2017届河南省顶级名校高三入学定位考试理科数学试题及答案

河南省顶级名校2017-2018学年高三上学期月考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．1．（5分）已知集合M={x|x≥x2}，N={y|y=2x，x∈R}，则M∩N=（）A．（0，1）B．C．2．（5分）已知复数z=，则z的虚部是（）A．B．﹣C．﹣i D．﹣3．（5分）某学生在一门功课的22次考试中，所得分数茎叶图如图所示，则此学生该门功课考试分数的极差与中位数之和为（）A．117 B．118 C．118.5 D．119.54．（5分）已知双曲线my2﹣x2=1（m∈R）与椭圆+x2=1有相同的焦点，则该双曲线的渐近线方程为（）A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±3x5．（5分）有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为（）A．B．C．D．6．（5分）在各项均为正数的等比数列{a n}中，若a m+1•a m﹣1=2a m（m≥2），数列{a n}的前n项积为T n，若T2m﹣1=512，则m的值为（）A．4B．5C．6D．77．（5分）设偶函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的部分图象如图所示，△KLM为等腰直角三角形，∠KML=90°，KL=1，则f（）的值为（）A．﹣B．﹣C．D．8．（5分）执行如图所示的程序框图，若输出的结果为21，则判断框中应填（）A．i＜5 B．i＜6 C．i＜7 D．i＜89．（5分）如图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积是（）A．54 B．27 C．18 D．910．（5分）抛物线y2=4x的焦点为F，点A，B在抛物线上，且∠AFB=120°，弦AB中点M在其准线上的射影为N，则的最大值为（）A．B．C．D．11．（5分）四面体ABCD的四个顶点都在球O的表面上，AB⊥平面BCD，△BCD是边长为3的等边三角形．若AB=2，则球O的表面积为（）A．8πB．12πC．16πD．32π12．（5分）函数在上的最大值为2，则a的范围是（）A．B．C．（﹣∞，0]D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）若点P（x，y）满足线性约束条件，则z=x﹣y的取值范围是．14．（5分）若（x2﹣）n二项展开式中的第5项是常数项，则中间项的系数为．15．（5分）设O是△ABC的三边中垂线的交点，a，b，c分别为角A，B，C对应的边，已知b2﹣2b+c2=0，则•的范围是．16．（5分）已知有限集A={a1，a2，a3…，a n}（n≥2）．如果A中元素a i（i=1，2，3，…，n）满足a1a2…a n=a1+a2+…+a n，就称A为“复活集”，给出下列结论：①集合{，}是“复活集”；②若a1，a2∈R，且{a1，a2}是“复活集”，则a1a2＞4；③若a1，a2∈N*则{a1，a2}不可能是“复活集”；④若a i∈N*，则“复合集”A有且只有一个，且n=3．其中正确的结论是．（填上你认为所有正确的结论序号）三、解答题：本大题共5小题，共70分，解答应写出说明文字，证明过程或演算步骤．17．（12分）在△ABC中，角A，B，C对的边分别为a，b，c，已知a=2．（1）若A=，求b+c的取值范围；（2）若•=1，求△ABC面积的最大值．18．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，∠BAD=60°，Q为AD的中点．（Ⅰ）若PA=PD，求证：平面PQB⊥平面PAD；（Ⅱ）若平面PAD⊥平面ABCD，且PA=PD=AD=2，点M在线段PC上，试确定点M的位置，使二面角M﹣BQ﹣C大小为60°，并求出的值．19．（12分）生产A，B两种元件，其质量按测试指标划分为：指标大于或等于82为正品，小于82为次品，现随机抽取这两种元件各100件进行检测，检测结果统计如下：测试指标元件A 8 12 40 32 8元件B 7 18 40 29 6（Ⅰ）试分别估计元件A、元件B为正品的概率；（Ⅱ）生产一件元件A，若是正品可盈利50元，若是次品则亏损10元；生产一件元件B，若是正品可盈利100元，若是次品则亏损20元，在（Ⅰ）的前提下：（i）求生产5件元件B所获得的利润不少于300元的概率；（ii）记X为生产1件元件A和1件元件B所得的总利润，求随机变量X的分布列和数学期望．20．（12分）椭圆C：+=1过点A（1，），离心率为，左右焦点分别为F1、F2．过点F1的直线l交椭圆于A、B两点．（1）求椭圆C的方程．（2）当△F2AB的面积为时，求l的方程．21．（12分）f（x）=axe kx﹣1，g（x）=lnx+kx．（Ⅰ）当a=1时，若f（x）在（1，+∞）上为减函数，g（x）在（0，1）上是增函数，求k 值；（Ⅱ）对于任意k＞0，x＞0，f（x）＞g（x）恒成立，求a的取值范围．三、请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.选修4-1：几何证明选讲22．（10分）已知，在△ABC中，D是AB上一点，△ACD的外接圆交BC于点E，AB=2BE．（Ⅰ）求证：BC=2BD；（Ⅱ）若CD平分∠ACB，且AC=2，EC=1，求BD的长．三、选修4-4：坐标系与参数方程23．在直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建坐标系，已知曲线C：ρsin2θ=2acosθ（a＞0），已知过点P（﹣2，﹣4）的直线L的参数方程为：，直线L与曲线C分别交于M，N．（Ⅰ）写出曲线C和直线L的普通方程；（Ⅱ）若|PM|，|MN|，|PN|成等比数列，求a的值．三、选修4-5：不等式选讲24．已知函数f（x）=|x﹣1|．（Ⅰ）解不等式：f（x）+f（x﹣1）≤2；（Ⅱ）当a＞0时，不等式2a﹣3≥f（ax）﹣af（x）恒成立，求实数a的取值范围．河南省顶级名校2015届高三上学期月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．1．（5分）已知集合M={x|x≥x2}，N={y|y=2x，x∈R}，则M∩N=（）A．（0，1）B．C．考点：交集及其运算．专题：集合．分析：求出M中不等式的解集确定出M，求出N中y的范围确定出N，求出两集合的交集即可．解答：解：由M中的不等式变形得：x（x﹣1）≤0，解得：0≤x≤1，即M=；由N中的y=2x＞0，得到N=（0，+∞），则M∩N=（0，1]．故选：D．点评：此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．（5分）已知复数z=，则z的虚部是（）A．B．﹣C．﹣i D．﹣考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：由复数代数形式的除法运算化简复数z，从而求得复数z的虚部．解答：解：由=，则复数z的虚部是．故选：B．点评：本题考查了复数代数形式的除法运算，考查了复数z的虚部的求法，是基础题．3．（5分）某学生在一门功课的22次考试中，所得分数茎叶图如图所示，则此学生该门功课考试分数的极差与中位数之和为（）A．117 B．118 C．118.5 D．119.5考点：茎叶图．专题：概率与统计．分析：求出22次考试分数最大为98，最小56，可求极差，从小到大排列，找出中间两数为76，76，可求中位数，从而可求此学生该门功课考试分数的极差与中位数之和．解答：解：22次考试分数最大为98，最小为56，所以极差为98﹣56=42，从小到大排列，中间两数为76，76，所以中位数为76．所以此学生该门功课考试分数的极差与中位数之和为42+76=118．故选B．点评：本题考查茎叶图，考查学生分析解决问题的能力，确定极差与中位数是关键．4．（5分）已知双曲线my2﹣x2=1（m∈R）与椭圆+x2=1有相同的焦点，则该双曲线的渐近线方程为（）A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±3x考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：确定椭圆、双曲线的焦点坐标，求出m的值，即可求出双曲线的渐近线方程．解答：解：椭圆+x2=1的焦点坐标为（0，±2）．双曲线my2﹣x2=1（m∈R）的焦点坐标为（0，±），∵双曲线my2﹣x2=1（m∈R）与椭圆+x2=1有相同的焦点，∴=2，∴m=，∴双曲线的渐近线方程为y=±x．故选：A．点评：本题考查椭圆、双曲线的性质，考查学生的计算能力，比较基础．5．（5分）有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为（）A．B．C．D．考点：古典概型及其概率计算公式．专题：概率与统计．分析：本题是一个古典概型，试验发生包含的事件数是3×3种结果，满足条件的事件是这两位同学参加同一个兴趣小组有3种结果，根据古典概型概率公式得到结果．解答：解：由题意知本题是一个古典概型，试验发生包含的事件数是3×3=9种结果，满足条件的事件是这两位同学参加同一个兴趣小组，由于共有三个小组，则有3种结果，根据古典概型概率公式得到P=，故选A．点评：本题考查古典概型概率公式，是一个基础题，题目使用列举法来得到试验发生包含的事件数和满足条件的事件数，出现这种问题一定是一个必得分题目．6．（5分）在各项均为正数的等比数列{a n}中，若a m+1•a m﹣1=2a m（m≥2），数列{a n}的前n 项积为T n，若T2m﹣1=512，则m的值为（）A．4B．5C．6D．7考点：等比数列的前n项和．专题：等差数列与等比数列．分析：由已知条件推导出a m=2，从而T n=2n，由T2m﹣1=512，得22m﹣1=512=29，由此能求出结果．解答：解：设数列{a n}公比为qa m﹣1=，a m+1=a m•q，∵a m+1•a m﹣1=2a m，∴，∴，解得a m=2，或a m=0（舍），∴T n=2n，∵T2m﹣1=512，∴22m﹣1=512=29，∴2m﹣1=9，解得m=5．故选：B．点评：本题考查实数值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等比数列的性质的合理运用．7．（5分）设偶函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的部分图象如图所示，△KLM为等腰直角三角形，∠KML=90°，KL=1，则f（）的值为（）A．﹣B．﹣C．D．考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．专题：计算题．分析：通过函数的图象，利用KL以及∠KML=90°求出求出A，然后函数的周期，确定ω，利用函数是偶函数求出ϕ，即可求解f（）的值．解答：解：因为f（x）=Asin（ωx+ϕ）（A＞0，ω＞0，0＜ϕ＜π）的部分图象如图所示，△KLM为等腰直角三角形，∠KML=90°，KL=1，所以A=，T=2，因为T=，所以ω=π，函数是偶函数，0＜ϕ＜π，所以ϕ=，∴函数的解析式为：f（x）=sin（πx+），所以f（）=sin（+）=cos=．故选：D．点评：本题考查函数的解析式的求法，函数奇偶性的应用，考查学生识图能力、计算能力．8．（5分）执行如图所示的程序框图，若输出的结果为21，则判断框中应填（）A．i＜5 B．i＜6 C．i＜7 D．i＜8考点：程序框图．专题：算法和程序框图．分析：根据题意，模拟程序框图的执行过程，计算输出结果即可．解答：解：模拟程序框图执行过程，如下；开始，i=1，s=0，不输出，进入循环，1是奇数？是，s=0﹣12=﹣1，i=1+1=2，不输出，进入循环，2是奇数？否，s=﹣1+22=3，i=2+1=3，不输出，进入循环，3是奇数？是，s=3﹣32=﹣6，i=3+1=4，不输出，进入循环，4是奇数？否s=﹣6+42=10，i=4+1=5，不输出，进入循环，5是奇数？是，s=10﹣52=﹣15，i=5+1=6，不输出，进入循环，6是奇数？否，s=﹣15+62=21，i=6+1=7，退出循环，输出21，∴判断框中的条件是：i＜7？故选C．点评：本题考查了程序框图的执行结果的问题，解题时应模拟程序的执行过程，是基础题．9．（5分）如图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积是（）A．54 B．27 C．18 D．9考点：由三视图求面积、体积．分析：由几何体的三视图可知，这是一个四棱锥，由体积公式可求．解答：解：由几何体的三视图可知，这是一个四棱锥，且底面为矩形，长6，宽3；体高为3．则=18．故选：C．点评：做三视图相关的题时，先要形成直观图，后要注意量的关系．属于基础题．10．（5分）抛物线y2=4x的焦点为F，点A，B在抛物线上，且∠AFB=120°，弦AB中点M在其准线上的射影为N，则的最大值为（）A．B．C．D．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：设AF=a，BF=b，由抛物线定义，2MN=a+b．再由余弦定理可得|AB|2=a2+b2﹣2abcos120°，进而根据a+b≥2，求得|AB|的范围，进而可得答案．解答：解：设AF=a，BF=b，由抛物线定义，2MN=a+b．而余弦定理，|AB|2=a2+b2﹣2abcos120°=（a+b）2﹣ab，再由a+b≥2，得到|AB|≥（a+b）．所以的最大值为．故选：A．点评：本题主要考查抛物线的应用和余弦定理的应用．考查了学生综合分析问题和解决问题的能力．11．（5分）四面体ABCD的四个顶点都在球O的表面上，AB⊥平面BCD，△BCD是边长为3的等边三角形．若AB=2，则球O的表面积为（）A．8πB．12πC．16πD．32π考点：球的体积和表面积．专题：球．分析：取CD的中点E，连结AE，BE，作出外接球的球心，求出半径，即可求出表面积．解答：解：取CD的中点E，连结AE，BE，∵在四面体ABCD中，AB⊥平面BCD，△BCD是边长为3的等边三角形．∴Rt△ABC≌Rt△ABD，△ACD是等腰三角形，△BCD的中心为G，作OG∥AB交AB的中垂线HO于O，O为外接球的中心，BE=，BG=，R===2．四面体ABCD外接球的表面积为：4πR2=16π．故选：C．点评：本题考查球的内接体知识，考查空间想象能力，确定球的切线与半径是解题的关键．12．（5分）函数在上的最大值为2，则a的范围是（）A．B．C．（﹣∞，0]D．考点：函数最值的应用．专题：常规题型．分析：先画出分段函数f（x）的图象，如图．当x∈上的最大值为2；欲使得函数在上的最大值为2，则当x=2时，e2a的值必须小于等于2，从而解得a的范围．解答：解：先画出分段函数f（x）的图象，如图．当x∈上的最大值为2；欲使得函数在上的最大值为2，则当x=2时，e2a的值必须小于等于2，即e2a≤2，解得：a故选D．点评：本小题主要考查函数单调性的应用、函数最值的应用的应用、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）若点P（x，y）满足线性约束条件，则z=x﹣y的取值范围是作出直线x﹣y=0，对该直线进行平移，可以发现当直线经过点（0，0）时，Z取得最大值0，当直线经过点（﹣2，0）时，Z取得最小值﹣2，所以Z的取值范围为又f（0）=0，f（2）=2．∴．即的取值范围是．故答案为．点评：本题考查了三角形的外接圆的性质、向量的运算法则、数量积运算、二次函数的单调性等基础知识与基本方法，属于难题．16．（5分）已知有限集A={a1，a2，a3…，a n}（n≥2）．如果A中元素a i（i=1，2，3，…，n）满足a1a2…a n=a1+a2+…+a n，就称A为“复活集”，给出下列结论：①集合{，}是“复活集”；②若a1，a2∈R，且{a1，a2}是“复活集”，则a1a2＞4；③若a1，a2∈N*则{a1，a2}不可能是“复活集”；④若a i∈N*，则“复合集”A有且只有一个，且n=3．其中正确的结论是①③④．（填上你认为所有正确的结论序号）考点：元素与集合关系的判断．专题：集合．分析：根据已知中“复活集”的定义，结合韦达定理及反证法，逐一判断四个结论的正误，进而可得答案．解答：解：∵•=+=﹣1，故①是正确的；②不妨设a1+a2=a1a2=t，则由韦达定理知a1，a2是一元二次方程x2﹣tx+t=0的两个根，由△＞0，可得t＜0，或t＞4，故②错；③不妨设A中a1＜a2＜a3＜…＜a n，由a1a2…a n=a1+a2+…+a n＜na n，得a1a2…a n﹣1＜n，当n=2时，即有a1＜2，∴a1=1，于是1+a2=a2，a2无解，即不存在满足条件的“复活集”A，故③正确．当n=3时，a1a2＜3，故只能a1=1，a2=2，求得a3=3，于是“复活集”A只有一个，为{1，2，3}．当n≥4时，由a1a2…a n﹣1≥1×2×3×…×（n﹣1），即有n＞（n﹣1）!，也就是说“复活集”A存在的必要条件是n＞（n﹣1）!，事实上，（n﹣1）!≥（n﹣1）（n﹣2）=n2﹣3n+2=（n﹣2）2﹣2+n＞2，矛盾，∴当n≥4时不存在复活集A，故④正确．故答案为：①③④点评：本题考查的知识点是元素与集合的关系，正确理解已知中的新定义“复活集”的含义是解答的关键，难度较大．三、解答题：本大题共5小题，共70分，解答应写出说明文字，证明过程或演算步骤．17．（12分）在△ABC中，角A，B，C对的边分别为a，b，c，已知a=2．（1）若A=，求b+c的取值范围；（2）若•=1，求△ABC面积的最大值．考点：余弦定理的应用；平面向量数量积的运算；正弦定理．专题：三角函数的图像与性质；解三角形．分析：（1）利用正弦定理、两角和差的正弦公式、三角函数的单调性即可得出；（2）利用数量积运算、同角三角函数基本关系式、余弦定理、基本不等式、三角形面积计算公式即可得出．解答：解：（1）∵，∴=，∴b+c=======4．∵，∴．∴，∴，∴．∴b+c∈（2，4]，（2）∵•=1，∴bccosA=1．∴，∴=，∵a2=b2+c2﹣2bccosA，∴4=b2+c2﹣2，6=b2+c2≥2bc，∴bc≤3，∴b2c2≤9．∴==≤=．当且仅当时，△ABC的面积取到最大值为．点评：本题考查了正弦定理、两角和差的正弦公式、三角函数的单调性、数量积运算、同角三角函数基本关系式、余弦定理、基本不等式、三角形面积计算公式等可基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．18．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，∠BAD=60°，Q为AD的中点．（Ⅰ）若PA=PD，求证：平面PQB⊥平面PAD；（Ⅱ）若平面PAD⊥平面ABCD，且PA=PD=AD=2，点M在线段PC上，试确定点M的位置，使二面角M﹣BQ﹣C大小为60°，并求出的值．考点：与二面角有关的立体几何综合题；平面与平面垂直的判定．专题：空间位置关系与距离．分析：（I）由已知条件推导出PQ⊥AD，BQ⊥AD，从而得到AD⊥平面PQB，由此能够证明平面PQB⊥平面PAD．（II）以Q为坐标原点，分别以QA，QB，QP为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出结果．解答：（I）证明：∵PA=PD，Q为AD的中点，∴PQ⊥AD，又∵底面ABCD为菱形，∠BAD=60°，∴BQ⊥AD，又∵PQ∩BQ=Q，∴AD⊥平面PQB，又∵AD⊂平面PAD，∴平面PQB⊥平面PAD．（II）∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，PQ⊥AD，∴PQ⊥平面ABCD．以Q为坐标原点，分别以QA，QB，QP为x，y，z轴，建立空间直角坐标系如图．则由题意知：Q（0，0，0），P（0，0，），B（0，，0），C（﹣2，，0），设（0＜λ＜1），则，平面CBQ的一个法向量是=（0，0，1），设平面MQB的一个法向量为=（x，y，z），则，取=，（9分）∵二面角M﹣BQ﹣C大小为60°，∴=，解得，此时．（12分）点评：本题考查平面与平面垂直的证明，考查满足条件的点的位置的确定，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．19．（12分）生产A，B两种元件，其质量按测试指标划分为：指标大于或等于82为正品，小于82为次品，现随机抽取这两种元件各100件进行检测，检测结果统计如下：测试指标元件A 8 12 40 32 8元件B 7 18 40 29 6（Ⅰ）试分别估计元件A、元件B为正品的概率；（Ⅱ）生产一件元件A，若是正品可盈利50元，若是次品则亏损10元；生产一件元件B，若是正品可盈利100元，若是次品则亏损20元，在（Ⅰ）的前提下：（i）求生产5件元件B所获得的利润不少于300元的概率；（ii）记X为生产1件元件A和1件元件B所得的总利润，求随机变量X的分布列和数学期望．考点：离散型随机变量的期望与方差；古典概型及其概率计算公式．专题：概率与统计．分析：（Ⅰ）由题设条件能求出元件A为正品的概率和元件B为正品的概率．（Ⅱ）（i）设生产的5件元件中正品件数为x，则有次品5﹣x件，由题意知100x﹣20（5﹣x）≥300，由此能求出生产5件元件B所获得的利润不少于300元的概率．（ii）随机变量X的所有取值为150，90，30，﹣30，分别求出P（X=150），P（X=90），P （X=30），P（X=﹣30），由此能求出X的分布列和EX．解答：（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由题可知元件A为正品的概率为=，元件B为正品的概率为=．…（2分）（Ⅱ）（i）设生产的5件元件中正品件数为x，则有次品5﹣x件，由题意知100x﹣20（5﹣x）≥300，得到x=4，5，设“生产5件元件B所获得的利润不少于300元”为事件C，则P（C）==．…（6分）（ii）随机变量X的所有取值为150，90，30，﹣30，则P（X=150）=，P（X=90）=，P（X=30）==，P（X=﹣30）==，所以X的分布列为：X 150 90 30 ﹣30P…（10分）EX=150×+90×+30×﹣30×=108．…（12分）点评：本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，在历年2015届高考中都是必考题型．20．（12分）椭圆C：+=1过点A（1，），离心率为，左右焦点分别为F1、F2．过点F1的直线l交椭圆于A、B两点．（1）求椭圆C的方程．（2）当△F2AB的面积为时，求l的方程．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（1）由已知条件推导出，，由此能求出椭圆C的方程．（2）由（1）知F1（﹣1，0），直线l方程为y=k（x+1），由，得（4k2+3）x2+8k2x+4k2﹣12=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），由此利用韦达定理能求出直线l的方程．解答：解：（1）∵椭圆过点，∴…（1分）∵离心率为，∴，…（2分）又∵a2=b2+c2…（3分）解①②③得a2=4，b2=3…（4分）∴椭圆…（6分）（2）由（1）得F1（﹣1，0）①当l的倾斜角是时，l的方程为x=﹣1，焦点此时，不合题意．…（7分）②当l的倾斜角不是时，设l的斜率为k，则其直线方程为y=k（x+1）由，消去y得：（4k2+3）x2+8k2x+4k2﹣12=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则…（9分）∴===…（10分）又已知，∴，∴（k2﹣1）（17k2+18）=0，∴k2﹣1=0，解得k=±1，故直线l的方程为y=±1（x+1），即x﹣y+1=0或x+y+1=0．…（13分）点评：本题考查椭圆方程的求法，考查直线方程的求法，解题时要认真审题，注意韦达定理和函数与方程思想的合理运用．21．（12分）f（x）=axe kx﹣1，g（x）=lnx+kx．（Ⅰ）当a=1时，若f（x）在（1，+∞）上为减函数，g（x）在（0，1）上是增函数，求k 值；（Ⅱ）对于任意k＞0，x＞0，f（x）＞g（x）恒成立，求a的取值范围．考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．专题：导数的综合应用．分析：（Ⅰ）a=1时，f（x）=xe kx﹣1，分别求出函数f（x），g（x）的导数，从而得出k 的取值范围；（Ⅱ）设h（x）=f（x）﹣g（x）=axe kx﹣lnx﹣kx﹣1（x＞0），求出h（x）的导数，通过讨论a的取值范围解决问题．解答：解：（Ⅰ）a=1时，f（x）=xe kx﹣1，∴f′（x）=（kx+1）e kx，g′（x）=+k，f（x）在（1，+∞）上为减函数，则∀x＞1，f′（x）≤0⇔k≤﹣，∴k≤﹣1；∵g（x）在（0，1）上为增函数，则∀x∈（0，1），g′（x）≥0⇔k≥﹣，∴k≥﹣1；综上所述：k=﹣1．（Ⅱ）设h（x）=f（x）﹣g（x）=axe kx﹣lnx﹣kx﹣1（x＞0），∴h′（x）=（kx+1）（ae kx﹣），设u（x）=ae kx﹣，∴u′（x）=ake kx+，①a≤0时，u（x）=ae kx﹣＜0，则h′（x）=（kx+1）（ae kx﹣）＜0，∴h（x）在（0，+∞）上是减函数，h（x）＞0不恒成立；②当a＞0时，，则在（0，+∞）上，是增函数，u（x）的函数值由负到正，必有x0∈（0，+∞），u（x0）=0，即，两边取自然对数得，lna+kx0=﹣lnx0，h（x）在（0，x0）上是减函数，（x0，+∞）上是增函数，=1﹣1﹣lnx0﹣kx0=﹣lnx0﹣kx0=lna因此，lna＞0，即a的取值范围是（1，+∞）．点评：本题考察了函数的单调性，导数的应用，求参数的取值，本题是一道综合题．三、请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.选修4-1：几何证明选讲22．（10分）已知，在△ABC中，D是AB上一点，△ACD的外接圆交BC于点E，AB=2BE．（Ⅰ）求证：BC=2BD；（Ⅱ）若CD平分∠ACB，且AC=2，EC=1，求BD的长．考点：与圆有关的比例线段；弦切角．专题：选作题；立体几何．分析：（Ⅰ）连接DE，证明△DBE∽△CBA，即可证明BC=2BD；（Ⅱ）先求DE，利用CD是∠ACB的平分线，可得DA=1，根据割线定理求出BD．解答：（Ⅰ）证明：连接DE，因为四边形ACED是圆的内接四边形，所以∠BDE=∠BCA，又∠DBE=∠CBA，所以△DBE∽△CBA，即有，又AB=2BE，所以BC=2BD …（5分）（Ⅱ）由（Ⅰ）△DBE∽△CBA，知，又A B=2BE，∴AC=2DE，∵AC=2，∴DE=1，而CD是∠ACB的平分线，∴DA=1，设BD=x，根据割线定理得BD•BA=BE•BC即x（x+1）=（x+1），解得x=1，即BD=1．…（10分）点评：本题考查与圆有关的比例线段，考查割线定理，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．三、选修4-4：坐标系与参数方程23．在直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建坐标系，已知曲线C：ρsin2θ=2acosθ（a＞0），已知过点P（﹣2，﹣4）的直线L的参数方程为：，直线L与曲线C分别交于M，N．（Ⅰ）写出曲线C和直线L的普通方程；（Ⅱ）若|PM|，|MN|，|PN|成等比数列，求a的值．考点：参数方程化成普通方程；等比数列的性质．专题：计算题．分析：（1）消去参数可得直线l的普通方程，曲线C的方程可化为ρ2sin2θ=2aρcosθ，从而得到y2=2ax．（II）写出直线l的参数方程为，代入y2=2ax得到，则有，由|BC|2=|AB|，|AC|，代入可求a的值．解答：解：（Ⅰ）根据极坐标与直角坐标的转化可得，C：ρsin2θ=2acosθ⇒ρ2sin2θ=2aρcosθ，即y2=2ax，直线L的参数方程为：，消去参数t得：直线L的方程为y+4=x+2即y=x﹣2（3分）（Ⅱ）直线l的参数方程为（t为参数），代入y2=2ax得到，则有…（8分）因为|MN|2=|PM|•|PN|，所以即：2﹣4×8（4+a）=8（4+a）解得a=1…（10分）点评：本题考查把极坐标方程化为直角坐标方程的方法，直线的参数方程中参数的几何意义，是一道基础题．三、选修4-5：不等式选讲24．已知函数f（x）=|x﹣1|．（Ⅰ）解不等式：f（x）+f（x﹣1）≤2；（Ⅱ）当a＞0时，不等式2a﹣3≥f（ax）﹣af（x）恒成立，求实数a的取值范围．考点：绝对值不等式的解法．专题：不等式的解法及应用．分析：（Ⅰ）分当x≤1时、当1＜x≤2时、当x＞2时三种情况，分别求得原不等式的解集，再取并集，即得所求．（Ⅱ）当a＞0时，利用绝对值三角不等式可得f（ax）﹣af（x）≤|a﹣1|，结合题意可得2a ﹣3≥|a﹣1|，由此解得a的范围．解答：解：（Ⅰ）原不等式等价于：当x≤1时，﹣2x+3≤2，即≤x≤1．当1＜x≤2时，1≤2，即1＜x≤2．当x＞2时，2x﹣3≤2，即2＜x≤．综上所述，原不等式的解集为{x|≤x≤}．（Ⅱ）当a＞0时，f（ax）﹣af（x）=|ax﹣1|﹣|ax﹣a|=|ax﹣1|﹣|a﹣ax|≤|ax﹣1+a﹣ax|=|a﹣1|，所以，2a﹣3≥|a﹣1|，解得a≥2．点评：本题主要考查绝对值不等式的解法，体现了等价转化以及分类讨论的数学思想，属于中档题．。

