2010-2011学年海淀区九年级上数学期末统一试卷及答案

2023-2024学年北京市海淀区九年级（上）月考数学试卷（9月份）一、选择题（本大题共8小题，共16.0分。

在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.下列四个图形中，为中心对称图形的是( )A. B. C. D.2.一元二次方程2x2+x−5=0的二次项系数、一次项系数、常数项分别是( )A. 2，1，5B. 2，1，−5C. 2，0，−5D. 2，0，53.把抛物线y=x2向上平移3个单位，得到的抛物线是( )A. y=(x−3)2B. y=(x+3)2C. y=x2−3D. y=x2+34.在平面直角坐标系xOy中，点A(2,3)关于原点对称的点的坐标是( )A. (2,−3)B. (−2,3)C. (3,2)D. (−2,−3)5.在平面直角坐标系xOy中，下列函数的图象经过点(0,0)的是( )A. y=x+1B. y=x2C. y=(x−4)2D. y=1x6.用配方法解方程x2+4x=1，变形后结果正确的是( )A. (x−2)2=2B. (x+2)2=2C. (x−2)2=5D. (x+2)2=57.把长为2m的绳子分成两段，使较长一段的长的平方等于较短一段的长与原绳长的积．设较长一段的长为x m，依题意，可列方程为( )A. x2=2(2−x)B. x2=2(2+x)C. (2−x)2=2xD. x2=2−x8.如图，二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象经过点A，B，C.现有下面四个推断：①抛物线开口向下；②当x=−2时，y取最大值；③当m<4时，关于x的一元二次方程ax2+bx+c=m必有两个不相等的实数根；④直线y=kx+c(k≠0)经过点A，C，当kx+c>ax2+bx+c时，x的取值范围是−4<x<0；其中推断正确的是( )A. ①②B. ①③C. ①③④D. ②③④二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）9.抛物线y=−3(x−1)2+2的顶点坐标是．10.请写出一个开口向上，并且与y轴交于点(0,−2)的抛物线解析式______．11.若点A(−1,y1)，B(2,y2)在抛物线．y=2x2上，则y1，y2的大小关系为：y1______y2.(选填“>”“<或“=”)12.若关于x的方程x2−2x+k=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围为．13.如图，在平面直角坐标系xOy中，点A(−2,0)，点B(0,1).将线段BA绕点B旋转180°得到线段BC，则点C的坐标为．14.如图，将△ABC绕点A顺时针旋转30°得到△ADE，点B的对应点D恰好落在边BC上，则∠ADE=______．15.如图，在边长为2的正方形ABCD中，E，F分别是边DC，CB上的动点，且始终满足DE=CF，AE，DF交于点P，则∠APD的度数为；连接CP，线段CP的最小值为．16.野兔跳跃时的空中运动路线可以看作是抛物线的一部分.建立如图所示的平面直角坐标系，通过对某只野兔一次跳跃中水平距离x(单位：m)与竖直高度y(单位：m)进行的测量，得到以下数据：水平距离x/m00.41 1.42 2.4 2.8竖直高度y/m00.480.90.980.80.480根据上述数据，回答下列问题：①野兔本次跳跃的最远水平距离为______ m，最大竖直高度为______ m；②已知野兔在高速奔跑时，某次跳跃最远水平距离为3m，最大竖直高度为1m.若在野兔起跳点前方2m处有高为0.8m的篱笆，则野兔此次跳跃______ (填“能”或“不能”)跃过篱笆．三、解答题（本大题共10小题，共60.0分。

北京海淀区北京市十一学校2022-2023学年九年级上学期期末数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．若)(250y x xy =≠，则下列比例式正确的是（ ） A ．52x y=B ．25x y= C ．25x y = D ．25y x = 2．在Rt ABC △中，90C ∠=︒，4AB =，3BC =，则sin A 的值是（ ）A B ．34C ．35D ．453．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y x =向上平移2个单位长度得到的抛物线为（ ） A ．)(22y x =+B ．)(22y x =-C ．22y x =-D ．22y x =+4．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线)(20y ax bx c a =++≠的示意图如图所示，下列说法中正确的是（ ）A ．a<0B ．0b <C ．0c >D ．0∆>5．在平面直角坐标系xOy 中，若函数)(0ky x x=<的函数值y 随着自变量x 的增大而增大，则函数)(0ky x x=<的图象所在的象限为（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限6．如图，四边形ABCD 内接于O ，若四边形ABCO 是菱形，则D ∠的度数为（ ）A ．45°B ．60°C ．90°D ．120°7．正方形的面积y 与它的周长x 满足的函数关系是（ ） A ．正比例函数B ．一次函数C ．二次函数D ．反比例函数8．在平面直角坐标系xOy 中，点123(1)(2)(4)y y y -，，，，，在抛物线22y ax ax c =-+上，当0a >时，下列说法一定正确的是( ) A ．若120y y <，则30y > B ．若230y y >，则10y < C ．若130y y <，则20y >D ．若1230y y y =，则20y =二、填空题 9．如图，ABCD ，AD ，BC 交于点O ，12AO OD =．若3BO =，则OC 的长为______．10．在半径为3的圆中，60°的圆心角所对的劣弧长等于_____． 11．如图，在平面直角坐标系xOy 中，P 为函数)(0my x x=>图象上一点，过点P 分别作x 轴、y 轴的垂线，垂足分别为M ，N ．若矩形PMON 的面积为3，则m 的值为______．12．如图，ABC 的高AD ，BE 相交于点O ，写出一个与AOE △相似的三角形，这个三角形可以是______．13．如图，PA ，PB 是O 的切线，切点分别为A ，B ．若30OBA ∠=︒，3PA =，则AB 的长为________．14．有一块三角形的草坪，其中一边的长为10m ．在这块草坪的图纸上，这条边的长为5cm ．已知图纸上的三角形的周长为15cm ，则这块草坪的周长为______m ． 15．北京冬奥会雪上项目竞赛场地“首钢滑雪大跳台”巧妙地融入了敦煌壁画“飞天”元素．如图，赛道剖面图的一部分可抽象为线段AB ．已知坡AB 的长为30m ，坡角ABH∠约为37°，则坡AB 的铅直高度AH 约为______m ．（参考数据：sin370.60︒≈，cos370.80︒≈，tan370.75︒≈．）16．如图，在平面直角坐标系xOy 中，P 为x 轴正半轴上一点．已知点)(0,2A ，)(0,8B ，M 为ABP 的外接圆．（1）点M 的纵坐标为______；（2）当APB ∠最大时，点P 的坐标为______．三、解答题17)(0604cos 451π︒-︒--18．如图，AE 平分BAC ∠，D 为AE 上一点，B C ∠=∠．（1）求证：ABEACD ；（2）若D 为AE 中点，4BE =，求CD 的长．19．在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线243y x x =-+． （1）求它的顶点坐标； （2）求它与x 轴的交点坐标．20．下面是小石设计的“过三角形一个顶点作其对边的平行线”的尺规作图过程． 已知：如图，ABC ．求作：直线BD ，使得BD AC ∥． 作法：如图，①分别作线段AC ，BC 的垂直平分线1l ，2l ，两直线交于点O ； ①以点O 为圆心，OA 长为半径作圆；①以点A 为圆心，BC 长为半径作弧，交AB 于点D ； ①作直线BD ．所以直线BD 就是所求作的直线． 根据小石设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹） （2）完成下面的证明． 证明：连接AD ，①点A ，B ，C ，D 在O 上，AD BC =， ①AD =______．①DBA CAB ∠=∠（______）（填推理的依据）． ①BD AC ∥．21．如图，在ABC 中，45B ∠=︒，2tan 3C =，AC =BC 的长．22．在平面直角坐标系xOy 中，二次函数图象上部分点的横坐标x ，纵坐标y 的对应值如下表：（1）求这个二次函数的表达式； （2）画出这个二次函数的图象；（3）若3y <-，结合函数图象，直接写出x 的取值范围．23．如图，AB 为O 的直径，点C 在O 上，连接AC ，BC ，过点O 作OD BC ⊥于点D ，过点C 作O 的切线交OD 的延长线于点E ．（1）求证：E B ∠=∠；（2）连接AD ．若CE =8BC =，求AD 的长．24．如图，排球运动场的场地长18m ，球网高度2.24m ，球网在场地中央，距离球场左、右边界均为9m ．一名球员在场地左侧边界练习发球，排球的飞行路线可以看作是对称轴垂直于水平面的抛物线的一部分．某次发球，排球从左边界的正上方发出，击球点的高度为2m ，当排球飞行到距离球网3m 时达到最大高度2.5m ．小石建立了平面直角坐标系xOy （1个单位长度表示1m ），求得该抛物线的表达式为215722y x =-+．根据以上信息，回答下列问题：（1）画出小石建立的平面直角坐标系； （2）判断排球能否过球网，并说明理由．25．在平面直角坐标系xOy 中，反比例函数)(0ky k x=≠的图象过点)(2,3A ． （1）求k 的值；（2）过点)()(,00P m m ≠作x 轴的垂线，分别交反比例函数)(0ky k x =≠，4y x=-的图象于点M ，N ．①当2m =-时，求MN 的长；①若5MN ≥，直接写出m 的取值范围．26．在平面直角坐标系xOy 中，()11,A m y -，()23,B y 是抛物线2224y x mx m =-+-上两点．(1)将2224y x mx m =-+-写成()2y a x h k =-+的形式； (2)若1m =，比较1y ，2y 的大小，并说明理由； (3)若12y y <，直接写出m 的取值范围．27．如图，AD 是ABC 的高，点B 关于直线AC 的对称点为E ，连接CE ，F 为线段CE 上—点（不与点E 重合），AF AB =．（1）比较AFE ∠与ABC ∠的大小；（2）用等式表示线段BD ，EF 的数量关系，并证明.（3）连接BF ，取BF 的中点M ，连接DM ．判断DM 与AC 的位置关系，并证明．28．在平面直角坐标系xOy 中，O 的半径为2．点P ，Q 为O 外两点，给出如下定义：若O 上存在点M ，N ，使得P ，Q ，M ，N 为顶点的四边形为矩形，则称点P ，Q 是O 的“成对关联点”．（1）如图，点A ，B ，C ，D 横、纵坐标都是整数．在点B ，C ，D 中，与点A 组成O 的“成对关联点”的点是______；（2）点)(,E t t 在第一象限，点F 与点E 关于x 轴对称．若点E ，F 是O 的“成对关联点”，直接写出t 的取值范围；（3）点G 在y 轴上．若直线4y =上存在点H ，使得点G ，H 是O 的“成对关联点”，直接写出点G 的纵坐标G y 的取值范围．参考答案：1．C【分析】根据“内项之积等于外项之积”对四个选项进行计算，然后与条件进行对比即可判断． 【详解】解：A 、52xy =，得25x y =，故选项A 不符合题意； B 、 25x y=，得10xy =，故选项B 不符合题意； C 、25x y =，得52x y =，故选项C 符合题意； D 、25y x =，得52y x =，故选项D 不符合题意； 故选：C ．【点睛】此题主要考查了比例的性质，正确将已知变形是解题关键． 2．B【分析】根据锐角的正弦为对边比斜边求出sin A 的值即可． 【详解】解：在Rt ABC △中，90C ∠=︒，4AB =，3BC =， ①3sin 4BC A AB ==． 故选：B ．【点睛】本题考查锐角三角函数的定义及运用，在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边． 3．D【分析】抛物线的平移规律：左加右减，上加下减，利用平移规律直接可得答案. 【详解】解：抛物线2y x =向上平移2个单位长度得到的抛物线为22,y x故选D【点睛】本题考查的是抛物线的平移，掌握“抛物线的上下平移规律”是解本题的关键. 4．A【分析】根据抛物线开口方向可得a<0，可对A 进行判断；根据对称轴位置可得b ＞0，可对B 进行判断；根据抛物线与y 轴交点位置可得c ＜0，可对C 进行判断；根据抛物线与x 轴无交点可得①＜0，可对D 进行判断；综上即可得答案． 【详解】①抛物线开口向下， ①a<0，故A 选项正确， ①对称轴在y 轴右侧，①2ba-＞0， ①b ＞0，故B 选项错误， ①抛物线与y 轴交于y 轴负半轴， ①c ＜0，故C 选项错误， ①抛物线与x 轴无交点， ①①＜0，故D 选项错误， 故选：A ．【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系，当a =0时，抛物线开口向上，当a ＜0时，开口向下；当对称轴在y 轴左侧时，a 、b 同号，当对称轴在y 轴右侧时，a 、b 异号；c 的符号由图象与y 轴的交点位置决定；当①＞0时，图象与x 轴有2个交点，当①=0时，图象与x 轴有1个交点；①＜0时，图象与x 轴没有交点；熟练掌握相关知识是解题关键． 5．B【分析】根据反比例函数的性质求解． 【详解】解：反比例函数)(0ky x x=<的函数值y 随着自变量x 的增大而增大， 所以双曲线的两支分别位于第二、第四象限，而x <0，则分支在第二象限． 故选：B ．【点睛】本题考查了反比例函数的性质：反比例函数ky x=（k ≠0）的图象是双曲线；当k ＞0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y 随x 的增大而减小；当k ＜0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y 随x 的增大而增大． 6．B【分析】设①ADC =α，①ABC =β，由菱形的性质与圆周角定理可得18012，求出β即可解决问题．【详解】解：设①ADC =α，①ABC =β； ①四边形ABCO 是菱形， ①①ABC =①AOC β=； ∴ ①ADC =12β；四边形ABCD 为圆的内接四边形，∴α+β=180°，①18012，解得：β=120°，α=60°，则①ADC =60°， 故选：B ．【点睛】该题主要考查了圆周角定理及其应用，圆的内接四边形的性质，菱形的性质；掌握“同圆或等圆中，一条弧所对的圆周角是它所对的圆心角的一半”是解本题的关键. 7．C【分析】由周长，先求出正方形的边长，然后结合面积公式，即可得到答案． 【详解】解：①正方形的周长为x ，①正方形的边长为4x，①正方形的面积221()416x y x ==； 故选：C ．【点睛】本题考查了函数表达式，解题的关键是掌握正方形的面积和周长公式． 8．A【分析】根据二次函数解析式可得抛物线对称轴及开口方向，根据各点横坐标可判断312y y y >>，进而求解．【详解】解：①22y ax ax c =-+中0a >， ①抛物线开口向上，对称轴为直线212ax a-=-=， ①411(1)21->-->-， ①312y y y >>，当120y y <时，12y y ，异号， ①1200y y ><，，①310y y >>，选项A 正确． 当3120y y y >>>时，230y y >， ①选项B 错误，当130y y <时，3100y y ><，， ①210y y <<，选项C 错误．当1230y y y =时，123y y y ，，中有1个值为0即可， ①选项D 错误． 故选：A ．【点睛】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数图象与系数的关系． 9．6【分析】根据ABCD 可以证明ODC OAB △∽△，进而得出比例式，再根据12AO OD =和3BO =即可求出OC 的长度． 【详解】解：①ABCD ，AD ，BC 交于点O ，①D A ∠=∠，C B ∠=∠． ①ODC OAB △∽△． ①OD OCOA OB=． ①12AO OD =， ①2ODOA=． ①2OCOB=． ①3BO =， ①6OC =． 故答案为：6．【点睛】本题考查相似三角形的判定定理和性质，综合应用这些知识点是解题关键． 10．π【分析】弧长公式为l ＝n 180rπ，把半径和圆心角代入公式计算就可以求出弧长． 【详解】解：半径为3的圆中，60°的圆心角所对的劣弧长＝603180π⨯＝π， 故答案为：π．【点睛】本题主要考查了弧长计算，关键是掌握弧长计算公式．11．3【分析】根据反比例函数的解析式是m y x=，设点(,)P a b ，根据已知得出3ab =，即3xy =，求出即可．【详解】解：设反比例函数的解析式是my x=， 设点(,)P a b 是反比例函数图象上一点， 矩形PMON 的面积为3，3ab ∴=，即3m xy ==， 故答案为：3．【点睛】本题考查了矩形的面积和反比例函数的有关内容的应用，解题的关键是主要考查学生的理解能力和运用知识点解题的能力． 12．ACD ∆（答案不唯一）【分析】根据已知条件得到90AEO BDO ∠=∠=︒，AOE BOD ∠=∠，推出AOE BOD ∆∆∽；同理AOE ACD ∆∆∽，根据相似三角形的性质得到AFE C ∠=∠，又90AEO BEC ∠=∠=︒，于是得到AOE BCE ∆∆∽．【详解】解：本题答案不唯一；与AOE ∆相似的三角形有：BOD ∆，ACD ∆，BCE ∆， 选择求证：ACD AOE ∆∆∽．证明：ABC ∆的高AD ，BE 交于点O ，90ADC AEO ∴∠=∠=︒． CAD OAE ∠=∠， ACD AOE ∴∆∆∽，故答案是：ACD ∆．【点睛】本题考查了相似三角形的判定，三角形的高的定义，解题的关键是掌握有两角对应的两个三角形相似． 13．3【分析】根据切线长定理和切线的性质，得出PA PB =，90PBO ∠=︒，再根据等腰三角形的判定定理，得出PAB 为等腰三角形，再根据角之间的数量关系，得出60PBA ∠=︒，再根据等边三角形的判定定理，得出PAB 为等边三角形，再根据等边三角形的性质，得出AB PA =，进而即可得出答案．【详解】解：①PA ，PB 分别为O 的切线， ①PA PB =，90PBO ∠=︒， ①PAB 为等腰三角形， ①30OBA ∠=︒，①60PBA PBO OBA ∠=∠-∠=︒， ①PAB 为等边三角形， ①AB PA =， ①3PA =， ①3AB =． 故答案为：3【点睛】本题考查了切线长定理、切线的性质、等腰三角形的判定定理、等边三角形的判定与性质，解本题的关键在熟练掌握相关的性质定理． 14．30【分析】设这块草坪的周长为x m ，由实际的三角形草坪与图纸上的三角形草坪是相似三角形，再利用相似三角形的性质列方程即可. 【详解】解：设这块草坪的周长为x m ，由题意可得：实际的三角形草坪与图纸上的三角形草坪是相似三角形，10,155x解得：30x =，所以这块草坪的周长为30m. 故答案为：30【点睛】本题考查的是相似三角形的性质，掌握“相似三角形的周长之比等于相似比”是解本题的关键. 15．18【分析】由30,37,90,AB ABHAHB 结合sin 37,AHAB再解方程即可. 【详解】解：由题意得：30,37,90,AB ABH AHBsin 37,AHAB300.6018AHm ，故答案为：18【点睛】本题考查的是解直角三角形的实际应用，掌握“由锐角的正弦求解直角三角形的边长”是解本题的关键. 16． 5 (4，0)【分析】（1）根据点M 在线段AB 的垂直平分线上求解即可；（2）点P 在①M 切点处时，APB ∠最大，而四边形OPMD 是矩形，由勾股定理求解即可． 【详解】解：（1）①①M 为△ABP 的外接圆， ①点M 在线段AB 的垂直平分线上， ①A (0，2)，B (0，8)， ①点M 的纵坐标为：8252+=， 故答案为：5；（2）过点)(0,2A ，)(0,8B ，作①M 与x 轴相切，则点M 在切点处时，APB ∠最大， 理由：若点P '是x 轴正半轴上异于切点P 的任意一点， 设AP '交①M 于点E ，连接AE ，则①AEB =①APB ， ①①AEB 是ΔA P 'E 的外角， ①①AEB>①A P 'B ，①①APB >①A P 'B ，即点P 在切点处时，①APB 最大， ①①M 经过点A (0，2)、B (0，8)，①点M 在线段AB 的垂直平分线上，即点M 在直线y =5上，①①M 与x 轴相切于点P ，ＭP ①x 轴，从而MP =5，即①M 的半径为5，设AB 的中点为D ，连接MD 、AM ，如上图，则MD ①AB ，AD =BD =12AB =3，BM =MP =5，而①POD =90°，①四边形OPMD 是矩形，从而OP =MD ， 由勾股定理，得MD 4=， ①OP =MD =4，①点P 的坐标为(4，0)，故答案为：(4，0)．【点睛】本题考查了切线的性质，线段垂直平分线的性质，矩形的判定及勾股定理，正确作出图形是解题的关键． 17．2【分析】将特殊角的三角函数值代入，然后利用二次根式的运算法则计算即可得．()0604cos 451π︒-︒--41-+31=-+2=．【点睛】题目主要考查特殊角的三角函数值的计算，二次根式的混合运算，0次幂的运算，熟记特殊角的三角函数值是解题关键． 18．（1）证明见详解；（2）CD 的长为2．【分析】（1）由角平分线的定义可得BAE EAC ∠=∠，根据相似三角形的判定定理即可证明； （2）由中点的定义可得12AD AE =，再由（1）中结论相似三角形的性质即可得． 