2020二次函数中考题

函数图像与系数关系一．选择题（共35小题）1．在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝ax+b和二次函数y＝ax2+bx+c的图象可能为（）A．B．C．D．2．在同一坐标中，一次函数y＝﹣kx+2与二次函数y＝x2+k的图象可能是（）A．B．C．D．3．小明将如图两水平线l1、l2的其中一条当成x轴，且向右为正方向；两条直线l3、l4的其中一条当成y轴，且向上为正方向，并在此坐标平面中画出二次函数y＝ax2﹣2a2x+1的图象，则（）A．l1为x轴，l3为y轴B．l2为x轴，l3为y轴C．l1为x轴，l4为y轴D．l2为x轴，l4为y轴4．已知a，b，c满足a+b+c＝0，4a+c＝2b，则二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象的对称轴为（）A．直线x＝1B．直线x＝﹣1C．直线x＝D．直线x＝﹣5．抛物线y＝（x+3）2﹣5的顶点为（）A．（3，﹣5）B．（﹣3，5）C．（﹣3，﹣5）D．（3，5）6．关于函数y＝﹣（x+2）2﹣1的图象叙述正确的是（）A．开口向上B．顶点（2，﹣1）C．与y轴交点为（0，﹣1）D．对称轴为直线x＝﹣27．函数y＝﹣x2﹣4x﹣3图象顶点坐标是（）A．（2，﹣1）B．（﹣2，1）C．（﹣2，﹣1）D．（2，1）8．已知：二次函数y＝ax2+c，当x＝1时，﹣4≤y≤﹣2，当x＝2时，﹣1≤y≤2，则当x ＝3时，y的取值范围为（）A．≤y≤12B．≤y≤10C．≤y≤9D．1≤y≤99．如图，是二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象的一部分，给出下列命题：①a+b+c＝0；②b＞2a；③ax2+bx+c＝0的两根分别为﹣3和1；④a﹣2b+c＞0．其中正确的命题是（）A．①②B．②③C．①③D．①②③④10．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），过（1，y1）（2，y2）．①若y1＞0时，则a+b+c＞0②若a＝b时，则y1＜y2③若y1＜0，y2＞0，且a+b＜0，则a＞0④若b＝2a﹣1，c＝a﹣3，且y1＞0，则抛物线的顶点一定在第三象限上述四个判断正确的有（）个．A．1B．2C．3D．411．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象如图，下列结论：①abc＞0；②3a+c＜0；③a+b≥am2+bm；④a﹣b+c＞0；⑤若ax12+bx1＝ax22+bx2，且x1≠x2，则x1+x2＝2．其中正确的有（）个．A．2B．3C．4D．512．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：①abc＞0；②2a+b ＞0；③b2﹣4ac＞0；④a﹣b+c＞0，其中正确的个数是（）A．1B．2C．3D．413．二次函数y＝2（x+2）2﹣1的图象是（）A．B．C．D．14．如图，已知抛物线y1＝﹣x2+4x和直线y2＝2x．我们约定：当x任取值时，x对应的函数值分别为y1，y2，若y1≠y2，取y1，y2中的较小值记为M，若y1＝y2，记M＝y1＝y2，下列判断：①当x＞2时，M＝y1；②若M＝2，则x＝1．其中正确的有（）A．①②B．①C．②D．无法判断15．已知一元二次方程ax2+bx+c＝0两根为x1，x2，x2+x1＝﹣，x2．x1＝．如果抛物线y＝ax2+bx+c经过点（1，2），若abc＝4，且a≥b≥c，则|a|+|b|+|c|的最小值为（）A．5B．6C．7D．816．已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于（x1，0）、（x2，0）两点，且0＜x1＜1，1＜x2＜2与y轴交于（0，﹣2），下列结论：①2a+b＞1；②a+b＜2；③3a+b＞0；④a＜﹣1，其中正确结论的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个17．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的大致图象如图所示（1＜x＝h＜2，0＜x A＜1）．下列结论：①2a+b＞0；②abc＜0；③若OC＝2OA，则2b﹣ac＝4；④3a﹣c＜0．其中正确的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个18．如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且OB ＝OC，下列结论：①b＞1且b≠2；②b2﹣4ac＜4a2；③a＞；其中正确的个数为（）A．0B．1C．2D．319．如图是二次函数y＝ax2+bx+c图象的一部分，其对称轴是x＝﹣1，且过点（﹣3，0），下列说法：①abc＜0；②2a﹣b＝0；③4a+2b+c＜0；④若（﹣5，y1），（，y2）是抛物线上两点，则y1＜y2，其中说法正确的是（）A．①②B．②③C．①②④D．②③④20．抛物线y＝ax2+bx+c的顶点为D（﹣1，﹣3），与x轴的一个交点A在点（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，其部分图象如图所示，则以下结论：①abc＞0；②a+b+c＜0；③a﹣c ＝3；④方程ax2+bx+c+3＝0有两个相等的实根，其中正确的个数为（）A．1B．2C．3D．421．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，在下列四个结论中：①2a﹣b＜0；②abc＜0；③a+b+c＜0；④a﹣b+c＞0．错误的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个22．如图为二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象，对称轴是x＝1，则下列说法：①b＞0；②2a+b＝0；③4a﹣2b+c＞0；④3a+c＞0；⑤m（ma+b）＜a+b（常数m≠1）．其中正确的个数为（）A．2B．3C．4D．523．如图，二次函数y＝ax2+bx+c图象的对称轴为x＝1，则下列说法正确的有（）①abc＜0，②2a+b＝0，③a﹣b+c＞0，④若4a+2b+c＞0．A．①②③B．②③④C．①②④D．①②③④24．如图所示的二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象中，观察得出了下面五条信息：①abc＜0；②a+b+c＜0；③b+2c＞0；④a﹣2b+4c＞0；⑤，你认为其中正确信息的个数有（）A．2B．3C．4D．525．已知抛物线y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论：①abc＞0；②a+b+c＝2；③a ＜；④b＞1．其中正确的结论是（）A．①②B．②③C．③④D．②④26．已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于（x1，0），（x2，0）两点，且0＜x1＜1，1＜x2＜2，与y轴交于（0，﹣2），下列结论：①2a+b＞1；②a+b＜2；③3a+b＞0；④a ＜﹣1．其中正确的个数为（）A．1B．2C．3D．427．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且OA＝OC．则下列结论：①abc＜0；②＞0；③ac﹣b+1＝0；④OA•OB＝﹣．其中正确结论的个数是（）A．4B．3C．2D．128．如图所示的是二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，对称轴是x＝﹣1，有下列结论：①b﹣2a＝0；②4a﹣2b+c＜0；③a﹣b+c＝﹣9a；④若（﹣3，y1），（﹣4，y2）是抛物线上两点，则y1＞y2，其中结论正确的序号是（）A．①②③B．①③④C．①②④D．②③④29．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，其对称轴为x＝1，有如下结论：①abc＜0；②a﹣b+c＞0；③b2＞4ac；④3a﹣2b+c＜0，则正确的结论是（）A．①②③B．①③④C．②③④D．①②③④30．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象的顶点在第一象限，且过点（0，1）和（﹣1，0），下列结论：①ab＜0，②b2＞4a，③0＜b＜1，④当x＞﹣1时，y＞0，其中正确结论的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个31．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，给出以下结论：①b2＞4ac；②abc＞0；③2a﹣b＝0；④8a+c＜0；⑤9a+3b+c＜0，其中结论正确有（）个．A．2个B．3个C．4个D．5个32．如图为二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象，则下列说法：①a＞0 ②2a+b＝0 ③a+b+c＞0 ④当﹣1＜x＜3时，y＞0其中正确的个数为（）A．1B．2C．3D．433．如图是函数y＝ax2+bx+c图象的一部分，图象与x轴正半轴交于点（3，0），对称轴为直线x＝1，则下列结论：①b2＞4ac；②当﹣1＜x＜3时，ax2+bx+c＞0；③无论m为何实数，a+b≥m（ma+b）；④若t为方程ax2+bx+c+1＝0的一个根，则﹣1＜t＜3，其中正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个34．如图是二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，x＝﹣1是对称轴，有下列判断：①b﹣2a＝0；②4a﹣2b+c＜0；③a﹣b+c＝﹣9a；④若（﹣3，y1），（，y2）是抛物线上两点，则y1＞y2，其中正确的是（）A．①②③B．①③④C．①②④D．②③④35．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象如图，下列结论：①abc＞0；②2a+b＝0；③当m≠1时，a+b＞am2+bm；④a﹣b+c＞0；⑤若ax12+bx1＝ax22+bx2，且x1≠x2，则x1+x2＝2．其中正确的有（）A．①②③B．②④C．②⑤D．②③⑤二．填空题（共5小题）36．已知抛物线y＝x2+ax+a的顶点的纵坐标为，且当x＞﹣1时，y随x的增大而增大，则a的值为．37．函数y＝x2+bx+c与y＝x的图象如图所示，有以上结论：①b2﹣4c＞0；②b+c+1＝0；③3b+c+6＝0；④当1＜x＜3时，x2+（b﹣1）x+c＜0．其中正确的是（填序号）．38．已知二次函数y＝x2+2x+t2的图象经过点（﹣m，﹣1）和（m，n），则n的值为．39．若直线y＝x+m与函数y＝|x2﹣2x﹣3|的图象有四个公共点，则m的取值范围为．40．抛物线y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，直线x＝1为对称轴，以下结论①a＜0，②b ＞0，③2a+b＝0，④3a+c＜0正确的有（填序号）．参考答案与试题解析一．选择题（共35小题）1．在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝ax+b和二次函数y＝ax2+bx+c的图象可能为（）A．B．C．D．【分析】本题可先由二次函数y＝ax2+bx+c图象得到字母系数的正负，再与一次函数y ＝ax+b的图象相比较看是否一致．【解答】解：A、由抛物线可知，a＜0，x＝﹣＜0，得b＜0，由直线可知，a＜0，b ＜0，故本选项正确；B、由抛物线可知，a＞0，由直线可知，a＜0，故本选项错误；C、由抛物线可知，a＞0，x＝﹣＞0，得b＜0，由直线可知，a＞0，b＞0，故本选项错误；D、由抛物线可知，a＞0，由直线可知，a＜0，故本选项错误．故选：A．【点评】本题考查抛物线和直线的性质，用假设法来搞定这种数形结合题是一种很好的方法．2．在同一坐标中，一次函数y＝﹣kx+2与二次函数y＝x2+k的图象可能是（）A．B．C．D．【分析】根据一次函数和二次函数的解析式可得一次函数与y轴的交点为（0，2），二次函数的开口向上，据此判断二次函数的图象．【解答】解：由二次函数y＝x2+k可知，抛物线开口向上，由一次函数y＝﹣kx+2可知，直线与y轴的交点为（0，2），当k＞0时，二次函数顶点在y轴正半轴，一次函数经过一、二、四象限；当k＜0时，二次函数顶点在y轴负半轴，一次函数经过一、二、三象限．故选：A．【点评】此题主要考查了二次函数及一次函数的图象的性质，用到的知识点为：二次函数和一次函数的常数项是图象与y轴交点的纵坐标．3．小明将如图两水平线l1、l2的其中一条当成x轴，且向右为正方向；两条直线l3、l4的其中一条当成y轴，且向上为正方向，并在此坐标平面中画出二次函数y＝ax2﹣2a2x+1的图象，则（）A．l1为x轴，l3为y轴B．l2为x轴，l3为y轴C．l1为x轴，l4为y轴D．l2为x轴，l4为y轴【分析】根据抛物线的开口向下，可得a＜0，求出对称轴为：直线x＝2a，则可确定l4为y轴，再根据图象与y轴交点，可得出l2为x轴，即可得出答案．【解答】解：∵抛物线的开口向下，∴a＜0，∴抛物线与y轴的负半轴相交，∴l2为x轴，l4为y轴．故选：D．【点评】本题考查了二次函数的性质，开口方向由a确定，与y轴的交点由c确定，左同右异确定b的符号．4．已知a，b，c满足a+b+c＝0，4a+c＝2b，则二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象的对称轴为（）A．直线x＝1B．直线x＝﹣1C．直线x＝D．直线x＝﹣【分析】根据a+b+c＝0，4a+c＝2b，可以求得a、b、c之间的关系，从而可以求得该函数的对称轴，本题得以解决．【解答】解：∵a+b+c＝0，4a+c＝2b，∴c＝﹣2a，a＝b，∵二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），∴对称轴是直线x＝＝，故选：D．【点评】本题考查二次函数的性质、二次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．5．抛物线y＝（x+3）2﹣5的顶点为（）A．（3，﹣5）B．（﹣3，5）C．（﹣3，﹣5）D．（3，5）【分析】根据二次函数的顶点式容易得出其顶点坐标．【解答】解：∵y＝（x+3）2﹣5，∴其顶点坐标为（﹣3，﹣5），故选：C．【点评】本题主要考查二次函数的顶点坐标，掌握二次函数的顶点式y＝a（x﹣h）2+k 的顶点坐标为（h，k）是解题的关键．6．关于函数y＝﹣（x+2）2﹣1的图象叙述正确的是（）A．开口向上B．顶点（2，﹣1）C．与y轴交点为（0，﹣1）D．对称轴为直线x＝﹣2【分析】根据题目中的函数图象和二次函数的性质可以判断各个选项中的说法是否正确，本题得以解决．【解答】解：∵函数y＝﹣（x+2）2﹣1，∴该函数图象开口向下，故选项A错误，顶点坐标为（﹣2，﹣1），故选项B错误，当x＝0时，y＝﹣5，即该函数与y轴的交点坐标为（0，﹣5），故选项C错误，对称轴是直线x＝﹣2，故选项D正确，故选：D．【点评】本题考查二次函数的性质、二次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．7．函数y＝﹣x2﹣4x﹣3图象顶点坐标是（）A．（2，﹣1）B．（﹣2，1）C．（﹣2，﹣1）D．（2，1）【分析】将二次函数的一般形式化为顶点式后即可直接说出其顶点坐标；【解答】解：∵y＝﹣x2﹣4x﹣3＝﹣（x2+4x+4﹣4+3）＝﹣（x+2）2+1∴顶点坐标为（﹣2，1）；故选：B．【点评】主要考查了二次函数的性质和求抛物线的对称轴和顶点坐标的方法．除去用配方法外还可用公式法．8．已知：二次函数y＝ax2+c，当x＝1时，﹣4≤y≤﹣2，当x＝2时，﹣1≤y≤2，则当x ＝3时，y的取值范围为（）A．≤y≤12B．≤y≤10C．≤y≤9D．1≤y≤9【分析】由当x＝1时，﹣4≤y≤﹣2，当x＝2时，﹣1≤y≤2，将y＝ax2+c代入得到关于a、c的两个不等式组，再设x＝3时y＝9a+c＝m（a+c）+n（4a+c），求出m、n的值，代入计算即可．【解答】解：由x＝1时，﹣4≤y≤﹣2得，﹣4≤a+c≤﹣2…①由x＝2时，﹣1≤y≤2得，﹣1≤4a+c≤2…②x＝3时，y＝9a+c＝m（a+c）+n（4a+c）得，解得，故≤﹣（a+c）≤，﹣≤（4a+c）≤，∴≤y≤12．故选：A．【点评】本题考查了二次函数性质的运用，熟练解不等式组是解答本题的关键．9．如图，是二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象的一部分，给出下列命题：①a+b+c＝0；②b＞2a；③ax2+bx+c＝0的两根分别为﹣3和1；④a﹣2b+c＞0．其中正确的命题是（）A．①②B．②③C．①③D．①②③④【分析】根据抛物线与x轴的交点坐标为（1，0）对①进行判断；根据对称轴方程为x ＝﹣＝﹣1对②进行判断；根据抛物线的对称性得到抛物线与x轴的交点坐标为（﹣3，0）和（1，0），由此对③进行判断；根据抛物线与y轴的交点在x轴下方，得到c＜0，而a+b+c＝0，则a﹣2b+c＝﹣3b，由b＞0，于是可对④进行判断．【解答】解：∵x＝1时，y＝0，∴a+b+c＝0，所以①正确；∵x＝﹣＝﹣1，∴b＝2a，所以②错误；∵点（1，0）关于直线x＝﹣1对称的点的坐标为（﹣3，0），∴抛物线与x轴的交点坐标为（﹣3，0）和（1，0），∴ax2+bx+c＝0的两根分别为﹣3和1，所以③正确；∵抛物线与y轴的交点在x轴下方，∴c＜0，而a+b+c＝0，b＝2a，∴c＝﹣3a，∴a﹣2b+c＝﹣3b，∵b＞0，∴﹣3b＜0，所以④错误．故选：C．【点评】本题考查了二次函数的图象与系数的关系：二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象为抛物线，当a＞0，抛物线开口向上；对称轴为直线x＝﹣；抛物线与y轴的交点坐标为（0，c）．10．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），过（1，y1）（2，y2）．①若y1＞0时，则a+b+c＞0②若a＝b时，则y1＜y2③若y1＜0，y2＞0，且a+b＜0，则a＞0④若b＝2a﹣1，c＝a﹣3，且y1＞0，则抛物线的顶点一定在第三象限上述四个判断正确的有（）个．A．1B．2C．3D．4【分析】①若y1＞0时，当x＝1时，y1＝a+b+c，此时，确定不了y的值，∴a+b+c＞0，正确；②若a＝b时，即函数的对称轴是x＝﹣，分两种情况，a＝b＞0，则y2＞y1，否则，故y1＜y2，故错误；③若y1＜0，y2＞0，即：a+b+c＜0，4a+2b+c＞0，而a+b＜0，即：﹣2a＜0，a＞0，正确；④若b＝2a﹣1，c＝a﹣3，且y1＞0，即：a+b+c＞0，把b、c的值代入上式得：a＞1，则b＞1，c＞﹣2，代入顶点坐标即可求解，正确．【解答】解：①若y1＞0时，当x＝1时，y1＝a+b+c＞0此时，正确；②若a＝b时，即函数的对称轴是x＝﹣，也确定不了y1、y2的大小，故y1＜y2，错误；③若y1＜0，y2＞0，即：a+b+c＜0，4a+2b+c＞0，解得：﹣3a﹣b＜0，而a+b＜0，即：﹣2a＜0，∴a＞0，正确；④若b＝2a﹣1，c＝a﹣3，且y1＞0，即：a+b+c＞0，把b、c的值代入上式得：a＞1，则b＞1，c＞﹣2，顶点的x坐标＝﹣＜0，顶点的y坐标＝＝﹣2﹣＜0，故顶点一定在第三象限，正确；故选：C．【点评】本题考查的是二次函数图象与系数的关系，涉及到函数基本性质、解不等式等相关知识，难度较大．11．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象如图，下列结论：①abc＞0；②3a+c＜0；③a+b≥am2+bm；④a﹣b+c＞0；⑤若ax12+bx1＝ax22+bx2，且x1≠x2，则x1+x2＝2．其中正确的有（）个．A．2B．3C．4D．5【分析】由抛物线开口方向得到a＜0，利用抛物线的对称轴方程得到b＝﹣2a＞0，由抛物线与x轴的交点位置得到c＞0，则可对①进行判断；利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点在（﹣1，0）与（0，0）之间，所以当x＝﹣1时，a﹣b+c＜0，则可对④进行判断；把b＝﹣2a代入可对②进行判断；利用二次函数的最值问题对③进行判断；把ax12+bx1＝ax22+bx2进行变形得到（x1﹣x2）[a（x1+x2）+b]＝0，从而得到a（x1+x2）+b＝0，再利用b＝﹣2a可对⑤进行判断．【解答】解：∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝1，∴b＝﹣2a＞0，∵抛物线与x轴的交点在x轴上方，∴c＞0，∴abc＜0，所以①错误；∵抛物线与x轴的一个交点在（2，0）与（3，0）之间，∴抛物线与x轴的另一个交点在（﹣1，0）与（0，0）之间，∴当x＝﹣1时，y＜0，即a﹣b+c＜0，所以④错误；∴a+2a+c＜0，即3a+c＜0，所以②正确；∵x＝1时，y有最大值，∴a+b+c≥am2+bm+c，即a+b≥am2+bm，所以③正确；∵ax12+bx1＝ax22+bx2，∴a（x1+x2）（x1﹣x2）+b（x1﹣x2）＝0，∴（x1﹣x2）[a（x1+x2）+b]＝0，而x1≠x2，∴a（x1+x2）+b＝0，∴x1+x2＝﹣＝﹣＝2，所以⑤正确．故选：B．【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置．当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点位置．也考查了二次函数的性质．12．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：①abc＞0；②2a+b ＞0；③b2﹣4ac＞0；④a﹣b+c＞0，其中正确的个数是（）A．1B．2C．3D．4【分析】由抛物线的对称轴的位置判断ab的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．【解答】解：①∵抛物线对称轴是y轴的右侧，∴ab＜0，∵与y轴交于负半轴，∴c＜0，∴abc＞0，故①正确；②∵a＞0，x＝﹣＜1，∴﹣b＜2a，∴2a+b＞0，故②正确；③∵抛物线与x轴有两个交点，∴b2﹣4ac＞0，故③正确；④当x＝﹣1时，y＞0，∴a﹣b+c＞0，故④正确．故选：D．【点评】本题主要考查了图象与二次函数系数之间的关系，二次函数y＝ax2+bx+c系数符号由抛物线开口方向、对称轴和抛物线与y轴的交点、抛物线与x轴交点的个数确定．13．二次函数y＝2（x+2）2﹣1的图象是（）A．B．C．D．【分析】先根据解析式确定抛物线的顶点坐标、对称轴，然后对图象进行讨论选择．【解答】解：∵a＝2＞0，∴抛物线开口方向向上；∵二次函数解析式为y＝2（x+2）2﹣1，∴顶点坐标为（﹣2，﹣1），对称轴x＝﹣2．故选：C．【点评】判断图象的大体位置根据：（1）根据a的正负确定开口方向；（2）根据顶点坐标或对称轴确定图象位于哪些象限．14．如图，已知抛物线y1＝﹣x2+4x和直线y2＝2x．我们约定：当x任取值时，x对应的函数值分别为y1，y2，若y1≠y2，取y1，y2中的较小值记为M，若y1＝y2，记M＝y1＝y2，下列判断：①当x＞2时，M＝y1；②若M＝2，则x＝1．其中正确的有（）A．①②B．①C．②D．无法判断【分析】若y1＝y2，记M＝y1＝y2．首先求得抛物线与直线的交点坐标，利用图象可得当x＞2时，利用函数图象可以得出y2＞y1；当0＜x＜2时，y1＞y2；当x＜0时，利用函数图象可以得出y2＞y1；然后根据当x任取一值时，x对应的函数值分别为y1、y2．若y1≠y2，取y1、y2中的较小值记为M；即可求得答案．【解答】解：∵当y1＝y2时，即﹣x2+4x＝2x时，解得：x＝0或x＝2，∴当x＞2时，利用函数图象可以得出y2＞y1；∴①正确；∵如图：当0＜x＜2时，y1＞y2；当M＝2，2x＝2，x＝1；x＞2时，y2＞y1；当M＝2，﹣x2+4x＝2，x1＝2+，x2＝2﹣（舍去），∴使得M＝2的x值是1或2+，∴②错误；【点评】此题主要考查了二次函数与一次函数综合应用．注意掌握函数增减性是解题关键，注意数形结合思想与方程思想的应用．15．已知一元二次方程ax2+bx+c＝0两根为x1，x2，x2+x1＝﹣，x2．x1＝．如果抛物线y＝ax2+bx+c经过点（1，2），若abc＝4，且a≥b≥c，则|a|+|b|+|c|的最小值为（）A．5B．6C．7D．8【分析】易知：b+c＝2﹣a，bc＝，可将b、c看做是一元二次方程x2﹣（2﹣a）x+＝0的两实根，那么可根据△≥0，求得a的大致取值范围为a≥4．由于abc＝4＞0，且a ≥b≥c，则说明：①a、b、c均大于0，由于a≥4，如果三数均为正数，显然a+b+c＞4≠2，因此不合题意．②a正，b、c为负，那么此时|a|+|b|+|c|＝a﹣（b+c）＝a﹣（2﹣a）＝2a﹣2，根据得出的a的取值范围，即可求出|a|+|b|+|c|的最小值．【解答】解：∵a≥b≥c，若a＜0，则b＜0，c＜0，a+b+c＜0，与a+b+c＝2矛盾，∴a＞0；∵b+c＝2﹣a，bc＝，∴b，c是一元二次方程x2﹣（2﹣a）x+＝0的两实根．∴△＝（2﹣a）2﹣4×≥0，∴a3﹣4a2+4a﹣16≥0，即（a2+4）（a﹣4）≥0，故a≥4．∵abc＞0，∴a，b，c为全大于0或一正二负．①若a，b，c均大于0，∵a≥4，与a+b+c＝2矛盾；②若a，b，c为一正二负，则a＞0，b＜0，c＜0，则|a|+|b|+|c|＝a﹣b﹣c＝a﹣（2﹣a）＝2a﹣2，∵a≥4，故2a﹣2≥6当a＝4，b＝c＝﹣1时，满足题设条件且使不等式等号成立．故|a|+|b|+|c|的最小值为6．【点评】本题主要考查了二次函数与一元二次方程的关系、韦达定理的应用及不等式的相关知识．16．已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于（x1，0）、（x2，0）两点，且0＜x1＜1，1＜x2＜2与y轴交于（0，﹣2），下列结论：①2a+b＞1；②a+b＜2；③3a+b＞0；④a＜﹣1，其中正确结论的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．【解答】解：如图：0＜x1＜1，1＜x2＜2，并且图象与y轴相交于点（0，﹣2），可知该抛物线开口向下即a＜0，c＝﹣2，①当x＝2时，y＝4a+2b+c＜0，即4a+2b＜﹣c；∵c＝﹣2，∴4a+2b＜2，∴2a+b＜1，故①错误；②∵当x＝1时，y＞0，∴a+b+c＞0，∵c＝﹣2，∴a+b＞2，故②错误；③∵0＜x1＜1，1＜x2＜2，∴1＜x1+x2＜3，又∵x1+x2＝﹣，∴1＜﹣＜3，∴﹣a＜b＜﹣3a，∴3a+b＜0，④∵0＜x1x2＜2，x1x2＝＜2，又∵c＝﹣2，∴a＜﹣1．故④正确．故选：A．【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点及二次函数图象与系数的关系，根据图象找到所需的条件，同时利用根与系数的关系及不等式的性质是解题的基本思路．17．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的大致图象如图所示（1＜x＝h＜2，0＜x A＜1）．下列结论：①2a+b＞0；②abc＜0；③若OC＝2OA，则2b﹣ac＝4；④3a﹣c＜0．其中正确的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】①根据抛物线的开口向下即可得出a＜0，再根据抛物线的对称轴在x＝1和x ＝2之间即可得出b＞﹣2a，①正确；②由b＞﹣2a可得出b＞0，再根据抛物线与y轴交于y轴负半轴可得出c＜0，由此即可得出abc＞0，②错误；③将A（﹣，0）代入抛物线解析式中，整理后可得出2b﹣ac＝4，③正确；④根据抛物线的对称轴1＜﹣＜2可得出﹣2a＜b＜﹣4a，再由当x＝1时y＞0即可得出a+b+c＞0，进而即可得出3a﹣c＜0，④正确．综上即可得出结论．【解答】解：①∵抛物线的开口向下，∴a＜0．∵抛物线的对称轴﹣＞1，∴b＞﹣2a，即2a+b＞0，①成立；②∵b＞﹣2a，a＜0，∴b＞0，∵抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴，∴c＜0，∴abc＞0，②错误；③∵OC＝2OA，∴A（﹣，0），∴ac2﹣bc+c＝0，整理得：2b﹣ac＝4，③成立；④∵抛物线的对称轴1＜﹣＜2，∴﹣2a＜b＜﹣4a，∵当x＝1时，y＝a+b+c＞0，∴a﹣4a+c＞0，即3a﹣c＜0，④正确．综上可知正确的结论有3个．故选：C．【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系，根据二次函数的图象找出系数间的关系是解题的关键．18．如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且OB ＝OC，下列结论：①b＞1且b≠2；②b2﹣4ac＜4a2；③a＞；其中正确的个数为（）A．0B．1C．2D．3【分析】由根与系数的关系及二次函数y＝ax2+bx+c的图象坐标逐一求判定即可．【解答】解：①∵OB＝OC，∴C（0，c），B（﹣c，0）把B（﹣c，0）代入y＝ax2+bx+c得0＝ac2﹣bc+c，即0＝ac2+c（1﹣b），∵a＞0，∴1﹣b＜0，即b＞1，如果b＝2，由0＝ac2﹣bc+c，可得ac＝1，此是△＝b2﹣4ac＝0，故b＞1且b≠2正确，②∵a＞0，b＞0，c＞0，设C（0，c），B（﹣c，0）∵AB＝|x1﹣x2|＜2，∴（x1+x2）2﹣4x1x2＜4，∴（﹣）2﹣4×＜4，即﹣＜4，∴b2﹣4ac＜4a2；故本项正确．③把B（﹣c，0）代入y＝ax2+bx+c可得ac+1＝b，代入y＝ax2+bx+c得y＝ax2+（ac+1）x+c＝ax2+acx+x+c＝ax2+x+acx+c＝x（ax+1）+c（ax+1）＝（x+c）（ax+1），解得x1＝﹣c，x2＝﹣，由图可得x1，x2＞﹣2，即﹣＞﹣2，∵a＞0，∴＜2，∴a＞；正确．所以正确的个数是3个．故选：D．【点评】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系．解题的关键是根与系数的灵活运用．19．如图是二次函数y＝ax2+bx+c图象的一部分，其对称轴是x＝﹣1，且过点（﹣3，0），下列说法：①abc＜0；②2a﹣b＝0；③4a+2b+c＜0；④若（﹣5，y1），（，y2）是抛物线上两点，则y1＜y2，其中说法正确的是（）A．①②B．②③C．①②④D．②③④【分析】根据抛物线开口方向得到a＞0，根据抛物线的对称轴得b＝2a＞0，则2a﹣b＝0，则可对②进行判断；根据抛物线与y轴的交点在x轴下方得到c＜0，则abc＜0，于是可对①进行判断；由于x＝2时，y＞0，则得到4a+2b+c＞0，则可对③进行判断；通过点（﹣5，y1）和点（，y2）离对称轴的远近对④进行判断．【解答】解：∵抛物线开口向上，∴a＞0，∵抛物线对称轴为直线x＝﹣＝﹣1，∴b＝2a＞0，则2a﹣b＝0，所以②正确；∵抛物线与y轴的交点在x轴下方，∴c＜0，∴abc＜0，所以①正确；∵x＝2时，y＞0，∴4a+2b+c＞0，所以③错误；∵点（﹣5，y1）离对称轴要比点（，y2）离对称轴要远，∴y1＞y2，所以④错误．故选：A．【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小，当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．（简称：左同右异）．抛物线与y轴交于（0，c）．抛物线与x轴交点个数：△＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；△＝b2﹣4ac ＜0时，抛物线与x轴没有交点．20．抛物线y＝ax2+bx+c的顶点为D（﹣1，﹣3），与x轴的一个交点A在点（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，其部分图象如图所示，则以下结论：①abc＞0；②a+b+c＜0；③a﹣c ＝3；④方程ax2+bx+c+3＝0有两个相等的实根，其中正确的个数为（）A．1B．2C．3D．4【分析】抛物线开口向上a＞0，对称轴在y轴左侧，b＞0，抛物线和y轴负半轴相交，c ＜0，则abc＜0，由抛物线与x轴有两个交点得到b2﹣4ac＞0；有抛物线顶点坐标得到抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，则根据抛物线的对称性得抛物线与x轴的另一个交点在点（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，所以当x＝1时，y＞0，则a+b+c＞0；由抛物线的顶点为D（﹣1，﹣3）得a﹣b+c＝﹣3，由抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝﹣1得b＝2a，所以a﹣c＝3；根据二次函数的最大值问题，当x＝﹣1时，二次函数有最大值为﹣3，即b2﹣4ac＝12a，b2﹣4a（c+3）＝b2﹣4ac﹣12a＝0，所以说方程ax2+bx+c+3＝0两个相等实数根．【解答】解：∵抛物线开口向上，∴a＞0，∵对称轴在y轴左侧，∴b＞0，∵抛物线和y轴负半轴相交，∴c＜0，∴abc＜0，故①错误；∵当x＝1时，y＞0，∴y＝a+b+c＞0，故②错误；∵抛物线的顶点为D（﹣1，﹣3）∴a﹣b+c＝﹣3，∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝﹣1得b＝2a，把b＝2a代入a﹣b+c＝﹣3，得a﹣2a+c＝﹣3，∴c﹣a＝﹣3，∴a﹣c＝3，故③正确；∵二次函数y＝ax2+bx+c有最大值为﹣3，∴b2﹣4ac＝12a，∴方程ax2+bx+c+3＝0的判别式△＝b2﹣4a（c+3）＝b2﹣4ac﹣12a＝0，∴方程ax2+bx+c+3＝0有两个相等的实数根，故④正确；故选：B．【点评】本题考查了二次函数的图象与系数的关系：二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象为抛物线，当a＞0，抛物线开口向上；对称轴为直线x＝﹣；抛物线与y轴的交点坐标为（0，c）；当b2﹣4ac＞0，抛物线与x轴有两个交点；当b2﹣4ac＝0，抛物线与x 轴有一个交点；当b2﹣4ac＜0，抛物线与x轴没有交点．21．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，在下列四个结论中：①2a﹣b＜0；②abc＜0；③a+b+c＜0；④a﹣b+c＞0．错误的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】根据对称轴方程，抛物线开口方向、与y轴交点坐标位置确定a、b、c的负号，根据图象知x＝﹣1与x＝1时所对应的y的负号进行判断．【解答】解：如图所示，∵抛物线开口方向向下，∴a＜0．又对称轴﹣1＜x＝﹣＜0，∴b＜0，且b＞2a，则2a﹣b＜0．故①正确；∵抛物线与y轴交于负半轴，∴c＜0，∴abc＜0．故②正确；如图所示，当x＝1时，y＜0，即a+b+c＜0．故③正确；④如图所示，当x＝﹣1时，y＜0，即a﹣b+c＜0．故④错误．综上所述，错误的个数是1．故选：A．【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系．二次函数y＝ax2+bx+c系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点抛物线与x轴交点的个数确定．22．如图为二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象，对称轴是x＝1，则下列说法：①b＞0；②2a+b＝0；③4a﹣2b+c＞0；④3a+c＞0；⑤m（ma+b）＜a+b（常数m≠1）．其中正确的个数为（）A．2B．3C．4D．5【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴x＝1计算2a+b与偶的关系；再由根的判别式与根的关系，进而对所得结论进行判断．【解答】解：①由抛物线的开口向下知a＜0，对称轴为x＝﹣＞0，则b＞0，故本选项正确；②由对称轴为x＝1，∴﹣＝1，∴b＝﹣2a，则2a+b＝0，故本选项正确；③由图象可知，当x＝﹣2时，y＜0，则4a﹣2b+c＜0，故本选项错误；④从图象知，当x＝﹣1时，y＝0，则a﹣b+c＝0，∵b＝﹣2a，∴a+2a+c＝0，即3a+c＝0，故本选项错误；⑤∵对称轴为x＝1，∴当x＝1时，抛物线有最大值，∴a+b+c＞m2a+mb+c，∴m（ma+b）＜a+b（常数m≠1），故本选项正确；故选：B．【点评】本题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与b 的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．23．如图，二次函数y＝ax2+bx+c图象的对称轴为x＝1，则下列说法正确的有（）①abc＜0，②2a+b＝0，③a﹣b+c＞0，④若4a+2b+c＞0．A．①②③B．②③④C．①②④D．①②③④【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．【解答】解：A、根据图示知，抛物线开口方向向上，则a＞0．抛物线的对称轴x＝﹣＝1＞0，则b＜0．抛物线与y轴交与正半轴，则c＞0，所以abc＜0．故本选项正确；B、∵x＝﹣＝1，∴b＝﹣2a，∴2a+b＝0．故本选项正确；C、∵抛物线开口方向向上，与y轴交与正半轴，∴当x＝﹣1时，y＞0，即a﹣b+c＞0．故本选项正确；D、由x＝2时，y＝4a+2b+c，由图象知：y＝4a+2b+c＞0，故本选项正确；故选：D．【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系．二次函数y＝ax2+bx+c系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点抛物线与x轴交点的个数确定．24．如图所示的二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象中，观察得出了下面五条信息：①abc＜0；②a+b+c＜0；③b+2c＞0；④a﹣2b+4c＞0；⑤，你认为其中正确信息的个数有（）A．2B．3C．4D．5【分析】利用函数图象分别求出a，b，c的符号，进而得出x＝1或﹣1时y的符号，进而判断得出答案．【解答】解：①∵图象开口向下，∴a＜0，∵对称轴x＝﹣＝﹣，∴3b＝2a，则a＝b，∴b＜0，∵图象与x轴交与y轴正半轴，∴c＞0，∴abc＞0，故选项①错误；选项⑤正确；②由图象可得出：当x＝1时，y＜0，∴a+b+c＜0，故此选项正确；③当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＞0，∴b﹣b+c＞0，∴b+2c＞0，故此选项正确；④当x＝﹣时，y＞0，∴a﹣b+c＞0，∴a﹣2b+4c＞0，故此选项正确．故正确的有4个．故选：C．【点评】此题主要考查了二次函数图象与系数的关系，正确得出a，b的关系以及x＝1，﹣1时y的符号是解题关键．25．已知抛物线y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论：①abc＞0；②a+b+c＝2；③a ＜；④b＞1．其中正确的结论是（）A．①②B．②③C．③④D．②④【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．【解答】解：①∵抛物线的开口向上，∴a＞0，∵与y轴的交点为在y轴的负半轴上，∴c＜0，∵对称轴为x＝＜0，∴a、b同号，即b＞0，∴abc＜0，故本选项错误；②当x＝1时，函数值为2，∴a+b+c＝2；故本选项正确；③∵对称轴x＝＞﹣1，解得：＜a，∵b＞1，∴a＞，故本选项错误；④当x＝﹣1时，函数值＜0，即a﹣b+c＜0，（1）又a+b+c＝2，将a+c＝2﹣b代入（1），2﹣2b＜0，∴b＞1故本选项正确；综上所述，其中正确的结论是②④；故选：D．【点评】二次函数y＝ax2+bx+c系数符号的确定：（1）a由抛物线开口方向确定：开口方向向上，则a＞0；否则a＜0．（2）b由对称轴和a的符号确定：由对称轴公式x＝判断符号．（3）c由抛物线与y轴的交点确定：交点在y轴正半轴，则c＞0；否则c＜0．（4）b2﹣4ac的符号由抛物线与x轴交点的个数确定：2个交点，b2﹣4ac＞0；1个交点，b2﹣4ac＝0；没有交点，b2﹣4ac＜0．（5）当x＝1时，可确定a+b+c的符号，当x＝﹣1时，可确定a﹣b+c的符号．（6）由对称轴公式x＝，可确定2a+b的符号．26．已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于（x1，0），（x2，0）两点，且0＜x1＜1，1＜x2＜2，与y轴交于（0，﹣2），下列结论：①2a+b＞1；②a+b＜2；③3a+b＞0；④a ＜﹣1．其中正确的个数为（）A．1B．2C．3D．4【分析】由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．【解答】解：∵y轴交于点（0，﹣2），∴c＝﹣2，∵0＜x1＜1，1＜x2＜2，x1•x2＝，∴0＜＜2，∵c＝﹣2，∴a＜﹣1，④正确，∵函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于（x1，0），（x2，0）两点，且0＜x1＜1，1＜x2＜2，∴＜﹣＜，3a+b＞0，③正确；∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于（x1，0），（x2，0）两点，且0＜x1＜1，1＜x2＜2，与y轴交于（0，﹣2），∴4a+2b+c＜0，∴4a+2b＜﹣c，即4a+2b＜2，∴2a+b＜1，①错误，又a+b+c＞0，∴a+b＞﹣c∵c＝﹣2∴a+b＞2，②错误，故选：B．【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点及二次函数图象与系数的关系，根据图象找到所需的条件，同时利用根与系数的关系及不等式的性质是解题的基本思路．27．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且OA＝OC．则下列结论：①abc＜0；②＞0；③ac﹣b+1＝0；④OA•OB＝﹣．其中正确结论的个数是（）A．4B．3C．2D．1【分析】由抛物线开口方向得a＜0，由抛物线的对称轴位置可得b＞0，由抛物线与y轴的交点位置可得c＞0，则可对①进行判断；根据抛物线与x轴的交点个数得到b2﹣4ac ＞0，加上a＜0，则可对②进行判断；利用OA＝OC可得到A（﹣c，0），再把A（﹣c，0）代入y＝ax2+bx+c得ac2﹣bc+c＝0，两边除以c则可对③进行判断；设A（x1，0），B （x2，0），则OA＝﹣x1，OB＝x2，根据抛物线与x轴的交点问题得到x1和x2是方程ax2+bx+c ＝0（a≠0）的两根，利用根与系数的关系得到x1•x2＝，于是OA•OB＝﹣，则可对④进行判断．【解答】解：∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵抛物线的对称轴在y轴的右侧，∴b＞0，∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，∴c＞0，。

