- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
有最大 量, 所以沿梯度方向的方向导数达到最大; 就是说, grad( grad
u , l 0 ) 1,从而
u
的方向, 函数 u ( x , y , z )在这个方向上变化率最大, 而且 这个变化率就等于梯度的模 grad u . 同样可以看出, 沿 梯度的反方向, 即 grad u 的反向, 函数 u 减少最快.
l
例1
设
f ( x , y , z ) ax by cz ,向量
【数学分析课件】
l 的方向余弦是
cos , cos , cos ,
于是沿 l 方向的平均变化率为
下面我们给出方向导数的计算公式.
定理 如果函数 f ( x , y , z ) 在一点P0 ( x 0 , y 0 , z 0 )可微,则
l1
现在再作一般的讨论. 设 u ( x , y , z ) 是一数量函数, 等 量面为 u ( x , y , z ) C ，设 P 是等量面上的任一点, 它的法 u u u 线向量为 ( ) i ( ) j ( ) k, 其中 x y z ) 分别是三个偏导数在 P 点的数值. 称 这个向量为数量函数 u ( x , y , z ) 在 P 点的梯度, 记为 grad u ( grad 是 gradient 的缩写), 即从数量函数 u ( x , y , z ) 引出一 个向量函数
( x x, y y, z z )
【数学分析课件】
( x PP ' cos , y PP ' cos , z PP ' cos r ),
其中 cos , cos , cos 是 l 的方向余弦, PP '是线段 PP ' 的长度,在 PP ' 这段长度内,函数 f ( x , y , z ) 的平均变化率为
量函数 u 产生的, 在每一点 P 处的梯度方向与过 P 点等量面 u ( x , y , z ) C 在这点的法线方向相同, 且从 数值较低的等量面指向数值较高的等量面, 梯度的 模等于函数 u 沿法线方向的方向导数. 如以 n 0 表 示等量面的一个单位法向量, 它指向 u 的数值增大 的方向, 而以 u 表示函数 u 沿这法线的方向导数, n 则有
f PP ' f (P ') f (P ) PP '
令 P ' 沿 l 趋于 P ,这时如果
P ' P
lim
f (P ') f (P ) PP '
存在,则称此极限为 f ( x , y , z ) 在 P 点沿 l 的方向导数,记 f ( x, y , z ) f ( P ) 为 或 l
因此这些水线就势等量线. 在船体设计中, 用它们来表 示船体线型在纵向的变化趋势.
此外, 在地图上常常利用等高线来表示地面上的高 低起伏, 在气象图上用等温线来表示地面上气温变化等 等,这些都是等量线. 2、梯度 现在从等量面(或等量线)出发, 引出一个具有重要 意义的向量函数.
我们以气象预报中地面上的等压线为例.
grad ( u 1 u 2 ) u 1 grad u 2 u 2 grad u 1
这两个法则从梯度的各个分量的表示立即可以证 明. 再由求复合函数的偏导数法则, 又可得
(3) 复合函数的梯度
grad F ( u ) F ' ( u ) grad u
例3 设
u xy y z ze ,
2 x
求
u
在点
(1, 0 , 2 )
的梯度.
例4 设在平面上的原点处有一单位正电荷, 在真实中产 生一个静电场, 在平面上任意一点 ( x , y ) (不等于原点) 处, 其电位 V 为?
【数学分析课件】
在方向 l1气压从 P 点的980 mbar (毫巴)过渡到气压为
1010 mbar
为1010
的点 P1 距离是 PP1 它比沿方向 I 2 从 P 变到气压 mbar 的点 P 的距离 PP 2 小 .所以按距离而言,气压沿 【数学分析课件】
2
方向的平均增长率大于沿 l 2 的平均增长率. 显然, 如 果在一个方向上的等压线密集, 气压的变化率越大 . 可 见, 在 P 点沿不同的方向, 其变化率将有所不同.
( ) p,( ) p,(
p
u
u
u
x
p
y
p
z
p
grad u
u x
i
u y
(
j
2
u z
k,
u y ) (
2
它的长度记为
grad
u
u x
) (
u z
) .
2
【数学分析课件】
这样引进的梯度概念有什么意义呢?下面将说明:(1) 梯度的方向是函数 增长最快的方向; (2)梯度的模就是 函数 沿这一方向的变化率. 现在分析如下: 设 l 的方向余弦是
u ( x , y , z ) 取相同数值的各点 u ( x, y, z ) C
其中 C 是常数.这个方程在几何上表示曲面,我们称它 为等量面.当 C 取不同数值时,所得到的等量面也不同. 如气象学中的等温面和等压面,电学中的等势面等等. 同样,对于含两个自变量的物理量则有等量线.例如 在船体设计中用平行于基线面的平面将船体切割,它的 截口曲线称为水线.在同一条水线上,其高度势相同的, 【数学分析课件】
6 方向导数和梯度
【数学分析课件】
一、方向导数
在许多实际问题中，常常需要知道函数 f ( x , y , z ) （或函数 f ( x , y ) ）在一点 P 沿任何方向或某个方向的 变化率.例如,设 f ( P ) 表示某物体内点 P 的温度,那么这 物体的热传导就依赖于温度沿各方向下降的速度(速 率);又如,要预报某地的风向和风力,就必须知道气压在 该处沿某些方向的变化率.为此,要引进多元函数在一 点 P 沿一给定方向导数的概念. 这里以三各变量的函数 f ( x , y , z ) 为例.设 P ( x , y , z ) 为一给定点, l 是从 P 点出发的射线,它的方向向量 用 l 来表示.设 P ' 是射线 l 上的任一点, P ' 的坐标 为
l 的方向导数是
u l u x cos u y cos u z cos
cos , cos , cos ,
这时 u ( x , y , z ) 沿
令 l 0 是 l 方向的单位向量
l 0 cos i cos j cos k
于是
grad u
(
u
n
)n0
r0
这是因为任何向量 r 可以用这向量的单位向量 示出来 r rr
0
表
以下是关于梯度的基本运算法则:
(1)两个函数代数和的梯度, 等于各函数梯度的代数和,
【数学分析课件】
即
grad ( u 1 u 2 ) gradu
1
gradu
2
(2) 两个函数乘积的梯度
点沿任何方向 l 的方向导数都存在,并由 以下的求导公式
f l f x ( x 0 , y 0 , z 0 ) cos f y ( x 0 , y 0 , z 0 ) cos
f ( x , y , z ) 在 P0
f x ( x 0 , y 0 , z 0 ) cos
其中 cos , cos
u
由于数量函数所表示的物理意义是由点的函数来 描写的, 在不同坐标下, 同一点的函数值应该不变, 这 表示数量函数与坐标系的选取无关. 从而由此产生的等 量面、数量函数 u 的梯度以及它的最大变化率 grad u 等等, 也都与坐标系的选择无关. 综上所述, grad
u
【数学分析课件】 是这样一个向量函数, 它是由数
, cos
是 l 的方向余弦.
2 x
例2 对 u 的方向导数.
xy y z ze
求 u 在点
(1, 0 , 2 )
沿方向( 2 ,1, 1)
【数学分析课件】
二、梯度
1.物理量的等量面(等量线)
我们在研究一个物理量u ( x , y , z ) 在某一区域的分布 时,常常需要考察这区域中由相同物理量的点,也就是使
u l
(
u u u , , ) (cos , cos , cos ) x y z
grad u l 0 grad
u cos( grad u , l 0 ).
【数学分析课件】
这里 cos( grad u , l 0 ) 表示向量 grad u 与 l 0 余角的余弦. 由 此可以看出, 在 P 点沿一切不同方向的方向导数中, 当
