第三章 三角恒等变换
1.三角恒等变换中角的变换的技巧
三角函数是以角为自变量的函数，因此三角恒等变换离不开角之间的变换.观察条件及目标式中角度间联系，立足消除角之间存在的差异，或改变角的表达形式以便更好地沟通条件与结论使之统一，或有利于公式的运用，化角是三角恒等变换的一种常用技巧. 一、利用条件中的角表示目标中的角
例1.已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝33，求cos ⎝ ⎛⎭⎪
⎫5π6－α的值.
分析.将π6＋α看作一个整体，观察π6＋α与5π
6
－α的关系.
解.∵⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＋⎝ ⎛⎭
⎪
⎫5π6－α＝π，
∴
5π6－α＝π－⎝ ⎛⎭
⎪⎫π6
＋α.
∴cos ⎝
⎛⎭⎪⎫5π6－α＝cos ⎣⎢⎡⎦
⎥
⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α
＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝－33，即cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫5π
6－α
＝－33.
二、利用目标中的角表示条件中的角 例
2.设
α
为第四象限角，若sin 3α
sin α
＝13
5
，则tan 2α＝
_______________________________.
分析.要求tan 2α的值，注意到sin 3α＝sin(2α＋α)＝sin 2αcos α＋cos 2αsin α，代入到sin 3αsin α＝13
5中，首先求出cos 2α的值后，再由同角三角函数之间的关系求出tan
2α.
解析.由sin 3αsin α＝sin (2α＋α)sin α＝sin 2αcos α＋cos 2αsin α
sin α
＝2cos 2
α＋cos 2α＝135
.
∵2cos 2
α＋cos 2α＝1＋2cos 2α＝135.∴cos 2α＝45.
∵α为第四象限角，∴2k π＋3π
2<α<2k π＋2π(k ∈Z )，
∴4k π＋3π<2α<4k π＋4π(k ∈Z )，
∴2α可能在第三、四象限， 又∵cos 2α＝4
5，∴2α在第四象限，
∴sin 2α＝－35，tan 2α＝－3
4.
答案.－3
4
三、注意发现互余角、互补角，利用诱导公式转化角 例3.已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝5
13，0 ⎪ ⎫π4＋x 的值. 分析.转化为已知角⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x 的三角函数值，求这个角的其余三角函数值，这样可以将所求式 子化简，使其出现⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x 这个角的三角函数. 解.原式＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x cos ⎝ ⎛⎭ ⎪⎫π4＋x cos ⎝ ⎛⎭ ⎪⎫π4＋x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ＝2cos ⎝ ⎛⎭ ⎪⎫π4－x ， ∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝513，且0 ⎛⎭⎪⎫0，π4. ∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝ 1－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π 4－x ＝1213 ， ∴原式＝2×1213＝24 13 . 四、观察式子结构特征，灵活凑出特殊角 例4.求函数f (x )＝1－3 2 sin(x －20°)－cos(x ＋40°)的最大值. 分析.观察角(x ＋40°)－(x －20°)＝60°，可以把x ＋40°看成(x －20°)＋60°后运用公式展开，再合并化简函数f (x ). 解.f (x )＝1－3 2 sin(x －20°)－cos[(x －20°)＋60°] ＝12sin(x －20°)－3 2sin(x －20°)－cos(x －20°)cos 60°＋sin(x －20°)sin 60° ＝12[sin(x －20°)－cos(x －20°)]＝2 2 sin(x －65°)， 当x －65°＝k ·360°＋90°，即x ＝k ·360°＋155°(k ∈Z )时，f (x )有最大值22 . 2.三角恒等变换的几个技巧 三角题是高考的热点，素以“小而活”著称.除了掌握基础知识之外，还要注意灵活运用几个常用的技巧.下面通过例题进行解析，希望对同学们有所帮助. 一、灵活降幂 例1 3－sin 70°2－cos 2 10° ＝________. 解析.3－sin 70°2－cos 2 10°＝3－sin 70°2－ 1＋cos 20°2＝3－cos 20°3－cos 20° 2＝2. 答案.2 点评.常用的降幂技巧还有：因式分解降幂、用平方关系sin 2 θ＋cos 2 θ＝1进行降幂：如cos 4θ＋sin 4θ＝(cos 2θ＋sin 2θ)2－2cos 2θsin 2θ＝1－12sin 2 2θ，等等. 二、化平方式 例2 化简求值： 12－12 12＋12cos 2α(α∈(3π 2 ，2π)). 解.因为α∈(3π2，2π)，所以α2∈(3π 4，π)，所以cos α>0， sin α 2 >0，故原式＝ 12－12 1＋cos 2α 2 ＝ 12－1 2 cos α＝ sin 2 α2＝sin α2 . 点评.一般地，在化简求值时，遇到1＋cos 2α、1－cos 2α、1＋sin 2α、1－sin 2α常常化为平方式：2cos 2 α、2sin 2 α、(sin α＋cos α)2 、(sin α－cos α)2 . 三、灵活变角 例3 已知sin(π6－α)＝13，则cos(2π 3 ＋2α)＝________. 解析.cos(2π3＋2α)＝2cos 2(π3＋α)－1＝2sin 2(π 6－α)－1＝2×(13)2－1＝－79. 答案.－7 9 点评.正确快速求解本题的关键是灵活运用已知角“π6－α”表示待求角“2π3 ＋2α”，善于发现前者和后者的一半互余.
