2015届高考人教版数学(理)一轮复习跟踪检测51 直线的倾斜角与斜率、直线的方程 Word版含解析]

2009~2013年高考真题备选题库第8章 平面解析几何第1节 直线的倾斜角与斜率、直线的方程考点 直线方程1．（2013新课标全国Ⅱ，5分）已知点A (－1,0)，B (1,0)，C (0,1)，直线y ＝ax ＋b (a >0)将△ABC 分割为面积相等的两部分，则b 的取值范围是( )A ．(0,1)B.⎝⎛⎭⎫1－22，12C.⎝⎛⎦⎤1－22，13D.⎣⎡⎭⎫13，12解析：本题考查直线与方程、三角形面积的求解等基础知识和方法，考查一般与特殊的思想，考查考生分析问题、解决问题的能力．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝1，y ＝ax ＋b 消去x ，得y ＝a ＋b a ＋1，当a ＞0时，直线y ＝ax ＋b 与x 轴交于点⎝⎛⎭⎫－b a ，0，结合图形知12×a ＋b a ＋1×⎝⎛⎭⎫1＋b a ＝12，化简得(a ＋b )2＝a (a ＋1)，则a ＝b 21－2b. ∵a ＞0，∴b 21－2b＞0，解得b ＜12. 考虑极限位置，即a ＝0，此时易得b ＝1－22，故答案为B. 答案：B2．（2012山东，5分）过点(3,1)作圆(x －1)2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 的方程为( )A ．2x ＋y －3＝0B ．2x －y －3＝0C ．4x －y －3＝0D ．4x ＋y －3＝0 解析：本题考查直线与圆的位置关系、直线方程等基础知识和基本方法，考查数形结合思想、一般与特殊思想、等价转化思想等数学思想方法，考查运算求解能力，考查分析问题和解决问题的能力．根据平面几何知识，直线AB 一定与点(3,1)，(1,0)的连线垂直，这两点连线的斜率为12，故直线AB 的斜率一定是－2，只有选项A 中直线的斜率为－2. 答案：A3．（2012辽宁，5分）将圆x 2＋y 2－2x －4y ＋1＝0平分的直线是( )A ．x ＋y －1＝0B ．x ＋y ＋3＝0C ．x －y ＋1＝0D ．x －y ＋3＝0解析：要使直线平分圆，只要直线经过圆的圆心即可，圆心坐标为(1,2)．A ，B ，C ，D 四个选项中，只有C选项中的直线经过圆心．答案：C4．（2010安徽，5分）过点(1,0)且与直线x－2y－2＝0平行的直线方程是()A．x－2y－1＝0 B．x－2y＋1＝0C．2x＋y－2＝0 D．x＋2y－1＝0解析：与直线x－2y－2＝0平行的直线方程可设为：x－2y＋c＝0，将点(1,0)代入x－2y ＋c＝0，解得c＝－1，故直线方程为x－2y－1＝0.答案：A。

课时提升作业(三十九)直线的倾斜角与斜率、直线的方程(45分钟100分)一、选择题(每小题5分,共40分)1.直线经过原点和点(-1,-1),则它的倾斜角是( )A.45°B.135°C.45°或135°D.0°【解析】选A.因为经过原点和点(-1,-1)的直线的斜率k==1,所以直线的倾斜角为45°.2.(2014·台州模拟)已知点A(m-1,m+1)与点B(m,m)关于直线l对称,则直线l的方程是( )A.x+y-1=0B.x-y+1=0C.x+y+1=0D.x-y-1=0【解析】选B.依题意直线l与AB垂直,且过AB的中点,所以k l=1,且过点,直线方程为y-=x-,即x-y+1=0.3.直线2x-y-2=0绕它与y轴的交点逆时针旋转所得的直线方程是( )A.x-2y+4=0B.x+2y-4=0C.x-2y-4=0D.x+2y+4=0【解析】选D.由题意得直线2x-y-2=0与y轴交点为A(0,-2),所求直线过A且斜率为-,故所求直线方程为y+2=-(x-0),即x+2y+4=0.4.(2013·石家庄模拟)已知b>0,直线x-b2y-1=0与直线(b2+1)x+ay+2=0互相垂直,则ab的最小值等于( )A.1B.2C.2D.2【思路点拨】先由两直线垂直可得到关于a,b的一个等式,再将ab用一个字母来表示,进而求出最值.【解析】选B.因为直线x-b2y-1=0与直线(b2+1)x+ay+2=0互相垂直,所以(b2+1)-b2a=0,即a=,所以ab=()b==b+≥2(当且仅当b=1时取等号),即ab的最小值等于2.5.(2014·杭州模拟)“m=”是“直线(m+2)x+3my+1=0与直线(m-2)x+(m+2)y-3=0相互垂直”的( )A.充分必要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件【解析】选B.因为m=时,两直线方程分别为:x+y+1=0,-x+y-3=0,其斜率分别为:-与,因此,两直线垂直.又因为直线(m+2)x+3my+1=0与直线(m-2)x+(m+2)y-3=0互相垂直,所以(m+2)·(m-2)+3m(m+2)=0,解得:m=或m=-2.因此,“m=”是“直线(m+2)x+3my+1=0与直线(m-2)x+(m+2)y-3=0互相垂直”的充分不必要条件.6.已知直线l过点(m,1),(m+1,tanα+1),则( )A.α一定是直线l的倾斜角B.α一定不是直线l的倾斜角C.α不一定是直线l的倾斜角D.180°-α一定是直线l的倾斜角【解析】选C.设θ为直线l的倾斜角,则tanθ==tanα,所以α=kπ+θ,k∈Z,当k≠0时,θ≠α,故选C.【加固训练】直线xcos 140°+ysin 140°=0的倾斜角是( )A.40°B.50°C.130°D.140°【解析】选B.因为直线xcos 140°+ysin 140°=0的斜率k=-=-=-===tan 50°,所以直线xcos 140°+ysin 140°=0的倾斜角为50°.7.设点A(-2,3),B(3,2),若直线ax+y+2=0与线段AB没有交点,则a的取值范围是( )A.∪B.C.∪D.【解析】选B.直线ax+y+2=0恒过点M(0,-2),且斜率为-a,因为k MA==-,k MB==,由图可知:-a>-且-a<,所以a∈.8.(2014·嘉兴模拟)若P(2,-1)为圆M:(x-1)2+y2=25的弦AB的中点,则直线AB的方程为( )A.2x+y-3=0B.x-y-3=0C.x+y-1=0D.2x-y-5=0【解析】选B.圆心M为(1,0),依题意知MP⊥AB,而k MP==-1,所以k AB=1,过点P(2,-1),所以AB的方程为:y-(-1)=x-2,即x-y-3=0.二、填空题(每小题5分,共20分)9.(2013·金华模拟)经过点(-2,2),且与两坐标轴所围成的三角形面积为1的直线l的方程为.【解析】设所求直线l的方程为+=1,由已知可得解得或所以2x+y+2=0或x+2y-2=0为所求.答案:2x+y+2=0或x+2y-2=0【误区警示】解答本题时易误以为直线在两坐标轴上的截距均为正而致误,根本原因是误将截距当成距离而造成的.10.若过点P(1-a,1+a)和Q(3,2a)的直线的倾斜角α不是钝角,则实数a的取值范围是.【思路点拨】可先求出倾斜角α为钝角时,实数a的范围,其补集应为不是钝角时的范围. 【解析】由题知过点P(1-a,1+a)和Q(3,2a)的直线的斜率k===,若直线的倾斜角α为钝角,则k=<0,解得-2<a<1.所以满足直线的倾斜角α不是钝角的a的取值范围是a≤-2或a≥1.答案:a≤-2或a≥111.若ab>0,且A(a,0),B(0,b),C(-2,-2)三点共线,则ab的最小值为.【解析】根据A(a,0),B(0,b)确定直线的方程为+=1.又C(-2,-2)在该直线上,故+=1, 所以-2(a+b)=ab.又ab>0,故a<0,b<0,根据基本不等式ab=-2(a+b)≥4.又ab>0,得≥4,故ab≥16,即ab的最小值为16.答案:16【方法技巧】研究三点共线的常用方法方程法:建立过其中两点的直线方程,再使第三点满足该方程.斜率法:过其中一点与另外两点连线的斜率相等.距离法:以其中一点为公共点,与另外两点连成的有向线段所表示的向量共线.【一题多解】斜率法:因为A,B,C三点共线,所以k AB= k AC,即=,所以+=-,以下同题目解析.距离法:由题意得a<0,b<0,且|AC|+|CB|=|AB|,所以+=,解得2a+2b+ab=0,以下同题目解析.12.(能力挑战题)设集合A=,B={(x,y)|4x+ay-16=0},若A∩B=∅,则a的值为.【解析】显然集合A表示直线2x-y+1=0(除去点(1,3)),集合B表示直线4x+ay-16=0,因为A ∩B=∅,所以两直线平行或直线4x+ay-16=0过点(1,3),因此a=-2或a=4.答案:-2或4【误区警示】本题易出现漏解的错误,错误原因是对集合A认识不正确,误认为是一条直线.三、解答题(13题12分,14～15题各14分)13.在△ABC中,已知A(5,-2),B(7,3),且AC边的中点M在y轴上,BC边的中点N在x轴上,求:(1)顶点C的坐标.(2)直线MN的方程.【解析】(1)设点C的坐标为(x,y),则有=0,=0,所以x=-5,y=-3,即点C的坐标为(-5,-3).(2)由题意知,M,N(1,0),所以直线MN的方程为x-=1,即5x-2y-5=0.14.已知实数x,y满足y=-2x+8,当2≤x≤3时,求的最大值和最小值.【解析】=其意义表示点(x,y)与原点连线的直线的斜率.点(x,y)满足y=-2x+8,且2≤x≤3,则点(x,y)在线段AB上,并且A,B两点的坐标分别为A(2,4),B(3,2),如图所示.则k OA=2,k OB=.所以得的最大值为2,最小值为.【加固训练】已知两点A(-1,2),B(m,3).(1)求直线AB的方程.(2)已知实数m∈,求直线AB的倾斜角α的取值范围.【解析】(1)当m=-1时,直线AB的方程为x=-1,当m≠-1时,直线AB的方程为y-2=(x+1).(2)①当m=-1时,α=;②当m≠-1时,m+1∈∪(0,],所以k=∈(-∞,-]∪,所以α∈∪.综合①②知,直线AB的倾斜角α的取值范围为.15.(能力挑战题)如图,射线OA,OB分别与x轴正半轴成45°和30°角,过点P(1,0)作直线AB 分别交OA,OB于A,B两点,当AB的中点C恰好落在直线y=x上时,求直线AB的方程.【解析】由题意可得k OA=tan45°=1,k OB=tan(180°-30°)=-,所以直线l OA:y=x,l OB:y=-x,设A(m,m),B(-n,n),所以AB的中点C,由点C在y=x上,且A,P,B三点共线得解得m=,所以A(,).又P(1,0),所以k AB=k AP==,所以l AB:y=(x-1),即直线AB的方程为(3+)x-2y-3-=0.【加固训练】已知直线l:kx-y+1+2k=0(k∈R).(1)证明:直线l过定点.(2)若直线l不经过第四象限,求k的取值范围.(3)若直线l交x轴负半轴于点A,交y轴正半轴于点B,O为坐标原点,设△AOB的面积为S,求S的最小值及此时直线l的方程.【解析】(1)方法一:直线l的方程可化为y=k(x+2)+1,故无论k取何值,直线l总过定点(-2,1). 方法二:设直线过定点(x0,y0),则kx0-y0+1+2k=0对任意k∈R恒成立,即(x0+2)k-y0+1=0恒成立,所以x0+2=0,-y0+1=0,解得x0=-2,y0=1,故直线l总过定点(-2,1).(2)直线l的方程可化为y=kx+2k+1,则直线l在y轴上的截距为2k+1,要使直线l不经过第四象限,则解得k的取值范围是k≥0.(3)依题意,直线l在x轴上的截距为-,在y轴上的截距为1+2k,且k>0,所以A,B(0,1+2k),故S=|OA||OB|=×(1+2k)=≥(4+4)=4.当且仅当4k=,即k=时,取等号,故S的最小值为4,此时直线l的方程为x-2y+4=0.。

1. [2014·东北三校联考]经过两点A (4,2y ＋1)，B (2，－3)的直线的倾斜角为3π4，则y ＝( )A. －1B. －3C. 0D. 2解析：由2y ＋1－－4－2＝2y ＋42＝y ＋2， 得y ＋2＝tan 3π4＝－1.∴y ＝－3. 答案：B2. [2014·长春三校调研]一次函数y ＝－m n x ＋1n的图象同时经过第一、三、四象限的必要不充分条件是( )A. m >1，且n <1B. mn <0C. m >0，且n <0D. m <0，且n <0解析：因为y ＝－m n x ＋1n 经过第一、三、四象限，故－m n >0，1n<0，即m >0，n <0，但此为充要条件，因此，其必要不充分条件为mn <0，故选B.答案：B3. [2014·南宁模拟]直线x ＋(a 2＋1)y ＋1＝0的倾斜角的取值范围是( ) A. ⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4 B. ⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π C. ⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π D. ⎣⎢⎡⎭⎪⎫π4，π2∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π 解析：将直线方程变形为y ＝－1a 2＋1x －1a 2＋1， ∴直线的斜率k ＝－1a 2＋1. ∵a 2＋1≥1，∴0<1a 2＋1≤1. ∴－1≤k <0，即－1≤tan α<0.∴34π≤α<π.故选B.答案：B4. [2014·汕头质检]若三点A (2,3)，B (3,2)，C (12，m )共线，则实数m ＝________. 解析：k AB ＝2－33－2＝－1，k AC ＝m －312－2， ∵A ，B ，C 三点共线，∴k AB ＝k AC ，∴m －312－2＝－1，解得m ＝92. 答案：925. [2014·苏州调研]经过P (0，－1)作直线l ，若直线l 与连接A (1，－2)，B (2,1)的线段总有公共点，则直线l 的斜率k 和倾斜角α的取值范围分别为________，________.解析：如图所示，结合图形：为使l 与线段AB 总有公共点，则k PA ≤k ≤k PB ，而k PB >0，k PA <0，故k <0时，倾斜角α为钝角，k ＝0时，α＝0，k >0时，α为锐角．又k PA ＝－2－－1－0＝－1，k PB ＝－1－10－2＝1， ∴－1≤k ≤1.又当0≤k ≤1时，0≤α≤π4； 当－1≤k <0时，3π4≤α<π. 故倾斜角α的取值范围为α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π. 答案：[－1,1] ⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π。