2020年全国各地数学中考试题精选之二次函数一、单选题1.（2020·辽阳模拟）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，它与x轴的两个交点分别为（﹣1，0），（3，0）.对于下列命题：①b﹣2a=0；②abc＜0；③4a﹣2b+c＜0；④8a+c＞0.其中正确的有（）A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个2.（2020·杭州模拟）在平面直角坐标系中，已知m≠n，函数y=x²+（m+n）x+mn的图象与x轴有a个交点，函数y=mnx²+（m+n）x+1的图象与x轴有b个交点，则a与b的数量关系是（）A. a=bB. a=b-1C. a=b或a=b+1D. a=b或a=b-13.（2020·广西模拟）如图，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为直线x=1，与x轴的一个交点坐标为(−1,0)，其部分图象如图所示，下列结论：①2a+b=0；②b2−4ac<0；③当y>0时，x的取值范围是−1<x<3；④当x>0时，y随x增大而增大；⑤若t为任意实数，则有a+b≥at2+ bt，其中结论正确的个数是( )A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个4.（2020·铁岭模拟）二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，在下列说法中：①abc＞0；②a+b+c>0；③4a−2b+c>0；④当x>1时，y随着y的增大而增大.正确的说法个数是（）A. 1B. 2C. 3D. 45.（2020·东城模拟）若点A(1,y1),B(2,y2)在抛物线y=a(x+1)2+2(a<0)上，则下列结论正确的是（）A. 2>y1>y2B. 2>y2>y1C. y1>y2>2D. y2>y1>26.（2020·长丰模拟）若(−2,0)是二次函数y=ax2+bx(a>0)图象上一点，则抛物线y=a(x−2)2+ bx−2b的图象可能是（）A. B.C. D.7.（2020·南山模拟）已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴是直线x=1，其部分图象如图所示，下列说法中：①abc<0；②4a−2b+c<0；③若A（−12，y1）、B（32，y2）、C（−2，y3）是抛物线上的三点，则有y3<y1<y2；④若m，n（m<n）为方程a(x−3)(x+1)−2=0的两个根，则m>−1且n<3，以上说法正确的有（）A. ①②③④B. ②③④C. ①②④D. ①②③8.（2020·萧山模拟）已知二次函数y=a（x-2）2+c，当x=x1时，函数值为y1；当x=x2时，函数值为y2，若|x1-2|>|x2-2|，则下列表达式正确的是（）A. y1+y2>0B. y1-y2>0C. a（y1-y2）>0D. a（y1+y2）>09.（2020·西安模拟）二次函数y＝x2+bx+c的图象经过坐标原点O和点A(7，0)，直线AB交y轴于点B(0，﹣7)，动点C(x，y)在直线AB上，且1＜x＜7，过点C作x轴的垂线交抛物线于点D，则CD的最值情况是( )A. 有最小值9B. 有最大值9C. 有最小值8D. 有最大值810.（2020·广水模拟）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象如图所示，下列结论：①abc＞0；②2a+b＝0；③当m≠1时，a+b＞am2+bm；④a−b+c＞0；⑤若ax12+bx1＝ax22+bx2，且x1≠ x2，则x1+x2＝2.其中正确的有（）A. ①②③B. ②④C. ②⑤D. ②③⑤11.（2020·铜川模拟）若一个二次函数y=ax2−4ax+3(x≠0)的图像经过两点A(m+2,y1)、B(2−m,y2)，则下列关系正确的是（）A. y1=y2B. y1<y2C. y1>y2D. y1≥y212.（2020·连云模拟）竖直向上的小球离地面的高度h（米）与时间t（秒）的关系函数关系式为h=-2t2+mt+25 8，若小球经过74秒落地，则小球在上抛过程中，第（）秒离地面最高.A. 37B. 47C. 34D. 4313.（2020·红花岗模拟）如图，抛物线y＝﹣x2+2x+c+1交x轴于点A（a，0）和B（b，0），交y轴于点C，抛物线的顶点为D，下列四个命题：①抛物线的对称轴是直线x＝1；②若OC＝OB，则c＝2；③若M（x0，y0）是x轴上方抛物线上一点，则（x0﹣a）（x0﹣b）＜0；④抛物线上有两点P（x1，y1）和Q（x2，y2），若x1＜1＜x2，且x1+x2＞2，则y1＞y2.其中真命题个数是（）A. 1B. 2C. 3D. 414.（2020·柯桥模拟）在同一平面直角坐标系中，先将抛物线A：y＝x2﹣2通过左右平移得到抛物线B，再将抛物线B通过上下平移得到抛物线C：y＝x2﹣2x+2，则抛物线B的顶点坐标为（）A. （﹣1，2）B. （1，2）C. （1，﹣2）D. （﹣1，﹣2）15.（2020·台州模拟）抛物线y＝ax2+bx+c的顶点D（﹣1，2），与x轴的一个交点A在点（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，其部分图象如图，则以下结论：①b2﹣4ac＜0；②a+b+c＞0；③c﹣a＝2；④方程ax2+bx+c ﹣2＝0有两个相等的实数根.其中正确的结论是（）A. ③④B. ②④C. ②③D. ①④16.（2020·绍兴模拟）抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴的两个交点坐标如图所示，下列说法中错误的是（）A. 一元二次方程﹣x2+bx+c＝0的解是x1＝﹣2，x2＝1B. 抛物线的对称轴是x=−12C. 当x＞1时，y随x的增大而增大D. 抛物线的顶点坐标是(−12,9 4 )17.（2020·湖州模拟）二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，有以下结论：①3a﹣b＝0；②b2﹣4ac ＞0；③5a﹣2b+c＞0；④4b+3c＞0，其中错误结论的个数是（）A. 1B. 2C. 3D. 418.（2020·南充模拟）将抛物线y=x(x+2)向左平移1个单位后的解析式为（）A. y=x(x+1)B. y=x(x+3)C. y=(x−1)(x+1)D. y=(x+1)(x+3)19.（2020·沙湾模拟）二次函数y=−x2−1的图象是一条抛物线，下列关于该抛物线的说法正确的是（）A. 开口向上B. 对称轴是x=1C. 当x=0时，函数的最大值是-1D. 抛物线与x轴有两个交点20.（2020·峨眉山模拟）在平面直角坐标系中，已知a≠b，设函数y=(x+a)(x+b)的图像与x轴有M个交点，函数y=(ax+1)(bx+1)的图像与x轴有N个交点，则（）A. M=N−1或M=N+1B. M=N−1或M=N+2C. M=N或M=N+1D. M=N或M=N−121.（2020·峨眉山模拟）如图，二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象过点(−2,0)，对称轴为直线x= 1．有以下结论：①abc>0；②8a+c>0；③若A（x1，m），B（x2，m）是抛物线上的两点，当x=x1+x2时，y=c；④点M，N是抛物线与x轴的两个交点，若在x轴下方的抛物线上存在一点P，使得PM⊥PN，则a的取值范围为a≥1；3⑤若方程a(x+2)(4−x)=−2的两根为x1，x2，且x1＜x2，则﹣2≤ x1＜x2＜4．其中正确结论的序号是（）A. ①②④B. ①③④C. ①③⑤D. ①②③⑤22.（2020·旌阳模拟）已知y关于x的函数表达式是y=ax2−4x−a，下列结论错误的是（）A. 若a=−1，函数的最大值是5B. 若a=1，当x≥2时，y随x的增大而增大C. 无论a为何值时，函数图象一定经过点(1,−4)D. 无论a为何值时，函数图象与x轴都有两个交点23.（2020·新都模拟）关于二次函数y=x2−kx+k−1，以下结论：①抛物线交x轴有两个不同的交点；②不论k取何值，抛物线总是经过一个定点；③设抛物线交x轴于A、B两点，若AB=1，则k=4；④抛物线的顶点在y=−(x−1)2图象上；⑤抛物线交y轴于C点，若△ABC是等腰三角形，则k=−√2，0，1．其中正确的序号是（）A. ①②⑤B. ②③④C. ①④⑤D. ②④24.（2020·武侯模拟）如图是二次函数y＝ax2+bx+c的图象，其对称轴为直线x＝1，且与x轴的一个交点为A(3，0)，下列说法错误的是（）A. b2＞4acB. abc＜0C. 4a﹣2b+c＞0D. 当x＜﹣1时，y随x的增大而增大25.（2020·青白江模拟）已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，给出以下结论：①a+ b+c<0；②b2－4ac<0；③b+2a<0；④c<0.其中所有正确结论的序号是( )A. ③④B. ②③C. ①④D. ①②26.（2020·大邑模拟）已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为直线x=−2，与x轴的一个交点坐标为(−4,0)，其部分图象如图所示，下列结论：①当x<0时，y随x增大而增大；②抛物线一定过原点；③方程ax2+bx+c=0(a≠0)的解为x=0或x=−4；④当−4<x<0时，ax2+bx+ c>0；⑤a−b+c<0．其中结论错误的．．．个数有（）个A. 1B. 2C. 3D. 427.（2020·永州模拟）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，给出以下结论：①b2＞4ac；②2a+b＝0；③3a+c＞0；④4a﹣2b+c＜0：⑤9a+3b+c＜0．其中结论正确的个数有（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个28.（2020·怀化模拟）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴是直线x=−1，下列结论：①abc＜0；②2a+b=0；③a﹣b+c＞0；④4a﹣2b+c＜0其中正确的是（）A. ①②B. 只有①C. ③④D. ①④29.（2020·黄石模拟）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论中正确的是（）A. a＞0B. 当﹣1＜x＜3时，y＞0C. c＜0D. 当x≥1时，y随x的增大而增大30.（2020·乾县模拟）已知二次函数y=ax²-8ax（a为常数）的图象不经过第二象限，在自变量x的值满足2≤x≤3时，其对应的函数值y的最大值为3，则a的值为（）A. −14B. 14C. −15D. 15二、填空题31.（2020·海淀模拟）如图，在平面直角坐标系xOy中，有五个点A(2,0),B(0,−2),C(−2,4),D(4,−2),E(7,0)，将二次函数y=a(x−2)2+m(m≠0)的图象记为W．下列的判断中①点A一定不在W上；②点B，C，D可以同时在W上；③点C，E不可能同时在W上．所有正确结论的序号是________．32.（2020·长丰模拟）若抛物线y=x2−2kx+k2+1在−1≤x≤1时，始终在直线y=2的上方，则k的取值范围是________．33.（2020·新疆模拟）如图，二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象经过点(−12,0)，对称轴为直线x=1,下列5个结论：①abc<0；②a−2b+4c=0；③2a+b>0；④2c−3b<0；⑤a+b≤m(am+b).其中正确的结论为________. (注：只填写正确结论的序号)34.（2020·昌吉模拟）如图，抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是x=﹣1.且过点(12,0)，有下列结论：①abc<0；②a﹣2b+4c=0；③25a﹣10b+4c=0；④3b+2c<0；⑤a﹣b≥m（am﹣b）；其中所有正确的结论是________.（填写正确结论的序号）35.（2020·立山模拟）若二次函数y=mx2+(m−2)x+m的顶点在x轴上，则m=________.36.（2020·立山模拟）在同一平面直角坐标系中，若抛物线y=x2+(2m−1)x+2m−4与y=x2−(3m+n)x+n关于y轴对称，则符合条件的m=________；n=________.37.（2020·铁西模拟）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x＝2，下列结论：①4a+b＝0；②9a+c＞3b；③,3a+c＞0；④当x＞﹣1时，y的值随x值的增大而增大.⑤4a+2b≥am2−bm（m为任意实数）其中正确的结论有________.（填序号）38.（2020·梧州模拟）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）经过点A（1，-1）、B（3，3），且当1≤x≤3时，-1≤y≤3，则a的取值范围是________39.（2020·南充模拟）如图，抛物线y=x2+ax+2经过点P(−2，2)，Q(m，n).若点Q到y轴的距离小于2，则n的取值范围是________.40.（2020·海曙模拟）如图，已知△ABC中，∠ACB＝90°，D是斜边AB上一点，BD＝2AD，CD＝4，则S△ACD 的最大值为________.三、综合题41.如图，已知二次函数y=-x2+bx+c的图像经过点A（4，-5），点B（0，3）。

2020年中考数学二次函数真题汇编(名师精选全国真题，值得下载练习)一、单选题1.如图，一段抛物线y=﹣x 2+4（﹣2≤x≤2）为C 1 ， 与x 轴交于A 0 ， A 1两点，顶点为D 1；将C 1绕点A 1旋转180°得到C 2 ， 顶点为D 2；C 1与C 2组成一个新的图象，垂直于y 轴的直线l 与新图象交于点P 1（x 1 ， y 1），P 2（x 2 ， y 2），与线段D 1D 2交于点P 3（x 3 ， y 3），设x 1 ， x 2 ， x 3均为正数，t=x 1+x 2+x 3 ， 则t 的取值范围是（ ）A. 6＜t≤8 B. 6≤t≤8 C. 10＜t≤12 D. 10≤t≤12 【答案】D【解析】【解答】解：翻折后的抛物线的解析式为y=（x ﹣4）2﹣4=x 2﹣8x+12， ∵设x 1 ， x 2 ， x 3均为正数，∴点P 1（x 1 ， y 1），P 2（x 2 ， y 2）在第四象限， 根据对称性可知：x 1+x 2=8， ∵2≤x 3≤4，∴10≤x 1+x 2+x 3≤12即10≤t≤12， 故答案为：D ．【分析】根据题意可求出翻折后的抛物线的解析式，设x 1 ， x 2 ， x 3均为正数，可得出点P 1（x 1 ， y 1），P 2（x 2 ， y 2）在第四象限，根据对称性可求出x 1+x 2=8，由2≤x 3≤4，可得出x 1+x 2+x 3的取值范围，从而得出t 的取值范围。

2.已知，平面直角坐标系中，直线y 1=x+3与抛物线y=-x x 的图象如图，点P 是y 2上的一个动点，则点P 到直线y 1的最短距离为（ ）A.B.C. D.【答案】D【解析】【解答】解、∵点P 到直线y 1的距离最短， ∴点P 是直线与抛物线相切时的交点。

设直线y 1平移k 个单位长度，则此时的解析式为 =x+3+k ， 把 =x+3+k 代入y=-x 2+2x 整理得，-x 2+x-3-k=0，△=b 2-4ac=1-4 (-) (-3-k)=0，解得k=-，即直线y 1向下平移个单位长度与抛物线相切， 把k=-代入解析式解方程组可求得点P 的坐标为（1，）；过点P 作PD ⊥直线y 1于点D ，则直线PD 的解析式可设为y 3=-x+b ，把点P （1，）代入可求得b=,即直线PD 的解析式为y 3=-x+，将y 1和y 3的解析式联立解方程组可求得点D 的坐标为（-，）；若直线PD与x轴相较于点C，直线y1=x+3与x、y轴分别相较于点A、B，易得点A （-3,0）、B（0,3），∴∠BAC==∠DCA，由勾股定理可得：CD=，CP=，∴PD=CD-CP=。

2020年中考数学复习二次函数与一元二次方程专题练习一、单选题1．将二次函数24y x x a =-+的图象向左平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度，若得到的函数图象与直线2y =有两个交点，则a 的取值范围是（ ）A ．3a <B ．3a <C ．5a <D ．5a >2．二次函数y=﹣x 2+mx 的图象如图，对称轴为直线x=2，若关于x 的一元二次方程﹣x 2+mx ﹣t=0（t 为实数）在1＜x ＜5的范围内有解，则t 的取值范围是（ ）A ．t ＞﹣5B ．﹣5＜t ＜3C ．3＜t≤4D ．﹣5＜t≤43．已知抛物线y=x 2+2x+k+1与x 轴有两个不同的交点，则一次函数y=kx ﹣k 与反比例函数y=k x在同一坐标系内的大致图象是（ ） A ． B ． C ． D ．4．已知二次函数y ＝ax 2+bx +c (a ＞0)经过点M (﹣1，2)和点N (1，﹣2)，则下列说法错误的是( ) A ．a +c ＝0B ．无论a 取何值，此二次函数图象与x 轴必有两个交点，且函数图象截x 轴所得的线段长度必大于2C ．当函数在x ＜110时，y 随x 的增大而减小 D ．当﹣1＜m ＜n ＜0时，m +n ＜2a 5．若二次函数22y ax ax c =-+的图象经过点（﹣1，0），则方程220ax ax c -+=的解为（ ） A ．13x =-，21x =- B ．11x =，23x = C ．11x =-，23x = D ．13x =-，21x =6．二次函数2(,,y ax bx c a b c =++为常数，且0a ≠)中的x 与y 的部分对应值如表：下列结论错误的是( )A ．0ac <B ．3是关于x 的方程()210ax b x c +-+=的一个根； C ．当1x >时，y 的值随x 值的增大而减小； D ．当13x 时，()210.ax b x c +-+> 7．如图，二次函数y ＝ax 2+bx +c (a ≠0)的图象与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，点B 坐标为(3，0)，对称轴为直线x ＝1．下列结论正确的是( )A ．abc ＜0B ．b 2＜4acC ．a +b +c ＞0D ．当y ＜0时，﹣1＜x ＜3 8．对于二次函数,下列说法正确的是（ ）A ．当x>0，y 随x 的增大而增大B ．当x=2时，y 有最大值－3C ．图像的顶点坐标为（－2，－7）D ．图像与x 轴有两个交点 9．已知抛物线265y x x =-+与x 轴交于A ，B 两点，将这条抛物线的顶点记为C ，连接AC ，BC ，则cos CAB ∠的值为（ ）A ．12BC ．2D 10．如图是抛物线y 1＝ax 2+bx +c (a ≠0)图象的一部分，抛物线的顶点坐标是A (1，3)，与x 轴的一个交点B (4，0)，直线y 2＝mx +n (m ≠0)与抛物线交于A ，B 两点，下列结论：①2a +b ＝0；②m +n ＝3；③抛物线与x 轴的另一个交点是(﹣1，0)；④方程ax 2+bx +c ＝3有两个相等的实数根；⑤当1≤x ≤4时，有y 2＜y 1，其中正确的是( )A ．①②③B ．①②④C ．①②⑤D ．②④⑤二、填空题 11．已知二次函数2y x bx c =++的图象与x 轴的两个交点的横坐标分别为1x 、2x ，一元二次方程22140x b x ++=的两实根为3x 、4x ，且23143x x x x -=-=，则二次函数的顶点坐标为____________． 12．已知二次函数y=x 2﹣4x+k 的图象的顶点在x 轴下方，则实数k 的取值范围是_____．13．抛物线22y ax ax =-与直线22y x a =-在同一平面直角坐标系中，若抛物线始终在直线的同一侧不与直线相交，则a 的取值范围是_____．14．已知：y 关于x 的函数22(21)1y k x k x =--+的图象与坐标轴只有两个不同的交点A 、B ，P 点坐标为(3,2)，则PAB △的面积为_____．15．对于实数a ，b ，定义新运算“⊗”：a ⊗b= ()()22a ab a b b ab a b ⎧-≤⎪⎨->⎪⎩；若关于x 的方程()()211x x t +⊗-=恰好有两个不相等的实根，则t 的值为_________________．16．已知二次函数24y x x k =-+的图像与x 轴交点的横坐标是1x 和2x ，且128x x -=，则k =________． 17．如图，抛物线2y ax c =+与直线y mx n =+交于()1,A p -，()3,B q 两点，则不等式2ax mx c n -+<的解集是_______．18．若抛物线y=x 2+bx-3的对称轴为直线2x =，则关于x 的方程250x bx +-=的解为_______． 19．已知关于x 的一元二次方程x 2+bx ﹣c ＝0无实数解，则抛物线y ＝﹣x 2﹣bx +c 经过____象限．20．如图，抛物线2815y x x =-+与x 轴交于A B 、两点，对称轴与x 轴交于点C ，点()0,2D -，点()06，-E ，点P 是平面内一动点，且满足=90,∠︒DPE M 是线段PB 的中点，连结CM ．则线段CM 的最大值是________________．三、解答题21．已知点A （1，1）在抛物线y ＝x 2+（2m +1）x ﹣n ﹣1上（1）求m 、n 的关系式；（2）若该抛物线的顶点在x 轴上，求出它的解析式．22．己知函数223y ax x =--（a 是常数）（1）当1a =时，该函数图像与直线1y x =-有几个公共点？请说明理由；（2）若函数图像与x 轴只有一公共点，求a 的值.23．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，根据图象解答下列问题：（1）写出方程ax2+bx+c＝0的两个根；（2）写出不等式ax2+bx+c＞0的解集；（3）若方程ax2+bx+c＝k有两个不相等的实数根，求k的取值范围．24．已知，如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，其中A点坐标为（﹣1，0），点C （0，5），另抛物线经过点（1，8），M为它的顶点．（1）求抛物线的解析式；（2）求△MCB的面积．25．若一次函数y =mx +n 与反比例函数y =k x同时经过点P(x ，y)则称二次函数y =mx 2+nx -k 为一次函数与反比例函数的“共享函数”，称点P 为共享点．（1）判断y =2x -1与y =3x是否存在“共享函数”，如果存在，请求出“共享点”．如果不存在，请说明理由； （2）已知：整数m ，n ，t 满足条件t<n<8m ，并且一次函数y=(1+n)x+2m+2与反比例函数y =2020x 存在“共享函数”y=(m+t)x 2+(10m−t)x−2020，求m 的值．（3）若一次函数y =x +m 和反比例函数y =213m x+在自变量x 的值满足m ≤x ≤m +6的情况下，其“共享函数”的最小值为3，求其“共享函数”的解析式．26．在二次函数的学习中，教材有如下内容：例1 函数图象求一元二次方程212202x x --=的近似解（精确到0.1）． 解：设有二次函数2122y x x =--，列表并作出它的图象（图1）．观察抛物线和x 轴交点的位置，估计出交点的横坐标分别约为0.8-和4.8，所以得出方程精确到0.1的近似解为10.8x ≈-，2 4.8x ≈，利用二次函数2y ax bx c =++的图象求出一元二次方程20ax bx c ++=的解的方法称为图象法，这种方法常用来求方程的近似解．小聪和小明通过例题的学习，体会到利用函数图象可以求出方程的近似解．于是他们尝试利用图象法探宄方程32210x x -+=的近似解，做法如下：小聪的做法：令函数3221y x x =-+，列表并画出函数的图象，借助图象得到方程32210x x -+=的近似解． 小明的做法：因为0x ≠，所以先将方程32210x x -+=的两边同时除以x ，变形得到方程212x x x -=-，再令函数212y x x =-和21y x=-，列表并画出这两个函数的图象，借助图象得到方程32210x x -+=的近似解．请你选择小聪或小明的做法，求出方程32210x x -+=的近似解（精确到0.1）．27．阅读材料：若抛物线1L 的顶点A 在抛物线2L 上，抛物线2L 的顶点B 也在抛物线1L 上（点A 与点B 不重合），我们称这样的两条抛物线1L 、2L 互为“友好”抛物线，如图1．解决问题：如图2，已知物线238:24L y x x =-+与y 轴交于点C ．（1）若点D 与点C 关于抛物线3L 的对称轴对称，求点D 的坐标；（2）求出以点D 为顶点的3L 的“友好”抛物线4L 的解析式；（3）直接写出3L 与4L 中y 同时随x 增大而增大的自变量x 的取值范围．28．如图，抛物线与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C （0，﹣2），点A 的坐标是（2，0），P 为抛物线上的一个动点，过点P 作PD ⊥x 轴于点D ，交直线BC 于点E ，抛物线的对称轴是直线x ＝﹣1．（1）求抛物线的函数表达式；（2）若点P 在第二象限内，且PE ＝14OD ，求△PBE 的面积． （3）在（2）的条件下，若M 为直线BC 上一点，在x 轴的上方，是否存在点M ，使△BDM 是以BD 为腰的等腰三角形？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案1．C2．D3．D4．C5．C6．C7．D8．B9．D10．B11．325,24⎛⎫-- ⎪⎝⎭ 12．k ＜413．1a <或1a >14．1或1215．2.25或016．－1217．13x18．121,5x x =-=19．三、四．20．7221．（1）n ＝2m ；（2）y ＝x 2或y ＝x 2﹣4x +4． 22．（1）函数图像与直线有两个不同的公共点；（2）0a =或13a =-.23．（1）x 1＝1，x 2＝3；（2）1＜x ＜3；（3）k ＜2．24．（1）y=﹣x 2+4x+5；（2）15．25．（1）存在共享函数，共享点的坐标为(1,3)--，3,22⎛⎫ ⎪⎝⎭；（2）2m =；（3）2429y x x =+-或2(9155y x x =---26．选择小明的作法，10.6x ≈-，21.0x ≈，3 1.6x ≈ 27．（1）点D 坐标为(4，4)（2）抛物线4L 的解析式为22(4)4y x =--+（3）24x ≤≤28．（1）y ＝14x 2+12x ﹣2；（2）58；（3）M 坐标为（205+）或（﹣285，45）．。

