正比例函数图像和性质

正比例函数的性质正比例函数是数学中一种重要的函数类型。

它具有明确的性质和特征，被广泛地应用于各种实际问题的建模和解决。

本文将详细介绍正比例函数的定义、图像、性质以及应用等方面，以帮助读者更好地理解和运用正比例函数。

一、定义正比例函数是指函数的变化规律与自变量的取值成比例关系的函数。

具体而言，若函数y是自变量x的正比例函数，则存在一个常数k，使得对于任意实数x，y满足以下关系式：y = kx其中，k称为正比例系数，表示y与x之间的比例关系。

正比例函数的定义域为实数集合R，值域为实数集合R。

二、图像正比例函数的图像通常表现为一条通过原点的直线。

这是因为当x取0时，y也为0，即函数通过原点(0, 0)。

而且由于函数的性质，不会出现拐点或者折线等情况。

图像的斜率表示了正比例系数k的大小，斜率越大，说明变化的速度越快。

三、性质1. 方程形式简单明确：正比例函数的方程形式为y = kx，可以轻松地表示函数的关系。

2. 通过原点：正比例函数通过原点(0, 0)，这是因为当自变量取0时，因变量也为0。

3. 一一对应关系：正比例函数在定义域内具有一一对应的关系，即任意一个自变量只对应一个因变量。

4. 和自变量同向增减：当自变量x增大时，因变量y也随之增大；自变量x减小时，因变量y也减小。

5. 斜率恒定：正比例函数的斜率为常数k，这意味着函数图像是一条直线且直线的斜率恒定。

四、应用正比例函数在实际生活中有着广泛的应用。

以下列举了三个典型的应用场景。

1. 比例关系计算：正比例函数可用于处理各类比例关系问题，例如货币兑换、单位换算等。

通过确定正比例系数，可以准确地计算出不同单位之间的换算关系。

2. 科学实验分析：在科学实验中，正比例函数可以用来描述变量之间的关系。

例如温度和体积的关系、时间和距离的关系等。

根据已知的数据，通过绘制出函数图像，可以推断未知数据的变化规律。

3. 经济增长模型：在经济学中，正比例函数被广泛应用于经济增长模型的构建和分析中。

第16讲 正比例函数的图像及性质【学习目标】正比例函数的图像及性质是八年级数学上学期第三章第二节内容，主要对正比例函数的图像及性质进行讲解，重点是对正比例函数的性质的理解，难点是正比例函数表达式的归纳总结．通过这节课的学习为我们后期学习正比例函数的应用提供依据．【基础知识】一、正比例函数的图像1.一般地，正比例函数y kx =(k 是常数, 0k ≠)的图象是经过，这两点的一条直线，我们把正比例函数y kx =的图象叫做直线y kx =；2.图像画法：列表、描点、连线． 二、正比例函数的性质：（1） 当0k >时，正比例函数的图像经过第一、三象限；自变量x 的值逐渐增大时，y 的值 也随着逐渐增大．（2） 当0k <时，正比例函数的图像经过第一、三象限；自变量x 的值逐渐增大时，y 的值则随着逐渐减小．【考点剖析】考点一：正比例函数的图像例1．已知正比例函数2y x =．列表：取自变量x 的一些值，根据正比例函数的解析式，填写下表．x…… 1.5- -1 0.5- 0 0.5 1 1.5 2 …… 2y x =……-4-3 -2-1 01 234……描点：分别以所取x 的值和相应函数值作为点的横坐标和纵坐标，描出相应点． 连线：用光滑的曲线（包括直线）把描出的点按照横坐标由小到大的顺序连接． 【难度】★【解析】考查正比例函数图像的画法．例2．在同一直角坐标平面内画出下列函数图像．（1）4y x =；（2）14y x =；（3）32y x =-；（4）32y x =．【难度】★【解析】考查正比例函数图像的画法．例3．函数15y x =-的图像是经过点________、________的________．【难度】★【答案】，，一条直线．【解析】考查正比例函数图像的特点．例4．（1）正比例函数y kx =的图像是____________，它一定经过点_______和_______．（2）函数y kx =的图像经过点1(5)2A -，，写出函数解析式，并说明函数图像经过哪几个象限？ 【难度】★★【答案】（1）一条直线，，； （2）x y 10-=，经过二、四象限．【解析】考查正比例函数解析式的解法和图像性质．例5．已知2y -与x 成正比例，且x =2时，y =4； （1）求y 与x 之间的函数关系式；（2）若点(m ，2m +7)，在这个函数的图象上，求m 的值．【难度】★★【答案】（1）2+=x y ；（2）-5．【解析】（1）设kx y =-2，将x =2时，y =4代入其中可得：1=k ，则2+=x y ；（2）点(m ，2m +7)在这个函数的图象上，则272+=+m m ，解得：5-=m ．【总结】本题一方面考查利用待定系数法求函数解析式，另一方面考查根据函数解析式求函数值或者是自变量的值．例6．已知正比例函数图像上的一点到x 轴距离与到y 轴距离之比为1:2，则此正比例函数的解析式是________________． 【难度】★★【答案】x y 21=或x y 21-=． 【解析】由题意可知，该点的横坐标的绝对值是纵坐标绝对值的两倍，然后再求解析式． 