【详解】解：（1）证明∵AE 平分BAC ∠， ∴BAE EAC ∠=∠， 在ABE ∆与ACD ∆中， ∵BAE EAC ∠=∠，B C ∠=∠，∴~ABE ACD ∆∆；（2）∵D 为AE 中点， ∴12AD AE =， ∵~ABE ACD ∆∆， ∴12AD CD AE BE ==， ∴122CD BE ==， ∴CD 的长为2．【点睛】题目主要考查相似三角形的判定和性质，角平分线和线段中点的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题关键． 19．（1）()2,1-；（2）1,0,3,0. 【分析】（1）把抛物线化为顶点式即可；（2）令0,y = 则2430,x x -+=再利用因式分解法解一元二次方程即可. 【详解】解：（1）224321,yx x x所以抛物线的顶点坐标为：2,1. （2）令0,y = 则2430,x x -+=()()130,x x ∴--=10x ∴-=或30,x -=解得：121,3,x x ==所以抛物线与x 轴的交点坐标为：1,0,3,0.【点睛】本题考查的是求解抛物线的顶点坐标，抛物线与x 轴的交点坐标，掌握“把抛物线化为顶点式以及把0y =代入抛物线求解与x 轴的交点坐标”是解本题的关键. 20．（1）作图见解析；（2）,BC 在同圆中，等弧所对的圆周角相等 【分析】（1）根据题干的作图步骤依次作图即可；（2）由作图可得AD BC =，证明AD BC =，利用圆周角定理可得DBA CAB ∠=∠，从而可得答案.【详解】解：（1）如图，直线BD 就是所求作的直线（2）证明：连接AD ，①点A ，B ，C ，D 在O 上，AD BC =， ①AD BC =．①DBA CAB ∠=∠（在同圆中，等弧所对的圆周角相等）． ①BD AC ∥．故答案为：,BC 在同圆中，等弧所对的圆周角相等【点睛】本题考查的是作线段的垂直平分线，三角形的外接圆，平行线的作图，圆周角定理的应用，掌握“圆周角定理”是理解作图的关键. 21．10【分析】过点A 作AD ①BC ，结合三角函数值，分别求出BD 、CD 的长度，即可得到答案． 【详解】解：根据题意，过点A 作AD ①BC ，如图：①①ABD ，①ACD 都是直角三角形， ①2tan 3AD C CD ==， 设2AD x =，3CD x =，①AC == 解得：2x =（负值已舍去）， ①4=AD ，6CD =, ①45B ∠=︒， ①4BD AD ==， ①4610BC =+=；【点睛】本题考查了三角函数，勾股定理，等腰直角三角形的性质，解题的关键是正确的求出BD 、CD 的长度．22．（1）22y x x =-+；（2）图象见解析；（3）1x <-或x >3【分析】（1）设二次函数的表达式为2y ax bx c =++，根据三组横坐标x 和纵坐标y 的值列出方程组求出a ，b ，c 的值即可得到二次函数的表达式；（2）计算并补充出一些横坐标x 和纵坐标y 的对应值，然后在平面直角坐标系中描点，并用平滑曲线连接即可；（3）根据二次函数的图象应用数形结合思想即可得到x 的取值范围． 【详解】解：（1）设二次函数的表达式为2y ax bx c =++． 将三组横坐标x ，纵坐标y 的值代入可得222000,111,022a b c a b c a b c ⎧=⨯++⎪=⨯++⎨⎪=⨯++⎩．解得1,2,0a b c =-⎧⎪=⎨⎪=⎩．所以二次函数的表达式为22y x x =-+． （2）横坐标x 与纵坐标y 的对应值如下表：建立平面直角坐标系，描点并用平滑曲线连接即可得到该二次函数的图象．（3）3y <-，即223x x -+<-．根据（2）中二次函数图象可以看出当1x <-或x >3时，3y <-． 所以x 的取值范围是1x <-或x >3．【点睛】本题考查二次函数的解析式，二次函数的图象和性质，熟练掌握这些知识点是解题关键．23．（1）证明见解析；（2）AD 【分析】（1）连接OC 通过垂径定理和等腰三角形性质证明①E =①B（2）连接AD 通过计算发现BC =EC ，再通过证明①CED ①①ABC 得到AC =DC =4． 【详解】（1）证明：连接OC 如图：OD ①CB①OB =OC ，①B =OCD又CE 为圆O 的切线①OC ①CE①①ECD +①DCO =①ECD +①E =90°①①E =①DCO =①B①①E =①B（2）连接AD 如图①①EDC 为R t①①DE由（1）得①E =①B又AB 为直径①①BCA =90°在①CED 和①ABC 中 ①B E EDC BCA ED BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩①①CED ①①ABC （AAS ）①AC =DC =12BC =4①AD ==【点睛】本题考查垂径定理和全等三角形的判定与性质，掌握这些是本题解题关键．24．（1）见解析；（2）排球能过球网，理由见解析【分析】（1）根据该抛物线的表达式为215722y x =-+，可得抛物线的顶点坐标为50,2⎛⎫⎪⎝⎭，从而得到小石建立的平面直角坐标系是以O 为坐标原点，OB 所在的直线为x 轴，OA 所在的直线为y 轴，即可求解；（2）根据题意得：当3x = 时，2153 2.375 2.24722y =-⨯+=> ，即可求解． 【详解】解：（1）如图，①该抛物线的表达式为215722y x =-+， ①抛物线的顶点坐标为50,2⎛⎫ ⎪⎝⎭ ，①当排球飞行到距离球网3m 时达到最大高度2.5m ．根据题意得：点A 的坐标为50,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，①小石建立的平面直角坐标系是以O 为坐标原点，OB 所在的直线为x 轴，OA 所在的直线为y 轴，如下图：（2）排球能过球网，理由如下：根据题意得：点B 的横坐标为3，①当3x = 时，2153 2.375 2.24722y =-⨯+=> ， ①排球能过球网．【点睛】本题主要考查了建立二次函数的图象和性质，建立适当的平面直角坐标系，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．25．（1）6；（2）①5；①20m -<<或02m <<【分析】（1）把(2,3)A 代入k y x =中即可得出k 的值； （2）①令2x =-代入6y x =和4y x =-中，求出点M 、N 的坐标，即可得出MN 的长； ①令x m =代入6y x =和4y x=-中，求出点M 、N 的坐标，即可得出MN 含m 的表达式，由5MN >即可求出m 的取值范围．【详解】（1））把(2,3)A 代入k y x=中得：32k =， ①6k =；（2）①令2x =-代入6y x =中得：632y ，①(2,3)M --， 令2x =-代入4y x =-中得：422y =-=-， ①(2,2)N -，①235MN =+=；①令x m =代入6y x =中得：6y m =， ①6(2,)M m-， 令x m =代入4y x=-中得：4y m =-， ①4(2,)N m --，①6410+MN m m m==， 当0m >时，105MN m=>， 解得：2m <，①02m <<， 当0m <时，105MN m=->， 解得：2m >-，①20m -<<， 综上述所，m 的取值范围为20m -<<或02m <<．【点睛】本题考查反比例函数的综合应用，掌握待定系数法求解析式以及两点长度的表示是解题的关键．26．(1)()24y x m =-- (2)12y y <(3)2m <或4m >【分析】（1）利用完全平方公式即可求解；（2）当1m =时，确定函数解析式，根据点A ，点B 到对称轴的距离即可判断1y ，2y 的大小； （3）先求出抛物线的对称轴，根据12y y <可知点A 到对称轴的距离小于点B 到对称轴的距离，解不等式即可．【详解】（1）解：2224y x mx m =-+-()24x m =--；（2）解：12y y <，理由如下：若1m =，则抛物线的解析式为()214y x =--，()10,A y ，()23,B y ， ∴对称轴为1x =，0131-<-，∴点()23,B y 到对称轴的距离大于点()10,A y 到对称轴的距离，0a >，∴12y y <；（3）解：()24y x m =--的图象开口向上，对称轴为x m =， ∴点()11,A m y -到对称轴的距离为11m m --=，点()23,B y 到对称轴的距离为3m -，12y y <， ∴31m ->，∴31m ->或31m -<-，∴2m <或4m >．【点睛】本题考查二次函数的顶点式，利用函数图象判断函数值的大小，解一元一次不等式等，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．27．（1）AFE ABC ∠=∠，理由见详解；（2）2EF BD =，理由见详解；（3）DH①AC ．【分析】（1）过点A 作AG ①CE ，然后利用HL 证明Rt ①ABD ①Rt ①AFG ，即可得到结论成立； （2）连接AE ，则AE =AF ，则AG 垂直平分EF ，则BD FG EG ==，即可得到答案；（3）连接BF ，取BF 的中点M ，连接AM ，DM 并延长交AC 于H ，由等腰三角形的性质知①BAM+①ABM=90°，再利用四边形内角和定理说明①ACB+①BAM=90°，则①ACD=①ABM ，由①AMB=①ADB=90°，由四点A 、B 、D 、M 共圆解决问题．【详解】解：（1）AFE ABC ∠=∠；理由如下：过点A 作AG ①CE ，如图：根据题意，点B 关于直线AC 的对称点为E ，①AC 平分①BCE ，①AD ①BC ，AG ①CE ，①AD =AG ，①AF =AB ，①Rt①ABD①Rt①AFG（HL），∠=∠；①AFE ABC（2）2=；EF BD理由如下：连接AE，如图：①Rt①ABD①Rt①AFG，=，①BD FG①点B关于直线AC的对称点为E，①AB=AE，①AE=AF，①AG垂直平分EF，=，①FG EG==，①BD FG EG①2=；EF BD（3）DM①AC，理由如下：连接BF，取BF的中点M，连接AM，DM并延长交AC于H，①AB=AF，点M为BF的中点，①AM①BF，①①BAM+①ABM=90°，①点B 关于直线AC 的对称点为E ，①①ACB=①ACF ，①①ABC=①AFE ，①①ABC+①AFC=180°，①①BAF+①BCF=180°，①①ACB+①BAM=90°，①①ACD=①ABM ，①①AMB=①ADB=90°，①四点A 、B 、D 、M 共圆，①①ABM=①ADM ，①①ADM+①HDC=90°，①①ACD+①HDC=90°，①DH①AC ．【点睛】本题考查了轴对称的性质，全等三角形的判定和性质，垂直平分线的性质，角平分线的性质定理，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的作出辅助线，从而进行解题．28．（1）B 和C ；（22t ≤；（3）42G y <≤+【分析】（1）根据图形可确定与点A 组成O 的“成对关联点”的点；（2）如图，点E 在直线y x =上，点F 在直线y x =-上，当点E 在线段01E E 上，点F 在线段01F F 上时，有O 的“成对关联点”，求出即可得出t 的取值范围；（3）分类讨论：点G 在4y =上，点G 在4y =的下方和点G 在4y =的上方，构造O 的“成对关联点”，即可求出G y 的取值范围．【详解】（1）如图所示：在点B ，C ，D 中，与点A 组成O 的“成对关联点”的点是B 和C ，故答案为：B 和C ；（2）①(,)E t t①(,)E t t 在直线y x =上，①点F 与点E 关于x 轴对称，①(,)F t t -在直线y x =-，如下图所示：直线y x =和y x =-与O 分别交于点0E ，0F ，与直线2x =分别交于1E ，1F ，由题可得：0E ，当点E 在线段01E E 上时，有O 的“成对关联点”2t ≤；（3）如图，当点G 在4y =上时，GH x ∥轴，在O 上不存在这样的矩形；如图，当点G 在4y =下方时，也不存在这样的矩形；如图，当点G 在4y =上方时，存在这样的矩形GMNH ，当恰好只能构成一个矩形时，设(0,)G m ，直线4y =与y 轴相交于点K ，则GHK OGM ∠=∠，2OM =，OG m =，4GH MN ==，4GK m =-，①sin sin GHK OGM ∠=∠，即GK OM GH OG =， ①424m m-=，解得：2m =+2m =-，综上：当42G y <≤+G ，H 是O 的“成对关联点”．【点睛】本题考查几何图形综合问题，属于中考压轴题，掌握“成对关联点”的定义是解题的关键．。

2020-2021学年北京市海淀区九年级（上）期末数学试卷一、选择题（本题共24分，每小题3分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个，1．（3分）已知反比例函数y＝的图象经过点（2，3），则k＝（）A．2B．3C．﹣6D．62．（3分）围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有4000多年的历史．2017年5月，世界围棋冠军柯洁与人工智能机器人AlphaGo进行围棋人机大战．截取首局对战棋谱中的四个部分，由黑白棋子摆成的图案是中心对称的是（）A．B．C．D．3．（3分）不透明袋子中有1个红球和2个绿球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1个球，恰好是红球的概率为（）A．B．C．D．14．（3分）如图，△ABC中，点D，E分别在边AB，AC的反向延长线上，且DE∥BC．若AE＝2，AC＝4，AD＝3，则AB为（）A．9B．6C．3D．5．（3分）在下列方程中，有一个方程有两个实数根，且它们互为相反数，这个方程是（）A．x﹣1＝0B．x2+x＝0C．x2﹣1＝0D．x2+1＝06．（3分）如图，⊙O的内接正六边形ABCDEF的边长为1，则的长为（）A．πB．πC．πD．π7．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，则使得函数值y大于2的自变量x的取值可以是（）A．﹣4B．﹣2C．0D．28．（3分）下列选项中，能够被半径为1的圆及其内部所覆盖的图形是（）A．长度为线段B．斜边为3的直角三角形C．面积为4的菱形D．半径为，圆心角为90°的扇形二、填空题（本题共24分，每小题3分）9．（3分）写出一个二次函数，使得它有最小值，这个二次函数的解析式可以是．10．（3分）若点（1，a），（2，b）都在反比例函数y＝的图象上，则a，b的大小关系是：a b（填“＞”、“＝”或“＜”）．11．（3分）如图，△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，若腰AB与⊙O相切，则AC与⊙O的位置关系为（填“相交”、“相切”或“相离”）．12．（3分）若关于x的一元二次方程x2﹣3x+m＝0的一个根为1，则m的值为．13．（3分）某城市启动“城市森林”绿化工程，林业部门要考察某种树苗在一定条件下的移植成活率．在同样条件下，对这种树苗进行大量移植，并统计成活情况，数据如下表所示：移植总数10270400750150035007000900014000成活数量8235369662133532036335807312628成活频率0.8000.8700.9230.8830.8900.9150.9050.8970.902估计树苗移植成活的概率是（结果保留小数点后一位）．14．（3分）如图，在测量旗杆高度的数学活动中，某同学在脚下放了一面镜子，然后向后退，直到他刚好在镜子中看到旗杆的顶部．若眼睛距离地面AB＝1.5m，同时量得BC＝2m，CD＝12m，则旗杆高度DE＝m．15．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝3，点D在AC上，且AD＝2，将点D绕着点A顺时针方向旋转，使得点D的对应点E恰好落在AB边上，则旋转角的度数为，CE的长为．16．（3分）已知双曲线y＝﹣与直线y＝kx+b交于点A（x1，y1），B（x2，y2）．（1）若x1+x2＝0，则y1+y2＝；（2）若x1+x2＞0时，y1+y2＞0，则k0，b0（填“＞”，“＝”或“＜”）．三、解答题（本题共52分，第17-20题，每小题5分，第21-23题，每小题5分，第24-25题，每小题5分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.17．（5分）解方程：x2﹣4x+3＝0．18．（5分）如图，在Rt△ABC和Rt△ACD中，∠B＝∠ACD＝90°，AC平分∠BAD．（1）证明：△ABC∽△ACD；（2）若AB＝4，AC＝5，求BC和CD的长．19．（5分）如图1是博物馆展出的古代车轮实物，《周礼•考工记》记载：“…故兵车之轮六尺有六寸，田车之轮六尺有三寸…”据此，我们可以通过计算车轮的半径来验证车轮类型，请将以下推理过程补充完整．1.如图2所示，在车轮上取A、B两点，设所在圆的圆心为O，半径为r cm．作弦AB的垂线OC，D为垂足，则D是AB的中点．其推理依据是：．经测量：AB＝90cm，CD＝15cm，则AD＝cm；用含r的代数式表示OD，OD＝cm．在Rt△OAD中，由勾股定理可列出关于r的方程：r2＝，解得r＝75．通过单位换算，得到车轮直径约为六尺六寸，可验证此车轮为兵车之轮．20．（5分）文具店购进了20盒“2B”铅笔，但在销售过程中，发现其中混入了若干“HB”铅笔．店员进行统计后，发现每盒铅笔中最多混入了2支“HB”铅笔，具体数据见下表：混入“HB”铅笔数012盒数6m n （1）用等式写出m，n所满足的数量关系；（2）从20盒铅笔中任意选取1盒：①“盒中没有混入‘HB’铅笔”是事件（填“必然”、“不可能”或“随机”）；②若“盒中混入1支‘HB’铅笔”的概率为，求m和n的值．21．（6分）如图，在平面直角坐标系xOy中，线段AB两个端点的坐标分别为A（1，2），B （4，2），以点O为位似中心，相似比为2，在第一象限内将线段AB放大得到线段CD．已知点B在反比例函数y＝（x＞0）的图象上．（1）求反比例函数的解析式，并画出图象；（2）判断点C是否在此函数图象上；（3）点M为直线CD上一动点，过M作x轴的垂线，与反比例函数的图象交于点N．若MN≥AB，直接写出点M横坐标m的取值范围．22．（6分）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D在BC边上，以CD为直径的⊙O与直线AB相切于点E，且E是AB中点，连接OA．（1）求证：OA＝OB；（2）连接AD，若AD＝，求⊙O的半径．23．（6分）在平面直角坐标系xOy中，点P（m，y1）在二次函数y＝x2+bx+c的图象上，点Q（m，y2）在一次函数y＝﹣x+4的图象上．（1）若二次函数图象经过点（0，4），（4，4）．①求二次函数的解析式与图象的顶点坐标；②判断m＜0时，y1与y2的大小关系；（2）若只有当m≥1时，满足y1•y2≤0，求此时二次函数的解析式．24．（7分）已知∠MAN＝45°，点B为射线AN上一定点，点C为射线AM上一动点（不与点A重合），点D在线段BC的延长线上，且CD＝CB，过点D作DE⊥AM于点E．（1）当点C运动到如图1的位置时，点E恰好与点C重合，此时AC与DE的数量关系是；（2）当点C运动到如图2的位置时，依题意补全图形，并证明：2AC＝AE+DE；（3）在点C运动的过程中，点E能否在射线AM的反向延长线上？若能，直接用等式表示线段AC，AE，DE之间的数量关系；若不能，请说明理由．25．（7分）如图1，对于△PMN的顶点P及其对边MN上的一点Q，给出如下定义：以P 为圆心，PQ为半径的圆与直线MN的公共点都在线段MN上，则称点Q为△PMN关于点P的内联点．在平面直角坐标系xOy中：（1）如图2，已知点A（7，0），点B在直线y＝x+1上．①若点B（3，4），点C（3，0），则在点O，C，A中，点是△AOB关于点B的内联点；②若△AOB关于点B的内联点存在，求点B纵坐标n的取值范围；（2）已知点D（2，0），点E（4，2），将点D绕原点O旋转得到点F．若△EOF关于点E的内联点存在，直接写出点F横坐标m的取值范围．2020-2021学年北京市海淀区九年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共24分，每小题3分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个，1．【分析】直接根据反比例函数图象上点的坐标特征求解．【解答】解：∵反比例函数y＝的图象经过点（2，3），∴k＝2×3＝6．故选：D．【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数y＝（k为常数，k ≠0）的图象是双曲线，图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy＝k．2．【分析】根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．【解答】解：A、是中心对称图形，故本选项符合题意；B、不是中心对称图形，故本选项不合题意；C、不是中心对称图形，故本选项不合题意；D、不是中心对称图形，故本选项不合题意．故选：A．【点评】本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．3．【分析】根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．【解答】解：∵袋子中共有3个小球，其中红球有1个，∴摸出一个球是红球的概率是，故选：A．【点评】此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）＝．4．【分析】平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例，据此可得结论．【解答】解：∵点D，E分别在边AB，AC的反向延长线上，且DE∥BC，∴＝，即，解得AB＝6，故选：B．【点评】本题主要考查了平行线分线段成比例的推论，平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例．5．【分析】根据题意一次项系数为0且Δ＞0．