二次函数--二次函数解决实际问题1. 如图，用长8m 的铝合金条制成矩形窗框，使窗户的透光面积最大，那么这个窗户的最大透光面积是( )A.6425m2B.43m2C.83m2 D.4m2 2. 某广场有一喷水池，水从地面喷出，如图，以水平地面为x 轴，出水点为原点，建立平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线y ＝－x2＋4x(单位：米)的一部分，则水喷出的最大高度是( )A.4米B.3米C.2米D.1米3. 某公园草坪的防护栏是由100段形状相同的抛物线组成的.为了牢固起见，每段护栏需要每间隔0.4m 加设一根不锈钢的支柱，防护栏的最高点距底部0.5m ，如图所示，则防护栏不锈钢支柱的总长度至少为( )A.50mB.100mC.160mD.200m4. 河北省赵县的赵州桥的桥拱是近似的抛物线形，建立如图所示的平面直角坐标系，其函数的关系式为y＝－125x2，当水面离桥拱顶的高度DO 是4m 时，这时水面宽度AB 为( )A.－20mB.10mC.20mD.－10m5. 某幢建筑物，从10米高的窗口A 用水管向外喷水，喷的水流呈抛物线，抛物线所在平面与墙面垂直(如图)，如果抛物线的最高点M 离墙1米，离地面403米，则水流下落点B 离墙距离OB 是( )A.2米B.3米C.4米D.5米6. 如图，有一块边长为6cm 的正三角形纸板，在它的三个角处分别截去一个彼此全等的筝形，再沿图中的虚线折起，做成一个无盖的直三棱柱纸盒，则该纸盒侧面积的最大值是( )A.3cm2B.323cm2C.923cm2D.2723cm2 7. 若某商品的利润y(元)与售价x(元)之间的函数关系式是y ＝－x2＋8x ＋9，且售价x 的范围是1≤x≤3，则最大利润是( )A.16元B.21元C.24元D.25元8. 一件工艺品进价为100元，标价135元售出，每天可售出100件，根据销售统计，一件工艺品每降价1元出售，则每天可多售出4件，要使每天获得的利润最大，每件需降价的钱数为( )A.5元B.10元C.0元D.3600元9. 如图，隧道的截面是抛物线，可以用y ＝－116x2＋4表示，该隧道内设双行道，限高为3m ，那么每条行道宽是( )A.不大于4mB.恰好4mC.不小于4mD.大于4m ，小于8m10. 如图所示，要建一个长方形养鸡场，鸡场的一边靠墙，如果用50m 长的篱笆围成中间有一道篱笆的养鸡场，设它的长为xm ，要使鸡场的面积最大，鸡场的长为 m.11. 比赛中羽毛球的某次运动路线可以看作是一条抛物线(如图).若不考虑外力因素，羽毛球行进高度y(米)与水平距离x(米)之间满足关系式y ＝－29x2＋89x ＋109，则羽毛球飞出的水平距离为 米.12. 如图，有一抛物线形的立交拱桥，这个拱桥的最大高度为16m ，跨度为40m ，现把它的图形放在坐标系中.若在离跨度中心M 点5m 处垂直竖立一根铁柱支撑拱顶，这根铁柱应取 m.13. 如图，用一段长为30米的篱笆围成一个一边靠墙(墙的长度不限)的矩形菜园ABCD ，设AB 边长为x 米，则菜园的面积y(单位：米2)，当x ＝ 米时菜园的面积最大.14. 将一条长为20cm 的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做一个正方形，则这两个正方形面积之和的最小值是__________cm2.15. 已知某人卖盒饭的盒数x(盒)与所获利润y(元)满足关系式：y ＝－x2＋1200x －357600，则卖出盒饭数量为________盒时，获得最大利润为________元.16. 某服装店购进单价为15元童装若干件，销售一段时间后发现：当销售价为25元时平均每天销售出8件，而当销售价每降低2元，平均每天能多售出4件，当每件的定价为____________元时，该服装店平均每天的销售利润最大17. 杂技团进行杂技表演，演员从跷跷板右端A 处弹跳到人梯顶端椅子B 处，其身体(看成一点)的路线是抛物线y ＝－35x2＋3x ＋1的一部分，如图所示.(1)求演员弹跳离地面的最大高度；(2)已知人梯高BC ＝3.4米，在一次表演中，人梯到起跳点A 的水平距离是4米，问这次表演是否成功？请说明理由.18. 一种进价为每件40元的T 恤，若销售单价为60元，则每周可卖出300件，可提高利润，欲对该T 恤进行涨价销售.经过调查发现：每涨价1元，每周要少卖出10件.请确定该T 恤涨价后每周的销售利润y(元)与销售单价x(元)之间的函数关系式，并求销售单价为多少元时，每周的销售利润最大？19. 如图，某足球运动员站在点O 练习射门，将足球从离地面0.5m 的A 处正对球门踢出(点A 在y 轴上)，足球的飞行高度y(单位：m)与飞行时间t(单位：s)之间满足函数关系y ＝at2＋5t ＋c ，已知足球飞行0.8s 时，离地面的高度为3.5m.(1)足球飞行的时间是多少时，足球离地面最高？最大高度是多少？(2)若足球飞行的水平距离x(单位：m)与飞行时间t(单位：s)之间具有函数关系x ＝10t ，已知球门的高度为2.44m ，如果该运动员正对球门射门时，离球门的水平距离为28m ，他能否将球直接射入球门？20. 如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长是12m ，宽是4m.按照图中所示的直角坐标系，抛物线可以用y ＝－16x2＋bx ＋c 表示，且抛物线时的点C 到墙面OB 的水平距离为3m ，到地面OA 的距离为172m.(1)求该抛物线的函数关系式，并计算出拱顶D 到地面OA 的距离；(2)一辆货运汽车载一长方体集装箱后高为6m ，宽为4m ，如果隧道内设双向行车道，那么这辆货车能否安全通过？(3)在抛物线型拱壁上需要安装两排灯，使它们离地面的高度相等，如果灯离地面的高度不超过8m ，那么两排灯的水平距离最小是多少米？参考答案：1—9 CACCB CCAA10. 2511. 512. 1513. 1514. 25215. 600 240016. 2217. 解：(1)y ＝－35x2＋3x ＋1＝－35(x －52)2＋194，∵－35＜0，∴函数的最大值是194.答：演员弹跳的最大高度是194米； (2)当x ＝4时，y ＝－35×42＋3×4＋1＝3.4＝BC ，所以这次表演成功. 18. 解：由题意，得y ＝(x －40)[300－10(x －60)]，即y ＝－10x2＋1300x －36000(60≤x≤90).配方，得y ＝－10(x －65)2＋6250.∵－10＜0，∴当x ＝65时，y 有最大值6250，因此，当该T 恤销售单价为65元时，每周的销售利润最大.19. 解：(1)由题意得：函数y ＝at2＋5t ＋c 的图象经过(0,0.5)(0.8,3.5)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 0.5＝c 3.5＝0.82a －5×0.8＋c ，解得：⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－2516c ＝12，∴抛物线的解析式为：y ＝－2516t2＋5t ＋12，∴当t ＝85时，y 最大＝4.5；(2)把x ＝28代入x ＝10t 得t ＝2.8，∴当t ＝2.8时，y ＝－2516×2.82＋5×2.8＋12＝2.25＜2.44，∴他能将球直接射入球门.20. 解：(1)根据题意得B(0,4)，C(3，172)，把B(0,4)，C(3，172)代入y ＝－16x2＋bx ＋c 得⎩⎪⎨⎪⎧ c ＝4－16×32＋3b ＋c ＝172，解得⎩⎪⎨⎪⎧ b ＝2c ＝4，所以抛物线解析式为y ＝－16x2＋2x ＋4，则y ＝－16(x －6)2＋10，所以D(6,10)，所以拱顶D 到地面OA 的距离为10m ；(2)由题意得货运汽车最外侧于地面OA 的交点为(2,0)或(10,0)，当x ＝2或x ＝10时，y ＝223＞6，所以这辆货车能安全通过；(3)令y ＝0，则－16(x －6)2＋10＝8，解得x1＝6＋23，x2＝6－23，则x1－x2＝43，所以两排灯的水平距离最小是43m.。

2020年初三数学下册中考专题复习二次函数的存在性问题一．解答题（共20小题）1．如图，在▱OABC中，A、C两点的坐标分别为（4，0）、（﹣2，3），抛物线W经过O、A、C三点，点D是抛物线W的顶点．（1）求抛物线W的函数解析式及顶点D的坐标；（2）将抛物线W和▱OABC同时先向右平移4个单位长度，再向下平移m（0＜m＜3）个单位长度，得到抛物线W1和□O1A1B1C1，在向下平移过程中，O1C1与x轴交于点H，▱O1A1B1C1与▱OABC重叠部分的面积记为S，试探究：当m为何值时，S有最大值，并求出S的最大值；（3）在（2）的条件下，当S取最大值时，设此时抛物线W1的顶点为F，若点M是x 轴上的动点，点N是抛物线W1上的动点，是否存在这样的点M、N，使以D、F、M、N 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．2．如图1（注：与图2完全相同），在直角坐标系中，抛物线经过点A（1，0）、B（5，0）、C（0，4）三点．（1）求抛物线的解析式和对称轴；（2）P是抛物线对称轴上的一点，求满足PA+PC的值为最小的点P坐标（请在图1中探索）；（3）在第四象限的抛物线上是否存在点E，使四边形OEBF是以OB为对角线且面积为12的平行四边形？若存在，请求出点E坐标，若不存在请说明理由（请在图2中探索）3．如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣3，0），B（1，0），C（0，3）三点．（1）求抛物线的函数表达式；（2）如图1，P为抛物线上在第二象限内的一点，若△PAC面积为3，求点P的坐标；（3）如图2，D为抛物线的顶点，在线段AD上是否存在点M，使得以M，A，O为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求点M的坐标；若不存在，请说明理由．4．如图，抛物线y＝ax2﹣2ax+c的图象经过点C（0，﹣2），顶点D的坐标为（1，﹣），与x轴交于A、B两点．（1）求抛物线的解析式．（2）连接AC，E为直线AC上一点，当△AOC∽△AEB时，求点E的坐标和的值．（3）点F（0，y）是y轴上一动点，当y为何值时，FC+BF的值最小．并求出这个最小值．（4）点C关于x轴的对称点为H，当FC+BF取最小值时，在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△QHF是直角三角形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．5．如图1，抛物线C：y＝ax2+bx经过点A（﹣4，0）、B（﹣1，3）两点，G是其顶点，将抛物线C绕点O旋转180°，得到新的抛物线C′．（1）求抛物线C的函数解析式及顶点G的坐标；（2）如图2，直线l：y＝kx﹣经过点A，D是抛物线C上的一点，设D点的横坐标为m（m＜﹣2），连接DO并延长，交抛物线C′于点E，交直线l于点M，若DE＝2EM，求m的值；（3）如图3，在（2）的条件下，连接AG、AB，在直线DE下方的抛物线C上是否存在点P，使得∠DEP＝∠GAB？若存在，求出点P的横坐标；若不存在，请说明理由．6．如图，抛物线y＝ax2+bx+2交x轴于点A（﹣3，0）和点B（1，0），交y轴于点C．（1）求这个抛物线的函数表达式．（2）点D的坐标为（﹣1，0），点P为第二象限内抛物线上的一个动点，求四边形ADCP 面积的最大值．（3）点M为抛物线对称轴上的点，问：在抛物线上是否存在点N，使△MNO为等腰直角三角形，且∠MNO为直角？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．7．已知：如图，抛物线y＝ax2+bx+3与坐标轴分别交于点A，B（﹣3，0），C（1，0），点P是线段AB上方抛物线上的一个动点．（1）求抛物线解析式；（2）当点P运动到什么位置时，△PAB的面积最大？（3）过点P作x轴的垂线，交线段AB于点D，再过点P作PE∥x轴交抛物线于点E，连接DE，请问是否存在点P使△PDE为等腰直角三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由．8．如图，抛物线y＝ax2+2x+c经过A（﹣1，0），B两点，且与y轴交于点C（0，3），抛物线与直线y＝﹣x﹣1交于A，E两点．（1）求抛物线的解析式；（2）坐标轴上是否存在一点Q，使得△AQE是以AE为底边的等腰三角形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由．（3）P点在x轴上且位于点B的左侧，若以P，B，C为顶点的三角形与△ABE相似，求点P的坐标．9．如图1，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于C点，点P是抛物线上在第一象限内的一个动点，且点P的横坐标为t．（1）求抛物线的表达式；（2）如图1，连接BC，PB，PC，设△PBC的面积为S．求S关于t的函数表达式，并求出当t为何值时，△PBC的面积S有最大值；（3）如图2，设抛物线的对称轴为直线l，l与x轴的交点为D．在直线l上是否存在点M，使得四边形CDPM是平行四边形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．10．综合与探究如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A（﹣3，0）、B两点，与y轴相交于点．当x＝﹣4和x＝2时，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的函数值y相等，连接AC，BC．（1）求抛物线的解析式；（2）判断△ABC的形状，并说明理由；（3）若点M、N同时从B点出发，均以每秒1个单位长度的速度分别沿BA、BC边运动，其中一个点到达终点时，另一点也随之停止运动，当运动时间为t秒时，连接MN，将△BMN沿MN翻折，B点恰好落在AC边上的P处，则t的值为，点P的坐标为；（4）抛物线对称轴上是否存在一点F，使得△ACF是以AC为直角边的直角三角形？若不存在，请说明理由；若存在，请直接写出点F的坐标．11．如图1，已知抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和点B（﹣3，0），与y轴交于点C．（l）求抛物线的表达式；（2）如图l，若点E为第二象限抛物线上一动点，连接BE，CE，求四边形BOCE面积的最大值，并求此时E点的坐标；（3）如图2，在x轴上是否存在一点D使得△ACD为等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的点D的坐标；若不存在，请说明理由．12．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，且点B与点C的坐标分别为B（3，0）．C（0，3），点M是抛物线的顶点．（1）求二次函数的关系式；（2）点P为线段MB上一个动点，过点P作PD⊥x轴于点D．若OD＝m，△PCD的面积为S，①求S与m的函数关系式，写出自变量m的取值范围．②当S取得最值时，求点P的坐标；（3）在MB上是否存在点P，使△PCD为直角三角形？如果存在，请直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．13．如图①，已知抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C，已知点P为抛物线第一象限上一动点，连接PB、PC、BC．（1）求抛物线的解析式，并直接写出抛物线的顶点坐标；（2）当△PBC的面积最大时，求出点P的坐标；（3）如图②，当点P与抛物线顶点重合时，过点B的直线与抛物线交于点E，在直线BE上方的抛物线上是否存在一点M，使得∠BEM＝∠PBC？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．14．如图，抛物线y＝﹣x2+2x+3与坐标轴分别交于A，B，C三点，连接AC，BC．（1）直接写出A，B，C三点的坐标；（2）点M是线段BC上一点（不与B，C重合），过点M作x轴的垂线交抛物线于点N，连接CN．若点M关于直线CN的对称点M'恰好在y轴上，求出点M的坐标；（3）在平面内是否存在一点P，使△AOC关于点P的对称△A'O'C'（点A'，O'，C'分别是点A，O，C的对称点）恰好有两个顶点落在该抛物线上？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．如果没有解题思路，可以这样考虑：变换后，A'O'与AO，O'C'与OC有什么样的位置关系？进而分析点O'，A'，C'的坐标关系！15．如图1，过原点的抛物线与x轴交于另一点A，抛物线顶点C的坐标为，其对称轴交x轴于点B．（1）求抛物线的解析式；（2）如图2，点D为抛物线上位于第一象限内且在对称轴右侧的一个动点，求使△ACD 面积最大时点D的坐标；（3）在对称轴上是否存在点P，使得点A关于直线OP的对称点A'满足以点O、A、C、A'为顶点的四边形为菱形．若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．16．综合与探究如图，已知抛物线y＝ax2﹣2x+c与x轴交于A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C，对称轴为直线l，顶点为D．（1）求抛物线的解析式及点D坐标；（2）在直线l上是否存在一点M，使点M到点B的距离与到点C的距离之和最小？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．（3）在x轴上取一动点P（m，0），﹣3＜m＜﹣1，过点P作x轴的垂线，分别交抛物线，AD，AC于点E，F，G．①判断线段FP与FG的数量关系，并说明理由②连接EA，ED，CD，当m为何值时，四边形AEDC的面积最大？最大值为多少？17．如图，抛物线y＝ax2+bx（a＞0）与双曲线y＝相交于点A、B，已知点A坐标（1，4），点B在第三象限内，且△AOB的面积为3（O为坐标原点）．（1）求实数a、b、k的值；（2）在该抛物线的对称轴上是否存在点P使得△POB为等腰三角形？若存在请求出所有的P点的坐标，若不存在请说明理由．（3）在坐标系内有一个点M，恰使得MA＝MB＝MO，现要求在y轴上找出点Q使得△BQM的周长最小，请求出M的坐标和△BQM周长的最小值．18．如图，已知，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（4，0）两点，过点A的直线y＝kx+k与该抛物线交于点C，点P是该抛物线上不与A，B重合的动点，过点P 作PD⊥x轴于D，交直线AC于点E．（1）求抛物线的解析式；（2）若k＝﹣1，当PE＝2DE时，求点P坐标；（3）当（2）中直线PD为x＝1时，是否存在实数k，使△ADE与△PCE相似？若存在请求出k的值；若不存在，请说明你的理由．19．如图，抛物线y＝ax2+bx﹣过点A（﹣，0）和点B（，2），连结AB交y轴于点C．（1）求抛物线的函数解析式；（2）点P在线段AB下方的抛物线上运动，连结AP，BP．设点P的横坐标为m，△ABP 的面积为s．①求s与m的函数关系式；②当s取最大值时，抛物线上是否存在点Q，使得S△ACQ＝s．若存在，求点Q的坐标；若不存在，说明理由．20．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝2x+6与x轴交于点A，与y轴交点C，抛物线y ＝﹣2x2+bx+c过A，C两点，与x轴交于另一点B．（1）求抛物线的解析式．（2）在直线AC上方的抛物线上有一动点E，连接BE，与直线AC相交于点F，当EF ＝BF时，求sin∠EBA的值．（3）点N是抛物线对称轴上一点，在（2）的条件下，若点E位于对称轴左侧，在抛物线上是否存在一点M，使以M，N，E，B为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．详细答案一．解答题（共20小题）1．【解答】解：（1）设抛物线W的函数解析式为y＝ax2+bx，图象经过A（4，0），C（﹣2，3）∴抛物线W的函数解析式为，顶点D的坐标为（2，﹣1）；（2）根据题意，由O（0，0），C（﹣2，3），得O1（4，﹣m），C1（2，3﹣m）设直线O1C1的函数解析式为y＝kx+b把O1（4，﹣m），C1（2，3﹣m）代入y＝kx+b得：，直线O1C1与x轴交于点H∴过C1作C1E⊥HA于点E，∵0＜m＜3∴，∴，∵，抛物线开口向下，S有最大值，最大值为∴当时，；（3）当时，由D（2，﹣1）得F（6，）∴抛物线W1的函数解析式为，依题意设M（t，0），以D，F，M，N为顶点的四边形是平行四边形，分情况讨论：①以DF为边时∵D（2，﹣1），F点D，F横坐标之差是4，纵坐标之差是，若点M、N的横纵坐标与之有相同规律，则以D，F，M，N为顶点的四边形是平行四边形，∵M（t，0），∴把分别代入得t1＝0，t2＝4，t3＝6，t4＝14∴M1（0，0），M2（4，0），M3（6，0），M4（14，0）②以DF为对角线时，以点D，F，M，N为顶点不能构成平行四边形．综上所述：M1（0，0），M2（4，0），M3（6，0），M4（14，0）．2．【解答】解：（1）将点A、B的坐标代入二次函数表达式得：y＝a（x﹣1）（x﹣5）＝a（x2﹣6x+5），则5a＝4，解得：a＝，抛物线的表达式为：y＝（x2﹣6x+5）＝x2﹣x+4，函数的对称轴为：x＝3，顶点坐标为（3，﹣）；（2）连接B、C交对称轴于点P，此时PA+PC的值为最小，将点B、C的坐标代入一次函数表达式：y＝kx+b得：，解得：，直线BC的表达式为：y＝﹣x+4，当x＝3时，y＝，故点P（3，）；（3）存在，理由：四边形OEBF是以OB为对角线且面积为12的平行四边形，＝OB×|y E|＝5×|y E|＝12，则S四边形OEBF点E在第四象限，故：则y E＝﹣，将该坐标代入二次函数表达式得：y＝（x2﹣6x+5）＝﹣，解得：x＝2或4，故点E的坐标为（2，﹣）或（4，﹣）．3．【解答】解：（1）把A（﹣3，0），B（1，0），C（0，3）代入抛物线解析式y＝ax2+bx+c 得，解得，所以抛物线的函数表达式为y＝﹣x2﹣2x+3．（2）如解（2）图1，过P点作PQ平行y轴，交AC于Q点，∵A（﹣3，0），C（0，3），∴直线AC解析式为y＝x+3，设P点坐标为（x，﹣x2﹣2x+3．），则Q点坐标为（x，x+3），∴PQ＝﹣x2﹣2x+3﹣（x+3）＝﹣x2﹣3x．＝，∴S△P AC∴，解得：x1＝﹣1，x2＝﹣2．当x＝﹣1时，P点坐标为（﹣1，4），当x＝﹣2时，P点坐标为（﹣2，3），综上所述：若△PAC面积为3，点P的坐标为（﹣1，4）或（﹣2，3），（3）如解（3）图1，过D点作DF垂直x轴于F点，过A点作AE垂直BC于E点，∵D为抛物线y＝﹣x2﹣2x+3的顶点，∴D点坐标为（﹣1，4），又∵A（﹣3，0），∴直线AD为y＝2x+6，AF＝2，DF＝4，tan∠DAB＝2，∵B（1，0），C（0，3）∴tan∠ABC＝3，BC＝，sin∠ABC＝，直线BC解析式为y＝﹣3x+3．∵AB＝4，∴AE＝AB•sin∠ABC＝＝，BE＝，∴CE＝，∴tan∠ACB＝，∴tan∠ACB＝tan∠DAB＝2，∴∠ACB＝∠DAB，∴使得以M，A，O为顶点的三角形与△ABC相似，则有两种情况，如解（3）图2Ⅰ．当∠AOM＝∠CAB＝45°时，△ABC∽△OMA，即OM为y＝﹣x，设OM与AD的交点M（x，y）依题意得：，解得，即M点为（﹣2，2）．Ⅱ．若∠AOM＝∠CBA，即OM∥BC，∵直线BC解析式为y＝﹣3x+3．∴直线OM为y＝﹣3x，设直线OM与AD的交点M（x，y）．则依题意得：，解得，即M点为（，），综上所述：存在使得以M，A，O为顶点的三角形与△ABC相似的点M，其坐标为（﹣2，2）或（，），4．【解答】解：（1）由题可列方程组：，解得：∴抛物线解析式为：y＝x2﹣x﹣2；（2）如图1，∠AOC＝90°，AC＝，AB＝4，设直线AC的解析式为：y＝kx+b，则，解得：，∴直线AC的解析式为：y＝﹣2x﹣2；当△AOC∽△AEB时＝（）2＝（）2＝，＝1，∴S△AEB＝，∵S△AOC∴AB×|y E|＝，AB＝4，则y E＝﹣，则点E（﹣，﹣）；由△AOC∽△AEB得：∴；（3）如图2，连接BF，过点F作FG⊥AC于G，则FG＝CF sin∠FCG＝CF，∴CF+BF＝GF+BF≥BE，当折线段BFG与BE重合时，取得最小值，由（2）可知∠ABE＝∠ACO∴BE＝AB cos∠ABE＝AB cos∠ACO＝4×＝，|y|＝OB tan∠ABE＝OB tan∠ACO＝3×＝，∴当y＝﹣时，即点F（0，﹣），CF+BF有最小值为；（4）①当点Q为直角顶点时（如图3）：由（3）易得F（0，﹣），∵C（0，﹣2）∴H（0，2）设Q（1，m），过点Q作QM⊥y轴于点M．则Rt△QHM∽Rt△FQM∴QM2＝HM•FM，∴12＝（2﹣m）（m+），解得：m＝，则点Q（1，）或（1，）当点H为直角顶点时：点H（0，2），则点Q（1，2）；当点F为直角顶点时：同理可得：点Q（1，﹣）；综上，点Q的坐标为：（1，）或（1，）或Q（1，2）或Q（1，﹣）．5．【解答】解：（1）将A（﹣4，0）、B（﹣1，3）代入y＝ax2+bx中，得解得∴抛物线C解析式为：y＝﹣x2﹣4x，配方，得：y＝﹣x2﹣4x＝﹣（x+2）2+4，∴顶点为：G（﹣2，4）；（2）∵抛物线C绕点O旋转180°，得到新的抛物线C′．∴新抛物线C′的顶点为：G′（2，﹣4），二次项系数为：a′＝1∴新抛物线C′的解析式为：y＝（x﹣2）2﹣4＝x2﹣4x将A（﹣4，0）代入y＝kx﹣中，得0＝﹣4k﹣，解得k＝，∴直线l解析式为y＝x﹣，设D（m，﹣m2﹣4m），∵D、E关于原点O对称，∴OD＝OE∵DE＝2EM∴OM＝2OD，过点D作DF⊥x轴于F，过M作MR⊥x轴于R，∴∠OFD＝∠ORM，∵∠DOF＝∠MOR∴△ODF∽△OMR∴＝＝＝2∴OR＝2OF，RM＝2DF∴M（﹣2m，2m2+8m）∴2m2+8m＝•（﹣2m）﹣，解得：m1＝﹣3，m2＝，∵m＜﹣2∴m的值为：﹣3；（3）由（2）知：m＝﹣3，∴D（﹣3，3），E（3，﹣3），OE＝3，如图3，连接BG，在△ABG中，∵AB2＝（﹣1+4）2+（3﹣0）2＝18，BG2＝2，AG2＝20∴AB2+BG2＝AG2∴△ABG是直角三角形，∠ABG＝90°，∴tan∠GAB＝＝＝，∵∠DEP＝∠GAB∴tan∠DEP＝tan∠GAB＝，在x轴下方过点O作OH⊥OE，在OH上截取OH＝OE＝，过点E作ET⊥y轴于T，连接EH交抛物线C于点P，点P即为所求的点；∵E（3，﹣3），∴∠EOT＝45°∵∠EOH＝90°∴∠HOT＝45°∴H（﹣1，﹣1），设直线EH解析式为y＝px+q，则，解得∴直线EH解析式为y＝﹣x，解方程组，得，，∴点P的横坐标为：或．6．【解答】解：（1）抛物线的表达式为：y＝a（x+3）（x﹣1）＝a（x2+2x﹣3）＝ax2+2ax﹣3a，即﹣3a＝2，解得：a＝﹣，故抛物线的表达式为：y＝﹣x2﹣x+2，则点C（0，2），函数的对称轴为：x＝﹣1；（2）连接OP，设点P（x，﹣x2﹣x+2），＝S△APO+S△CPO﹣S△ODC＝×AO×y P+×OC×|x P|﹣×CO×OD 则S＝S四边形ADCP＝（﹣x2﹣x+2）×2×（﹣x）﹣＝﹣x2﹣3x+2，∵﹣1＜0，故S有最大值，当x＝﹣时，S的最大值为；（3）存在，理由：△MNO为等腰直角三角形，且∠MNO为直角时，点N的位置如下图所示：①当点N在x轴上方时，点N的位置为N1、N2，N1的情况（△M1N1O）：设点N1的坐标为（x，﹣x2﹣x+2），则M1E＝x+1，过点N1作x轴的垂线交x轴于点F，过点M1作x轴的平行线交N1F于点E，∵∠FN1O+∠M1N1E＝90°，∠M1N1E+∠EM1N1＝90°，∴∠EM1N1＝∠FN1O，∠M1EN1＝∠N1FO＝90°，ON1＝M1N1，∴△M1N1E≌△N1OF（AAS），∴M1E＝N1F，即：x+1＝﹣x2﹣x+2，解得：x＝（舍去负值），则点N1（，）；N2的情况（△M2N2O）：同理可得：点N2（，）；②当点N在x轴下方时，点N的位置为N3、N4，同理可得：点N3、N4的坐标分别为：（，）、（，）；综上，点N的坐标为：（，）或（，）或（，）或（，）．7．【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+3过点B（﹣3，0），C（1，0）∴解得：∴抛物线解析式为y＝﹣x2﹣2x+3（2）过点P作PH⊥x轴于点H，交AB于点F∵x＝0时，y＝﹣x2﹣2x+3＝3∴A（0，3）∴直线AB解析式为y＝x+3∵点P在线段AB上方抛物线上∴设P（t，﹣t2﹣2t+3）（﹣3＜t＜0）∴F（t，t+3）∴PF＝﹣t2﹣2t+3﹣（t+3）＝﹣t2﹣3t＝S△P AF+S△PBF＝PF•OH+PF•BH＝PF•OB＝（﹣t2﹣3t）＝﹣（t+）∴S△P AB2+∴点P运动到坐标为（﹣，），△PAB面积最大（3）存在点P使△PDE为等腰直角三角形设P（t，﹣t2﹣2t+3）（﹣3＜t＜0），则D（t，t+3）∴PD＝﹣t2﹣2t+3﹣（t+3）＝﹣t2﹣3t∵抛物线y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4∴对称轴为直线x＝﹣1∵PE∥x轴交抛物线于点E∴y E＝y P，即点E、P关于对称轴对称∴＝﹣1∴x E＝﹣2﹣x P＝﹣2﹣t∴PE＝|x E﹣x P|＝|﹣2﹣2t|∵△PDE为等腰直角三角形，∠DPE＝90°∴PD＝PE①当﹣3＜t≤﹣1时，PE＝﹣2﹣2t∴﹣t2﹣3t＝﹣2﹣2t解得：t1＝1（舍去），t2＝﹣2∴P（﹣2，3）②当﹣1＜t＜0时，PE＝2+2t∴﹣t2﹣3t＝2+2t解得：t1＝，t2＝（舍去）∴P（，）综上所述，点P坐标为（﹣2，3）或（，）时使△PDE为等腰直角三角形．8．【解答】解：（1）将A（﹣1，0），C（0，3）代入y＝ax2+2x+c，得，解得，，∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+2x+3；（2）联立，解得，或，∴E（4，﹣5），如图1，当点Q在x轴上时，设Q（m，0），∵AE为底边，∴QA＝QE，∴QA2＝QE2，即（m+1）2＝52+（m﹣4）2，解得，m＝4，∴Q1（4，0）；当点Q在y轴上时，设Q（0，n），∵AE为底边，∴QA＝QE，∴QA2＝QE2，即n2+12＝42+（n+5）2，解得，n＝﹣4，∴Q2（0，﹣4）；综上所述，Q1（4，0），Q2（0，﹣4）；（3）如图2，过点E作EH⊥x轴于点H，∵A（﹣1，0），E（4，﹣5），∴AH＝EH＝5，AE＝＝5，∠BAE＝45°，又OB＝OC＝3，∴∠ABC＝45°，AB＝4，BC＝＝3，设P（t，0），则BP＝3﹣t，∵∠BAE＝∠ABC＝45°，∴只可能存在△PBC∽△BAE和△PBC∽△EAB两种情况，当△PBC∽△BAE时，，∴＝，∴t＝，∴P1（，0）；当△PBC∽△EAB时，，∴＝，∴t＝﹣，∴P2（﹣，0），综上所述，点P的坐标为（，0）或（﹣，0）．9．【解答】解：（1）将A（﹣1，0）、B（3，0）代入y＝﹣x2+bx+c，得，，解得，，∴抛物线的表达式为y＝﹣x2+2x+3；（2）如图1，过点P作PF∥y轴，交BC于点F，设直线BC的解析式为y＝mx+n（m≠0），将B（3，0）、C（0，3）代入y＝mx+n，得，，解得，，∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3，∵点P的坐标为（t，﹣t2+2t+3），∴点F的坐标为（t，﹣t+3），∴PF＝﹣t2+2t+3﹣（﹣t+3）＝﹣t2+3t，∴S＝PF•OB＝﹣t2+t＝﹣（t﹣）2+，∵﹣＜0，∴当t＝时，S取最大值，最大值为；（3）如图2，连接PC，交抛物线对称轴l于点E，∵抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，∴抛物线的对称轴为直线x＝1，∵x D﹣x C＝1，∴x P﹣x M＝1，∴x P＝2，∴P（2，3），在y＝﹣x2+2x+3中，当x＝0时，y＝3，∴C（0，3），∴y C﹣y D＝3，∴y M﹣y P＝3，∴y M＝6，∴点M的坐标为（1，6）；当x P≠2时，不存在，理由如下，若四边形CDPM是平行四边形，则CE＝PE，∵点C的横坐标为0，点E的横坐标为1，∴点P的横坐标t＝1×2﹣0＝2，又∵x P≠2，∴不存在，综上所述，点M的坐标为（1，6）．10．【解答】解：（1）∵在抛物线y＝ax2+bx+c中，当x＝﹣4和x＝2时，二次函数y＝ax2+bx+c 的函数值y相等，∴抛物线的对称轴为x＝＝﹣1，又∵抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣3，0）、B两点，由对称性可知B（1，0），∴可设抛物线的解析式为y＝a（x+3）（x﹣1），将C（0，）代入y＝a（x+3）（x﹣1），得，﹣3a＝，解得，a＝﹣，∴此抛物线的解析式为y＝﹣（x+3）（x﹣1）＝﹣x2﹣x+；（2）△ABC为直角三角形，理由如下：∵A（﹣3，0），B（1，0），C（0，），∴OA＝3，OB＝1，OC＝，∴AB＝OA+OB＝4，AC＝＝2，BC＝＝2，∵AC2+BC2＝16，AB2＝16，∴AC2+BC2＝AB2，∴△ABC是直角三角形；（3）∵点M、N同时从B点出发，均以每秒1个单位长度的速度分别沿BA、BC边运动，∴BM＝BN＝t，由翻折知，△BMN≌△PMN，∴BM＝PM＝BN＝PN＝t，∴四边形PMBN是菱形，∴PN∥AB，∴△CPN∽△CAB，设PM与y轴交于H，∴＝＝，即＝＝，解得，t＝，CH＝，∴OH＝OC﹣CH＝﹣＝，∴y P＝，设直线AC的解析式为y＝kx+，将点A（﹣3，0）代入y＝kx+，得，k＝，∴直线AC的解析式为y＝x+，将y P＝代入y＝x+，∴x＝﹣1，∴P（﹣1，），故答案为：，（﹣1，）；（4）设直线BC的解析式为y＝kx+，将点B（1，0）代入y＝kx+，得，k＝﹣，∴直线BC的解析式为y＝﹣x+，由（2）知△ABC为直角三角形，∠ACB＝90°，如图2，当∠ACF＝90°时，点B，C，F在一条直线上，在y＝﹣x+中，当x＝﹣1时，y＝2，∴F1（﹣1，2）；当∠CAF＝90°时，AF∥BC，∴可设直线AF的解析式为y＝﹣x+n，将点A（﹣3，0）代入y＝﹣x+n，得，n＝﹣3，∴直线AF的解析式为y＝﹣x﹣3，在y＝﹣x﹣3中，当x＝﹣1时，y＝﹣2，∴F2（﹣1，﹣2）；∴点F的坐标为F1（﹣1，2），F2（﹣1，﹣2）．11．【解答】解：（1）将点A（1，0），B（﹣3，0）代入y＝ax2+bx+3，得，，解得，，∴抛物线表达式为y＝﹣x2﹣2x+3；（2）如图1，过点E作EF⊥x轴于点F，设E（a，﹣a2﹣2a+3）（﹣3＜a＜0），∴EF＝﹣a2﹣2a+3，BF＝a+3，OF＝﹣a，∴＝＝＝，最大，且最大值为；∴当时，S四边形BOCE当时，，此时，点E坐标为；（3）如图2，连接AC，①当CA＝CD时，此时CO为底边的垂直平分线，满足条件的点D1，与点A关于y轴对称，点D1坐标为（﹣1，0）；②当AD＝AC时，在Rt△ACO中，∵OA＝1，OC＝3，由勾股定理得，AC＝＝，以点A为圆心，AC的长为半径作弧，交x轴于两点D2，D3，即为满足条件的点，此时它们的坐标分别为，；③当DA＝DC时，线段AC的垂直平分线与x轴的交点D4，即为满足条件的点，设垂直AC的垂直平分线交y轴于点P，过AC中点Q，∵∠AOC＝∠BOC＝∠PQC＝∠PQA＝90°，∠D4PO＝∠CPQ，∴∠ACO＝∠OD4P，∴△D4AQ∽△CAO，∴＝，即＝，∴D4A＝5，∴OD4＝D4A﹣OA＝4，∴点D4的坐标为（﹣4，0）；综上所述，存在符合条件的点D，其坐标为D1（﹣1，0）或或或D 4（﹣4，0）．12．【解答】解：（1）将点B（3，0），C（0，3）代入y＝﹣x2+bx+c，得，解得，，∴二次函数的解析式为y＝﹣x2+2x+3；（2）①∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，∴顶点M（1，4），设直线BM的解析式为y＝kx+b，将点B（3，0），M（1，4）代入，得，解得，∴直线BM的解析式为y＝﹣2x+6，∵PD⊥x轴且OD＝m，∴P（m，﹣2m+6），＝PD•OD＝m（﹣2m+6）＝﹣m2+3m，∴S＝S△PCD即S＝﹣m2+3m，∵点P在线段BM上，且B（3，0），M（1，4），∴1≤m≤3；②∵S＝﹣m2+3m＝﹣（m﹣）2+，∵﹣1＞0，∴当m＝时，S取最大值，∴P（，3）；（3）存在，理由如下：如图2﹣1，当∠CPD＝90°时，∵∠COD＝∠ODP＝∠CPD＝90°，∴四边形CODP为矩形，∴PD＝CO＝3，将y＝3代入直线y＝﹣2x+6，得，x＝，∴P（，3）；如图2﹣2，当∠PCD＝90°时，∵OC＝3，OD＝m，∴CD2＝OC2+OD2＝9+m2，∵PD∥OC，∴∠PDC＝∠OCD，∴cos∠PDC＝cos∠OCD，∴＝，∴DC2＝PD•OC，∴9+m2＝3（﹣2m+6），解得，m1＝﹣3﹣3（舍去），m2＝﹣3+3，∴P（﹣3+3，12﹣6），当∠PDC＝90°时，∵PD⊥x轴，∴不存在，综上所述，点P的坐标为（，3）或（﹣3+3，12﹣6）．13．【解答】解：（1）将点A（﹣1，0）、B（3，0）代入y＝ax2+bx+3，得，解得，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，∴抛物线的顶点坐标为（1，4）；（2）如图1，过点P作x轴的垂线，交BC于点N，在y＝﹣x2+2x+3中，当x＝0时，y＝3，∴C（0，3），设直线BC的解析式为y＝kx+3，将点B（3，0）代入y＝kx+3，得3k+3＝0，∴k＝﹣1，∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3，设P（x，﹣x2+2x+3），则N（x，﹣x+3），∴PN＝﹣x2+2x+3﹣（﹣x+3）＝﹣x2+3x，＝×PN×OB＝（﹣x2+3x）×3＝﹣（x﹣）2+，∴S△PBC∴当x＝时，△PBC的面积最大，∴P（，）；（3）存在，如图2，过点P作PH⊥x轴于H，设直线与y轴交于点Q，则Q（0，﹣），在Rt△OBQ中，tan∠OBQ＝＝＝，在Rt△PHB中，tan∠BPH＝＝＝，∴∠OBQ＝∠BHP，∵∠BPH+∠PBH＝90°，∴∠OBQ+∠PBH＝90°，即∠PBE＝90°，将点B（3，0）代入直线，得3k﹣＝0，∴k＝，∴y＝x﹣，联立，解得，x1＝3，x2＝﹣，∴E（﹣，﹣），过点E作EF⊥BC于点F，则∠FEB+∠FBE＝90°，∵∠PBC+∠FBE＝90°，∴∠FEB＝∠PBC，则此时射线EF与抛物线的交点即为所求的点M，∵BC＝＝3，PC＝＝，PB＝＝2，∴BC2+PC2＝PB2，∴△PCB为直角三角形，且∠PCB＝90°，∴sin∠PBC＝＝＝，∴sin∠FEB＝＝，∵EB＝＝，∴FB＝，过点F作FD⊥x轴于点D，∵OB＝OC＝3，∴∠OBC＝∠OCB＝45°，∴∠DBF＝∠DFB＝45°，∴DB＝DF＝FB＝，∴F（，），设直线EF的解析式为y＝kx+b，将点E（﹣，﹣），F（，）代入y＝kx+b，得，解得，∴直线EF的解析式为y＝x﹣，联立，解得，x1＝，x2＝﹣，当x＝时，y＝，∴M（，）．14．【解答】解：（1）在抛物线y＝﹣x2+2x+3中，当y＝0时，x1＝﹣1，x2＝3；当x＝0时，y＝3，∴A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3）（2）∵点M'与点M关于直线CN对称，且点M'在y轴上，∴∠M'CN＝∠MCN，∵MN∥y轴，∴∠M'CN＝∠CNM，∴∠MCN＝∠CNM，∴MN＝CM，∵点C的坐标为（0，3），∴可设直线BC的解析式为y＝kx+3，将点B（3，0）代入y＝kx+3，得，3k+3＝0，∴k＝﹣1，∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3，设点M的横坐标为t，则M（t，﹣t+3），N（t，﹣t2+2t+3），∴MN＝（﹣t2+2t+3）﹣（﹣t+3）＝﹣t2+3t，，∴，∵t≠0，∴，∴，（3）根据题意，A'O'平行于x轴，O'C'平行于y轴，A'O'＝1，O'C'＝3，点A'在点O'的右边，点C'在点O'的下方，设点O'的横坐标为m，则A'的横坐标为m+1，点C'的横坐标为m，①若A'、O'在抛物线上，则﹣m2+2m+3＝﹣（m+1）2+2（m+1）+3，∴，∴，则点P在OO'的中点处，∴；②若A'、C'在抛物线上，则﹣（m+1）2+2（m+1）+3＝﹣m2+2m+3+3∴m＝﹣1，∴O'（﹣1，3），则点P在OO'的中点处，∴，综上所述，存在点或，使△AOC关于点P的对称△A'O'C'恰好有两个顶点落在该抛物线上．15．【解答】解：（1）设抛物线解析式为y＝a（x﹣h）2+k，（a≠0）∵顶点，∴，又∵图象过原点，∴，解出：，∴，即；（2）令y＝0，即，解得：x1＝0，x2＝4，∴A（4，0），设直线AC的解析式为y＝kx+b，将点A（4，0），代入，得，解得，∴直线AC的解析式为y＝﹣x+4，过点D作DF∥y轴交AC于点F，设，则，∴，∴＝，有最大值，∴当m＝3时，S△ACD当m＝3时，，∴；（3）∵∠CBO＝∠CBA＝90°，OB＝AB＝2，，∴，∴OA＝OC＝AC＝4，∴△AOC为等边三角形，①如图3﹣1，当点P在C时，OA＝AC＝CA'＝OA'，∴四边形ACA'O是菱形，∴；②作点C关于x轴的对称点C'，当点A'与点C'重合时，OC＝AC＝AA'＝OA'，∴四边形OCAA'是菱形，∴点P是∠AOA'的角平分线与对称轴的交点，记为P2，∴，∵∠OBP2＝90°，OB＝2，∴OP2＝2BP2，∵∠OBP2＝90°，OB＝2，∴OP2＝2BP2，设BP2＝x，∴OP2＝2x，又∵，∴（2x）2＝22+x2，解得或，∴；综上所述，点P的坐标为或．16．【解答】解：（1）由抛物线y＝ax2﹣2x+c与x轴交于A（﹣3，0），B（1，0）两点，得，解得，∴抛物线解析式为y＝﹣x2﹣2x+3；由y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，得，点D坐标为（﹣1，4）；（2）在直线l上存在一点M，到点B的距离与到点C的距离之和最小，根据抛物线对称性MA＝MB，∴MB+MC＝MA+MC，∴使MB+MC的值最小的点M应为直线AC与对称轴l：x＝﹣1的交点，当x＝0时，y＝3，∴C（0，3），设直线AC解析式为直线y＝kx+b，把A（﹣3，0）、C（0，3）分别代入y＝kx+b，得，，解得，，∴直线AC解析式为y＝x+3，把x＝﹣1代入y＝x+3得，y＝2，∴M（﹣1，2），即当点M到点A的距离与到点C的距离之和最小时M的坐标为（﹣1，2）；（3）①PF＝2FG，理由如下，设直线AD解析式为y＝k'x+b'，把A（﹣3，0）、D（﹣1，4）分别代入直线y＝k'x+b'，得，，解得，∴直线AD解析式为y＝2x+6，则点F的坐标为（m，2m+6），同理G的坐标为（m，m+3），则FG＝（2m+6）﹣（m+3）＝m+3，FP＝2m+6＝2（m+3），∴FP＝2FG；②根据题意得点E的坐标为（m，﹣m2﹣2m+3），设直线l与x轴交于点N，EF＝（﹣m2﹣2m+3）﹣（2m+6）＝﹣m2﹣4m﹣3＝﹣（m+2）2+1＝S△AEF+S△EFD＝＝∴S△AED，的最大值为1，∴当m为﹣2时，S△AED如图，过点D作DH∥x轴，交y轴于点H，在△DHC中，∠DHC＝180°﹣∠AOB＝90°，，在Rt△AOC中，，在Rt△ADN中，，∵，∴DC2+AC2＝AD2，∴∠ACD＝90°，∴，∴，∴当m为﹣2时，四边形AEDC的面积最大，最大值为4．17．【解答】解：（1）将A（1，4）代入y＝，得，k＝4，∴双曲线解析式为y＝，设B（m，）（m＜0），连接AB，交x轴于点C，设直线AB的解析式为y＝kx+b，将点A（1，4），B（m，）代入，得，解得，，∴直线AB的解析式为y＝﹣x+，当y＝0时，x＝m+1，∴C（m+1，0），OC＝﹣m﹣1，＝OC•（y A﹣y B）∴S△AOB＝（﹣m﹣1）（4﹣），∵△AOB的面积为3，∴（﹣m﹣1）（4﹣）＝3，整理，得2m2+3m﹣2＝0，解得，m1＝（舍去），m2＝﹣2，∴B（﹣2，﹣2），将A（1，4），B（﹣2，﹣2）代入y＝ax2+bx，得，，解得，，∴抛物线的解析式为y＝x2+3x，∴a＝1，b＝3，k＝4；（2）在抛物线y＝x2+3x中，对称轴为x＝﹣，设P（﹣，y），∵O（0，0），B（﹣2，﹣2），∴PO2＝+y2，OB2＝8，PB2＝+（y+2）2，。

