听课答案-第六单元-不等式、推理与证明

全品高考复习方案 数学(理科)BS课时作业(三十三)1．A [解析] 由x >1，得1x <1；由1x <1，得1－x x<0，解得x <0或x >1.故选A.2．C [解析] ∵－4<b <2，∴0≤|b |<4，∴－4<－|b |≤0. 又1<a <3，∴－3<a －|b |<3.3．D [解析] 由题意知a >0，b >0，x ≠0.当x >0时，由－b <1x <a ，得x >1a ；当x <0时，由－b <1x <a ，得x <－1b.综上所述，不等式－b <1x <a ⇔x <－1b 或x >1a.4．C [解析] 对于选项A ，当a ＝－1且b ＝－2时，显然满足a >b 但不满足a 2>b 2，故错误；对于选项B ，当a ＝－1且b ＝－2时，显然满足a >b ，但a b ＝12，故错误；对于选项C ，由指数函数的单调性可知当a ＞b 时，2a ＞2b ，故正确；对于选项D ，当a ＝－1且b ＝－2时，显然满足a ＞b ，但lg(a －b )＝lg 1＝0，故错误．5．(27，56) ⎝⎛⎭⎫2011，3 [解析] ∵－33<－y <－28，∴27<x －y <56.∵133<1y <128，∴2011<x y<3. 6．D [解析] 方法一：将m ＝－3，n ＝2分别代入各选项检验即可．方法二：m ＋n ＜0⇒m ＜－n ，n ＜－m ，由于m ＜0＜n ，故m ＜－n ＜n ＜－m .7．D [解析] 对于A ，当a ＝2，b ＝12时，不满足1a >1b，故错误；对于B ，C ，若a ＝1，b ＝－2，则不成立，故错误；对于D ，⎝⎛⎭⎫13a <⎝⎛⎭⎫13b 成立．故选D.8．C [解析] 因为a <b <0，所以b －a >0，ab >0，则1a －1b ＝b －a ab >0，即1a >1b，因此A 错误；由函数y ＝⎝⎛⎭⎫12x 是减函数，知⎝⎛⎭⎫12a >⎝⎛⎭⎫12b ，因此B 错误；由⎝⎛⎭⎫a ＋1b －⎝⎛⎭⎫b ＋1a ＝(a －b )⎝⎛⎭⎫1＋1ab <0，知C 正确；由b a －b －1a －1＝a －b a （a －1）<0，知D 错误．故选C.9．D [解析] 由a x <a y (0<a <1)，可得x >y .因为函数f (x )＝x 3在R 上单调递增，所以f (x )>f (y )，即x 3>y 3.故选D.10．①③④ [解析] 在①③中，当a ＝2，b ＝－3时，不等式不成立；④中，当a ＝2，b ＝0时，不等式不成立．故选①③④.11.⎩⎪⎨⎪⎧1800≤17x ＋12y ≤2000，9x ＋7y ≤960，x ，y ∈N *，x ＋y2∈N *[解析] 由题可知，所求不等式组为⎩⎪⎨⎪⎧18≤0.09x ＋0.04y ＋0.16×x ＋y2≤20，20x ＋10y ＋50×x ＋y2≤4800，x ∈N *，y ∈N *，x ＋y 2∈N *，整理化简得⎩⎪⎨⎪⎧1800≤17x ＋12y ≤2000，9x ＋7y ≤960，x ，y ∈N *，x ＋y 2∈N *.12．解：方法一：设f (－2)＝mf (－1)＋nf (1)(m ，n 为待定系数)，则4a －2b ＝m (a －b )＋n (a ＋b )，即4a －2b ＝(m ＋n )a ＋(n －m )b ，于是⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝4，n －m ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3，n ＝1， ∴f (－2)＝3f (－1)＋f (1)． 又∵1≤f (－1)≤2，2≤f (1)≤4，∴5≤3f (－1)＋f (1)≤10，故5≤f (－2)≤10.方法二：由⎩⎪⎨⎪⎧f （－1）＝a －b ，f （1）＝a ＋b ，得⎩⎨⎧a ＝12[f （－1）＋f （1）]，b ＝12[f （1）－f （－1）]，∴f (－2)＝4a －2b ＝3f (－1)＋f (1)． 又∵1≤f (－1)≤2，2≤f (1)≤4，∴5≤3f (－1)＋f (1)≤10，故5≤f (－2)≤10.13．解：a a b b a b ba ＝a a －b b b －a ＝⎝⎛⎭⎫a b a －b .当a >b >0时，ab>1，a －b >0，则⎝⎛⎭⎫a b a －b >1，∴a a b b >a b b a ；当b >a >0时，0<ab<1，a －b <0，则⎝⎛⎭⎫a b a －b >1， ∴a a b b >a b b a ；当a ＝b >0时，⎝⎛⎭⎫a b a －b ＝1，∴a a b b ＝a b b a .综上知a a b b ≥a b b a (当且仅当a ＝b 时取等号)．课时作业(三十四)1．A [解析] 不等式可化为(x －1)(x －3)<0，解得1<x <3.2．D [解析] 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋4x －3>0，－x 2＋4x －3≠1，即⎩⎪⎨⎪⎧1<x <3，x ≠2，故函数f (x )的定义域为(1，2)∪(2，3)．3．A [解析] 由题意知－12，－13是方程ax 2－bx －1＝0的两个根，所以⎩⎨⎧⎝⎛⎭⎫－12＋⎝⎛⎭⎫－13＝b a，⎝⎛⎭⎫－12×⎝⎛⎭⎫－13＝－1a，得a ＝－6，b ＝5，则不等式x 2－bx －a <0即为x 2－5x ＋6<0，解集为(2，3)．4．A [解析] 由x 2－2ax －8a 2<0(a >0)，得(x ＋2a )(x －4a )<0(a >0)，解得－2a <x <4a ，故原不等式的解集为(－2a ，4a )．由x 2－x 1＝15，得4a －(－2a )＝15，即6a ＝15，所以a ＝52.5．4 [解析] x ⊗y ＝x (1－y )， 由(x －a )⊗(x －b )＞0，得(x －a )[1－(x －b )]＞0， 即(x －a )(x －b －1)＜0. ∵不等式(x －a )⊗(x －b )＞0的解集是(2，3)，∴x ＝2和x ＝3是方程(x －a )(x －b －1)＝0的两个根， ∴a ＋b ＋1＝2＋3，∴a ＋b ＝4.6．B [解析] 不等式x 2－ax ＋a >0(a ∈R )在R 上恒成立的充要条件是Δ＝a 2－4a <0，∴0<a <4，故所求的一个充分不必要条件可以是0<a <2.7．C [解析] 由题意知Δ＝16a 2－12a 2＝4a 2>0，又x 1＋x 2＝4a ，x 1x 2＝3a 2，∴x 1＋x 2＋a x 1x 2＝4a ＋13a ≥433，当且仅当a ＝36时取等号.8．C [解析] 原不等式等价于(ax ＋1)(x －2)>0，若a ＝0，则原不等式化为x －2>0，∴x >2.当a ≠0时，方程(ax ＋1)(x －2)＝0的两根分别是2，－1a ，若a <－12，则原不等式的解集为⎝⎛⎭⎫－1a ，2；若a ＝－12，则原不等式的解集为∅；若－12<a <0，则原不等式的解集为⎝⎛⎭⎫2，－1a ；若a >0，则原不等式的解集为⎝⎛⎭⎫－∞，－1a ∪(2，＋∞)．故①是假命题，②③④是真命题． 9．B [解析] 对一切实数x ，不等式x 2＋a ||x ＋1≥0恒成立等价于对任意实数t ≥0，f (t )＝t 2＋at ＋1≥0 恒成立，因此有⎩⎪⎨⎪⎧－a 2≤0，f （0）＝1>0或Δ＝a 2－4≤0，解得a ≥－2.10．(－∞，0] [解析] ∵不等式4x －2x ＋1－a ≥0在[1，2]上恒成立，∴4x －2x ＋1≥a 在[1，2]上恒成立．令y ＝4x －2x ＋1＝(2x )2－2×2x ＋1－1＝(2x －1)2－1， ∵1≤x ≤2，∴2≤2x ≤4.由二次函数的性质可知，当2x ＝2，即x ＝1时，y 取得最小值0， ∴实数a 的取值范围为(－∞，0]．11．(－∞，－1] [解析] 由已知得x 2＋12x ≥⎝⎛⎭⎫12n 对任意n ∈N *在x ∈(－∞，λ]上恒成立．∵ ⎝⎛⎭⎫12n ≤12，∴ x 2＋12x ≥12在x ∈(－∞，λ]上恒成立．解不等式x 2＋12x ≥12，得x ≤－1或x ≥12，∴ 当λ≤－1时，x 2＋12x ≥12在(－∞，λ]上恒成立．12．解：原不等式等价于(ax －2)(x －2)>0. 当a ＝0时，x <2.当a <0时，⎝⎛⎭⎫x －2a (x －2)<0，由2a <0<2，知2a <x <2. 当a >0时，⎝⎛⎭⎫x －2a (x －2)>0， 当0<a <1时，2a >2，故x <2或x >2a ；当a ＝1时，2a ＝2，故x ≠2；当a >1时，2a <2，故x <2a或x >2.综上所述：当a <0时，该不等式的解集为⎝⎛⎭⎫2a ，2； 当a ＝0时，该不等式的解集为(－∞，2)；当0<a <1时，该不等式的解集为(－∞，2)∪⎝⎛⎭⎫2a ，＋∞；当a ≥1时，该不等式的解集为⎝⎛⎭⎫－∞，2a ∪(2，＋∞)． 13．解：(1) 由题意，x ∈R 时，有x 2＋ax ＋3－a ≥0恒成立，则Δ＝a 2－4(3－a )≤0，即a 2＋4a －12≤0，所以－6≤a ≤2.故a 的取值范围是[－6，2]．(2) 当x ∈[－2，2]时，设g (x )＝x 2＋ax ＋3－a ，则原不等式化为g (x )≥0，分以下情况进行讨论：①由题意，当Δ＝a 2－4(3－a )≤0，即－6≤a ≤2时，满足题意． ②当g (x )的图像与x 轴有两个不同交点时，有⎩⎪⎨⎪⎧Δ>0，x ＝－a 2<－2，g （－2）≥0或⎩⎪⎨⎪⎧Δ>0，x ＝－a 2>2，g （2）≥0， 即⎩⎪⎨⎪⎧a 2－4（3－a ）>0，－a 2<－2，4－2a ＋3－a ≥0或⎩⎪⎨⎪⎧a 2－4（3－a ）>0，－a2>2，4＋2a ＋3－a ≥0，得－7≤a <－6.综上可得a ∈[－7，2]．课时作业(三十五)1．B [解析] 原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y >0，x －y >0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y <0，x －y <0，故选B. 2．B [解析] 由题知不等式组表示的平面区域为△ABC 及其内部(如图所示)，∴S △ABC ＝|4－0|×22＝4.3．B [解析] 作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x ＋2y －5≥0，4x －y －11≤0表示的可行域，如图所示．由图可知，当直线z ＝x ＋y 经过点A (1，2)时，z 取得最小值，最小值为3，即n ＝3；当直线z ＝x ＋y 经过点C (4，5)时，z 取得最大值，最大值为9，即m ＝9.故m －n ＝6.4．(－7，24) [解析] 由题意可知(9－2＋a )(－12－12＋a )<0，即(a ＋7)(a －24)<0，解得－7<a <24.5．2 [解析] 作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －4≤0，x －y ≤0，4x －y ＋4≥0表示的可行域，如图所示．(x －2)2＋y 2表示点P (2，0)到可行域内的点的距离的平方，结合图形可知点P (2，0)到可行域内的点的最小距离为点P 到直线x －y ＝0的距离，即|2－0|12＋（－1）2＝2，所以(x －2)2＋y 2的最小值为2.6．C [解析] 由a ⊥b ，得(x －z ，1)·(2，y ＋z )＝0， 即z ＝2x ＋y .画出不等式组表示的可行域，如图，由图可知，当直线z ＝2x ＋y 过B 点时，在y 轴上的截距最大，此时z 的值最大，求出B 点坐标为(1，1)，故z max ＝2×1＋1＝3.7．A [解析] 作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分(包括边界)所示，目标函数z ＝x ＋y x －2＝x －2＋y ＋2x －2＝1＋y ＋2x －2，设k ＝y ＋2x －2，则k 的几何意义为区域内的点与定点D (2，－2)连线的斜率，数形结合可知，直线AD 的斜率最小，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2，x －y ＋1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2，即A (1，2)，则直线AD 的斜率k AD ＝2＋21－2＝－4，则z min ＝1＋k AD ＝1－4＝－3，故选A.8．C [解析] 作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥1，x ＋y ≥1，1<x ≤a 表示的平面区域(图略)，该区域是以点(a ，a －1)，(a ，1－a )，(1，0)为顶点的三角形及其内部，但是不包含点(1，0)．因为目标函数z ＝x ＋2y的最大值为10，由图知，当直线z ＝x ＋2y 经过点(a ，a －1)时，z 取得最大值，所以a ＋2(a －1)＝10，解得a ＝4.9．C [解析] 作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1－y ≥0，x ＋y －4≤0，y ≥m对应的平面区域如图所示，由z ＝2x ＋y ，得y ＝－2x ＋z .由图可知，当直线y ＝－2x ＋z 经过点A 时，z 的值最大，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －4＝0，y ＝m ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4－m ，y ＝m ，即A (4－m ，m ),则z max ＝2×(4－m )＋m ＝8－m ；当直线y ＝－2x ＋z 经过点B 时，z 的值最小，由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1＝0，y ＝m ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝m －1，y ＝m ，即B (m －1，m )，则z min ＝2×(m －1)＋m ＝3m －2.∵目标函数z ＝2x ＋y 的最大值与最小值的差为2，∴8－m －3m ＋2＝2，即m ＝2.10．C [解析] 作出不等式组表示的可行域，如图所示．设z ＝x ＋y ，由图可知，当直线z ＝x ＋y 经过直线x －my ＋1＝0与直线2x －y －3＝0的交点A 时，z 最大，所以点A 也是直线x ＋y ＝9与直线2x －y －3＝0的交点．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝9，2x －y －3＝0，得A (4，5)，将点A 的坐标代入x －my ＋1＝0，得m ＝1.11.⎣⎡⎦⎤0，34[解析] 不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≥0，y ≤x ，2x ＋y －9≤0表示的平面区域D 如图所示，因为直线y ＝a (x ＋1)过定点(－1，0)，且直线y ＝a (x ＋1)与区域D 有公共点，当直线y＝a (x ＋1)过点A (3，3)时，3＝a (3＋1)，解得a ＝34，所以0≤a ≤34.12．2[解析] 作出可行域，如图中阴影部分所示，阴影部分的面积S ＝12×⎝⎛⎭⎫2a ＋2×2＝3，解得a ＝2.13.⎝⎛⎭⎫－23，35[解析] 画出可行域，如图，直线3x －5y ＋6＝0与2x ＋3y －15＝0交于点M (3，3)，由z ＝ax －y ，得y ＝ax －z ，其纵截距为－z ，当z 最小时，－z 最大．由图可知，要使直线y ＝ax －z 过(3，3)点时纵截距－z 最大，则－23<a <35.14．解：由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≤0，x >0，y ≤2作出可行域如图中阴影部分(不包括y 轴)所示．(1)z ＝yx表示可行域内的任意一点与坐标原点连线的斜率，由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1＝0，y ＝2，得B (1，2)， 由图可知，z max 不存在，z min ＝2， ∴z 的取值范围是[2，＋∞)．(2)z ＝x 2＋y 2表示可行域内的任意一点与坐标原点之间距离的平方， 由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1＝0，x ＝0，得A (0，1)， ∴|OA |2＝1，|OB |2＝5，由图可知，z max ＝5，z 无最小值， ∴z 的取值范围是(1，5]．15．解：(1)依题意知每天生产的伞兵个数为100－x －y ， 所以每天的利润w ＝5x ＋6y ＋3(100－x －y )＝2x ＋3y ＋300.(2)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋7y ＋4（100－x －y ）≤600，100－x －y ≥0，x ，y ∈N ，整理得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y ≤200，x ＋y ≤100，x ，y ∈N ，目标函数为w ＝2x ＋3y ＋300，作出可行域，如图中阴影部分(包括边界)的整数点所示．由图可知，当直线w ＝2x ＋3y ＋300经过点A 时，w 取得最大值． 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y ＝200，x ＋y ＝100，得A (50，50)，所以w max ＝550， 所以每天生产卫兵50个，骑兵50个，伞兵0个时利润最大，最大利润为550元． 16．解：设隔出大房间x 间，小房间y 间，获得的收益为z 元， 则⎩⎪⎨⎪⎧18x ＋15y ≤180，1000x ＋600y ≤8000，x ，y ∈N ，即⎩⎪⎨⎪⎧6x ＋5y ≤60，5x ＋3y ≤40，x ，y ∈N ，目标函数为z ＝200x ＋150y ，作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分(包含边界)内的整数点所示．由图可知，当直线z ＝200x ＋150y 过点A ⎝⎛⎭⎫207，607时，z 取得最大值，∵A 点的坐标不是整数，而x ，y ∈N ，∴点A 不是最优解．由图可知，使目标函数取得最大值的整数点一定分布在可行域的右上侧，这些整数点有(0，12)，(1，10)，(2，9)，(3，8)，(4，6)，(5，5)，(6，3)，(7，1)，(8，0)，分别代入z ＝200x ＋150y ，逐一验证，可得取整数点(0，12)和(3，8)时，z max ＝1800，∴应隔出小房间12间或大房间3间、小房间8间，才能获得最大收益．课时作业(三十六)1．A [解析] 当m ＝4时，因为x ＞0，所以利用基本不等式可得x ＋4x≥4恒成立；反之，当x >0时，若x ＋mx≥4恒成立，则m ≥4.故选A.2．C [解析] ∵a ，b 均为正数，∴⎝⎛⎭⎫1＋b a ⎝⎛⎭⎫1＋4a b ＝1＋b a ＋4a b ＋4≥5＋2b a ·4a b＝9，当且仅当b a ＝4ab，即b ＝2a 时取等号，故选C.3．B [解析] 设其中一段铁丝长为x ，则另一段铁丝长为16－x ，易知16>x >0.设围成的两个正方形面积之和为S ，则S ＝⎝⎛⎭⎫x 42＋⎝⎛⎭⎫16－x 42≥⎝⎛⎭⎫x 4＋16－x 422＝8，当且仅当x 4＝16－x 4，即x ＝8时，等号成立．故两个正方形面积之和的最小值为8.4．3 [解析] 因为x >1，所以x －1>0.又x ＋1x －1＝x －1＋1x －1＋1≥2＋1＝3，当且仅当x ＝2时等号成立，所以a 的最大值为3.5．3 [解析] 由2x －3＝12y ，得x ＋y ＝3，所以1x ＋4y ＝13(x ＋y )1x ＋4y ＝135＋4x y ＋y x ≥13×(5＋4)＝3，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝3，4x y ＝y x，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2时等号成立．6．B [解析] ∵a >1，b >1，∴lg a >0，lg b >0，则lg a ·lg b ≤（lg a ＋lg b ）24＝（lg ab ）24＝1，当且仅当a ＝b ＝10时取等号．7．B [解析] 因为x >1，所以y ＝x ＋1x ＋16x x 2＋1＝⎝⎛⎭⎫x ＋1x ＋16x ＋1x ≥2⎝⎛⎭⎫x ＋1x ·16x ＋1x＝8， 当且仅当x ＋1x＝4时等号成立，所以函数y ＝x ＋1x ＋16xx 2＋1的最小值为8.8．C [解析] 实数x ，y 满足xy －3＝x ＋y ，且x >1，可得y ＝x ＋3x －1，则y (x ＋8)＝（x ＋3）（x ＋8）x －1，令t ＝x －1(t >0)，即有x ＝t ＋1，则y (x ＋8)＝（t ＋4）（t ＋9）t ＝t ＋36t ＋13≥2t ·36t＋13＝12＋13＝25，当且仅当t ＝6，即x ＝7时等号成立． 9．B [解析] ∵圆x 2＋y 2－2x －4y ＝0的圆心为点(1，2)，半径r ＝5，直线ax ＋by －6＝0(a ＞0，b ＞0)被圆x 2＋y 2－2x －4y ＝0截得的弦长为25，∴圆心(1，2)在直线ax ＋by －6＝0上，∴a ＋2b ＝6.∵a ＞0，b ＞0，∴2ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋2b 22＝9，∴ab ≤92，当且仅当a ＝2b ＝3时，ab 取得最大值92.10．A [解析] 由题意，4x a ＋1x ≥4可化为a ≤x 2x －14，x 2x －14＝⎝⎛⎭⎫x －142＋12⎝⎛⎭⎫x －14＋116x －14＝⎝⎛⎭⎫x －14＋116x －14＋12，令t ＝x －14，x ∈[1，2]，则t ∈⎣⎡⎦⎤34，74.又y ＝t ＋116t ＋12在t ∈⎣⎡⎦⎤34，74上单调递增，所以y ∈⎣⎡⎦⎤43，167，所以a ∈⎝⎛⎦⎤0，43. 11．3 [解析] ∵x 2＋2xy －3＝0，∴y ＝3－x 22x ，∴2x ＋y ＝2x ＋3－x 22x ＝3x 2＋32x ＝3x 2＋32x≥23x 2·32x ＝3，当且仅当3x 2＝32x，即x ＝1时取等号，故2x ＋y 的最小值为3.12．3＋22 [解析] ∵f (－x )＝ln(－x ＋（－x ）2＋1)＝ln 1x ＋x 2＋1＝－ln(x ＋x 2＋1)＝－f (x )，∴f (x )为奇函数．由f (2a )＋f (b －1)＝0，得f (2a )＝－f (b －1)＝f (1－b )．又f (x )在其定义域上单调递增，∴2a ＝1－b ，∴2a ＋b ＝1，∴1a ＋1b ＝2a ＋b a ＋2a ＋b b ＝3＋b a ＋2ab≥3＋2b a ·2a b ＝3＋22，当且仅当b a ＝2a b 时等号成立，∴1a ＋1b 的最小值是3＋2 2.13．16 [解析] 由32＋x ＋32＋y＝1，得xy ＝8＋x ＋y . ∵x ，y 均为正实数，∴xy ＝8＋x ＋y ≥8＋2xy (当且仅当x ＝y 时等号成立)，即xy －2xy －8≥0， 解得xy ≥4，即xy ≥16，故xy 的最小值为16.14．解：(1)函数f (x )＝2x ，因为|2x |＝2|x |≥2|x |对一切实数x 均成立， 所以函数f (x )＝2x 是“圆锥托底型”函数． 对于g (x )＝x 3，假设存在M >0满足|x 3|≥M |x |，而当x ＝M 2时，由⎪⎪⎪⎪M 23≥M ⎪⎪⎪⎪M 2， 得M2≥M ，得M ≤0，与假设矛盾， 所以g (x )＝x 3不是“圆锥托底型”函数．(2)因为f (x )＝x 2＋1是“圆锥托底型”函数，故存在M >0，使得|f (x )|＝|x 2＋1|≥M |x |对任意实数x 恒成立．当x ≠0时，M ≤x ＋1x ＝|x |＋1|x |≥2，故当x ＝±1时，|x |＋1|x |取得最小值2，所以M ≤2，而当x ＝0时，|x 2＋1|≥M |x |恒成立，所以M 的最大值等于2.15．解：(1)当x ＝0时，C ＝8，∴k ＝40，∴C ＝403x ＋5(0≤x ≤10)，∴f (x )＝6x ＋20×403x ＋5＝6x ＋8003x ＋5(0≤x ≤10)．(2)f (x )＝2(3x ＋5)＋8003x ＋5－10(0≤x ≤10)，设3x ＋5＝t ，t ∈[5，35]，则2t ＋800t －10≥2 2t ·800t －10＝70，当且仅当2t ＝800t，即t ＝20时等号成立，此时x ＝5，∴f (x )的最小值为70.故当隔热层的厚度为5厘米时，总费用最少，最少总费用为70万元．16．解：(1)由题意知，当直线z ＝2x －y 经过点A (1，0)时，z 有最小值2；当直线z ＝2x －y 经过点C (4，4)时，z 有最大值4.故M ＝2，N ＝4.(2)由(1)知m ＋n ＝2，所以4m ＋9n ＝124m ＋9n (m ＋n )＝124＋9＋4n m ＋9m n ≥1213＋2 4n m ·9m n ＝252，当且仅当4n m ＝9m n时等号成立．又m ＋n ＝2，所以m ＝45，n ＝65.(3)由(1)知m ＋n ＋mn ＝4.因为m ＋n ≥2mn ，所以2mn ＋mn ≤4.令t ＝mn >0，则t 2＋2t －4≤0，解得－1－5≤t ≤－1＋5， 又t >0，所以0<t ≤－1＋5，故mn 的最大值为6－2 5.因为mn ≤m ＋n 22，所以m ＋n ＋m ＋n 22≥4.令s ＝m ＋n >0，则s 2＋4s －16≥0，解得s ≥－2＋2 5或s ≤－2－2 5(舍去)，即m ＋n 的最小值为－2＋2 5.课时作业(三十七)1．A [解析] 直线平行于平面并不一定会和平面内的所有直线都平行．2．B [解析] 由特殊到一般的推理过程，符合归纳推理的定义；由特殊到与它类似的另一个特殊的推理过程，符合类比推理的定义；由一般到特殊的推理符合演绎推理的定义．A是演绎推理，C ，D 为类比推理，只有B ，由S 1，S 2，S 3猜想出数列的前n 项和S n 是从特殊到一般的推理，所以B 是归纳推理．3．B [解析] ①②正确，③④⑤⑥错误．4．C [解析] 由题意知，每个等式正偶数的个数组成的等差数列为3，5，7， (2)＋1，…，其前n 项和S n ＝n [3＋（2n ＋1）]2＝n (n ＋2)，且S 31＝1023，即第31个等式中最后一个偶数是1023×2＝2046，且第31个等式中含有63个偶数，故2016在第31个等式中．5.n ＋22n ＋2[解析] f (1)＝1－a 1＝1－14＝34， f (2)＝(1－a 1)(1－a 2)＝34×⎝⎛⎭⎫1－19＝23＝46， f (3)＝(1－a 1)(1－a 2)(1－a 3)＝23×⎝⎛⎭⎫1－116＝58， 推测f (n )＝n ＋22n ＋2. 6．B [解析] 由55＝3125，56＝15 625，57＝78 125，58＝390 625，59＝1 953 125，510＝9 765 625，511＝48 828 125，…，可以看出这些幂的最后四位数字是以4为周期变化的．∵2014＝503×4＋2，∴52014的末四位数字与56的末四位数字相同，是5625.7．B [解析] 观察可知各式的值构成数列2，3，5，8，13，…，从第三项起，每一项均等于前两项之和，即5＝2＋3，8＝3＋5，13＝5＋8，由此可知a 10＋b 10＋c 10＝144.8．D [解析] 若甲猜对，则乙错，即3号选手也得第一名，与题设矛盾；若乙猜对，则甲、丙、丁都错，由甲、丁错可知，6号选手得第一名，与丙错矛盾；若丙猜对，则乙错，与题设矛盾．故猜对者一定是丁．9．C [解析] 在等差数列{a n }中，由a 2＋a 4＝a p ＋a q ，得p ＋q ＝6.当p ＝1，q ＝5时，1p＋9q ＝145；当p ＝2，q ＝4时，1p ＋9q ＝114；当p ＝3，q ＝3时，1p ＋9q ＝103；当p ＝4，q ＝2时，1p ＋9q ＝194；当p ＝5，q ＝1时，1p ＋9q ＝465.故当p ＝2，q ＝4时，1p ＋9q 取得最小值114，所以m ＝114，即b 1＝12.由2b n ＋1－b n ·b n ＋1＝1，可得b n ＋1＝12－b n .由b 1＝12，得b 2＝12－12＝23，b 3＝12－23＝34，…，归纳出b n ＝n n ＋1，经验证满足2b n ＋1－b n ·b n ＋1＝1，所以b n n 2＝1n （n ＋1）＝1n －1n ＋1，所以b 1＋b 222＋b 332＋…＋b 1001002＝100101. 10．B [解析] 由a 1＝1，a 2＝2，a 3＝3，归纳出a 10＝10.11.2n ＋1n ＋1[解析] 由各式的规律可知，右边的分子为以3为首项，以2为公差的等差数列，分母为以2为首项，以1为公差的等差数列，依此类推可以得到，当n ∈N *时，1＋122＋132＋…＋1（n ＋1）2＜2n ＋1n ＋1. 12．解：(1)若a 1，a 2，…，a n ∈R ，a 1＋a 2＋…＋a n ＝1，则a 21＋a 22＋…＋a 2n ≥1n. (2)证明：构造函数f (x )＝(x －a 1)2＋(x －a 2)2＋…＋(x －a n )2，即f (x )＝nx 2－2(a 1＋a 2＋…＋a n )x ＋a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝nx 2－2x ＋a 21＋a 22＋…＋a 2n .因为对一切x ∈R ，恒有f (x )≥0，所以Δ＝4－4n (a 21＋a 22＋…＋a 2n )≤0，从而得a 21＋a 22＋…＋a 2n ≥1n. 课时作业(三十八)1．B [解析] 因为S n ＝2n 2－3n ，所以n ＝1时a 1＝S 1＝－1.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n 2－3n －2(n －1)2＋3(n －1)＝4n －5.又a 1＝－1满足上式，所以a n ＝4n －5，故{a n }为等差数列，即命题成立．2．B [解析] a ，b ，c 中恰有一个是偶数说明有且只有一个是偶数，其否定为a ，b ，c 均为奇数或a ，b ，c 中至少有两个偶数．3．A [解析] a ＝3－2＝13＋2， b ＝6－5＝16＋5，c ＝7－6＝17＋6， ∵7＋6>6＋5>3＋2>0，∴a >b >c .4．D [解析] 因为a 2＋b 2－1－a 2b 2≤0，所以(a 2－1)(b 2－1)≥0.故选D.5．a ，b 都不能被5整除 [解析] 由反证法的定义得，反设为“a ，b 都不能被5整除”．6．C [解析] ⎝⎛⎭⎫a 2x ＋b 21－x (x ＋1－x )＝a 2＋a 2（1－x ）x ＋b 2x 1－x＋b 2≥a 2＋b 2＋2ab ＝(a ＋b )2， 当且仅当x ＝a a ＋b时，等号成立． 7．D [解析] 对于①，结论的否定是p ＋q >2，故①中的假设错误；对于②，其假设正确．故选D.8．C [解析] ①②正确；③中，a ≠b ，b ≠c ，a ≠c 可以同时成立，如a ＝1，b ＝2，c ＝3.故正确的说法有2个．9．C [解析] 因为⎝⎛⎭⎫y x ＋y z ＋⎝⎛⎭⎫z x ＋z y ＋⎝⎛⎭⎫x z ＋x y ＝⎝⎛⎭⎫y x ＋x y ＋⎝⎛⎭⎫y z ＋z y ＋⎝⎛⎭⎫z x ＋x z ≥6， 当且仅当x ＝y ＝z 时等号成立，所以三个数中至少有一个不小于2，故选C.10.⎝⎛⎭⎫12，1 [解析] (1)当a ＝0时，方程无解．(2)当a ≠0时，令f (x )＝ax ＋a －1，则f (x )在区间(0，1)上是单调函数，依题意得f (0)f (1)<0，∴(a －1)(2a －1)<0，∴12<a <1. 11.332[解析] ∵f (x )＝sin x 在区间(0，π)上是凸函数， 且A ，B ，C ∈(0，π)，∴f （A ）＋f （B ）＋f （C ）3≤f ⎝⎛⎭⎫A ＋B ＋C 3＝f ⎝⎛⎭⎫π3，即sin A ＋sin B ＋sin C ≤3sin π3＝332， ∴sin A ＋sin B ＋sin C 的最大值为332. 12．证明：因为b a >0，a b >0，所以要证 b a >a b ，只需证a ln b >b ln a ，只需证ln b b >ln a a. 令f (x )＝ln x x ，因为f ′(x )＝1－ln x x 2， 所以当x >e 时，f ′(x )<0，所以函数f (x )在(e ，＋∞)上单调递减．故当a >b >e 时，有f (b )>f (a )，即ln b b >ln a a， 原不等式得证．13．解：(1)证明：由已知得SA 2＋AD 2＝SD 2，∴SA ⊥AD .同理SA ⊥AB .又AB ∩AD ＝A ，∴SA ⊥平面ABCD .(2)假设在棱SC 上存在异于S ，C 的点F ，使得BF ∥平面SAD .∵BC ∥AD ，BC ⊄平面SAD ，∴BC ∥平面SAD .而BC ∩BF ＝B ，∴平面SBC ∥平面SAD ，这与平面SBC 和平面SAD 有公共点S 矛盾，∴假设不成立．故不存在这样的点F ，使得BF ∥平面SAD .课时作业(三十九)1．D [解析] 因为n ＝k 时，左边最后一项为2k （k ＋1），n ＝k ＋1 时，左边最后一项为2（k ＋1）（k ＋2），所以需要添加的项是2（k ＋1）（k ＋2）. 2．C [解析] 当n ＝1时，左边是12＋cos α. 3．D [解析] 当n ＝k 时，左边为1＋12＋13＋…＋12k －1，当n ＝k ＋1时，左边为1＋12＋13＋…＋12k ＋1－1， 所以增加的项为12k ＋12k ＋1＋…＋12k ＋1－1，共增加了2k 项． 4．2(2k ＋1) [解析] 当n ＝k 时，左边为(k ＋1)(k ＋2)…(k ＋k )，当n ＝k ＋1时，左边为(k ＋2)(k ＋3)…(k ＋k )(2k ＋1)(2k ＋2)，故从n ＝k 到n ＝k ＋1时，左边应增加的代数式是（2k ＋1）（2k ＋2）（k ＋1）＝2(2k ＋1)． 5．6 [解析] 由题意知，n ＝5时，命题成立，可推得n ＝6时命题也成立，故当n ＝6时命题不成立，可推得n ＝5时命题也不成立．6．D7．D [解析] 在n ＝k ＋1时，没有应用n ＝k 时的假设，不是数学归纳法．8．D [解析] 当n ＝9时，29＝512<93，原不等式不成立，当n ＝10时，210＝1024>103，原不等式成立，所以n 的最小值为10.9．D [解析] a 1＝1－12，a 2＝1－12＋13－14，…，a k ＝1－12＋13－14＋…＋12k －1－12k，a k ＋1＝a k ＋12k ＋1－12k ＋2. 10．D [解析] (1)当k ＝1时，显然只有3(2＋7k )能被9整除．(2)假设当k ＝n (n ∈N *)时，命题成立，即3(2＋7n )能被9整除，那么当k ＝n ＋1时，3(2＋7n ＋1)＝21(2＋7n )－36，故k ＝n ＋1时命题也成立．由(1)(2)可知，命题对任意k ∈N *都成立．11．A [解析] ∵等式对一切n ∈N *均成立，∴n ＝1，2，3时等式成立，即⎩⎪⎨⎪⎧1＝3（a －b ）＋c ，1＋2×3＝32（2a －b ）＋c ，1＋2×3＋3×32＝33（3a －b ）＋c ，整理得⎩⎪⎨⎪⎧3a －3b ＋c ＝1，18a －9b ＋c ＝7，81a －27b ＋c ＝34，得a ＝12，b ＝c ＝14. 12.k （k ＋1）2（2k ＋1）＋（k ＋1）2（2k ＋1）（2k ＋3）＝（k ＋1）（k ＋2）2（2k ＋3）[解析] 当n ＝k ＋1时， 121×3＋223×5＋…＋k 2（2k －1）（2k ＋1）＋（k ＋1）2（2k ＋1）（2k ＋3）＝ k （k ＋1）2（2k ＋1）＋（k ＋1）2（2k ＋1）（2k ＋3）， 故只需证明k （k ＋1）2（2k ＋1）＋（k ＋1）2（2k ＋1）（2k ＋3）＝（k ＋1）（k ＋2）2（2k ＋3）. 13．k ＋1 [解析] 当n ＝k ＋1时，第k ＋1条直线被前k 条直线分成(k ＋1)段，而每一段将它们所在区域一分为二，故增加了(k ＋1)个区域．14．解：(1)由已知条件得2b n ＝a n ＋a n ＋1，a 2n ＋1＝b n b n ＋1，由此算出a 2＝6，a 3＝12，a 4＝20，b 2＝9，b 3＝16，b 4＝25.(2)由(1)的计算可以猜想a n ＝n (n ＋1)，b n ＝(n ＋1)2.下面用数学归纳法证明：①当n ＝1时，由已知a 1＝2，b 1＝4可得结论成立．②假设当n ＝k (k ∈N *)时猜想成立，即a k ＝k (k ＋1)，b k ＝(k ＋1)2，那么，当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝2b k －a k ＝2(k ＋1)2－k (k ＋1)＝k 2＋3k ＋2＝(k ＋1)(k ＋2)，b k ＋1＝a 2k ＋1b k ＝（k ＋1）2（k ＋2）2（k ＋1）2＝(k ＋2)2， 因此当n ＝k ＋1时，结论也成立．由①和②知，对一切n ∈N *，都有a n ＝n (n ＋1)，b n ＝(n ＋1)2成立．15．解：(1)a 2＝a 21－2a 1＋2＝5，a 3＝a 22－2×2a 2＋2＝7，a 4＝a 23－2×3a 3＋2＝9，猜想a n ＝2n ＋1(n ∈N *)．(2)S n ＝n （3＋2n ＋1）2＝n 2＋2n (n ∈N *)， 使得S n <2n 成立的最小正整数n ＝6.下面用数学归纳法证明：对于所有的n ≥6(n ∈N *)，都有2n >n 2＋2n 成立．①当n ＝6时，26＝64，62＋2×6＝48，64>48，不等式成立．②假设n ＝k (k ≥6，k ∈N *)时，2k >k 2＋2k 成立，那么当n ＝k ＋1时，2k ＋1＝2·2k >2(k 2＋2k )＝k 2＋2k ＋k 2＋2k >k 2＋2k ＋3＋2k ＝(k ＋1)2＋2(k＋1)，即n ＝k ＋1时，不等式成立．由①②可得，对于所有的n ≥6(n ∈N *)，都有2n >n 2＋2n 成立．16．证明：(1)当n ＝2时，a 1＝－a 2，∴2|a 1|＝|a 1|＋|a 2|≤1，即|a 1|≤12， ∴|b 1＋b 2|＝⎪⎪⎪⎪a 1＋a 22＝|a 1|2≤14＝12－12×2，即当n ＝2时，不等式成立． (2)假设当n ＝k (k ∈N *且k ≥2)时，不等式成立，即当a 1＋a 2＋…＋a k ＝0，且|a 1|＋|a 2|＋…＋|a k |≤1时，有|b 1＋b 2＋…＋b k |≤12－12k， 则当n ＝k ＋1时，由a 1＋a 2＋…＋a k ＋a k ＋1＝0，且|a 1|＋|a 2|＋…＋|a k ＋1|≤1，得2|a k ＋1|＝|a 1＋a 2＋…＋a k |＋|a k ＋1|≤|a 1|＋|a 2|＋…＋|a k ＋1|≤1，∴|a k ＋1|≤12. 又∵a 1＋a 2＋…＋a k －1＋(a k ＋a k ＋1)＝0，且|a 1|＋|a 2|＋…＋|a k －1|＋|a k ＋a k ＋1|≤|a 1|＋|a 2|＋…＋|a k ＋1|≤1，∴由假设可得⎪⎪⎪⎪b 1＋b 2＋…＋b k －1＋a k ＋a k ＋1k ≤12－12k ， ∴|b 1＋b 2＋…＋b k ＋b k ＋1|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪b 1＋b 2＋…＋b k －1＋a k k ＋a k ＋1k ＋1＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎝⎛⎭⎫b 1＋b 2＋…＋b k －1＋a k ＋a k ＋1k ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a k ＋1k ＋1－a k ＋1k ≤12－12k ＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪a k ＋1k ＋1－a k ＋1k ＝12－12k ＋⎝⎛⎭⎫1k －1k ＋1|a k ＋1|≤12－12k ＋⎝⎛⎭⎫1k －1k ＋1×12＝12－12（k ＋1），即当n ＝k ＋1时，不等式也成立． 由(1)和(2)可知，原不等式成立．。