【解答】解：A、x﹣1＝0是一次方程，方程有一个实数根，故选项不合题意；B、∵一次项的系数为1，故选项不合题意；C、∵Δ＝0﹣4×1×（﹣1）＝4＞0，且一次项系数为0，故此选项符合题意；D、∵Δ＝0﹣4×1×1＝﹣4＜0，故此选项不合题意．故选：C．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与系数的关系：若方程的两根为x1，x2，则x1+x2＝﹣，x1•x2＝．也考查了一元二次方程的根的判别式．6．【分析】连接OC、OB，求出圆心角∠AOB的度数，再利用弧长公式解答即可；【解答】解：∵ABCDEF为正六边形，∴∠COB＝360°×＝60°，∴△OBC是等边三角形，∴OB＝OC＝BC＝1，弧BC的长为＝π．故选：B．【点评】本题考查了正多边形和圆的知识，解题的关键是能够求得扇形的圆心角，难度不大．7．【分析】利用抛物线的对称性确定（0，2）的对称点，然后根据函数图象写出抛物线在直线y＝2上方所对应的自变量的范围即可．【解答】解：∵抛物线的对称轴为x＝﹣1.5，∴点（0，2）关于直线x＝﹣1.5的对称点为（﹣3，2），当﹣3＜x＜0时，y＞2，即当函数值y＞2时，自变量x的取值范围是﹣3＜x＜0．故选：B．【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的图象与性质，数形结合是解题的关键．8．【分析】根据图形中最长的的线段与圆的直径相比较即可判断．【解答】解：半径为1的圆的直径为2，A、∵＞2，∴长度为线段不能够被半径为1的圆及其内部所覆盖；B、∵3＞2，∴斜边为3的直角三角形不能够被半径为1的圆及其内部所覆盖；C、∵面积为4的菱形的长的对角线＞2，∴面积为4的菱形不能够被半径为1的圆及其内部所覆盖；D、∵半径为，圆心角为90°的扇形的弦为2，∴半径为，圆心角为90°的扇形能够被半径为1的圆及其内部所覆盖；故选：D．【点评】本题考查了三角形的外接圆，菱形的性质，求得图形中最长的线段是解题的关键．二、填空题（本题共24分，每小题3分）9．【分析】根据二次函数有最小值，即可得出a＞0，据此写出一个二次函数即可．【解答】解：∵二次函数有最小值，∴a＞0，∴这个二次函数的解析式可以是y＝x2，故答案为y＝x2．【点评】本题主要考查了二次函数的性质，熟练运用性质是解此题的关键．此题是一道开放型的题目．10．【分析】直接利用反比例函数的增减性分析得出答案．【解答】解：∵反比例函数y＝中，k＝4＞0，∴在每个象限内，y随x的增大而减小，∵点（1，a），（2，b）都在反比例函数y＝的图象上，且2＞1，∴a＞b，故答案为：＞．【点评】此题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，正确把握反比例函数的性质是解题关键．11．【分析】连接OA，过O点作OE⊥AB，OF⊥AC，如图，根据等腰三角形的性质得到AO 平分∠BAC，则利用角平分线的性质得OE＝OF，接着根据切线的性质可判断OE为⊙O 的半径，然后根据切线的判定定理可判断AC与⊙O相切．【解答】解：连接OA，过O点作OE⊥AB，OF⊥AC，如图，∵O是等腰△ABC的底边BC的中点，∴AO平分∠BAC，∵OE⊥AB，OF⊥AC，∴OE＝OF，∵腰AB与⊙O相切，∴OE为⊙O的半径，∴OF为⊙O的半径，而OF⊥AC，∴AC与⊙O相切．故答案为相切．【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了等腰三角形的性质、角平分线的性质和切线的判定．12．【分析】根据一元二次方程的解的定义，将x＝1代入原方程，列出关于m的方程，然后解方程即可．【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣3x+m＝0的一个根为1，∴x＝1满足一元二次方程x2﹣3x+m＝0，∴1﹣3+m＝0，解得，m＝2．故答案是：2．【点评】此题主要考查了方程解的定义，此类题型的特点是，利用方程解的定义找到相等关系，再把所求的代数式化简后整理出所找到的相等关系的形式，再把此相等关系整体代入所求代数式，即可求出代数式的值．13．【分析】根据表格中的数据和概率的含义，可以估计树苗移植成活的概率．【解答】解：由表格中的数据可以估计树苗移植成活的概率是0.9，故答案为：0.9．【点评】本题考查利用频率估计概率，解答本题的关键是明确题意，写出相应概率．14．【分析】根据镜面反射的性质，△ABC∽△EDC，再根据相似三角形对应边成比例列式求解即可．【解答】解：∵AB⊥BD，DE⊥BD，∴∠ABC＝∠EDC＝90°，∵∠ACB＝∠DCE，∴△ABC∽△EDC，∴＝，∴＝，∴DE＝9（m），故答案为：9．【点评】本题考查了相似三角形的应用．应用镜面反射的基本性质，得出三角形相似，再运用相似三角形对应边成比例即可解答．15．【分析】由旋转的性质可得旋转角为∠BAC＝45°，AD＝AE＝2，由勾股定理可求解．【解答】解：如图，连接CE，∵∠ABC＝90°，AB＝BC，∴∠BAC＝45°，∵将点D绕着点A顺时针方向旋转，使得点D的对应点E恰好落在AB边上，∴旋转角为∠BAC＝45°，AD＝AE＝2，∴BE＝1，∴CE＝＝＝，故答案为：45°，．【点评】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，掌握旋转的性质是本题的关键．16．【分析】（1）根据反比例函数图象上点的坐标特征即可得出结论；（2）根据题意画出图象，根据图象即可得出结论．【解答】解：（1）∵双曲线y＝﹣与直线y＝kx+b交于点A（x1，y1），B（x2，y2）．∴y1＝﹣，y2＝﹣，∵x1+x2＝0，∴x2＝﹣x1，∴y2＝﹣＝﹣＝﹣y1，∴y1+y2＝0，故答案为0；（2）∵双曲线y＝﹣在二、四象限，∴设A（x1，y1）在第二象限，B（x2，y2）在第四象限．则x1＜0，y1＞0，x2＞0，y2＜0，∵x1+x2＞0，y1+y2＞0，∴|x2|＞|x1|，|y1|＞|y2|，如图，∴直线y＝kx+b经过一、二、四象限，∴k＜0，b＞0，故答案为＜，＞．【点评】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了反比例函数图象上点的坐标特征，一次函数的性质，数形结合是解题的关键．三、解答题（本题共52分，第17-20题，每小题5分，第21-23题，每小题5分，第24-25题，每小题5分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.17．【分析】利用因式分解法解出方程．【解答】解：x2﹣4x+3＝0（x﹣1）（x﹣3）＝0x﹣1＝0，x﹣3＝0x1＝1，x2＝3．【点评】本题考查的是一元二次方程的解法，掌握因式分解法解一元二次方程的一般步骤是解题的关键．18．【分析】（1）由角平分线定义得∠BAC＝∠CAD，再由∠B＝∠ACD＝90°，即可得出结论；（2）先由勾股定理求出BC＝3，再由相似三角形的性质求出CD即可．【解答】（1）证明：∵AC平分∠BAD，∴∠BAC＝∠CAD，又∵∠B＝∠ACD＝90°，∴△ABC∽△ACD；（2）解：∵∠B＝90°，AB＝4，AC＝5，∴BC＝＝＝3，由（1）得：△ABC∽△ACD，∴＝，即＝，解得：CD＝．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质以及勾股定理等知识；熟练掌握勾股定理，证明三角形相似是解题的关键．19．【分析】根据垂径定理，利用勾股定理构建方程求解即可．【解答】解：如图2所示，在车轮上取A、B两点，设所在圆的圆心为O，半径为rcm．作弦AB的垂线OC，D为垂足，则D是AB的中点．其推理依据是：垂直弦的直径平分弦．经测量：AB＝90cm，CD＝15cm，则AD＝45cm；用含r的代数式表示OD，OD＝（r﹣15）cm．在Rt△OAD中，由勾股定理可列出关于r的方程：r2＝452+（r﹣15）2，解得r＝75．通过单位换算，得到车轮直径约为六尺六寸，可验证此车轮为兵车之轮．故答案为：垂直弦的直径平分弦，45，（r﹣15），452+（r﹣15）2．【点评】本题考查垂径定理，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．20．【分析】（1）根据表格确定m，n满足的数量关系即可；（2）①根据事件的性质进行解答即可；②利用概率公式列式计算即可．【解答】解：（1）观察表格发现：6+m+n＝20，∴用等式写出m，n所满足的数量关系为m+n＝14，故答案为：m+n＝14；（2）①“盒中没有混入‘HB’铅笔”是随机事件，故答案为：随机；②∵“盒中混入1支‘HB’铅笔”的概率为，∴＝，∴m＝5，n＝9．【点评】此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）＝．21．【分析】（1）将点B代入反比例函数解析式中，解方程求解，即可得出结论；（2）先求出点C的坐标，再判断，即可得出结论；（3）先表示出点M，N的坐标，进而利用MN≥AB，建立不等式，解不等式，即可得出结论．【解答】解：（1）将点B（4，2）代入反比例函数y＝中，得，∴k＝8，∴反比例函数的解析式为y＝，图象如图1所示，（2）∵以点O为位似中心，相似比为2，在第一象限内将线段AB放大得到线段CD，且A（1，2），∴C（1×2，2×2），即C（2，4），由（1）知，反比例函数解析式为y＝，当x＝2时，y＝＝4，∴点C在反比例函数图象上；（3）∵以点O为位似中心，相似比为2，在第一象限内将线段AB放大得到线段CD，且B（4，2），∴D（4×2，2×2），即D（8，4），由（2）知，C（2，4），∴直线CD的解析式为y＝4，∵点M的横坐标为m，则M（m，4），N（m，），∴MN＝|4﹣|，∵A（1，2），B（4，2），∴AB＝3，∵MN≥AB，∴|4﹣|≥3，∴m≥8或m≤，即0＜m≤或m≥8．【点评】此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，解绝对值不等式，掌握解绝对值不等式的方法是解本题的关键．22．【分析】（1）连接OE，如图，根据切线的性质得OE⊥AB，则可判断OE垂直平分AB，根据线段垂直平分线的性质得到结论；（2）设⊙O的半径为r，先证明AO平分∠BAC，再证明∠OAC＝∠B＝∠OAB＝30°，所以AC＝OC＝r，利用勾股定理得到（r）2+（2r）2＝（）2，然后解方程即可．【解答】（1）证明：连接OE，如图，∵以CD为直径的⊙O与直线AB相切于点E，∴OE⊥AB，∵E是AB中点，∴OE垂直平分AB，∴OA＝OB；（2）解：设⊙O的半径为r，∵OE⊥AB，OC⊥AC，OE＝OC，∴AO平分∠BAC，∴∠OAC＝∠OAB，∵OA＝OB，∴∠B＝∠OAB，∴∠OAC＝∠B＝∠OAB＝30°，在Rt△OAC中，AC＝OC＝r，在Rt△ACD中，（r）2+（2r）2＝（）2，解得r＝1，即⊙O的半径为1．【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了角平分线的性质．23．【分析】（1）①待定系数法即可求得解析式，把解析式化成顶点式即可求得顶点坐标；②画出二次函数和一次函数y＝﹣x+4的图像，根据图像即可得到结论；（2）由题意可知，只有二次函数y＝x2+bx+c的图象经过点（1，0）和点（4，0），才能满足m≥1时，y1•y2≤0，然后根据待定系数法求得即可．【解答】解：（1）①∵二次函数y＝x2+bx+c的图象经过点（0，4），（4，4），∴，解得，∴二次函数的解析式为y＝x2﹣4x+4，∵y＝x2﹣4x+4＝（x﹣2）2，∴图象的顶点坐标为（2，0）；②画出函数的图像如图：由图像可知，m＜0时，y1＞y2；（2）由题意可知二次函数y＝x2+bx+c的图象经过点（1，0）和点（4，0），把（1，0）和点（4，0）代入得，解得，∴此时二次函数的解析式为y＝x2﹣5x+4．【点评】本题考查了二次函数的图象上点的坐标特征，一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求二次函数的解析式，明确题意是解题的关键．24．【分析】（1）易证△ABD是等腰三角形，得AB＝AD，由SSS证得△ABC≌△ADC，得出∠CAD＝∠BAC＝45°，则∠BAD＝90°，由直角三角形斜边上的中线性质即可得出答案；（2）依题意即可补全图形，过点B作BF⊥AM于F，则∠BFC＝∠DEC＝90°，由AAS 证得△BFC≌△DEC，得出BF＝DE，CF＝CE，易证△ABF是等腰直角三角形，再BF ＝AF，推出AF＝DE，即可得出结论；（3）过点B作BF⊥AM于F，同（2）△BFC≌△DEC（AAS），得出BF＝DE，CF＝CE，证得AF＝DE，即可得出结果．【解答】（1）解：∵CD＝CB，DE⊥AM，∴△ABD是等腰三角形，∴AB＝AD，在△ABC和△ADC中，，∴△ABC≌△ADC（SSS），∴∠CAD＝∠BAC＝45°，∴∠BAD＝45°+45°＝90°，∴AC＝CD＝CB，∵点E恰好与点C重合，∴AC＝DE，故答案为：AC＝DE；（2）证明：过点B作BF⊥AM于F，如图2所示：则∠BFC＝∠DEC＝90°，在△BFC和△DEC中，，∴△BFC≌△DEC（AAS），∴BF＝DE，CF＝CE，∵∠MAN＝45°，∴△ABF是等腰直角三角形，∴BF＝AF，∴AF＝DE，∴AE+DE＝AF+CF+CE+DE＝AC+CF+AF＝AC+AC＝2AC，∴2AC＝AE+DE；（3）解：能，2AC+AE＝DE；理由如下：过点B作BF⊥AM于F，如图3所示：则∠BFC＝∠DEC＝90°，在△BFC和△DEC中，，∴△BFC≌△DEC（AAS），∴BF＝DE，CF＝CE，∵∠MAN＝45°，∴△ABF是等腰直角三角形，∴BF＝AF，∴AF＝DE，∴2AC+AE＝AC+CE＝AC+CF＝AF＝DE．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识；熟练掌握等腰直角三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键，属于中考常考题型．25．【分析】（1）①分别以B为圆心，BO，BC，BA为半径作圆，观察图像根据线段OA与圆的交点的位置，可得结论．②如图2中，当点B（0，1）时，此时以OB为半径的圆与直线OA的公共点都在线段OA上，此时点O是△AOB关于点B的内联点，当点B（7，8）时，以AB为半径的圆，与线段OA有公共点，此时点A是△AOB关于点B的内联点，利用图像法即可解决问题．（2）如图3中，过点E作EH⊥x轴于H，过点F作FN⊥y轴于N．利用相似三角形的性质求出点F的坐标，再根据对称性求出F′的坐标，当OF″⊥EF″时，设OH交F″E于P，想办法求出F″的坐标，结合图像法可得结论．【解答】解：（1）①如图1中，根据点Q为△PMN关于点P的内联点的定义，观察图像可知，点O，点C是是△AOB关于点B的内联点．故答案为：O，C．②如图2中，当点B（0，1）时，此时以OB为半径的圆与线段OA有唯一的公共点，此时点O是△AOB关于点B的内联点，当点B（7，8）时，以AB为半径的圆，与线段OA有公共点，此时点A是△AOB关于点B的内联点，观察图像可知，满足条件的n的值为1≤n≤8．（2）如图3中，过点E作EH⊥x轴于H，过点F作FN⊥y轴于N．∵E（4，2），∴OH＝4，EH＝2，∴OE＝＝2，当OF⊥OE时，点O是△OEF关于点E的内联点，∵∠EOF＝∠NOH＝90°，∴∠FON＝∠EOH，∵∠FNO＝∠OHE＝90°，∴△FNO∽△EHO，∴＝＝，∴＝＝，∴FN＝，ON＝，∴F（﹣，），观察图像可知当﹣≤m≤0时，满足条件．作点F关于点O的对称点F′（，﹣），当OF″⊥EF″时，设OH交F″E于P，∵∠EF″O＝∠EHO＝90°，OE＝EO，EH＝OF″，∴Rt△OHE≌△EF″O（HL），∴∠EOH＝∠OEF″，∴PE＝OP，s3PE＝OP＝t，在Rt△PEH中，则有t2＝22+（4﹣t）2，解得t＝，∴OP＝，PH＝PF″＝，可得F″（，﹣），观察图像可知，当≤m≤．综上所述，满足条件的m的值为﹣≤m≤0或≤m≤．【点评】本题属于圆综合题，考查了点Q为△PMN关于点P的内联点的定义，一次函数的性质，解直角三角形，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，学会寻找特殊点，特殊位置解决问题，属于中考压轴题．。

2010-2011学年北京市西城区九年级（上）期末数学试卷一、选择题（共8小题，每小题4分，满分32分）1．（4分）已知两个圆的半径分别是5和3，圆心距是2，则这两个圆的位置关系是（）A．内切B．相交C．外切D．外离2．（4分）关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+x+|a|﹣1=0的一个根是0，则实数a的值为（）A．﹣1B．0C．1D．﹣1或1 3．（4分）抛物线y=a（x+1）（x﹣3）（a≠0）的对称轴是直线（）A．x=1B．x=﹣1C．x=﹣3D．x=34．（4分）如图，在平面直角坐标系中，以P（4，6）为位似中心，把△ABC缩小得到△DEF，若变换后，点A、B的对应点分别为点D、E，则点C的对应点F的坐标应为（）A．（4，2）B．（4，4）C．（4，5）D．（5，4）5．（4分）某汽车销售公司2007年盈利1500万元，2009年盈利2160万元，且从2007年到2009年，每年盈利的年增长率相同．设每年盈利的年增长率为x，根据题意，下面所列方程正确的是（）A．1500（1+x）2=2160B．1500x+1500x2=2160C．1500x2=2160D．1500（1+x）+1500（1+x）2=21606．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，M为AB边的中点，将Rt△ABC 绕点M旋转，使点A与点C重合得到△CED，连接MD．若∠B=25°，则∠BMD等于（）A．50°B．80°C．90°D．100°7．（4分）AB是⊙O的直径，以AB为一边作等边△ABC，交⊙O于点E、F，连接AF，若AB=2，则图中阴影部分的面积为（）A．B．C．D．8．（4分）已知：a＞b＞c，且a+b+c=0，则二次函数y=ax2+bx+c的图象可能是下列图象中的（）A．B．C．D．二、填空题（共4小题，每小题4分，满16分）9．（4分）如图，在△ABC中，DE∥BC分别交AB、AC于点D、E，若DE=1，BC=3，那么△ADE与△ABC面积的比为．10．（4分）如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，E为弧AD上一点，若∠BOC=70°，则∠BED的度数为°．11．（4分）如图，平面直角坐标系中，⊙O的圆心在坐标原点，半径为2，点A的坐标为，直线AB为⊙O的切线，B为切点．则B点的坐标为．12．（4分）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过正方形ABOC的三个顶点A、B、C，则m的值为．三、解答题（共13小题，满分102分）13．（5分）计算：2sin45°+sin60°﹣cos30°+tan260°．14．（5分）已知关于x的方程．（1）如果此方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围；（2）在（1）中，若m为符合条件的最大整数，求此时方程的根．15．（5分）已知二次函数y=x2+4x+3．（1）用配方法将y=x2+4x+3化成y=a（x﹣h）2+k的形式；（2）在平面直角坐标系中，画出这个二次函数的图象；（3）写出当x为何值时，y＞0．16．（5分）已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，D、E分别为AB、AC边上的点，且，连接DE．若AC=3，AB=5，猜想DE与AB有怎样的位置关系？并证明你的结论．17．（5分）已知：如图，AB是⊙O的弦，∠OAB=45°，C是优弧AB上的一点，BD∥OA，交CA延长线于点D，连接BC．（1）求证：BD是⊙O的切线；（2）若AC=，∠CAB=75°，求⊙O的半径．18．（5分）为了鼓励居民节约用电，某地区规定：如果每户居民一个月的用电量不超过a度时，每度电按0.40元交费；如果每户居民一个月的用电量超出a度时，则该户居民的电费将使用二级电费计费方式，即其中有a度仍按每度电0.40元交费，超出a度部分则按每度电元交费．下表是该地区一户居民10月份、11月份的用电情况．根据表中的数据，求在该地区规定的电费计费方式中，a度用电量为多少？月份用电量所交电费总数（元）10月803211月1004219．（6分）已知：抛物线C1：y=ax2+bx+c经过点A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，﹣3）．（1）求抛物线C1的解析式；（2）将抛物线C1向左平移几个单位长度，可使所得的抛物线C2经过坐标原点，并写出C2的解析式；（3）把抛物线C1绕点A（﹣1，O）旋转180°，写出所得抛物线C3顶点D的坐标．20．（4分）已知：如图，一座商场大楼的顶部竖直立有一个矩形广告牌，小红同学在地面上选择了在一条直线上的三点A（A为楼底）、D、E，她在D处测得广告牌顶端C的仰角为60°，在E两处测得商场大楼楼顶B的仰角为45°，DE=5米．已知，广告牌的高度BC=2.35米，求这座商场大楼的高度AB（取1.73，取1.41，小红的身高不计，结果保留整数）．21．（4分）阅读下列材料：李老师提出一个问题：“已知：如图1，AB=m（m＞0），∠BAC=α（α为锐角），在射线AC上取一点D，使构成的△ABD唯一确定，试确定线段BD的取值范围．”小明同学说出了自己的解题思路：以点B为圆心，以m为半径画圆（如图2所示），D为⊙B与射线AC的交点（不与点A重合），连结BD，所以，当BD=m 时，构成的△ABD是唯一确定的．李老师说：“小明同学画出的三角形是正确的，但是他的解答不够全面．”对于李老师所提出的问题，请给出你认为正确的解答（写出BD的取值范围，并在备用图中画出对应的图形，不写作法，保留作图痕迹）．22．（6分）已知：如图，△ABC是等边三角形，D是AB边上的点，将DB绕点D 顺时针旋转60°得到线段DE，延长ED交AC于点F，连接DC、AE．