二次函数50题一、选择题：1.若二次函数y=(m＋1)x2-mx＋m2-2m-3的图象经过原点，则m的值必为( )A.-1或3B.-1C.3D.-3或12.若为二次函数的图象上的三点，则的大小关系是（）A. B. C. D.3.如图，抛物线y=﹣x2+2x+m+1交x轴于点A（a，0）和B（b，0），交y轴于点C，抛物线的顶点为D，下列三个判断中，①当x＞0时，y＞0；②若a=﹣1，则b=4；③抛物线上有两点P（x1，y1）和Q（x2，y2），若x1＜1＜x2，且x1+x2＞2，则y1＞y2；正确的是（）A．①B．②C．③D．①②③都不对4.已知一条抛物线经过E（0,10）,F（2,2）,G（4,2）,H（3,1）四点,选择其中两点用待定系数法能求出抛物线解析式的为（）A.E，FB.E，GC.E，HD.F，G5.已知二次函数y=ax2-1的图象开口向下，则直线y=ax-1经过的象限是( )A.第一、二、三象限B.第一、二、四象限C.第一、三、四象限D.第二、三、四象限6.生产季节性产品的企业，当它的产品无利润时就会及时停产.现有一生产季节性产品的企业，其一年中获得的利润y和月份n之间函数关系式为y=-n2+14n-24，则该企业一年中利润最高的月份是( )A.5月B.6月C.7月D.8月7.已知抛物线y=x2﹣x，它与x轴的两个交点间的距离为（）A．0 B．1 C．2 D．48.一次函数y=ax+b（a≠0）与二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）A． B． C． D．9.二次函数y=x2+2x-7的函数值是8，那么对应的x的值是( )A.5B.3C.3或-5D.-3或510.抛物线y=3x2向下平移3个单位,再向左平移2个单位,得到的抛物线解析式为（）A.y=3(x+2)2+3B.y=3(x-2)2+3C.y=3(x+2)2﹣3D.y=3(x-2)2﹣311.已知二次函数y=x2+2x﹣3,当自变量x取m时,对应的函数值小于0,设自变量分别取m﹣4，m+4时对应的函数值为y1，y2，则下列判断正确的是（）A.y1＜0，y2＜0B.y1＜0，y2＞0C.y1＞0，y2＜0D.y1＞0，y2＞012.把抛物线y=(x+1)2向下平移2个单位,再向右平移1个单位,所得到抛物线是( )A.y=(x+2)2+2B.y=(x+2)2-2C.y=x2+2D.y=x2-213.生产季节性产品的企业,当它的产品无利润时就会及时停产.现有一生产季节性产品的企业，其一年中获得的利润y和月份n之间函数关系式为y=﹣n2+14n﹣24，则该企业一年中应停产的月份是（）A.1月、2月、3月B.2月、3月、4月C.1月、2月、12月D.1月、11月、12月14.二次函数y=-x2+bx+c的图象如图所示:若点A(x1,y1),B(x2,y2)在此函数图象上,且x1<x2<1,则y1与y2的大小关系是( )A.y1≤y2B.y1<y2C.y1≥y2D.y1>y215.二次函数y=x2﹣4x+5的最小值是( )A.﹣1B.1C.3D.516.在平面直角坐标系中,二次函数y=x2+2x﹣3的图象如图所示,点A（x1，y1），B（x2，y2）是该二次函数图象上的两点,其中﹣3≤x1＜x2≤0,则下列结论正确的是（）A.y1＜y2B.y1＞y2C.y的最小值是﹣3D.y的最小值是﹣417.二次函数y=ax2＋bx＋c(a下列结论：①ac＜0；②当x＞1时，y的值随x的增大而减小；③3是方程ax2＋(b-1)x+c=0的一个根；④当-1＜x＜3时，ax2＋(b-1)x＋c＞0.其中正确的个数为( )A．4个 B．3个 C．2个 D．1个18.如图,直线y=0.5x+2与y轴交于点A,与直线y=﹣0.5x交于点B，以AB为边向右作菱形ABCD，点C恰与原点O重合，抛物线y=(x﹣h)2+k的顶点在直线y=-0.5x上移动.若抛物线与菱形的边AB、BC都有公共点,则h的取值范围是（）A.﹣2≤h≤0.5B.﹣2≤h≤1C.﹣1≤h≤1.5D.﹣1≤h≤0.519.下列函数是二次函数的是( )A.y=2x+1B.y=-2x+1C.y=x2+2D.y=0.5x-220.抛物线y=3x2向右平移1个单位,再向下平移2个单位,所得到抛物线是（）A.y=3(x﹣1)2﹣2B.y=3(x+1)2﹣2C.y=3(x+1)2+2D.y=3(x﹣1)2+2二、填空题：21.已知点(2,5),(4,5)是抛物线y=ax2+bx+c上的两点, 则这条抛物线的对称轴是22.二次函数y=x2-3x+2的图像与x轴的交点坐标是 ,与y轴的交点坐标为23.对于二次函数，有下列说法：①如果当x≤1时随的增大而减小，则m≥1；②如果它的图象与x轴的两交点的距离是4，则；③如果将它的图象向左平移3个单位后的函数的最小值是-4，则m=－1；④如果当x=1时的函数值与x=2013时的函数值相等，则当x=2014时的函数值为－3．其中正确的说法是．24.如图,坐标平面上,二次函数y=-x2+4x-k的图形与x轴交于A、B两点,与y轴交于C点,其顶点为D,且k>0.若△ABC与△ABD的面积比为1:4,则k值为何？25.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB= 5，AC= 4，则cos A= ．A B C26.抛物线y=2（x﹣3）2+3的顶点在象限．27.某种商品每件进价为20元，调查表明：在某段时间内若以每件x元（20≤x≤30，且x为整数）出售，可卖出（30﹣x）件．若使利润最大，每件的售价应为元．28.如图,点A是抛物线y=x2﹣4x对称轴上的一点,连接OA,以A为旋转中心将AO逆时针旋转90°得到AO′,当O′恰好落在抛物线上时,点A的坐标为．29.如图，AC是⊙O的直径，点B在⊙O上，∠ACB=30°，按以下步骤作图：①以点B为圆心，小于AB的长为半径画弧，分别交AB、BC于点M、N；②分别以点M、N为圆心，大于0.5MN的长为半径画弧，两弧相交于点G；③连结BG交AC边于点E，交⊙O于点D，连接CD.则△ABE与△CDE的面积之比为．30.将一条长为20cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形，则这两个正方形面积之和的最小值是 cm2．31.如图，二次函数y1＝ax2＋bx＋c(a≠0)与一次函数y2＝kx＋m(k≠0)的图象相交于点A(－2，4)，B(8，2)，则使y1＞y2成立的x的取值范围是__ _．32.如图,抛物线y=﹣2x2+8x﹣6与x轴交于点A,B,把抛物线在x轴及其上方的部分记作C1，将C1向右平移得C2，C2与x轴交于点B，D，若直线y=x+m与C1，C2共有3个不同的交点，则m的取值范围是．33.如图，直线y=x+2与抛物线y=ax2+bx+6（a≠0）相交于A（0.5，2.5）和B（4，m），点P是线段AB上异于A、B的动点，过点P作PC⊥x轴于点D，交抛物线于点C．当△PAC为直角三角形时, 点P的坐标是____________________．34.如图,已知函数y=与y=ax2+bx（a＞0，b＞0）的图象交于点P,点P的纵坐标为1.则关于x的方程ax2+bx+=0的解为．35.二次函数y=2（x﹣3）2﹣4的最小值为．36.如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴正半轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，对称轴为直线x=2，且OA=OC，则下列结论：①abc＞0；②9a+3b+c＜0；③c＞﹣1；④关于x的方程ax2+bx+c=0（a≠0）有一个根为 -a-1.其中正确的结论个数有（填序号）37.已知二次函数y=﹣x2+2x+m的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程﹣x2+2x+m=0的解为．38.如图，小明的父亲在相距2米的两棵树间拴了一根绳子，给小明做了一个简易的秋千.拴绳子的地方距地面高都是2.5米，绳子自然下垂呈抛物线状，身高1米的小明距较近的那棵树0.5米时，头部刚好接触到绳子，则绳子的最低点距地面的距离为米.39.若抛物线y1=a1x2+b1x+c1与y2=a2x2+b2x+c2满足=k（k≠0,1）,则称y1，y2互为“相关抛物线”.给出如下结论：①y1与y2的开口方向，开口大小不一定相同；②y1与y2的对称轴相同；③若y2的最值为m，则y1的最值为k2m；④若y2与x轴的两交点间距离为d，则y1与x轴的两交点间距离也为d．其中正确的结论的序号是（把所有正确结论的序号都填在横线上）．40.如图，是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，其对称轴为直线x=1，若其与x轴一交点为A（3，0），则由图象可知，不等式ax2+bx+c＜0的解集是．三、解答题：41.已知二次函数y=x2+bx+c的图象经过点（0，2）和（1，﹣1），求图象的顶点坐标和对称轴．42.一元二次方程x2+2x-3=0的二根x1,x2(x1< x2)是抛物线y=ax2+bx+c与x轴的两个交点B,C的横坐标，且此抛物线过点A(3,6)．（1）求此二次函数的解析式．（2）用配方法求此抛物线的顶点为P对称轴（3）当x取什么值时，y随x增大而减小？43.某水渠的横截面呈抛物线形,水面的宽为AB（单位：米）,现以AB所在直线为x轴,以抛物线的对称轴为y轴建立如图所示的平面直角坐标系,设坐标原点为O.已知AB=8米,设抛物线解析式为y=ax2-4.（1）求a的值；（2）点C（-1，m）是抛物线上一点，点C关于原点O的对称点为点D，连接CD,BC,BD，求△BCD的面积.44.某公司销售A，B两种产品，根据市场调研，确定两条信息：信息1：销售A种产品所获利润y：（万元）与销售产品x（吨）之间存在二次函数关系，如图所示：信息2：销售B种产品所获利润y（万元）与销售产品x（吨）之间存在正比例函数关系y2=0.3x．根据以上信息，解答下列问题；（1）求二次函数解析式；（2）该公司准备购进A、B两种产品共10吨，求销售A、B两种产品获得的利润之和最大是多少万元．45.已知抛物线y=x2﹣2x+1．（1）求它的对称轴和顶点坐标；（2）根据图象，确定当x＞2时，y的取值范围．46. 某种商品的进价为每件50元，售价为每件60元，每个月可卖出200件；如果每件商品的售价上涨1元，则每个月少卖10件（每件售价不能高于72元），设每件商品的售价上涨x元（x为整数），每个月的销售利润为y元.(1)求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围;(2)每件商品的售价定为多少时每个月可获得最大利润?最大利润是多少?47.如图，二次函数y=﹣x2+bx+c图象（抛物线）与x轴交于A（1,0）,且当x=0和x=﹣2时所对应函数值相等．（1）求此二次函数的表达式；（2）设抛物线与x轴的另一交点为点B，与y轴交于点C，在这条抛物线的对称轴上是否存在点D，使得△DAC 的周长最小？如果存在，求出D点的坐标；如果不存在，请说明理由．（3）设点M在第二象限，且在抛物线上，如果△MBC的面积最大，求此时点M的坐标及△MBC的面积．48.如图,已知二次函数的图象经过点A（6,0）、B（﹣2,0）和点C（0,﹣8）．（1）求该二次函数的解析式；（2）设该二次函数图象的顶点为M，若点K为x轴上的动点，当△KCM的周长最小时，点K的坐标为；（3）连接AC，有两动点P、Q同时从点O出发，其中点P以每秒3个单位长度的速度沿折线OAC按O→A→C的路线运动，点Q以每秒8个单位长度的速度沿折线OCA按O→C→A的路线运动，当P、Q两点相遇时，它们都停止运动，设P、Q同时从点O出发t秒时，△OPQ的面积为S．①请问P、Q两点在运动过程中，是否存在PQ∥OC？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由；②请求出S关于t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；③设S0是②中函数S的最大值，直接写出S0的值．49.如图，直线y=0.5x﹣2与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y=ax2+bx﹣2经过A，B，C，点B坐标为（﹣1，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）若点D是线段AC上一个动点，DE⊥AC，交直线AC下方的抛物线于点E，EG⊥x轴于点G，交AC于点F，请求出DF长的最大值；（3）设抛物线对称轴与x轴相交于点H，点P是射线CH上的一个动点，当△ABP是直角三角形时，请直接写出点P的坐标．50.如图,在平面直角坐标系中,点A的坐标为（m，m）,点B的坐标为（n，-n）,抛物线经过A、O、B三点,连结OA、OB、AB，线段AB交y轴于点C．已知实数m、n（m＜n）分别是方程x2-2x-3=0的两根.（1）求抛物线的解析式；（2）若点P为线段OB上的一个动点（不与点O、B重合），直线PC与抛物线交于D、E两点（点D在y轴右侧），连结OD、BD.①当△OPC为等腰三角形时，求点P的坐标；②求△BOD 面积的最大值，并写出此时点D的坐标.参考答案1.C2.D3.C4.C5.D6.C7.C8.C9.C10.C11.D12.D13.C14.B15.B16.D17.B18.A19.C20.A21.答案为：(0,6) ； (2,0),(3,0)22.答案为：（1,0），（2,0）、（0,2），23.答案为：①②④．24.答案为：0.8．25.答案为：0.826.答案为：第一．27.答案为：2528.答案为：（2，﹣1）或（2，2）．29.答案为0.5．30.答案为:12.5;31.答案为：x＜－2或x＞832.解：令y=﹣2x2+8x﹣6=0，即x2﹣4x+3=0，解得x=1或3，则点A（1，0），B（3，0），由于将C1向右平移2个长度单位得C2，则C2解析式为y=﹣2（x﹣4）2+2（3≤x≤5），当y=x+m1与C2相切时，令y=x+m1=y=﹣2（x﹣4）2+2，即2x2﹣15x+30+m1=0，△=﹣8m1﹣15=0，解得m1=﹣，当y=x+m2过点B时，即0=3+m2，m2=﹣3，当﹣3＜m＜﹣时直线y=x+m与C1、C2共有3个不同的交点，故答案是：﹣3＜m＜﹣．33.答案为：（3，5）或（3.5，5.5）33.答案为：x=﹣3．34.答案为：﹣4．35.答案为：①③④；36.答案为：x1=4，x2=﹣237.答案为:0.538.答案为：①②④．39.答案为：-1＜x＜3．40.解：把点（0，2）和（1，﹣1）代入y=x2+bx+c得，解这个方程组得，所以所求二次函数的解析式是y=x2﹣4x+2；因为y=x2﹣4x+2=（x﹣2）2﹣2，所以顶点坐标是（2，﹣2），对称轴是直线x=2．y=0.5(x+1)2 -2 ∴它的顶点坐标为（-1，-2）对称轴为直线x=-1.当y=0时，即0.5(x+3)(x-1)=0解得x1=-3，x2=1.∴x＜-3时…当x取什么值时， y随x增大而减小.41.解：（1）∵ ,由抛物线的对称性可知,∴（4,0）.∴ 0＝16a-4.∴ a.（2）如图所示，过点C作于点E，过点D作于点F.∵ a=,∴ -4.当-1时，m=×-4=-,∴ C（-1,-）.∵点C关于原点O的对称点为点D，∴ D（1,）.∴ .∴△BCD的面积为15平方米.42.解：（1）根据题意，设销售A种产品所获利润y与销售产品x之间的函数关系式为y=ax2+bx，将（1，1.4）、（3，3.6）代入解析式，得：a+b=1.4,9a+3b=3.6，解得：a=-0.1,b=1.5，∴销售A种产品所获利润y与销售产品x之间的函数关系式为y=﹣0.1x2+1.5x；（2）设购进A产品m吨，购进B产品（10﹣m）吨，销售A、B两种产品获得的利润之和为W元，则W=﹣0.1m2+1.5m+0.3（10﹣m）=﹣0.1m2+1.2m+3=﹣0.1（m﹣6）2+6.6，∵﹣0.1＜0，∴当m=6时，W取得最大值，最大值为6.6万元，答：购进A产品6吨，购进B产品4吨，销售A、B两种产品获得的利润之和最大，最大利润是6.6万元．44.【解答】解：（1）y=x2﹣2x+1=（x﹣1）2，对称轴为直线x=1，顶点坐标为（1，0）；（2）抛物线图象如下图所示：由图象可知当x＞2时，y的取值范围是y＞1．45.解答：解：（1）y=（30－20+x）（180－10x）=－10x2+80x+1800（0≤x≤5，且x为整数）；（2）当x=时，y最大=1960元；∴每件商品的售价为34元．答：每件商品的售价为34元时，商品的利润最大，为1960元；（3））1920=－10x2+80x+1800 ， x2－8x+12=0，即（x－2）（x－6）=0，解得x=2或x=6，∵0≤x≤5，∴x=2，∴售价为32元时，利润为1920元．46.【解答】解：（1）∵当x=0和x=﹣2时所对应的函数值相等，∴抛物线的对称轴为直线x=﹣1，∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（﹣3，0），∴抛物线解析式为y=﹣（x+3）（x﹣1），即y=﹣x2﹣2x+3；（2存在．连结BC交直线x=﹣1于点D，则DB=DA，∴DC+DA=DC+DB=BC，∴此时DA+DC最小，△ADC的周长最小，当x=0时，y=﹣x2﹣2x+3=3，则C（0，3），设直线BC的解析式为y=kx+m，把B（﹣3，0），C（0，3）代入得，解得，∴直线BC的解析式为y=x+3，当x=﹣1时，y=x+3=2，∴D点坐标为（﹣1，2）；（3）作MN∥y轴交BC于N，如图，设M（t，﹣t2﹣2t+3）（﹣3＜x＜0），则N（t，t+3），S△BCM=S△MNB+S△NMC=•3•MN=（﹣t2﹣2t+3﹣t﹣3）=﹣t2﹣t=﹣（t+）2+，∴当t=﹣时，△MBC的面积的最大值为，此时M点坐标为（﹣，）．47.解：（1）设二次函数的解析式为y=a（x+2）（x﹣6）∵图象过点（0，﹣8）∴a=∴二次函数的解析式为y=x2﹣x﹣8；（2）∵y=x2﹣x﹣8=（x2﹣4x+4﹣4）﹣8=（x﹣2）2﹣∴点M的坐标为（2，﹣）∵点C的坐标为（0，﹣8），∴点C关于x轴对称的点C′的坐标为（0，8）∴直线C′M的解析式为：y=﹣x+8令y=0得﹣x+8=0解得：x=∴点K的坐标为（，0）；（3）①不存在PQ∥OC，若PQ∥OC，则点P，Q分别在线段OA，CA上，此时，1＜t＜2∵PQ∥OC，∴△APQ∽△AOC∴∵AP=6﹣3tAQ=18﹣8t，∴∴t=∵t=＞2不满足1＜t＜2；∴不存在PQ∥OC；②分情况讨论如下，情况1：0≤t≤1S=OP•OQ=×3t×8t=12t2；情况2：1＜t≤2作QE⊥OA，垂足为E，S=OP•EQ=×3t×=﹣+情况3：2＜t＜作OF⊥AC,垂足为F,则OF=S=QP•OF=×(24-11t)×=-+；③当0≤t≤1时，S=12t2，函数的最大值是12；当1＜t≤2时，S=﹣+，函数的最大值是；当2＜t＜，S=QP•OF=﹣+，函数的最大值为；∴S0的值为．49.50.解（1）解方程，得，.∵，∴，∴A（-1，-1），B（3，-3）.∵抛物线过原点，设抛物线的解析式为.∴解得，.∴抛物线的解析式为.（2）①设直线AB的解析式为.∴解得，. ∴直线AB的解析式为.∴C点坐标为（0，）.∵直线OB过点O（0，0），B（3，-3），∴直线OB的解析式为.∵△OPC为等腰三角形，∴OC=OP或OP=PC或OC=PC.设，，（i）当OC=OP时, .解得，（舍去）. ∴ P（,）.（ii）当OP=PC时，点P在线段OC的中垂线上，∴ (,.（iii）当OC=PC时，由，解得，（舍去）. ∴ P(.∴P点坐标为P1（,）或(,或P(.②过点D作DG⊥x轴，垂足为G，交OB于Q，过B作BH⊥x轴，垂足为H.设Q（，），D(，).===，∵0＜＜3，∴当时，S取得最大值为，此时D（，.。

二次函数（平行四边形）1。

如图,在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=（x﹣m）2﹣m2+m的顶点为A,与y轴的交点为B，连结AB，AC⊥AB，交y轴于点C,延长CA到点D,使AD=AC，连结BD．作AE∥x轴，DE∥y轴．（1）当m=2时,求点B的坐标；（2）求DE的长？（3）①设点D的坐标为（x,y），求y关于x的函数关系式?②过点D作AB的平行线，与第(3）①题确定的函数图象的另一个交点为P，当m为何值时，以，A，B，D，P为顶点的四边形是平行四边形？解答：解：（1）当m=2时，y=（x﹣2)2+1，把x=0代入y=（x﹣2)2+1，得：y=2，∴点B的坐标为（0，2）．（2）延长EA，交y轴于点F，∵AD=AC,∠AFC=∠AED=90°,∠CAF=∠DAE，∴△AFC≌△AED，∴AF=AE，∵点A(m，﹣m2+m）,点B（0，m)，∴AF=AE=|m｜,BF=m﹣（﹣m2+m）=m2，∵∠ABF=90°﹣∠BAF=∠DAE,∠AFB=∠DEA=90°,∴△ABF∽△DAE，∴=，即:=,∴DE=4．（3）①∵点A的坐标为（m,﹣m2+m），∴点D的坐标为（2m，﹣m2+m+4）,∴x=2m，y=﹣m2+m+4，∴y=﹣•++4，∴所求函数的解析式为：y=﹣x2+x+4，②作PQ⊥DE于点Q，则△DPQ≌△BAF，(Ⅰ）当四边形ABDP为平行四边形时（如图1），点P的横坐标为3m，点P的纵坐标为：（﹣m2+m+4）﹣（m2）=﹣m2+m+4，把P（3m,﹣m2+m+4）的坐标代入y=﹣x2+x+4得:﹣m2+m+4=﹣×(3m）2+×（3m）+4，解得：m=0（此时A，B,D，P在同一直线上,舍去）或m=8．（Ⅱ）当四边形ABDP为平行四边形时（如图2),点P的横坐标为m,点P的纵坐标为:（﹣m2+m+4)+（m2）=m+4，把P（m，m+4）的坐标代入y=﹣x2+x+4得：m+4=﹣m2+m+4，解得：m=0（此时A，B，D，P在同一直线上,舍去）或m=﹣8，综上所述:m的值为8或﹣8．【例二】已知抛物线的顶点为A （2，1），且经过原点O ，与x 轴的另一交点为B 。

