【附加15套高考模拟试卷】辽宁省沈阳二中2019-2020下学期高三数学(文)期中考试试卷含答案

2019-2020学年高三第二学期开学（理科）数学试卷一、选择题1．已知集合A＝{x∈N|2x＞5}，B＝{x|（x﹣2）（x﹣7）≤0}，则A∩B的元素的个数为（）A．3B．4C．5D．62．复数的虚部为（）A．﹣1B．﹣i C．i D．13．已知单位向量，且，若向量＝2+，则＝（）A．B．2C．4D．34．若sinα＝2cos（π+α），则＝（）A．B．C．D．5．设，则a，b，c的大小顺序是（）A．c＜a＜b B．c＜b＜a C．a＜c＜b D．b＜c＜a6．现有如下命题：命题p：“∀x∈（0，+∞），lnx﹣x＜0”的否定为“∃x0∈（﹣∞，0]，lnx0﹣x0≥0”；命题q：“sin2x＞0”的充要条件为：“”，则下列命题中的真命题是（）A．p B．p∧q C．（￢p）∧q D．p∧（￢q）7．已知m、n是不重合的直线，α、β是不重合的平面，有下列命题：①若m⊂α，n∥α，则m∥n；②若m∥α，m∥β，则α∥β；③若α∩β＝n，m∥n，则m∥α且m∥β；④若m⊥α，m⊥β，则α∥β．其中真命题的个数是（）A．0B．1C．2D．38．有4名优秀学生A、B、C、D全部被保送到甲、乙、丙3所学校，每所学校至少去一名，且A生不去甲校，则不同的保送方案有（）A．24种B．30种C．36种D．48种9．如图在直角坐标系xOy中，过坐标原点O作曲线y＝e x的切线，切点为P，过点P分别作x，y轴的垂线垂足分别为A，B，向矩形OAPB中随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分的概率为（）A．B．C．D．10．函数f（x）＝a sin x+b log2+2（a，b为常数），若f（x）在（0，1）上有最小值为﹣4，则f（x）在（﹣1，0）上有（）A．最大值8B．最大值6C．最大值4D．最大值2 11．设F1，F2是双曲线＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点P，使（O为坐标原点），且cos∠PF1F2＝，则双曲线的离心率为（）A．B．4C．D．512．设函数f（x）＝（a∈R），若曲线y＝cos x+2上存在点（x0，y0）使得f（f （y0））＝y0，则a的取值范围是（）A．[ln3﹣6，0]B．[ln3﹣6，ln2﹣2]C．[2ln2﹣12，0]D．[2ln2﹣12，ln2﹣2]二、填空题：共4小题，每小题5分，共20分.13．已知：x，y满足约束条件，则z＝2x﹣y的最小值为．14．在（n∈N*）的展开式中，所有项系数的和为﹣32，则的系数等于．15．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，△ABC的面积为，且a cos A＝c cos C，则B＝．16．在三棱锥P﹣ABC中，平面PAB⊥平面ABC，△ABC是边长为6的等边三角形，△PAB 是以AB为斜边的等腰直角三角形，则该三棱锥外接球的表面积为．三、解答题：共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．已知数列{a n}满足a14+a24+a34+…+a n4＝．（1）证明：数列{a n2}为等差数列；（2）设b n＝a n2•（1+3n），求数列{b n}的前n项和T n．18．某医学院读书协会欲研究昼夜温差大小与患感冒人数多少之间的关系，该协会分别到气象局与某医院抄录了1至6月份每月10号的昼夜温差情况与因患感冒而就诊的人数，得到如图频数分布直方图：该协会确定的研究方案是：先从这六组数据中选取2组，用剩下的4组数据求线性回归方程，再用被选取的2组数据进行检验．（1）记选取的2组数据相隔的月份数为X，若是相邻2组的数据，则X＝0，求X的分布列及数学期望；（2）已知选取的是1月与6月的两组数据．（i）请根据2至5月份的数据，求出就诊人数y关于昼夜温差x的线性回归方程；（ii）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2人，则认为得到的线性回归方程是理想的，试问该协会所得线性回归方程是否理想？（参考公式：＝＝），＝﹣b．19．如图，在四面体ABCD中，△ABC是直角三角形，且有AB＝AC，△ACD为正三角形，且有CD⊥AB．（1）证明：平面ACD⊥平面ABC；（2）延长BD到点E，使用得V C﹣AED＝V C﹣ABD，求二面角A﹣EC﹣B的余弦值．20．焦点在x轴上的椭圆C：经过点，椭圆C的离心率为．F1，F2是椭圆的左、右焦点，P为椭圆上任意点．（1）求椭圆的标准方程；（2）若点M为OF2的中点（O为坐标原点），过M且平行于OP的直线l交椭圆C于A，B两点，是否存在实数λ，使得λ|OP|2＝|MA|•|MB|；若存在，请求出λ的值，若不存在，请说明理由．21．已知函数．（1）讨论f（x）的单调性；（2）若f（x）有两个极值点x1，x2，当a变化时，求f（x1）+f（x2）的最大值．请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑．22．极坐标系中曲线Γ的极坐标方程为ρ＝，以极点为原点，极轴为x轴正半轴建立平面直角坐标系，单位长度不变，直线l1，l2均过点F（1，0），且l1⊥l2，直线l1的倾斜角为α．（1）写出曲线Γ的直角坐标方程；写出l1，l2的参数方程；（2）设直线l1，l2分别与曲线Γ交于点A，B和C，D，线段AB和CD的中点分别为M，N，求|MN|的最小值．23．已知关于x的函数f（x）＝|x+1|+|x﹣m|．（1）若f（x）≥3对所有的x∈R恒成立，求实数m的取值范围；（2）若关于x的不等式f（m）﹣2m≥x2﹣x的解集非空，求实数m的取值范围．参考答案一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A＝{x∈N|2x＞5}，B＝{x|（x﹣2）（x﹣7）≤0}，则A∩B的元素的个数为（）A．3B．4C．5D．6【分析】解不等式求得集合A、B，再求出A∩B，即可得出交集元素的个数．解：集合A＝{x∈N|2x＞5}＝{x∈Z|x＞}，B＝{x|（x﹣2）（x﹣7）≤0}＝{x|2≤x≤7}，则A∩B＝{x∈N|＜x≤7}＝{3，4，5，6，7}，其中元素有5个．故选：C．2．复数的虚部为（）A．﹣1B．﹣i C．i D．1【分析】利用复数的运算性质、虚部的定义即可得出．解：＝＝＝﹣i的虚部为﹣1．故选：A．3．已知单位向量，且，若向量＝2+，则＝（）A．B．2C．4D．3【分析】先根据条件求得2，进而求得结论．解：因为：单位向量，且，若向量＝2+，则2＝4+4•+＝4×12+4×1×1×cos+12＝3；∴＝；故选：A．4．若sinα＝2cos（π+α），则＝（）A．B．C．D．【分析】直接利用三角函数的诱导公式和倍角公式的应用求出结果．解：sinα＝2cos（π+α），整理得sinα＝﹣2cosα，解得tanα＝﹣2．所以＝＝．故选：D．5．设，则a，b，c的大小顺序是（）A．c＜a＜b B．c＜b＜a C．a＜c＜b D．b＜c＜a【分析】先判断b＞1，再化a、c，利用幂函数的性质判断a、c的大小．解：a＝＝＜1，b＝＞1，c＝＝＜1；且0＜＜＜1，函数y＝在（0，+∞）上是单调增函数，所以＜，所以c＜a；综上知，c＜a＜b．故选：A．6．现有如下命题：命题p：“∀x∈（0，+∞），lnx﹣x＜0”的否定为“∃x0∈（﹣∞，0]，lnx0﹣x0≥0”；命题q：“sin2x＞0”的充要条件为：“”，则下列命题中的真命题是（）A．p B．p∧q C．（￢p）∧q D．p∧（￢q）【分析】直接利用命题的否定和三角函数的性质的应用求出结果．解：“∀x∈（0，+∞），lnx﹣x＜0”的否定为“∃x0∈（0，+∞），lnx0﹣x0≥0”，故命题为假；，其中k∈Z，故命题q为真；故（￢p）∧q为真，故选：C．7．已知m、n是不重合的直线，α、β是不重合的平面，有下列命题：①若m⊂α，n∥α，则m∥n；②若m∥α，m∥β，则α∥β；③若α∩β＝n，m∥n，则m∥α且m∥β；④若m⊥α，m⊥β，则α∥β．其中真命题的个数是（）A．0B．1C．2D．3【分析】要求解本题，根据平面与平面平行的判定与直线与平面平行的判定进行判定需要寻找特例，进行排除即可．解：①若m⊂α，n∥α，则m与n平行或异面，故不正确；②若m∥α，m∥β，则α与β可能相交或平行，故不正确；③若α∩β＝n，m∥n，则m∥α且m∥β，m也可能在平面内，故不正确；④若m⊥α，m⊥β，则α∥β，垂直与同一直线的两平面平行，故正确故选：B．8．有4名优秀学生A、B、C、D全部被保送到甲、乙、丙3所学校，每所学校至少去一名，且A生不去甲校，则不同的保送方案有（）A．24种B．30种C．36种D．48种【分析】通过对甲校去一名学生还是去2名学生讨论解答即可．解：当甲去1名学生时，分配方法有：＝18．当甲去2名学生时，分配方法有：＝6．所以不同的保送方案有：24种．故选：A．9．如图在直角坐标系xOy中，过坐标原点O作曲线y＝e x的切线，切点为P，过点P分别作x，y轴的垂线垂足分别为A，B，向矩形OAPB中随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分的概率为（）A．B．C．D．【分析】由导数的几何意义，求过曲线外一点的切线方程得：点P为切点过原点的切线方程为：y＝ex由定积分的几何意义得：S阴＝∫（e x﹣ex）d x＝（e x﹣）|＝，由几何概型中的面积型得：P（A）＝＝＝，得解．解：设P（x0，e），由y′＝e x，则以点P为切点过原点的切线方程为：y﹣e＝e（x﹣x0），又此切线过点（0，0），求得：x0＝1，即P（1，e），以点P为切点过原点的切线方程为：y＝ex由定积分的几何意义得：S阴＝∫（e x﹣ex）d x＝（e x﹣）|＝，设“向矩形OAPB中随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分”为事件A，由几何概型的面积型可得：P（A）＝＝＝，故选：A．10．函数f（x）＝a sin x+b log2+2（a，b为常数），若f（x）在（0，1）上有最小值为﹣4，则f（x）在（﹣1，0）上有（）A．最大值8B．最大值6C．最大值4D．最大值2【分析】令g（x）＝a sin x+b log2（﹣1＜x＜1），可得函数g（x）为（﹣1，1）上的奇函数．由f（x）在（0，1）上有最小值为﹣4，利用对称性可得答案．解：令g（x）＝a sin x+b log2（﹣1＜x＜1），∵g（﹣x）＝a sin（﹣x）+b＝﹣a sin x﹣b＝﹣g（x），∴函数g（x）为（﹣1，1）上的奇函数．∵f（x）在（0，1）上有最小值为﹣4，且f（x）＝g（x）+2．∴g（x）在（0，1）上有最小值为﹣6，则g（x）在（﹣1，0）上有最大值为6，∴f（x）在（﹣1，0）上有最大值为8．故选：A．11．设F1，F2是双曲线＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点P，使（O为坐标原点），且cos∠PF1F2＝，则双曲线的离心率为（）A．B．4C．D．5【分析】利用向量的数量积的性质可得|OP|＝|OF2|＝c＝|OF1|，可得PF1⊥PF2，运用双曲线的定义和已知条件，cos∠PF1F2＝，可得|PF2|，|PF1|，再由双曲线的定义和离心率公式计算即可得到所求值．解：由，可得，即有|OP|＝|OF2|＝c＝|OF1|，可得PF1⊥PF2，Rt△PF1F2中，cos∠PF1F2＝，|PF1|＝，|PF2|＝，由双曲线的定义得|PF1|﹣|PF2|＝2a，即有＝2a，化简可得c＝5a，由离心率公式e＝＝5．故选：D．12．设函数f（x）＝（a∈R），若曲线y＝cos x+2上存在点（x0，y0）使得f（f （y0））＝y0，则a的取值范围是（）A．[ln3﹣6，0]B．[ln3﹣6，ln2﹣2]C．[2ln2﹣12，0]D．[2ln2﹣12，ln2﹣2]【分析】根据曲线y＝cos x+2∈[1，3]上存在点（x0，y0），即y0∈[1，3]，使得f（f（y0））＝y0，那么函数f（x）＝∈[1，3]，即函数f（x）＝x在x∈[1，3]有解；平方化简即可求解；解：由题意，根据曲线y＝cos x+2∈[1，3]上存在点（x0，y0），使得f（f（y0））＝y0，即y0∈[1，3]，下面证明f（y0）＝y0，假设f（y0）＝C＞y0，则f（f（y0））＝f（C）＞f（y0））＝C＞y0，不足满f（f（y0））＝y0，同理f（y0）＝C＜y0，不足满f（f（y0））＝y0，∴f（y0）＝y0，那么函数f（x）＝∈[1，3]，即函数f（x）＝x在x∈[1，3]有解；∴lnx+x﹣a＝x2即lnx+x﹣x2＝a；x∈[1，3]令h（x）＝lnx+x﹣x2，则h′（x）＝+1﹣2x，令h′（x）＝0，可得x＝1或x＝（舍）当x∈（0，1]时，h′（x）＞0，h（x）在x∈（0，1]单调递增；当x∈[1，3]时，h′（x）＜0，h（x）在x∈[1，3]单调递减；∴ln3﹣6≤h（x）≤0；即ln3﹣6≤a≤0；故选：A．二、填空题：共4小题，每小题5分，共20分.13．已知：x，y满足约束条件，则z＝2x﹣y的最小值为．【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z＝2x﹣y表示直线在y 轴上的截距，只需求出可行域直线在y轴上的截距最值即可．解：x，y满足约束条件，目标函数画出图形：z＝2x﹣y．点A（，），z在点A处有最小值：z＝2×＝，故答案为：；14．在（n∈N*）的展开式中，所有项系数的和为﹣32，则的系数等于﹣270．【分析】根据题意，在中，令x＝1可得，其展开式所有项系数的和为（﹣2）n，结合题意可得n的值，进而由二项式定理可得其展开式的通项，令的指数为2，可得r的值，将r的值代入展开式的通项，可得答案．解：在中，令x＝1可得，其展开式所有项系数的和为（﹣2）n，又由题意可得，（﹣2）n＝﹣32，则n＝5，则（﹣3）5的展开式的通项为T r+1＝C5r（）5﹣r（﹣3）r，令5﹣r＝2，可得r＝3，则含的为T4＝C53（）2（﹣3）3＝﹣270，故答案为﹣270．15．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，△ABC的面积为，且a cos A＝c cos C，则B＝或．【分析】由已知结合三角形的面积公式可求C，然后结合正弦定理即可求解A，进而可求B．解：由三角形的面积为＝＝，∴sin C＝cos C即tan C＝，所以C＝，∵a cos A＝c cos C，由正弦定理可得sin A cos A＝sin C cos C即sin2C＝sin2A，所以2C＝2A，所以C＝A或C+A＝若C＝A＝，则B＝，若C+A＝，则B＝故答案为：或16．在三棱锥P﹣ABC中，平面PAB⊥平面ABC，△ABC是边长为6的等边三角形，△PAB 是以AB为斜边的等腰直角三角形，则该三棱锥外接球的表面积为48π．【分析】由题意画出图形，由已知求出三棱锥外接球的半径，代入表面积公式得答案．解：如图，在等边三角形ABC中，取AB中点F，设其中心为O，由AB＝6，得CO＝CF＝2．∵△PAB是以AB为斜边的等腰直角三角形，∴F为△PAB的外心，则O为棱锥P﹣ABC的外接球球心，则外接球半径R＝OC＝2．∴该三棱锥外接球的表面积为4π×＝48π．故答案为：48π．三、解答题：共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．已知数列{a n}满足a14+a24+a34+…+a n4＝．（1）证明：数列{a n2}为等差数列；（2）设b n＝a n2•（1+3n），求数列{b n}的前n项和T n．【分析】（1）令n＝1，计算可得首项，再将n换为n﹣1，相减可得a n2＝2n﹣1，由等差数列的定义即可得到结论；（2）求得b n＝a n2•（1+3n）＝（2n﹣1）+（2n﹣1）•3n，设{（2n﹣1）•3n}的前n 项和为S n，运用数列的分组求和、错位相减法求和，结合等差数列和等比数列的求和公式，计算可得所求和．解：（1）证明：数列{a n}满足a14+a24+a34+…+a n4＝，当n＝1时，a14＝×1×3＝1，即a12＝1，n≥2时，a14+a24+a34+…+a n﹣14＝（n﹣1）（4（n﹣1）2﹣1），又a14+a24+a34+…+a n4＝，两式相减可得a n4＝﹣（n﹣1）（4（n﹣1）2﹣1）＝（2n﹣1）2，a n2＞0，即有a n2＝2n﹣1，对n＝1也成立，则数列{a n2}为首项为1，公差为2的等差数列；（2）b n＝a n2•（1+3n）＝（2n﹣1）+（2n﹣1）•3n，设{（2n﹣1）•3n}的前n项和为S n，则S n＝1•3+3•32+5•33+…+（2n﹣1）•3n，3S n＝1•32+3•33+5•34+…+（2n﹣1）•3n+1，相减可得﹣2S n＝3+2（32+33+…+3n）﹣（2n﹣1）•3n+1＝3+2•﹣（2n﹣1）•3n+1，化简可得S n＝3+（n﹣1）•3n+1，则前n项和T n＝n（1+2n﹣1）+3+（n﹣1）•3n+1＝n2+3+（n﹣1）•3n+1．18．某医学院读书协会欲研究昼夜温差大小与患感冒人数多少之间的关系，该协会分别到气象局与某医院抄录了1至6月份每月10号的昼夜温差情况与因患感冒而就诊的人数，得到如图频数分布直方图：该协会确定的研究方案是：先从这六组数据中选取2组，用剩下的4组数据求线性回归方程，再用被选取的2组数据进行检验．（1）记选取的2组数据相隔的月份数为X，若是相邻2组的数据，则X＝0，求X的分布列及数学期望；（2）已知选取的是1月与6月的两组数据．（i）请根据2至5月份的数据，求出就诊人数y关于昼夜温差x的线性回归方程；（ii）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2人，则认为得到的线性回归方程是理想的，试问该协会所得线性回归方程是否理想？（参考公式：＝＝），＝﹣b．【分析】（1）本题是一个古典概型，试验发生包含的事件是从6组数据中选取2组数据共有C62种情况，求出X的分布列及数学期望即可；（2）（i）根据所给的数据，求出x，y的平均数，根据求线性回归方程系数的方法，求出系数b，把b和x，y的平均数，代入求a的公式，做出a的值，写出线性回归方程．（ii）根据所求的线性回归方程，预报当自变量为10和6时的y的值，把预报的值同原来表中所给的10和6对应的值做差，差的绝对值不超过2，得到线性回归方程理想．解：（1）X可能的取值为0，1，2，3，4，P（X＝0）＝＝，P（X＝1）＝＝，P（X＝2）＝＝，P（X＝3）＝＝，P（X＝4）＝＝，∴X的分布列是：X01234P∴EX＝+++＝；（2）（i）由数据求得＝11，＝24，由公式求得b＝，再由＝﹣b，求得a＝﹣，∴y关于x的线性回归方程为y¯＝x﹣；（ii）当x＝10时，y＝，x＝6时，y＝，|﹣22|＝＜2，|﹣14|＝＜2．∴该小组所得线性回归方程是理想的．19．如图，在四面体ABCD中，△ABC是直角三角形，且有AB＝AC，△ACD为正三角形，且有CD⊥AB．（1）证明：平面ACD⊥平面ABC；（2）延长BD到点E，使用得V C﹣AED＝V C﹣ABD，求二面角A﹣EC﹣B的余弦值．【分析】（1）△ABC是直角三角形，且有AB＝AC，可得AB⊥AC．