（1）求证：△ADE≌△DFC；（2）过点E作EH∥DC交DB于点G，交BC于点H，连接AH．求∠AHE的度数；（3）若BG=，CH=2，求BC的长．23．（7分）已知关于x的一元二次方程ax2+2bx+c=0（a＞0）①．（1）若方程①有一个正实根c，且2ac+b＜0．求b的取值范围；（2）当a=1时，方程①与关于x的方程4x2+4bx+c=0②有一个相同的非零实根，求的值．24．（8分）已知：如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，过C点的切线与AB的延长线交于点D，CE∥AB交⊙O于点E，连接AC、BC、AE．（1）求证：①∠DCB=∠CAB；②CD•CE=CB•CA；（2）作CG⊥AB于点G．若（k＞1），求的值（用含k的式子表示）．25．（7分）已知：抛物线y=x2﹣（m+1）x+m与x轴交于点A（x1，0）、B（x2，0）（A在B的左侧），与y轴交于点C．（1）若m＞1，△ABC的面积为6，求抛物线的解析式；（2）点D在x轴下方，是（1）中的抛物线上的一个动点，且在该抛物线对称轴的左侧，作DE∥x轴与抛物线交于另一点E，作DF⊥x轴于F，作EG⊥x轴于点G，求矩形DEGF周长的最大值；（3）若m＜0，以AB为一边在x轴上方做菱形ABMN（∠NAB为锐角），P是AB 边的中点，Q是对角线AM上一点，若，QB+PQ=6，当菱形ABMN 的面积最大时，求点A的坐标．2010-2011学年北京市西城区九年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共8小题，每小题4分，满分32分）1．（4分）已知两个圆的半径分别是5和3，圆心距是2，则这两个圆的位置关系是（）A．内切B．相交C．外切D．外离【分析】根据圆心距与半径之间的数量关系可知两圆的位置关系是内切．【解答】解：∵两个圆的半径分别是5和3，圆心距是2，5﹣3=2，∴两圆的位置关系是内切．故选：A．【点评】本题考查了由数量关系来判断两圆位置关系的方法．设两圆的半径分别为R和r，且R≥r，圆心距为P，则外离：P＞R+r；外切：P=R+r；相交：R﹣r＜P＜R+r；内切：P=R﹣r；内含：P＜R﹣r．2．（4分）关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+x+|a|﹣1=0的一个根是0，则实数a的值为（）A．﹣1B．0C．1D．﹣1或1【分析】先把x=0代入方程求出a的值，然后根据二次项系数不能为0，把a=1舍去．【解答】解：把x=0代入方程得：|a|﹣1=0，∴a=±1，∵a﹣1≠0，∴a=﹣1．故选：A．【点评】本题考查的是一元二次方程的解，把方程的解代入方程得到a的值，再由二次项系数不为0，确定正确的选项．3．（4分）抛物线y=a（x+1）（x﹣3）（a≠0）的对称轴是直线（）A．x=1B．x=﹣1C．x=﹣3D．x=3【分析】已知抛物线解析式为交点式，通过解析式可求抛物线与x轴的两交点坐标；两交点的横坐标的平均数就是对称轴．【解答】解：∵﹣1，3是方程a（x+1）（x﹣3）=0的两根，∴抛物线y=a（x+1）（x﹣3）与x轴交点横坐标是﹣1，3，∵这两个点关于对称轴对称，∴对称轴是x==1．故选：A．【点评】此题考查对称轴的性质：抛物线上的两点纵坐标相同时，对称轴是两点横坐标的平均数．4．（4分）如图，在平面直角坐标系中，以P（4，6）为位似中心，把△ABC缩小得到△DEF，若变换后，点A、B的对应点分别为点D、E，则点C的对应点F的坐标应为（）A．（4，2）B．（4，4）C．（4，5）D．（5，4）【分析】根据两个图形必须是相似形；②对应点的连线都经过同一点，即可得出F点的坐标．【解答】解：∵△DEF∽△ABC，且F点在CP的连线上，∴可得F点位置如图所示：故P点坐标为（4，4）．故选：B．【点评】本题考查位似的定义，难度不大，注意掌握两位似图形的对应点的连线都经过同一点，这一点即是位似中心．5．（4分）某汽车销售公司2007年盈利1500万元，2009年盈利2160万元，且从2007年到2009年，每年盈利的年增长率相同．设每年盈利的年增长率为x，根据题意，下面所列方程正确的是（）A．1500（1+x）2=2160B．1500x+1500x2=2160C．1500x2=2160D．1500（1+x）+1500（1+x）2=2160【分析】设每年盈利的年增长率为x，第一年的增长率为（1+x），第二年增长率为（1+x）2，据此列出等量关系．【解答】解：设每年盈利的年增长率为x，第一年的增长率为（1+x），第二年增长率为（1+x）2，又知2007年盈利1500万元，2009年盈利2160万元，故可得1500（1+x）2=2160，故选：A．【点评】本题主要考查由实际问题抽象出一元二次方程的知识点，读懂题意，找到等量关系是解答本题的关键．6．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，M为AB边的中点，将Rt△ABC 绕点M旋转，使点A与点C重合得到△CED，连接MD．若∠B=25°，则∠BMD 等于（）A．50°B．80°C．90°D．100°【分析】由∠B=25°，则∠A=65°，根据旋转的性质得MA=MC，则∠AMC=50°，从而得出∠BMD的度数．【解答】解：∵∠B=25°，∴∠A=65°，∵∠ACB=90°，M 为AB 边的中点，∴MA=MC ，∴∠ACM=65°，∴∠AMC=50°，∴∠AMD=100°，∴∠BMD=80°，故选：B ．【点评】本题考查了旋转的性质，以及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．7．（4分）AB 是⊙O 的直径，以AB 为一边作等边△ABC ，交⊙O 于点E 、F ，连接AF ，若AB=2，则图中阴影部分的面积为（）A ．B ．C ．D ．【分析】根据等腰三角形的性质和等弧对等弦得弧AE=弧BF ，从而得出阴影部分的面积即为弓形AEF 的面积．【解答】解：连接OF ，∵等边△ABC ，∴∠ABC=∠BAC=60°，∴，∴=，AE=BF ，∠AOF=120°，∵AB 是直径，AB=2，∴AF=，点O 到AF 的距离，∴S 阴影=S 扇形AOF ﹣S △AOF =﹣×=﹣，故选：D ．【点评】本题考查了扇形面积的计算和等边三角形的性质，是基础知识要熟练掌握．8．（4分）已知：a＞b＞c，且a+b+c=0，则二次函数y=ax2+bx+c的图象可能是下列图象中的（）A．B．C．D．【分析】由a＞b＞c，且a+b+c=0，确定a＞0，c＜0，与x轴交点一个是（1，0），采取排除法即可选出所选答案．【解答】解：A、由图知a＞0，﹣=1，c＞0，即b＜0，∵已知a＞b＞c，故本选项错误；B、由图知a＜0，而已知a＞b＞c，且a+b+c=0，必须a＞0，故本选项错误；C、图C中条件满足a＞b＞c，且a+b+c=0，故本选项正确；D、∵a+b+c=0，即当x=1时a+b+c=0，与图中与x轴的交点不符，故本选项错误．故选：C．【点评】本题主要考查了二次函数的性质，点的坐标特点等知识点，灵活运用性质进行说理是解此题的关键．题型较好．二、填空题（共4小题，每小题4分，满16分）9．（4分）如图，在△ABC中，DE∥BC分别交AB、AC于点D、E，若DE=1，BC=3，那么△ADE与△ABC面积的比为1：9．【分析】由DE∥BC判定两三角形相似，而面积的比等于对应线段DE与BC的比的平方．【解答】解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴相似比等于DE与BC的比，即：=，△ADE与△ABC面积的比为1：9．故答案为：1：9．【点评】本题考查了相似三角形的判定及相似三角形面积的比等于相似比的平方的相关知识，次知识点也是中考的高频考点之一．10．（4分）如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，E为弧AD上一点，若∠BOC=70°，则∠BED的度数为35°．【分析】由于直径AB⊥CD，由垂径定理知B是的中点，进而可根据等弧所对的圆心角和圆周角的数量关系求得∠BED的度数．【解答】解：∵直径AB⊥CD，∴B是的中点；∴∠BED=∠BOC=35°；故答案为35°．【点评】此题主要考查的是垂径定理和圆周角定理的综合应用，理解等弧所对的圆周角是圆心角的一半是解决问题的关键．11．（4分）如图，平面直角坐标系中，⊙O的圆心在坐标原点，半径为2，点A 的坐标为，直线AB为⊙O的切线，B为切点．则B点的坐标为（2，0）、（﹣1，）．【分析】由直线AB为⊙O的切线，根据从圆外一点可以作圆的两条切线，所以我们可以画出大致图形，结合图形，作出辅助线，利用三角形相似可以得出．【解答】解：过点A作圆的两条切线，AB，AC，切点分别为点B，C，连接OC，作CD⊥AB于点D，∴AB⊥OB，CD⊥AB，OC⊥AC∵圆半径为2，点A的坐标为（2，2），∴B点坐标为（2，0）又∵∠ACD+∠DCO=90°，∠ACD+∠A=90°，∴∠DCO=∠A，∠ADC=∠CEO∴△OEC∽△CDA∴假设CE=x，OE=y，∵AD=AB﹣BD=2﹣y，CD=2+x，CO=2，AC=2解以上方程可以求出：x=1，y=所以C点的坐标为（﹣1，），故答案为：（2，0），（﹣1，）【点评】此题主要考查了切线长定理，相似三角形的判定，以及利用相似求对应线段的长度，题目综合性较强，质量挺高．12．（4分）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过正方形ABOC的三个顶点A、B、C，则m的值为﹣1．【分析】先根据二次函数的解析式求出点A的坐标，再用m表示出点C的坐标，代入二次函数的解析式即可求出m的值．【解答】解：∵抛物线的解析式为（a≠0），∴点A的坐标为（0，），∴OA=，连接BC与AO交于点M，∵四边形ABOC是正方形，∴，∴点C的坐标为（，），把点C的坐标为（，）代入二次函数得，，m=m2+2m，m2+m=0，m1=0，m2=﹣1，∵m1=0时，点A与点O重合，∴m1=0舍去，∴m的值为﹣1．故答案为：﹣1．【点评】本题考查了学生如何根据函数的解析式求点的坐标，需要综合运用二次函数和正方形的性质解出此题．三、解答题（共13小题，满分102分）13．（5分）计算：2sin45°+sin60°﹣cos30°+tan260°．【分析】先把各角的三角函数值代入，再根据实数混合运算的法则进行计算即可．【解答】解：2sin45°+sin60°﹣cos30°+tan260°．=，=．故答案为：+3．【点评】本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记各特殊角的三角函数值是解答此题的关键．14．（5分）已知关于x的方程．（1）如果此方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围；（2）在（1）中，若m为符合条件的最大整数，求此时方程的根．【分析】（1）先根据方程有两个不相等的实数根可知△＞0，由△＞0可得到关于m的不等式，求出m的取值范围即可；（2）由（1）中m的取值范围得出符合条件的m的最大整数值，代入原方程，利用求根公式即可求出x的值．【解答】解：（1）∵该方程有两个不相等的实数根，∴△=32﹣4×1×=9﹣3m＞0．解得m＜3．∴m的取值范围是m＜3；（2）∵m＜3，∴符合条件的最大整数是m=2．此时方程为x2+3x+=0，解得x==．∴方程的根为x1=，x2=．故答案为：m＜3，x1=，x2=．【点评】本题考查的是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△的关系及求根公式，是一个综合性的题目，难度适中．15．（5分）已知二次函数y=x2+4x+3．（1）用配方法将y=x2+4x+3化成y=a（x﹣h）2+k的形式；（2）在平面直角坐标系中，画出这个二次函数的图象；（3）写出当x为何值时，y＞0．【分析】（1）根据配方法先提出二次项系数，再加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般式转化为顶点式．（2）画图象的步骤：列表、描点、连线；（3）当y＞0时，即图象在x轴上方的部分，再写出x的取值范围．【解答】解：（1）y=x2+4x+3，y=x2+4x+4﹣4+3，y=x2+4x+4﹣1，y=（x+2）2﹣1；（2）列表：x…﹣4﹣3﹣2﹣10…y…30﹣103…图象见图．（3）由图象可知，当x＜﹣3或x＞﹣1时，y＞0．【点评】本题考查了二次函数的解析式的形式及抛物线的画法，注意：二次函数的解析式的三种形式：（1）一般式：y=ax2+bx+c（a≠0，a、b、c为常数）；（2）顶点式：y=a（x﹣h）2+k；（3）交点式（与x轴）：y=a（x﹣x1）（x﹣x2）．16．（5分）已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，D、E分别为AB、AC边上的点，且，连接DE．若AC=3，AB=5，猜想DE与AB有怎样的位置关系？并证明你的结论．【分析】根据△ADE与△ACB两边对应成比例及一夹角相等，证明两三角形相似，然后利用相似三角形的性质即可得到∠ADE=∠C=90°，从而得到DE与AB的位置关系是互相垂直．【解答】猜想：DE与AB的位置关系是互相垂直．证明：∵AC=3，AB=5，，∴．∵∠A=∠A，∴△ADE∽△ACB．∵∠C=90°，∴∠ADE=∠C=90°．∴DE⊥AB．【点评】此题考查了垂直定义及相似三角形的性质，根据图形的特点找到公共角，并根据各边的比得到相似比是解题的关键．17．（5分）已知：如图，AB是⊙O的弦，∠OAB=45°，C是优弧AB上的一点，BD∥OA，交CA延长线于点D，连接BC．（1）求证：BD是⊙O的切线；（2）若AC=，∠CAB=75°，求⊙O的半径．【分析】（1）连接OB，如图．根据题意得，∠1=∠OAB=45°．由AO∥DB，得∠2=∠OAB=45°．则∠1+∠2=90°．即BD⊥OB于B．从而得出CD是⊙O的切线．（2）作OE⊥AC于点E．由OE⊥AC，AC=，求得AE，由∠BAC=75°，∠OAB=45°，得出∠3．在Rt△OAE中，求得OA即可．【解答】（1）证明：连接OB，如图．∵OA=OB，∠OAB=45°，∴∠1=∠OAB=45°．∵AO∥DB，∴∠2=∠OAB=45°．∴∠1+∠2=90°．∴BD⊥OB于B．又∵点B在⊙O上．∴BD是⊙O的切线．（2）解：作OE⊥AC于点E．∵OE⊥AC，AC=，∴AE==．∵∠BAC=75°，∠OAB=45°，∴∠3=∠BAC﹣∠OAB=30°．∴在Rt△OAE中，解法二：如图延长AO与⊙O交于点F，连接FC．∴∠ACF=90°．在Rt△ACF中，．∴AO==4．【点评】本以考查了切线的判定和性质，以及解直角三角形，是基础知识要熟练掌握．18．（5分）为了鼓励居民节约用电，某地区规定：如果每户居民一个月的用电量不超过a度时，每度电按0.40元交费；如果每户居民一个月的用电量超出a度时，则该户居民的电费将使用二级电费计费方式，即其中有a度仍按每度电0.40元交费，超出a度部分则按每度电元交费．下表是该地区一户居民10月份、11月份的用电情况．根据表中的数据，求在该地区规定的电费计费方式中，a度用电量为多少？月份用电量所交电费总数（元）10月803211月10042【分析】不超过a度，无论用电多少，都是0.4a元；超出部分的用电量为（100﹣a）度，超出部分缴电费是（100﹣a）•（0.4+）元，合计起来，就是这个月这户居民要缴用电费．【解答】解：因为80×0.4=32，100×0.4=40＜42，所以80≤a＜100．由题意得．去分母，得60a+（100﹣a）a=42×150．整理，得a2﹣160a+6300=0．解得a1=90，a2=70．因为a≥80，所以a2=70不合题意，舍去．所以a=90．答：在该地区规定的电费计费方式中，a度用电量为90度．【点评】考查了一元二次方程的应用，本题要采用分段收费的方式，根据题意找到数量关系，列出代数式．19．（6分）已知：抛物线C1：y=ax2+bx+c经过点A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，﹣3）．（1）求抛物线C1的解析式；（2）将抛物线C1向左平移几个单位长度，可使所得的抛物线C2经过坐标原点，并写出C2的解析式；（3）把抛物线C1绕点A（﹣1，O）旋转180°，写出所得抛物线C3顶点D的坐标．【分析】（1）根据y=ax2+bx+c经过点A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，﹣3）列出三元一次方程，解得a、b、c；（2）求出原函数的图象对称轴，然后运用平移知识解答；（3）根据旋转的知识点，求出D点坐标．【解答】解：（1）∵y=ax2+bx+c经过点A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，﹣3）．∴解得∴所求抛物线C1的解析式为：y=x2﹣2x﹣3；（2）抛物线C1向左平移3个单位长度，可使得到的抛物线C2经过坐标原点所求抛物线C2的解析式为：y=x（x+4）=x2+4x；（3）D点的坐标为（﹣3，4）．【点评】本题主要考查待定系数求二次函数的解析式的知识点，根据题干条件解出函数解析式是解答本题的关键，此题难度不是很大．20．（4分）已知：如图，一座商场大楼的顶部竖直立有一个矩形广告牌，小红同学在地面上选择了在一条直线上的三点A（A为楼底）、D、E，她在D处测得广告牌顶端C的仰角为60°，在E两处测得商场大楼楼顶B的仰角为45°，DE=5米．已知，广告牌的高度BC=2.35米，求这座商场大楼的高度AB（取1.73，取1.41，小红的身高不计，结果保留整数）．【分析】由于在E出的仰角是45°，所以可得AE=AB，可设其值为x，再结合D 出的仰角60°以及题中的条件，进而求解直角三角形即可．【解答】解：设AB为x米．依题意，在Rt△ABE中，∠BEA=45°，∴AE=AB=x．∴AD=AE﹣DE=x﹣5，AC=BC+AB=2.35+x．在Rt△ADC中，∠CDA=60°，∴AC=AD•tan∠CDA=AD．∴x+2.35=（x﹣5）．∴（﹣1）x=2.35+5．解得．∴x≈15．答：商场大楼的高度AB约为15米．【点评】本题主要考查了生活中仰角俯角的问题，其中解题关键还是解直角三角形的问题，应熟练掌握．21．（4分）阅读下列材料：李老师提出一个问题：“已知：如图1，AB=m（m＞0），∠BAC=α（α为锐角），在射线AC上取一点D，使构成的△ABD唯一确定，试确定线段BD的取值范围．”小明同学说出了自己的解题思路：以点B为圆心，以m为半径画圆（如图2所示），D为⊙B与射线AC的交点（不与点A重合），连结BD，所以，当BD=m 时，构成的△ABD是唯一确定的．李老师说：“小明同学画出的三角形是正确的，但是他的解答不够全面．”对于李老师所提出的问题，请给出你认为正确的解答（写出BD的取值范围，并在备用图中画出对应的图形，不写作法，保留作图痕迹）．【分析】使△ABD唯一确定，就是使满足条件的三角形全等，根据三角形全等的判定定理，若两个三角形有一个角和夹这个角的一边对应相等，只要再加上另外的一个边对应相等，即可利用SAS证明两个三角形全等，或令HL定理，作∠α所对的直角边即可．【解答】解：BD=msinα或BD≥m．见图1、图2；【点评】本题考查了全等三角形的判定定理的应用，理解使△ABD唯一确定，就是使满足条件的三角形全等是关键．22．（6分）已知：如图，△ABC是等边三角形，D是AB边上的点，将DB绕点D 顺时针旋转60°得到线段DE，延长ED交AC于点F，连接DC、AE．（1）求证：△ADE≌△DFC；（2）过点E作EH∥DC交DB于点G，交BC于点H，连接AH．求∠AHE的度数；（3）若BG=，CH=2，求BC的长．【分析】（1）由旋转的性质，可得△ADE是等边三角形，由等边三角形的性质，易得DE=DB=FC，∠ADE=∠DFC=120°，AD=DF，可得△ADE≌△DFC；（2）由△ADE≌△DFC，易得ED∥BC，EH∥DC，即可得四边形EHCD是平行四边形，易得△AEH是等边三角形，即可求得∠AHE的度数；（3）由平行四边形的性质，易得△BGH∽△BDC，又由相似三角形的对应边成比例，易得BC的长．【解答】（1）证明：如图，∵线段DB顺时针旋转60°得线段DE，∴∠EDB=60°，DE=DB．∵△ABC是等边三角形，∴∠B=∠ACB=60°．∴∠EDB=∠B．∴EF∥BC．∴DB=FC，∠ADF=∠AFD=60°．∴DE=DB=FC，∠ADE=∠DFC=120°，△ADF是等边三角形．∴AD=DF．∴△ADE≌△DFC．（2）解：由△ADE≌△DFC，得AE=DC，∠1=∠2．∵ED∥BC，EH∥DC，∴四边形EHCD是平行四边形．∴EH=DC，∠3=∠4．∴AE=EH．∴∠AEH=∠1+∠3=∠2+∠4=∠ACB=60°．∴△AEH是等边三角形．∴∠AHE=60°．（3）解：设BH=x，则AC=BC=BH+HC=x+2，由（2）四边形EHCD是平行四边形，∴ED=HC．∴DE=DB=HC=FC=2．∵EH∥DC，∴△BGH∽△BDC．∴．即．解得x=1．∴BC=3．【点评】此题考查了全等三角形的性质与判定，以及相似三角形的判定与性质和平行四边形的性质与判定．此题属于综合性题目，比较难，解题时要注意仔细识图．23．（7分）已知关于x的一元二次方程ax2+2bx+c=0（a＞0）①．（1）若方程①有一个正实根c，且2ac+b＜0．求b的取值范围；（2）当a=1时，方程①与关于x的方程4x2+4bx+c=0②有一个相同的非零实根，求的值．【分析】（1）先根据c是一元二次方程ax2+2bx+c=0的实数根，把c代入此方程可得到关于a、b、c的方程，根据c＞0可得到ac+2b+1=0，再由不等式的基本性质即可求出b的取值范围；（2）把a=1代入方程4x2+4bx+c=0中，设方程①与方程②的相同实根为m，把m 分别代入两方程得到关于m的方程组，求出m的值，把此值代入一个方程便可得到b、c的关系式，代入即可求出其答案．【解答】解：（1）∵c为方程的一个正实根（c＞0），∴ac2+2bc+c=0．∵c＞0，∴ac+2b+1=0，即ac=﹣2b﹣1．∵2ac+b＜0，∴2（﹣2b﹣1）+b＜0．解得．又∵ac＞0（由a＞0，c＞0）．∴﹣2b﹣1＞0．解得．∴；（2）当a=1时，此时方程①为x2+2bx+c=0．