第一节 直线的倾斜角与斜率、直线方程直线及其方程(1)在平面直角坐标系中，结合具体图形，确定直线位置的几何要素． (2)理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式．(3)掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式)，了解斜截式与一次函数的关系． 知识点一 直线的倾斜角与斜率 1．直线的倾斜角(1)定义：当直线l 与x 轴相交时，我们取x 轴作为基准，x 轴正向与直线l 向上方向之间所成的角α叫作直线l 的倾斜角．(2)规定：当直线l 与x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0. (3)范围：直线的倾斜角α的取值范围是[0，π)． 2．直线的斜率(1)定义：当直线l 的倾斜角α≠π2时，其倾斜角α的正切值tan α叫作这条斜线的斜率，斜率通常用小写字母k 表示，即k ＝tan_α.(2)斜率公式：经过两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)(x 1≠x 2)的直线的斜率公式为k ＝y 2－y 1x 2－x 1.易误提醒 任意一条直线都有倾斜角，但只有与x 轴不垂直的直线才有斜率(当直线与x 轴垂直，即倾斜角为π2时，斜率不存在)[自测练习]1．若经过两点A (4,2y ＋1)，B (2，－3)的直线的倾斜角为3π4，则y 等于( )A ．－1B ．－3C ．0D ．2解析：由k ＝－3－2y －12－4＝tan 3π4＝－1.得－4－2y ＝2.∴y ＝－3.答案：B2．如图中的直线l 1，l 2，l 3的斜率分别为k 1，k 2，k 3，则( ) A ．k 1<k 2<k 3 B ．k 3<k 1<k 2 C ．k 3<k 2<k 1D．k1<k3<k2解析：由题图可知k1<0，k2>0，k3>0，且k2>k3，∴k1<k3<k2.答案：D知识点二直线方程名称几何条件方程适用条件斜截式纵截距、斜率y＝kx＋b与x轴不垂直的直线点斜式过一点、斜率y－y0＝k(x－x0)两点式过两点y－y1y2－y1＝x－x1x2－x1与两坐标轴均不垂直的直线续表截距式纵、横截距xa＋yb＝1不过原点且与两坐标轴均不垂直的直线一般式Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)所有直线易误提醒(1)利用两点式计算斜率时易忽视x1＝x2时斜率k不存在的情况．(2)用直线的点斜式求方程时，在斜率k不明确的情况下，注意分k存在与不存在讨论，否则会造成失误．(3)直线的截距式中易忽视截距均不为0这一条件，当截距为0时可用点斜式．(4)由一般式Ax＋By＋C＝0确定斜率k时易忽视判断B是否为0，当B＝0时，k不存在；当B≠0时，k＝－AB.[自测练习]3．过点(－1,2)且倾斜角为30°的直线方程为()A.3x－3y－6＋3＝0B.3x－3y＋6＋3＝0C.3x＋3y＋6＋3＝0D.3x＋3y－6＋3＝0解析：直线斜率k＝tan 30°＝3 3，直线的点斜式方程为y－2＝33(x＋1)，整理得3x －3y ＋3＋6＝0，故选B. 答案：B4．已知直线l ：ax ＋y －2－a ＝0在x 轴和y 轴上的截距相等，则a 的值是( ) A ．1 B ．－1 C ．－2或－1D ．－2或1解析：由题意可知a ≠0.当x ＝0时，y ＝a ＋2. 当y ＝0时，x ＝a ＋2a.∴a ＋2a ＝a ＋2，解得a ＝－2或a ＝1. 答案：D考点一 直线的倾斜角与斜率|1．直线x ＋3y ＋m ＝0(m ∈R )的倾斜角为( ) A ．30° B ．60° C ．150°D ．120°解析：∵直线的斜率k ＝－33，∴tan α＝－33. 又0≤α<180°，∴α＝150°.故选C. 答案：C2．直线l ：ax ＋(a ＋1)y ＋2＝0的倾斜角大于45°，则a 的取值范围是________． 解析：当a ＝－1时，直线l 的倾斜角为90°，符合要求：当a ≠－1时，直线l 的斜率为－aa ＋1，则有－a a ＋1>1或－a a ＋1<0， 解得－1<a <－12或a <－1或a >0.综上可知，实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－∞，－12∪(0，＋∞)．答案：⎝⎛⎭⎫－∞，－12∪(0，＋∞) 3．(2016·太原模拟)已知点A (2，－3)，B (－3，－2)，直线l 过点P (1,1)且与线段AB 有交点，则直线l 的斜率k 的取值范围为________．解析：如图，k P A ＝1＋31－2＝－4，k PB ＝1＋21＋3＝34. 要使直线l 与线段AB 有交点，则有k ≥34或k ≤－4.答案：(－∞，－4]∪⎣⎡⎭⎫34，＋∞ 求倾斜角α的取值范围的一般步骤(1)求出tan α的取值范围；(2)利用三角函数的单调性，借助图象，确定倾斜角α的取值范围． 注意已知倾斜角θ的范围，求斜率k 的范围时注意下列图象的应用： 当k ＝tan α，α∈⎣⎡⎭⎫0，π2∪⎝⎛⎭⎫π2，π时的图象如图：考点二 直线的方程|根据所给条件求直线的方程： (1)直线过点(－4,0)，倾斜角的正弦值为1010； (2)直线过点(－3,4)，且在两坐标轴上的截距之和为12.[解] (1)由题设知，该直线的斜率存在，故可采用点斜式．设倾斜角为α，则sin α＝1010(0<α<π)，从而cos α＝±31010，则k ＝tan α＝±13.故所求直线方程为y ＝±13(x ＋4)，即x ＋3y ＋4＝0或x －3y ＋4＝0.(2)由题设知截距不为0，设直线方程为x a ＋y12－a ＝1，又直线过点(－3,4)，从而－3a ＋412－a ＝1，解得a ＝－4或a ＝9.故所求直线方程为4x －y ＋16＝0或x ＋3y －9＝0.(1)在求直线方程时，应选择适当的形式，并注意各种形式的适用条件． (2)对于点斜式、截距式方程使用时要注意分类讨论思想的运用．求直线过点(5,10)且到原点的距离为5的直线方程．解：当斜率不存在时，所求直线方程为x －5＝0，适合题意，当斜率存在时，设斜率为k ，则所求直线方程为y －10＝k (x －5)， 即kx －y ＋(10－5k )＝0.由点到直线的距离公式，得|10－5k |k 2＋1＝5，解得k ＝34.故所求直线方程为3x －4y ＋25＝0.综上知，所求直线方程为x －5＝0或3x －4y ＋25＝0.考点三 直线方程的综合应用|直线方程的综合应用是高考常考内容之一，它经常与不等式、导数、平面向量、数列等有关知识进行交汇，考查学生综合运用直线知识解决问题的能力．归纳起来常见的命题探究角度有： 1．与最值相结合问题．2．与导数的几何意义相结合问题． 3．与平面向量相结合问题． 4．与数列相结合问题． 探究一 与最值相结合问题1．(2015·高考福建卷)若直线x a ＋yb＝1(a >0，b >0)过点(1,1)，则a ＋b 的最小值等于( )C ．4D ．5解析：法一：因为直线x a ＋y b ＝1(a >0，b >0)过点(1,1)，所以1a ＋1b ＝1，所以1＝1a ＋1b ≥21a ·1b＝2ab(当且仅当a ＝b ＝2时取等号)，所以ab ≥2.又a ＋b ≥2ab (当且仅当a ＝b ＝2时取等号)，所以a ＋b ≥4(当且仅当a ＝b ＝2时取等号)，故选C.法二：因为直线x a ＋y b ＝1(a >0，b >0)过点(1,1)，所以1a ＋1b ＝1，所以a ＋b ＝(a ＋b )⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＝2＋a b ＋ba≥2＋2a b ·ba＝4(当且仅当a ＝b ＝2时取等号)，故选C. 答案：C探究二 与导数的几何意义相结合问题2．已知函数f (x )＝x －4ln x ，则曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为________． 解析：由f ′(x )＝1－4x ，则k ＝f ′(1)＝－3，又f (1)＝1，故切线方程为y －1＝－3(x－1)，即3x ＋y －4＝0.答案：3x ＋y －4＝0探究三 与平面向量相结合问题3．在平面直角坐标平面上，OA →＝(1,4)，OB →＝(－3,1)，且OA →与OB →在直线的方向向量上的投影的长度相等，则直线l 的斜率为( )A ．－14B.25 C.25或－43D.52解析：直线l 的一个方向向量可设为h ＝(1，k )，由题⎪⎪⎪⎪⎪⎪OA →·h |h |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪OB →·h |h |⇒|1＋4k |＝|－3＋k |，解得k ＝25或k ＝－43，故选C.答案：C探究四 与数列相结合问题4．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝1n (n ＋1)(n ∈N *)，其前n 项和S n ＝910，则直线xn ＋1＋yn＝1与坐标轴所围成三角形的面积为( ) A ．36B ．45解析：由a n ＝1n (n ＋1)可知a n ＝1n －1n ＋1，∴S n ＝⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫12－13＋⎝⎛⎭⎫13－14＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1＝1－1n ＋1， 又知S n ＝910，∴1－1n ＋1＝910，∴n ＝9. ∴直线方程为x 10＋y9＝1，且与坐标轴的交点为(10,0)和(0,9)，∴直线与坐标轴所围成的三角形的面积为12×10×9＝45，故选B.答案：B(1)与函数相结合的问题：解决这类问题，一般是利用直线方程中的x ，y 的关系，将问题转化为关于x (或y )的某函数，借助函数的性质解决．(2)与方程、不等式相结合的问题：一般是利用方程、不等式的有关知识(如方程解的个数、根的存在问题，不等式的性质、基本不等式等)来解决．17.忽视零截距致误【典例】 设直线l 的方程为(a ＋1)x ＋y ＋2－a ＝0(a ∈R )． (1)若l 在两坐标轴上截距相等，求l 的方程； (2)若l 不经过第二象限，求实数a 的取值范围．[解] (1)当直线过原点时，该直线在x 轴和y 轴上的截距为零．∴a ＝2，方程即为3x ＋y ＝0.当直线不经过原点时，截距存在且均不为0， ∴a －2a ＋1＝a －2，即a ＋1＝1， ∴a ＝0，方程即为x ＋y ＋2＝0.综上，l 的方程为3x ＋y ＝0或x ＋y ＋2＝0. (2)将l 的方程化为y ＝－(a ＋1)x ＋a －2，∴⎩⎪⎨⎪⎧ －(a ＋1)>0，a －2≤0或⎩⎪⎨⎪⎧－(a ＋1)＝0，a －2≤0.∴a ≤－1. 综上可知a 的取值范围是a ≤－1.[易误点评] 本题易错点求直线方程时，漏掉直线过原点的情况．[防范措施] (1)在求与截距有关的直线方程时，注意对直线的截距是否为零进行分类讨论，防止忽视截距为零的情形，导致产生漏解．(2)常见的与截距问题有关的易误点有：“截距互为相反数”；“一截距是另一截距的几倍”等，解决此类问题时，要先考虑零截距情形，注意分类讨论思想的运用．[跟踪练习] 若直线过点P (2,1)且在两坐标轴上的截距相等，则这样的直线的条数为( )A ．1B ．2C ．3D ．以上都有可能解析：当截距均为零时，显然有一条；当截距不为零时，设直线方程为x ＋y ＝a ，则a ＝2＋1＝3，有一条．综上知，直线过点P (2,1)且在两坐标轴上的截距相等的直线有两条，故选B.答案：BA 组 考点能力演练1．直线l ：x sin 30°＋y cos 150°＋1＝0的斜率是( ) A.33B. 3 C ．－ 3D ．－33解析：设直线l 的斜率为k ，则k ＝－sin 30°cos 150°＝33.答案：A2．在等腰三角形AOB 中，AO ＝AB ，点O (0,0)，A (1,3)，点B 在x 轴的正半轴上，则直线AB 的方程为( )A ．y －1＝3(x －3)B ．y －1＝－3(x －3)C ．y －3＝3(x －1)D ．y －3＝－3(x －1)解析：因为AO ＝AB ，所以直线AB 的斜率与直线AO 的斜率互为相反数，所以k AB ＝－k OA ＝－3，所以直线AB 的点斜式方程为：y －3＝－3(x －1)．3．直线2x －my ＋1－3m ＝0，当m 变动时，所有直线都通过定点( ) A.⎝⎛⎭⎫－12，3 B.⎝⎛⎭⎫12，3 C.⎝⎛⎭⎫12，－3D.⎝⎛⎭⎫－12，－3 解析：∵(2x ＋1)－m (y ＋3)＝0恒成立， ∴2x ＋1＝0，y ＋3＝0，∴x ＝－12，y ＝－3.∴定点为⎝⎛⎭⎫－12，－3. 答案：D4．(2016·海淀一模)已知点A (－1,0)，B (cos α，sin α)，且|AB |＝3，则直线AB 的方程为( )A ．y ＝3x ＋3或y ＝－3x － 3B ．y ＝33x ＋33或y ＝－33x －33C ．y ＝x ＋1或y ＝－x －1D ．y ＝2x ＋2或y ＝－2x － 2 解析：|AB |＝ (cos α＋1)2＋sin 2α＝2＋2cos α＝3，所以cos α＝12，sin α＝±32，所以k AB ＝±33，即直线AB 的方程为y ＝±33(x ＋1)，所以直线AB 的方程为y ＝33x ＋33或y ＝－33x －33，选B. 答案：B5．(2016·贵阳模拟)直线l 经过点A (1,2)，在x 轴上的截距的取值范围是(－3,3)，则其斜率的取值范围是( )A ．－1<k <15B ．k >1或k <12C ．k >15或k <1D ．k >12或k <－1解析：设直线的斜率为k ，则直线方程为y －2＝k (x －1)，直线在x 轴上的截距为1－2k ，令－3<1－2k<3，解不等式可得．也可以利用数形结合．选D.6．(2016·温州模拟)直线3x －4y ＋k ＝0在两坐标轴上的截距之和为2，则实数k ＝________.解析：令x ＝0，得y ＝k 4；令y ＝0，得x ＝－k 3.则有k 4－k3＝2，所以k ＝－24.答案：－247．设点A (－1,0)，B (1,0)，直线2x ＋y －b ＝0与线段AB 相交，则b 的取值范围是________． 解析：b 为直线y ＝－2x ＋b 在y 轴上的截距，如图，当直线y ＝－2x ＋b 过点A (－1,0)和点B (1，0)时，b 分别取得最小值和最大值．∴b 的取值范围是[－2,2]． 答案：[－2,2]8．一条直线经过点A (－2,2)，并且与两坐标轴围成的三角形的面积为1，则此直线的方程为________________________________________________________________________．解析：设直线的斜率为k (k ≠0)， 则直线方程为y －2＝k (x ＋2)， 由x ＝0知y ＝2k ＋2. 由y ＝0知x ＝－2k －2k .由12|2k ＋2|⎪⎪⎪⎪⎪⎪－2k －2k ＝1. 得k ＝－12或k ＝－2.故直线方程为x ＋2y －2＝0或2x ＋y ＋2＝0. 答案：x ＋2y －2＝0或2x ＋y ＋2＝09．已知直线l 过点P (3,2)，且与x 轴、y 轴的正半轴分别交于A ，B 两点，如图所示，求△ABO 的面积的最小值及此时直线l 的方程．解：法一：设直线方程为x a ＋yb ＝1(a >0，b >0)，点P (3,2)代入得3a ＋2b＝1≥26ab，得ab ≥24，从而S △ABO ＝12ab ≥12，当且仅当3a ＝2b时等号成立， 这时k ＝－b a ＝－23， 从而所求直线方程为2x ＋3y －12＝0.法二：依题意知，直线l 的斜率k 存在且k <0.则直线l 的方程为y －2＝k (x －3)(k <0)，且有A ⎝⎛⎭⎫3－2k ，0，B (0,2－3k )， ∴S △ABO ＝12(2－3k )⎝⎛⎭⎫3－2k ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤12＋(－9k )＋4(－k ) ≥12⎣⎢⎡⎦⎥⎤12＋2(－9k )·4(－k )＝12×(12＋12)＝12. 当且仅当－9k ＝4－k ，即k ＝－23时，等号成立， 即△ABO 的面积的最小值为12.故所求直线的方程为2x ＋3y －12＝0.10．已知△ABC 的三个顶点分别为A (－3,0)，B (2，1)，C (－2,3)，求：(1)BC 边所在直线的方程；(2)BC 边上中线AD 所在直线的方程；(3)BC 边的垂直平分线DE 的方程．解：(1)因为直线BC 经过B (2,1)和C (－2,3)两点，由两点式得BC 的方程为y －13－1＝x －2－2－2， 即x ＋2y －4＝0.(2)设BC 边的中点D 的坐标为(x ，y )，则x ＝2－22＝0，y ＝1＋32＝2.BC 边的中线AD 过点A (－3,0)，D (0,2)两点，由截距式得AD 所在直线方程为x －3＋y 2＝1，即2x －3y ＋6＝0.(3)由(1)知，直线BC 的斜率k 1＝－12， 则直线BC 的垂直平分线DE 的斜率k 2＝2.由(2)知，点D 的坐标为(0,2)．由点斜式得直线DE 的方程为y －2＝2(x －0)，即2x －y ＋2＝0.B 组 高考题型专练1．(2014·高考安徽卷)过点P (－3，－1)的直线l 与圆x 2＋y 2＝1有公共点，则直线l 的倾斜角的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎤0，π6 B.⎝⎛⎦⎤0，π3 C.⎣⎡⎦⎤0，π6 D.⎣⎡⎦⎤0，π3解析：法一：如图，过点P 作圆的切线P A ，PB ，切点为A ，B .由题意知OP ＝2，OA ＝1，则sin α＝12，所以α＝30°，∠BP A ＝60°.故直线l 的倾斜角的取值范围是⎣⎡⎦⎤0，π3.选D. 法二：设过点P 的直线方程为y ＝k (x ＋3)－1，则由直线和圆有公共点知|3k －1|1＋k2≤1. 解得0≤k ≤ 3.故直线l 的倾斜角的取值范围是⎣⎡⎦⎤0，π3. 答案：D2．(2014·高考江苏卷)在平面直角坐标系xOy 中，若曲线y ＝ax 2＋b x(a ，b 为常数)过点P (2，－5)，且该曲线在点P 处的切线与直线7x ＋2y ＋3＝0平行，则a ＋b 的值是________．解析：∵y ＝ax 2＋b x ，∴y ′＝2ax －b x 2， 由题意可得⎩⎨⎧ 4a ＋b 2＝－5，4a －b 4＝－72解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－2.∴a＋b＝－3.答案：－33．(2014·高考四川卷)设m∈R，过定点A的动直线x＋my＝0和过定点B的动直线mx －y－m＋3＝0交于点P(x，y)，则|P A|·|PB|的最大值是________．解析：易知A(0,0)，B(1,3)，且P A⊥PB，∴|P A|2＋|PB|2＝|AB|2＝10，∴|P A|·|PB|≤|P A|2＋|PB|22＝5(当且仅当|P A|＝|PB|时取“＝”)．答案：5。