一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.集合{}2|,M y y x x R ==-∈，{}22|2,N x x y x R =+=∈，则M N ⋂=（ ）A ．()(){}1,1,1,1--- B ．{}1- C ．[]1,0- D ．⎡⎤⎣⎦【答案】B考点：集合的运算.2.命题:p “0x R ∃∈，使得200310x x -+≥”，则命题p ⌝为（ ）A ．x R ∀∈，都有2310x x -+≤B ．x R ∀∈，都有2310x x -+<C ．0x R ∃∈，使得200310x x -+≤D ．0x R ∃∈，使得200310x x -+<【答案】B 【解析】试题分析：特称命题的否定为全称命题，故“0x R ∃∈，使得200310x x -+≥”的否定为“x R ∀∈，都有2310x x -+< ”，故选B. 考点：特称命题的否定.3.已知函数()ln(1)xf x e x =++的图像在()()0,0f 处的切线与直线40x ny -+=垂直，则n 的值为（ ）A ．21 B ． 2 C ． 21- D ． 2- 【答案】D 【解析】试题分析：依题意得，()'11x fx e x =++，所以()'0112f =+=.显然0n ≠，直线40x ny -+=的斜率为1n ，所以121n⋅=-，解得2n =-，故选D. 考点：（1）导数的几何意义；（2）直线的垂直关系.4.已知向量()2,1a =，()1,3b =，则向量2a b -与a 的夹角为（ ） A ．135 B ．60 C.45 D ．30 【答案】C考点：（1）向量的坐标运算；（2）向量的夹角.5.在《张丘建算经》有一道题：“今有女子不善织布，逐日所织的布同数递减.初日织五尺，末一日织一尺，计织三十日，问共织布几何？” （ ）A ．30尺 B ．60尺 C.90尺 D ．120尺 【答案】C 【解析】试题分析：由题意可得该数列为等差数列，51=a ，130=a ，则9030230130=⨯+=a a S ，故选C.考点：数列的实际应用.6.已知命题:p “()0,x ∀∈+∞，ln 43x x +≥”；命题:q “()00,x ∃∈+∞，001842x x +≤”.则下列命题为真命题的是（ ）A ．()p q ⌝∧B ．p q ∧ C.()p q ∨⌝ D ．()()p q ⌝∧⌝ 【答案】A【解析】 试题分析：取12x =，可知ln 43x x +<，故命题p 为假命题；当00x >时，001842x x +≥=，当且仅当014x =时等号成立，故命题q 为真命题.所以()p q ⌝∧为真命题，p q ∧、()p q ∨⌝、()()p q ⌝∧⌝为假命题，故选A.考点：复合命题的真假.7.已知函数()sin 0,02y x πωϕωϕ⎛⎫=+><< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则,ωϕ的值分别是（ ） A ．1,26π B ．1,6π C.1,3π D ．1,23π【答案】A【方法点晴】本题主要考查利用()ϕω+=x A y sin 的图象特征，由函数()ϕω+=x A y sin 的部分图象求解析式，理解解析式中ϕω,,A 的意义是正确解题的关键，属于中档题．A 为振幅，有其控制最大、最小值，ω控制周期，即ωπ2=T ，通常通过图象我们可得2T 和4T,ϕ称为初象，通常解出A ，ω之后，通过特殊点代入可得，用到最多的是最高点或最低点.8.若等比数列{}n a 的前项和为n S ，且23S =，663S =，则5S =（ ）A ．33-B ．15 C.31 D ．33-或31【答案】D 【解析】试题分析：由题意得321=+a a ，606543=+++a a a a ，即6042412221=+++q a q a q a q a ，得2042=+q q ，即2-=q 或2=q ，当2=q 时，得11=a ，故315=S ；当2-=q ，得31-=a ，得315=S ，故选D. 考点：等比数列的前n 项和.9.已知实数,x y 满足12724y x x x y ⎧≥⎪⎪≤⎨⎪-≥⎪⎩，则23z x y =-的最小值为（ ）A ．32-B ．16- C.10- D ．6- 【答案】B考点：简单的线性规划.【方法点晴】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.10.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）A ．)91π+．)928π+C. )92π+．)918π+【答案】D考点：由三视图求体积、表面积.11.定义在实数集R 上的函数()f x ，满足()()()22f x f x f x =-=-，当[]0,1x ∈时，()2x f x x =⋅.则函数()()lg g x f x x =-的零点个数为（ ）A ．99B ．100 C.198 D ．200 【答案】B 【解析】试题分析：()f x 是偶函数，图象关于直线1x =对称，周期是2，画图可得，零点个数为100，故选B.考点：根的存在性及根的个数判断. 12.已知函数()f x 的定义域为R ,()'f x 为函数()f x 的导函数，当[)0,x ∈+∞时，()'2sin cos 0x x f x ->且x R ∀∈，()()cos21f x f x x -++=.则下列说法一定正确的是（ ） A ．15324643f f ππ⎛⎫⎛⎫-->-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ B ．15344643f f ππ⎛⎫⎛⎫-->-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C.3134324f f ππ⎛⎫⎛⎫->- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．1332443f f ππ⎛⎫⎛⎫-->- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】B考点：（1）利用导数研究函数的单调性；（2）函数的综合应用.第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．）13.已知函数()[](]213,3,030,3x x f x x ⎧-+∈-⎪=∈，则()33f x -=⎰ ． 【答案】964π+ 【解析】 试题分析：()⎰⎰⎰---+⎪⎭⎫⎝⎛+-=033022339331dxx dx x x f ，其中6391331033032=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+---⎰x x dx x ，其中dx x ⎰-3029由定积分的几何意义可知，其表示半径为3的圆的面积的41，即49π，故 ()49633π+=⎰-dx x f ，故答案为964π+.考点：定积分的计算.14.如图，已知ABC ∆中，D 为边BC 上靠近B 点的三等分点，连接AD ，E 为线段AD 的中点，若CE mAB nAC =+，则m n += ．【答案】12-考点：平面向量基本定理的运用.15.已知三棱锥A BCD -中，AB CD ==BC AD ==，AC BD ==三棱锥A BCD -的外接球的表面积为 ． 【答案】77π 【解析】试题分析：因为该三棱锥的对棱两两相等，所以可构造长、宽、高分别是6,4,5的长方形，如图所示，三棱锥A BCD -的外接球即为所构造的长方体的外接球，所以所求外接球的半径22R ==，则三棱锥A BCD -的外接球的表面积为2244772S R πππ⎛==⋅= ⎝⎭，故答案为π77.考点：球的表面积、体积.【方法点晴】本题主要考查了几何体的外接球以及球的表面积计算，由该三棱锥的对棱两两相等，将三棱锥的外接圆构造成长方体的外接圆是解决本题的关键所在，对空间想象能力要求较高，难度中档；在正方体与球的组合体中常见的有三种形式：1、正方体的各个定点均在球面上，球的直径即为正方体的体对角线；2、正方体的个面与球相切，球的直径即为棱长；3、球与正方体的各条棱相切，球的直径即为面对角线.16.已知定义在()0,+∞的函数()()41f x x x =-，若关于x 的方程()()()2320f x t f x t +-+-=有且只有3个不同的实数根，则实数t 的取值集合是 ．【答案】{2,5-考点：（1）方程根的个数判断；（2）函数性质的综合运用.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.如图，D 是ABC ∆内一点，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，且满足2D B ∠=∠，1cos 3D ∠=-，2AD =，ACD ∆的面积是（1）求线段AC 的长；（2）若BC =，求线段AB 的长.【答案】（1）34=AC ；（2）8AB =.（2）由已知21cos cos 212sin 3D B B ==-=-sin B ∴∠=（负舍去） 在ABC ∆中，AC BC =，由正弦定理()sin sin 2sin sin AB AB AB ACACB B D Bπ==∠=∠-∠3=所以8AB =.考点：（1）正弦定理；（2）余弦定理.【方法点晴】此题考查了正弦定理、余弦定理的应用，利用正弦、余弦定理可以很好得解决了三角形的边角关系，熟练掌握定理是解本题的关键．在ABC ∆中，涉及三边三角，知三（除已知三角外）求三，可解出三角形，当涉及两边及其中一边的对角或两角及其中一角对边时，运用正弦定理求解；当涉及三边或两边及其夹角时，运用余弦定理求解. 18.（本小题满分12分）在一次水下考古活动中，某一潜水员需潜水50米到水底进行考古作业.其用氧量包含一下三个方面：①下潜平均速度为x 米/分钟，每分钟用氧量为21100x 升；②水底作业时间范围是最少10分钟最多20分钟，每分钟用氧量为0.3升；③返回水面时，平均速度为12x 米/分钟，每分钟用氧量为0.32升.潜水员在此次考古活动中的总用氧量为y 升. （1）如果水底作业时间是10分钟，将y 表示为x 的函数；（2）若[]6,10x ∈，水底作业时间为20分钟，求总用氧量y 的取值范围； （3）若潜水员携带氧气13.5升，请问潜水员最多在水下多少分钟（结果取整数）？ 【答案】（1）)0(3232>++=x x x y ；（2）4314,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦；（3）18.（2）由（1）同理得[]()326146,102x y x x∴=++≥∈ 函数在[]6,8x ∈是减函数，[]8,10x ∈是增函数 当8x =时min 14y =，当6x =时433y =，10x =时714353y =<所以总用氧量y 的取值范围是4314,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦. （3）潜水员在潜水与返回最少要用8升氧气，则在水下时间最长为13.585518.30.33-=≈分钟 所以潜水员最多在水下18分钟. 考点：函数在实际问题中的应用. 19.（本小题满分12分）已知函数()2332cos 2sin cos 232f x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. （1）求函数()f x 的单调递减区间；（2）将函数()f x 的图象向右平移3π个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到函数()g x 的图像，求当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，函数()g x 的值域.【答案】（1）()7,1212k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦；（2）⎣⎦. 【解析】试题分析：（1）首先根据降幂公式，结合辅助角公式以及两角和与差的余弦函数化简函数解析式，得到()⎪⎭⎫⎝⎛+=32sin 3πx x f ，然后，确定其单调递减区间即可；（2）首先根据平移变换，得到函数的解析式()23g x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，然后求解其值域即可．（1）令()3222232k x k k Z πππππ+≤+≤+∈，解得()71212k x k k Z ππππ+≤≤+∈， 即函数()f x 的单调递减区间为()7,1212k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦.考点：（1）三角函数的单调性；（2）三角函数的值域.【方法点睛】本题主要考查了三角函数的化简，以及函数()ϕω+=x A y sin 的性质，属于基础题，强调基础的重要性，是高考中的常考知识点；对于三角函数解答题中，当涉及到周期，单调性，单调区间以及最值等都属于三角函数的性质，首先都应把它化为三角函数的基本形式即()ϕω+=x A y sin ，然后利用三角函数u A y sin =的性质求解. 20.（本小题满分12分） 已知数列{}n a 满足137a =，1341n n n a a a +=+，n N *∈. （1）求证：数列12n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是等比数列，并且求出数列{}n a 的通项公式； （2）求数列n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S . 【答案】（1）证明见解析，3,231n n n a n N *=∈⨯+；（2）2323434nn n S n n +=-+++⨯. 【解析】试题分析：（1）在数列的递推式两边同时取倒数，构造出1111223n n a a +⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，易证其为等比数列，故可得其通项公式；（2）结合（1）得23n n n nn a =+，利用分组求和与分组求和相结合求其前n 项和.（2）23n n n nn a =+ 设231123133333n n n n n T --=+++++ 则234111231333333n n n n n T +-=+++++ 两式相减得231121111111333333233n n n n n n nT ++⎛⎫=++++-=--⎪⎝⎭ 所以332443n nn T +=-⨯ 又22462n n n ++++=+所以2323434n n n S n n +=-+++⨯. 考点：（1）数列的通项公式；（2）数列的前n 项和；（3）数列递推式.【方法点晴】本题主要考查了等比数列的概念，以及数列的求和，构造等比数列是解决本题的关键所在，属于高考中常考知识点，难度不大；常见的数列求和的方法有公式法即等差等比数列求和公式，分组求和类似于n n n b a c +=，其中{}n a 和{}n b 分别为特殊数列，裂项相消法类似于()11+=n n a n ，错位相减法类似于n n n b a c ⋅=，其中{}n a 为等差数列，{}n b 为等比数列等.21.（本小题满分12分）已知正三棱柱'''ABC A B C -如图所示，其中G 是BC 的中点，,D E 分别在线段AG ，'AC 上运动，使得//DE 平面''BCC B ，F 是'BB 上的一点，且''284CC BC B F ===. （1）求证：''C F BD ⊥；（2）求二面角'''A B C C --的余弦值； （3）求线段DE 的最小值.【答案】（1）证明见解析；（2）19192；（3.试题解析：（1）如图，连接'B G ，因为G 是BC 的中点，所以AG GC ⊥，所以AG ⊥平面''BB C C .因为'C F ⊂平面''BB C C ，所以'AG C F ⊥.因为'''C B B GBB ∠=∠，且''''14B F BG BC B B ==，所以'''C B FB BG ∆∆，所以''BG C F ⊥.因为'AG B G G ⋂=，所以'C F ⊥平面'AB G .因为'B D ⊂平面'AB G ，所以''C F B D ⊥.（3）由题意，可设()(0,0,0D k k ≤≤，()'01CE CA λλ=≤≤，由('CA =，得(),4CE λλ=，又()1,0,0C -，所以()1,4E λλ-，所以 ()1,4DE k λλ=--.易知(GA =为平面''BCC B 的一个法向量.因为//DE 平面''BCC B ，所以0DE GA ⋅=k =，所以(DE λ==，又因为221161721171717λλλ⎛⎫-+=-+ ⎪⎝⎭，所以当117λ=时，线段DE .考点：（1）线线垂直的判定；（2）二面角的余弦值；（3）空间中的距离问题. 22.（本小题满分10分） 已知函数()21ln 2f x x m x =-. （1）求函数()f x 的极值；（2）若1m ≥，试讨论关于x 的方程()()21f x x m x =-+的解的个数，并说明理由. 【答案】（1）当0m ≤时，函数()f x 无极值，当0m >时，函数()f x 有极小值()1ln 2mm -，无极大值；（2）方程()()21f x x m x =-+有唯一解. 【解析】试题分析：（1）求出函数()x f 定义域，求导，令()0='x f ．利用导函数的符号，判断函数的单调性，求出函数的极值；（2）令()()()()22111ln 2F x f x x m x x m x m x =-++=-++-，对其求导，分为1m =和1m >两种情形，根据导数与0的关系，判断函数的单调性，根据其大致图象得到其与x 轴的交点分数，故而得到方程解的个数.（2）令()()()()22111ln 2F x f x x m x x m x m x =-++=-++-，0x >，问题等价于求()F x 函数的零点个数.考点：（1）利用导数研究函数的极值；（2）函数零点个数的判断.【方法点晴】本题主要考查的是利用导数研究函数的单调性、利用导数研究函数的极值，以及函数零点个数的判断，属于难题．利用导数求函数()f x 的极值的步骤：①确定函数()f x 的定义域；②对()f x 求导；③求方程()0f x '=的所有实数根；④解不等式()0>'x f 和()0<'xf，根据单调性确定极值；方程的解即为相对应函数的图象与x交点的个数，利用导数判断其单调性，根据其图象的大致形状确定与x交点的个数.。

一、选择题： 1．如果复数21z i=-+，则（ ） .A |z|＝2 .B z 的实部为1 .C z 的虚部为﹣1 .D z 的共轭复数为1+i2．在平面直角坐标平面上，(1,4),(3,1)OA OB ==-，且O A 与OB 在直线l 上的射影长度相等，直线l 的倾斜角为锐角，则l 的斜率为 ( ) A ．43 B ．52 C ．25 D ．343． 已知映射B A f →:,其中R B A ==，对应法则21||:x y x f =→，若对实数B k ∈，在集合A 中不存在元素x 使得k x f →:，则k 的取值范围是（ ）A ．0≤kB ．0>kC ．0≥kD ． 0<k4．已知球的直径SC ＝4，A ，B 是该球球面上的两点，AB ＝2．45ASC BSC ∠=∠=︒则棱锥S —ABC 的体积为 ( )A ．3B ．3 C ．3D ．35．已知抛物线32+-=x y 上存在关于直线0=+y x 对称的相异两点B A ,，则AB 等于A ．3B ．4C ．23D ．246．平面上动点),(y x A 满足135=+y x ，)0,4(-B ，)0,4(C ,则一定有（ ） A ． 10<+AC AB B ．10≤+AC AB C ． 10>+AC AB D ．10≥+AC AB7． 在等差数列{}n a 中，52=a ，216=a ，记数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ，若1512mS S n n ≤-+对*n N ∈恒成立，则正整数m 的最小值为（ ） A ．5 B ．4 C ．3 D ．28． 在平行四边形ABCD 中，O =∠60BAD ，AD ＝2AB ，若P 是平面ABCD 内一点，且满足0=++PA AD y AB x （,x y ∈R ），则当点P 在以A为圆心，为半径的圆上时，实数y x ,应满足关系式为（ ） A ．12422=++xy y x B ．12422=-+xy y x C ．12422=-+xy y x D ．12422=++xy y x9．函数()cos f x x π=与()2log 1g x x =-的图像所有交点的横坐标之和为A ．2B ．4C ．6D ．810．已知点P 是双曲线右支上一点，分别是双曲线的左、右焦点，I 为的内心，若 成立，则双曲线的离心率为A ．4B ．C ．2D ．11．定义在R 上的奇函数()f x ，当0x ≥时，12log (1),[0,1)()1|3|,[1,)x x f x x x +∈⎧⎪=⎨⎪--∈+∞⎩，则关于x 的函数()()(01)F x f x a a =-<<的所有零点之和为A ．21a -B ．12a -C ． 21a --D ．12a --12．已知函数32()132x mx m n x y +++=+的两个极值点分别为x 1，x 2，且1(0,1)x ∈，2(1,)x ∈+∞，记分别以m ，n 为横、纵坐标的点(,)P m n 表示的平面区域为D ，若函数log (4)(1)a y x a =+>的图象上存在区域D 内的点，则实数a 的取值范围为A ．(1,3]B ．(1,3)C ． (3,)+∞D ．[3,)+∞二 填空题13．已知7270127()x m a a x a x a x -=++++ 的展开式中4x 的系数是－35，5325212121F IF IPF IPF S S S ∆∆∆+=21F PF ∆21,F F )0,0(,12222>>=-b a by a x则1237a a a a ++++ ＝14．高三毕业时，甲，乙，丙等五位同学站成一排合影留念，已知甲，乙相邻，则甲丙相邻的概率为15．四棱锥ABCD P -的三视图如图所示,四棱锥ABCD P -的五个顶点都在一个球面上，E 、F分别是棱AB 、CD 的中点，直线EF 被球面所截得的线段长 为22，则该球表面积为 ． 16．程序框图如图所示：如果上述程序运行的结果S ＝1320，那么判断框中应填入三、解答题（共70分．）17．（本题满分12分）已知锐角ABC ∆的三个内角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,。