又CD⊥AB，利用线面、面面垂直的判定与性质定理即可证明结论．（2）不妨取AB＝2．利用V C﹣AED＝V C﹣ABD，可得点D为线段BE的中点，设平面ACE 的法向量为＝（x，y，z），利用•＝•＝0，可得：．同理可得：平面BCE 的法向量，利用向量夹角公式即可得出．【解答】（1）证明：∵△ABC是直角三角形，且有AB＝AC，∴AB⊥AC．又CD⊥AB，AC∩CD＝C．∴AB⊥平面ACD，又AB⊂平面ABC，∴平面ACD⊥平面ABC．（2）解：不妨取AB＝2．∵V C﹣AED＝V C﹣ABD，∴点D为线段BE的中点．A（0，0，0），B（2，0，0），C（0，2，0），D（0，1，），E（﹣2，2，2），＝（0，2，0），＝（﹣2，0，2），＝（2，﹣2，0），设平面ACE的法向量为＝（x，y，z），则•＝•＝0，可得：2y＝0，﹣2x+2z＝0，取＝（，0，1），同理可得：平面BCE的法向量＝（，，1），∴cos＜，＞＝＝．∴二面角A﹣EC﹣B的余弦值为．20．焦点在x轴上的椭圆C：经过点，椭圆C的离心率为．F1，F2是椭圆的左、右焦点，P为椭圆上任意点．（1）求椭圆的标准方程；（2）若点M为OF2的中点（O为坐标原点），过M且平行于OP的直线l交椭圆C于A，B两点，是否存在实数λ，使得λ|OP|2＝|MA|•|MB|；若存在，请求出λ的值，若不存在，请说明理由．【分析】（1）由点在椭圆上和离心率为，列出式子，解出a，b的值；（2）分直线l的斜率存在与否讨论，当l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝k（x﹣1）用k分别表示出|OP|，|MA|•|MB|；解出λ；解：（1）由已知可得，，a2＝b2+c2，解得，b＝c＝2，所以椭圆C的标准方程为．（2）若直线的斜率不存在时，|OP|＝2，，所以；当斜率存在时，设直线l的方程为y＝k（x﹣1），A（x1，y1），B（x2，y2）．联立直线l与椭圆方程，消去y，得（2k2+1）x2﹣4k2x+2k2﹣8＝0，所以．因为OP∥l，设直线OP的方程为y＝kx，联立直线OP与椭圆方程，消去y，得（2k2+1）x2＝8，解得．∴，∴，同理，∴|MA|•|MB|＝（1+k2）|（x1﹣1）（x2﹣1）|，因为，∴，故，存在满足条件，综上可得，存在满足条件．21．已知函数．（1）讨论f（x）的单调性；（2）若f（x）有两个极值点x1，x2，当a变化时，求f（x1）+f（x2）的最大值．【分析】（1）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；（2）求出f（x1）+f（x2）＝alna﹣2a2+3a，令g（a）＝alna﹣2a2+3a，根据函数的单调性求出其最大值即可．解：（1）f′（x）＝x﹣4a+＝（a＞0），（i）当0＜a≤时，f′（x）≥0，f（x）在（0，+∞）递增，（ii）当a＞时，f′（x）＝0的根为x1＝2a﹣，x2＝2a+，故f（x）在（0，2a﹣），（2a+，+∞）递增，在（2a﹣，2a+，+∞）递减；（2）由（1）得a＞，x1＝2a﹣，x2＝2a+，故x1+x2＝4a，x1x2＝a，故f（x1）+f（x2）＝（+）﹣4a（x1+x2）+alnx1x2+6a2+4a＝alna﹣2a2+3a，令g（a）＝alna﹣2a2+3a，g′（a）＝lna﹣4a+4，令h（a）＝lna﹣4a+4，h′（a）＝﹣4，∵a＞，∴h′（a）＜0，故h（a）在（，+∞）递减，又h（1）＝0，从而a∈（，1）时，h（a）＞0，g′（a）＞0，g（a）递增，a∈（1，+∞）时，h（a）＜0，g′（a）＜0，g（a）递减，故a＝1时，g（a）取最大值1，故f（x1）+f（x2）的最大值是1．请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑．22．极坐标系中曲线Γ的极坐标方程为ρ＝，以极点为原点，极轴为x轴正半轴建立平面直角坐标系，单位长度不变，直线l1，l2均过点F（1，0），且l1⊥l2，直线l1的倾斜角为α．（1）写出曲线Γ的直角坐标方程；写出l1，l2的参数方程；（2）设直线l1，l2分别与曲线Γ交于点A，B和C，D，线段AB和CD的中点分别为M，N，求|MN|的最小值．【分析】（1）曲线Γ的极坐标方程为ρ＝，变形为：ρ2sin2θ＝4ρcosθ，利用互化公式可得可得直角坐标方程．由题意可得：（t为参数），l2：（t为参数）．（2）将代入抛物线方程可得t2sin2α﹣4t cosα﹣4＝0，则t M＝，同理可得：．于是，再利用三角函数的单调性值域即可得出．解：（1）曲线Γ的极坐标方程为ρ＝，变形为：ρ2sin2θ＝4ρcosθ，可得直角坐标方程：Γ：y2＝4x．由题意可得：（t为参数），l2：（t为参数）．（2）将代入y2＝4x，得t2sin2α﹣4t cosα﹣4＝0①，则t M＝＝，将代入y2＝4x，得t2cos2α+4t sinα﹣4＝0②，则．于是＝，当时取得等号，且此时满足方程①②的判别式均大于零．故|MN|的最小值为．23．已知关于x的函数f（x）＝|x+1|+|x﹣m|．（1）若f（x）≥3对所有的x∈R恒成立，求实数m的取值范围；（2）若关于x的不等式f（m）﹣2m≥x2﹣x的解集非空，求实数m的取值范围．【分析】（1）利用绝对值不等式求得f（x）的最小值，然后将不等式恒成立转化为最小值成立；（2））∵f（m）﹣2m≥x2﹣x的解集非空，∴|m+1|﹣2m≥（x2﹣x）min，＝﹣．解：（1）f（x）＝|x+1|+|x﹣m|≥|m+1|≥3，∴m+1≥3或m+1≤﹣3，∴m≥2或m≤﹣4，故m的取值范围为（﹣∞，﹣4]∪[2，+∞）．（2）∵f（m）﹣2m≥x2﹣x的解集非空，∴|m+1|﹣2m≥（x2﹣x）min，∴|m+1|≥2m﹣，①当m＜时，2m﹣＜0．|m+1|≥2m﹣恒成立，即m＜，②当m≥时，2m﹣≥0，m+1＞0，∴m+1≥2m﹣，解得，由①②得，实数m的取值范围是（﹣∞，]．。

沈阳二中2019——2020学年度下学期高三（20届)模拟考试数学（文科）试题命题人：高三数学组审校人：高三数学组说明：1.测试时间：120分钟总分：150分2.客观题涂在答题纸上，主观题答在答题纸的相应位置上第Ⅰ卷（60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.双曲线的左焦点的坐标为A. B. C. D.2.设角的终边过点，则A. B. C. D.3.已知命题“ ，使”是假命题，则实数的取值范围是A. B. C. D.4.已知平面向量，则下列关系正确的是A. B. C. D.5.在中，，则的面积为A. B. C. D.6.函数的一个零点所在的区间是A. B. C. D.7．已知 , 满足条件，则的最大值是 ( )A. B. C. 3 D. 48. 在等比数列中，“ ”是“ 为递增数列”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要9.已知函数的定义域为，满足，当时，，则函数的大致图象是（）A B C D10.已知球O的直径，A,B,C是球O球面上的三点，是等边三角形，且 ,则三棱锥P—ABC的体积为A. B. C. D.11.已知函数，则关于x的方程的实根个数不可能为A.2B.3C.4D.512．已知函数有两个零点，则下列说法错误的是A． B．C． D．有极小值点，且第Ⅱ卷（90分）本卷包括必考题和选考题两部分，第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题~第24题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题: 本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.复数满足方程，则 =____．14.设为等差数列的前项和，，则其通项公式 ______ ．15.中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，右图是实现该算法的程序框图．执行该程序框图，若输入的，依次输入的为2，2，5，则输出的 = ．16. 在四棱锥中，平面平面，底面为梯形, ， .（1）平面；（2）平面；（3）是棱的中点，棱上存在一点，使 .正确命题的序号为．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（本小题满分12分）为迎接年冬奥会，北京市组织中学生开展冰雪运动的培训活动，并在培训结束后对学生进行了考核. 记表示学生的考核成绩，并规定为考核优秀.为了了解本次培训活动的效果，在参加培训的学生中随机抽取了名学生的考核成绩，并作成如下茎叶图：5 0 1 1 66 0 1 4 3 3 5 87 2 3 7 6 8 7 1 78 1 1 4 5 2 99 0 2 1 3 0(Ⅰ) 从参加培训的学生中随机选取1人，请根据图中数据，估计这名学生考核成绩为优秀的概率；(Ⅱ)从图中考核成绩满足的学生中任取人，求至少有一人考核优秀的概率；(Ⅲ)记表示学生的考核成绩在区间内的概率，根据以往培训数据，规定当时培训有效. 请你根据图中数据，判断此次中学生冰雪培训活动是否有效，并说明理由. 18.（本小题满分12分）已知的面积为，且内角A,B,C依次成等差数列。

高考模拟数学试卷一、选择题：本大题8个小题，每小题5分，共40分在每小题给山的四个选项中只有一项是符合题目要求的.1．复数11z i =-（i 是虚数单位）在复平面上对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．给出如下四个命题：①若“p 且q ”为假命题，则p 、q 均为假命题；②命题“若a b >，则221a b >-”的否命题为“若a b ≤，则221a b≤-”； ③“2,11x x ∀∈+≥R ”的否定是“2,11x x ∃∈+≤R ”；④在△ABC 中，“A B >”是“sin sin A B >”的充要条件.其中不正确的命题的个数是（ ） A ．4 B ．3 C ．2 D ．13. 点P 在直线:1l y x =-上，若存在过P 的直线交抛物线2y x =于,A B 两点，且|||PA AB =，则称点P 为“正点”，那么下列结论中正确的是 （ ） A ．直线l 上的所有点都是“正点” B ．直线l 上仅有有限个点是“正点” C ．直线l 上的所有点都不是“正点”D ．直线l 上有无穷多个点（点不是所有的点）是“正点”4. 已知直线l ⊥平面α，直线m 平面β，给出下列命题： ①α∥β⇒l ⊥m ②α⊥β⇒l ∥m ③l ∥m ⇒α⊥β ④l ⊥m ⇒α∥β其中正确命题的序号是 （ ）A. ①②③B. ②③④C. ①③D. ②④5．如果执行如图的程序框图，那么输出的值是（ ） A.2010B.-1C.12D.26. 将函数f(x)=2sin ()(0)3x πωω->的图象向左平移3πω个单位，得到函数y=g(x)的图象．若y=g(x)在[0,4π]上为增函数，则ω的最大值 （ ）A ．1B ．2C ．3D ．47. 如图，在△ABC 中，AD=2DB ，AE=3EC ，CD 与BE 交于F ， 设,,,(,)AB a AC b AF xa yb x y ===+u u u r u u u r u u u r 则为 （ ）A ．11(,)32B ．11(,)43C ．33(,)77D ．29(,)5208．符号[]x 表示不超过x 的最大整数,例如[]3π=,[ 1.08]2-=-,定义函数{}[]x x x =-,给出下列四个命题(1)函数{}x 的定义域为R ,值域为[0,1];(2)方程1{}2x =有无数个解;(3)函数{}x 是周期函数;(4)函数{}x 是增函数.其中正确命题的序号有( )A.(2)(3)B.(1)(4)C.(3)(4)D.(2)(4) .二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，满分30分．其中14～15题是选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算前一题得分．9. 已知函数()f x 满足：x ≥4,则()f x ＝1()2x；当x ＜4时()f x ＝(1)f x +，则2(2log 3)f +＝ .10． 当时10≤≤x ，不等式kxx≥2sinπ成立，则实数k 的取值范围是_______________.11. 设,x y 满足360203x y x y x y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪+≥⎩，若目标函数(0)z ax y a =+>的最大值为14，则a =______.12．从四棱锥S —ABCD 的八条棱中任取两条，其中抽到两条棱成异面直线的概率为 .13.下列给出的四个命题中：①已知数列{an}，那么对任意的n ∈N.，点Pn(n ，an)都在直线y=2x+l 上是{an}为等差数列的充分不必要条件；②“m=-2”是“直线(m+2)x+my+1=0与直线(m-2)x+(m+2)y-3=0相互垂直”的必要不充分条件； ③设圆x2+y2+Dx+Ey+f=0与坐标轴有4个交点，分别为A(xl ，0)，B(x2，0)，C(0，y1)．D(0，2y )，则xl x2-y1y2=0；④在实数数列{an}中，已知al=0，| a2 |=| a1-l|，|a3 |=| a2-l|，…，| an |=| an-1-1|，则al+a2+a3+a4的最大值为2．其中为真命题的是 (写出所有真命题的代号). 选做题14. 在极坐标系中，直线m 的方程为2sin()42πρθ+=，则点7(2,)4A π到直线m 的距离为____ ．15. 如图所示，已知PC 、DA 为⊙O 的切线，C 、A 分别为切点，AB 为⊙O 的直径，若DA ＝2，CD DP ＝12，则AB ＝________.三、解答题（共6个小题，共80分）16、（本小题满分12分）设函数f(x)=3cos2ωx ＋sin ωxcos ωx ＋a (其中ω＞0,a ∈R),且f(x)的图象在y 轴右侧的第一个最高点的横坐标为π12. （1）求ω的值；（2）如果f(x)在区间[―π6，5π12]上的最小值为3，求a 的值;（3）证明：直线5x ―2y ＋c=0与函数y=f(x)的图象不相切.17．（本小题满分12分）.某种家用电器每台的销售利润与该电器的无故障时间T （单位：年）有关，若T ≤1，则销售利润为0元；若1<T ≤3，则销售利润为100元，若T>3,则销售利润为200元.设每台该种电器的无故障使用时间T ≤1，1<T ≤3，T>3这三种情况发生的概率分别为123,,P P P ，又知12,P P 为方程25x 2-15x+a=0的两根,且23P P =.(Ⅰ)求123,,P P P 的值;（Ⅱ）记ξ表示销售两台这种家用电器的销售利润总和，求ξ的分布列及数学期望.18．（本小题满分14分）如图，四边形ABCD 是圆柱OQ 的轴截面，点P 在圆柱OQ 的底面圆周上，G 是DP 的中点，圆柱OQ 的底面圆的半径2OA =，侧面积为83π，120AOP ∠=︒． （1）求证：AG BD ⊥；（2）求二面角P AG B --的平面角的余弦值．19．(本小题满分14分)若椭圆1E 2222111x y a b +=和椭圆2E 2222221x y a b +=满足2211(0)a b m m a b ==>,则称这两个椭圆相似，m 是相似比.OQDBCAGP ．(Ⅰ)求过(且与椭圆22142x y +=相似的椭圆的方程；(Ⅱ)设过原点的一条射线l 分别与(Ⅰ)中的两椭圆交于A 、Ｂ两点（点Ａ在线段OB 上）. ①若P 是线段AB 上的一点，若|OA|、｜ＯP ｜、｜ＯB ｜成等比数列，求Ｐ点的轨迹方程; ②求OBOA ⋅的最大值和最小值.20．(本小题满分14分)设函数1()(2)ln 2f x a x ax x =-++.（Ⅰ）当0a =时，求()f x 的极值； （Ⅱ）当0a ≠时，求()f x 的单调区间；.（Ⅲ）当2a =时，对任意的正整数n ，在区间11[,6]2n n ++上总有4m +个数使得 1231234()()()()()()()()m m m m m f a f a f a f a f a f a f a f a +++++++<+++L成立，试问：正整数m 是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，说明理由.21. (本小题满分14分)已知数列{}n a 中，12a =，对于任意的*,p q N ∈，有p q p q a a a +=+（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）数列{}n b 满足：312423*********n b b b b a =-+-+++++……1*(1)()21n n n bn N -+-∈+，求数列{}n b 的通项公式；（3）设*3()n nn C b n N λ=+∈，是否存在实数λ，当*n N ∈时，1n n C C +>恒成立，若存在，求实数λ的取值范围，若不存在，请说明理由。