专题二次函数图象性质与应用一．选择题（共26小题）1.(2020成都中考)关于二次函数y=x2+2x-8,下列说法正确的是(D．)A.图象的对称轴在y轴的右侧B.图象与y轴的交点坐标为(0,8)C.图象与x轴的交点坐标为(-2 ,0)和(4 ,0)D.y的最小值为-92.(2020温州中考)已知(-3,y1),(-2,y2),(1,y3)是抛物线y=-3x2-12x+m上的点,则(B．) A.y3<y2<y1 B.y3<y1<y2C.y2<y3<y1D.y1<y3<y23.已知A(0,2),B(2,5)是抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)上的两点,若抛物线与x轴有两个交点,则该抛物线的对称轴不可能是(A．)A.x=1B.x=2C.x=5D.x=-44咸宁中考]在平面直角坐标系xOy中,将横、纵坐标相等的点称为“好点”.下列函数的图象中不存在“好点”的是(B．) A.y=-x B.y=x+2D. y=x2-2xC.y=2x5.[2020杭州中考]设函数y=a(x-h)2+k(a,h,k是实数,a≠0).当x=1时,y=1;当x=8时,y=8.(C．) A.若h=4,则a<0 B.若h=5,则a>0C.若h=6,则a<0D.若h=7,则a>06.二次函数y=ax2与一次函数y=ax+a在同一坐标系中的大致图象可能是(D．)A B C D7.已知二次函数y=ax2-2ax-3a(a≠0),关于此函数的图象及性质,下列结论不一定成立的是(D．)A.该图象的顶点坐标为(1,-4a)B.该图象与x轴的交点坐标为(-1,0),(3,0)C.若该图象经过点(-2,5),则一定经过点(4,5)D.当x>1时,y随x的增大而增大8.[2020株洲中考]二次函数y=ax2+bx+c,若ab<0,a-b2>0,点A(x1,y1),B(x2,y2)在该二次函数的图象上,其中x1<x2,x1+x2=0,则(B．) A.y1=-y2 B.y1>y2C.y1<y2D.y1,y2的大小无法确定9.[2020襄阳中考]二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,下列结论:①ac<0;②3a+c=0;③4ac-b2<0;④当x>-1时,y随x的增大而减小.其中正确的有(B．)A.4个B.3个C.2个D.1个10.在平面直角坐标系xOy中,抛物线C1,C2上部分点的横坐标、纵坐标的对应值如下表:x…-1 0 1 2 2.5 3 4 …y1…0 m1-8 n1-8.75 -8 -5 …y2… 5 m2-11 n2-12.5 -11 -5 …下列结论正确的是(D．)A.抛物线C1,C2均开口向下B.抛物线C1的顶点坐标为(2.5,-8.75)C.当x>4时,y1>y2D.抛物线C1,C2必经过点(0,-5)11．（2020•株洲）二次函数y＝ax2+bx+c，若ab＜0，a﹣b2＞0，点A（x1，y1），B（x2，y2）在该二次函数的图象上，其中x1＜x2，x1+x2＝0，则（B）A．y1＝﹣y2B．y1＞y2C．y1＜y2D．y1、y2的大小无法确定12．（2020•襄阳）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论：①ac＜0；②3a+c＝0；③4ac﹣b2＜0；④当x＞﹣1时，y随x的增大而减小．其中正确的有（B）A．4个B．3个C．2个D．1个13．（2020•齐齐哈尔）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点（4，0），其对称轴为直线x＝l，结合图象给出下列结论：①ac＜0；②4a﹣2b+c＞0；③当x＞2时，y随x的增大而增大；④关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数根．其中正确的结论有（C）A．1个B．2个C．3个D．4个14．（2020•泸州）已知二次函数y＝x2﹣2bx+2b2﹣4c（其中x是自变量）的图象经过不同两点A（1﹣b，m），B（2b+c，m），且该二次函数的图象与x轴有公共点，则b+c的值为（C）A．﹣1 B．2 C．3 D．4 15．（2020•绥化）将抛物线y＝2（x﹣3）2+2向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到抛物线的解析式是（C）A．y＝2（x﹣6）2B．y＝2（x﹣6）2+4C．y＝2x2D．y＝2x2+416．（2020•滨州）对称轴为直线x＝1的抛物线y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，且a≠0）如图所示，小明同学得出了以下结论：①abc＜0，②b2＞4ac，③4a+2b+c＞0，④3a+c ＞0，⑤a+b≤m（am+b）（m为任意实数），⑥当x＜﹣1时，y随x的增大而增大．其中结论正确的个数为（A）A．3 B．4 C．5 D．6 17．（2020•德州）二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，则下列选项错误的是（D）A．若（﹣2，y1），（5，y2）是图象上的两点，则y1＞y2B．3a+c＝0C．方程ax2+bx+c＝﹣2有两个不相等的实数根D．当x≥0时，y随x的增大而减小18．（2020•成都）关于二次函数y＝x2+2x﹣8，下列说法正确的是（D）A．图象的对称轴在y轴的右侧B．图象与y轴的交点坐标为（0，8）C．图象与x轴的交点坐标为（﹣2，0）和（4，0）D．y的最小值为﹣919．（2020•哈尔滨）将抛物线y＝x2向上平移3个单位长度，再向右平移5个单位长度，所得到的拋物线为（D）A．y＝（x+3）2+5 B．y＝（x﹣3）2+5 C．y＝（x+5）2+3 D．y＝（x﹣5）2+3 20．（2020•南充）关于二次函数y＝ax2﹣4ax﹣5（a≠0）的三个结论：①对任意实数m，都有x1＝2+m与x2＝2﹣m对应的函数值相等；②若3≤x≤4，对应的y的整数值有4个，则−43＜a≤﹣1或1≤a＜43；③若抛物线与x轴交于不同两点A，B，且AB≤6，则a＜−54或a≥1．其中正确的结论是（D）A．①②B．①③C．②③D．①②③21.抛物线y=(k-1)x2-x+1与x轴有交点,则k的取值范围是k．≤．54且．k．≠．1．.22.[2020温州中考]已知抛物线y=ax2+bx+1经过点(1,-2),(-2,13).(1)求a,b的值;(2)若(5,y1),(m,y2)是抛物线上不同的两点,且y2=12-y1,求m的值.23.[2020黄石中考]若二次函数y=a2x2-bx-c的图象,过不同的六点A(-1,n),B(5,n-1),C(6,n+1),D(√2,y1),E(2,y2),F(4,y3),则y1,y2,y3的大小关系是(D．)A.y1<y2<y3B.y1<y3<y2C.y2<y3<y1D.y2<y1<y324.[2020临沂中考]已知抛物线y=ax2-2ax-3+2a2(a≠0).(1)求这条抛物线的对称轴;(2)若该抛物线的顶点在x轴上,求其解析式;(3)设点P(m,y1),Q(3,y2)在抛物线上,若y1<y2,求m的取值范围.25.[2020南充中考节选]已知二次函数图象过点A(-2,0),B(4,0),C(0,4).(1)求二次函数的解析式.(2)如图,当点P为AC的中点时,在线段PB上是否存在点M,使得∠BMC=90°?若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.26.[2020河北中考]如图,现要在抛物线y=x(4-x)上找点P(a,b),针对b的不同取值,所找点P的个数,三人的说法如下,甲:若b=5,则点P的个数为0;乙:若b=4,则点P的个数为1;丙:若b=3,则点P的个数为1.下列判断正确的是(C．)A.乙错,丙对B.甲和乙都错C.乙对,丙错D.甲错,丙对27．（2020•临沂）已知抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3+2a2（a≠0）．（1）求这条抛物线的对称轴；（2）若该抛物线的顶点在x轴上，求其解析式；（3）设点P（m，y1），Q（3，y2）在抛物线上，若y1＜y2，求m的取值范围．【解析】（1）∵抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3+2a2＝a（x﹣1）2+2a2﹣a﹣3．∴抛物线的对称轴为直线x＝1；（2）∵抛物线的顶点在x轴上，∴2a2﹣a﹣3＝0，解得a=32或a＝﹣1，∴抛物线为y=32x2﹣3x+32或y＝﹣x2+2x﹣1；（3）∵抛物线的对称轴为x＝1，则Q（3，y2）关于x＝1对称点的坐标为（﹣1，y2），∴当a=32，﹣1＜m＜3时，y1＜y2；当a＝﹣1，m＜﹣1或m＞3时，y1＜y2．28．（2020•衡阳）在平面直角坐标系xOy中，关于x的二次函数y＝x2+px+q的图象过点（﹣1，0），（2，0）．（1）求这个二次函数的表达式；（2）求当﹣2≤x≤1时，y的最大值与最小值的差；（3）一次函数y＝（2﹣m）x+2﹣m的图象与二次函数y＝x2+px+q的图象交点的横坐标分别是a和b，且a＜3＜b，求m的取值范围．【解析】（1）由二次函数y ＝x 2+px +q 的图象经过（﹣1，0）和（2，0）两点， ∴{1−p +q =04+2p +q =0，解得{p =−1q =−2， ∴此二次函数的表达式y ＝x 2﹣x ﹣2； （2）∵抛物线开口向上，对称轴为直线x =−1+22=12， ∴在﹣2≤x ≤1范围内，当x ＝﹣2，函数有最大值为：y ＝4+2﹣2＝4；当x =12是函数有最小值：y =14−12−2=−94， ∴的最大值与最小值的差为：4﹣（−94）=254；（3）∵y ＝（2﹣m ）x +2﹣m 与二次函数y ＝x 2﹣x ﹣2图象交点的横坐标为a 和b ， ∴x 2﹣x ﹣2＝（2﹣m ）x +2﹣m ，整理得x 2+（m ﹣3）x +m ﹣4＝0∵a ＜3＜b ∴a ≠b∴△＝（m ﹣3）2﹣4×（m ﹣4）＝（m ﹣5）2＞0 ∴m ≠5 ∵a ＜3＜b当x ＝3时，（2﹣m ）x +2﹣m ＞x 2﹣x ﹣2，把x ＝3代入（2﹣m ）x +2﹣m ＞x 2﹣x ﹣2，解得m ＜−12 ∴m 的取值范围为m ＜−12．29．（2020•滨州）某水果商店销售一种进价为40元/千克的优质水果，若售价为50元/千克，则一个月可售出500千克；若售价在50元/千克的基础上每涨价1元，则月销售量就减少10千克．（1）当售价为55元/千克时，每月销售水果多少千克？（2）当月利润为8750元时，每千克水果售价为多少元？（3）当每千克水果售价为多少元时，获得的月利润最大？【解析】（1）当售价为55元/千克时，每月销售水果＝500﹣10×（55﹣50）＝450千克；（2）设每千克水果售价为x元，由题意可得：8750＝（x﹣40）[500﹣10（x﹣50）]，解得：x1＝65，x2＝75，答：每千克水果售价为65元或75元；（3）设每千克水果售价为m元，获得的月利润为y元，由题意可得：y＝（m﹣40）[500﹣10（m﹣50）]＝﹣10（m﹣70）2+9000，∴当m＝70时，y有最大值为9000元，答：当每千克水果售价为70元时，获得的月利润最大值为9000元．30．（2020•甘孜州）某商品的进价为每件40元，在销售过程中发现，每周的销售量y （件）与销售单价x（元）之间的关系可以近似看作一次函数y＝kx+b，且当售价定为50元/件时，每周销售30件，当售价定为70元/件时，每周销售10件．（1）求k，b的值；（2）求销售该商品每周的利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数解析式，并求出销售该商品每周可获得的最大利润．【解析】（1）由题意可得：{30=50k+b 10=70k+b，∴{k =−1b =80， 答：k ＝﹣1，b ＝80；（2）∵w ＝（x ﹣40）y ＝（x ﹣40）（﹣x +80）＝﹣（x ﹣60）2+400， ∴当x ＝60时，w 有最大值为400元，答：销售该商品每周可获得的最大利润为400元．。

题型04 二次函数的实际应用题一、单选题1．如图，隧道的截面由抛物线和长方形OABC构成，长方形的长OA是12m，宽OC是4m．按照图中所示的平面直角坐标系，抛物线可以用y=﹣ x2+bx+c表示．在抛物线型拱璧上需要安装两排灯，使它们离地面的高度相等，如果灯离地面的高度不超过8m．那么两排灯的水平距离最小是( )A．2m B．4m C． m D． m【答案】D【分析】根据长方形的长OA是12m，宽OC是4m，可得顶点的横坐标和点C的坐标，即可求出抛物线解析式，再把y＝8代入解析式即可得结论．【详解】根据题意，得OA=12，OC=4．所以抛物线的顶点横坐标为6，即﹣ = =6，∴b=2．∵C（0，4），∴c=4，所以抛物线解析式为：y=﹣ x2+2x+4=﹣（x﹣6）2+10当y=8时，8=﹣（x﹣6）2+10，解得：x1=6+2 ，x2=6﹣2 ．则x1﹣x2=4 ．所以两排灯的水平距离最小是4 ．故选：D．【点睛】本题考查了二次函数的应用，解决本题的关键是把实际问题转化为二次函数问题解决．2．使用家用燃气灶烧开同一壶水所需的燃气量y（单位：m3）与旋钮的旋转角度x（单位：度）（0°＜x≤90°）近似满足函数关系y＝ax2+bx+c（a≠0）．如图记录了某种家用节能燃气灶烧开同一壶水的旋钮的旋转角度x与燃气量y的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出此燃气灶烧开一壶水最节省燃气的旋钮的旋转角度约为（）A．33° B．36° C．42° D．49°【答案】C【分析】据题意和二次函数的性质，可以确定出对称x的取值范围，从而可以解答本题．【详解】解：由图象可知，物线开口向上，该函数的对称轴x＞且x＜54，∴36＜x＜54，即对称轴位于直线x＝36与直线x＝54之间且靠近直线x＝36，故选：C．【点睛】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．3．某校校园内有一个大正方形花坛，如图甲所示，它由四个边长为3米的小正方形组成，且每个小正方形的种植方案相同．其中的一个小正方形ABCD如图乙所示，DG=1米，AE=AF=x米，在五边形EFBCG区域上种植花卉，则大正方形花坛种植花卉的面积y与x的函数图象大致是（）A． B． C． D．【答案】A【详解】S△AEF= AE×AF= ，S△DEG= DG×DE= ×1×（3﹣x）= ，S五边形EFBCG=S正方形ABCD﹣S△AEF﹣S△DEG= = ，则y=4×（）= ，∵AE＜AD，∴x＜3，综上可得：（0＜x＜3）．故选A．考点：动点问题的函数图象；动点型．4．某建筑物，从10m高的窗口A，用水管向外喷水，喷出的水呈抛物线状（抛物线所在的平面与墙面垂直），如图所示，如果抛物线的最高点M离墙1m，离地面 m，则水流落地点B离墙的距离OB是（）A．2m B．3m C．4m D．5m【答案】B【分析】以OB为x轴，OA为y轴建立平面直角坐标系，A点坐标为（0，10），M点的坐标为（1，），设出抛物线的解析式，代入解答球的函数解析式，进一步求得问题的解．【详解】解：设抛物线的解析式为y＝a(x﹣1)2+ ，把点A（0，10）代入a(x﹣1)2+ ，得a(0﹣1)2+ ＝10，解得a＝﹣，因此抛物线解析式为y＝﹣ (x﹣1)2+ ，当y＝0时，解得x1＝3，x2＝﹣1（不合题意，舍去）；即OB＝3米．故选B．【点睛】本题是一道二次函数的综合试题，考查了利用待定系数法求函数的解析式的运用，运用抛物线的解析式解决实际问题．解答本题是时设抛物线的顶点式求解析式是关键．5．超市有一种“喜之郎“果冻礼盒，内装两个上下倒置的果冻，果冻高为4cm，底面是个直径为6cm的圆，轴截面可以近似地看作一个抛物线，为了节省成本，包装应尽可能的小，这个包装盒的长不计重合部分，两个果冻之间没有挤压至少为A． B． C． D．【答案】A【分析】设：左侧抛物线的方程为：，点A的坐标为，将点A坐标代入上式并解得：，由题意得：点MG是矩形HFEO的中线，则点N的纵坐标为2，将代入抛物线表达式，即可求解．【详解】解：设左侧抛物线的方程为：，点A的坐标为，将点A坐标代入上式并解得：，则抛物线的表达式为：，由题意得：点MG是矩形HFEO的中线，则点N的纵坐标为2，将代入抛物线表达式得：，解得： (负值已舍去)，则，故选：A．【点睛】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后求解．6．小悦乘座中国最高的摩天轮“南昌之星”，从最低点开始旋转一圈，她离地面的高度y（米）与旋转时间x（分）之间的关系可以近似地用二次函数来刻画．经测试得出部分数据如表．根据函数模型和数据，可推断出南昌之星旋转一圈的时间大约是（）x（分）… 13.5 14.7 16.0 …y（米）… 156.25 159.85 158.33 …A．32分 B．30分 C．15分 D．13分【答案】B【分析】利用二次函数的性质，由题意，最值在自变量大于14.7小于16.0之间，由此不难找到答案．【详解】最值在自变量大于14.7小于16.0之间，所以最接近摩天轮转一圈的时间的是30分钟．故选：B．【点睛】此题考查二次函数的实际运用，利用表格得出函数的性质，找出最大值解决问题．7．如图，排球运动员站在点O处练习发球，将球从O点正上方2m的A处发出，把球看成点，其运行的高度y（m）与运行的水平距离x（m）满足关系式y＝a（x ﹣k）2+h．已知球与D点的水平距离为6m时，达到最高2.6m，球网与D点的水平距离为9m．高度为2.43m，球场的边界距O点的水平距离为18m，则下列判断正确的是（）A．球不会过网 B．球会过球网但不会出界C．球会过球网并会出界 D．无法确定【答案】C【分析】（1）将点A(0,2)代入求出a的值；分别求出x=9和x=18时的函数值，再分别与2.43、0比较大小可得．【详解】根据题意,将点A(0,2)代入得：36a+2.6=2，解得：∴y与x的关系式为当x=9时,∴球能过球网，当x=18时,∴球会出界.故选C.【点睛】考查二次函数的应用题，求范围的问题，可以利用临界点法求出自变量的值，根据题意确定范围.8．北中环桥是省城太原的一座跨汾河大桥(如图1)，它由五个高度不同，跨径也不同的抛物线型钢拱通过吊桥，拉锁与主梁相连，最高的钢拱如图2所示，此钢拱(近似看成二次函数的图象-抛物线)在同一竖直平面内，与拱脚所在的水平面相交于A，B两点，拱高为78米(即最高点O到AB的距离为78米)，跨径为90米(即AB=90米)，以最高点O为坐标原点，以平行于AB的直线为轴建立平面直角坐标系，则此抛物线钢拱的函数表达式为( )A． B． C． D．【答案】B【分析】设抛物线解析式为y=ax2，由已知可得点B坐标为(45，-78)，利用待定系数法进行求解即可.【详解】∵拱高为78米(即最高点O到AB的距离为78米)，跨径为90米(即AB=90米)，以最高点O为坐标原点，以平行于AB的直线为轴建立平面直角坐标系，∴设抛物线解析式为y=ax2，点B(45，-78)，∴-78=452a，解得：a= ，∴此抛物线钢拱的函数表达式为，故选B.【点睛】本题考查了二次函数的应用，熟练掌握待定系数法是解本题的关键.9．如图，公园中一正方形水池中有一喷泉，喷出的水流呈抛物线状，测得喷出口高出水面0.8m，水流在离喷出口的水平距离1.25m处达到最高，密集的水滴在水面上形成了一个半径为3m的圆，考虑到出水口过高影响美观，水滴落水形成的圆半径过大容易造成水滴外溅到池外，现决定通过降低出水口的高度，使落水形成的圆半径为2.75m，则应把出水口的高度调节为高出水面（）A．0.55米 B．米 C．米 D．0.4米【答案】B【分析】如图，以O为原点，建立平面直角坐标系，由题意得到对称轴为x＝1.25＝，A（0，0.8），C（3，0），列方程组求得函数解析式，即可得到结论．【详解】解：如图，以O为原点，建立平面直角坐标系，由题意得，对称轴为x＝1.25＝，A（0，0.8），C（3，0），设解析式为y＝ax2+bx+c，∴ ，解得：，所以解析式为：y＝ x2+ x+ ，当x＝2.75时，y＝，∴使落水形成的圆半径为2.75m，则应把出水口的高度调节为高出水面08﹣＝，故选：B．【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，根据题意建立合适的坐标系，找到点的坐标，用待定系数法解出函数解析式是解题的关键10．小翔在如图1所示的场地上匀速跑步，他从点A出发，沿箭头所示方向经过点B跑到点C，共用时30秒．他的教练选择了一个固定的位置观察小翔的跑步过程．设小翔跑步的时间为t（单位：秒），他与教练的距离为y（单位：米），表示y与t的函数关系的图象大致如图2所示，则这个固定位置可能是图1中的（）A．点M B．点N C．点P D．点Q【答案】D【详解】解：A、假设这个位置在点M，则从A至B这段时间，y不随时间的变化改变，与函数图象不符，故本选项错误；B、假设这个位置在点N，则从A至C这段时间，A点与C点对应y的大小应该相同，与函数图象不符，故本选项错误；C、，假设这个位置在点P，则由函数图象可得，从A到C的过程中，会有一个时刻，教练到小翔的距离等于经过30秒时教练到小翔的距离，而点P不符合这个条件，故本选项错误；D、经判断点Q符合函数图象，故本选项正确；故选D．二、填空题11．某运动员对自己某次实心球训练的录像进行分析，发现实心球飞行高度y(米)与水平距离x(米)之间的关系为，由此可知该运动员此次实心球训练的成绩为____米．【答案】10【分析】根据铅球落地时，高度y=0，把实际问题可理解为当y=0时，求x的值即可．【详解】当y=0时，解得，x=-2（舍去），x=10．故答案为：10．【点睛】本题考查了二次函数的应用中函数式中自变量与函数表达的实际意义，需要结合题意，取函数或自变量的特殊值列方程求解是解题关键．12．汽车刹车后行驶的距离 (单位： )关于行驶的时间 (单位： )的函数解析式是．汽车刹车后到停下来前进了 ______．【答案】6【分析】根据二次函数的解析式可得出汽车刹车时时间，将其代入二次函数解析式中即可得出s的值.【详解】解：根据二次函数解析式 =-6(t²-2t+1-1)=-6(t-1) ²+6可知，汽车的刹车时间为t=1s，当t=1时， =12×1-6×1²=6(m)故选：6【点睛】本题考查了二次函数性质的应用，理解透题意是解题的关键．13．如图，一款落地灯的灯柱AB垂直于水平地面MN，高度为1.6米，支架部分的形为开口向下的抛物线，其顶点C距灯柱AB的水平距离为0.8米，距地面的高度为2.4 米，灯罩顶端D距灯柱AB的水平距离为1.4米，则灯罩顶端D距地面的高度为______米．【答案】1.95【分析】以点B为原点建立直角坐标系，则点C为抛物线的顶点，即可设顶点式y＝a（x−0.8）2＋2.4，点A的坐标为（0，1.6），代入可得a的值，从而求得抛物线的解析式，将点D的横坐标代入，即可求点D的纵坐标就是点D距地面的高度【详解】解：如图，以点B为原点，建立直角坐标系．由题意，点A（0，1.6），点C（0.8，2.4），则设顶点式为y＝a（x−0.8）2＋2.4 将点A代入得，1.6＝a（0−0.8）2＋2.4，解得a＝−1.25∴该抛物线的函数关系为y＝−1.25（x−0.8）2＋2.4∵点D的横坐标为1.4∴代入得，y＝−1.25×（1.4−0.8）2＋2.4＝1.95故灯罩顶端D距地面的高度为1.95米故答案为1.95.【点睛】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．为数学建模题，借助二次函数解决实际问题．14．如图，一块矩形土地ABCD由篱笆围着，并且由一条与CD边平行的篱笆EF分开．已知篱笆的总长为900m（篱笆的厚度忽略不计），当AB=_____m时，矩形土地ABCD的面积最大．【答案】150【分析】根据题意可以用相应的代数式表示出矩形绿地的面积，利用函数的性质即可解答本题．【详解】解：设AB=xm，则BC= （900﹣3x），由题意可得，S=AB×BC= （900﹣3x）x=﹣（x2﹣300x）=﹣（x﹣150）2+33750，∴当x=150时，S取得最大值，此时，S=33750，∴AB=150m，故答案为150．【点睛】本题考查了二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的函数关系式，利用二次函数的性质求出最值．15．如图，一小球沿与地面成一定角度的方向飞出，小球的飞行路线是一条抛物线，如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度y(单位：m)与飞行时间x(单位：s)之间具有函数关系y＝﹣5×2+20x，在飞行过程中，当小球的行高度为15m时，则飞行时间是_____．【答案】1s或3s【分析】根据题意可以得到15=﹣5×2+20x，然后求出x的值，即可解答本题．【详解】∵y=﹣5×2+20x，∴当y=15时，15=﹣5×2+20x，得x1=1，x2=3，故答案为1s或3s．【点睛】本题考查二次函数的应用、一元二次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和一元二次方程的知识解答．16．某种商品每件进价为20元，调查表明：在某段时间内若以每件x元（20≤x≤30，且x为整数）出售，可卖出（30﹣x）件．若使利润最大，每件的售价应为______元．【答案】25试题分析：设最大利润为w元，则w=（x﹣20）（30﹣x）=﹣（x﹣25）2+25，∵20≤x≤30，∴当x=25时，二次函数有最大值25，故答案为25．考点：1．二次函数的应用；2．销售问题．17．廊桥是我国古老的文化遗产.如图，是某座抛物线型的廊桥示意图，已知抛物线的函数表达式为y=-1/40 x^2+10，为保护廊桥的安全，在该抛物线上距水面AB 高为8米的点E，F处要安装两盏警示灯，则这两盏灯的水平距离EF是______米.(精确到1米)【答案】8√5由于两盏E、F距离水面都是8m，因而两盏景观灯之间的水平距离就是直线y=8与抛物线两交点的横坐标差的绝对值．故有-1/40 x^2+10=8，即x^2=80，x_1=4√5，x_2=-4√5．所以两盏警示灯之间的水平距离为：|x_1-x_2 |=|4√5-（-4√5）|=8√5≈18（”m”）18．小明制作了一张如图所示的贺卡. 贺卡的宽为，长为，左侧图片的长比宽多 . 若，则右侧留言部分的最大面积为_________ .【答案】320【分析】先求出右侧留言部分的长，再根据矩形的面积公式得出面积与x的函数解析式，利用二次函数的图像与性质判断即可得出答案.【详解】根据题意可得，右侧留言部分的长为(36-x)cm∴右侧留言部分的面积又14≤x≤16∴当x=16时，面积最大 (故答案为320.【点睛】本题考查的是二次函数的实际应用，比较简单，解题关键是根据题意写出面积的函数表达式.19．甲、乙两人进行羽毛球比赛，甲发出一颗十分关键的球，出手点为，羽毛球飞行的水平距离（米）与其距地面高度（米）之间的关系式为，如图，已知球网距原点米，乙（用线段表示）扣球的最大高度为米，设乙的起跳点的横坐标为，若乙原地起跳，因球的高度高于乙扣球的最大高度而导致接球失败，则的取值范围是__________．【答案】当时，，解得；∵扣球点必须在球网右边，即，∴ ．点睛：本题主要考查了二次函数的应用题，求范围的问题，可以选取h等于最大高度，求自变量的值，再根据题意确定范围．20．扫地机器人能够自主移动并作出反应，是因为它发射红外信号反射回接收器，机器人在打扫房间时，若碰到障碍物则发起警报．若某一房间内A、B两点之间有障碍物，现将A、B两点放置于平面直角坐标系xOy中（如图），已知点A，B的坐标分别为(0，4)，(6，4)，机器人沿抛物线y＝ax2﹣4ax﹣5a运动．若机器人在运动过程中只触发一次报警，则a的取值范围是_____．【答案】﹣＜a＜【分析】根据题意可以知道抛物线与线段AB有一个交点，根据抛物线对称轴及其与y轴的交点即可求解．【详解】解：由题意可知：∵点A、B坐标分别为（0，4），（6，4），∴线段AB的解析式为y＝4．机器人沿抛物线y＝ax2﹣4ax﹣5a运动．抛物线对称轴方程为：x＝2，机器人在运动过程中只触发一次报警，所以抛物线与线段y＝4只有一个交点．所以抛物线经过点A下方．∴﹣5a＜4解得a＞﹣．4＝ax2﹣4ax﹣5a，△＝0即36a2+16a＝0，解得a1＝0（不符合题意，舍去），a2＝．当抛物线恰好经过点B时，即当x＝6，y＝4时，36a﹣24a﹣5a＝4，解得a＝综上：a的取值范围是﹣＜a＜【点睛】本题考查二次函数的应用,关键在于熟悉二次函数的性质,结合图形灵活运用.三、解答题21．在“我为祖国点赞”征文活动中，学校计划对获得一、二等奖的学生分别奖励一支钢笔，一本笔记本.已知购买2支钢笔和3个笔记本共38元，购买4支钢笔和5个笔记本共70元.（1）钢笔、笔记本的单价分别为多少元？（2）经与商家协商，购买钢笔超过30支时，每增加一支，单价降低0.1元；超过50支，均按购买50支的单价销售.笔记本一律按原价销售.学校计划奖励一、二等奖学生共计100人，其中一等奖的人数不少于30人，且不超过60人，这次奖励一等学生多少人时，购买奖品金额最少，最少为多少元？【答案】（1）钢笔、笔记本的单价分别为10元，6元；（2）当一等奖人数为50时花费最少，最少为700元.【分析】（1）钢笔、笔记本的单价分别为x、y元，根据题意列方程组即可得到结论；（2）设钢笔的单价为a元，购买数量为b元，支付钢笔和笔记本的总金额w元，①当30≤b≤50时，求得w=-0.1（b-35）2+722.5，于是得到700≤w≤722.5；②当50＜b≤60时，求得w=8b+6（100-b）=2b+600，700＜w≤720，于是得到当30≤b≤60时，w的最小值为700元，于是得到结论．【详解】（1）设钢笔、笔记本的单价分别为、元.根据题意可得解得： .答：钢笔、笔记本的单价分别为10元，6元.（2）设钢笔单价为元，购买数量为b支，支付钢笔和笔记本总金额为W元.①当30≤b≤50时，w=b（-0.1b+13）+6（100-b）∵当时，W=720，当b=50时，W=700∴当30≤b≤50时，700≤W≤722.5②当50＜b≤60时，a=8，∵∴当30≤b≤60时，W的最小值为700元∴当一等奖人数为50时花费最少，最少为700元.【点睛】本题考查了二次函数的应用，二元一次方程组的应用，正确的理解题意求出二次函数的解析式是解题的关键．22．某超市销售一种文具，进价为5元/件．售价为6元/件时，当天的销售量为100件．在销售过程中发现：售价每上涨0.5元，当天的销售量就减少5件．设当天销售单价统一为元/件（，且是按0.5元的倍数上涨），当天销售利润为元．（1）求与的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；（2）要使当天销售利润不低于240元，求当天销售单价所在的范围；（3）若每件文具的利润不超过，要想当天获得利润最大，每件文具售价为多少元？并求出最大利润．【答案】（1）；（2）当天销售单价所在的范围为；（3）每件文具售价为9元时，最大利润为280元.【分析】（1）根据总利润＝每件利润×销售量，列出函数关系式，（2）由（1）的关系式，即，结合二次函数的性质即可求的取值范围（3）由题意可知，利润不超过即为利润率＝（售价－进价）÷售价，即可求得售价的范围．再结合二次函数的性质，即可求．【详解】解：由题意（1）故与的函数关系式为：（2）要使当天利润不低于240元，则，∴解得，∵ ，抛物线的开口向下，∴当天销售单价所在的范围为（3）∵每件文具利润不超过∴ ，得∴文具的销售单价为，由（1）得∵对称轴为∴ 在对称轴的左侧，且随着的增大而增大∴当时，取得最大值，此时即每件文具售价为9元时，最大利润为280元【点睛】考核知识点：二次函数的应用.把实际问题转化为函数问题解决是关键.23．某驻村扶贫小组实施产业扶贫，帮助贫困农户进行西瓜种植和销售.已知西瓜的成本为6元/千克，规定销售单价不低于成本，又不高于成本的两倍.经过市场调查发现，某天西瓜的销售量y(千克)与销售单价x(元/千克)的函数关系如下图所示：(1)求y与x的函数解析式(也称关系式)；(2)求这一天销售西瓜获得的利润的最大值.【答案】(1)y与x的函数解析式为；(2)这一天销售西瓜获得利润的最大值为1250元.【分析】(1)当6 x≤10时，由题意设y＝kx＋b(k＝0)，利用待定系数法求得k、b的值即可；当10＜x≤12时，由图象可知y＝200，由此即可得答案；(2))设利润为w元，当6≦x≤10时，w＝－200 ＋1250，根据二次函数的性质可求得最大值为1250；当10＜x≤12时，w＝200x－1200，由一次函数的性质结合x的取值范围可求得w的最大值为1200，两者比较即可得答案.【详解】(1)当6 x≤10时，由题意设y＝kx＋b(k＝0)，它的图象经过点(6，1000)与点(10，200)，∴，解得，∴当6 x≤10时， y＝-200x+2200，当10＜x≤12时，y＝200，综上，y与x的函数解析式为；(2)设利润为w元，当6 x≤10时，y＝－200x＋2200，w＝(x－6)y＝(x－6)(－200x＋200)＝－200 ＋1250，∵－200＜0，6≦x≤10，当x＝时，w有最大值，此时w=1250；当10＜x≤12时，y＝200，w＝(x－6)y＝200(x－6)＝200x－1200，∴200＞0，∴w＝200x－1200随x增大而增大，又∵10＜x≤12，∴当x＝12时，w最大，此时w=1200，1250＞1200，∴w的最大值为1250，答：这一天销售西瓜获得利润的最大值为1250元.【点睛】本题考查了一次函数的应用，二次函数的应用，涉及了待定系数法，二次函数的性质，一次函数的性质等，弄清题意，找准各量间的关系是解题的关键.24．某山区不仅有美丽风光，也有许多令人喜爱的土特产，为实现脱贫奔小康，某村组织村民加工包装土特产销售给游客，以增加村民收入.已知某种士特产每袋成本10元.试销阶段每袋的销售价x（元）与该士特产的日销售量y（袋）之间的关系如表：x（元） 15 20 30 …y（袋） 25 20 10 …若日销售量y是销售价x的一次函数，试求：（1）日销售量y（袋）与销售价x（元）的函数关系式；（2）假设后续销售情况与试销阶段效果相同，要使这种土特产每日销售的利润最大，每袋的销售价应定为多少元？每日销售的最大利润是多少元？【答案】（1）y＝﹣x+40；（2）要使这种土特产每日销售的利润最大，每袋的销售价应定为25元，每日销售的最大利润是225元.【分析】(1)根据表格中的数据，利用待定系数法，求出日销售量y(袋)与销售价x(元)的函数关系式即可(2)利用每件利润×总销量＝总利润，进而求出二次函数最值即可.【详解】(1)依题意，根据表格的数据，设日销售量y(袋)与销售价x(元)的函数关系式为y＝kx+b得，解得，故日销售量y(袋)与销售价x(元)的函数关系式为：y＝﹣x+40；(2)依题意，设利润为w元，得w＝(x﹣10)(﹣x+40)＝﹣x2+50x+400，整理得w＝﹣(x﹣25)2+225，∵﹣1＜0，∴当x＝2时，w取得最大值，最大值为225，故要使这种土特产每日销售的利润最大，每袋的销售价应定为25元，每日销售的最大利润是225元.【点睛】本题考查了一次函数的应用，二次函数的应用，正确分析得出各量间的关系并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键.25．某政府工作报告中强调，2019年着重推进乡村振兴战略，做优做响湘莲等特色农产品品牌．小亮调查了一家湘潭特产店两种湘莲礼盒一个月的销售情况，A种湘莲礼盒进价72元/盒，售价120元/盒，B种湘莲礼盒进价40元/盒，售价80元/盒，这两种湘莲礼盒这个月平均每天的销售总额为2800元，平均每天的总利润为1280元．（1）求该店平均每天销售这两种湘莲礼盒各多少盒？（2）小亮调査发现，种湘莲礼盒售价每降3元可多卖1盒．若种湘莲礼盒的售价和销量不变，当种湘莲礼盒降价多少元/盒时，这两种湘莲礼盒平均每天的总利润最大，最大是多少元？【答案】（1）该店平均每天销售礼盒10盒，种礼盒为20盒；（2）当种湘莲礼盒降价9元/盒时，这两种湘莲礼盒平均每天的总利润最大，最大是1307元．【分析】（1）根据题意，可设平均每天销售礼盒盒，种礼盒为盒，列二元一次方程组即可解题（2）根据题意，可设种礼盒降价元/盒，则种礼盒的销售量为：（）盒，再列出关系式即可．【详解】解：（1）根据题意，可设平均每天销售礼盒盒，种礼盒为盒，则有，解得故该店平均每天销售礼盒10盒，种礼盒为20盒．（2）设A种湘莲礼盒降价元/盒，利润为元，依题意总利润化简得∵∴当时，取得最大值为1307，故当种湘莲礼盒降价9元/盒时，这两种湘莲礼盒平均每天的总利润最大，最大是1307元．【点睛】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．最大销售利润的问题常利函数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案．26．随着技术的发展，人们对各类产品的使用充满期待.某公司计划在某地区销售第一款产品，根据市场分析，该产品的销售价格将随销售周期的变化而变化.设该产品在第（为正整数）个销售周期每台的销售价格为元，与之间满足如图所示的一次函数关系.（1）求与之间的关系式；（2）设该产品在第个销售周期的销售数量为（万台），与的关系可用来描述．根据以上信息，试问：哪个销售周期的销售收入最大？此时该产品每台的销售价格是多少元？【答案】（1）与之间的关系式为；（2）第个销售周期的销售收入最大，此时该产品每台的销售价格是元.【分析】（1）根据两点坐标即可求出一次函数的解析式；（2）根据题意令销售收入W=py，再根据二次函数的性质即可求解.【详解】（1）设与之间的关系式为y=kx+b，把（1，7000），（5,5000）代入y=kx+b，得，解得∴ 与之间的关系式为；（2）令销售收入W=py= =∴当x=7时，W有最大值为16000，此时y=-500×7+7500=4000故第个销售周期的销售收入最大，此时该产品每台的销售价格是元.【点睛】此题主要考查一次函数与二次函数的应用，解题的关键是熟知待定系数法确定函数关系式与二次函数的图像与性质.27．某超市拟于中秋节前天里销售某品牌月饼，其进价为元/ ．设第天的销售价格为（元/ ），销售量为．该超市根据以往的销售经验得出以下的销售规律：①当时，；当时，与满足一次函数关系，且当时，；时，．② 与的关系为．（1）当时，与的关系式为；（2）为多少时，当天的销售利润（元）最大？最大利润为多少？（3）若超市希望第天到第天的日销售利润（元）随的增大而增大，则需要在当天销售价格的基础上涨元/ ，求的最小值．【答案】（1）；（2）为时，当天的销售利润（元）最大，最大利润为元；（3）3【分析】（1）依据题意利用待定系数法，易得出当时，与的关系式为：，（2）根据销售利润＝销售量×（售价﹣进价），列出每天的销售利润（元）与销售价（元/箱）之间的函数关系式，再依据函数的增减性求得最大利润．（3）要使第天到第天的日销售利润（元）随的增大而增大，则对称轴，求得即可【详解】（1）依题意，当时，时，，。