2016-2017学年河南省郑州一中高三（上）入学数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．（5分）已知全集U＝R，集合P＝{x|lnx2≤1}，Q＝{y|y＝sin x+tan x，x∈[0，]}，则P ∪Q为（）A．（﹣，）B．[﹣，]C．（0，]D．（0，] 2．（5分）复数z1，z2在复平面内对应的点关于直线y＝x对称，且z1＝3+2i，则z1•z2＝（）A．12+13i B．13+12i C．﹣13i D．13i3．（5分）甲、乙两人要在一排8个空座上就坐．若要求甲、乙两人每人的两旁都空座．则有多少种坐法（）A．10B．16C．20D．244．（5分）已知公差不为0的等差数列{a n}满足a1，a3，a4成等比数列，S n为数列{a n}的前n项和，则的值为（）A．2B．3C．﹣2D．﹣35．（5分）中国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前344年商鞅督造一种标准量器﹣﹣商鞅铜方升，其三视图如图所示（单位：寸），若π取3，其体积为12.6（立方寸），则图中的x为（）A．1.2B．1.6C．1.8D．2.46．（5分）过椭圆+＝1（a＞b＞0）的左焦点F1，作x轴的垂线交椭圆于点P，F2为右焦点，若∠F1PF2＝60°，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．7．（5分）函数与的图象关于直线x＝a对称，则a可能是（）A．B．C．D．8．（5分）见如图程序框图，若输入a＝110011，则输出结果是（）A．51B．49C．47D．459．（5分）已知函数f（x）＝2016x+log2016（+x）﹣2016﹣x+2，则关于x的不等式f （3x+1）+f（x）＞4的解集为（）A．（﹣，+∞）B．（﹣∞，﹣）C．（0，+∞）D．（﹣∞，0）10．（5分）已知实数x，y满足，若目标函数z＝﹣mx+y的最大值为﹣2m+10，最小值为﹣2m﹣2，则实数m的取值范围是（）A．[﹣1，2]B．[﹣2，1]C．[2，3]D．[﹣1，3]11．（5分）过双曲线x2﹣＝1的右支上一点P，分别向圆C1：（x+4）2+y2＝4和圆C2：（x﹣4）2+y2＝1作切线，切点分别为M，N，则|PM|2﹣|PN|2的最小值为（）A．10B．13C．16D．1912．（5分）已知函数f（x）＝x﹣存在单调递减区间，且y＝f（x）的图象在x＝0处的切线l与曲线y＝e x相切，符合情况的切线l（）A．有3条B．有2条C．有1条D．不存在二、填空题（本大题包括4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）已知a＝sin xdx则二项式（1﹣）5的展开式中x﹣3的系数为．14．（5分）F1，F2分别为椭圆＝1的左、右焦点，A为椭圆上一点，且＝（+），＝（+），则||+||．15．（5分）过球O表面上一点A引三条长度相等的弦AB、AC、AD，且两两夹角都为60°，若球半径为R，求弦AB的长度．16．（5分）设数列{a n}是首项为0的递增数列，f n（x）＝|sin（x﹣a n）|，x∈[a n，a n+1]，n∈N*，满足：对于任意的b∈[0，1），f n（x）＝b总有两个不同的根，则{a n}的通项公式为．三、解答题（本大题共5小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）已知f（x）＝sin x•cos x+cos2x．（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）在锐角△ABC的三个角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且f（C）＝1，求的取值范围．18．（12分）如图所示，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是梯形，AD∥BC，侧面ABB1A1为菱形，∠DAB＝∠DAA1．（Ⅰ）求证：A1B⊥AD；（Ⅱ）若AD＝AB＝2BC，∠A1AB＝60°，点D在平面ABB1A1上的射影恰为线段A1B 的中点，求平面DCC1D1与平面ABB1A1所成锐二面角的余弦值．19．（12分）近年来我国电子商务行业迎来篷布发展的新机遇，2015年双11期间，某购物平台的销售业绩高达918亿人民币．与此同时，相关管理部门推出了针对电商的商品和服务的评价体系．现从评价系统中选出200次成功交易，并对其评价进行统计，对商品的好评率为0.6，对服务的好评率为0.75，其中对商品和服务都做出好评的交易为80次．（1）是否可以在犯错误概率不超过0.1%的前提下，认为商品好评与服务好评有关？（2）若将频率视为概率，某人在该购物平台上进行的5次购物中，设对商品和服务全好评的次数为随机变量X：①求对商品和服务全好评的次数X的分布列（概率用组合数算式表示）；②求X的数学期望和方差．（，其中n＝a+b+c+d）20．（12分）已知点C为圆（x+1）2+y2＝8的圆心，P是圆上的动点，点Q在圆的半径CP 上，且有点A（1，0）和AP上的点M，满足•＝0，＝2．（Ⅰ）当点P在圆上运动时，求点Q的轨迹方程；（Ⅱ）若斜率为k的直线l与圆x2+y2＝1相切，直线l与（Ⅰ）中所求点Q的轨迹交于不同的两点F，H，O是坐标原点，且≤•≤时，求k的取值范围．21．（12分）已知函数f（x）＝x2﹣（a+2）x+alnx，其中常数a＞0．（Ⅰ）当a＞2时，求函数f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）设定义在D上的函数y＝h（x）在点P（x0，h（x0））处的切线方程为l：y＝g（x），若＞0在D内恒成立，则称P为函数y＝h（x）的“类对称点”．当a＝4时，试问y＝f（x）是否存在“类对称点”，若存在，请至少求出一个“类对称点”的横坐标；若不存在，请说明理由．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-1：几何证明选讲]22．（10分）如图，已知圆O是△ABC的外接圆，AB＝BC，AD是BC边上的高，AE是圆O的直径．过点C作圆O的切线交BA的延长线于点F．（Ⅰ）求证：AC•BC＝AD•AE；（Ⅱ）若AF＝2，CF＝2，求AE的长．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．已知曲线C的极坐标方程为ρ＝2cosθ﹣4sinθ．以极点为原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为（t为参数）．（Ⅰ）判断直线l与曲线C的位置关系，并说明理由；（Ⅱ）若直线l和曲线C相交于A，B两点，且|AB|＝3，求直线l的斜率．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）＝|x﹣2|，g（x）＝m|x|﹣2，（m∈R）．（1）解关于x的不等式f（x）＞3；（2若不等式f（x）≥g（x）对任意x∈R恒成立，求m的取值范围．2016-2017学年河南省郑州一中高三（上）入学数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．【解答】解：∵lnx2≤1＝lne，∴0＜x2≤e，∴﹣≤x＜0或0＜x≤，∴P＝[﹣，0）∪（0，]，∵y＝sin x+tan x，在[0，]为增函数，∴y∈[0，]，∴Q＝[0，]，∴P∪Q＝[﹣，]，故选：B．2．【解答】解：复数z1在复平面内关于直线y＝x对称的点表示的复数z2＝2+3i，所以z1•z2＝（3+2i）（2+3i）＝13i．故选：D．3．【解答】解：有8个座位，现有2个人入座，则有6个空位，因而可以采用插空法求解，∵要求入座的每人左右均有空位，∴6个座位之间形成5个空，安排2个人入座即可∴不同的坐法种数为A52＝20，故选：C．4．【解答】解：设等差数列的公差为d，首项为a1，所以a3＝a1+2d，a4＝a1+3d．因为a1、a3、a4成等比数列，所以（a1+2d）2＝a1（a1+3d），解得：a1＝﹣4d．所以＝＝2，故选：A．5．【解答】解：由三视图知，商鞅铜方升由一圆柱和一长方体组合而成．由题意得：（5.4﹣x）×3×1+π•（）2x＝12.6，解得：x＝1.6．故选：B．6．【解答】解：由题意知点P的坐标为（﹣c，）或（﹣c，﹣），∵∠F1PF2＝60°，∴＝，即2ac＝b2＝（a2﹣c2）．∴e2+2e﹣＝0，∴e＝或e＝﹣（舍去）．故选：D．7．【解答】解：由题意，设两个函数关于x＝a对称，则函数关于x＝a的对称函数为，利用诱导公式将其化为余弦表达式为，令，则．故选：A．8．【解答】解：第一次执行循环体后，t＝1，b＝1，i＝2，不满足退出循环的条件，第二次执行循环体后，t＝1，b＝3，i＝3，不满足退出循环的条件，第三次执行循环体后，t＝0，b＝3，i＝4，不满足退出循环的条件，第四次执行循环体后，t＝0，b＝3，i＝5，不满足退出循环的条件，第五次执行循环体后，t＝1，b＝19，i＝6，不满足退出循环的条件，第六次执行循环体后，t＝1，b＝51，i＝7，满足退出循环的条件，故输出b值为51，故选：A．9．【解答】解：设g（x）＝2016x+log2016（+x）﹣2016﹣x，g（﹣x）＝2016﹣x+log2016（+x）﹣2016x+＝﹣g（x）；g′（x）＝2016x ln2016++2016﹣x ln2016＞0；∴g（x）在R上单调递增；∴由f（3x+1）+f（x）＞4得，g（3x+1）+2+g（x）+2＞4；∴g（3x+1）＞g（﹣x）；∴3x+1＞﹣x；解得x＞﹣；∴原不等式的解集为（﹣，+∞）．故选：A．10．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分ABC）．由目标函数z＝﹣mx+y得y＝mx+z，则直线的截距最大，z最大，直线的截距最小，z最小．∵目标函数z＝﹣mx+y的最大值为﹣2m+10，最小值为﹣2m﹣2，∴当目标函数经过点（2，10）时，取得最大，当经过点（2，﹣2）时，取得最小值，∴目标函数z＝﹣mx+y的目标函数的斜率m满足比x+y＝0的斜率大，比2x﹣y+6＝0的斜率小，即﹣1≤m≤2，故选：A．11．【解答】解：圆C1：（x+4）2+y2＝4的圆心为（﹣4，0），半径为r1＝2；圆C2：（x﹣4）2+y2＝1的圆心为（4，0），半径为r2＝1，设双曲线x2﹣＝1的左右焦点为F1（﹣4，0），F2（4，0），连接PF1，PF2，F1M，F2N，可得|PM|2﹣|PN|2＝（|PF1|2﹣r12）﹣（|PF2|2﹣r22）＝（|PF1|2﹣4）﹣（|PF2|2﹣1）＝|PF1|2﹣|PF2|2﹣3＝（|PF1|﹣|PF2|）（|PF1|+|PF2|）﹣3＝2a（|PF1|+|PF2|﹣3＝2（|PF1|+|PF2|）﹣3≥2•2c﹣3＝2•8﹣3＝13．当且仅当P为右顶点时，取得等号，即最小值13．故选：B．12．【解答】解：函数f（x）＝x﹣的导数为f′（x）＝1﹣，依题意可知，f′（x）＜0在（﹣∞，+∞）有解，①a＜0时，f′（x）＜0 在（﹣∞，+∞）无解，不符合题意；②a＞0时，f′（x）＞0即a＞，lna＞，x＜alna符合题意，则a＞0．易知，曲线y＝f（x）在x＝0处的切线l的方程为y＝（1﹣）x﹣1．假设l与曲线y＝e x相切，设切点为（x0，y0），即有＝1﹣＝（1﹣）x0﹣1，消去a得，设h（x）＝e x x﹣e x﹣1，则h′（x）＝e x x，令h′（x）＞0，则x＞0，所以h（x）在（﹣∞，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增，当x→﹣∞，h（x）→﹣1，x→+∞，h（x）→+∞，所以h（x）在（0，+∞）有唯一解，则，而a＞0时，，与矛盾，所以不存在．故选：D．二、填空题（本大题包括4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题纸上）13．【解答】解：a＝sin xdx＝﹣cos x＝﹣（cosπ﹣cos0）＝2．二项式（1﹣）5的展开式中x﹣3的系数为：，故答案为：﹣80．14．【解答】解：椭圆＝1的a＝6，由椭圆的定义可得|AF1|+|AF2|＝2a＝12，＝（+），可得B为AF1的中点，＝（+），可得C为AF2的中点，由中位线定理可得|OB|＝|AF2|，|OC|＝|AF1|，即有||+||＝（|AF1|+|AF2|）＝a＝6，故答案为：6．15．【解答】解：由题意，球心在正四面体中心，设AB＝a，则截面BCD与球心的距离d＝a﹣R，过点B、C、D的截面圆半径r＝a，所以（a）2＝R2﹣（a﹣R）2，得a＝R．故答案为：R．16．【解答】解：∵a1＝0，当n＝1时，f1（x）＝|sin（x﹣a1）|＝|sin x|，x∈[0，a2]，又∵对任意的b∈[0，1），f1（x）＝b总有两个不同的根，∴a2＝π∴f1（x）＝sin x，x∈[0，π]，a2＝π又f2（x）＝|sin（x﹣a2）|＝|sin（x﹣π）|＝|cos|，x∈[π，a3]∵对任意的b∈[0，1），f1（x）＝b总有两个不同的根，∴a3＝3π…（5分）又f3（x）＝|sin（x﹣a3）|＝|sin（x﹣3π）|＝|sinπ|，x∈[3π，a4]∵对任意的b∈[0，1），f1（x）＝b总有两个不同的根，∴a4＝6π…（6分）由此可得a n+1﹣a n＝nπ，∴a n＝a1+（a2﹣a1）+…+（a n﹣a n﹣1）＝0+π+…+（n﹣1）π＝∴故答案为：三、解答题（本大题共5小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．【解答】解：（I）由三角函数公式化简可得：f（x）＝sin2x+（1+cos2x）＝+sin（2x+），由可得∴函数f（x）的单调递增区间为；（II）∵f（C）＝+sin（2x+）＝1，∴sin（2x+）＝，∴或，k∈Z，∴结合三角形内角的范围可，由余弦定理得c2＝a2+b2﹣ab，∴，∵△ABC为锐角三角形，∴，∴由正弦定理得＝＝＝＝+∈（，2），∴．18．【解答】（Ⅰ）通过条件可知＝、∠DAB＝∠DAA1，利用＝即得A1B⊥AD；（Ⅱ）解：设线段A1B的中点为O，连接DO、AB1，由题意知DO⊥平面ABB1A1．因为侧面ABB1A1为菱形，所以AB1⊥A1B，故可分别以射线OB、射线OB1、射线OD为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系O﹣xyz，如图所示．设AD＝AB＝2BC＝2a，由∠A 1AB＝60°可知|0B|＝a，，所以＝a，从而A（0，a，0），B（a，0，0），B1（0，a，0），D（0，0，a），所以＝＝（﹣a，a，0）．由可得C（a，a，a），所以＝（a，a，﹣a），设平面DCC1D1的一个法向量为＝（x0，y0，z0），由•＝•＝0，得，取y0＝1，则x0＝，z0＝，所以＝（，1，）．又平面ABB1A1的法向量为＝D（0，0，a），所以＝＝＝，故平面DCC1D1与平面ABB1A1所成锐二面角的余弦值为．19．【解答】解：（1）由题意可得关于商品和服务评价的2×2列联表为：计算观测值，对照数表知，在犯错误概率不超过0.1%的前提下，认为商品好评与服务好评有关；（6分）（2）每次购物时，对商品和服务都好评的概率为，且X的取值可以是0，1，2，3，4，5；其中；；；；；；所以X的分布列为：由于X～B（5，），则；．（12分）20．【解答】解：（I）由题意知MQ中线段AP的垂直平分线，∴，∴点Q的轨迹是以点C，A为焦点，焦距为2，长轴为的椭圆，，故点Q的轨迹方程是．（II）设直线l：y＝kx+b，F（x1，y1），H（x2，y2）直线l与圆x2+y2＝1相切联立，（1+2k2）x2+4kbx+2b2﹣2＝0，△＝16k2b2﹣4（1+2k2）2（b2﹣1）＝8（2k2﹣b2+1）＝8k2＞0，可得k≠0，∴，＝＝＝，∴为所求．21．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（0，+∞），∵，∴…（1分）∵a＞2，∴，令f′（x）＞0，即，∵x＞0，∴0＜x＜1或，…（2分）所以函数f（x）的单调递增区间是（0，1），…（3分）（Ⅱ）解法一：当a＝4时，所以在点P处的切线方程为…（4分）若函数存在“类对称点”P（x0，f（x0）），则等价于当0＜x＜x0时，f（x）＜g（x），当x＞x0时，f（x）＞g（x）恒成立．…（5分）①当0＜x＜x0时，f（x）＜g（x）恒成立，等价于恒成立，即当0＜x＜x0时，恒成立，令，则φ（x0）＝0，…（7分）要使φ（x0）＜0在0＜x＜x0恒成立，只要φ（x）在（0，x0）单调递增即可．又∵，…（8分）∴，即．…（9分）②当x＞x 0时，f（x）＞g（x）恒成立时，．…（10分）∴．…（11分）所以y＝f（x）存在“类对称点”，其中一个“类对称点”的横坐标为．…（12分）（Ⅱ）解法二：猜想y＝f（x）存在“类对称点”，其中一个“类对称点”的横坐标为．…（4分）下面加以证明：当时，…（5分）①当时，f（x）＜g（x）恒成立，等价于恒成立，令…（7分）∵，∴函数φ（x）在上单调递增，从而当时，恒成立，即当时，f（x）＜g（x）恒成立．…（9分）②同理当时，f（x）＞g（x）恒成立．…（10分）综上知y＝f（x）存在“类对称点”，其中一个“类对称点”的横坐标为．…（12分）请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-1：几何证明选讲]22．【解答】证明：（I）如图所示，连接BE．∵AE是⊙O的直径，∴∠ABE＝90°．又∠E与∠ACB都是所对的圆周角，∴∠E＝∠ACB．∵AD⊥BC，∠ADC＝90°．∴△ABE∽△ADC，∴AB：AD＝AE：AC，∴AB•AC＝AD•AE．又AB＝BC，∴BC•AC＝AD•AE．解：（II）∵CF是⊙O的切线，∴CF2＝AF•BF，∵AF＝2，CF＝2，∴（2）2＝2BF，解得BF＝4．∴AB＝BF﹣AF＝2．∵∠ACF＝∠FBC，∠CFB＝∠AFC，∴△AFC∽△CFB，∴AF：FC＝AC：BC，∴AC＝＝．∴cos∠ACD＝，∴sin∠ACD＝＝sin∠AEB，∴AE＝＝[选修4-4：坐标系与参数方程]23．【解答】解：（Ⅰ）∵曲线C的极坐标方程为ρ＝2cosθ﹣4sinθ，∴ρ2＝2ρcosθ﹣4ρsinθ，∴曲线C的直角坐标方程为x2+y2＝2x﹣4y，即（x﹣1）2+（y+2）2＝5，∵直线l过点（1，﹣1），且该点到圆心的距离为，∴直线l与曲线C相交．（Ⅱ）当直线l的斜率不存在时，直线l过圆心，|AB|＝2≠3，因此直线l必有斜率，设其方程为y+1＝k（x﹣1），即kx﹣y﹣k﹣1＝0，圆心到直线l的距离＝，解得k＝±1，∴直线l的斜率为±1．[选修4-5：不等式选讲]24．【解答】解：（1）由f（x）＞3，得|x﹣2|＞3，可得x﹣2＞3，或x﹣2＜﹣3．求得x＜﹣1，或x＞5，故原不等式的解集为{x|x＜﹣1，或x＞5}．（2）由f（x）≥g（x），得|x﹣2|≥m|x|﹣2 恒成立．当x＝0时，不等式|x﹣2|≥m|x|﹣2 恒成立；当x≠0时，问题等价于m≤对任意非零实数恒成立．∵≥＝1，∴m≤1，即m的取值范围是（﹣∞，1]．。

河南省2017届高三下学期质量检测理科数学试卷答 案一、选择题：共12题1~5．DCDCB 6~10．ABACD 11~12．CB 二、填空题：共4题 13．5 14．16 15．π416三、解答题：共7题17．解：（1）1n n n S a a λ+=，33a =，所以112a a a λ=且()122323a a a a a λ+==，①所以2123,3a a a a λ=+==，②因为数列{}n a 是等差数列，所以1322a a a +=，即2123a a -=， 由①②得11a =，22a =，所以n a n =，2λ=， 所以14b =，316b =，则12n n b +=． （2）因为(1)2n n n S +=，所以2(2)n c n n =+，所以22222122435(1)(1)(2)n T n n n n =+++++⨯⨯⨯-++L 111111111132435112n n n n =-+-+-++-+--++L 2323232n n n +=-++． 18．解：（1）由题意可知，所求概率12211123424233366C C C C 2221C ()(1)(1)C 33C 315P =⨯-+⨯-=， （2）设甲公司正确完成面试的题数为X ，则X 的取值分别为1,2,3，124236C C 1(1)C 5P X ===，214236C C 3(2)C 5P X ===，304236C C 1(3)C 5P X ===，则X 的分布列为：131()1232555E X =⨯+⨯+⨯=，2221312()(12)(22)(32)5555D X =-⨯+-⨯+-⨯=．设乙公司正确完成面试的题数为Y ，则Y 取值分别为0,1,2,3，1(0)27P Y ==，123212(1)C ()339P Y ==⨯⨯=，223214(2)C ()339P Y ==⨯⨯=， 328(3)()327P Y ===，则Y 的分布列为：所以1248()01232279927E Y =⨯+⨯+⨯+⨯=（或因为2(3,)3Y B ~，所以2()323E Y =⨯=）， 222212482()(02)(12)(22)(32)2799273D Y =-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=，由()()E X E Y =，()()D X D Y ＜可得，甲公司成功的可能性更大．19．证明：因为AB AC ⊥，AB AC =，所以90ACB ∠=︒， 因为底面ABCD 是直角梯形，90ADC ∠=︒，AD BC ∥， 所以45ACD ∠=︒，即AD CD =，所以2BC AD =，因为2AE ED =，2CF FB =，所以2D 3AE BF A ==． 所以四边形ABFE 是平行四边形，则AB EF ∥，所以AC EF ⊥，因为PA ⊥底面ABCD ，所以PA EF ⊥， 因为PA AC A =I ，所以EF ⊥平面PAC ，因为EF ⊂平面PEF ，所以平面PEF ⊥平面PAC ．（2）因为PA AC ⊥，AC AB ⊥，所以AC ⊥平面PAB ，则APC ∠为直线PC 与平面PAB 所成的角，若PC 与平面PAB 所成角为45︒，则tan 1ACAPC PA∠==，即PA AC == 取BC 的中点为G ，连接AG ，则AG BC ⊥，以A 坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -．则(1,1,0)B -，(1,1,0)C ，2(0,,0)3E，P ，所以(1,1,0)EB =-u u u r，2(0,3EP =-u u u r ，设平面PBE 的法向量(,,)x y z =n ，则00n EB n EP ⎧=⎪⎨=⎪⎩u u u r u u g u r g ，即503203x y y ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，令3y =，则5x =，z =，=n ，因为(1,1,0)AC =u u u r是平面PAB 的一个法向量，所以cos ,AC 〈〉==u u u r n ，即当二面角A −PB −EPC 与平面PAB 所成的角为45︒． 20．解：（1）设200(,)4y A y ，圆C 的方程200(2)()()04y x x y y y --+-=，令1x =，得2200104y y y y -+-=，所以0M N y y y +=，214M N y y y =-，||||2M N MN y y =-=．（2）设直线l 的方程为x my n =+，11(,)P x y ，22(),Q x y ，则由24x my n y x=+⎧⎨=⎩消去x ，得2440y my n --=． 124y y m +=，124y y n =-，因为3OP OQ =-u u u r u u u r g ，所以12123x x y y +=-，则21212()316y y y y +=-，所以2430n n -+=，解得1n =或3n =， 当1n =或3n =时，点(2,0)B 到直线l的距离为d =，因为圆心C 到直线l 的距离等于到直线1x =的距离，所以208y =， 又20024y m y -=，消去m 得4200646416y y +=g ，求得208y =，此时2024y m y -=，直线l 的方程为3x =，综上，直线l 的方程为1x =或3x =．21．解：（1）设切点的坐标为2(,e )t t ，由2()e x f x =，得22(e )x f x ='， 所以切线方程为22e 2e ()t t y x t -=-，即222e (12)e t t y x t =+-，由已知222e (12)e x x y x t =+-和1y kx =+为同一条直线，所以22e t k =，2(12)e 1t k -=， 令()(1)e x h x x =-，则()e x h x x =-'，当(,0)x ∈-∞时，()0h x '>，()h x 单调递增，当(0,)x ∈+∞时，()0h x '<，()h x 单调递减， 所以()(0)1h x h ≤=，当且仅当0x =时等号成立，所以0t =，2k =． （2）①当2k >时，有（1）结合函数的图像知： 存在00x >，使得对于任意0(0,)x x ∈，都有()()f x g x ＜，则不等式|()()|>2f x g x x -等价()()2g x f x x ->，即2(2)1e 0x k x -+->， 设2(2)1e x t k x =-+-，22()2e x t k =--'，由0t '>得12ln 22k x -<，由0t '＜得12ln 22k x -＞， 若24k ≤＜，12ln022k -≤，因为012(0,)(,ln )22k x ∞-⊆-，所以()t x 在12(0,ln )22k -上单调递减， 因为(0)0t =，所以任意12(0,ln)22k x -∈，()0t x >，与题意不符， 若4k >，12ln022k ->，1212(0,ln )(,ln )2222k k --⊆-∞，所以()t x 在12(0,ln )22k -上单调递增， 因为(0)0t = ，所以对任意12(0,ln)22k x -∈，()0t x >符合题意， 此时取120min{0,ln}22k m -<≤，可得对任意(0,)x m ∈，都有|()()|>2f x g x x -． ②当02k <≤时，有（1）结合函数的图像知()2e210(0)xx x -+≥>，所以22()()e 1e (21)(2)(2)0x x f x g x kx x k x k x -=--=-++-≥-≥对任意0x >都成立， 所以|()()|>2f x g x x -等价于2e (2)10x k x -+->， 设2()e (2)1x x k x ϕ=-+-，则2()=2e (2)x x k ϕ'-+，由()0x ϕ'>得12ln 22k x +>，()0x ϕ'＜得，12ln 22k x +<， 所以()x ϕ在12(0,ln)22k -上单调递减，注意到(0)0ϕ=， 所以对任意12(0,ln)22k x -∈，()0x ϕ<，不符合题设， 综上所述，k 的取值范围为()4,+∞．22．解：（1）由πcos()4ρθ+=-cos sin )ρθρθ-=-)x y -=-，即直线l 的方程为40x y -+=， 依题意，设(2cos ,2sin )P t t ，则P 到直线l的距离π|)4|π2co ()4s t d t ++==+， 当π2ππ4t k +=+，即3π2π4t k =+，k ∈Z时，min 1d =． （2）因为曲线C 上的所有点均在直线l 的右下方，所以对t ∀∈R ，有cos 2sin 40a t t -+>恒成立，)4t t ϕ+>-（其中2tan aϕ=）恒成立，4<，又0a >，解得0a << 故a的取值范围为．23．解：（1）当2x =时，()|2|g x a x =--取得最大值为a ，因为()|1||3|4f x x x =++-≥，当且仅当13x -≤≤，()f x 取最小值4， 因为关于x 的不等式()()f x g x <有解， 所以4a >，即实数a 的取值范围是(4,)+∞．（2）当72x =时，()5f x =， 则77()2522g a =-++=，解得132a =，所以当2x <时，9()2g x x =+，令9()42g x x =+=，得1(1,3)2x =-∈-，所以12b =-，则6a b +=河南省2017届高三下学期质量检测理科数学试卷解析1．【解析】本题主要考查集合的关系与运算、解一元二次不等式．A={x|x(5−x)>4}={x|1<x<4},B={x|x≤a}，若A∪B=B，则A⊂B，∴a≥4．故选D．2．【解析】本题主要考查复数的运算和几何意义．∵z=a+2i32−i =a−2i2−i=(a−2i)(2+i)5=2a+25+a−45i，∴{2a+25>0a−45<0，解得−1<a<4．故选C．3．【解析】本题主要考查独立性检验．选项D中不服药与服药样本中患病的频率差距最大．故选D．4．【解析】本题主要考查同角三角函数的基本关系、倍角公式和诱导公式．由3cos2θ=tanθ+3得3sin2θ=−tanθ，∵θ≠kπ(k∈Z),∴3sinθcosθ=−1，即sin2θ=−23，则sin[2(π−θ)]=sin(2π−2θ)=−sin2θ=23．故选C．5．【解析】本题主要考查程序框图和数学史．模拟程序运行，可得：n=1，S=k,满足循环条件n<4,执行循环体，n=2，S=k2，满足循环条件n<4,执行循环体，n=3，S=k3，满足循环条件n<4,执行循环体，n=4，S=k4，不满足循环条件n<4,结束循环，输出S的值为k4，则k4=1.5，解得k=6．故选B．6．【解析】本题主要考查双曲线的标准方程和性质、点到直线的距离．点(0,−2)到渐近线bx+ay=0的距离为√b2+a2=2ac=23，∴c=3a,∴b=2√2a，∵双曲线C 过点(√2,2√2)，∴2a 2−88a 2=1，解得a =1， 则双曲线C 的实轴长为2． 故选A ．7．【解析】本题主要考查函数的零点、奇函数的性质．∵x 0是函数y =f(x)−e x 的一个零点，∴f (x 0)−e x 0=0，即f (x 0)=e x 0， 又f(x)为奇函数，∴f (−x 0)=−f (x 0)=−e x 0， 当x =x 0时，．y =f (x )⋅e −x +1=0． 故选B ．8．【解析】本题主要考查三视图与体积．由三视图可知，该几何体是由一个四棱锥与一个三棱柱组合而成，其中四棱锥的底面与三棱柱的左侧面重合．则该几何体的体积为V =13×22×1+12×1×2×2=103．故选A ．9．【解析】本题主要考查平面向量的数量积和模．设AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，∵CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(AD ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ) =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2−AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =25λ−5×4×cos60°=5，解得λ=35， 则|BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=25|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2． 故选C ．10．【解析】本题主要考查椭圆的几何性质．由题知，M 在椭圆的短轴上．设椭圆C 的左焦点为F 1，连结AF 1． ∵|OA|=|OF 2|，∴|OA|=12|F 1F 2|，即AF 1⊥AF 2， ∵|AF 1||AF 2|=|OM||OF 2|=12，∴|AF 1|=2√55c,|AF 2|=4√55c ，∴2a =|AF 1|+|AF 2|=6√55c ，则椭圆C 的离心率为e =ca =√53． 故选D ． 11．【解析】本题主要考查空间线面的位置关系．取DC 中点N ，连结MN ，NB ，则MN ∥A 1D ，NB ∥DE ， ∴平面MNB ∥平面A 1DE ，∴MB ∥平面A 1DE ，故A 正确；取A 1D 中点F ，连结MF ，EF ，则EFBM 为平行四边形，则∠A 1EF 为异面直线BM 与A 1E 所成角，故B 正确； 点A 关于直线DE 的对称点为N ，则DE ⊥平面AA 1N ，即过O 与DE 垂直的直线在平面AA 1N 上，故C 错误； 三棱锥A 1−ADE 外接球半径为√22AD ，故D 正确．故选C．12．【解析】本题主要考查利用导数研究函数的单调性和最值．g′(x)=−3x2+2x<0(x<0)，∴函数g(x)在(−∞，0)上单调递减，∴g(x)>g(0)=0．设A(x0，1aln(x0+1))，由斜边AB的中点y轴上可得B(−x0，x03+x02)，∵OA⊥OB，∴k OA∙k OB=−1，即1aln(x0+1)x0∙x03+x02−x0=−1，∴a=x0+1ln(x0+1)，设ℎ(x)=x+1ln(x+1)(e−1<x<e2−1)，则ℎ′(x)=ln(x+1)−1ln2(x+1)，∵e−1<x<e2−1,∴ℎ′(x)>0，∴ℎ(e−1)=e<ℎ(x)<ℎ(e2−1)=e22，即实数a的取值范围是(e,e22)．故选B．13．【解析】本题主要考查简单的线性规划及点到直线的距离．作出不等组表示的可行域，如图所示，z的几何意义为可行域内的点到点(0，−1)距离的平方．则z的最小值为点(0，−1)到直线2x+y−4=0距离的平方，z=(22)2=5．故答案为5.14．【解析】本题主要考查排列组合问题．把5名新生分配到甲、乙两个班，每个班分到的新生不少于2名，有C52A22种分配方案，其中甲班都是男生的分配方案有C32+1种，则不同的分配方案种数为C52A22−(C32+1)=16．故答案为16．15．【解析】本题主要考查函数f(x)=Asin(ωx+φ)的图象和性质．由图可得T=2×(7π8−3π8)=π=2πω，∴ω=2，∵f(5π8)=2∴5π4+φ=π2+kπ(kϵZ),又|φ|<π2,∴φ=π4，∴f(x)=Asin(2x+π4)，又f(π8)=A=−2，∴f(x)=−2sin(2x+π4)，则g(x)=−2sin[2(x−7π24)+π4]=−2sin(2x−π3)．若函数g(x)在区间[−π3,θ](θ>−π3)上的值域为[−1,2]，则2θ−π3=π6，∴θ=π4．故答案为π4．16．【解析】本题主要考查正弦定理、余弦定理、三角形面积公式．由(a2+b2)tanC=8S得a2+b2=4abcosC=4ab∙a2+b2−c22ab，即a2+b2=2c2．由sinAcosB=2cosAsinB得a∙a2+c2−b22ac =2b∙b2+c2−a22bc，即a2−b2=13c2．∴a2=76c2，b2=56c2，∴cosA=b2+c2−a22bc=√3015．故答案为√3015．17．【解析】本题主要考查等差数列、等比数列，考查裂项求和．（1）在λS n=a n a n+1中，令n=1，2得到关系式，再由等差数列的性质可得a n,λ，从而求得b1,b3，再由等比数列的通项公式求得公比，进而得到b n；（2）由等差数列的前n项和公式可得S n，代入求出c n，利用裂项求和可得T n．18．【解析】本题主要考查互斥事件、相互独立事件的概率，考查离散型随机变量的数学期望和方差．（1）根据互斥事件的概率加法公式和相互独立事件的概率可得结论；（2）分别列出两公司正确完成面试题数的所有取值，计算其相应的概率，得到分布列，代入公式求出期望和方差，比较它们的大小可得结论．19．【解析】本题主要考查线面垂直的判定与性质、用向量法求空间角的大小．（1）由平面几何知识易证ABFE是平行四边形，得AB//EF，从而AC⊥EF，由线面垂直的性质得PA⊥EF，由线面垂直的判定可得EF⊥平面PAC，由面面垂直的判定可得结论；（2）易证AC⊥平面PAB，则∠APC为直线PC与平面PAB所成的角．取BC的中点为G，连接AG，则AG⊥BC，以A坐标原点建立空间直角坐标系A−xyz．分别求出平面PBE和平面PAB的一个法向量，利用向量夹角公式可得结论．20．【解析】本题主要考查直线与抛物线的位置关系、数量积的坐标运算及点到直线的距离．（1）设出点A坐标，由A、B点坐标可得圆C的方程，直线x=1方程联立，得关于y的一元二次方程，利用韦达定理和弦长公式可得线段MN的长；（2）设出直线l的方程，与抛物线方程联立，消去x得关于y的一元二次方程，利用韦达定理、数量积的坐标运算及点到直线的距离公式可求出l的方程．21．【解析】本题主要考查导数的几何意义、利用导数研究函数的单调性、最值和不等式恒成立问题．（1）求导，根据导数的几何意义及直线的点斜式方程可得切线方程，与已知切线方程比较，构造函数，利用导数研究函数的单调性和最值，则可得k值．（2）分k>2和0<k≤2两种情况讨论．将不等式转化，利用导数研究函数的单调性和最值，则结论可得．22．【解析】本题主要考查将极坐标方程化成直角坐标方程，点到直线的距离及简单的线性规划的应用．（1）利用x=ρcosθ,y=ρsinθ及两角和的余弦公式将l的极坐标方程化成直角坐标方程，设出P的参数坐标，由点到直线的距离公式及余弦函数的性质可得最值；（2）问题转化为对∀t∈R，acost−2sint+4>0恒成立．利用辅助角公式及余弦函数的值域可得结论．23．【解析】本题主要考查绝对值不等式的求解．（1）利用绝对值三角不等式可得f(x)的最小值，易得g(x)的最大值，问题转化为g(x)的最大值大于f(x)的最小值．为方程f(x)=g(x)的根，代入可求得a；当x<2时，由g(x)=f(x)min求出x，验证可得b，（2）由题知，72则a+b可得.。