2020年辽宁省沈阳二中高考数学五模试卷（文科）一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分） 1. 双曲线x 22−y 22=1的左焦点坐标为( )A. (−2,0)B. (−√2,0)C. (−1,0)D. (−4,0)2. 设角θ的终边过点(1,2)，则tan(θ−π4)=( )A. 13B. 32C. −23D. −133. 已知命题“∃x ∈R ，2x 2+(a −1)x +12≤0是假命题，则实数a 的取值范围是( )A. (−∞,−1)B. (−1,3)C. (−3,+∞)D. (−3,1)4. 已知向量a ⃗ =(−12,√32),b ⃗ =(√32,−12)，则下列关系正确的是( )A. (a ⃗ +b ⃗ )⊥b ⃗B. (a ⃗ +b ⃗ )⊥a ⃗C. (a ⃗ +b ⃗ )⊥(a ⃗ −b ⃗ )D. (a ⃗ +b ⃗ )//(a ⃗ −b ⃗ )5. 在△ABC 中，a =7，c =3，∠A =60°，则△ABC 的面积为( )A.152√3B.154√3C. 12√3D. 6√36. 函数f(x)=ln(x +1)−2x 的零点所在的区间是( )A. (0,1)B. (1,2)C. (2,e)D. (3,4)7. 已知x ，y 满足条件{x −y ≤0x +y −4≤0x −1≥0，则yx 的最大值是( )A. 1B. 2C. 3D. 48. 在等比数列{a n }中，“a 2>a 1”是“{a n }为递增数列”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要9. 已知函数y =f(x)的定义域为{x|x ∈R ，且x ≠0}，满足f(x)+f(−x)=0，当x >0时，f(x)=1nx −x +1，则函数y =f(x)的大致图象为( )A. B.C. D.10.已知球的直径PQ=4，A、B、C是该球球面上的三点，△ABC是正三角形．∠APQ=∠BPQ=∠CPQ=30°，则棱锥P−ABC的体积为()A. 34√3 B. 94√3 C. 32√3 D. 274√311.已知函数f(x)={1x −x,x<0|lnx|,x>0，则关于x的方程[f(x)]2−f(x)+a=0(a∈R)的实数解的个数不可能是()A. 2B. 3C. 4D. 512.已知函数f(x)=e x−ax有两个零点x1<x2，则下列说法错误的是()A. a>eB. x1+x2>2C. x1x2>1D. 有极小值点x0，且x1+x2<2x0二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.复数z满足方程1−i⋅z=i，则|z|=______．14.设S n为等差数列{a n}的前n项和，a1=3,S3=18，则其通项公式a n=______ ．15.中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，如图是实现该算法的程序框图．执行该程序框图，若输入的x=2，n=2，依次输入的a为2，2，5，则输出的s=______．16.在四棱锥P−ABCD中，平面ABCD⊥平面PCD，底面ABCD为梯形，AB//CD，AD⊥DC．(1)AB//平面PCD；(2)AD⊥平面PCD；(3)M是棱PA的中点，棱BC上存在一点F，使MF//PC．正确命题的序号为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.为迎接2022年冬奥会，北京市组织中学生开展冰雪运动的培训活动，并在培训结束后对学生进行了考核．记X表示学生的考核成绩，并规定X≥85为考核优秀．为了了解本次培训活动的效果，在参加培训的学生中随机抽取了30名学生的考核成绩，并作成如下茎叶图：(Ⅰ)从参加培训的学生中随机选取1人，请根据图中数据，估计这名学生考核优秀的概率；(Ⅱ)从图中考核成绩满足X∈[80,89]的学生中任取2人，求至少有一人考核优秀的概率；|≤(Ⅲ)记P(a≤X≤b)表示学生的考核成绩在区间[a,b]的概率，根据以往培训数据，规定当P(|X−85101)≥0.5时培训有效．请根据图中数据，判断此次中学生冰雪培训活动是否有效，并说明理由．18.已知△ABC的面积为3√3，且内角A、B、C依次成等差数列．(1)若sinC=3sinA，求边AC的长；(2)设D为边AC的中点，求线段BD长的最小值．19.如图，在边长为4的菱形ABCD中，∠DAB=60°，点E，F分别是边CD，CB的中点，AC∩EF=O，沿EF将△CEF翻折到△PEF，连接PA，PB，PD，得到如图的五棱锥P−ABFED，且PB=√10．(1)求证：BD⊥PA；(2)求四棱锥P−BFED的体积．20.已知椭圆C1：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的焦点与抛物线C2：y2=8√2x的焦点F重合，且椭圆C1的右顶点P到F的距离为3−2√2．(1)求椭圆C1的方程；(2)设直线l与椭圆C1交于A，B两点，且满足PA⊥PB，求△PAB面积的最大值．−ax(a>0)．21.已知函数f(x)=xlnx(1)若函数f(x)在(1,+∞)上是减函数，求实数a的最小值；(2)若∃x1、∃x2∈[e,e2]，使f(x1)≤f′(x2)+a成立，求实数a的取值范围．22.在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为为参数，0≤α<π)，曲线C的参数方程为为参数)，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求曲线C的极坐标方程；(2)设C与l交于M，N两点(异于原点)，求|OM|+|ON|的最大值．23.已知函数f(x)=x|x−a|，a∈R．(1)若f(1)+f(−1)>1，求a的取值范围；|+|y−a|恒成立，求a的取值范围．(2)若a>0，对∀x，y∈(−∞,a]，都有不等式f(x)≤|y+54答案和解析1.【答案】A【解析】解：双曲线x22−y22=1可得a=b=√2，则c=2，所以双曲线的左焦点坐标(−2,0)．故选：A．利用双曲线的标准方程，直接求解双曲线的左焦点坐标．本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查．2.【答案】A【解析】解：∵角θ的终边过点(1,2)，∴tanθ=21=2，则tan(θ−π4)=tanθ−11+tanθ=13，故选：A．利用任意角的三角函数的定义求得tanθ的值，两角和差的正切公式，求得要求式子的值．本题主要考查任意角的三角函数的定义，两角和差的正切公式的应用，属于基础题．3.【答案】B【解析】解：∵“∃x∈R，2x2+(a−1)x+12≤0”的否定为“∀x∈R，2x2+(a−1)x+12>0“∵“∃x∈R，2x2+(a−1)x+12≤0”为假命题∴“∀x∈R，2x2+(a−1)x+12>0“为真命题即2x2+(a−1)x+12>0恒成立∴(a−1)2−4×2×12<0解得−1<a<3故选：B．写出原命题的否命题，据命题p与￢p真假相反，得到2x2+(a−1)x+12>0恒成立，令判别式小于0，求出a的范围．本题考查含量词的命题的否定形式：将量词”∀”与“∃”互换，同时结论否定、考查命题与其否定真假相反、考查二次不等式恒成立从开口方向及判别式两方面考虑．4.【答案】C【解析】解：a⃗+b⃗ =(√3−12,√3−12)；∴(a⃗+b⃗ )⋅b⃗ =3−√34−√3−14=2−√32≠0；∴a⃗+b⃗ 不与b⃗ 垂直；∴A错误；(a⃗+b⃗ )⋅a⃗=−√3−14+3−√34=2−√32≠0；∴a⃗+b⃗ 不与a⃗垂直；∴B错误；又(a⃗+b⃗ )⋅(a⃗−b⃗ )=a⃗2−b⃗ 2=1−1=0；∴(a⃗+b⃗ )⊥(a⃗−b⃗ )；∴C正确．故选：C．可求出a⃗+b⃗ 的坐标，进而可求出(a⃗+b⃗ )⋅a⃗≠0,(a⃗+b⃗ )⋅b⃗ ≠0，即得出a⃗+b⃗ 与a⃗和b⃗ 都不垂直，从而判断出A，B都错误；容易求出(a⃗+b⃗ )⋅(a⃗−b⃗ )=a⃗2−b⃗ 2=0，从而判断出(a⃗+b⃗ )⊥(a⃗−b⃗ )，即得出C正确．考查向量坐标的加法和数量积运算，以及向量数量积的运算，向量垂直的充要条件．5.【答案】D【解析】【试题解析】【分析】本题主要考查了正弦定理，大边对大角，同角三角函数基本关系式，两角和的正弦函数公式，三角形面积公式在解三角形中的应用，属于基础题．由已知利用正弦定理可得sin C，根据大边对大角可求C为锐角，利用同角三角函数基本关系式可求cos C，利用两角和的正弦函数公式可求sin B，根据三角形面积公式即可计算得解．【解答】解：∵a=7，c=3，∠A=60°，∴由正弦定理可得：sinC=c⋅sinAa =3×√327=3√314，∵a>c，C为锐角，∴cosC=√1−sin2C=1314，∴可得：sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC=√32×1314+12×3√314=4√37，∴S△ABC=12acsinB=12×7×3×4√37=6√3．故选：D．6.【答案】B【解析】【分析】本题考查函数的零点的存在定理，属于基础题．函数f(x)=ln(x+1)−2x的零点所在区间需满足的条件是函数在区间端点的函数值符号相反．【解答】解：函数f(x)=ln(x+1)−2x在定义域内为增函数，只有一个零点，∵f(1)=ln2−2<0，f(2)=ln3−1>lne−1=0，即f(1)⋅f(2)<0，∴函数f(x)=ln(x+1)−2x的零点所在区间是(1,2)，故选：B．7.【答案】C【解析】解：由约束条件{x −y ≤0x +y −4≤0x −1≥0作出可行域如图，联立{x =1x +y −4=0，解得A(1,3)，∵z =yx =y−0x−0，如图所示，经过原点(0,0)与A 的直线斜率最大为3， ∴yx 的最大值是3． 故选：C ．由约束条件作出可行域，再由yx 的几何意义，即可行域内的动点与原点连线的斜率求解． 本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．8.【答案】B【解析】解：等比数列{a n }中，−1，1，−1，1，−1，1，…故数列为摆动数列，不为递增数列， 当{a n }为递增数列，则a 2>a 1，所以，“a 2>a 1”是“{a n }为递增数列”的必要不充分条件． 故选：B ．直接利用举例法满足，“a 2>a 1”的等比数列，不为单调递增数列，进一步利用数列的单调性的应用求出结果．本题考查的知识要点：成分条件和必要条件，数列的单调性，列举法，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．9.【答案】D【解析】解：由f(x)+f(−x)=0得f(−x)=−f(x)，即函数是奇函数，图象关于原点对称，排除C ，D ， 当x >0时，f(x)=1nx −x +1，则f(1)=ln1−1+1=0，f(e)=lne −e +1=1−e +1=−e <0，排除B ， 故选：D ．根据条件判断函数的奇偶性，利用特殊值的符号进行排除即可．本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数奇偶性的对称性以及函数特殊值的符号，利用排除法是解决本题的关键．10.【答案】B【解析】【分析】设球心为M，三角形ABC截面小圆的圆心为O，根据条件作出对应的直观图，求出棱锥P−ABC的高和底面边长，计算出锥体的体积即可．本题主要考查三棱锥的体积公式的计算，利用三棱锥和球的关系是解决本题的关键，考查学生的运算能力，属于中档题．【解答】解：设球心为M，三角形ABC截面小圆的圆心为O，∵ABC是等边三角形，∠APQ=∠BPQ=∠CPQ=30°，∴P在面ABC的投影O是等边△ABC的重心(此时四心合一)，∵PQ是直径，∴∠PCQ=90°，，，，O是等边△ABC的重心，∴OC=2OH，3∴等边三角形ABC的高OH=3√3，2AC =3√32sin60∘=3，三棱锥P −ABC 体积=13PO ⋅S △ABC =13×3×12×3√32×3=9√34．故选：B ．11.【答案】A【解析】解：当x <0时，f′(x)=−1x 2−1<0， ∴f(x)在(−∞,0)上是减函数，当x >0时，f(x)=|lnx|={−lnx,0<x <1lnx,x ≥1，∴f(x)在(0,1)上是减函数，在[1,+∞)上是增函数， 做出f(x)的大致函数图象如图所示：设f(x)=t ，则当t <0时，方程f(x)=t 有一解， 当t =0时，方程f(x)=t 有两解， 当t >0时，方程f(x)=t 有三解．由[f(x)]2−f(x)+a =0，得t 2−t +a =0， 若方程t 2−t +a =0有两解t 1，t 2，则t 1+t 2=1， ∴方程t 2−t +a =0不可能有两个负实数根， ∴方程[f(x)]2−f(x)+a =0不可能有2个解． 故选A ．判断f(x)的单调性，做出f(x)的草图，得出f(x)=t 的根的情况，根据方程t 2−t +a =0不可能有两个负根得出结论．本题考查了函数单调性的判断，根的存在性判断，一元二次方程的根的个数判断，属于中档题．12.【答案】C【解析】【分析】本题考查了利用导数求函数的极值，研究函数的零点问题，利用导数研究函数的单调性，对于利用导数研究函数的单调性，注意导数的正负对应着函数的单调性．对四个选项分别进行判断，即可得出结论．【解答】解：∵f(x)=e x−ax，∴f′(x)=e x−a，令f′(x)=e x−a>0，①当a≤0时，f′(x)=e x−a>0在x∈R上恒成立，∴f(x)在R上单调递增，不符合题意；②当a>0时，∵f′(x)=e x−a>0，∴e x−a>0，解得x>lna，∴f(x)在(−∞,lna)单调递减，在(lna,+∞)单调递增．∵函数f(x)=e x−ax有两个零点x1<x2，∴f(lna)<0，a>0，∴e lna−alna<0，∴a>e，A正确；x1+x2=ln(a2x1x2)=2lna+ln(x1x2)>2+ln(x1x2)，，f(2)=e2−2a=0，取a=e22∴x2=2，f(0)=1>0，∴0<x1<1，∴x1+x2>2，B正确；f(0)=1>0，∴0<x1<1，x1x2>1不一定，C不正确；f(x)在(−∞,lna)单调递减，在(lna,+∞)单调递增，∴有极小值点x0=lna，由图象观察可得x1+x2<2x0=2lna，D正确．故选：C．13.【答案】√2【解析】解：∵1−i⋅z=i，∴iz=1−i，则z=1−ii =(1−i)(−i)−i=−1−i，则|z|=√(−1)2+(−1)2=√2．故答案为：√2．把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求解．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．14.【答案】3n【解析】解：根据题意得，a1=3，S3=a1+a2+a3=18，∴3a2=18，∴a2=6，∴d=3，∴a n=3+3(n−1)=3n，故答案为：3n．运用等差数列的前n项和公式可解决此问题．本题考查等差数列的前n项和公式和等差数列的通项公式．15.【答案】17【解析】解：∵输入的x=2，n=2，当输入的a为2时，S=2，k=1，不满足退出循环的条件；当再次输入的a为2时，S=6，k=2，不满足退出循环的条件；当输入的a为5时，S=17，k=3，满足退出循环的条件；故输出的S值为17，故答案为：17．根据已知的程序框图可得，该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，可得答案．本题考查的知识点是程序框图，当循环次数不多，或有规律可循时，可采用模拟程序法进行解答．16.【答案】(1)(2)【解析】(1)∵AB//CD，AB⊈平面PCD，CD⊆平面PCD，∴AB//平面PCD因此(1)正确(2)∵平面ABCD⊥平面PCD，平面ABCD∩平面PCD=CD，AD⊥CD，AD⫋平面ABCD，∴AD⊥平面PCD因此(2)正确．(3)假设棱BC上存在一点F，使得MF//PC，则MF，PC共面，而M∉PC，∴M，PC确定唯一的平面MPC即平面PAC．于是F∈平面PAC，但是F∈BC，BC⊆平面ABCD，所以F∈AC，从而F与C重合．这与MF//PC矛盾，假设不成立，因此不存在F满足题意．因此(3)错误．故答案为(1)(2)(1)根据线面平行的判定定理进行判断；(2)根据线面垂直的性质定理进行证明；(3)根据共面的性质进行判断．本题考查的是线面平行和线面垂直的判定，考查平面的基本性质．立体几何中要说明一个命题正确，一般需要进行证明，而说明命题错误可以举反例，也可以用反证法．17.【答案】解：(Ⅰ)设这名学生考核优秀为事件A，由茎叶图中的数据可以知道，30名同学中，有7名同学考核优秀，所以所求概率P(A)约为730(Ⅱ)设从图中考核成绩满足X∈[80,89]的学生中任取2人，至少有一人考核成绩优秀为事件B，因为表中成绩在[80,89]的6人中有2个人考核为优，所以基本事件空间Ω包含15个基本事件，事件B包含9个基本事件，所以P(B)=915=35；(Ⅲ)根据表格中的数据，满足|X−8510|≤1的成绩有16个，所以P(|X−8510|≤1)=1630=815>0.5，所以可以认为此次冰雪培训活动有效．【解析】(Ⅰ)根据茎叶图求出满足条件的概率即可；(Ⅱ)结合图表得到6人中有2个人考核为优，从而求出满足条件的概率即可；(Ⅲ)求出满足|X−8510|≤1的成绩有16个，求出满足条件的概率即可．本题考查了茎叶图问题，考查概率求值以及转化思想，是一道常规题．18.【答案】解：(1)设内角A、B、C的对边分别为a、b、c，∵在△ABC中，三个内角A，B，C依次成等差数列，∴2B=A+C，∵A+B+C=180°，∴B=60°，∵△ABC的面积为3√3=12acsinB=√34ac，∴ac=12，∵sinC=3sinA，由正弦定理可得：c=3a，∴解得：a=2，c=6，∴由余弦定理得AC=b=√a2+c2−2accosB=√4+36−2×2×6×12=2√7．(2)因为D为AC边的中点，所以：BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12(BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ )， 两边平方，可得：BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2=14(BA ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+2BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ )， 可得：|BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2=14(c 2+a 2+2a ⋅c ⋅cosB) =14(c 2+a 2+a ⋅c)≥14(2ac +ac)=14×3×12=9，解得BD ≥3，当且仅当a =c 时等号成立， 可得BD 的最小值为3．【解析】本题主要考查了等差数列的性质，正余弦定理，三角形面积公式，平面向量的应用，基本不等式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．(1)由A ，B ，C 依次成等差数列，得到2B =A +C ，再由内角和定理求出B 的度数，利用三角形的面积公式，正弦定理，余弦定理即可计算得解．(2)由题意可得BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12(BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ )，两边平方，利用平面向量数量积的运算，基本不等式即可计算得解BD 的最小值．19.【答案】解：(Ⅰ)证明：∵点E ，F 分别是边CD ，CB 的中点． ∴BD//EF ，∵菱形ABCD 的对角线互相垂直， ∴BD ⊥AC ， ∴EF ⊥AC ，∴EF ⊥AO ，EF ⊥PO ，∵AO ⊂平面POA ，PO ⊂平面POA ，AO ∩PO =O ， ∴EF ⊥平面POA ， ∴BD ⊥平面POA ，∴BD ⊥PA(2)解：设AO ∩BD =H ，连接BO ，∵∠DAB=60°，∴△ABD为等边三角形，∴BD=4，BH=2，HA=2√3，HO=PO=√3，在RT△BHO中，BO=√BH2+HO2=√7，在△PBO中，BO2+PO2=10=PB2，∴PO⊥BO．∵PO⊥EF，EF∩BO=O，EF⊂平面BFED，BO⊂平面BFED，∴PO⊥平面BFED梯形BFED的面积S=12(EF+BD)⋅HO=3√3，∴四棱锥P−BFED的体积V=13S⋅PO=13×3√3×√3=3．【解析】本题考查直线与平面垂直的判断定理与性质定理的应用，几何体的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力．(Ⅰ)证明BD//EF，推出EF⊥AC，EF⊥AO，EF⊥PO，即可证明EF⊥平面POA，推出BD⊥PA(2)设AO∩BD=H，连接BO，说明△ABD为等边三角形，求出HO，BO，说明PO⊥BO.然后转化求解四棱锥P−BFED的体积．20.