设方程①与方程②的相同实根为m，∴m2+2bm+c=0③∴4m2+4bm+c=0④④﹣③得3m2+2bm=0．整理，得m（3m+2b）=0．∵m≠0，∴3m+2b=0．解得．把代入方程③得．∴，即8b2=9c．当8b2=9c时，．故答案为：，．【点评】本题考查的是一元二次方程的解及根的判别式，解答此题的关键是熟知根的判别式与方程的根之间的关系．24．（8分）已知：如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，过C点的切线与AB的延长线交于点D，CE∥AB交⊙O于点E，连接AC、BC、AE．（1）求证：①∠DCB=∠CAB；②CD•CE=CB•CA；（2）作CG⊥AB于点G．若（k＞1），求的值（用含k的式子表示）．【分析】（1）①过点C作直径CF，连接BF，即可得∠A=∠F，又由直径所对的圆周角等于直角，可得∠CBF是直角，又由切线的性质，可得∠FCD是直角，即可证得∠BCD=∠CAB；②由CE∥AB，易证得∠ECA=∠DCB，有圆的内接四边形的对角互补，可得∠E=∠CBD，即可证得△ACE∽△DCB，则得到CD•CE=CB•CA；（2）在Rt△HGB与Rt△BCG中，利用三角函数的性质，即可求得的值．【解答】（1）证明：①如图1解法一：作直径CF，连接BF．∴∠CBF=90°，则∠CAB=∠F=90°﹣∠1．∵CD切⊙O于C，∴OC⊥CD，则∠BCD=90°﹣∠1．∴∠BCD=∠CAB．解法二：如图2连接OC．∵AB是直径，∴∠ACB=90°．则∠2=90°﹣∠OCB．∵CD切⊙O于C，∴OC⊥CD．则∠BCD=90°﹣∠OCB．∴∠BCD=∠2．∵OA=OC，∴∠2=∠CAB．∴∠BCD=∠CAB．②∵EC∥AB，∠BCD=∠3，∴∠4=∠3=∠BCD．∵∠CBD+∠ABC=180°，∵∠AEC+∠ABC=180°，∴∠CBD=∠AEC．∴△ACE∽△DCB．∴．∴CD•CE=CB•CA．（2）解：如图3，连接EB，交OC于点H，∵CG⊥AB于点G，∠ACB=90°．∴∠3=∠BCG．∴AE=BC，∵∠3=∠4．∴∠3=∠EBG．∴∠BCG=∠EBG．∵（k＞1），∴在Rt△HGB中，．在Rt△BCG中，．设HG=a，则BG=ka，CG=k2a．CH=CG﹣HG=（k2﹣1）a．∵EC∥AB，∴△ECH∽△BGH．∴．解法二：如图4，作直径FC，连接FB、EF，则∠CEF=90°．∵CG⊥AB于点G，在Rt△ACG中，设CG=a，则AG=ka，，CF=AB=AG+BF=（k）a．∵EC∥AB，∠CEF=90°，∴直径AB⊥EF．∴EF=2CG=2a．EC=）=（k）a．∴=k2﹣1．解法三：如图5，作EP⊥AB于点P在Rt△ACG中，，设CG=a，则AG=ka，，可证△AEP≌△BCG，则有AP=．EC=AG﹣AP=（k）a．∴==k2﹣1．【点评】此题考查了圆的切线的性质与圆的同弧所对的圆周角相等，以及相似三角形的性质与判定和三角函数的性质等．此题综合性较强，属于中档题，解题时要注意数形结合思想的应用．25．（7分）已知：抛物线y=x2﹣（m+1）x+m与x轴交于点A（x1，0）、B（x2，0）（A在B的左侧），与y轴交于点C．（1）若m＞1，△ABC的面积为6，求抛物线的解析式；（2）点D在x轴下方，是（1）中的抛物线上的一个动点，且在该抛物线对称轴的左侧，作DE∥x轴与抛物线交于另一点E，作DF⊥x轴于F，作EG⊥x轴于点G，求矩形DEGF周长的最大值；（3）若m＜0，以AB为一边在x轴上方做菱形ABMN（∠NAB为锐角），P是AB 边的中点，Q是对角线AM上一点，若，QB+PQ=6，当菱形ABMN 的面积最大时，求点A的坐标．【分析】（1）由抛物线y=x2﹣（m+1）x+m与x轴交于点A（x1，0）、B（x2，0），得出x2﹣（m+1）x+m=0的解，再利用m＞1，△ABC的面积为6，即△ABC的面积S==，求出m，从而得出解析式；（2）作出矩形，用t表示出矩形的周长，利用二次函数的最值求出即可；（3）首先表示出AB的长度，再利用=，QB+PQ=6，得出S菱形=AB•NH=15k2≤48，当菱形面积取得最大值48时，k=，由AB=5k=1 ABMN﹣m=．解出m的值，得出A点坐标．【解答】解：（1）∵抛物线与x轴交于点A（x1，0）、B（x2，0），∴x1、x2是关于x的方程x2﹣（m+1）x+m=0的解．解方程，得x=1或x=m．（1）∵A在B的左侧，m＞1，∴x1=1，x2=m．∴AB=m﹣1．抛物线与y轴交于C（0，m）点．∴OC=m．△ABC的面积S==．解得m1=4，m2=﹣3（不合题意，舍去）．∴抛物线解析式为y=x2﹣5x+4；（2）∵点D在（1）中的抛物线上，∴设D（t，t2﹣5t+4）（）．∴F（t，0），DF=﹣t2+5t﹣4．又抛物线对称轴是直线，DE与抛物线对称轴交点记为R（如图），∴DR=，DE=5﹣2t．设矩形DEGF的周长为L，则L=2（DF+DE）．∴L=2（﹣t2+5t﹣4+5﹣2t）=﹣2t2+6t+2=．∵，∴当且仅当时，L有最大值．=．当时，L最大∴矩形周长的最大值为．（3）∵A在B的左侧，m＜0，∴x1=m，x2=1．∴AB=1﹣m．如图，作NH⊥AB于H，连接QN．在Rt△AHN中，=．设AH=4k（k＞0），则AN=5k，NH=3k．∴AP===，PH=AH﹣AP==，PN==．∵菱形ABMN是轴对称图形，∴QN=QB．∴PQ+QN=PQ+QB=6．∵PQ+QN≥PN（当且仅当P、Q、N三点共线时，等号成立）．∴6≥，解得k≤．=AB•NH=15k2≤48．∵S菱形ABMN∴当菱形面积取得最大值48时，k=．此时AB=5k=1﹣m=．解得m=1﹣．∴A点的坐标为（1﹣，0）．【点评】此题主要考查了一元二次方程的解法，以及二次函数的最值问题，锐角三角函数问题和矩形菱形等知识，题目综合性较强．。

2010—2011学年度上学期期末考试试卷九 年 级 数 学一、认真填一填（每空3分，共30分）1．231+＝__________，点P (2，－3)关于原点O 的中心对称点的坐标为__________．2．81，75，45，50四个二次根式中，是同类二次根式的是__________． 3．把方程)2(5)2(-=+x x x 化成二次项系数为2的一般式，则a 、b 、c 的值分别是__________．4．劲威牌衬衣的价格经过连续两次降价后，由每件150元降至96元，求平均每次降价的百分率是多少，可列方程________________________．5．将抛物线21(5)33y x =--+向左平移5个单位，再向上平移3个单位后得到的抛物线的解析式为_______________________．6．若⊙O 1和⊙O 2相交于点A 、B ，且AB ＝24，⊙O 1的半径为13，⊙O 2的半径为15，则O 1O 2的长为__________或__________．（有两解）7．如图，粮仓的顶部是圆锥形状，这个圆锥底面圆的半径长为3m ，母线长为6m ，为防止雨水，需在粮仓顶部铺上油毡，如果油毡的市场价是每平方米10元，那么购买油毡所需要的费用是______________元（结果保留整数）． 8．若关于x 一元二次方程011)1(2=+++-xm x m有两个实数根，则m 的取值范围是________________．二、细心选一选（答案唯一，每小题3分，共24分） 9．下列各式正确的是（ ） (A )5323222=+=+(B )32)53(3523++=+ (C )94)9()4(⨯=-⨯-(D )212214= 10．下列图形中，既是中心对称又是轴对称的图形是（ ）(A )(B )(C )(D )（第7题图）11．若x ＝－2为一元二次方程x 2－2x －m ＝0的一个根，则m 的值为（ ）(A )0 (B )4 (C )－3 (D )8 12．如图所示的向日葵图案是用等分圆周画出的，则⊙O 与半圆P 的半径的比为（ ）(A )5﹕3 (B )4﹕1 (C )3﹕1 (D )2﹕113．如图，若000a b c <><，，，则抛物线2y ax bx c =++的图象大致为（ ）14．口袋内装有一些除颜色外其他完全相同的红球、白球和黑球，从中摸出一球，摸出红球的概率为0.2，摸出白球的概率为0.5，那么摸出黑球的概率为（ ） (A )0.2 (B )0.7 (C )0.5 (D )0.315．如图，将半径为8的⊙O 沿AB 折叠，弧AB 恰好经过与AB垂直的半径OC 的中点D ，则折痕AB 长为（ ）(A )215 (B )415 (C )8 (D )1016．二次函数c bx ax y ++=2的图象如图所示，若c b a M ++=24，c b a N +-=，b a P -=4，则（ ）(A )0>M ，0>N ，0>P(B )0<M ，0>N ，0>P (C )0>M ，0<N ，0>P (D )0<M ，0>N ，0<P三、耐心做一做（每题4分，共16分） 17．计算与化简（每题4分，共8分）⑴27)124148(÷+ ⑵3321825038a aa a a a -+xxxxx（第12题图）。

东城区2010-2011学年第一学期期末统一检测初三数学试卷2011.011. 一元二次方程122=-bx x 的常数项为( ) A. 1- B. 1 C. 0 D. 1±2. 下列图形中，是中心对称的图形是()3. 若DEF ABC ∆∆~，1:2:=DE AD 且ABC ∆的周长为16，则DE F ∆的周长为( ) A. 4 B. 16 C. 8 D. 324. 如图，在⊙O 中，CD 是直径，AB 是弦，CD AB ⊥于M ，8=AB ，5=OC ，则MD 的长为( )A. 4B. 2C.2 D. 15. 若关于x 的方程0222=--ax x 有两个不相等的实数根，则a 的值是( )A. 2B. 4C. 6D. 86. 抛物线2)1(32-+-=x y 经过平移得到抛物线23x y -=，平移的方法是( ) A. 向左平移1个单位，再向下平移2个单位 B. 向右平移1个单位，再向下平移2个单位C. 向左平移1个单位，再向上平移2个单位D. 向右平移1个单位，再向上平移2个单位7. 某圆与半径为2的圆相切，若两圆的圆心距为5，则此圆的半径为( )A. 3B. 7C. 3或7D. 5或78. 小明从二次函数c bx ax y ++=2的图象（如图）中观察得到了下面五条信息：①0<c ； ②0>abc ；③0>+-c b a ；④032=-b a ；⑤04>-b c ；你认为正确的信息是( ) A. ①②③⑤ B. ①②③④ C. ①③④⑤ D. ②③④⑤ 9. 抛物线152--=x x y 与y 轴的交点坐标是__________ 10. 若将分别写有“生活”、“城市”的2张卡片，随机放入“让生活更美好”中的两个内（每个只放1张卡片），则其中文字恰好组成“城市让生活更美好”的概率______11. 如图，AB ，AC 是⊙O 的两条弦，︒=∠30A ，经过点C 的切线与OB 的延D长线交于点D ，则D ∠的度数为_________12. 在等腰梯形ABCD 中，BC AD //，AD BC 4=，2=AD ，︒=∠45B 。

2022北京海淀初三（上）期末数学一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个. 1．在平面直角坐标系xOy中，下列函数的图象经过点(0,0)的是()A．1y x=+B．2y x=C．2(4)y x=−D．1 yx =2．下列各曲线是在平面直角坐标系xOy中根据不同的方程绘制而成的，其中是中心对称图形的是() A．B．C．D．3．抛物线2(2)1y x=−+的顶点坐标为()A．(2,1)B．(2,1)−C．(2,1)−−D．(2,1)−4．在ABC∆中，CA CB=，点O为AB中点．以点C为圆心，CO长为半径作C，则C与AB的位置关系是()A．相交B．相切C．相离D．不确定5．小明将图案绕某点连续旋转若干次，每次旋转相同角度α，设计出一个外轮廓为正六边形的图案（如图），则α可以为()A．30︒B．60︒C．90︒D．120︒6．把长为2m的绳子分成两段，使较长一段的长的平方等于较短一段的长与原绳长的积．设较长一段的长为x m，依题意，可列方程为( ) A ．22(2)x x =−B ．22(2)x x =+C ．2(2)2x x −=D ．22x x =−7．如图，A ，B ，C 是某社区的三栋楼，若在AC 中点D 处建一个5G 基站，其覆盖半径为300m ，则这三栋楼中在该5G 基站覆盖范围内的是( )A ．A ，B ，C 都不在B ．只有BC ．只有A ，CD ．A ，B ，C8．做随机抛掷一枚纪念币的试验，得到的结果如下表所示：①当抛掷次数是1000时，“正面向上”的频率是0.512，所以“正面向上”的概率是0.512；②随着试验次数的增加，“正面向上”的频率总在0.520附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“正面向上”的概率是0.520；③若再次做随机抛掷该纪念币的试验，则当抛掷次数为3000时，出现“正面向上”的次数不一定是1558次． 其中所有合理推断的序号是( ) A ．②B ．①③C ．②③D ．①②③二、填空题（共16分，每题2分）9．已知y 是x 的函数，且当0x >时，y 随x 的增大而减小．则这个函数的表达式可以是 ．（写出一个符合题意的答案即可）10．在一个不透明袋子中有3个红球和2个黑球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1个球，则取出红球的概率是 ．11．若点1(1,)A y −，2(2,)B y 在二次函数22y x =的图象上，则1y ，2y 的大小关系为：1y 2y （填“> ”，“ = ”或“<” )．12．如图，在平面直角坐标系xOy 中，点(2,0)A −，点(0,1)B ．将线段BA 绕点B 旋转180︒得到线段BC ，则点C 的坐标为 ．13．若关于x 的方程220x x k −+=有两个不相等的实数根，则k 的取值范围为 ．14．如图，PA ，PB 分别切O 于点A ，B ，Q 是优弧AB 上一点，若40P ∠=︒，则Q ∠的度数是 ．15．小明烘焙了几款不同口味的饼干，分别装在同款的圆柱形盒子中，为区别口味，他打算制作“**饼干”字样的矩形标签粘贴在盒子侧面．为了获得较好的视觉效果，粘贴后标签上边缘所在弧所对的圆心角为90︒（如图）．已知该款圆柱形盒子底面半径为6cm ，则标签长度l 应为 cm ．(π取3.1)16．给定二元数对(,)p q ，其中0p =或1，0q =或1．三种转换器A ，B ，C 对(,)p q 的转换规则如下：；（2）在图2所示的“①C −−②”组合转换器中，若当输入(1,1)和(0,0)时，输出结果均为0，则该组合转换器为“ C −− ”．（写出一种组合即可）．三、解答题（共68分，第17-21题，每题5分，第22题6分，第23题5分，第24-26题，每题6分，第27-28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.17．（5分）解方程：2680−+=．x x18．（5分）已知a是方程2−−=的一个根，求代数式(27)5x x2710a a−+的值．19．（5分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线2=−−经过点(2,1)．y a x(3)1（1）求该抛物线的表达式；（2）将该抛物线向上平移个单位后，所得抛物线与x轴只有一个公共点．20．（5分）如图，在Rt ABCBAC∠=︒，30∠=︒，将线段CA绕点C逆时针旋转60︒，得到线段CD，ACB∆中，90连接AD，BD．（1）依题意补全图形；（2）若1BC=，求线段BD的长．21．（5分）“化圆为方”是古希腊尺规作图难题之一．即：求作一个方形，使其面积等于给定圆的面积．这个问题困扰了人类上千年，直到19世纪，该问题被证明仅用直尺和圆规是无法完成的，如果借用一个圆形纸片，我们就可以化圆为方，方法如下：已知：O（纸片），其半径为r．求作：一个正方形，使其面积等于O的面积．作法：①如图1，取O的直径AB，作射线BA，过点A作AB的垂线l；②如图2，以点A为圆心，AO长为半径画弧交直线l于点C；③将纸片O沿着直线l向右无滑动地滚动半周，使点A，B分别落在对应的A'，B'处；④取CB'的中点M，以点M为圆心，MC长为半径画半圆，交射线BA于点E；⑤以AE为边作正方形AEFG．正方形AEFG即为所求．根据上述作图步骤，完成下列填空：（1）由①可知，直线l为O的切线，其依据是．（2）由②③可知，AC r =，AB r π'=，则MC = ，MA = （用含r 的代数式表示）．（3）连接ME ，在Rt AME ∆中，根据222AM AE EM +=，可计算得2AE = （用含r 的代数式表示）． 由此可得OAEFG S S=正方形．22．（6分）已知关于x 的一元二次方程2(2)10x m x m +−+−=． （1）求证：该方程总有两个实数根；（2）若0m <，且该方程的两个实数根的差为3，求m 的值． 23．（5分）如图，ABC ∆内接于O ，高AD 经过圆心O ． （1）求证：AB AC =；（2）若8BC =，O 的半径为5，求ABC ∆的面积．24．（6分）邮票素有“国家名片”之称，方寸之间，包罗万象．为宣传北京2022年冬奥会，中国邮政发行了若干套冬奥会纪念邮票，其中有一套展现雪上运动的邮票，如图所示：某班级举行冬奥会有奖问答活动，答对的同学可以随机抽取邮票作为奖品．（1）在抢答环节中，若答对一题，可从4枚邮票中任意抽取1枚作为奖品，则恰好抽到“冬季两项”的概率是 ； （2）在抢答环节中，若答对两题，可从4枚邮票中任意抽取2枚作为奖品，请用列表或画树状图的方法，求恰好抽到“高山滑雪”和“自由式滑雪”的概率．25．（6分）如图，AB 为O 的直径，弦CD AB ⊥于E ，连接AC ，过A 作AF AC ⊥，交O 于点F ，连接DF ，过B 作BG DF ⊥，交DF 的延长线于点G ． （1）求证：BG 是O 的切线；（2）若30DFA ∠=︒，4DF =，求FG 的长．26．（6分）在平面直角坐标系xOy 中，点(4,3)在抛物线23(0)y ax bx a =++>上． （1）求该抛物线的对称轴；（2）已知0m >，当222m x m −+时，y 的取值范围是13y −．求a ，m 的值；（3）在（2）的条件下，是否存在实数n ，使得当2n x n −<<时，y 的取值范围是3335n y n −<<+．若存在，直接写出n 的值；若不存在，请说明理由．27．（7分）如图，在ABC ∆中，90BAC ∠=︒，1AB AC ==，延长CB ，并将射线CB 绕点C 逆时针旋转90︒得到射线l ，D 为射线l 上一动点，点E 在线段CB 的延长线上，且BE CD =，连接DE ，过点A 作AM DE ⊥于M ． （1）依题意补全图，用等式表示线段DM 与ME 之间的数量关系，并证明； （2）取BE 的中点N ，连接AN ，添加一个条件：CD 的长为 ，使得12AN DE =成立，并证明．28．（7分）在平面直角坐标系xOy 中，图形W 上任意两点间的距离有最大值，将这个最大值记为d ．对点P 及图形W 给出如下定义：点Q 为图形W 上任意一点，若P ，Q 两点间的距离有最大值，且最大值恰好为2d ．则称点P 为图形W 的“倍点”．（1）如图1，图形W 是半径为1的O ．①图形W 上任意两点间的距离的最大值d 为 ；②在点1(0,2)P ，2(3,3)P ，3(3,0)P −中，O 的“倍点”是 ； （2）如图2，图形W 是中心在原点的正方形ABCD ，点(1,1)A −．若点(,3)E t 是正方形ABCD 的“倍点”，求t 的值； （3）图形W 是长为2的线段MN ，T 为MN 的中点，若在半径为6的O 上存在线段MN 的“倍点”，直接写出所有满足条件的点T 组成的图形的面积．参考答案一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个.1．【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征，一次函数图象上点的坐标特征，二次函数函数图象上点的坐标特征判断即可．【解答】解：A 、直线1y x =+不经过点(0,0)，故不符合题意；B 、抛物线2y x =经过点(0,0)，故符合题意；C 、抛物线2(4)y x =−不经过点(0,0)，故不符合题意；D 、双曲线1y x=不经过点(0,0)，故不符合题意； 故选：B ．【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，一次函数图象上点的坐标特征，二次函数函数图象上点的坐标特征，熟练掌握各函数图象上点的坐标特征是解题的关键．2．【分析】根据中心对称图形的概念求解．在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180度，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．这个旋转点，就叫做中心对称点．【解答】解：选项A 、B 、D 均不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以不是中心对称图形，选项C 能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以是中心对称图形， 故选：C ．【点评】此题主要考查了中心对称图形的概念．中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合． 3．【分析】抛物线的顶点式为：2()y a x h k =−+，其顶点坐标是(,)h k ，可以确定抛物线的顶点坐标． 【解答】解：抛物线2(2)1y x =−+是以抛物线的顶点式给出的， 其顶点坐标为：(2,1)． 故选：A ．【点评】本题考查的是抛物线的性质，根据抛物线的顶点式确定抛物线的顶点坐标．4．【分析】连接CO ，根据等腰三角形的性质得到OC AB ⊥，于是得到点C 到AB 的距离等于C 的半径，根据切线的判定定理即可得到结论． 【解答】解：连接CO ， CA CB =，点O 为AB 中点， OC AB ∴⊥，以点C 为圆心，CO 长为半径作C ， ∴点C 到AB 的距离等于C 的半径， C ∴与AB 的位置关系是相切，故选：B ．