全品高考复习方案数学(理科) RJA课时作业(三十三)1.A[解析] 因为M-N=2a(a-2)-(a+1)(a-3)=a2-2a+3=(a-1)2+2>0,所以M>N,故选A.2.D[解析] 因为“a>b”不能推出“|a|>|b|”成立,且“|a|>|b|”也不能推出“a>b”成立,所以“a>b”是“|a|>|b|”的既不充分也不必要条件.故选D.3.C[解析] 取a=1,b=-1,排除选项A;取a=0,b=-1,排除选项B;取c=0,排除选项D;显然>0,则不等式a>b的两边同时乘,所得不等式仍成立.故选C.4.[-1,8)[解析] 因为-5<b<3,所以0≤|b|<5,又因为-1≤a≤3,所以-1≤a+|b|<8,所以a+|b|的取值范围是[-1,8).5.d>b>a>c [解析] ∵a+b=c+d,a+d>c+b,∴2a>2c,即a>c,∴b<d.∵a+c<b,∴a<b.综上可得d>b>a>c.6.B[解析] c=0时,①错误;a>0>b时,②错误;根据不等式的性质知③正确;根据指数函数的性质可知④正确.故正确的有2个.7.D[解析] A中,当x=1时,不成立;B中,当x=0时,不成立;C中,当a=0,b=-1时,不成立;D中,因为2x>0,所以a·2x>b·2x成立.故选D.8.A[解析] 由题可知a=log2<log2==b,又a=×=×,那么c=log53=×=×<×=a,则c<a<b.故选A.9.B[解析] ∵x>0,y>0,=---=-<1,∴x<y,故选B.10.A[解析] ∵a<b,(c-a)(c-b)<0,(d-a)(d-b)>0,∴a<c<b,且d<a或d>b,结合d<c,知d<a<c<b.故选A.11.C[解析] 特例法:例如蔬菜A连续10天的价格分别为1,2,3,4,…,10,蔬菜B连续10天的价格分别为10,9,…,1时,A≺B,B≺A同时不成立,故选C.12.< [解析] ∵a≠b,a<0,∴a-2b-=-<0,∴a<2b-.13.-[解析] 由函数的解析式可知0<a+b<2,-1<-a+b<1,又2a-b=(a+b)-(-a+b),结合不等式的性质可得2a-b∈-,.14.(-24,8)[解析] 当-3<a≤0时, ∈(-24,0];当0<a<1时, ∈(0,8).故的取值范围是(-24,8).15.A[解析] 当x=1,y=-1 时,-6≤a-b+c≤4,所以a-b+c的最小值为-6,最大值为4,故B,D错误;当x=-1,y=-1 时,-12≤-a-b+c≤-2,则2≤a+b-c≤12,所以a+b-c的最小值为2,最大值为12,故A正确,C错误.故选A.16.2[解析] 设2a+3b=x(a+b)+y(a-b),则-解得-因为-≤(a+b)≤,-2≤-(a-b)≤-1,所以-≤(a+b)-(a-b)≤,即-≤2a+3b≤,所以m+n=2.课时作业(三十四)1.A[解析] 由x2-3x-10<0,解得-2<x<5.2.A[解析] 由x2-x-2<0,得-1<x<2,故选A.3.C[解析] 由(x-1)(x-2)<2,解得0<x<3,所以(x+1)(x-3)=x2-2x-3=(x-1)2-4∈[-4,0),故选C.4.(-∞,-6]∪[2,+∞)[解析] 由已知得方程x2-ax-a+3=0有实数根,即Δ=a2+4(a-3)≥0,故a≥2或a ≤-6.5.2[解析] 由题意知,a≠0,方程ax2-6x+a2=0的根为1,m,且m>1,则所以m=2.6.B[解析] 不等式x2<ax+b可化为x2-ax-b<0,其解集是{x|1<x<3},那么,由根与系数的关系得-得-所以b a=(-3)4=81.故选B.7.A[解析] 设f(x)=2x-x2,则当x∈[-2,3]时,f(x)=-(x-1)2+1∈[-8,1],因为存在x∈[-2,3],使不等式2x-x2≥a成立,所以a≤f(x)max,所以a≤1,故选A.8.B[解析] 由题意知3是方程xf(x-1)=a的一个根,则a=3f(3-1)=3×(2-1)=3,故选B.9.A[解析] 令g(x)=x2-4x-2,x∈(1,4),易得g(x)<g(4)=-2,所以a<-2.10.B[解析] 由题意有(1-a i x)2<1⇔x2-2a i x<0⇔x x-<0,所以不等式的解集为0,.又0<<<,所以x的取值范围为0,,故选B.11.B[解析] 由题意知征收耕地占用税后每年损失耕地为20-t万亩,则税收收入为20-t×24 000×t%万元,由题意有20-t×24 000×t%≥9000,整理得t2-8t+15≤0,解得3≤t≤5,∴当耕地占用税税率为3%~5%时,既可减少耕地损失又可保证此项税收一年不少于9000万元.∴t的取值范围是3≤t≤5,故选B.12.(-∞,-2][解析] f(x)=x2-2ax+a2-1=[x-(a+1)][x-(a-1)],则f(x)<0⇒a-1<x<a+1,则f[f(x)]<0⇒a-1<f(x)<a+1.而f(x)=(x-a)2-1≥-1,若关于x的不等式f[f(x)]<0的解集为空集,则(a-1,a+1)∩[-1,+∞)=⌀,则a+1≤-1,解得a≤-2.13.-,[解析] 记f(m)=mx2-2x-m+1=(x2-1)m+1-2x(|m|≤2),则f(m)<0恒成立等价于-----解得-<x<.14.-[解析] 由题意,f[f(x)]≤3,则f(x)≥0或∴f(x)≥-3,∴x<0或--∴x≤.15.B[解析] 设f(x)=x2-2(a-2)x+a,当Δ=4(a-2)2-4a<0,即1<a<4时,f(x)>0对x∈R恒成立.当Δ=0时,a=1或a=4,当a=1时,f-=0,不合题意;当a=4时,f(2)=0,符合题意.当Δ>0时,需满足-即或即4<a≤5.综上,实数a的取值范围是(1,5].16.-6[解析] 因为x∈[1,2],所以ax2+bx+c≤1等价于a≤--,由题意知存在a∈[1,2],使得不等式a≤--对任意x∈[1,2]恒成立,所以--≥1,即x2+bx+c-1≤0对x∈[1,2]恒成立,所以--即-所以7b+5c=3(b+c)+2(2b+c)≤-6,即7b+5c的最大值为-6.课时作业(三十五)1.C[解析] 原不等式等价于不等式组--或--分别画出两个不等式组所表示的平面区域(图略),观察可知选C.2.C[解析] ∵点(-3,-1)和(4,-6)在直线3x-2y-a=0的两侧,∴(-9+2-a)(12+12-a)<0,即(a+7)(a-24)<0,解得-7<a<24,故选C.3.B[解析] 如图,不等式+-6≤0所对应的平面区域为一个菱形及其内部,菱形的对角线长分别为12,4,所以其面积为×12×4=24,故选B.4.正方形[解析] 不等式组表示的平面区域由四条直线x=1,x=-1,y=2,y=4围成,其形状为正方形.5.5[解析] 由约束条件-作出可行域如图所示,由-得-得A(2,-1).由图可知x2+y2的最大值为22+(-1)2=5,故答案为5.6.B[解析] 由约束条件作出可行域如图所示,目标函数z=x-2y可化为y=x-z,其中-z表示斜率为的直线在y轴上的截距,通过平移可知,当直线经过点A(3,1)时-z取到最大值,即z取得最小值,最小值为1.故选B.7.B[解析] 作出可行域如图所示,目标函数z=2x+y可化为y=-2x+z,其中z表示斜率为-2的直线在y轴上的截距,由图可知,当直线过点A,时z取得最大值,故选B.8.A[解析] 作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示,又表示区域内的点与原点=,故选A.连线的斜率,由图知,=--9.D[解析] 画出可行域(图略),由题意知只需要点(-m,m)在直线x-2y=2的下方即可,得到-m-2m>2,解得m<-.故选D.10.A[解析] 如图,作出可行域D,要存在点P(x,y)∈D,使x2+y2≥m成立,只需m≤(x2+y2)max.而x2+y2表示可行域D中的点与原点间距离的平方,由图可知,点A,与原点间距离的平方最大,所以(x2+y2)max=,即m≤,所以m的最大值为,故选A.11.[0,2][解析] ·=-x+y,在平面直角坐标系内作出可行域如图所示.由图可知,当M在点C(0,2)处时,·=-x+y有最大值,即(·)max=-0+2=2;当M在点A(1,1)处时,·=-x+y有最小值,即(·)min=-1+1=0.所以·的取值范围为[0,2].12.m>1[解析] 画出可行域如图所示,易知A(1,3),要使目标函数z=y-mx取得最大值时有唯一的最优解(1,3),则需直线y=mx+z过点A时在y轴上的截距最大,此时直线斜率大于1即可,故m>1.13.解:设投资人对甲、乙两个项目分别投资x万元、y万元,盈利为z万元,由题意有即z=x+0.5y.作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示,由图可知,当直线y=-2x+2z过点M时,在y轴上的截距最大,这时z也取得最大值.解方程组得即M(4,6),z max=1×4+0.5×6=7.故投资人投资甲项目4万元,投资乙项目6万元,才能使可能的盈利最大,最大盈利额为7万元.14.解:设隔出大房间x间,小房间y间,获得的收益为z元,则∈即∈目标函数为z=200x+150y,作出不等式组表示的平面区域,如图中阴影部分(包含边界)内的整点所示.由图可知,当直线z=200x+150y过点A时,z取得最大值,∵A点的坐标不是整数,而x,y∈N,∴点A不是最优解.由图可知,使目标函数取得最大值的整数点一定分布在可行域的右上侧,这些整数点有(0,12),(1,10),(2,9),(3,8),(4,6),(5,5),(6,3),(7,1),(8,0),分别代入z=200x+150y,逐一验证,可得取整数点(0,12)和(3,8)时,z max=1800,∴应隔出小房间12间或大房间3间、小房间8间,才能获得最大收益.15.C[解析] 画出集合M表示的平面区域如图所示,N表示以P(2,0)为圆心,半径为r的圆.又M∩N≠⌀,所以当圆P与直线x+y=1相切时半径r最小,此时r=;当圆P过直线y=x和y=-1的交点时r最大,此时r=.故选C.16.D[解析] 作出可行域如图所示.将z=mx+y化为y=-mx+z,由图可得,当-m≥2,即m≤-2时,直线y=-mx+z过点A,-1时,z取得最大值m-1=3,解得m=8(舍);当-m≤-1,即m≥1时,直线y=-mx+z过点B(2,-1)时,z取得最大值2m-1=3,解得m=2;当-1<-m<2,即-2<m<1时,直线y=-mx+z过点C(1,0)时,z取得最大值m+0=3,得m=3(舍).故选D.课时作业(三十六)1.C[解析] 因为>0,>0,·=1,≠,所以+>2,故选C.2.B[解析] 由题意得4=lg x+lg y,所以xy=104,又x>1,y>1,所以x+y≥2=200,当且仅当x=y=100 时取等号,即x+y有最小值200,故选B.3.C[解析] f(x)=x+-=x-2+-+2≥4,当且仅当x-2=1,即x=3时等号成立,∴a=3,故选C.4.[解析] 因为a>0,b>0,所以4=2a+b≥2,即≤2⇒ab≤2,当且仅当a=1,b=2时等号成立,所以≥.5.3+2[解析] ∵a+2b=1,∴+=+(a+2b)=3++≥3+2,当且仅当a=b且a+2b=1时等号成立,∴+的最小值为3+2.6.D[解析] 根据题意,2a+b+c=(a+c)+(a+b),又a,b,c均大于0,∴a+c>0,a+b>0,∴2a+b+c=(a+c)+(a+b)≥2=2-=2×(-1)=2-2,即2a+b+c的最小值为2-2,故选D.7.B[解析] 当x=0时,任意实数a均满足题意;当x≠0时,a≥--=-|x|-恒成立,又-|x|-≤-2,当且仅当x=±1时取等号,所以a≥-2.故选B.8.B[解析] ∵x,y∈R,x2+y2+xy=315,∴x2+y2=315-xy,∴315-xy≥2xy,∴xy≤105,∴x2+y2-xy=315-2xy≥315-210=105.故选B.9.A[解析] 由2a+2b=2c,得2a-c+2b-c=1,∴2a-c+ 2b-c= 1≥2--,∴-≤,∴2a+b-2c≤= 2-2,∴a+b-2c≤-2.故选A.10.1[解析] 因为f(x)=x-1+-+1≥2+1,所以2+1=3,解得m=1.11.6[解析] 设正三棱柱的底边长为x,高为y,则6x+3y=12,由基本不等式可得6x+3y=12≥2xy≤2⇒3xy≤6,故三棱柱的侧面积的最大值为6.12.[解析] ∵a∥b,∴4-n-2m=0,即2m+n=4.∵m>0,n>0,∴+=(n+2m)+=×10++≥×10+2=,当且仅当4m=n=时取等号.∴+的最小值是.13.证明:因为a,b,c为正实数,所以由基本不等式得,+a≥2c,+b≥2a,+c≥2b,三式相加,得++≥a+b+c,又a+b+c=3,所以++≥3.14.解:(1)由题意得12×(500-x)(1+0.5x%)≥12×500,整理得x2-300x≤0,解得0≤x≤300,又x>0,故0<x≤300.(2)由题意知,生产B产品创造的利润为12a-x x万元,设备升级后,生产A产品创造的利润为12(500-x)(1+0.5x%)万元,则12a-x x≤12(500-x)(1+0.5x%)恒成立,∴ax≤+500+x恒成立,且x>0,∴a≤++恒成立.∵+≥4,当且仅当x=250时等号成立,∴0<a≤5.5,∴a的最大值为5.5.15.A[解析] 易知a>0,Δ≤0,故c≥,则-≥-=-=--≥--=--=3,当3a=b-a且c=,即b=c=4a时,-取得最小值3,故选A.16.2[解析] 二次不等式ax2+2x+b≥0恒成立,则a>0且Δ=4-4ab≤0,即ab≥1.又存在x0∈R,a+2x0+b=0,所以Δ=0,所以ab=1.又a>b,所以a>1,所以-=-=->0,所以-=-=-=---.令a2+=t>2,则-=---=(t-2)+4+-≥4+4=8,当且仅当t=4时等号成立,所以-的最小值为=2.课时作业(三十七)1.A[解析] 实数0的绝对值等于0,不大于0,大前提错误.2.B[解析] 将三角形的边类比为四面体的面,因此三边的中点类比成各正三角形的中心,故选B.3.A[解析] 观察各个正方形图案可知其圆点的个数依次为4,8,12,16,…,所以各图案中圆点的个数构成一个首项为4,公差为4的等差数列,因此S n=(n-1)×4+--×4=2n2-2n,故选A.4.n2[解析] 第1个式子和为1,第2个式子和为4,第3个式子和为9,第4个式子和为16,故第n个式子和为n2.5.=[解析] 结合等差数列和等比数列的性质,类比题中的结论可得,在正项等比数列中,类似的结论为=.6.A[解析] 由题意有,2016年是丙申年,则2017年是丁酉年,故选A.7.D[解析] 所给条件无法确定整个数列满足a n=n,①错误;由平面三角形的性质推测空间四面体的性质,是合情推理,②正确;类比时,平面中的三角形与空间中的三棱锥作为类比对象较为合适,③错误;所给命题满足三段论推理,但其结论确实错误,④正确.故选D.8.当12<x<13时,f(x)max=9[解析] 结论1:当2<x<3时,f(x)max=-1=2×1-3.结论2:当4<x<5时,f(x)max=1=2×2-3.结论3:当6<x<7时,f(x)max=3=2×3-3.根据规律,可以归纳得出,结论6:当12<x<13 时,f(x)max=2×6-3=9.故答案为:当12<x<13 时,f(x)max=9.9.=S△BCO·S△BCD[解析] 从题中条件不难发现:图甲中的AC⊥AB对应图乙中的AD⊥平面ABC,图甲中的AD⊥BC对应图乙中的AO⊥平面BCD,因此在类比的结论中,图甲中的边AB 对应图乙中的△ABC,图甲中的BC对应图乙中的△BCD,图甲中的BD对应图乙中的△BOC.故有=S△BCO·S△BCD.10.A[解析] 由题设可得f(1)(x)=cos x,f(2)(x)=-sin x,f(3)(x)=-cos x,f(4)(x)=sin x,f(5)(x)=cos x,显然f(n)(x)=f(n+4)(x).又f(1)(x)+f(2)(x)+f(3)(x)+f(4)(x)=0,且2017=504×4+1,所以f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2017)=f(1)(15°)=cos 15°=,故选A.11.①③[解析] 由题设得,丁所在方向是A方向,如果丙所在方向不是D方向,那么丁所在方向就不是A方向,故丙所在方向是D方向,从而乙所在方向是C方向,甲所在方向是B方向,故①③正确.课时作业(三十八)1.B[解析] 没有实根的反面为至少有一个实根,故选B.2.D[解析] 由题意,将不等式左边因式分解即可,故选D.3.C[解析] 由等差数列的前n项和公式得S2k+1==(2k+1)a k+1>0,故选C.4.②[解析] ①用反证法证明时,假设命题为假,应为全面否定,所以p+q≤2 的否定应为p+q>2,故①错误.②已知a,b∈R,+<1,求证方程x2+ax+b=0 的两根的绝对值都小于1,根据反证法的定义,可假设≥1,故②正确.5.A[解析] 设女护士、男护士、女医生、男医生人数分别为a,b,c,d,则有:①a+b≥c+d;②d>a;③a>b;④c≥1.所以d>a>b>c≥1.易知只有a=4,b=3,d=5,c=1时符合要求.又a,b,c,d中只有b 减1后仍符合要求,故说话人是男护士.故选A.6.B[解析] 由题意可得·(+)=0,即(-)·(+)=0,据此有=,即△ABC 为等腰三角形,故选B.7.C[解析] 因为A,B,C∈0,,所以A+B>,则sin A>sin-B,即sin A>cos B①,同理sinB>sin-A⇒sin B>cos A②,sin C>sin-B⇒sin C>cos B③,将不等式①②③两边相加可得M>N,故选C.8.B[解析] |f-f|=|-|=-=-<-≤-=|a-b|,所以|f-f|<|a-b|,故选B.9.②[解析] 用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个不大于60°”时,应假设命题的否定成立,而命题“三角形的内角中至少有一个内角不大于60°”的否定是“三角形的三个内角都大于60°”,故答案为②.10.B[解析] 分别作∠ABC,∠BCA,∠CAB的平分线相交于点O,过O作OD⊥BC,OE⊥AC,OF ⊥AB.设AF=m,BF=n,OD=OE=OF=r,则AE=m,BD=n.∵AC=5,∴CE=CD=5-m.在Rt△AOF中,tan∠BAO=,∴∠=,同理:∠=,∠=-.∵+-=0,∴+--=0,∴n=1,∴AB+BC=m+n+n+5-m=2n+5=7,故选B.11.A[解析] 根据题意知(x1+x2+x3+x4)(y1+y2+y3+y4)>0,又(x1+x2+x3+x4)(y1+y2+y3+y4)=T1+T2+T3+T4,所以T1,T2,T3,T4中至少有一个为正数,故选A.课时作业(三十九)1.C[解析] 由数学归纳法易知当n=1时,左端所得的项为1+a+a2.2.C[解析] 因为凸n边形至少有3条边,所以第一步应验证n=3时结论成立,故选C.3.D[解析] 因为n=k时,左边最后一项为,n=k+1时,左边最后一项为,所以由n=k到n=k+1,等式左边需要添加的项为.4.a n=-[解析] a1=2,a n+1=(n∈N*),∴a1=2=-,a2===-,a3===-,a4===-,由此猜想,a n=-.5.1++<2--[解析] 依据题设中的“n≥2”,应验证n=2时不等式是成立的,所以当n=2时,要验证的不等式是1++<2--.6.B[解析] 分析题目,n为正偶数,用数学归纳法证明时,若已假设n=k(k≥2,k为偶数)时等式成立,则还需要证明n=k+2时等式成立.故选B.7.C[解析] 用数学归纳法证明不等式1+++…+<F(n)时,当n=k时,左边=1+++…+,当n=k+1时,左边=1+++…++++…+,所以由n=k到n=k+1时不等式左边增加的项数为2k+1-2k=2k,故选C.8.D[解析] “当f(k)≥k+1成立时,总可推出f(k+1)≥k+2成立”说明如果n=k成立,则n=k+1 也成立,所以如果n=4成立,则n≥4 都成立.故选D.9.k+1[解析] 当n=k+1时,第k+1条直线被前k条直线分成(k+1)段,而每一段将它们所在区域一分为二,故增加了(k+1)个区域.10.6[解析] 经检验当n≥6时,2n>2n2-2n+1成立,所以起始值n0为6.11.-[解析] ∵f=1-+-+…+-,∴f(k+1)=1-+-+…+--+,f=1-+-+…+-,∴f(k+1)-f=-.12.+…++[解析] ∵1-+-+…+--=++…+,∴当n=k+1时,1-+…+--+-=+…++.13.解:(1)a1=4,a2=10,a3=16,猜想a n=6n-2.(2)①当n=1时,a1=4=6×1-2成立;②假设n=k,k∈N*时,猜想成立,即有a k=6k-2.当n=k+1时,由a k+5a k+1=36k+18,及a k=6k-2,得a k+1=6k+4=6(k+1)-2,即当n=k+1时猜想成立.由①②可知,a n=6n-2对一切正整数n均成立.14.D[解析] 由题意可知P对n=3不成立(否则n=4也成立),同理可推得P对n=2,n=1也不成立,故选D.15.++…+[解析] 当n=k时,f(2k)=1+++…+,当n=k+1时,f(2k+1)=1+++…+++…+,所以f(2k+1)-f(2k)=1+++…+++…+-1+++…+=++…+.。

第二节 基本不等式[考纲传真] 1.了解基本不等式的证明过程.2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题．1．基本不等式：ab ≤a ＋b2(1)基本不等式成立的条件：a ≥0，b ≥0. (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号．(3)其中a ＋b2称为正数a ，b a ，b 的几何平均数．2．两个重要的不等式(1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )，当且仅当a ＝b 时取等号． (2)ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )，当且仅当a ＝b 时取等号．3．利用基本不等式求最值 已知x ≥0，y ≥0，则(1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是简记：积定和最小)．(2)如果和x ＋y 是定值s ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是s 24(简记：和定积最大)．[常用结论]1.b a ＋a b≥2(a ，b 同号)，当且仅当a ＝b 时取等号． 2．ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22≤a 2＋b 22. 3.21a ＋1b≤ab ≤a ＋b2≤a 2＋b 22(a ＞0，b ＞0)．[基础自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)两个不等式a 2＋b 2≥2ab 与a ＋b2≥ab 成立的条件是相同的． ( ) (2)函数y ＝x ＋1x的最小值是2.( ) (3)函数f (x )＝sin x ＋4sin x，x ∈(0，π)的最小值为4.( )(4)x ＞0且y ＞0是x y ＋y x≥2的充要条件． ( )[答案] (1)× (2)× (3)× (4)×2．(教材改编)设x ＞0，y ＞0，且x ＋y ＝18，则xy 的最大值为( ) A ．80 B ．77 C ．81 D ．82C [∵x ＞0，y ＞0，∴x ＋y2≥xy ，即xy ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 22＝81，当且仅当x ＝y ＝9时，(xy )m ax＝81.]3．若直线x a ＋y b＝1(a ＞0，b ＞0)过点(1,1)，则a ＋b 的最小值等于( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5C [由题意得1a ＋1b＝1.又a ＞0，b ＞0，∴a ＋b ＝(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＝2＋b a ＋a b≥2＋2b a ·ab＝4. 当且仅当b a ＝a b，即a ＝b ＝2时等号成立，故选C.] 4．若函数f (x )＝x ＋1x －2(x >2)在x ＝a 处取最小值，则a 等于( ) A ．1＋ 2 B ．1＋ 3 C ．3D ．4C [当x >2时，x －2>0，f (x )＝(x －2)＋1x －2＋2≥2x －1x －2＋2＝4，当且仅当x －2＝1x －2(x >2)，即x ＝3时取等号，即当f (x )取得最小值时，x ＝3，即a ＝3，选C.] 5．(教材改编)若把总长为20 m 的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是__________m 2.25 [设矩形的一边为x m ，矩形场地的面积为y ， 则另一边为12×(20－2x )＝(10－x )m ，则y ＝x (10－x ) ≤⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋－x 22＝25， 当且仅当x ＝10－x ， 即x ＝5时，y m ax ＝25.]利用基本不等式求最值►考法1 配凑法求最值【例1】 (1)设0＜x ＜2，则函数y ＝x －2x 的最大值为( )A ．2B ．22C. 3 D ． 2 (2)若x ＜54，则f (x )＝4x －2＋14x －5的最大值为________．(1)D (2)1 [(1)∵0＜x ＜2，∴4－2x ＞0，∴x (4－2x )＝12×2x (4－2x )≤12×⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋4－2x 22＝12×4＝2. 当且仅当2x ＝4－2x ，即x ＝1时等号成立． 即函数y ＝x－2x 的最大值为 2.(2)因为x ＜54，所以5－4x ＞0，则f (x )＝4x －2＋14x －5＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫5－4x ＋15－4x ＋3 ≤－2－4x15－4x＋3＝－2＋3＝1. 当且仅当5－4x ＝15－4x ，即x ＝1时，等号成立．故f (x )＝4x －2＋14x －5的最大值为1.]►考法2 常数代换法求最值【例2】 已知x >0，y >0，且2x ＋8y －xy ＝0，求： (1)xy 的最小值； (2)x ＋y 的最小值．[解] (1)由2x ＋8y －xy ＝0，得8x ＋2y＝1，又x >0，y >0，则1＝8x ＋2y≥28x ·2y＝8xy，得xy ≥64，当且仅当x ＝4y ，即x ＝16，y ＝4时等号成立． 故xy 的最小值为64.(2)法一：(消元法)由2x ＋8y －xy ＝0，得x ＝8yy －2，因为x ＞0，y ＞0，所以y ＞2， 则x ＋y ＝y ＋8y y －2＝(y －2)＋16y －2＋10≥18， 当且仅当y －2＝16y －2，即y ＝6，x ＝12时等号成立． 故x ＋y 的最小值为18.法二：(常数代换法)由2x ＋8y －xy ＝0，得8x ＋2y＝1，则x ＋y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫8x ＋2y ·(x ＋y )＝10＋2x y＋8yx≥10＋22x y ·8yx＝18，当且仅当y ＝6，x ＝12时等号成立， 故x ＋y 的最小值为18.(1)已知＞0，＞0，＋3＋＝9，则＋3的最小值为________．(2)(2019·皖南八校联考)函数y ＝log a (x ＋4)－1(a ＞0，a ≠1)的图像恒过定点A ，若点A 在直线x m ＋yn＝－1上，且m ＞0，n ＞0，则3m ＋n 的最小值为( )A ．13B ．16C ．11＋6 2D ．28(1)6 (2)B [(1)∵x ＞0，y ＞0，x ＋3y ＋xy ＝9， ∴9－(x ＋3y )＝xy ＝13×x ×3y ≤13×⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋3y 22，当且仅当x ＝3y 时，等号成立，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3y ，x ＋3y ＋xy ＝9，因为x ＞0，y ＞0，计算得出⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝1.∴x ＋3y 的最小值为6.(2)函数y ＝log a (x ＋4)－1(a ＞0，a ≠1)的图像恒过A (－3，－1)， 由点A 在直线x m ＋y n＝－1上可得， －3m ＋－1n＝－1，即3m ＋1n＝1，故3m ＋n ＝(3m ＋n )⎝⎛⎭⎪⎫3m ＋1n ＝10＋3⎝⎛⎭⎪⎫n m ＋m n， 因为m ＞0，n ＞0， 所以n m ＋mn ≥2n m ×m n ＝2(当且仅当n m ＝mn，即m ＝n 时取等号)， 故3m ＋n ＝10＋3⎝ ⎛⎭⎪⎫n m ＋m n ≥10＋3×2＝16，故选B ．]利用基本不等式解决实际问题【例3】 随着社会的发展，汽车逐步成为人们的代步工具，家庭轿车的持有量逐年上升，交通堵塞现象时有发生，据调查某段公路在某时段内的车流量y (单位：千辆/时)与汽车的平均速度v (单位：千米/时)之间有函数关系：y ＝900vv 2＋8v ＋1 600(v ＞0)．(1)在该时段内，当汽车的平均速度v 为多少时车流量y 最大？最大车流量约为多少？(结果保留两位小数)(2)为保证在该时段内车流量至少为10千辆/时，则汽车的平均速度应控制在什么范围内？[解] (1)由题知，v ＞0，则y ＝900vv 2＋8v ＋1 600＝900v ＋1 600v＋8≤90080＋8＝90088＝22522，当且仅当v ＝1 600v，即v ＝40时取等号．所以y m ax ＝22522≈10.23.故当v ＝40时，车流量y 最大，最大约为10.23千辆/时． (2)由y ＝900v v 2＋8v ＋1 600≥10，得90v v 2＋8v ＋1 600≥1，即90v ≥v 2＋8v ＋1 600，整理得v2－82v ＋1 600≤0，即(v －32)(v －50)≤0，解得32≤v ≤50.所以为保证在该时段内车流量至少为10千辆/时，汽车的平均速度应大于等于32千米/时且小于等于50千米/时．设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式求得函数的最值在求函数的最值时，一定要在定义域使实际问题有意义的自变量的取值范围内.要制作一个容积为4 m ，高为1 m 的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是( )A ．80元B ．120元C ．160元D ．240元C [设底面相邻两边的边长分别为x m ，y m ，总造价为T 元，则xy ·1＝4⇒xy ＝4.T ＝4×20＋(2x ＋2y )×1×10＝80＋20(x ＋y )≥80＋20×2xy ＝80＋20×4＝160(当且仅当x ＝y 时取等号)．故该容器的最低总造价是160元．] 基本不等式的综合应用【例4】 (1)已知a ＞0，b ＞0，若不等式3a ＋1b ≥m a ＋3b 恒成立，则m 的最大值为( )A ．9B ．12C ．18D ．24(2)设等差数列{a n }的公差是d ，其前n 项和是S n (n ∈N *)，若a 1＝d ＝1，则S n ＋8a n的最小值是________．(1)B (2)92 [(1)由3a ＋1b ≥ma ＋3b，得m ≤(a ＋3b )⎝ ⎛⎭⎪⎫3a ＋1b＝9b a ＋ab ＋6.又9b a＋a b＋6≥29＋6＝12(当且仅当9b a ＝ab，即a ＝3b 时等号成立)，∴m ≤12，∴m 的最大值为12. (2)a n ＝a 1＋(n －1)d ＝n ，S n ＝n＋n2， ∴S n ＋8a n＝n＋n2＋8n＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋16n ＋1≥12⎝⎛⎭⎪⎫2n ·16n ＋1＝92，当且仅当n ＝4时取等号． ∴S n ＋8a n 的最小值是92.](1)当x ∈R 时，32x－(k ＋1)3x＋2＞0恒成立，则k 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)B ．(－∞，22－1)C ．(－1,22－1)D ．(－22－1,22－1)(2)已知函数f (x )＝|lg x |，a ＞b ＞0，f (a )＝f (b )，则a 2＋b 2a －b的最小值等于________．(1)B (2)22 [(1)由32x －(k ＋1)·3x ＋2＞0，解得k ＋1＜3x＋23x .∵3x ＞0，∴3x ＋23x ≥22(当且仅当3x＝23x ，即x ＝log 32时，等号成立)， ∴3x＋23x 的最小值为2 2.又当x ∈R 时，32x－(k ＋1)3x＋2＞0恒成立，∴当x ∈R 时，k ＋1＜⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋23x min ，即k ＋1＜22，即k ＜22－1.(2)由f (x )＝|lg x |，且f (a )＝f (b )可知 |lg a |＝|lg b |，又a ＞b ＞0，∴lg a ＝－lg b ，即lg ab ＝0，∴ab ＝1.∴a 2＋b 2a －b ＝a －b 2＋2ab a －b ＝(a －b )＋2a －b ≥22， 当且仅当a －b ＝2时等号成立，∴a 2＋b 2a －b的最小值为2 2.]。

课时作业(三十四)-+_>0, ••• M>N 故选 A2 2 2 2 2 22. B ［解析］当a>b>0时,a >b 成立.当a=- 3,b=-1时，满足a >b 但a>b>0不成立，所以“a >b "是"a>b>0” 的必要不充分条件，故选B.2 23. D ［解析］选项AB 中，当c=0时，显然不成立；选项C 中，当a=-2,b=-3时,a>b 成立，但a >b 不成立；选项2D 中，Tc +1>0 一定成立，且a>b,.・——>一一定成立，故选D4. (- n ,2 n )［解析］结合题意可知 3 a - 3 =2( a - 3 )+( a + 3 )，且 2( a - 3 ) € (- n , n ), a + 3 € (0, n )，利 用不等式的性质可知3a - 3的取值范围是(-n ,2n ).5. d>b>a>c ［解析］■/ a+b=c+d,a+d>c+b,「. 2a>2c,即 a>c,「. b<d. ■/ a+c<b,^ a<b.综上可得 d>b>a>c.6. D ［解析］因为当x=2,y=1时，一v_, 一 < 一 ,cos x<cos y 所以排除选项A,B,C 故选D7. C ［解析］由于原料A 每天的限额为21吨所以3x+5y < 21;由于原料B 每天的限额为13吨，所以2x+3y < 13.故选C8. B ［解析］ Tb -a= ------- = ---------- = ------ >0, • b>a;又 a-c= --------- = -----------= ---------->0二 a>c. • b>a>c, 即c<a<b.故选B.9. C ［解析］设 3a-2b=x(a+b)+y(a-b),易得 x=-,y=-,「. 3a-2b=-(a+b)+(a-b) € ［-2,10］,故选 C.10. B ［解析］设厶ABC 的三边长分别为b-m,b,b+mb>m ：0). •••△ ABC 满足两边之和大于第三边,^b -m+b>b+r? b>2m 即一>2;b-m+b+m>? b>0;b+(b+n)>b-m? b>- 2m. •最小边与最大边长度的比值为 ——=—=1-「,T ->2, •——>,显然 —<1,据此可得,△ ABC 的最小边与最大边长度的比值的取值范围 是-.故选B.11. 乙［解析］由题意得甲购买鸡蛋的平均单价为 ——=——，乙购买鸡蛋的平均单价为二一.由21. A ［解析］TM -N=x+x+1 =>0,.・. ，•乙的购买方式更优惠条件得a^ b.12. P >Q ［解析］由a,b是非负实数，作差可得3 3 2 2 2 255P-Q=a+b- (a+b)=a ( - )+b (-)=(-)［()-()］.当a> b 时，> > 0,.・.()> ()，得( - )［( )-( ) ］> 0;__ _ _ 5 — 5 ——__ 5 — 5当a<b时,o w < ,•••() <()，得(-)［()-()］>0.•••a3+b3》—(a2+b2),即p> Q.13. ［2,27］［解析］因为一=——,8€ — < 27,1 < (xy ) < 4,所以一€ ——，即一€ ［2,27］.14. A ［解析］当x=1,y=-1时,-6< a-b+c < 4,所以a-b+c的最小值为-6,最大值为4,故B,D错误当x=-1 ,y=-1 时,-12W -a-b+c w - 2,则2W a+b-c w 12,所以a+b-c 的最小值为2,最大值为12.故选A15. -一［解析］•••实数a,b,c满足a>c-2且3 +3 <3 ,• 3 >3 =,3 +3 <3，由3 >0,可得3a-c-3b-c<3①.由3b-c<3-3a-c<3--—，可得川、-—,• 3=3^>-—②.由①②可得-—<3a-c-3b-c<3,即一的取值范围为-一.课时作业（三十五）21. A ［解析］由12X+X-1W 0,得(3x+1)(4x-1) w 0,解得--w x w-，即不等式的解集为l x -—w x w-.2 22. B ［解析］由题意知,2为方程--x+2x=mx的一个根所以--X 2 +2X 2=2n,解得m=,故选B3. A ［解析］由-<1得1<x<3,由x2-3x<0得0<x<3,所以“ -<1"是“x2-3x<0"的充分不必要条件，故选A2 2 2 2 24. (a +2,3a)［解析］Tx - (a +3a+2)x+3a但+2)<0,二［x-(a+2)］(x-3a)<0. Va €2 2 2(1,2),「.a+2<3a,「.a +2<x<3a, •不等式的解集为(a+2,3a).5. ［0,1］［解析］因为f (x)的定义域为R,所以x -6kx+k(k+8)>0在R上恒成立，则△ =36k -4k(k+8)w 0, 解得0w k w 1.6. B ［解析］因为xf (x-1) >a的解集为［3,+r 所以3为方程xf (x-1)=a的根所以a=3f (3-1 )=3 X (2-1)=3, 故选B2 27. A ［解析］设f(x)=2x-x =-(x-i)+i < 1,因为存在x o € ［-2,3］,使不等式2X o- > a 成立所以a< f(x)max 所以a< 1,故选A28. B ［解析］当a=0时,符合题意.当0时,丁关于x的不等式4ax +4ax+1>0的解集为R二-解得0va<1.综上可知实数a的取值范围是［0,1),故选B.9. D ［解析］由一> 1 得一-1 > 0,即 _—》0,二［(a-1)x- 1］(x+1) > 0 且X K -1,解得XV-1或x》一，则不等式的解集为(-,-1)U 一g ,故选D10. B ［解析］由题意知征收耕地占用税后每年损失耕地-- 万亩,则税收收入为-- X 24000Xt%由题意得-- X 24 000 Xt%> 9000，整理得t2-8t+15W 0,解得3< t < 5, At的取值范围是［3,5］,故选B11. D ［解析］关于x的不等式x - (a +1)x+a<0可化为(x- 1)(x-a)<0.当a>1时，不等式的解集为(1,a);当a<1 时，不等式的解集为(a,1).要使得解集中至多包含2个整数则a<4且a>-2.又当a=1时,不等式的解集为？，符合题意.所以a的取值范围是［-2,4］,故选D.2 2 2集为{x|x> 2};当x<0时,不等式-x + +2<0化为-x -x+ 2<0,即x +x- 2>0,此时不等式的解集为-.综上所述，原不等式的解集为{x|x<- 2或x>2}.13. a < 4 ［解析］当a=0时，不等式化为4x+1< 0,解得x<--,符合题意；当a>0时，若满足题意，则△ =16- 4a >0,得0<a< 4;当a<0时，满足题意.综上可得a的取值范围是a< 4.2 2 212. {x|x<- 2或x>2}［解析］当x>0时,不等式-x + +2<0化为-x +x+2<0,即x -x- 2>0,此时不等式的解2 2.设f (x)=x+_ ,x 14. D [解析]当x€ [1,5]时,不等式x-ax+2>0 可化为x+2>ax,即a<x+_,.・.a<€ [1,5],则易知f(x)的最大值为f(5)=5+-=—,•••a的取值范围是亠一.故选D15. a >——［解析］当a=0 时,f (x) =2x+1 ,f ［f (x)］=4x+3,不满足题意;当a<0 时,f (x)=a - +1_- < 1--,令t=f (x)< 1--,所以f ［f (x)］=f (t)一定有负值，不满足题意；当a>0 时,f (x)=a - +1--> 1--,令t=f (x)> 1--,所以f［f(x)］=f(t)的图像的对称轴为t=--，因为--<1--,所以f(t)在-- 上单调递增，即f(t)mm=f --=a+i--,依题意得a+1--> 0,得a> ——.综上可得,a的取值范围为a>——.课时作业(三十六)1. C ［解析］作岀直线x+2y+4=0,取其左下方，作岀直线x-y+ 1=0,取其左上方，故选C2. C ［解析］因为点P(- 2,t)在直线2x- 3y+6=0的上方所以-4- 3t+ 6<0,即t>-,故选CJ\Lx+y=l3. B ［解析］画岀满足约束条件的平面区域，如图中阴影部分所示，易知区域M为图中的△ ABC及其内4. B ［解析］画岀表示的可行域，如图中阴影部分所示部,A(2,0),B(1,1),C(3,3),可得区域M的周长为3 一+ 一,故选B.由得A(0,1),平移直线y=-2x+z.由图知，当直线y=-2x+z经过理0,1)时z取得最小值，最小值为2 X 0+1 =1，故选B.5. -［解析］由题可得(1+2a-1)(- 1+3a-1)<0,即a(3a-2)<0,解得0<a<,故实数a的取值范围是-6. B ［解析］作岀不等式组表示的可行域，如图中阴影部分所示，则-=y-x,所以当直线z=y-x过点A(0,1)时,z取得最大值1,故选B.卜7. A ［解析］画岀约束条件表示的可行域，如图中阴影部分所示.——的几何意义为可行域内的点与点(-1,0)连线的斜率的倒数.由图可知目标函数分别在点—和点—处取得最大值11与最小值-，故8. C ［解析］作岀不等式组表示的可行域，如图中阴影部分所示.易知当直线y=-ax+c- 3平行于直线AB 或平行于直线BC时，满足题意，o oJ/ID6%I■山,■■—-10-8 -6 —4 f 210 J；•・kAB=--=-a,或k B(=3=-a，…a=-或-3,故选C9. B ［解析］作岀不等式组- 表示的平面区域，如图中阴影部分所示.•••平面区域内存在点(x0,y o),使得x0+ay o+2W 0成立,•直线x+ay+2=0与平面区域有交点.解方程组得B(0,2),「.点B在直线x+ay+2=0 上方,• 0+2a+2< 0,解得a<-1.故选B.10. -- ［解析］由题意，画岀约束条件所表示的平面区域，如图中阴影部分所示.把目标函数z=ax+y化为y=-ax+z，当直线y=-ax+z在y轴上的截距最大时，目标函数取得最大值.当a< 0时,由目标函数z=ax+y在点(3,2)处取得最大值，得-a <-,即0》a>--;当a>0时,显然满足题意.•实数a的取值范围是--11. (0,1] U - [解析]画岀不等式组表示的平面区域，如图中△ OAB及其内部所示.平移直线x+y=m)当x+y=m过点(1,0)与——时,m的值分别是1和由图知，当1<m<时，原不等式组表示的平面区域为四边形当m<0时，区域不存在；当m€ (0,1] U - %时，原不等式组表示的平面区域是三角形，二实数m的取值范围是(0,1] U - g .12.解:设甲、乙两种产品分别生产加工厂获得的利润为z元,由已知可得不等式组§€目标函数z=700x+1200y.画岀不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分内的整点.目标函数可变形为y=-—x ------------- ，由图可知，当直线y=-—x+——过点M时,z最大.由可得M(20,24).所以z max=700 X 20+1200 X 24=42 800(元),故该厂分别生产甲、乙两种产品20,24件才能使该厂月利润最大，最大利润为42 800元13. C ［解析］作岀不等式组-€€对应的平面区域，如图中阴影部分内的点所示设z=3x+4y,由z=3x+4y 得y=--x+_z.平移直线y=--x+-z,由图可知当直线y=--x+-z经过点A时，直线y二_x+_z在y轴上的截距最小，此时z最小.由图可得A(4,1), 则Z min=12+4=16,故选C14. - ［解析］作岀约束条件表示的可行域，如图中阴影部分所示.联立x+3y=3与x-y=- 1,可得2 2A(0,1). (x-a) +(y+a)表示点(x,y)与点(a,-a)的距离的平方，即可行域内的点到直线x+y=0的距离的平方其最小值为点A到直线x+y=0的距离的平方，易得所求最小值为-.课时作业(三十七)1. D ［解析］a+——=a+1+-> 1+2 -=5，当且仅当a=2时取等号，故选D.2. B ［解析］因为a>o,b>o，所以4=2a+b》2 —,当且仅当a=i,b=2时取等号，二0<ab< 2,则一》-,故一的最小值为-，故选B.3. D ［解析］T a>0,b>0,.・——> _,一w^= —.又Ta+b》2ab,「. 2(a+b2)>(a+b),二------------- >——.二——> ——> _ >——,故选D.4. 2 ［解析］Tx € - g,.•. y=x+ > 2 =2 ，当且仅当x=_,即x= 时，等号成立，「.y的最小值为2 一5. 4 ［解析］y=x+一=x- 2+一+2,令t=x- 2，则t> 0,又m»,「y=t+—+2》2 —+2=2 _+2,当且仅当t=—时取等号,Ty的最小值为6,. 2 —+2=6,解得mW.6. A ［解析］T 3x+2y=2,. 8 +4 =2 +2 >2 =2 =4,当且仅当3x=2y,即x二,y亠时等号成x y立,.8 +4的最小值为4.故选A7. A ［解析］因为-------- =—，所以—+-+5=—，因为—+->2 —-^,当且仅当—=时取等号，所以—+5,解得—> 6,即mr o 36,所以mn的最小值为36,无最大值，故选A.8. C ［解析］T x>2,.x-2>0,.f(x)=x+—=x-2+—+2 >2 - —+2=4,当且仅当X-2=—且x>2,即x=3 时等号成立,.a=3,故选C9. C ［解析］T一+一=2a,.——+——=2sin A又——+一o2 ————=2,当且仅当——=一时，等号成立，二sin A o 1,又sin A< 1,. A=,b=c,.A ABC是等腰直角三角形，故选C.10. 8 ［解析］T a>0, b>0,且a+2b=8,••• ab=-a 2bw- -------- =- x 16=8,当且仅当a=2b=4时取等号,• ab的最大值为8.11. 4 ［解析］由a>0,b>0,lg a+lg b=lg (a+b),得lg ab=lg (a+b),即ab=a+b即-+-=1,则a+b=(a+b) - - =2+_+_>2+2 - _=4,当且仅当a=b=2时,取等号，则a+b的最小值为4.12. 20 ［解析］由题意得一年的总运费为——万元.•••一年的总存储费用为4x万元，.••一年的总运费与总存储费用之和为——万元.T——+4x >2X 一=160,当且仅当——=4x,即x=20时取等号.••一年的总运费与总存储费用之和最小时,x=20.13.3+ 一［解析「••正实数a,b 满足一+—=1,二3a+2b=._(a+b)+-(a-b)_ ——一=3 --------------- +―-— >3+ 一，当且仅当5(a+b)2=(a-b)2时取等号,.•. 3a+2b的最小值为3+ 一.14.解:(1)由题得yd(2x-3)+——+-=-• xv_, 3-2x>0,.•.一+一 > 2 ————=4,当且仅当——=—,即x二-时取等号..•.yW-4+-=--,故函数y=x+ ------ 的最大值为--.(2) • 0<x<2, . 2-x>0,.y= - = - W ——=,当且仅当x=2-x ,即x=1时取等号，.函数y= - 的最大值为15. 解:(1)由题设得S=(x- 8) 一- =-2x-——+916,x € (8,450).⑵因为8<x<450,当且仅当2x=——，即x=60时等号成立， 从而 S < -240+916=676.2故当矩形温室的室内长为 60 m 时,三块种植植物的矩形区域的总面积最大，最大为676 m .16. D ［解析］因为0<m<所以_+ ------ =----------= -------------> -------------- =8,当且仅当2m=-2m 即卩m=时取等2 2号,所以由—+—— >k-2k 恒成立，得k-2k < 8,解得-2< k < 4,故选D.17. B ［解析］由题意可得 p=f( —)=ln—=_ln ab=_(in a+lnb),q=f — =ln —>ln —=P,v=—［f (a)+f (b)］=-(ln a+ln b),二 p=v<q 故选 B.课时作业(三十八)2 2 2 21. B ［解析］由不等式的基本性质知 若a>b>0,则a >b ，当a,b 的符号不确定时，a 与b 无法比较大小，二 这个推理的大前提是错误的，故选B.2. C ［解析］平面上关于正三角形的内切圆的性质可类比为空间中关于正四面体的内切球的性质 ，我们可以推断，在空间中有“正四面体的内切球与各面相切，切点是各面的中心”，故选C3333. B ［解析］第一组内各数之和为1 ,第2组内各数之和为2,第3组内各数之和为3……观察规律，归纳3可得第n 组内各数之和为n ,故选B.4. D ［解析］从公元1984年开始算起，公元2032年为第49年天干表10个数为一个周期，地支表12个 数为一个周期，则公元2032年对应的天干为壬，地支为子，故应为壬子年，故选D.5. ln ［n+(n+1)+(n+2)+…+(3n-2)］=2ln (2n-1) 懈析］可以发现已知的四个等式左边自然对数的真数都 是从n 开始，连续2n-1个正整数的和，右边都是2ln (2n-1),可猜想第n 个等式为ln ［n+(n+1)+(n+2)+… +(3n-2)］=2ln (2n-1).6. A ［解析］该推理的大前提是“对于可导函数 f(x),如果f' (x c )=0那么x=X 0是函数f(x)的极值点”. 对于可导函数f(x),如果f' (x o )=0,且满足当X>X 0时的导函数值与当XVX 0时的导函数值异号，那么X=X 0是 函数f (x)的极值点,所以大前提错误.故选A7. A ［解析］类比平面几何的射影定理，可以推理岀：在三棱锥A-BCD 中,ADL 平面ABC^AOL 平面BCDO2为垂足，则(S M B C ) =&BOC S ^BDC 故选 A.28. C ［解析］Tm =1+3+5+…33333+11=——X 6=36, ••• m= •/ 2=3+5,3=7+9+11,4 =13+15+17+19,二 5 =21+23+25+27+29. Tp 的分解式中最所以2x+——> 2=240,3 3小的数是21, •p =5，即p=5. • m+p6+5=11.故选C.9. ［解析］因为△ ABC勺顶点B在双曲线一-—=1(a>0,b>0)上，顶点AC分别是双曲线的左、右焦点,所以有||BA|-|BC||= 2a,所以-J= ，由正弦定理可得——=一=一所以二,故答案为一-一=-.10. 7 ［解析］J A得25票,E只得4票,••• B,CD共得46-25-4=17(票). C,D得票同样多，且要大于4票,二若CD得5票，则B得7票若C,D得6票则B得5票不满足条件;若C,D得7票，则B得3票，不满足条件; 若C,D得8票,则B得1票，不满足条件.故满足条件时,B得7票.11. A=B=0 ［解析］利用类比推理可得A=B=0.12. -- 懈析］由题意,g(x)- 6=---- 1+ ----- 1 + ----- 1 + ---- 1 + ---- 1 + ------ 1 =—+—+ ------ + --- +——+——,g -一 -6 ------ + ------ + ---- + ------- + ----- + ----- =—+一+一+——+——+—— h(x),因为h(-x)=——+——+——+ ----- + ---- +=-h (x),所以h(x)是奇函数，所以函数g(x)=——+—+•••+——的图像关于点-- 对称.课时作业(三十九)1. A ［解析］用分析法证明的实质是证明结论成立的充分条件成立•②是①的充分条件，故选A.2. A ［解析］根据反证法的定义，可知“若a € R则函数y=x3+ax+b至少有一个零点”的反设应为“若a € R则函数y=x3+ax+b没有零点”，故选A3. C ［解析］因为A,B,C€ (0° ,90° ),所以A+B：90° ,则sin A>sin (90° -B)，即sin A>cos B.同理,sinB>cos A,sin C>cos B,由以上三个不等式可得M>N故选C4. ③［解析］因为a>b>c，且a+b+c=0所以b=-a-c ,c<0,要证-< _a,只需证b2-ac< 3a2,只需证2 2 2 2 2(-a-c ) -ac< 3a，即证a -ac+a -c >0,即证a(a-c)+(a+c)(a-c)>0,即证(a-b )(a-c)>0.5. C ［解析］根据用反证法证明时反设的格式知①的假设正确，②的假设错误.②的假设应该是与都小于-,故选C.6. C ［解析］由a2,a3,a6成等比数列，可得=a2aq可得(a1+2d)2=(a1+d)(a 1+5d),即2a1d+d2=0, J公差d不等于零，.・.a1d<0,2a1+d=0,.・. dS=d(3a1+3d)hd2>0.故选C.7. C ［解析］由题意，乙、丙均不跑第一棒和第四棒，则跑第三棒的人只能是乙、丙中的一个.当丙跑第三棒时,乙只能跑第二棒，这时丁跑第一棒，甲跑第四棒，符合题意.故跑第三棒的人是丙，故选C1.C ［解析］因为多边形的边数最少是3,所以在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为—n(n-3)条时,8. B ［解析］T x>0,y>0 且y-x>l.x<y-1, /• -x> 1-y , ••• 一J=-1.T x<y-1 ,• 3x<3y- 3,• 1+3x<3y- 2,• ------ < --- 3-_,当y>1 时,1<3--<3,可小于1,可等于1,可大于1,故一, ---- 中至少有一个小于1.故选B9. sin 0 ad=bc ［解析］连接BQ根据勾股定理可得AB=CD= ,AD=BC= ，所以可得△ ABD^A ABE=&CD〜sin 0，所以图②中阴影部分的面积是2ABD+0CDB=sin 0 .由(ac+bd) =(a+b)(c+d)可得a2c2+2acbd+b2d2=a2c2+a2d2+b2c2+b2d2,即a2d2-2acbd+b2c2=(ad-bc)2=0，即ad=bc，所以当且仅当a,b,c,d 满足条件ad=bc时，等号成立.10. D ［解析］假设m+,n—,t+—这三个数都小于4,则-+ - + - <12.利用基本不等式可得-+ - + - = - + - + - > 2 -+2 -+2 -=12（当且仅当m=n=t=2时等号成立），得到矛盾的结论，可见假设不成立，即m+,n+,t+-三个数中至少有一个不小于4. 故选D11. A ［解析］根据题意知(X1+X2+X3+X4)(y1+y2+y3+y4)>0,又(x 1+x2+x a+x4)(y1 +y2+y a+y4)=T1+T2+T a+T4所以可知T1,T2,T3,T4中至少有一个为正数，故选A.课时作业（四十）第一步应验证n等于3,故选C2. D ［解析］由题意“ n=k” 时,左边为(k+1)(k+2)…(k+k), “n=k+1” 时，左边为(k+2)(k+3)…(k+1+k+1)，从而可得因式中增加的项为(2k+1)(2k+2),减少的项为(k+1)，故选D.3. C ［解析］当n=k+1 时,x2n-1+y2n-1=x2k+1+y2k+1,故选c4. -+-+-+- ［解析］n=4时，等式右边的式子是-+_+_+_.5. (k3+5k)+3k(k+1)+6 ［解析］因为当n=k时,k3+5k能被6整除所以当n=k+1时，式子(k+1)3+5(k+1)应变3形为(k +5k)+3k(k+1)+6.6. A ［解析］根据逆否命题和原命题的真假一致得，当n=k+1(k € N*)时命题不成立，则当n=k(k€ N*)时命题也不成立，所以当n=8时命题不成立，则当n=7时命题也不成立，故选A.2 n-1 n 27. D ［解析］将式子1+2+2+-+2 =2-1中的n用k+1替换得，当n=k+1时应证明的等式为1+2+2 +… k- 1 k k+1 +2 +2 =2 - 1,故选D.8. D ［解析］由题意，知p(k)对k=2,4,6，…,2002成立，当k取其他值时不能确定p(k)是否成立.故选D.9. D ［解析］当n=k+1时，不等式应为——+——+…+——>-，则左边增加——+——+一并减少----- +----- ，故选D.10. D ［解析］根据题意若f (4)> 5 成立，则f( n0+1) > n °+2(n。