河南省2017届高三下学期质量检测理科数学试卷一、选择题：共12题1．设集合{|(5)4}A x x x =-＞，{|}B x x a =≤，若A B B =，则 的值可以是（ ）A ．B ．C ．D ．2．已知复数32i 2ia z +=-，在复平面对应的点在第四象限，则实数 的取值范围是（ ）A ．(,1)-∞-B ．(4,)+∞C ．(1,4)-D ．(4,1)--3．为考察某种药物对预防禽流感的效果，在四个不同的实验室取相同的个体进行动物试验，根据四个实验室得到的列联表画出如下四个等高条形图，最能体现该药物对预防禽流感有效果的图形是（ ）4．已知23cos tan 3θθ=+，且πk θ≠（k ∈Z ），则sin[2(π)]θ-等于（ ） A ．13-B ．13C ．23D ．23-5．我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有器中米，不知其数，请人取半，中人三分取一，后人四分取一，余米一斗五升，问，米几何？”右图是解决该问题的程序框图，执行该程序框图，若输出 1.5S =(单位：升)，则输入 的值为（ ）+A ．4.5B ．C ．7.5D ．6．已知双曲线C ：22221x y a b-=（0,0a b >>）过点，过点(0,2)-的直线 与双曲线 的一条渐近线平行，且这两条平行线间的距离为23，则双曲线 的实轴长为（ ）A ．2B ．C ．4D ．7．若()f x 为奇函数，且0x 是函数()e xy f x =-的一个零点，则下列函数中，0x -一定是其零点的函数是（ ）A ．()e 1x y f x -=--B ．()e 1x y f x -=+C ．()e 1x y f x -=-D ．()e 1x y f x -=-+8．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．103B ．113C ．4D ．1439．在ABC △中，60BAC ∠=︒，5AB =，4AC =，D 是 上一点，且5AB CD =，则||BD 等于（ ） A ．B ．C ．D ．10．已知椭圆C ：22221x y a b+=（0a b ＞＞）的右焦点为2F ，O 为坐标原点， 为 轴上一点，点 是直线 与椭圆 的一个交点，且2||||2||OA OF OM ==，则椭圆 的离心率为（ ）A ．13B ．25C D 11．如图，矩形 中，2AB AD = 为边 的中点，将ADE △沿直线DE 翻转成1A DE △ 平面)，若 分别为线段 的中点，则在ADE △翻转过程中，下列说法错误的是（ ）A ．与平面 垂直的直线必与直线 垂直B ．异面直线 与 所成角是定值C ．一定存在某个位置，使DE MO ⊥D ．三棱锥1A ADE -外接球半径与棱 的长之比为定值 12．若曲线1()ln(1)f x a x =+（2e 1e 1x --＜＜）和32()g x x x =-+（0x ＜）上分别存在点 ，使得AOB△是以原点 为直角顶点的直角三角形，且斜边 的中点 轴上，则实数 的取值范围是（ ） A ．2(e,e )B ．2(e e,2)C ．2(1,e )D ．[1,e)二、填空题：共4题13．已知实数 满足条件302403x y x y x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩，则22(1)z x y =++的最小值为________．14．把3男2女5名新生分配到甲、乙两个班，每个班分到的新生不少于2名，且甲班至少分配1名女生，则不同的分配方案种数为________．15．函数()()sin f x A x ωϕ=+（0ω>，π||2ϕ＜）的部分图像如图所示，将函数()f x 的图像向右平移7π24个单位后得到函数()g x 的图像，若函数()g x 在区间[]π,3θ-（π3θ-＞）上的值域为[]1,2-，则θ=________．16．在ABC △中， 分别是角 的对边，ABC △的面积为S ，22()tan 8a b C S +=，且s i n c o s 2c o s s i A B A B =，则cos A =．________ 三、解答题：共7题17．已知等差数列{}n a 的前+()n n ∈N 项和为n S ，33a =，且1n n n S a a λ+=，在等比数列{}n b 中，12b λ=，3151b a =+．（1）求数列{}n a 及{}n b 的通项公式；（2）设数列{}n c 的前+()n n ∈N 项和为n T ，且()12n n nS c +=，求n T ．18．某地区拟建立一个艺术博物馆，采取竞标的方式从多家建筑公司选取一家建筑公司，经过层层筛选，甲、乙两家建筑公司进入最后的招标，现从建筑设计院聘请专家设计了一个招标方案：两家公司从6个招标问题中随机抽取3个问题，已知6个招标问题中，甲公司可正确回答其中的4道题目，而乙公司能正确回答每道题目的概率均为23，甲、乙两家公司对每道题目的回答都是相互独立、互不影响的． （1）求甲、乙两家公司共答对2道题目的概率；（2）请从期望和方差的角度分析，甲、乙两家哪家公司竞标成功的可能性更大？19．如图，四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面 ，底面 是直角梯形，90ADC ∠=︒，AD BC ∥，AB AC ⊥，AB AC == 在 上，且2AE ED =．（1）已知点 在 ，且2CF FB =，求证：平面PEF ⊥平面 ；（2）当二面角A PB E --的余弦值为多少时，直线 与平面 所成的角为45︒？20．已知 是抛物线24y x =上的一点，以点 和点(2,0)B 为直径两端点的圆 交直线1x =于 两点，直线 与 平行，且直线 交抛物线于 两点．（1）求线段 的长；（2）若3OP OQ =-，且直线 与圆 相交所得弦长与||MN 相等，求直线 的方程． 21．设函数2()e x f x =，()1()g x kx k =+∈R ．（1）若直线()y g x =和函数()y f x =的图像相切，求 的值；（2）当0k ＞时，若存在正实数 ，使对任意(0,)x m ∈，都有|()()|2f x g x x -＞恒成立，求 的取值范围．22．在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为cos 2sin x a ty t =⎧⎨=⎩（ 为参数，0a ＞），以坐标原点为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线 的极坐标方程为πcos()4ρθ+=-． （1）设 是曲线 上的一个动点，当2a =时，求点 到直线 的距离的最小值； （2）若曲线 上的所有点均在直线 的右下方，求 的取值范围． 23．已知函数()|1||3|f x x x =++-，()|2|g x a x =--． （1）若关于 的不等式()()f x g x ＜有解，求实数的取值范围； （2）若关于 的不等式()()f x g x ＜的解集为()7,2b ，求a b +的值．河南省2017届高三下学期质量检测理科数学试卷答 案一、选择题：共12题1~5．DCDCB 6~10．ABACD 11~12．CB 二、填空题：共4题 13．5 14．16 15．π416三、解答题：共7题17．解：（1）1n n n S a a λ+=，33a =，所以112a a a λ=且()122323a a a a a λ+==，①所以2123,3a a a a λ=+==，②因为数列{}n a 是等差数列，所以1322a a a +=，即2123a a -=， 由①②得11a =，22a =，所以n a n =，2λ=， 所以14b =，316b =，则12n n b +=． （2）因为(1)2n n n S +=，所以2(2)n c n n =+，所以22222122435(1)(1)(2)n T n n n n =+++++⨯⨯⨯-++111111111132435112n n n n =-+-+-++-+--++ 2323232n n n +=-++． 18．解：（1）由题意可知，所求概率12211123424233366C C C C 2221C ()(1)(1)C 33C 315P =⨯-+⨯-=， （2）设甲公司正确完成面试的题数为 ，则 的取值分别为 ，124236C C 1(1)C 5P X ===，214236C C 3(2)C 5PX ===，304236C C 1(3)C 5P X ===，则 的分布列为：131()1232555E X =⨯+⨯+⨯=，2221312()(12)(22)(32)5555D X =-⨯+-⨯+-⨯=．设乙公司正确完成面试的题数为 ，则 取值分别为 ，1(0)27P Y ==，123212(1)C ()339P Y ==⨯⨯=，223214(2)C ()339P Y ==⨯⨯=， 328(3)()327P Y ===，则 的分布列为：所以1248()01232279927E Y =⨯+⨯+⨯+⨯=（或因为2(3,)3Y B ~，所以2()323E Y =⨯=）， 222212482()(02)(12)(22)(32)2799273D Y =-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=，由()()E X E Y =，()()D X D Y ＜可得，甲公司成功的可能性更大．19．证明：因为AB AC ⊥，AB AC =，所以90ACB ∠=︒， 因为底面 是直角梯形，90ADC ∠=︒，AD BC ∥， 所以45ACD ∠=︒，即AD CD =，所以2BC AD =，因为2AE ED =，2CF FB =，所以2D 3AE BF A ==． 所以四边形 是平行四边形，则AB EF ∥，所以AC EF ⊥，因为PA ⊥底面 ，所以PA EF ⊥， 因为PAAC A =，所以EF ⊥平面 ，因为EF ⊂平面 ，所以平面PEF ⊥平面 ．（2）因为PA AC ⊥，AC AB ⊥，所以AC ⊥平面 ，则APC ∠为直线 与平面 所成的角，若 与平面 所成角为45︒，则tan 1ACAPC PA∠==，即PA AC == 取 的中点为 ，连接 ，则AG BC ⊥，以 坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -．则(1,1,0)B -，(1,1,0)C ，2(0,,0)3E，P ，所以(1,1,0)EB =-，2(0,3EP =-，设平面 的法向量(,,)x y z =n ，则0n EB n EP ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即503203x y y ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，令3y =，则5x =，z =，=n ，因为(1,1,0)AC =是平面 的一个法向量，所以cos ,AC 〈〉==n ，即当二面角与平面 所成的角为45︒． 20．解：（1）设200(,)4y A y ，圆 的方程200(2)()()04y x x y y y --+-=，令1x =，得2200104y y y y -+-=，所以0M N y y y +=，214M N y y y =-，||||2M N MN y y =-=．（2）设直线 的方程为x my n =+，11(,)P x y ，22(),Q x y ，则由24x my n y x=+⎧⎨=⎩消去 ，得2440y my n --=． 124y y m +=，124y y n =-，因为3OPOQ =-，所以12123x x y y +=-，则21212()316y y y y +=-， 所以2430n n -+=，解得1n =或3n =， 当1n =或3n =时，点(2,0)B 到直线的距离为d =，因为圆心 到直线 的距离等于到直线1x =的距离，所以208y =， 又224y m y -=，消去 得4200646416y y +=，求得28y =，此时2024y m y -=，直线 的方程为3x =，综上，直线 的方程为1x =或3x =．21．解：（1）设切点的坐标为2(,e )t t ，由2()e x f x =，得22(e )x f x ='， 所以切线方程为22e 2e ()t t y x t -=-，即222e (12)e t t y x t =+-，由已知222e (12)e x x y x t =+-和1y kx =+为同一条直线，所以22e t k =，2(12)e 1t k -=， 令()(1)e x h x x =-，则()e x h x x =-'，当(,0)x ∈-∞时，()0h x '>，()h x 单调递增，当(0,)x ∈+∞时，()0h x '<，()h x 单调递减， 所以()(0)1h x h ≤=，当且仅当0x =时等号成立，所以0t =，2k =． （2）①当2k >时，有（1）结合函数的图像知： 存在00x >，使得对于任意0(0,)x x ∈，都有()()f x g x ＜，则不等式|()()|>2f x g x x -等价()()2g x f x x ->，即2(2)1e 0x k x -+->， 设2(2)1e x t k x =-+-，22()2e x t k =--'，由0t '>得12ln 22k x -<，由0t '＜得12ln 22k x -＞， 若24k ≤＜，12ln022k -≤，因为012(0,)(,ln )22k x ∞-⊆-，所以()t x 在12(0,ln )22k -上单调递减， 因为(0)0t =，所以任意12(0,ln)22k x -∈，()0t x >，与题意不符， 若4k >，12ln022k ->，1212(0,ln )(,ln )2222k k --⊆-∞，所以()t x 在12(0,ln )22k -上单调递增， 因为(0)0t = ，所以对任意12(0,ln)22k x -∈，()0t x >符合题意， 此时取120min{0,ln}22k m -<≤，可得对任意(0,)x m ∈，都有|()()|>2f x g x x -． ②当02k <≤时，有（1）结合函数的图像知()2e210(0)xx x -+≥>，所以22()()e 1e (21)(2)(2)0x x f x g x kx x k x k x -=--=-++-≥-≥对任意0x >都成立， 所以|()()|>2f x g x x -等价于2e (2)10x k x -+->， 设2()e (2)1x x k x ϕ=-+-，则2()=2e (2)x x k ϕ'-+，由()0x ϕ'>得12ln 22k x +>，()0x ϕ'＜得，12ln 22k x +<， 所以()x ϕ在12(0,ln)22k -上单调递减，注意到(0)0ϕ=， 所以对任意12(0,ln)22k x -∈，()0x ϕ<，不符合题设， 综上所述， 的取值范围为()4,+∞．22．解：（1）由πcos()4ρθ+=-cos sin )ρθρθ-=-)x y -=-，即直线 的方程为40x y -+=， 依题意，设(2cos ,2sin )P t t ，则到直线的距离π|)4|π2co ()4s t d t ++==+， 当π2ππ4t k +=+，即3π2π4t k =+，k ∈Z时，min 1d =． （2）因为曲线 上的所有点均在直线 的右下方，所以对t ∀∈R ，有cos 2sin 40a t t -+>恒成立，)4t t ϕ+>-（其中2tan aϕ=）恒成立，4<，又0a >，解得0a << 故的取值范围为．23．解：（1）当2x =时，()|2|g x a x =--取得最大值为 ，因为()|1||3|4f x x x =++-≥，当且仅当13x -≤≤，()f x 取最小值4， 因为关于 的不等式()()f x g x <有解， 所以4a >，即实数 的取值范围是(4,)+∞．（2）当72x =时，()5f x =， 则77()2522g a =-++=，解得132a =，所以当2x <时，9()2g x x =+，令9()42g x x =+=，得1(1,3)2x =-∈-，所以12b =-，则6a b +=河南省2017届高三下学期质量检测理科数学试卷解析1．【解析】本题主要考查集合的关系与运算、解一元二次不等式．，若，则，．故选D．2．【解析】本题主要考查复数的运算和几何意义．，，解得．故选C．3．【解析】本题主要考查独立性检验．选项D中不服药与服药样本中患病的频率差距最大．故选D．4．【解析】本题主要考查同角三角函数的基本关系、倍角公式和诱导公式．由得，，即，则．故选C．5．【解析】本题主要考查程序框图和数学史．模拟程序运行，可得：，满足循环条件执行循环体，，，满足循环条件执行循环体，，，满足循环条件执行循环体，，，不满足循环条件结束循环，输出的值为，则，解得．故选B．6．【解析】本题主要考查双曲线的标准方程和性质、点到直线的距离．点到渐近线的距离为，，双曲线过点，，解得，则双曲线的实轴长为．故选A．7．【解析】本题主要考查函数的零点、奇函数的性质．是函数的一个零点，，即，又为奇函数，，当时，．．故选B．8．【解析】本题主要考查三视图与体积．由三视图可知，该几何体是由一个四棱锥与一个三棱柱组合而成，其中四棱锥的底面与三棱柱的左侧面重合．则该几何体的体积为．故选A．9．【解析】本题主要考查平面向量的数量积和模．设，，，解得，则．故选C．10．【解析】本题主要考查椭圆的几何性质．由题知，在椭圆的短轴上．设椭圆的左焦点为，连结．，，即，，，，则椭圆的离心率为．故选D．11．【解析】本题主要考查空间线面的位置关系．取中点，连结，，则，，平面平面，平面，故A正确；取中点，连结，，则为平行四边形，则为异面直线与所成角，故B正确；点关于直线的对称点为，则平面，即过与垂直的直线在平面上，故C错误；三棱锥外接球半径为，故D正确．故选C．12．【解析】本题主要考查利用导数研究函数的单调性和最值．，函数在，上单调递减，．设，，由斜边的中点轴上可得，，，，即，，设，则，，，即实数的取值范围是．故选B．13．【解析】本题主要考查简单的线性规划及点到直线的距离．作出不等组表示的可行域，如图所示，的几何意义为可行域内的点到点，距离的平方．则的最小值为点，到直线距离的平方，．故答案为14．【解析】本题主要考查排列组合问题．把5名新生分配到甲、乙两个班，每个班分到的新生不少于2名，有种分配方案，其中甲班都是男生的分配方案有种，则不同的分配方案种数为．故答案为．15．【解析】本题主要考查函数的图象和性质．由图可得，，又，，又，，则．若函数在区间上的值域为，则，．故答案为．16．【解析】本题主要考查正弦定理、余弦定理、三角形面积公式．由得，即．由得，即．，，．故答案为．17．【解析】本题主要考查等差数列、等比数列，考查裂项求和．（1）在中，令，得到关系式，再由等差数列的性质可得，从而求得，再由等比数列的通项公式求得公比，进而得到；（2）由等差数列的前项和公式可得，代入求出，利用裂项求和可得．18．【解析】本题主要考查互斥事件、相互独立事件的概率，考查离散型随机变量的数学期望和方差．（1）根据互斥事件的概率加法公式和相互独立事件的概率可得结论；（2）分别列出两公司正确完成面试题数的所有取值，计算其相应的概率，得到分布列，代入公式求出期望和方差，比较它们的大小可得结论．19．【解析】本题主要考查线面垂直的判定与性质、用向量法求空间角的大小．（1）由平面几何知识易证是平行四边形，得，从而，由线面垂直的性质得，由线面垂直的判定可得平面，由面面垂直的判定可得结论；（2）易证平面，则为直线与平面所成的角．取的中点为，连接，则，以坐标原点建立空间直角坐标系．分别求出平面和平面的一个法向量，利用向量夹角公式可得结论．20．【解析】本题主要考查直线与抛物线的位置关系、数量积的坐标运算及点到直线的距离．（1）设出点坐标，由、点坐标可得圆的方程，直线方程联立，得关于的一元二次方程，利用韦达定理和弦长公式可得线段的长；（2）设出直线的方程，与抛物线方程联立，消去得关于的一元二次方程，利用韦达定理、数量积的坐标运算及点到直线的距离公式可求出的方程．21．【解析】本题主要考查导数的几何意义、利用导数研究函数的单调性、最值和不等式恒成立问题．（1）求导，根据导数的几何意义及直线的点斜式方程可得切线方程，与已知切线方程比较，构造函数，利用导数研究函数的单调性和最值，则可得值．（2）分和两种情况讨论．将不等式转化，利用导数研究函数的单调性和最值，则结论可得．22．【解析】本题主要考查将极坐标方程化成直角坐标方程，点到直线的距离及简单的线性规划的应用．（1）利用及两角和的余弦公式将的极坐标方程化成直角坐标方程，设出的参数坐标，由点到直线的距离公式及余弦函数的性质可得最值；（2）问题转化为对，恒成立．利用辅助角公式及余弦函数的值域可得结论．23．【解析】本题主要考查绝对值不等式的求解．（1）利用绝对值三角不等式可得的最小值，易得的最大值，问题转化为的最大值大于的最小值．（2）由题知，为方程的根，代入可求得；当时，由求出，验证可得，则可得。

2017河南高考理科数学真题及答案注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合A={x|x<1},B={x|},则A. B. C. D.【答案】A【难度】容易【点评】本题在高考数学（理）提高班讲座第一章《集合》中有详细讲解，在寒假特训班、百日冲刺班中均有涉及。

2.如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图，正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是A. B. C. D.【答案】B【难度】容易【点评】本题在高考数学（理）提高班讲座第十四章《概率》中有详细讲解，在寒假特训班、百日冲刺班中均有涉及。

3.设有下面四个命题若复数满足，则；若复数满足，则；若复数满足，则；若复数，则.其中的真命题为A. B. C. D.【答案】B【难度】中等【点评】本题在高考数学（理）提高班讲座中有详细讲解，在寒假特训班、百日冲刺班中均有涉及。

4．记为等差数列的前项和．若，，则的公差为A．1B．2C．4D．8【答案】C【难度】容易【点评】本题在高考数学（理）提高班讲座第六章《数列》中有详细讲解，在寒假特训班、百日冲刺班中均有涉及。

5．函数在单调递减，且为奇函数．若，则满足的的取值范围是A．B．C．D．【答案】D【难度】容易【点评】本题在高考数学（理）提高班讲座第三章《函数的性质及其应用》中有详细讲解，在寒假特训班、百日冲刺班中均有涉及。

6.展开式中的系数为A.15B.20C.30D.35【答案】C中等【难度】【点评】本题在高考数学（理）提高班讲座第十六章《计数技巧》中有详细讲解，在寒假特训班、百日冲刺班中均有涉及。

2017届河南省高三下学期质量检测理科数学一、选择题：共12题1．设集合，若，则的值可以是A. B. C. D.【答案】D【解析】本题主要考查集合的关系与运算、解一元二次不等式.,若，则，.故选D.2．已知复数，在复平面对应的点在第四象限，则实数的取值范围是A. B. C. D.【答案】C【解析】本题主要考查复数的运算和几何意义.,，解得.故选C.3．为考察某种药物对预防禽流感的效果，在四个不同的实验室取相同的个体进行动物试验，根据四个实验室得到的列联表画出如下四个等高条形图，最能体现该药物对预防禽流感有效果的图形是【答案】D【解析】本题主要考查独立性检验.选项D中不服药与服药样本中患病的频率差距最大.故选D.4．已知，且，则等于A. B. C. D.【答案】C【解析】本题主要考查同角三角函数的基本关系、倍角公式和诱导公式.由得,,即,则.故选C.5．我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有器中米，不知其数，请人取半，中人三分取一，后人四分取一，余米一斗五升，问，米几何？”右图是解决该问题的程序框图，执行该程序框图，若输出(单位：升)，则输入的值为A. B. C. D.【答案】B【解析】本题主要考查程序框图和数学史.模拟程序运行，可得：，满足循环条件,，满足循环条件,，满足循环条件,，不满足循环条件，则，解得.故选B.6．已知双曲线过点，过点的直线与双曲线的一条渐近线平行，且这两条平行线间的距离为，则双曲线的实轴长为A. B. C. D.【答案】A【解析】本题主要考查双曲线的标准方程和性质、点到直线的距离.点到渐近线的距离为,,,,解得,则双曲线的实轴长为.故选A.7．若为奇函数，且是函数的一个零点，则下列函数中，一定是其零点的函数是A. B.C. D.【答案】B【解析】本题主要考查函数的零点、奇函数的性质.是函数的一个零点，,即，又为奇函数，，当时，..故选B.8．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A. B. C. D.【答案】A【解析】本题主要考查三视图与体积.由三视图可知，该几何体是由一个四棱锥与一个三棱柱组合而成，其中四棱锥的底面与三棱柱的左侧面重合.则该几何体的体积为.故选A.9．在中，是上一点，且，则等于A. B. C. D.【答案】C【解析】本题主要考查平面向量的数量积和模.设,,解得，则.故选C.10．已知椭圆的右焦点为为坐标原点，为轴上一点，点是直线与椭圆的一个交点，且，则椭圆的离心率为A. B. C. D.【答案】D【解析】本题主要考查椭圆的几何性质.由题知，在椭圆的短轴上.设椭圆的左焦点为，连结.，，即，，,,则椭圆的离心率为.故选D.11．如图，矩形中，为边的中点，将沿直线翻转成平面)，若分别为线段的中点，则在翻转过程中，下列说法错误的是A.与平面垂直的直线必与直线垂直B.异面直线与所成角是定值C.一定存在某个位置，使D.三棱锥外接球半径与棱的长之比为定值【答案】C【解析】本题主要考查空间线面的位置关系.取中点，连结，则，，，故A正确；取中点连结，则为平行四边形，则为异面直线与所成角，故B正确；点关于直线的对称点，则，即过与垂直的直线在平面上，故C错误；三棱锥外接球半径为,故D正确.故选C.12．若曲线和上分别存在点，使得是以原点为直角顶点的直角三角形，且斜边的中点轴上，则实数的取值范围是A. B. C. D.【答案】B【解析】本题主要考查利用导数研究函数的单调性和最值.,函数在上单调递减，.设,由斜边的中点轴上可得，,,即，,设,则,,,即实数的取值范围是.故选B.二、填空题：共4题13．已知实数满足条件，则的最小值为.【答案】【解析】本题主要考查简单的线性规划及点到直线的距离.作出不等组表示的可行域，如图所示，的几何意义为可行域内的点到点距离的平方.则的最小值为点到直线距离的平方，.故答案为14．把3男2女5名新生分配到甲、乙两个班，每个班分到的新生不少于2名，且甲班至少分配1名女生，则不同的分配方案种数为.【答案】【解析】本题主要考查排列组合问题.把5名新生分配到甲、乙两个班，每个班分到的新生不少于2名，有种分配方案，其中甲班都是男生的分配方案有种，则不同的分配方案种数为. 故答案为.15．函数的部分图象如图所示，将函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象，若函数在区间上的值域为，则.【答案】【解析】本题主要考查的图象和性质.由图可得，，,，又，，则.若函数在区间上的值域为，则，.故答案为.16．在中，分别是角的对边，的面积为，且，则.【答案】【解析】本题主要考查正弦定理、余弦定理、三角形面积公式.由得,即.由得,即.,,.故答案为.三、解答题：共7题17．已知等差数列的前项和为，且，在等比数列中，.(1)求数列及的通项公式；(2)设数列的前项和为，且，求.【答案】(1)，，所以且，①所以，②因为数列是等差数列，所以，即，由①②得，所以，所以，则.(2)因为，所以，所以.【解析】本题主要考查等差数列、等比数列，考查裂项求和.(1)令得到关系式，再由等差数列的性质可得，从而求得，再由等比数列的通项公式求得公比，进而得到； (2)前项和公式可得，代入求出，利用裂项求和可得.18．某地区拟建立一个艺术博物馆，采取竞标的方式从多家建筑公司选取一家建筑公司，经过层层筛选，甲、乙两家建筑公司进入最后的招标，现从建筑设计院聘请专家设计了一个招标方案：两家公司从6个招标问题中随机抽取3个问题，已知6个招标问题中，甲公司可正确回答其中的4到题目，而乙公司能正确回答每道题目的概率均为，甲、乙两家公司对每道题目的回答都是相互独立、互不影响的.(1)求甲、乙两家公司共答对2道题目的概率；(2)请从期望和方差的角度分析，甲、乙两家哪家公司竞标成功的可能性更大？【答案】(1)由题意可知，所求概率, (2)设甲公司正确完成面试的题数为，则的取值分别为，，则的分布列为：，. 设乙公司正确完成面试的题数为，则取值分别为，，，则的分布列为：所以(或因为，所以)，，由可得，甲公司成功的可能性更大.【解析】本题主要考查互斥事件、相互独立事件的概率，考查离散型随机变量的数学期望和方差.(1)根据互斥事件的概率加法公式和相互独立事件的概率可得结论；(2)分别列出两公司正确完成面试题数的所有取值，计算其相应的概率，得到分布列，代入公式求出期望和方差，比较它们的大小可得结论.19．如图，四棱锥中，底面，底面是直角梯形，，，点在上，且(1)已知点在，且，求证：平面平面；(2)当二面角的余弦值为多少时，直线与平面所成的角为？【答案】证明：因为，所以，因为底面是直角梯形，，所以，即，所以，因为，所以所以四边形是平行四边形，则,所以，因为底面，所以，因为，所以平面，因为平面，所以平面平面(2)因为，所以平面，则为直线与平面所成的角，若与平面所成角为，则，即.取的中点为，连接，则，以坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系.则，所以，设平面的法向量，则，即，令，则，，因为是平面的一个法向量，所以，即当二面角的余弦值为时，直线与平面所成的角为.【解析】本题主要考查线面垂直的判定与性质、用向量法求空间角的大小.(1) 由平面几何知识易证是平行四边形，得,从而，由线面垂直的性质得，由线面垂直的判定可得平面，由面面垂直的判定可得结论；(2)平面，则为直线与平面所成的角.取的中点为，连接，则，以坐标原点建立空间直角坐标系.分别求出平面平面的一个法向量，利用向量夹角公式可得结论.20．已知是抛物线上的一点，以点和点为直径两端点的圆交直线于两点，直线与平行，且直线交抛物线于两点.(1)求线段的长；(2)若，且直线与圆相交所得弦长与相等，求直线的方程. 【答案】(1)设，圆的方程，令，得，所以，.(2)设直线的方程为，则由消去，得.，因为，所以，则，所以，解得或，当或时，点到直线的距离为，因为圆心到直线的距离等于到直线的距离，所以，又，消去得，求得，此时，直线的方程为，综上，直线的方程为或.【解析】本题主要考查直线抛物线的位置关系、数量积的坐标运算及点到直线的距离.(1)设，由、圆的方程，直线方程联立，得的一元二次方程，利用韦达定理和弦长公式可得线段的长；(2)设出直线的方程，与抛物线方程联立，消去得的一元二次方程，利用韦达定理、数量积的坐标运算及点到直线的距离公式可求出的方程.21．设函数.(1)若直线和函数的图象相切，求的值；(2)当时，若存在正实数，使对任意，都有恒成立，求的取值范围.【答案】(1)设切点的坐标为，由，得，所以切线方程为，即，由已知和为同一条直线，所以，令，则，当时，单调递增，当时，单调递减，所以，当且仅当时等号成立，所以.(2)①当时，有(1)结合函数的图象知：存在，使得对于任意，都有，则不等式等价，即，设，由得，由得，若，因为，所以在上单调递减，因为，所以任意，与题意不符，若，所以在上单调递增，因为，所以对任意符合题意，此时取，可得对任意，都有.②当时，有(1)结合函数的图象知，所以对任意都成立，所以等价于，设，则，由得得，，所以在上单调递减，注意到，所以对任意，不符合题设，总数所述，的取值范围为.【解析】本题主要考查导数的几何意义、利用导数研究函数的单调性、最值和不等式恒成立问题.(1)求导，根据导数的几何意义及直线的点斜式方程可得切线方程，与已知切线方程比较，构造函数，利用导数研究函数的单调性和最值，则可得值.(2)两种情况讨论.将不等式转化，利用导数研究函数的单调性和最值，则结论可得.22．在直角坐标系中，曲线的参数方程为为参数，，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线的极坐标方程为.(1)设是曲线上的一个动点，当时，求点到直线的距离的最小值；(2)若曲线上的所有点均在直线的右下方，求的取值范围.【答案】(1)由，得，化成直角坐标方程，得，即直线的方程为，依题意，设，则到直线的距离，当，即时，.(2)因为曲线上的所有点均在直线的右下方，所以对，有恒成立，即(其中)恒成立，所以，又，解得，故的取值范围为.【解析】本题主要考查将极坐标方程化成直角坐标方程，点到直线的距离及简单的线性规划的应用.(1)及两角和的余弦公式将的极坐标方程化成直角坐标方程，设的参数坐标，由点到直线的距离公式及余弦函数的性质可得最值；(2)问题转化为对，恒成立.利用辅助角公式及余弦函数的值域可得结论.23．已知函数.(1)若关于的不等式有解，求实数的取值范围；(2)若关于的不等式的解集为，求的值.【答案】(1)当时，取得最大值为，因为，当且仅当取最小值4，因为关于的不等式有解，所以，即实数的取值范围是.(2)当时，，则，解得，所以当时，，令，得，所以，则.【解析】本题主要考查绝对值不等式的求解.(1)利用绝对值三角不等式可得的最小值，易得的最大值，问题转化为的最大值大于的最小值.(2)由题知，的根，代入可求得；当时，由求出，验证可得，则21。