【答案】解：(1)设椭圆C1的半焦距为c，依题意，a>b，且F(2√2,0)，则c=2√2,a−c=3−2√2，又a2=b2+c2，可得a=3,b=1，所以椭圆C1的方程为x29+y2=1；(2)依题意，可得直线PA，PB的斜率存在且不为零，不妨设直线PA：y=k(x−3)，k≠0，则直线PB：y=−1k(x−3)，联立{y=k(x−3)x29+y2=1，得(1+9k2)x2−54k2x+(81k2−9)=0，所以3x A=81k2−91+9k2⇒x A=27k2−31+9k2，则|PA|=√1+k 2⋅61+9k 2， 同理可得：|PB|=√1+1k 2⋅61+9⋅1k2=√1+k 2⋅6|k |9+k 2，所以△PAB 的面积S =12|PA||PB|=18(1+k 2)|k |(1+9k 2)(9+k 2) =18(1+k 2)|k |9(1+k 2)2+64k 2≤2222=38，当且仅当3(k 2+1)=8|k |时，△PAB 的面积取得最大值38．【解析】本题考查椭圆的简单性质以及椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力，属于较难题．(1)利用已知条件转化求解椭圆的几何量，求解椭圆方程即可；(2)设出直线方程，利用直线与椭圆方程联立，利用弦长公式转化求解三角形的面积，利用基本不等式求解即可．21.【答案】解：(1)因f(x)在(1,+∞)上为减函数，故f′(x)=lnx−1(lnx)2−a ≤0在(1,+∞)上恒成立，又f′(x)=lnx−1(lnx)2−a =−(1lnx )2+1lnx −a =−(1lnx −12)2+14−a ， 故当1lnx =12，即x =e 2时，f′(x)max =14−a ， 所以14−a ≤0，于是a ≥14，故a 的最小值为14． (2)命题“若∃x 1,x 2∈[e,e 2]，使f(x 1)≤f′(x 2)+a 成立 ”等价于“当x ∈[e,e 2]时，有f(x)min ≤f′(x)max +a ”， 由(1)，当x ∈[e,e 2]时，f′(x)max =14−a ，所以f′(x)max +a =14， 问题等价于：“当x ∈[e,e 2]时，有f(x)min ≤14”. ①当a ≥14时，由(1)，f(x)在[e,e 2]上为减函数， 则f(x)min =f(e 2)=e 22−ae 2≤14，故a ≥12−14e 2；②当a <14时，由于f′(x)=−(1lnx −12)2+14−a 在[e,e 2]上为增函数， 故f′(x)的值域为[f′(e),f′(e 2)]，即[−a,14−a]．(ⅰ)若−a ≥0，即a ≤0，f′(x)≥0在[e,e 2]上恒成立，故f(x)在[e,e 2]上为增函数， 于是，f(x)min =f(e)=e −ae ≥e >14，不合题意；(ⅰ)若−a <0，即0<a <14，由f′(x)的单调性和值域知， ∃唯一x 0∈(e,e 2)，使f′(x 0)=0，且满足： 当x ∈(e,x 0)时，f′(x 0)<0，f(x)为减函数； 当x ∈(x 0,e 2)时，f′(x 0)>0，f(x)为增函数；所以，f(x)min =f(x 0)=x 0lnx 0−ax 0≤14,x 0∈(e,e 2)，所以，a ≥1lnx 0−14x 0>1lne 2−14e >12−14=14，与0<a <14矛盾，不合题意．综上，得a ≥12−14e 2．【解析】(1)求出函数的导数，结合二次函数的性质求出导函数的最大值，从而求出a 的范围即可； (2)问题等价于当x ∈[e,e 2]时，有f(x)min ≤f′(x)max +a ，通过讨论a 的范围，得到函数的单调区间，从而求出a 的具体范围即可．本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，是一道综合题．22.【答案】解：(1)∵曲线C 的参数方程为{x =2cosβy =2+2sinβ(β为参数)，∴消去参数β，得曲线C 的普通方程为x 2+(y −2)2=4， 化简得x 2+y 2=4y ，则ρ2=4ρsinθ， 所以曲线C 的极坐标方程为ρ=4sinθ．(2)∵直线l 的参数方程为{x =tcosαy =2+tsinα(t 为参数，0≤α<π)，∴由直线l 的参数方程可知，直线l 必过点(0,2)，也就是圆C 的圆心，则∠MON =π2， 不妨设M(ρ1,θ),N(ρ2,θ+π2)，其中θ∈(0,π2)，则|OM|+|ON|=ρ1+ρ2=4sinθ+4sin(θ+π2)=4(sinθ+cosθ)=4√2sin(θ+π4)， 所以当θ=π4，|OM|+|ON|取得最大值为4√2．【解析】本小题考查曲线和圆的极坐标方程、参数方程等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想等，属于中档题．(1)曲线C 的参数方程消去参数β，得曲线C 的普通方程，由此能求出曲线C 的极坐标方程．(2)由直线l 的参数方程可知，直线l 必过圆C 的圆心(0,2)，则∠MON =π2，设M(ρ1,θ),N(ρ2,θ+π2)，则|OM|+|ON|=4√2sin(θ+π4)，当θ=π4，|OM|+|ON|取得最大值为4√2．23.【答案】解：(1)f(1)+f(−1)=|1−a|−|1+a|>1，若a ≤−1，则1−a +1+a >1，得2>1，即a ≤−1时恒成立， 若−1<a <1，则1−a −(1+a)>1，得a <−12，即−1<a <−12， 若a ≥1，则−(1−a)−(1+a)>1，得−2>1，即不等式无解， 综上所述，a 的取值范围是(−∞,−12)．(2)由题意知，要使得不等式恒成立，只需[f(x)]max ≤[|y +54|+|y −a|]min ， 当x ∈(−∞,a]时，f(x)=−x 2+ax,[f(x)]max =f(a2)=a 24，因为|y +54|+|y −a|≥|a +54|，所以当y ∈[−54,a]时，[|y +54|+|y −a|]min =|a +54|=a +54， 即a 24≤a +54，解得−1≤a ≤5，结合a >0，所以a 的取值范围是(0,5]．【解析】(1)利用f(1)+f(−1)=|1−a|−|1+a|>1，通过a ≤−1，−1<a <1，a ≥1，分别求解即可． (2)要使得不等式恒成立，只需[f(x)]max ≤[|y +54|+|y −a|]min ，通过二次函数的最值，绝对值的几何意义，转化求解即可．本题考查函数的最值的求法，二次函数的简单性质以及绝对值不等式的几何意义，考查分类讨论思想的应用．。

辽宁省沈阳二中2020届高三下学期四模数学理科试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．某班组织由甲、乙、丙等5名同学参加的演讲比赛，现采用抽签法决定演讲顺序，在“学生甲不是第一个出场，学生乙不是最后一个出场”的前提下，学生丙第一个出场的概率为（ ）A ．313B ．413 C ．14 D ．152．已知21nx x ⎛⎫ ⎪⎝⎭+的二项展开式的各项系数和为32，则二项展开式中x 的系数为（ ） A ．5 B ．10C ．20D ．403．复数2()12miA Bi m AB R i-=+∈+、、，且0A B +=，则m 的值是（ ） A ．23-B ．23 C ．2 D ．24．设1e ，2e 分别为具有公共焦点1F ，2F 的椭圆和双曲线的离心率，P 为两曲线的一个公共点，且满足120PF PF ⋅=u u u r u u u u r ，则221211e e +的值为（ ）A ．12B ．13 C ．2D ．不确定5．已知复数12z z ，在复平面内的对应点关于实轴对称，13z i =-（i 为虚数单位），则12z z =（ ） A ．4355i - B ．4355i -+ C ．4355i -- D ．4355i +6．已知函数是定义在上的奇函数，且时，.给出下列命题:①当时；②函数有三个零点； ③的解集为；④都有.其中正确的命题有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个7．ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2b =4c =.且cos 3cos a B b A =，则ABC∆的面积为（ ） A ．2B ．3C ．4D ．328．已知双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >），1F ，2F 分别为其左、右焦点，O 为坐标原点，若点2F 关于渐近线的对称点恰好落在以1F 为圆心，1OF 为半径的圆上，则双曲线C 的离心率是（ ） A ．2 B ．3 C ．2D ．39．在区间[﹣2，2]上随机取一个数b ，若使直线y ＝x+b 与圆x 2+y 2＝a 有交点的概率为12，则a ＝（ ）A ．14B ．12 C ．1D ．210．已知函数()log (01)a f x x a =<<，则函数(1)y f x =+的图象大致为( )A ．B ．C ．D ．11．数列{}n a 中，2a 3=，5a 1=，且数列n 1a 1⎧⎫⎨⎬+⎩⎭是等差数列，则8a 等于( )A ．13B ．34C ．23 D ．112．已知集合A={1,2,3,4}，B={2,4,6,8}，则A I B 中元素的个数为 A ．1 B ．2 C ．3 D ．4二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

辽宁省沈阳市2019-2020学年高考数学模拟试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知全集为R，集合122(1),{|20}A x y xB x x x-⎧⎫⎪⎪==-=-<⎨⎬⎪⎪⎩⎭，则()A B=RIð（）A．(0,2)B．(1,2]C．[0,1]D．(0,1]【答案】D【解析】【分析】对于集合A,求得函数()121y x-=-的定义域,再求得补集；对于集合B,解得一元二次不等式, 再由交集的定义求解即可.【详解】{}12(1)|1,{|1}RA x y x x y x x A x x-⎧⎫⎧⎫⎪⎪==-===>∴=≤⎨⎬⎨⎪⎪⎩⎩⎭ð,2{|20}{|(2)0}{|02}B x x x x x x x x=-<=-<=<<,()(0,1]A B∴=RIð.故选:D【点睛】本题考查集合的补集、交集运算,考查具体函数的定义域,考查解一元二次不等式.2．已知实数x，y满足约束条件202201x yx yx+-≤⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩，则目标函数21yzx-=+的最小值为A．23-B．54-C．43-D．12-【答案】B【解析】【分析】作出不等式组对应的平面区域，目标函数21yzx-=+的几何意义为动点(),M x y到定点()1,2D-的斜率，利用数形结合即可得到z的最小值．【详解】解：作出不等式组对应的平面区域如图： 目标函数21y z x -=+的几何意义为动点(),M x y 到定点()1,2D -的斜率， 当M 位于11,2A ⎛⎫- ⎪⎝⎭时，此时DA 的斜率最小，此时1252114min z --==-+． 故选B ． 【点睛】本题主要考查线性规划的应用以及两点之间的斜率公式的计算，利用z 的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键．3．已知集合{}1,2,3,4,5,6U =，{}13,5A =,，{}2,3,4B =，则集合()U B A =U ð( )A ．{}1,2,6B ．{}1,3,6C ．{}1,6D ．{}6【答案】D 【解析】 【分析】根据集合的混合运算，即可容易求得结果. 【详解】{}1,2,3,4,5A B ⋃=Q ，故可得()U B A =U ð{}6.故选：D. 【点睛】本题考查集合的混合运算，属基础题. 4．函数2sin 1x xy x+=+的部分图象大致为（ ） A ．B ．【答案】B 【解析】 【分析】图像分析采用排除法，利用奇偶性判断函数为奇函数，再利用特值确定函数的正负情况。

辽宁省沈阳市2019-2020学年高考数学考前模拟卷（2）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设()11i a bi +=+，其中a ，b 是实数，则2a bi +=（ ） A ．1 B ．2CD【答案】D 【解析】 【分析】根据复数相等，可得,a b ，然后根据复数模的计算，可得结果. 【详解】由题可知：()11i a bi +=+， 即1a ai bi +=+，所以1,1a b ==则212a bi i +=+==故选：D 【点睛】本题考查复数模的计算，考验计算，属基础题.2．中心在原点，对称轴为坐标轴的双曲线C 的两条渐近线与圆22(2)1x y -+=都相切，则双曲线C 的离心率是（ ） A ．2或3B ．2C2D．3或2【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，由圆的切线求得双曲线的渐近线的方程，再分焦点在x 、y 轴上两种情况讨论，进而求得双曲线的离心率． 【详解】设双曲线C 的渐近线方程为y=kx1k ∴=， ， 得双曲线的一条渐近线的方程为3y =∴焦点在x 、y 轴上两种情况讨论：①当焦点在x 轴上时有：233323 333b c e a a +==＝，＝；②当焦点在y 轴上时有： 2333233a c eb a +==＝，＝；∴求得双曲线的离心率 2或23． 故选：A ． 【点睛】本小题主要考查直线与圆的位置关系、双曲线的简单性质等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想．解题的关键是：由圆的切线求得直线 的方程，再由双曲线中渐近线的方程的关系建立等式，从而解出双曲线的离心率的值．此题易忽视两解得出错误答案． 3．函数sin y x x =+在[]2,2x ππ∈-上的大致图象是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】 【分析】讨论x 的取值范围，然后对函数进行求导，利用导数的几何意义即可判断. 【详解】当0x ≥时，sin y x x =+，则cos 10y x '=+≥， 所以函数在[]0,2π上单调递增， 令()cos 1g x x =+，则()sin g x x '=-， 根据三角函数的性质，当[]0,x π∈时，()sin 0g x x '=-<，故切线的斜率变小， 当[],2x ππ∈时，()sin 0g x x '=->，故切线的斜率变大，可排除A 、B ；当0x <时，sin y x x =-+，则cos 10y x '=-+≥， 所以函数在[]2,0π-上单调递增， 令 ()cos 1h x x =-+，()sin h x x '=，当[]2,x ππ∈--时，()sin 0h x x '=>，故切线的斜率变大， 当[],0x π∈-时，()sin 0h x x '=<，故切线的斜率变小，可排除C ， 故选：D 【点睛】本题考查了识别函数的图像，考查了导数与函数单调性的关系以及导数的几何意义，属于中档题. 4．设m r ，n r 均为非零的平面向量，则“存在负数λ，使得m n λ=r r ”是“0m n ⋅<r r”的 A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】 【分析】根据充分条件、必要条件的定义进行分析、判断后可得结论． 【详解】因为m r ，n r 均为非零的平面向量，存在负数λ，使得m n λ=r r， 所以向量m r ，n r共线且方向相反， 所以0m n ⋅<r r，即充分性成立；反之，当向量m r ，n r 的夹角为钝角时，满足0m n ⋅<r r ，但此时m r ，n r不共线且反向，所以必要性不成立． 所以“存在负数λ，使得m n λ=r r ”是“0m n ⋅<r r”的充分不必要条件． 故选B ． 【点睛】判断p 是q 的什么条件，需要从两方面分析：一是由条件p 能否推得条件q ；二是由条件q 能否推得条件p ，定义法是判断充分条件、必要条件的基本的方法，解题时注意选择恰当的方法判断命题是否正确． 5．地球上的风能取之不尽，用之不竭.风能是淸洁能源，也是可再生能源.世界各国致力于发展风力发电，近10年来，全球风力发电累计装机容量连年攀升，中国更是发展迅猛，2014年累计装机容量就突破了100GW ，达到114.6GW ，中国的风力发电技术也日臻成熟，在全球范围的能源升级换代行动中体现出大国的担当与决心.以下是近10年全球风力发电累计装机容量与中国新增装机容量图. 根据所给信息，正确的统计结论是（ ）A．截止到2015年中国累计装机容量达到峰值B．10年来全球新增装机容量连年攀升C．10年来中国新增装机容量平均超过20GWD．截止到2015年中国累计装机容量在全球累计装机容量中占比超过1 3【答案】D【解析】【分析】先列表分析近10年全球风力发电新增装机容量，再结合数据研究单调性、平均值以及占比，即可作出选择.【详解】年份2009 2010 2011 2012 2013 2014 2015 2016 2017 2018 累计装机容量158.1 197.2 237.8 282.9 318.7 370.5 434.3 489.2 542.7 594.1 新增装机容量39.1 40.6 45.1 35.8 51.8 63.8 54.9 53.5 51.4 中国累计装机装机容量逐年递增，A错误；全球新增装机容量在2015年之后呈现下降趋势，B错误；经计算，10年来中国新增装机容量平均每年为19.77GW，选项C错误；截止到2015年中国累计装机容量197.7GW，全球累计装机容量594.1158.1436GW-=，占比为45.34%，选项D正确.故选：D【点睛】本题考查条形图，考查基本分析求解能力，属基础题.6．函数1()ln||1xf xx+=-的图象大致为A．B．C ．D ．【答案】D 【解析】 【分析】 【详解】由题可得函数()f x 的定义域为{|1}x x ≠±， 因为1()ln ||1x f x x --==+1ln ||()1xf x x+-=--，所以函数()f x 为奇函数，排除选项B ； 又(1.1)ln 211f =>，(3)ln 21f =<，所以排除选项A 、C ，故选D ． 7．给出以下四个命题：①依次首尾相接的四条线段必共面；②过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面；③空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角必相等； ④垂直于同一直线的两条直线必平行. 其中正确命题的个数是（ ） A ．0 B ．1C ．2D ．3【答案】B 【解析】 【分析】用空间四边形对①进行判断；根据公理2对②进行判断；根据空间角的定义对③进行判断；根据空间直线位置关系对④进行判断. 【详解】①中，空间四边形的四条线段不共面，故①错误.②中，由公理2知道，过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面，故②正确. ③中，由空间角的定义知道，空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么 这两个角相等或互补，故③错误.④中，空间中，垂直于同一直线的两条直线可相交，可平行，可异面，故④错误. 故选：B 【点睛】本小题考查空间点，线，面的位置关系及其相关公理，定理及其推论的理解和认识；考查空间想象能力，推理论证能力，考查数形结合思想，化归与转化思想.8．