线段垂直平分线的性质和判定用

AC=CB（已知）
∠ACP=∠BCP（已证）
A
PC=PC（公共边）
C
B
∴△ACP≌△BCP(SAS)
∴PA=PB（全等三角形的对应边相等）
提示:这个结论是经常用来证明两条线段相等的根据之一.
以后知道直线MN是线段AB的垂直平分线时，可以直接得 到PA=PB 。书写格式如下：
数学表达： ∵直线MN⊥AB于C，AC=CB，点P在MN上 ∴PA=PB
DB
线段AB的垂直平分线
求证：AB垂直平分CD。
已知:如图,AC=AD，BC=BD， 通过演示可以发现，点P,P,到点A的距离与它们到点B的距离分别相等。
∵直线MN⊥AB于C，AC=CB，点P在MN上
求证：AB垂直平分CD。 已知：如图，△ABC中，边AB、BC的垂直平分线相交于点P.
∴PD⊥AB,AC=CB
求证：点P在线段AB的垂直平分线上
D
线用段尺垂 规直作平线分段线的的垂个性直质平端和分判线点定. 用距离相等的点，在这条线段的垂直
平分线上） ∠ACP=∠BCP（已证）
1、分别以点A和B为圆心,以大于AB/2长为半径作弧,两弧交于点C和D.
∴PD⊥AB,AC=CB
同理， ∴点P在线段AB的垂直平分线上
线段垂直平分线上的点与这条
l
线段两个端点的距离相等(垂直
P
平分线的性质)
∵PC⊥AB,AC=CB ∴PA=PB
A
C
B
老师希望同学们证明这个命题!
已知：PC⊥AB , AC=CB 注意：文字叙述题要根据题
求证：PA=PB 证明：∵ PC⊥AB
意画出图形写出已知求证
l P
∴ ∠ACP=∠BCP=90º 在△ACP和△BCP中，
线段垂直平分线的性质和判定 用
一、教学目标
1. 了解轴对称图形中，对应点所连线段被对称轴垂 直平分的性质；
2. 理解线段的垂直平分线的概念，掌握线段的垂 直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，到线 段两端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上的 定理；
3. 初步理解线段的垂直平分线的集合定义，有意 识渗透数学的研究方法，渗透集合思想，促进学生 数学认知的科学建构
C
A
DB
答：（1）过C点的直线不一定是线段
AB的垂直平分线，
反例：如图，CA=CB，但直线CD不是
线段AB的垂直平分线.
（2）过C和D两点的直线是
C
线段AB的垂直平分线。因
为点C、点D到线段AB的两
端点距离相等，它们一定都
在线段AB的垂直平分线上，
由“两点确定一条直线”可
知过C和D两点的直线必是 A
线段的垂直平分线上。
l
书写格式：
P
∵PA=PB
∴点P在线段AB的垂直平分线上 A 同学们能证明这个命题吗？
C
B
已知：PA=PB
求证：点P在线段AB的垂直平分线上
证明：作PC⊥AB,垂足为C
l
∴∠ACP=∠BCP= 9 0
在Rt△ACP和Rt△BCP中
PAPB PC PC
∴Rt△ACP≌Rt△BCP（HL)
C
初步理解线段的垂直平分线的集合定义，有意识渗透数学的研究方法，渗透集合思想，促进学生数学认知的科学建构
（2）过C和D两点的直线是线段AB的垂直平分线。
与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上
证明: 求证：点P在线段AB的垂直平分线上
注意：PA=PB只能说明点P在线段AB的垂直平分线上，
A
C
B
∴AC=BC
P
∴点P在线段AB的垂直平分线上
注意：PA=PB只能说明点P在线段AB的垂直平分线上， 不能说明直线L是线段AB的垂直平分线。
在线段AB垂直平分线l上的点与A、B距离都
相等；反过来，与两点A 、B的距离相等的
点都在l上,所以直线l可以看成与两点A、B的
距离相等的所有点的集合
l
P
书写格式：
2、作直线CD.
D
3、则直线CD就是线段AB的垂直平分线.
4. 从运动变化的角度加深对平面图形的认识，发 展几何直觉，增进对数学的理解。
二、重Байду номын сангаас、难点
1. 重点：线段垂直平分线定理、逆定理.
2.难点：线段垂直平分线定理、逆定理的正 确理解和应用.
3.难点的突破方法：利用多媒体手段直观引 入，引导学生自主研究发现规律，加深对定 理的理解。
通过演示可以发现，点P,P,到点A的距离与它们到 点B的距离分别相等。由此我们可以得出：
PM
也可以说：
∵直线MN垂直平分AB，点P在MN上 ∴PA=PB
还可以说：
A
∵P是线段AB垂直平分线上的点，
∴PA=PB
C
B
N
依据是：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等
反过来，如果PA=PB，那么点P是否在线段 AB的垂直平分线上呢？
通过探究可以得到：（垂直平分线的判定）
与一条线段两个端点距离相等的点，在这条
在△ACP和△BCP中，
∵BC=BD 求证：点P在线段AB的垂直平分线上
已知：PC⊥AB , AC=CB
与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。
∴点P在线段A∴B的点垂直B平在分线C上D的垂直平分线上
∴Rt△ACP≌Rt△BCP（HL)
∴AB垂直平分CD（两点确定一条直线） 难点：线段垂直平分线定理、逆定理的正确理解和应用.
∵PA=PB,DA=DB
∴PD⊥AB,AC=CB
A
C
B
注意：由“两点确定一条直线”可知，
两点到同一条线段两个端点的距离相
D
等，那么经过这两点的直线才是这条
线段的垂直平分线。
已知线段AB （1）若CA=CB，问：过C点的直线是 不是线段AB的垂直平分线？若不是，请找出 反例.
（2）若CA=CB，DA=DB，问过C和D两点 的直线是不是线段AB的垂直平分线？为什么？
A
不能说明直线L是线段AB的垂直平分线。
O
B
∵AC=AD 3、则直线CD就是线段AB的垂直平分线.
证明：∵△ABC中，边AB、BC的垂直平分线
理解线段的垂直平分线的概念，掌握线段的垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，到线段两端点的距离相等的点在线段的垂
直平分线上的定∴理点； A在CD的垂直平分线上（ 与一条线段两
注意：由“两点确定一条直线”可知，两点到同一条线段两个端点的距离相等，那么经过这两点的直线才是这条线段的垂直平分线。
求证：PA=PB=PC
解：∵DE是△ABC边AB的垂直平分线
做一做 1 尺规作图
用尺规作线段的垂直平分线.
C
已知:线段AB,如图.
求作:线段AB的垂直平分线.
作法:
A
B
1、分别以点A和B为圆心,以大于 AB/2长为半径作弧,两弧交于点C和D.