2020年《二次函数》解答题中考题汇编2 1．（2020•南通）已知抛物线y＝ax2+bx+c经过A（2，0），B（3n﹣4，y1），C（5n+6，y2）三点，对称轴是直线x＝1．关于x的方程ax2+bx+c＝x有两个相等的实数根．（1）求抛物线的解析式；（2）若n＜﹣5，试比较y1与y2的大小；（3）若B，C两点在直线x＝1的两侧，且y1＞y2，求n的取值范围．2．（2020•阜新）如图，二次函数y＝x2+bx+c的图象交x轴于点A（﹣3，0），B（1，0），交y轴于点C．点P（m，0）是x轴上的一动点，PM⊥x轴，交直线AC于点M，交抛物线于点N．（1）求这个二次函数的表达式；（2）①若点P仅在线段AO上运动，如图，求线段MN的最大值；②若点P在x轴上运动，则在y轴上是否存在点Q，使以M，N，C，Q为顶点的四边形为菱形．若存在，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．3．（2020•盘锦）如图1，直线y＝x﹣4与x轴交于点B，与y轴交于点A，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点B和点C（0，4），△ABO沿射线AB方向以每秒个单位长度的速度平移，平移后的三角形记为△DEF（点A，B，O的对应点分别为点D，E，F），平移时间为t（0＜t＜4）秒，射线DF交x轴于点G，交抛物线于点M，连接ME．（1）求抛物线的解析式；（2）当tan∠EMF＝时，请直接写出t的值；（3）如图2，点N在抛物线上，点N的横坐标是点M的横坐标的，连接OM，NF，OM与NF相交于点P，当NP＝FP时，求t的值．4．（2020•西藏）在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于A（﹣2，0），B（4，0）两点，交y轴于点C，点P是第四象限内抛物线上的一个动点．（1）求二次函数的解析式；＝，求点P的坐标；（2）如图甲，连接AC，PA，PC，若S△P AC（3）如图乙，过A，B，P三点作⊙M，过点P作PE⊥x轴，垂足为D，交⊙M于点E．点P在运动过程中线段DE的长是否变化，若有变化，求出DE的取值范围；若不变，求DE的长．5．（2020•德阳）如图1，抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a（a≠0）与x轴交于点A，B．与y轴交于点C．连接AC，BC．已知△ABC的面积为2．（1）求抛物线的解析式；（2）平行于x轴的直线与抛物线从左到右依次交于P，Q两点．过P，Q向x轴作垂线，垂足分别为G，H．若四边形PGHQ为正方形，求正方形的边长；（3）如图2，平行于y轴的直线交抛物线于点M，交x轴于点N（2，0）．点D是抛物线上A，M之间的一动点，且点D不与A，M重合，连接DB交MN于点E．连接AD并延长交MN于点F．在点D运动过程中，3NE+NF是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．6．（2020•锦州）在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c交x轴于A（﹣3，0），B（4，0）两点，交y轴于点C．（1）求抛物线的表达式；（2）如图，直线y＝与抛物线交于A，D两点，与直线BC交于点E．若M（m，0）是线段AB上的动点，过点M作x轴的垂线，交抛物线于点F，交直线AD于点G，交直线BC于点H．①当点F在直线AD上方的抛物线上，且S△EFG＝S△OEG时，求m的值；②在平面内是否在点P，使四边形EFHP为正方形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．7．（2020•朝阳）如图，抛物线y＝﹣+bx+c与x轴交于点A，点B，与y轴交于点C，抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，点C坐标为（0，4）．（1）求抛物线表达式；（2）在抛物线上是否存在点P，使∠ABP＝∠BCO，如果存在，求出点P坐标；如果不存在，请说明理由；（3）在（2）的条件下，若点P在x轴上方，点M是直线BP上方抛物线上的一个动点，求点M到直线BP的最大距离；（4）点G是线段AC上的动点，点H是线段BC上的动点，点Q是线段AB上的动点，三个动点都不与点A，B，C重合，连接GH，GQ，HQ，得到△GHQ，直接写出△GHQ周长的最小值．8．（2020•鞍山）在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+2（a≠0）经过点A（﹣2，﹣4）和点C（2，0），与y轴交于点D，与x轴的另一交点为点B．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，连接BD，在抛物线上是否存在点P，使得∠PBC＝2∠BDO？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图2，连接AC，交y轴于点E，点M是线段AD上的动点（不与点A，点D重合），将△CME沿ME所在直线翻折，得到△FME，当△FME与△AME重叠部分的面积是△AMC面积的时，请直接写出线段AM的长．9．（2020•赤峰）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A（1，0），B （4，0）两点，与y轴交于点C，直线y＝﹣x+2经过B，C两点．（1）直接写出二次函数的解析式；（2）平移直线BC，当直线BC与抛物线有唯一公共点Q时，求此时点Q的坐标；（3）过（2）中的点Q作QE∥y轴，交x轴于点E．若点M是抛物线上一个动点，点N 是x轴上一个动点，是否存在以E，M，N三点为顶点的直角三角形（其中M为直角顶点）与△BOC相似？如果存在，请直接写出满足条件的点M的个数和其中一个符合条件的点M的坐标；如果不存在，请说明理由．10．（2020•大连）在平面直角坐标系xOy中，函数F1和F2的图象关于y轴对称，它们与直线x＝t（t＞0）分别相交于点P，Q．（1）如图，函数F1为y＝x+1，当t＝2时，PQ的长为；（2）函数F1为y＝，当PQ＝6时，t的值为；（3）函数F1为y＝ax2+bx+c（a≠0），①当t＝时，求△OPQ的面积；②若c＞0，函数F1和F2的图象与x轴正半轴分别交于点A（5，0），B（1，0），当c≤x≤c+1时，设函数F1的最大值和函数F2的最小值的差为h，求h关于c的函数解析式，并直接写出自变量c的取值范围．11．（2020•桂林）如图，已知抛物线y＝a（x+6）（x﹣2）过点C（0，2），交x轴于点A和点B（点A在点B的左侧），抛物线的顶点为D，对称轴DE交x轴于点E，连接EC．（1）直接写出a的值，点A的坐标和抛物线对称轴的表达式；（2）若点M是抛物线对称轴DE上的点，当△MCE是等腰三角形时，求点M的坐标；（3）点P是抛物线上的动点，连接PC，PE，将△PCE沿CE所在的直线对折，点P落在坐标平面内的点P′处．求当点P′恰好落在直线AD上时点P的横坐标．12．（2020•葫芦岛）如图，抛物线y＝ax2+x+c（a≠0）与x轴相交于点A（﹣1，0）和点B，与y轴相交于点C（0，3），作直线BC．（1）求抛物线的解析式；（2）在直线BC上方的抛物线上存在点D，使∠DCB＝2∠ABC，求点D的坐标；（3）在（2）的条件下，点F的坐标为（0，），点M在抛物线上，点N在直线BC上．当以D，F，M，N为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点N的坐标．13．（2020•呼伦贝尔）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0）和点B（4，0），与y轴交于点C，连接BC，点P是线段BC上的动点（与点B，C不重合），连接AP并延长AP交抛物线于点Q，连接CQ，BQ，设点Q的横坐标为m．（1）求抛物线的解析式和点C的坐标；（2）当△BCQ的面积等于2时，求m的值；（3）在点P运动过程中，是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．14．（2020•铁岭）如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点，对称轴与抛物线相交于点P、与BC相交于点E，与x轴交于点H，连接PB．（1）求该抛物线的解析式；（2）抛物线上存在一点G，使∠GBA+∠PBE＝45°，请求出点G的坐标；（3）抛物线上是否存在一点Q，使△QEB与△PEB的面积相等，若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由．15．（2020•沈阳）如图1，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，抛物线y＝x2+bx+c经过点B（6，0）和点C（0，﹣3）．（1）求抛物线的表达式；（2）如图2，线段OC绕原点O逆时针旋转30°得到线段OD．过点B作射线BD，点M是射线BD上一点（不与点B重合），点M关于x轴的对称点为点N，连接NM，NB．①直接写出△MBN的形状为；②设△MBN的面积为S1，△ODB的面积为是S2．当S1＝S2时，求点M的坐标；（3）如图3，在（2）的结论下，过点B作BE⊥BN，交NM的延长线于点E，线段BE 绕点B逆时针旋转，旋转角为α（0°＜α＜120°）得到线段BF，过点F作FK∥x轴，交射线BE于点K，∠KBF的角平分线和∠KFB的角平分线相交于点G，当BG＝2时，请直接写出点G的坐标为．16．（2020•大庆）如图，抛物线y＝ax2+bx+12与x轴交于A，B两点（B在A的右侧），且经过点C（﹣1，7）和点D（5，7）．（1）求抛物线的函数表达式；（2）连接AD，经过点B的直线l与线段AD交于点E，与抛物线交于另一点F．连接CA，CE，CD，△CED的面积与△CAD的面积之比为1：7，点P为直线l上方抛物线上的一个动点，设点P的横坐标为t．当t为何值时，△PFB的面积最大？并求出最大值；（3）在抛物线y＝ax2+bx+12上，当m≤x≤n时，y的取值范围是12≤y≤16，求m﹣n 的取值范围．（直接写出结果即可）17．（2020•镇江）如图①，直线l经过点（4，0）且平行于y轴，二次函数y＝ax2﹣2ax+c （a、c是常数，a＜0）的图象经过点M（﹣1，1），交直线l于点N，图象的顶点为D，它的对称轴与x轴交于点C，直线DM、DN分别与x轴相交于A、B两点．（1）当a＝﹣1时，求点N的坐标及的值；（2）随着a的变化，的值是否发生变化？请说明理由；（3）如图②，E是x轴上位于点B右侧的点，BC＝2BE，DE交抛物线于点F．若FB＝FE，求此时的二次函数表达式．18．（2020•眉山）如图1，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，已知点B坐标为（3，0），点C坐标为（0，3）．（1）求抛物线的表达式；（2）点P为直线BC上方抛物线上的一个动点，当△PBC的面积最大时，求点P的坐标；（3）如图2，点M为该抛物线的顶点，直线MD⊥x轴于点D，在直线MD上是否存在点N，使点N到直线MC的距离等于点N到点A的距离？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．19．（2020•河池）在平面直角坐标系xOy中，抛物线与x轴交于（p，0），（q，0），则该抛物线的解析式可以表示为：y＝a（x﹣p）（x﹣q）＝ax2﹣a（p+q）x+apq．（1）若a＝1，抛物线与x轴交于（1，0），（5，0），直接写出该抛物线的解析式和顶点坐标；（2）若a＝﹣1，如图（1），A（﹣1，0），B（3，0），点M（m，0）在线段AB上，抛物线C1与x轴交于A，M，顶点为C；抛物线C2与x轴交于B，M，顶点为D．当A，C，D三点在同一条直线上时，求m的值；（3）已知抛物线C3与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0），线段EF的端点E（0，3），F（4，3）．若抛物线C3与线段EF有公共点，结合图象，在图（2）中探究a的取值范围．20．（2020•雅安）已知二次函数y＝ax2+2x+c（a≠0）的图象与x轴的交于A、B（1，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣3），（1）求二次函数的表达式及A点坐标；（2）D是二次函数图象上位于第三象限内的点，求点D到直线AC的距离取得最大值时点D的坐标；（3）M是二次函数图象对称轴上的点，在二次函数图象上是否存在点N，使以M、N、B、O为顶点的四边形是平行四边形？若有，请写出点N的坐标（不写求解过程）．21．（2020•绵阳）如图，抛物线过点A（0，1）和C，顶点为D，直线AC与抛物线的对称轴BD的交点为B（，0），平行于y轴的直线EF与抛物线交于点E，与直线AC交于点F，点F的横坐标为，四边形BDEF为平行四边形．（1）求点F的坐标及抛物线的解析式；（2）若点P为抛物线上的动点，且在直线AC上方，当△PAB面积最大时，求点P的坐标及△PAB面积的最大值；（3）在抛物线的对称轴上取一点Q，同时在抛物线上取一点R，使以AC为一边且以A，C，Q，R为顶点的四边形为平行四边形，求点Q和点R的坐标．22．（2020•长春）在平面直角坐标系中，函数y＝x2﹣2ax﹣1（a为常数）的图象与y轴交于点A．（1）求点A的坐标．（2）当此函数图象经过点（1，2）时，求此函数的表达式，并写出函数值y随x的增大而增大时x的取值范围．（3）当x≤0时，若函数y＝x2﹣2ax﹣1（a为常数）的图象的最低点到直线y＝2a的距离为2，求a的值．（4）设a＜0，Rt△EFG三个顶点的坐标分别为E（﹣1，﹣1）、F（﹣1，a﹣1）、G（0，a﹣1）．当函数y＝x2﹣2ax﹣1（a为常数）的图象与△EFG的直角边有交点时，交点记为点P．过点P作y轴的垂线，与此函数图象的另一个交点为P′（P′与P不重合），过点A作y轴的垂线，与此函数图象的另一个交点为A′．若AA′＝2PP′，直接写出a的值．23．（2020•海南）抛物线y＝x2+bx+c经过点A（﹣3，0）和点B（2，0），与y轴交于点C．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）点P是该抛物线上的动点，且位于y轴的左侧．①如图1，过点P作PD⊥x轴于点D，作PE⊥y轴于点E，当PD＝2PE时，求PE的长；②如图2，该抛物线上是否存在点P，使得∠ACP＝∠OCB？若存在，请求出所有点P的坐标：若不存在，请说明理由．24．（2020•丹东）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A，B 两点，A点坐标为（﹣2，0），与y轴交于点C（0，4），直线y＝﹣x+m与抛物线交于B，D两点．（1）求抛物线的函数表达式．（2）求m的值和D点坐标．（3）点P是直线BD上方抛物线上的动点，过点P作x轴的垂线，垂足为H，交直线BD于点F，过点D作x轴的平行线，交PH于点N，当N是线段PF的三等分点时，求P点坐标．（4）如图2，Q是x轴上一点，其坐标为（﹣，0）．动点M从A出发，沿x轴正方向以每秒5个单位的速度运动，设M的运动时间为t（t＞0），连接AD，过M作MG⊥AD 于点G，以MG所在直线为对称轴，线段AQ经轴对称变换后的图形为A′Q′，点M在运动过程中，线段A′Q′的位置也随之变化，请直接写出运动过程中线段A′Q′与抛物线有公共点时t的取值范围．25．（2020•益阳）如图，在平面直角坐标系中，点F的坐标是（4，2），点P为一个动点，过点P作x轴的垂线PH，垂足为H，点P在运动过程中始终满足PF＝PH．【提示：平面直角坐标系内点M、N的坐标分别为（x1，y1）、（x2，y2），则MN2＝（x2﹣x1）2+（y2﹣y1）2】（1）判断点P在运动过程中是否经过点C（0，5）；（2）设动点P的坐标为（x，y），求y关于x的函数表达式；填写下表，并在给定坐标系中画出该函数的图象；x…02468…y……（3）点C关于x轴的对称点为C'，点P在直线C'F的下方时，求线段PF长度的取值范围．26．（2020•吉林）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+与x轴正半轴交于点A，且点A的坐标为（3，0），过点A作垂直于x轴的直线l．P是该抛物线上的任意一点，其横坐标为m，过点P作PQ⊥l于点Q，M是直线l上的一点，其纵坐标为﹣m+．以PQ，QM为边作矩形PQMN．（1）求b的值．（2）当点Q与点M重合时，求m的值．（3）当矩形PQMN是正方形，且抛物线的顶点在该正方形内部时，求m的值．（4）当抛物线在矩形PQMN内的部分所对应的函数值y随x的增大而减小时，直接写出m的取值范围．27．在平面直角坐标系xOy中，等腰直角△ABC的直角顶点C在y轴上，另两个顶点A，B 在x轴上，且AB＝4，抛物线经过A，B，C三点，如图1所示．（1）求抛物线所表示的二次函数表达式．（2）过原点任作直线l交抛物线于M，N两点，如图2所示．①求△CMN面积的最小值．②已知Q（1，﹣）是抛物线上一定点，问抛物线上是否存在点P，使得点P与点Q关于直线l对称，若存在，求出点P的坐标及直线l的一次函数表达式；若不存在，请说明理由．28．（2020•宿迁）二次函数y＝ax2+bx+3的图象与x轴交于A（2，0），B（6，0）两点，与y轴交于点C，顶点为E．．（1）求这个二次函数的表达式，并写出点E的坐标；（2）如图①，D是该二次函数图象的对称轴上一个动点，当BD的垂直平分线恰好经过点C时，求点D的坐标；（3）如图②，P是该二次函数图象上的一个动点，连接OP，取OP中点Q，连接QC，QE，CE，当△CEQ的面积为12时，求点P的坐标．29．（2020•黔南州）如图（1），在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+4（a≠0）与y轴交于点A，与x轴交于点C（﹣2，0），且经过点B（8，4），连接AB，BO，作AM⊥OB 于点M，将Rt△OMA沿y轴翻折，点M的对应点为点N．解答下列问题：（1）抛物线的解析式为，顶点坐标为；（2）判断点N是否在直线AC上，并说明理由；（3）如图（2），将图（1）中Rt△OMA沿着OB平移后，得到Rt△DEF．若DE边在线段OB上，点F在抛物线上，连接AF，求四边形AMEF的面积．30．（2020•鄂尔多斯）如图1，抛物线y＝x2+bx+c交x轴于A，B两点，其中点A的坐标为（1，0），与y轴交于点C（0，﹣3）．（1）求抛物线的函数解析式；（2）点D为y轴上一点，如果直线BD与直线BC的夹角为15°，求线段CD的长度；（3）如图2，连接AC，点P在抛物线上，且满足∠PAB＝2∠ACO，求点P的坐标．31．（2020•牡丹江）已知抛物线y＝a（x﹣2）2+c经过点A（﹣2，0）和点C（0，），与x轴交于另一点B，顶点为D．（1）求抛物线的解析式，并写出顶点D的坐标；（2）如图，点E，F分别在线段AB，BD上（点E不与点A，B重合），且∠DEF＝∠DAB，DE＝EF，直接写出线段BE的长．32．（2020•随州）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+1的对称轴为直线x＝，其图象与x轴交于点A和点B（4，0），与y轴交于点C．（1）直接写出抛物线的解析式和∠CAO的度数；（2）动点M，N同时从A点出发，点M以每秒3个单位的速度在线段AB上运动，点N 以每秒个单位的速度在线段AC上运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设运动的时间为t（t＞0）秒，连接MN，再将线段MN绕点M顺时针旋转90°，设点N落在点D的位置，若点D恰好落在抛物线上，求t的值及此时点D的坐标；（3）在（2）的条件下，设P为抛物线上一动点，Q为y轴上一动点，当以点C，P，Q 为顶点的三角形与△MDB相似时，请直接写出点P及其对应的点Q的坐标．（每写出一组正确的结果得1分，至多得4分）33．（2020•黄石）在平面直角坐标系中，抛物线y ＝﹣x 2+kx ﹣2k 的顶点为N ．（1）若此抛物线过点A （﹣3，1），求抛物线的解析式；（2）在（1）的条件下，若抛物线与y 轴交于点B ，连接AB ，C 为抛物线上一点，且位于线段AB 的上方，过C 作CD 垂直x 轴于点D ，CD 交AB 于点E ，若CE ＝ED ，求点C 坐标；（3）已知点M （2﹣，0），且无论k 取何值，抛物线都经过定点H ，当∠MHN ＝60°时，求抛物线的解析式．34．（2020•荆州）如图1，在平面直角坐标系中，A （﹣2，﹣1），B （3，﹣1），以O 为圆心，OA 的长为半径的半圆O 交AO 延长线于C ，连接AB ，BC ，过O 作ED ∥BC 分别交AB 和半圆O 于E ，D ，连接OB ，CD ．（1）求证：BC 是半圆O 的切线；（2）试判断四边形OBCD 的形状，并说明理由；（3）如图2，若抛物线经过点D 且顶点为E ．①求此抛物线的解析式；②点P 是此抛物线对称轴上的一个动点，以E ，D ，P 为顶点的三角形与△OAB 相似，问抛物线上是否存在一点Q ．使S △EPQ ＝S △OAB ？若存在，请直接写出Q 点的横坐标；若不存在，说明理由．35．（2020•娄底）如图，抛物线经过点A （﹣3，0）、B （1，0）、C （0，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）点P （m ，n ）是抛物线上的动点，当﹣3＜m ＜0时，试确定m 的值，使得△PAC 的面积最大；（3）抛物线上是否存在不同于点B 的点D ，满足DA 2﹣DC 2＝6，若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．36．（2020•郴州）如图1，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C．已知直线y＝kx+n过B，C两点．（1）求抛物线和直线BC的表达式；（2）点P是抛物线上的一个动点．①如图1，若点P在第一象限内，连接PA，交直线BC于点D．设△PDC的面积为S1，△ADC的面积为S2，求的最大值；②如图2，抛物线的对称轴l与x轴交于点E，过点E作EF⊥BC，垂足为F．点Q是对称轴l上的一个动点，是否存在以点E，F，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点P，Q的坐标；若不存在，请说明理由．37．（2020•鄂州）如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A、B两点（点A在点B左边），与y轴交于点C．直线y＝x﹣2经过B、C两点．（1）求抛物线的解析式；（2）点P是抛物线上的一动点，过点P且垂直于x轴的直线与直线BC及x轴分别交于点D、M．PN⊥BC，垂足为N．设M（m，0）．①点P在抛物线上运动，若P、D、M三点中恰有一点是其它两点所连线段的中点（三点重合除外）．请直接写出符合条件的m的值；②当点P在直线BC下方的抛物线上运动时，是否存在一点P，使△PNC与△AOC相似．若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．38．（2020•包头）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣2x经过坐标原点，与x轴正半轴交于点A，该抛物线的顶点为M，直线y＝﹣x+b经过点A，与y轴交于点B，连接OM．（1）求b的值及点M的坐标；（2）将直线AB向下平移，得到过点M的直线y＝mx+n，且与x轴负半轴交于点C，取点D（2，0），连接DM，求证：∠ADM﹣∠ACM＝45°；（3）点E是线段AB上一动点，点F是线段OA上一动点，连接EF，线段EF的延长线与线段OM交于点G．当∠BEF＝2∠BAO时，是否存在点E，使得3GF＝4EF？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．39．（2020•玉林）如图，已知抛物线：y1＝﹣x2﹣2x+3与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C．（1）直接写出点A，B，C的坐标；（2）将抛物线y1经过向右与向下平移，使得到的抛物线y2与x轴交于B，B'两点（B'在B的右侧），顶点D的对应点为点D'，若∠BD'B'＝90°，求点B'的坐标及抛物线y2的解析式；（3）在（2）的条件下，若点Q在x轴上，则在抛物线y1或y2上是否存在点P，使以B′，C，Q，P为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有符合条件的点P的坐标；如果不存在，请说明理由．40．（2020•恩施州）如图1，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点C（6，0），顶点为B，对称轴x ＝2与x轴相交于点A，D为线段BC的中点．（1）求抛物线的解析式；（2）P为线段BC上任意一点，M为x轴上一动点，连接MP，以点M为中心，将△MPC 逆时针旋转90°，记点P的对应点为E，点C的对应点为F．当直线EF与抛物线y＝﹣x2+bx+c只有一个交点时，求点M的坐标．（3）△MPC在（2）的旋转变换下，若PC＝（如图2）．①求证：EA＝ED．②当点E在（1）所求的抛物线上时，求线段CM的长．。