【总结】注意距离需要分正负．例7．如果正比例函数的图像经过点(24)-，，说明是否在这个图像上，并作出该正比例函数的图像．【难度】★★【答案】x y 2-=，不在这个图像上，图像略．【解析】设正比例函数解析式为，将点(24)-，代入，可得：2k =-，所以该正 比例函数的解析式为x y 2-=．当4x =-时，，所以点不在该函数的图像上．【总结】考查正比例函数解析式的求法、图像的画法．例8．已知函数2(2)21y t x t =-+-,当t 为何值时该函数图像经过原点？此时函数解析式是什么？【难度】★★ 【答案】21=t ；x y 47-=．【解析】函数2(2)21y t x t =-+-经过原点，则012=-t ，解得：21=t ．代入表达式中可得，函数解析式为：x y 47-=．【总结】本题主要考查正比例函数的概念．例9．一个正比例函数的图像经过点A ，B ，求a 的值．【难度】★★【答案】41-=a ．【解析】设正比例函数的解析式为， ∵图像经过点A ， ∴3=-k ，则3-=k ． ∵图像经过点B ，∴a a 31=--，则41-=a ．【总结】本题一方面考查利用待定系数法求正比例函数的解析式，另一方面考查利用解析式求图像上点的坐标．考点二：正比例函数的性质：例1．直线经过一、三象限，则m ________．【难度】★【答案】2<m ．【解析】考查的图像经过一、三象限．例2．已知正比例函数的图像经过第二、四象限，求k 的取值范围．【难度】★ 【答案】25>k ． 【解析】由题意，可得：520k -<，解得：25>k ． 【总结】考查的图像经过二、四象限．例3．若正比例函数(3)y m x =-，y 的值随x 的增大而减小，则m _______．【难度】★ 【答案】3<m ．【解析】由题意，可得：30m -<，解得：3m <． 【总结】考查的图像性质y 的值随x 的增大而减小．例4．(3)y x π=-图像经过_______象限，y 的值随x 的值增大而_______．【难度】★【答案】一、三；增大．【解析】由题意，可得：30π->，所以图像过一、三象限． 【总结】考查的图像y 的值随x 的增大而增大．例5．当a =_______时，2(3)(9)y a x a =-+-是正比例函数，图像经过第______象限．【难度】★ 【答案】；二、四．【解析】因为正比例函数，所以，解得：3a =-，所以图像过二、四象限． 【总结】考查的图像y 的值随x 的增大而减小．例6．已知点（11,x y ），（22,x y ）在正比例函数()2y k x =-的图像上，当12x x >时，12y y <，那么k 的取值范围是多少？ 【难度】★★ 【答案】2<k ．【解析】当12x x >时，12y y <，可以理解成y 的值随x 的增大而减小． 【总结】本题主要考查正比例函数图像的性质．例7．已知正比例函数25(3)mm y m x +-=+，那么它的图像经过____________象限．【难度】★★ 【答案】一、三．【解析】∵152=-+m m ，∴3-=m 或2=m ，又∵03≠+m ，∴2=m ．∴图像过一、三 象限． 【总结】本题主要考查正比例函数的概念及图像的性质．例8．正比例函数2mmy mx +=的图像经过第一、三象限，求m 的值．【难度】★★ 【答案】．【解析】由题意，可得：12=+m m ，则251±-=m ． ∵正比例函数2m my mx +=的图像经过第一、三象限，∴0>m ，∴215-=m ． 【总结】本题主要考查正比例函数的概念及图像的性质．例9．已知0mn <，那么函数my x n =经过______象限，y 的值随x 的值增大而______．【难度】★★【答案】二、四；减小．【解析】∵0mn <，∴，所以图像过二、四象限，并且y 的值随x 的值增大而减小． 【总结】考查的图像y 的值随x 的增大而减小．例10．函数()2(2)2k y k x -=-是正比例函数，且y 的值随着x 的减小而增大，求k 的值．【难度】★★ 【答案】1．【解析】由题意，可得：()122=-k ，则3=k 或1=k ．∵y 的值随着x 的减小而增大，∴02<-k ，∴1=k ．【总结】本题主要考查正比例函数的概念及图像的性质．例11．如果正比例函数y kx =的自变量增加5，函数值减少2，那么当3x =时，y =_______．【难度】★★【答案】56-．【解析】∵正比例函数y kx =的自变量增加5，函数值减少2，∴52-=k∴正比例函数解析式为x y 52-=．∴当3x =时，26355y =-⨯=-．【总结】本题主要考查正比例函数的概念及图像的性质．例12．（1）已知y ax =是经过第二、四象限的直线，且3a +在实数范围内有意义， 求a 的取值范围；（2）已知函数的值随自变量x 的值增大而增大，且函数的值随自变量x 的增大而减小，求m 的取值范围． 【难度】★★【答案】（1）03<≤-a ；（2）3121-<<-m ． 【解析】（1）由题意，可得：，所以；（2）由题意，可得：，解得：，所以1123m -<<-．