【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，等腰三角形的性质，熟练掌握切线的判定方法是解题的关键． 5．【分析】根据旋转的定义确定两个对应点的位置，求得其与O 点连线的夹角即可求得旋转角． 【解答】解：如图，当经过一次旋转后点C 旋转至点B 的位置上，此时360660COB ∠=︒÷=︒， 故选：B ．【点评】本题考查了利用旋转设计图案，解题的关键是能够找到一对对应点确定旋转角，从而确定旋转角的度数，难度不大．6．【分析】由较长一段的长为x m 可得出较短一段的长为(2)x m −，根据较长一段的长的平方等于较短一段的长与原绳长的积，即可得出关于x 的一元二次方程，此题得解． 【解答】解：较长一段的长为x m ， ∴较短一段的长为(2)x m −．依题意得：22(2)x x =−． 故选：A ．【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 7．【分析】根据勾股定理的逆定理证得ABC ∆是直角三角形，可以根据直角三角形斜边中线的性质求得BD 的长，然后与300m 比较大小，即可解答本题．【解答】解：300AB cm =，400BC cm =，500AC cm =，222AB BC AC ∴+=， ABC ∴∆是直角三角形， 90ABC ∴∠=︒，点D 是斜边AC 的中点， 250AD CD cm ∴==，12502BD AC cm ==， 250300<，∴点A 、B 、C 都在圆内，∴这三栋楼中在该5G 基站覆盖范围内的是A ，B ，C ．故选：D ．【点评】本题考查点和圆的位置关系，勾股定理的逆定理，解题的关键是求出三角形三个顶点到D 点的距离．8．【分析】根据用频率估计概率以及频率和概率的概念判断．【解答】解：①当抛掷次数是1000时，“正面向上”的频率是0.512，但“正面向上”的概率不一定是0.512，本小题推断不合理；②随着试验次数的增加，“正面向上”的频率总在0.520附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“正面向上”的概率是0.520，本小题推断合理；③若再次做随机抛掷该纪念币的试验，则当抛掷次数为3000时，出现“正面向上”的次数不一定是1558次，本小题推断合理； 故选：C ．【点评】本题考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．二、填空题（共16分，每题2分）9．【分析】反比例函数的图象在每个象限内，函数值y 随自变量x 的增大而增大，则反比例函数的反比例系数0k <；反之，只要0k <，则反比例函数在每个象限内，函数值y 随自变量x 的增大而增大． 【解答】解：只要使反比例系数大于0即可．如1(0)y x x =>，答案不唯一．故答案为：1(0)y x x=>，答案不唯一．【点评】本题主要考查了反比例函数(0)ky k x=≠的性质：①0k >时，函数图象在第一，三象限．在每个象限内y 随x 的增大而减小；②0k <时，函数图象在第二，四象限．在每个象限内y 随x 的增大而增大．10．【分析】根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．【解答】解：在一个不透明袋子中有3个红球和2个黑球，共5个球， ∴取出红球的概率是35．故答案为：35．【点评】本题考查概率的求法：如果一个事件有n 种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A 出现m 种结果，那么事件A 的概率P （A ）m n=． 11．【分析】由抛物线开口向上可得距离对称轴越远的点y 值越大，从而求解． 【解答】解：由22y x =可得抛物线开口向上，对称轴为y 轴， |1||2|−<， 12y y ∴<，故答案为：<．【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握比较函数值大小的方法． 12．【分析】设(,)C m n ．利用中点坐标公式构建方程组求解即可．【解答】解：设(,)C m n ．线段BA 绕点B 旋转180︒得到线段BC ，AB BC ∴=，点(2,0)A −，点(0,1)B ， ∴202m −+=，012n +=， 2m ∴=，2n =，(2,2)C ∴．【点评】本题考查坐标与图形变化−旋转，中点坐标公式等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题即可．13．【分析】利用根的判别式进行计算，令△0>即可得到关于k 的不等式，解答即可． 【解答】解：关于x 的方程220x x k −+=有两个不相等的实数根，∴△0>，即440k −>，1k <．故答案为：1k <．【点评】本题考查了根的判别式，要知道一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△0>⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△0=⇔方程有两个相等的实数根；（3）△0<⇔方程没有实数根．14．【分析】连接OA 、OB ，根据切线的性质得到OA PA ⊥，OB PB ⊥，根据四边形内角和等于360︒求出AOB ∠，根据圆周角定理计算即可．【解答】解：连接OA 、OB ， PA ，PB 分别切O 于点A ，B ，OA PA ∴⊥，OB PB ⊥，360909040140AOB ∴∠=︒−︒−︒−︒=︒，111407022Q AOB ∴∠=∠=⨯︒=︒， 故答案为：70︒．【点评】本题考查的是切线的性质、圆周角定理，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．15．【分析】利用弧长公式求解即可． 【解答】解：标签长度90639.3()180l cm ππ⋅⋅===，故答案为：9.3． 【点评】本题考查弧长的计算，解题的关键是记住弧长公式180n r l π=． 16．【分析】（1）根据题中的转换规则计算即可得到结果；（2）根据输入的二元数，由A 确定出第一个数，由C 确定出第二个数，再由B 确定出结果即可．【解答】解：（1）在图1所示的“A B C −−”组合转换器中，若输入(1,0)，则输出结果为1；故答案为：1；（2）若当输入(1,1)和(0,0)时，输出结果均为0，则该组合转换器为“B C A −−”．（写出一种组合即可）． 故答案为：B ，A ．【点评】此题考查了代数式求值，以及有理数的混合运算，弄清转换器中的规则是解本题的关键．三、解答题（共68分，第17-21题，每题5分，第22题6分，第23题5分，第24-26题，每题6分，第27-28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.17．【分析】把方程左边分解得到(2)(4)0x x −−=，则原方程可化为20x −=或40x −=，然后解两个一次方程即可．【解答】解：2680x x −+=(2)(4)0x x −−=，20x ∴−=或40x −=， 12x ∴= 24x =．【点评】本题考查了解一元二次方程−因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．18．【分析】根据一元二次方程的解的定义得到22710a a −−=，则2271a a −=，再把(27)5a a −+变形为2275a a −+，然后利用整体代入的方法计算．【解答】解：a 是方程22710x x −−=的一个根，22710a a ∴−−=，2271a a ∴−=，2(27)5275156a a a a ∴−+=−+=+=．【点评】本题考查一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．19．【分析】（1）把点(2,1)代入抛物线的解析式即可得出答案；（2）求出抛物线的顶点坐标，根据纵坐标即可得出答案．【解答】解：（1）把点(2,1)代入2(3)1y a x =−−中，得：21(23)1a =−−，解得2a =，22(3)1y x ∴=−−；（2）由（1）知抛物线的顶点坐标为(3,1)−，∴把该抛物线向上平移1个单位后，与x 轴的交点个数位1，故答案为：1．【点评】本题主要考查二次函数的图象与性质，关键是要或用待定系数法求函数的解析式．20．【分析】（1）根据题意，利用旋转的性质即可补全图形；（2）根据含30度角的直角三角形和旋转的性质可得AD AC ==90DAB ∠=︒，再利用勾股定理即可解决问题．【解答】解：（1）如图，即为补全的图形；（2）在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，30BAC ∠=︒，1BC =，22AB BC ∴==，AC ∴由旋转可知：60DAC ∠=︒，AD AC ==90DAB DAC AC ∴∠=∠+∠∠=︒，BD ∴===．【点评】本题考查了作图−旋转变换，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，掌握旋转的性质是解决本题的关键．21．【分析】（1）利用已知条件结合切线的判定定理解答即可；（2）利用中点的定义和线段和差的意义解答即可；（3）利用勾股定理将（2）中的数据代入即可得出结论．【解答】解：（1）l OA ⊥于点A ，OA 为O 的半径，∴直线l 为O 的切线（经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线）． 故答案为：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线；（2）以点A 为圆心，AO 长为半径画弧交直线l 于点C ，AC r ∴=．纸片O 沿着直线l 向右无滑动地滚动半周，使点A ，B 分别落在对应的A '，B '处，22r AB r ππ'∴==， (1)CB CA AB r r r ππ∴'=+'=+=+． M 为CB '的中点，1(1)22r MC CB π+∴='=． (1)(1)22r r MA MC AC r ππ+−∴=−=−=． 故答案为：(1)2r π+；(1)2r π−； （3）连接ME ，如图，则(1)2r ME MC π+==． 在Rt AME ∆中，222AM AE EM +=，222AE EM AM ∴=−22(1)(1)[][]22r r ππ+−=− (1)(1)(1)(1)[][]2222r r r r ππππ+−+−=+− r r π=⨯2r π=．O AEFG S S ∴=正方形．故答案为：2r π．【点评】本题主要考查了圆的切线的判定，圆的周长与面积，正方形的面积，勾股定理，本题是操作型题目，根据题干中的作图步骤转化成几何语言是解题的关键．22．【分析】（1）利用根的判别式进行求解即可；（2）设方程的较大的实数根为1x ，较小的实数根为2x ，则有123x x −=，122x x m +=−，121x x m =−，从而可进行求解．【解答】（1）证明：△22(2)41(1)0m m m =−−⨯⨯−=，∴原方程有两个相等的实数根或两个不等的实数根，即该方程总有两个实数根；（2）设方程的较大的实数根为1x ，较小的实数根为2x ，依题意得：123x x −=，122x x m +=−，121x x m =−，2212()3x x ∴−=，22112229x x x x −+=，2212129292(1)112x x x x m m +=+=+−=−，2212()(2)x x m +=−，2221122244x x x x m m ∴++=−+，21122(1)44m m m m ∴−+−=−+，整理得：29m =，解得：3m =或3m =−，0m <，3m ∴=−．【点评】本题主要考查根与系数的关系，解答的关键是对根与系数的关系的掌握并灵活运用．23．【分析】（1）根据垂径定理得到AB AC =，根据圆心角、弧、弦之间的关系定理证明结论；（2）连接OB ，根据垂径定理求出BD ，根据勾股定理求出OD ，根据三角形 的面积公式计算，得到答案．【解答】（1）证明：OD BC ⊥，∴AB AC =，AB AC ∴=；（2）解：连接OB ，OD BC ⊥，8BC =，118422BD DC BC ∴===⨯=，在Rt ODB ∆中，3OD ===，538AD ∴=+=，188322ABC S ∆∴=⨯⨯=．【点评】本题考查的是三角形的外接圆与外心，掌握垂径定理、圆心角、弧、弦之间的关系定理是解题的关键．24．【分析】（1）直接由概率公式求解即可；（2）画树状图，共有12种等可能结果，其中恰好抽到“高山滑雪”和“自由式滑雪”的有2种结果，再由概率公式求解即可．【解答】解：（1）恰好抽到“冬季两项”的概率是14，故答案为：14； （2）“越野滑雪”、“高山滑雪”、“冬季两项”、“自由式滑雪”分别记为甲、乙、丙、丁，画树状图如下：共有12种等可能结果，其中恰好抽到“高山滑雪”和“自由式滑雪”的有2种结果，∴恰好抽到“高山滑雪”和“自由式滑雪”的概率为：21126=． 【点评】此题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．25．【分析】（1）由题意根据切线的判定证明半径OB BG ⊥，即可证明BG 是O 的切线；（2）根据题意连接CF ，根据圆周角定理和中位线性质得出12EO DF =，进而依据等边三角形和四边形BEDG 是矩形，由矩形的性质可得出FG 的长．【解答】（1）证明：C ，A ，D ，F 在O 上，90CAF ∠=︒，90D CAF ∴∠=∠=︒． AB CE ⊥，BG DF ⊥，90BED G ∴∠=∠=︒．∴四边形BEDG 中，90ABG ∠=︒．∴半径OB BG ⊥．BG ∴是O 的切线．（2）解：连接CF ，90CAF ∠=︒，CF ∴是O 的直径．OC OF ∴=．直径AB CD ⊥于E ，CE DE ∴=．OE ∴是CDF ∆的中位线．122OE DF ∴==． AD AD =，30AFD ∠=︒，30ACD AFD ∴∠=∠=︒．9060CAE ACE ∴∠=︒−∠=︒．OA OC =，AOC ∴∆是等边三角形．CE AB ⊥，E ∴为AO 的中点，24OA OE ∴==，4OB =．6BE OB OE ∴=+=．90BED D G ∠=∠=∠=︒，∴四边形BEDG 是矩形．6DG BE ∴==．2FG DG DF ∴=−=．【点评】本题考查了切线的判定、圆周角定理、等边三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、矩形的判定与性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，灵活运用所学知识解决问题．26．【分析】（1）利用对称点与对称轴的关系：对称点的横坐标之和等于对称轴的2倍，即可求出该抛物线的对称轴．（2）分别讨论222m x m −+的取值范围与对称轴的位置，分别求出不同情况下y 取最大值与最小值时，对应的x 的取值，进而求出a ，m 的值．（3）由于y 的取值范围是3335n y n −<<+，取不到最大值和最小值，故不包含对称轴，分别讨论2n x n −<<在对称轴的左右两侧即可．【解答】解：（1）抛物线23y ax bx =++，0x ∴=时，3y =，∴抛物线23y ax bx =++过点(0,3)，抛物线23y ax bx =++过点(4,3)，∴该抛物线的对称轴为直线2x =．（2）抛物线23y ax bx =++的对称轴为直线2x =，22b a∴−=，即4b a =−①． 0m >，2222m m ∴−<<+．0a >，抛物线开口向上，∴当2x =时，函数值在222m x m −<<+上取得最小值1−．即4231a b ++=−②．联立①②，解得1a =，4b =−．∴抛物线的表达式为243y x x =−+，即2(2)1y x =−−．0m >，∴当22m x −时，y 随x 的增大而减小，当2x m =−时取得最大值，当222x m +时，y 随x 的增大而增大，当22x m =+时取得最大值，对称轴为2x =，2x m ∴=−与2x m =+时的函数值相等．2222m m <+<+，∴当22x m =+时的函数值大于当2x m =+时的函数值，即2x m =−时的函数值．∴当22x m =+时，函数值在2222m m −<<+上取得最大值3．代入有2413m −=，舍去负解，得1m =．（3）存在，1n =．当2n x n −<<时，y 的取值范围是3335n y n −<<+，y 无法取到最大值与最小值，∴关于x 的取值范围一定不包含对称轴，①当2n 时，2n x n −<<在对称轴的左侧，二次函数开口向上，2x n ∴=−时，y 有最大值，x n =时，y 有最小值，由题意可知：22(2)4(2)3354333n n n n n n ⎧−−−+=+⎨−+=−⎩，解得：1n =， 故1n =，②当22n −时，2n x n −<<在对称轴的右侧，二次函数开口向上，2x n ∴=−时，y 有最小值，x n =时，y 有最大值，由题意可知：22(2)4(2)3334335n n n n n n ⎧−−−+=−⎨−+=+⎩，此时n 无解， 故不符合题意，1n ∴=．【点评】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的性质，二次函数的最值，解方程组，待定系数法，正确进行分类讨论是解题的关键．27．【分析】（1）根据要求作出图形即可．结论：DM EM =．证明()ABE ACD SAS ∆≅∆，推出AE AD =，可得结论；（2）当CD =时，12AN DE =成立．过点A 作AT BC ⊥于点T ，AH DC ⊥交DC 的延长线于点H 则四边形ATCH 是正方形．分别求出AN ，DE ，即可判断．【解答】解：（1）图形如图所示，结论：DM EM =．理由：连接AE ，AD ．AB AC =，90BAC ∠=︒，45ABC ACB ∴∠=∠=︒，CD CB ⊥，90DCB ∴∠=︒，135ABE ACD ∴∠=∠=︒，BA CA =，BE CD =，()ABE ACD SAS ∴∆≅∆，AE AD ∴=，AM DE ⊥，DM ME ∴=．（2）当CD =12AN DE =成立． 理由：过点A 作AT BC ⊥于点T ，AH DC ⊥交DC 的延长线于点H 则四边形ATCH 是正方形． 1AB AC ==，90BAC ∠=︒，BC ∴==AT CB ⊥，AT TB TC ∴===，CD BE ==EN BN =，BN ∴，2AN ∴===，AH CH AT ==DH ∴==AD ∴==， ABE ACD ∆≅∆， EAB CAD ∴∠=∠，90EAD BAC ∴∠=∠=︒，AE AD ∴==DE ∴=12AN DE ∴=． 【点评】本题考查作图−旋转变换，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．28．【分析】（1）①根据定义解答可；②分别找出1PQ 、2P Q 、3P Q 的最大值，再根据定义判断即可；（2）正方形ABCD 上的任意两点间的距离最大值为E 是正方形ABCD 的“倍点”，则点E 到ABCD 上点的最大距离好为（3）分线段MN 在O 内部和在O 外两种情况讨论即可求解．【解答】解：（1）①图形W 是半径为1的O ，图形W 上任意两点间的距离的最大值d 为2．故答案为：2；②如图1，连接2P O 并延长交O 于点E ，23P O ==212P E d ∴=+≠，2P ∴不是O 的“倍点”；1P 到O 上各点连线中最大距离为2132d +=≠， 1P ∴不是O 的“倍点”； 3P 到O 上各点连线中最大距离为3142d +==，3P ∴是O 的“倍点”．故答案为：3P ．（2）如图2，在正方形ABCD 中，正方形ABCD 上任意两点之间距离的最大距离d =，∴2d =由图可知当点E 在如图所示的位置时，E 是正方形ABCD 的“倍点“，∴OE =，t ∴的值为：3或3−．（3）MN 上2d =，24d =，当线段MN 在O 外部时，4EM =，1TM =，21 / 21ET ∴==∴大O的半径为6+同理，小O的半径为6，点T所构成的图形是圆环，它的面积22(6(6ππ⋅+−⋅=．故答案为：．【点评】此题考查了圆的性质和新定义等知识，解题的关键是理解题意，学会寻找特殊位置解决数学问题，属于中考压轴题．。

