初中数学竞赛重要定理、公式及结论
代数篇
【乘法公式】
完全平方公式：(a±b)2=a2±2ab+b2，
平方差公式：（a+b）(a-b)=a2-b2，
立方和（差）公式：(a±b)(a2 ∓ab+b2)=a3±b3
多项式平方公式：(a+b+c+d)2=a2+b2+c2+d2+2ab+2ac+2ad+2bc+2bd+2cd
二项式定理：(a±b)3=a3±3a2b+3ab2±b3
(a±b)4=a4±4a3b+6a2b2±4ab3+b4）
(a±b)5=a5±5a4b+10a3b2±10a2b3＋5ab4±b5）
…………
在正整数指数的条件下，可归纳如下：设n为正整数(a+b)(a2n-1- a2n-2b+a2n-3b2- …
＋ab2n-2- b2n-1)=a2n-b2n(a+b)(a2n-a2n-1b+a2n-2b2n-…-ab2n-1+b2n)=a2n+1+b2n+1
类似地：（a-b）(a n-1+a n-2b+a n-3b2+…＋ab n-2+b n-1)=a n-b n
公式的变形及其逆运算
由(a+b)2=a2+2ab+b2得a2+b2=(a+b)2-2ab
由(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3=a3+b3+3ab(a+b)得a3+b3=(a+b)3-3ab(a+b)
由公式的推广③可知：当n为正整数时
a n-
b n能被a-b 整除，a2n+1+b2n+1能被a+b整除，a2n-b2n能被a+b 及a-b整除。重要公式（欧拉公式）
(a+b+c)(a2+b2+c2+ab+ac+bc)=a3+b3+c3-3abc
【综合除法】一个一元多项式除以另一个一元多项式，并不是总能整除。当被
除式f(x)除以除式g(x)，(g(x)≠0) 得商式q(x)及余式r(x)时，就有下列等式：
f(x)=g(x)q(x)-r(x)
其中r(x)的次数小于g(x)的次数，或者r(x)=0。当r(x)=0时，就是f(x)能被g(x)整除。
【余式定理】多项式f(x)除以x-a所得的余数等于f(a)。
【因式分解方法】拆项、添项、配方、待定系数法、求根法、对称式和轮换对称式等。
【部分分式】把一个分式写成几个简单分式的代数和，称为将分式化为部分分式，它是分式运算的常用技巧。分式运算的技巧还有：换元法、整体法、逐项求和、拆项求和等。
【素数和合数】2是最小的素数，也是唯一的一个既是偶数又是素数的数．
小于100的素数有如下25个：2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31，37，41，43，47，53，59，61，67，71，73，79，83，89，97．
性质 1 一个大于1的正整数n ，它的大于1的最小因数一定是质数．
性质 2 如果n 是合数，那么n 的最小质因数 一定满足a 2≤n ．
性质 3 质数有无穷多个．
性质 4(算术基本定理)每一个大于 1 的自然数n ，必能写成以下形式： 这里的P 1，P 2，…，P r 是质数，a 1，a 2，…，a r 是自然数．如果不考虑P 1，P 2，…，P r 的次序，那么这种形式是唯一的．
性质 5 任何大于3的素数都可以表示为6k ±1
【不定方程】
定理 1．二元一次不定方程 a x +by =c ，，
（1）若其中（a ，b ） c ，则原方程无整数解；；
（2）若
（a ，b ）=1，则
原方程有整； （3）若（a ，b ）｜c ，则可以在方程两边同时除以（a ，b ）从而使原方程的一次项系数互质，从而转化为（2）的情形．
定理
2：利用分解法求不定方程ax+by=cxy(abc≠0）整数解的基本思路：将ax+by=cxy 转化为(x -a)(cy -b)=ab 可分解.
【高斯函数】设x ∈R ，用[x]或int(x)表示不超过x 的最大整数，并用{χ}表示x 的非负纯小数，则y=[x]称为高斯（Guass ）函数，也叫取整函数。
任意一个实数都能写成整数与非负纯小数之和，即：x=[x]+{χ}（0≤{x}<1） 性质
1:[x]≤x<[x]+1， x-1<[x] ≤x [n+x]=n+[x]，n 为整数 2:厄尔米特恒等式： 对任x 大于0，恒有[x]+[x+1/n]+[x+2/n]+… …+[x+(n -1)/n]=[nx]。 【同余】定义 1 给定正整数m ，若用m 去除两个正整数a 和 b 所得的余数相同，则称
a 与
b 对于模m 同余，或称a 与b 同余，模m ，记为 a ≡b (mod m )，
此时也称b 是a 对模m 的同余。
否则称a 与b 对于模m 不同余，或称a 与b 不同余，模m ，记为a ∓b (mod m )。
【完全平方数整除性】
（1）平方数的个位数字只可能是0，1，4，5，6，9；
（2）偶数的平方数是4的倍数，奇数的平方数被8除余1，即任何平方数被4除的余数只有可能是0或1；
（3）奇数平方的十位数字是偶数；
（4）十位数字是奇数的平方数的个位数一定是6；
r
a r a a p p p n ⋅⋅=2121
（5）不能被3整除的数的平方被3除余1，能被3整除的数的平方能被3整除。因而，平方数被9也合乎的余数为0，1，4，7，且此平方数的各位数字的和被9除的余数也只能是0，1，4，7；
（6）平方数的约数的个数为奇数；
（7）任何四个连续整数的乘积加1，必定是一个平方数。
（8）设正整数a，b之积是一个正整数的k次方幂（k≥2），若（a，b）=1，则a，b
都是整数的k次方幂。一般地，设正整数a，b，c……之积是一个正整数的k次方幂（k≥2），若a，b，c……两两互素，则a，b，c……都是正整数的k次方幂。【数的整除性】
（1）1与0的特性：
1是任何整数的约数，即对于任何整数a，总有1|a.
0是任何非零整数的倍数，a≠0，a为整数，则a|0.
（2）若一个整数的末位是0、2、4、6 或 8，则这个数能被2 整除。
（3）若一个整数的数字和能被3 整除，则这个整数能被3 整除。
（4）若一个整数的末尾两位数能被 4 整除，则这个数能被 4 整除。
（5）若一个整数的末位是0 或 5，则这个数能被5 整除。
（6）若一个整数能被2 和 3 整除，则这个数能被6 整除。
（7）若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的2 倍，如果差是7 的倍数，则原数能被7 整除。如果差太大或心算不易看出是否7 的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相减、验差」的过程，直到能清楚判断为止。例如，判断133 是否 7 的倍数的过程如下：13-3×2=7 ，所以133是7的倍数；又例如判断6139是否7的倍数的过程如下：613-9×2=595，59－5×2=49，所以6139是7的倍数，余类推。
（8）若一个整数的未尾三位数能被8 整除，则这个数能被8 整除。
（9）若一个整数的数字和能被9 整除，则这个整数能被9 整除。
（10）若一个整数的末位是0，则这个数能被10 整除。
（11）若一个整数的奇位数字之和与偶位数字之和的差能被11 整除，则这个数能被 11 整除。