课时作业(四十五) 直线的倾斜角与斜率、直线的方程1．下列说法正确的是( )A ．坐标平面内的任何直线均有倾斜角与斜率B ．直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α<180°C ．若一直线的斜率为tan α，则此直线的倾斜角为αD ．若一直线的倾斜角为α，则此直线的斜率为tan αB [选项A ，当直线的倾斜角是90°时，斜率不存在，故错误； 选项B ，直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α<180°，故正确；选项C ，若一直线的斜率为k ＝tan α＝1，则α＝k π＋π4 ，如α＝5π4 ，不是此直线的倾斜角，故错误；选项D ，当直线的倾斜角为90°，则直线的斜率不存在，故错误．故选B.] 2．(多选)(2023·重庆市万州第二高级中学高二月考)下列说法正确的有( ) A ．若直线y ＝kx ＋b 经过第一、二、四象限，则(k ，b )在第二 象限B ．直线y ＝ax －3a ＋2过定点(3，2)C ．过点(2，－1)斜率为－3 的点斜式方程为y ＋1＝－3 (x －2)D ．斜率为－2，在y 轴截距为3的直线方程为y ＝－2x ±3.ABC [对于A 中，由直线y ＝kx ＋b 过一、二、四象限，所以直线的斜率k <0，截距b >0，故点(k ，b )在第二象限，所以A 正确；对于B 中，由直线方程y ＝ax －3a ＋2，整理得a (x －3)＋(－y ＋2)＝0， 所以无论a 取何值点(3，2)都满足方程，所以B 正确；对于C 中，由点斜式方程，可知过点(2，－1)，斜率为－3 的点斜式方程为y ＋1＝－3 (x －2)，所以C 正确；由斜截式直线方程得到斜率为－2，在y 轴上的截距为3的直线方程为y ＝－2x ＋3，所以D 错误．故选ABC.] 3．已知直线l ：ax ＋y －2－a ＝0在x 轴和y 轴上的截距相等，则a 的值是( ) A ．1 B ．－1 C ．－2或－1D ．－2或1D [令x ＝0，y ＝2＋a ，令y ＝0，x ＝2＋a a ，则2＋a ＝2＋aa .即(a ＋2)(a －1)＝0，∴a ＝－2或a ＝1.]4．若直线l 与直线y ＝1，x ＝7分别交于点P ，Q ，且线段PQ 的中点坐标为(1，－1)，则直线l 的斜率为( ) A ．13 B ．－13 C ．－32 D ．23B [依题意，设点P (a ，1)，Q (7，b )，则有⎩⎪⎨⎪⎧a ＋7＝2，b ＋1＝－2， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－5，b ＝－3，从而可知直线l 的斜率为－3－17＋5＝－13.]5．(2023·四川成都七中月考)直线l 经过点A (1，2)，在y 轴上的截距的取值范围是(－3，3)，则其斜率的取值范围是( )A ．(－1，5)B ．(－∞，－1)∪(5，＋∞)C ．(－∞，－1)∪(15 ，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(12，＋∞)A [设直线的斜率为k ，则直线方程为y －2＝k (x －1)，令x ＝0，得直线l 在y 轴上的截距为2－k ，则－3<2－k <3，解得－1<k <5.故选A ．]6．直线l 过原点且平分▱ABCD 的面积，若平行四边形的两顶点为B (1，4)，D (5，0)，则直线l 的方程为________． 解析： 因为直线l 平分平行四边形ABCD 的面积，所以直线l 过平行四边形对角线BD 的中点(3，2)，又直线l 过原点，所以直线l 的方程为y ＝23x .答案： y ＝23x7．若直线l 的斜率为k ，倾斜角为α，且α∈[π6 ，π4 ]∪[2π3 ，π)，则k 的取值范围是________．解析： 当α∈[π6 ，π4 )时，k ＝tan α∈[33 ，1]；当α∈[2π3 ，π)时，k ＝tan α∈[－3 ，0).综上得k ∈[－3 ，0)∪[33，1). 答案： [－3 ，0)∪[33，1) 8．(2023·浙江高二月考)已知A (3 ，0)，B (2，1)，直线l 过点P (0，－1)，若直线l 与线段AB 总有公共点，则直线l 的斜率取值范围是________，倾斜角α的取值范围是________．解析： 如图，若直线l 与线段AB 总有公共点，则k P A ≤k l ≤k PB ，∵A (3 ，0)，B (2，1)，P (0，－1)， ∴k P A ＝0－（－1）3－0 ＝33 ，k PB ＝1－（－1）2－0＝1，∴33 ≤k l ≤1，即33≤tan α≤1， ∵α∈[0，π)，∴π6 ≤α≤π4 .答案： ⎣⎡⎦⎤33，1 ；⎣⎡⎦⎤π6，π4 9．已知△ABC 的三个顶点分别为A (－3，0)，B (2，1)，C (－2，3)，求： (1)BC 边所在直线的方程；(2)BC 边的垂直平分线DE 的方程．解析： (1)因为直线BC 经过B (2，1)和C (－2，3)两点， 所以BC 的方程为y －13－1 ＝x －2－2－2 .即x ＋2y －4＝0.(2)由(1)知，直线BC 的斜率k 1＝－12 ，则直线BC 的垂直平分线DE 的斜率k 2＝2.因为BC 边的垂直平分线DE 经过BC 的中点(0，2)，所以所求直线方程为y －2＝2(x －0). 即2x －y ＋2＝0.10．设直线l 的方程为x ＋my －2m ＋6＝0，根据下列条件分别确定m 的值： (1)直线l 的斜率为1； (2)直线l 在x 轴上的截距为－3.解析： (1)因为直线l 的斜率存在，所以m ≠0，于是直线l 的方程可化为y ＝－1m x ＋2m －6m .由题意得－1m＝1，解得m ＝－1.(2)法一：令y ＝0，得x ＝2m －6.由题意得2m －6＝－3，解得m ＝32.法二：直线l 的方程可化为x ＝－my ＋2m －6.由题意得2m －6＝－3，解得m ＝32.11．(多选)(2023·菏泽期中)已知直线l 1：ax －y －b ＝0，l 2：bx －y ＋a ＝0，当a ，b 满足一定的条件时，它们的图形可以是( )AC [直线l 1：ax －y －b ＝0可化为y ＝ax －b 的斜率为a ，在y 轴上的截距为－b . 直线l 2：bx －y ＋a ＝0可化为y ＝bx ＋a ，斜率为b ，在y 轴上的截距为A ． 当a ＝b ≠0时，直线l 1与l 2平行，故A 正确． 选项B 中，由直线在y 轴上的截距可得b <0，a >0. 而由直线l 1的斜率为a ，可得a <0，故B 不正确．在选项C 中，由直线l 2的斜率得b <0，而直线l 1在y 轴上的截距－b >0. 直线l 2在y 轴上的截距为a >0，直线l 1的斜率为a >0，故C 正确． 选项D 中，由两直线斜率得a >0，b <0.再由直线l 1在y 轴上的截距－b <0，故D 不正确．故选AC.]12．已知直线x ＋2y ＝2分别与x 轴、y 轴相交于A ，B 两点，若动点P (a ，b )在线段AB 上，则ab 的最大值为________．解析： 直线方程可化为x2 ＋y ＝1，故直线与x 轴的交点为A (2，0)，与y 轴的交点为B (0，1)，由动点P (a ，b )在线段AB 上，可知0≤b ≤1，且a ＋2b ＝2，从而a ＝2－2b ，故ab ＝(2－2b )b ＝－2b 2＋2b ＝－2×⎝⎛⎭⎫b －12 2＋12 ，由于0≤b ≤1，故当b ＝12 时，ab 取得最大值12. 答案： 1213．为了绿化城市，拟在矩形区域ABCD 内建一个矩形草坪(如图)，另外△EF A 内部有一文物保护区不能占用，经测量AB ＝100 m ，BC ＝80 m ，AE ＝30 m ，AF ＝20 m ，应如何设计才能使草坪面积最大？解析： 如图所示，建立平面直角坐标系，则E (30，0)，F (0，20).所以直线EF 的方程为x 30 ＋y20＝1(0≤x ≤30).易知当矩形草坪的一个顶点在EF 上时，可取最大值，在线段EF 上取点P (m ，n )，作PQ ⊥BC 于点Q ，PR ⊥CD 于点R ，设矩形PQCR 的面积为S ，则S ＝|PQ |·|PR |＝(100－m )(80－n ).又m 30 ＋n20＝1(0≤m ≤30)，所以n ＝20－23 m .所以S ＝(100－m )⎝⎛⎭⎫80－20＋23m ＝－23 (m －5)2＋18 0503 (0≤m ≤30).所以当m ＝5时，S 有最大值，这时|EP ||PF | ＝5∶1.所以当矩形草坪的两边在BC ，CD 上，一个顶点在线段EF 上，且这个顶点分有向线段EF 成5∶1时，草坪面积最大．14．已知直线l 过点M (1，1)，且与x 轴、y 轴的正半轴分别交于A ，B 两点，O 为坐标原点．求： (1)当|OA |＋|OB |取得最小值时，直线l 的方程；(2)当|MA |2＋|MB |2取得最小值时，直线l 的方程． 解析： (1)设A (a ，0)，B (0，b )(a >0，b >0). 设直线l 的方程为x a ＋yb ＝1，则1a ＋1b＝1， 所以|OA |＋|OB |＝a ＋b ＝(a ＋b )⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＝2＋a b ＋ba ≥2＋2 ab ·ba＝4，当且仅当a ＝b ＝2时取等号，此时直线l 的方程为x ＋y －2＝0.(2)设直线l 的斜率为k ，则k <0，直线l 的方程为y －1＝k (x －1)，则A ⎝⎛⎭⎫1－1k ，0 ，B (0，1－k )，所以|MA |2＋|MB |2＝⎝⎛⎭⎫1－1＋1k 2＋12＋12＋(1－1＋k )2＝2＋k 2＋1k 2≥2＋2k 2·1k 2 ＝4，当且仅当k 2＝1k2 ，即k ＝－1时，|MA |2＋|MB |2取得最小值4，此时直线l 的方程为x ＋y －2＝0.15．数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称之为三角形的欧拉线．已知△ABC 的顶点A (2，0)，B (0，4)，AC ＝BC ，则△ABC 的欧拉线方程为________．解析： 由题意，线段AB 的中点为M (1，2)，k AB ＝－2， 所以线段AB 的垂直平分线为y －2＝12 (x －1)，即x －2y ＋3＝0，因为AC ＝BC ，所以△ABC 的外心、重心、垂心都位于线段AB 的垂直平分线上， 因此△ABC 的欧拉线方程为x －2y ＋3＝0. 答案： x －2y ＋3＝016．已知实数x ，y 满足y ＝x 2－2x ＋2(－1≤x ≤1)，则y ＋3x ＋2的最大值为________，最小值为________．则y ＋3x ＋2表示定点解析： 如图，作出y ＝x 2－2x －2(－1≤x ≤1)的图象(曲线段AB )，P (－2，－3)和曲线AB 上任一点(x ，y )的连线的斜率k ，连接P A ，PB ，则k P A ≤k ≤k PB .易得A (1，1)，B (－1，5)，所以k P A ＝1－（－3）1－（－2） ＝43 ，k PB ＝5－（－3）－1－（－2）＝8，所以43≤k ≤8，故y ＋3x ＋2的最大值是8，最小值是43 .4答案：8；3。

