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y 使用上式时，先用第一式计算出yn+1的近似值 [ s1] [ s] [s] y y 第二式反复进行迭代，得到数列yn1s0 ，用 n1 n1 来控制是否继续进行迭代，其中为允许误差。把满足要 [ s 1] 求的 yn 1 作为y(xn+1)的近似值yn+1，类似地可得出yn+2， yn+3，…。
hL y
(s) n 1
yn 1 (hL)
s 1
y
(0) n 1
yn 1
故当 hL 1 时该迭代法收敛到隐式Euler公式的解 yn+1 ，其中L为Lipschitz常数．
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三、梯形公式
为了得到更精确的方法，在等价的积分方程中用 梯形公式
yn 1 yn hf ( xn , yn )( n 0,1,2,)
3、数值积分法
对微分方程两端从xn到xn+1积分，得等价的积分方程 对右端的积分部分采用左矩形公式近似即得Euler公式。 Remark：Taylor展开法与数值积分法是构造微分方程 数值解的两类主要的方法。
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四、等价的积分方程
若y(x)是初值问题的解，对方程两边同时积分， 利用初始条件可得： 该方程为与初值问题同解的积分方程，我们可以 从积分方程出发去构造初值问题的求解公式。
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五、数值解法
常微分方程初值问题的数值解是求上述初 值问题的解y(x)在区间[a，b]中的点列 xi xi 1 h （ 1， n） hi 称为步长， 上的近似值 y i 。 i i 0， 一般情况下我们取等步长，记为h 。 初值问题的解析解（理论解）用 y ( xn ) 表示,数值 解法的精确解用 yn 表示，并记fn=f(xn,yn), 而 y( xn ) f ( xn , y ( xn ))。 求初值问题的数值解一般是逐步进行的，即计 算出yn之后计算yn+1。
这些问题多数情况下求不出解析解，只能用近似 的方法求解。常用的近似方法有两类。一类称为 近似解析法，如级数解法，逐次逼近法等。另一 类称为数值解法，它可以给出解在一些离散点上 的近似值。
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二、解的存在唯一性
若f（x,y）在区域D= a x b，y R上连续，且 关于y满足 李普希兹（Lipschitz）条件, 即存在常 数L,使
第八章 常微分方程初值问题的数值解法
§8.1 引言 §8.2 几种简单的单步法 §8.3 Runge –Kutta 公式 §8.4 单步法的收敛性、 相容性与稳定性 §8.5 线性多步法 数值算例
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§8.1 引言
一、问题
本章着重讨论一阶常微分方程初值问题
dy f（x，y） ( ) y x dx 在区间[a,b]上的数值解法。 y0 y（x0）
en y（xn） yn 为某一数值方法在 xn处的整体截 定义1： 断误差。 Remark：整体截断误差不仅与 xn 这步的计算有关，而 且与前面所有点的计算的误差累计有关。为了简化误 差分析，我们着重分析计算中的某一步。对一般的显 式单步法，有如下定义：
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单步法的局部截断误差和阶 （续） 定义2：对单步法，在 yn y（xn） 的假设下，称 Rn 1 y ( xn 1 ) y ( xn ) h ( xn , y ( xn ), h) 为在xn 1 处的局部截断误差。 若设 yn y（xn） ，即第n步及以前各步都没有误差， 则由显示单步法计算一步所得之yn 1与 y ( xn 1 ) 之差为：
f ( x , y1 ) f ( x , y 2 ) L y1 y 2 ，
对D 内任两个 y1 , y2 均成立，其中L是与x，y无 关 的常数，则上面的初值问题存在唯一解，且解是 连续可微的。 Remark：在f(x,y)对y可微的情况下，若偏导数有界， f ( x, y ) L 则可取 ，此时有 max
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隐式Euler公式（续） 通常情况下，隐式欧拉公式很难直接求出yn+1的值， 故常用迭代法求解。在实际计算时，该公式通常与 显式Euler公式结合使用，并由显式Euler公式的结果 作为迭代的初始值，从而有如下数值格式 (0) yn 1 y n hf ( x n , y n ) ( s 1) (s) y y hf ( x , y n 1 n n 1 n 1 ) n 1,2, , N 1 循环计算，若 ( s 1) y 给定的误差限)，则取 n 1 作为yn+1的近似值．
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梯形公式（续）
[0] yn 1 y n hf ( xn , y n ) [ s 1] h [s] yn 1 yn [ f ( xn , y n ) f ( xn 1 , yn 1 )] 2
, s 0,1,2,
[0] n 1，再用
用两点差商公式 代替导数y( xn ) ,再用 y n 表示 y ( xn ) 的近似值,则得到