2022-2023学年度第一学期学科练习初三数学试卷一、选择题（本题共16分，每小题2分）1.下列各式中，y 是x 的二次函数的是（）A.31y x =-B.21y x =C.231y x x =+- D.212y x x=+【答案】C【分析】根据二次函数的定义：形如y =ax 2+bx +c （a 、b 、c 是常数，a ≠0）的函数，叫做二次函数求解可得．【详解】解：A 、y =3x -1是一次函数，不符合题意；B 、21y x=中右边不是整式，不是二次函数，不符合题意；C 、y =3x 2+x -1是二次函数，符合题意；D 、212y x x=+中右边不是整式，不是二次函数，不符合题意；故选：C ．【点睛】本题主要考查二次函数的定义，解题的关键是掌握形如y =ax 2+bx +c （a 、b 、c 是常数，a ≠0）的函数，叫做二次函数．2.受新冠肺炎疫情影响，某企业生产总值从元月份的300万元，连续两个月降至260万元，设平均降低率为x ，则可列方程（）A.300(1-x )2＝260B.300(1-x 2)＝260C.300(1-2x )＝260D.300(1＋x )2＝260【答案】A【分析】根据该企业元月份及经过两个月降低后的生产总值，即可得出关于x 的一元二次方程，此题得解．【详解】解：由题意可得，元月份为300万元，2月份为300（1-x ），3月份为300（1-x ）2=260．故选：A ．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．3.将抛物线23y x =-平移，得到抛物线23(1)2y x =---，下列平移方式中，正确的是（）A.先向左平移1个单位，再向上平移2个单位B.先向左平移1个单位，再向下平移2个单位C.先向右平移1个单位，再向上平移2个单位D.先向右平移1个单位，再向下平移2个单位【答案】D【详解】解：将抛物线y =-3x 2平移，先向右平移1个单位得到抛物线y =-3（x -1）2，再向下平移2个单位得到抛物线y =-3（x -1）2-2．故选D ．【点睛】此题考查了抛物线的平移问题，根据“上加下减，左加右减”解决问题．4.二次函数()20y ax bx c a =++≠的图象如图所示，24b ac ∆=-，则下列四个选项正确的是（）A.b ＜0，c ＜0，Δ＞0B.b ＞0，c ＜0，Δ＜0C.b ＞0，c ＜0，Δ＞0D.b ＜0，c ＞0，Δ＜0【答案】A【分析】根据抛物线的开口方向和对称轴的位置确定b 的符号，由抛物线与x 轴的交点个数确定Δ的符号，由抛物线与y 轴的交点位置确定c 的符号，即可得出答案．【详解】解：∵抛物线的开口向上，∴a ＞0，∵抛物线的对称轴在y 轴的右侧，∴﹣2ba＞0，∴b ＜0，∵抛物线与y 轴的交点在x 轴的下方，∴c ＜0，∵抛物线与x 轴有两个交点，∴Δ＞0，故选：A ．【点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质，关键是要牢记图象与系数的关系，牢记抛物线的对称轴公式．5.关于x 的方程（k ﹣3）x 2﹣4x +2＝0有实数根，则k 的取值范围是（）A.k ≤5B.k ＜5且k ≠3C.k ≤5且k ≠3D.k ≥5且k ≠3【答案】A【分析】讨论：当k ﹣3＝0，即k ＝3，方程为一元一次方程，有一个解；当k ﹣3≠0时，利用判别式的意义得到△＝（﹣4）2﹣4（k ﹣3）×2≥0，解得k ≤5且k ≠3，然后综合两种情况得到k 的范围．【详解】当k ﹣3＝0，即k ＝3，方程化为﹣4x ＝2，解得x ＝﹣12；当k ﹣3≠0时，△＝（﹣4）2﹣4（k ﹣3）×2≥0，解得k ≤5且k ≠3，综上所述，k 的范围为k ≤5．故选：A ．【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式，解题的关键是不要漏掉当二次项系数为零的情况.6.加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率p 与加工时间t （单位：分钟）满足的函数关系2p at bt c =++（a ，b ，c 是常数），如图记录了三次实验的数据．根据上述函数模型和实验数据，可得到最佳加工时间为（）A.4.25分钟B.4.00分钟C. 3.75分钟D.3.50分钟【答案】C【分析】先结合函数图象，利用待定系数法求出函数解析式，将解析式配方成顶点式后，利用二次函数的性质可得答案．【详解】解：由题意知，函数2p at bt c =++经过点()()()3,0.7,4,0.8,5,0.5，则930.71640.82550.5a b c a b c a b c ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩，解得：0.21.52a b c =-⎧⎪=⎨⎪=-⎩，∴2220.2 1.520.2( 3.75)0.8125p at bt c t t t =++=-+-=--+，∴当 3.75t =时，可食用率最高，∴最佳加工时间为3.75分钟，故选C ．【点睛】本题考查二次函数的应用，熟练掌握待定系数法求函数解析式及利用二次函数的图象和性质求最值问题是解题的关键．7.已知4是关于x 的方程x 2﹣5mx+12m=0的一个根，且这个方程的两个根恰好是等腰三角形ABC 的两条边长，则△ABC 的周长为（）A.14B.16C.12或14D.14或16【答案】D【分析】先把x=4代入方程x 2-5mx+12m=0得m=2，则方程为x 2-10x+24=0，利用因式分解法解方程得到x 1=4，x 2=6，再利用等腰三角形的性质和三角形三边的关系确定三角形三边长，然后计算对应的三角形周长．【详解】把x=4代入方程x 2-5mx+12m=0得16-20m+12m=0，解得m=2，则方程为x 2-10x+24=0，（x-4）（x-6）=0，所以x 1=4，x 2=6，因为这个方程的两个根恰好是等腰三角形ABC 的两条边长，所以这个等腰三角形三边分别为4、4、6；4、6、6，所以△ABC 的周长为14或16．故选D ．【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．8.表中所列x ，y 的6对值是二次函数2y ax bx c =++（a ≠0）图象上的点所对应的坐标，其中123431x x x x ﹣＜＜＜＜＜，n ＜m ．x …﹣3x 1x 2x 3x 41…y…mcnm…根据表中信息，下列4个结论：①b ﹣2a ＝0；②abc ＜0；③3a +c ＞0；④如果x 3＝12，c ＝﹣54，那么当﹣3＜x ＜0时，直线y=k 与该二次函数图象有一个公共点，则﹣54≤k ＜74；其中正确的有（）个．A.1B.2C.3D.4【答案】C【分析】①由二次函数的对称性可得对称轴为直线12bx a=-=-，可直接判断；②由对称轴的位置及34<<1x x 且n m <，可知在对称轴右侧，y 随x 的增大而增大，由此可判断a 的符号，进而可判断b 和c 的符号；③由上述判断可知，当=1x 时，0m >，结合2b a =可判断；④根据题中给出的数据，可求得函数解析式，进而可判断30x -<<时，y 的取值范围，进而可判断．【详解】解：①由表格可知，当3x =-和=1x 时，函数值相等，∴对称轴为直线3+1===122b x a ---，2b a ∴=，即20b a -=，故①正确，符合题意；②由表格可知，341<<<1x x -，且0n m <<，∴在对称轴右侧，y 随x 的增大而增大，0a ∴>，=2>0b a ∴，由表格可知，当1x x =和3x x =，函数值相等，又0a > ，123x x x <<，0c ∴<，0abc ∴<，故②正确；③由上分析可知，当=1x 时，0y a b c =++>，又=2b a ，=3+>0y a c ∴，故③正确；④当31=2x ，54c =-时，可知函数过点1(2，0)，对称轴为直线1x =-，∴抛物线跟x 轴的另一个交点5(2-，0)，∴函数的解析式可设为15=()(+)22y a x x -，5=4c -，155×=224a ∴--，解得=1a ，∴函数解析式为：15=()(+)22y x x -，画出函数图象如下图所示：当3x =-时，157=(3)(3+)=224y ---，当=0x 时，5==4y c -，又抛物线的顶点坐标为9(1,)4--，∴当9=4k -时，直线y k =与该二次函数图象有一个公共点；∴若直线y k =与该二次函数图象有一个公共点，则57<44k - 或9=4k -；故④不正确．故选：C ．【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系．二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y 轴的交点抛物线与x 轴交点的个数确定．二、填空题（本题共16分，每小题2分）9.请写出一个一元二次方程，要求满足下列两个条件：①有两个不相等的实数根；②其中有一个根为2x =-，所写的方程是______.【答案】答案不唯一，如240x -=，220x x +=等【分析】属于开放性题，答案不唯一，当2x =-和2x =时，此时求出方程为：240x -=，当2x =-和0x =时求出方程为：220x x +=.【详解】解：根据题意可得：当2x =-和2x =时，此时求出方程为：240x -=，当2x =-和0x =时求出方程为：220x x +=.【点睛】本题考查由方程的根求一元二次方程的题，解题关键是倒着推，符合题意即可.10.二次函数y ＝x 2+bx +c 的图象如图所示，若点A (0，y 1)和B (﹣3，y 2)在此函数图象上，则y 1___y 2（填“＜““＞”或“＝”）．【答案】＞【分析】根据抛物线的对称性，在对称轴同侧的可根据增减性由自变量x 的大小得出函数值y 的大小，在对称轴一侧的可根据离对称轴的远近和抛物线的增减性进行判断即可．【详解】解：∵由图象可知：抛物线的对称轴为直线x ＝﹣2，开口向上，∴当x ＝﹣2时，y 取得最小值，∵点A （0，y 1）与对称轴直线x ＝﹣2相距2个单位长度，点B （﹣3，y 2）与对称轴直线x ＝﹣2相距1个单位长度，∴点A 比点B 离对称轴要远，∴y 1＞y 2，故答案为：＞．【点睛】本题考查了二次函数的的图象和性质，根据增减性、对称性和自变量x 的大小判断相应函数值的大小是解决本题的关键．11.有一个人患了新冠肺炎，经过两轮传染后共有169人患了新冠肺炎，每轮传染中平均一个人传染了______个人．【答案】12【分析】设平均一人传染了x 人，根据有一人患了流感，经过两轮传染后共有169人患了流感，列方程求解【详解】解：设平均一人传染了x 人，x+1+（x+1）x=169解得：x=12或x=-14（舍去）．∴平均一人传染12人．故答案为：12．【点睛】本题考查理解题意的能力，关键是看到两轮传染，从而可列方程求解．12.若二次函数2y ax bx c =++的图象经过点（-1，0）和（3，0），则方程20ax bx c ++=的解为__________________.【答案】1213x x -＝，＝【分析】利用抛物线与x 轴的交点问题确定方程20ax bx c ++=的解．【详解】解：∵二次函数2y ax bx c =++的图象经过点（﹣1，0）和（3，0），∴方程20ax bx c ++=的解为1213x x -＝，＝．故答案为：1213x x -＝，＝．【点睛】本题考查了抛物线与x 轴的交点：把求二次函数2y ax bx c =++（a ，b ，c 是常数，a ≠0）与x 轴的交点坐标问题转化为解关于x 的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．13.特殊时期，市疾控专家提醒广大市民，乘坐电梯切莫大意，务必做好个人防护措施．如图所示，某商场在厢式电梯地面铺设了醒目的隔离带，提醒顾客乘坐电梯时持足够的空间距离，减少接触．电梯地面部分为一个长为190cm ，宽为170cm 的矩形地面，已知无隔离带区域（空白部分）的面积为229700cm ，若设隔离带的宽度均为cm x ，那么x 满足的一元二次方程是________．【答案】()()170190229700x x --=【分析】把空白部分的面积看作是长为()170x -cm ，宽为()1902x -cm 的长方形的面积列方程即可．【详解】解：设隔离带的宽度均为cm x ，由题意得：()()170190229700x x --=，故答案为：()()170190229700x x --=．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找出合适的等量关系是解题的关键．14.若1x ，2x 是方程2420200x x --=是方程的两个实数根，则代数式211222x x x -+的值等于___________．【答案】2028【分析】根据一元二次方程的解的概念和根与系数的关系得出21142020x x -=，124x x +=，代入原式=221112111242242x x x x x x x x -++=-++（）计算可得．【详解】解：∵1x ，2x 是方程2420200x x --=的两个实数根，∴124x x +=，211420200x x --=，即21142020x x -=，则原式=21112422x x x x -++=2111242x x x x -++（）=202024+⨯=20208+=2028．故答案为：2028．【点睛】本题主要考查根与系数的关系，解题的关键是掌握1x ，2x 是一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两根时，12b a x x +=-，12x ax c= ．15.如图，抛物线()20y ax bx c a =++≠与y 轴交于点C ，与x 轴交于A ，B 两点，其中点B 的坐标为B （4，0），抛物线的对称轴交x 轴于点D ，CE ∥AB ，并与抛物线的对称轴交于点E ．现有下列结论：①a ＞0；②b ＞0；③4a +2b +c ＜0；④AD +CE =4．其中所有正确结论的序号是_____．【答案】②④##④②【详解】①根据抛物线开口方向即可判断；②根据对称轴在y 轴右侧即可判断b 的取值范围；③根据抛物线与x 轴的交点坐标与对称轴即可判断；④根据抛物线与x 轴的交点坐标及对称轴可得AD =BD ，再根据CE ∥AB ，即可得结论．【解答】解：①观察图象开口向下，a ＜0，所以①错误；②对称轴在y 轴右侧，b ＞0，所以②正确；③因为抛物线与x 轴的一个交点B 的坐标为（4，0），对称轴在y 轴右侧，所以当x =2时，y ＞0，即4a +2b +c ＞0，所以③错误；④∵抛物线()20y ax bx c a =++≠与x 轴交于A ，B 两点，∴AD =BD ，∵CE ∥AB ，∴四边形ODEC 为矩形，∴CE =OD ，∴AD +CE =BD +OD =OB =4，所以④正确．综上：②④正确．故答案为：②④【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系．根据二次函数()20y ax bx c a =++≠系数符号判断抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y 轴的交点抛物线与x 轴交点的个数．16.在平面直角坐标系xOy 中，开口向下的抛物线2y ax bx c =++的一部分图象如图所示，它与x 轴交于A （1，0），与y 轴交于点B （0，3），可以判断a 的取值范围是_______________.【答案】﹣3＜a ＜0##0a 3>>-【分析】根据图象得出a ＜0，b ＜0，由抛物线与x 轴交于A （1，0），与y 轴交于点B （0，3），得出a +b ＝﹣3，得出﹣3＜a ＜0即可．【详解】解：根据图象得：a ＜0，b ＜0，∵抛物线与x 轴交于A （1，0），与y 轴交于点B （0，3），∴03a b c c ++=⎧⎨=⎩，∴a +b ＝﹣3，∵b ＜0，∴﹣3＜a ＜0．故答案为：﹣3＜a ＜0．【点睛】本题考查了抛物线与x 轴的交点、二次函数图象与系数的关系，难度一般，关键是正确获取图象信息进行解题．三、解答题17.用适当的方法解下列方程：（1）2(3)25x -=（2）23220x x +-=【答案】（1）18x =，22x =-（2）1173x -+＝，2173x --＝【分析】（1）利用直接开平方法解方程；（2）利用公式法法解方程．【小问1详解】2(3)25x -=，（x ﹣3）＝±5，所以18x =，22x =-；【小问2详解】23220x x +-=，a ＝3，b ＝2，c ＝﹣2，∵Δ＝22432-⨯⨯-（）＝4+24＝28＞0，∴x 2286-±=，∴1173x -+＝，2173x --＝．【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．18.已知a 是方程2240x x --=的一个实数根，求代数式()()()2211a a a -++-的值．【答案】11【分析】根据方程根的概念可得224a a -=，将所求代数式变形为()()()()2222211441223a a a a a a a a -++-=-++-=-+，然后利用整体代入的方法进行求解即可得．【详解】∵a 是方程2240x x --=的一个根，∴2240a a --=，即224a a -=，∴()()()222211441a a a a a a -++-=-++-()2223a a =-+24311=⨯+=.【点睛】本题考查了一元二次方程根的定义，代数式求值，正确理解方程根的概念是解题的关键．19.已知：二次函数y ＝x 2+bx +c 的图象与y 轴交于点A (0，﹣3)，且经过点B (2，5)．（1）求二次函数的解析式；（2）将（1）中求得的函数解析式用配方法化成y ＝（x ﹣h ）2+k 的形式．【答案】（1）223y x x =+-；（2）2y (x 1)4=+-【分析】（1）直接把A 点和B 点坐标代入2y x bx c =++得到关于b 、c 的方程组，然后解方程组求出b 、c 即可；（2）利用配方法把223y x x =+-配成2y (x 1)4=+-即可．【详解】解：（1）将A (0，﹣3)，B (2，5)代入y ＝x 2+bx +c ，得3425c b c =-⎧⎨++=⎩，解得23b c =⎧⎨=-⎩，∴二次函数的解析式为223y x x =+-；（2）223y x x =+-22113x x =++--2(1)4x =+-，∴二次函数的顶点式为2y (x 1)4=+-．【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x 轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．20.已知关于x 的一元二次方程21=0x mx m -+-.（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若方程有一个根为负数，求m 的取值范围.【答案】（1）见解析；（2）1m <【分析】（1）计算方程根的判别式，判断其符号即可；（2）求方程两根，结合条件则可求得m 的取值范围．【详解】（1）2224()41(1)(2)b ac m m m ∆=-=--⨯⨯-=-，∵2(2)0m -≥，∴方程总有实数根；（2）∵2b x a-=，∴1212m m x m +-==-，2212m m x -+==，∵方程有一个根为负数，∴10m -<，∴1m <．【点睛】本题主要考查根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的个数与根的判别式的关系是解题的关键．21.对于抛物线243y x x =-+．（1）它与x 轴交点的坐标为，与y 轴交点的坐标为，顶点坐标为；（2）在坐标系中画出此抛物线的图象；（3）当712x -<<时，y 的取值范围是．【答案】（1）(1,0)，(3,0)；(0,3)；(2,1)-；（2）画图见解析；（3）18y -<<【分析】（1）解方程2430x x -+=得抛物线与x 轴的交点坐标；计算自变量为0对应的函数值得到抛物线与y 轴的交点坐标；把一般式化为顶点式得到抛物线的顶点坐标；（2）通过列表：描点、连线画出二次函数图象；（3）根据图象可得，712x -<<包含2x =，所以这部分图象对应的最小值是在2x =时取得，又因为=1x -比72x =距离2x =更远，所以当=1x -时取得最大值，综合可求得结果18y -<<．【详解】解：（1）当0y =时，2430x x -+=，解得11x =，23x =，则抛物线与x 轴的交点坐标为(1,0)，(3,0)；当0x =时，2433y x x =-+=，则抛物线与y 轴的交点坐标为(0,3)，∵2(2)1y x =--，∴抛物线的顶点坐标为(2,1)-；（2）抛物线图象如下：（3）由（2）的图中可得1x =与72x =分别在对称轴2x =两侧，∵当=1x -时，2max 438y x x =-+=；当72x =时，254314y x x =-+=>-，∴min 1y =-，∴当712x -<<时，18y -<<．故答案为：(1,0)，(3,0)；(0,3)；(2,1)-；18y -<<．【点睛】本题考查了抛物线与x 轴的交点：把求二次函数2(y ax bx c a =++，b ，c 是常数，0)a ≠与x 轴的交点坐标问题转化解关于x 的一元二次方程即可求得交点横坐标．将二次函数化成顶点式可求得二次函数的顶点坐标；利用列表描点连线的方法可以作图，同时也可以根据图象可求得在已知范围内的函数值范围．22.运动员将小球沿与地面成一定角度的方向击出，在不考虑空气阻力的条件下，小球的飞行高度h （m ）与它的飞行时间t （s ）满足二次函数关系，t 与h 的几组对应值如下表所示．t （s ）00.51 1.52…h （m ）08.751518.7520…（1）求h 与t 之间的函数关系式（不要求写t 的取值范围）；（2）求小球飞行3s 时的高度；（3）问：小球的飞行高度能否达到22m ？请说明理由．【答案】（1）h ＝﹣5t 2+20t ；（2）小球飞行3s 时的高度为15米；（3）小球的飞行高度不能达到22m ．【分析】（1）设h 与t 之间的函数关系式为h ＝at 2+bt （a ≠0），然后再根据表格代入t ＝1时，h ＝15；t ＝2时，h ＝20可得关于a 、b 的方程组，再解即可得到a 、b 的值，进而可得函数解析式；（2）根据函数解析式，代入t ＝3可得h 的值；（3）把函数解析式写成顶点式的形式可得小球飞行的最大高度，进而可得答案．【详解】解：（1）∵t ＝0时，h ＝0，∴设h 与t 之间的函数关系式为h ＝at 2+bt （a ≠0），∵t ＝1时，h ＝15；t ＝2时，h ＝20，∴a 15{4220b a b +=+=，解得5{20a b =-=，∴h 与t 之间的函数关系式为h ＝﹣5t 2+20t ；（2）小球飞行3秒时，t ＝3（s ），此时h ＝﹣5×32+20×3＝15（m ）．答：小球飞行3s 时的高度为15米；（3）∵h ＝﹣5t 2+20t ＝﹣5（t ﹣2）2+20，∴小球飞行的最大高度为20m ，∵22＞20，∴小球的飞行高度不能达到22m ．【点睛】此题主要考查了二次函数的应用，关键是掌握待定系数法求函数解析式，掌握配方法化顶点解析式．23.如图，要在墙边围一个矩形花圃．花圃的一边靠墙（墙的长度不限），另三边用篱笆围成．如果矩形花圃的面积为50平方米，篱笆长20米，求矩形花圃的长和宽各是多少米？【答案】长为10米、宽为5米【分析】设围成的矩形花圃的宽为x 米，则长为()202x -米．利用矩形的面积计算公式，即可得出关于x 的一元二次方程，解之即可得出矩形花圃的宽，再将其代入（20-2x ）中即可求出矩形花圃的长．【详解】设围成的矩形花圃的宽为x 米，则长为()202x -米．根据题意列方程：()20250x x -=解得：125x x ==则20210x -=．答：矩形花圃的长10米、宽5米．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．24.阅读下面的材料：小明在学习中遇到这样一个问题：若1≤x≤m ，求二次函数267y x x =-+的最大值．