第8章平面解析几何第一节直线的倾斜角与斜率、直线方程[考纲传真] 1.在平面直角坐标系中，结合具体图形确定直线位置的几何要素.2.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式.3.掌握确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式)，了解斜截式与一次函数的关系．1．直线的倾斜角(1)定义：当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角．当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0.(2)范围：直线l倾斜角的取值范围是[0，π)．2．斜率公式(1)直线l的倾斜角为α≠90°，则斜率k＝tan_α.(2)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)在直线l上，且x1≠x2，则l的斜率k＝y2－y1 x2－x1.3．直线方程的五种形式牢记倾斜角α与斜率k 的关系(1)当α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2且由0增大到π2⎝ ⎛⎭⎪⎫α≠π2时，k 的值由0增大到＋∞. (2)当α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π时，k 也是关于α的单调函数，当α在此区间内由π2⎝ ⎛⎭⎪⎫α≠π2增大到π(α≠π)时，k 的值由－∞趋近于0(k ≠0)．[基础自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)根据直线的倾斜角的大小不能确定直线的位置． ( )(2)坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角与斜率． ( )(3)直线的倾斜角越大，其斜率就越大． ( )(4)过定点P 0(x 0，y 0)的直线都可用方程y －y 0＝k (x －x 0)表示． ( )(5)经过任意两个不同的点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)的直线都可以用方程(y －y 1)(x 2－x 1)＝(x －x 1)(y 2－y 1)表示． ( )[答案] (1)√ (2)× (3)× (4)× (5)√2．(教材改编)若过点M (－2，m )，N (m,4)的直线的斜率等于1，则m 的值为( )A ．1B ．4C ．1或3D ．1或4A [由题意得m －4－2－m＝1，解得m ＝1.] 3．直线3x －y ＋a ＝0的倾斜角为( )A ．30°B ．60°C ．150°D ．120°B [设直线的倾斜角为α，则tan α＝3，∵0°≤α＜180°，∴α＝60°.]4．(教材改编)经过点M (1,1)且在两坐标轴上截距相等的直线方程是( )A ．x ＋y ＝2B ．x ＋y ＝1C ．x ＝1或y ＝1D ．x ＋y ＝2或x ＝yD [若直线过原点，则直线为y ＝x ，符合题意，若直线不过原点，设直线为x m ＋y m ＝1，代入点(1,1)，解得m ＝2，直线方程整理得x ＋y －2＝0，故选D.]5．如果A ·C <0且B ·C <0，那么直线Ax ＋By ＋C ＝0不通过( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限C [由已知得直线Ax ＋By ＋C ＝0在x 轴上的截距－C A >0，在y 轴上的截距－C B >0，故直线经过第一、二、四象限，不经过第三象限．]1( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4 B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫π4，π2∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π B [由直线方程可得该直线的斜率为－1a 2＋1，又－1≤－1a 2＋1＜0，所以倾斜角的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π.] 2．若点A (4,3)，B (5，a )，C (6,5)三点共线，则a 的值为__________．4 [因为k AC ＝5－36－4＝1，k AB ＝a －35－4＝a －3. 由于A ，B ，C 三点共线，所以a －3＝1，即a ＝4.]3．直线l 过点P (1,0)，且与以A (2,1)，B (0，3)为端点的线段有公共点，则直线l 斜率的取值范围为__________．(－∞，－3]∪[1，＋∞) [如图，∵k AP ＝1－02－1＝1，k BP ＝3－00－1＝－3，∴k ∈(－∞，－3]∪[1，＋∞)．]分【例1(1)直线过点(－4,0)，倾斜角的正弦值为1010；(2)直线过点(－3,4)，且在两坐标轴上的截距之和为12.[解] (1)由题设知，该直线的斜率存在，故可采用点斜式．设倾斜角为α，则sin α＝1010(0≤α＜π)，从而cos α＝±31010，则k ＝tan α＝±13.故所求直线方程为y ＝±13(x ＋4)．即x ＋3y ＋4＝0或x －3y ＋4＝0.(2)由题设知横截距与纵截距都不为0，设直线方程为x a ＋y 12－a＝1， 又直线过点(－3,4)，从而－3a ＋412－a＝1，解得a ＝－4或a ＝9. 故所求直线方程为4x －y ＋16＝0或x ＋3y －9＝0.为1，则此直线的方程为________．x ＋2y －2＝0或2x ＋y ＋2＝0 [设所求直线的方程为x a ＋y b ＝1. ∵A (－2,2)在直线上，∴－2a ＋2b ＝1.①又因直线与坐标轴围成的三角形面积为1，∴12|a |·|b |＝1.②由①②可得(1)⎩⎨⎧ a －b ＝1，ab ＝2，或(2)⎩⎨⎧ a －b ＝－1，ab ＝－2.由(1)解得⎩⎨⎧ a ＝2，b ＝1，或⎩⎨⎧a ＝－1，b ＝－2，方程组(2)无解． 故所求的直线方程为x 2＋y 1＝1或x －1＋y －2＝1，即x ＋2y －2＝0或2x ＋y ＋2＝0为所求直线的方程．]O 为坐标原点．(1)当△AOB 面积最小时，求直线l 的方程；(2)当|OA |＋|OB |取最小值时，求直线l 的方程．[解] 设直线l ：x a ＋y b ＝1(a ＞0，b ＞0)，因为直线l 经过点P (4,1)，所以4a ＋1b ＝1.(1)4a ＋1b ＝1≥24a ·1b ＝4ab ， 所以ab ≥16，当且仅当a ＝8，b ＝2时等号成立， 所以当a ＝8，b ＝2时，△AOB 的面积最小，此时直线l 的方程为x 8＋y 2＝1，即x ＋4y －8＝0.(2)因为4a ＋1b ＝1，a ＞0，b ＞0，所以|OA |＋|OB |＝a ＋b ＝(a ＋b )·⎝ ⎛⎭⎪⎫4a ＋1b ＝5＋a b ＋4b a ≥5＋2a b ·4b a ＝9，当且仅当a ＝6，b ＝3时等号成立，所以当|OA |＋|OB |取最小值时，直线l 的方程为x 6＋y 3＝1，即x ＋2y －6＝0.12时，直线l 1，l 2与两坐标轴围成一个四边形，当四边形的面积最小时，求实数a 的值．[解] 由题意知直线l 1，l 2恒过定点P (2,2)，直线l 1在y 轴上的截距为2－a ，直线l 2在x 轴上的截距为a 2＋2， 所以四边形的面积S ＝12×2×(2－a )＋12×2×(a 2＋2)＝a 2－a ＋4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋154， 当a ＝12时，四边形的面积最小，故实数a 的值为12.。

.直线的斜率
．下列命题中，正确的命题是.
（）直线的倾斜角为α，则此直线的斜率为α
（）直线的斜率为α，则此直线的倾斜角为α
（）任何一条直线都有倾斜角，但不是每一条直线都存在斜率（）直线的斜率为，则此直线的倾斜角为或π
．根据下列条件，分别画出经过点，且斜率为的直线，并写出倾斜角 ：（）(，)，＝；（）(－，)，＝；
（）(，－)，＝；（）(，)，斜率不存在．
．判断下列多组点中，三点是否共线共线，并说明理由.
（）(，)，(，)，(，)
（）(),(),()
（）(),(),(，)
（）(，)，(，)，(，)
．过点(－, ), (, )的直线的斜率为－，求的值.
．如图，直线，，的斜率分别是，，，则有，，从小到大的顺序依次为．
．已知直线的倾斜角为α，若α－，求直线的斜率.
．若α是直线的倾斜角，求(α)的取值范围.
．过点(, )和点(, －)的直线的倾斜角为，求的值.
．已知直线过点()，且与以(－)，()为端点的线段有公共点，求的斜率的取值范围．
．已知{}是等差数列，是公差且不为零，它的前项和为，设集合{(, ) ∈}，若以中的元素作为点的坐标，这些点都在同一直线上，求这条直线的斜率。

．已知实数，满足＋＝，当≤≤时，求的最大值与最小值．
反思与回顾
.直线的斜率
.() . 略 . 否、否、是、否 . . <<. －. ［－，］
.－。

课时作业梯级练五十直线的倾斜角与斜率、直线的方程一、选择题(每小题5分,共35分)1.若θ是直线l的倾斜角,且sin θ+cos θ=,则l的斜率为 ( )A.-B.-或-2C.或2D.-2〖解析〗选D.因为sin θ+cos θ=,①所以(sin θ+cos θ)2=1+2sin θcos θ=,所以2sinθcos θ=-,所以(sin θ-cos θ)2=,易知sin θ>0,cos θ<0,所以sin θ-cos θ=,②由①②解得所以tan θ=-2,即l的斜率为-2.2.已知直线l经过两点O(0,0),A(1,),直线m的倾斜角是直线l的倾斜角的两倍,则直线m的斜率是( )A.-B.-C.D.〖解析〗选A.依题意k OA ==,所以直线l 的倾斜角为,所以直线m的倾斜角为,所以直线m的斜率为tan =-.3.若图中的直线l1,l2,l3的斜率分别为k1,k2,k3,则( )A.k1<k2<k3B.k2<k1<k3C.k3<k2<k1D.k1<k3<k2〖解析〗选A.由于直线l1的倾斜角为钝角,所以k1<0;由于直线l2,l3的倾斜角为锐角,且l2的倾斜角小于l3的倾斜角,所以k3>k2>0,所以k1<k2<k3.4.在同一平面直角坐标系中,两直线-=1与-=1的图象可能是( )〖解析〗选D.直线-=1化为+=1在x轴上的截距为m,在y轴上的截距为-n;直线-=1化为+=1在x轴上的截距为n,在y轴上的截距为-m,所以两直线中一直线在x轴上的截距与另一直线在y轴上的截距互为相反数,对于A选项:两直线中一直线在x轴上的截距与另一直线在y轴上的截距同为正数,不满足题意; 对于B选项:两直线中一直线在x轴上的截距与另一直线在y轴上的截距同为负数,不满足题意; 对于C选项:两直线中一直线在x轴上的截距与另一直线在y轴上的截距同为负数,不满足题意;对于D选项:两直线中一直线在x轴上的截距与另一直线在y轴上的截距均异号,满足题意.5.已知直线x+my+1+m=0在两坐标轴上的截距相等,则实数m= ( )A.1B.-1C.±1D.1或0〖解析〗选C.由题意,直线x+my+1+m=0在两坐标轴上的截距相等,当直线x+my+1+m=0过原点时,在坐标轴上的截距都为零,则1+m=0,解得m=-1;当直线x+my+1+m=0不过原点时,要使得在坐标轴上的截距相等,此时直线的斜率为-1,即-=-1,解得m=1,综上可得,实数m=±1.6.设点P是函数f=2e x-f′(0)x+f′(1)图象上的任意一点,点P处切线的倾斜角为α,则角α的取值范围是 ( )A. B.∪C. D.∪〖解析〗选B.因为f=2e x-f′(0)x+f′(1),所以f′=2e x-f′(0),所以f′(0)=2-f′(0),f′(0)=1,所以f=2e x-x+f′(1),所以f′=2e x-1>-1.因为点P是曲线上的任意一点,点P处切线的倾斜角为α,所以tan α>-1.因为α∈,所以α∈∪.7.已知两条直线l1:y=x,l2:ax-y=0,其中a为实数,当这两条直线的夹角在内变动时,a的取值范围是( )A. B.C.∪D.〖解析〗选C.由直线方程l1:y=x,可得直线的倾斜角为α=45°,又因为这两条直线的夹角在内,所以直线l2:ax-y=0的倾斜角的取值范围是30°<α<60°且α≠45°,所以直线l2的斜率a的取值范围为tan 30°<a<tan 60°且a≠tan 45°,即<a<1或1<a<.二、填空题(每小题5分,共15分)8.直线l经过点A(1,2),倾斜角等于直线2x-3y+21=0的倾斜角的两倍,则直线l的一般式方程为.〖解析〗设直线2x-3y+21=0的倾斜角为α,则tan α=,则直线l的倾斜角为2α,所以直线l的斜率为k=tan 2α==,所以直线l的方程为y-2=,整理得直线l的一般式方程为12x-5y-2=0.答案:12x-5y-2=09.已知函数f=ax+2a-1的图象恒过定点A,若点A在直线mx+ny+1=0上,其中m·n>0,则+的最小值为.〖解析〗因为f=ax+2a-1=a-1,所以函数y=f的图象恒过定点A,由于点A在直线mx+ny+1=0上,则-2m-n+1=0,则2m+n=1,因为mn>0,则>0,所以+==++4≥2+4=8, 当且仅当n=2m,即n=,m=时,等号成立,因此,+的最小值为8.答案:810.将直线y=x+-1绕它上面一点(1,)沿逆时针方向旋转15°,所得到的直线方程是.〖解析〗由y=x+-1得直线的斜率为1,倾斜角为45°.因为沿逆时针方向旋转15°,角变为60°,所以所求直线的斜率为.又因为直线过点(1,),所以直线方程为y-=(x-1),即y=x.答案:y=x1.(5分)已知实数a,b满足a+2b=1,则直线ax+3y+b=0必过定点,这个定点的坐标为( )A.B.C. D.〖解析〗选D.因为a+2b=1,所以a=1-2b.因为直线ax+3y+b=0,所以(1-2b)x+3y+b=0,即b(1-2x)+(x+3y)=0.因为所以所以直线必过点.〖解题反思〗求定点定值问题常见的方法有两种:(1)从特殊入手,求出定值,再证明这个值与变量无关.(2)直接推理、计算,并在计算推理的过程中消去变量,从而得到定值.〖加练备选·拔高〗已知直线kx-y+2-4k=0,当k变化时,所有的直线恒过定点( )A. B.C. D.〖解析〗选B.直线kx-y+2-4k=0整理可知y=k+2,故必过定点.2.(5分)设直线l的方程为x+ycos θ+3=0(θ∈R),则直线l的倾斜角α的取值范围是( )A.〖0,π)B.C. D.∪〖解析〗选C.当cos θ=0时,方程变为x+3=0,其倾斜角为;当cos θ≠0时,由直线l的方程,可得斜率k=-.因为cos θ∈〖-1,1〗且cos θ≠0,所以k∈(-∞,-1〗∪〖1,+∞),即tan α∈(-∞,-1〗∪〖1,+∞),又α∈〖0,π),所以α∈∪,综上知,直线l 的倾斜角α的取值范围是.3.(5分)过点P 在两坐标轴上的截距都是非负整数的直线有条( )A.4B.5C.6D.7〖解析〗选D.当截距为0时,是直线OP,只有1条,当截距大于0时,设截距分别为a,b,则直线方程为+=1,因为直线过点P ,所以+=1①,因为a>0,b>0,所以>0,>0,结合①可得,<1,<1,所以a>3,b>4,又因为a,b为整数所以a≥4,b≥5,由①解得b==4+,a-3为12的因数,所以a-3=1,2,3,4,6,12,对应a=4,5,6,7,9,15,相应b=16,10,8,7,6,5,对应的直线有6条,综上所述,满足题意的直线共有7条.〖加练备选·拔高〗1.(2021·西安模拟)已知直线x+a2y-a=0(a是正常数),当此直线在x轴,y轴上的截距和最小时,正数a的值是 ( )A.0B.2C.D.1〖解析〗选D.直线x+a2y-a=0(a是正常数)在x轴,y轴上的截距分别为a和,此直线在x 轴,y轴上的截距和为a+≥2,当且仅当a=1时,等号成立.故当直线x+a2y-a=0在x轴,y轴上的截距和最小时,正数a的值是1.2.已知M,N为不同的两点,直线l:ax+by+c=0,δ=,下列说法正确的有( )①不论δ为何值,点N都不在直线l上;②若δ=1,则过点M,N的直线与直线l平行;③若δ=-1,则直线l经过MN的中点;④若δ>1,则点M,N在直线l的同侧且直线l与线段MN的延长线相交.A.1个B.2个C.3个D.4个〖解析〗选D.因为δ=中,ax2+by2+c≠0,所以点N不在直线l上,故①正确;当b≠0时,根据δ=1得到=1,化简得=-,即直线MN的斜率为-,又直线l的斜率为-,由①可知点N不在直线l上,得到直线MN与直线l平行,当b=0时,可得直线MN与直线l的斜率都不存在,也满足平行,故②正确;当δ=-1时,得到=-1,化简得a·+b·+c=0,而线段MN的中点坐标为,所以直线l经过MN的中点,故③正确;当δ>1时,得到>1,所以>0,即>0,所以点M,N在直线l的同侧且>,可得点M与点N到直线l的距离不等,所以延长线与直线l相交,故④正确.综上:说法正确的有4个.4.(10分)在△ABC中,点A,B,C.(1)若D为BC中点,求直线AD所在直线方程;(2)若D在线段BC上,且S△ABD=2S△ACD,求 .〖解析〗(1)因为D为BC中点,所以D,直线AD的斜率k==3,所以直线AD所在的直线方程为:y-4=3,即直线AD方程为y=3x-5.(2)因为S△ABD=2S△ACD,所以=2,则=,又由=+=+=+=,所以==.5.(10分)已知直线l:kx-y+1+2k=0(k∈R).(1)证明:直线l过定点;(2)若直线l不经过第四象限,求k的取值范围;(3)若直线l交x轴负半轴于点A,交y轴正半轴于点B,O为坐标原点,设△AOB的面积为S,求S的最小值及此时直线l的方程.〖解析〗(1)直线l的方程可化为y=k(x+2)+1,故无论k取何值,直线l总过定点(-2,1). (2)直线l的方程为y=kx+2k+1,则直线l在y轴上的截距为2k+1,要使直线l不经过第四象限,则解得k≥0,故k的取值范围是〖0,+∞).(3)依题意,直线l在x轴上的截距为-,在y轴上的截距为1+2k,所以A,B(0,1+2k).又-<0且1+2k>0,所以k>0.故S=|OA||OB|=××(1+2k)=≥(4+4)=4,当且仅当4k=,即k=时,取等号.故S的最小值为4,此时直线l的方程为x-2y+4=0.。