2020年九年级数学典型中考压轴题专练：二次函数（含答案）1、已知二次函数y=ax2﹣2ax+c（a＞0）的图象与x轴的负半轴和正半轴分别交于A、B两点，与y轴交于点C，它的顶点为P，直线CP与过点B且垂直于x轴的直线交于点D，且CP：PD=2：3（1）求A、B两点的坐标；（2）若tan∠PDB=，求这个二次函数的关系式．2、已知二次函数y=x2+bx+c的图象与y轴交于点C（0，﹣6），与x轴的一个交点坐标是A （﹣2，0）．（1）求二次函数的解析式，并写出顶点D的坐标；（2）将二次函数的图象沿x轴向左平移个单位长度，当 y＜0时，求x的取值范围．3、如图，已知抛物线y=﹣x2+mx+3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点B的坐标为（3，0）（1）求m的值及抛物线的顶点坐标．（2）点P是抛物线对称轴l上的一个动点，当PA+PC的值最小时，求点P的坐标．4、如图，抛物线y=ax2+bx﹣3（a≠0）的顶点为E，该抛物线与x轴交于A、B两点，与y 轴交于点C，且BO=OC=3AO，直线y=﹣x+1与y轴交于点D．（1）求抛物线的解析式；（2）证明：△DBO∽△EBC；（3）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PBC是等腰三角形？若存在，请直接写出符合条件的P点坐标，若不存在，请说明理由．5、课本中有一个例题：有一个窗户形状如图1，上部是一个半圆，下部是一个矩形，如果制作窗框的材料总长为6m，如何设计这个窗户，使透光面积最大？这个例题的答案是：当窗户半圆的半径约为0.35m时，透光面积最大值约为1.05m2．我们如果改变这个窗户的形状，上部改为由两个正方形组成的矩形，如图2，材料总长仍为6m，利用图3，解答下列问题：（1）若AB为1m，求此时窗户的透光面积？（2）与课本中的例题比较，改变窗户形状后，窗户透光面积的最大值有没有变大？请通过计算说明．6、正方形OABC的边长为4，对角线相交于点P，抛物线L经过O、P、A三点，点E是正方形内的抛物线上的动点．（1）建立适当的平面直角坐标系，①直接写出O、P、A三点坐标；②求抛物线L的解析式；（2）求△OAE与△OCE面积之和的最大值．7、如图，抛物线y=ax2+bx﹣5（a≠0）与x轴交于点A（﹣5，0）和点B（3，0），与y轴交于点C．（1）求该抛物线的解析式；（2）若点E为x轴下方抛物线上的一动点，当S△ABE=S△ABC时，求点E的坐标；（3）在（2）的条件下，抛物线上是否存在点P，使∠BAP=∠CAE？若存在，求出点P的横坐标；若不存在，请说明理由．8、如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，﹣3）三点，直线l是抛物线的对称轴．（1）求抛物线的函数关系式；（2）设点P是直线l上的一个动点，当点P到点A、点B的距离之和最短时，求点P的坐标；（3）点M也是直线l上的动点，且△MAC为等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点M 的坐标．9、如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+1经过点A（4，﹣3），顶点为点B，点P为抛物线上的一个动点，l是过点（0，2）且垂直于y轴的直线，过P作PH⊥l，垂足为H，连接PO．（1）求抛物线的解析式，并写出其顶点B的坐标；（2）①当P点运动到A点处时，计算：PO= ，PH= ，由此发现，PO PH（填“＞”、“＜”或“=”）；②当P点在抛物线上运动时，猜想PO与PH有什么数量关系，并证明你的猜想；（3）如图2，设点C（1，﹣2），问是否存在点P，使得以P，O，H为顶点的三角形与△ABC 相似？若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．10、如图，已知抛物线与x轴交于A（﹣1，0），B（4，0），与y轴交于C（0，﹣2）．（1）求抛物线的解析式；（2）H是C关于x轴的对称点，P是抛物线上的一点，当△PBH与△AOC相似时，求符合条件的P点的坐标（求出两点即可）；（3）过点C作CD∥AB，CD交抛物线于点D，点M是线段CD上的一动点，作直线MN与线段AC交于点N，与x轴交于点E，且∠BME=∠BDC，当CN的值最大时，求点E的坐标．11、如图，对称轴为直线x=2的抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C，且点A的坐标为（﹣1，0）（1）求抛物线的解析式；（2）直接写出B、C两点的坐标；（3）求过O，B，C三点的圆的面积．（结果用含π的代数式表示）注：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标为（﹣，）12、在平面直角坐标系中，平行四边形ABOC如图放置，点A、C的坐标分别是（0，4）、（﹣1，0），将此平行四边形绕点O顺时针旋转90°，得到平行四边形A′B′OC′．（1）若抛物线经过点C、A、A′，求此抛物线的解析式；（2）点M时第一象限内抛物线上的一动点，问：当点M在何处时，△AMA′的面积最大？最大面积是多少？并求出此时M的坐标；（3）若P为抛物线上一动点，N为x轴上的一动点，点Q坐标为（1，0），当P、N、B、Q 构成平行四边形时，求点P的坐标，当这个平行四边形为矩形时，求点N的坐标．13、在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+2过B（﹣2，6），C（2，2）两点．（1）试求抛物线的解析式；（2）记抛物线顶点为D，求△BCD的面积；（3）若直线y=﹣x向上平移b个单位所得的直线与抛物线段BDC（包括端点B、C）部分有两个交点，求b的取值范围．14、如图1（注：与图2完全相同），二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A（3，0），B （﹣1，0）两点，与y轴交于点C．（1）求该二次函数的解析式；（2）设该抛物线的顶点为D，求△ACD的面积（请在图1中探索）；（3）若点P，Q同时从A点出发，都以每秒1个单位长度的速度分别沿AB，AC边运动，其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，当P，Q运动到t秒时，△APQ沿PQ所在的直线翻折，点A恰好落在抛物线上E点处，请直接判定此时四边形APEQ的形状，并求出E点坐标（请在图2中探索）．15、如图，矩形的边OA在x轴上，边OC在y轴上，点B的坐标为（10，8），沿直线OD 折叠矩形，使点A正好落在BC上的E处，E点坐标为（6，8），抛物线y=ax2+bx+c经过O、A、E三点．（1）求此抛物线的解析式；（2）求A D的长；（3）点P是抛物线对称轴上的一动点，当△PAD的周长最小时，求点P的坐标．16、如图，抛物线L：y=ax2+bx+c与x轴交于A、B（3，0）两点（A在B的左侧），与y轴交于点C（0，3），已知对称轴x=1．（1）求抛物线L的解析式；（2）将抛物线L向下平移h个单位长度，使平移后所得抛物线的顶点落在△OBC内（包括△OBC的边界），求h的取值范围；（3）设点P是抛物线L上任一点，点Q在直线l：x=﹣3上，△PBQ能否成为以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若能，求出符合条件的点P的坐标；若不能，请说明理由．参考答案:1、解：（1）过点P作PE⊥x轴于点E，∵y=ax2﹣2ax+c，∴该二次函数的对称轴为：x=1，∴OE=1∵OC∥BD，∴CP：PD=OE：EB，∴OE：EB=2：3，∴EB=，∴OB=OE+EB=，∴B（，0）∵A与B关于直线x=1对称，∴A（﹣，0）；（2）过点C作CF⊥BD于点F，交PE于点G，令x=1代入y=ax2﹣2ax+c，∴y=c﹣a，令x=0代入y=ax2﹣2ax+c，∴y=c∴PG=a，∵CF=OB=，∴tan∠PDB=，∴FD=2，∵PG∥BD∴△CPG∽△CDF，∴==∴PG=，∴a=，∴y=x2﹣x+c，把A（﹣，0）代入y=x2﹣x+c，[来源:学科网]∴解得：c=﹣1，∴该二次函数解析式为：y=x2﹣x﹣1．2、解：（1）∵把C（0，﹣6）代入抛物线的解析式得：C=﹣6，把A（﹣2，0）代入y=x2+bx ﹣6得：b=﹣1，∴抛物线的解析式为y=x2﹣x﹣6．∴y=（x﹣）2﹣．∴抛物线的顶点坐标D（，﹣）．（2）二次函数的图形沿x轴向左平移个单位长度得：y=（x+2）2﹣．令y=0得：（x+2）2﹣=0，解得：x1=，x2=﹣．∵a＞0，∴当y＜0时，x的取值范围是﹣＜x＜．3、解：（1）把点B的坐标为（3，0）代入抛物线y=﹣x2+mx+3得：0=﹣32+3m+3，解得：m=2，∴y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，∴顶点坐标为：（1，4）．（2）连接BC交抛物线对称轴l于点P，则此时PA+PC的值最小，设直线BC的解析式为：y=kx+b，∵点C（0，3），点B（3，0），∴，解得：，∴直线BC的解析式为：y=﹣x+3，当x=1时，y=﹣1+3=2，∴当PA+PC的值最小时，求点P的坐标为：（1，2）．4、解：（1）∵抛物线y=ax2+bx﹣3，∴c=﹣3，∴C（0，﹣3），∴OC=3，∵BO=OC=3AO，∴BO=3，AO=1，∴B（3，0），A（﹣1，0），∵该抛物线与x轴交于A、B两点，∴，∴，∴抛物线解析式为y=x2﹣2x﹣3，（2）由（1）知，抛物线解析式为y=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4，∴E（1，﹣4），∵B（3，0），A（﹣1，0），C（0，﹣3），∴BC=3，BE=2，CE=，∵直线y=﹣x+1与y轴交于点D，∴D（0，1），∵B（3，0），∴OD=1，OB=3，BD=，∴，，，∴，∴△BCE∽△BDO，（3）存在，理由：设P（1，m），∵B（3，0），C（0，﹣3），∴BC=3，PB=，PC=，∵△PBC是等腰三角形，①当PB=PC时，∴=，∴m=﹣1，∴P（1，﹣1），②当PB=BC时，∴3=，∴m=±，∴P（1，）或P（1，﹣），③当PC=BC时，∴3=，∴m=﹣3±，∴P（1，﹣3+）或P（1，﹣3﹣），∴符合条件的P点坐标为P（1，﹣1）或P（1，）或P（1，﹣）或P（1，﹣3+）或P（1，﹣3﹣）5、解：（1）由已知可得：AD=，则S=1×m2，（2）设AB=xm，则AD=3﹣m，∵，∴，设窗户面积为S，由已知得：，当x=m时，且x=m在的范围内，，∴与课本中的例题比较，现在窗户透光面积的最大值变大．6、解：（1）以O点为原点，线段OA所在的直线为x轴，线段OC所在的直线为y轴建立直角坐标系，如图所示．①∵正方形OABC的边长为4，对角线相交于点P，∴点O的坐标为（0，0），点A的坐标为（4，0），点P的坐标为（2，2）．②设抛物线L的解析式为y=ax2+bx+c，∵抛物线L经过O、P、A三点，∴有，解得：，∴抛物线L的解析式为y=﹣+2x．（2）∵点E是正方形内的抛物线上的动点，∴设点E的坐标为（m，﹣+2m）（0＜m＜4），∴S△OAE+S OCE=OA•y E+OC•x E=﹣m2+4m+2m=﹣（m﹣3）2+9，∴当m=3时，△OAE与△OCE面积之和最大，最大值为9．7、解：（1）把A、B两点坐标代入解析式可得，解得，∴抛物线解析式为y=x2+x﹣5；（2）在y=x2+x﹣5中，令x=0可得y=﹣5，∴C（0，﹣5），∵S△ABE=S△ABC，且E点在x轴下方，∴E点纵坐标和C点纵坐标相同，当y=﹣5时，代入可得x2+x=﹣5，解得x=﹣2或x=0（舍去），[来源:学科网] ∴E点坐标为（﹣2，﹣5）；（3）假设存在满足条件的P点，其坐标为（m， m2+m﹣5），如图，连接AP、CE、AE，过E作ED⊥AC于点D，过P作PQ⊥x轴于点Q，则AQ=AO+OQ=5+m，PQ=|m2+m﹣5|，在Rt△AOC中，OA=OC=5，则AC=5，∠ACO=∠DCE=45°，由（2）可得EC=2，在Rt△EDC中，可得DE=DC=，∴AD=AC﹣DC=5﹣=4，当∠BAP=∠CAE时，则△EDA∽△PQA，∴=，即=，∴m2+m﹣5=（5+m）或m2+m﹣5=﹣（5+m），当m2+m﹣5=（5+m）时，整理可得4m2﹣5m﹣75=0，解得m=或m=﹣5（与A点重合，舍去），当m2+m﹣5=﹣（5+m）时，整理可得4m2+11m﹣45=0，解得m=或m=﹣5（与A点重合，舍去），8、解：（1）将A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，﹣3）代入抛物线y=ax2+bx+c中，得：，解得：故抛物线的解析式：y=x2﹣2x﹣3．（2）当P点在x轴上，P，A，B三点在一条直线上时，点P到点A、点B的距离之和最短，此时x=﹣=1，故P（1，0）；（3）如图所示：抛物线的对称轴为：x=﹣=1，设M（1，m），已知A（﹣1，0）、C（0，﹣3），则：MA2=m2+4，MC2=（3+m）2+1=m2+6m+10，AC2=10；①若MA=MC，则MA2=MC2，得：m2+4=m2+6m+10，解得：m=﹣1，②若MA=AC，则MA2=AC2，得：m2+4=10，得：m=±；③若MC=AC，则MC2=AC2，得：m2+6m+10=10，得：m1=0，m2=﹣6；当m=﹣6时，M、A、C三点共线，构不成三角形，不合题意，故舍去；综上可知，符合条件的M点，且坐标为 M（1，）（1，﹣）（1，﹣1）（1，0）．9、（1）解：∵抛物线y=ax2+1经过点A（4，﹣3），∴﹣3=16a+1，∴a=﹣，[来源:学,科,网Z,X,X,K]∴抛物线解析式为y=﹣x2+1，顶点B（0，1）．（2）①当P点运动到A点处时，∵PO=5，PH=5，∴PO=PH，故答案分别为5，5，=．②结论：PO=PH．理由：设点P坐标（m，﹣ m2+1），∵PH=2﹣（﹣m2+1）=m2+1PO==m2+1，∴PO=PH．（3）∵BC==，AC==，AB==4∴BC=AC，∵PO=PH，又∵以P，O，H为顶点的三角形与△ABC相似，∴PH与BC，PO与AC是对应边，∴=，设点P（m，﹣ m2+1），∴=，解得m=±1，∴点P坐标（1，）或（﹣1，）．10、解：（1）∵抛物线与x轴交于A（﹣1，0），B（4，0），∴设抛物线的解析式为：y=a（x+1）（x﹣4），把（0，﹣2）代入y=a（x+1）（x﹣4），∴a=，∴抛物线的解析式为：y=x2﹣x﹣2；（2）当△PBH与△AOC相似时，∴△AOC是直角三角形，∴△PBH也是直角三角形，由题意知：H（0，2），∴OH=2，∵A（﹣1，0），B（4，0），∴OA=1，OB=4，∴∵∠AOH=∠BOH，∴△AOH∽△BOH，∴∠AHO=∠HBO，∴∠AHO+∠BHO=∠HBO+∠BHO=90°，∴∠AHB=90°，设直线AH的解析式为：y=kx+b，把A（﹣1，0）和H（0，2）代入y=kx+b，∴，∴解得，∴直线AH的解析式为：y=2x+2，联立，解得：x=1或x=﹣8，当x=﹣1时，y=0，当x=8时，y=18∴P的坐标为（﹣1，0）或（8，18）（3）过点M作MF⊥x轴于点F，设点E的坐标为（n，0），M的坐标为（m，0），∵∠BME=∠BDC，∴∠EMC+∠BME=∠BDC+∠MBD，∴∠EMC=∠MBD，∵CD∥x轴，∴D的纵坐标为﹣2，令y=﹣2代入y=x2﹣x﹣2，∴x=0或x=3，∴D（3，﹣2），∵B（4，0），∴由勾股定理可求得：BD=，∵M（m，0），∴MD=3﹣m，CM=m（0≤m≤3）∴由抛物线的对称性可知：∠NCM=∠BDC，∴△NCM∽△MDB，∴，∴，∴CN==﹣（m﹣）2+，∴当m=时，CN可取得最大值，∴此时M的坐标为（，﹣2），∴MF=2，BF=，MD=∴由勾股定理可求得：MB=，∵E（n，0），∴EB=4﹣n，∵CD∥x轴，∴∠NMC=∠BEM，∠EBM=∠BMD，∴△EMB∽△BDM，∴，∴MB2=MD•EB，∴=×（4﹣n），∴n=﹣，∴E的坐标为（﹣，0）．11、解：（1）由A（﹣1，0），对称轴为x=2，可得，解得，∴抛物线解析式为y=x2﹣4x﹣5；（2）由A点坐标为（﹣1，0），且对称轴方程为x=2，可知AB=6，∴OB=5，∴B点坐标为（5，0），∵y=x2﹣4x﹣5，∴C点坐标为（0，﹣5）；（3）如图，连接BC，则△OBC是直角三角形，∴过O、B、C三点的圆的直径是线段BC的长度，在Rt△OBC中，OB=OC=5，∴BC=5，∴圆的半径为，∴圆的面积为π（）2=π．12、解：（1）∵平行四边形ABOC绕点O顺时针旋转90°，得到平行四边形A′B′OC′，且点A的坐标是（0，4），∴点A′的坐标为：（4，0），∵点A、C的坐标分别是（0，4）、（﹣1，0），抛物线经过点C、A、A′，设抛物线的解析式为：y=ax2+bx+c，∴，解得：，∴此抛物线的解析式为：y=﹣x2+3x+4；（2）连接AA′，设直线AA′的解析式为：y=kx+b，∴，解得：，∴直线AA′的解析式为：y=﹣x+4，设点M的坐标为：（x，﹣x2+3x+4），则S△AMA′=×4×[﹣x2+3x+4﹣（﹣x+4）]=﹣2x2+8x=﹣2（x﹣2）2+8，∴当x=2时，△AMA′的面积最大，最大值S△AMA′=8，∴M的坐标为：（2，6）；（3）设点P的坐标为（x，﹣x2+3x+4），当P，N，B，Q构成平行四边形时，∵平行四边形ABOC中，点A、C的坐标分别是（0，4）、（﹣1，0），∴点B的坐标为（1，4），∵点Q坐标为（1，0），P为抛物线上一动点，N为x轴上的一动点，①当BQ为边时，PN∥BQ，PN=BQ，∵BQ=4，∴﹣x2+3x+4=±4，当﹣x2+3x+4=4时，解得：x1=0，x2=3，∴P1（0，4），P2（3，4）；当﹣x2+3x+4=﹣4时，解得：x3=，x2=，∴P3（，﹣4），P4（，﹣4）；②当PQ为对角线时，BP∥QN，BP=QN，此时P与P1，P2重合；综上可得：点P的坐标为：P1（0，4），P2（3，4），P3（，﹣4），P4（，﹣4）；如图2，当这个平行四边形为矩形时，点N的坐标为：（0，0）或（3，0）．13、解：（1）由题意解得，∴抛物线解析式为y=x2﹣x+2．（2）∵y=x2﹣x+2=（x﹣1）2+．∴顶点坐标（1，），∵直线BC为y=﹣x+4，∴对称轴与BC的交点H（1，3），∴S△BDC=S△BDH+S△DHC=•3+•1=3．（3）由消去y得到x2﹣x+4﹣2b=0，当△=0时，直线与抛物线相切，1﹣4（4﹣2b）=0，∴b=，当直线y=﹣x+b经过点C时，b=3，当直线y=﹣x+b经过点B时，b=5，∵直线y=﹣x向上平移b个单位所得的直线与抛物线段BDC（包括端点B、C）部分有两个交点，∴＜b≤3．[来源:学科网ZXXK]14、解：（1）∵二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A（3，0），B（﹣1，0），∴，解得：，∴y=x2﹣x﹣4；（2）过点D作DM⊥y轴于点M，∵y=x2﹣x﹣4=（x﹣1）2﹣，∴点D（1，﹣）、点C（0，﹣4），则S△ACD=S梯形AOMD﹣S△CDM﹣S△AOC=×（1+3）×﹣×（﹣4）×1﹣×3×4=4；（3）四边形APEQ为菱形，E点坐标为（﹣，﹣）．理由如下如图2，E点关于PQ与A点对称，过点Q作，QF⊥AP于F，∵AP=AQ=t，AP=EP，AQ=EQ∴AP=AQ=QE=EP，∴四边形AQEP为菱形，∵FQ∥OC，∴==，∴==∴AF=t，FQ=t•∴Q（3﹣t，﹣t），∵EQ=AP=t，∴E（3﹣t﹣t，﹣t），∵E在二次函数y=x2﹣x﹣4上，∴﹣t=（3﹣t）2﹣（3﹣t）﹣4，∴t=，或t=0（与A重合，舍去），∴E（﹣，﹣）．15、解：（1）∵四边形ABCD是矩形，B（10，8），∴A（10，0），又抛物线经过A、E、O三点，把点的坐标代入抛物线解析式可得，解得，∴抛物线的解析式为y=﹣x2+x；（2）由题意可知：AD=DE，BE=10﹣6=4，AB=8，设AD=x，则ED=x，BD=AB﹣AD=8﹣x，在Rt△BDE中，由勾股定理可知ED2=EB2+BD2，即x2=42+（8﹣x）2，解得x=5，∴AD=5；（3）∵y=﹣x2+x，∴其对称轴为x=5，∵A、O两点关于对称轴对称，∴PA=PO，当P、O、D三点在一条直线上时，PA+PD=PO+PD=OD，此时△PAD的周长最小，如图，连接OD交对称轴于点P，则该点即为满足条件的点P，由（2）可知D点的坐标为（10，5），设直线OD解析式为y=kx，把D点坐标代入可得5=10k，解得k=，∴直线OD解析式为y=x，令x=5，可得y=，∴P点坐标为（5，）．16、解：（1）∵抛物线的对称轴x=1，B（3，0），∴A（﹣1，0）∵抛物线y=ax2+bx+c过点C（0，3）∴当x=0时，c=3．又∵抛物线y=ax2+bx+c过点A（﹣1，0），B（3，0）∴，∴∴抛物线的解析式为：y=﹣x2+2x+3；（2）∵C（0，3），B（3，0），∴直线BC解析式为y=﹣x+3，∵y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，∴顶点坐标为（1，4）∵对于直线BC：y=﹣x+1，当x=1时，y=2；将抛物线L向下平移h个单位长度，[来源:学*科*网]∴当h=2时，抛物线顶点落在BC上；当h=4时，抛物线顶点落在OB上，∴将抛物线L向下平移h个单位长度，使平移后所得抛物线的顶点落在△OBC内（包括△OBC 的边界），则2≤h≤4；（3）设P（m，﹣m2+2m+3），Q（﹣3，n），①当P点在x轴上方时，过P点作PM垂直于y轴，交y轴与M点，过B点作BN垂直于MP 的延长线于N点，如图所示：∵B（3，0），∵△PBQ是以点P为直角顶点的等腰直角三角形，∴∠BPQ=90°，BP=PQ，则∠PMQ=∠BNP=90°，∠MPQ=∠NBP，在△PQM和△BPN中，，∴△PQM≌△BPN（AAS），∴PM=BN，∵PM=BN=﹣m2+2m+3，根据B点坐标可得PN=3﹣m，且PM+PN=6，∴﹣m2+2m+3+3﹣m=6，解得：m=1或m=0，∴P（1，4）或P（0，3）．②当P点在x轴下方时，过P点作PM垂直于l于M点，过B点作BN垂直于MP的延长线与N点，同理可得△PQM≌△BPN，∴PM=BN，∴PM=6﹣（3﹣m）=3+m，BN=m2﹣2m﹣3，则3+m=m2﹣2m﹣3，解得m=或．∴P（，）或（，）．综上可得，符合条件的点P的坐标是（1，4），（0，3），（，）和（，）．。

第 1 页 共 16 页2020年中考数学复习专题训练——二次函数的图像与性质考点1：二次函数的顶点、对称轴、增减性1.关于二次函数y=2x 2+4x-1，下列说法正确的是( )A.图像与y 轴的交点坐标为（0，1）B.图像的对称轴在y 轴的右侧C.当时，x<0的值随y 值的增大而减小D.y 的最小值为-32.如图，函数y=ax 2-2x+1和y=ax-a （a 是常数，且a≠0）在同一平面直角坐标系的图象可能是( )3.已知二次函数y=ax 2+bx+c 的y 与x 的部分对应值如下表：下列结论：①抛物线的开口向下;②其图象的对称轴为x=1;③当x<1时,函数值y 随x 的增大而增大;④方程ax 2+bx+c=0有一个根大于4,其中正确的结论有( )A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个4.已知二次函数y=-(x-h)2（h 为常数），当自变量x 的值满足2≤x≤5时，与其对应的函数值y 的最大值为-1，则h 的值为( )A.3或6B.1或6C.1或3D.4或65.当a≤x≤a+1时，函数y=x2-2x+1的最小值为1，则a的值为（）A.-1B.2C.0或2D.-1或26.对于抛物线y=ax2+(2a-1)x+a-3，当x=1时，y，则这条抛物线的顶点一定在（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限考点2：抛物线特征和a,b,c的关系1.已知二次函数图形如图所示，下列结论：①abc；②；③；④点(-3,y1),(1,y2) 都在抛物线上，则有y1y2. 其中正确的结论有( )A.4个B.3个C.2个D.1个2.如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分,且过点A(3,0),二次函数图象的对称轴是直线x=1,下列结论正确的是( )A.b2<4acB.ac>0C.2a−b=0D.a−b+c=0第 2 页共16 页第 3 页 共 16 页3.如图，二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与x 轴交于点A （-1，0），B （3，0），下列结论： ① 2a-b=0； ② ； ③当-1 时，y 0； ④当a=1，将抛物线先向上平移2个单位，再向右平移1个单位，得到抛物线y= -2，其中正确的是( )A. ①③B. ②③C. ②④D. ③④4.抛物线y=ax 2+bx+c （a≠0）图象如图所示，下列结论错误的是（ ）A ．abc ＜0B ．a+c ＜bC ．b 2+8a ＞4acD ．2a+b ＞0考点3：抛物线的平移、旋转、轴对称1.把抛物线y=2x 2-4x+3向左平移1个单位长度，得到的抛物线的解析式为_____.2.将抛物线y=-5x 2+1向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得到的抛物线为( )A.y=-5(x+1)2-1B.y=-5(x-1)2-1C.y=-5(x+1)2+3D.y=-5(x-1)2+33.已知抛物线y=-x 2+2x+3与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），将这条抛物线向右平移a(a>0)个单位长度，平移后的抛物线与x轴交于C，D两点（点C在点D的左侧），若B，C是线段AD的三等分点，则点C的坐标为_____.4.抛物线y=（x﹣2）2﹣1可以由抛物线y=x2平移而得到，下列平移正确的是（）A．先向左平移2个单位长度，然后向上平移1个单位长度B．先向左平移2个单位长度，然后向下平移1个单位长度C．先向右平移2个单位长度，然后向上平移1个单位长度D．先向右平移2个单位长度，然后向下平移1个单位长度5.若抛物线y=x2+ax+b与x轴两个交点间的距离为2,称此抛物线为定弦抛物线,已知某定弦抛物线的对称轴为直线x=1,将此抛物线向左平移2个单位,再向下平移3个单位,得到的抛物线过点( )A.(-3,-6)B.(-3,0)C.(-3,-5)D.(-3,-1)考点4：二次函数与方程、不等式的关系1.二次函数y=x2+2x−m的图象与x轴有且只有1个交点，则m的值为___.2.已知抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0)经过点(-1,0),(0,3),其对称轴在y轴右侧,有下列结论:①抛物线经过点(1,0);②方程ax2+bx+c=2有两个不相等的实数根;③-3<a+b<3.其中,正确结论的个数为( )A.0B.1C.2D.33.如图，若二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象的对称轴为x=1，与y轴交于点C，与x轴交于点A、点B(﹣1，0)，则第 4 页共16 页第 5 页 共 16 页①二次函数的最大值为a+b+c ；②a ﹣b+c ＜0；③b 2﹣4ac ＜0；④当y ＞0时，﹣1＜x ＜3．其中正确的个数是( )A ． 1B ． 2C ． 3D ． 44.二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0）的大致图象如图所示，顶点坐标为（-2，-9a ），下列结论：①4a+2b+c ＞0；②5a-b+c=0；③若方程a(x+5)(x-1)=-1有两个根x 1和x 2，且x 1＜x 2，则-5＜x 1＜x 2＜1；④若方程|ax 2+bx+c|=1有四个根，则这四个根的和为-4．其中正确的结论有（ ）A.1个B.2个C.3个D.4个5.已知二次函数y=x 2-x+41m-1的图象与x 轴有交点，则m 的取值范围是（ ） A.m≤5 B.m≥2 C.m ＜5 D.m ＞2二次函数的综合应用考点1：线段、周长问题1.在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线的顶点坐标为（2，0），且经过点（4，1），如图，直线y=x与抛物线交于A、B两点，直线l为y=﹣1．（1）求抛物线的解析式；（2）在l上是否存在一点P，使PA+PB取得最小值？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．第 6 页共16 页2. 如图，抛物线y=ax2+bx+c经过A（﹣1，0），B（4，0），C（0，3）三点，D为直线BC上方抛物线上一动点，DE⊥BC于E．（1）求抛物线的函数表达式；（2）如图1，求线段DE长度的最大值；第7 页共16 页3．如图1，抛物线y＝﹣x2+bx+c交x轴于点A（，0）和点B，交y轴于点C（0，4），一次函数y＝kx+m 的图象经过点B，C，点P是抛物线上第二象限内一点．（1）求二次函数和一次函数的表达式；（2）过点P作x轴的平行线交BC于点D，作BC的垂线PM交BC于点M，设点P的横坐标为t，△PDM 的周长为l．①求l关于t的函数表达式；②求△PDM的周长的最大值时点P的横坐标；第8 页共16 页考点2：图形面积问题1. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+c交x轴于点A（﹣4，0）、B（2，0），交y轴于点C（0，6），在y轴上有一点E（0，﹣2），连接AE．（1）求二次函数的表达式；（2）若点D为抛物线在x轴负半轴上方的一个动点，求△ADE面积的最大值；第9 页共16 页2.如图，抛物线y=a(x-1)(x-3)（a>0）与x轴交于A、B两点，抛物线上另有一点C在x轴下方，且使△OCA∽△OBC．（1）求线段OC的长度；（2）设直线BC与y轴交于点M，点C是BM的中点时，求直线BM和抛物线的解析式；（3）在（2）的条件下，直线BC下方抛物线上是否存在一点P，使得四边形ABPC面积最大？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．第10 页共16 页考点3：特殊三角形的存在性问题1.如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+c交x轴于点A（﹣4，0）、B（2，0），交y轴于点C（0，6），在y轴上有一点E（0，﹣2），连接AE．（1）求二次函数的表达式；（2）抛物线对称轴上是否存在点P，使△AEP为等腰三角形？若存在，请直接写出所有P点的坐标，若不存在请说明理由．第11 页共16 页2. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+2x+c与x轴交于A（﹣1，0）B（3，0）两点，与y轴交于点C，点D是该抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式和直线AC的解析式；（2）试探究：在拋物线上是否存在点P，使以点A，P，C为顶点，AC为直角边的三角形是直角三角形？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．第12 页共16 页考点4：特殊四边形的存在性问题1.如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点A（3，0），B（﹣1，0），C（0，﹣3）．（1）求该抛物线的解析式；（2）若点Q在x轴上，点P在抛物线上，是否存在以点B，C，Q，P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由第13 页共16 页2. 如图1所示，直线y=x+c与x轴交于点A(-4，0)，与y轴交于点C，抛物线y=-x2+bx+c经过点A，C.(1)求抛物线的解析式；()如图2所示，M是线段OA上一个动点，过点M垂直于x轴的直线与直线AC和抛物线分别交于点P、N.②若点P恰好是线段MN的中点，点F是直线AC上一动点，在坐标平面内是否存在点D，使以点D，F，P，M为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点D坐标，若不存在请说明理由.第14 页共16 页3.如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线y=a-2ax-3a与x轴交于A，B两点（点A在点B 的左侧），经过点A的直线y=kx+b与y轴负半轴交于点C，与抛物线的另一个交点为D，且CD =4AC.⑴求A、B两点的坐标及抛物线的对称轴。