已知cos(2019)3πα+=-，则sin(2)2πα-=（ ）A ．79B ．59C ．59-D ．79-【答案】C 【解析】 【分析】利用诱导公式得cos(2019)cos παα+=-，sin(2)cos 22παα-=，再利用倍角公式，即可得答案.【详解】由cos(2019)3πα+=-可得cos()3πα+=-，∴cos α=，∴225sin(2)cos22cos 121299πααα-==-=⨯-=-. 故选：C. 【点睛】本题考查诱导公式、倍角公式，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意三角函数的符号.9．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的一条渐近线的倾斜角为θ，且cos θ=率为（ ）A B C ．2 D ．4【答案】A 【解析】 【分析】由倾斜角的余弦值，求出正切值，即,a b 的关系，求出双曲线的离心率. 【详解】解：设双曲线的半个焦距为c ，由题意[0,)θπ∈又cos θ=sin θ=tan 2θ=，2b a =，所以离心率c e a === 故选：A. 【点睛】本题考查双曲线的简单几何性质，属于基础题10．已知底面为正方形的四棱锥，其一条侧棱垂直于底面，那么该四棱锥的三视图可能是下列各图中的（）A．B．C．D．【答案】C【解析】试题分析：通过对以下四个四棱锥的三视图对照可知，只有选项C是符合要求的.考点：三视图11．函数y=2x sin2x的图象可能是A．B．C．D．【答案】D分析:先研究函数的奇偶性，再研究函数在π(,π)2上的符号，即可判断选择.详解：令()2sin 2xf x x =， 因为,()2sin 2()2sin 2()x x x R f x x x f x -∈-=-=-=-，所以()2sin 2xf x x =为奇函数，排除选项A,B;因为π(,π)2x ∈时，()0f x <，所以排除选项C ，选D.点睛：有关函数图象的识别问题的常见题型及解题思路：（1）由函数的定义域，判断图象的左、右位置，由函数的值域，判断图象的上、下位置；（2）由函数的单调性，判断图象的变化趋势；（3）由函数的奇偶性，判断图象的对称性；（4）由函数的周期性，判断图象的循环往复．12．设全集U=R ，集合{}221|{|}xM x x x N x =≤=，＜，则U M N =I ð（ ） A ．[]0,1 B ．(]0,1 C ．[)0,1 D ．(],1-∞【答案】A 【解析】 【分析】求出集合M 和集合N,，利用集合交集补集的定义进行计算即可． 【详解】{}20121{|}|{|}{|}0x M x x x x x N x x x =≤=≤≤==，＜＜， {}|0U N x x =≥ð，则{}011|]0[U M N x x =≤≤=I ，ð， 故选：A ． 【点睛】本题考查集合的交集和补集的运算，考查指数不等式和二次不等式的解法，属于基础题． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2019—2020学年度下学期高三第二次模拟考试试题数学（文科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分第Ⅰ卷一、选择题（本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1.已知{}(1)0A x x x =->，{}|1B x x =<，则A B =( )A. (0,1)B. RC. (,1)-∞D.(,1)(1,)-∞⋃+∞【★答案★】C 【解析】 【分析】先求出集合A ，再求并集即可.【详解】{}{}(1)001A x x x x x =->=<<，故(,1)A B ⋃=-∞. 故选：C.【点睛】本题考查并集的求法，属于基础题.2.已知()5,2a =-，()4,3b =--，若230a b c -+=，则c =( )A. 138,33⎛⎫ ⎪⎝⎭B. 138,33⎛⎫-- ⎪⎝⎭C. 134,33⎛⎫⎪⎝⎭D.134,33⎛⎫-- ⎪⎝⎭【★答案★】D 【解析】 【分析】先由230a b c -+=，可得()123c a b =--，进而代入点的坐标进行计算即可. 【详解】解：230a b c -+=，∴()123c a b =--.()()()25,28,613,4a b -=----=.∴()11342,333c a b ⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭. 故选：D.【点睛】本题考查平面向量的坐标运算，考查运算能力，属于基础题.3.如图，复平面上的点1234,,,Z Z Z Z 到原点的距离都相等，若复数z 所对应的点为1Z ，则复数•z i （i 是虚数单位）的共轭复数所对应的点为（ ）A. 1ZB. 2ZC. 3ZD. 4Z【★答案★】B 【解析】试题分析：z i ⋅为将复数z 所对应的点逆时针旋转90得2Z ，选B. 考点：复数几何意义【名师点睛】本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题.首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如()()()(),(,,.)a bi c di ac bd ad bc i a b c d R ++=-++∈. 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数(,)a bi a b R +∈的实部为a 、虚部为b 22a b +.a bi -4. 某校高三（1）班共有48人，学号依次为1，2，3，…，48，现用系统抽样的办法抽取一个容量为6的样本.已知学号为3，11，19，35，43的同学在样本中，那么还有一个同学的学号应为（ ） A. 27 B. 26C. 25D. 24【★答案★】A 【解析】试题分析：根据系统抽样的规则——“等距离”抽取，也就抽取的号码差相等，根据抽出的序号可知学号之间的差为8，所以在19与35之间还有27，故选A. 考点：随机抽样.5.已知a b >，则条件“0c ≤”是条件“ac bc <”的( )条件. A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分又不必要条件【★答案★】B 【解析】 【分析】根据不等式的性质及充分条件和必要条件的定义判断即可. 【详解】先判断充分性：若0c ≤，又a b >，当0c时，ac bc <不成立，故充分性不成立； 再判断必要性：若ac bc <，又a b >，所以0c <，可得0c ≤，故必要性成立， 所以条件“0c ≤”是条件“ac bc <”的必要不充分条件条件. 故选：B.【点睛】本题主要充分条件和必要条件的判定，同时考查不等式的性质，属于基础题. 6.设l 是直线，α，β是两个不同的平面( ) A. 若//l α，l β//，则//αβ B. 若//l α，l β⊥，则αβ⊥ C. 若αβ⊥，l α⊥，则l β⊥ D. 若αβ⊥，//l α，则l β⊥【★答案★】B 【解析】 【分析】根据空间中线面、面面间的位置关系对选项逐一判断即可. 【详解】由l 是直线，α，β是两个不同的平面，可知：A 选项中，若//l α，l β//，则α，β可能平行也可能相交，错误；B 选项中，若//l α，l β⊥，由线面平行、线面垂直的性质和面面垂直的判定可知αβ⊥，正确；C 选项中，若αβ⊥，l α⊥，由面面垂直、线面垂直的性质可知l β//或l β⊂，错误；D 选项中，若αβ⊥，//l α，则l ，β可能平行也可能相交，错误.故选：B.【点睛】本题考查了线面、面面间的位置关系的判断，考查了空间思维能力，属于基础题. 7.某个家庭有三个孩子，则该家庭至少有两个孩子是女孩的概率是( ) A.34B. 38C.47D.12【★答案★】D 【解析】 【分析】利用独立重复实验分有2女孩和3女孩可求出结果. 【详解】解：因为每次生女孩的概率是12，所以家庭有三个孩子相当于3次独立重复事件， 故该家庭至少有两个孩子是女孩的概率232333111112222P C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 故选：D.【点睛】本题考查独立重复事件概率的求法，属于基础题.8.已知函数()()sin f x A x =+ωϕ（0A >，0>ω，ϕπ<）的部分图象如图所示，则函数()()cos g x A x ωϕ=+图象的一个对称轴可能为( )A. 2x =B. 8x =C. 6x =-D. 2x =-【★答案★】D 【解析】 【分析】由函数图象顶点坐标求出A ，由周期求出ω，再结合图象求出ϕ的值，可得()g x 的解析式，再利用余弦函数的图象的对称性，得出结论.【详解】解：由函数()()sin f x A x =+ωϕ（0A >，0>ω，ϕπ<）的部分图象，可得23A =，()1126222T πω=⋅=--，∴8πω=. 再结合图象可得()208πϕ⨯-+=，求得4πϕ=.∴()23sin 84f x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.则函数()()cos 23cos 84g x A x x ππωϕ⎛⎫=+==+⎪⎝⎭.令84x k πππ+=，求得82x k =-，k Z ∈，当0k =时，2x =-. 故函数()g x 的一条对称轴为2x =-.故选：D.【点睛】本题考查函数()sin y A ωx φ=+的部分图象求解析式，考查余弦函数的图象的对称性，属于基础题.9.我国著名数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休.在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数的图象的特征．如函数()21cos 21x x f x x +=-的图象大致是( )A.B.C.D.【★答案★】B 【解析】 【分析】先根据函数的奇偶性的判断得()()f x f x -=-，函数()f x 是奇函数，故排除A 选项和C 选项，再由当0x >时，0x →，()21cos 21x x f x x +=→+∞-，可排除D 选项，可得选项.【详解】因为()21cos 21x x f x x +=-，所以()()()2121cos cos 2121x x x x f x x x f x --++-=-=-=---，所以函数()f x 是奇函数，故排除A 选项和C 选项，在0x >时，当0x →，121,210,21xxx →-→→+∞-，所以21212121x x x y +==+→+∞--，而当0x →时，cos 1x →，所以在0x >时，当0x →，()21cos 21x x f x x +=→+∞-，所以排除D 选项，所以只有B 选项符合条件. 故选：B.【点睛】本题考查由解析式判断函数图象,根据图象需分析函数的定义域和奇偶性,特殊值的正负,以及是否过定点等函数的性质,从而排除选项,属于基础题.10.已知数列{}n a 满足12,n n a a n n N +-=∈.则211ni i a a ==-∑( )A.111n n-- B.1n n - C. (1)n n -D.12n【★答案★】B 【解析】 【分析】首先利用累加法求出()11n a a n n -=-，再利用裂项相消法求和即可； 【详解】解：因为12,n n a a n n N +-=∈，所以2121a a -=⨯，3222a a -=⨯，4323a a -=⨯，……，()121n n a a n --=⨯- 所以()()()()()213212122211n n a a a a a a n n n --+-++-=⨯+⨯++⨯-=-所以()11n a a n n -=-所以()21111111223341ni i a a n n==++++-⨯⨯⨯-⨯∑11111111223341n n=-+-+-++-- 11n =-1n n-=故选：B【点睛】本题考查累加法求数列的通项公式以及裂项相消法求和，属于中档题.11.在直角坐标系xOy 中，F 是椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的左焦点，,A B 分别为左、右顶点，过点F 作x 轴的垂线交椭圆C 于P ，Q 两点，连接PB 交y 轴于点E ，连接AE 交PQ于点M ，若M 是线段PF 的中点，则椭圆C 的离心率为( ) A.2B.12C.13D.14【★答案★】C 【解析】【分析】由题意结合几何性质找到a ,c 的关系即可确定椭圆的离心率．【详解】如图，连接BQ ，则由椭圆的对称性易得∠PBF =∠QBF ，∠EAB =∠EBA ，所以∠EAB =∠QBF ，所以ME //BQ .因为△PME ∽△PQB ，所以PE PM EB MQ =，因为△PBF∽△EBO ，所以OF EP OBEB=，从而有PM OF MQOB=，又因为M 是线段PF 的中点，所以13OFPM c e a OB MQ ====. 本题选择C 选项.【点睛】椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法： ①求出a ，c ，代入公式c e a=； ②只需要根据一个条件得到关于a ，b ，c 的齐次式，结合b 2＝a 2－c 2转化为a ，c 的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a 或a 2转化为关于e 的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e (e 的取值范围)．12.已知函数()2x e x f x a =-，定义域为[]1,2，且对1x ∀，()21,2x ∈，当12x x ≠时都有()()121212f x f x x x x x -<+-恒成立，则实数a 的取值范围为( )A. 21,4e ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭B. 2,4e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C. 4,2e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D.41,2e ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭【★答案★】A 【解析】 【分析】不妨设12x x >，题目可转化为()()221122f x x f x x -<-，令()()2xF x f x x e =-=22x ax --，则()()12F x F x <，可得()F x 在()1,2上为减函数，对1x ∀，()21,2x ∈，都有()0F x '≤恒成立，对1x ∀，()21,2x ∈，都有()21x ea x≤+恒成立，只需()max21x e a x ⎛⎫≤+ ⎪⎝⎭即可得出结果. 【详解】解：不妨设12x x >，对1x ∀，()21,2x ∈，当12x x ≠时都有()()121212f x f x x x x x -<+-恒成立，等价于()()221212f x f x x x -<-，即()()221122f x x f x x -<-.令()()222xe F x x x xf x a =-=--，则()()12F x F x <，可得()F x 在()1,2上为减函数.所以对1x ∀，()21,2x ∈，都有()0F x '≤恒成立，即对1x ∀，()21,2x ∈，都有()21xe a x ≤+恒成立，令()xe h x x =，()1,2x ∈，()()210x e x h x x-'=>. 所以函数()h x 在()1,2上单调递增，所以()()222e h x h <=.所以()212x e a ≤+.即214e a ≥-.故选：A.【点睛】本题考查不等式恒成立，导数的综合应用，属于中档题.第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分，第13—21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22—23题为选考题，考生根据要求作答． 二、填空题（本大题共4小题）13.已知函数()4log (23)a f x x =+-（0a >且1a ≠）的图象恒过定点P ，且点P 在函数()g x x α=的图象上，则α=______. 【★答案★】2 【解析】 【分析】令对数的真数等于1，求得x 、y 的值，即为定点P 的坐标，再代入函数()g x 的解析式即可求出α的值．【详解】解：令231x -=得：2x =，此时()24f =，∴函数()4log (23)(0a f x x a =+->且1)a ≠的图象恒过定点(2,4)，即(2,4)P ，又点P 在函数()g x x α=的图象上，24α∴=，2α∴=，故★答案★为：2．【点睛】本题主要考查对数函数的图象经过定点问题，属于基础题．14.《张丘建算经》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女不善织，日减功迟，初日织五尺，末日织一尺，今共织九十尺，问织几日？”.其中“日减功迟”的具体含义是每天比前一天少织同样多的布，则每天比前一天少织布的尺数为_______. 【★答案★】429【解析】 【分析】设第n 天织布的尺数为n a ，可知数列{}n a 为等差数列，根据题意得出关于公差的方程，解出这个量的值，即可得出结果.【详解】设第n 天织布的尺数为n a ，可知数列{}n a 为等差数列，设等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项和为n S ，则15a =，1n a =，90n S =，则()13902n n n a a S n +===，解得30n =，301295291a a d d ∴=+=+=，解得429d =-， 因此，每天比前一天少织布的尺数为429. 故★答案★为：429. 【点睛】本题考查了等差数列的通项公式求和公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．15.已知双曲线:C 22221x y a b-=（0a b >>）的两条渐近线与圆:O 225x y +=交于M ，N ，P ，Q 四点，若四边形MNPQ 的面积为8，则双曲线C 的渐近线方程为______.【★答案★】12y x =± 【解析】 【分析】设点M 的坐标为(),x y ，联立圆与渐近线的方程求解x ，y ，再根据双曲线的对称性及四边形MNPQ 的面积求出12b a =，即可得出结论. 【详解】解：设M (),x y ，在第一象限，联立225x y by xa ⎧+=⎪⎨=⎪⎩，解得x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩. （其中222c a b =+），可知四边形MNPQ 为矩形，且根据双曲线的对称性，可知1824c c ⋅=⨯=.即()222252c ab a b ==+， 解得12b a =或2ba=（舍去）. 故双曲线的渐近线方程为12y x =±. 