课时跟踪检测（四十六） 直线的倾斜角与斜率、直线的方程(二)重点高中适用作业A 级——保分题目巧做快做1．在同一平面直角坐标系中，直线l 1：ax ＋y ＋b ＝0和直线l 2：bx ＋y ＋a ＝0有可能是( )解析：选B 由题意l 1：y ＝－ax －b ，l 2：y ＝－bx －a ，当a ＞0，b ＞0时，－a ＜0，－b ＜0.选项B 符合．2．直线x ＋(a 2＋1)y ＋1＝0的倾斜角的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，πC.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫π4，π2∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π 解析：选B 由直线方程可得该直线的斜率为－1a 2＋1，又－1≤－1a 2＋1＜0，所以倾斜角的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π.3．直线l 经过点A (1,2)，在x 轴上的截距的取值范围是(－3,3)，则其斜率的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎪⎫－1，15 B.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，12∪(1，＋∞)C.()－∞，－1∪⎝ ⎛⎭⎪⎫15，＋∞D ．(－∞，－1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞解析：选D 设直线方程为y －2＝k (x －1)，直线在x 轴上的截距为1－2k，令－3<1－2k<3，解不等式得k >12或k <－1.4．在等腰三角形MON 中，MO ＝MN ，点O (0,0)，M (－1,3)，点N 在x 轴的负半轴上，则直线MN 的方程为( )A ．3x －y －6＝0B ．3x ＋y ＋6＝0C ．3x －y ＋6＝0D ．3x ＋y －6＝0解析：选C 因为MO ＝MN ，所以直线MN 的斜率与直线MO 的斜率互为相反数，所以k MN＝－k MO ＝3，所以直线MN 的方程为y －3＝3(x ＋1)，即3x －y ＋6＝0，选C.5．若直线l 与直线y ＝1，x ＝7分别交于点P ，Q ，且线段PQ 的中点坐标为(1，－1)，则直线l 的斜率为( )A.13 B ．－13C ．－32D.23解析：选B 依题意，设点P (a,1)，Q (7，b )，则有⎩⎪⎨⎪⎧a ＋7＝2，b ＋1＝－2，解得a ＝－5，b ＝－3，从而可知直线l 的斜率为－3－17＋5＝－13.6．已知直线l 过点(1,0)，且倾斜角为直线l 0：x －2y －2＝0的倾斜角的2倍，则直线l 的方程为________．解析：由题意可设直线l 0，l 的倾斜角分别为α，2α， 因为直线l 0：x －2y －2＝0的斜率为12，则tan α＝12，所以直线l 的斜率k ＝tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2×121－⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝43， 所以由点斜式可得直线l 的方程为y －0＝43(x －1)，即4x －3y －4＝0. 答案：4x －3y －4＝07．过点(2，－3)且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为________． 解析：若直线过原点，则直线方程为3x ＋2y ＝0；若直线不过原点，则斜率为1，方程为y ＋3＝x －2，即为x －y －5＝0，故所求直线方程为3x ＋2y ＝0或x －y －5＝0.答案：3x ＋2y ＝0或x －y －5＝08．设点A (－1,0)，B (1,0)，直线2x ＋y －b ＝0与线段AB 相交，则b 的取值范围是________．解析：b 为直线y ＝－2x ＋b 在y 轴上的截距，如图，当直线y ＝－2x ＋b 过点A (－1,0)和点B (1,0)时，b 分别取得最小值和最大值．∴b 的取值范围是[－2,2]．答案：[－2,2]9．已知直线l 与两坐标轴围成的三角形的面积为3，分别求满足下列条件的直线l 的方程：(1)过定点A (－3,4)； (2)斜率为16.解：(1)设直线l 的方程为y ＝k (x ＋3)＋4，它在x 轴，y 轴上的截距分别是－4k－3,3k＋4，由已知，得(3k ＋4)⎝ ⎛⎭⎪⎫4k＋3＝±6，解得k 1＝－23或k 2＝－83.故直线l 的方程为2x ＋3y －6＝0或8x ＋3y ＋12＝0. (2)设直线l 在y 轴上的截距为b ，则直线l 的方程为y ＝16x ＋b ，它在x 轴上的截距是－6b ，由已知，得|－6b ·b |＝6，∴b ＝±1.∴直线l 的方程为x －6y ＋6＝0或x －6y －6＝0.10.如图，射线OA ，OB 分别与x 轴正半轴成45°和30°角，过点P (1，0)的直线AB 分别交OA ，OB 于A ，B 两点，当AB 的中点C 恰好落在直线y ＝12x 上时，求直线AB 的方程．解：由题意可得k OA ＝tan 45°＝1，k OB ＝tan(180°－30°)＝－33， 所以直线l OA ：y ＝x ，l OB ：y ＝－33x . 设A (m ，m )，B (－3n ，n )， 所以AB 的中点C ⎝⎛⎭⎪⎫m －3n 2，m ＋n 2，由点C 在直线y ＝12x 上，且A ，P ，B 三点共线得⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n 2＝12·m －3n2，m －0m －1＝n －0－3n －1，解得m ＝3，所以A (3，3)． 又P (1,0)，所以k AB ＝k AP ＝33－1＝3＋32，所以l AB ：y ＝3＋32(x －1)，即直线AB 的方程为(3＋3)x －2y －3－3＝0.B 级——拔高题目稳做准做1．(2018·南昌一模)已知A (1,2)，B (2,11)，若直线y ＝⎝⎛⎭⎪⎫m －6m x ＋1(m ≠0)与线段AB相交，则实数m 的取值范围是( )A ．[－2,0)∪[3，＋∞)B ．(－∞，－1]∪(0,6]C ．[－2，－1]∪[3,6]D ．[－2,0)∪(0,6]解析：选C 由题意得，A (1,2)，B (2,11)两点分布在直线y ＝⎝⎛⎭⎪⎫m －6m x ＋1(m ≠0)的两侧(或其中一点在直线上)，∴⎝⎛⎭⎪⎫m －6m－2＋1⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫m －6m －11＋1≤0，解得－2≤m ≤－1或3≤m ≤6，故选C.2．若a ，b ，p (a ≠0，b ≠0，p >0)分别表示同一直线的横截距、纵截距及原点到直线的距离，则下列关系式成立的是( )A.1a 2＋1b 2＝1p 2B.1a 2－1b 2＝1p2C.1a2＋1p2＝1b2D.1a 2p2＝1b2解析：选A 由题意设直线方程为x a ＋y b＝1，则p 2＝11a2＋1b2，∴1a 2＋1b 2＝1p2，故选A.3．已知点A (－1,0)，B (1,0)，C (0,1)，直线y ＝ax ＋b (a >0)将△ABC 分割为面积相等的两部分，则b 的取值范围是( )A ．(0,1)B.⎝ ⎛⎭⎪⎫1－22，12C.⎝ ⎛⎦⎥⎤1－22，13 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，12 解析：选B 法一：(1)当直线y ＝ax ＋b 与AB ，BC 相交时，如图①所示．易求得：x M ＝－b a，y N ＝a ＋b a ＋1.由已知条件得：⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋b a ·a ＋b a ＋1＝1，∴a ＝b 21－2b.∵点M 在线段OA 上，∴－1<－ba<0，∴0<b <a .∵点N 在线段BC 上，∴0<a ＋ba ＋1<1，∴b <1.由⎩⎪⎨⎪⎧b 21－2b >b ，b21－2b >0，b >0，解得13<b <12.(2)当直线y ＝ax ＋b 与AC ，BC 相交时，如图②所示．设|MC |＝m ，|NC |＝n ，则S △MCN ＝12mn ＝12，∴mn ＝1.显然，0<n <2，∴m ＝1n >22.又0<m ≤2且m ≠n .∴22<m ≤2且m ≠1. 设D 到AC ，BC 的距离为t ，则t m ＝|DN ||MN |，t n ＝|DM ||MN |， ∴t m ＋t n ＝|DN ||MN |＋|DM ||MN |＝1. ∴t ＝mn m ＋n ，∴1t ＝1m ＋1n ＝1m＋m . 而f (m )＝m ＋1m ⎝ ⎛⎭⎪⎫22<m ≤2且m ≠1的值域为⎝ ⎛⎦⎥⎤2，322，即2<1t ≤322，∴23≤t ＜12.∵b ＝1－CD ＝1－2t ，∴1－22＜b ≤13. 综合(1)(2)可得b 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫1－22，12. 法二：由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝1，y ＝ax ＋b 消去x ，得y ＝a ＋ba ＋1，当a ＞0时，直线y ＝ax ＋b 与x 轴交于点⎝ ⎛⎭⎪⎫－b a ，0，结合图形知12×a ＋b a ＋1×⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋b a ＝12，化简得(a ＋b )2＝a (a ＋1)，则a ＝b 21－2b .∵a ＞0，∴b 21－2b ＞0，解得b ＜12.考虑极限位置，即a ＝0，此时易得b ＝1－22，故答案为B. 4．已知点P 在直线x ＋3y －2＝0上，点Q 在直线x ＋3y ＋6＝0上，线段PQ 的中点为M (x 0，y 0)，且y 0<x 0＋2，则y 0x 0的取值范围是________．解析：依题意可得|x 0＋3y 0－2|10＝|x 0＋3y 0＋6|10，化简得x 0＋3y 0＋2＝0，又y 0<x 0＋2，k OM ＝y 0x 0，在坐标轴上作出两直线，如图，当点M 位于线段AB (不包括端点)上时，k OM >0，当点M 位于射线BN 上除B 点外时，k OM <－13.所以y 0x 0的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－13∪(0，＋∞)．答案：⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－13∪(0，＋∞)5.已知直线l 过点P (3,2)，且与x 轴、y 轴的正半轴分别交于A ，B 两点，如图所示，当△ABO 的面积取最小值时，求直线l 的方程．解：法一：设A (a,0)，B (0，b )(a >0，b >0)， 则直线l 的方程为x a ＋y b＝1. 因为l 过点P (3,2)，所以3a ＋2b＝1.因为1＝3a ＋2b ≥26ab，整理得ab ≥24，所以S △ABO ＝12ab ≥12，当且仅当3a ＝2b，即a ＝6，b ＝4时取等号．此时直线l 的方程是x 6＋y4＝1，即2x ＋3y －12＝0.法二：依题意知，直线l 的斜率k 存在且k <0， 可设直线l 的方程为y －2＝k (x －3)(k <0)，则A ⎝⎛⎭⎪⎫3－2k，0，B (0,2－3k )，S △ABO ＝12(2－3k )⎝ ⎛⎭⎪⎫3－2k＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤12＋－9k ＋4－k≥12⎣⎢⎡⎦⎥⎤12＋2 －9k ·4－k＝12×(12＋12)＝12， 当且仅当－9k ＝4－k ，即k ＝－23时，等号成立． 所以所求直线l 的方程为2x ＋3y －12＝0. 6．已知直线l ：kx －y ＋1＋2k ＝0(k ∈R)． (1)证明：直线l 过定点；(2)若直线l 不经过第四象限，求k 的取值范围；(3)若直线l 交x 轴负半轴于点A ，交y 轴正半轴于点B ，O 为坐标原点，设△AOB 的面积为S ，求S 的最小值及此时直线l 的方程．解：(1)证明：直线l 的方程可化为y ＝k (x ＋2)＋1，故无论k 取何值，直线l 总过定点(－2,1)．(2)直线l 的方程为y ＝kx ＋2k ＋1，则直线l 在y 轴上的截距为2k ＋1，要使直线l 不经过第四象限，则⎩⎪⎨⎪⎧k ≥0，1＋2k ≥0，解得k ≥0，故k 的取值范围是[)0，＋∞.(3)依题意，直线l 在x 轴上的截距为－1＋2kk，在y 轴上的截距为1＋2k ，∴A ⎝⎛⎭⎪⎫－1＋2k k，0，B (0,1＋2k )． 又－1＋2k k<0且1＋2k >0，∴k >0.故S ＝12|OA ||OB |＝12×1＋2k k ×(1＋2k )＝12⎝⎛⎭⎪⎫4k ＋1k ＋4≥12(4＋4)＝4，当且仅当4k ＝1k ，即k ＝12时，取等号．故S 的最小值为4，此时直线l 的方程为x －2y ＋4＝0.。

