导数及其应用复习小结

b a
∫ f (x)dx = F(b) − F(a)
a
b
或∫ f ( x)dx = F( x)|b = F(b) − F(a) a
(F(x)叫做f(x)的原函数, f(x)就是F(x)的导函数)
(1)匀变速运动的路程公式. (1)匀变速运动的路程公式. 匀变速运动的路程公式 做变速直线运动的物体所经过的路程s 做变速直线运动的物体所经过的路程s，等于其速度 函数v=v(t) (v(t)≥0)在时间区间 a,b］上的定积分， 在时间区间［ 函数v=v(t) (v(t)≥0)在时间区间［a,b］上的定积分， 即 s = ∫a v ( t ) dt.
割 线 T 切 线 x
返回
定理 一般地，函数y 在某个区间(a,b) (a,b)内 一般地，函数y＝f（x）在某个区间(a,b)内 f′(x)>0， y=f（ 1) 如果恒有 f′(x)>0，那么 y=f（x) 在这个区间（a,b)内单调递增 内单调递增； 在这个区间（a,b)内单调递增； 2) 如果恒有 f′(x)<0，那么 y=f（x） f′(x)<0， y=f（ 在这个区间(a,b)内单调递减。 (a,b)内单调递减 在这个区间(a,b)内单调递减。
y
y=f(x) f '(x)>0
y
y=f(x) f '(x)<0
o a o a b x b x 为常数. 如果在某个区间内恒有 f ′(x) = 0 ,则 f (x)为常数 返回 则
函数的极值 1)如果 如果b (x)=0的一个根 (x)>0， 1)如果b是f’(x)=0的一个根，并且在b左侧附近f’(x)>0， (x)=0的一个根，并且在b左侧附近f (x)>0 右侧附近f (x)<0 那么f(b)是函数f(x) (x)<0， f(b)是函数f(x)的一个极大值 在b右侧附近f’(x)<0，那么f(b)是函数f(x)的一个极大值 如果a (x)=0 2) 如果 a 是 f’(x)=0 的一个根 ， 并且在 a 的左侧附近 (x)= 的一个根， 并且在a (x)<0 (x)>0 f’(x)<0 ， 在 a 右侧附近 f’(x)>0 ， 那么是 f(a) 函数 (x)< (x)> f(x)的一个极小值 的一个极小值. f(x)的一个极小值. 导数等于零的点不一定是极值点． 注：导数等于零的点不一定是极值点． 函数的最大（ 函数的最大（小）值与导数
a
b
b
a
f ( x )dx
性质2. 性质2.
∫
b
a
[ f ( x ) ± g( x )]dx = ∫ f ( x )dx ± ∫ g( x )dx
a a
b
b
定积分的基本性质 性质3. 性质3. 定积分关于积分区间具有可加性 定积分关于积分区间具有可加性
b
∫
a
f ( x )dx =∫ f ( x )dx + ∫ f ( x )dx
g
f(a)
x2
0
x4 x3 b x 返回
f(x2)
复合函数的导数: 复合函数的导数:
复合函数y=f(g(x))的导数和函数 复合函数y=f(g(x))的导数和函数 y=f(g(x)) 的导数间关系为: y=f(u),u=g(x)的导数间关系为:
y′x = y′ ⋅ u′x ; 或 f ′[ϕ (x)] = f ′(u) ϕ′(x). u x
(2)
∫a f(x)dx = - ∫b f (x)dx
b
a
(2)定积分的几何意义： 定积分的几何意义： 定积分的几何意义
当 f(x)≥0 时，积分 ∫ f ( x)dx 在几何上表示由 y=f (x)、 a x=a、x=b与 x轴所围成的曲边梯形的面积。
y y=f (x)
b
∫a f (x)dx
O a
第一章 导数及其应用复习
临清实验高中 数学组
函数的瞬时变化率
本章知识结构 导数概念
运动的瞬时速度 曲线的切线斜率 基本初等函数求导
导数 导数运算
导数的四则运算法则 简单复合函数的导数 函数单调性研究 函数的极值、 函数的极值、最值
微
曲线的切线
积 分
导数
变速运动的速度 最 化 的
概念 基 本
基本 基本 的 的
2)在闭区间[a,b]上的函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲 2)在闭区间[a,b]上的函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲 [a,b]上的函数y=f(x)的图象是一条连续不断 则它必有最大值和最小值. 必有最大值和最小值 线,则它必有最大值和最小值.