故★答案★为：12y x =±. 【点睛】本题考查双曲线的性质及渐近线方程，属于中档题.16.已知三棱锥P ABC -的四个顶点在球O 的球面上，PA PB PC ==，ABC 是边长为2的正三角形，E 为PA 中点，5BE PB =，则球O 的表面积为______. 【★答案★】6π 【解析】 【分析】由题意画出图形，证明三棱锥P ABC -为正三棱锥，且三条侧棱两两互相垂直，再由补形法求外接球球O 的表面积．【详解】解：如图，由PA PB PC ==，ABC ∆是边长为2的正三角形，可知三棱锥P ABC -为正三棱锥，则顶点P 在底面的射影O 为底面三角形的中心，取AB 的中点F ，连接BO 并延长，交AC 于G ，连接PG ，则AC BG ⊥，又PO AC ⊥，POBG O =，BG ⊂平面PBG ，PO ⊂平面PBG ，可得AC ⊥平面PBG ，则PB AC ⊥，E ，F 分别是PA ，AB 的中点，//EF PB ∴，又5BE PB =，所以222PB PE BE +=，即PB PA ⊥，AC PA A =，PA ⊂平面PAC ，AC ⊂平面PAC ，所以PB ⊥平面PAC ，∴正三棱锥P ABC -的三条侧棱两两互相垂直，把三棱锥补形为正方体，则正方体外接球即为三棱锥的外接球， 其直径，22226R PA PB PC =++=，所以62R =，则球O 的表面积为226446S R πππ⎛⎫== ⎪⎪= ⎝⎭． 故★答案★为：6π．【点睛】本题考查多面体外接球的表面积的求法，考查空间想象能力与思维能力，考查计算能力，属于中档题． 三、解答题17.已知ABC 的内角、、A B C 所对的边分别为a b c 、、，且cos cos 12B CA ++=. （1）求角A 的值. （2）若ABC面积为7()b c b c +=>，求a 及sin B 的值.【★答案★】（1）3π；（2）a =【解析】 【分析】（1）利用三角恒等变换与三角形的内角和公式，即可求得A 的值； （2）由三角形的面积公式和余弦、正弦定理，即可求得a 与sin B 的值． 【详解】解：（1）ABC ∆中，coscos 12B CA ++=， 所以cos()1cos 22AA π-=-，所以2sin 2sin 22A A = 因为sin02A ≠，所以1sin 22A =因为0,22A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以3A π= （2）由ABC面积为11sin 22S bc A bc ===12bc =；又7()b c b c +=>， 所以4b =，3c =；由余弦定理得，22212cos 169243132a b c bc A =+-=+-⨯⨯⨯=，所以a =；由正弦定理得，sin sin a b A B=，解得4sin sin b AB a===．【点睛】本题考查了三角函数求值运算问题，也考查了解三角形的应用问题，属于中档题．18.数据的收集和整理在当今社会起到了举足轻重的作用，它用统计的方法来帮助人们分析以往的行为习惯，进而指导人们接下来的行动.某支足球队的主教练打算从预备球员甲、乙两人中选一人为正式球员，他收集到了甲、乙两名球员近期5场比赛的传球成功次数，如下表： 场次第一场 第二场 第三场 第四场 第五场甲 28 33 36 38 45 乙 3931433933（1）根据这两名球员近期5场比赛的传球成功次数，完成茎叶图（茎表示十位，叶表示个位）；分别在平面直角坐标系中画出两名球员的传球成功次数的散点图； （2）求出甲、乙两名球员近期5场比赛的传球成功次数的平均值和方差；（3）主教练根据球员每场比赛的传球成功次数分析出球员在场上的积极程度和技术水平，同时根据多场比赛的数据也可以分析出球员的状态和潜力.你认为主教练应选哪位球员?并说明理由.【★答案★】（1见解析；（2）36,37x x ==甲乙，231.6s =甲，219.2s =乙；（3）见解析.【解析】 【分析】（1）根据两名球员近期5场比赛的传球成功次数，将样本数据有条理地列出来即可完成茎叶图，进而画出散点图．（2）利用平均数公式，方差公式即可求解．（3）由（2）可知，x x <甲乙，且22x x >乙甲，说明乙在场上的积极程度和技术水平高于甲，且比较稳定，可知选择乙比较好． 【详解】解：（1）茎叶图如图散点图如图：（2）2833363845365x ++++==甲，3931433933375x ++++==乙，222222(2836)(3336)(3636)(3836)(4536)649048115831.6555s -+-+-+-+-++++====甲222222(3937)(3137)(4337)(3937)(3337)436364169619.2555s -+-+-+-+-++++====乙（3）选乙比较好，理由如下：由（2）可知，x x <甲乙，且22s s >甲乙，说明乙在场上的积极程度和技术水平高于甲，且比较稳定，所以选择乙比较好.【点睛】本题考查了茎叶图，平均数，方差，考查了学生的计算能力和数形结合思想，属于基础题．19.已知矩形ABCD ，22AB BC ==，E 、F 分别为DC 、AB 中点，点M 、N 分别为DB 的三等分点，将BCD 沿BD 折起，连接AC 、AE 、AM 、ME 、CF 、CN 、FN .（1）求证：平面//AEM 平面CNF ；（2）当AE BC ⊥时，求三棱锥C ABD -的体积. 【★答案★】（1）证明见解析；（2）36. 【解析】 【分析】（1）由已知证明//EM CN ，//AM FN ，再由平面与平面平行的判定可得平面//AEM 平面CNF ；（2）由题意可知，BC CD ⊥，AE BC ⊥，证明BC ⊥平面ADC ，得到BC AC ⊥，BC AD ⊥，再证明AD ⊥平面ABC ，然后由C ABD D ABC V V --=可求三棱锥C ABD -的体积． 【详解】解：（1）证明：因为点M 、N 分别为DB 的三等分点，所以DM MN NB ==， 又因为E 为DC 中点，所以DE EC =，所以在DNC △中，//EM CN ，同理可证//AM FN ，又因为AM EM M ⋂=，AM ，EM ⊂平面AEM ，FN CN N =，FN ，CN ⊂平面FNC ， 所以平面//AEM 平面CNF ；（2）由题意可知，BC CD ⊥，AE BC ⊥，AE CD E ⋂=，AE ⊂平面ADC ，DC ⊂平面ADC ，所以BC ⊥平面ADC ，又AC 、AD ⊂平面ADC ，所以BC AC ⊥，BC AD ⊥， 因为AD AB ⊥，AB平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，AB BC B ⋂=，所以AD ⊥平面ABC ， 所以13C ABD D ABC ABC V V S AD --==⋅△， 在ABC 中，BC AC ⊥，22221113211222ABC S AC BC AB BC BC =⋅=-⋅=-⨯=△， 所以1133133C ABD ABC V S AD -=⋅=⋅⋅=△.【点睛】本题考查平面与平面平行的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用等体积法求多面体的体积，属于中档题． 20.已知函数()ln xf x e x a =--.（1）求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程； （2）若3a =，证明函数()f x 有且仅有两个零点. 【★答案★】（1）()11y e x a =--+；（2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）先对函数求导，结合导数的几何意义可求切线的斜率，进而可求切线方程；（2）先对函数求导，然后结合导数与单调性的关系先分析函数的单调性，再结合函数的性质及零点判定定理即可证明．【详解】解：（1）因为()ln xf x e x a =--，所以函数的定义域为()0,+∞且()1xf x e x'=-，()1f e a =-，所以()11k f e ='=-切点为()1,e a - 切线方程为()()()11y e a e x --=-- 即()11y e x a =--+（2）当3a =时，()ln 3xf x e x =--()1x f x e x '=-，令()1x g x e x =-，则()210xg x e x=+>'，()f x ∴'在定义域上单调递增121202f e ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭'，()110f e -'=>， 01,12x ⎛⎫∴∃∈ ⎪⎝⎭使()00010x f x e x '=-=()00,x x ∴∈时，()0f x '<，()f x 单调递减，()0,x x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 单调递增所以()()0000min 01ln 33x f x f x e x x x ==--=+- 又()0f x 在1,12⎛⎫⎪⎝⎭递减，()012302f x <+-<33113311ln 30e e f e e e e ⎛⎫=--=> ⎪⎝⎭∴在()00,x 上有且只有一个零点又()2ln 34240eef e e e e =--=->-=所以在()0,x +∞上有且只有一个零点 综上，函数()f x 有且仅有两个零点【点睛】本题综合考查了利用导数及函数的性质求解曲线的切线方程及函数零点的判定，属于中档题．21.已知点M 是抛物线1C ：()220y px p =>的准线与x 轴的交点，点P 是抛物线1C 上的动点，点A 、B 在y 轴上，APB △的内切圆为圆2C ：()2211x y -+=，且23MC OM =，其中O 为坐标原点.（1）求抛物线1C 的标准方程； （2）求APB △面积的最小值. 【★答案★】（1）22y x =；（2）8. 【解析】【分析】 （1）由()22,0,1,0,32p M C MC OM ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，求出1p =，可得抛物线1C 的标准方程； （2）设()()()00,,0,,0,P x y A b B c ，写出直线,PA PB 的方程，根据圆2C 与直线,PA PB 相切，得到,b c 的关系，写出APB △的面积，结合基本不等式，即可得到最小值. 【详解】（1）点M 是抛物线1C ：()220y px p =>的准线与x 轴的交点，,02p M ⎛⎫∴- ⎪⎝⎭，又()221,0,3C MC OM =，13122p p p ∴+=⨯∴=，. ∴抛物线1C 的标准方程为22y x =.（2）设()()()00,,0,,0,P x y A b B c ，则0bc <，直线PA 的方程为()0000y b x x y bx --+=，直线PB 的方程为()0000y c x x y cx --+=.APB 的内切圆为圆2C ：()2211x y -+=，1==，整理得()()22000000220,220x b y b x x c y c x -+-=-+-=.,b c ∴是方程()2000220x x y x x -+-=的两根，00002,22y xb c bc x x ∴+=-=---. 000,0,2bc x x <>∴>，()()()22222000002000244844222y x x y x b c b c bc x x x ⎛⎫⎛⎫+-∴-=+-=---== ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭. ()()2220002042,2x y x b c x =∴-=-,00002222x x b c x x ∴-==--.所以APB △的面积2000122x S b c x x =-=-.令002,2,0t x x t t =-∴=+>，()224448t S t tt +∴==++≥=，当且仅当4,2t t t ==时，等号成立，此时04x =.所以APB △面积的最小值为8.【点睛】本题考查抛物线的标准方程和与抛物线有关的最值问题，考查基本不等式和学生的运算化简的能力，属于较难的题目.请考生在22—23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请写（涂）清题号．选修4-4：坐标系与参数方程22.在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为2431x t a y t ⎧=+⎨=-⎩（t 为参数），圆C 的参数方程为21cos 2sin x a y a θθ⎧=+⎨=-+⎩（θ为参数）. （1）求l 和C 的普通方程；（2）将l 向左平移(0)m m >后，得到直线l '，若圆C 上只有一个点到l '的距离为1，求m . 【★答案★】（1）3470x y --=，22(1)(2)1x y -++=；（2）2m =. 【解析】 【分析】（1）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换． （2）利用点到直线的距离公式的应用和关系式的平移变换的性质的应用求出结果． 【详解】（1）由题意可得||1a =，故l 的参数方程为4131x t y t =+⎧⎨=-⎩（t 为参数），圆C 的参数方程为1cos 2sin x y θθ=+⎧⎨=-+⎩（θ为参数），消去参数t ，得l 的普通方程为3470x y --=，消去参数θ，得C 的普通方程为22(1)(2)1x y -++=.（2）l '的方程为37()44y x m =+-，即34370x y m -+-=， 因为圆C 上只有一个点到l '的距离为1，圆C 的半径为1，所以(1,2)C -到l '的距离为2， 即|3837|25m ++-=，解得2m =（1403m =-<舍去）. 【点睛】本题主要考查了参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，点到直线的距离公式的应用，函数的关系式的平移变换，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．选修4-5：不等式选讲23.设函数()()40f x x a x a =-+-≠．（1）当1a =时，求不等式()f x x <的解集；（2）若()41f x a≥-恒成立，求a 的取值范围． 【★答案★】（1）()3,5；（2）()[),01,-∞+∞．【解析】【分析】 （1）把1a =代入，利用零点分段讨论法去掉绝对值可求；（2）利用绝对值的三角不等式求出()f x 的最小值，然后求解关于a 的不等式即可.【详解】（1）当1a =时，()52,1143,1425,4x x f x x x x x x -≤⎧⎪=-+-=<<⎨⎪-≥⎩，当1x ≤时，()f x x <，无解；当14x <<时，()f x x <可得34x <<；当4x ≥时，()f x x <可得45x ≤<；故不等式()f x x <的解集为()3,5．（2）()()()444f x x a x x a x a =-+-≥---=-，4441a a a a -∴-≥-=． 当0a <或4a ≥时，不等式显然成立；当04a <<时，11a≤，则14a ≤<． 故a 的取值范围为()[),01,-∞+∞．【点睛】本题主要考查含有绝对值不等式的解法及恒成立问题，零点分段讨论法是常用解此类不等式的方法.。

2019届辽宁省沈阳市第二中学高三下学期第四次模拟数学（文）试题一、单选题1．若集合2{3}A x R x x =∈<，{12}B x x =-<<，则A B =U （ ） A ．{10}x x -<< B ．{13}x x -<< C ．{02}x x << D ．{03}x x <<【答案】B【解析】求出A 中不等式的解集确定出A ，找出A 与B 的并集即可． 【详解】由A 中不等式变形得：x （x-3）＜0， 解得：0＜x ＜3，即A={x|0＜x ＜3}， ∵B={x|-1＜x ＜2}， ∴A ∪B={x|-1＜x ＜3}， 故选B ． 【点睛】本题考查了并集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键． 2．已知复数21iz i=-，则z 的共轭复数在复平面对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】C【解析】分析：根据复数的运算，求得复数z ，再利用复数的表示，即可得到复数对应的点，得到答案．详解：由题意，复数()()()2121111i i i z i i i i +===-+--+，则1z i =-- 所以复数z 在复平面内对应的点的坐标为(1,1)--，位于复平面内的第三象限，故选C ． 点睛：本题主要考查了复数的四则运算及复数的表示，其中根据复数的四则运算求解复数z 是解答的关键，着重考查了推理与运算能力．3．某工厂一年中各月份的收入、支出情况的统计如图所示，下列说法中错误的是（ ）．A ．收入最高值与收入最低值的比是3:1B ．结余最高的月份是7月份C ．1与2月份的收入的变化率与4至5月份的收入的变化率相同D ．前6个月的平均收入为40万元 【答案】D【解析】由图可知，收入最高值为90万元，收入最低值为30万元，其比是3:1，故A 项正确；结余最高为7月份，为802060-=，故B 项正确；1至2月份的收入的变化率为4至5月份的收入的变化率相同，故C 项正确；前6个月的平均收入为1(406030305060)456+++++=万元，故D 项错误． 综上，故选D ．4．已知数列{}n a 满足11a =,1n n a a n --=(2n ≥),则数列{}n a 的通项公式n a =( ) A ．()112n n + B ．()1312n n - C ．2n n 1-+ D ．222n n -+【答案】A【解析】利用数列的递推关系式，通过累加法求解即可． 【详解】数列{}n a 满足：11a =，*1(2,)n n a a n n n N --=∈…， 可得11a =212a a -= 323a a -=434a a -=⋯1n n a a n --=以上各式相加可得：1123(1)2n a n n n =+++⋯+=+， 故选：A ． 【点睛】本题考查数列的递推关系式的应用，数列累加法以及通项公式的求法，考查计算能力．5．设平面α与平面β相交于直线m ，直线a 在平面α内，直线b 在平面β内，且b m ⊥则“αβ⊥”是“a b ⊥”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．即不充分不必要条件【答案】A【解析】【详解】试题分析：α⊥β， b ⊥m 又直线a 在平面α内，所以a ⊥b ，但直线不一定相交，所以“α⊥β”是“a ⊥b”的充分不必要条件，故选A.【考点】充分条件、必要条件.6．记集合(){}22,16A x y xy =+≤和集合(){},4,0,0B x y x y x y =+≤≥≥表示的平面区域分别是1Ω和2Ω,若在区域1Ω内任取一点,则该点落在区域2Ω的概率为( ) A ．14πB ．1πC ．12πD ．24ππ- 【答案】C【解析】据题意可知，是与面积有关的几何概率，要求M 落在区域2Ω内的概率，只要求A 、B 所表示区域的面积，然后代入概率公式21P Ω=Ω区域的面积区域的面积，计算即可得答案．