课时跟踪检测（四十五）直线的倾斜角与斜率、直线的方程一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．直线x ＋3y ＋1＝0的倾斜角是________． 解析：由直线的方程得直线的斜率为k ＝－33，设倾斜角为α，则tan α＝－33，所以α＝5π6. 答案：5π62．直线l ：x sin 30°＋y cos 150°＋1＝0的斜率是________． 解析：设直线l 的斜率为k ，则k ＝－s in 30°cos 150°＝33.答案：333．倾斜角为135°，在y 轴上的截距为－1的直线方程是________．解析：直线的斜率为k ＝tan 135°＝－1，所以直线方程为y ＝－x －1，即x ＋y ＋1＝0. 答案：x ＋y ＋1＝04．若直线l 的斜率为k ，倾斜角为α，而α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫2π3，π，则k 的取值范围是__________．解析：∵k ＝tan α，α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫2π3，π∴－3≤k <0或33≤k ≤1. 答案：[－3，0)∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤33，1 5．如果A ·C <0，且B ·C <0，那么直线Ax ＋By ＋C ＝0不经过第________象限．解析：由题意知A ·B ·C ≠0，直线方程变形为y ＝－A B x －CB .∵A ·C <0，B ·C <0，∴A ·B >0，∴其斜率k ＝－A B <0，又y 轴上的截距b ＝－CB>0.∴直线过第一、二、四象限，不经过第三象限．答案：三二保高考，全练题型做到高考达标1．(2016·常州一中月考)已知直线l 的斜率为k ，倾斜角为θ，若30°<θ<90°，则实数k 的取值范围是________．解析：因为30°<θ<90°，所以斜率k >0，且斜率k 随着θ的增大而增大，所以k >33. 答案：⎝⎛⎭⎪⎫33，＋∞ 2．(2016·南京学情调研)直线x ＋(a 2＋1)y ＋1＝0的倾斜角的取值范围是________． 解析：依题意，直线的斜率k ＝－1a2＋1∈[)－1，0，因此其倾斜角的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π.答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π3．若k ∈R ，直线kx －y －2k －1＝0恒过一个定点，则这个定点的坐标为________． 解析：y ＋1＝k (x －2)是直线的点斜式方程，故它所经过的定点为(2，－1)． 答案：(2，－1)4．已知直线l 过点(1,0)，且倾斜角为直线l 0：x －2y －2＝0的倾斜角的2倍，则直线l 的方程为________．解析：由题意可设直线l 0，l 的倾斜角分别为α，2α， 因为直线l 0：x －2y －2＝0的斜率为12，则tan α＝12，所以直线l 的斜率k ＝tan 2α＝2tan α1－tan2α＝2×121－⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝43，所以由点斜式可得直线l 的方程为y －0＝43(x －1)，即4x －3y －4＝0. 答案：4x －3y －4＝05．直线l 1：(2m 2－5m ＋2)x －(m 2－4)y ＋5＝0的斜率与直线l 2：x －y ＋1＝0的斜率相同，则m 等于________．解析：由题意知m ≠±2，直线l 1的斜率为2m2－5m ＋2m2－4，直线l 2的斜率为1，则2m2－5m ＋2m2－4＝1，即m 2－5m ＋6＝0，解得m ＝2或3(m ＝2不合题意，舍去)，故m ＝3.答案：36．直线l ：(a －2)x ＋(a ＋1)y ＋6＝0，则直线l 恒过定点________． 解析：直线l 的方程变形为a (x ＋y )－2x ＋y ＋6＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝0，－2x ＋y ＋6＝0，解得x ＝2，y ＝－2，所以直线l 恒过定点(2，－2)．答案：(2，－2)7．一条直线经过点A (2，－3)，并且它的倾斜角等于直线y ＝13x 的倾斜角的2倍，则这条直线的一般式方程是________．解析：∵直线y ＝13x 的倾斜角为30°，所以所求直线的倾斜角为60°， 即斜率k ＝tan 60°＝ 3. 又该直线过点A (2，－3)，故所求直线为y －(－3)＝3(x －2)， 即3x －y －33＝0. 答案：3x －y －33＝08．(2016·盐城调研)若直线l ：x a ＋yb ＝1(a >0，b >0)经过点(1,2)，则直线l 在x 轴和y 轴上的截距之和的最小值是________．解析：由直线l ：x a ＋yb＝1(a >0，b >0)可知直线在x 轴上的截距为a ，直线在y 轴上的截距为b .求直线在x 轴和y 轴上的截距之和的最小值，即求a ＋b 的最小值．由直线经过点(1,2)得1a ＋2b＝1.于是a ＋b ＝(a ＋b )×⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋2b ＝3＋b a ＋2a b ，因为b a ＋2a b ≥2b a ·2a b ＝22(当且仅当b a ＝2a b时取等号)，所以a ＋b ≥3＋2 2.答案：3＋2 29．已知A (1，－2)，B (5,6)，直线l 经过AB 的中点M ，且在两坐标轴上的截距相等，求直线l 的方程．解：法一：设直线l 在x 轴，y 轴上的截距均为a . 由题意得M (3,2)．若a ＝0，即l 过点(0,0)和(3,2)， ∴直线l 的方程为y ＝23x ，即2x －3y ＝0.若a ≠0，设直线l 的方程为x a ＋ya ＝1，∵直线l 过点(3,2)， ∴3a ＋2a＝1，解得a ＝5，此时直线l 的方程为x 5＋y5＝1，即x ＋y －5＝0.综上所述，直线l 的方程为2x －3y ＝0或x ＋y －5＝0.法二：由题意知M (3,2)，所求直线l 的斜率k 存在且k ≠0，则直线l 的方程为y －2＝k (x －3)，令y ＝0，得x ＝3－2k ；令x ＝0，得y ＝2－3k .∴3－2k ＝2－3k ，解得k ＝－1或k ＝23，∴直线l 的方程为y －2＝－(x －3)或y －2＝23(x －3)，即x ＋y －5＝0或2x －3y ＝0.10．过点A (1,4)引一条直线l ，它与x 轴，y 轴的正半轴的交点分别为(a,0)和(0，b )，当a ＋b 最小时，求直线l 的方程．解：法一：由题意，设直线l ：y －4＝k (x －1)，由于k <0， 则a ＝1－4k，b ＝4－k .∴a ＋b ＝5＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－4k －k ≥5＋4＝9. 当且仅当k ＝－2时，取“＝”． 故得l 的方程为y ＝－2x ＋6. 法二：设l ：x a ＋yb ＝1(a >0，b >0)，由于l 经过点A (1,4)，∴1a ＋4b ＝1，∴a ＋b ＝(a ＋b )·⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋4b ＝5＋4a b ＋b a ≥9， 当且仅当4a b ＝ba 时，即b ＝2a 时，取“＝”，即a ＝3，b ＝6.∴所求直线 l 的方程为x 3＋y6＝1，即y ＝－2x ＋6.三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．已知曲线y ＝1ex ＋1，则曲线的切线中斜率最小的直线与两坐标轴所围成的三角形的面积为________．解析：y ′＝－ex ＋＝－1ex ＋1ex＋2，因为e x >0，所以e x＋1ex ≥2ex·1ex＝2当且仅当ex＝1ex ，即x ＝0时取等号，所以e x＋1ex ＋2≥4，故y ′＝－1ex ＋1ex＋2≥－14(当且仅当x ＝0时取等号)．所以当x ＝0时，曲线的切线斜率取得最小值，此时切点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，切线的方程为y －12＝－14(x －0)，即x ＋4y －2＝0.该切线在x 轴上的截距为2，在y 轴上的截距为12，所以该切线与两坐标轴所围成的三角形的面积S ＝12×2×12＝12.答案：122．已知直线l ：kx －y ＋1＋2k ＝0(k ∈R)． (1)证明：直线l 过定点；(2)若直线l 不经过第四象限，求k 的取值范围；(3)若直线l 交x 轴负半轴于点A ，交y 轴正半轴于点B ，O 为坐标原点，设△AOB 的面积为S ，求S 的最小值及此时直线l 的方程．解：(1)证明：直线l 的方程可化为y ＝k (x ＋2)＋1，故无论k 取何值，直线l 总过定点(－2,1)．(2)直线l 的方程为y ＝kx ＋2k ＋1，则直线l 在y 轴上的截距为2k ＋1，要使直线l 不经过第四象限，则⎩⎪⎨⎪⎧k≥0，1＋2k≥0，解得k 的取值范围是[)0，＋∞.(3)依题意，直线l 在x 轴上的截距为－1＋2k k ，在y 轴上的截距为1＋2k ，∴A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1＋2k k ，0，B (0,1＋2k )． 又－1＋2k k <0且1＋2k >0，∴k >0.故S ＝12|OA ||OB |＝12×1＋2k k×(1＋2k )＝12⎝⎛⎭⎪⎫4k ＋1k ＋4≥12(4＋4)＝4，当且仅当4k ＝1k ，即k ＝12时，取等号．故S 的最小值为4，此时直线l 的方程为x －2y ＋4＝0.。

【状元之路】（新课标，通用版）2015届高考数学一轮复习 10-1直线的倾斜角与斜率、直线的方程同步检测（2）文一、选择题1．直线2x －y －2＝0绕它与y 轴的交点逆时针旋转π2所得的直线方程是( )A ．x －2y ＋4＝0B ．x ＋2y －4＝0C ．x －2y －4＝0D ．x ＋2y ＋4＝0解析：直线2x －y －2＝0与y 轴交点为A (0，－2)，所求直线过A 且斜率为－12，故所求直线方程为y ＋2＝－12(x －0)，即x ＋2y ＋4＝0 .答案：D2．如图中的直线l 1、l 2、l 3的斜率分别为k 1、k 2、k 3，则( )A ．k 1<k 2<k 3B ．k 3<k 1<k 2C ．k 3<k 2<k 1D ．k 1<k 3<k 2解析：直线l 1的斜率角α1是钝角，故k 1<0，直线l 2与l 3的倾斜角α2与α3均为锐角，且α2>α3，所以0<k 3<k 2，因此k 1<k 3<k 2，故选D.答案：D3．已知直线l ：ax ＋y －2－a ＝0在x 轴和y 轴上的截距相等，则a 的值是( ) A ．1 B ．－1C ．－2或－1D ．－2或1 解析：由题意得a ＋2＝a ＋2a，∴a ＝－2或a ＝1. 答案：D4．过两点(－1,1)和(0,3)的直线在x 轴上的截距为( )A ．－32 B.32C ．3D ．－3解析：过两点(－1,1)和(0,3)的直线方程为y －13－1＝x －－10－－1，即y ＝2x ＋3，令y ＝0得x ＝－32，即为所求． 答案：A5．已知点A (1，－2)，B (m,2)，且线段AB 的垂直平分线的方程是x ＋2y －2＝0，则实数m 的值是( )A ．－2B ．－7C ．3D ．1解析：线段AB 的中点⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋m 2，0代入直线x ＋2y －2＝0中，得m ＝3.答案：C6．若k ，－1，b 三个数成等差数列，则直线y ＝kx ＋b 必经过定点( ) A ．(1，－2) B ．(1,2) C ．(－1,2) D ．(－1，－2)解析：因为k ，－1，b 三个数成等差数列，所以k ＋b ＝－2，即b ＝－2－k ，于是直线方程化为y ＝kx －k －2，即y ＋2＝k (x －1)，故直线必过定点(1，－2)．答案：A7．直线ax ＋by ＋c ＝0同时要经过第一、第二、第四象限，则a ，b ，c 应满足( ) A ．ab ＞0，bc ＜0 B ．ab ＞0，bc ＞0 C ．ab ＜0，bc ＞0 D ．ab ＜0，bc ＜0解析：由于直线ax ＋by ＋c ＝0经过第一、二、四象限，所以直线存在斜率，将方程变形为y ＝－ab x －c b ，易知－a b ＜0且－c b＞0，故ab ＞0，bc ＜0.答案：A8．设直线l 的方程为x ＋y cos θ＋3＝0 (θ∈R )，则直线l 的倾斜角α的X 围是( ) A ．[0，π) B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫π4，π2C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，3π4 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫π4，π2∪⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，3π4解析：当cos θ＝0时，方程变为x ＋3＝0，其倾斜角为π2；当cos θ≠0时，由直线方程可得斜率k ＝－1cos θ.∵cos θ∈[－1,1]且cos θ≠0，∴k ∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)， 即tan α∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)， 又α∈[0，π)，∴α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫π4，π2∪⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，3π4.由上知，倾斜角的X 围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，3π4，故选C. 答案：C9．设点A (－2,3)，B (3,2)，若直线ax ＋y ＋2＝0与线段AB 没有交点，则a 的取值X 围是( ) A.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－52∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫43，＋∞B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－43，52C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－52，43 D.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－43∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫52，＋∞解析：直线ax ＋y ＋2＝0恒过点M (0，－2)，且斜率为－a ， ∵k MA ＝3－－2－2－0＝－52，k MB ＝2－－23－0＝43，由图可知：－a >－52且－a <43，∴a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－43，52. 答案：B10．直线Ax ＋By －1＝0在y 轴上的截距是－1，而且它的倾斜角是直线3x －y ＝33的倾斜角的2倍，则( )A ．A ＝3，B ＝1 B ．A ＝－3，B ＝－1C ．A ＝3，B ＝－1D ．A ＝－3，B ＝1解析：将直线Ax ＋By －1＝0化成斜截式y ＝－A Bx ＋1B.∵1B＝－1，∴B ＝－1，故排除A 、D.又直线3x －y ＝33的倾斜角α＝π3，∴直线Ax ＋By －1＝0的倾斜角为2α＝2π3，∴斜率－A B ＝tan 2π3＝－3，∴A ＝－ 3.答案：B 二、填空题11．直线l 与两直线y ＝1，x －y －7＝0分别交于P 、Q 两点，线段PQ 中点是(1，－1)，则l 的斜率是__________．解析：设P (m,1)，则Q (2－m ，－3)， ∴(2－m )＋3－7＝0， ∴m ＝－2，∴P (－2,1)， ∴k ＝1＋1－2－1＝－23.答案：－2312．已知A (3,0)，B (0,4)，直线AB 上一动点P (x ，y )，则xy 的最大值是__________．解析：直线AB 的方程为x 3＋y 4＝1，设P (x ，y )，则x ＝3－34y ，∴xy ＝3y －34y 2＝34(－y 2＋4y )＝34[－(y －2)2＋4]≤3. 即当P 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2时，xy 取最大值3. 答案：313．若过点P (1－a,1＋a )与Q (3,2a )的直线的倾斜角为钝角，则实数a 的取值X 围是__________． 解析：k ＝tan α＝2a －1＋a 3－1－a ＝a －1a ＋2. ∵α为钝角，∴a －1a ＋2＜0，即(a －1)(a ＋2)＜0，故－2＜a ＜1.答案：(－2,1)14. 若ab >0，且A (a,0)、B (0，b )、C (－2，－2)三点共线，则ab 的最小值为__________．解析：根据A (a,0)、B (0，b )确定直线的方程为x a ＋y b＝1，又C (－2，－2)在该直线上，故－2a＋－2b＝1，所以－2(a ＋b )＝ab .又ab >0，故a <0，b <0.根据基本不等式ab ＝－2(a ＋b )≥4ab ，从而ab ≤0(舍去)或ab ≥4，故ab ≥16， 当且仅当a ＝b ＝－4时取等号．即ab 的最小值为16. 答案：16 三、解答题15．已知两点A (－1,2)，B (m,3)． (1)求直线AB 的方程； (2)已知实数m ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33－1，3－1，求直线AB 的倾斜角α的取值X 围． 解析：(1)当m ＝－1时，直线AB 的方程为x ＝－1； 当m ≠－1时，直线AB 的方程为y －2＝1m ＋1(x ＋1)． (2)①当m ＝－1时，α＝π2；②当m ≠－1时，m ＋1∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－33，0∪(0，3]， ∴k ＝1m ＋1∈(－∞，－ 3 ]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫33，＋∞， ∴α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫π6，π2∪⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，2π3.综合①②知，直线AB 的倾斜角α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3.答案：(1)m ＝－1时，x ＝－1；m ≠－1时，y －2＝1m ＋1(x ＋1)；(2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3.16．过点P (3,0)作一直线，使它夹在两直线l 1：2x －y －2＝0与l 2：x ＋y ＋3＝0之间的线段AB 恰被点P 平分，求此直线的方程．解析：设点A (x ，y )在l 1上，点B (x B ，y B )在l 2上．由题意知⎩⎪⎨⎪⎧x ＋xB 2＝3，y ＋yB2＝0，则点B (6－x ，－y )，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －2＝0，6－x ＋－y ＋3＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝113，y ＝163，则k ＝163－0113－3＝8. 故所求的直线方程为y ＝8(x －3)，即8x －y －24＝0. 答案：8x －y －24＝0.创新试题 教师备选 教学积累 资源共享1．过点M (3，－4)且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为__________． 解析：①当过原点时，直线方程为y ＝－43x ；②当不过原点时，设直线方程为x a ＋y－a ＝1，即x －y ＝a .代入点(3，－4)，得a ＝7. 即直线方程为x －y －7＝0. 答案：y ＝－43x 或x －y －7＝02．[2014·某某检测]已知直线x ＋2y ＝2分别与x 轴、y 轴相交于A ，B 两点，若动点P (a ，b )在线段AB 上，则ab 的最大值为__________．解析：直线方程可化为x2＋y ＝1，故直线与x 轴的交点为A (2,0)，与y 轴的交点为B (0,1)，由动点P (a ，b )在线段AB 上，可知0≤b ≤1，且a ＋2b ＝2，从而a ＝2－2b ，故ab ＝(2－2b )b ＝－2b 2＋2b ＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫b －122＋12，由于0≤b ≤1，故当b ＝12时，ab 取得最大值12.答案：123．一条直线经过点A (－2,2)，并且与两坐标轴围成的三角形的面积为1，则此直线的方程为__________．解析：设所求直线的方程为x a ＋y b＝1，∵A (－2,2)在直线上，∴－2a ＋2b＝1.①又因直线与坐标轴围成的三角形面积为1， ∴12|a |·|b |＝1.② 由①②可得(1)⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＝1，ab ＝2或(2)⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＝－1，ab ＝－2.由(1)解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－2，方程组(2)无解．故所求的直线方程为x 2＋y 1＝1或x －1＋y－2＝1，即x ＋2y －2＝0或2x ＋y ＋2＝0为所求直线的方程． 答案：x ＋2y －2＝0或2x ＋y ＋2＝04．已知直线l 过点P (3,2)，且与x 轴，y 轴的正半轴分别交于A ，B 两点如图，求△ABO 的面积的最小值及此时直线l 的方程．解析：设A (a,0)，B (0，b )，(a ＞0，b ＞0)，则直线l 的方程为x a ＋y b＝1， ∵l 过点P (3,2)，∴3a ＋2b＝1.∴1＝3a ＋2b ≥26ab，即ab ≥24.∴S △ABO ＝12ab ≥12.当且仅当3a ＝2b ，即a ＝6，b ＝4时，△ABO 的面积最小，最小值为12. 此时直线l 的方程为x 6＋y4＝1.即2x ＋3y －12＝0. 答案：2x ＋3y －12＝0。