全品高考复习方案 数学(理科) BS小题自测卷(七)1．A [解析] 当x <1时，原不等式化为(1－x )－(5－x )<2，即－4<2，∴当x <1时原不等式恒成立；当1≤x ≤5时，原不等式化为(x －1)－(5－x )<2，即x <4，∴不等式的解集为[1，4)；当x >5时，原不等式化为(x －1)－(x －5)<2，即4<2，此时不等式不成立．故原不等式的解集为(－∞，4)．2．B [解析] [t ]＝1，则1≤t <2，①[t 2]＝2，则2≤t 2<3，②显然存在t ∈[2，3)使得[t ]＝1与[t 2]＝2同时成立．[t 3]＝3，则3≤t 3<4，即313≤t <413，③ 因为212<313<413<312，所以存在313≤t <413使得①②③同时成立． [t 4]＝4，则4≤t 4<5，则414≤t <514，④ 同理，可以求得313≤t <514使得①②③④同时成立． [t 5]＝5，则5≤t 5<6，即 515≤t <615，⑤ 因为615<313，所以515≤t <615与313≤t <514的交集为空集． 所以n 的最大值是4.故选B. 3．B [解析] r ＝12(f (a )＋f (b ))＝12ln(ab )＝ln ab ＝p .因为b >a >0，所以a ＋b 2>ab ，又函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增，所以q >p ＝r ，故选B.4．B [解析] (1)当m ＝2时，f (x )＝(n －8)x ＋1，则0≤n <8，所以0≤mn <16.(2)当m ＞2时，抛物线的对称轴为直线x ＝－n －8m －2. 根据题意得－n －8m －2≥2，即2m ＋n ≤12， 所以2m ·n ≤2m ＋n 2≤6， 所以mn ≤18(当且仅当m ＝3，n ＝6时取等号)．(3)当m ＜2时，由题意得－n －8m －2≤12，即2n ＋m ≤18，所以m ·2n ≤m ＋2n 2≤9，所以mn ≤812， 由2n ＋m ＝18，且2n ＝m ，得m ＝9(舍去)．要使得mn 取得最大值，应有2n ＋m ＝18(m ＜2，n ＞8)，所以mn ＝(18－2n )n ＜(18－2×8)×8＝16.综上所述，mn 的最大值为18.5．B [解析] 已知不等式组表示的平面区域如图中的阴影部分所示，根据目标函数的几何意义可知，目标函数在点A (5，2)处取得最大值，故目标函数的最大值为2×5－2＝8.6.⎣⎡⎦⎤1，32 [解析] 实数x ，y 满足的可行域如图中阴影部分所示，图中A (1，0)，B (2，1)，C ⎝⎛⎭⎫1，32.当a ≤0时，0≤y ≤32，1≤x ≤2，所以1≤ax ＋y ≤4不可能恒成立；当a >0时，借助图像得，当直线z ＝ax ＋y 过点A 时，z 取得最小值，当直线z ＝ax ＋y 过点B 或C 时，z 取得最大值，故⎩⎪⎨⎪⎧1≤a ≤4，1≤2a ＋1≤4，1≤a ＋32≤4，解得1≤a ≤32.故a ∈⎣⎡⎦⎤1，32.7.2918[解析] 根据题意，可知DC ＝1，AE →·AF →＝(AB →＋BE →)·(AD →＋DF →)＝(AB →＋λBC →)·(AD →＋19λDC →)＝AB →·AD →＋19λAB →·DC →＋λBC →·AD →＋19BC →·DC →＝1＋29λ＋λ2－118≥1＋219－118＝2918，当且仅当λ＝23时，等号成立． 8．3 [解析] 当x ，y 满足x 2＋y 2≤1时，6－x －3y >0.由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －2＝0，x 2＋y 2＝1⇒5x 2－8x ＋3＝0⇒x ＝35或x ＝1，直线2x ＋y －2＝0把单位圆分成如图所示的两部分． ①当(x ，y )在阴影部分内时，2x ＋y －2≥0，则原式＝2x ＋y －2＋6－x －3y ＝x －2y ＋4，由线性规划可知，经过A ⎝⎛⎭⎫35，45时，原式取得最小值3.②当(x ，y )在另一部分内时，2x ＋y －2≤0，则原式＝－2x －y ＋2＋6－x －3y ＝－3x －4y＋8，由线性规划可知，经过A ⎝⎛⎭⎫35，45时，原式取得最小值3.综上，原式的最小值为3. 9．32 [解析] (a ＋1＋b ＋3)2＝a ＋b ＋4＋2a ＋1·b ＋3≤9＋2×（a ＋1）2＋（b ＋3）22＝9＋a ＋b ＋4＝18，当且仅当a ＋1＝b ＋3且a ＋b ＝5，即a ＝72，b ＝32时等号成立，所以a ＋1＋b ＋3≤3 2. 10．4n －1 [解析] 归纳可知，C 02n －1＋C 12n －1＋C 22n －1＋…＋C n －12n －1＝4n －1. 11．A [解析] 由于甲没有去过B 城市，乙没有去过C 城市，但三人去过同一个城市，故三人去过的城市为A 城市．又由于甲最多去过两个城市，且去过的城市比乙多，故乙只能去过一个城市，这个城市为A 城市．12．D [解析] 对于A ，当|a |＞|b |时，a ＞b 不一定成立，例如取a ＝－2，b ＝1，因此不符合题意；对于B ，当1a >1b时，a ＞b 不一定成立，例如取a ＝1，b ＝2，因此不符合题意； 对于C ，当a 2＞b 2时，a ＞b 不一定成立，例如取a ＝－2，b ＝1，因此不符合题意； 对于D ，lg a ＞lg b ⇒a ＞b ＞0⇒a ＞b ，因此使a ＞b 成立的充分不必要条件是lg a ＞lg b .13．B [解析] 画出不等式组所表示的平面区域(图略)，由区域面积为2，可得m ＝0.而x ＋y ＋2x ＋1＝1＋y ＋1x ＋1，y ＋1x ＋1表示可行域内任意一点与点(－1，－1)连线的斜率，∴y ＋1x ＋1的最小值为0＋12＋1＝13，∴x ＋y ＋2x ＋1的最小值是43. 14．A [解析] 第二次用“调日法”后得4715是π的更为精确的不足近似值，即4715＜π＜165； 第三次用“调日法”后得6320是π的更为精确的过剩近似值，即4715＜π＜6320； 第四次用“调日法”后得227是π的更为精确的过剩近似值，即4715＜π＜227. 15.⎣⎡⎦⎤13，1[解析] 作出不等式组表示的平面区域，如图所示，直线y ＝k (x ＋2)过定点D (－2，0)，由图可知当直线l 经过点A 时，直线的斜率最大，当直线l 经过点B 时，直线的斜率最小．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，x ＋y ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝3，即A (1，3)，此时k ＝31＋2＝1；由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，x －y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1，即B (1，1)，此时k ＝11＋2＝13.故k 的取值范围是⎣⎡⎦⎤13，1. 16.32＋2 [解析] ∵a ＞0，b ＞0，且a ＋b ＝2， ∴1a ＋2b ＝12⎝⎛⎭⎫1a ＋2b (a ＋b )＝12⎝⎛⎭⎫3＋b a ＋2a b ≥ 12×(3＋22)＝32＋2， 当且仅当b a ＝2a b，即b ＝2a 时取等号． 17. m 2－n 2 [解析] 当n ＝0，m ＝1时，13＋23＝1，此时1＝12－0＝m 2－n 2； 当n ＝2，m ＝4时，73＋83＋103＋113＝12，此时12＝42－22＝m 2－n 2； 当n ＝5，m ＝8时，163＋173＋193＋203＋223＋233＝39，此时39＝82－52＝m 2－n 2. 由归纳推理可知：3n ＋13＋3n ＋23＋…＋3m －23＋3m －13＝m 2－n 2. 18．29 [解析] 由图可知，第1个字母A 有1个，第2个字母B 有3个，第3个字母C 有5个，依次类推，第n 个字母有(2n －1)个，又O 是第15个字母，故O 有2×15－1＝29(个)．19.⎣⎡⎭⎫24，＋∞ [解析] 当a ＝0时，不等式为－|x |<0，解集不为空集． 当a ≠0时，由题意知a >0，令t ＝|x |， 则原不等式等价于at 2－t ＋2a <0(t ≥0)， 所以a <t t 2＋2(t ≥0)． 根据题意知a ≥⎝⎛⎭⎫t t 2＋2max ，其中t ≥0， 而t t 2＋2＝1t ＋2t ≤122＝24，当且仅当t ＝2时等号成立，所以a ≥24. 20．350 100 3100 [解析] 由题意，设生产圆桌x 张，衣柜y 个，所获利润为z 元，则⎩⎪⎨⎪⎧0.18x ＋0.09y ≤72，0.08x ＋0.28y ≤56，x ∈N ，y ∈N ，即⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ≤800，2x ＋7y ≤1400，x ∈N ，y ∈N ，目标函数z ＝6x ＋10y .作出不等式组表示的整数点区域(图略)，可知当直线z ＝6x ＋10y 经过两直线2x ＋y ＝800，2x ＋7y ＝1400的交点(350，100)时，z 取得最大值3100.故应生产圆桌350张，生产衣柜100个，才能使利润最大，最大利润为3100元．。

全品高考复习方案 数学(理科)BS第六单元 不等式、推理与证明第33讲 不等关系与不等式课前双击巩固1．两个实数比较大小的方法 (1)作差法⎩⎪⎨⎪⎧a－b>0⇔a b ，a －b ＝0⇔a b ，a －b<0⇔a b.(2)作商法 ⎩⎪⎨⎪⎧ab>1（a ∈R ，b >0）⇔a b （a ∈R ，b >0），ab ＝1⇔a b （a ，b ≠0），a b <1（a ∈R ，b >0）⇔a b （a ∈R ，b >0）.2．不等式的性质(1)对称性：a >b ⇔________(双向性)． (2)传递性：a >b ，b >c ⇒a >c (单向性)．(3)可加性：a >b ⇔a ＋c ________b ＋c (双向性)； a >b ，c >d ⇒________(单向性)．(4)可乘性：a >b ，c >0⇒ac ________bc ； a >b ，c <0⇒ac ________bc ；a >b >0，c >d >0⇒ac ________bd (单向性)．(5)乘方法则：a >b >0⇒a n ________b n (n ∈N ，n ≥2)(单向性)． (6)开方法则：a >b >0⇒n a >nb (n ∈N ，n ≥2)(单向性)．题组一 常识题1．[教材改编] 完成一项装修工程，请木工需付工资每人50元，请瓦工需付工资每人40元，现有工人工资预算2000元，设请木工x 人，请瓦工y 人，则工人的人数满足的关系式是________．2．[教材改编] 已知a ，b 为实数，则(a ＋3)(a －5)________(a ＋2)(a －4)(填“＞”“＜”或“＝”)．3．[教材改编] 若0<a <b ，且a ＋b ＝1，则将a ，b ，2ab ，a 2＋b 2按从小到大的顺序排列为________________．4．[教材改编] 设α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，β∈⎣⎡⎦⎤0，π2，那么2α－β3的取值范围是________．题组二 常错题◆ 索引：不等式基本性质的两个易错点：等号的传递性；可乘性． 5．有以下四个命题：①“a ＞b ”的充要条件是“ac 2＞bc 2”；②若a ＞b ＞0，c ＞d ＞0，则a d ＞bc ；③若ab ＞0，则“a ＞b ”的充要条件是“1a ＜1b ”；④若ab＞1，则a ＞b .其中真命题的序号是________．6．若a ＞b ，b ≥c ，则a 与c 的大小关系是________．7．已知存在实数a 满足ab 2＞a ＞ab ，则实数b 的取值范围是________． 题组三 常考题 8．[2016·上海卷改编] 设a ∈R ，则“a >1”是“a 2>1”的________(写出正确答案的序号)． ①充分非必要条件； ②必要非充分条件；③充要条件；④既非充分也非必要条件． 9. 已知0<a <b <1，则下列不等式成立的是________(写出所有正确答案的序号)． ①1b >1a ；②⎝⎛⎭⎫12a <⎝⎛⎭⎫12b ；③(lg a )2<(lg b )2；④1lg a >1lg b.10．[2014·四川卷改编] 若a >b >0，c <d <0，则一定有________(填序号)． ①a c >b d ；②a c <b d ；③a d >b c ；④a d <b c. 课堂考点探究 探究点一 比较两个数(式)的大小1 (1)已知实数a ，b ，c 满足b ＋c ＝6－4a ＋3a 2，c －b ＝4－4a ＋a 2，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．c ≥b ＞aB ．a ＞c ≥bC ．c ＞b ＞aD ．a ＞c ＞b(2)已知a >b >c >0，若P ＝b －c a ，Q ＝a －cb ，则( )A ．P ≥QB ．P ≤QC ．P >QD ．P <Q (3)已知a ＞0，b ＞0，a ≠b ，则a a b b 与(ab )a ＋b2的大小关系是________． [总结反思] (1)作差法的一般步骤是：作差，变形，定号，得出结论． (2)作商法的一般步骤是：作商，变形，判断商与1的大小，得出结论． (3)特殊值法：对于选择、填空题，可以选取符合条件的特殊值比较大小． 式题 已知a ，b ，c ∈R ＋，f (x )＝x －c a ＋b ＋x －a b ＋c ＋x －ba ＋c ，若f (a )<f (b )<f (c )，则( )A ．c <a <bB ．b <c <aC ．a <b <cD ．c <b <a 探究点二 不等式的性质2 (1)[2016·齐鲁名校协作体调研] 已知a >b ，则下列不等式中恒成立的是( )A ．ln a >ln b B.1a <1b C ．a 2>ab D ．a 2＋b 2>2ab(2)[2017·成都模拟] 设a >b >1，c <0，给出下列四个不等式：①c a >cb ；②ac >b c ；③(1－c )a <(1－c )b ；④log b (a －c )>log a (b －c )．其中正确的不等式有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个[总结反思] 解决此类题目常用的三种方法： (1)直接利用不等式的性质逐个验证；(2)利用特殊值法排除错误答案，利用不等式的性质判断不等式是否成立时要特别注意前提条件；(3)利用函数的单调性，当直接利用不等式的性质不能比较大小时，可以利用指数函数、对数函数、幂函数等函数的单调性进行判断．式题 (1)若a >0>b >－a ，c <d <0，给出下列不等式：①ad >bc ；②a d ＋bc<0；③a －c >b －d ；④a (d －c )>b (d －c )．其中正确不等式的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4(2) 已知a ，b ，c ∈R ，给出下列命题：①若a ＞b ，则ac 2＞bc 2；②若ab ≠0，则a b ＋ba ≥2；③若a ＞|b |，则a 2＞b 2. 其中真命题的个数为( ) A ．3 B ．2 C ．1 D ．0探究点三 不等式性质的应用3 已知x ，y 为正实数，且满足1≤lg(xy )≤2，3≤lg xy≤4，求lg(x 4y 2)的取值范围．[总结反思] 运用不等式的性质解决问题时，常用的解法是正确使用不等式的性质直接推导，并注意不等式性质成立的条件以及等价转化的思想，比如减法可以转化为加法，除法可以转化为乘法等. 但应注意两点：一是必须严格运用不等式的性质；二是在多次运用不等式的性质时有可能扩大了变量的取值范围．解决的途径是先建立所求范围的整体与已知范围的整体的等量关系，再通过“一次性”不等关系的运算求解范围．式题 若变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧3≤2x ＋y ≤9，6≤x －y ≤9，则z ＝x ＋2y 的取值范围为________ .第34讲 一元二次不等式及其解法课前双击巩固1．一元二次不等式只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2的整式不等式叫作一元二次不等式． 2．一元二次不等式的解集 判别式 Δ＝b 2－4ac Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0二次函数 y ＝ax 2＋bx ＋c (a ＞0)的图像一元二次方程 ax 2＋bx ＋c ＝0 (a ＞0)的根 有两相异实根 x 1，x 2(x 1＜x 2) 有两相等实根 x 1＝x 2＝－b2a没有实数根ax 2＋bx ＋c ＞0 (a ＞0)的解集 __________ ______ ______ ax 2＋bx ＋c ＜0 (a ＞0)的解集 ______________________常用结论1．(1)“ax 2＋bx ＋c >0(a ≠0)恒成立”的充要条件是“a >0且b 2－4ac <0(x ∈R )”． (2)“ax 2＋bx ＋c <0(a ≠0)恒成立”的充要条件是“a <0且b 2－4ac <0(x ∈R )”． 2．(1)对于不等式ax 2＋bx ＋c >0，求解时不要忘记讨论a ＝0时的情形． (2)注意区分Δ<0时，ax 2＋bx ＋c >0(a ≠0)的解集为R 还是∅.题组一 常识题1．[教材改编] 不等式3x 2－x －4≤0的解集是________.2．[教材改编] 关于x 的不等式x 2＋(a ＋1)x ＋ab >0的解集是{x |x <－1或x >4}，则a ＋b ＝________．3．[教材改编] 已知集合A ＝{x |x 2－6x ＋5≤0}，B ＝{y |y ＝2x ＋2}，则A ∩B ＝________. 4．[教材改编] 已知不等式x 2－2x ＋k 2－3>0对一切实数x 恒成立，则实数k 的取值范围是________．题组二 常错题◆ 索引：解不等式的三个易错点：不考虑二次项系数为负；忽略二次项系数为0；简单的分式不等式中忽略分母不等于0而出错．5．不等式－x 2－3x ＋4>0 的解集是__________________________________．6．不等式(ax －1)(x ＋2)＜0⎝⎛⎭⎫－12<a ≤0的解集是____________________． 7．不等式x －12x ＋1≤0的解集是________．题组三 常考题 8．[2015·江苏卷] 不等式2x 2－x <4的解集为________．9．函数y ＝－2x 2＋12x －18的定义域为________．10．已知不等式mx 2＋nx －1m <0的解集为xx <－12或x >2 ，则m －n ＝________．课堂考点探究探究点一 一元二次不等式的解法1 (1)[2016·江苏卷] 函数y ＝3－2x －x 2的定义域是________．(2)已知关于x 的不等式ax 2＋2x ＋c >0的解集为－13，12，则不等式－cx 2＋2x －a >0的解集为________．[总结反思] 解一元二次不等式的一般步骤是：①化为标准形式(二次项系数大于0)；②确定判别式Δ的符号；③若Δ≥0，则求出该不等式对应的二次方程的根，若Δ＜0，则对应的二次方程无根；④结合二次函数的图像得出不等式的解集．式题 已知函数f (x )＝ax 2＋bx －a ＋2.(1) 若关于x 的不等式f (x )>0的解集是(－1，3)，求实数a ，b 的值； (2) 若b ＝2，a >0，解关于x 的不等式f (x )>0.探究点二 一元二次不等式恒成立问题考向1 形如f (x )≥0(x ∈R )2 (1) [2016·福州二模] 已知不等式(a －2)x 2＋2(a －2)x －4<0对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围是________．(2)设0≤α≤π，不等式8x 2－(8sin α)x ＋cos 2α≥0对x ∈R 恒成立，则α的取值范围为________．[总结反思] (1)若不等式ax 2＋bx ＋c >0(a ≠0)恒成立，则满足⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝b 2－4ac <0. (2)若不等式ax 2＋bx ＋c <0(a ≠0)恒成立，则满足⎩⎪⎨⎪⎧a <0，Δ＝b 2－4ac <0.(3)若不等式ax 2＋bx ＋c >0恒成立，则要考虑a ＝0时是否满足．考向2 形如f (x )≥0(x ∈[a ，b ])3 (1)已知函数f (x )＝ax 2－(a 2＋1)x ＋a ，若a >0时，f (x )<0在x ∈(1，2)上恒成立，则实数a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎤0，12 B. [2，＋∞) C ．(0，2] D. ⎝⎛⎦⎤0，12∪[2，＋∞) (2)若不等式x 2＋ax ＋4≥0对一切x ∈(0，1]恒成立，则a 的取值范围为________．[总结反思] 一元二次不等式在指定范围内恒成立(或者不等式在指定范围内恒成立)，其本质是这个不等式的解集包含着指定的区间．恒大于0就是相应的二次函数图像在给定的区间上全部在x 轴上方；恒小于0就是相应的二次函数图像在给定的区间上全部在x 轴下方． 式题 已知不等式x 2－2x ＋a ＞0对任意实数x ∈[2，3]恒成立，则实数a 的取值范围为________．考向3 形如f (x )≥0(参数m ∈[a ，b ]) 4 若不等式2x －1>m (x 2－1)对满足－2≤m ≤2的所有m 都成立，求x 的取值范围． [总结反思] 此类问题的求解，有两种方法：(1)应用分类讨论的思想直接求解；(2)应用函数思想，以m 为主元(“反客为主”)，构造关于m 的一次函数．考向4 含参一元二次不等式的解法 5 解关于x 的不等式：ax 2－2≥2x －ax (a ∈R )．[总结反思] (1)二次项中若含有参数，则应讨论参数是小于零、等于零，还是大于零，然后将不等式转化为二次项系数为正的形式．(2)当不等式对应方程的根的个数不确定时，讨论判别式Δ与零的关系．(3)确定无根时可直接写出解集，确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集形式．式题 解关于x 的不等式：ax 2－(a ＋1)x ＋1＜0. 探究点三 一元二次不等式的应用6 甲厂以x 千克/小时的速度匀速生产某种产品(生产条件要求1≤x ≤10)，每小时可获得利润1005x ＋1－3x元．(1)要使生产该产品2小时获得的利润不低于3000元，求x 的取值范围．(2)要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求最大利润．[总结反思] 对于不等式应用问题，一般可按四步进行：一要理解题意，把握问题中的关键量；二是引进数学符号，用不等关系构造不等式；三是解不等式；四是回答实际问题． 式题 [2016·镇江一模] 某自来水厂的蓄水池存有400吨水，水厂每小时可向蓄水池中注水60吨，同时蓄水池又向居民小区不间断供水，t 小时内供水总量为1206t 吨(0≤t ≤24)．(1)从供水开始到第几小时时，蓄水池中的存水量最少？最少水量是多少吨？(2)若蓄水池中水量少于80吨时，就会出现供水紧张现象，请问：在一天的24小时内，有几小时出现供水紧张现象？第35讲 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题课前双击巩固1．二元一次不等式(组)表示的平面区域 不等式 表示区域Ax ＋By ＋C >0 直线Ax ＋By ＋C ＝0某一侧的所有点组成的平面区域不包括______ Ax ＋By ＋C ≥0 包括______不等式组各个不等式所表示的平面区域的________名称 意义约束条件 由变量x ，y 组成的________线性约束条件 由关于x ，y 的______不等式组成的不等式组 目标函数 关于x ，y 的函数________，如z ＝2x ＋3y 等线性目标函数 关于x ，y 的______解析式 可行解 满足线性约束条件的______ 可行域 由所有可行解组成的______ 最优解 使目标函数取得______或______的可行解线性规划问题在线性约束条件下求线性目标函数的______或______的问题(1)在平面直角坐标系内作出可行域． (2)作出目标函数的等值线．(3)确定最优解：在可行域内平行移动目标函数等值线，从而确定最优解．题组一 常识题1．[教材改编] 不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －3y ＋6<0，x －y ＋2≥0表示的平面区域是________(写出正确答案的序号)．图6-35-12．[教材改编] 在平面直角坐标系中，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≤0，x －y ＋2≥0，y ≥0表示的平面区域的面积是________．3．[教材改编] 已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≤2，x ＋y ≥1，x －y ≤1，则z ＝3x ＋y 的最大值为________．4．[教材改编] 投资生产A 产品时，每生产100吨需要资金200万元，需场地200平方米；投资生产B 产品时，每生产100吨需要资金300万元，需场地100平方米．现某单位可使用资金1400万元，场地900平方米，则上述要求可用不等式组表示为________．(用x ，y 分别表示生产A ，B 产品的吨数)题组二 常错题 ◆ 索引：不等式表示平面区域的易错点：不等号与不等式所表示的平面区域的关系不明确而致误．5．不等式－x ＋2y －4＜0表示的平面区域是________．6．设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≤0，x ＋y －1≥0，x －2y ＋2≥0， 且z ＝x ＋3y ＋m 的最大值为4，则实数m 的值为________．题组三 常考题7．[2016·全国卷Ⅲ] 若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x －2y ≤0，x ＋2y －2≤0，则z ＝x ＋y 的最大值为________．8．[2016·江苏卷] 已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋4≥0，2x ＋y －2≥0，3x －y －3≤0，则x 2＋y 2的取值范围是________．9．[2015·福建卷改编] 变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥0，x －2y ＋2≥0，mx －y ≤0.若z ＝2x －y 的最大值为2，则实数m ＝________．课堂考点探究探究点一 二元一次不等式(组)表示的平面区域1 (1)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y －6≤0，x ＋y －2>0表示的平面区域是( )图6-35-2(2)[2016·济南一模] 设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≥0，x －y ＋1≥0，2x －y －2≤0 表示的平面区域为M ，若直线l ：kx －y＋1＝0(k ∈R ) 将区域M 的面积分为相等的两部分，则实数k 的值为( )A.13B.12 C ．－12 D ．－13[总结反思] (1)在确定二元一次不等式表示的平面区域时，可用代入特殊点的方法，一般选用原点．(2)注意不等式中的不等号是否含有等号，不含等号时直线画成虚线，含等号时直线画成实线．式题 [2016·江西师大附中期末] 若关于x ，y 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，x ＋y ≥0，kx －y ＋1≥0表示的平面区域是等腰直角三角形及其内部区域，则该区域的面积为( )A.12 或14B.12 或18 C.12 或1 D ．1 或14探究点二 求目标函数的最值考向1 求线性目标函数的最值 2 (1)[2016·北京卷] 若x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ≤0，x ＋y ≤3，x ≥0，则2x ＋y 的最大值为( )A ．0B ．3C ．4D ．5(2)[2016·全国卷Ⅱ] 若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x ＋y －3≥0，x －3≤0，则z ＝x －2y 的最小值为________．[总结反思] 求目标函数z ＝ax ＋by 的最大值或最小值，先准确作出可行域，再借助目标函数的几何意义求目标函数的最值．考向2 求非线性目标函数的最值3 (1)[2016·山东卷] 若变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤2，2x －3y ≤9，x ≥0，则x 2＋y 2的最大值是( )A ．4B ．9C ．10D ．12(2)[2016·上饶模拟] 已知变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －1≥0，x －y ＋1≤0，x ＋y －4≤0，则xy ＋1的最小值为________．[总结反思] 目标函数是非线性形式的函数时，常考虑目标函数的几何意义，常见代数式的几何意义主要有：(1)x 2＋y 2表示点(x ，y )与原点(0，0)间的距离，（x －a ）2＋（y －b ）2表示点(x ，y )与点(a ，b )间的距离；(2)yx 表示点(x ，y )与原点(0，0)连线的斜率，y －b x －a 表示点(x ，y )与点(a ，b )连线的斜率． 式题 [2016·河北名校联考] 如果实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x ＋2y －2≥0，2x －y －4≤0，则z ＝(x －1)2＋(y ＋1)2的最小值为________．考向3 求线性规划中的参数4 (1)已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋y ≤2，y ≥0.若z ＝ax ＋y 的最大值为4，则a ＝( )A ．3B ．2C ．－2D ．－3(2)[2016·豫南九校联考] 已知⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，7x －y －7≤0，x ≥0，y ≥0 表示的平面区域为D ，若“对任意(x ，y )∈D ，2x ＋y ≤a ”为真命题，则实数a 的取值范围是( )A ．[5，＋∞)B ．[2，＋∞)C ．[1，＋∞)D ．[0，＋∞)[总结反思] (1)线性规划问题中的参数可以出现在约束条件或目标函数中；(2)一般地，目标函数只在可行域的顶点处或边界取得最值．式题 若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥1，x －y ≥－1，2x －y ≤2，目标函数z ＝ax ＋2y 仅在点(1，0)处取得最小值，则a 的取值范围是________．探究点三 线性规划的实际应用5 2015年8月世界田径锦标赛在北京举行，某体校准备组织84名学生去参加开幕式，已知每辆小车最多坐4人，每辆大车最多坐8人，共有15辆车，且小车比大车至少多2辆．若每辆大车的费用为800元，每辆小车的费用为500元，试问怎么租车，才能使总费用最少？[总结反思] 解线性规划应用题的一般步骤是：(1)分析题意，设出未知量；(2)列出线性约束条件和目标函数；(3)作出平面区域；(4)判断最优解；(5)根据实际问题作答．式题 (1)[2016·成都三模] 某运输公司有12名驾驶员和19名工人，有8辆载重为10吨的甲型卡车和7辆载重为6吨的乙型卡车．某天需运往A 地至少72吨的货物，派用的每辆车需满载且只运送一次，派用的每辆甲型卡车需配2名工人，运送一次可得利润450元，派用的每辆乙型卡车需配1名工人，运送一次可得利润350元，该公司合理计划当天派用两类卡车的车辆数，可得最大利润为( )A ．4650元B ．4700元C ．4900元D ．5000元 (2)[2016·全国卷Ⅰ] 某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A 需要甲材料1.5 kg ，乙材料1 kg ，用5个工时；生产一件产品B 需要甲材料0.5 kg ，乙材料0.3 kg ，用3个工时．生产一件产品A 的利润为2100元，生产一件产品B 的利润为900元．该企业现有甲材料150 kg ，乙材料90 kg ，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为________元．第36讲 基本不等式课前双击巩固1．基本不等式ab ≤a ＋b2(1)基本不等式成立的条件：________.(2)等号成立的条件：当且仅当______时取等号． 2．几个重要的不等式(1)a 2＋b 2≥______(a ，b ∈R )． (2)b a ＋ab ≥______(a ，b 同号)． (3)ab ≤a ＋b 22(a ，b ∈R )．(4)a ＋b 22≤a 2＋b 22(a ，b ∈R )．3．算术平均数与几何平均数设a >0，b >0，则a ，b 的算术平均数为______，几何平均数为ab ，基本不等式可叙述为：__________．4．利用基本不等式求最值问题 已知x >0，y >0，则(1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是______(简记：积定和最小)．(2)如果和x ＋y 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是______(简记：和定积最大)．题组一 常识题1．[教材改编] 若实数a ，b 满足a ＋b ＝2，则3a ＋3b 的最小值是________．2．[教材改编] 若x >－3，则x ＋2x ＋3的最小值为________．3．[教材改编] 对任意x >0，xx 2＋3x ＋1≤a 恒成立，则实数a 的取值范围是________．4．[教材改编] 已知a >0，b >0，若不等式2a ＋1b ≥m2a ＋b 恒成立，则m 的最大值等于________．题组二 常错题◆ 索引：基本不等式的应用，注意字母的正负以及等号成立的条件．5．给出以下函数：①y ＝x ＋1x ；②y ＝lg x ＋1lg x ；③y ＝x 2＋1＋1x 2＋1.当x 取正数时，最小值为2的函数是________(写出所有正确答案的序号)．6．下列不等式一定成立的是________(写出所有正确答案的序号)．①lg ⎝⎛⎭⎫x 2＋14＞lg x (x ＞0)； ②sin x ＋1sin x ≥2(x ≠k π，k ∈Z )；③x 2＋1≥2|x |(x ∈R )；④1x 2＋1＞1(x ∈R )． 题组三 常考题7．[2015·福建卷改编] 若直线x a ＋yb ＝1(a >0，b >0)过点(1，1)，则a ＋b 的最小值为________．8．已知实数x ，y 满足x >y >0，x ＋y ≤2，则2x ＋3y ＋1x －y 的最小值为________．9．[2015·天津卷] 已知a >0，b >0，ab ＝8，则当a 的值为________时，log 2a ·log 2(2b )取得最大值．课堂考点探究探究点一 利用基本不等式求最值考向1 利用配凑法求最值已知x <54，则f (x )＝4x －2＋14x －5的最大值为________．(2) 若函数f (x )＝x ＋1x －2(x >2)在x ＝a 处取最小值，则a ＝________．] 利用配凑法求最值，主要是配凑成“和为常数”或“积为常数”的形式．已知0<x <1，则当x (3－3x )取得最大值时，x 的值为________． 考向2 利用常数代换法求最值茂名模拟] 已知向量a ＝(3，－2)，b ＝(x ，y －1)且a ∥b ，若x ，y 均为正数，则3x ＋2y的最小值是( ) A ．24 B ．8C.83D.53(2)[2016·银川二模] 已知函数y ＝a 1－x (a >0，a ≠1)的图像恒过定点A ，若点A 在直线mx ＋ny －1＝0(m >0，n >0)上，则1m ＋1n的最小值是________．[总结反思] 常数代换法主要解决形如“已知x ＋y ＝t (t 为常数)，求a x ＋by 的最值”型问题，先将a x ＋by转化为⎝⎛⎭⎫a x ＋b y ·x ＋y t ，再用基本不等式求最值． 式题 若两个正实数x ，y 满足2x ＋1y＝1，且x ＋2y >m 2＋2m 恒成立，则实数m 的取值范围是________．考向3 利用消元法求最值3 (1) [2016·日照一模] 若实数x ，y 满足xy ＞0，则x x ＋y ＋2yx ＋2y 的最大值为( )A ．2－ 2B ．2＋ 2C ．4＋2 2D ．4－2 2(2)已知ab ＝14，a ，b ∈(0，1)，则11－a ＋21－b的最小值为________．[总结反思] 应用基本不等式求最值时，一定要紧扣“一正、二定、三相等”这三个条件，还要注意条件的转化和应用．式题 已知x >0，y >0，x ＋2y ＋2xy ＝8，则x ＋2y 的最小值是( )A ．3B ．4 C.92 D.112探究点二 不等式与函数的综合问题4 (1)[2016·浙江十二校联考] 若函数f (x )＝2x 2－ax －1(a <2)在区间(1，＋∞)上的最小值为6，则实数a 的值为( )A ．0 B.32 C ．1 D.12(2)[2016·杭州二模] 对任意θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，不等式1sin 2θ＋4cos 2θ≥|2x －1|恒成立，则实数x 的取值范围是( )A ．[－3，4]B ．[0，2]C.⎣⎡⎦⎤－32，52 D ．[－4，5] [总结反思] 求形如y ＝ax 2＋bx ＋c dx ＋e 的函数的值域或最值，可以利用基本不等式求解，在求解过程中特别要注意取等号的情况，若不满足取等号的情况，则可以利用函数的单调性求最值．式题 已知f (x )＝32x －(k ＋1)·3x ＋2，当x ∈R 时，f (x )恒为正值，则k 的取值范围为________．探究点三 基本不等式的实际应用5 [2016·上海松江区模拟] 在一次水下考古活动中，潜水员需潜入水深为30米的水底进行作业，其用氧量包含以下三个方面：①下潜时，平均速度为每分钟x 米，每分钟的用氧量为190x 2升；②水底作业需要10分钟，每分钟的用氧量为0.3升；③返回水面时，平均速度为每分钟12x 米，每分钟的用氧量为0.2升．设潜水员在此次考古活动中的总用氧量为y 升．(1)将y 表示为关于x 的函数；(2)若x ∈[4，8]，求总用氧量y 的取值范围．[总结反思] 利用基本不等式解决实际应用题的基本思路是：(1)设变量时一般把要求的变量定义为函数；(2)根据实际问题抽象出函数的解析式后，再利用基本不等式求得函数的最值；(3)求最值时注意定义域的限制．式题 [2014·福建卷] 要制作一个容积为4 m 3，高为1 m 的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是________(单位：元)．第37讲 合情推理与演绎推理课前双击巩固1．合情推理(1)定义：根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行________，然后提出______的推理叫作合情推理．(2)分类：数学中常用的合情推理有________和________． (3)归纳和类比推理的定义、特点及步骤 名称 归纳推理类比推理定 义 根据某类事物的________具有某些特征，推出该类事物的________都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，叫作归纳推理由两类对象具有________特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理，叫作类比推理特 点由______到______、 由______到______的推理由______到______的推理步 骤①通过观察________发现__________； ②从已知的________中推出______________________ ①找出两类事物之间的______________；②用一类事物的______去推测____________，得出一个明确的命题(猜想)2．演绎推理 (1)模式：三段论①大前提：已知的一般原理； ②小前提：所研究的特殊情况；③结论：根据一般原理，对特殊情况做出的判断． (2)特点：演绎推理是由______到______的推理．题组一 常识题1．[教材改编] 已知2＋23＝223，3＋38＝338，4＋415＝4415，…，类比这些等式，若6＋a b＝6ab(a ，b 均为正数)，则a ＋b ＝________． 2．[教材改编] 在平面几何中有如下结论：正三角形ABC 的内切圆面积为S 1，外接圆面积为S 2，则S 1S 2＝14.推广到空间可以得到类似结论：已知正四面体P -ABC 的内切球体积为V 1，外接球体积为V 2，则V 1V 2＝________．3．[教材改编] 设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若存在正整数m ，k (m <k )，使得S m ＝S k ，则S m ＋k ＝0.类比上述结论，设正项等比数列{b n }的前n 项积为T n ，若存在正整数m ，k (m <k )，使T m ＝T k ，则T m ＋k ＝________．4．[教材改编] 观察下列等式：21＋2＝4；21×2＝4；32＋3＝92；32×3＝92；43＋4＝163；43×4＝163；….根据这些等式反映的结果，可以得出一个关于正整数n 的等式，这个等式可以表示为________________________________________________________________________．5．设△ABC 的三边长分别为a ，b ，c ，△ABC 的面积为S ，内切圆半径为r ，则r ＝2Sa ＋b ＋c .类比这个结论可知：四面体P ABC 的四个面的面积分别为S 1，S 2，S 3，S 4，内切球的半径为r ，四面体P ABC 的体积为V ，则r ＝________．题组二 常错题◆ 索引：归纳推理不准确导致错误．6．已知f (x )＝x1＋x ，x ≥0，若f 1(x )＝f (x )，f n ＋1(x )＝f [f n (x )]，n ∈N *，则f 2014(x )的表达式为________________________________________________________________________．题组三 常考题 7．[2012·陕西卷] 观察下列不等式1＋122<32， 1＋122＋132<53， 1＋122＋132＋142<74， ……照此规律，第五个．．．不等式为______________． 8．[2014·多面体 面数(F ) 顶点数(V )棱数(E ) 三棱柱 5 6 9 五棱锥 6 6 10 立方体6812猜想一般凸多面体中F ，V ，E 所满足的等式是________． 9．[2016·广州三模] 已知数列{a n }为等差数列，若a m ＝a ，a n ＝b (n －m ≥1，m ，n ∈N *) ，则a m ＋n ＝nb －man －m .类比等差数列{a n }的上述结论，对于等比数列{b n }(b n >0，n ∈N *)，若b m ＝c ，b n ＝d (n －m ≥1，m ，n ∈N *)，则可以得到b m ＋n ＝________．课堂考点探究探究点一 类比推理1 [2016·湖南株洲六校联考] 对于问题“已知关于x 的不等式ax 2＋bx ＋c >0 的解集为(－1，2) ，解关于x 的不等式ax 2－bx ＋c >0”，给出如下一种解法：解：由ax 2＋bx ＋c >0的解集为(－1，2)，得a (－x )2＋b (－x )＋c >0的解集为(－2，1)， 即关于x 的不等式ax 2－bx ＋c >0的解集为(－2，1)．参考上述解法，若关于x 的不等式kx ＋a ＋x ＋b x ＋c <0的解集为⎝⎛⎭⎫－1，－13∪⎝⎛⎭⎫12，1，则关于x 的不等式kxax ＋1＋bx ＋1cx ＋1<0的解集为________．[总结反思] 类比推理是由特殊到特殊的推理，其一般步骤为：①找出两类事物之间的相似性或一致性；②用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题(猜想)．式题 [2016·兰州一模] 已知面积为S 的凸四边形中，四条边分别记为a 1，a 2，a 3，a 4 ，点P 为四边形内任意一点，且点P 到四条边的距离分别记为h 1，h 2，h 3，h 4，若a 11＝a 22＝a 33＝a 44＝k ，则h 1＋2h 2＋3h 3＋4h 4＝2Sk .类比以上性质，体积为V 的三棱锥的每个面的面积分别记为S 1，S 2，S 3，S 4，此三棱锥内任一点Q 到每个面的距离分别为H 1，H 2，H 3，H 4 ，若S 11＝S 22＝S 33＝S 44＝K ，则H 1＋2H 2＋3H 3＋4H 4＝( ) A.4V K B. 3V K C.2V K D.V K 探究点二 归纳推理2 (1)[2016·广州一模] 以下数表的构造思路源于我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中的“杨辉三角形”．1 2 3 4 5 … 2013 2014 2015 2016 3 5 7 9 … 4027 4029 4031 8 12 16 … 8056 8060 20 28 … 16 116 ……该表由若干行数字组成，从第二行起，每一行中的数字均等于其“肩上”两数之和，表中最后一行仅一个数，则这个数为( )A ．2017×22015B ．2017×22014C ．2016×22015D ．2016×22014 (2)[2016·佛山模拟] 宋元时期杰出的数学家朱世杰在其数学巨著《四元玉鉴》卷中“茭草形段”第一个问题“今有茭草六百八十束，欲令‘落一形’埵(同垛)之，问底子(每层三角形边茭草束数，等价于层数)几何？”中探讨了“垛积术”中的落一形垛(“落一形”即是指顶上1束，下一层3束，再下一层6束，…，成三角锥的堆垛，故也称三角垛，如图6-37-1，表示第二层开始的每层茭草束数)，则本问题中三角垛底层茭草总束数为________．图6-37-1[总结反思] 归纳推理是从特殊到一般的推理，所以应根据题中所给的现有的图形、数据、结构等着手分析，从而找出一般性的规律或结论．式题 [2016·甘肃张掖质检] 把数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫12n －1的所有数按照从大到小的原则写成如下数表： 113 1517 19 111 113 115 117 119 (129)…第k 行有2k －1个数，第t 行的第s 个数(从左数起)记为A (t ，s )，则A (6，10)＝________．探究点三 演绎推理 3 数列{a n }的前n 项和记为S n ，已知a 1＝1，a n ＋1＝n ＋2nS n (n ∈N *)．证明：(1)数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是等比数列；(2)S n ＋1＝4a n .[总结反思] 演绎推理是从一般到特殊的推理，其一般模式为三段论，应用三段论解决问题时，首先应该明确大前提、小前提是什么，如果前提是显然的，则可以省略． 式题 [2016·全国卷Ⅱ] 有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3，甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是________．第38讲 直接证明与间接证明课前双击巩固1．直接证明 (1)综合法综合法是从________推导到______的思维方法．具体地说，综合法是从________出发，经过逐步的______，最后达到________． (2)分析法分析法是从______追溯到______________的思维方法，具体地说，分析法是从__________出发，一步一步寻求结论成立的____________，最后达到________________或__________．2．间接证明反证法：假设______不成立(即在______的条件下，____不成立)，经过正确的推理，最后得出______，因此说明假设错误，从而证明了______成立，这种证明方法，叫作反证法．题组一 常识题1．[教材改编] 命题“对于任意角θ，cos 4θ－sin 4θ＝cos 2θ”的证明过程为“cos 4θ－sin 4θ＝(cos 2θ－sin 2θ)(cos 2θ＋sin 2θ)＝cos 2θ－sin 2θ＝cos 2θ”，则该证明过程应用了________．2．[教材改编] 用分析法证明不等式n ＋n ＋4<2n ＋2(n >0)时，最后推得的显然成立的最简不等式是________．3．[教材改编] 在△ABC 中，若内角A ，B ，C 成等差数列，且b ＝3a ，则用综合法推得△ABC 的形状是________．4．[教材改编] 用反证法证明“3，5，7不可能成等差数列”时，第一步应假设________________________________________________________________________．题组二 常错题◆ 索引： 证明方法的两个易错点：分析法证明的书写格式；反证法的假设． 5．用分析法证明不等式3＋7<25，________(填“能”与“不能”)把“3＋7<25”作为已知条件．6．用反证法证明“如果a >b ，那么3a >3b ”假设的内容应是________．题组三 常考题 7．[2014·山东卷改编] 用反证法证明命题“设a ，b 为实数，则方程x 2＋ax ＋b ＝0至少有一个实根”时，要做的假设是____________________．8．分析法又称执果索因法，若用分析法证明“设a >b >c 且a ＋b ＋c ＝0，求证b 2－ac <3a ”，则索的因是________(填序号)．①a －b >0 ；②a －c >0 ；③(a －b )(a －c )>0；④(a －b )(a －c )<0.9．设a ，b ，c ∈(0，＋∞)，则三个数a ＋1b ，b ＋1c ，c ＋1a 的值________(填序号)．①都大于2 ；②都小于2 ；③至少有一个不大于2；④至少有一个不小于2. 课前双击巩固探究点一 综合法1 已知数列{a n }的首项a 1＝1，a n ＋1＝3a na n ＋1，n ∈N *.(1)证明：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n－12是等比数列；(2)求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫2n a n 的前n 项和S n .[总结反思] (1)从已知出发，逐步推理直到得出所证结论的方法为综合法；(2)计算题的计算过程也是根据已知的式子进行逐步推导的过程，也是使用的综合法．式题 已知空间四边形ABCD 中，E ，H 分别为AB ，AD 的中点，F ，G 分别是BC ，CD 上的点，且CF CB ＝CG CD ＝23.求证：(1)E ，F ，G ，H 四点共面； (2)三条直线EF ，GH ，AC 交于一点．。