【总结】考查正比例函数图像的性质．例13．正比例函数()41y m x =-的图像经过点11(,)A x y 和22(,)B x y ，且该图像经过第 二、四象限．(1)求m 的取值范围；(2)当12x x >时，比较1y 与2y 的大小，并说明理由．【难度】★★ 【答案】（1）41<m ；（2）1y 2y <，正比例函数y 的值随着x 的增大而减小． 【解析】考查正比例函数图像的变化情况．【过关检测】一、填空题1．（2020·上海市静安区实验中学八年级课时练习）已知正比例函数的图像过点（3，2），（a ，6），则a 的值＝_________． 【答案】9【分析】先根据点（3，2）坐标求出正比例函数解析式，再把点（a ，6）代入解析式，即可求解． 【详解】解：设正比例函数解析式为y=kx （k≠0）， ∵正比例函数的图像过点（3，2）， ∴3k=2， ∴k=23， ∴正比例函数解析式是23y x =，再把x=a ，y=6代入23y x =得， 263a =， 解得a =9． 故答案为：9【点睛】本题考查了待定系数法求正比例函数和已知正比例函数求字母的值，根据待定系数法求出正比例函数解析式是解题关键．2．（2019·上海凉城第二中学八年级月考）若正比例函数()231my m x-=-的图像经过一、三象限，则函数解析式是_______________. 【答案】y x =.【分析】根据正比例函数的定义和图像所经过的象限即可求出m ，从而求出函数解析式. 【详解】解：∵正比例函数()231m y m x -=-的图像经过一、三象限，∴解得：2m =∴函数解析式是y x =. 故答案为：y x =.【点睛】此题考查的是求正比例函数的解析式，掌握正比例函数的定义和图像所经过的象限与比例系数的关系是解决此题的关键.3．（2020·上海市位育实验学校八年级月考）已知直线y kx =（k≠0）,当直线与x 轴正半轴夹角为30º时，直线解析式是____________ 【答案】y=x.【分析】依题意作图，根据含30°的直角三角形的特点设AO=2a ，得到故求出A 点坐标，再代入解析式即可求解.【详解】如图，AB ⊥x 轴，设OA=2a,∵∠AOB=30°，∴=∴A ，a ）代入y kx =，即∴直线解析式是y=x 故填：y=x.【点睛】此题主要考查正比例函数的解析式，解题的关键是熟知含30°的直角三角形的性质. 4．（2019·上海市西南模范中学）正比例函数3y x =-的图像经过_____象限. 【答案】二、四．【分析】由题目可知，该正比例函数过原点，且系数为负数，故函数图象过二、四象限． 【详解】由题意，y=-3x ， 可知函数过二、四象限． 故答案为：二、四．【点睛】此题主要考查了正比例函数的性质，同学们应熟练掌握根据函数式判断出函数图象的位置，这是考查重点内容之一．5．（2017·上海市青浦区金泽中学八年级期末）如果正比例函数的图象经过点（2，12），则正比例函数解析式是_____． 【答案】y ＝14x 【分析】设正比例函数解析式为y ＝kx （k ≠0），把经过的点的坐标代入解析式求出k 值，即可得解． 【详解】设正比例函数的解析式是y ＝kx （k ≠0），把（2，12）代入就得到：2k ＝12， 解得：k ＝14，因而这个函数的解析式为：y ＝14x ．故答案为：y ＝14x.【点睛】本题考查待定系数法求正比例函数解析式.6．（2020·上海八年级期中）已知正比例函数y kx =的图像经过点()4,3A -，则函数图像经过______象限． 【答案】第二、第四【分析】将点()4,3A -代入正比例函数解析式中，即可求出k 的值，再根据k 的符号即可得出结论． 【详解】解：将点()4,3A -代入y kx =中，得解得：34k =-∴正比例函数34y x =- ∵34-＜0 ∴函数图像经过第二、第四象限 故答案为：第二、第四．【点睛】本题考查的是正比例函数的性质，熟知利用待定系数法求正比例函数解析式是解答此题的关键． 7．（2020·上海八年级期中）已知正比例函数()21y a x =-，如果y 的值随着x 的值增大而减小，则a 的取值范围是______． 【答案】12a <【分析】根据正比例函数的性质可知关于a 的不等式，解出即可．【详解】解：∵正比例函数()21y a x =-，y 的值随着x 的值增大而减小， ∴21a -＜0 解得：12a <故答案为：12a <． 【点睛】此题考查的是正比例函数图象的性质，掌握正比例函数图象的性质：它是经过原点的一条直线．当k ＞0时，图象经过一、三象限，y 随x 的增大而增大；当k ＜0时，图象经过二、四象限，y 随x 的增大而减小，是解题关键．8．（2020·上海市静安区实验中学八年级课时练习）正比例函数()21y k x =+的图像经过第二、四象限，则k ______． 【答案】12k <-【分析】根据正比例函数经过象限，得到关于k 的不等式，解不等式即可求解． 【详解】解：∵正比例函数()21y k x =+的图像经过第二、四象限， ∴210k +<， 解得12k <-．