课时跟踪练(五十二) A 组 基础巩固 1．倾斜角为135°，在y 轴上的截距为－1的直线方程是()A ．x －y ＋1＝0B ．x －y －1＝0C ．x ＋y －1＝0D ．x ＋y ＋1＝0解析：直线的斜率为k ＝tan 135°＝－1，所以直线方程为y ＝－x －1，即x ＋y ＋1＝0.答案：D2．直线l ：x sin 30°＋y cos 150°＋1＝0的斜率是()A.33B. 3 C ．－3D ．－33 解析：设直线l 的斜率为k ，则k ＝－sin 30°cos 150°＝33. 答案：A3．(2019·海淀区模拟)过点(2，1)且倾斜角比直线y ＝－x －1的倾斜角小π4的直线方程是()A ．x ＝2B ．y ＝1C ．x ＝1D ．y ＝2解析：因为直线y ＝－x －1的斜率为－1，则倾斜角为3π4，依题意，所求直线的倾斜角为3π4－π4＝π2， 所以斜率不存在，所以过点(2，1)的直线方程为x ＝2.答案：A4．(2019·某某调研)在同一平面直角坐标系中，直线l 1：ax ＋y ＋b ＝0和直线l 2：bx ＋y ＋a ＝0有可能是()解析：当a >0，b >0时，－a <0，－b <0.选项B 符合．答案：B5.如图中的直线l 1，l 2，l 3的斜率分别为k 1，k 2，k 3，则()A ．k 1<k 2<k 3B ．k 3<k 1<k 2C ．k 3<k 2<k 1D ．k 1<k 3<k 2解析：直线l 1的倾斜角α1是钝角，故k 1<0，直线l 2与l 3的倾斜角α2与α3均为锐角且α2>α3，所以0<k 3<k 2，因此k 1<k 3<k 2，故选D.答案：D6．(2019·某某一模)已知直线l 的斜率为3，在y 轴上的截距为另一条直线x －2y －4＝0的斜率的倒数，则直线l 的方程为()A ．y ＝3x ＋2B ．y ＝3x －2C ．y ＝3x ＋12D ．y ＝－3x ＋2 解析：因为直线x －2y －4＝0的斜率为12，所以直线l 在y 轴上的截距为2，所以直线l 的方程为y ＝3x ＋2.故选A.答案：A7．设直线ax ＋by ＋c ＝0的倾斜角为α，且sin α＋cos α＝0，则a ，b 满足()A ．a ＋b ＝1B ．a －b ＝1C ．a ＋b ＝0D ．a －b ＝0解析：由sin α＋cos α＝0，得sin αcos α＝－1，即tan α＝－1. 又因为tan α＝－a b ，所以－a b＝－1，则a ＝b ，即a －b ＝0.答案：D8．直线x －2y ＋b ＝0与两坐标轴围成的三角形的面积不大于1，那么b 的取值X 围是()A ．[－2，2]B ．(－∞，－2]∪[2，＋∞)C ．[－2，0)∪(0，2]D ．(－∞，＋∞)解析：令x ＝0，得y ＝b 2，令y ＝0，得x ＝－b ，所以所围三角形的面积为12×⎪⎪⎪⎪⎪⎪b 2×|－b |＝14b 2，所以14b 2≤1，所以b 2≤4，又由题意知b ≠0，所以b ∈[－2，0)∪(0，2]．答案：C9．不论实数m 为何值，直线mx －y ＋2m ＋1＝0恒过定点________．解析：直线mx －y ＋2m ＋1＝0可化为m (x ＋2)＋(－y ＋1)＝0，因为m ∈R ，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2＝0，－y ＋1＝0，所以x ＝－2，y ＝1， 所以直线mx －y ＋2m ＋1＝0恒过定点(－2，1)．答案：(－2，1)10．已知三角形的三个顶点A (－5，0)，B (3，－3)，C (0，2)，则BC 边上中线所在的直线方程为________．解析：BC 边的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－12，所以BC 边上中线所在的直线方程为y －0－12－0＝x ＋532＋5，即x ＋13y ＋5＝0.答案：x ＋13y ＋5＝011．设点A (－1，0)，B (1，0)，直线2x ＋y －b ＝0与线段AB 相交，则b 的取值X 围是________．解析：b 为直线y ＝－2x ＋b 在y 轴上的截距，如图，当直线y ＝－2x ＋b 过点A (－1，0)和点B (1，0)时，b 分别取得最小值和最大值， 所以b 的取值X 围是[－2，2]．答案：[－2，2]12．若直线l 经过点A (1，2)，在x 轴上的截距的取值X 围是(－3，3)，则其斜率的取值X 围是________．解析：设直线l 的斜率为k ，则k ≠0，直线方程为y －2＝k (x －1)，在x 轴上的截距为1－2k.令－3<1－2k <3，解得k <－1或k >12. 答案：(－∞，－1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ B 组 素养提升13．(2019·某某四地七校联考)已知函数f (x )＝a sin x －b cos x (a ≠0，b ≠0)，若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ，则直线ax －by ＋c ＝0的倾斜角为() A.π4B.π3C.2π3D.3π4 解析：由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x 知函数f (x )的图象关于x ＝π4对称，所以f (0)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，所以a ＝－b ，由直线ax －by ＋c ＝0知其斜率为k ＝a b ＝－1，所以直线的倾斜角为3π4，故选D.答案：D14．(2019·某某一模)已知动直线l 0：ax ＋by ＋c －2＝0(a ＞0，c ＞0)恒过点P (1，m )，且Q (4，0)到动直线l 0的最大距离为3，则12a ＋2c的最小值为() A.92B.94C ．1D ．9 解析：动直线l 0：ax ＋by ＋c －2＝0(a ＞0，c ＞0)恒过点P (1，m )，所以a ＋bm ＋c －2＝0.又Q (4，0)到动直线l 0的最大距离为3， 所以（4－1）2＋（0－m ）2＝3，解得m ＝0.所以a ＋c ＝2.又a ＞0，c ＞0，所以12a ＋2c ＝12(a ＋c )⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＋2c ＝12(52＋c 2a ＋2a c)≥12⎝ ⎛⎭⎪⎫52＋2c 2a ·2a c ＝94， 当且仅当c ＝2a ＝43时取等号，故选B. 答案：B15．已知A (3，0)，B (0，4)，直线AB 上一动点P (x ，y )，则xy 的最大值是________．解析：直线AB 的方程为x 3＋y 4＝1. 因为动点P (x ，y )在直线AB 上，则x ＝3－34y ， 所以xy ＝3y －34y 2＝－34(y 2－4y )＝－34(y －2)2＋3≤3， 即当P 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2时，xy 取最大值3. 答案：316．(2019·某某一中模拟)在平面直角坐标系中，如果x 与y 都是整数，就称点(x ，y )为整点，下列命题中正确的是________(写出所有正确命题的编号)．①存在这样的直线，既不与坐标轴平行又不经过任何整点；②若k 与b 都是无理数，则直线y ＝kx ＋b 不经过任何整点；③直线l 经过无穷多个整点，当且仅当l 经过两个不同的整点；④直线y ＝kx ＋b 经过无穷多个整点的充要条件是k 与b 都是有理数；⑤存在恰经过一个整点的直线．解析：对于①，比如直线y ＝2x ＋3，当x 取整数时，y 始终是一个无理数，即直线y ＝2x ＋3既不与坐标轴平行又不经过任何整点，①正确；对于②，直线y ＝2x －2中k 与b 都是无理数，但直线经过整点(1，0)，②错误；对于③，当直线经过两个整点时，它经过无数多个整点，③正确；对于④，当k ＝0，b ＝12时，直线y ＝12不经过任何整点，④错误；对于⑤，比如直线y ＝2x －2只经过一个整点(1，0)，⑤正确．故答案为①③⑤.答案：①③⑤。