第六单元不等式、推理与证明第33讲不等关系与不等式课前双击巩固1.两个实数比较大小的方法(1)作差法(2)作商法2.不等式的性质(1)对称性:a>b⇔(双向性).(2)传递性:a>b,b>c⇒a>c(单向性).(3)可加性:a>b⇔a+c b+c(双向性);a>b,c>d⇒(单向性).(4)可乘性:a>b,c>0⇒ac bc;a>b,c<0⇒ac bc;a>b>0,c>d>0⇒ac bd(单向性).(5)乘方法则:a>b>0⇒a n b n(n∈N,n≥1)(单向性).(6)开方法则:a>b>0⇒>(n∈N,n≥2)(单向性).题组一常识题1.[教材改编]设a=,b=-,c=-,则a,b,c中最大者为.2.[教材改编]若f=2x2-2x,g=x2-2,则f与g的大小关系是.3.[教材改编]已知下列四个条件:①b>0>a;②0>a>b;③a>0>b;④a>b>0.不能推出<成立的序号是.题组二常错题◆索引:求范围时乱用不等式的加法原理;乘法运算不注意符号的影响;除法运算受定势的影响,不注意不等式两端的符号.4.已知-1<a<2,-3<b<5,则2a-b的取值范围是.5.已知a,b,c∈R+,设S=++,则S与1的大小关系是.6.已知2<a<3,-3<b<-2,则的取值范围是.课堂考点探究探究点一比较两个数(式)的大小1 (1)已知a>b>0,P=,Q=,则P,Q的大小关系为.(2)已知a,b,c为正数,且3a=4b=6c,则下列正确的是()A.6c<3a<4bB.6c<4b<3aC.3a<4b<6cD.4b<3a<6c[总结反思] (1)判断两个式子的大小关系的方法:作差、作商法;不等式性质法;单调性法;中间量法;特殊值法;数形结合法等.(2)作差法的一般步骤:作差,变形,定号,得出结论.式题 (1)已知p∈R,M=(2p+1)(p-3),N=(p-6)(p+3)+10,则M,N的大小关系为.(2)若a>0,且a≠7,则 ()A.77a a<7a a7B.77a a=7a a7C.77a a>7a a7D.77a a与7a a7的大小不确定探究点二不等式的性质2 (1)[2017·淮北一中四模]若a<b<0,给出下列不等式:①a2+1>b2;②|1-a|>|b-1|;③>>.其中正确的个数是()A.0B.1C.2D.3(2)设0<a<1,b>c>0,则下列结论不正确的是()A.a b<a cB.b a>c aC.log a b<log a cD.>[总结反思] 解决此类题目常用的三种方法:(1)直接利用不等式的性质逐个验证,利用不等式的性质判断不等式是否成立时要特别注意前提条件;(2)利用特殊值法排除错误答案;(3)利用函数的单调性,当直接利用不等式的性质不能比较大小时,可以利用指数函数、对数函数、幂函数等函数的单调性进行判断.式题 (1)若a<b<0,则下列不等式不能成立的是()A.>B.a2>abC.>D.>(2)[2017·北京朝阳区二模]已知x>y,则下列不等式一定成立的是()A.<B.log2(x-y)>0C.x2>y2D.<探究点三不等式性质的应用3 (1)[2017·衡水中学三调]三个正数a,b,c满足a≤b+c≤2a,b≤a+c≤2b,则的取值范围是()A.B.C.D.(2)已知-≤2x+y≤,-≤3x+y≤,则9x+y的取值范围是.[总结反思] 运用不等式的性质解决问题时,常用的方法是正确使用不等式的性质直接推导,并注意不等式性质成立的条件以及等价转化的思想,比如减法可以转化为加法,除法可以转化为乘法等.但应注意两点:一是必须严格运用不等式的性质;二是在多次运用不等式的性质时有可能扩大了变量的取值范围,解决的途径是先建立所求范围的整体与已知范围的整体的等量关系,再通过“一次性”不等关系的运算求解范围.式题已知f(a,b)=ax+by,如果1≤f(1,1)≤2,且-1≤f(1,-1)≤1,则f(2,1)的取值范围是.第34讲一元二次不等式及其解法课前双击巩固1.一元二次不等式只含有一个未知数,并且未知数的最高次数为2的不等式叫作一元二次不等式.2.一元二次不等式的解集常用结论1.(1)“ax2+bx+c>0(a≠0,x∈R)恒成立”的充要条件是“a>0且b2-4ac<0”.(2)“ax2+bx+c<0(a≠0)恒成立”的充要条件是“a<0且b2-4ac<0”.2.(1)对于不等式ax2+bx+c>0,求解时不要忘记讨论a=0时的情形.(2)注意区分Δ<0时,ax2+bx+c>0(a≠0)的解集为R还是⌀.题组一常识题1.[教材改编]不等式x2-3x-10≤0的解集为.2.[教材改编]已知一元二次方程x2+2ax+(7a-6)=0(a∈R)有两个不等的实数根,则实数a的取值范围是.3.[教材改编]已知集合A={x|x2-2x-3<0},B={-1,0,1,2,3},则A∩B= .题组二常错题◆索引:解不等式时变形必须等价;注意二次项的系数符号;对参数的讨论不要忽略二次项系数为0的情况.4.不等式2x(x-7)>3(x-7)的解集为.5.不等式(x+3)(1-x)≥0的解集为.6.对于任意实数x,不等式mx2+mx-1<0恒成立,则实数m的取值范围是.课堂考点探究探究点一一元二次不等式的解法1 (1)[2017·河南新乡三模]若集合M={x|x2+5x-14<0},N={x|1<x<4},则M∩N等于()A.⌀B.C.D.(2)已知不等式ax2-5x+b>0的解集为{x|-3<x<2},则不等式bx2-5x+a>0的解集为()A.x-<x<B.x x<-或x>C.{x|-3<x<2}D.{x|x<-3或x>2}[总结反思] 解一元二次不等式的一般步骤:①化为标准形式(二次项系数大于0);②确定判别式Δ的符号(若Δ≥0,则求出该不等式对应的二次方程的根,若Δ<0,则对应的二次方程无根);③结合二次函数的图像得出不等式的解集.式题 (1)已知集合A={x∈Z|x2-3x-4≤0},B={x∈Z|2x2-x-6>0},则A∩B的真子集的个数为.(2)已知一元二次不等式f<0的解集为-∞,∪,+∞,则不等式f>0的解集为.探究点二一元二次不等式恒成立问题考向1形如f(x)≥0(x∈R)2 不等式(a-2)x2+2(a-2)x-4<0对一切x∈R恒成立,则实数a的取值范围是. [总结反思] (1)若不等式ax2+bx+c>0(a≠0)恒成立,则满足(2)若不等式ax2+bx+c<0(a≠0)恒成立,则满足(3)若不等式ax2+bx+c>0恒成立,则要考虑a=0时是否满足.考向2形如f(x)≥0(x∈[a,b])3 若对任意的x∈[-1,2],都有x2-2x+a≤0(a为常数),则a的取值范围是()A.(-∞,-3]B.(-∞,0]C.[1,+∞)D.(-∞,1][总结反思] 一元二次不等式在指定范围内恒成立,其本质是这个不等式的解集包含着指定的区间.恒大于0就是相应的二次函数图像在给定的区间上全部在x轴上方;恒小于0就是相应的二次函数图像在给定的区间上全部在x轴下方.考向3形如f(x)≥0(参数m∈[a,b])4 对任意a∈[-1,1],函数f(x)=x2+(a-4)x+4-2a的值总大于零,则x的取值范围是.[总结反思] 解决一元二次不等式在给出参数取值范围恒成立问题时一定要搞清谁是主元,谁是参数,一般地,知道谁的范围,谁就是主元,求谁的范围,谁就是参数.强化演练1.【考向1】[2017·南充检测]关于x的不等式x2-ax+a>0(a∈R)在R上恒成立的充分不必要条件是()A.a<0或a>4B.0<a<2C.0<a<4D.0<a<82.【考向2】[2017·吉林实验中学模拟]若对任意x∈[1,2],有x2-a≤0恒成立,则实数a 的取值范围是()A.a≤4B.a≥4C.a≤5D.a≥53.【考向1】若函数f=的定义域为实数集R,则实数a的取值范围为() A.B.∪C.∪D.4.【考向3】不等式(a-3)x2<(4a-2)x对a∈(0,1)恒成立,则x的取值范围是.探究点三一元二次不等式的应用5[2017·芜湖一中月考]某厂以x千克/时的速度匀速生产某种产品(生产条件要求1≤x ≤10),每小时可获得的利润是505x-+1元.(1)要使生产该产品2小时获得的利润不低于1500元,求x的取值范围.(2)要使生产480千克该产品获得的利润最大,问:该厂应该选取何种生产速度?并求此最大利润.[总结反思] 对于不等式应用问题,一般可按四步进行:一是理解题意,把握问题中的关键量;二是引进数学符号,用不等关系构造不等式;三是解不等式;四是回答实际问题.式题学校里两条互相垂直的道路AM,AN旁有一矩形花园ABCD,现欲将其扩建成一个更大的三角形花园APQ,要求点B,P在AM上,点D,Q在AN上,且PQ过点C,其中AM=AN=100 m,AB=30 m,AD=20 m,如图6-34-1,记三角形花园APQ的面积为S m2.(1)设DQ=x m(x>0),建立三角形花园APQ的面积S关于x的表达式.(2)要使三角形花园APQ的面积不小于1600 m2,请问DQ的长应在什么范围内?图6-34-1第35讲二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题课前双击巩固1.二元一次不等式(组)表示的平面区域2.线性规划中的基本概念3.利用线性规划求最值,用图解法求解的步骤(1)在平面直角坐标系内作出可行域.(2)作出目标函数的等值线.(3)确定最优解:在可行域内平行移动目标函数等值线,从而确定最优解.题组一常识题1.[教材改编]不等式组表示的平面区域的面积为.2.[教材改编]若变量x,y满足约束条件则z=2x+y的最大值等于.3.[教材改编]某蔬菜收购点租用车辆将100 t新鲜辣椒运往某市销售,可租用的大卡车和农用车分别为10辆和20辆,若每辆卡车载重8 t,运费960元,每辆农用车载重2.5 t,运费360元,据此安排两种车型使运费最少.设租用大卡车x辆,农用车y辆,则应满足的不等关系为.题组二常错题◆索引:不明确目标函数的最值与等值线的截距间关系;不清楚目标函数的几何意义;对最优解有无数个理解不透.4.已知变量x,y满足约束条件则z=x-y的最大值为.5.若变量x,y满足则z=x2+y2的最大值是.6.已知变量x,y满足若z=y-ax取得最大值时的最优解(x,y)有无数个,则a的值为.课堂考点探究探究点一二元一次不等式(组)表示的平面区域考向1平面区域的面积问题1 (1)在平面直角坐标系中,不等式组表示的平面区域的面积是()A.1B.C.2D.(2)设不等式组表示的平面区域为Ω1,直线y=k(x-3)分平面区域Ω1为面积相等的两部分,则k= .[总结反思] 求解平面区域的面积问题的基本步骤:(1)画出不等式组表示的平面区域;(2)判断平面区域的形状,也可将平面区域划分为几个三角形;(3)求解面积.考向2平面区域的形状问题2 不等式组表示的平面区域的形状为()A.三角形B.平行四边形C.梯形D.正方形[总结反思] 平面区域的形状问题主要有两种题型:(1)确定平面区域的形状,求解时先画满足条件的平面区域,然后判断其形状;(2)根据平面区域的形状求解参数问题,求解时通常先画满足条件的平面区域,但要注意对参数进行必要的讨论.强化演练1.【考向2】不等式组表示的平面区域的形状为()A.等边三角形B.梯形C.等腰直角三角形D.正方形2.【考向1】在平面直角坐标系中,不等式组所表示的平面区域的面积为()A.1B.2C.4D.83.【考向1】[2017·三明质检]在区域Ω=中,若满足ax+y>0的区域面积占Ω面积的,则实数a的值是 ()A. B.C.-D.-4.【考向2】若关于x,y的不等式组表示的平面区域的形状是等腰直角三角形,则k= .探究点二求目标函数的最值考向1求线性目标函数的最值3 (1)[2017·河南新乡三模]已知变量x,y满足约束条件则z=2x+y的最小值为()A.-B.1C.-2D.(2)[2017·衡水中学月考]已知变量x,y满足约束条件则z=2x-y的最大值为()A.2B.3C.4D.5[总结反思] 求目标函数z=ax+by的最大值或最小值,先准确作出可行域,再借助目标函数的几何意义求目标函数的最值.考向2求非线性目标函数的最值4 (1)[2017·成都三模]若x,y满足不等式组则z=x2+y2的最小值是()A.2B.C.4D.5(2)若变量x,y满足约束条件则z=的取值范围是 ()A.B.C. D.[总结反思] 目标函数是非线性形式的函数时,常考虑目标函数的几何意义,常见代数式的几何意义主要有:(1)表示点(x,y)与原点(0,0)间的距离,表示点(x,y)与点(a,b)间的距离;(2)表示点(x,y)与原点(0,0)连线的斜率,表示点(x,y)与点(a,b)连线的斜率.考向3求线性规划中的参数5 (1)[2017·马鞍山三模]已知变量x, y满足若z=3x-y的最大值为1,则m 的值为()A. B.2C.1D.(2)[2017·烟台二模]关于x,y的不等式组表示的平面区域为D,若区域D内存在满足t≤3x-y的点,则实数t的取值范围为()A. B.C. D.[总结反思] (1)线性规划问题中的参数可以出现在约束条件或目标函数中;(2)一般地,目标函数只在可行域的顶点或边界处取得最值.强化演练1.【考向1】若x,y满足则y-2x的最大值为 ()A.3B.2C.0D.-22.【考向1】若变量x,y满足则z=2x+y的最小值为()A.-B.0C.1D.3.【考向2】[2017·泉州模拟]若x, y满足约束条件则z=的最大值为()A.1B.2C.3D.44.【考向3】[2017·石家庄二模]变量x,y满足|x+1|≤y≤-x+1时,目标函数z=mx+y的最大值等于5,则实数m的值为()A.-1B.-C.2D.55.【考向3】已知变量x,y满足若目标函数z=ax+y(a≠0)取得最小值时的最优解有无数个,则实数a的值为.6.【考向3】若x,y满足且z=x2+y2的最大值为10,则m= .探究点三线性规划的实际应用6 咖啡馆配制两种饮料,甲种饮料分别用奶粉9 g、咖啡4 g、糖3 g.乙种饮料分别用奶粉4 g、咖啡5 g、糖10 g.已知每天使用原料限额为奶粉3600 g、咖啡2000 g、糖3000 g.如果甲种饮料每杯能获利0.7元,乙种饮料每杯能获利1.2元.每天在原料的使用限额内饮料能全部售出,每天配制甲种饮料杯、乙种饮料杯能获利最大.[总结反思] 解线性规划应用题的一般步骤:(1)分析题意,设出未知量;(2)列出约束条件和目标函数;(3)作出平面区域;(4)判断最优解;(5)根据实际问题作答.式题 [2017·长沙长郡中学三模]某高新技术公司要生产一批新研发的A款产品和B款产品,生产一台A款产品需要甲材料3 kg,乙材料1 kg,并且需要花费1天时间,生产一台B款产品需要甲材料1 kg,乙材料3 kg,也需要1天时间,已知生产一台A款产品的利润是1000元,生产一台B款产品的利润是2000元,公司目前有甲、乙材料各300 kg,则在不超过120天的情况下,公司生产两款产品的最大利润是元.第36讲基本不等式课前双击巩固1.基本不等式≤(1)基本不等式成立的条件:.(2)等号成立的条件:当且仅当时取等号.2.几个重要的不等式(1)a2+b2≥(a,b∈R).(2)+≥(a,b同号).(3)ab≤2(a,b∈R).(4)2≤(a,b∈R).3.算术平均数与几何平均数设a>0,b>0,则a,b的算术平均数为,几何平均数为,基本不等式可叙述为:.4.利用基本不等式求最值问题已知x>0,y>0,则(1)如果积xy是定值p,那么当且仅当x=y时,x+y有最小值是(简记:积定和最小).(2)如果和x+y是定值p,那么当且仅当x=y时,xy有最大值是(简记:和定积最大).题组一常识题1.[教材改编]已知x>-2,则x+的最小值为.2.[教材改编]已知正实数x,y满足2x+y=1,则xy的最大值为.3.[教材改编]一段长为36 m的篱笆围成一个矩形菜园,则这个矩形菜园的最大面积为.题组二常错题◆索引:对于基本不等式的应用,注意字母的正负以及等号成立的条件,等号不成立时,通常考虑利用函数的单调性求解.4.函数y=(x<1)的最大值为.5.当x≥4时,x+的最小值为.6.已知正实数x,y满足x+y=3,则+的最小值为.课堂考点探究探究点一利用基本不等式求最值考向1利用配凑法求最值1 (1)[2017·重庆九校联考]若a>0,则a+的最小值为.(2)已知x+3y=1(x>0,y>0),则xy的最大值是.[总结反思] 利用配凑法求最值,主要是配凑成“和为常数”或“积为常数”的形式.考向2利用常数代换法求最值2 (1)[2017·烟台一模]已知函数y=1+log m x(m>0且m≠1)的图像恒过点M,若直线+=1(a>0,b>0)经过点M,则a+b的最小值为()A.2B.3C.4D.5(2)[2017·四川绵阳中学三模]已知正项等比数列满足a7=a6+2a5,若存在两项a m,a p,使得a m a p=16,则+的最小值为()A. B.9C. D.不存在[总结反思] 常数代换法主要解决形如“已知x+y=t(t为常数),求+的最值”的问题,先将+转化为+·,再用基本不等式求最值.考向3利用消元法求最值3 [2017·浙江学军中学模拟]已知正实数a,b满足a2-b+4≤0,则u=()A.有最大值B.有最小值C.有最小值3D.有最大值3[总结反思] 当所求最值的代数式中的变量比较多时,通常是考虑利用已知条件消去部分变量后,凑出“和为常数”或“积为常数”,最后利用基本不等式求最值.考向4利用两次基本不等式求最值4 已知a>b>0,那么a2+的最小值为.[总结反思] 利用基本不等式求函数或代数式的最值时一定要注意验证等号是否成立,特别是当连续多次使用基本不等式时,一定要注意每次是否能保证等号成立,并且注意取等号的条件的一致性,因此在利用基本不等式处理问题时,列出等号成立的条件不仅是解题的必要步骤,也是检验转换是否有误的一种方法.强化演练1.【考向1】已知x∈0,,则y=x(1-4x)的最大值为.2.【考向1】若函数f(x)=x+(x<2)在x=a处取得最大值,则a=()A.-1B.1-C.1D.23.【考向2】设直角坐标系xOy平面内的三点A(1,-2),B(a,-1),C(-b,0),其中a>0,b>0,若A,B,C三点共线,则+的最小值为()A.4B.6C.8D.94.【考向4】设a>b>0,则a2++的最小值是()A.1B.2C.3D.45.【考向3】[2017·山东实验中学一模]若a,b,c都是正数,且a+b+c=2,则+的最小值是()A.2B.3C.4D.6探究点二基本不等式与函数的综合问题5 (1)[2017·合肥质检]对函数f,如果存在x0≠0使得f=-f,则称(x0,f)与(-x0,f)为函数图像的一组奇对称点.若f=e x-a(e为自然对数的底数)存在奇对称点,则实数a的取值范围是 ()A.B.C.D.(2)[2017·南昌一模]已知两条直线l1: y=m(m>0)和l2: y=,l1与函数y=的图像从左到右相交于点A,B,l2与函数y=的图像从左到右相交于点C,D,记线段AC和BD在x轴上的投影长度分别为a,b,当m变化时,的最小值为.[总结反思] 形如y=的函数的值域或最值,可以利用基本不等式求解,在求解过程中特别要注意取等号的情况,若不满足取等号的情况,则可以利用函数的单调性求最值.式题若在函数y=f图像上不同两点M(x1,y1),N(x2,y2)处的切线的斜率分别是k M,k N,规定φ(M,N)= (|MN|为线段MN的长度)叫作曲线y=f(x)在点M与点N之间的“弯曲度”.设函数f(x)=x3+2图像上的不同两点为M(x1,y1),N(x2,y2),且x1x2=1,则φ(M,N)的取值范围是.探究点三基本不等式的实际应用6 小王于年初用50万元购买一辆大货车,第一年因缴纳各种费用需支出6万元,从第二年起,每年都比上一年增加支出2万元,假定该车每年的运输收入均为25万元.小王在该车运输累计收入超过总支出后,考虑将大货车作为二手车出售,若该车在第n年年底出售,其销售价格为(25-n)万元(国家规定大货车的报废年限为10年).(1)大货车运输到第几年年底,该车运输累计收入超过总支出?(2)在第几年年底将大货车出售,能使小王获得的年平均利润最大?(利润=累计收入+销售收入-总支出)[总结反思] 利用基本不等式解决实际应用题的基本思路:(1)设变量时一般把要求的变量定义为函数;(2)根据实际问题抽象出函数的解析式后,再利用基本不等式求得函数的最值;(3)求最值时注意定义域的限制.第37讲合情推理与演绎推理课前双击巩固1.合情推理(1)定义:根据已有的事实,经过观察、分析、比较、联想,再进行,然后提出的推理叫作合情推理.(2)分类:数学中常用的合情推理有和.(3)归纳和类比推理的定义、特点及步骤2.演绎推理(1)模式:三段论①大前提:已知的一般原理;②小前提:所研究的特殊情况;③结论:根据一般原理,对特殊情况做出的判断.(2)特点:演绎推理是由到的推理.题组一常识题1.[教材改编]仔细观察如图6-37-1所示的图形:图(1)是一个水平摆放的小正方体木块,图(2)、图(3)是由这样的小正方体木块叠放而成的,按照这样的规律放下去,至第7个叠放的图形中,小正方体木块总数是.图6-37-12.[教材改编]若数列{a n}(n∈N*)是等差数列,且b n=,则{b n}也为等差数列.类比上述性质,相应地:若数列{c n}是等比数列,且c n>0,则当d n= 时,{d n}也是等比数列.3.[教材改编]给出如下“三段论”的推理过程:因为对数函数y=log a x(a>0且a≠1)是增函数(大前提),而y=lo x是对数函数(小前提),所以y=lo x是增函数(结论).则上述推理过程的错误原因是.题组二常错题◆索引:演绎推理中的大前提、小前提和结论判断出现错误或违背演绎推理规则;没有理解类比推理中的规律,归纳推理中的猜想.4.正弦函数是奇函数,因为f(x)=sin(x+1)是正弦函数,所以f(x)=sin(x+1)是奇函数.以上推理的错误原因是.5.在平面几何中有如下结论:若正三角形ABC的内切圆面积为S1,外接圆面积为S2,则=.推广到空间几何体中可以得到类似结论:若正四面体A-BCD的内切球体积为V1,外接球体积为V2,则= .6.观察下列各式:1+<,1++<,1+++<,……照此规律,当n∈N*时,1+++…+< .课堂考点探究探究点一类比推理1 (1)设等差数列的前n项和为S n,则S4,S8-S4,S12-S8成等差数列.类比以上结论有:设等比数列的前n项积为T n,则T4,,成等比数列.(2)[2017·太原三模]我国古代数学名著《九章算术》的论割圆术中有:“割之弥细,所失弥少,割之又割,以至于不可割,则与圆周盒体而无所失矣.”它体现了一种无限与有限的转化过程.比如在表达式1+中“…”即代表无限次重复,但原式却是个定值,它可以通过方程1+=x(x>0)求得x=.类比上述方法,则=()A.3B.C.6D.2[总结反思] 类比推理是由特殊到特殊的推理,其一般步骤为:①找出两类事物之间的相似性或一致性;②用一类事物的性质去推测另一类事物的性质,得出一个明确的命题(猜想).式题 (1)[2017·吉林大学附属中学模拟]如图6-37-2,在梯形ABCD中,AB∥CD,AB=a,CD=b(a>b).若EF∥AB,EF到CD与AB的距离之比为m∶n,则可推算出EF=,利用以上结论,推想出下面问题的结果.在上面的梯形ABCD中,分别延长梯形的两腰AD和BC 交于O点,设△OAB,△ODC的面积分别为S1,S2,则△OEF的面积S0满足(利用m,n,S1,S2表示).(2)已知等差数列中,a1009=0,则a1+a2+…+a m=a1+a2+…+a2017-m(m<2017).若等比数列中,b1010=1,则类比上述等差数列的结论,试写出等比数列的结论为.图6-37-2式题 (1)[2017·吉林大学附属中学模拟]如图6-37-2,在梯形ABCD中,AB∥CD,AB=a,CD=b(a>b).若EF∥AB,EF到CD与AB的距离之比为m∶n,则可推算出EF=,利用以上结论,推想出下面问题的结果.在上面的梯形ABCD中,分别延长梯形的两腰AD和BC 交于O点,设△OAB,△ODC的面积分别为S1,S2,则△OEF的面积S0满足(利用m,n,S1,S2表示).(2)已知等差数列中,a1009=0,则a1+a2+…+a m=a1+a2+…+a2017-m(m<2017).若等比数列中,b1010=1,则类比上述等差数列的结论,试写出等比数列的结论为. 探究点二归纳推理2 (1)[2017·南昌三模]已知13+23=,13+23+33=,13+23+33+43=,….若13+23+33+43+…+n3=3025,则n=()A.8B.9C.10D.11(2)[2017·郑州、平顶山、濮阳质检]平面内凸四边形有2条对角线,凸五边形有5条对角线,以此类推,凸十三边形的对角线条数为()A.42B.65C.143D.169[总结反思] 归纳推理是从特殊到一般的推理,所以应根据题中所给的现有的图形、数据、结构等着手分析,从而找出一般性的规律或结论.式题 (1)已知整数对的序列为(1,1),(1,2),(2,1),(1,3),(2,2),(3,1),(1,4),(2,3),(3,2),(4,1),(1,5),(2,4),…,则第70个数对是()A.B.C.D.(2)已知f=,设f1=f,f n=f n-1[f n-1(x)](n>1,n∈N*),若f m(x)=(m∈N*),则m=()A.9B.10C.11D.126探究点三演绎推理3 如图6-37-3,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC⊥BC,点D是AB的中点.图6-37-3求证:(1)AC⊥BC1;(2)AC1∥平面B1CD.[总结反思] 演绎推理是从一般到特殊的推理,其一般模式为三段论,应用三段论解决问题时,首先应该明确大前提、小前提是什么,如果前提是显然的,则可以省略.式题 [2017·陕西渭南二模]某运动队对A,B,C,D四位运动员进行选拔,只选一人参加比赛,在选拔结果公布前,甲、乙、丙、丁四位教练对这四位运动员预测如下:甲说:“是C或D 参加比赛”;乙说:“是B参加比赛”;丙说:“A,D都未参加比赛”;丁说:“是C参加比赛”.若这四位教练中只有两位说的话是对的,则参赛的运动员是.第38讲直接证明与间接证明课前双击巩固1.直接证明(1)综合法综合法是从推导到的思维方法.具体地说,综合法是从出发,经过逐步的,最后达到.(2)分析法分析法是从追溯到的思维方法,具体地说,分析法是从出发,一步一步寻求结论成立的,最后达到或.2.间接证明反证法:假设不成立(即在的条件下,不成立),经过正确的推理,最后得出,因此说明假设错误,从而证明了成立,这种证明方法,叫作反证法.题组一常识题1.[教材改编]利用反证法证明“,2,3不可能成等比数列”时,正确的假设是.2.[教材改编]要证明+<2,可选择的方法有“综合法、分析法、类比法、归纳法”四种,其中最合理的方法是.3.[教材改编]已知数列中,a1=2,=2,则数列的通项公式为a n= .题组二常错题◆索引:利用反证法证明“至少”“至多”问题时反设不正确;利用分析法证明时寻求的条件不充分,造成最后所求索的原因错误;用反证法证明时对含有逻辑联结词“且”“或”的结论否定出错.4.利用反证法证明“已知a>0,b>0,且a+b>2,证明,中至少有一个小于2”时的反设是.5.若用分析法证明“设a>b>c且a+b+c=0,求证<a”,则索的因是(填序号).①a-b>0;②a-c>0;③(a-b)(a-c)>0;④(a-b)(a-c)<0.6.利用反证法证明“已知(x-1)2+(y-1)2=0,求证x=1且y=1”时的反设是.课堂考点探究探究点一综合法1 [2017·鹰潭一中月考]设数列的前n项和为S n,已知a1=1,a n+1=S n.(1)证明:数列是等比数列;(2)求数列的前n项和T n.[总结反思] (1)从已知出发,逐步推理直到得出所证结论的方法为综合法;(2)计算题的计算过程也是根据已知的式子进行逐步推导的过程,也是使用的综合法.式题 [2017·遵义质检]设T n是数列的前n项之积,并满足:T n=1-a n.(1)证明:数列是等差数列;(2)令b n=,证明:的前n项和S n<.探究点二分析法2 给定常数c>0,定义函数f(x)=2|x+c+4|-|x+c|,数列{a n}满足a n+1=f(a n).(1)若a1=-c-2,求a2及a3;(2)求证:对任意n∈N*,a n+1-a n≥c.[总结反思] (1)分析法采用逆向思维,往往是先从所要证明的结论出发,找到结论成立的充分条件;(2)应用分析法的关键在于保证分析过程的每一步都可逆,它的常用书面表达形式为“要证……只需证……即证……”.式题已知m>0,a,b∈R,求证: ≤.探究点三反证法3 设a>0,b>0,且a2+b2=+.证明:a2+a<2与b2+b<2不可能同时成立.[总结反思] 反证法的一般步骤:(1)分清命题的条件与结论;(2)作出与命题的结论相矛盾的假设;(3)由假设出发,应用演绎推理的方法,推出矛盾的结果;(4)断定产生矛盾结果的原因在于开始所作的假设不成立,原结论成立,从而间接地证明原命题为真.式题已知a,b,c,d∈R,且a+b=1,c+d=1,ac+bd>1.求证: a,b,c,d中至少有一个是负数.第39讲数学归纳法。