【详解】根据题意可得集合22{(,)|16}A x y x y =+…所表示的区域即为如图所表示：的圆及内部的平面区域，面积为16π，集合{(,)|40B x y x y =+-„，0x …，0}y …表示的平面区域即为图中的Rt AOB ∆，14482AOB S ∆=⨯⨯=，根据几何概率的计算公式可得81162P ππ==， 故选：C ． 【点睛】本题主要考查了几何概率的计算，本题是与面积有关的几何概率模型．解决本题的关键是要准确求出两区域的面积．7．以下关于()sin 2cos 2f x x x =-的命题，正确的是 A ．函数()f x 在区间20,3π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增 B ．直线8x π=需是函数()y f x =图象的一条对称轴C ．点,04π⎛⎫⎪⎝⎭是函数()y f x =图象的一个对称中心 D ．将函数()y f x =图象向左平移需8π个单位，可得到22y x =的图象 【答案】D【解析】利用辅助角公式化简函数得到()2)4f x x π=-，再逐项判断正误得到答案. 【详解】()sin 2cos 22)4f x x x x π=-=-A 选项，132(,)4413220,x x ππππ⎛⎫∈⇒ ⎪⎝⎭-∈-函数先增后减，错误 B 选项，2084x x ππ=⇒-=不是函数对称轴，错误C 选项，2444x x πππ=⇒-=，不是对称中心，错误D 选项，图象向左平移需8π个单位得到2sin(2())2sin 284y x x ππ=+-=，正确故答案选D 【点睛】本题考查了三角函数的单调性，对称轴，对称中心，平移，意在考查学生对于三角函数性质的综合应用，其中化简三角函数是解题的关键. 8．函数2()1cos 1xf x x e ⎛⎫=-⎪+⎝⎭图象的大致形状是（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】B【解析】判断函数()f x 的奇偶性，可排除A 、C ，再判断函数()f x 在区间0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上函数值与0的大小，即可得出答案. 【详解】解：因为21()1cos cos 11x x x e f x x x e e ⎛⎫-⎛⎫=-= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭， 所以()()111()cos cos cos 111x x xx x xe e ef x x x x f x e e e --⎛⎫----=-===- ⎪+++⎝⎭， 所以函数()f x 是奇函数，可排除A 、C ；又当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()0f x <，可排除D ；故选：B. 【点睛】本题考查函数表达式判断函数图像，属于中档题.9．已知抛物线24y x =的焦点为F ，P 为抛物线上一点，(1,1)A ，当PAF ∆周长最小时，PF 所在直线的斜率为（ ） A ．43-B ．34-C ．34D ．43【答案】A【解析】本道题绘图发现三角形周长最小时A,P 位于同一水平线上，计算点P 的坐标，计算斜率，即可． 【详解】结合题意，绘制图像要计算三角形PAF 周长最小值，即计算PA+PF 最小值，结合抛物线性质可知，PF=PN ，所以PF PA PA PN AN AG +=+≥≥，故当点P 运动到M 点处，三角形周长最小，故此时M 的坐标为1,14⎛⎫⎪⎝⎭，所以斜率为1041314k -==--，故选A ． 【点睛】本道题考查了抛物线的基本性质，难度中等．10．某几何体的三视图如右图所示,则该几何体的外接球表面积为( )A．12πB．16πC．24πD．48π【答案】A【解析】由三视图知：几何体为三棱锥，且三棱锥的一条侧棱垂直于底面，结合直观图判断外接球球心的位置，求出半径，代入求得表面积公式计算．【详解】由三视图知：几何体为三棱锥，且三棱锥的一条侧棱垂直于底面，高为2，底面为等腰直角三角形，斜边长为22，如图：ABC∆∴的外接圆的圆心为斜边AC的中点D，OD AC⊥，且OD⊂平面SAC，2SA AC==Q，SC∴的中点O为外接球的球心，∴半径3R∴外接球表面积4312Sππ=⨯=．故选：A【点睛】本题考查了由三视图求几何体的外接球的表面积，根据三视图判断几何体的结构特征，利用几何体的结构特征与数据求得外接球的半径是解答本题的关键．11．过双曲线22221x ya b-=(0,0)a b>>的左焦点F作直线交双曲线的两天渐近线于A,B两点，若B为线段FA的中点，且OB FA⊥（O为坐标原点），则双曲线的离心率为（）A ．2B ．3C ．2D ．5【答案】C【解析】由题意可得双曲线的渐近线的方程为b y x a=±. ∵B 为线段FA 的中点，OB FA ⊥ ∴OA OF c ==，则AOF ∆为等腰三角形. ∴BOF BOA ∠=∠由双曲线的的渐近线的性质可得BOF xOA ∠=∠ ∴60BOF BOA xOA ∠=∠=∠=︒ ∴tan 603ba=︒=，即223b a =. ∴双曲线的离心率为2222c a b a e a a a+==== 故选C.点睛：本题考查了椭圆和双曲线的定义和性质，考查了离心率的求解，同时涉及到椭圆的定义和双曲线的定义及三角形的三边的关系应用，对于求解曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出,a c ，代入公式ce a=；②只需要根据一个条件得到关于,,a b c 的齐次式，转化为,a c 的齐次式，然后转化为关于e 的方程(不等式)，解方程(不等式)，即可得e (e 的取值范围)．12．已知函数()(),1{2,1x e x f x f x x ≤=->,若方程()10f x mx --=恰有两个不同实根,则实数m 的取值范围为（ ） A ．()1,11,12e e -⎛⎫⋃-⎪⎝⎭ B ．(]1,11,12e e -⎛⎫⋃-⎪⎝⎭ C ．()1,11,13e e -⎛⎫⋃- ⎪⎝⎭D ．(]1,11,13e e -⎛⎫⋃-⎪⎝⎭【答案】D【解析】试题分析：∵方程()10f x mx --=恰有两个不同实根，∴函数()(),1{2,1x e x f x f x x ≤=->与直线的图象有且只有两个不同的交点，作函数()(),1{2,1x e x f x f x x ≤=->与直线的图象如下，易知直线恒过点，且点，；故，；，；故；故结合函数的图象可知，或，故选D.【考点】根的存在性及根的个数判断.【方法点晴】本题考查了方程的根与函数的零点的关系应用及数形结合的思想应用，同时考查了分类讨论与转化思想的应用及导数的综合应用，属于中档题.方程()10f x mx --=恰有两个不同实根可转化为函数()(),1{2,1x e x f x f x x ≤=->与直线的图象有且只有两个不同的交点，从而结合图象求解，在结合图象的过程中，需注意临界位置的取舍.二、填空题13．已知函数()122,1,log ,1,x x f x x x ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩则()()2f f =______.【答案】12【解析】先由解析式求得f （2），再求(f f （2）)． 【详解】f （2）1221log ==-，121(1)2f --==，所以(f f （2）1)(1)2f =-=，故答案为：12【点睛】本题考查对数、指数的运算性质，分段函数求值关键是“对号入座”,属于容易题． 14．已知数列{}n a 满足13n n a a +=,且2469a a a ++=,则()15793log a a a ++=______.【答案】5-【解析】数列{}n a 满足13n n a a +=知，数列以3为公比的等比数列，再由已知结合等比数列的性质求得15793log ()a a a ++的值即可.【详解】 13n n a a +=Q ，∴数列{}n a 是以3为公比的等比数列，又2469a a a ++=，35579933a a a ∴++=⨯=，5157933log ()35a a a log ∴++=-=-．故答案为：5-． 【点睛】本题考查了等比数列定义，考查了对数的运算性质，考查了等比数列的通项公式，是中档题．15．边长为2的菱形ABCD 中,AC 与BD 交于点O ,E 是线段OD 的中点,AE 的延长线与CD 相交于点F ,若60BAD ∠=︒,则BE EF ⋅=u u u r u u u r______. 【答案】14【解析】取基向量AD u u u r ，AB u u u r ，然后根据三点共线以及向量加减法运算法则将BE u u u r ，EF u u u r表示为基向量后再相乘可得． 【详解】 如图：设(1)AF AD AC λλ=+-u u u r u u u r u u u r，又11112224AE AD AO AD AC =+=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，且存在实数t 使得AF t AE =u u u r u u u r， 11(1)24AD AC t AD t AC λλ∴+-=+u u u r u u u r u u u r u u u r ，∴12114t t λλ⎧=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩， ∴23λ=， ∴2133AF AD AC =+u u u ru u u r u u u r ，∴11612EF AF AE AD AC =-=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，∴111()()()()4612BE EF AE AB EF AD DE AB EF AD DB AB AD AC =-=+-=+-+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r g g g g1111()()44612AD AB AD AB AD AC =+--+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r g3311()()44412AD AB AD AB =-+u u ur u u u r u u u r u u u r g 2231116168AD AB AB AD =--u u ur u u u r u u u r u u u r g 31114422161682=⨯-⨯-⨯⨯⨯ 14=故答案为：14． 【点睛】本题考查了平面向量数量积的性质及其运算，属中档题．16．已知函数()f x 在定义域R 上的导函数为()f x ',若函数()y f x '=没有零点,且()20192019xf f x ⎡⎤-=⎣⎦,当()sin cosg x x x kx =--在,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上与()f x 在R 上的单调性相同时,则实数k 的取值范围是______. 【答案】(],1-∞-【解析】由题意可知：()f x 为R 上的单调函数，则()2019x f x -为定值，由指数函数的性质可知()f x 为R 上的增函数，则()g x 在[2π-，]2π单调递增，求导，则()0g x '…恒成立，则)4min k x π+„，根据函数的正弦函数的性质即可求得k 的取值范围．【详解】若方程()0f x '=无解，则()0f x '>或()0f x '<恒成立，所以()f x 为R 上的单调函数，x R ∀∈都有[()2019]2019x f f x -=，则()2019x f x -为定值，设()2019x t f x =-，则()2019x f x t =+，易知()f x 为R 上的增函数， ()sin cos g x x x kx =--Q ，()sin cos )4g x x x k x k π∴'=+-+-，又()g x 与()f x 的单调性相同，()g x ∴在R 上单调递增，则当[2x π∈-，]2π，()0g x '…恒成立，当[2x π∈-，]2π时，[44x ππ+∈-，3]4π，sin()[4x π+∈1]，∴)[4x π+∈-，此时1k -„， 故答案为：(],1-∞- 【点睛】本题考查导数的综合应用，考查利用导数求函数的单调性，正弦函数的性质，辅助角公式，考查计算能力，属于中档题．三、解答题17．在ABC ∆，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知()cos cos 2sin cos 0B A A C +-=.（1）求cos C 的值；（2）若a =，AC 边上的中线2BM =，求ABC ∆的面积.【答案】(1) cos C =(2)答案不唯一，见解析 【解析】（1）由题意根据和差角的三角函数公式可得tan 2C =，再根据同角三角函数基本关系可得cos C 的值；（2）在ABC ∆中，由余弦定理可得2430b b -+=，解方程分别由三角形面积公式可得答案． 【详解】解：（1）在ABC ∆中，因为()cos cos cos cos sin sin B A C A C A C =-+=-+， 又已知()cos cos 2sin cos 0B A A C +-=， 所以sin sin 2sin cos 0A C A C -=，因为sin 0A ≠，所以sin 2cos 0C C -=，于是tan 2C =. 所以5cos 5C =. （2）在ABC ∆中，由余弦定理得2222cos BM BC CM BC CM C =+-⋅， 得2430b b -+=解得1b =或3b =，当1b =时，ABC ∆的面积1sin 12S ab C ==， 当3b =时，ABC ∆的面积1sin 32S ab C ==.【点睛】本题考查正余弦定理理解三角形，涉及三角形的面积公式和分类讨论思想，属于中档题． 18．随着经济全球化､信息化的发展,企业之间的竞争从资源的争夺转向人才的竞争.吸引､留住培养和用好人才成为人力资源管理的战略目标和紧迫任务.在此背景下,某信息网站在15个城市中对刚毕业的大学生的月平均收入薪资和月平均期望薪资做了调查,数据如下图所示.(1)若某大学毕业生从这15座城市中随机选择一座城市就业,求该生选中月平均收入薪资高于8500元的城市的概率;(2)若从月平均收入薪资与月平均期望薪资之差高于1000元的城市中随机选择2座城市,求这2座城市的月平均期望薪资都低于8500元的概率. 【答案】(1)25(2) 23【解析】（1）设该生选中月平均收入薪资高于8500元的城市为事件A ，15座城市中月平均收入薪资高于8500元的有6个，由此能求出该生选中月平均收入薪资高于8500元的城市的概率；（2）月平均收入薪资和月平均期望薪资之差高于1000元的城市有6个，其中月平均期望薪资高于8500元的有1个，记为A ；月平均期望薪资低于8500元的有5个，记为B 1，B 2，B 3，B 4，B 5．选取两座城市，利用列举法能求出2座城市的月平均期望薪资都低于8500元的概率． 【详解】(1)设该生选中月平均收入薪资高于8500元的城市为事件A , 15座城市中月平均收入薪资高于8500元的6个, 所以()62155P A ==. (2)月平均收入薪资和月平均期望薪资之差高于1000元的城市有6个, 其中月平均期望薪资高于8500元的有1个,记为A ;月平均期望薪资低于8500元的有5个,记为1B ,2B ,3B ,4B ,5B . 选取两座城市所有可能为:1AB ,2AB ,3AB ,4AB ,5AB ,12B B ,13B B ,14B B ,15B B ,23B B ,24B B , 25B B ,34B B ,35B B ,45B B ,共15种;其中2座城市的月平均期望薪资都低于8500元的有12B B ,13B B ,14B B ,15B B ,23B B ,24B B ,25B B ,34B B ,35B B ,45B B ,共10种;设2座城市的月平均期望薪资都低于8500元为事件B , 所以()102153P B ==. 【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．19．在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，3AB =，AD =45ABC ∠=︒，P 点在底面ABCD 内的射影E 在线段AB 上，且2PE =，2BE EA =，M 在线段CD 上，且23CM CD =．（Ⅰ）证明：CE ⊥平面PAB ；（Ⅱ）在线段AD 上确定一点F ，使得平面PMF ⊥平面PAB ，并求三棱锥P AFM -的体积．【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）13． 【解析】试题分析：（Ⅰ）根据余弦定理结合勾股定理可得BE EC ⊥，由PE ⊥平面ABCD ，得PE EC ⊥．从而由线面垂直的判定定理可得结果；（Ⅱ）取F 是AD 的中点，先证明CE ⊥平面PAB ，即可证明FM ⊥平面PAB ，然后根据棱锥的体积公式可得结果.试题解析：（Ⅰ）证明：在BCE ∆中，2BE =，22BC =，45ABC ∠=︒，由余弦定理得2EC =．所以222BE EC BC +=，从而有BE EC ⊥. 由PE ⊥平面ABCD ，得PE EC ⊥. 所以CE ⊥平面PAB .（Ⅱ）取F 是AD 的中点，作//AN EC 交CD 于点N ，则四边形AECN 为平行四边形，1CN AE ==，则//AN EC .在AND ∆中，F ，M 分别是AD ，DN 的中点，则//FM AN ，所以//FM EC . 因为CE ⊥平面PAB ，所以FM ⊥平面PAB .又FM ⊂平面PFM ，所以平面PFM ⊥平面PAB .11123sin45=232AFM S ︒=⋅⋅V .V = 1133AFM S PE ⋅=V .【方法点晴】本题主要考查线面垂直、面面垂直及棱锥的体积公式，属于中档题.证明直线和平面垂直的常用方法有：（1）利用直线和平面垂直的判定定理；（2）利用判定定理的推论(,)a b a b αα⊥⇒⊥P ；（3）利用面面平行的性质(),a a ααββ⊥⇒⊥P ；（4）利用面面垂直的性质，当两个平面垂直时，在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面.20．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22:143x y C +=的左顶点为A ，右焦点为F ，,P Q 为椭圆C 上两点，圆222:(0)O x y r r +=>.（1）若PF x ⊥轴，且满足直线AP 与圆O 相切，求圆O 的方程； （2）若圆O,P Q 满足34OP OQ k k ⋅=-，求直线PQ 被圆O 截得弦长的最大值.【答案】（1）2245x y +=（2【解析】试题分析：（1）确定圆O 的方程，就是确定半径的值，因为直线AP 与圆O 相切，所以先确定直线方程，即确定点P 坐标：因为PF x ⊥轴，所以3(1,)2P ±，根据对称性，可取3(1,)2P ，则直线AP 的方程为1(2)2y x =+，根据圆心到切线距离等于半径得r =2）根据垂径定理，求直线PQ 被圆O 截得弦长的最大值，就是求圆心O 到直线PQ 的距离的最小值. 