"【走向高考】2015届高考数学一轮总复习 9-1直线的倾斜角与斜率、直线的方程课后强化作业 北师大版 "基础达标检测一、选择题1．过点A (－2,4m )，B (m,4)的直线的斜率为1，则m ＝( )A.35B.25C ．1D ．2[答案]B[解析]4－4m m ＋2＝1，得m ＝25. 2．光线自点M (2,3)射到N (1,0)后被x 轴反射，则反射光线所在的直线方程为( )A ．y ＝3x －3B ．y ＝－3x ＋3C ．y ＝－3x －3D ．y ＝3x ＋3[答案]B[解析]点M 关于x 轴的对称点M ′(2，－3)，则反射光线即在直线NM ′上，由y －0－3－0＝x －12－1，得y ＝－3x ＋3. 3．设直线ax ＋by ＋c ＝0的倾斜角为α，且sin α＋cos α＝0，则a 、b 满足( )A ．a ＋b ＝1B ．a －b ＝1C ．a ＋b ＝0D ．a －b ＝0[答案]D[解析]∵sin α＋cos α＝0，∴tan α＝－1，即－a b＝－1，∴a －b ＝0. 4．(2014·宁都模拟)经过两点A (4,2y ＋1)，B (2，－3)的直线的倾斜角为3π4，则y ＝( ) A ．－1 B ．－3C ．0D ．2[答案]B[解析]由2y ＋1－(－3)4－2＝2y ＋42＝y ＋2，得：y ＋2＝tan 3π4＝－1，∴y ＝－3. 5．(文)经过点A (1,2)，并且在两个坐标轴上的截距相等的直线有( )A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条[答案]B[解析]设直线在x 轴，y 轴上的截距分别为a ，b ，则a ＝b 若a ＝b ＝0，则直线方程为y ＝kx ，∵直线过A (1,2)，∴k ＝2，∴直线方程为y ＝2x .若a ≠0，b ≠0，则直线方程为x a ＋y b＝1， ∵直线过A (1,2)，则1a ＋2b＝1， 若a ＝b ，则a ＝b ＝3，∴直线方程为x ＋y －3＝0，∴满足条件的直线有2条，故选B.(理)已知点M 是直线l ：2x －y －4＝0与x 轴的交点，把直线l 绕点M 按逆时针方向旋转45°，得到的直线方程是( )A ．3x ＋y －6＝0B ．3x －y ＋6＝0C ．x ＋y －3＝0D ．x －3y －2＝0[答案]A[解析]由题意知M (2,0)，设已知直线和所求直线的倾斜角分别为α，β，则β＝α＋45°且tan α＝2,45°<α<90°，tan β＝tan(α＋45°)＝tan α＋tan45°1－tan αtan45°＝－3， 所以所求直线方程为y －0＝－3(x －2)，即3x ＋y －6＝0.6．(文)已知点A (1,3)，B (－2，－1)，若直线l y ＝k (x －2)＋1与线段AB 相交，则k 的取值X 围( )A ．k ≥12B ．k ≤－2C ．k ≥12或k ≤－2D ．－2≤k ≤12[答案]D[解析]如图，l 过P (2,1)，k P A ≤k ≤k PB ，k P A ＝3－11－2＝－2，而k PB ＝12， ∴－2≤k ≤12. (理)点P (x ，y )在以A (－3,1)，B (－1,0)，C (－2,0)为顶点的△ABC 的内部运动(不包含边界)，则y －2x －1的取值X 围是( ) A.⎣⎡⎦⎤12，1B.⎝⎛⎭⎫12，1C.⎣⎡⎦⎤14，1D.⎝⎛⎭⎫14，1[答案]D[解析]令k ＝y －2x －1，则k 可以看成过点D (1,2)和点P (x ，y )的直线斜率，显然k DA 是最小值，k BD 是最大值．由于不包含边界，所以k ∈⎝⎛⎭⎫14，1.二、填空题7．若经过点P (1－a,1＋a )和Q (3,2a )的直线的倾斜角为钝角，则实数a 的取值X 围是________．[答案](－2,1)[解析]∵直线的斜率k ＝a －1a ＋2，且直线的倾斜角为钝角， ∴a －1a ＋2<0，解得－2<a <1.8．直线ax ＋my －2a ＝0(m ≠0)过点(1,1)，则该直线的倾斜角α为________．[答案]135°[解析]∵ax ＋my －2a ＝0(m ≠0)过点(1,1)，∴a ＋m －2a ＝0.∴m ＝a .直线方程为ax ＋ay －2a ＝0，又m ＝a ≠0，∴直线方程即为x ＋y －2＝0.∴斜率k ＝－1，∴倾斜角α＝135°.9．一条直线l 过点P (1,4)，分别交x 轴，y 轴的正半轴于A 、B 两点，O 为原点，则△AOB 的面积最小时直线l 的方程为________．[答案]4x ＋y －8＝0[解析]设l ：x a ＋y b＝1(a ，b >0)． 因为点P (1,4)在l 上，所以1a ＋4b ＝1.由1＝1a ＋4b≥24ab⇒ab ≥16， 所以S △AOB ＝12ab ≥8. 当1a ＝4b ＝12， 即a ＝2，b ＝8时取等号．故直线l 的方程为4x ＋y －8＝0.三、解答题10．已知直线l 与两坐标轴围成的三角形的面积为3，分别求满足下列条件的直线l 的方程：(1)过定点A (－3,4)；(2)斜率为16. [解析](1)设直线l 的方程是y ＝k (x ＋3)＋4，它在x 轴，y 轴上的截距分别是－4k －3,3k ＋4，由已知，得(3k ＋4)⎝⎛⎭⎫4k ＋3＝±6， 解得k 1＝－23或k 2＝－83. 故直线l 的方程为2x ＋3y －6＝0或8x ＋3y ＋12＝0.(2)设直线l 在y 轴上的截距为b ，则直线l 的方程是y ＝16x ＋b ， 它在x 轴上的截距是－6b ，由已知，得|－6b ·b |＝6，∴b ＝±1.∴直线l 的方程为x －6y ＋6＝0或x －6y －6＝0.能力强化训练一、选择题1．设直线l 的方程为x ＋y cos θ＋3＝0(θ∈R )，则直线l 的倾斜角α的X 围是( )A ．[0，π) B.⎣⎡⎭⎫π4，π2C.⎣⎡⎦⎤π4，3π4D.⎣⎡⎭⎫π4，π2∪⎝⎛⎦⎤π2，3π4[答案]C[解析]当cos θ＝0时，方程变为x ＋3＝0，其倾斜角为π2； 当cos θ≠0时，由直线方程可得斜率k ＝－1cos θ. ∵cos θ∈[－1,1]且cos θ≠0，∴k ∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)，即tan α∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)，又α∈[0，π)，∴α∈⎣⎡⎭⎫π4，π2∪⎝⎛⎦⎤π2，3π4.综上知倾斜角的X 围是⎣⎡⎦⎤π4，3π4，故选C.2．若直线2ax ＋by ＋4＝0(a 、b ∈R )始终平分圆x 2＋y 2＋2x ＋4y ＋1＝0的周长，则ab 的取值X 围是( )A ．(－∞，1]B ．(0,1]C ．(0,1)D ．(－∞，1)[答案]A[解析]由题意知直线过圆心(－1，－2)，∴－2a －2b ＋4＝0，∴a ＋b ＝2，∴ab ≤a 2＋b 22＝(a ＋b )2－2ab 2，∴ab ≤1. 二、填空题3．已知A (3,0)，B (0,4)，动点P (x ，y )在线段AB 上移动，则xy 的最大值等于________．[答案]3[解析]解法1：线段AB 的方程为x 3＋y 4＝1(0≤x ≤3)， ∴y ＝4－43x ，代入y 得xy ＝－43x 2＋4x ， 由二次函数性质知，当x ＝32∈[0,3]时， xy 的最大值为3.解法2：AB 所在直线方程为x 3＋y 4＝1， ∴x 3·y 4≤14(x 3＋y 4)2＝14， ∴xy ≤3，当且仅当x 3＝y 4时取等号． 4．若A (2,2)，B (a,0)，C (0，b )(ab ≠0)三点共线，则1a ＋1b＝________. [答案]12[解析]设直线方程为x a ＋y b＝1，因为A (2,2)在直线上， 所以2a ＋2b ＝1，即1a ＋1b ＝12. 三、解答题5．设直线l 的方程为(a ＋1)x ＋y ＋2－a ＝0(a ∈R )．(1)若l 在两坐标轴上的截距相等，求l 的方程；(2)若l 不经过第二象限，某某数a 的取值X 围．[解析](1)∵l 在两坐标轴上的截距相等，∴直线l 的斜率存在，a ≠－1.令x ＝0，得y ＝a －2.令y ＝0，得x ＝a －2a ＋1. 由a －2＝a －2a ＋1，解得a ＝2，或a ＝0. ∴所求直线l 的方程为3x ＋y ＝0，或x ＋y ＋2＝0.(2)直线l 的方程可化为y ＝－(a ＋1)x ＋a －2.∵l 不经过第二象限，∴⎩⎪⎨⎪⎧－(a ＋1)≥0，a －2≤0. ∴a ≤－1.∴a 的取值X 围为(－∞，－1]．6．已知直线l: kx －y ＋1＋2k ＝0(k ∈R )．(1)证明：直线l 过定点；(2)若直线不经过第四象限，求k 的取值X 围；(3)若直线l 交x 轴负半轴于A ，交y 轴正半轴于B ，△AOB 的面积为S ，求S 的最小值并求此时直线l 的方程． [解析](1)直线l 的方程是：k (x ＋2)＋(1－y )＝0，令⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2＝01－y ＝0解之得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－2y ＝1. ∴无论k 取何值，直线总经过定点(－2,1)．(2)由方程知，直线在x 轴上的截距为－1＋2k k(k ≠0)，在y 轴上的截距为1＋2k ，要使直线不经过第四象限，则必须有⎩⎨⎧ －1＋2k k <－21＋2k ≥1或k ＝0，解之得k ≥0.(3)由l 的方程得，A (－1＋2k k，0)，B (0,1＋2k )． 依题意得⎩⎨⎧ －1＋2k k <01＋2k >0，，解得k >0.∵S ＝12·|OA |·|OB |＝12·|1＋2k k|·|1＋2k | ＝12·(1＋2k )2k ＝12(4k ＋1k＋4) ≥12(2×2＋4)＝4， “＝”成立的条件是k >0且4k ＝1k ，即k ＝12， ∴S min ＝4，此时l ：x －2y ＋4＝0.[点评] 本题证明直线系过定点问题所使用的“分离参数法”是证明曲线系过定点的一般方法．。

课时规范练41 直线的倾斜角、斜率与直线的方程基础巩固组1.把直线x-y+√3-1=0绕点(1,√3)逆时针旋转15°后,所得直线l 的方程是( ) A.y=-√3xB.y=√3xC.x-√3y+2=0D.x+√3y-2=02.(上海静安期中)设直线的斜率k ∈(-∞,-1]∪[1,+∞),则该直线的倾斜角α满足( ) A.-π4≤α≤π4B.π4≤α<π2或π2<α≤3π4C.π4≤α<π2D.π2<α≤3π43.若经过两点A(4,2y+1),B(2,-3)的直线的倾斜角为3π4,则y 等于( )A.-1B.-3C.0D.24.(广东深圳调研)方程y=ax+b 和y=bx+a 表示的直线可能是( )5.(潍坊模拟)已知△ABC的三个顶点坐标为A(1,2),B(3,6),C(5,2),M为AB的中点,N为AC的中点,则中位线MN所在直线的方程为( )A.2x+y-12=0B.2x-y-12=0C.2x+y-8=0D.2x-y+8=06.(河南郑州期末)数学家欧拉在1765年提出定理:三角形的外心、重心、垂心(外心是三角形三条边的垂直平分线的交点,重心是三角形三条中线的交点,垂心是三角形三条高线的交点)依次位于同一直线上,且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半.这条直线被后人称为三角形的欧拉线.已知△ABC的顶点B(-1,0),C(0,2),AB=AC,则△ABC的欧拉线方程为( )A.2x-4y-3=0B.2x+4y+3=0C.4x-2y-3=0D.2x+4y-3=07.过点(5,2)且在y轴上的截距是在x轴上的截距的2倍的直线方程是( )A.2x+y-12=0B.2x+y-12=0或2x-5y=0C.x-2y-1=0D.x-2y-1=0或2x-5y=08.在△ABC中,已知A(5,-2),B(7,3),且AC的中点M在y轴上,BC的中点N 在N的方程为.9.若ab>0,且A(a,0),B(0,b),C(-2,-2)三点共线,则ab的最小值为.综合提升组10.(贵州期末)一条经过点A(-4,2)的入射光线l的斜率为-2,若入射光线l经x轴反射后与y轴交于点B,O为坐标原点,则△AOB的面积为( )A.16B.12C.8D.611.若直线ax+by=ab(a>0,b>0)过点(1,1),则该直线在x轴、y轴上的截距之和的最小值为( )A.1B.4C.2D.812.(湖南益阳模拟)直线x-2y+b=0与两坐标轴所围成的三角形的面积不大于1,那么b的取值范围是( )A.[-2,2]B.(-∞,-2]∪[2,+∞)C.[-2,0)∪(0,2]D.(-∞,+∞)13.(山东日照高三段考)已知直线l过点P(2,-1),在x轴、y轴上的截距分别为a,b,且满足a=3b,则直线l的方程为.14.(海南琼州中学模拟)已知直线l:kx-y+1+2k=0(k∈R).(1)求证:直线l 过定点;(2)若直线l 不经过第四象限,求k 的取值范围;(3)若直线l 交x 轴负半轴于点A,交y 轴正半轴于点B,△AOB 的面积为S(O 为坐标原点),求S 的最小值,并求此时直线l 的方程.创新应用组15.已知函数f(x)=log 2(x+1),且a>b>c>0,则f (a )a,f (b )b,f (c )c的大小关系为 .16.(山东德州高三模拟)已知实数x,y 满足y=x 2-2x+2(-1≤x≤1),则y+3x+2的最大值为 ,最小值为 . 答案： 课时规范练1.B 解析:已知直线的斜率为1,则其倾斜角为45°,绕点(1,√3)逆时针旋转15°后,得到的直线l 的倾斜角α=45°+15°=60°,直线l 的斜率为tanα=tan60°=√3,∴直线l 的方程为y-√3=√3(x-1),即y=√3x.2.B 解析:因为k=tanα,所以当k≤-1时,π2<α≤3π4,当k≥1时,π4≤α<π2,即直线的倾斜角α满足π4≤α<π2或π2<α≤3π4.故选B.3.B 解析:由k=-3-2y -12-4=tan 3π4=-1,得-4-2y=2,所以y=-3.故选B.4.D 解析:根据题意,依次分析选项:对于A,对于y=ax+b,图象经过第一、二、三象限,则a>0,b>0,y=bx+a 也要经过第一、二、三象限,所以A 选项错误;对于B,同理A,可得B 选项错误;对于C,对于y=ax+b,图象经过第二、三、四象限,则a<0,b<0,y=bx+a 也要经过第二、三、四象限,所以C 选项错误;对于D,对于y=ax+b,图象经过第一、三、四象限,则a>0,b<0,y=b(2,4),N(3,2),中位线MN 所在直线的方程为y -42-4=x -23-2,整理得2x+y-8=0.6.D 解析:∵B(-1,0),C(0,2),∴线段BC 的中点的坐标为(-12,1),线段BC 所在直线的斜率k BC =2,∴线段BC 的垂直平分线的方程为y-1=-12(x +12),即2x+4y-3=0.∵AB=AC,∴△ABC 的外心、重心、垂心都在线段BC 的垂直平分线上,∴△ABC 的欧拉线方程为2x+4y-3=0.故选D.7.B 解析:设所求直线在x 轴上的截距为a,则在y 轴上的截距为2a,①当a=0时,所求直线经过点(5,2)和(0,0),所以直线方程为y=25x,即2x-5y=0;②当a≠0时,设所求直线方程为x a+y 2a=1,又直线过点(5,2),所以5a+22a=1,解得a=6,所以所求直线方程为x 6+y 12=1,即2x+y-12=0.故选B. 8.5x-2y-5=0 解析:设C(x 0+52,y 0-22,Nx 0+72,y 0+32.因为点M 在y 轴上,所以x 0+52=0,解得N 的方程为x 1+y -52=1,即5x-2y-5=0.9.16 解析:根据A(a,0),B(0,b)确定直线的方程为x a+yb=1,又C(-2,-2)在该直线上,故-2a+-2b=1,所以-2(a+b)=ab.又ab>0,故a<0,b<0.根据基本不等式ab=-2(a+b)≥4√ab ,从而√ab ≤0(舍去)或√ab ≥4,故ab≥16,当且仅当a=b=-4时等号成立.即ab 的最小值为16.10.B 解析:设直线l 与x 轴交于点C,因为l 的方程为y-2=-2(x+4),令y=0,得点C 的坐标为(-3,0),从而反射光线所在直线的方程为y=2(x+3),令x=0,得B(0,6),所以△AOB 的面积S=12×6×4=12.故选B.11.B 解析:因为直线ax+by=ab 过点(1,1),所以a+b=ab,即1a+1b =1.因为直线在x 轴上的截距为b,在y 轴上的截距为a,所以直线在x 轴、y 轴上的截距之和为a+b.a+b=(a+b)(1a +1b )=2+ba +ab ≥2+2√ba ·ab =4,当且仅当a=b=2时取等号,故最小值为4.故选B.12.C 解析:令x=0,得y=b2,令y=0,得x=-b,所以所求三角形的面积为12b 2|-b|=14b 2,且b≠0,14b 2≤1,所以b 2≤4,所以b 的取值范围是[-2,0)∪(0,2].13.x+2y=0或x+3y+1=0 解析:若a=0,则直线l 过原点(0,0),此时直线l 的斜率k=-12,故直线l 的方程为x+2y=0.若a≠0,则设直线l 的方程为x a+y b=1,即x3b+yb=1.因为点P(2,-1)在直线l 上,所以23b+-1b=1,解得b=-13.从而直线l 的方程为x+3y+1=0.综上可知,直线l 的方程为x+2y=0或x+3y+1=0. 14.(1)证明直线l 的方程可化为k(x+2)+(1-y)=0.由{x +2=0,1-y =0,解得{x =-2,y =1.故无论k 取何值,直线l 恒过定点(-2,1). (2)解:直线l 的方程可化为y=kx+1+2k.当k≠0时,要使直线l 不经过第四象限,则有{k >0,1+2k ≥0,解得k>0.当k=0时,直线l 的方程为y=1,显然符合题意. 综上,k 的取值范围是[0,+∞). (3)解:依题意,A (-1+2k k ,0),B(0,1+2k),且{-1+2k k<0,1+2k >0,解得k>0.所以S=12|OA|·|OB|=12·|-1+2k k|·|1+2k|=12·(1+2k )2k=12(4k +1k+4)≥12×(2×2+4)=4,当且仅当4k=1k,即k=12时,等号成立.所以S min =4, 此时直线l 的方程为x-2y+4=0.15.f(a)a <f(b)b<f(c)c解析:作出函数f(x)=log2(x+1)的大致图象,如图所示,可知当x>0时,曲线上各点与原点连线的斜率随x的增大而减小,因为a>b>c>0,所以f(a)a <f(b)b<f(c)c.16.8 43解析:如图,作出y=x2-2x+2(-1≤x≤1)的图象,即曲线段AB,则y+3x+2表示定点P(-2,-3)与曲线段AB上任意一点(x,y)的连线的斜率k.连接PA,PB,由图可知k PA≤k≤k PB.易得A(1,1),B(-1,5),则k PA=1-(-3)1-(-2)=43,k PB=5-(-3)-1-(-2)=8,所以43≤k≤8.故y+3x+2的最大值为8,最小值为43.。