河南省2017届高三下学期质量检测理科数学试卷一、选择题：共12题1．设集合{|(5)4}A x x x =-＞，{|}B x x a =≤，若A B B =，则 的值可以是（ ）A ．B ．C ．D ．2．已知复数32i 2ia z +=-，在复平面对应的点在第四象限，则实数 的取值范围是（ ）A ．(,1)-∞-B ．(4,)+∞C ．(1,4)-D ．(4,1)--3．为考察某种药物对预防禽流感的效果，在四个不同的实验室取相同的个体进行动物试验，根据四个实验室得到的列联表画出如下四个等高条形图，最能体现该药物对预防禽流感有效果的图形是（ ）4．已知23cos tan 3θθ=+，且πk θ≠（k ∈Z ），则sin[2(π)]θ-等于（ ） A ．13-B ．13C ．23D ．23-5．我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有器中米，不知其数，请人取半，中人三分取一，后人四分取一，余米一斗五升，问，米几何？”右图是解决该问题的程序框图，执行该程序框图，若输出 1.5S =(单位：升)，则输入 的值为（ ）+A ．4.5B ．C ．7.5D ．6．已知双曲线C ：22221x y a b-=（0,0a b >>）过点，过点(0,2)-的直线 与双曲线 的一条渐近线平行，且这两条平行线间的距离为23，则双曲线 的实轴长为（ ）A ．2B ．C ．4D ．7．若()f x 为奇函数，且0x 是函数()e xy f x =-的一个零点，则下列函数中，0x -一定是其零点的函数是（ ）A ．()e 1x y f x -=--B ．()e 1x y f x -=+C ．()e 1x y f x -=-D ．()e 1x y f x -=-+8．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．103B ．113C ．4D ．1439．在ABC △中，60BAC ∠=︒，5AB =，4AC =，D 是 上一点，且5AB CD =，则||BD 等于（ ） A ．B ．C ．D ．10．已知椭圆C ：22221x y a b+=（0a b ＞＞）的右焦点为2F ，O 为坐标原点， 为 轴上一点，点 是直线 与椭圆 的一个交点，且2||||2||OA OF OM ==，则椭圆 的离心率为（ ）A ．13B ．25C D 11．如图，矩形 中，2AB AD = 为边 的中点，将ADE △沿直线DE 翻转成1A DE △ 平面)，若 分别为线段 的中点，则在ADE △翻转过程中，下列说法错误的是（ ）A ．与平面 垂直的直线必与直线 垂直B ．异面直线 与 所成角是定值C ．一定存在某个位置，使DE MO ⊥D ．三棱锥1A ADE -外接球半径与棱 的长之比为定值 12．若曲线1()ln(1)f x a x =+（2e 1e 1x --＜＜）和32()g x x x =-+（0x ＜）上分别存在点 ，使得AOB△是以原点 为直角顶点的直角三角形，且斜边 的中点 轴上，则实数 的取值范围是（ ） A ．2(e,e )B ．2(e e,2)C ．2(1,e )D ．[1,e)二、填空题：共4题13．已知实数 满足条件302403x y x y x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩，则22(1)z x y =++的最小值为________．14．把3男2女5名新生分配到甲、乙两个班，每个班分到的新生不少于2名，且甲班至少分配1名女生，则不同的分配方案种数为________．15．函数()()sin f x A x ωϕ=+（0ω>，π||2ϕ＜）的部分图像如图所示，将函数()f x 的图像向右平移7π24个单位后得到函数()g x 的图像，若函数()g x 在区间[]π,3θ-（π3θ-＞）上的值域为[]1,2-，则θ=________．16．在ABC △中， 分别是角 的对边，ABC △的面积为S ，22()tan 8a b C S +=，且s i n c o s 2c o s s i A B A B =，则cos A =．________ 三、解答题：共7题17．已知等差数列{}n a 的前+()n n ∈N 项和为n S ，33a =，且1n n n S a a λ+=，在等比数列{}n b 中，12b λ=，3151b a =+．（1）求数列{}n a 及{}n b 的通项公式；（2）设数列{}n c 的前+()n n ∈N 项和为n T ，且()12n n nS c +=，求n T ．18．某地区拟建立一个艺术博物馆，采取竞标的方式从多家建筑公司选取一家建筑公司，经过层层筛选，甲、乙两家建筑公司进入最后的招标，现从建筑设计院聘请专家设计了一个招标方案：两家公司从6个招标问题中随机抽取3个问题，已知6个招标问题中，甲公司可正确回答其中的4道题目，而乙公司能正确回答每道题目的概率均为23，甲、乙两家公司对每道题目的回答都是相互独立、互不影响的． （1）求甲、乙两家公司共答对2道题目的概率；（2）请从期望和方差的角度分析，甲、乙两家哪家公司竞标成功的可能性更大？19．如图，四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面 ，底面 是直角梯形，90ADC ∠=︒，AD BC ∥，AB AC ⊥，AB AC == 在 上，且2AE ED =．（1）已知点 在 ，且2CF FB =，求证：平面PEF ⊥平面 ；（2）当二面角A PB E --的余弦值为多少时，直线 与平面 所成的角为45︒？20．已知 是抛物线24y x =上的一点，以点 和点(2,0)B 为直径两端点的圆 交直线1x =于 两点，直线 与 平行，且直线 交抛物线于 两点．（1）求线段 的长；（2）若3OP OQ =-，且直线 与圆 相交所得弦长与||MN 相等，求直线 的方程． 21．设函数2()e x f x =，()1()g x kx k =+∈R ．（1）若直线()y g x =和函数()y f x =的图像相切，求 的值；（2）当0k ＞时，若存在正实数 ，使对任意(0,)x m ∈，都有|()()|2f x g x x -＞恒成立，求 的取值范围．22．在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为cos 2sin x a ty t =⎧⎨=⎩（ 为参数，0a ＞），以坐标原点为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线 的极坐标方程为πcos()4ρθ+=-． （1）设 是曲线 上的一个动点，当2a =时，求点 到直线 的距离的最小值； （2）若曲线 上的所有点均在直线 的右下方，求 的取值范围． 23．已知函数()|1||3|f x x x =++-，()|2|g x a x =--． （1）若关于 的不等式()()f x g x ＜有解，求实数的取值范围； （2）若关于 的不等式()()f x g x ＜的解集为()7,2b ，求a b +的值．河南省2017届高三下学期质量检测理科数学试卷答 案一、选择题：共12题1~5．DCDCB 6~10．ABACD 11~12．CB 二、填空题：共4题 13．5 14．16 15．π416三、解答题：共7题17．解：（1）1n n n S a a λ+=，33a =，所以112a a a λ=且()122323a a a a a λ+==，①所以2123,3a a a a λ=+==，②因为数列{}n a 是等差数列，所以1322a a a +=，即2123a a -=， 由①②得11a =，22a =，所以n a n =，2λ=， 所以14b =，316b =，则12n n b +=． （2）因为(1)2n n n S +=，所以2(2)n c n n =+，所以22222122435(1)(1)(2)n T n n n n =+++++⨯⨯⨯-++111111111132435112n n n n =-+-+-++-+--++ 2323232n n n +=-++． 18．解：（1）由题意可知，所求概率12211123424233366C C C C 2221C ()(1)(1)C 33C 315P =⨯-+⨯-=， （2）设甲公司正确完成面试的题数为 ，则 的取值分别为 ，124236C C 1(1)C 5P X ===，214236C C 3(2)C 5PX ===，304236C C 1(3)C 5P X ===，则 的分布列为：131()1232555E X =⨯+⨯+⨯=，2221312()(12)(22)(32)5555D X =-⨯+-⨯+-⨯=．设乙公司正确完成面试的题数为 ，则 取值分别为 ，1(0)27P Y ==，123212(1)C ()339P Y ==⨯⨯=，223214(2)C ()339P Y ==⨯⨯=， 328(3)()327P Y ===，则 的分布列为：所以1248()01232279927E Y =⨯+⨯+⨯+⨯=（或因为2(3,)3Y B ~，所以2()323E Y =⨯=）， 222212482()(02)(12)(22)(32)2799273D Y =-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=，由()()E X E Y =，()()D X D Y ＜可得，甲公司成功的可能性更大．19．证明：因为AB AC ⊥，AB AC =，所以90ACB ∠=︒， 因为底面 是直角梯形，90ADC ∠=︒，AD BC ∥， 所以45ACD ∠=︒，即AD CD =，所以2BC AD =，因为2AE ED =，2CF FB =，所以2D 3AE BF A ==． 所以四边形 是平行四边形，则AB EF ∥，所以AC EF ⊥，因为PA ⊥底面 ，所以PA EF ⊥， 因为PAAC A =，所以EF ⊥平面 ，因为EF ⊂平面 ，所以平面PEF ⊥平面 ．（2）因为PA AC ⊥，AC AB ⊥，所以AC ⊥平面 ，则APC ∠为直线 与平面 所成的角，若 与平面 所成角为45︒，则tan 1ACAPC PA∠==，即PA AC == 取 的中点为 ，连接 ，则AG BC ⊥，以 坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -．则(1,1,0)B -，(1,1,0)C ，2(0,,0)3E，P ，所以(1,1,0)EB =-，2(0,3EP =-，设平面 的法向量(,,)x y z =n ，则0n EB n EP ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即503203x y y ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，令3y =，则5x =，z =，=n ，因为(1,1,0)AC =是平面 的一个法向量，所以cos ,AC 〈〉==n ，即当二面角与平面 所成的角为45︒． 20．解：（1）设200(,)4y A y ，圆 的方程200(2)()()04y x x y y y --+-=，令1x =，得2200104y y y y -+-=，所以0M N y y y +=，214M N y y y =-，||||2M N MN y y =-=．（2）设直线 的方程为x my n =+，11(,)P x y ，22(),Q x y ，则由24x my n y x=+⎧⎨=⎩消去 ，得2440y my n --=． 124y y m +=，124y y n =-，因为3OPOQ =-，所以12123x x y y +=-，则21212()316y y y y +=-， 所以2430n n -+=，解得1n =或3n =， 当1n =或3n =时，点(2,0)B 到直线的距离为d =，因为圆心 到直线 的距离等于到直线1x =的距离，所以208y =， 又224y m y -=，消去 得4200646416y y +=，求得28y =，此时2024y m y -=，直线 的方程为3x =，综上，直线 的方程为1x =或3x =．21．解：（1）设切点的坐标为2(,e )t t ，由2()e x f x =，得22(e )x f x ='， 所以切线方程为22e 2e ()t t y x t -=-，即222e (12)e t t y x t =+-，由已知222e (12)e x x y x t =+-和1y kx =+为同一条直线，所以22e t k =，2(12)e 1t k -=， 令()(1)e x h x x =-，则()e x h x x =-'，当(,0)x ∈-∞时，()0h x '>，()h x 单调递增，当(0,)x ∈+∞时，()0h x '<，()h x 单调递减， 所以()(0)1h x h ≤=，当且仅当0x =时等号成立，所以0t =，2k =． （2）①当2k >时，有（1）结合函数的图像知： 存在00x >，使得对于任意0(0,)x x ∈，都有()()f x g x ＜，则不等式|()()|>2f x g x x -等价()()2g x f x x ->，即2(2)1e 0x k x -+->， 设2(2)1e x t k x =-+-，22()2e x t k =--'，由0t '>得12ln 22k x -<，由0t '＜得12ln 22k x -＞， 若24k ≤＜，12ln022k -≤，因为012(0,)(,ln )22k x ∞-⊆-，所以()t x 在12(0,ln )22k -上单调递减， 因为(0)0t =，所以任意12(0,ln)22k x -∈，()0t x >，与题意不符， 若4k >，12ln022k ->，1212(0,ln )(,ln )2222k k --⊆-∞，所以()t x 在12(0,ln )22k -上单调递增， 因为(0)0t = ，所以对任意12(0,ln)22k x -∈，()0t x >符合题意， 此时取120min{0,ln}22k m -<≤，可得对任意(0,)x m ∈，都有|()()|>2f x g x x -． ②当02k <≤时，有（1）结合函数的图像知()2e210(0)xx x -+≥>，所以22()()e 1e (21)(2)(2)0x x f x g x kx x k x k x -=--=-++-≥-≥对任意0x >都成立， 所以|()()|>2f x g x x -等价于2e (2)10x k x -+->， 设2()e (2)1x x k x ϕ=-+-，则2()=2e (2)x x k ϕ'-+，由()0x ϕ'>得12ln 22k x +>，()0x ϕ'＜得，12ln 22k x +<， 所以()x ϕ在12(0,ln)22k -上单调递减，注意到(0)0ϕ=， 所以对任意12(0,ln)22k x -∈，()0x ϕ<，不符合题设， 综上所述， 的取值范围为()4,+∞．22．解：（1）由πcos()4ρθ+=-cos sin )ρθρθ-=-)x y -=-，即直线 的方程为40x y -+=， 依题意，设(2cos ,2sin )P t t ，则到直线的距离π|)4|π2co ()4s t d t ++==+， 当π2ππ4t k +=+，即3π2π4t k =+，k ∈Z时，min 1d =． （2）因为曲线 上的所有点均在直线 的右下方，所以对t ∀∈R ，有cos 2sin 40a t t -+>恒成立，)4t t ϕ+>-（其中2tan aϕ=）恒成立，4<，又0a >，解得0a << 故的取值范围为．23．解：（1）当2x =时，()|2|g x a x =--取得最大值为 ，因为()|1||3|4f x x x =++-≥，当且仅当13x -≤≤，()f x 取最小值4， 因为关于 的不等式()()f x g x <有解， 所以4a >，即实数 的取值范围是(4,)+∞．（2）当72x =时，()5f x =， 则77()2522g a =-++=，解得132a =，所以当2x <时，9()2g x x =+，令9()42g x x =+=，得1(1,3)2x =-∈-，所以12b =-，则6a b +=河南省2017届高三下学期质量检测理科数学试卷解析1．【解析】本题主要考查集合的关系与运算、解一元二次不等式．，若，则，．故选D．2．【解析】本题主要考查复数的运算和几何意义．，，解得．故选C．3．【解析】本题主要考查独立性检验．选项D中不服药与服药样本中患病的频率差距最大．故选D．4．【解析】本题主要考查同角三角函数的基本关系、倍角公式和诱导公式．由得，，即，则．故选C．5．【解析】本题主要考查程序框图和数学史．模拟程序运行，可得：，满足循环条件执行循环体，，，满足循环条件执行循环体，，，满足循环条件执行循环体，，，不满足循环条件结束循环，输出的值为，则，解得．故选B．6．【解析】本题主要考查双曲线的标准方程和性质、点到直线的距离．点到渐近线的距离为，，双曲线过点，，解得，则双曲线的实轴长为．故选A．7．【解析】本题主要考查函数的零点、奇函数的性质．是函数的一个零点，，即，又为奇函数，，当时，．．故选B．8．【解析】本题主要考查三视图与体积．由三视图可知，该几何体是由一个四棱锥与一个三棱柱组合而成，其中四棱锥的底面与三棱柱的左侧面重合．则该几何体的体积为．故选A．9．【解析】本题主要考查平面向量的数量积和模．设，，，解得，则．故选C．10．【解析】本题主要考查椭圆的几何性质．由题知，在椭圆的短轴上．设椭圆的左焦点为，连结．，，即，，，，则椭圆的离心率为．故选D．11．【解析】本题主要考查空间线面的位置关系．取中点，连结，，则，，平面平面，平面，故A正确；取中点，连结，，则为平行四边形，则为异面直线与所成角，故B正确；点关于直线的对称点为，则平面，即过与垂直的直线在平面上，故C错误；三棱锥外接球半径为，故D正确．故选C．12．【解析】本题主要考查利用导数研究函数的单调性和最值．，函数在，上单调递减，．设，，由斜边的中点轴上可得，，，，即，，设，则，，，即实数的取值范围是．故选B．13．【解析】本题主要考查简单的线性规划及点到直线的距离．作出不等组表示的可行域，如图所示，的几何意义为可行域内的点到点，距离的平方．则的最小值为点，到直线距离的平方，．故答案为14．【解析】本题主要考查排列组合问题．把5名新生分配到甲、乙两个班，每个班分到的新生不少于2名，有种分配方案，其中甲班都是男生的分配方案有种，则不同的分配方案种数为．故答案为．15．【解析】本题主要考查函数的图象和性质．由图可得，，又，，又，，则．若函数在区间上的值域为，则，．故答案为．16．【解析】本题主要考查正弦定理、余弦定理、三角形面积公式．由得，即．由得，即．，，．故答案为．17．【解析】本题主要考查等差数列、等比数列，考查裂项求和．（1）在中，令，得到关系式，再由等差数列的性质可得，从而求得，再由等比数列的通项公式求得公比，进而得到；（2）由等差数列的前项和公式可得，代入求出，利用裂项求和可得．18．【解析】本题主要考查互斥事件、相互独立事件的概率，考查离散型随机变量的数学期望和方差．（1）根据互斥事件的概率加法公式和相互独立事件的概率可得结论；（2）分别列出两公司正确完成面试题数的所有取值，计算其相应的概率，得到分布列，代入公式求出期望和方差，比较它们的大小可得结论．19．【解析】本题主要考查线面垂直的判定与性质、用向量法求空间角的大小．（1）由平面几何知识易证是平行四边形，得，从而，由线面垂直的性质得，由线面垂直的判定可得平面，由面面垂直的判定可得结论；（2）易证平面，则为直线与平面所成的角．取的中点为，连接，则，以坐标原点建立空间直角坐标系．分别求出平面和平面的一个法向量，利用向量夹角公式可得结论．20．【解析】本题主要考查直线与抛物线的位置关系、数量积的坐标运算及点到直线的距离．（1）设出点坐标，由、点坐标可得圆的方程，直线方程联立，得关于的一元二次方程，利用韦达定理和弦长公式可得线段的长；（2）设出直线的方程，与抛物线方程联立，消去得关于的一元二次方程，利用韦达定理、数量积的坐标运算及点到直线的距离公式可求出的方程．21．【解析】本题主要考查导数的几何意义、利用导数研究函数的单调性、最值和不等式恒成立问题．（1）求导，根据导数的几何意义及直线的点斜式方程可得切线方程，与已知切线方程比较，构造函数，利用导数研究函数的单调性和最值，则可得值．（2）分和两种情况讨论．将不等式转化，利用导数研究函数的单调性和最值，则结论可得．22．【解析】本题主要考查将极坐标方程化成直角坐标方程，点到直线的距离及简单的线性规划的应用．（1）利用及两角和的余弦公式将的极坐标方程化成直角坐标方程，设出的参数坐标，由点到直线的距离公式及余弦函数的性质可得最值；（2）问题转化为对，恒成立．利用辅助角公式及余弦函数的值域可得结论．23．【解析】本题主要考查绝对值不等式的求解．（1）利用绝对值三角不等式可得的最小值，易得的最大值，问题转化为的最大值大于的最小值．（2）由题知，为方程的根，代入可求得；当时，由求出，验证可得，则可得。

