中考数学二次函数存在性问题 及参 考答案
一、二次函数中相似三角形的存在性问题 1.如图，把抛物线 向左平移 1 个单位，再向下平移 4 个单位，得到抛物线 . 所得抛物线与 轴交于 A，B 两点（点 A 在点 B 的左边），与 轴交于点 C，顶点为 D. （1）写出 的值；（2）判断△ACD 的形状，并说明理由； （3）在线段 AC 上是否存在点 M，使△AOM∽△ABC？若存在，求出点 M 的坐标；若不存在， 说明理由.
2.如图，已知抛物线经过 A（﹣2，0），B（﹣3，3）及原点 O，顶点为 C． （1）求抛物线的解析式； （2）若点 D 在抛物线上，点 E 在抛物线的对称轴上，且 A、O、D、E 为顶点的四边形是平行 四边形，求点 D 的坐标； （3）P 是抛物线上的第一象限内的动点，过点 P 作 PM x 轴，垂足为 M，是否存在点 P， 使得以 P、M、A 为顶点的三角形△BOC 相似？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明 理由．
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二、二次函数中面积的存在性问题 3.如图，抛物线 与双曲线 相交于点 A，B．已知点 B 的坐标为（－2，－2），点 A 在第一象限内，且 tan∠AOX＝4．过点 A 作直线 AC∥ 轴，交抛物线于另一点 C． （1）求双曲线和抛物线的解析式； （2）计算△ABC 的面积； （3）在抛物线上是否存在点 D，使△ABD 的面积等于△ABC 的面积．若存在，请你写出点 D 的坐标；若不存在，请你说明理由．
4.如图，抛物线 y＝ax2＋c（a＞0）经过梯形 ABCD 的四个顶点，梯形的底 AD 在 x 轴上， 其中 A（－2,0），B（－1, －3）． （1）求抛物线的解析式；（3 分） （2）点 M 为 y 轴上任意一点，当点 M 到 A、B 两点的距离之和为最小时，求此时点 M 的坐
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标；（2 分）
（3）在第（2）问的结论下，抛物线上的点
P
使
S S ＝4 △PAD
△ABM
成立，求点
P
的坐标．（4
分）
(4)在抛物线的 BD 段上是否存在点 Q 使三角形 BDQ 的面积最大，若有，求出点 Q 的坐标，
若没有，请说明理由。
三、二次函数中直角三角形的存在性问题
5.如图,△ABC 是直角三角形,∠ACB=90,AC=BC,OA=1，OC=4，抛物线 经过 A，B 两点， 抛物线的顶点为 D． （1）求 b,c 的值； （2）点 E 是直角三角形 ABC 斜边 AB 上一动点(点 A、B 除外)，过点 E 作 x 轴的垂线交抛物 线于点 F，当线段 EF 的长度最大时，求点 E 的坐标； （3）在（2）的条件下：①求以点Ｅ、Ｂ、Ｆ、Ｄ为顶点的四边形的面积；②在抛物线上是 否存在一点 P，使△EFP 是以 EF 为直角边的直角三角形? 若存在，求出所有点 P 的坐标；若 不存在，说明理由.
四、二次函数中等腰三角形的存在性问题
6.如图，直线 交 另一点 C（3,0）.
轴于 A 点，交
轴于 B 点，过 A、B 两点的抛物线交
轴于
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⑴ 求抛物线的解析式; ⑵ 在抛物线的对称轴上是否存在点 Q，使△ABQ 是等腰三角形？若存在，求出符合条件的 Q 点坐标；若不存在，请说明理由.
五、二次函数中等腰梯形、直角梯形的存在性问题 7．如图，二次函数 y= x2axb 的图像与 x 轴交于 A( ，0)、B(2，0)两点，且与 y 轴交 于点 C； (1) 求该拋物线的解析式，并判断△ABC 的形状； (2) 在 x 轴上方的拋物线上有一点 D，且以 A、C、D、B 四点为顶点的四边形是等腰梯形，请 直接写出 D 点的坐标；
(3) 在此拋物线上是否存在点 P，使得以 A、C、B、P 四点为顶点的四边形是直角梯形？若 存在，求出 P 点的坐标；若不存在，说明理由。
六、二次函数中菱形的存在性问题 8．如图，已知抛物线经过原点 O 和 x 轴上一点 A（4，0），抛物线顶点为 E，它的对称轴与 x 轴交于点 D．直线 y=﹣2x﹣1 经过抛物线上一点 B（﹣2，m）且与 y 轴交于点 C，与抛物线 的对称轴交于点 F． （1）求 m 的值及该抛物线对应的解析式； （2）P（x，y）是抛物线上的一点，若 S△ADP=S△ADC，求出所有符合条件的点 P 的坐标；
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（3）点 Q 是平面内任意一点，点 M 从点 F 出发，沿对称轴向上以每秒 1 个单位长度的速度 匀速运动，设点 M 的运动时间为 t 秒，是否能使以 Q、A、E、M 四点为顶点的四边形是菱 形？若能，请直接写出点 M 的运动时间 t 的值；若不能，请说明理由．
1、【答案】解：（1）∵由平移的性质知， 的顶点坐标为Ｄ（－１，－４），
∴。
（2）由（1）得 .
当 时， ． 解之，得
。
∴.
又当 时， ， ∴C 点坐标为（0，－3）。 又抛物线顶点坐标 D（－1，－4），
作抛物线的对称轴 交 轴于点 E，DF⊥ 轴于点 F。易知
在 Rt△AED 中，AD2=22+42=20，在 Rt△AOC 中，AC2=32+32=18， 在 Rt△CFD 中，CD2=12+12=2， ∴AC2＋ CD2＝AD2。∴△ACD 是直角三角形。 （3）存在．作 OM∥BC 交 AC 于 M，Ｍ点即为所求点。
由（2）知，△AOC 为等腰直角三角形，∠BAC＝450，AC
。
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由△AOM∽ △ABC，得 。即 。 过 M 点作 MG⊥AB 于点 G，则 AG=MG= ， OG=AO－AG=3－ 。又点 M 在第三象限，所以 M（－
，－
）。
2、【答案】解：（1）设抛物线的解析式为 ，
∵抛物线过 A（﹣2，0），B（﹣3，3），O（0，0）可得 ，解得 。
∴抛物线的解析式为 。 （ 2 ） ① 当 AE 为 边时 ， ∵ A 、 O 、 D 、 E 为 顶 点 的 四 边形 是 平行 四 边 形 ， ∴ DE=AO=2，
则D在
轴下方不可能，∴D 在
轴上方且 DE=2，则 D1（1，3），
D2（﹣3，3）。②当 AO 为对角线时，则 DE 与 AO 互相平分。
∵点 E 在对称轴上，且线段 AO 的中点横坐标为﹣1，
由对称性知，符合条件的点 D 只有一个，与点 C 重合，即 C（﹣1，﹣
1）。
1）。
故符合条件的点 D 有三个，分别是 D1（1，3），D2（﹣3，3），C（﹣1，﹣
（3）存在，如图：∵B（﹣3，3），C（﹣1，﹣1），根据勾股定理得：
BO2=18，CO2=2，BC2=20，∴BO2+CO2=BC2．∴△BOC 是直角三角形。
假设存在点 P，使以 P，M，A 为顶点的 三角形与△BOC 相似，
设 P（
，
），由题意知
＞0，
＞0，且 ，
①若△AMP∽△BOC，则 。
即
+2=3 （
2+2
）得：
1=
，
2=﹣2（舍去）．
当
=
时，
=
，即 P
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