解题的关键是学会构建二次函数解决最值问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题。