2020中考总复习-二次函数与几何综合1．在平面直角坐标系中，抛物线y =﹣12x 2+bx +c 与x 轴交于点A ，B ，与y 轴交于点C ，直线y =x +4经过A ，C 两点．（1）求抛物线的解析式；（2）在AC 上方的抛物线上有一动点P ．①如图1，当点P 运动到某位置时，以AP ，AO 为邻边的平行四边形第四个顶点恰好也在抛物线上，求出此时点P 的坐标；②如图2，过点O ，P 的直线y =kx 交AC 于点E ，若PE ：OE =3：8，求k 的值．2．如图在平面直角坐标系中顶点为点M 的抛物线是由抛物线23y x =-向右平移1个单位得到的，它与y 轴负半轴交于点A ，点B 在抛物线上，且横坐标为3．()1写出以M 为顶点的抛物线解析式．()2连接AB ，AM ，BM ，求tan ABM ∠；()3点P 是顶点为M 的抛物线上一点，且位于对称轴的右侧，设PO 与x 正半轴的夹角为α，当ABM α=∠时，求点P 坐标．3．如图，直线y ＝﹣x +3与x 轴、y 轴分别交于B 、C 两点，经过B 、C 两点的抛物线y ＝x 2+bx +c 与x 轴的另一个交点为A ，顶点为P ．（1）求该抛物线的解析式；（2）当0＜x ＜3时，在抛物线上求一点E ，使△CBE 的面积有最大值；（3）在该抛物线的对称轴上是否存在点M ，使以C 、P 、M 为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，请写出所符合条件的点M 的坐标；若不存在，请说明理由．4．如图，二次函数23y x x m =-++的图象与x 轴的一个交点为()4,0B ，另一个交点为A ，且与y 轴相交于C 点()1求m 的值及C 点坐标；()2在直线BC 上方的抛物线上是否存在一点M ，使得它与B ，C 两点构成的三角形面积最大，若存在，求出此时M 点坐标；若不存在，请简要说明理由()3P 为抛物线上一点，它关于直线BC 的对称点为Q①当四边形PBQC 为菱形时，求点P 的坐标；②点P 的横坐标为(04)t t <<，当t 为何值时，四边形PBQC 的面积最大，请说明理由．5．已知抛物线y =mx 2+2mx +m -1和直线y =mx +m -1，且m ≠0．（1）求抛物线的顶点坐标；（2）试说明抛物线与直线有两个交点；（3）已知点T （t ，0），且-1≤t ≤1，过点T 作x 轴的垂线，与抛物线交于点P ，与直线交于点Q ，当0＜m ≤3时，求线段PQ 长的最大值．6．如图，在平面直角坐标系xOy 中，以直线52x =为对称轴的抛物线2y ax bx c =++与直线():0l y kx m k =+>交于()1,1A ，B 两点，与y 轴交于()0,5C ，直线l 与y 轴交于点D . （1）求抛物线的函数表达式；（2）设直线l 与抛物线的对称轴的交点为F ，G 是抛物线上位于对称轴右侧的一点，若34AF FB =，且BCG ∆与BCD ∆的面积相等，求点G 的坐标；（3）若在x 轴上有且只有一点P ，使90APB ∠=︒，求k 的值.7．在平面直角坐标系中，直线2y x =+与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，抛物线()20y ax bx c a =++<经过点A 、B ．(1)求a 、b 满足的关系式及c 的值．(2)当0x <时，若()20y ax bx c a =++<的函数值随x 的增大而增大，求a 的取值范围． (3)如图，当1a =-时，在抛物线上是否存在点P ，使PAB ∆的面积为1？若存在，请求出符合条件的所有点P 的坐标；若不存在，请说明理由．8．如图，已知抛物线y =13x 2+bx +c 经过△ABC 的三个顶点，其中点A （0，1），点B （﹣9，10），AC ∥x 轴，点P 是直线AC 下方抛物线上的动点．（1）求抛物线的解析式；（2）过点P 且与y 轴平行的直线l 与直线AB 、AC 分别交于点E 、F ，当四边形AECP 的面积最大时，求点P 的坐标；（3）当点P 为抛物线的顶点时，在直线AC 上是否存在点Q ，使得以C 、P 、Q 为顶点的三角形与△ABC 相似，若存在，求出点Q 的坐标，若不存在，请说明理由．9．如图，抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于点(1,0)A -，点(3,0)B ，与y 轴交于点C ，且过点(2,3)D -．点P 、Q 是抛物线2y ax bx c =++上的动点．(1)求抛物线的解析式；(2)当点P 在直线OD 下方时，求POD ∆面积的最大值．(3)直线OQ 与线段BC 相交于点E ，当OBE ∆与ABC ∆相似时，求点Q 的坐标．10．如图，已知抛物线经过点A （﹣1，0），B （4，0），C （0，2）三点，点D 与点C 关于x 轴对称，点P 是x 轴上的一个动点，设点P 的坐标为（m ，0），过点P 做x 轴的垂线l 交抛物线于点Q ，交直线BD 于点M ．（1）求该抛物线所表示的二次函数的表达式；（2）已知点F （0，12），当点P 在x 轴上运动时，试求m 为何值时，四边形DMQF 是平行四边形？ （3）点P 在线段AB 运动过程中，是否存在点Q ，使得以点B 、Q 、M 为顶点的三角形与△BOD 相似？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．11．如图，抛物线2y ax bx 2=+-的对称轴是直线x 1=，与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，点A 的坐标为()2,0-，点P 为抛物线上的一个动点，过点P 作PD x ⊥轴于点D ，交直线BC 于点E ．()1求抛物线解析式；()2若点P 在第一象限内，当OD 4PE =时，求四边形POBE 的面积；()3在()2的条件下，若点M 为直线BC 上一点，点N 为平面直角坐标系内一点，是否存在这样的点M 和点N ，使得以点B ，D ，M ，N 为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．12．如图1，已知抛物线y =﹣x 2+bx +c 与x 轴交于A （﹣1，0），B （3，0）两点，与y 轴交于C 点，点P 是抛物线上在第一象限内的一个动点，且点P 的横坐标为t ．（1）求抛物线的表达式；（2）设抛物线的对称轴为l，l与x轴的交点为D．在直线l上是否存在点M，使得四边形CDPM是平行四边形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．（3）如图2，连接BC，PB，PC，设△PBC的面积为S．①求S关于t的函数表达式；②求P点到直线BC的距离的最大值，并求出此时点P的坐标．13．如图，一次函数1y=x+22分别交y轴、x轴于A、B两点，抛物线y=﹣x2+bx+c过A、B两点．（1）求这个抛物线的解析式；（2）作垂直x轴的直线x=t，在第一象限交直线AB于M，交这个抛物线于N．求当t取何值时，MN有最大值？最大值是多少？（3）在（2）的情况下，以A、M、N、D为顶点作平行四边形，求第四个顶点D的坐标．14．如图，抛物线y＝ax2+bx﹣1(a≠0)交x轴于A，B(1，0)两点，交y轴于点C，一次函数y＝x+3的图象交坐标轴于A，D两点，E为直线AD上一点，作EF⊥x轴，交抛物线于点F(1)求抛物线的解析式；(2)若点F位于直线AD的下方，请问线段EF是否有最大值？若有，求出最大值并求出点E的坐标；若没有，请说明理由；(3)在平面直角坐标系内存在点G，使得G，E，D，C为顶点的四边形为菱形，请直接写出点G的坐标．15．在平面直角坐标系中，O为原点，抛物线2(0)y ax x a=≠经过点3)A-，对称轴为直线l，点O关于直线l的对称点为点B.过点A作直线//AC x轴，交y轴于点C.（Ⅰ）求该抛物线的解析式及对称轴；（Ⅱ）点P在y轴上，当PA PB+的值最小时，求点P的坐标；（Ⅲ）抛物线上是否存在点Q，使得13AOC AOQS S∆∆=，若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.16．如图1，抛物线的顶点A 的坐标为（1，4），抛物线与x 轴相交于B 、C 两点，与y 轴交于点E （0，3）．（1）求抛物线的表达式；（2）已知点F （0，﹣3），在抛物线的对称轴上是否存在一点G ，使得EG +FG 最小，如果存在，求出点G 的坐标；如果不存在，请说明理由．（3）如图2，连接AB ，若点P 是线段OE 上的一动点，过点P 作线段AB 的垂线，分别与线段AB 、抛物线相交于点M 、N （点M 、N 都在抛物线对称轴的右侧），当MN 最大时，求△PON 的面积．17．如图，在平面直角坐标系中，二次函数2y ax bx c =++交x 轴于点()4,0A -、()2,0B ，交y 轴于点()0,6C ，在y 轴上有一点()0,2E -，连接AE .（1）求二次函数的表达式；（2）若点D 为抛物线在x 轴负半轴上方的一个动点，求ADE ∆面积的最大值；（3）抛物线对称轴上是否存在点P ，使AEP ∆为等腰三角形，若存在，请直接写出所有P 点的坐标，若不存在请说明理由.18．若二次函数2y ax bx c =++的图象与x 轴分别交于点(3,0)A 、(0,2)B -，且过点(2,2)C -. （1）求二次函数表达式；（2）若点P 为抛物线上第一象限内的点，且4PAB S ∆=,求点P 的坐标；（3）在抛物线上（AB 下方）是否存在点M ，使ABO ABM ∠=∠？若存在，求出点M 到y 轴的距离；若不存在，请说明理由.19．如图，顶点为A1）的抛物线经过坐标原点O，与x轴交于点B．（1）求抛物线对应的二次函数的表达式；（2）过B作OA的平行线交y轴于点C，交抛物线于点D，求证：△OCD≌△OAB；（3）在x轴上找一点P，使得△PCD的周长最小，求出P点的坐标．20．如图，已知抛物线y=﹣14x2﹣12x+2与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（1）求点A，B，C的坐标；（2）点E是此抛物线上的点，点F是其对称轴上的点，求以A，B，E，F为顶点的平行四边形的面积；（3）此抛物线的对称轴上是否存在点M，使得△ACM是等腰三角形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．21．如图，已知直线y＝﹣2x+4分别交x轴、y轴于点A、B．抛物线过A、B两点，点P是线段AB 上一动点，过点P作PC⊥x轴于点C，交抛物线于点D．（1）如图1，设抛物线顶点为M，且M的坐标是（12，92），对称轴交AB于点N．①求抛物线的解析式；②是否存在点P，使四边形MNPD为菱形？并说明理由；（2）是否存在这样的点D，使得四边形BOAD的面积最大？若存在，求出此时点D的坐标；若不存在，请说明理由．22．如图，抛物线y =12x 2+bx +c 与直线y =12x +3交于A ，B 两点，交x 轴于C 、D 两点，连接AC 、BC ，已知A （0，3），C （﹣3，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线对称轴l 上找一点M ，使|MB ﹣MD |的值最大，并求出这个最大值；（3）点P 为y 轴右侧抛物线上一动点，连接P A ，过点P 作PQ ⊥P A 交y 轴于点Q ，问：是否存在点P 使得以A ，P ，Q 为顶点的三角形与△ABC 相似？若存在，请求出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．23．如图，在平面直角坐标系xOy 中，一次函数y =x 与二次函数2y x bx =+的图象相交于O 、A 两点，点A （3，3），点M 为抛物线的顶点．（1）求二次函数的表达式；（2）长度为的线段PQ 在线段OA （不包括端点）上滑动，分别过点P 、Q 作x 轴的垂线交抛物线于点P 1、Q 1，求四边形PQQ 1P 1面积的最大值；（3）直线OA 上是否存在点E ，使得点E 关于直线MA 的对称点F 满足S △AOF =S △AOM ？若存在，求出点E 的坐标；若不存在，请说明理由．24．抛物线y =﹣x 2+bx +c 经过点A 、B 、C ，已知A （﹣1，0），C （0，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，P 为线段BC 上一点，过点P 作y 轴平行线，交抛物线于点D ，当△BDC 的面积最大时，求点P 的坐标；（3）如图2，抛物线顶点为E ，EF ⊥x 轴于F 点，M （m ，0）是x 轴上一动点，N 是线段EF 上一点，若∠MNC =90°，请指出实数m 的变化范围，并说明理由．25．如图，抛物线2y x bx c =-++与x 轴交于A 、B 两点（A 在B 的左侧），与y 轴交于点N ，过A 点的直线l ：y kx n =+与y 轴交于点C ，与抛物线2y x bx c =-++的另一个交点为D ，已知(1,0)(5,6)--，，P点为抛物线2A D﹣上一动点（不与A、D重合）．y x bx c=++（1）求抛物线和直线l的解析式；PF y轴交直线（2）当点P在直线l上方的抛物线上时，过P点作PE∥x轴交直线l于点E，作//+的最大值；l于点F，求PE PF（3）设M为直线l上的点，探究是否存在点M，使得以点N、C，M、P为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案1．解：（1）∵直线y =x +4经过A ，C 两点，∴A 点坐标是（﹣4，0），点C 坐标是（0，4），又∵抛物线过A ，C 两点，∴21(4)4024b c c ⎧-⨯--+=⎪⎨⎪=⎩，解得：14b c =-⎧⎨=⎩， ∴抛物线的解析式为2142y x x =--+． （2）①如图1∵2142y x x =--+， ∴抛物线的对称轴是直线x =﹣1．∵以AP ，AO 为邻边的平行四边形的第四个顶点Q 恰好也在抛物线上，∴PQ ∥AO ，PQ =AO =4．∵P ，Q 都在抛物线上，∴P ，Q 关于直线x =﹣1对称，∴P 点的横坐标是﹣3，∴当x =﹣3时，215(3)(3)422y =----+=×， ∴P 点的坐标是53,2⎛⎫- ⎪⎝⎭； ②过P 点作PF ∥OC 交AC 于点F ，∵PF ∥OC ，∴△PEF ∽△OEC ，∴PE PF OE OC=． 又∵3,48PE OE OC ==， ∴3PF 2=，设点F （x ，x +4）， ∴2134(4)22x x x ⎛⎫--+-+= ⎪⎝⎭， 化简得：x 2+4x +3=0，解得：x 1=﹣1，x 2=﹣3．当x =﹣1时，92y =；当x =﹣3时，52y =， 即P 点坐标是91,2⎛⎫- ⎪⎝⎭或53,2⎛⎫- ⎪⎝⎭． 又∵点P 在直线y =kx 上，∴9k 2=-或56k =-．2．解：()1抛物线2y x 3=-向右平移一个单位后得到的函数解析式为2y (x 1)3=--， 顶点()M 1,3-，令x 0=，则2y (01)32=--=-，点()A 0,2-，x 3=时，2y (31)3431=--=-=，点()B 3,1；()2过点B 作BE AO ⊥于E ，过点M 作MF AO ⊥于M ，EB EA 3==Q ，EAB EBA 45∠∠∴==o ，同理可求FAM FMA 45∠∠==o ，ABE ∴V ∽AMF V ，AMAF1AB AE 3∴==，又BAM 18045290∠=-⨯=o o o Q ，AM1tan ABM AB 3∠∴==；()3过点P 作PH x ⊥轴于H ，22y (x 1)3x 2x 2=--=--Q ，∴设点()2P x,x 2x 2--，①点P 在x 轴的上方时，2x 2x 21x 3--=，整理得，23x 7x 60--=，解得12x (3=-舍去），2x 3=， ∴点P 的坐标为()3,1；②点P 在x 轴下方时，()2x 2x 21x 3---=，整理得，23x 5x 60--=，解得1x =舍去），2x =，x =时，21x 2x 23--=-=，∴点P 的坐标为.综上所述，点P 的坐标为()3,1或. 3．解：（1）y ＝﹣x +3，令y ＝0，则x ＝3，令x ＝0，则y ＝3， 故点B 、C 的坐标为（3，0）、（0，3），将点B 、C 的坐标代入y ＝x 2+bx +c 并解得：b ＝﹣4， 故抛物线的表达式为：y ＝x 2﹣4x +3，令y ＝0，则x ＝1或3，故点A （1，0），点P （2，﹣1）； （2）过点E 作EH ∥y 轴交BC 于点H ，设点E （x ，x 2﹣4x +3），则点H （x ，﹣x +3）S △CBE ＝12HE ×OB ＝12×3×（﹣x +3﹣x 2+4x ﹣3）＝32（﹣x 2+3x ）， ∵﹣32＜0，当x ＝32时，S △CBE 有最大值，点E （32，﹣34）；（3）点C （0，3）、点P （2，﹣1），设点M （2，m ），CP 2＝4+16＝20，CM 2＝4+（m ﹣3）2＝m 2﹣6m +13，PM 2＝m 2+2m +1， ①当CM ＝CP 时，20＝m 2﹣6m +13，解得：m ＝7或﹣1（舍去m ＝﹣1）； ②当CP ＝PM 时，同理可得：m ＝﹣1±2√5； ③当CM ＝PM 时，同理可得：m ＝32；故点M 坐标为：（2，7）或（2，﹣1+2√5 ＝）或（2，﹣1﹣2√5）或（2，32）． 4．解：（1）将B （4，0）代入23y x x m =-++，解得，m =4，∴二次函数解析式为234y x x =-++，令x =0，得y =4， ∴C （0，4）；（2）存在，理由：∵B （4，0），C （0，4），∴直线BC 解析式为y =﹣x +4，当直线BC 向上平移b 单位后和抛物线只有一个公共点时，△MBC 面积最大，∴24{34y x by x x =-++=-++，∴24(2)16t --+， ∴△=16﹣4b =0，∴b =4，∴26x y =⎧⎨=⎩，∴M （2，6）；（3）①如图，∵点P 在抛物线上，∴设P （m ，234m m -++），当四边形PBQC 是菱形时，点P 在线段BC 的垂直平分线上，∵B （4，0），C （0，4），∴线段BC 的垂直平分线的解析式为y =x ， ∴m =234m m -++，∴m =1±，∴P （1+，1+）或P （11；②如图，设点P （t ，234t t -++），过点P 作y 轴的平行线l ，过点C 作l 的垂线， ∵点D 在直线BC 上，∴D （t ，﹣t +4），∵PD =234t t -++﹣（﹣t +4）=24t t -+，BE +CF =4，∴S四边形PBQC =2S△PDC=2（S△PCD+S△BD）=2（12PD×CF+12PD×BE）=4PD=224164(2)16t t t-+--+∵0＜t＜4，∴当t=2时，S四边形PBQC最大=16．5．解：（1）∵y=mx2+2mx+m-1=m（x+1）2-1，∴抛物线的顶点坐标为（-1，-1）．（2）由y=mx2+2mx+m-1和y=mx+m-1可得：mx2+2mx+m-1=mx+m-1，mx2+mx=0，mx（x+1）=0，∵m≠0，∴x1=0，x2=-1．∴抛物线与直线有两个交点．（3）由（2）可得：抛物线与直线交于（-1，-1）和（0，m-1）两点，点P的坐标为（t，mt2+2mt+m-1），点Q的坐标为（t，mt+m-1）．①如图1，当-1≤t ≤0时，PQ =2Q P y y mt mt -=--=211()24m t m -++． ∵m ＞0， 当12t =-时，PQ 有最大值，且最大值为14m ． ∵0＜m ≤3，∴14m ≤34，即PQ 的最大值为34． ②如图2，当0＜t ≤1时，PQ =2P Q y y mt mt -=+=211()24m t m +-． ∵m ＞0，∴当t =1时，PQ 有最大值，且最大值为2m ． ∵0＜m ≤3，∴0＜2m ≤6，即PQ 的最大值为6． 综上所述，PQ 的最大值为6．6．解：（1）由题可得：5,225, 1.b a c a b c ⎧-=⎪⎪=⎨⎪++=⎪⎩解得1a =，5b =-，5c =. ∴二次函数解析式为：255y x x =-+.（2）作AM x ⊥轴，BN x ⊥轴，垂足分别为,M N ，则34AF MQ FB QN ==.32MQ =Q ，2NQ ∴=，911,24B ⎛⎫⎪⎝⎭， 1,91,24k m k m +=⎧⎪∴⎨+=⎪⎩，解得1,21,2k m ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，1122t y x ∴=+，102D ，⎛⎫ ⎪⎝⎭. 同理，152BC y x =-+. BCD BCG S S ∆∆=Q ，∴①//DG BC （G 在BC 下方），1122DG y x =-+， 2115522x x x ∴-+=-+，即22990x x -+=，123,32x x ∴==.52x >Q ，3x ∴=，()3,1G ∴-. ②G 在BC 上方时，直线23G G 与1DG 关于BC 对称.1211922G G y x ∴=-+，21195522x x x ∴-+=-+，22990x x ∴--=.52x >Q，x ∴=G ∴. 综上所述，点G 坐标为()13,1G -；2G.（3）由题意可得：1k m +=.1m k ∴=-，11y kx k ∴=+-，2155kx k x x ∴+-=-+，即()2540x k x k -+++=.11x ∴=，24x k =+，()24,31B k k k ∴+++.设AB 的中点为'O ，P Q 点有且只有一个，∴以AB 为直径的圆与x 轴只有一个交点，且P 为切点.OP x ∴⊥轴，P ∴为MN 的中点，5,02k P +⎛⎫∴ ⎪⎝⎭. AMP PNB ∆∆Q ∽，AM PNPM BN∴=，••AM BN PN PM ∴=， ()2551314122k k k k k ++⎛⎫⎛⎫∴⨯++=+-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，即23650k k +-=，960∆=>.0k >Q ，1k ∴==-+7．解：(1)2y x =+，令0x =，则2y =，令0y =，则2x =-， 故点A 、B 的坐标分别为()2,0-、()0,2，则2c =，则函数表达式为：22y ax bx =++，将点A 坐标代入上式并整理得：21b a =+；(2)当0x <时，若()20y ax bx c a =++<的函数值随x 的增大而增大，则函数对称轴02bx a=-≥，而21b a =+， 即：2102a a +-≥，解得：12a ≥-，故：a 的取值范围为：102a -≤<； (3)当1a =-时，二次函数表达式为：22y x x =--+，过点P 作直线l AB P ，作PQ y P 轴交BA 于点Q ，作PH AB ⊥于点H ，∵OA OB =，∴45BAO PQH ∠=∠=︒，11122PAB S AB PH PQ ∆=⨯⨯=⨯=，则1P Q y y -=，在直线AB 下方作直线m ，使直线m 和l 与直线AB 等距离，则直线m 与抛物线两个交点坐标，分别与点AB 组成的三角形的面积也为1， 故：1P Q y y -=，设点()2,2P x x x --+，则点(),2Q x x +，即：2221x x x --+--=±，解得：1x =-或1-故点()1,2P -或 ()1-+或(1--.8．解：(1)将A (0，1)，B (9，10)代入函数解析式得：13×81＋9b ＋c ＝10，c ＝1，解得b ＝−2，c ＝1， 所以抛物线的解析式y ＝13x 2−2x ＋1； (2)∵AC ∥x 轴，A (0，1)， ∴13x 2−2x ＋1＝1，解得x 1＝6，x 2＝0(舍)，即C 点坐标为(6，1)， ∵点A (0，1)，点B (9，10)，∴直线AB 的解析式为y ＝x ＋1，设P (m ，13m 2−2m ＋1)，∴E (m ，m ＋1)， ∴PE ＝m ＋1−(13m 2−2m ＋1)＝−13m 2＋3m . ∵AC ⊥PE ，AC ＝6， ∴S 四边形AECP ＝S △AEC ＋S △APC ＝12AC ⋅EF ＋12AC ⋅PF ＝12AC ⋅(EF ＋PF )＝12AC ⋅EP ＝12×6(−13m 2＋3m )＝−m 2＋9m. ∵0<m <6，∴当m ＝92时，四边形AECP 的面积最大值是814，此时P (9524 ，)； (3)∵y ＝13x 2−2x ＋1＝13(x −3)2−2， P (3，−2)，PF ＝y F −y p ＝3，CF ＝x F −x C ＝3， ∴PF ＝CF ，∴∠PCF ＝45∘，同理可得∠EAF ＝45∘，∴∠PCF ＝∠EAF ，∴在直线AC 上存在满足条件的点Q ，设Q (t ，1)且AB ＝，AC ＝6，CP ＝ ∵以C ，P ，Q 为顶点的三角形与△ABC 相似， ①当△CPQ ∽△ABC 时，CQ :AC ＝CP :AB ，(6−t):6＝，解得t ＝4，所以Q (4，1)； ②当△CQP ∽△ABC 时，CQ :AB ＝CP :AC ，(6−t):6，解得t ＝−3，所以Q (−3，1).综上所述：当点P 为抛物线的顶点时，在直线AC 上存在点Q ，使得以C ，P ，Q 为顶点的三角形与△ABC 相似，Q 点的坐标为(4，1)或(−3，1).9．解：(1)函数的表达式为：(1)(3)y a x x =+-，将点D 坐标代入上式并解得：1a =，故抛物线的表达式为：223y x x =--…①；(2)设直线PD 与y 轴交于点G ，设点()2,23P m m m --，将点P 、D 的坐标代入一次函数表达式：y sx t =+并解得，直线PD 的表达式为：32y mx m =--，则32OG m =+，()12POD D P S OG x x ∆=⨯-1(32)(2)2m m =+-2132m m =-++， ∵10-<，故POD S ∆有最大值，当14m =时，其最大值为4916； (3)∵3OB OC ==，∴45OCB OBC ︒∠=∠=，∵ABC OBE ∠=∠，故OBE ∆与ABC ∆相似时，分为两种情况：①当ACB BOQ ∠=∠时，4AB =，BC =，AC =， 过点A 作AH ⊥BC 与点H ，1122ABC S AH BC AB OC ∆=⨯⨯=⨯，解得：AH =，∴CH 则tan 2ACB ∠=，则直线OQ 的表达式为： 2 y x =-…②，联立①②并解得：x =，故点Q -或(；②BAC BOQ ∠=∠时，3tan 3tan 1OC BAC BOQ OA ∠====∠， 则直线OQ 的表达式为： 3 y x =-…③，联立①③并解得：x =故点Q 或；综上，点Q -或(或或． 10．解：（1）由抛物线过点A （-1，0）、B （4，0）可设解析式为y =a （x +1）（x -4）， 将点C （0，2）代入，得：-4a =2， 解得：a =-12， 则抛物线解析式为y =-12（x +1）（x -4）=-12x 2+32x +2； （2）由题意知点D 坐标为（0，-2）， 设直线BD 解析式为y =kx +b ，将B （4，0）、D （0，-2）代入，得：402k b b +⎧⎨-⎩＝＝，解得：122k b ⎧⎪⎨⎪-⎩＝＝， ∴直线BD 解析式为y =12x -2， ∵QM ⊥x 轴，P （m ，0），∴Q （m ，-12m 2+32m +2）、M （m ，12m -2）， 则QM =-12m 2+32m +2-（12m -2）=-12m 2+m +4，∵F （0，12）、D （0，-2），∴DF =52， ∵QM ∥DF ， ∴当-12m 2+m +4=52时，四边形DMQF 是平行四边形， 解得：m =-1（舍）或m =3，即m =3时，四边形DMQF 是平行四边形； （3）如图所示：∵QM ∥DF ， ∴∠ODB =∠QMB ， 分以下两种情况：①当∠DOB =∠MBQ =90°时，△DOB ∽△MBQ ，则21=42DO MB OB BQ ==， ∵∠MBQ =90°， ∴∠MBP +∠PBQ =90°， ∵∠MPB =∠BPQ =90°， ∴∠MBP +∠BMP =90°， ∴∠BMP =∠PBQ ， ∴△MBQ ∽△BPQ ，∴BM BP BQ PQ=，即214132222m m m -=-++，解得：m 1=3、m 2=4，当m =4时，点P 、Q 、M 均与点B 重合，不能构成三角形，舍去， ∴m =3，点Q 的坐标为（3，2）；②当∠BQM =90°时，此时点Q 与点A 重合，△BOD ∽△BQM ′， 此时m =-1，点Q 的坐标为（-1，0）；综上，点Q 的坐标为（3，2）或（-1，0）时，以点B 、Q 、M 为顶点的三角形与△BOD 相似．11．解：()1Q 抛物线2y ax bx 2=+-的对称轴是直线x 1=，()A 20-，在抛物线上， 2b 12a(2)220a b ⎧-=⎪∴⎨⎪---=⎩，解得：1412a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，抛物线解析式为211y x x 242=--； ()2令211y x x 2042=--=，解得：1x 2=-，2x 4=，当x 0=时，=-y2，()B 40∴，，()C 02-，，设BC 的解析式为y kx b =+，则402k b b +=⎧⎨=-⎩，解得：122k b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩，1y x 22∴=-，设()D m 0，，DP //y Q 轴，1E m m 22⎛⎫∴- ⎪⎝⎭，，211P m m m 242⎛⎫-- ⎪⎝⎭，，OD 4PE =Q ，2111m 4m m 2m 2422⎛⎫∴=---+ ⎪⎝⎭，m 5∴=或m 0(=舍去）， ()D 50，∴，7P 54⎛⎫ ⎪⎝⎭，，1E 52⎛⎫⎪⎝⎭，，∴S 四边形POBE OPD EBD 171133S S 5124228=-=⨯⨯-⨯⨯=V V ； ()3存在，设1M n n 22⎛⎫- ⎪⎝⎭，， ①以BD 为对角线，如图1，Q 四边形BNDM 是菱形，MN ∴垂直平分BD ，1n 42∴=+， 91M 24⎛⎫∴ ⎪⎝⎭，，M Q ，N 关于x 轴对称，91N 24⎛⎫∴- ⎪⎝⎭，；②以BD 为边，如图2，Q 四边形BNDM 是菱形，MN //BD ∴，MN BD MD 1===，过M 作MH x ⊥轴于H ，222MH DH DM ∴+=，即2221(n 2)(n 5)12-+-=，1n 4(∴=不合题意），2n 5.6=，4N 4.65⎛⎫∴ ⎪⎝⎭，，同理221(n 2)(4n)12-+-=，1n 4∴=+不合题意，舍去），2n 4=，N 5⎛∴ ⎝， ③以BD 为边，如图3，过M 作MH x ⊥轴于H ，222MH BH BM ∴+=，即2221(n 2)(n 4)12-+-=，1n 4∴=+2n 4=-不合题意，舍去），N 5⎛∴ ⎝，综上所述，当91N 24⎛⎫- ⎪⎝⎭，或44.65⎛⎫ ⎪⎝⎭，或5⎛⎝或5⎛+ ⎝，以点B ，D ，M ，N 为顶点的四边形是菱形．12．解：（1）将A （﹣1，0）、B （3，0）代入y =﹣x 2+bx +c ，得10930b c b c -++=⎧⎨-++=⎩，解得：23b c =⎧⎨=⎩，∴抛物线的表达式为y =﹣x 2+2x +3；（2）在图1中，连接PC，交抛物线对称轴l于点E，∵抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，∴抛物线的对称轴为直线x=1，当t=2时，点C、P关于直线l对称，此时存在点M，使得四边形CDPM是平行四边形，∵抛物线的表达式为y=﹣x2+2x+3，∴点C的坐标为（0，3），点P的坐标为（2，3），∴点M的坐标为（1，6）；当t≠2时，不存在，理由如下：若四边形CDPM是平行四边形，则CE=PE，∵点C的横坐标为0，点E的横坐标为0，∴点P的横坐标t=1×2﹣0=2，又∵t≠2，∴不存在；（3）①在图2中，过点P作PF∥y轴，交BC于点F．设直线BC的解析式为y=mx+n（m≠0），将B（3，0）、C（0，3）代入y=mx+n，得303m nn+=⎧⎨=⎩，解得：13mn=-⎧⎨=⎩，∴直线BC的解析式为y=﹣x+3，∵点P的坐标为（t，﹣t2+2t+3），∴点F的坐标为（t，﹣t+3），∴PF=﹣t2+2t+3﹣（﹣t+3）=﹣t2+3t，∴S=12PF•OB=﹣32t2+92t=﹣32（t﹣32）2+278；②∵﹣32＜0，∴当t=32时，S取最大值，最大值为278．∵点B的坐标为（3，0），点C的坐标为（0，3），∴线段BC=，∴P点到直线BC278=，此时点P的坐标为（32，154）．13．解：（1）∵1y=x+22-分别交y轴、x轴于A、B两点，∴A、B点的坐标为：A（0，2），B（4，0）．将x=0，y=2代入y=﹣x2+bx+c得c=2；将x=4，y=0代入y=﹣x2+bx+c得0=﹣16+4b+2，解得b=72．∴抛物线解析式为：y=﹣x2+72x+2．（2）如图1，设MN 交x 轴于点E ，则E （t ，0），BE =4﹣t ． ∵OA 21tan ABO OB 42∠===， ∴ME =BE •tan ∠ABO =（4﹣t ）×12=2﹣12t ． 又∵N 点在抛物线上，且x N =t ，∴y N =﹣t 2+72t +2． ∴()222N 1MN y ME t t 22t t 4t=t 2+42=-=-++--=-+--（）． ∴当t =2时，MN 有最大值4．（3）由（2）可知，A （0，2），M （2，1），N （2，5）． 如图2，以A 、M 、N 、D 为顶点作平行四边形，D 点的可能位置有三种情形．（i）当D在y轴上时，设D的坐标为（0，a），由AD=MN，得|a﹣2|=4，解得a1=6，a2=﹣2，从而D为（0，6）或D（0，﹣2）．（ii）当D不在y轴上时，由图可知D为D1N与D2M的交点，由D1（0，6），N（2，5）易得D1N的方程为y=12x+6；由D2（0，﹣2），M（2，1）D2M的方程为y=32x﹣2．由两方程联立解得D为（4，4）．综上所述，所求的D点坐标为（0，6），（0，﹣2）或（4，4）．14．解：(1)将y＝0代入y＝x+3，得x＝﹣3．∴点A的坐标为(﹣3，0)．设抛物线的解析式为y＝a(x﹣x1)(x﹣x2)，点A的坐标为(﹣3，0)，点B的坐标为(1，0)，∴y＝a(x+3)(x﹣1)．∵点C的坐标为(0，﹣1)，∴﹣3a＝﹣1，得a＝13，∴抛物线的解析式为y＝13x2+23x﹣1；(2)设点E的坐标为(m，m+3)，线段EF的长度为y，则点F的坐标为(m，13m2+23m﹣1)∴y＝(m+3)﹣( 13m2+23m﹣1)＝﹣13m2+13m+4即y＝-13(m﹣12) 2+4912，此时点E的坐标为(12，72)；(3)点G的坐标为(2，1)，(﹣，﹣﹣1)，，﹣1)，(﹣4，3)．理由：①如图1，当四边形CGDE为菱形时．∴EG垂直平分CD∴点E的纵坐标y＝132-+＝1，将y＝1带入y＝x+3，得x＝﹣2．∵EG关于y轴对称，∴点G的坐标为(2，1)；②如图2，当四边形CDEG为菱形时，以点D为圆心，DC的长为半径作圆，交AD于点E，可得DC＝DE，构造菱形CDEG设点E的坐标为(n，n+3)，点D的坐标为(0，3)∴DE∵DE＝DC＝4，4，解得n1＝﹣，n2＝．∴点E的坐标为(﹣，﹣+3)或，+3)将点E向下平移4个单位长度可得点G，点G的坐标为(﹣，﹣﹣1)(如图2)或，﹣1)(如图3)③如图4，“四边形CDGE为菱形时，以点C为圆心，以CD的长为半径作圆，交直线AD于点E，设点E的坐标为(k，k+3)，点C的坐标为(0，﹣1)．∴EC∵EC＝CD＝4，∴2k2+8k+16＝16，解得k1＝0(舍去)，k2＝﹣4．∴点E的坐标为(﹣4，﹣1)将点E上移1个单位长度得点G．∴点G的坐标为(﹣4，3)．综上所述，点G的坐标为(2，1)，(﹣，﹣﹣1)，，﹣1)，(﹣4，3)．15．解：（Ⅰ）∵2(0) y ax x a=≠经过点3)A-，∴23a-=⨯-，解得12a=，∴抛物线的解析式为212y x x=，∵22bxa=-==∴抛物线的对称轴为直线x=.（Ⅱ）∵点(0,0)O，对称轴为x=，∴点O关于对称轴的对称点B点坐标为.作点B关于轴的对称点1B，得1(B-，设直线AB1的解析式为y kx b=+，把点3)A-，点1(B-代入得3bb⎧-=+⎪⎨=-+⎪⎩，解得94kb⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩∴94y x=-.∴直线94y x=-与y轴的交点即为P点.令0x =得9y 4=-，∵P 点坐标为9(0,)4-.（Ⅲ）∵3)A -，//AC x 轴，∴AC =，3OC =，∴11322AOC S OC AC ∆=⋅=⋅=又∵13AOC AOQ S S ∆∆=，∴3AOQ AOC S S ∆∆==.设Q 点坐标为21(,)2m m ， 如图情况一，作QR CA ⊥，交CA 延长线于点R ，∵AOQ AOC AQR OCRQ S S S S ∆∆∆=--=梯形∴(211113332222m m m ⎛⎫⋅++-- ⎪ ⎪⎭⎝2132m ⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭化简整理得2180m --=，解得1m =2m =-.如图情况二，作QN AC ⊥，交AC 延长线于点N ，交x 轴于点M ，∵AOQ AQN QMO OMNA S S S S ∆∆∆=--=梯形，∴221111m)3()2222m m m ⎛⎫⎛⎫--+--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3()2m m --=，化简整理得2180m --=，解得1m =2m =-，∴Q 点坐标为或(-，∴抛物线上存在点Q ，使得13AOC AOQ S S ∆∆=.16．解：(1)设抛物线的表达式为：y ＝a (x ﹣1)2+4， 把(0，3)代入得：3＝a (0﹣1)2+4， a ＝﹣1，∴抛物线的表达式为：y ＝﹣(x ﹣1)2+4＝﹣x 2+2x +3；(2)存在，如图1，作E 关于对称轴的对称点E '，连接E 'F 交对称轴于G ，此时EG +FG 的值最小． ∵E (0，3)，∴E '(2，3)，设EF 的解析式为y =k ′x +b ′，把F (0，﹣3)，E '(2，3)分别代入，得332b k b ''-=+'=⎧⎨⎩，解得33k b =⎧⎨=-''⎩，所以E 'F 的解析式为：y ＝3x ﹣3， 当x ＝1时，y ＝3×1﹣3＝0，∴G (1，0)； (3)如图2．设AB 的解析式为y =k ″x +b ″，把A (1，4)，B (3，0)分别代入，得403k b k b ''''''''=+⎧⎨=+⎩，解得26k b ''''=-⎧⎨=⎩，所以AB 的解析式为：y ＝﹣2x +6， 过N 作NH ⊥x 轴于H ，交AB 于Q ，设N (m ，﹣m 2+2m +3)，则Q (m ，﹣2m +6)，(1＜m ＜3)， ∴NQ ＝(﹣m 2+2m +3)﹣(﹣2m +6)＝﹣m 2+4m ﹣3， ∵AD ∥NH ，∴∠DAB ＝∠NQM ，∵∠ADB ＝∠QMN ＝90°，∴△QMN ∽△ADB ，∴QN AB MN BD =，∴2m 4m 3MN -+-=∴MN =(m ﹣2)2Q 0， ∴当m ＝2时，MN 有最大值；过N 作NG ⊥y 轴于G ，∵∠GPN ＝∠ABD ，∠NGP ＝∠ADB ＝90°，∴△NGP ∽△ADB ， ∴PG BD 21NG AD 42===，∴PG 12=NG 12=m ， ∴OP ＝OG ﹣PG ＝﹣m 2+2m +312-m ＝﹣m 232+m +3， ∴S △PON 12=OP •GN 12=(﹣m 232+m +3)•m ， 当m ＝2时，S △PON 12=⨯2(﹣4+3+3)＝2．17．解：（1）∵二次函数y =ax 2+bx +c 经过点A （﹣4，0）、B （2，0），C （0，6），∴16404206a b c a b c c -+=⎧⎪++=⎨⎪=⎩，解得：34326a b c ⎧=-⎪⎪⎪=-⎨⎪=⎪⎪⎩，所以二次函数的解析式为：y =233642x x --+； （2）由A （﹣4，0），E （0，﹣2），可求AE 所在直线解析式为y =122x --， 过点D 作DN ⊥x 轴，交AE 于点F ，交x 轴于点G ，过点E 作EH ⊥DF ，垂足为H ，如图，设D （m ，233642m m --+），则点F （m ，122m --）， ∴DF =233642m m --+﹣（122m --）=2384m m --+， ∴S △ADE =S △ADF +S △EDF =12×DF ×AG +12DF ×EH =12×DF ×AG +12×DF ×EH =12×4×DF =2×（2384m m --+） =23250233m -++（）， ∴当m =23-时，△ADE 的面积取得最大值为503． （3）y =233642x x --+的对称轴为x =﹣1，设P （﹣1，n ），又E （0，﹣2），A （﹣4，0），可求P A PE ，AE =，分三种情况讨论：当P A =PE n =1，此时P （﹣1，1）；当P A =AE =，解得：n =，此时点P 坐标为（﹣1，）；当PE =AE =，解得：n =﹣2，此时点P 坐标为：（﹣1，﹣2）．综上所述：P 点的坐标为：（﹣1，1），（﹣1，），（﹣1，﹣2）． 18．解：（l ）因为抛物线2y ax bx c =++过点(0,2)-，∴2c =-，又因为抛物线过点(3,0)，(2,2)-∴93204222a b a b +-=⎧⎨+-=-⎩解，得2343a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩所以，抛物线表达式为224233y x x =-- （2）连接PO ，设点224,233P m m m ⎛⎫-- ⎪⎝⎭. 则PAB POA AOB POB S S S S ∆∆∆∆=+-21241132********m m m ⎛⎫=⨯⋅--+⨯⨯-⨯⋅ ⎪⎝⎭ 23m m =-由题意得234m m -= ∴4m =或1m =-（舍） ∴224102333m m --=∴点P 的坐标为104,3⎛⎫⎪⎝⎭.（3）设直线AB 的表达式为y kx n =+，因直线AB 过点(3,0)A 、(0,2)B -，∴302k n n +=⎧⎨=-⎩解，得232k n ⎧=⎪⎨⎪=-⎩所以AB 的表达式为223y x =- 设存在点M 满足题意，点M 的坐标为224,233t t t ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，过点M 作ME y ⊥轴，垂足为E ，作MD x ⊥轴交AB 于点D ，则D 的坐标为2,23t t ⎛⎫- ⎪⎝⎭，2223MD t t =-+，22433BE t t =-+.又MD y P 轴 ∴ABO MDB ∠=∠ 又∵ABO ABM ∠=∠ ∴MDB ABM ∠=∠。

2020中考数学压轴题综合练：《二次函数》1．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+3（a≠0）的图象经过点A（﹣1，0），点B（3，0），与y轴交于点C．（1）求a，b的值；（2）若点P为直线BC上一点，点P到A，B两点的距离相等，将该抛物线向左（或向右）平移，得到一条新抛物线，并且新抛物线经过点P，求新抛物线的顶点坐标．解：（1）∵二次函数y＝ax2+bx+3（a≠0）的图象经过点A（﹣1，0），点B（3，0），∴，解得；（2）∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，∴抛物线的对称轴为直线x＝1，C（3，0），∵点P到A，B两点的距离相等，∴点P在抛物线的对称轴x＝1上，∵B（3，0），C（0，3），∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3，令x＝1，则y＝﹣1+3＝2，∴P（1，2），设平移后的新抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣h）2+4，∵新抛物线经过点P，∴2＝﹣（1﹣h）2+4，解得h1＝1+，h2＝1﹣，∴新抛物线的顶点坐标为（1+，4）或（1﹣，4）．2．如图a，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（4，0）、C（0，2），与x轴的另一个交点为B．（1）求出抛物线的解析式．（2）如图b，将△ABC绕AB的中点M旋转180°得到△BAC′，试判断四边形B C′AC的形状．并证明你的结论．（3）如图a，在抛物线上是否存在点D，使得以A、B、D三点为顶点的三角形与△ABC全等？若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在请说明理由．解：（1）将点A、C的坐标代入抛物线表达式并解得：b＝1，c＝2，故：抛物线的解析式为：y＝﹣x2+x+2；（2）四边形BC′AC为矩形．抛物线y＝﹣x2+x+2与x轴的另一个交点为：（﹣1，0）由勾股定理求得：BC＝，AC＝2，又AB＝5，由勾股定理的逆定理可得：△ABC直角三角形，故∠BCA＝90°；已知，△ABC绕AB的中点M旋转180o得到△BAC′，则A、B互为对应点，由旋转的性质可得：BC＝AC'，AC＝BC'所以，四边形BC′AC为平行四边形，已证∠BCA＝90°，∴四边形BC′AC为矩形；（3）存在点D，使得以A、B、D三点为顶点的三角形与△ABC全等，则点D与点C关于函数对称轴对称，故：点D的坐标为（3，2）．3．如图，已知二次函数y＝x2﹣2x+m的图象与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，直线AC交二次函数图象的对称轴于点D，若点C 为AD的中点．（1）求m的值；（2）若二次函数图象上有一点Q，使得tan∠ABQ＝3，求点Q的坐标；（3）对于（2）中的Q点，在二次函数图象上是否存在点P，使得△QBP∽△COA？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）设对称轴交x轴于点E，交对称轴于点D，函数的对称轴为：x＝1，点C为AD的中点，则点A（﹣1，0），将点A的坐标代入抛物线表达式并解得：m＝﹣3，故抛物线的表达式为：y＝x2﹣2x﹣3…①；（2）tan∠ABQ＝3，点B（3，0），则AQ所在的直线为：y＝±3x（x﹣3）…②，联立①②并解得：x＝﹣4或3（舍去）或2，故点Q（﹣4，21）或（2，﹣3）；（3）不存在，理由：△QBP∽△COA，则∠QBP＝90°①当点Q（2，﹣3）时，则BQ的表达式为：y＝﹣（x﹣3）…③，联立①③并解得：x＝3（舍去）或﹣，故点P（﹣，），此时BP：PQ≠OA：OB，故点P不存在；②当点Q（﹣4，21）时，同理可得：点P（﹣，），此时BP：PQ≠OA：OB，故点P不存在；综上，点P不存在．4．如图，已知二次函数y＝ax2+4ax+c（a≠0）的图象交x轴于A、B 两点（A在B的左侧），交y轴于点C．一次函数y＝﹣x+b的图象经过点A，与y轴交于点D（0，﹣3），与这个二次函数的图象的另一个交点为E，且AD：DE＝3：2．（1）求这个二次函数的表达式；（2）若点M为x轴上一点，求MD+MA的最小值．解：（1）把D（0，﹣3）代入y＝﹣x+b得b＝﹣3，∴一次函数解析式为y＝﹣x﹣3，当y＝0时，﹣x﹣3＝0，解得x＝﹣6，则A（﹣6，0），作EF⊥x轴于F，如图，∵OD∥EF，∴＝＝，∴OF＝OA＝4，∴E点的横坐标为4，当x＝4时，y＝﹣x﹣3＝﹣5，∴E点坐标为（4，﹣5），把A（﹣6，0），E（4，﹣5）代入y＝ax2+4ax+c得，解得，∴抛物线解析式为y＝﹣x2﹣x+；（2）作MH⊥AD于H，作D点关于x轴的对称点D′，如图，则D′（0，3），在Rt△OAD中，AD＝＝3，∵∠MAH＝∠DAO，∴Rt△AMH∽Rt△ADO，∴＝，即＝，∴MH＝AM，∵MD＝MD′，∴MD+MA＝MD′+MH，当点M、H、D′共线时，MD+MA＝MD′+MH＝D′H，此时MD+MA 的值最小，∵∠D′DH＝∠ADO，∴Rt△DHD′∽Rt△DOA，∴＝，即＝，解得D′H＝，∴MD+MA的最小值为．5．如图1，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A（﹣3，0）、B（1，0）两点，与y轴交于点C（0，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）如图2，直线AD：y＝x+1与y轴交于点D，P点是x轴上一个动点，过点P作PG∥y轴，与抛物线交于点G，与直线AD交于点H，当点C、D、H、G四个点组成的四边形是平行四边形时，求此时P点坐标．（3）如图3，连接AC和BC，Q点是抛物线上一个动点，连接AQ，当∠QAC＝∠BCO时，求Q点的坐标．解：（1）抛物线的表达式为：y＝a（x+3）（x﹣1）＝a（x2+2x﹣3），故﹣3a＝3，解得：a＝﹣1，故抛物线的表达式为：y＝﹣x2﹣2x+3…①；（2）直线AD：y＝x+1与y轴交于点D，则点D（0，1），则CD ＝2；设点P（x，0），则点H（x， x+1）、点G（x，﹣x2﹣2x+3），则GH＝CD＝2，即|x+1﹣（﹣x2﹣2x+3）|＝2，解得：x＝﹣或，故点P（﹣，0）或（，0）或（，0）；（3）设直线AQ′交y轴于点H，过点H作HM⊥AC交于点M，交AQ 于点H′，。