课时作业36 不等关系与不等式一、选择题1．若a〈0，ay〉0且x＋y〉0，则x与y之间的不等关系是(）A．x＝y B．x>yC．x〈y D．x≥y解析:由a〈0，ay>0知y〈0，又由x＋y〉0知x>0,所以x〉y。

答案:B2．若1a〈错误!〈0，则下列结论不正确的是（)A．a2<b2B．ab〈b2C．a＋b〈0 D．｜a｜＋｜b|>|a＋b|解析：∵错误!<错误!<0，∴b〈a〈0.∴a2<b2，ab<b2，a＋b<0，|a｜＋｜b｜＝|a＋b｜.答案：D3．设a，b是非零实数,若a<b,则下列不等式成立的是（ )A ．a 2〈b 2B ．ab 2〈a 2b C.1ab 2〈错误! D.错误!<错误!解析：当a <0时,a 2〈b 2不一定成立，故A 错． 因为ab 2－a 2b ＝ab （b －a )．b －a 〉0，ab 符号不确定．所以ab 2与a 2b 的大小不能确定,故B 错．因为错误!－错误!＝错误!<0.所以错误!〈错误!，故C 正确．D 项中b a 与错误!的大小不能确定．答案：C4．设α∈（0，π2)，β∈[0，错误!］，那么2α－错误!的取值范围是（ )A ．（0，5π6)B ．(－错误!，错误!)C ．（0,π）D ．(－错误!，π）解析：由题设得0<2α<π，0≤错误!≤错误!.∴－π6≤－错误!≤0，∴－错误!<2α－错误!〈π.答案:D5．已知a＝log23＋log2错误!,b＝log29－log2错误!，c ＝log32，则a，b，c的大小关系是()A．a＝b<c B．a＝b>cC．a<b<c D．a〉b>c解析：a＝log23＋log23＝log23错误!。

b＝log29－log2错误!＝log2错误!＝log23错误!。

∴a＝b＝log23错误!〉log22＝1。

第五节合情推理与演绎推理知识点一合情推理1．归纳推理(1)定义：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理．(2)特点：归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理．2．类比推理(1)定义：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理．(2)特点：类比推理是由特殊到特殊的推理．1．已知数列{a n}中，a1＝1，n≥2时，a n＝a n－1＋2n－1，依次计算a2，a3，a4后，猜想a n的表达式是(C)A ．a n ＝3n －1B ．a n ＝4n －3C ．a n ＝n 2D ．a n ＝3n －1解析：a 1＝1，a 2＝4，a 3＝9，a 4＝16，猜想a n ＝n 2.2．在平面上，若两个正三角形的边长的比为12，则它们的面积比为1 4.类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长的比为12，则它们的体积比为18.解析：由平面图形的面积类比立体图形的体积得出：在空间内，若两个正四面体的棱长的比为12，则它们的底面积之比为14，对应高之比为12，所以体积比为18.知识点二 演绎推理1．模式：三段论(1)大前提——已知的一般原理；(2)小前提——所研究的特殊情况；(3)结论——根据一般原理，对特殊情况做出的判断．2．特点：演绎推理是由一般到特殊的推理．3．“因为指数函数y ＝a x (a >0且a ≠1)是增函数(大前提)，又y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x是指数函数(小前提)，所以函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 是增函数(结论)”，上面推理的错误在于(A)A．大前提错误导致结论错B．小前提错误导致结论错C．推理形式错误导致结论错D．大前提和小前提错误导致结论错解析：当a>1时，y＝a x为增函数；当0<a<1时，y＝a x为减函数，故大前提错误．4．正弦函数是奇函数，因为f(x)＝sin(x＋1)是正弦函数，所以f(x)＝sin(x ＋1)是奇函数，以上推理的错误原因是小前提错误．解析：由三角函数的定义可知f(x)＝sin(x＋1)不是正弦函数，即小前提错误．1．类比推理的注意点在进行类比推理时要尽量从本质上去类比，不要被表面现象迷惑，如果只抓住一点表面现象的相似甚至假象就去类比，那么就会犯机械类比的错误．2．合情推理的关注点(1)合情推理是合乎情理的推理．(2)合情推理既可以发现结论也可以发现思路与方向．3．演绎推理的特征演绎推理是由一般到特殊的推理．它常用来证明和推理数学问题，解题时应注意推理过程的严密性，书写格式的规范性．考向一归纳推理【例1】(1)以下数表的构造思路源于我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中的“杨辉三角形”．该表由若干行数字组成，从第二行起，每一行中的数字均等于其“肩上”两数之和，表中最后一行仅有一个数，则这个数为() A．2 017×22 013B．2 017×22 014C．2 017×22 015D．2 016×22 016(2)(2019·湖南五市十校联考)图一是美丽的“勾股树”，它是一个直角三角形分别以它的每一边向外作正方形而得到．图二是第1代“勾股树”，重复图二的作法，得到图三为第2代“勾股树”，以此类推，已知最大的正方形面积为1，则第n代“勾股树”所有正方形的面积的和为()A．n B．n2C．n－1D．n＋1【解析】(1)如图，12345 63579118 12 16 2020 28 364864112当第一行3个数时，最后一行仅一个数，为8＝23－2×(3＋1)；当第一行4个数时，最后一行仅一个数，为20＝24－2×(4＋1)；当第一行5个数时，最后一行仅一个数，为48＝25－2×(5＋1)；当第一行6个数时，最后一行仅一个数，为112＝26－2×(6＋1)．归纳推理，得当第一行2 016个数时，最后一行仅一个数，为22 016－2×(2 016＋1)．故选B.(2)最大的正方形面积为1，当n＝1时，由勾股定理知正方形面积的和为2，依次类推，可得所有正方形面积的和为n＋1，故选D.【答案】(1)B(2)D归纳推理问题的常见类型及解题策略(1)与数字有关的等式的推理．观察数字特点，找出等式左右两侧的规律及符号可解．(2)与数学式子有关的推理，观察每个式子的特点，注意是纵向看，找到规律后可解．(3)与图形变化有关的推理．合理利用特殊图形归纳推理得出结论，并用赋值检验法验证其真伪性．(1)(2019·山东淄博模拟)《聊斋志异》中有这样一首诗：“挑水砍柴不堪苦，请归但求穿墙术．得诀自诩无所阻，额上坟起终不悟．”在这里，我们称形如以下形式的等式具有“穿墙术”：223＝223，338＝338，4415＝4415，5524＝5524，则按照以上规律，若88n＝88n具有“穿墙术”，则n＝(C)A．35 B．48C．63 D．80(2)(2019·河南安阳一模)如图，将平面直角坐标系的格点(横、纵坐标均为整数的点)按如下规则标上数字标签：原点处标0，点(1,0)处标1，点(1，－1)处标2，点(0，－1)处标3，点(－1，－1)处标4，点(－1,0)处标5，点(－1,1)处标6，点(0,1)处标7，……，以此类推，则标2 0172的格点的坐标为( A )A ．(1 009,1 008)B ．(1 008,1 007)C ．(2 017,2 016)D ．(2 016,2 015)解析：(1)根据规律得3＝1×3,8＝2×4,15＝3×5,24＝4×6，…，所以n ＝7×9＝63，故选C.(2)点(1,0)处标1，即12；点(2,1)处标9，即32；点(3,2)处标25，即52；……，由此推断点(n ＋1，n )处标(2n ＋1)2，当2n ＋1＝2 017时，n ＝1 008，故标2 0172的格点的坐标为(1 009，1 008)．故选A.考向二 类比推理【例2】 (2019·湖北孝感模拟)二维空间中，圆的一维测度(周长)l ＝2πr ，二维测度(面积)S ＝πr 2，三维空间中，球的二维测度(表面积)S ＝4πr 2，三维测度(体积)V ＝43πr 3，应用合情推理，若四维空间中，“超球”的三维测度V＝8πr 3，则其四维测度W ＝( )A ．2πr 4B ．3πr 4C ．4πr 4D ．6πr 4【解析】 二维空间中，圆的一维测度(周长)l ＝2πr ，二维测度(面积)S ＝πr 2，(πr 2)′＝2πr ，三维空间中，球的二维测度(表面积)S ＝4πr 2，三维测度(体积)V ＝43πr 3，⎝ ⎛⎭⎪⎫43πr 3′＝4πr 2，四维空间中，“超球”的三维测度V ＝8πr 3，∵(2πr 4)′＝8πr 3，∴“超球”的四维测度W ＝2πr 4，故选A.【答案】 A类比推理的应用类型类比推理的应用一般为类比定义、类比性质和类比方法．(1)类比定义：在求解由某种熟悉的定义产生的类比推理型试题时，可以借助原定义来求解．(2)类比性质：从一个特殊式子的性质、一个特殊图形的性质入手，提出类比推理型问题，求解时要认真分析两者之间的联系与区别，深入思考两者的转化过程是求解的关键．(3)类比方法：有一些处理问题的方法具有类比性，我们可以把这种方法类比应用到其他问题的求解中，注意知识的迁移．(1)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 4，S 8－S 4，S 12－S 8成等差数列．类比以上结论有：设等比数列{b n }的前n 项积为T n ，则T 4，T 8T 4，T 12T 8成等比数列．(2)如图甲所示，在直角三角形ABC 中，AC ⊥AB ，AD ⊥BC ，D 是垂足，则有AB 2＝BD ·BC ，该结论称为射影定理．如图乙所示，在三棱锥A -BCD 中，AD ⊥平面ABC ，AO ⊥平面BCD ，O 为垂足，且O 在△BCD 内，类比直角三角形中的射影定理，则有S 2△ABC ＝S △BCO ·S △BCD .解析：(1)由等差数列的特征和等比数列的特征，运用类比推理的思维方法可得T 4，T 8T 4，T 12T 8成等比数列，应填答案T 8T 4. (2)从题中条件不难发现：图甲中的AC ⊥AB 对应图乙中的AD ⊥平面ABC ，图甲中的AD ⊥BC 对应图乙中的AO ⊥平面BCD ，因此在类比的结论中，图甲中的边AB 对应图乙中的△ABC ，图甲中的BC 对应图乙中的△BCD ，图甲中的BD 对应图乙中的△BOC .故有S 2△ABC ＝S △BCO ·S △BCD . 考向三 演绎推理【例3】 (2019·山西孝义模拟)有编号依次为1,2,3,4,5,6的6名学生参加数学竞赛选拔赛，今有甲、乙、丙、丁四位老师在猜谁将得第一名，甲猜不是3号就是5号；乙猜6号不可能；丙猜2号，3号，4号都不可能；丁猜是1号，2号，4号中的某一个．若以上四位老师中只有一位老师猜对，则猜对者是()A．甲B．乙C．丙D．丁【解析】若1号是第1名，则甲错，乙对，丙对，丁对，不符合题意；若2号是第1名，则甲错，乙对，丙错，丁对，不符合题意；若3号是第1名，则甲对，乙对，丙错，丁错，不符合题意；若4号是第1名，则甲错，乙对，丙错，丁对，不符合题意；若5号是第1名，则甲对，乙对，丙对，丁错，不符合题意；若6号是第1名，则甲错，乙错，丙对，丁错，符合题意．故猜对者是丙．【答案】 C这种形式的推理近年在高考中出现的频率很高，应引起重视.解决这类问题可以通过对选项进行一一检验即可找出正确答案，也可以通过列表格找出正确答案.甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则(D)A．乙可以知道四人的成绩B．丁可以知道四人的成绩C．乙、丁可以知道对方的成绩D．乙、丁可以知道自己的成绩解析：由甲说不知道自己成绩且看过乙和丙的成绩，可推出乙和丙一优一良，又因为乙看过丙的成绩，所以乙可以推测出自己的成绩．因为已经推出乙和丙一优一良，所以甲和丁也是一优一良，并且条件已给出丁看过甲的成绩，所以丁也可以推测出自己的成绩．故选D.以一类多项式为背景的研究性学习随着数学新课程改革的不断推进，数学研究性学习已成为学生学习的主要方式，研究性学习不仅有助于发挥学生学习的主动性，激发学生的学习兴趣，还能使学生的学习过程成为在教师引导下的“再创造”过程，让学生经历数学发现和创造的历程，发展他们的创新意识．笔者这学期任教高三，也在不断努力尝试进行数学研究性学习的教学，本文介绍笔者在教学中使用过的一个案例．【案例】由倍角公式cos2x＝2cos2x－1，可知cos2x可以表示为cos x 的二次多项式．对于cos3x，我们有cos3x＝cos(2x＋x)＝cos2x cos x－sin2x sin x＝(2cos2x －1)cos x－2(sin x cos x)sin x＝2cos3x－cos x－2(1－cos2x)cos x＝4cos3x－3cos x，可见cos3x可以表示为cos x的三次多项式．一般地，存在一个n次多项式P n(t)，使得cos nx＝P n(cos x)，这些多项式P n(t)称为切比雪夫(P.L.Tschebyscheff)多项式．(1)请尝试求出P4(t)，即用一个cos x的四次多项式来表示cos4x；(2)利用结论：cos3x＝4cos3x－3cos x，求出sin18°的值(3×18°＝90°－2×18°)．本例是一道阅读题，给出切比雪夫多项式的定义，由定义可知：任意一个cos nx都可以表示为cos x的n次多项式．第(1)问利用二倍角公式和完全平方公式即可解决：cos4x＝2cos22x－1＝2(2cos2x－1)2－1＝8cos4x－8cos2x＋1.第(2)问根据所给提示3×18°＝90°－2×18°，自然想到对x进行赋值．令x＝18°，可得cos(3×18°)＝4cos318°－3cos18°.另一方面cos(3×18°)＝cos54°＝sin36°＝sin(2×18°)＝2sin18°cos18°.所以4cos318°－3cos18°＝2sin18°cos18°化简后可得：2sin18°＝4cos218°－3＝4(1－sin218°)－3，解得sin18°＝5－1 4.【评价】以切比雪夫多项式为背景命制的高考试题不在少数，一些试题容易看出是以切比雪夫多项式作为背景的，而有一些试题虽然表面上看不出与多项式有何关联，但细想，仍与切比雪夫多项式有着紧密的联系．观察下列等式：①cos2α＝2cos2α－1；②cos4α＝8cos4α－8cos2α＋1；③cos6α＝32cos6α－48cos4α＋18cos2α－1；④cos8α＝128cos8α－256cos6α＋160cos4α－32cos2α＋1；⑤cos10α＝m cos10α－1 280cos8α＋1 120cos6α＋n cos4α＋p cos2α－1.可以推测，m－n＋p＝962.解析：本题考查的是学生合情推理的能力，命题的基本着力点是切比雪夫多项式，归纳易得m＝29＝512，p＝5×10＝50，本题的难点在于无法归纳出n的值，需要抓住多项式的整体结构特征cos0＝1，得到各项的系数和为常数1，从而m－1 280＋1 120＋n＋p－1＝1，得到n＝－400，所以m －n＋p＝962.。

第六章 不等式、推理与证明(自我评估、考场亮剑，收获成功后进入下一章学习！)(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．设集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪x x －1<0，B ＝{}x |0<x <3，则A ∩B ＝ ( )A.{}x |1<x <3B.{}x |0<x <3C.{}x |0<x <1 D ．∅解析：由xx －1<0⇒x (x －1)<0⇒0<x <1，∵B ＝{}x |0<x <3，∴A ∩B ＝{}x |0<x <1.答案：C2．若1a <1b <0，则下列不等式：①a ＋b <ab ；②|a |>|b |；③a <b ；④b a ＋a b >2中正确的是 ( )A ．①②B ．②③C ．①④D ．③④解析：由1a <1b <0可知b <a <0，所以ab >0，显然有a ＋b <ab ，|b |>|a |，且由基本不等式有b a ＋a b >2 b a ·ab＝2. 答案：C3．根据给出的数塔猜测1 234 567×9＋8＝ ( ) 1×9＋2＝11 12×9＋3＝111 123×9＋4＝1 111 1 234×9＋5＝11 111 12 345×9＋6＝111 111A ．11 111 110B ．11 111 111C ．11 111 112D ．11 111 113 解析：数塔的右侧的规律是，逐次加1. 答案：B4．(2010·诸城模拟)若log m n ＝－1，则3n ＋m 的最小值是 ( )A ．2 2B ．2 3C ．2 D.52解析：∵log m n ＝－1， ∴m >0，m ≠1，n >0，mn ＝1. ∴3n ＋m ≥23mn ＝2 3 即3n ＋m 的最小值为2 3. 答案：B5．设a ，b ∈R ，则“a ＋b ＝1”是“4ab ≤1”的 ( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件解析：若“a ＋b ＝1”，则4ab ＝4a (1－a )＝－4(a －12)2＋1≤1；若“4ab ≤1”，取a ＝－4，b ＝1，a ＋b ＝－3，即“a ＋b ＝1”不成立；则“a ＋b ＝1”是“4ab ≤1”的充分不必要条件． 答案：A6．已知不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为{}x |2<x <4，则不等式cx 2＋bx ＋a <0的解集为( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x >12 B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <14 C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ 14<x <12 D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x >12或x <14 解析：由题意⎩⎪⎨⎪⎧ a <0－b a＝6c a ＝8⇒⎩⎪⎨⎪⎧c <0－b c ＝34，a c ＝18∴cx 2＋bx ＋a <0可化为x 2＋b c x ＋a c >0，即x 2－34x ＋18>0，解得⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x >12或x <14.答案：D7．(2010·泉州模拟)设x ，y 是关于m 的方程m 2－2am ＋a ＋6＝0的两个实根，则(x －1)2＋(y －1)2的最小值是 ( ) A ．－1214 B ．18 C ．8 D.34解析：∵x ＋y ＝2a ，xy ＝a ＋6， ∴(x －1)2＋(y －1)2＝x 2＋y 2－2(x ＋y )＋2 ＝(x ＋y )2－2(x ＋y )－2xy ＋2 ＝4a 2－4a －2(a ＋6)＋2 ＝4a 2－6a －10＝4(a －34)2－494.又∵x 、y 是方程m 2－2am ＋a ＋6＝0的两根， ∴Δ＝4a 2－4(a ＋6)≥0，即a ≥3或a ≤－2. ∴当a ＝3时，(x －1)2＋(y －1)2的最小值为8. 答案：C8．若平面区域⎩⎪⎨⎪⎧|x |≤2|y |≤2y ≤kx －2是一个三角形，则k 的取值范围是 ( )A ．(0,2]B ．(－∞，－2]∪[2，＋∞)C ．[－2,0)∪(0,2]D ．[－2,2]解析：如图，只有直线y ＝kx －2与线段AB 相交(不包括点A ) 或与线段CD 相交(不包括点D )，可行域才能构成三角形， 故k ∈[－2,0)∪(0,2]． 答案：C9．p ＝ab ＋cd ，q ＝ma ＋nc ·b m ＋dn(m 、n 、a 、b 、c 、d 均为正数)，则p 、q 的大小为 ( ) A ．p ≥q B ．p ≤q C ．p ＞q D ．不确定 解析：q ＝ab ＋mad n ＋nbc m＋cd ≥ab ＋2abcd ＋cd＝ab ＋cd ＝p . 答案：B10．函数y ＝log a (x ＋3)－1(a >0，a ≠1)的图象恒过定点A ，若A 在直线mx ＋ny ＋1＝0上，其中m 、n 均为正数，则1m ＋2n 的最小值为 ( )A ．2B ．4C ．6D ．8解析：函数y ＝log a (x ＋3)－1的图象恒过定点A (－2，－1)，∴－2m －n ＋1＝0，即2m ＋n ＝1，令u ＝1m ＋2n ＝(1m ＋2n )·(2m ＋n )＝4＋n m ＋4mn ≥8.答案：D11．已知O 为直角坐标系原点，P 、Q 两点的坐标均满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋3y －25≤0，x －2y ＋2≤0，x －1≥0，则tan ∠POQ 的最大值等于 ( )A.12 B ．1 C.32D ．0 解析：作出可行域，则P 、Q 在图中所示的位置时，∠POQ 最大，即tan ∠POQ 最大， ∠POQ ＝∠POM －∠QOM ，tan ∠POQ ＝tan(∠POM －∠QOM )＝tan ∠POM －tan ∠QOM 1＋tan ∠POM tan ∠QOM＝7－341＋7×34＝1，所以最大值为1. 答案：B12．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ≥0－1，x <0，则不等式x ＋(x ＋2)f (x ＋2)≤4的解集是( )A.{}x |－2≤x <1B.{}x |x ≤1C.{}x |x <1D.{}x |x <－2解析：当x ＋2≥0即x ≥－2时，不等式x ＋(x ＋2)f (x ＋2)≤4化为：x ＋(x ＋2)×1≤4，即x ≤1，故－2≤x ≤1；当x ＋2<0即x <－2时，不等式x ＋(x ＋2)f (x ＋2)≤4化为：x ＋(x ＋2)×(－1)≤4，即－2≤4，这显然成立．综上可知，原不等式的解集为{}x |x ≤1. 答案：B二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．将答案填写在题中的横线上) 13．观察下列不等式：1＞12，1＋12＋13＞1,1＋12＋13＋…＋17＞32，1＋12＋13＋…＋115＞2,1＋12＋13＋…＋131＞52，…，由此猜测第n 个不等式为________(n ∈N *)． 解析：3＝22－1,7＝23－1,15＝24－1，可猜测：1＋12＋13＋…＋12n －1＞n2(n ∈N *)．答案：1＋12＋13＋…＋12n －1＞n214．对于平面几何中的命题：“夹在两条平行线这间的平行线段相等”，在立体几何中，类比上述命题，可以得到命题：“__________________”，这个类比命题的真假性是________．解析：由类比推理可知．答案：夹在两个平行平面间的平行线段相等 真命题 15．设x >0，则y ＝3－2x －1x的最大值等于________．解析：∵x >0，则2x ＋1x ≥22，所以－(2x ＋1x )≤－22，2x ＝1x 时，x ＝22时等号成立，则y ＝3－2x －1x ≤3－22，即y max ＝3－2 2.答案：3－2 216．(2010·宜昌模拟)若实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ≥0，y ≥x ，y ≥－x ＋b且z ＝2x ＋y 的最小值为3，则实 数b 的值为________．解析：由约束条件作出可行域(如图)，当平行直线系y ＝－2x ＋z 经过可行域内的点A (b 3，2b 3)时，z 取得最小值，即2×b3＋2b 3＝3，解之得b ＝94. 答案：94三、解答题(本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分12分)设x ＜y ＜0，试比较(x 2＋y 2)(x －y )与(x 2－y 2)·(x ＋y )的大小． 解：(x 2＋y 2)(x －y )－(x 2－y 2)(x ＋y ) ＝(x －y )[x 2＋y 2－(x ＋y )2] ＝－2xy (x －y )，∵x ＜y ＜0，∴xy ＞0，x －y ＜0，∴－2xy (x －y )＞0， ∴(x 2＋y 2)(x －y )＞(x 2－y 2)(x ＋y )． 18．(本小题满分12分)解下列问题：(1)已知a ＞0，b ＞0，且4a ＋b ＝1，求ab 的最大值； (2)已知x ＞2，求x ＋4x －2的最小值；(3)已知x ＞0，y ＞0，且x ＋y ＝1，求4x ＋9y 的最小值．解：(1)法一：∵a ＞0，b ＞0,4a ＋b ＝1， ∴1＝4a ＋b ≥24ab ＝4ab ，当且仅当4a ＝b ＝12，即a ＝18，b ＝12时，等号成立．∴ab ≤14，∴ab ≤116.所以ab 的最大值为116.法二：∵a ＞0，b ＞0,4a ＋b ＝1， ∴ab ＝144a ·b ≤14(4a ＋b 2)2＝116，当且仅当4a ＝b ＝12，即a ＝18，b ＝12时，等号成立．所以ab 的最大值为116.(2)∵x ＞2，∴x －2＞0， ∴x ＋4x －2＝x －2＋4x －2＋2 ≥2(x －2)·4x －2＋2＝6，当且仅当x －2＝4x －2，即x ＝4时，等号成立．所以x ＋4x －2的最小值为6.(3)∵x ＞0，y ＞0，x ＋y ＝1， ∴4x ＋9y ＝(x ＋y )(4x ＋9y )＝13＋4y x ＋9x y ≥13＋24y x ·9xy＝25， 当且仅当4y x ＝9xy时等号成立，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝1，4y x ＝9xy ，得⎩⎨⎧x ＝25，y ＝35，∴当x ＝25，y ＝35时取等号．所以4x ＋9y的最小值为25.19．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝ax 2＋4(a 为非零实数)，设函数F (x )＝()(0).()(0)f x x f x x >⎧⎨-<⎩(1)若f (－2)＝0，求F (x )的表达式；(2)mn <0，m ＋n >0，试判断F (m )＋F (n )能否大于0? 解：(1)由f (－2)＝0,4a ＋4＝0⇒a ＝－1，∴F (x )＝24(0).24(0)x x x x -+>⎧⎨-<⎩ (2)∵⎩⎪⎨⎪⎧m ·n <0m ＋n >0， ∴m ，n 一正一负．不妨设m >0且n <0，则m >－n >0，F (m )＋F (n )＝f (m )－f (n )＝am 2＋4－(an 2＋4) ＝a (m 2－n 2)，当a >0时，F (m )＋F (n )能大于0， 当a <0时，F (m )＋F (n )不能大于0.20．(本小题满分12分)解关于x 的不等式(1－ax )2<1.解：由(1－ax )2<1得a 2x 2－2ax ＋1<1，即ax (ax －2)<0.(1)当a ＝0时，不等式转化为0<0，故x 无解． (2)当a <0时，不等式转化为x (ax －2)>0， 即x (x －2a)<0.∵2a <0，∴不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |2a <x <0. (3)当a >0时，不等式转化为x (ax －2)<0， 又2a >0，∴不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |0<x <2a . 综上所述：当a ＝0时，不等式解集为空集；当a <0时，不等式解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |2a <x <0；当a >0时，不等式解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |0<x <2a .21．(本小题满分12分)某工厂生产甲、乙两种产品，计划每天每种产品的生产量不少于15吨，已知生产甲产品1吨，需煤9吨，电力4千瓦时，劳力3个；生产乙产品1吨，需煤4吨，电力5千瓦时，劳力10个；甲产品每吨的利润为7万元，乙产品每吨的利润为12万元；但每天用煤不超过300吨，电力不超过200千瓦时，劳力只有300个．问每天生产甲、乙两种产品各多少吨，才能使利润总额达到最大？ 解：设每天生产甲、乙两种产品分别为x 吨、y 吨，利润总额为z 万元，则线性约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧9x ＋4y ≤300，4x ＋5y ≤200，3x ＋10y ≤300，x ≥15，y ≥15.目标函数为z ＝7x ＋12y ， 作出可行域如图，作出一组平行直线7x ＋12y ＝t ，当直线经过直线4x ＋5y ＝200和直线3x ＋10y ＝300的交点A (20,24)时，利润最大． 即生产甲、乙两种产品分别为20吨、24吨时，利润总额最大，z max ＝7×20＋12×24＝428(万元).22．(文)(本小题满分14分)如图，某农厂要修建3个矩形养鱼塘，每个面积为10 000平方米．鱼塘前面要留4米宽的运料通道， 其余各边为2米宽的堤埂，问每个鱼塘的长、宽各为多少米时 占地面积最少？解：设每个鱼塘的宽为x 米，且x ＞0，且AB ＝3x ＋8，AD ＝10 000x ＋6，则总面积y ＝(3x ＋8)(10 000x ＋6)＝30 048＋80 000x ＋18x≥30 048＋280 000x·18x ＝32 448， 当且仅当18x ＝80 000x ，即x ＝2003时，等号成立，此时10 000x ＝150.即鱼塘的长为150米，宽为2003米时，占地面积最少为32448平方米．(理)(本小题满分14分)(2009·安徽高考)首项为正数的数列{a n }满足a n ＋1＝14(a 2n ＋3)，n ∈N ＋.(1)证明：若a 1为奇数，则对一切n ≥2，a n 都是奇数； (2)若对一切n ∈N ＋都有a n ＋1>a n ，求a 1的取值范围．解：(1)证明：已知a 1是奇数，假设a k ＝2m －1是奇数，其中m 为正整数，则由递推关系得a k ＋1＝a 2k ＋34＝m (m －1)＋1是奇数．根据数学归纳法，对任何n ≥2，a n 都是奇数．(2)法一：由a n ＋1－a n ＝14(a n －1)(a n －3)知，a n ＋1>a n 当且仅当a n <1或a n >3.另一方面，若0<a k <1，则0<a k ＋1<1＋34＝1；若a k >3，则a k ＋1>32＋34＝3.根据数学归纳法得，0<a 1<1⇔0<a n <1，∀n ∈N ＋； a 1>3⇔a n >3，∀n ∈N ＋.综上所述，对一切n ∈N ＋都有a n ＋1>a n 的充要条件是0<a 1<1或a 1>3. 法二：由a 2＝a 21＋34>a 1，得a 21－4a 1＋3>0， 于是0<a 1<1或a 1>3.a n ＋1－a n ＝a 2n ＋34－a 2n －1＋34＝(a n ＋a n －1)(a n －a n －1)4，因为a 1>0，a n ＋1＝a 2n ＋34，所以所有的a n 均大于0，因此a n ＋1－a n 与a n －a n －1同号．根据数学归纳法，∀n ∈N ＋，a n ＋1－a n 与a 2－a 1同号． 因此，对一切n ∈N ＋都有a n ＋1>a n 的充要条件是0<a 1<1或a 1>3.。