设直线PQ 的方程为y kx b =+，则圆心O 到直线PQ 的距离d =34OP OQ k k ⋅=-得1212340x x y y +=，化简得221212(34)4()40k x x kb x x b ++++=，利用直线方程与椭圆方程联立方程组并结合韦达定理得22243b k =+，因此d ==，当0k =时，d 取最小值，PQ. 试题解析：解：（1）因为椭圆C 的方程为22143x y +=，所以(2,0)A -，(1,0)F .因为PF x ⊥轴，所以3(1,)2P ±，而直线AP 与圆O 相切， 根据对称性，可取3(1,)2P ， 则直线AP 的方程为1(2)2y x =+， 即220x y -+=.由圆O 与直线AP 相切，得5r =， 所以圆O 的方程为2245x y +=. （2）易知，圆O 的方程为223x y +=. ①当PQ x ⊥轴时，234OP OQ OP k k k ⋅=-=-， 所以32OP k =±， 此时得直线PQ 被圆O 截得的弦长为677. ②当PQ 与x 轴不垂直时，设直线PQ 的方程为y kx b =+，112212(,),(,)(0)P x y Q x y x x ≠，首先由34OP OQ k k ⋅=-，得1212340x x y y +=， 即121234()()0x x kx b kx b +++=，所以221212(34)4()40k x x kb x x b ++++=（）.联立22{143y kx bx y =++=，消去x ，得222(34)84120k x kbx b +++-=， 将21212228412,3434kb b x x x x k k -+=-=++代入（）式， 得22243b k =+.由于圆心O 到直线PQ的距离为d =所以直线PQ 被圆O截得的弦长为l ==0k =时，l 有最.7>，所以直线PQ 被圆O. 【考点】直线与圆位置关系 21．已知函数()()()221x f x x e a x =---,其中a ∈R ,()ln g x x x =-.(1)函数()f x 的图象能否与x 轴相切?若能,求出实数a ;若不能,请说明理由. (2)若()()()h x f x g x =-在1x =处取得极大值,求实数a 的取值范围. 【答案】(1) 答案见解析(2) 1,2e -⎛⎫+∞⎪⎝⎭【解析】（1）假设函数()f x 的图象与x 轴相切于(),0t ，根据相切可得方程组()()00f t f t ⎧=⎪⎨='⎪⎩，看方程是否有解即可；（2）求出()h x 的导数，设()12x G x e a x=--(0x >)，根据函数的单调性及()h x 在1x =处取得极大值求出a 的范围即可. 【详解】(1)函数()f x 的图象不能与x 轴相切,理由若下:()()()121x f x x e a x '=---.假设函数()f x 的图象与x 轴相切于(),0t则()()00f t f t ⎧=⎪⎨='⎪⎩即()()()()22101210ttt e a t t e a t ⎧---=⎪⎨---=⎪⎩ 显然1t ≠,20te a =>,代入()()2210tt e a t ---=中得,2450t t -+=无实数解.故函数()f x 的图象不能与x 轴相切. (2)()()()221ln x hx x e a x x x =---+-(0x >)()()112x h x x e a x ⎛⎫'=--- ⎪⎝⎭,()10h '∴=,设()12xG x e a x =--(0x >), ()21x G x e x'=+恒大于零.()G x ∴在()0,∞+上单调递增.又x →+∞,()G x →+∞,0x +→,()G x →-∞ ∴存在唯一0x ,使()00G x =,且00x x <<时()0G x <,0x x >时()0G x >,①当01x =时,()0h x '≥恒成立,()h x 在()0,∞+单调递增,()h x 无极值,不合题意.②当01x <时,可得当()0,1x x ∈时,()0h x '<,当()1,x ∈+∞时,()0h x '>. 所以()h x 在()0,1x 内单调递减,在()1,+∞内单调递增, 所以()h x 在1x =处取得极小值,不合题意.③当01x >时,可得当()0,1x ∈时,()0h x '>,当()01,x x ∈时,()0h x '<. 所以()h x 在()0,1内单调递增,在()01,x 内单调递减, 所以()h x 在1x =处取得极大值,符合题意.此时由01x >得()()010G G x <=即120e a --<,12e a -∴>综上可知,实数a 的取值范围为1,2e -⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，属于难题．22．在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为()2sin 2cos 0a a ρθθ=+>；直线l的参数方程为222x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），直线l 与曲线C 分别交于,M N 两点． （1）写出曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程；（2）若点P 的极坐标为(2,)π，||||PM PN +=a 的值．【答案】(1) 曲线C 的直角坐标方程为即()()22211x a y a -+-=+，直线l 的普通方程为2y x =+；（2）2a =.【解析】（1）利用代入法消去参数方程中的参数，可得直线l 的普通方程，极坐标方程两边同乘以ρ利用222,cos ,sin x y x y ρρθρθ=+== 即可得曲线C 的直角坐标方程；（2）直线l 的参数方程代入圆C 的直角坐标方程，根据直线参数方程的几何意义，利用韦达定理可得结果. 【详解】（1）由()2sin 2cos 0a a ρθθ=+>，得()22sin 2cos 0a a ρρθρθ=+>，所以曲线C 的直角坐标方程为2222x y y ax +=+，即()()22211x a y a -+-=+， 直线l 的普通方程为2y x =+.(2)将直线l的参数方程2,22x y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩代入2222x y y ax +=+并化简、整理，得()2440t t a -++=. 因为直线l 与曲线C 交于M ，N 两点．所以()()2Δ4440a =-+>，解得1a ≠.由根与系数的关系，得12t t +=，1244t t a =+.因为点P 的直角坐标为()2,0-，在直线l 上.所以12PM PN t t +=+==解得2a =，此时满足0a >.且1a ≠，故2a =.．【点睛】参数方程主要通过代入法或者已知恒等式（如22cos sin 1αα+=等三角恒等式）消去参数化为普通方程，通过选取相应的参数可以把普通方程化为参数方程，利用关系式cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，222tan x y y xρθ⎧+=⎪⎨=⎪⎩等可以把极坐标方程与直角坐标方程互化，这类问题一般我们可以先把曲线方程化为直角坐标方程，用直角坐标方程解决相应问题． 23．选修4-5：不等式选讲已知函数()2f x x m x m =--+的最大值为3，其中0m >．（1）求m 的值；（2）若,a b R ∈，0ab >，222a b m +=，求证：331a b b a +≥ 【答案】（1）1m =（2）见解析【解析】（1）分三种情况去绝对值，求出最大值与已知最大值相等列式可解得；（2）将所证不等式转化为1ab-2ab ≥1，再构造函数利用导数判断单调性求出最小值可证． 【详解】（1）∵0m >， ∴()3,22,23,2m x m f x x m x m x m m x m m x m -≥⎧⎪=--+=---<<⎨⎪≤-⎩.∴当2x m ≤-时，()f x 取得最大值3m . ∴1m =. （2）由（Ⅰ），得221a b +=，()222223344212a b a b a b a b ab b a ab ab ab +-++===-.∵2212a b ab +=≥，当且仅当a b =时等号成立，∴102ab <≤. 令()12h t t t =-，102t <≤. 则()h t 在10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递减.∴()112h t h ⎛⎫≥= ⎪⎝⎭. ∴当102ab <≤时，121ab ab-≥. ∴331a b b a+≥. 【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法，属中档题．本题主要考查了绝对值不等式的求解，以及不等式的恒成立问题，其中解答中根据绝对值的定义，合理去掉绝对值号，及合理转化恒成立问题是解答本题的关键，着重考查分析问题和解答问题的能力，以及转化思想的应用.。

辽宁沈阳二中等重点中学协作体2019高考预测-数学（文）（三）高三数学(文科)模拟题时间：120分钟，总分值：150分【一】选择题(本大题共12小题，每题5分，共60分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的、) 1、设复数Z 满足()i Z i +=+131，那么Z = 〔 〕A 、22 B 、 2-C 、 2D 、22. 以下各数集及对应法那么，不能构成映射的是 〔 〕A. {}Z n n x ∈∈|2，{}Z n n y ∈+∈|12，1:-=→x y x fB. Z x ∈，{}Z n n y ∈∈|2，x y x f 4:=→C. N x ∈，Q y ∈，xx y x f 1:+=→D.⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈43,4ππx ，[]2,0∈y ，x y x f sin :=→①假设//,,//;m n n m αα⊂则②βαβα⊥⊥⊥⊥则且若m l m l , ③m l n m n l //,,则若⊥⊥④αββαβα⊥⊥⊂=⊥n m n n m 则若,,,, 其中正确命题的个数为〔〕 A 、4 B 、3 C 、2D 、14.假设关于x 的不等式xa x sin 2cos ≥在闭区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-6,3ππ上恒成立，那么实数a 的取值范围是：〔〕 A ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1,21B ，[]0,1-C ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡-0,23D ，[]1,05.函数()()ba x ab x x f -+--+=2422是偶函数，那么函数的图象与数的图象与y 轴交点的纵坐标的最大值为：〔〕 A ，-4B ，2C ，3D ，46、平行四边形ABCD ，点P 为四边形内部及边界上任意一点，向量y x +=，那么320,210≤≤≤≤y x 的概率为：〔〕A ，31B ，32C ，41D ，217、函数(),(),x a x x f x a x ---≤⎧=⎨>⎩63377，假设数列{}n a 满足()n a f n =〔n N *∈〕，且{}n a 是递增数列，那么实数a 的取值范围是〔〕A 、,⎡⎤⎢⎥⎣⎦934B 、,⎛⎫⎪⎝⎭934C 、〔2,3〕D 、〔1,3〕8、输入ln0.8a =，12b e=，2e c -=，通过以下程序程度运算后，输出a ，b 的值分别是〔〕A 、2e a -=，ln0.8b =B 、ln0.8a =，2e b -=C 、12a e=，2e b -=D 、12a e=，ln0.8b =9.)(x f 为定义在R 上的可导函数，且)()('x f x f <对任意R x ∈恒成立，那么())0()2012(),0()2(.20122f e f f e f A >>)0()2012(),0()2(.20122f e f f e f B ><)0()2012(),0()2(.20122f e f f e f C <>)0()2012(),0()2(.20122f e f f e f D <<10.定义：数列{}na,满足d a a a a nn n n =-+++112()*N n ∈d 为常数，我们称{}n a 为等差比数列，在等差比数列{}na中，2,1321===a a a ，那么20062009a a 的个位数〔〕A ，3B ，4C ，6D ，811，在平行四边形ABCD 中，,042,022=-+=∙假设将其沿BD 折起，使平面ABD ⊥平面BDC 那么三棱锥A-BCD 的外接球的表面积为：〔〕 A ，π2B ，4πC ，π6D ，334π12、椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，F 1，F 2为其左、右焦点，P 为椭圆C 上任一点，12F PF ∆的重心为G ，内心I ，且有12IG F F λ=〔其中λ为实数〕，椭圆C 的离心率e=〔〕A 、12B 、13C 、23D、2【二】填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分，将答案填在答题卷相应位置上。

辽宁沈阳二中等重点中学协作体2019高考预测-数学（文）（六）数学〔文〕模拟题〔高考导航〕本试卷分第I 卷〔选择题〕和第II 卷〔非选择题〕两部分、考生作答时，将答案答在答题卡上、在本试卷上答题无效、考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回、参考公式：60分〕 60分.在每题给出的四个选项中，只有一1、{(,)|1,},{(,)|1,},S x y y x T x y x y ==∈==∈R R 那么S T =〔 〕A 、空集B 、{1}C 、(1,1)D 、{(1,1)} 2. 以下说法正确的选项是 〔 〕 A 、“a b <”是“22bm am <”的充要条件C 、“假设,a b 基本上奇数，那么a b +是偶数”的逆否命题是“假设a b +不是偶数，那么,a b 不基本上奇数”D 、假设p q ∧为假命题,那么p ,q 均为假命题3.一个容器的外形是一个棱长为2的正方体，其三视图如图 所示，那么容器的容积为〔〕 A.8B.328π-C.πD.23π 4.在ABC ∆中，2AB =，3BC =，60ABC ︒∠=，AD 为BC 边上的高，O 为AD 的中点，假设AO AB BC λμ=+，那么λμ+的值为〔 〕A.23B.34C.56D.5.设实数x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≥+-≤--0,002063y x y x y x ，假设目标函数z ax by =+〔0a >，0b >〕的最大值为12，那么ab 的取值范围是〔〕A.(0,)+∞B.3(0,)2 C.3[,)2+∞ D.3(0,]26.设{}n a 是公差为正数的等差数列，假设12315a a a ++=，12380a a a =，球的表面积公式、体积公式24R S π=、334R V π=球其中R 为球的半径那么111213a a a ++=〔〕A 、120B 、105C 、90D 、757、函数x x x f ωωc o s s in )(+=，假如存在实数1x ，使得对任意的实数x ，都有11()()(2010)f x f x f x ≤≤+成立，那么ω的最小值为.〔〕A 、12010B 、2010πC 、14020D 、4020π 8.设F 1，F 2分别是双曲线12222=-by a x 的左、右焦点.假设双曲线上存在点A ，使||3||,902121AF AF AF F =︒=∠且，那么双曲线的离心率为〔〕A 、25B 、210 C 、215 D 、59.0x 函数21()()log 3xf x x=-的零点，假设100x x <<，那么1()f x 的值为〔〕 A 、恒为负值B 、等于0C 、恒为正值D 、不大于0 10.e 是自然对数底数，假设函数ax e ey x+-=的定义域为R ，那么实数a 的取值范围为 A 、1-<a B 、1-≤a C 、1->a D 、1-≥a 11.观看下图：1 234 34567 45678910 …………假设第n 行的各数之和等于22011，那么=n A 、2017B 、2018C 、1006D 、100512.函数)(x f 对任意R ∈x ，都有)2(2)()4(f x f x f +=+，假设)1(-=x f y 的图象关于直线1=x 对称，且2)1(=f ，那么=)2011(f 〔〕 A 、2B 、3C 、2-D 、3-第II 卷〔非选择题，共90分〕【二】填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分，把答案填写在题中的横线上. 13、执行如下图的程序，假设P =0.9，那么输出的n 值是；〔14题〕〔13题〕14.在一次竞赛中，9位评委为参赛选手甲给出的分数如茎叶图所示、记分员在去掉一个最高分和一个最低分后，算得平均分为91，复核员在复核时，发明有一个数字〔茎叶图中的a 〕无法看清，假设记分员计算无误，那么数字=a ；15.定义域为R 的函数)(x f 满足1)1(=f ，)(x f '是)(x f 的导函数，R ∈∀x 21)(<'x f 那么不等式212)(+<x x f 的解集为_______、16.在计算机的算法语言中有一种函数[]x 叫做取整函数(也叫高斯函数)、它表示x 的整数部分，即表示不超过x 的最大整数、如[][][]2.52,22, 1.62==-=-、设函数21()122x x f x =-+，那么函数[][]()()y f x f x =+-的值域为、 【三】解答题：本大题共6小题，共70分、请在答题卡指定区域内作答，解承诺写出文字说明，证明过程或演算步骤、 17.〔本小题总分值12分〕如图：βα=∠=∠CAD BAD ,，10103cos ,552cos ==βα、〔1〕求BAC ∠的大小；〔2〕当中点为BC D 时，判断ABC ∆的形状，并求ADAC 的值、18、〔本小题总分值12分〕设O 为坐标原点，点P 的坐标),2(y x x --〔1〕在一个盒子中，放有标号为3,2,1的三张卡片，现从此盒中有放回地先后抽到两张卡片的标号分别记为y x ,，求|OP |的最大值，并求事件“|OP |取到最大值”的概率； 〔2〕假设利用计算机随机在[0，3]上先后取两个数分别记为y x ,， 求：P 点在第一象限的概率.BD CA19.〔本小题总分值12分〕直三棱柱111C B A ABC -中，△ABC 为等腰直角三角形，∠BAC＝2π，且AB ＝21=AA ，D 、E 、F 分别为A B 1、C C 1、BC 的中点、〔1〕求证：DE ∥平面ABC ； 〔2〕求证：F B 1⊥平面AEF ； 〔3〕求三棱锥1E ABF -的体积、20.〔本小题总分值12分〕椭圆C ：22221x y a b +=〔0a b >>〕的离心率为36，过右焦点F 且斜率为1的直线交椭圆C 于,A B 两点，N 为弦AB 的中点。