故答案为：12k <-【点睛】本题考查了正比例函数的图象与性质，在正比例函数中当k>0时，图象经过第一、三象限，当k<0时，图象经过第二、四象限．9．（2020·上海市静安区实验中学八年级课时练习）函数y =的图像过点（b ，则b=________． 【答案】-1【分析】把点（b b ．【详解】解：∵函数y =的图像过点（b ∴， ∴b=-1． 故答案为：-1【点睛】本题考查了已知正比例函数解析式求点的坐标的参数，把点的坐标代入函数解析式是解题关键． 10．（2018·上海八年级期末）如果正比例函数y kx =的图像经过点(2-，6)，那么y 随x 的增大而______． 【答案】减小【分析】求出k 的值，根据k 的符号确定正比例函数的增减性． 【详解】解：∵正比例函数y kx =的图像经过点(2-，6)， ∴-2k =6， ∴k =-3，∴y 随x 的增大而减小． 故答案为：减小【点睛】本题考查了求正比例函数和正比例函数的性质，求出正比例系数k 的值是解题关键． 二、解答题11．（2020·上海市静安区实验中学八年级课时练习）已知y 与x 成正比例，且当x=12时， 求（1）y 关于x 的函数解析式？ （2）当y=-2时，x 的值？【答案】（1）y =；（2）2x =．【分析】（1）首先设反比例函数解析式为y ＝k x（k≠0），再把x=12时，y=k 的值，进（2）把y=-2代入函数解析式即可．【详解】（1）设，把x=12，12k ，∴k =故y 关于x 的函数解析式是y =．（2）把y=-2代入解析式y =中，得-2=，解得2x =-． 【点睛】此题主要考查了待定系数法求正比例函数解析式，关键是掌握正比例函数解析式的形式． 12．（2020·上海市静安区实验中学八年级课时练习）正比例函数的图像经过点P （-3，2）和Q （-m ，m-1 ），求m 的值．【答案】3【分析】图象经过点，即点的坐标符合图象解析式，据此解题，先用待定系数法设正比例函数解析式，再代入点坐标求m 的值即可．【详解】设正比例函数解析式为(0)y kx k =≠，因为正比例函数的图像过点P （-3，2），将点P 坐标代入得，23y x =- 再代入点Q 坐标，即把x=-m ，y=m-1代入23y x =-左右两边， 解得m=3．【点睛】本题考查正比例函数图象性质、待定系数法等知识，是典型考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．13．（2020·上海市格致初级中学八年级期中）已知点（2，﹣4）在正比例函数y ＝kx 的图象上． （1）求k 的值；（2）若点（﹣1，m ）也在此函数y ＝kx 的图象上，试求m 的值．【答案】（1）-2；（2）2【分析】（1）结合点（2，-4）在正比例函数y ＝kx 的图象上，根据正比例函数的性质，列方程并求解，即（2）根据（1）的结论，得到正比例函数的解析式；结合题意，通过计算即可得到答案．【详解】（1）∵点（2，-4）在正比例函数y＝kx的图象上∴-4＝2k解得：k＝-2；（2）结合（1）的结论得：正比例函数的解析式为y＝-2x∵点（-1，m）在函数y＝-2x的图象上∴当x＝-1时，m＝-2×（-1）＝2．【点睛】本题考查了正比例函数的知识；解题的关键是熟练掌握正比例函数、坐标的性质，从而完成求解．14．（2018·上海）已知y与x﹣1成正比例，且当x=3时，y=4．（1）求y与x之间的函数表达式；（2）当x=﹣1时，求y的值；（3）当﹣3＜y＜5时，求x的取值范围．【答案】（1）y=2x﹣2；（2）﹣4；（3）x的取值范围是﹣12＜x＜72．【分析】（1）利用正比例函数的定义，设y=k（x-1），然后把已知的一组对应值代入求出k即可得到y与x的关系式；（2）利用（1）中关系式求出自变量为-1时对应的函数值即可；（3）先求出函数值是-3和5时的自变量x的值，x的取值范围也就求出了．【详解】（1）设y=k（x﹣1），把x=3，y=4代入得（3﹣1）k=4，解得k=2，所以y=2（x﹣1），即y=2x﹣2；（2）当x=﹣1时，y=2×（﹣1）﹣2=﹣4；（3）当y=﹣3时，x﹣2=﹣3，解得：x=﹣12，当y=5时，2x﹣2=5，解得：x=72，∴x的取值范围是﹣12＜x＜72．【点睛】本题考查考查了待定系数法求一次函数解析式：先设出函数的一般形式，如求一次函数的解析式时，先设y=kx+b ；再将自变量x 的值及与它对应的函数值y 的值代入所设的解析式，得到关于待定系数的方程或方程组；然后解方程或方程组，求出待定系数的值，进而写出函数解析式．15．（2020·上海市静安区实验中学八年级课时练习）正比例函数23my mx -=的图象经过第一、三象限，求m 的值．【答案】2【分析】根据正比例函数的定义和图象经过象限得到关于m 的方程和m 的取值范围，即可求解．【详解】解：∵函数函数23my mx -=为正比例函数， ∴231m -=，∴2m =±，又∵正比例函数的图像经过第一、三象限，∴m ＞0，∴2m =【点睛】本题考查了正比例函数的定义和性质，注意正比例函数是一次函数，自变量次数为1，熟知正比例函数图象与性质是解题关键．。