第六章⎪⎪⎪不等式、推理与证明第一节不等关系与不等式1．两个实数比较大小的依据 (1)a －b ＞0⇔a ＞b ． (2)a －b ＝0⇔a ＝b ． (3)a －b ＜0⇔a ＜b ． 2．不等式的性质 (1)对称性：a >b ⇔b <a ； (2)传递性：a >b ，b >c ⇒a >c ； (3)可加性：a >b ⇔a ＋c >b ＋c ； a >b ，c >d ⇒a ＋c >b ＋d ； (4)可乘性：a >b ，c >0⇒ac >bc ； a >b >0，c >d >0⇒ac >bd ；(5)可乘方：a >b >0⇒a n >b n (n ∈N ，n ≥1)；(6)可开方：a >b >0⇒n ∈N ，n ≥2)．[小题体验]1．(教材习题改编)用不等号“＞”或“＜”填空： (1)a ＞b ，c ＜d ⇒a －c ________b －d ； (2)a ＞b ＞0，c ＜d ＜0⇒ac ________bd ； (3)a ＞b ＞0⇒3a ________3b ． 答案：(1)＞ (2)＜ (3)＞2．限速40 km /h 的路标，指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v 不超过40 km/h ，写成不等式就是__________．答案：v ≤40 km/h3．若0<a <b ，c >0，则b ＋c a ＋c 与a ＋cb ＋c 的大小关系为________．答案：b ＋c a ＋c >a ＋cb ＋c1．在应用传递性时，注意等号是否传递下去，如a ≤b ，b <c ⇒a <c ．2．在乘法法则中，要特别注意“乘数c 的符号”，例如当c ≠0时，有a >b ⇒ac 2>bc 2；若无c ≠0这个条件，a >b ⇒ac 2>bc 2就是错误结论(当c ＝0时，取“＝”)．[小题纠偏]1．设a ，b ，c ∈R ，且a >b ，则( ) A ．ac >bcB ．1a <1bC ．a 2>b 2D ． a 3>b 3 答案：D2．若ab >0，且a >b ，则1a 与1b 的大小关系是________． 答案：1a <1b考点一 比较两个数(式)的大小(基础送分型考点——自主练透)[题组练透]1．已知x ∈R ，m ＝(x ＋1)⎝⎛⎭⎫x 2＋x 2＋1，n ＝⎝⎛⎭⎫x ＋12(x 2＋x ＋1)，则m ，n 的大小关系为( ) A ．m ≥n B ．m ＞n C ．m ≤n D ．m ＜n 答案：B 2．若a ＝ln 22，b ＝ln 33，则a ____b (填“＞”或“＜”)． 解析：易知a ，b 都是正数，b a ＝2ln 33ln 2＝log 89＞1，所以b ＞a ．答案：＜3．已知等比数列{a n }中，a 1＞0，q ＞0，前n 项和为S n ，则S 3a 3与S 5a 5的大小关系为________．解析：当q ＝1时，S 3a 3＝3，S 5a 5＝5，所以S 3a 3＜S 5a 5．当q ＞0且q ≠1时，S 3a 3－S 5a 5＝a 1(1－q 3)a 1q 2(1－q )－a 1(1－q 5)a 1q 4(1－q )＝q 2(1－q 3)－(1－q 5)q 4(1－q )＝－q －1q 4＜0，所以S 3a 3＜S 5a 5．综上可知S 3a 3＜S 5a 5．答案：S 3a 3＜S 5a 5[谨记通法]比较两实数(式)大小的2种常用方法考点二 不等式的性质(重点保分型考点——师生共研)[典例引领]1．设a ，b ∈R 则“(a －b )·a 2<0”是“a <b ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A (a －b )·a 2＜0，则必有a －b ＜0，即a ＜b ；而a ＜b 时，不能推出(a －b )·a 2＜0，如a ＝0，b ＝1，所以“(a －b )·a 2＜0”是“a ＜b ”的充分不必要条件．2．若a ＞b ＞0，c ＜d ＜0，则一定有( ) A ．a d ＞b cB ．a d ＜b cC ．a c ＞b dD ．a c ＜b d解析：选B 法一：因为c ＜d ＜0，所以－c ＞－d ＞0， 所以1－d ＞1－c＞0．又a ＞b ＞0，所以a －d ＞b －c ，所以a d ＜bc ．故选B ．法二：⎭⎪⎬⎪⎫c ＜d ＜0⇒cd ＞0c ＜d ＜0⇒c cd ＜dcd ＜0⇒ 1d ＜1c＜0⇒⎭⎬⎫－1d ＞－1c ＞0a ＞b ＞0⇒－a d ＞－b c ⇒a d ＜b c ． 法三：令a ＝3，b ＝2，c ＝－3，d ＝－2， 则a c ＝－1，bd ＝－1，排除选项C 、D ； 又∵－32＜－23，排除A ．故选B ．[由题悟法]不等式性质应用问题的3大常见类型及解题策略(1)利用不等式性质比较大小．熟记不等式性质的条件和结论是基础，灵活运用是关键，要注意不等式性质成立的前提条件．(2)与充要条件相结合问题．用不等式的性质分别判断p ⇒q 和q ⇒p 是否正确，要注意特殊值法的应用．(3)与命题真假判断相结合问题．解决此类问题除根据不等式的性质求解外，还经常采用特殊值验证的方法．[即时应用]1．(2016·河南六市第一次联考)若1a ＜1b ＜0，则下列结论不正确的是( )A ．a 2＜b 2B ．ab ＜b 2C ．a ＋b ＜0D ．|a |＋|b |＞|a ＋b |解析：选D ∵1a ＜1b ＜0，∴b ＜a ＜0，∴b 2＞a 2，ab ＜b 2，a ＋b ＜0，∴选项A 、B 、C 均正确，∵b ＜a ＜0，∴|a |＋|b |＝|a ＋b |，故D 项错误，故选D ．2．(2017·赣中南五校联考)对于任意实数a ，b ，c ，d ，有以下四个命题：①若ac 2＞bc 2，则a ＞b ；②若a ＞b ，c ＞d ，则a ＋c ＞b ＋d ； ③若a ＞b ，c ＞d ，则ac ＞bd ； ④若a ＞b ，则1a ＞1b ． 其中正确的有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．4个解析：选B ①由ac 2＞bc 2，得c ≠0，则a ＞b ，①正确； ②由不等式的同向可加性可知②正确； ③错误，当0＞c ＞d 时，不等式不成立．④错误，令a ＝－1，b ＝－2，满足－1＞－2，但1－1＜1－2．故选B ．考点三 不等式性质的应用(重点保分型考点——师生共研)[典例引领]已知函数f (x )＝ax 2＋bx ，且1≤f (－1)≤2，2≤f (1)≤4．求f (－2)的取值范围． 解：由题意知f (－1)＝a －b ，f (1)＝a ＋b ． f (－2)＝4a －2b ．设m (a ＋b )＋n (a －b )＝4a －2b ．则⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋n ＝4，m －n ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1，n ＝3.∴f (－2)＝(a ＋b )＋3(a －b )＝f (1)＋3f (－1)． ∵1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4，∴5≤f (－2)≤10． 即f (－2)的取值范围为[5,10]．[类题通法]利用不等式性质可以求某些代数式的取值范围，但应注意两点：一是必须严格运用不等式的性质；二是在多次运用不等式的性质时有可能扩大了变量的取值范围，解决的途径是先建立所求范围的整体与已知范围的整体的等量关系，最后通过“一次性”不等关系的运算求解范围．[即时应用]1．若6＜a ＜10，a2≤b ≤2a ，c ＝a ＋b ，则c 的取值范围是( )A ．[9,18]B ．(15,30)C ．[9,30]D ．(9,30)解析：选D ∵a 2≤b ≤2a ，∴3a 2≤a ＋b ≤3a ，即3a2≤c ≤3a ．∵6＜a ＜10，∴9＜c ＜30．故选D ．2．已知－1<x <4,2<y <3，则x －y 的取值范围是________，3x ＋2y 的取值范围是________． 解析：∵－1<x <4,2<y <3， ∴－3<－y <－2， ∴－4<x －y <2． 由－1<x <4,2<y <3， 得－3<3x <12,4<2y <6， ∴1<3x ＋2y <18． 答案：(－4,2)(1,18)一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．设a ，b ∈[0，＋∞)，A ＝a ＋b ，B ＝a ＋b ，则A ，B 的大小关系是( ) A ．A ≤B B ．A ≥B C ．A ＜BD ．A ＞B解析：选B 由题意得，B 2－A 2＝－2ab ≤0，且A ≥0，B ≥0，可得A ≥B ． 2．若a <b <0，则下列不等式不能成立的是( ) A ．1a －b >1aB ．1a >1bC ．|a |>|b |D ．a 2>b 2 解析：选A 取a ＝－2，b ＝－1，则1a －b >1a 不成立． 3．若a ，b 都是实数，则“a －b ＞0”是“a 2－b 2＞0”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 由a －b ＞0得a ＞b ≥0，则a 2＞b 2⇒a 2－b 2＞0；由a 2－b 2＞0得a 2＞b 2，可得a ＞b ≥0或a ＜b ≤0等，所以“a －b ＞0”是“a 2－b 2＞0”的充分不必要条件，故选A ．4．(2017·资阳诊断)已知a ，b ∈R ，下列命题正确的是( ) A ．若a >b ，则|a |>|b | B ．若a >b ，则1a <1bC ．若|a |>b ，则a 2>b 2D ．若a >|b |，则a 2>b 2解析：选D 当a ＝1，b ＝－2时，选项A 、B 、C 均不正确；对于D 项，a >|b |≥0，则a 2>b 2．5．若角α，β满足－π2<α<β<π，则α－β的取值范围是( )A ．⎝⎛⎭⎫－3π2，3π2B ．⎝⎛⎭⎫－3π2，0 C ．⎝⎛⎭⎫0，3π2 D ．⎝⎛⎭⎫－π2，0 解析：选B ∵－π2<α<π，－π2<β<π，∴－π<－β<π2，∴－3π2<α－β<3π2．又∵α<β，∴α－β<0，从而－3π2<α－β<0．二保高考，全练题型做到高考达标1．已知a 1，a 2∈(0,1)，记M ＝a 1a 2，N ＝a 1＋a 2－1，则M 与N 的大小关系是( ) A ．M <N B ．M >N C ．M ＝ND ．不确定 解析：选B M －N ＝a 1a 2－(a 1＋a 2－1) ＝a 1a 2－a 1－a 2＋1＝(a 1－1)(a 2－1)， 又∵a 1∈(0,1)，a 2∈(0,1)，∴a 1－1<0，a 2－1<0． ∴(a 1－1)(a 2－1)>0，即M －N >0．∴M >N ．2．若m ＜0，n ＞0且m ＋n ＜0，则下列不等式中成立的是( ) A ．－n ＜m ＜n ＜－m B ．－n ＜m ＜－m ＜n C ．m ＜－n ＜－m ＜nD ．m ＜－n ＜n ＜－m 解析：选D 法一：(取特殊值法)令m ＝－3，n ＝2分别代入各选项检验即可．法二：m ＋n ＜0⇒m ＜－n ⇒n ＜－m ，又由于m ＜0＜n ，故m ＜－n ＜n ＜－m 成立． 3．(2016·湘潭一模)设a ，b 是实数，则“a >b >1”是“a ＋1a >b ＋1b ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件解析：选A 因为a ＋1a －⎝⎛⎭⎫b ＋1b ＝(a －b )(ab －1)ab ，若a >b >1，显然a ＋1a －⎝⎛⎭⎫b ＋1b ＝(a －b )(ab －1)ab >0，则充分性成立，当a ＝12，b ＝23时，显然不等式a ＋1a >b ＋1b 成立，但a >b >1不成立，所以必要性不成立．4．(2016·浙江高考)已知a ，b ＞0且a ≠1，b ≠1，若log a b ＞1，则( ) A ．(a －1)(b －1)＜0 B ．(a －1)(a －b )＞0 C ．(b －1)(b －a )＜0D ．(b －1)(b －a )＞0解析：选D ∵a ，b ＞0且a ≠1，b ≠1，∴当a ＞1，即a －1＞0时，不等式log a b ＞1可化为a log a b ＞a 1，即b ＞a ＞1，∴(a －1)(a －b )＜0，(b －1)(a －1)＞0，(b －1)(b －a )＞0．当0＜a ＜1，即a －1＜0时，不等式log a b ＞1可化为a log a b ＜a 1，即0＜b ＜a ＜1，∴(a －1)(a －b )＜0，(b －1)(a －1)＞0，(b －1)(b －a )＞0．综上可知，选D ．5．设a ，b ∈R ，定义运算“⊗和“⊕”如下：a ⊗b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≤b ，b ，a >b ，a ⊕b ＝⎩⎪⎨⎪⎧b ，a ≤b ，a ，a >b .若m ⊗n ≥2，p ⊕q ≤2，则( )A ．mn ≥4且p ＋q ≤4B ．m ＋n ≥4且pq ≤4C ．mn ≤4且p ＋q ≥4D ．m ＋n ≤4且pq ≤4解析：选A 结合定义及m ⊗n ≥2可得⎩⎨⎧m ≥2，m ≤n 或⎩⎪⎨⎪⎧n ≥2，m >n ，即n ≥m ≥2或m >n ≥2，所以mn ≥4；结合定义及p ⊕q ≤2可得⎩⎨⎧p ≤2，p >q 或⎩⎪⎨⎪⎧q ≤2，p ≤q ，即q <p ≤2或p ≤q ≤2，所以p ＋q ≤4．6．a ，b ∈R ，a ＜b 和1a ＜1b同时成立的条件是________．解析：若ab ＜0，由a ＜b 两边同除以ab 得，1b ＞1a ，即1a ＜1b ；若ab ＞0，则1a ＞1b ． ∴a ＜b 和1a ＜1b 同时成立的条件是a ＜0＜b ．答案：a ＜0＜b7．用一段长为30 m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18 m ，要求菜园的面积不小于216 m 2，靠墙的一边长为x m ，其中的不等关系可用不等式(组)表示为________．解析：矩形靠墙的一边长为x m ，则另一边长为30－x2m ，即⎝⎛⎭⎫15－x2m ，根据题意知⎩⎪⎨⎪⎧0<x ≤18，x ⎝⎛⎭⎫15－x 2≥216.答案：⎩⎪⎨⎪⎧0<x ≤18，x ⎝⎛⎭⎫15－x 2≥216 8．已知a ＋b ＞0，则a b 2＋b a2与1a ＋1b 的大小关系是________．解析：a b 2＋b a 2－⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＝a －b b 2＋b －a a 2＝(a －b )·⎝⎛⎭⎫1b 2－1a 2＝(a ＋b )(a －b )2a 2b 2． ∵a ＋b ＞0，(a －b )2≥0， ∴(a ＋b )(a －b )2a 2b 2≥0．∴a b 2＋b a2≥1a ＋1b ． 答案：a b 2＋b a2≥1a ＋1b9．已知存在实数a 满足ab 2>a >ab ，则实数b 的取值范围是__________． 解析：∵ab 2>a >ab ，∴a ≠0， 当a >0时，b 2>1>b ，即⎩⎪⎨⎪⎧b 2>1，b <1，解得b <－1； 当a <0时，b 2<1<b ，即⎩⎪⎨⎪⎧b 2<1，b >1，此式无解． 综上可得实数b 的取值范围为(－∞，－1)． 答案：(－∞，－1)10．若a >b >0，c <d <0，e <0．求证：e (a －c )2>e(b －d )2． 证明：∵c <d <0，∴－c >－d >0． 又∵a >b >0，∴a －c >b －d >0． ∴(a －c )2>(b －d )2>0． ∴0<1(a －c )2<1(b －d )2． 又∵e <0，∴e (a －c )2>e(b －d )2．三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．(2017·合肥质检)已知△ABC 的三边长分别为a ，b ，c ，且满足b ＋c ≤3a ，则ca 的取值范围为( )A ．(1，＋∞)B ．(0,2)C ．(1,3)D ．(0,3)解析：选B由已知及三角形三边关系得⎩⎪⎨⎪⎧a <b ＋c ≤3a ，a ＋b >c ，a ＋c >b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧1<b a ＋ca ≤3，1＋b a >ca ，1＋c a >b a ，∴⎩⎨⎧1<b a ＋ca ≤3，－1<c a －b a <1，两式相加得，0<2·ca <4，∴ca 的取值范围为(0,2)． 2．设a ＞b ＞0，m ≠－a ，则b ＋m a ＋m ＞ba时，m 满足的条件是________．解析：由b ＋m a ＋m ＞b a 得(a －b )m a (a ＋m )＞0，因为a ＞b ＞0，所以mm ＋a＞0．即⎩⎪⎨⎪⎧ m ＞0，m ＋a ＞0或⎩⎪⎨⎪⎧m ＜0，m ＋a ＜0.∴m ＞0或m ＜－a ． 即m 满足的条件是m ＞0或m ＜－a ． 答案：m ＞0或m ＜－a3．某单位组织职工去某地参观学习需包车前往．甲车队说：“如果领队买一张全票，其余人可享受7．5折优惠．”乙车队说：“你们属团体票，按原价的8折优惠．”这两个车队的原价、车型都是一样的，试根据单位去的人数比较两车队的收费哪家更优惠．解：设该单位职工有n 人(n ∈N *)，全票价为x 元，坐甲车需花y 1元，坐乙车需花y 2元， 则y 1＝x ＋34x ·(n －1)＝14x ＋34xn ，y 2＝45nx ．所以y 1－y 2＝14x ＋34xn －45nx ＝14x －120nx＝14x ⎝⎛⎭⎫1－n 5． 当n ＝5时，y 1＝y 2； 当n ＞5时，y 1＜y 2； 当n ＜5时，y 1＞y 2．因此当单位去的人数为5人时，两车队收费相同；多于5人时，甲车队更优惠；少于5人时，乙车队更优惠．第二节一元二次不等式及其解法“三个二次”的关系[小题体验]1．设集合S ＝{x |x >－2}，T ＝{x |x 2＋3x －4≤0}，则(∁R S )∪T ＝( ) A ．(－2,1] B ．(－∞，－4] C ．(－∞，1]D ．[1，＋∞)解析：选C 由题意得T ＝ {x |－4≤x ≤1}， 根据补集定义， ∁R S ＝{x |x ≤－2}， 所以(∁R S )∪T ＝{x |x ≤1}．2．(教材习题改编)不等式－x 2＋2x －3＞0的解集为________． 答案：∅3．不等式ax 2＋bx ＋2>0的解集是⎝⎛⎭⎫－12，13，则a ＋b 的值是________． 解析：由题意知－12，13是ax 2＋bx ＋2＝0的两根， 则a ＝－12，b ＝－2． 所以a ＋b ＝－14． 答案：－141．对于不等式ax 2＋bx ＋c >0，求解时不要忘记讨论a ＝0时的情形． 2．当Δ<0时，ax 2＋bx ＋c >0(a ≠0)的解集为R 还是∅，要注意区别． 3．含参数的不等式要注意选好分类标准，避免盲目讨论．[小题纠偏]1．不等式x －3x －1≤0的解集为( )A ．{x |x ＜1或x ≥3}B ．{x |1≤x ≤3}C ．{x |1＜x ≤3}D ．{x |1＜x ＜3}解析：选C 由x －3x －1≤0，得⎩⎪⎨⎪⎧(x －3)(x －1)≤0，x －1≠0，解得1＜x ≤3．2．若不等式mx 2＋2mx ＋1>0的解集为R ，则m 的取值范围是________． 解析：①当m ＝0时，1>0显然成立．②当m ≠0时，由条件知⎩⎪⎨⎪⎧m >0，Δ＝4m 2－4m <0.得0<m <1．由①②知0≤m <1． 答案：[0,1)考点一 一元二次不等式的解法(基础送分型考点——自主练透)[题组练透]1．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x 2＋1，x ≤0，－2x ，x >0，则不等式f (x )－x ≤2的解集是________．解析：当x ≤0时，原不等式等价于2x 2＋1－x ≤2，∴－12≤x ≤0；当x >0时，原不等式等价于－2x －x ≤2，∴x >0．综上所述，原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫xx ≥－12．答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫xx ≥－122．不等式2x ＋1x －5≥－1的解集为________．解析：将原不等式移项通分得3x －4x －5≥0，等价于⎩⎪⎨⎪⎧(3x －4)(x －5)≥0，x －5≠0，解得x ＞5或x ≤43．所以原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≤43或x >5． 答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≤43或x >5 3．解下列不等式：(1)(易错题)－3x 2－2x ＋8≥0； (2)0＜x 2－x －2≤4．解：(1)原不等式可化为3x 2＋2x －8≤0， 即(3x －4)(x ＋2)≤0． 解得－2≤x ≤43，所以原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－2≤x ≤43． (2)原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－x －2＞0，x 2－x －2≤4⇔⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －2＞0，x 2－x －6≤0⇔⎩⎪⎨⎪⎧ (x －2)(x ＋1)＞0，(x －3)(x ＋2)≤0⇔⎩⎪⎨⎪⎧x ＞2或x ＜－1，－2≤x ≤3.借助于数轴，如图所示，所以原不等式的解集为{}x |－2≤x ＜－1或2＜x ≤3．[谨记通法]解一元二次不等式的4个步骤考点二 含参数的一元二次不等式的解法(重点保分型考点——师生共研)[典例引领]解关于x 的不等式ax 2－(a ＋1)x ＋1＜0(a ＞0)． 解：原不等式变为(ax －1)(x －1)＜0， 因为a ＞0，所以a ⎝⎛⎭⎫x －1a (x －1)＜0， 所以当a ＞1时，解为1a ＜x ＜1； 当a ＝1时，解集为∅； 当0＜a ＜1时，解为1＜x ＜1a ．综上，当0＜a ＜1时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪1＜x ＜1a ． 当a ＝1时，不等式的解集为∅．当a ＞1时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪1a＜x ＜1． [由题悟法]解含参数的一元二次不等式时分类讨论的依据(1)二次项中若含有参数应讨论是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为一次不等式或二次项系数为正的形式．(2)当不等式对应方程的根的个数不确定时，讨论判别式Δ与0的关系．(3)确定无根时可直接写出解集，确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集形式．[提醒] 当不等式中二次项的系数含有参数时，不要忘记讨论其等于0的情况．[即时应用]1．已知不等式ax 2－bx －1≥0的解集是⎣⎡⎦⎤－12，－13，则不等式x 2－bx －a ＜0的解集是( )A ．(2,3)B ．(－∞，2)∪(3，＋∞)C ．⎝⎛⎭⎫13，12D ．⎝⎛⎭⎫－∞，13∪⎝⎛⎭⎫12，＋∞ 解析：选A 由题意知－12，－13是方程ax 2－bx －1＝0的根，所以由根与系数的关系得－12＋⎝⎛⎭⎫－13＝b a ，－12×⎝⎛⎭⎫－13＝－1a ．解得a ＝－6，b ＝5，不等式x 2－bx －a ＜0即为x 2－5x ＋6＜0，解集为(2,3)．2．求不等式12x 2－ax >a 2(a ∈R)的解集． 解：原不等式可化为12x 2－ax －a 2>0， 即(4x ＋a )(3x －a )>0，令(4x ＋a )(3x －a )＝0，解得x 1＝－a 4，x 2＝a 3．当a >0时，不等式的解集为⎝⎛⎭⎫－∞，－a 4∪⎝⎛⎭⎫a3，＋∞； 当a ＝0时，不等式的解集为(－∞，0)∪(0，＋∞)； 当a <0时，不等式的解集为⎝⎛⎭⎫－∞，a 3∪⎝⎛⎭⎫－a4，＋∞． 考点三 一元二次不等式恒成立问题(题点多变型考点——多角探明) [锁定考向]一元二次不等式与其对应的函数与方程之间存在着密切的联系．在解决具体的数学问题时，要注意三者之间的相互联系，并在一定条件下相互转换．对于一元二次不等式恒成立问题，常根据二次函数图象与x 轴的交点情况确定判别式的符号，进而求出参数的取值范围．常见的命题角度有：(1)形如f (x )≥0(f (x )≤0)(x ∈R)确定参数的范围； (2)形如f (x )≥0(x ∈[a ，b ])确定参数范围；(3)形如f (x )≥0(参数m ∈[a ，b ])确定x 的范围．[题点全练]角度一：形如f (x )≥0(f (x )≤0)(x ∈R)确定参数的范围1．已知不等式mx 2－2x －m ＋1＜0，是否存在实数m 对所有的实数x ，不等式恒成立？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由．解：要使不等式mx 2－2x －m ＋1＜0恒成立， 即函数f (x )＝mx 2－2x －m ＋1的图象全部在x 轴下方． 当m ＝0时，1－2x ＜0，则x ＞12，不满足题意；当m ≠0时，函数f (x )＝mx 2－2x －m ＋1为二次函数， 需满足开口向下且方程mx 2－2x －m ＋1＝0无解，即⎩⎪⎨⎪⎧m ＜0，Δ＝4－4m (1－m )＜0， 不等式组的解集为空集，即m 无解．综上可知不存在这样的实数m 使不等式恒成立．角度二：形如f (x )≥0(x ∈[a ，b ])确定参数范围2．已知函数f (x )＝－x 2＋ax ＋b 2－b ＋1(a ∈R ，b ∈R)，对任意实数x 都有f (1－x )＝f (1＋x )成立，若当x ∈[－1,1]时，f (x )＞0恒成立，求b 的取值范围．解：由f (1－x )＝f (1＋x )知f (x )的图象关于直线x ＝1对称，即a2＝1，解得a ＝2．又因为f (x )开口向下，所以当x ∈[－1,1]时，f (x )为增函数， 所以f (x )min ＝f (－1)＝－1－2＋b 2－b ＋1 ＝b 2－b －2，f (x )＞0恒成立，即b 2－b －2＞0恒成立， 解得b ＜－1或b ＞2．∴b 的取值范围为(－∞，－1)∪(2，＋∞)角度三：形如f (x )≥0(参数m ∈[a ，b ])确定x 的范围3．对任意m ∈[－1,1]，函数f (x )＝x 2＋(m －4)x ＋4－2m 的值恒大于零，求x 的取值范围．解：由f (x )＝x 2＋(m －4)x ＋4－2m ＝(x －2)m ＋x 2－4x ＋4， 令g (m )＝(x －2)m ＋x 2－4x ＋4．由题意知在[－1,1]上，g (m )的值恒大于零，∴⎩⎪⎨⎪⎧g (－1)＝(x －2)×(－1)＋x 2－4x ＋4>0，g (1)＝(x －2)＋x 2－4x ＋4>0，解得x <1或x >3．故当x ∈(－∞，1)∪(3，＋∞)时，对任意的m ∈[－1,1]，函数f (x )的值恒大于零．[通法在握]一元二次型不等式恒成立问题的3大破解方法(1)ax 2＋bx ＋c ≥0对任意实数x 恒成立的条件是{ a >0，Δ≤0；(2)ax 2＋bx ＋c ≤0对任意实数x 恒成立的条件是{ a <0，Δ≤0[演练冲关]1．(2017·济宁模拟)不等式a 2＋8b 2≥λb (a ＋b )对于任意的a ，b ∈R 恒成立，则实数λ的取值范围为________．解：因为a 2＋8b 2≥λb (a ＋b )对于任意的a ，b ∈R 恒成立，所以a 2＋8b 2－λb (a ＋b )≥0对于任意的a ，b ∈R 恒成立，即a 2－λba ＋(8－λ)b 2≥0恒成立，由二次不等式的性质可得，Δ＝λ2b 2＋4(λ－8)b 2＝b 2(λ2＋4λ－32)≤0， 所以(λ＋8)(λ－4)≤0， 解得－8≤λ≤4． 答案：[－8,4]2．设函数f (x )＝mx 2－mx －1(m ≠0)，若对于x ∈[1,3]，f (x )＜－m ＋5恒成立，求m 的取值范围．解：要使f (x )＜－m ＋5在[1,3]上恒成立， 则mx 2－mx ＋m －6＜0，即m ⎝⎛⎭⎫x －122＋34m －6＜0在x ∈[1,3]上恒成立． 因为x 2－x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x －122＋34＞0， 又因为m (x 2－x ＋1)－6＜0，所以m ＜6x 2－x ＋1．因为函数y ＝6x 2－x ＋1＝6⎝⎛⎭⎫x －122＋34在[1,3]上的最小值为67，所以只需m ＜67即可．因为m ≠0，所以m 的取值范围是(－∞，0)∪⎝⎛⎭⎫0，67．一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．设集合A ＝{x |x 2＋x －6≤0}，集合B 为函数y ＝1x －1的定义域，则A ∩B 等于( ) A ．(1,2) B ．[1,2] C ．[1,2)D ．(1,2]解析：选D A ＝{x |x 2＋x －6≤0}＝{x |－3≤x ≤2}， 由x －1>0得x >1，即B ＝{x |x >1}，所以A ∩B ＝{x |1<x ≤2}．2．不等式f (x )＝ax 2－x －c >0的解集为{x |－2<x <1}，则函数y ＝f (－x )的图象为( )解析：选B 由根与系数的关系得1a ＝－2＋1，－c a ＝－2，得a ＝－1，c ＝－2，∴f (x )＝－x 2－x ＋2(经检验知满足题意)，∴f (－x )＝－x 2＋x ＋2，其图象开口向下，顶点为⎝⎛⎭⎫12，94．3．(2017·昆明模拟)不等式x 2－2x ＋5≥a 2－3a 对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围为( )A ．[－1,4]B ．(－∞，－2]∪[5，＋∞)C ．(－∞，－1]∪[4，＋∞)D ．[－2,5]解析：选A x 2－2x ＋5＝(x －1)2＋4的最小值为4，所以x 2－2x ＋5≥a 2－3a 对任意实数x 恒成立，只需a 2－3a ≤4，解得－1≤a ≤4．4．不等式|x (x －2)|>x (x －2)的解集是________．解析：不等式|x (x －2)|>x (x －2)的解集即x (x －2)<0的解集，解得0<x <2． 答案：{x |0<x <2}5．若0<a <1，则不等式(a －x )⎝⎛⎭⎫x －1a >0的解集是________． 解析：原不等式为(x －a )⎝⎛⎭⎫x －1a <0， 由0<a <1得a <1a ，∴a <x <1a ．答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪a <x <1a 二保高考，全练题型做到高考达标1．已知不等式x 2－2x －3＜0的解集为A ，不等式x 2＋x －6＜0的解集为B ，不等式x 2＋ax ＋b ＜0的解集为A ∩B ，则a ＋b 等于( )A ．－3B ．1C ．－1D ．3解析：选A 由题意得，A ＝{x |－1＜x ＜3}，B ＝{x |－3＜x ＜2}，∴A ∩B ＝{x |－1＜x ＜2}，由根与系数的关系可知，a ＝－1，b ＝－2，则a ＋b ＝－3．2．不等式2x ＋1<1的解集是( )A ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)B ．(1，＋∞)C ．(－∞，－1)D ．(－1,1)解析：选A ∵2x ＋1<1，∴2x ＋1－1<0，即1－xx ＋1<0，该不等式可化为(x ＋1)(x －1)>0，∴x <－1或x >1．3．(2017·郑州调研)规定记号“⊙”表示一种运算，定义a ⊙b ＝ab ＋a ＋b (a ，b 为正实数)，若1⊙k 2＜3，则k 的取值范围是( )A ．(－1,1)B ．(0,1)C ．(－1,0)D ．(0,2)解析：选A 因为定义a ⊙b ＝ab ＋a ＋b (a ，b 为正实数)， 1⊙k 2＜3，所以k 2＋1＋k 2＜3， 化为(|k |＋2)(|k |－1)＜0，所以|k |＜1， 所以－1＜k ＜1．4．某商场若将进货单价为8元的商品按每件10元出售，每天可销售100件，现准备采用提高售价来增加利润．已知这种商品每件销售价提高1元，销售量就要减少10件．那么要保证每天所赚的利润在320元以上，销售价每件应定为( )A ．12元B ．16元C ．12元到16元之间D ．10元到14元之间解析：选C 设销售价定为每件x 元，利润为y ， 则y ＝(x －8)[100－10(x －10)]，依题意有，(x －8)[100－10(x －10)]＞320， 即x 2－28x ＋192＜0， 解得12＜x ＜16，所以每件销售价应为12元到16元之间．5．若不等式x 2－(a ＋1)x ＋a ≤0的解集是[－4,3]的子集，则a 的取值范围是( ) A ．[－4,1] B ．[－4,3] C ．[1,3]D ．[－1,3]解析：选B 原不等式为(x －a )(x －1)≤0，当a <1时，不等式的解集为[a,1]，此时只要a ≥－4即可，即－4≤a <1；当a ＝1时，不等式的解为x ＝1，此时符合要求；当a >1时，不等式的解集为[1，a ]，此时只要a ≤3即可，即1<a ≤3．综上可得－4≤a ≤3．6．不等式x 2＋ax ＋4<0的解集不是空集，则实数a 的取值范围是________． 解析：∵不等式x 2＋ax ＋4<0的解集不是空集， ∴Δ＝a 2－4×4>0，即a 2>16． ∴a >4或a <－4．答案：(－∞，－4)∪(4，＋∞)7．若关于x 的不等式ax ＞b 的解集为⎝⎛⎭⎫－∞，15，则关于x 的不等式ax 2＋bx －45a ＞0的解集为________．解析：由已知ax ＞b 的解集为⎝⎛⎭⎫－∞，15，可知a ＜0，且b a ＝15，将不等式ax 2＋bx －45a ＞0两边同除以a ，得x 2＋b a x －45＜0，即x 2＋15x －45＜0，即5x 2＋x －4＜0，解得－1＜x ＜45，故所求解集为⎝⎛⎭⎫－1，45． 答案：⎝⎛⎭⎫－1，45 8．(2017·石家庄质检)在R 上定义运算：⎪⎪⎪⎪⎪⎪ab cd ＝ad －bc ．若不等式⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －1 a －2a ＋1 x ≥1对任意实数x 恒成立，则实数a 的最大值为________．解析：原不等式等价于x (x －1)－(a －2)(a ＋1)≥1， 即x 2－x －1≥(a ＋1)(a －2)对任意x 恒成立， x 2－x －1＝⎝⎛⎭⎫x －122－54≥－54， 所以－54≥a 2－a －2，解得－12≤a ≤32．答案：329．已知f (x )＝－3x 2＋a (6－a )x ＋6． (1)解关于a 的不等式f (1)>0；(2)若不等式f (x )>b 的解集为(－1,3)，求实数a ，b 的值． 解：(1)∵f (x )＝－3x 2＋a (6－a )x ＋6， ∴f (1)＝－3＋a (6－a )＋6＝－a 2＋6a ＋3，∴原不等式可化为a 2－6a －3<0， 解得3－23<a <3＋23．∴原不等式的解集为{a |3－23<a <3＋23}．(2)f (x )>b 的解集为(－1,3)等价于方程－3x 2＋a (6－a )x ＋6－b ＝0的两根为－1,3， 等价于⎩⎪⎨⎪⎧－1＋3＝a (6－a )3，－1×3＝－6－b3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3±3，b ＝－3.10．(2017·北京朝阳统一考试)已知函数f (x )＝x 2－2ax －1＋a ，a ∈R ． (1)若a ＝2，试求函数y ＝f (x )x (x >0)的最小值；(2)对于任意的x ∈[0,2]，不等式f (x )≤a 成立，试求a 的取值范围．解：(1)依题意得y ＝f (x )x ＝x 2－4x ＋1x ＝x ＋1x －4．因为x >0，所以x ＋1x ≥2．当且仅当x ＝1x 时，即x ＝1时，等号成立． 所以y ≥－2．所以当x ＝1时，y ＝f (x )x 的最小值为－2．(2)因为f (x )－a ＝x 2－2ax －1，所以要使得“∀x ∈[0,2]，不等式f (x )≤a 成立”， 只要“x 2－2ax －1≤0在[0,2]恒成立”． 不妨设g (x )＝x 2－2ax －1，则只要g (x )≤0在[0,2]上恒成立即可．所以⎩⎪⎨⎪⎧g (0)≤0，g (2)≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧0－0－1≤0，4－4a －1≤0， 解得a ≥34．则a 的取值范围为⎣⎡⎭⎫34，＋∞． 三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．(2016·太原模拟)若关于x 的不等式x 2－4x －2－a >0在区间(1,4)内有解，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－2)B ．(－2，＋∞)C ．(－6，＋∞)D ．(－∞，－6)解析：选A 不等式x 2－4x －2－a >0在区间(1,4)内有解等价于a <(x 2－4x －2)max ，令g (x )＝x 2－4x －2，x ∈(1,4)，∴g (x )<g (4)＝－2，∴a <－2．2．已知函数f (x )＝ax 2＋2ax ＋1的定义域为R ． (1)求a 的取值范围； (2)若函数f (x )的最小值为22，解关于x 的不等式x 2－x －a 2－a ＜0． 解：(1)∵函数f (x )＝ax 2＋2ax ＋1的定义域为R ，∴ax 2＋2ax ＋1≥0恒成立， 当a ＝0时，1≥0恒成立． 当a ≠0时，需满足题意，则需⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，Δ＝(2a )2－4a ≤0，解得0＜a ≤1，综上可知，a 的取值范围是[0,1]． (2)f (x )＝ax 2＋2ax ＋1＝a (x ＋1)2＋1－a ，由题意及(1)可知0＜a ≤1， ∴当x ＝－1时，f (x )min ＝1－a ，由题意得，1－a ＝22，∴a ＝12，∴不等式x 2－x －a 2－a ＜0可化为x 2－x －34＜0．解得－12＜x ＜32，∴不等式的解集为⎝⎛⎭⎫－12，32． 第三节二元一次不等式(组)及简单的线性规划问题1．一元二次不等式(组)表示的平面区域2．线性规划中的基本概念[小题体验]1．下列各点中，不在x ＋y －1≤0表示的平面区域内的是( ) A ．(0,0)B ．(－1,1)C ．(－1,3)D ．(2，－3) 答案：C2．(教材习题改编)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －3y ＋6≥0，x －y ＋2＜0表示的平面区域是( )答案：B3．(2016·北京高考)若x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ≤0，x ＋y ≤3，x ≥0，则2x ＋y 的最大值为________．解析：根据题意作出可行域如图阴影部分所示，平移直线y ＝－2x ，当直线平移到过点A 时，目标函数取得最大值，由⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＝0，x ＋y ＝3，可得A (1,2)，此时2x ＋y 取最大值为2×1＋2＝4． 答案：41．画出平面区域．避免失误的重要方法就是首先使二元一次不等式化为ax ＋by ＋c >0(a >0)．2．线性规划问题中的最优解不一定是唯一的，即可行域内使目标函数取得最值的点不一定只有一个，也可能有无数多个，也可能没有．3．在通过求直线的截距z b 的最值间接求出z 的最值时，要注意：当b >0时，截距zb 取最大值时，z 也取最大值；截距z b 取最小值时，z 也取最小值；当b <0时，截距zb 取最大值时，z 取最小值；截距zb 取最小值时，z 取最大值．[小题纠偏]1．若用阴影表示不等示组⎩⎨⎧－x ＋y ≤0，3x －y ≤0所形成的平面区域，则该平面区域中的夹角的大小为________．答案：15°2．(2017·兰州诊断)已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x ，x ＋y ≤1，y ≥－1，则目标函数z ＝2x －y 的最大值为________．解析：画出平面区域如图所示，目标函数可变为y ＝2x －z ，将直线y ＝2x 进行平移可得在点(2，－1)处截距最小，所以此时z 最大，最大值为5．答案：5考点一 二元一次不等式(组)表示平面区域(基础送分型考点——自主练透)[题组练透]1．已知约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ＋y －4≤0，kx －y ≤0表示面积为1的直角三角形区域，则实数k 的值为( )A ．1B ．－1C ．0D ．－2解析：选A 先作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ＋y ≤4， 对应的平面区域，如图． 要使阴影部分为直角三角形，当k ＝0时，此时三角形的面积为12×3×3＝92≠1，所以不成立．当k ＝－1或－2时，不能构成直角三角形区域．当k ＝1时，由图可知，可构成直角三角区域且面积为1，故选A ． 2．(易错题)若满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋y －2≤0，y ≥a的整点(x ，y )恰有9个，其中整点是指横、纵坐标都是整数的点，则整数a 的值为( )A ．－3B ．－2C ．－1D ．0解析：选C 不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分，当a ＝0时，只有4个整点(1,1)，(0,0)，(1,0)，(2,0)；当a ＝－1时，正好增加(－1，－1)，(0，－1)，(1，－1)，(2，－1)，(3，－1)共5个整点．3．(2017·广州五校联考)设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋2y ≥4，2x ＋y ≤4所表示的平面区域为D ，则区域D的面积为________．解析：如图，画出可行域．易得A ⎝⎛⎭⎫43，43，B (0,2)，C (0,4)，∴可行域D 的面积为12×2×43＝43．答案：43[谨记通法]确定二元一次不等式(组)表示的平面区域的方法(1)“直线定界，特殊点定域”，即先作直线，再取特殊点并代入不等式组．若满足不等式组，则不等式(组)表示的平面区域为直线与特殊点同侧的那部分区域；否则就对应与特殊点异侧的平面区域．如“题组练透”第2题易忽视边界．(2)当不等式中带等号时，边界为实线；不带等号时，边界应画为虚线，特殊点常取原点．考点二 求目标函数的最值(题点多变型考点——多角探明)[锁定考向]线性规划问题是高考的重点，而线性规划问题具有代数和几何的双重形式，多与函数、平面向量、数列、三角、概率、解析几何等问题交叉渗透．常见的命题角度有： (1)求线性目标函数的最值； (2)求非线性目标函数的最值； (3)线性规划中的参数问题．[题点全练]角度一：求线性目标函数的最值1．(2016·全国丙卷)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋1≥0，x －2y －1≤0，x ≤1，则z ＝2x ＋3y －5的最小值为________．解析：画出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示．由题意可知，当直线y ＝－23x ＋53＋z3过点A 时，z 取得最小值，联立⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋1＝0，x －2y －1＝0，解得A (－1，－1)，即z min ＝2×(－1)＋3×(－1)－5＝－10．答案：－10角度二：求非线性目标函数的最值2．(2016·江苏高考)已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋4≥0，2x ＋y －2≥0，3x －y －3≤0，则x 2＋y 2的取值范围是________．解析：根据已知的不等式组画出可行域，如图阴影部分所示，则(x ，y )为阴影区域内的动点．d ＝x 2＋y 2可以看做坐标原点O 与可行域内的点(x ，y )之间的距离．数形结合，知d 的最大值是OA 的长，d的最小值是点O 到直线2x ＋y －2＝0的距离．由⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋4＝0，3x －y －3＝0可得A (2,3)，所以d max ＝22＋32＝13，d min ＝|－2|22＋12＝25． 所以d 2的最小值为45，最大值为13．所以x 2＋y 2的取值范围是⎣⎡⎦⎤45，13． 答案：⎣⎡⎦⎤45，13角度三：线性规划中的参数问题3．(2017·郑州质检)已知x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≥2，x ＋y ≤4，2x －y －m ≤0.若目标函数z ＝3x ＋y 的最大值为10，则z 的最小值为________．解析：画出不等式组表示的区域，如图中阴影部分所示，作直线l ：3x ＋y ＝0，平移l ，从而可知经过C 点时z 取到最大值，由⎩⎪⎨⎪⎧ 3x ＋y ＝10，x ＋y ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝1，∴2×3－1－m ＝0，m ＝5．由图知，平移l 经过B 点时，z 最小，∴当x ＝2，y ＝2×2－5＝－1时，z 最小，z min ＝3×2－1＝5． 答案：5[通法在握]1．求目标函数的最值3步骤(1)作图——画出约束条件所确定的平面区域和目标函数所表示的平行直线系中过原点的那一条直线；(2)平移——将l 平行移动，以确定最优解的对应点的位置；(3)求值——解方程组求出对应点坐标(即最优解)，代入目标函数，即可求出最值．2．常见的3类目标函数 (1)截距型：形如z ＝ax ＋by ．求这类目标函数的最值常将函数z ＝ax ＋by 转化为直线的斜截式：y ＝－a b x ＋zb ，通过求直线的截距zb 的最值间接求出z 的最值．(2)距离型：形如z ＝(x －a )2＋(y －b )2． (3)斜率型：形如z ＝y －bx －a． [提醒]注意转化的等价性及几何意义．[演练冲关]1．(2017·海口调研)已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，x ＋y －4≥0，4x －y －4≤0.则z ＝3x －y 的取值范围为( )A ．⎣⎡⎦⎤0，125 B ．[0,2] C ．⎣⎡⎦⎤2，125 D ．⎣⎡⎦⎤2，83解析：选A 画出题中的不等式组表示的平面区域(阴影部分)及直线3x －y ＝0，平移该直线，平移到经过该平面区域内的点A (1,3)(该点是直线x －y ＋2＝0与x ＋y －4＝0的交点)时，相应直线在x 轴上的截距达到最小，此时z ＝3x －y 取得最小值3×1－3＝0；平移到经过该平面区域内的点B ⎝⎛⎭⎫85，125(该点是直线4x －y －4＝0与x ＋y －4＝0的交点)时，相应直线在x 轴上的截距达到最大，此时z ＝3x －y 取得最大值3×85－125＝125，因此z 的取值范围是⎣⎡⎦⎤0，125，选A ． 2．(2017·合肥质检)已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x －3y －1≤0，x ≤1.若z ＝kx －y 的最小值为－5，则实数k 的值为( )A ．－3B ．3或－5C ．－3或－5D ．±3解析：选D 不等式组对应的平面区域是以点(1,2)，(1,0)和(－2，－1)为顶点的三角形及其内部，当z 取得最小值时，直线y ＝kx －z 在y 轴上的截距最大，当k ≤1时，目标函数直线经过点(1,2)时，z min ＝k －2＝－5，k ＝－3适合；当k ＞1时，目标函数直线经过点(－2，－1)时，z min ＝－2k ＋1＝－5，k ＝3适合，故k ＝±3，选项D 正确．3．(2016·山西质检)设实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －2≤0，x －y ＋1≥0，x －2y －1≤0.则y －1x －1的最小值是________． 解析：如图所示，画出不等式组所表示的可行域，而y －1x －1表示区域内一点(x ，y )与点D (1,1)连线的斜率， ∴当x ＝13，y ＝43时，y －1x －1有最小值为－12．答案：－12考点三 线性规划的实际应用(重点保分型考点——师生共研)[典例引领](2016·全国乙卷)某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A 需要甲材料1．5 kg ，乙材料1 kg ，用5个工时；生产一件产品B 需要甲材料0．5 kg ，乙材料0．3 kg ，用3个工时．生产一件产品A 的利润为2 100元，生产一件产品B 的利润为900 元．该企业现有甲材料150 kg ，乙材料90 kg ，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为________元．解析：设生产A 产品x 件，B 产品y 件，由已知可得约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧1.5x ＋0.5y ≤150，x ＋0.3y ≤90，5x ＋3y ≤600，x ∈N ，y ∈N.即⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y ≤300，10x ＋3y ≤900，5x ＋3y ≤600，x ∈N ，y ∈N.目标函数为z ＝2 100x ＋900y ，由约束条件作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分．作直线2 100x ＋900y ＝0，即7x ＋3y ＝0，当直线经过点M 时，z 取得最大值，联立⎩⎪⎨⎪⎧10x ＋3y ＝900，5x ＋3y ＝600，解得M (60,100)． 则z max ＝2 100×60＋900×100＝216 000(元)． 答案：216 000[由题悟法]1．解线性规划应用题3步骤(1)转化——设元，写出约束条件和目标函数，从而将实际问题转化为线性规划问题； (2)求解——解这个纯数学的线性规划问题；(3)作答——将数学问题的答案还原为实际问题的答案． 2．求解线性规划应用题的3个注意点(1)明确问题中的所有约束条件，并根据题意判断约束条件是否能够取到等号． (2)注意结合实际问题的实际意义，判断所设未知数x ，y 的取值范围，特别注意分析x ，y 是否是整数、是否是非负数等．(3)正确地写出目标函数，一般地，目标函数是等式的形式．[即时应用]某旅行社租用A ，B 两种型号的客车安排900名客人旅行，A ，B 两种车辆的载客量分别为36人和60人，租金分别为1 600元/辆和2 400元/辆，旅行社要求租车总数不超过21辆，且B 型车不多于A 型车7辆，则租金最少为( )A ．31 200元B ．36 000元C ．36 800元D ．38 400元解析：选C 设旅行社租用A 型客车x 辆，B 型客车y 辆，租金为z ，则线性约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤21，y －x ≤7，36x ＋60y ≥900，x ，y ∈N.目标函数为z ＝1 600x ＋2 400y ．画出可行域如图中阴影部分所示，可知目标函数过点N (5,12)时，有最小值z min ＝36 800(元)．一抓基础，多练小题做到眼疾手快 1．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋3y ≥4，3x ＋y ≤4所表示的平面区域的面积等于( )A ．32B ．23C ．43D ．34解析：选C 平面区域如图所示．解⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y ＝4，3x ＋y ＝4.得A (1,1)， 易得B (0,4)，C ⎝⎛⎭⎫0，43， |BC |＝4－43＝83．所以S △ABC ＝12×83×1＝43．2．不等式(x －2y ＋1)(x ＋y －3)≤0在坐标平面内表示的区域(用阴影部分表示)应是()解析：选C (x －2y ＋1)(x ＋y －3)≤0⇔⎩⎪⎨⎪⎧ x －2y ＋1≥0，x ＋y －3≤0或⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1≤0，x ＋y －3≥0.画出图形可知选C ． 3．(2016·四川德阳月考)设变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x ＋y －3≥0，2x －y －3≤0，则目标函数z ＝2x ＋3y 的最大值为( )A ．7B ．8C ．22D ．23解析：选D由约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x ＋y －3≥0，2x －y －3≤0作出可行域如图中阴影部分，由⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ＋1＝0，2x －y －3＝0解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝5，则B (4,5)，将目标函数z ＝2x ＋3y 变形为y ＝－23x ＋z 3．由图可知，当直线y ＝－23x ＋z 3过B 时，直线在y 轴上的截距最大，此时z 取最大值，为2×4＋3×5＝23．4．点(－2，t )在直线2x －3y ＋6＝0的上方，则t 的取值范围是________．解析：因为直线2x －3y ＋6＝0的上方区域可以用不等式2x －3y ＋6＜0表示，所以由点(－2，t )在直线2x －3y ＋6＝0的上方得－4－3t ＋6＜0，解得t ＞23．答案：⎝⎛⎭⎫23，＋∞5．(2017·昆明七校调研)已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋5≥0，x ≤4，x ＋y ≥0.则z ＝x ＋3y 的最小值为________．解析：依题意，在坐标平面内画出不等式组表示的平面区域及直线x ＋3y ＝0，如图，平移直线y ＝－x3，当直线经过点(4，－4)时，在y 轴上的截距达到最小，此时z ＝x ＋3y 取得最小值4＋3×(－4)＝－8．答案：－8二保高考，全练题型做到高考达标1．(2015·福建高考)若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≥0，x －y ≤0，x －2y ＋2≥0，则z ＝2x －y 的最小值等于( )A ．－52B ．－2C ．－32D ．2解析：选A 作可行域如图，由图可知，当直线z ＝2x －y 过点A 时，z 值最小．由⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋2＝0，x ＋2y ＝0得点A ⎝⎛⎭⎫－1，12， z min ＝2×(－1)－12＝－52．2．设动点P (x ，y )在区域Ω：⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥x ，x ＋y ≤4上，过点P 任作直线l ，设直线l 与区域Ω的。