【关键字】学期数学（理）试卷第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共10个小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A．B．C．D．2.在复平面内，复数（是虚数单位）对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3.设，则“”是“直线与直线平行”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件4.在中，为边的中点，若，，则（）A．B． C. D．5.将函数的图象向左平移个单位，所得的函数关于轴对称，则的一个可能取值为（）A．B． C.0 D．6.若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积等于（）A．B． C. D．7.如图所示的茎叶图为高三某班50名学生的化学考试成绩，算法框图中输入的为茎叶图中的学生成绩，则输出的分别是（）A．B．C. D．8.如图，周长为1的圆的圆心在轴上，顶点，一动点从开始逆时针绕圆运动一周，记走过的弧长，直线与轴交于点，则函数的图象大致为（）A．B．C．D．9.设方程与的根分别为，则（）A．B． C. D．10.已知点是抛物线的对称轴与准线的交点，点为抛物线的焦点，在抛物线上且满足，当取最大值时，点恰好在以，为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为（）A．B． C. D．11.设等差数列的前项和为，已知，，则下列结论正确的是（）A．B．C. D．12.德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其名命名的函数称为狄利克雷函数，则关于函数有以下四个命题：①；②函数是偶函数；③任意一个非零有理数，对任意恒成立；④存在三个点，，，使得为等边三角形．其中真命题的个数是( )A．4 B．3 C.2 D．1第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知等比数列的第5项是二项式展开式中的常数项，则．14.冬季供暖就要开始，现分配出5名水暖工去3个不同的居民小区检查暖气管道，每名水暖工只去一个小区，且每个小区都要有人去检查，那么分配的方案共有种.15.若不等式组所表示的平面区域存在点，使成立，则实数的取值范围是.16.如图所示，由直线，及轴围成的曲边梯形的面积介于相应小矩形与大矩形的面积之间，即．类比之，，恒成立，则实数.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.(本题满分12分)在中，内角对应的三边长分别为，且满足．（Ⅰ）求角；（Ⅱ）若，求的取值范围.18.（本小题满分12分）为增强市民的节能环保意识，郑州市面向全市征召义务宣传志愿者，从符合条件的500名志愿者中随机抽取100名，其年龄频率分布直方图如图所示，其中年龄分组区是：．（Ⅰ）求图中的值，并根据频率分布直方图估计这500名志愿者中年龄在岁的人数；（Ⅱ）在抽出的100名志愿者中按年龄采用分层抽样的方法抽取10名参加中心广场的宣传活动，再从这10名志愿者中选取3名担任主要负责人．记这3名志愿者中“年龄低于35岁”的人数为，求的分布列及数学期望. 19.（本小题满分12分）如图，在四棱锥中，平面，为直角，，，，分别为，的中点. （Ⅰ）证明：AB ⊥平面BEF ；（Ⅱ）若PA =E BD C --. 20.（本小题满分12分）椭圆()222:11x H y a a+=>，原点O 到直线MN ，其中：点()01M -，，点()0N a ，.（Ⅰ）当a ，b ，c 成等差数列时，求ABC △的面积；（Ⅱ）经过椭圆右焦点2F 的直线l 和该椭圆交于A 、B 两点，点C 在椭圆上，O 为原点，若1322OC OA OB =+，求直线l 的方程.21.（本小题满分12分） 已知函数()()212g x f x x bx =+-，函数()ln f x x a x =+在1x =处的切线l 与直线20x y +=垂直.（Ⅰ）求实数a 的值；（Ⅱ）若函数()g x 存在单调递减区间，求实数b 的取值范围； （Ⅲ）设()1212x x x x <，是函数()g x 的两个极值点，若72b ≥，求()()12g x g x -的最小值． 22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲已知ABC △中，AB AC =，D 为ABC △外接圆劣弧AC 上的点（不与点A C ，重合），延长BD 至E ，延长AD 交BC 的延长线于F ． （Ⅰ）求证：CDF EDF ∠=∠；（Ⅱ）求证：AB AC DF AD FC FB ⋅⋅=⋅⋅．23．（本小题满分10分）选修4-4：极坐标系与参数方程已知曲线C 的参数方程为21x y αα⎧=+⎪⎨=+⎪⎩（α为参数），以直角坐标系原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系． （Ⅰ）求曲线C 的极坐标方程；（Ⅱ）若直线l 的极坐标方程为()sin cos 1ρθθ+=，求直线l 被曲线C 截得的弦长． 24．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数()f x x a =-，不等式()3f x ≤的解集为[]15-，． （Ⅰ）求实数a 的值；（Ⅱ）若()()5f x f x m ++≥对一切实数x 恒成立，求实数m 的取值范围．17届（高三）第一次联考数学（理）试卷试卷答案一、选择题 1-5:CDADB 6-10:BBDAC 11、12：DA二、填空题13.36 14.150 15.1a ≤- 16.ln2 三、解答题17.解析：（Ⅰ）∵221cos 2c a B b a b ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，∴2222222a c b bc a b +--=-，222a b c bc =+-…………………………2分 ∵2222cos a b c bc A =+-，∴1cos 2A =……………………………………4分 ∴3A π=…………………………………………6分（Ⅱ）解法1： 由正弦定理得2sin sin sin a b cA B C===， ∴2sin 2sin b B c C ==，．……………………………………8分 ∴()2sin 2sin 2sin 2sin b c B C B A B +=+=++2sin 2sin cos 2cos sin 3sin 6B A B A B B B B π⎛⎫=++=+=+ ⎪⎝⎭…………10分∵203B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，∴5666B πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，，1sin (1]62B π⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，，所以b c +∈，．…………………………12分 解法2：∵a =2222cos a b c bc A =+-，()22233b c bc b c bc =+-=+-……………………8分∵22b c bc +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，()22332b c b c +⎛⎫≥+- ⎪⎝⎭……………………………………10分()212b c +≤，即b c +≤∵b c a +>∴b c +∈， (12)分（Ⅱ）用分层抽样的方法，从中选取10名，则其中年龄“低于35岁”的人有6名，“年龄不低于35岁”的人有4名，故X 的可能取值为0123，，，．………………………………………………5分()343101030C P X C ===，()12643103110C C P X C ===，()2164310122C C P X C ===，()36310136C P X C ===．………………………………………………………………9分 故X 的分布列为所以1311901233010265EX =⨯+⨯+⨯+⨯=．……………………………………………………12分 19.解：（Ⅰ）证：由已知DF 平行且等于AB 且DAB ∠为直角，故ABFD 是矩形， 从而AB BF ⊥．又PA ⊥底面ABCD ，∴平面PAD ⊥平面ABCD ， ∵AB AD ⊥，故AB ⊥平面PAD ，∴AB PD ⊥，在PCD △内，E 、F 分别是PC 、CD 的中点，EF PD ∥，∴AB EF ⊥， 由此得AB ⊥平面BEF .………………………………6分方程有解1x =-，故不论k 取任何正整数时，方程总有公共根1-.（Ⅱ）以A 为原点，以AB ，AD ，AP 为x 轴，y 轴，z 轴正向建立空间直角坐标系，则()120BD =-，，，01BE ⎛= ⎝⎭，， 设平面CDB 的法向量为()1001n =，，，平面EDB 的法向量为()2n x y z =，，， 则220n BD n BE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩200x y y -+=⎧⎪⎨+=⎪⎩可取(221n =-，，， 设二面角E BD C --的大小为θ，则121212cos cos 21n n n n n n θ⋅=<>===⨯⋅，所以，4πθ=…………………………………………12分.20.解：（Ⅰ）设直线:0MN x ay a --=3a =⇒=， 所以离心率e ==3分. （Ⅱ）椭圆H 方程为2213x y +=，设()()()112233A x y B x y Cx y ，，，，，， ①当直线l 斜率为0时，其方程为0y =， 此时)0A ，，()0B ，，不满足121230x x y y +=，不符合题意，舍去 (4)分②当直线l 斜率不为0时设直线l 方程为x my =+由题意：2213x my x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩消x 得()22310m y ++-=，…………………………5分所以12122013y y y y m ⎧∆>⎪⎪⎪+=⎨⎪⎪-=⎪+⎩．……………………………………7分因为1322OC OA OB =+，所以31212x x x =+，31212y y y =+，因为点C 在椭圆上，所以22223312121113322x y x x y y ⎛⎫⎛⎫+=+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以121230x x y y +=……………………9分∵(()2121212122x x my my m y y y y =+=+++化简得210m -=，得1m =±，直线l为x y =±+11分 综上，直线l为00x y x y --+-，…………………………12分 21.解：（Ⅰ）∵()ln f x x a x =+，∴()'1af x x=+， ∵与直线20x y +=垂直，∴1'12x k y a ===+=，∴1a =，………………2分（Ⅱ）∵()()21ln 12g x x x b x =+--，∴()()()2111'1x b x g x x b x x --+=+--=，由题知()'0g x <在()0+∞，上有解，∵0x >设()()211u x x b x =--+，则()010u =>，所以只需()211231140b b b b b -⎧>>⎧⎪⇒⎨⎨><-⎩⎪∆=-->⎩或， 故b 的取值范围是()3+∞，…………………………………………6分 . （Ⅲ）∵()()()21111x b x g x x b x x--+=+--=，令()0g x =，得()2110x b x --+=， 由题121211x x b x x +=-=，， 12x t x =，则()()()1111ln 2g x g x h t t t t ⎛⎫-==-- ⎪⎝⎭……………………………………8分 ∵120x x <<，所以令()1201x t x =∈，， 又72b ≥，所以512b -≥，所以()()()222121212125124x x b x x t x x t +-=+==++≥，整理有241740t t -+≥，解得1144t -≤≤，∴1(0]4t ∈，…………………………………………10分()()22211111022t h t t t t -⎛⎫=-+=-< ⎪⎝⎭，所以()h t 在10]4（，单调递减， ()1152ln 248h t h ⎛⎫≥=- ⎪⎝⎭，故()()11g x g x -的最小值是152ln 28-．……………………………………12分 22.解析：（Ⅰ）证明：∵A 、B 、C 、D 四点共圆， ∴CDF ABC ∠=∠，∵AB AC =，∴ABC ACB ∠=∠，且ADB ACB ∠=∠， EDF ADB ACB ABC ∠=∠=∠=∠，∴CDF EDF ∠=∠．…………………………5分（Ⅱ）由（Ⅰ）得ADB ABF ∠=∠，又∵BAD FAB ∠=∠， 所以BAD △与FAB △相似， ∴AB ADAF AB=，∴2AB AD AF =⋅， 又∵AB AC =，∴AB AC AD AF ⋅=⋅，∴AB AC DF AD AF DF ⋅⋅=⋅⋅， 根据割线定理得DF AF FC FB ⋅=⋅，AB AC DF AD FC FB ⋅⋅=⋅⋅．………………………………10分23．⑴∵曲线C 的参数方程为21x y αα⎧=+⎪⎨=+⎪⎩（α为参数）∴曲线C 的普通方程为()()22215x y -+-=， 将cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入并化简得：4cos 2sin ρθθ=+，即曲线C 的极坐标方程为4cos 2sin ρθθ=+…………………………5分 （2）∵l 的直角坐标方程为10x y +-=，∴圆心C 到直线l 的距离为d ==∴弦长为=……………………10分24．⑴∵3x a -≤，∴33a x a -≤≤+，∵()3f x ≤的解集为[]15-，，∴3135a a -=-⎧⎨+=⎩，∴2a =．…………………………5分⑵∵()()()()523235f x f x x x x x ++=-++≥---=，又()()5f x f x m ++≥恒成立，∴5m ≤．………………………………………………10分此文档是由网络收集并进行重新排版整理.word 可编辑版本！。

2017年河南省高考数学试卷（理科）（全国新课标Ⅰ）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．(★)已知集合A={x|x＜1}，B={x|3 x＜1}，则（）A．A∩B={x|x＜0} B．A∪B=R C．A∪B={x|x＞1} D．A∩B=∅2．(★)如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图．正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（）A． B． C． D．3．(★)设有下面四个命题p 1：若复数z满足∈R，则z∈R；p 2：若复数z满足z 2∈R，则z∈R；p 3：若复数z 1，z 2满足z 1z 2∈R，则z 1= ；p 4：若复数z∈R，则∈R．其中的真命题为（）A．p1，p3 B．p1，p4 C．p2，p3 D．p2，p44．(★★)记S n为等差数列{a n}的前n项和．若a 4+a 5=24，S 6=48，则{a n}的公差为（）A．1 B．2 C．4 D．85．(★)函数f（x）在（-∞，+∞）单调递减，且为奇函数．若f（1）=-1，则满足-1≤f（x-2）≤1的x的取值范围是（）A．-2，2 B．-1，1 C．0，4 D．1，36．(★)（1+ ）（1+x）6展开式中x 2的系数为（）A．15 B．20 C．30 D．357．(★★)某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形，该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为（）A．10 B．12 C．14 D．168．(★)如图程序框图是为了求出满足3 n-2 n＞1000的最小偶数n，那么在和两个空白框中，可以分别填入（）A．A＞1000和n=n+1 B．A＞1000和n=n+2C．A≤1000和n=n+1 D．A≤1000和n=n+29．(★)已知曲线C 1：y=cosx，C 2：y=sin（2x+ ），则下面结论正确的是（）A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2D．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C210．(★★)已知F为抛物线C：y 2=4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l 1，l 2，直线l 1与C交于A、B两点，直线l 2与C交于D、E两点，则|AB|+|DE|的最小值为（）A．16 B．14 C．12 D．1011．(★★)设x、y、z为正数，且2 x=3 y=5 z，则（）A．2x＜3y＜5z B．5z＜2x＜3y C．3y＜5z＜2x D．3y＜2x＜5z12．(★★★)几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件．为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动．这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是2 0，接下来的两项是2 0，2 1，再接下来的三项是2 0，2 1，2 2，依此类推．求满足如下条件的最小整数N：N＞100且该数列的前N项和为2的整数幂．那么该款软件的激活码是（）A．440 B．330 C．220 D．110二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．(★)已知向量，的夹角为60°，| |=2，| |=1，则| +2 |= 2 ． 14．(★)设x，y满足约束条件，则z=3x-2y的最小值为 -5 ．15．(★★)已知双曲线C：- =1（a＞0，b＞0）的右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点．若∠MAN=60°，则C的离心率为．16．(★★★)如图，圆形纸片的圆心为O，半径为5cm，该纸片上的等边三角形ABC的中心为O．D、E、F为圆O上的点，△DBC，△ECA，△FAB分别是以BC，CA，AB为底边的等腰三角形．沿虚线剪开后，分别以BC，CA，AB为折痕折起△DBC，△ECA，△FAB，使得D、E、F重合，得到三棱锥．当△ABC的边长变化时，所得三棱锥体积（单位：cm 3）的最大值为 4 cm 3．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．17．(★)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为．（1）求sinBsinC；（2）若6cosBcosC=1，a=3，求△ABC的周长．18．(★★)如图，在四棱锥P-ABCD中，AB∥CD，且∠BAP=∠CDP=90°．（1）证明：平面PAB⊥平面PAD；（2）若PA=PD=AB=DC，∠APD=90°，求二面角A-PB-C的余弦值．19．(★★★)为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸（单位：cm）．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N（μ，σ2）．（1）假设生产状态正常，记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在（μ-3σ，μ+3σ）之外的零件数，求P（X≥1）及X的数学期望；（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在（μ-3σ，μ+3σ）之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．（ⅰ）试说明上述监控生产过程方法的合理性；（ⅱ）下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：经计算得= =9.97，s= = ≈0.212，其中x i为抽取的第i个零件的尺寸，i=1，2， (16)用样本平均数作为μ的估计值，用样本标准差s作为σ的估计值，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除（-3 +3 ）之外的数据，用剩下的数据估计μ和σ（精确到0.01）．附：若随机变量Z服从正态分布N（μ，σ2），则P（μ-3σ＜Z＜μ+3σ）=0.9974，0.99741620．(★★★★)已知椭圆C：+ =1（a＞b＞0），四点P 1（1，1），P 2（0，1），P 3（-1，），P 4（1，）中恰有三点在椭圆C上．（1）求C的方程；（2）设直线l不经过P 2点且与C相交于A，B两点．若直线P 2A与直线P 2B的斜率的和为-1，证明：l过定点．21．(★★★★)已知函数f（x）=ae 2x+（a-2）e x-x．（1）讨论f（x）的单调性；（2）若f（x）有两个零点，求a的取值范围．[选修4-4，坐标系与参数方程]22．(★★)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为，（θ为参数），直线l的参数方程为，（t为参数）．（1）若a=-1，求C与l的交点坐标；（2）若C上的点到l距离的最大值为，求a．[选修4-5：不等式选讲]23．(★★)已知函数f（x）=-x 2+ax+4，g（x）=|x+1|+|x-1|．（1）当a=1时，求不等式f（x）≥g（x）的解集；（2）若不等式f（x）≥g（x）的解集包含-1，1，求a的取值范围．。

河南省部分重点中学2017届高三上学期第一次联考理数试题一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.）1。

已知集合1122A ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，，,{}2B y y x x A ==∈，，则A B =（ ） A ．12⎧⎫⎨⎬⎩⎭ B ．{}2 C ．{}1 D ．φ【答案】C考点：集合运算．2.在复平面内，复数21i i-+（i 是虚数单位）对应的点位于( ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限【答案】D【解析】试题分析:21i i -+i i i 23212)1)(2(-=--=，故对应点在第四象限. 考点：复数几何意义．3.设R a ∈,则“1a =-”是“直线10ax y +-=与直线50x ay ++=平行"的（ )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】A【解析】试题分析：若1a =-，则直线10ax y +-=与直线50x ay ++=平行，充分性成立；若直线10ax y +-=与直线50x ay ++=平行，则0=a 或1-=a ，必要性不成立.考点：充分必要性．4。

在ABC △中,D 为BC 边的中点,若()20BC =，，()14AC =，,则AD =( )A ．()24--，B ．()04-，C 。

()24，D ．()04，【答案】D【解析】试题分析:)4,0()0,1()4,1(21=-+=+=CB AC AD 。

考点:平面向量运算．5.将函数()()sin 2f x x ϕ=+的图象向左平移8π个单位,所得的函数关于y 轴对称，则ϕ的一个可能取值为（ ）A ．34π B ．4π C.0 D ．4π- 【答案】B考点：三角函数的性质．6.若某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则该几何体的体积等于（ ）A ．310cmB ．320cmC 。

河南省2017届普通高中高三4月教学质量监测理科（数学）试卷第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合2{|2730}A x x x =-+＜，{|lg 1}B x x =∈Z ＜，则阴影部分所表示的集合的元素个数为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．42．已知复z 的共轭复数为z ，若3()(122z z+-（i 为虚数单位），则在复平面内，复数z 所对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．已知命题:(1,)p x ∀∈+∞，2168x x +＞则命题p 的否定为（ ） A ．:(1,)p x ⌝∀∈+∞，2168x x +≤ B ．:(1,)p x ⌝∀∈+∞，2168x x +＜ C ．0(1,):p x ⌝∃∈+∞，200168x x +≤D ．0(1,):p x ⌝∃∈+∞，200168x x +＜4．26(32)(21)x x x ---的展开式中，含3x 项的系数为（ ） A ．600B ．360C ．600-D ．360-5．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=＞＞的左焦点为F ，第二象限的点M 在双曲线C 的渐近线上，且||OM a =，若直线MF 的斜率为ba，则双曲线C 的近线方程为（ ）A ．y x =±B ．2y x =±C ．3y x =±D ．4y x =±6．已知边长为2的菱形ABCD 中，120BAD ∠=︒，若(01)A P A C =λλ＜＜，则BP P D 的取值范围是（ ）A ．[0,3]B ．[2,3]C ．(0,3]D ．(2,3]7．已知11sin cos +=ϕϕ，若π(0,)2ϕ∈，则2tan (2)1x x dx ϕ--⎰=（ ） A ．13B ．13-C ．23D ．23-8．《九章算术》是我国古代的数学名著，体现了古代劳动人民的数学智慧，其中第六章“均输”中，有一竹节容量问题，某教师根据这一问题的思想设计了如图所示的程序框图，若输出m 的值为35，则输入a 的值为（ ）A ．4B ．5C ．7D ．119．某颜料公司生产A ，B 两种产品，其中生产每吨A 产品，需要甲染料1吨，乙染料4吨，丙染料2吨，生产每吨B 产品，需要甲染料1吨，乙染料0吨，丙染料5吨，且该公司一条之内甲、乙、丙三种染料的用量分别不超过50吨、160吨和200吨，如果A 产品的利润为300元/吨，B 产品的利润为200元/吨，则该颜料公司一天之内可获得的最大利润为（ ） A ．14 000元B ．16 000元C ．16 000元D ．20 000元10．已知函数22,20()(1),02x x x f x f x x ⎧+-=⎨-⎩≤≤＜≤，则方程5[()]1x f x -=在[2,2]-上的根的个数为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．611．如图，小正方形的边长为1，粗线画出的是某空间几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）A ．B ．16C ．D ．3212．已知ABC △的外接圆的半径为R ，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若32sin cos sin 2a B C c C R+=，则ABC △面积的最大值为（ ）A ．25B ．45C D ．125第Ⅱ卷（共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．13．已知函数()sin()f x M x =ω+ϕ（0M ＞，0ω＞，π||2ϕ＜）的部分图像如图所示，其中(2,3)A （点A 为图像的一个最高点）5(,0)2B -，则函数()f x =__________．14．折纸已经成为开发少年儿童智力的一种重要工具和手段，已知在折叠“爱心”活动中，会产生如图所示的几何图形，其中四边形ABCD 为正方形，G 为线段BC 的中点，四边形AEFG 与四边形DGHI 也是正方形，连接EB ，CI ，则向多边形AEFGHID 中投掷一点，则该点落在阴影部分的概率为__________．15．已知抛物线2:8C y x =的焦点为F ，准线l 与x 轴交于点M ，过点M 的直线l 与抛物线C 的交点为P ，Q 延长PF 交抛物线C 于点A ，延长QF 交抛物线C 于点B ，若||||22||||PF QF AF BF +=，则直线l 的方程为__________．16．若[1,)x ∈+∞时，关于x 的不等式ln (1)1x xx x λ-+≤恒成立，则实数λ的取值范围是__________． 三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且28a =，112n n a S n -=--． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求数列123{}nn n a a +⨯的前n 项和n T ． 18．国内某知名连锁店分店开张营业期间，在固定的时间段内消费达到一定标准的顾客可进行一次抽奖活动，随着抽奖活动的有效展开，参与抽奖活动的人数越来越多，该分店经理对开业前7天参加抽奖活动的人数进行统计，y 表示开业第x 天参加抽奖活动的人数，得到统计表格如下：经过进一步的统计分析，发现Y 与X 具有线性相关关系．（1）根据上表给出的数据，用最小二乘法，求出y 与x 的线性回归方程ˆˆˆybx a =+；（2）若该分店此次抽奖活动自开业始，持续10天，参加抽奖的每位顾客抽到一等奖（价值200元奖品）的概率为17，抽到二等奖（价值100元奖品）的概率为27，抽到三等奖（价值10元奖品）的概率为47，试估计该分店在此次抽奖活动结束时送出多少元奖品？参考公式：1221ˆni ii nii x ynx y bxnx---=-∑∑，ˆˆay bx =- 19．如图所示的空间几何体中，底面四边形ABCD 为正方形，AF AB ⊥，AF BE ∥，平面ABEF ⊥平面ABCD，DF =CE =，2BC =．（1）求二面角F DE C --的大小；（2）若在平面DEF 上存在点P ，使得BP ⊥平面DEF ，试通过计算说明点P 的位置．20．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=＞＞的左、右焦点分别为1F ，2F，点(1,是椭圆C 上的点，离心率为e 2=．（1）求椭圆C 的方程；（2）点000(,)(0)A x y y ≠在椭圆上C 上，若点N 与点A 关于原点对称，连接2AF ，并延长与椭圆C 的另一个交点为M ，连接MN ，求AMN △面积的最大值． 21．已知函数()F x 与()ln f x x =的图象关于直线y x =对称．（1）不等式()1xf x ax -≥对任意(0,)x ∈+∞恒成立，求实数a 的最大值；（2）设()()1f x F x =在(1,)+∞内的实根为0x ，00(),1(),()xf x x x m x x x x F x ⎧⎪=⎨⎪⎩＜≤＞，若在区间(1,)+∞上存在1212()()()m x m x x x =＜，证明：1202x x x +＞． 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分；作答时，请用2B 铅笔将答题卡上相应的题号涂黑．22．选修4-4：参数方程与极坐标系已知直线l的参数方程为12t x y +⎧⎪=⎨=⎪⎩（t 为参数），以原点为极点，X轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程是2sin 3cos 0p θ-θ=．（1）求曲线C 的直角坐标方程及直线l 的极坐标方程； （2）求直线l 与曲线C 交点的极坐标（0p ≥，02πθ≤＜）． 23．选修4-5：不等式选讲已知函数()|3||1|f x x x =++-的最小值为m ，且()f a m =． （1）求m 的值以及实数a 的取值集合；（2）若实数p ，q ，r 满足2222p q r m ++=，证明()2q p r +≤．河南省2017届普通高中高三4月教学质量监测理科数学试卷答 案一、选择题1~5．BACCA 6~10．DDAAD 11~12．BC 二、填空题13．ππ3sin()36x -14．1315．2)y x =+ 16．1[,]2+∞三、解答题 17．（1）因为112n n a S n +=--，故当1n =时，211122aa =--=； 当2n ≥时，1222n n S a n +=--，122(1)2n n S a n -=---两式对减可得132n n a a +=+； 经检验，当1n =时也满足132n n a a +=+；故1(1)3(1)n n a a ++=+，故数列{1}n a +是以3为首项，3为公比的等比数列，故13n n a +=， 即31n n a =-．（2）由（Ⅰ）可知，111232311(31)(31)3131n n n n n n n n a a +++⨯⨯==-----， 故12231111111111313131313131231n n n n T ++=-+-+⋅⋅⋅+-=--------．18．（1）依题意：1(1234567)47x =++++++=，1(58810141517)117y =++++++=，721140i i x ==∑，71364i i i x y ==∑，71722173647411ˆ21407167i ii ii x yx y bxx==--⨯⨯===-⨯-∑∑，ˆˆ11243a y bx=-=-⨯= 则y 关于x 的线性回归方程为ˆ23yx =+． （2）参加抽奖的每位顾客获得奖品金额为X ，X 的分布列为124440200100107777EX =⨯+⨯+⨯=（元）．由y 关于x 的回归直线方程ˆ23yx =+，预测8x =时，ˆ19y =，9x =时，ˆ21y =，10x =时，ˆ23y =，则此次活动参加抽奖的人数约为58810141517192123140+++++++++=人．44014088007⨯=（元） 所以估计该分店为此次抽奖活动应准备8 800元奖品．19．（1）因为AF AB ⊥，平面ABCD ⊥平面ABEF ，所以AF ⊥平面ABCD ，所以AF AD ⊥．因为四边形ABCD 为正方形，所以AB AD ⊥，所以AD 、AB 、AF 两两垂直，以A 为原点，AD 、AB 、AF 分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系（如图）．由勾股定理可知1AF =，2BE =，所以(0,0,0)A ，(0,2,0)B ，(2,2,0)C ，(2,0,0)D ，(0,2,2)E ，(0,0,1)F ，所以(2,2,0)AC =，(0,2,0)CD =-，(2,0,2)CE =-．设平面CDE 的一个法向量为(,,)m x y z =，由0,0,n CD n CE ⎧=⎪⎨=⎪⎩，得20,220,y x z -=⎧⎨-+=⎩，即0,0,y x z =⎧⎨-=⎩取1x =，得(1,0,1)n =；同理可得平面DEF 的一个法向量(1,1,2)m =-， 故3cos ,||||2m n m n m n <>==，因为二面角F DE C --为钝角，故二面角F DE C --的大小为56x ． （2）设DP DE DF λμ=+，因为(2,2,2)DE =-，(2,0,1)DF =-，又(2,2,0)BD =-，(2,2,2)(2,0,)(22,2,2)DP DE DFλμλλλμμλμλλμ=+=-+-=--+，所以(222,22,2)BP BD DP λμλλμ=+=---+，0,0,BP DF BP DE ⎧=⎪⎨=⎪⎩2(222)20,2(222)2(22)2(2)0,λμλμλμλλμ---++=⎧∴⎨---+-++=⎩解得0,2,3μλ=⎧⎪⎨=⎪⎩即23DP DE =．所以P 是线段DE 上靠近E 的三等分点． 20．（1）依题意，221112a b+=，ca =，222abc =+，解得a =，1b c ==， 故椭圆C 的方程为2212x y +=，（2）①当直线AM的斜率不存在时，不妨取A，(1,M，(1,N -， 故122AMN S =⨯△②当直线AM 的斜率存在时，设直线AM 的方程为()1y kx =-，0k ≠，联立方程22(1)12y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩化简得2222(21)4220k x k x k +-+-=， 设11(,)A x y ，22(,)M x y ，则2122421k x x k +=+，21222221k x x k -=+，2222222422||(1)[()4]2221212k k k AM k k k k -==+-=++， 点O 到直线AM 的距离d ==，因为O 是线段AN 的中点，所以点N 到直线AM 的距离为2d =222111||2(22)22211AMNk S AM d k k +∴===++△，综上，AMN △面积的最大值为．21．（1）由()1xf x ax -≥，所以1ln a x x+≤， 设1()ln g x x x=+，22111()x g x x x x -'∴=-=．由()0g x '＞，1x ∴＞，()g x 在(1,)+∞上单调递增；()0g x '＜，01x ∴＜＜，()g x 在(0,1)上单调递减，所以min ()(1)1g x g ==，则1a ≤，所以实数a 的最大值为1．（2）设(,y)x 为函数()F x 图像上任意一点，则点(,)y x 为函数()f x 图像上的点，所以()e x F x =，所以001ln e x x =， 当01x x ＜＜时，()ln m x x x =，()1ln 0m x x '=+＞，因而()m x 在0(1,)x 上单调递增； 当0x x ＞时，()e x x m x =，1()0e x xm x -'=＜，因而()m x 在0(,)x +∞上单调递减； 又12()()m x m x =，12x x ＜，则10(1,)x x ∈，20(,)x x ∈+∞， 显然当2x →+∞时，1202x x x +＞． 要证：1202x x x +＞，即证20102x x x x -＞＞，而()m x 在0(,)x +∞上单调递减， 故可证201()(2)m x m x x -＜，又由12()()m x m x =，即证101()(2)m x m x x -＜，即01011122ln e x x x x x x --＜，记0022()ln ex x x xh x x x --=-，01x x ＜＜，其中0()0h x =．000002221221()1ln 1ln e e e x x x x x xx x x x h x x x ---+--'=++=++-．记()et tt ϕ=，1()e t t t ϕ-'=，当(0,1)t ∈时，()0t ϕ'＞；(1,)t ∈+∞时，()0t ϕ'＜，故max 1()t eϕ=，而()0t ϕ＞，故10()e t ϕ＜≤，而020x x -＞，从而002210e e x x x x ----≤＜，因此当0000022212211()1ln 1ln 10e e e ex x x x x xx x x x h x x x ---+--'=++=++--＞＞，即()h x 单调递增． 从而当01x x ＜＜时，0()()0h x h x =＜即0101122ln e x x x x x x --＜，故1202x x x +＞得证． 22．（1）依题意，22sin 3cos p p θθ=，故23y x =；因为12x t y =+⎧⎪⎨=⎪⎩20y --=，cos 2sin 0p θθ--=．（2）联立2sin 3cos 0cos 2sin 0p p θθθθ⎧-=⎪--=，化简得：2cos cos 3()3()30sin sin θθθθ--=，则cos sin θθcos sin θθ=，即tan θ=tan θ=， 又因为0p ≥，02πθ≤＜则π6θ=或5π3θ=，则直线l 与曲线C 的交点的极坐标为π)6和5(2,π)3．23．（1）依题意，()|3||1||31|4f x x x x x =++-+-+=≥，故m 的值为4； 当且仅当(3)(1)0x x +-≤，即31x -≤≤时等号成立，则a 的取值集合为[3,1]-． （2）因为2222p q r m ++=，故2222()()4p q q r +++=； 因为222p q pq +≥，当且仅当p q =时等号成立；因为222q r qr +≥，当且仅当q r =时等号成立；故2222()()422p q q r pq qr +++=+≥，故()2q p r +≤（当且仅当p q r ==时等号成立）．河南省2017届普通高中高三4月教学质量监测理科数学试卷解 析一、选择题1．【解析】依题意，21{|2730}{|(21)(3)0}{|3}2A x x x x x x x x =-+=--=＜＜＜＜，{|lg 1}{|010}{1,2,3,4,5,6,7,8,9}B x x x x =∈=∈=Z Z ＜＜＜，阴影部分表示集合A B ，故{1,2}A B =．2．【解析】依题意，设i (,)z a b a b =+∈R ，则32i 22z z a b +=+，故2i 1a b +==，故12a =，b =则在复平面内，复数z所对应的点为1(2，位于第一象限．3．【解析】全命题的否定为特称命题，故其否定为0:(1,)p x ⌝∃∈+∞，30168x x +≤． 4．【解析】依题意，由排列组合知识可知，展开式中3x 项的系数为3332246632(1)22(1)600C C ⨯--⨯-=-． 5．【解析】设(,0)F c -，依题意，联立,,a b y x a =-⎪⎩解得2(,)a ab M c c -，故20ab b c a a c c-=-+，解得a b =，故所求渐近线方程为y x =±．6．【解析】如图所示，建立平面直角坐标系，故(B，D ，(0,)(11)P m m -＜＜，故(3,m )BP =，(3,m)PD =-，故23BP PD m =-，故(2,3]BP PD ∈．7．【解析】依题意，11πsin cos cos )2sin cos 4ϕϕϕϕϕϕϕϕ+=+=+，因为π(0,)2ϕ∈，所以π4ϕ=，故322211tan 12(2)(2)()|1133x x x dx x x dx x ϕ--=-=-=--⎰⎰． 8．【解析】起始阶段有23m a =-，i 1=，第一次循环后，2(23)349m a a =--=-，i 2=；第二次循环后，2(49)3821m a a =--=-，i 3=；第三次循环后，2(821)31645m a a =--=-，i 4=；接着计算2(1645)33293m a a =--=-，跳出循环，输出3293m a =-．令329335a -=，得4a =．9．【解析】依题意，将题中数据统计如下表所示：设该公司一天内安排生产A 产品x 吨、B 产品吨，所获利润为z 元，依据题意得目标函数为300200z x y =+，约束条件为50,4160,25200,0,0,x y x x y x y +⎧⎪⎪⎨+⎪⎪⎩≤≤≤≥≥欲求目标函数300200100(32)z x y x y =+=+的最大值，先画出约束条件表示的可行域，如图中阴影部分所示，则点(40,0)A ，(40,10)B ，50100(,)33C ，(0,40)D ，作直线320x y +=，当移动该直线过点(40,10)B 时，32x y +取得最大值，则300200z x y =+也取得最大值（也可通过代入凸多边形端点进行计算，比较大小求得）．故max 300402001014000z =⨯+⨯=．所以工厂每天生产A 产品40吨，B 产品10吨时，才可获得最大利润，为14 000元．10．【解析】因为5[()]1x f x -=，故1()5f x x =-；在同一直角坐标系中分别作出函数()y f x =，15y x =-，的图像如图所示，观察可知，两个函数的图像在[2,2]-上有6个交点，故方程5[()]1x f x -=在[2,2]-上有6个根．11．【解析】由三视图可知，该几何体所表示的几何图形为三棱锥A BCD-，作出该几何体的直观图如图所示，取AC的中点E ，连接BE ；可以证明BE ⊥平面A C D ，故三棱锥A B CD-的体积2111633ACD V BE S ==⨯=△．12．【解析】依题意，32sin cos sin 2a B C c C R +=，故23cos 42ab C c +=，故22223422a b c ab c ab +-+=，整理得22228a b c ++=，结合余弦定理可知2832cos c ab C -=①；记ABC △的面积为S ，则42s i n S a b C =②，将①②平方相加可得2222222222(83)164()(82)c S a b a b c ++=+=-≤，故22226416(165)5S c c -≤≤，即245S ≤，S ，当且仅当285c =时等号成立． 二、填空题13．【解析】依题意，3M =，3592422T =+=，故6T =，故2ππ3T ω==，将点(2,3)A 代入可得ππ22π()32k k ϕ⨯+=+∈Z ，故π2π()6k k ϕ=-+∈Z ，故ππ()3sin()36f x x =-．14．【解析】设2AB =，则1BG =，AG =故多边形AEFGHID 的面积1222122S =+⨯⨯=；阴影部分为两个对称的三角形，其中90EAB GAB ∠=-∠，故阴影部分的面积12sin 2S AE AB EAB =⨯∠112cos 2422AE AB GAB =⨯∠=⨯=，故所求概率13P =． 15．【解析】设直线:2l x my '=-，联立28,2,y x x my ⎧=⎨=-⎩故28160y my -+=，264640m ∆=-＞，21m ＞，设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，则128y y m +=，1216y y =，由抛物线的对称性可知，21221||||4222||||y y PF QF m AF BF y y +=+=-=，解得26m =，故m =，故直线l '的方程为2)y x =+． 16．【解析】2ln (1)ln (1)01x x x x x x x λλ-⇒--+≤≤；设函数2()ln (1)H x x x x λ=--，从而对任意[1,)x ∈+∞，不等式()0(1)H x H =≤恒成立，又()ln 12H x x x λ'=+-，①当()ln 120H x x x λ'=+-≤，即ln 2x x x λ≤恒成立时，函数()H x 单调递减，设ln 1()x r x x+=，则2ln ()0x r x x -'=≤，所以m a x ()(1)1r x r ==，即1122λλ⇒≤≥，符合题意；②当0λ≤时，()ln 120H x x x λ'=+-≥恒成立，此时函数()H x 单调递增．于是，不等式()(1)0H x H =≥对任意[1,)x ∈+∞恒成立，不符合题意；③当102λ＜＜时，设()()ln 12q x H x x x λ'==+-，则11()2012q x x x λλ'=-=⇒=＞，当1(1,)2x λ∈时，1()20q x x λ'=-＞，此时()()ln 12q x H x x x λ'==+-单调递增，所以()ln 12(1)120H x x x H λλ''=+->=-＞，故当1(1,)2x λ∈时，函数()H x 单调递增．于是当1(1,)2x λ∈时，()0H x ＞成立，不符合题意；综上所述，实数λ的取值范围为1[,)2+∞．三、解答题17．【解析】略．18．【解析】略．19．【解析】略．20．【解析】略．21．【解析】略．22．【解析】略．23．【解析】略．。