函数的正比例知识点总结1. 定义和特点正比例函数是描述两个变量之间成正比关系的函数。

在正比例函数y=kx中，k被称为比例系数，表示y和x之间的比例关系。

当x增加时，y也随之增加；x减少时，y也随之减少。

因此，正比例函数的图象通常是一条通过原点的直线。

正比例函数的特点如下：- 通过原点：正比例函数的图像都通过原点(0,0)，因为当x=0时，y=0，即k*0=0。

- 一般形式：正比例函数的一般形式为y=kx，其中k为常数。

- 方向一致：当x增加时，y也增加；x减少时，y也减少。

2. 图像和性质正比例函数的图像通常是一条通过原点的直线。

例如，y=2x和y=0.5x分别表示比例系数为2和0.5的正比例函数，它们的图像分别是一条斜率为2和斜率为0.5的直线。

正比例函数具有以下性质：- 斜率固定：正比例函数的图像的斜率即为比例系数k，表示y和x之间的比例关系。

- 通过原点：正比例函数的图像都通过原点(0,0)。

- 正相关性：x和y之间是正相关的，即当x增加时，y也增加；x减少时，y也减少。

3. 实际应用正比例函数在日常生活和科学领域中有着广泛的应用，如物理学、经济学、工程学等。

以下是一些实际应用的例子：- 距离和时间：当一个物体以匀速直线运动时，它的位移和时间成正比。

位移和时间之间的关系可以用正比例函数来描述，即位移=速度*时间。

- 价格和数量：在经济学中，价格和数量之间通常有着正比例的关系。

当商品的价格上涨时，消费者购买的数量通常会减少；反之亦然。

- 温度和压强：在物理学中，温度和气体的压强之间也通常成正比。

当温度上升时，气体的压强也会相应上升。

4. 解题方法解决正比例函数问题的关键是确定比例系数k。

一旦得到比例系数k，就可以轻松地求出任意x对应的y值，或者求出任意y对应的x值。

另外，当已知正比例函数经过一点时，可以使用此点的坐标和函数的一般形式来求出比例系数k。

5. 难点及解决方法在学习正比例函数时，学生可能会遇到以下难点：- 理解比例系数k的意义：学生可能对比例系数k的含义不够理解，认为它只是一个数字，缺少具体含义。

正比例函数、一次函数、反比例函数的性质及图象一、正比例函数性质和图象：概念：一般地，形如(k是常数，且k≠0 )的函数，叫做正比例函数。

当k＞0时，图象过象限； y随x的增大而。

当k＜0时,图象过象限； y随x的增大而。

：概念：一般地，形如y=kx+b(k，b是常数，且k≠0 )的函数，叫做一次函数。

图像和性质：①k>0,b>O,则图象过象限②k>0,b<0,则图象过象限当k＞0时， y随x的增大而。

③k<0,b>0,则图象过象限④k<0,b<0,则图象过象限当k＜0时, y随x的增大而。

三、反比例函数性质和图象：1.定义：形如（k为常数，k≠0）的函数称为反比例函数。

其他形式2.图像：反比例函数的图像是双曲线。

反比例函数的图象既是轴对称图形又是中心对称图形。

3.性质:当k＞0时双曲线的两支分别位于，在每个象限内y值随x值的增大而减小。

当k＜0时双曲线的两支分别位于，在每个象限内y 值随x值的增大而增大。

4.|k|的几何意义：表示反比例函数图像上的点向两坐标轴所作的垂线段与两坐标轴围成的矩形的面积。

练习题 1、若y =(m －1)x22m -是正比例函数，则m 的值为（ ） A 、1 B 、－1 C 、1或－1 D 、2或－2 2、下列函数中，一次函数为（ ）A 、25y x = B ．25y x =－1 C ．245y x = D ．25y x=-3、下列函数中，反比例函数是（ ）A 、y=x+1B 、y=C 、=1D 、3xy=24、正比例函数y=kx （k ≠0）函数值y 随x 的增大而增大，则y=kx+k 的图象大致是（ ）5、直线443--=x y 与两坐标轴围成的三角形面积是（ ） A 3 B 4 C 12 D 66、函数y 1=kx 和y 2=的图象如图，自变量x 的取值范围相同的是（ ）7、若点A(x 1,1)、B(x 2,2)、C(x 3,－3)在双曲线上，（ ）A 、x 1>x 2>x 3B 、x 1>x 3>x 2C 、x 3>x 2>x 1D 、x 3>x 1>x 28、已知一次函数y=ax+b 图象在一、二、三象限，则反比例函数y=的函数值随x 的增大而__________。