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y ( xn 1 ) y ( xn ) xn 1 xn
显式欧拉（Euler）方公式（续）
2、Taylor展开法 假设在xn 附近把y（x）展成Taylor级数
取h的线性部分,并用 y n表示 y ( xn ) 的近似值,得
y ( xn 1 ) y ( xn ) hf ( xn 1 , y ( xn 1 )), n 0,1,2,
yn 1 yn hf ( xn 1 , yn 1 ), n 0,1,2,
上式是一个隐式的单步方法，称为隐式欧拉公式或后 退的欧拉公式。利用此公式，每一步都要把上式作为 yn+1的一个方程来求解。从数值积分的误差分析，很 难期望隐式欧拉法比显式欧拉法更精确。
h yn 1 yn 2 ( K1 K 2 ) K1 f ( x n , y n ) K f ( x h, y hK ) n n 1 2
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五、单步法的局部截断误差和阶
设一般的单步法为： 显式公式：yn 1 yn h（xn，yn，h） 隐式公式：yn 1 yn h（xn，yn，yn 1，h） 设 y n 为数值方法的精确值，y（ xn）为微分方程的 精确解。
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数值解法的分类
数值解法一般分为： （1）单步法：在计算 yn 1时，只用到 x n 1 ,x n 和 y n，即前一步的值。 （2）多步法：计算 yn 1 时，除用到 xn 1 , xn 和 yn以外，还要用 xn p 和 yn p( p 1,2, , k ; k 0) ,即前 k步的值。 单步法和多步法都有显式和隐式方法之分。显式 和隐式的单步法可以分别写成： yn 1 yn h（xn，yn , h） yn 1 yn h（xn，yn , yn 1 , h） 对多步法来说，显式和隐式方法具有相同的意义。
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二、隐式Euler公式
若在等价积分方程 xn1 y ( xn 1） y（xn） f（t，y (t )）dt 中将积分用右矩形公式
xn
b
a
代入，有 从而得到
f ( ) f（x）dx （ b a） f （ b） (b a ) 2 , ( (a, b)) 2
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六、离散化方法
建立常微分方程初值问题数值解法的过程，就是通 过一定的离散化方法，将对连续性问题的求解转化 为求解常微分方程在有限个离散节点上解的近似值 的过程，这个过程通常称为数值离散．常用的数值 离散化方法有： 差商代替微商法 Taylor展开法 数值积分法
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梯形公式（续）
1 当f(x,y)关于y满足Lipschitz条件时，且步长h满足 2 hL 1
时，上述迭代过程是收敛的。这是因为：
yn 1 y
[ s 1] n 1
h [s] f（xn 1，yn 1） f（xn 1，yn 1 ) 2
s 1 [0] y n 1 yn 1
hL hL [s] y n 1 yn 1 2 2
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四、Euler预测校正公式
实用中，h 取得较小时,为了简化计算，梯形公式第二 式只迭代一次就结束，得到Euler预测—校正方法(改 进的Euler方法)：
[0] yn 1 y n hf ( xn , y n ) h [0] y y [ f ( x , y ) f ( x , y n 1 n n n n 1 n 1 )] 2
其中第一式称为预测算式，第二式称为校正算式。
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Euler预测校正公式（续） 若将Euler预-校方法中的第一式带入第二式，得
h yn 1 yn [ f ( xn , y n ) f ( xn 1 , yn hf ( xn , yn ))] 2
Remark：这是一种显示的单步方法。有时为了计 算方便，常将上式改写成：
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对 s 0,1,2,
( s 1) (s) 为 yn y 1 n 1 (
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隐式Euler公式（续） 由于f(x,y)关于y满足Lipschitz条件，故有
( s 1) (s) yn y h f ( x , y 1 n 1 n 1 n 1 ) f ( xn 1 , y n 1 )
欧拉（Euler）方法的几何意义
Euler方法有明显的几何意义。 如右图所示，一阶常微分方 程初值问题的解曲线y(x)过 点P0(x0,y0)。从P0出发以 f(x0,y0)为斜率作一直线段， 与x=x1相交于点P1(x1,y1)， 显然有y1=y0+hf(x0,y0)。 同理，再由P1出发以f(x1,y1)为斜率作一直线段，与x=x2 相交于点P2(x2,y2)，显然有y2=y1+hf(x1,y1)。这样一直做 下去，得到一条折线P0P1P2……，作为y(x)的近似曲线。 因此，显示Euler公式又称为Euler折线法。