第六单元不等式、推理与证明1.编写意图(1)重视不等式本身的知识、方法的讲解和练习力度,以基本的选题和细致全面的讲解进行组织,使学生掌握好不等式本身的重要知识和方法,为不等式的应用打下良好的基础.(2)二元一次不等式(组)所表示的平面区域和简单的线性规划问题,是高考重点考查的两个知识点,我们不把探究点设置为简单的线性规划问题,而是设置为目标函数的最值(这样可以涵盖线性规划和非线性规划),含有参数的平面区域以及生活中的优化问题,这样在该讲就覆盖了高考考查的基本问题.(3)对于合情推理,主要在于训练学生的归纳能力,重点在一些常见知识点上展开.2.教学建议(1)在各讲的复习中首先要注意基础性,这是第一位的复习目标.由于各讲的选题偏重基础,大多数例题、变式题学生都可以独立完成,在基础性复习的探究点上要发挥教师的引导作用,教师引导学生独立思考完成这些探究点,并给予适度的指导和点评.(2)要重视实际应用问题的分析过程、建模过程.应用问题的难点是数学建模,本单元涉及了较多的应用题,在这些探究点上教师的主要任务就是指导学生如何通过设置变量把实际问题翻译成数学问题,重视解题的过程.(3)不等式在高考数学各个部分的应用,要循序渐进地解决,在本单元中涉及不等式的综合运用时,我们的选题都很基础,在这样的探究点上不要试图一步到位,不等式的综合运用是整个一轮复习的系统任务,在本单元只涉及基本的应用,不要拔高.(4)推理与证明是培养学生良好思维习惯,学习和运用数学思想方法,形成数学能力的重要一环.要站在数学思想方法的高度,对多年来所学习的数学知识和数学方法进行较为系统的梳理和提升.务必使学生对数学发现与数学证明方法有一个较为全面的认识.3.课时安排本单元共7讲,一个小题必刷卷(九),建议每讲1个课时完成,小题必刷卷1个课时完成,本单元建议用8个课时完成复习任务.第33讲不等关系与不等式考试说明了解现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系,了解不等式(组)的实际背景.考情分析真题再现■[2017-2013]课标全国真题再现[2017·全国卷Ⅰ]设x,y,z为正数,且2x=3y=5z,则()A.2x<3y<5zB.5z<2x<3yC.3y<5z<2xD.3y<2x<5z[解析] D设2x=3y=5z=t(t>1),则x=log2t,y=log3t,z=log5t,所以2x=2log2t=lo t,3y=3log3t=lo t,5z=5log5t=lo t,又t>1,所以上述三个值中底数大的反而小,故只需比较,,的大小即可.因为()6=8<9=()6,所以<.因为()15=35=243>125=()15,所以<.因为()10=32>25=()10,所以<,所以<<,所以3y<2x<5z.■[2017-2016]其他省份类似高考真题1.[2017·山东卷]若a>b>0,且ab=1,则下列不等式成立的是()A.a+<<log2(a+b)B.<log2(a+b)<a+C.a+<log2(a+b)<D.log2(a+b)<a+<[解析] B利用特殊值法检验排除,当a=2,b=时,选项A,C,D对应的不等式不成立,故选B.2.[2016·北京卷]已知x,y∈R,且x>y>0,则 ()A.->0B.sin x-sin y>0C.x-y<0D.ln x+ln y>0[解析] C选项A中,因为x>y>0,所以<,即-<0,故结论不成立;选项B中,当x=,y=时,sin x-sin y<0,故结论不成立;选项C中,函数y=x是定义在R上的减函数,因为x>y>0,所以x<y,所以x-y<0;选项D中,当x=e-1,y=e-2时,结论不成立.【课前双基巩固】知识聚焦1.(1)> = < (2)> = <2.(1)b<a (3)> a+c>b+d (4)> < > (5)>对点演练1.a [解析] 因为b-c=--(-)=(+)-(+),(+)2=9+2,(+)2=9+2,所以b-c<0,即b<c.又a-c=-(-)=2-=->0,所以a>c.所以a,b,c中最大者为a.2.f>g[解析] ∵f-g=x2-2x+2=(x-1)2+1>0,∴f>g.3.③[解析] ①若b>0>a,则<0<,故①正确;②若0>a>b,则ab>0,∴>,即<,故②正确;③若a>0>b,则>0>,故不能推出<,因此③不正确;④若a>b>0,则>,即<,故④正确.综上可知,不能推出<成立的是③.4.(-7,7)[解析] 由题可知-1<a<2,-3<b<5,∴-2<2a<4,-5<-b<3,结合不等式的性质可得2a-b∈(-7,7).5.S>1[解析] 因为a,b,c∈R+,所以S=++>++=1,则S与1的大小关系是S>1.6.--[解析] 因为2<a<3,-3<b<-2,所以-<<-,所以-<<-.【课堂考点探究】例1[思路点拨] (1)考虑利用差值比较法进行判断;(2)先令3a=4b=6c=k,并转化为对数形式,然后作商比较.(1)P>Q (2)C[解析](1)P-Q=---=---=--=-.因为a>b>0,所以2ab>0,a-b>0,a2+b2>0,a+b>0,所以->0,所以P>Q.(2)令3a=4b=6c=k,则a=log3k,b=log4k,c=log6k,则===<1,则3a<4b,又===<1,则4b<6c,所以3a<4b<6c,故选C.变式题(1)M>N (2)C[解析] (1)因为M-N=(2p+1)(p-3)-[(p-6)(p+3)+10]=p2-2p+5=(p-1)2+4>0,所以M>N.(2)=77-a a a-7=-,则当a>7时,0<<1,7-a<0,则->1,∴77a a>7a a7;当0<a<7时,>1,7-a>0,则->1,∴77a a>7a a7.综上,77a a>7a a7.例2[思路点拨] 利用不等式的性质或特殊值法求解.(1)D(2)D[解析] (1)因为a<b<0,所以>>0,所以a2>b2,故a2+1>b2,①正确.a<b<0⇒-a>-b>0⇒-a+1>-b+1>0,故|1-a|>|b-1|,②正确.a<b<0⇒a+b<a<b<0,所以>>,③正确.故选D.(2)取a=,b=4,c=2,则由=,=,知D结论错误.故选D.变式题(1)D(2)D[解析] (1)由a<b<0,得>,A成立;因为a<0,a<b,所以a2>ab,B成立;因为a<b<0,所以>,C成立;当a=-2,b=-1时,-=-1,=-,->不成立.故选D.(2)A中,当x=1,y=-1时,<不成立,所以A错.B中,当x=1,y=时,log2(x-y)=-1,所以B错.C中,当x=1,y=-1时,x2>y2不成立,所以C错.D中,f(x)=在R上单调递减,当x>y时,<成立,故选D.例3[思路点拨] (1)首先将两个已知不等式同时除以a,化为关于,的不等式组,然后利用不等式的性质可求得的取值范围;(2)先令9x+y=a(2x+y)+b(3x+y),然后通过比较系数求得a,b 的值,进而根据条件中两个代数式的取值范围确定出9x+y的取值范围.(1)A(2)-[解析] (1)三个正数a,b,c满足a≤b+c≤2a,b≤a+c≤2b,∴1≤+≤2,≤1+≤,即-≤-1-≤-,∴1-≤-1≤2-,即----即∴≤≤,故选A.(2)设9x+y=a(2x+y)+b(3x+y),则9x+y=(2a+3b)x+(a+b)y,于是比较两边系数得得a=-6,b=7.由已知不等式得-3≤-6(2x+y)≤3,-≤7(3x+y)≤,所以-≤9x+y≤.变式题[解析] 由条件f(a,b)=ax+by,可知f(1,1)=x+y,f(1,-1)=x-y,则1≤x+y≤2,且-1≤x-y≤1.设f(2,1)=2x+y=λ(x+y)+μ(x-y),即2x+y=(λ+μ)x+(λ-μ)y,于是-解得而≤(x+y)≤3,-≤(x-y)≤,所以1≤2x+y≤,即f(2,1)的取值范围是1,.【备选理由】例1将不等式的比较大小应用于数列中的两项之间比较大小;例2为一道作商比较大小的题目,是对探究点一比较大小方法的补充;例3考查不等式性质与实际应用相结合.1[配合例1使用] 在等比数列{a n}和等差数列{b n}中,a1=b1=1,a3=b3,且a3≠a1,试比较a5与b5的大小.解:设等比数列{a n}的公比为q(q≠±1),等差数列{b n}的公差为d(d≠0),由a3=b3,得a1q2=b1+2d,即q2=1+2d,∴a5-b5=a1q4-(b1+4d)=(1+2d)2-(1+4d)=4d2>0,∴a5>b5.2[配合例1使用] 若a=,b=,c=,则()A.a<b<cB.c<b<aC.c<a<bD.b<a<c[解析] C由a=,b=,c=,得a,b,c都是正数,∴==log89>1,即b>a,==log2532>1,即a>c,则c<a<b.3[配合例3使用] 已知6枝玫瑰与3枝康乃馨的价格之和大于24元,而4枝玫瑰与4枝康乃馨的价格之和小于20元,那么2枝玫瑰和3枝康乃馨的价格的比较结果是() A.2枝玫瑰的价格高B.3枝康乃馨的价格高C.价格相同D.不确定[解析] A设1枝玫瑰与1枝康乃馨的价格分别为x元、y元,则6x+3y>24,4x+4y<20⇒2x+y>8,x+y<5,因此2x-3y=5(2x+y)-8(x+y)>5×8-8×5=0,因此2枝玫瑰的价格高,选A.第34讲一元二次不等式及其解法考试说明1.会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型.2.通过函数图像了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系.3.会解一元二次不等式,对给定的一元二次不等式,会设计求解的程序框图.考情分析真题再现■[2017-2013]课标全国真题再现1.[2016·全国卷Ⅱ]已知集合A={1,2,3},B={x|(x+1)(x-2)<0,x∈Z},则A∪B=()A.{1}B.{1,2}C.{0,1,2,3}D.{-1,0,1,2,3}[解析] C∵B={x|(x+1)(x-2)<0,x∈Z}={x|-1<x<2,x∈Z},∴B={0,1},∴A∪B={0,1,2,3}.2.[2016·全国卷Ⅰ]设集合A={x|x2-4x+3<0},B={x|2x-3>0},则A∩B=()A.-3,-B.-3,C.1,D.,3[解析] D集合A=(1,3),B=,+∞,所以A∩B=,3.■[2017-2016]其他省份类似高考真题1.[2017·山东卷]设函数y=-的定义域为A,函数y=ln(1-x)的定义域为B,则A∩B=()A.(1,2)B.(1,2]C.(-2,1)D.[-2,1)[解析] D由4-x2≥0得-2≤x≤2,所以A={x|-2≤x≤2};由1-x>0得x<1,所以B={x|x<1}.故A∩B={x|-2≤x<1},故选D.2.[2016·浙江卷]已知集合P={x∈R|1≤x≤3},Q={x∈R|x2≥4},则P∪(∁R Q)=()A.[2,3]B.(-2,3]C.[1,2)D.(-∞,-2]∪[1,+∞)[解析] B易知∁R Q={x|-2<x<2},则P∪(∁R Q)={x|-2<x≤3},故选B.【课前双基巩固】知识聚焦2.{x|x<x1或x>x2}{x|x≠x1}R{x|x1<x<x2}⌀⌀对点演练1.[-2,5][解析] ∵x2-3x-10≤0,∴(x-5)(x+2)≤0,∴-2≤x≤5.2.(-∞,1)∪(6,+∞)[解析] 由题意,得Δ=4a2-4×(7a-6)>0,即a2-7a+6>0,解得a>6或a<1.3.{0,1,2}[解析] ∵A={x|-1<x<3},B={-1,0,1,2,3},∴A∩B={0,1,2}.4.x x<或x>7[解析] 2x(x-7)>3(x-7)⇔2x(x-7)-3(x-7)>0⇔(x-7)(2x-3)>0,解得x<或x>7,所以,原不等式的解集为x x<或x>7.5.{x|-3≤x≤1}[解析] (x+3)(1-x)≥0⇔(x+3)(x-1)≤0,解得-3≤x≤1,∴不等式的解集为{x|-3≤x≤1}.6.(-4,0][解析] 当m=0时,mx2+mx-1=-1<0,不等式恒成立;当m≠0时,由解得-4<m<0.综上,m的取值范围是(-4,0].【课堂考点探究】例1[思路点拨] (1)先通过解二次不等式化简集合,再求交集;(2)由根与系数的关系得出a,b 的值,再解不等式.(1)D(2)B[解析] (1)∵M={x|x2+5x-14<0}={x|-7<x<2},N={x|1<x<4},∴M∩N={x|1<x<2},选D.(2)由已知可得----解得-代入不等式bx2-5x+a>0得30x2-5x-5>0,解得x>或x<-,从而所求不等式的解集为x x<-或x>,故选B.变式题(1)3(2)(-1,-lg 2)[解析] (1)∵A={x∈Z|x2-3x-4≤0}={x∈Z|-1≤x≤4}={-1,0,1,2,3,4},B={x∈Z|2x2-x-6>0}=x∈Z x<-或x>2,∴A∩B={3,4},则A∩B的真子集的个数为22-1=3.(2)由题意知,是一元二次方程f=0的两实数根,且方程的二次项系数为负数,所以不等式f>0等价于<10x<,所以x∈(-1,-lg 2).例2[思路点拨] 分a=2与a≠2两种情况,结合二次函数的图像特征建立不等式组进行求解. (-2,2][解析] 当a-2=0,即a=2时,不等式即为-4<0,对一切x∈R恒成立;当a≠2时,需---∴-2<a<2.综上,得实数a的取值范围是(-2,2].例3[思路点拨] 方法一,由二次函数图像可知,若二次项系数大于0,则当x取值在两根之间时函数值恒为负值,故只要x取-1和2时的函数值小于或等于0即可;方法二,把参数a分离出来,转化为求函数的最值.A[解析] 方法一:令f(x)=x2-2x+a,则由题意,得-----解得a≤-3,故选A.方法二:当x∈[-1,2]时,不等式x2-2x+a≤0恒成立等价于a≤-x2+2x恒成立,则由题意,得a≤(-x2+2x)min(x∈[-1,2]).而-x2+2x=-(x-1)2+1,则当x=-1时,(-x2+2x)min=-3,所以a≤-3,故选A.例4[思路点拨] 将已知函数重新整理成关于a的函数,然后利用一次函数的性质求x的取值范围.(-∞,1)∪(3,+∞)[解析] 由题意知,f=x2+(a-4)x+4-2a>0,即(x-2)a+x2-4x+4>0对任意a∈[-1,1]恒成立.令g=(x-2)a+x2-4x+4,则------解得x<1或x>3,故x的取值范围是(-∞,1)∪(3,+∞).强化演练1.B[解析] 若不等式x2-ax+a>0恒成立,则Δ=a2-4a<0,解得0<a<4,则不等式x2-ax+a>0(a∈R)在R上恒成立的充分不必要条件应是{a|0<a<4}的一个真子集,故选B.2.B[解析] 由题意知a≥(x2)max.当x∈[1,2]时,(x2)max=4,则a的取值范围是a≥4,故选B.3.D[解析] 函数f(x)的定义域是实数集R,则x2+ax+1≥0恒成立,即Δ=a2-4≤0,解得-2≤a≤2,即实数a的取值范围是[-2,2].故选D.4.(-∞,-1]∪[解析] 由题意知(a-3)x2<(4a-2)x对a∈(0,1)恒成立等价于(x2-4x)a-3x2+2x<0对a∈(0,1)恒成立.令g(a)=(x2-4x)a-3x2+2x,当x=0时,g(a)=0,不满足题意.当x≠0时,则---得x≤-1或x≥.例5[思路点拨] (1)由题意可得出关于x的不等式,解不等式即可;(2)由题意可得出利润u关于x的函数,求二次函数在闭区间内的最值,要比较对称轴与闭区间的关系,结合二次函数的图像即可找到最大值.解:(1)根据题意,有1005x-+1≥1500,即5x2-14x-3≥0,得x≥3或x≤-,又1≤x≤10,所以3≤x≤10.(2)设生产480千克该产品获得的利润为u元,则u=24 0005+-,1≤x≤10,记f=-++5(1≤x≤10),则f=-3-2++5(1≤x≤10),当x=6时f取得最大值,此时u=24 000×=122 000,故该厂以6千克/时的速度生产480千克该产品可获得最大利润122 000元.变式题解:(1)由题意,得AQ=(x+20)m,∵=,∴=,∴AP=m,则S=··(x+20)==15x++40≤x≤80.(2)∵S≥1600,∴3x2-200x+1200≥0,∴0<x≤或x≥60,结合定义域得60≤x≤80.即要使三角形花园APQ的面积不小于1600 m2,则DQ的长的取值范围是[60,80].【备选理由】例1为含参一元二次不等式问题,需要对参数进行分类讨论;例2为不等式恒成立问题,要注意二次项系数是否为0;例3为不等式有整数解的问题.1[配合例1使用] 解关于x的不等式a(a-1)x2-(2a-1)x+1>0,其中a∈R.解:原不等式等价于(ax-1)[(a-1)x-1]>0.①当a<0时,x∈-∞,∪,+∞;-②当a=0时,x∈(-1,+∞);③当0<a<1时,x∈,;-④当a=1时,x∈(-∞,1);⑤当a>1时,x∈-∞,∪,+∞.-2[配合例2使用] 若ax2+ax+a+3≥0对一切实数x恒成立,则实数a的取值范围是.[答案] [0,+∞)[解析] 若a=0,则不等式等价于3≥0,满足条件;若a≠0,要使ax2+ax+a+3≥0对一切实数x恒成a>0.综上可得实数a的取值范围是[0,+∞).立,则需满足-解得3[配合例3使用] 关于x的不等式(ax-1)(x+2a-1)>0的解集中恰含有3个整数,则实数a 的取值集合是.[答案] -,-1[解析] 很明显a<0,则不等式的解集为x<x<1-2a.分类讨论:当-1≤<0 时,有2<1-2a≤3,据此可得a=-1;当-2≤<-1时,有1<1-2a≤2,据此可得a=-;当-3≤<-2时,有0<1-2a≤1,此时没有满足条件的a的值.综上可得实数a的取值集合是-,-1.第35讲二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题考试说明1.会从实际情境中抽象出二元一次不等式组.2.了解二元一次不等式的几何意义,能用平面区域表示二元一次不等式组.3.会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题,并能加以解决.考情分析真题再现■[2017-2013]课标全国真题再现1.[2017·全国卷Ⅰ]设x,y满足约束条件--则z=3x-2y的最小值为. [答案] -5[解析] 已知不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示.由z=3x-2y,得y=x-,当z最小时,-最大,故在点A处目标函数取得最小值.由-解得-所以z min=-3-2=-5.2.[2016·全国卷Ⅰ]某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品A需要甲材料1.5 kg,乙材料1 kg,用5个工时;生产一件产品B需要甲材料0.5 kg,乙材料0.3 kg,用3个工时.生产一件产品A的利润为2100元,生产一件产品B的利润为900元.该企业现有甲材料150 kg,乙材料90 kg,则在不超过600个工时的条件下,生产产品A、产品B 的利润之和的最大值为元.[答案] 216 000[解析] 设生产产品A 、产品B 分别为x 件、y 件,利润之和为z 元,则 即目标函数为z=2100x+900y. 作出二元一次不等式组表示的平面区域为图中阴影部分内(包括边界)的整点,即可行域.由图可知当直线z=2100x+900y 经过点M 时,z 取得最大值.解方程组 得M的坐标为(60,100),所以当x=60,y=100时,z max =2100×60+900×100=216 000. 3.[2015·全国卷Ⅱ] 若x ,y 满足约束条件 -- - 则z=x+y 的最大值为 . [答案][解析] 画出可行域如图中阴影部分所示,目标函数可化为y=-x+z ,所以直线z=x+y 过点B 时,z 取得最大值.4.[2014·全国卷Ⅰ]不等式组的解集记为D,有下面四个命题:-p1:∀(x,y)∈D,x+2y≥-2,p2:∃(x,y)∈D,x+2y≥2,p3:∀(x,y)∈D,x+2y≤3,p4:∃(x,y)∈D,x+2y≤-1.其中的真命题是()A.p2,p3B.p1,p2C.p1,p4D.p1,p3[解析] B不等式组表示的区域D如图中的阴影部分所示,设目标函数z=x+2y,根据目标函数的几何意义可知,目标函数在点A(2,-1)处取得最小值,且z min=2-2=0,即x+2y的取值范围是[0,+∞),故命题p1,p2为真,命题p3,p4为假.若z=2x+y的最小值为1,则a= 5.[2013·全国卷Ⅱ]已知a>0,x,y满足约束条件-()A.B.C.1D.2[解析] B直线y=a(x-3)过定点(3,0) .画出可行域如图,易得A(1,-2a),B(3,0),C(1,2).作出直线y=-2x,平移易知直线过A点时直线在y轴上的截距最小,即2+(-2a)=1⇒a=.答案为B.■[2017-2016]其他省份类似高考真题[2017·山东卷]已知x,y满足约束条件-则z=x+2y的最大值是()A.0B.2C.5D.6[解析] C画出约束条件所表示的平面区域,如图,平移直线x+2y=0,当直线过A点时,z取得最大值.由-得A(-3,4),所以z max=-3+8=5,故选C.【课前双基巩固】知识聚焦1.边界边界公共部分2.不等式(组)一次解析式一次解集合最大值最小值最大值最小值对点演练1.[解析] 不等式组表示的平面区域如图所示.由-得A(-3,0);由---得B(-3,-5);由--得C-,-.∵AB边与y轴平行,∴|AB|=|-5-0|=5,点C到边AB的距离d=--(-3)=,∴S△ABC=×5×=.2.10[解析] 画出可行域如图,由图可知,平移直线2x+y=0经过A(4,2)时,目标函数z=2x+y 取得最大值,最大值为10.3.4.1[解析] 画出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示,作直线x-y=0,平移直线经过点A(1,0)时,目标函数z=x-y取得最大值,最大值为1.5.73[解析] 根据约束条件画出可行域,令u=,它表示可行域内的点到原点的距离.由图可知,可行域内的点P到原点的距离最大,由-可得P(3,8),所以|OP|=,所以u max=,所以z=u2的最大值为73.6.1[解析] 画出可行域如图所示,由z=y-ax得y=ax+z,当z取最大值时,直线在y轴上的截距最大.当a≤0时,最优解只有一个,不满足题意;当a>0时,要使最优解有无数个,则有直线y=ax+z与直线AC重合,所以a=1.【课堂考点探究】例1[思路点拨] 首先画出不等式组表示的平面区域,然后根据平面区域的形状求解面积.(1)B(2)-[解析] (1)作出不等式组---所表示的平面区域如图所示,易得B点坐标为(1,0).联立---得A(2,3),则S△OAB=×1×3=,故选B.(2)作出可行域如图所示:直线y=k(x-3)恒过定点(3,0),要使直线y=k(x-3)分平面区域Ω1为面积相等的两部分,则直线必过线段AB的中点C1,,故k=k CD=-.例2[思路点拨] 首先画出不等式组表示的平面区域,然后判断其形状.A[解析] 在平面直角坐标系中,画出不等式组--表示的平面区域,如图中的阴影部分所示,则平面区域的形状是三角形.强化演练1.C[解析] 作出不等式组表示的平面区域,如图所示,易知平面区域的形状为等腰直角三角形.2.A[解析] 作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示,易知其面积为1,故选A.3.C[解析] 作出区域Ω如图所示,易知S△ABC=×2×1=1,则满足ax+y>0的区域面积S△OAD=,据此可得D,,代入ax+y=0可得a=-.故选C.4.0或1[解析] 直线x+y=0的倾斜角为135°,直线x=0的倾斜角为90°,所以两直线的夹角为45°.而直线kx-y+1=0,即y=kx+1过定点P(0,1),由图可知,当不等式组表示的平面区域的形状为等腰直角三角形时,k=0或k=1.例3[思路点拨] 作出约束条件对应的可行域,再结合图形分析目标函数的最值.(1)C(2)B[解析] (1)作出可行域如图中阴影部分所示,易知直线z=2x+y过点A -,1时,z取得最小值-2,故选C.(2)画出约束条件表示的可行域如图所示,结合目标函数可得,当直线z=2x-y过点B(0,-3)时目标函数取得最大值3,故选B.例4[思路点拨] (1)x2+y2的几何意义为原点到可行域内的点的距离的平方,据此可求最小值;(2)利用的几何意义,即可行域内的点(x,y)与定点(-1,-1)连线的斜率求解.(1)D(2)A[解析] (1)作出可行域(如图所示),z=x2+y2表示可行域内的点M(x,y)到原点的距离的平方.由图可得的最小值为,所以z=x2+y2的最小值为22+12=5,故选D.(2)作出可行域如图所示,z的几何意义为可行域内的点(x,y)与定点A(-1,-1)连线的斜率,由图可知z∈[0,2).例5[思路点拨] (1)作出不等式组对应的平面区域,利用线性规划的知识,确定目标函数取最优解的条件,即可求出m的值;(2)将不等式中的存在性问题转化为最值问题处理.(1)A(2)C[解析] (1)由目标函数结合可行域可知(图略),目标函数在直线3x-y-1=0与2x-y+2=0的交点(3,8)处取得最大值,则直线mx-y=0恒过定点(3,8),解得m=,故选A.(2)不等式组表示的平面区域D如图所示,存在满足t≤3x-y的点,只需t≤(3x-y)max,令z=3x-y,则问题转化为求目标函数z=3x-y的最大值,显然在点B(2,1)处z取得最大值,最大值为5,所以t≤5,故选C.强化演练1.C[解析] 由题意可知,可行域为图中A,B,C三点,令z=y-2x,当直线y=2x+z过点A(1,2)时,z 取最大值0,故选C.2.A[解析] 画出-表示的可行域如图所示,由图知,目标函数z=2x+y在直线x-y+1=0与直线x+y=0的交点-,处取得最小值-,故选A.3.B[解析] 由约束条件作出可行域如图所示,目标函数z==--可看作点(x,y)与(0,0)连线的斜率,结合图形可知,当两点连线与直线2x-y=0重合时,斜率最大,故z的最大值为2.4.B[解析] 画出可行域如图所示,化z=mx+y为y=-mx+z.由图可知,当-m≥-,即m≤时,目标函数在点A(-4,3)处取得最大值,即z max=m×(-4)+3=5,m=-;当-m<-,即m>时,目标函数在点B(0,1)处取得最大值1,与题意不符.故选B.5.-1 [解析] 画出不等式组所表示的平面区域,如图中阴影部分所示,由图可知,当直线ax+y=0与直线2x-2y+1=0重合,即a=-1时,目标函数z=ax+y 取得最小值时的最优解有无数个.6.4 [解析] 易知m>3,x ,y 满足的可行域如图所示.z=x 2+y 2表示可行域内的点(x ,y )与原点(0,0)连线的距离的平方,由图可知,若过O 作AB 边的垂线,垂足必落在线段BA 的延长线上,可得|OB|>|OA|.又B (m-1,1),所以 =(m-1)2+12=10,解得m=4或m=-2(舍),故填4.例6 [思路点拨] 设每天应配制甲种饮料x 杯,乙种饮料y 杯,咖啡馆每天获利z 元,建立目标函数z=0.7x+1.2y ,求出x ,y 满足的约束条件,画出可行域,找到最优解.200 240 [解析] 设每天配制甲种饮料x 杯,乙种饮料y 杯,咖啡馆每天获利z 元,则x ,y 满足约束条件 目标函数z=0.7x+1.2y.在平面直角坐标系内作出可行域,如图中阴影部分内的整点所示.作直线l 0:0.7x+1.2y=0,把直线l 0向右上方平移至l 1的位置时,直线经过可行域上的A 点,由图可知,此时z=0.7x+1.2y 取最大值.解方程组 得A 点坐标为(200,240),故每天应配制甲种饮料200杯,乙种饮料240杯,能使该咖啡馆获利最大.变式题 210 000 [解析] 设分别生产A 款产品和B 款产品x ,y 台,利润之和为z 元,则根据题意可得目标函数为z=1000x+2000y.画出可行域如图,由图可知,当直线y=-+经过点M 时,z 取得最大值.联立得M (30,90).所以当x=30,y=90时,目标函数取得最大值,z max =30×1000+90×2000=210 000.【备选理由】例1先由不等式演变为不等式组,再确定可行域;例2考查非线性目标函数的几何意义,即考查斜率型目标函数的最值;例3根据目标函数的最值求目标函数中的参数. 1 [配合例3使用] [2017·长沙模拟] 若1≤log 2(x-y+1)≤2,|x-3|≤1,则z=x-2y 的最大值与最小值之和是 ( ) A .0 B .-2 C .2 D .6[解析] C由条件可知----画出可行域如图.z=x-2y,即y=x-表示斜率为的一组平行线,当直线过点A和C时z分别取得最大值和最小值.易知A(2,-1),C(4,3),则z max=2-2×(-1)=4,z min=4-2×3=-2,所以最大值和最小值的和为4+(-2)=2,故选C.2[配合例4使用] [2017·临川实验学校一模]已知变量x,y满足--则的取值范围是()A.B.C.D.[解析] A=+,令k=,则k表示可行域内的点与原点连线的斜率,由图可知,k OA≤k≤k OB,易知A,B(1,3),所以≤k≤3.令z=k+,由函数的单调性求得2≤z≤,所以的取值范围是2,.故选A.3[配合例5使用] [2017·河南新乡二模]若变量x,y满足--且z=mx-y(0<m<2)的最小值为-,则m等于()A.B.C.1D.[解析] C画出不等式组表示的平面区域如图所示,结合图形可知,当直线y=mx-z经过点A ,3时,其在y轴上的截距最大,此时z=mx-y取得最小值,即m-3=-⇒m=1,故选C.第36讲基本不等式考试说明1.了解基本不等式的证明过程.2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.考情分析真题再现■[2017-2013]课标全国真题再现1.[2017·全国卷Ⅰ]已知F为抛物线C:y2=4x的焦点,过F作两条互相垂直的直线l1,l2,直线l1与C交于A,B两点,直线l2与C交于D,E两点,则|AB|+|DE|的最小值为()A.16B.14C.12D.10[解析] A根据题意可知直线l1,l2的斜率存在且不为零,抛物线C的焦点F的坐标为(1,0),设直线l1的方程为y=k(x-1),代入抛物线方程得,k2x2-(2k2+4)x+k2=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2==2+,根据抛物线定义得|AF|=x1+1,|BF|=x2+1,所以|AB|=|AF|+|BF|=x1+x2+2=4+.因为l2⊥l1,所以用-代替k,得|DE|=4+4k2,所以|AB|+|DE|=8+4≥8+4×2=16,当且仅当k=±1时,等号成立,故所求的最小值为16.2.[2014·全国卷Ⅰ]已知a,b,c分别为△ABC三个内角A,B,C的对边,a=2,且(2+b)·(sin A-sinB)=(c-b)sin C,则△ABC面积的最大值为.[答案][解析] 根据正弦定理和a=2可得(a+b)(a-b)=(c-b)c,故得b2+c2-a2=bc,根据余弦定理得cos A=-=,所以A=.根据b2+c2-a2=bc及基本不等式得bc≥2bc-a2,即bc≤4,所以△ABC面积的最大值为×4×=.■[2017-2016]其他省份类似高考真题1.[2017·天津卷]若a,b∈R,ab>0,则的最小值为.[答案] 4[解析] 由题意得a2>0,b2>0,ab>0,所以=≥=4ab+≥2=4,当且仅当a2=2b2=时,等号成立.【课前双基巩固】知识聚焦1.(1)a,b∈R+(2)a=b2.(1)2ab (2)23.≥4.(1)2(2)对点演练1.0[解析] 因为x>-2,所以x+2>0,>0,则x+=x+2+-2≥2-2=0,当且仅当x=-1时等号成立.2.[解析] ∵正实数x,y满足2x+y=1,∴xy=(2x)·y≤=,当且仅当2x=y=时等号成立,即xy的最大值为.3.81 m2[解析] 设矩形菜园的长和宽分别为x m,y m,则x>0,y>0,由题意有2(x+y)=36,∴x+y=18,∴矩形菜园的面积S=xy≤==81,当且仅当x=y=9时取“=”.∴当长和宽都为9 m时,最大面积为81 m2.4.0[解析] ∵x<1,∴y=-=--=(x+1)+-=(x-1)+-+2≤-2--+2=0,当且仅当x=0时等号成立.5.[解析] 设x-1=t,则x+-=t++1,又由x≥4得t≥3,而函数y=t++1在[3,+∞)上是增函数,因此t=3时,y取得最小值3++1=.6.3[解析] +=+(x+y)=4+++1≥5+2=3,当且仅当=,即x=2,y=1时,+取得最小值3.【课堂考点探究】例1[思路点拨] (1)根据式子特征凑出积为定值,然后利用基本不等式求解;(2)根据已知等式凑出和为定值,然后利用基本不等式求解.(1)(2)[解析] (1)由题意可知a+=a++-≥2-=,当且仅当a+=,即a=时等号成立.所以a+的最小值为.(2)∵x>0,y>0,∴xy=·x·3y≤=,当且仅当x=3y=时,等号成立,故xy的最大值是.例2[思路点拨] (1)首先利用函数与直线知识确定出关于a,b的等式,然后采用代换法将a+b 代换为a+b=(a+b)+,展开后再利用基本不等式求最值;(2)首先利用数列知识确定出关于m,n的等式,然后采用代换法将+代换为+=+(m+n),展开后再利用基本不等式求最值.(1)C(2)C[解析] (1)由函数的解析式可得M(1,1),即+=1(a>0,b>0),则a+b=(a+b)+=2++≥2+2=4,当且仅当a=b=2时等号成立,所以a+b的最小值为4,故选C.(2)由题意可得a5q2=a5q+2a5,则q2-q-2=0,结合q>0,解得q=2.由a m a p=a1q m-1·a1q p-1=16,得m+p=6,则+=+(m+p)=5++≥5+2=,当且仅当m=2,p=4 时等号成立,故选C.例3[思路点拨] 利用不等式性质对已知条件进行变形,进而将u的表达式中的b消去,然后再通过变换结构,结合基本不等式求解.B[解析] ∵a2-b+4≤0,∴b≥a2+4,∴a+b≥a2+a+4.又∵a,b>0,∴≤,∴-≥-,∴u==3-≥3-=3-≥3-=,当且仅当a=2,b=8时取等号.故选B.例4[思路点拨] 先将代数式中第2项的分母利用基本不等式进行变换,再根据结构特征利用基本不等式可求得结果.4[解析] ∵a>b>0,∴a-b>0,∴b(a-b)≤-=,∴a2+-≥a2+≥2=4,当且仅当b=a-b且a2=,即a=且b=时取等号,∴a2+-的最小值为4.强化演练1.[解析] ∵x∈0,,∴y=x(1-4x)=×(4x)·(1-4x)≤×-=,当且仅当x=时等号成立,∴函数y=x(1-4x)的最大值是.2.C[解析] f=x+-=-(2-x)+-+2≤0,当且仅当2-x=-,即x=1时等号成立,故选C.3.C[解析] 由题意得,=(a-1,1),=(-b-1,2).因为A,B,C三点共线,所以2(a-1)-(-b-1)=0,即2a+b=1.又a>0,b>0,所以+=(2a+b)+=4++≥4+2=8,当且仅当b=2a=时等号成立,故选C.4.D[解析] a2++-=(a2-ab)+-++ab≥2--+2=4当且仅当a2-ab=-且=ab,即a=,b=时取等号,故选D.5.B[解析] 由题意得b+c=2-a,∴0<a<2,则+=+-=+-[(a+1)+(2-a)]=5+-+-≥5+2--=3,当且仅当-=-,即a=1时,等号成立,故选B.例5[思路点拨] (1)首先设出对称的两点坐标,并代入函数可得到实数a关于两点横坐标的表达式,然后利用基本不等式求最值即可;(2)首先根据函数解析式与直线方程求得A,B,C,D 四点的横坐标,并得到线段AC和BD在x轴上的投影长度,由此得到关于m的表达式,最后利用基本不等式求解.(1)B(2)8[解析] (1)由题意,函数存在奇对称点,即函数图像上存在两点关于原点对称,可设两点为P(x1,y1),Q(x2,y2),即y1=-a,y2=-a.因为关于原点对称,所以x1+x2=0,-a=-+a,则2a=+≥2=2=2,因为x1≠0,且x2≠0,所以a>1,故选B.(2)根据题意得x A=2-m,x B=2m,x C=-,x D=,所以a=|x A-x C|=2-m--,b=|x B-x D|=2m-,即=----=·2m=.因为m>0,所以+m=(2m+1)+-≥2-=,当且仅当(2m+1)=,即m=时取等号,所以的最小值为=8.变式题0,[解析] f(x)=x3+2,则f'(x)=3x2,∵x1x2=1,x1≠x2,∴|x1+x2|>2=2,即(x1+x2)2>4,∴(x1+x2)2+>4+,∴φ(M,N)=---=-<-=,即φ(M,N)∈0,.例6[思路点拨] (1)首先求出第x年年底该车运输累计收入与总支出的差,然后令其大于0,即可得到结论;(2)利用利润=累计收入+销售收入-总支出,可得平均利润,再利用基本不等式可得结论.解:(1)设大货车运输到第x年年底,该车运输累计收入与总支出的差为y万元,则y=25x-[6x+x(x-1)]-50=-x2+20x-50(0<x≤10,x∈N*),由-x2+20x-50>0,可得10-5<x≤10.∵2<10-5<3,∴到第3年年底,该车运输累计收入超过总支出.(2)设年平均利润为m万元,由(1)知m=-=19-x+≤19-10=9,当且仅当x=5时,等号成立,∴在第5年年底将大货车出售,能使小王获得的年平均利润最大.【备选理由】例1是一道利用基本不等式求函数最值题目;例2是基本不等式与直线和圆位置关系的最值结合的问题;例3为多次使用基本不等式问题.。