正比例函数知识点总结初中一、正比例函数的概念正比例函数是指函数的导数也是一个常数的函数，它的图象是一条通过原点的直线。

正比例函数的一般形式可以表示为y=kx，其中k是一个常数，称为比例系数。

当x增大时，y也随之增大，且它们之间的比值始终保持不变，这就是正比例函数的特点。

二、正比例函数的性质1. 正比例函数的图象是一条通过原点的直线，且斜率为k。

2. 正比例函数的导数恒为常数k。

3. 正比例函数与y轴平行，可以用y=kx表示。

4. 正比例函数的比例系数k决定了函数图象在坐标系中的倾斜程度和方向。

三、正比例函数的图象和性质分析1. 当k大于0时，正比例函数的图象向右上方倾斜；当k小于0时，图象向左下方倾斜。

2. 当k=0时，正比例函数的图象平行于x轴，函数的图象将是一条通过原点的水平直线。

3. 正比例函数的图象不会有拐点，因为它是一条直线。

四、正比例函数的应用1. 在现实生活中，许多问题可以用正比例函数来描述，比如速度和时间的关系、商品价格和数量的关系等。

2. 在数学学习中，正比例函数的性质可以帮助我们快速理解和求解一些数学问题。

3. 正比例函数也是其他函数的基础，通过研究与比例函数相似的函数，可以更好地理解其他类型的函数。

五、正比例函数的解题技巧1. 当给出一个问题时，首先要明确问题中涉及到的变量和它们之间的关系。

2. 根据问题中的已知条件，列出正比例函数的表达式，并通过图象或计算找出比例系数k。

3. 利用正比例函数的性质，解决问题。

4. 在实际问题中，要注意对函数图象的正确理解，避免出现计算错误。

六、常见错误及解决方法1. 误解正比例函数图象的性质，导致问题解法错误。

解决方法：加强对正比例函数图象特点的理解，多进行实例分析和练习。

2. 对正比例函数的比例系数k概念理解不清，导致计算错误。

解决方法：通过具体的实例及练习，加强对比例系数k的理解，掌握计算方法。

3. 在问题中容易混淆正比例函数和其他函数，导致问题解决错误。

正比例函数的总结正比例函数是数学中的一个重要概念，也是高中数学必学的内容之一。

在学习正比例函数时，我们需要掌握其定义、性质以及在实际生活中的应用。

本文将对正比例函数进行总结，希望能帮助读者更好地理解和应用正比例函数。

1. 正比例函数的定义正比例函数是指函数的函数图像是一条通过原点的直线。

具体地，设变量x和y之间存在着一种关系，若y与x成正比，即存在一个常数k（k≠0），使得y=kx，则称y是x的正比例函数。

正比例函数的数学表达式可以写为：y = kx，其中k为常数。

2. 正比例函数的性质正比例函数具有以下几个性质：•函数图像通过原点：正比例函数的特点是通过原点，即函数的纵截距为0。

•函数图像是直线：由于正比例函数通过原点，所以其函数图像是一条直线。

•斜率相等：对于不同的x值，函数的斜率保持不变。

•函数值的比例相等：对于正比例函数中的任意两个不等于0的x值，其对应的y值之间的比例保持不变。

3. 正比例函数的应用正比例函数在实际生活中有广泛的应用，以下是几个常见的例子：•速度与时间：当物体匀速运动时，速度与时间之间的关系满足正比例函数。

例如，在一辆以恒定速度行驶的汽车中，车速与行驶所花费的时间成正比。

•周长与半径：在一个圆中，周长与半径之间的关系是正比例函数。

根据圆的定义，周长等于半径乘以2π，因此当半径增加时，周长也会相应增加。

•距离与时间：当以恒定速度行驶的车辆中，行驶的距离与行驶所花费的时间成正比。

这可以用来计算两个地点之间的距离，以及行驶一段路程所需要的时间。

除了上述例子外，正比例函数还可以应用于许多其他领域，例如物理学、经济学等。

4. 总结正比例函数作为数学中的一个重要概念，在高中数学中被广泛学习和应用。

通过学习正比例函数，我们可以了解到正比例函数的定义与性质，并结合实际生活中的应用进行讨论。

正比例函数的定义非常简单，即y=kx，其中k为常数。

其函数图像是一条通过原点的直线，具有线性的特点。

正比例函数知识讲解
正比例函数的特点是，自变量x和因变量y成正比关系，当x的值增加时，y的值也随之增加。

斜率k表示了y每增加一个单位，x增加的单位数。

如果k是正数，则y随着x的增加而增加，如果k是负数，则y随着x的增加而减少。

1.定义：
2.斜率和截距：
在正比例函数 y = kx 中，斜率 k 表示了直线的倾斜程度。

斜率大于 0 时，曲线向上倾斜；斜率小于 0 时，曲线向下倾斜。

截距 b 表示函数图像与 y 轴的交点位置。