f(x3)
y f(x1) f(b)
g
a x1
a c
c
b
y y=f (x)
O
a
c1 c2 a c1
Ｃ
b x
b c2
∫
b
a
f ( x )dx =∫ f ( x )dx + ∫ f ( x )dx + ∫ f ( x )dx
牛顿—莱布尼茨公式
微积分基本定理） 定理 （微积分基本定理） 如果f(x)是区间[a,b]上的连续函数, 如果f(x)是区间[a,b]上的连续函数, f(x)是区间[a,b]上的连续函数 并且F (x)=f(x),则 并且F’(x)=f(x),则
'
5.若f(x)=a ，则f (x)=a ln a )=a )=a
x ' x
6.若f(x)=e ，则f (x)=e )=e )=e
x ' '
x
1 7.若f(x)=logax，则f (x)= )=log x， xlna 1 ' 8.若f(x)=lnx，则f (x)= )=lnx lnx， x
返回
导数的运算法则: 导数的运算法则:
注:y对x的导数等于y对u的导 的导数等于y 数与u 数与u对x的导数的乘积. 的导数的乘积.
返回
过p(x0,y0)的切线 的切线 1) p(x0,y0)为切点 为切点 2)p(x0,y0)不为切点 不为切点
切线方程y - y 0 = f ’ (x)(x - x 0 )
y1 = f(x1 )
⇒ 切点P(x1, y1 ) y1 - y 0 = f ' (x1 ) x1 - x 0
返回
求由连续曲线y= 求由连续曲线 =f(x)对应的曲边梯形面积的方法 对应的
n个小区间 [ a, x1 ] , [ x1 , x2 ] ,L[ xi −1 , xi ] ,L , [ xn−1 , b ] , 个小区间: 个小区间 每个小区间宽度△x =
b−a n
(1)分割 在区间 分割:在区间 上等间隔地插入n-1个点 分割 在区间[0,1]上等间隔地插入 个点 将它等分成 上等间隔地插入 个点,将它等分成
上述曲边梯形面积的负值。 上述曲边梯形面积的负值。
S = ∫ [− f ( x)]dx
a b
S = ∫ [− f ( x)]dx
a
b
=−
b
∫a
b
O a
b x
f ( x)dx ．
∫a f (x)dx =−S
y=f (x)
b
∫a f (x)dx =−S
定积分的基本性质 性质1. 性质1.
∫ kf ( x )dx = k∫
②函数的瞬时变化率
O
∆x → 0
lim
lim
∆x → 0
f ( x) f(x 2 ) − f ( x1 ) = lim x → x x 2 − x1 x f ( x) ' 导数 = f ( x) x
2 1
基本初等函数的导数公式
1.若f(x)=c，则f' x)=0 )=c ( )=0 2.若f(x)=x n，则f' x)=nx n-1 (n ∈ R) )=x ( )=nx 3.若f(x)=sinx，则f' x)=cosx )=sinx sinx， ( )=cosx 4.若f(x)=cosx，则f (x)=-sinx )=cosx cosx， )=-sinx
曲”:
小矩形面积和S=∑ f (ξi )∆x = ∑ f (ξi ) ⋅
i =1 i =1
n 分割---近似代替 n求和 取极限得到解决. 分割 近似代替----求和 近似代替 求和------取极限得到解决a 取极限得到解决 b−
n
如果当n→∞时，S 的无限接近某个常数， 的无限接近某个常数， 如果当 → 这个常数为函数f(x)在区间 b]上的定积分，记作 在区间[a, 上的定积分 上的定积分， 这个常数为函数 在区间
n
y=f(x)
n
∑ f (ξ )∆x
i =1 i
(3)取极限 ，所求曲边梯形的 取极限:，所求曲边梯形的 取极限 面积S为 面积 为
S = lim ∑ f (ξi )∆x
n→∞ i =1
O
a
xi ξi xi+1 ∆ x
{
b
x
定积分的定义
从求曲边梯形面积S的过程中可以看出 通过 从求曲边梯形面积 的过程中可以看出,通过“四步 的过程中可以看出
返回