第六章⎪⎪⎪不等式、推与证明第一节不等关系与不等式1．两个实比较大小的依据 (1)a －b ＞0⇔a ＞b ． (2)a －b ＝0⇔a ＝b ． (3)a －b ＜0⇔a ＜b ． 2．不等式的性质 (1)对称性：a >b ⇔b <a ； (2)传递性：a >b ，b >c ⇒a >c ； (3)可加性：a >b ⇔a ＋c >b ＋c ；a >b ，c >d ⇒a ＋c >b ＋d ；(4)可乘性：a >b ，c >0⇒ac >bc ；a >b >0，c >d >0⇒ac >bd ；(5)可乘方：a >b >0⇒a n >b n (n ∈N ，n ≥1)； (6)可开方：a >b >0⇒na > nb (n ∈N ，n ≥2)．1．(教材习题改编)用不等号“＞”或“＜”填空：(1)a＞b，c＜d⇒a－c________b－d；(2)a＞b＞0，c＜d＜0⇒ac________bd；(3)a＞b＞0⇒3a________3b．答案：(1)＞(2)＜(3)＞2．限速40 km/h的路标，指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v不超过40 km/h，写成不等式就是__________．答案：v≤40 km/h3．若0<a<b，c>0，则b＋ca＋c与a＋cb＋c的大小关系为________．答案：b＋ca＋c>a＋cb＋c1．在应用传递性时，注意等号是否传递下去，如a≤b，b<c⇒a<c．2．在乘法法则中，要特别注意“乘c的符号”，例如当c≠0时，有a>b⇒ac2>bc2；若无c≠0这个条件，a>b⇒ac2>bc2就是错误结论(当c＝0时，取“＝”)．1．设a，b，c∈R，且a>b，则( )A．ac>bc B．1a <1 bC．a2>b2D．a3>b3答案：D2．若ab>0，且a>b，则1a与1b的大小关系是________．答案：1a <1 b考点一 比较两个式的大小基础送分型考点——自主练透1．已知x ∈R ，m ＝(x ＋1)⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋x 2＋1，n ＝⎝⎛⎭⎪⎫x ＋12(x 2＋x ＋1)，则m ，n 的大小关系为( )A ．m ≥nB ．m ＞nC ．m ≤nD ．m ＜n答案：B 2．若a ＝ln 22，b ＝ln 33，则a ____b (填“＞”或“＜”)． 解析：易知a ，b 都是正，b a ＝2ln 33ln 2＝log 89＞1，所以b ＞a ．答案：＜3．已知等比列{a n }中，a 1＞0，q ＞0，前n 项和为S n ，则S 3a 3与S 5a 5的大小关系为________．解析：当q ＝1时，S 3a 3＝3，S 5a 5＝5，所以S 3a 3＜S 5a 5．当q ＞0且q ≠1时，S3a 3－S 5a 5＝a 1－q 3a 1q 2－q －a 1－q 5a 1q 4－q＝q 2－q 3－－q 5q 4－q＝－q －1q4＜0，所以S3a3＜S5 a5．综上可知S3a3＜S5a5．答案：S3a3＜S5a5比较两实(式)大小的2种常用方法考点二不等式的性质重点保分型考点——师生共研1．设a，b∈R则“(a－b)·a2<0”是“a<b”的( )A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选A (a－b)·a2＜0，则必有a－b＜0，即a＜b；而a＜b时，不能推出(a－b)·a2＜0，如a＝0，b＝1，所以“(a－b)·a2＜0”是“a＜b”的充分不必要条件．2．若a＞b＞0，c＜d＜0，则一定有( )A ．a d ＞b cB ．a d ＜b cC ．a c ＞b dD ．a c ＜b d解析：选B 法一：因为c ＜d ＜0，所以－c ＞－d ＞0， 所以1－d ＞1－c ＞0．又a ＞b ＞0，所以a－d ＞b－c，所以a d ＜b c ．故选B ．法二：⎭⎪⎬⎪⎫c ＜d ＜0⇒cd ＞0c ＜d ＜0⇒ccd ＜dcd＜0⇒1d ＜1c＜0⇒⎭⎪⎬⎪⎫－1d ＞－1c ＞0a ＞b ＞0⇒－a d ＞－b c ⇒a d ＜b c ． 法三：令a ＝3，b ＝2，c ＝－3，d ＝－2，则a c ＝－1，bd＝－1，排除选项C 、D ； 又∵－32＜－23，排除A ．故选B ．不等式性质应用问题的3大常见类型及解题策略(1)利用不等式性质比较大小．熟记不等式性质的条件和结论是基础，灵活运用是关键，要注意不等式性质成立的前提条件．(2)与充要条件相结合问题．用不等式的性质分别判断p ⇒q 和q ⇒p 是否正确，要注意特殊值法的应用．(3)与命题真假判断相结合问题．解决此类问题除根据不等式的性质求解外，还经常采用特殊值验证的方法．1．(2016·河南六市第一次联考)若1a＜1b＜0，则下列结论不正确的是( )A．a2＜b2B．ab＜b2C．a＋b＜0 D．|a|＋|b|＞|a＋b|解析：选 D ∵1a＜1b＜0，∴b＜a＜0，∴b2＞a2，ab＜b2，a＋b＜0，∴选项A、B、C均正确，∵b＜a＜0，∴|a|＋|b|＝|a＋b|，故D项错误，故选D．2．(2017·赣中南五校联考)对于任意实a，b，c，d，有以下四个命题：①若ac2＞bc2，则a＞b；②若a＞b，c＞d，则a＋c＞b＋d；③若a＞b，c＞d，则ac＞bd；④若a＞b，则1a＞1b．其中正确的有( )A．1个B．2个C．3个D．4个解析：选B ①由ac2＞bc2，得c≠0，则a＞b，①正确；②由不等式的同向可加性可知②正确；③错误，当0＞c＞d时，不等式不成立．④错误，令a＝－1，b＝－2，满足－1＞－2，但1－1＜1－2．故选B．考点三不等式性质的应用重点保分型考点——师生共研已知函f (x )＝ax 2＋bx ，且1≤f (－1)≤2，2≤f (1)≤4．求f (－2)的取值范围．解：由题意知f (－1)＝a －b ，f (1)＝a ＋b ．f (－2)＝4a －2b ．设m (a ＋b )＋n (a －b )＝4a －2b ．则⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝4，m －n ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1，n ＝3.∴f (－2)＝(a ＋b )＋3(a －b )＝f (1)＋3f (－1)． ∵1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4，∴5≤f (－2)≤10． 即f (－2)的取值范围为．利用不等式性质可以求某些代式的取值范围，但应注意两点：一是必须严格运用不等式的性质；二是在多次运用不等式的性质时有可能扩大了变量的取值范围，解决的途径是先建立所求范围的整体与已知范围的整体的等量关系，最后通过“一次性”不等关系的运算求解范围．1．若6＜a ＜10，a2≤b ≤2a ，c ＝a ＋b ，则c 的取值范围是( ) A ． B ．(15,30) C ．D ．(9,30)解析：选D ∵a2≤b ≤2a ，∴3a 2≤a ＋b ≤3a ，即3a2≤c ≤3a ．∵6＜a ＜10，∴9＜c ＜30．故选D ．2．已知－1<x <4,2<y <3，则x －y 的取值范围是________，3x ＋2y 的取值范围是________．解析：∵－1<x <4,2<y <3， ∴－3<－y <－2， ∴－4<x －y <2． 由－1<x <4,2<y <3， 得－3<3x <12,4<2y <6， ∴1<3x ＋2y <18． 答案：(－4,2) (1,18)一抓基础，多练小题做到眼疾手快 1．设a ，b ∈1．设集合S ＝{x |x >－2}，T ＝{x |x 2＋3x －4≤0}，则(∁R S )∪T ＝( )A ．(－2,1]B ．(－∞，－4]C ．(－∞，1]D ．1．不等式x －3x －1≤0的解集为( )A ．{x |x ＜1或x ≥3}B ．{x |1≤x ≤3}C ．{x |1＜x ≤3}D ．{x |1＜x ＜3}解析：选C 由x －3x －1≤0，得⎩⎪⎨⎪⎧x －x －，x －1≠0，解得1＜x ≤3．2．若不等式mx 2＋2mx ＋1>0的解集为R ，则m 的取值范围是________．解析：①当m ＝0时，1>0显然成立．②当m ≠0时，由条件知⎩⎪⎨⎪⎧m >0，Δ＝4m 2－4m <0.得0<m <1．由①②知0≤m <1．答案：1．已知函f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x 2＋1，x ≤0，－2x ，x >0，则不等式f (x )－x ≤2的解集是________．解析：当x ≤0时，原不等式等价于2x 2＋1－x ≤2，∴－12≤x ≤0；当x >0时，原不等式等价于－2x －x ≤2，∴x >0．综上所述，原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫xx ≥－12．答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫xx ≥－122．不等式2x ＋1x －5≥－1的解集为________． 解析：将原不等式移项通分得3x －4x －5≥0，等价于⎩⎪⎨⎪⎧x －x －，x －5≠0，解得x ＞5或x ≤43．所以原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≤43或x >5． 答案：⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≤43或x >53．解下列不等式：(1)(易错题)－3x 2－2x ＋8≥0； (2)0＜x 2－x －2≤4．解：(1)原不等式可为3x 2＋2x －8≤0， 即(3x －4)(x ＋2)≤0．解得－2≤x ≤43，所以原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－2≤x ≤43． (2)原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －2＞0，x 2－x －2≤4⇔⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －2＞0，x 2－x －6≤0⇔⎩⎪⎨⎪⎧x －x ＋＞0，x －x ＋⇔⎩⎪⎨⎪⎧x ＞2或x ＜－1，－2≤x ≤3.借助于轴，如图所示，所以原不等式的解集为{}x |－2≤x ＜－1或2＜x ≤3．解一元二次不等式的4个步骤考点二 含参的一元二次不等式的解法重点保分型考点——师生共研解关于x 的不等式ax 2－(a ＋1)x ＋1＜0(a ＞0)． 解：原不等式变为(ax －1)(x －1)＜0，因为a ＞0，所以a ⎝⎛⎭⎪⎫x －1a (x －1)＜0，所以当a ＞1时，解为1a＜x ＜1； 当a ＝1时，解集为∅；当0＜a ＜1时，解为1＜x ＜1a． 综上，当0＜a ＜1时，不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ 1＜x ＜1a ． 当a ＝1时，不等式的解集为∅．当a ＞1时，不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ 1a ＜x ＜1．解含参的一元二次不等式时分类讨论的依据(1)二次项中若含有参应讨论是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转为一次不等式或二次项系为正的形式．(2)当不等式对应方程的根的个不确定时，讨论判别式Δ与0的关系．(3)确定无根时可直接写出解集，确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集形式．当不等式中二次项的系含有参时，不要忘记讨论其等于0的情况．1．已知不等式ax 2－bx －1≥0的解集是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，－13，则不等式x 2－bx －a ＜0的解集是( )A ．(2,3)B ．(－∞，2)∪(3，＋∞)C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫13，12 D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，13∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ 解析：选A 由题意知－12，－13是方程ax 2－bx －1＝0的根，所以由根与系的关系得－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝b a ，－12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝－1a．解得a ＝－6，b ＝5，不等式x 2－bx －a ＜0即为x 2－5x ＋6＜0，解集为(2,3)．2．求不等式12x 2－ax >a 2(a ∈R)的解集．解：原不等式可为12x 2－ax －a 2>0，即(4x ＋a )(3x －a )>0，令(4x ＋a )(3x －a )＝0，解得x 1＝－a 4，x 2＝a 3． 当a >0时，不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－a 4∪⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3，＋∞； 当a ＝0时，不等式的解集为(－∞，0)∪(0，＋∞)；当a <0时，不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，a 3∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 4，＋∞． 考点三 一元二次不等式恒成立问题题点多变型考点——多角探明一元二次不等式与其对应的函与方程之间存在着密切的联系．在解决具体的学问题时，要注意三者之间的相互联系，并在一定条件下相互转换．对于一元二次不等式恒成立问题，常根据二次函图象与x 轴的交点情况确定判别式的符号，进而求出参的取值范围．常见的命题角度有：(1)形如f (x )≥0(f (x )≤0)(x ∈R)确定参的范围；(2)形如f (x )≥0(x ∈)确定参范围；(3)形如f (x )≥0(参m ∈)确定x 的范围．角度一：形如f (x )≥0(f (x )≤0)(x ∈R)确定参的范围1．已知不等式mx 2－2x －m ＋1＜0，是否存在实m 对所有的实x ，不等式恒成立？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明由．解：要使不等式mx 2－2x －m ＋1＜0恒成立，即函f (x )＝mx 2－2x －m ＋1的图象全部在x 轴下方．当m ＝0时，1－2x ＜0，则x ＞12，不满足题意； 当m ≠0时，函f (x )＝mx 2－2x －m ＋1为二次函，需满足开口向下且方程mx 2－2x －m ＋1＝0无解，即⎩⎪⎨⎪⎧ m ＜0，Δ＝4－4m －m ＜0，不等式组的解集为空集，即m 无解．综上可知不存在这样的实m 使不等式恒成立．角度二：形如f (x )≥0(x ∈)确定参范围2．已知函f (x )＝－x 2＋ax ＋b 2－b ＋1(a ∈R ，b ∈R)，对任意实x 都有f (1－x )＝f (1＋x )成立，若当x ∈时，f (x )＞0恒成立，求b 的取值范围．解：由f (1－x )＝f (1＋x )知f (x )的图象关于直线x ＝1对称，即a 2＝1，解得a ＝2．又因为f (x )开口向下，所以当x ∈时，f (x )为增函，所以f (x )min ＝f (－1)＝－1－2＋b 2－b ＋1＝b 2－b －2，f (x )＞0恒成立，即b 2－b －2＞0恒成立，解得b ＜－1或b ＞2．∴b 的取值范围为(－∞，－1)∪(2，＋∞)角度三：形如f (x )≥0(参m ∈)确定x 的范围3．对任意m ∈，函f (x )＝x 2＋(m －4)x ＋4－2m 的值恒大于零，求x 的取值范围．解：由f (x )＝x 2＋(m －4)x ＋4－2m＝(x －2)m ＋x 2－4x ＋4，令g (m )＝(x －2)m ＋x 2－4x ＋4．由题意知在上，g (m )的值恒大于零，∴⎩⎪⎨⎪⎧ g －＝x －－＋x 2－4x ＋4>0，g ＝x －＋x 2－4x ＋4>0，解得x <1或x >3．故当x ∈(－∞，1)∪(3，＋∞)时，对任意的m ∈，函f (x )的值恒大于零．一元二次型不等式恒成立问题的3大破解方法 (1)ax 2＋bx ＋c ≥0对任意实x 恒成立的条件是{ a >0，Δ≤0； (2)ax 2＋bx ＋c ≤0对任意实x 恒成立的条件是{ a <0，Δ≤0把变元与参交换位置，构造以参为变量的函，根据原变量的取值范围列式求解．常见的是转为一次函f (x )＝ax ＋b (a ≠0)在恒成立问题，若f (x )>0恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧f m f n ， 若f (x )<0恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧ f m ，f n1．(2017·济宁模拟)不等式a 2＋8b 2≥λb (a ＋b )对于任意的a ，b ∈R 恒成立，则实λ的取值范围为________．解：因为a 2＋8b 2≥λb (a ＋b )对于任意的a ，b ∈R 恒成立，所以a 2＋8b 2－λb (a ＋b )≥0对于任意的a ，b ∈R 恒成立，即a 2－λba ＋(8－λ)b 2≥0恒成立，由二次不等式的性质可得，Δ＝λ2b 2＋4(λ－8)b 2＝b 2(λ2＋4λ－32)≤0，所以(λ＋8)(λ－4)≤0，解得－8≤λ≤4．答案：2．设函f (x )＝mx 2－mx －1(m ≠0)，若对于x ∈，f (x )＜－m ＋5恒成立，求m 的取值范围．解：要使f (x )＜－m ＋5在上恒成立，则mx 2－mx ＋m －6＜0，即m ⎝⎛⎭⎪⎫x －122＋34m －6＜0在x ∈上恒成立． 因为x 2－x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34＞0， 又因为m (x 2－x ＋1)－6＜0，所以m ＜6x 2－x ＋1． 因为函y ＝6x 2－x ＋1＝6⎝⎛⎭⎪⎫x －122＋34在上的最小值为67，所以只需m ＜67即可． 因为m ≠0，所以m 的取值范围是(－∞，0)∪⎝⎛⎭⎪⎫0，67．一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．设集合A ＝{x |x 2＋x －6≤0}，集合B 为函y ＝1x －1的定义域，则A ∩B 等于( )A ．(1,2)B ．C ．解析：选D A ＝{x |x 2＋x －6≤0}＝{x |－3≤x ≤2}，由x －1>0得x >1，即B ＝{x |x >1}，所以A ∩B ＝{x |1<x ≤2}．2．不等式f (x )＝ax 2－x －c >0的解集为{x |－2<x <1}，则函y ＝f (－x )的图象为( )解析：选B 由根与系的关系得1a ＝－2＋1，－c a ＝－2，得a ＝－1，c ＝－2，∴f (x )＝－x 2－x ＋2(经检验知满足题意)，∴f (－x )＝－x 2＋x ＋2，其图象开口向下，顶点为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，94． 3．(2017·昆明模拟)不等式x 2－2x ＋5≥a 2－3a 对任意实x 恒成立，则实a 的取值范围为( )A ．B ．(－∞，－2]∪∪解析：选A x 2－2x ＋5＝(x －1)2＋4的最小值为4，所以x 2－2x ＋5≥a 2－3a 对任意实x 恒成立，只需a 2－3a ≤4，解得－1≤a ≤4．4．不等式|x (x －2)|>x (x －2)的解集是________．解析：不等式|x (x －2)|>x (x －2)的解集即x (x －2)<0的解集，解得0<x <2．答案：{x |0<x <2}5．若0<a <1，则不等式(a －x )⎝⎛⎭⎪⎫x －1a >0的解集是________．解析：原不等式为(x －a )⎝⎛⎭⎪⎫x －1a <0， 由0<a <1得a <1a ，∴a <x <1a． 答案：⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ a <x <1a 二保高考，全练题型做到高考达标1．已知不等式x 2－2x －3＜0的解集为A ，不等式x 2＋x －6＜0的解集为B ，不等式x 2＋ax ＋b ＜0的解集为A ∩B ，则a ＋b 等于( )A ．－3B ．1C ．－1D ．3解析：选A 由题意得，A ＝{x |－1＜x ＜3}，B ＝{x |－3＜x ＜2}，∴A ∩B ＝{x |－1＜x ＜2}，由根与系的关系可知，a ＝－1，b ＝－2，则a ＋b ＝－3．2．不等式2x ＋1<1的解集是( ) A ．(－∞，－1)∪(1，＋∞) B ．(1，＋∞)C ．(－∞，－1)D ．(－1,1) 解析：选 A ∵2x ＋1<1，∴2x ＋1－1<0，即1－x x ＋1<0，该不等式可为(x ＋1)(x －1)>0，∴x <－1或x >1．3．(2017·郑州调研)规定记号“⊙”表示一种运算，定义a ⊙b ＝ab ＋a ＋b (a ，b 为正实)，若1⊙k 2＜3，则k 的取值范围是( )A ．(－1,1)B ．(0,1)C ．(－1,0)D ．(0,2)解析：选A 因为定义a ⊙b ＝ab ＋a ＋b (a ，b 为正实)，1⊙k 2＜3，所以k 2＋1＋k 2＜3，为(|k|＋2)(|k|－1)＜0，所以|k|＜1，所以－1＜k＜1．4．某商场若将进货单价为8元的商品按每件10元出售，每天可销售100件，现准备采用提高售价增加利润．已知这种商品每件销售价提高1元，销售量就要减少10件．那么要保证每天所赚的利润在320元以上，销售价每件应定为( )A．12元B．16元C．12元到16元之间D．10元到14元之间解析：选C 设销售价定为每件x元，利润为y，则y＝(x－8)，依题意有，(x－8)＞320，即x2－28x＋192＜0，解得12＜x＜16，所以每件销售价应为12元到16元之间．5．若不等式x2－(a＋1)x＋a≤0的解集是的子集，则a的取值范围是( )A．B．C．D．解析：选B 原不等式为(x－a)(x－1)≤0，当a<1时，不等式的解集为，此时只要a≥－4即可，即－4≤a<1；当a＝1时，不等式的解为x＝1，此时符合要求；当a>1时，不等式的解集为，此时只要a≤3即可，即1<a≤3．综上可得－4≤a≤3．6．不等式x2＋ax＋4<0的解集不是空集，则实a的取值范围是________．解析：∵不等式x2＋ax＋4<0的解集不是空集，∴Δ＝a2－4×4>0，即a2>16．∴a >4或a <－4．答案：(－∞，－4)∪(4，＋∞)7．若关于x 的不等式ax ＞b 的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，15，则关于x 的不等式ax 2＋bx －45a ＞0的解集为________． 解析：由已知ax ＞b 的解集为⎝⎛⎭⎪⎫－∞，15，可知a ＜0，且b a ＝15，将不等式ax 2＋bx －45a ＞0两边同除以a ，得x 2＋b a x －45＜0，即x 2＋15x －45＜0，即5x 2＋x －4＜0，解得－1＜x ＜45，故所求解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，45． 答案：⎝⎛⎭⎪⎫－1，45 8．(2017·石家庄质检)在R 上定义运算：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b c d ＝ad －bc ．若不等式⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －1 a －2a ＋1 x ≥1对任意实x 恒成立，则实a 的最大值为________．解析：原不等式等价于x (x －1)－(a －2)(a ＋1)≥1， 即x 2－x －1≥(a ＋1)(a －2)对任意x 恒成立，x 2－x －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122－54≥－54， 所以－54≥a 2－a －2，解得－12≤a ≤32． 答案：329．已知f (x )＝－3x 2＋a (6－a )x ＋6．(1)解关于a 的不等式f (1)>0；(2)若不等式f (x )>b 的解集为(－1,3)，求实a ，b 的值． 解：(1)∵f (x )＝－3x 2＋a (6－a )x ＋6， ∴f (1)＝－3＋a (6－a )＋6＝－a 2＋6a ＋3， ∴原不等式可为a 2－6a －3<0， 解得3－23<a <3＋23．∴原不等式的解集为{a |3－23<a <3＋23}．(2)f (x )>b 的解集为(－1,3)等价于方程－3x 2＋a (6－a )x ＋6－b ＝0的两根为－1,3，等价于⎩⎪⎨⎪⎧－1＋3＝a－a3，－1×3＝－6－b3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3±3，b ＝－3.10．(2017·北京朝阳统一考试)已知函f (x )＝x 2－2ax －1＋a ，a ∈R ．(1)若a ＝2，试求函y ＝f x x(x >0)的最小值；(2)对于任意的x ∈，不等式f (x )≤a 成立，试求a 的取值范围．解：(1)依题意得y ＝f x x ＝x 2－4x ＋1x ＝x ＋1x－4．因为x >0，所以x ＋1x≥2．当且仅当x ＝1x时，即x ＝1时，等号成立．所以y ≥－2．所以当x ＝1时，y ＝f xx的最小值为－2．(2)因为f (x )－a ＝x 2－2ax －1，所以要使得“∀x ∈，不等式f (x )≤a 成立”， 只要“x 2－2ax －1≤0在恒成立”． 不妨设g (x )＝x 2－2ax －1， 则只要g (x )≤0在上恒成立即可．所以⎩⎪⎨⎪⎧g ，g ，即⎩⎪⎨⎪⎧0－0－1≤0，4－4a －1≤0，解得a ≥34．则a 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，＋∞．三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．(2016·太原模拟)若关于x 的不等式x 2－4x －2－a >0在区间(1,4)内有解，则实a 的取值范围是( )A ．(－∞，－2)B ．(－2，＋∞)C ．(－6，＋∞)D ．(－∞，－6)解析：选A 不等式x 2－4x －2－a >0在区间(1,4)内有解等价于a <(x 2－4x －2)max ，令g (x )＝x 2－4x －2，x ∈(1,4)，∴g (x )<g (4)＝－2，∴a <－2．2．已知函f (x )＝ax 2＋2ax ＋1的定义域为R ． (1)求a 的取值范围；(2)若函f (x )的最小值为22，解关于x 的不等式x 2－x －a 2－a＜0．解：(1)∵函f (x )＝ax 2＋2ax ＋1的定义域为R ， ∴ ax 2＋2ax ＋1≥0恒成立， 当a ＝0时，1≥0恒成立． 当a ≠0时，需满足题意，则需⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，Δ＝a2－4a ≤0，解得0＜a ≤1，综上可知，a 的取值范围是． (2)f (x )＝ax 2＋2ax ＋1＝a x ＋2＋1－a ，由题意及(1)可知0＜a ≤1， ∴当x ＝－1时，f (x )min ＝1－a ， 由题意得，1－a ＝22，∴a ＝12，∴不等式x 2－x －a 2－a ＜0可为x 2－x －34＜0．解得－12＜x ＜32，∴不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32．第三节二元一次不等式(组)及简单的线性规划问题1．一元二次不等式(组)表示的平面区域2．线性规划中的基本概念1．下列各点中，不在x＋y－1≤0表示的平面区域内的是( )A ．(0,0)B ．(－1,1)C ．(－1,3)D ．(2，－3)答案：C2．(教材习题改编)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －3y ＋6≥0，x －y ＋2＜0表示的平面区域是()答案：B3．(2016·北京高考)若x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ≤0，x ＋y ≤3，x ≥0，则2x ＋y 的最大值为________．解析：根据题意作出可行域如图阴影部分所示，平移直线y ＝－2x ，当直线平移到过点A 时，目标函取得最大值，由⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＝0，x ＋y ＝3，可得A (1,2)，此时2x ＋y 取最大值为2×1＋2＝4．答案：41．画出平面区域．避免失误的重要方法就是首先使二元一次不等式为ax ＋by ＋c >0(a >0)．2．线性规划问题中的最优解不一定是唯一的，即可行域内使目标函取得最值的点不一定只有一个，也可能有无多个，也可能没有．3．在通过求直线的截距zb 的最值间接求出z 的最值时，要注意：当b >0时，截距z b 取最大值时，z 也取最大值；截距zb 取最小值时，z也取最小值；当b <0时，截距z b 取最大值时，z 取最小值；截距zb取最小值时，z 取最大值．1．若用阴影表示不等示组⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋y ≤0，3x －y ≤0所形成的平面区域，则该平面区域中的夹角的大小为________．答案：15°2．(2017·兰州诊断)已知实x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x ，x ＋y ≤1，y ≥－1，则目标函z ＝2x －y 的最大值为________．解析：画出平面区域如图所示，目标函可变为y ＝2x －z ，将直线y ＝2x 进行平移可得在点(2，－1)处截距最小，所以此时z 最大，最大值为5．答案：5考点一 二元一次不等式组表示平面区域基础送分型考点——自主练透1．已知约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ＋y －4≤0，kx －y ≤0表示面积为1的直角三角形区域，则实k 的值为( )A ．1B ．－1C ．0D ．－2解析：选A 先作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ＋y ≤4，对应的平面区域，如图． 要使阴影部分为直角三角形，当k ＝0时，此时三角形的面积为12×3×3＝92≠1，所以不成立．当k ＝－1或－2时，不能构成直角三角形区域．当k ＝1时，由图可知，可构成直角三角区域且面积为1，故选A ．2．(易错题)若满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋y －2≤0，y ≥a的整点(x ，y )恰有9个，其中整点是指横、纵坐标都是整的点，则整a 的值为( )A ．－3B ．－2C ．－1D ．0解析：选C 不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分，当a ＝0时，只有4个整点(1,1)，(0,0)，(1,0)，(2,0)；当a ＝－1时，正好增加(－1，－1)，(0，－1)，(1，－1)，(2，－1)，(3，－1)共5个整点．3．(2017·广州五校联考)设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋2y ≥4，2x ＋y ≤4所表示的平面区域为D ，则区域D 的面积为________．解析：如图，画出可行域．易得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫43，43，B (0,2)，C (0,4)，∴可行域D 的面积为12×2×43＝43．答案：43确定二元一次不等式(组)表示的平面区域的方法(1)“直线定界，特殊点定域”，即先作直线，再取特殊点并代入不等式组．若满足不等式组，则不等式(组)表示的平面区域为直线与特殊点同侧的那部分区域；否则就对应与特殊点异侧的平面区域．如“题组练透”第2题易忽视边界．(2)当不等式中带等号时，边界为实线；不带等号时，边界应画为虚线，特殊点常取原点．考点二 求目标函的最值题点多变型考点——多角探明线性规划问题是高考的重点，而线性规划问题具有代和几何的双重形式，多与函、平面向量、列、三角、概率、解析几何等问题交叉渗透．常见的命题角度有： (1)求线性目标函的最值； (2)求非线性目标函的最值； (3)线性规划中的参问题．角度一：求线性目标函的最值1．(2016·全国丙卷)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋1≥0，x －2y －1≤0，x ≤1，则z ＝2x ＋3y －5的最小值为________．解析：画出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示．由题意可知，当直线y ＝－23x ＋53＋z3过点A时，z 取得最小值，联立⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋1＝0，x －2y －1＝0，解得A (－1，－1)，即z min ＝2×(－1)＋3×(－1)－5＝－10．答案：－10角度二：求非线性目标函的最值2．(2016·江苏高考)已知实x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋4≥0，2x ＋y －2≥0，3x －y －3≤0，则x 2＋y 2的取值范围是________．解析：根据已知的不等式组画出可行域，如图阴影部分所示，则(x ，y )为阴影区域内的动点．d ＝x 2＋y 2可以看做坐标原点O 与可行域内的点(x ，y )之间的距离．形结合，知d 的最大值是OA 的长，d的最小值是点O 到直线2x ＋y －2＝0的距离．由⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋4＝0，3x －y －3＝0可得A (2,3)，所以d max ＝22＋32＝13，d min ＝|－2|22＋12＝25． 所以d 2的最小值为45，最大值为13．所以x 2＋y2的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤45，13．答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤45，13角度三：线性规划中的参问题3．(2017·郑州质检)已知x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≥2，x ＋y ≤4，2x －y －m ≤0.若目标函z ＝3x ＋y 的最大值为10，则z 的最小值为________．解析：画出不等式组表示的区域，如图中阴影部分所示，作直线l ：3x ＋y ＝0，平移l ，从而可知经过C 点时z取到最大值，由⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y ＝10，x ＋y ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝1，∴2×3－1－m ＝0，m ＝5．由图知，平移l 经过B 点时，z 最小，∴当x ＝2，y ＝2×2－5＝－1时，z 最小，z min ＝3×2－1＝5． 答案：51．求目标函的最值3步骤(1)作图——画出约束条件所确定的平面区域和目标函所表示的平行直线系中过原点的那一条直线；(2)平移——将l 平行移动，以确定最优解的对应点的位置； (3)求值——解方程组求出对应点坐标(即最优解)，代入目标函，即可求出最值．2．常见的3类目标函 (1)截距型：形如z ＝ax ＋by ．求这类目标函的最值常将函z ＝ax ＋by 转为直线的斜截式：y ＝－ab x ＋z b ，通过求直线的截距z b的最值间接求出z 的最值．(2)距离型：形如z ＝(x －a )2＋(y －b )2．(3)斜率型：形如z ＝y －bx －a．注意转的等价性及几何意义．1．(2017·海口调研)已知实x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，x ＋y －4≥0，4x －y －4≤0.则z＝3x －y 的取值范围为( )A ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，125 B ．C ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤2，125D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤2，83解析：选A 画出题中的不等式组表示的平面区域(阴影部分)及直线3x －y ＝0，平移该直线，平移到经过该平面区域内的点A (1,3)(该点是直线x －y ＋2＝0与x ＋y －4＝0的交点)时，相应直线在x 轴上的截距达到最小，此时z ＝3x －y 取得最小值3×1－3＝0；平移到经过该平面区域内的点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫85，125(该点是直线4x －y－4＝0与x ＋y －4＝0的交点)时，相应直线在x 轴上的截距达到最大，此时z ＝3x －y 取得最大值3×85－125＝125，因此z 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，125，选A ．2．(2017·合肥质检)已知实x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x －3y －1≤0，x ≤1.若z ＝kx －y 的最小值为－5，则实k 的值为( )A ．－3B ．3或－5C ．－3或－5D ．±3解析：选D 不等式组对应的平面区域是以点(1,2)，(1,0)和(－2，－1)为顶点的三角形及其内部，当z 取得最小值时，直线y ＝kx －z 在y 轴上的截距最大，当k ≤1时，目标函直线经过点(1,2)时，z min ＝k －2＝－5，k ＝－3适合；当k ＞1时，目标函直线经过点(－2，－1)时，z min ＝－2k ＋1＝－5，k ＝3适合，故k ＝±3，选项D 正确．3．(2016·山西质检)设实x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －2≤0，x －y ＋1≥0，x －2y －1≤0.则y －1x －1的最小值是________．解析：如图所示，画出不等式组所表示的可行域，而y －1x －1表示区域内一点(x ，y )与点D (1,1)连线的斜率， ∴当x ＝13，y ＝43时，y －1x －1有最小值为－12．答案：－12考点三 线性规划的实际应用重点保分型考点——师生共研(2016·全国乙卷)某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A 需要甲材料1．5 kg ，乙材料1 kg ，用5个工时；生产一件产品B 需要甲材料0．5 kg ，乙材料0．3 kg ，用3个工时．生产一件产品A 的利润为2 100元，生产一件产品B 的利润为900 元．该企业现有甲材料150 kg ，乙材料90 kg ，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为________元．解析：设生产A 产品x 件，B 产品y 件，由已知可得约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧1.5x ＋0.5y ≤150，x ＋0.3y ≤90，5x ＋3y ≤600，x ∈N ，y ∈N.即⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y ≤300，10x ＋3y ≤900，5x ＋3y ≤600，x ∈N ，y ∈N.目标函为z ＝2 100x ＋900y ，由约束条件作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分．作直线2 100x ＋900y ＝0，即7x ＋3y ＝0，当直线经过点M 时，z取得最大值，联立⎩⎪⎨⎪⎧10x ＋3y ＝900，5x ＋3y ＝600，解得M (60,100)．则z max ＝2 100×60＋900×100＝216 000(元)． 答案：216 0001．解线性规划应用题3步骤(1)转——设元，写出约束条件和目标函，从而将实际问题转为线性规划问题；(2)求解——解这个纯学的线性规划问题；(3)作答——将学问题的答案还原为实际问题的答案． 2．求解线性规划应用题的3个注意点(1)明确问题中的所有约束条件，并根据题意判断约束条件是否能够取到等号．(2)注意结合实际问题的实际意义，判断所设未知x ，y 的取值范围，特别注意分析x ，y 是否是整、是否是非负等．(3)正确地写出目标函，一般地，目标函是等式的形式．某旅行社租用A ，B 两种型号的客车安排900名客人旅行，A ，B 两种车辆的载客量分别为36人和60人，租金分别为1 600元/辆和2 400元/辆，旅行社要求租车总不超过21辆，且B 型车不多于A 型车7辆，则租金最少为( )A ．31 200元B ．36 000元C ．36 800元D ．38 400元解析：选C 设旅行社租用A 型客车x 辆，B 型客车y 辆，租金为z ，则线性约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤21，y －x ≤7，36x ＋60y ≥900，x ，y ∈N.目标函为z ＝1 600x ＋2 400y ．画出可行域如图中阴影部分所示，可知目标函过点N (5,12)时，有最小值z min ＝36 800(元)．一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋3y ≥4，3x ＋y ≤4所表示的平面区域的面积等于( )A ．32B ．23C ．43D ．34解析：选C 平面区域如图所示．解⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y ＝4，3x ＋y ＝4.得A (1,1)，易得B (0,4)，C ⎝⎛⎭⎪⎫0，43，|BC |＝4－43＝83．所以S △ABC ＝12×83×1＝43．2．不等式(x －2y ＋1)(x ＋y －3)≤0在坐标平面内表示的区域(用阴影部分表示)应是()解析：选C (x －2y ＋1)(x ＋y －3)≤0⇔⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1≥0，x ＋y －3≤0或⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1≤0，x ＋y －3≥0.画出图形可知选C ．3．(2016·四川德阳月考)设变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x ＋y －3≥0，2x －y －3≤0，则目标函z ＝2x ＋3y 的最大值为( )A ．7B ．8C ．22D ．23解析：选D由约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x ＋y －3≥0，2x －y －3≤0作出可行域如图中阴影部分，由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1＝0，2x －y －3＝0解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝5，则B (4,5)，将目标函z ＝2x ＋3y 变形为y ＝－23x ＋z3．由图可知，当直线y ＝－23x ＋z3过B 时，直线在y 轴上的截距最大，此时z 取最大值，为2×4＋3×5＝23．4．点(－2，t )在直线2x －3y ＋6＝0的上方，则t 的取值范围是________．解析：因为直线2x －3y ＋6＝0的上方区域可以用不等式2x －3y ＋6＜0表示，所以由点(－2，t )在直线2x －3y ＋6＝0的上方得－4－3t ＋6＜0，解得t ＞23．答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫23，＋∞5．(2017·昆明七校调研)已知实x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋5≥0，x ≤4，x ＋y ≥0.则z ＝x ＋3y 的最小值为________．解析：依题意，在坐标平面内画出不等式组表示的平面区域及直线x ＋3y ＝0，如图，平移直线y ＝－x3，当直线经过点(4，－4)时，在y 轴上的截距达到最小，此时z ＝x ＋3y 取得最小值4＋3×(－4)＝－8．答案：－8二保高考，全练题型做到高考达标1．(2015·福建高考)若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≥0，x －y ≤0，x －2y ＋2≥0，则z ＝2x －y 的最小值等于( )A ．－52B ．－2C ．－32D ．2解析：选A 作可行域如图，由图可知，当直线z ＝2x －y 过点A 时，z 值最小．由⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋2＝0，x ＋2y ＝0得点A ⎝⎛⎭⎪⎫－1，12，z min ＝2×(－1)－12＝－52．2．设动点P (x ，y )在区域Ω：⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥x ，x ＋y ≤4上，过点P 任作直线l ，设直线l 与区域Ω的公共部分为线段AB ，则以AB 为直径的圆的面积的最大值为( )A ．πB ．2πC ．3πD ．4π解析：选 D 作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示，则根据图形可知，以AB 为直径的圆的面积的最大值S ＝π×⎝ ⎛⎭⎪⎫422＝4π．3．(2016·浙江高考)在平面上，过点P 作直线l 的垂线所得的垂足称为点P 在直线l 上的投影．由区域⎩⎪⎨⎪⎧x －2≤0，x ＋y ≥0，x －3y ＋4≥0中的点在直线x ＋y －2＝0上的投影构成的线段记为AB ，则|AB |＝( )A ．2 2B ．4C ．3 2D ．6解析：选C 作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，过点C ，D 分别作直线x ＋y －2＝0的垂线，垂足分别为A ，B ，则四边形ABDC 为矩形，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，x ＋y ＝0得C (2，－2)．由⎩⎪⎨⎪⎧x －3y ＋4＝0，x ＋y ＝0得D (－1,1)． 所以|AB |＝|CD |＝＋12＋－2－2＝32．故选C ．4．(2017·湖南东部六校联考)实x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≥a ，y ≥x ，x ＋y ≤2(a ＜1)，且z ＝2x ＋y 的最大值是最小值的4倍，则a 的值是( )A ．211B ．14C ．12D ．112解析：选B 如图所示，平移直线2x ＋y ＝0，可知在点A (a ，a )处z 取最小值，即z min ＝3a ，在点B (1,1)处z 取最大值，即z max ＝3，所以12a ＝3，即a ＝14．5．某农户计划种植黄瓜和韭菜，种植面积不超过50亩，投入资金不超过54万元，假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表)最大，那么黄瓜和韭菜的种植面积(单位：亩)分别为( ) A．50,0 B．30,20C．20,30 D．0,50解析：选B 设黄瓜、韭菜的种植面积分别为x，y亩，则总利润z＝4×0．55x＋6×0．3y－1．2x－0．9y＝x＋0．9y．此时x，y满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x＋y≤50，1.2x＋0.9y≤54，x≥0，y≥0.画出可行域如图，得最优解为A(30,20)．6．若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x－y＋3≥0，x＋y≥a，x≤2.表示的区域为一个三角形，则实a的取值范围为________．解析：不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋3≥0，x ≤2表示的区域如图所示． 易求得A (2,5)． 画出直线l ：x ＋y ＝a ． 由题意及图可得a ＜7． 答案：(－∞，7)7．(2017·河南六市联考)已知实x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≥1，y ≤2x －1，x ＋y ≤m .如果目标函z ＝x －y 的最小值为－1，则实m ＝________．解析：画出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示，作直线l ：y ＝x ，平移l 可知，当直线l 经过A 时符合题意，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －1，x －y ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝3.又A (2,3)在直线x ＋y ＝m 上，∴m＝5．答案：58．(2017·西安质检)若变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧|x |＋|y |≤1，xy ≥0，则2x＋y 的取值范围为________．解析：作出满足不等式组的平面区域，如图中阴影部分所示，平移直线2x ＋y ＝0，经过点(1,0)时，2x ＋y 取得最大值2×1＋0＝2，经过点(－1,0)时，2x ＋y 取得最小值2×(－1)＋0＝－2，所以2x ＋y 的取值范围为．答案：9．已知D 是以点A (4,1)，B (－1，－6)，C (－3,2)为顶点的三角形区域(包括边界与内部)．如图所示． (1)写出表示区域D 的不等式组．(2)设点B (－1，－6)，C (－3,2)在直线4x －3y －a ＝0的异侧，求a 的取值范围．解：(1)直线AB ，AC ，BC 的方程分别为7x －5y －23＝0，x ＋7y －11＝0,4x ＋y ＋10＝0．原点(0,0)在区域D 内，故表示区域D 的不等式组为⎩⎪⎨⎪⎧7x －5y －23≤0，x ＋7y －11≤0，4x ＋y ＋10≥0.(2)根据题意有 ＜0，即(14－a )(－18－a )＜0， 解得－18＜a ＜14．故a 的取值范围是(－18,14)．10．若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥1，x －y ≥－1，2x －y ≤2.(1)求目标函z ＝12x －y ＋12的最值；(2)若目标函z ＝ax ＋2y 仅在点(1,0)处取得最小值，求a 的取值范围．解：(1)作出可行域如图，可求得A (3,4)，B (0,1)，C (1,0)．平移初始直线12x －y ＋12＝0，过A (3,4)取最小值－2，过C (1,0)取最大值1． 所以z 的最大值为1， 最小值为－2．(2)直线ax ＋2y ＝z 仅在点(1,0)处取得最小值，由图象可知－1＜－a2＜2，解得－4＜a ＜2．故所求a 的取值范围为(－4,2)． 三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．(2016·通一模)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，x 3a ＋y4a ≤1，若z ＝x ＋2y ＋3x ＋1的最小值为32，则a 的值为________．解析：∵x ＋2y ＋3x ＋1＝1＋y ＋x ＋1，而y ＋1x ＋1表示过点(x ，y )与(－1，－1)连线的斜率， 易知a >0，作出可行域如图所示，由题意知y ＋1x ＋1的最小值是14，即⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋1x ＋1min ＝0－－3a －－＝13a ＋1＝14⇒a ＝1．答案：12．(2016·天津高考)某肥厂生产甲、乙两种混合肥料，需要A，B，C三种主要原料．生产1车皮甲种肥料和生产1车皮乙种肥料所需三种原料的吨如下表所示：现有A种原料种原料300吨．在此基础上生产甲、乙两种肥料．已知生产1车皮甲种肥料，产生的利润为2万元；生产1车皮乙种肥料，产生的利润为3万元．分别用x，y表示计划生产甲、乙两种肥料的车皮．(1)用x，y列出满足生产条件的学关系式，并画出相应的平面区域；(2)问分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大的利润？并求出此最大利润．解：(1)由已知，x，y满足的学关系式为⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋5y ≤200，8x ＋5y ≤360，3x ＋10y ≤300，x ≥0，y ≥0.该二元一次不等式组所表示的平面区域为图①中的阴影部分． (2)设利润为z 万元，则目标函为z ＝2x ＋3y ．考虑z ＝2x ＋3y ，将它变形为y ＝－23x ＋z3，它的图象是斜率为－23，随z 变的一族平行直线，z3为直线在y 轴上的截距，当z3取最大值时，z 的值最大．根据x ，y 满足的约束条件，由图②可知，当直线z ＝2x ＋3y 经过可行域上的点M 时，截距z3最大，即z 最大．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋5y ＝200，3x ＋10y ＝300，得点M 的坐标为(20,24)，所以z max ＝2×20＋3×24＝112．答：生产甲种肥料20车皮，乙种肥料24车皮时利润最大，且最大利润为112万元．第四节基本不等式1．基本不等式ab ≤a ＋b2(1)基本不等式成立的条件：a >0，b >0． (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b ． 2．几个重要的不等式(1)a 2＋b 2≥ 2ab (a ，b ∈R)；(2)b a ＋ab≥2(a ，b 同号)；(3)ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22(a ，b ∈R)；(4)⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22≤a 2＋b 22(a ，b ∈R)． 3．算术平均与几何平均设a ＞0，b >0，则a ，b 的算术平均为a ＋b2，几何平均为ab ，基本不等式可叙述为：两个正的算术平均不小于它们的几何平均．4．利用基本不等式求最值问题 已知x >0，y >0，则(1)如果xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是2p (简记：积定和最小)．(2)如果x ＋y 是定值q ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是q 24(简记：和定积最大)．1．(教材习题改编)设x ，y ∈R ＋，且x ＋y ＝18，则xy 的最大值。

题组一刷真题 角度1 .. 2 1. B ［解析］因为 A={x|x -X-2>0}={x|x> 2 或 x<-1}，所以?R A={X \- 1 < x < 2}.22. D ［解析］由 4-x > 0得-2W x <2,所以 A={x|- 2<x <2};由 1 -x>0 得 x<1 所以 B={x|x< 1}.故 A n B={x|- 2<x<1}，故选 D.角度23. C ［解析］可行域如图所示，2 2得 由图可知，当圆x+y =z 过点(3,-1)时,z 取得最大值，即2 2 2 — (x +y ) max =3 + - =10.4.3 ［解析］-的几何意义为点(x,y)与坐标原点连线的斜率.画岀可行域，如图中阴影部分所示由 得 C(1,3),由题易知可行域上的C 点与坐标原点连线的斜率最大，且最大值为3.5.6 ［解析］约束条件表示的可行域如图中阴影部分所示，当目标函数线z=3x+2y 经过可行域中的点A(2,0)时，目标函数z 取得最大值，所以Z ma =3X 2+2X 0=6.小题必刷卷(九)2 2 设z=x +y ，联立目标函数为z=2100x+900y.作岀二元一次不等式组表示的平面区域为图中阴影部分内(包括边界)的整点，即可行域.由图可知当直线z=2100x+900y经过点M时,z取得最大值.解方程组得M的坐标为(60,100),所以当x=60,y=100 时,z ma=2100X 60+900 X 100=216 000 .角度37. B ［解析］利用特殊值法检验排除，当a=2,b二时，选项ACD对应的不等式不成立，故选B.8. - ［解析］由已知得a-3b=-6，由基本不等式得2a—> 2 -―二,当且仅当a=-3,b=1时取等号9. 一［解析］由题意得x?y+(2y)?x=— _—= -------------- =-+—>2 -—= 一,当且仅当x= _y时，等号成立.角度410. -n(n+1)［解析］第一个等式中，1=一,2—第二个等式中，2=—,3 —;第三个等式中，3「,4—.由此可推得第n个等式等于- X ——-X -------------- dn(n+1).角度511. D ［解析］由于甲不知道自己的成绩，故乙、丙的成绩中一个为优秀、一个为良好，所以丁看到甲的成绩后一定能断定自己的成绩乙看到丙的成绩后可以知道自己的成绩.故选D题组二刷模拟212. D ［解析］因为 A=x| log 2X<2}={x| 0<x<4},B={x|x - 2x-3>0}={x|x> 3 或 x<-1}，所以?R A={X |X < 0 或 x > 4},所以(?R A)Q B={x|x<- 1 或 x > 4},故选 D13. D ［解析］已知一JV O,当 c<0 时，-〉->0,即 b>a>0,.・.> ,ac>bc,>0 成立，此时 0匕<1,二 ln_<0,同理当c>0时也可得只有D 错误，故选D. 14. A ［解析］由⑶,(4河知，乙参加了铅球比赛，由⑵可知乙不是最高的，所以三人中乙身高居中；再由⑴ 可知，甲是最矮的 渗加了跳远比赛，所以丙最高，参加了跑步比赛.故选A15. C ［解析］画岀不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示 .由z=3x+y 可得y=- 3x+z,平移直线 y=-3x+z,结合图形可得,当直线y=-3x+z 经过可行域内的点A 时,直线在y 轴上的截距最小，此时z 取得解得 故点A 的坐标为-- -,「.z min =3X -- +-=-3,故选C16. C ［解析］作岀约束条件所表示的可行域，如图所示，直线y=a(x+1)经过点(-1,0),而经过(-1,0),(0,2)两 点的直线的斜率为2,所以要使得“? x,y D,y <a(x+1)”成立，则a >2,所以实数a 的最小值是2,故选C.17. B ［解析］由 x>0,y>0,z>0得,x+y+z=x+(y+z)=［x+(y+z)］ — - =5+一+一 > 5+2 一 一=9,当且 仅当x=3,y+z=6时等号成立，故选B.J5y ■ \/ 、 4y7——i ---------- i -------- L .事 —Z-4! 3 4 5 最小值.由18. B ［解析］由约束条件画岀可行域如图所示，又z= = —x+y,所以当直线为DC时,z取最大值,Z max=io.即_x+y=10(1< y <4),所以3x +y =(10-y ) +y =2y - 2 0y+100(1 <y<4),当y=1 时,取最大值82, 当y=4时，取最小值52所以82-52=30，故选B.2 2 2 2 2 2 2 219. 322 ［解析］由T3,T4,T5归纳得岀T n=_［(i+2+・・+ n) - (1 +2+-+n )］,则T= X ［28-(1 +2 +-+7 )］.2 2 2又〔+2+・・・+7 二X 7X 8X 15=140, •••T7二X (784- 140)=322.20. 4 ［解析］因为等比数列的各项都为正数所以a2017a2019= =-,—— +——> 2 =4,当且仅当2a2017=a2019=1时，等号成立.21. 1+——［解析］设n条线段将圆最多分割成的部分数组成数列{a n},则n=1,a1=1 + 1, n=2,a2=a1+2,n= 3,a3=a2+3, n=4耳=&+4,…，归纳可得,a n=a n-1+n,以上式子相加整理得a n=1+1+2+3+-+n=1+ ------ ，故答案为1+ ----- .22. 32 n ［解析］由条件可得r=2，用任意一个与y轴垂直的平面截这两个旋转体，设截面与原点的距离2 2为h,则所得截面S=n (16-4h),S2=n (16-h )- n ［4-(h-2)］ = n (16-4h),所以S=S2,由祖暅原理可得VZ.又匕=一n X 4 X ----- n X 2 =32 n，所以V1=32 n .。