3.表示形式：
4.性质：
- 常数比例：对于一个给定的正比例函数 y = kx，k 是一个恒定的比例常数，即函数图像上任意两个点的斜率都相同。

-零值：正比例函数不包括(0,0)这个点，因为零值不属于定义域。

-相关变量：正比例函数中的两个变量是相关的，即当x值发生变化时，y值也会发生相应变化。

-数量比较：可以通过比较不同x值时y的大小来比较两个相关量的大小关系。

5.应用举例：
-资金计算：金融领域中的利息计算和复利计算都可以通过正比例函数进行建模。

-物理学：速度和时间、距离和时间之间的关系可以通过正比例函数进行描述。

-经济学：供求关系中的供应量和价格之间的关系可以用正比例函数表示。

-比例问题：在解决比例问题时，常常需要使用正比例函数来建立比例关系。

总结：
正比例函数是一种重要的数学函数，它的性质和应用非常广泛。

正比例函数能够帮助我们建立和描述各种实际生活中的关系，并进行数量上的比较和计算。

对于理解和应用正比例函数，我们需要掌握其基本定义、性质和应用场景，以及如何确定斜率和截距。

正比例与反比例函数的性质正比例函数和反比例函数是数学中常见的两种函数类型。

它们在数学和实际生活中都有着重要的应用。

本文将详细介绍正比例函数和反比例函数的性质，并探讨它们在不同领域的用途。

1. 正比例函数的性质正比例函数是指两个变量之间存在线性关系，其中一个变量的值是另一个变量的常数倍。

形式上，正比例函数可以表示为 y = kx，其中 k 是常数。

1.1 直线关系正比例函数的图像是一条直线，且经过原点。

这意味着函数中的变量之间的关系是直接的，一方增大，另一方也相应增大。

1.2 斜率正比例函数的斜率是常数 k。

斜率表示了函数的增长速率，正比例函数的斜率恒定。

1.3 比例常数比例常数 k 是正比例函数的一个重要特征。

它体现了两个变量之间的比例关系。

当 k > 1 时，随着 x 的增加，y 的增加幅度更大；当 0 < k < 1 时，随着 x 的增加，y 的增加幅度更小。

2. 反比例函数的性质反比例函数是指两个变量之间存在反比关系，其中一个变量的值是另一个变量的倒数。

形式上，反比例函数可以表示为 y = k / x，其中 k是常数。

2.1 反比例关系反比例函数的图像通常是一个超越原点的曲线。

这意味着函数中的变量之间的关系是间接的，一方增大，另一方相应减小。

2.2 渐近线反比例函数的图像具有渐近线，其中一条渐近线为横轴 (x 轴)，另一条渐近线为纵轴 (y 轴)。

这意味着当 x 趋近于正无穷大或负无穷大时，函数的值趋近于 0。

2.3 比例常数比例常数 k 是反比例函数的一个重要特征。

它体现了两个变量之间的反比关系。

当 k > 0 时，随着 x 的增加，y 的值减小；当 k < 0 时，随着 x 的增加，y 的值增大。

3. 应用领域正比例函数和反比例函数在各个领域都有广泛的应用。

3.1 正比例函数的应用正比例函数常常用于计算比例、比率和百分比。

在经济学中，正比例函数可以用于描述成本、收入和利润之间的关系。

正比例函数的性质和应用正比例函数是数学中常见并且有重要意义的一类函数，它描述了两个变量之间的线性关系。

在这篇文章中，我们将探讨正比例函数的性质以及其在现实生活中的应用。

一、正比例函数的定义和性质正比例函数的定义很简单：如果两个变量的比例始终保持不变，那么它们之间存在正比例关系。

数学表示为y=kx，其中k为比例常数，x 和y分别为两个变量。

正比例函数的图像是一条直线，通过原点。

正比例函数具有以下性质：1. 与x轴和y轴平行：因为正比例函数过原点，所以它与x轴和y轴平行。

2. 比例常数k的意义：比例常数k表示y和x之间的单位比例关系。

当k>0时，y随着x的增加而增加；当k<0时，y随着x的增加而减少。

3. 值域和定义域：正比例函数的定义域可以是整个实数集，而值域取决于k的符号。

当k>0时，值域为正实数集；当k<0时，值域为负实数集。

4. 与图像的斜率有关：正比例函数的斜率等于比例常数k。

当k>0时，斜率为正；当k<0时，斜率为负；当k=0时，斜率为零，即函数为常值函数。

二、正比例函数的应用正比例函数作为一种简单而常见的数学关系，在现实生活中有着广泛的应用。

1. 经济学中的应用：正比例函数经常用于描述供应和需求之间的关系。

例如，当商品的价格上涨，需求量往往下降，这可以用正比例函数来表示。

同样地，当商品的价格下降，需求量则往往上升。