2017年省高考数学试卷（理科）（全国新课标Ⅰ）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A={x|x ＜1}，B={x|3x ＜1}，则（ ） A ．A ∩B={x|x ＜0} B ．A ∪B=R C ．A ∪B={x|x ＞1} D ．A ∩B=∅2．（5分）如图，正方形ABCD 的图形来自中国古代的太极图．正方形切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（ ）A ．14B ．π8C ．12D ．π43．（5分）设有下面四个命题 p 1：若复数z 满足1π∈R ，则z ∈R ；p 2：若复数z 满足z 2∈R ，则z ∈R ； p 3：若复数z 1，z 2满足z 1z 2∈R ，则z 1=π2； p 4：若复数z ∈R ，则π∈R ． 其中的真命题为（ ）A ．p 1，p 3B ．p 1，p 4C ．p 2，p 3D ．p 2，p 44．（5分）记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．若a 4+a 5=24，S 6=48，则{a n }的公差为（ ） A ．1B ．2C ．4D ．85．（5分）函数f （x ）在（﹣∞，+∞）单调递减，且为奇函数．若f （1）=﹣1，则满足﹣1≤f （x ﹣2）≤1的x 的取值围是（ ） A ．[﹣2，2]B ．[﹣1，1]C ．[0，4]D ．[1，3]6．（5分）（1+1π2）（1+x ）6展开式中x 2的系数为（ ）A ．15B ．20C ．30D ．357．（5分）某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形，该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为（ ）A ．10B ．12C ．14D ．168．（5分）如图程序框图是为了求出满足3n ﹣2n ＞1000的最小偶数n ，那么在和两个空白框中，可以分别填入（ ）A ．A ＞1000和n=n+1B ．A ＞1000和n=n+2C ．A ≤1000和n=n+1D ．A ≤1000和n=n+29．（5分）已知曲线C 1：y=cosx ，C 2：y=sin （2x+2π3），则下面结论正确的是（ ）A ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2B ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2C ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2 D ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2 10．（5分）已知F 为抛物线C ：y 2=4x 的焦点，过F 作两条互相垂直的直线l 1，l 2，直线l 1与C 交于A 、B 两点，直线l 2与C 交于D 、E 两点，则|AB|+|DE|的最小值为（ ）A ．16B ．14C ．12D ．1011．（5分）设x 、y 、z 为正数，且2x =3y =5z ，则（ ） A ．2x ＜3y ＜5z B ．5z ＜2x ＜3y C ．3y ＜5z ＜2x D ．3y ＜2x ＜5z12．（5分）几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件．为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动．这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推．求满足如下条件的最小整数N ：N ＞100且该数列的前N 项和为2的整数幂．那么该款软件的激活码是（ ） A ．440 B ．330 C ．220 D ．110二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）已知向量π→，π→的夹角为60°，|π→|=2，|π→|=1，则|π→+2π→|= ．14．（5分）设x ，y 满足约束条件{π+2π≤12π+π≥−1π−π≤0，则z=3x ﹣2y 的最小值为 ．15．（5分）已知双曲线C ：π2π2﹣π2π2=1（a ＞0，b ＞0）的右顶点为A ，以A 为圆心，b 为半径作圆A ，圆A 与双曲线C 的一条渐近线交于M 、N 两点．若∠MAN=60°，则C的离心率为．16．（5分）如图，圆形纸片的圆心为O，半径为5cm，该纸片上的等边三角形ABC 的中心为O．D、E、F为圆O上的点，△DBC，△ECA，△FAB分别是以BC，CA，AB为底边的等腰三角形．沿虚线剪开后，分别以BC，CA，AB为折痕折起△DBC，△ECA，△FAB，使得D、E、F重合，得到三棱锥．当△ABC的边长变化时，所得三棱锥体积（单位：cm3）的最大值为．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．17．（12分）△ABC的角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为π23ππππ．（1）求sinBsinC；（2）若6cosBcosC=1，a=3，求△ABC的周长．18．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AB∥CD，且∠BAP=∠CDP=90°．（1）证明：平面PAB⊥平面PAD；（2）若PA=PD=AB=DC，∠APD=90°，求二面角A﹣PB﹣C的余弦值．19．（12分）为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸（单位：cm）．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N（μ，σ2）．（1）假设生产状态正常，记X表示一天抽取的16个零件中其尺寸在（μ﹣3σ，μ+3σ）之外的零件数，求P （X ≥1）及X 的数学期望；（2）一天抽检零件中，如果出现了尺寸在（μ﹣3σ，μ+3σ）之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．（ⅰ）试说明上述监控生产过程方法的合理性； （ⅱ）下面是检验员在一天抽取的16个零件的尺寸： 9.95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.04 10.26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95 经计算得π=116∑16π=1ππ=9.97，s=√116∑16π=1(ππ−π)2=√116(∑16π=1ππ2−16π2)≈0.212，其中x i 为抽取的第i 个零件的尺寸，i=1，2， (16)用样本平均数π作为μ的估计值ππ，用样本标准差s 作为σ的估计值ππ，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除（ππ﹣3ππ，ππ+3ππ）之外的数据，用剩下的数据估计μ和σ（精确到0.01）．附：若随机变量Z 服从正态分布N （μ，σ2），则P （μ﹣3σ＜Z ＜μ+3σ）=0.9974，0.997416≈0.9592，√0.008≈0.09．20．（12分）已知椭圆C ：π2π2+π2π2=1（a ＞b ＞0），四点P 1（1，1），P 2（0，1），P 3（﹣1，√32），P 4（1，√32）中恰有三点在椭圆C 上． （1）求C 的方程；（2）设直线l 不经过P 2点且与C 相交于A ，B 两点．若直线P 2A 与直线P 2B 的斜率的和为﹣1，证明：l 过定点．21．（12分）已知函数f （x ）=ae 2x +（a ﹣2）e x ﹣x ． （1）讨论f （x ）的单调性；（2）若f （x ）有两个零点，求a 的取值围．[选修4-4，坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为{π=3ππππ，（θπ=ππππ，（t为参数）．为参数），直线l的参数方程为{π=π+4ππ=1−π（1）若a=﹣1，求C与l的交点坐标；（2）若C上的点到l距离的最大值为√17，求a．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=﹣x2+ax+4，g（x）=|x+1|+|x﹣1|．（1）当a=1时，求不等式f（x）≥g（x）的解集；（2）若不等式f（x）≥g（x）的解集包含[﹣1，1]，求a的取值围．2017年省高考数学试卷（理科）（全国新课标Ⅰ）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A={x|x ＜1}，B={x|3x ＜1}，则（ ） A ．A ∩B={x|x ＜0} B ．A ∪B=R C ．A ∪B={x|x ＞1} D ．A ∩B=∅【分析】先分别求出集合A 和B ，再求出A ∩B 和A ∪B ，由此能求出结果． 【解答】解：∵集合A={x|x ＜1}， B={x|3x ＜1}={x|x ＜0}，∴A ∩B={x|x ＜0}，故A 正确，D 错误； A ∪B={x|x ＜1}，故B 和C 都错误． 故选：A ．【点评】本题考查交集和并集求法及应用，是基础题，解题时要认真审题，注意交集、并集定义的合理运用．2．（5分）如图，正方形ABCD 的图形来自中国古代的太极图．正方形切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（ ）A ．14B ．π8C ．12D ．π4【分析】根据图象的对称性求出黑色图形的面积，结合几何概型的概率公式进行求解即可．【解答】解：根据图象的对称性知，黑色部分为圆面积的一半，设圆的半径为1，则正方形的边长为2，则黑色部分的面积S=π2，则对应概率P=π24=π8，故选：B【点评】本题主要考查几何概型的概率计算，根据对称性求出黑色阴影部分的面积是解决本题的关键．3．（5分）设有下面四个命题p 1：若复数z满足1π∈R，则z∈R；p2：若复数z满足z2∈R，则z∈R；p 3：若复数z1，z2满足z1z2∈R，则z1=π2；p4：若复数z∈R，则π∈R．其中的真命题为（）A．p1，p3B．p1，p4C．p2，p3D．p2，p4【分析】根据复数的分类，有复数性质，逐一分析给定四个命题的真假，可得答案．【解答】解：若复数z满足1π∈R，则z∈R，故命题p1为真命题；p 2：复数z=i满足z2=﹣1∈R，则z∉R，故命题p2为假命题；p 3：若复数z1=i，z2=2i满足z1z2∈R，但z1≠π2，故命题p3为假命题；p4：若复数z∈R，则π=z∈R，故命题p4为真命题．故选：B．【点评】本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了复数的运算，复数的分类，复数的运算性质，难度不大，属于基础题．4．（5分）记Sn 为等差数列{an}的前n项和．若a4+a5=24，S6=48，则{an}的公差为（）A．1 B．2 C．4 D．8【分析】利用等差数列通项公式及前n项和公式列出方程组，求出首项和公差，由此能求出{an}的公差．【解答】解：∵Sn 为等差数列{an}的前n项和，a4+a5=24，S6=48，∴{π1+3π+π1+4π=24 6π1+6×52π=48，解得a1=﹣2，d=4，∴{an}的公差为4．故选：C．【点评】本题考查等差数列的面公式的求法及应用，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．5．（5分）函数f（x）在（﹣∞，+∞）单调递减，且为奇函数．若f（1）=﹣1，则满足﹣1≤f（x﹣2）≤1的x的取值围是（）A．[﹣2，2] B．[﹣1，1] C．[0，4] D．[1，3]【分析】由已知中函数的单调性及奇偶性，可将不等式﹣1≤f（x﹣2）≤1化为﹣1≤x﹣2≤1，解得答案．【解答】解：∵函数f（x）为奇函数．若f（1）=﹣1，则f（﹣1）=1，又∵函数f（x）在（﹣∞，+∞）单调递减，﹣1≤f（x﹣2）≤1，∴f（1）≤f（x﹣2）≤f（﹣1），∴﹣1≤x﹣2≤1，解得：x∈[1，3]，故选：D【点评】本题考查的知识点是抽象函数及其应用，函数的单调性，函数的奇偶性，难度中档．6．（5分）（1+1π2）（1+x）6展开式中x2的系数为（）A．15 B．20 C．30 D．35【分析】直接利用二项式定理的通项公式求解即可．【解答】解：（1+1π2）（1+x ）6展开式中：若（1+1π2）=（1+x ﹣2）提供常数项1，则（1+x ）6提供含有x 2的项，可得展开式中x 2的系数：若（1+1π2）提供x ﹣2项，则（1+x ）6提供含有x 4的项，可得展开式中x 2的系数：由（1+x ）6通项公式可得π6πππ．可知r=2时，可得展开式中x 2的系数为π62=15． 可知r=4时，可得展开式中x 2的系数为π64=15．（1+1π2）（1+x ）6展开式中x 2的系数为：15+15=30．故选C ．【点评】本题主要考查二项式定理的知识点，通项公式的灵活运用．属于基础题．7．（5分）某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形，该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为（ ）A ．10B ．12C ．14D ．16【分析】由三视图可得直观图，由图形可知该立体图中只有两个相同的梯形的面，根据梯形的面积公式计算即可【解答】解：由三视图可画出直观图， 该立体图中只有两个相同的梯形的面，S 梯形=12×2×（2+4）=6，∴这些梯形的面积之和为6×2=12，故选：B【点评】本题考查了体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．8．（5分）如图程序框图是为了求出满足3n﹣2n＞1000的最小偶数n，那么在和两个空白框中，可以分别填入（）A．A＞1000和n=n+1 B．A＞1000和n=n+2C．A≤1000和n=n+1 D．A≤1000和n=n+2【分析】通过要求A＞1000时输出且框图中在“否”时输出确定“”不能输入“A＞1000”，进而通过偶数的特征确定n=n+2．【解答】解：因为要求A＞1000时输出，且框图中在“否”时输出，所以“”不能输入“A＞1000”，又要求n为偶数，且n的初始值为0，所以“”中n 依次加2可保证其为偶数，所以D 选项满足要求， 故选：D ．【点评】本题考查程序框图，属于基础题，意在让大部分考生得分．9．（5分）已知曲线C 1：y=cosx ，C 2：y=sin （2x+2π3），则下面结论正确的是（ ）A ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2B ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2C ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2 D ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2 【分析】利用三角函数的伸缩变换以及平移变换转化求解即可．【解答】解：把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，得到函数y=cos2x 图象，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到函数y=cos2（x+π12）=cos （2x+π6）=sin （2x+2π3）的图象，即曲线C 2，故选：D ．【点评】本题考查三角函数的图象变换，诱导公式的应用，考查计算能力．10．（5分）已知F 为抛物线C ：y 2=4x 的焦点，过F 作两条互相垂直的直线l 1，l 2，直线l 1与C 交于A 、B 两点，直线l 2与C 交于D 、E 两点，则|AB|+|DE|的最小值为（ ）A ．16B ．14C ．12D ．10【分析】方法一：根据题意可判断当A 与D ，B ，E 关于x 轴对称，即直线DE 的斜率为1，|AB|+|DE|最小，根据弦长公式计算即可．方法二：设直线l1的倾斜角为θ，则l2的倾斜角为π2+θ，利用焦点弦的弦长公式分别表示出|AB|，|DE|，整理求得答案【解答】解：如图，l1⊥l2，直线l1与C交于A、B两点，直线l2与C交于D、E两点，要使|AB|+|DE|最小，则A与D，B，E关于x轴对称，即直线DE的斜率为1，又直线l2过点（1，0），则直线l2的方程为y=x﹣1，联立方程组{π2=4ππ=π−1，则y2﹣4y﹣4=0，∴y1+y2=4，y1y2=﹣4，∴|DE|=√1+1π2•|y1﹣y2|=√2×√32=8，∴|AB|+|DE|的最小值为2|DE|=16，方法二：设直线l1的倾斜角为θ，则l2的倾斜角为π2+θ，根据焦点弦长公式可得|AB|=2ππππ2π=4πππ2π|DE|=2ππππ(2+π)=2ππππ2π=4πππ2π∴|AB|+|DE|=4πππ2π+4πππ2π=4πππ2ππππ2π=16πππ22π，∵0＜sin22θ≤1，∴当θ=45°时，|AB|+|DE|的最小，最小为16，故选：A【点评】本题考查了抛物线的简单性质以及直线和抛物线的位置关系，弦长公式，对于过焦点的弦，能熟练掌握相关的结论，解决问题事半功倍属于中档题．11．（5分）设x 、y 、z 为正数，且2x =3y =5z ，则（ ） A ．2x ＜3y ＜5z B ．5z ＜2x ＜3y C ．3y ＜5z ＜2x D ．3y ＜2x ＜5z【分析】x 、y 、z 为正数，令2x=3y=5z=k ＞1．lgk ＞0．可得x=πππππ2，y=πππππ3，z=πππππ5．可得3y=πππππ√33，2x=πππππ2，5z=πππππ√55．根据√33=√96＞√86=√2，√2=√3210＞√2510=√55．即可得出大小关系．另解：x 、y 、z 为正数，令2x=3y=5z=k ＞1．lgk ＞0．可得x=πππππ2，y=πππππ3，z=πππππ5．2π3π=23×ππ3ππ2=ππ9ππ8＞1，可得2x ＞3y ，同理可得5z ＞2x ． 【解答】解：x 、y 、z 为正数， 令2x =3y =5z =k ＞1．lgk ＞0．则x=πππππ2，y=πππππ3，z=πππππ5．∴3y=πππππ√33，2x=πππππ2，5z=πππππ√55． ∵√33=√96＞√86=√2，√2=√3210＞√2510=√55．∴ππ√33＞lg √2＞ππ√55＞0． ∴3y ＜2x ＜5z ．另解：x 、y 、z 为正数， 令2x =3y =5z =k ＞1．lgk ＞0．则x=πππππ2，y=πππππ3，z=πππππ5．∴2π3π=23×ππ3ππ2=ππ9ππ8＞1，可得2x ＞3y ， 5π2π=52×ππ2ππ5=ππ25ππ52＞1．可得5z ＞2x ． 综上可得：5z ＞2x ＞3y ．解法三：对k 取特殊值，也可以比较出大小关系． 故选：D ．【点评】本题考查了对数函数的单调性、换底公式、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．12．（5分）几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件．为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动．这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推．求满足如下条件的最小整数N ：N ＞100且该数列的前N 项和为2的整数幂．那么该款软件的激活码是（ ） A ．440 B ．330 C ．220 D ．110【分析】方法一：由数列的性质，求得数列{b n }的通项公式及前n 项和，可知当N 为π(π+1)2时（n ∈N +），数列{a n }的前N 项和为数列{b n }的前n 项和，即为2n+1﹣n ﹣2，容易得到N ＞100时，n ≥14，分别判断，即可求得该款软件的激活码； 方法二：由题意求得数列的每一项，及前n 项和S n =2n+1﹣2﹣n ，及项数，由题意可知：2n+1为2的整数幂．只需将﹣2﹣n 消去即可，分别即可求得N 的值． 【解答】解：设该数列为{a n }，设b n =π(π−1)π2+1+…+ππ(π+1)2=2n+1﹣1，（n ∈N +），则∑ππ=1ππ=∑π(π+1)2π=1a i ，由题意可设数列{a n }的前N 项和为S N ，数列{b n }的前n 项和为T n ，则T n =21﹣1+22﹣1+…+2n+1﹣1=2n+1﹣n ﹣2，可知当N 为π(π+1)2时（n ∈N +），数列{a n }的前N 项和为数列{b n }的前n 项和，即为2n+1﹣n ﹣2，容易得到N ＞100时，n ≥14，A 项，由29×302=435，440=435+5，可知S 440=T 29+b 5=230﹣29﹣2+25﹣1=230，故A 项符合题意．B 项，仿上可知25×262=325，可知S 330=T 25+b 5=226﹣25﹣2+25﹣1=226+4，显然不为2的整数幂，故B 项不符合题意．C 项，仿上可知20×212=210，可知S 220=T 20+b 10=221﹣20﹣2+210﹣1=221+210﹣23，显然不为2的整数幂，故C 项不符合题意．D 项，仿上可知14×152=105，可知S 110=T 14+b 5=215﹣14﹣2+25﹣1=215+15，显然不为2的整数幂，故D 项不符合题意． 故选A ．方法二：由题意可知：20︸第一项，20，21第二项，20，21，22第三项，…20，21，22，⋯，2π−1第π项，根据等比数列前n 项和公式，求得每项和分别为：21﹣1，22﹣1，23﹣1，…，2n ﹣1，每项含有的项数为：1，2，3，…，n ，总共的项数为N=1+2+3+…+n=(1+π)π2，所有项数的和为S n ：21﹣1+22﹣1+23﹣1+...+2n ﹣1=（21+22+23+ (2)）﹣n=2(1−2π)1−2﹣n=2n+1﹣2﹣n ，由题意可知：2n+1为2的整数幂．只需将﹣2﹣n 消去即可， 则①1+2+（﹣2﹣n ）=0，解得：n=1，总共有(1+1)×12+2=3，不满足N ＞100，②1+2+4+（﹣2﹣n ）=0，解得：n=5，总共有(1+5)×52+3=18，不满足N ＞100，③1+2+4+8+（﹣2﹣n ）=0，解得：n=13，总共有(1+13)×132+4=95，不满足N ＞100，④1+2+4+8+16+（﹣2﹣n ）=0，解得：n=29，总共有(1+29)×292+5=440，满足N ＞100，∴该款软件的激活码440． 故选A ．【点评】本题考查数列的应用，等差数列与等比数列的前n 项和，考查计算能力，属于难题．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）已知向量π→，π→的夹角为60°，|π→|=2，|π→|=1，则|π→+2π→|= 2√3 ． 【分析】根据平面向量的数量积求出模长即可．【解答】解：【解法一】向量π→，π→的夹角为60°，且|π→|=2，|π→|=1， ∴(π→+2π→)2=π→2+4π→•π→+4π→2 =22+4×2×1×cos60°+4×12 =12，∴|π→+2π→|=2√3．【解法二】根据题意画出图形，如图所示；结合图形ππ→=ππ→+ππ→=π→+2π→； 在△OAC 中，由余弦定理得|ππ→|=√22+22−2×2×2×πππ120°=2√3， 即|π→+2π→|=2√3． 故答案为：2√3．【点评】本题考查了平面向量的数量积的应用问题，解题时应利用数量积求出模长，是基础题．14．（5分）设x ，y 满足约束条件{π+2π≤12π+π≥−1π−π≤0，则z=3x ﹣2y 的最小值为 ﹣5 ．【分析】由约束条件作出可行域，由图得到最优解，求出最优解的坐标，数形结合得答案．【解答】解：由x ，y 满足约束条件{π+2π≤12π+π≥−1π−π≤0作出可行域如图，由图可知，目标函数的最优解为A ， 联立{π+2π=12π+π=−1，解得A （﹣1，1）．∴z=3x ﹣2y 的最小值为﹣3×1﹣2×1=﹣5． 故答案为：﹣5．【点评】本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．15．（5分）已知双曲线C ：π2π2﹣π2π2=1（a ＞0，b ＞0）的右顶点为A ，以A 为圆心，b 为半径作圆A ，圆A 与双曲线C 的一条渐近线交于M 、N 两点．若∠MAN=60°，则C 的离心率为2√33． 【分析】利用已知条件，转化求解A 到渐近线的距离，推出a ，c 的关系，然后求解双曲线的离心率即可．【解答】解：双曲线C ：π2π2﹣π2π2=1（a ＞0，b ＞0）的右顶点为A （a ，0），以A 为圆心，b 为半径做圆A ，圆A 与双曲线C 的一条渐近线交于M 、N 两点． 若∠MAN=60°，可得A 到渐近线bx+ay=0的距离为：bcos30°=√32π，可得：√π2+π2=√32π，即ππ=√32，可得离心率为：e=2√33． 故答案为：2√33．【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，点到直线的距离公式以及圆的方程的应用，考查转化思想以及计算能力．16．（5分）如图，圆形纸片的圆心为O ，半径为5cm ，该纸片上的等边三角形ABC 的中心为O ．D 、E 、F 为圆O 上的点，△DBC ，△ECA ，△FAB 分别是以BC ，CA ，AB 为底边的等腰三角形．沿虚线剪开后，分别以BC ，CA ，AB 为折痕折起△DBC ，△ECA ，△FAB ，使得D 、E 、F 重合，得到三棱锥．当△ABC 的边长变化时，所得三棱锥体积（单位：cm 3）的最大值为 4√15cm 3 ．【分析】由题，连接OD ，交BC 于点G ，由题意得OD ⊥BC ，OG=√36BC ，设OG=x ，则BC=2√3x ，DG=5﹣x ，三棱锥的高h=√25−10π，求出S △ABC =3√3π2，V=13π△πππ×π=√3⋅√25π4−10π5，令f （x ）=25x 4﹣10x 5，x ∈（0，52），f′（x ）=100x 3﹣50x 4，f （x ）≤f （2）=80，由此能求出体积最大值．【解答】解：由题意，连接OD ，交BC 于点G ，由题意得OD ⊥BC ，OG=√36BC ，即OG 的长度与BC 的长度成正比， 设OG=x ，则BC=2√3x ，DG=5﹣x ，三棱锥的高h=√ππ2−ππ2=√25−10π+π2−π2=√25−10π，π△πππ=12×√32×(2√3π)2=3√3π2， 则V=13π△πππ×π=√3π2×√25−10π=√3⋅√25π4−10π5，令f （x ）=25x 4﹣10x 5，x ∈（0，52），f′（x ）=100x 3﹣50x 4，令f′（x ）≥0，即x 4﹣2x 3≤0，解得x ≤2， 则f （x ）≤f （2）=80，∴V ≤√3×√80=4√15cm 3，∴体积最大值为4√15cm 3． 故答案为：4√15cm 3．【点评】本题考查三棱锥的体积的最大值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系、函数性质、导数等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，是中档题．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．17．（12分）△ABC 的角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知△ABC 的面积为π23ππππ．（1）求sinBsinC ；（2）若6cosBcosC=1，a=3，求△ABC 的周长．【分析】（1）根据三角形面积公式和正弦定理可得答案，（2）根据两角余弦公式可得cosA=12，即可求出A=π3，再根据正弦定理可得bc=8，根据余弦定理即可求出b+c ，问题得以解决．【解答】解：（1）由三角形的面积公式可得S △ABC =12acsinB=π23ππππ，∴3csinBsinA=2a ，由正弦定理可得3sinCsinBsinA=2sinA ， ∵sinA ≠0，∴sinBsinC=23；（2）∵6cosBcosC=1，∴cosBcosC=16，∴cosBcosC ﹣sinBsinC=16﹣23=﹣12，∴cos （B+C ）=﹣12，∴cosA=12，∵0＜A ＜π，∴A=π3，∵πππππ=πππππ=πππππ=2R=3√32=2√3，∴sinBsinC=π2π•π2π=ππ(2√3)2=ππ12=23， ∴bc=8，∵a 2=b 2+c 2﹣2bccosA ， ∴b 2+c 2﹣bc=9，∴（b+c ）2=9+3cb=9+24=33， ∴b+c=√33∴周长a+b+c=3+√33．【点评】本题考查了三角形的面积公式和两角和的余弦公式和诱导公式和正弦定理余弦定理，考查了学生的运算能力，属于中档题．18．（12分）如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，AB ∥CD ，且∠BAP=∠CDP=90°． （1）证明：平面PAB ⊥平面PAD ；（2）若PA=PD=AB=DC ，∠APD=90°，求二面角A ﹣PB ﹣C 的余弦值．【分析】（1）由已知可得PA ⊥AB ，PD ⊥CD ，再由AB ∥CD ，得AB ⊥PD ，利用线面垂直的判定可得AB ⊥平面PAD ，进一步得到平面PAB ⊥平面PAD ；（2）由已知可得四边形ABCD 为平行四边形，由（1）知AB ⊥平面PAD ，得到AB ⊥AD ，则四边形ABCD 为矩形，设PA=AB=2a ，则AD=2√2π．取AD 中点O ，BC 中点E ，连接PO 、OE ，以O 为坐标原点，分别以OA 、OE 、OP 所在直线为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，求出平面PBC 的一个法向量，再证明PD ⊥平面PAB ，得ππ→为平面PAB 的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角A ﹣PB ﹣C 的余弦值．【解答】（1）证明：∵∠BAP=∠CDP=90°，∴PA ⊥AB ，PD ⊥CD ， ∵AB ∥CD ，∴AB ⊥PD ，又∵PA ∩PD=P ，且PA ⊂平面PAD ，PD ⊂平面PAD ， ∴AB ⊥平面PAD ，又AB ⊂平面PAB ， ∴平面PAB ⊥平面PAD ；（2）解：∵AB ∥CD ，AB=CD ，∴四边形ABCD 为平行四边形， 由（1）知AB ⊥平面PAD ，∴AB ⊥AD ，则四边形ABCD 为矩形， 在△APD 中，由PA=PD ，∠APD=90°，可得△PAD 为等腰直角三角形， 设PA=AB=2a ，则AD=2√2π．取AD 中点O ，BC 中点E ，连接PO 、OE ，以O 为坐标原点，分别以OA 、OE 、OP 所在直线为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，则：D （−√2π，0，0），B （√2π，2π，0），P （0，0，√2π），C （−√2π，2π，0）．ππ→=(−√2π，0，−√2π)，ππ→=(√2π，2π，−√2π)，ππ→=(−2√2π，0，0)．设平面PBC 的一个法向量为π→=(π，π，π)，由{π→⋅ππ→=0π→⋅ππ→=0，得{√2ππ+2ππ−√2ππ=0−2√2ππ=0，取y=1，得π→=(0，1，√2)． ∵AB ⊥平面PAD ，AD ⊂平面PAD ，∴AB ⊥PD ， 又PD ⊥PA ，PA ∩AB=A ，∴PD ⊥平面PAB ，则ππ→为平面PAB 的一个法向量，ππ→=(−√2π，0，−√2π)． ∴cos ＜ππ→，π→＞=ππ→⋅π→|ππ→||π→|=2π3=−√33．由图可知，二面角A ﹣PB ﹣C 为钝角，∴二面角A ﹣PB ﹣C 的余弦值为−√33．【点评】本题考查平面与平面垂直的判定，考查空间想象能力和思维能力，训练了利用空间向量求二面角的平面角，是中档题．19．（12分）为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸（单位：cm ）．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N （μ，σ2）． （1）假设生产状态正常，记X 表示一天抽取的16个零件中其尺寸在（μ﹣3σ，μ+3σ）之外的零件数，求P （X ≥1）及X 的数学期望；（2）一天抽检零件中，如果出现了尺寸在（μ﹣3σ，μ+3σ）之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．（ⅰ）试说明上述监控生产过程方法的合理性； （ⅱ）下面是检验员在一天抽取的16个零件的尺寸： 9.95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.04 10.26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95 经计算得π=116∑16π=1ππ=9.97，s=√116∑16π=1(ππ−π)2=√116(∑16π=1ππ2−16π2)≈0.212，其中x i 为抽取的第i 个零件的尺寸，i=1，2， (16)用样本平均数π作为μ的估计值ππ，用样本标准差s 作为σ的估计值ππ，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除（ππ﹣3ππ，ππ+3ππ）之外的数据，用剩下的数据估计μ和σ（精确到0.01）．附：若随机变量Z 服从正态分布N （μ，σ2），则P （μ﹣3σ＜Z ＜μ+3σ）=0.9974，0.997416≈0.9592，√0.008≈0.09．【分析】（1）通过P （X=0）可求出P （X ≥1）=1﹣P （X=0）=0.0408，利用二项分布的期望公式计算可得结论；（2）（ⅰ）由（1）及知落在（μ﹣3σ，μ+3σ）之外为小概率事件可知该监控生产过程方法合理；（ⅱ）通过样本平均数、样本标准差s 估计ππ、ππ可知（ππ﹣3ππ，ππ+3ππ）=（9.334，10.606），进而需剔除（ππ﹣3ππ，ππ+3ππ）之外的数据9.22，利用公式计算即得结论．【解答】解：（1）由题可知尺寸落在（μ﹣3σ，μ+3σ）之的概率为0.9974， 则落在（μ﹣3σ，μ+3σ）之外的概率为1﹣0.9974=0.0026， 因为P （X=0）=π160×（1﹣0.9974）0×0.997416≈0.9592， 所以P （X ≥1）=1﹣P （X=0）=0.0408，又因为X ～B （16，0.0026）， 所以E （X ）=16×0.0026=0.0416；（2）（ⅰ）如果生产状态正常，一个零件尺寸在（ππ﹣3ππ，ππ+3ππ）之外的概率只有0.0026，一天抽取的16个零件中，出现尺寸在（ππ﹣3ππ，ππ+3ππ）之外的零件的概率只有0.0408，发生的概率很小．因此一旦发生这种状况，就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查，可见上述监控生产过程的方法是合理的．（ⅱ）由π=9.97，s ≈0.212，得μ的估计值为ππ=9.97，σ的估计值为ππ=0.212，由样本数据可以看出一个零件的尺寸在（ππ﹣3ππ，ππ+3ππ）之外，因此需对当天的生产过程进行检查． 剔除（ππ﹣3ππ，ππ+3ππ）之外的数据9.22，剩下的数据的平均数为115（16×9.97﹣9.22）=10.02， 因此μ的估计值为10.02．∑16π=1ππ2=16×0.2122+16×9.972≈1591.134，剔除（ππ﹣3ππ，ππ+3ππ）之外的数据9.22，剩下的数据的样本方差为115（1591.134﹣9.222﹣15×10.022）≈0.008， 因此σ的估计值为√0.008≈0.09．【点评】本题考查正态分布，考查二项分布，考查方差、标准差，考查概率的计算，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．20．（12分）已知椭圆C ：π2π2+π2π2=1（a ＞b ＞0），四点P 1（1，1），P 2（0，1），P 3（﹣1，√32），P 4（1，√32）中恰有三点在椭圆C 上． （1）求C 的方程；（2）设直线l 不经过P 2点且与C 相交于A ，B 两点．若直线P 2A 与直线P 2B 的斜率的和为﹣1，证明：l 过定点．【分析】（1）根据椭圆的对称性，得到P 2（0，1），P 3（﹣1，√32），P 4（1，√32）三点在椭圆C 上．把P 2（0，1），P 3（﹣1，√32）代入椭圆C ，求出a 2=4，b 2=1，由此能求出椭圆C 的方程．（2）当斜率不存在时，不满足；当斜率存在时，设l ：y=kx+t ，（t ≠1），联立{π=ππ+ππ2+4π2−4=0，得（1+4k 2）x 2+8ktx+4t 2﹣4=0，由此利用根的判别式、韦达定理、直线方程，结合已知条件能证明直线l 过定点（2，﹣1）． 【解答】解：（1）根据椭圆的对称性，P 3（﹣1，√32），P 4（1，√32）两点必在椭圆C 上，又P 4的横坐标为1，∴椭圆必不过P 1（1，1）， ∴P 2（0，1），P 3（﹣1，√32），P 4（1，√32）三点在椭圆C 上．把P 2（0，1），P 3（﹣1，√32）代入椭圆C ，得：{ 1π2=11π2+34π2=1，解得a 2=4，b 2=1，∴椭圆C 的方程为π24+π2=1．证明：（2）①当斜率不存在时，设l ：x=m ，A （m ，y A ），B （m ，﹣y A ）， ∵直线P 2A 与直线P 2B 的斜率的和为﹣1，∴ππ2π+ππ2π=ππ−1π+−ππ−1π=−2π=﹣1， 解得m=2，此时l 过椭圆右顶点，不存在两个交点，故不满足． ②当斜率存在时，设l ：y=kx+t ，（t ≠1），A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）， 联立{π=ππ+ππ2+4π2−4=0，整理，得（1+4k 2）x 2+8ktx+4t 2﹣4=0， π1+π2=−8ππ1+4π2，x 1x 2=4π2−41+4π2， 则ππ2π+ππ2π=π1−1π1+π2−1π2=π2(ππ1+π)−π2+π1(ππ2+π)−π1π1π2=8ππ2−8π−8ππ2+8ππ1+4π24π2−41+4π2=8π(π−1)4(π+1)(π−1)=﹣1，又t≠1，∴t=﹣2k﹣1，此时△=﹣64k，存在k，使得△＞0成立，∴直线l的方程为y=kx﹣2k﹣1，当x=2时，y=﹣1，∴l过定点（2，﹣1）．【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查椭圆、直线方程、根的判别式、韦达定理、直线方程位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想，是中档题．21．（12分）已知函数f（x）=ae2x+（a﹣2）e x﹣x．（1）讨论f（x）的单调性；（2）若f（x）有两个零点，求a的取值围．【分析】（1）求导，根据导数与函数单调性的关系，分类讨论，即可求得f（x）单调性；（2）由（1）可知：当a＞0时才有两个零点，根据函数的单调性求得f（x）最小值，由f（x）min ＜0，g（a）=alna+a﹣1，a＞0，求导，由g（a）min=g（e﹣2）=e﹣2lne﹣2+e﹣2﹣1=﹣1π2﹣1，g（1）=0，即可求得a的取值围．（1）求导，根据导数与函数单调性的关系，分类讨论，即可求得f（x）单调性；（2）分类讨论，根据函数的单调性及函数零点的判断，分别求得函数的零点，即可求得a的取值围．【解答】解：（1）由f（x）=ae2x+（a﹣2）e x﹣x，求导f′（x）=2ae2x+（a﹣2）e x﹣1，当a=0时，f′（x）=﹣2e x﹣1＜0，∴当x∈R，f（x）单调递减，当a＞0时，f′（x）=（2e x+1）（ae x﹣1）=2a（e x+12）（e x﹣1π），令f′（x）=0，解得：x=ln 1π，当f′（x）＞0，解得：x＞ln 1π，当f′（x）＜0，解得：x＜ln 1π，∴x∈（﹣∞，ln 1π）时，f（x）单调递减，x∈（ln1π，+∞）单调递增；当a＜0时，f′（x）=2a（e x+12）（e x﹣1π）＜0，恒成立，∴当x∈R，f（x）单调递减，综上可知：当a≤0时，f（x）在R单调减函数，当a＞0时，f（x）在（﹣∞，ln 1π）是减函数，在（ln1π，+∞）是增函数；（2）①若a≤0时，由（1）可知：f（x）最多有一个零点，当a＞0时，f（x）=ae2x+（a﹣2）e x﹣x，当x→﹣∞时，e2x→0，e x→0，∴当x→﹣∞时，f（x）→+∞，当x→∞，e2x→+∞，且远远大于e x和x，∴当x→∞，f（x）→+∞，∴函数有两个零点，f（x）的最小值小于0即可，由f（x）在（﹣∞，ln 1π）是减函数，在（ln1π，+∞）是增函数，∴f（x）min =f（ln1π）=a×（1π2）+（a﹣2）×1π﹣ln1π＜0，∴1﹣1π﹣ln1π＜0，即ln1π+1π﹣1＞0，设t=1π，则g（t）=lnt+t﹣1，（t＞0），求导g′（t）=1π+1，由g（1）=0，∴t=1π＞1，解得：0＜a＜1，∴a的取值围（0，1）．方法二：（1）由f（x）=ae2x+（a﹣2）e x﹣x，求导f′（x）=2ae2x+（a﹣2）e x ﹣1，当a=0时，f′（x）=﹣2e x﹣1＜0，∴当x∈R，f（x）单调递减，当a＞0时，f′（x）=（2e x+1）（ae x﹣1）=2a（e x+12）（e x﹣1π），令f′（x）=0，解得：x=﹣lna，当f′（x）＞0，解得：x＞﹣lna，当f′（x）＜0，解得：x＜﹣lna，∴x∈（﹣∞，﹣lna）时，f（x）单调递减，x∈（﹣lna，+∞）单调递增；当a＜0时，f′（x）=2a（e x+12）（e x﹣1π）＜0，恒成立，∴当x∈R，f（x）单调递减，综上可知：当a≤0时，f（x）在R单调减函数，当a＞0时，f（x）在（﹣∞，﹣lna）是减函数，在（﹣lna，+∞）是增函数；（2）①若a≤0时，由（1）可知：f（x）最多有一个零点，②当a＞0时，由（1）可知：当x=﹣lna时，f（x）取得最小值，f（x）min=f（﹣lna）=1﹣1π﹣ln1π，当a=1，时，f（﹣lna）=0，故f（x）只有一个零点，当a∈（1，+∞）时，由1﹣1π﹣ln1π＞0，即f（﹣lna）＞0，故f（x）没有零点，当a∈（0，1）时，1﹣1π﹣ln1π＜0，f（﹣lna）＜0，由f（﹣2）=ae﹣4+（a﹣2）e﹣2+2＞﹣2e﹣2+2＞0，故f（x）在（﹣∞，﹣lna）有一个零点，假设存在正整数n0，满足n＞ln（3π﹣1），则f（n）=ππ0（aππ0+a﹣2）﹣n0＞ππ0﹣n0＞2π0﹣n0＞0，由ln（3π﹣1）＞﹣lna，因此在（﹣lna，+∞）有一个零点．∴a的取值围（0，1）．【点评】本题考查导数的综合应用，考查利用导数求函数单调性及最值，考查函数零点的判断，考查计算能力，考查分类讨论思想，属于中档题．[选修4-4，坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为{π=3πππππ=ππππ，（θ为参数），直线l 的参数方程为 {π=π+4ππ=1−π，（t 为参数）．（1）若a=﹣1，求C 与l 的交点坐标；（2）若C 上的点到l 距离的最大值为√17，求a ．【分析】（1）将曲线C 的参数方程化为标准方程，直线l 的参数方程化为一般方程，联立两方程可以求得焦点坐标；（2）曲线C 上的点可以表示成P （3cosθ，sinθ），θ∈[0，2π），运用点到直线距离公式可以表示出P 到直线l 的距离，再结合距离最大值为√17进行分析，可以求出a 的值．【解答】解：（1）曲线C 的参数方程为{π=3πππππ=ππππ（θ为参数），化为标准方程是：π29+y 2=1；a=﹣1时，直线l 的参数方程化为一般方程是：x+4y ﹣3=0；联立方程{π29+π2=1π+4π−3=0， 解得{π=3π=0或{π=−2125π=2425， 所以椭圆C 和直线l 的交点为（3，0）和（﹣2125，2425）．（2）l 的参数方程{π=π+4ππ=1−π（t 为参数）化为一般方程是：x+4y ﹣a ﹣4=0，椭圆C 上的任一点P 可以表示成P （3cosθ，sinθ），θ∈[0，2π）， 所以点P 到直线l 的距离d 为：d=√17=√17，φ满足tanφ=34，且的d 的最大值为√17．①当﹣a ﹣4≤0时，即a ≥﹣4时，|5sin （θ+4）﹣a ﹣4|≤|﹣5﹣a ﹣4|=5+a+4=17 解得a=8≥﹣4，符合题意． ②当﹣a ﹣4＞0时，即a ＜﹣4时。

