河北省唐山市乐亭一中2024年高三下学期5月月考数学试题理试题
注意事项:
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设双曲线22221y x a b
-=（0a >，0b >）的一条渐近线与抛物线213y x =+有且只有一个公共点，且椭圆22221x y a b +=的焦距为2，则双曲线的标准方程为（ ）
A ．22
143x y -= B ．22143y x -= C ．22123x y -= D ．22132
y x -= 2．设函数()f x 的定义域为R ，满足(2)2()f x f x +=，且当2(]0,x ∈时，()(2)f x x x =--.若对任意(,]x m ∈-∞，都有40()9
f x ≤，则m 的取值范围是（ ）. A ．9,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ B ．19,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ C ．(,7]-∞ D ．23,3⎛
⎤-∞ ⎥⎝⎦
3．下列函数中，在区间(0,)+∞上单调递减的是（ ）
A ．12y x =
B ．2x y =
C ．12log y = x
D ．1y x
=- 4．在关于x 的不等式2210ax x ++>中，“1a >”是“2210ax x ++>恒成立”的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
5．ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若1a =，30B =︒，cos C =ABC 的面积为（ ）
A B C D 6．设集合{}2A x x a =-<<，{}0,2,4B =，若集合A B 中有且仅有2个元素，则实数a 的取值范围为 A ．()0,2
B ．(]2,4
C ．[
)4,+∞ D ．(),0-∞
7．已知,a b ∈R ，3(21)ai b a i +=--，则|3|a bi +=（ ）
A ．10
B ．23
C ．3
D ．4
8．若复数z 满足()112i z i -=-+,则||Z =( )
A ．22
B ．32
C ．102
D ．12
9．设集合{}1,2,3A =，{}
220B x x x m =-+=，若{3}A B ⋂=，则B =（ ） A ．{}1,3- B ．{}2,3- C ．{}1,2,3-- D ．{}3
10．在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若
111,,tan tan tan A B C 依次成等差数列，则（ ） A ．,,a b c 依次成等差数列
B ．,,a b c 依次成等差数列
C ．222,,a b c 依次成等差数列
D ．333,,a b c 依次成等差数列
11．若干年前，某教师刚退休的月退休金为6000元，月退休金各种用途占比统计图如下面的条形图.该教师退休后加强了体育锻炼，目前月退休金的各种用途占比统计图如下面的折线图.已知目前的月就医费比刚退休时少100元，则目前该教师的月退休金为（ ）.
A ．6500元
B ．7000元
C ．7500元
D ．8000元
12．单位正方体ABCD -1111D C B A ，黑、白两蚂蚁从点A 出发沿棱向前爬行，每走完一条棱称为“走完一段”．白蚂蚁爬地的路线是AA 1→A 1D 1→‥，黑蚂蚁爬行的路线是AB →BB 1→‥，它们都遵循如下规则：所爬行的第i +2段与第i 段所在直线必须是异面直线（i ∈N *）.设白、黑蚂蚁都走完2020段后各自停止在正方体的某个顶点处，这时黑、白两蚂蚁的距离是（ ）
A ．1
B 2
C 3
D ．0
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知盒中有2个红球，2个黄球，且每种颜色的两个球均按A ，B 编号，现从中摸出2个球（除颜色与编号外球没有区别），则恰好同时包含字母A ，B 的概率为________.
14．根据如图所示的伪代码，若输出的y 的值为12，则输入的x 的值为_______.
15．某校共有师生1600人，其中教师有1000人，现用分层抽样的方法，从所有师生中抽取一个容量为80的样本，则抽取学生的人数为_____．
16．已知命题P ：0x ∀>，30x >，那么P 是__________. 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）设函数()1f x x x
=-，()ln g x t x =，其中()0,1x ∈，t 为正实数. （1）若()f x 的图象总在函数()g x 的图象的下方，求实数t 的取值范围；
（2）设()()()221ln 1e 11x H x x x x x ⎛⎫=-++-- ⎪⎝⎭
，证明：对任意()0,1x ∈，都有()0H x >. 18．（12分）设数列
的前项和为，且，数列满足，点在上，
（1）求数列
，的通项公式； （2）设，求数列
的前项和． 19．（12分）已知动圆过定点(0,1)F ，且与直线:1l y =-相切，动圆圆心的轨迹为C ，过F 作斜率为(0)k k ≠的直线m 与C 交于两点,A B ，过,A B 分别作C 的切线，两切线的交点为P ，直线PF 与C 交于两点,M N ．
（1）证明：点P 始终在直线l 上且PF AB ⊥；
（2）求四边形AMBN 的面积的最小值．
20．（12分）已知点3(1,),(1,),(1,)2
P a x y b x y =-=+，且4a b +=，满足条件的(,)Q x y 点的轨迹为曲线C ． （1）求曲线C 的方程；
（2）是否存在过点(0,1)-的直线l ，直线l 与曲线C 相交于,A B 两点，直线,PA PB 与y 轴分别交于,M N 两点，使