2. 物理学中的应用：正比例函数在物理学中也是常见的。

例如，牛顿第二定律F=ma中的力和加速度的关系就是一个正比例函数。

力与质量和加速度之间存在着简单的线性关系，比例常数就是质量。

3. 工程学中的应用：正比例函数可以用于描述许多工程问题。

例如，电阻和电流之间的关系就是正比例的，电流是电压和电阻的商。

4. 金融学中的应用：正比例函数也有在金融学领域的应用。

例如，利息和本金之间的关系可以用正比例函数来表示。

利息是本金和利率的乘积。

总结：正比例函数是数学中的重要概念，它描述了两个变量之间的线性关系。

正比例函数详细知识点总结一、正比例函数的定义1、正比例函数的定义给定两个变量x和y，如果存在一个常数k，使得当x增大k倍时，y也增大k倍，那么称y是x的正比例函数。

我们可以用数学式表示为：y = kx其中，k为常数，称为比例系数。

2、比例系数的含义比例系数k表示两个变量之间的比例关系。

当k>1时，表示y随着x的增大而增大，当0<k<1时，表示y随着x的增大而减小，当k=1时，表示y和x成正比例关系。

3、正比例函数的定义域和值域对于正比例函数y=kx，定义域为实数集R，即x可以是任意实数；值域也为实数集R。

二、正比例函数的性质1、图像特点正比例函数的图像是一条经过原点的直线。

当k>1时，图像是从原点开始向上倾斜的直线；当0<k<1时，图像是从原点开始向下倾斜的直线；当k=1时，图像是经过原点的斜率为1的直线。

2、性质（1）通过原点正比例函数的图像必经过原点，因为当x=0时，y=0。

（2）斜率性质正比例函数的图像斜率为k，斜率表示函数随着自变量的变化而变化的速率。

（3）单调性当k>0时，正比例函数为增函数；当k<0时，正比例函数为减函数。

三、正比例函数的解题方法1、确定比例系数在解题时，首先需要确定比例系数k，可以通过已知条件或者数据关系来确定。

2、构建函数关系根据已知条件构建出正比例函数的函数式。

3、解题步骤（1）根据已知条件确定比例系数k；（2）构建出正比例函数的函数式；（3）应用正比例函数的性质和图像特点进行问题分析和解答。

四、正比例函数的应用正比例函数在实际问题中有着广泛的应用，尤其在数学建模和物理问题中常常出现。

下面举例说明正比例函数的应用：1、代买水果小明要在市场上代买水果，水果摊上的价格是正比例关系，每斤水果的价格是3元，小明要买的数量和购买的金额之间也是正比例关系。

如果他要买5斤水果，需要支付多少钱？解题步骤：（1）根据已知条件确定比例系数k为3；（2）构建出正比例函数的函数式y=3x；（3）代入x=5即可求得所需支付的金额为15元。

第九讲 一次（正比例）图像及其性质目录必备知识点........................................................................................................................................1考点一 函数的概念理解................................................................................................................1考点二 一次函数概念的理解........................................................................................................4考点三 一次函数图像....................................................................................................................5考点四 一次函数图像性质1.........................................................................................................9考点五 一次函数图像性质2. (13)必备知识点知识点1 正比例函数图像（y=kx ）1.正比例函数图像是一条经过原点的直线。

2.性质（1）正比例函数图像必过（2）k>0，函数图像经过 象限，y 随x 的增大而 （3）K<0，函数图像经过 象限，y 随x 的增大而知识点2 一次函数图像（y=kx+b ）1.一次函数图像是一条直线。