当点Q沿着曲线无限接近点 当点Q x→0时 割线PQ PQ如果有一 P即Δx→0时,割线PQ如果有一 y 个极限位置PT. PT.则我们把直线 个极限位置PT.则我们把直线 PT称为曲线在点 处的切线 称为曲线在点P 切线. PT称为曲线在点P处线的倾斜角为α,那 α P 么当Δx→0时 割线PQ PQ的 么当Δx→0时,割线PQ的 斜率,称为曲线在点P 斜率,称为曲线在点P处的 o 切线的斜率. 切线的斜率. f (x0 +∆x) − f (x0 ) ∆y ' = lim 即: k切线 = f (x0 ) = lim ∆x→0 ∆x ∆x→0 ∆x
y = f (x)
a
b
x
积分上限
∫a f ( x )dx = I = lim ∑ f (ξ i )∆xi λ → 0 i =1
被
被
b
n
积
积 表 达 式
积
积分 限
分 变 量
函 数
说明： 说明：
(1) 定积分是一个数值 定积分是一个数值, 它只与被积函数及积分区间有关， 它只与被积函数及积分区间有关，
(2)取近似求和 任取ξi∈[xi−1, xi]，第i个小曲边梯形的面积用 取近似求和:任取 取近似求和 ， 个小曲边梯形的面积用 − y 高为f( 而宽为 的小矩形面积 而宽为∆ 高为 ξ )而宽为∆x的小矩形面积
i
f(ξi)∆x近似之。 近似之。 ∆ 近似之 取n个小矩形面积的和作为曲边梯 个小矩形面积的和作为曲边梯 形面积S的近似值： 形面积 的近似值： ≈ 的近似值 S
法则1:两个函数的和( 法则1:两个函数的和(差)的导数,等于这两个函数的导数的 1:两个函数的和 的导数, 和(差),即: ),即 ′
[ f (x) ± g(x)] = f ′(x) ± g′(x)
法则2:两个函数的积的导数, 法则2:两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘第二个 2:两个函数的积的导数 函数, 函数,加上第一个函数乘第二个函数的导数 ,即:
①函数的平均变化率 函数y=f(x)的定义域为D,x y=f(x)的定义域为 ∈D,f(x)从 函数y=f(x)的定义域为D,x1.x2∈D,f(x)从x1到x2 平均变化率为: 平均变化率为:
Y=f(x)
f = x
f(x2 ) − f ( x1 ) x2 − x1
y f(x2) f(x2)-f(x1)=△y △ f(x1) A x2-x1=△x △x x1 x2 B
[ f (x) g(x)]′ = f ′(x)g(x) + f (x)g′(x)
法则3:两个函数的积的导数, 法则3:两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘第二个 3:两个函数的积的导数 函数,减去第一个函数乘第二个函数的导数 ,再除以第二个函 函数, 数的平方. 数的平方.即:
f (x) ′ f ′(x)g(x) − f (x)g′(x) (g(x) ≠ 0) g(x) = 2 [ g(x)]
b
b
b x
特别地，当 a=b 时，有 ∫ f (x)dx=0。
a
定积分的几何意义： 定积分的几何意义： 当f(x)≤0时，由y=f (x)、x=a、x=b 与 x 轴所围成的 ≤ 时 = 、 = 、 = 轴的下方， 曲边梯形位于 x 轴的下方，
积分 ∫ f (x)dx 在几何上表示
a b
y y=−f (x)
∫a f (x)dx， 即∫
b
b
a
b−a f ( x)dx = lim ∑ ⋅ f (ξi ) n→∞ n i =1
n
b−a ⋅ f (ξi ) 定积分的定义： 即 a f (x)dx = lim∑ ∫ n→∞ n i=1
n b
定积分的相关名称： 定积分的相关名称： 叫做积分号， ∫ ———叫做积分号， 叫做积分号 y f(x) ——叫做被积函数， 叫做被积函数， 叫做被积函数 f(x)dx —叫做被积表达式， 叫做被积表达式， 叫做被积表达式 x ———叫做积分变量， 叫做积分变量， 叫做积分变量 a ———叫做积分下限， 叫做积分下限， 叫做积分下限 O b ———叫做积分上限， 叫做积分上限， 叫做积分上限 [a, b] —叫做积分区间。 叫做积分区间。 叫做积分区间