河南省顶级名校2015届高三年级入学定位考试 理科数学试卷（时间：120分钟 满分：150分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分． 1、已知集合{}{}Rx y y N x x x M x ∈==≥=,2,2，则（A ） （B ） （C ） （D ） 2、 已知复数，则的虚部是（A ） （B ） （C ） （D ） 3、某学生在一门功课的22次考试中，所得分数如下茎叶 图所示，则此学生该门功课考试分数的极差与中位数之和为（A ）117 （B ）118 （C ） 118．5 （D ）119．5 4、已知双曲线与椭圆有相同的焦点，则该双曲线的渐近线方程为 （A ） （B ） （C ） （D ） 5、有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为（A ） （B ） （C ） （D ） 6、在各项均为正数的等比数列中，若112(2)m m m a a a m +-⋅=≥，数列的前项积为，若，则的值为（A ）4 （B ）5 （C ） 6 （D ） 7 7、设偶函数（的部分图象如图所示，为等腰直角三角形，，，则的值为 （A ） （B ） （C ） （D ）8、执行如图中的程序框图，若输出的结果为21,则判断框中应填 （A ） （B ） （C ） （D ） 9、如图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积是 （A ）54 （B ）27 （C ）18 （D ） 9（第8题图） （第9题图） 10、抛物线的焦点为，点在抛物线上，且，弦中点在其准线上的射影为，则的最大值为 （A ） （B ） （C ） （D ）11、四面体的四个顶点都在球的表面上，平面，△是边长为3的等边三角形.若，则球的表面积为 （A ） （B ） （C ） （D ）⎪⎩⎪⎨⎧>≤++=)0(.)0(,132)(23x e x x x x f ax（A）（B）（C）（D）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13、若点满足线性约束条件20220,x yx yy-<⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩的取值范围是．14、若二项展开式中的第5项是常数项，则中间项的系数为．15、设是的三边中垂线的交点,分别为角对应的边,已知,则的范围是___________．16、已知有限集{}()123,,,,2,nA a a a a n n N=⋅⋅⋅≥∈.如果中元素满足1212n na a a a a a⋅⋅⋅=++⋅⋅⋅+，就称为“复活集”，给出下列结论：①集合是“复活集”；②{}1212,,,a a R a a∈若且是“复活集”，则；③{}*1212,,,a a N a a∈若则不可能是“复活集”；④若，则“复活集”有且只有一个，且.其中正确的结论是___________________．（填上你认为所有正确的结论序号）三、解答题：本大题共6小题，共70 分，解答应写出说明文字，证明过程或演算步骤．17、(本小题满分12分）在中，角对的边分别为，已知.（Ⅰ）若，求的取值范围；（Ⅱ）若，求面积的最大值.18、（本小题满分12分）如图，四棱锥中，底面为菱形，，是的中点.（Ⅰ）若，求证：PQB PAD⊥平面平面；（Ⅱ）若平面，且点在线段上，试确定点的位置，使二面角的大小为，并求出的值.19、（本小题满分12分）生产，两种元件，其质量按测试指标划分为：指标大于或等于82为正品，小于82为次品，现随机抽取这两种元件各100件进行检测，检测结果统计如下：（Ⅰ）试分别估计元件、元件为正品的概率；（Ⅱ）生产一件元件，若是正品可盈利50元，若是次品则亏损10元；生产一件元件，若是正品可盈利100元，若是次品则亏损20元，在（Ⅰ）的前提下（i）求生产5件元件所获得的利润不少于300元的概率；（ii）记为生产1件元件和1件元件所得的总利润，求随机变量的分布列和期望．20、(本小题满分12分）椭圆2222:1(0)x yC a ba b+=>>过点，离心率为，左、右焦点分别为，过的直线交椭圆于两点．（Ⅰ）求椭圆的方程；21、（本小题满分12分）已知()1,()ln kxf x axeg x x kx =-=+ （Ⅰ）当时，若在上为减函数，在上是增函数，求值； （Ⅱ）对任意0,0,()()k x f x g x >>>恒成立，求的取值范围.请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22、（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲 已知，在中，是上一点，的外接圆交于，． （Ⅰ）求证：；（Ⅱ）若平分，且，求的长. 23、（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，以原点为极点，轴的正半轴为极轴建坐标系,已知曲线()2:sin 2cos 0C a a ρθθ=>，已知过点的直线的参数方程为：()24x t y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩是参数，直线与曲线分别交于．（Ⅰ）写出曲线和直线的普通方程； （Ⅱ）若成等比数列，求的值．24、(本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲 已知函数.(Ⅰ)解不等式:；(Ⅱ)当时, 不等式23()()a f ax af x -≥-恒成立,求实数的取值范围.答题卷二、填空题13.______________ 14.______________15.________________ 16.______________三、解答题参考答案 一、选择题1-5 ABBAA 6-12 BDCCA CD二、填空题13、 14、 15、16、 ①③④ 三、解答题17、 解：（1）2,,23sin a aA R A π==∴== ………（ 2分）2sin 2sin )32cos 4sin()6b c R B R C B C B B B B B ππ∴+=+==+=+=+2250333666A B C B B ππππππ=∴+=∴<<∴<+<.………（ 6分）（2）1cos 1cos 0sin AB AC bc A A A bc ⋅==∴=>∴=……… （8分）2222222222cos 426239a b c bc A b c b c bc bc b c =+-∴=+-∴=+≥∴≤∴≤ ………（ 10分）11sin 22ABCS bc A bc ∆∴===≤=当且仅当时,的面积取到最大值为. ……… （12分）18、 解：（1），为的中点，， 又底面为菱形，， , 又平面，又平面,平面平面;----------------6分 （2）平面平面,平面平面,平面.以为坐标原点，分别以为轴建立空间直角坐标系如图. 则)0,3,2(),0,3,0(),3,0,0(),0,0,0(-C B P Q , 设 (),所以))1(3,3,2(λλλ--M ，平面的一个法向量是，设平面的一个法向量为，所以2200QM n QB n −−→−−→⎧⋅=⎪⎨⎪⋅=⎩取，-----------------------------------------9分由二面角大小为，可得：，解得，此时--------------------------------12分 19、解：（I ）由题可知元件为正品的概率为，元件为正品的概率为………（2分）（II ）（i ）设生产的5件元件中正品数为，则有次品件，由题意知,,10020(5)300x x --≥,解得，设“生产的5件元件所获得的利润不少于300元”为事件，则454531381()444128P C C ⎛⎫⎛⎫=⨯+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭………（6分）（ii ）随机变量的所有取值为150,90,30，-30则433133411111(150),(90),(30),(30)54554205455420P X P X P X P X ==⨯===⨯===⨯==-=⨯=所以，随机变量的期望为：3311()1509030(30)108520520E X =⨯+⨯+⨯+-⨯=……（12分）20、解：（1）因为椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>过点，所以①，又因为离心率为，所以，所以②，解①②得所以椭圆的方程为：……… （4分）2121132322ABF S AB F F ∆=⨯=⨯⨯=≠，不适合题意。