他画图研究后发现，1x =和5x =时的函数值相等，于是他认为需要对进行分类讨论．他的解答过程如下：∵二次函数267y x x =-+的对称轴为直线3x =，∴由对称性可知，1x =和5x =时的函数值相等．∴若1≤m ＜5，则1x =时，y 的最大值为2；若m≥5，则x m =时，y 的最大值为267m m -+．请你参考小明的思路，解答下列问题：（1）当-2≤x≤4时，二次函数2241y x x =++的最大值为_______；（2）若p≤x≤2，求二次函数2241y x x =++的最大值；（3）若t≤x≤t+2时，二次函数2241y x x =++的最大值为31，则的值为_______．【答案】（1）49；（2）若p≤-4，则当x=p 时，y 的最大值为2p 2+4p+1，若-4＜p≤2，则当x=2时，y 的最大值为17；（3）t 的值为1或-5．【分析】试题分析：（1）先求出抛物线的对称轴为直线x=-1，然后确定当x=4时取得最大值，代入函数解析式进行计算即可得解；（2）先求出抛物线的对称轴为直线x=-1，再根据对称性可得x=-4和x=2时函数值相等，然后分p≤-4，-4＜p≤2讨论求解；（3）根据（2）的思路分t ＜-2，t≥-2时两种情况讨论求解．【详解】解：（1）∵抛物线的对称轴为直线x=-1，∴当-2≤x≤4时，二次函数y=2x 2+4x+1的最大值为：2×42+4×4+1=49；（2）∵二次函数y=2x 2+4x+1的对称轴为直线x=-1，∴由对称性可知，当x=-4和x=2时函数值相等，∴若p≤-4，则当x=p 时，y 的最大值为2p 2+4p+1，若-4＜p≤2，则当x=2时，y 的最大值为17；（3）t ＜-2时，最大值为：2t 2+4t+1=31，整理得，t 2+2t-15=0，解得t 1=3（舍去），t 2=-5，t≥-2时，最大值为：2（t+2）2+4（t+2）+1=31，整理得，（t+2）2+2（t+2）-15=0，解得t 1=1，t 2=-7（舍去），所以，t 的值为1或-5．【点睛】考点：二次函数的最值；本题考查了二次函数的最值问题，主要利用了二次函数的对称性，确定出抛物线的对称轴解析式是确定p 和t 的取值范围的关键，难点在于读懂题目信息．25.在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y=-x 2+mx+n 与x 轴交于点A ，B （A 在B 的左侧）．（1）抛物线的对称轴为直线x=-3，AB=4．求抛物线的表达式；（2）平移（1）中的抛物线，使平移后的抛物线经过点O ，且与x 正半轴交于点C ，记平移后的抛物线顶点为P ，若△OCP 是等腰直角三角形，求点P 的坐标；（3）当m=4时，抛物线上有两点M （x 1，y 1）和N （x 2，y 2），若x 1＜2，x 2＞2，x 1+x 2＞4，试判断y 1与y 2的大小，并说明理由．【答案】（1）y=-x 2-6x-5．（2）点P 的坐标（1，1）．（3）y 1＞y 2．【分析】（1）先根据抛物线和x 轴的交点及线段的长，求出抛物线的解析式；（2）根据平移后抛物线的特点设出抛物线的解析式，再利用等腰直角三角形的性质求出抛物线解析式；（3）根据抛物线的解析式判断出点M ，N 的大概位置，再关键点M ，N 的横坐标的范围即可得出结论．【详解】（1）抛物线y=-x 2+mx+n 的对称轴为直线x=-3，AB=4．∴点A （-5，0），点B （-1，0）．∴抛物线的表达式为y=-（x+5）（x+1）∴y=-x 2-6x-5．（2）如图1，依题意，设平移后的抛物线表达式为：y=-x 2+bx ．∴抛物线的对称轴为直线x ＝2b ，抛物线与x 正半轴交于点C （b ，0）．∴b ＞0．记平移后的抛物线顶点为P ，∴点P 的坐标（2b ，24b ），∵△OCP 是等腰直角三角形，∴2b =24b ∴b=2．∴点P 的坐标（1，1）．（3）如图2，当m=4时，抛物线表达式为：y=-x 2+4x+n ．∴抛物线的对称轴为直线x=2．∵点M （x 1，y 1）和N （x 2，y 2）在抛物线上，且x 1＜2，x 2＞2，∴点M 在直线x=2的左侧，点N 在直线x=2的右侧．∵x 1+x 2＞4，∴2-x 1＜x 2-2，∴点M 到直线x=2的距离比点N 到直线x=2的距离近，∴y 1＞y 2．【点睛】此题是二次函数综合题，主要考查了抛物线的性质，待定系数法，平移的性质，顶点坐标的确定，函数值大小的确定，解本题的关键是熟练掌握抛物线的性质，是一道中等难度的中考常考题．26.在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y=ax 2-2ax-3a (a<0)经过点A （-1，0），将点B （0，4）向右平移5个单位长度，得到点C.(1)求点C 的坐标；(2)求抛物线的对称轴；(3)若抛物线与线段BC恰有一个公共点，结合函数图像，求a的取值范围.【答案】（1）C（5,4）；（2）x=1；(3)43a<-或1a=-【分析】（1）根据坐标平移的特点是左减右加、上加下减可以求得点C的坐标；（2）根据抛物线C1：y=ax2﹣2ax﹣3a（a≠0）可以求得该抛物线的对称轴；（3）分三种情况讨论：①当抛物线顶点在线段BC上时，②当抛物线与直线BC的左交点在B的左边，右交点在线段BC上时，③当抛物线与直线BC的左交点在线段BC上，右交点在线段BC的延长线上时．【详解】（1）∵点B（0，4）向右平移5个单位长度，得到点C，∴点C的坐标为（5，4）；（2）∵抛物线C1：y=ax2﹣2ax﹣3a，∴对称轴是直线x=﹣22aa-=1；（3）∵y=ax2﹣2ax﹣3a=a（x-1）2﹣4a，∴分三种情况讨论：①当抛物线顶点在线段BC上时，抛物线与线段BC只有一个交点，此时﹣4a=4，解得：a=-1；②当抛物线与直线BC的左交点在B的左边，右交点在线段BC上时，抛物线与线段BC只有一个交点，此时抛物线与y轴的交点在点B上方，∴－3a＞4，解得：a＜4 3-．③当抛物线与直线BC的左交点在线段BC上，右交点在线段BC的延长线上时，抛物线与线段BC只有一个交点．∵抛物线开口向下，此时抛物线与x轴的右交点的横坐标一定大于5，这与抛物线一定过（-1，0）和（3，0）矛盾，此种情况不成立．综上所述：a的取值范围是43a<-或a=-1．【点睛】本题是一道二次函数综合题，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答．27.对于平面直角坐标系xOy中的点P和正方形给出如下定义：若正方形的对角线交于点O，四条边分别和坐标轴平行，我们称该正方形为“原点正方形”．当“原点正方形”上存在点Q，满足PQ≤1时，称点P为原点正方形的“友好点”．（1）当“原点正方形”边长为4时，①在点P1(0，0)，P2(﹣1，1)，P3(1，3)，P4(3，3)中，“原点正方形”的“友好点”是；②点P在直线y＝x的图象上，若点P为“原点正方形”的“友好点”，求点P横坐标的取值范围；（2）一次函数y＝﹣x+2的图象分别与x轴，y轴交于点A、B，若线段AB上存在“原点正方形”的“友好点”，直接写出“原点正方形”边长a的取值范围．【答案】（1）①P 2(﹣1，1)，P 3(1，3)；②212x 或221x -- ；（2）226a 【分析】（1）①根据题意分别判断每个点到原点正方形边上的最小距离，由此即可求得答案；②由已知结合图象，找到点P 所在的区域，进而利用勾股定理即可求得点P 横坐标的取值范围；（2）先分别求出点A 与B 的坐标，由线段AB 的位置分别求得最小正方形的边长以及最大正方形的边长，由此即可求得答案．【详解】解：（1）① 原点正方形边长为4，当1(0,0)P 时，正方形上与1P 的最小距离是2，故不存在Q 使11PQ；当2(1,1)P -时，存在(2,1)Q -，使21P Q；当3(1,3)P 时，存在(1,2)Q ，使31P Q；当4(3,3)P 时，正方形上与4P 2，故不存在Q 使41P Q；故答案为：P 2(﹣1，1)，P 3(1，3)；②如图所示：阴影部分就是“原点正方形”的“友好点”P 的范围，∵222222OE =+=1AE =，∴1AO OE AE =+=，过点A 作AH ⊥x 轴，垂足为点H ，则AOH △为等腰直角三角形，∴22222AO OH AH OH =+=，∴1)2222OH AO ===+（舍负），∴点A 的横坐标为222+，同理可得：点B 的横坐标为22--，∴符合题意的点P 横坐标的取值范围是2122x +或2212x --- ；（2）∵一次函数2y x =-+的图象分别与x 轴，y 轴交于点A ，B ，(2,0)A ∴，(0,2)B ，线段AB 上存在“原点正方形”的“友好点”，如图所示：当该正方形最小时，则正方形的顶点D 到线段AB 的距离为1，即1DC =，∵2OA OB ==，∴小正方形和等腰直角三角形AOB 都关于直线y ＝x 对称，∴此时点O ，D ，C 都在直线y ＝x 上，∵2OA OB ==，∴AB ==∴12OC AB ==∴1OD OC CD =-=-，∵DOE 为等腰直角三角形，∴22222OD OE DE OE =+=，∴1)1222OE ===-（舍负），∴小正方形的边长为22(1)22⨯-=-，当该正方形最大时，则如图所示的点F 的坐标为（2＋1，0），即（3，0），则根据对称性可得点G 的坐标为（－3，0），∴此时该大正方形的边长为3－（－3）＝6，综上所述，若线段AB 上存在“原点正方形”的“友好点”，则“原点正方形”边长a 的取值范围为26a ．【点睛】本题考查一次函数的性质与正方形的性质以及勾股定理的应用，能够将新定义的内容转化为线段，正方形之间的关系，并能准确画出图形是解题的关键．。

2020年北京市海淀区初三期末数学考试逐題解析一、选择题(本题共16分，每小题2分〉第Z题均有四个选项，符合题意得选项只有一个.1.卜列凶形中既是轴对称图形，乂是中心对称图比的足ARCD【答案】C【解析】依据轴対称定义可知A, C为轴对称图形,依据中心对祢定义可知B, C为中心对称图形,故C正确.2.五张完全相同的卡片上,分别写彳j数字1, 2, 3, 4, 5,现从中Hj机抽取一张,抽到的卡片上所写数字小丁•3的概率足A・ 2 B. - C. - D.-SSSS【答案】B【解析】山题盘町知THr 5科结果，其中数字小干3的姑果右抽到1和2两种,所以P = -,故B止确.53・关丁•方FIx-3—O的根的惜况，下列说法正丽的是A.冇两个不和等的实数根B.右两个和等的实数很C.没有实数根D・无法判断【答案】A【解析】一元二次方F例断根的情况∕F∣JJljΛ=Λ2-4^∙ = 9-4xlx(-l) =13>0jλ∣为A>0所以肓浙个不等实数根，故A止确.1>4. 如妙 在四边形AB(JD 中■ ADflBC.点応"分别是边血λ BC 上的点.AF 与BE交于点0,畑2, BF-X.则与△从护的面枳之比为【答案】D 【解析】山和似八字模型易证Δ4(M~ΔR 加所以柑似比为2, W 为面枳比为相 以比的半方，所以血= 22 = 4,故D 疋确.Ss ħOF5. 若扇形的半径为2, EI 心角为90。

,则这个扇形的而积为 A< —B. πC. 2π D ∙ 4兀2【答知BIm O <扇形而枳公式S=雲二竺M “，故B 止确.360 3606. 如图,04 交Co J-点 B, AD W OO J-点 D,点 C 在0(91.若=40% !4'JZC 为【答案】BB. C. 2 D ∙4A. 20°B. 25° D. 35。

A- O【解析】山切线性质可知仞丄心 所以Z∕Λ>M=900-Z4=50o,山同弧所对圆周ft]是 関心允的一半，nJ 得ZCMZZDQ4 = 25。

2022-2023学年北京市海淀区九年级（上）期末数学试卷1. 刺绣是中国民间传统手工艺之一．下列刺绣图案中，是中心对称图形的为( )A. B.C. D.2. 点关于原点对称的点的坐标为( )A. B. C. D.3. 二次函数的图象向左平移1个单位长度，得到的二次函数解析式为( )A. B.C. D.4. 如图，已知正方形ABCD，以点A为圆心，AB长为半径作，点C与的位置关系为( )A. 点C在外B. 点C在内C. 点C在上D. 无法确定5. 若点，在抛物线上，则m的值为( )A. 2B. 1C. 0D.6. 勒洛三角形是分别以等边三角形的顶点为圆心，以其边长为半径作圆弧，由三段圆弧组成的曲边三角形．如图，该勒洛三角形绕其中心O旋转一定角度a后能与自身重合，则该角度a可以为( )A. B.C. D.7. 如图，过点A作的切线AB，AC，切点分别是B，C，连接过上一点D作的切线，交AB，AC于点E，若，的周长为4，则BC的长为( )A. 2B.C. 4D.8. 遥控电动跑车竞速是青少年喜欢的活动．如图是某赛道的部分通行路线示意图，某赛车从入口A驶入，行至每个岔路口选择前方两条线路的可能性相同，则该赛车从F口驶出的概率是( )A. B. C. D.9. 二次函数的图象与y轴的交点坐标为_____________.10. 半径为3，圆心角120度的扇形面积为__________.11. 如表记录了一名球员在罚球线上投篮的结果．投篮次数n50100150200300400500投中次数m284978102153208255投中频率根据以上数据，估计这名球员在罚球线上投篮一次，投中的概率为__________.12. 关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围为__________.13. 二次函数的图象如图所示，则ab__________填“>”“<”或“=”14. 如图，是的内接三角形，于点E，若的半径为，，则__________.15. 对于二次函数，y与x的部分对应值如表所示．x在某一范围内，y 随x的增大而减小，写出一个符合条件的x的取值范围__________.X…0123…y…1331…16. 如图，AB，AC，AD分别是某圆内接正六边形、正方形、等边三角形的一边．若，下面四个结论中，①该圆的半径为2；②的长为；③AC 平分；④连接BC，CD，则与的面积比为1：，所有正确结论的序号是__________.17. 解方程：18. 已知抛物线过点和，求该抛物线的解析式．19. 已知a为方程的一个根，求代数式的值．20. 如图，四边形ABCD内接于，AB为直径，若，求的度数．21. 为了发展学生的兴趣爱好，学校利用课后服务时间开展了丰富的社团活动．小明和小天参加的篮球社共有甲、乙、丙三个训练场．活动时，每个学生用抽签的方式从三个训练场中随机抽取一个场地进行训练．小明抽到甲训练场的概率为____；用列表或画树状图的方法，求小明和小天在某次活动中抽到同一场地训练的概率．22. 已知：如图，AP是的切线，A为切点．求作：的另一条切线PB，B为切点．作法：以P为圆心，PA长为半径画弧，交于点B；作直线直线PB即为所求．根据上面的作法，补全图形保留作图痕迹；完成下面证明过程．证明：连接OA，OB，是的切线，A为切点，在与中，( )≌于点是的半径，是的切线____填推理的依据23. 紫砂壶是我国特有的手工制造陶土工艺品，其制作过程需要几十种不同的工具，其中有一种工具名为“带刻度嘴巴架”，其形状及，使用方法如图当制壶艺人把“带刻度嘴巴架”上圆弧部分恰好贴在壶口边界时，就可以保证需要粘贴的壶嘴、壶把、壶口中心在一条直线上．图2是正确使用该工具时的示意图．如图3，为某紫砂壶的壶口，已知A，B 两点在上，直线l过点O，且于点D，交于点若，，求这个紫砂壶的壶口半径r的长．24. 如图，AB是的直径，点C在上．过点C作的切线l，过点B作于点求证：BC 平分；连接OD，若，，求OD的长．25. 学校举办“科技之星”颁奖典礼，颁奖现场入口为一个拱门．小明要在拱门上顺次粘贴“科”“技”“之”“星”四个大字如图，其中，“科”与“星”距地面的高度相同，“技”与“之”距地面的高度相同，他发现拱门可以看作是抛物线的一部分，四个字和五角星可以看作抛物线上的点．通过测量得到拱门的最大跨度是10米，最高点的五角星距地面米．请在图2中建立平面直角坐标系xOy，并求出该抛物线的解析式；“技”与“之”的水平距离为2a米．小明想同时达到如下两个设计效果：①“科”与“星”的水平距离是“技”与“之”的水平距离的2倍；②“技”与“科”距地面的高度差为米．小明的设计能否实现？若能实现，直接写出a的值；若不能实现，请说明理由．26. 在平面直角坐标系xOy中，抛物线过点求用含a的式子表示；抛物线过点，，，①判断：____填“>”“<”或“=”；②若M，N，P恰有两个点在x轴上方，求a的取值范围．27. 如图，在中，，是AB边上一点，交CA的延长线于点用等式表示AD与AE的数量关系，并证明；连接BE，延长BE至F，使连接DC，CF，①依题意补全图形；②判断的形状，并证明．28. 在平面直角坐标系xOy中，对于点P和线段AB，若线段PA或PB的垂直平分线与线段AB有公共点，则称点P为线段AB的融合点．已知，，①在点，，中，线段AB的融合点是____；②若直线上存在线段AB的融合点，求t的取值范围；对称线段为若对于实数a，存在直线l，使得上有的融合点，直接写出a的取值范围．答案和解析1.【答案】B【解析】【分析】根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．【解答】解：选项A、C、D中的图形都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形．选项B中的图形能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形．故选：2.【答案】A【解析】【分析】根据关于原点对称的两个点的坐标特征判断即可．【解答】解：点关于原点对称的点的坐标是故选：3.【答案】D【解析】【分析】根据“上加下减、左加右减”的原则进行解答即可．【解答】解：，将二次函数的图象在平面直角坐标系中向左平移1个单位长度所得函数解析式为：，故选：4.【答案】A【解析】【分析】根据正方形的性质得到，于是得到结论．【解答】解：正方形ABCD的对角线，点C在外，故选：5.【答案】B【解析】【分析】根据抛物线的对称性即可求解．【解答】解：因为点，的纵坐标相同，都是5，所以对称轴为直线，故m的值为故选：6.【答案】C【解析】【分析】由于是等边三角形，那么，所以要使等边三角形旋转后与自身重合，那么它们就是旋转角，而它们的和为，由此即可求出绕中心旋转的角度．【解答】解：如图，连接OA、OB、是等边三角形，，它们都是旋转角，而它们的和为，将该勒洛三角形绕其中心O旋转后能与自身重合．故选：7.【答案】B【解析】【分析】根据切线长定理得到，再根据切线长定理、三角形的周长公式计算，得到答案．【解答】解：、AC为的切线，，、FC为的切线，，同理，，的周长，，故选：8.【答案】B【解析】【分析】画树状图，共有4种等可能的结果，其中该赛车从F口驶出的结果有1种，再由概率公式求解即可．【解答】解：画树状图如下：共有4种等可能的结果，其中该赛车从F口驶出的结果有1种，该赛车从F口驶出的概率为，故选：9.【答案】【解析】【分析】将代入解析式求解．【解答】解：将代入得，抛物线与y轴交点坐标为，故答案为：10.【答案】【解析】【分析】根据扇形的面积公式计算即可．【解答】解：，故答案为：11.【答案】【解析】【分析】根据频率估计概率的方法结合表格数据可得答案．【解答】解：由频率分布表可知，随着投篮次数越来越大时，频率逐渐稳定到常数附近，这名球员在罚球线上投篮一次，投中的概率为，故答案为：12.【答案】【解析】【分析】若一元二次方程有两个不相等的实数根，则根的判别式，建立关于m 的不等式，求出m的取值范围．【解答】解：方程有两个不相等的实数根，，，，解得，故答案为：13.【答案】<【解析】【分析】根据二次函数的图象与性质即可求出答案．【解答】解：由图象可知：，，，故答案为：14.【答案】1【解析】【分析】连接AO，BO，根据圆周角定理得到，根据等腰直角三角形的性质即可得到结论．【解答】解：连接AO，BO，，，，，，，，故答案为：15.【答案】【解析】【分析】根据表格确定二次函数的对称轴，然后结合x、y的值确定答案即可．【解答】解：观察表格知：二次函数的图象经过点和，对称轴为，当时，y随x的增大而减小，故答案为：16.【答案】①③④【解析】【分析】设圆的圆心是O，半径是r，连接OA，OB，OC，OD，作交AB延长线于M，于N，应用圆内接正多边形的性质，圆周角定理，弧长计算公式，三角形面积的计算公式，可以解决问题．【解答】解：设圆的圆心是O，半径是r，连接OA，OB，OC，OD，作交AB延长线于M，于N，是圆内接正六边形的一边，的度数，是等边三角形，，该圆的半径为是圆内接正方形的一边，的度数，的度数，是圆内接正三边形的一边，的度数，的度数，，，平分的长，，，中，，，平分，，，，：：正确的有①③④．故答案为：①③④．17.【答案】解：，，即，，，【解析】利用配方法求解即可．18.【答案】解：抛物线过点和，，解得，所以，该二次函数的解析式为【解析】将，代入求得b，c的值，得到此函数的解析式．19.【答案】解：原式为方程的一个根，，原式【解析】直接利用平方差公式以及单项式乘多项式计算，进而合并同类项，把已知数据整体代入得出答案．20.【答案】解：如图，连接，，，为直径，，【解析】【分析】连接AC，根据圆周角定理得到，再利用AB为直径得到，然后利用直角三角形两锐角互余计算的度数．21.【答案】解：画树状图如下：共有9种等可能的结果，其中小明和小天在某次活动中抽到同一场地训练的结果有3种，小明和小天在某次活动中抽到同一场地训练的概率为【解析】【分析】直接由概率公式求解即可；画树状图，共有9种等可能的结果，其中小明和小天在某次活动中抽到同一场地训练的结果有3种，再由概率公式求解即可.22.【答案】解：如图，PB为所作；；经过半径的外端且与半径垂直的直线是圆的切线【解析】【分析】根据几何语言画出对应的几何图形即可；先根据切线的性质得再证明≌得到，然后根据切线的判定定理得到PB是的切线．23.【答案】解：连接OB，若，在中，，，，，解得答：这个紫砂壶的壶口半径r的长为【解析】【分析】连接OB，根据垂径定理求出BD，在中，根据勾股定理即可求出24.【答案】证明：连接，是的切线，OC是的半径，，，，，平分解：连接OD，过点O作于点G，得矩形OCDG，在中，，设，，则，，在中，根据勾股定理得：【解析】【分析】连接OC，由题意可证，进而证明BC平分；连接OD，过点O作于点G，得矩形OCDG，可得，由勾股定理求出OB的长，再由勾股定理可得出答案．25.【答案】解：以过拱顶为原点，以过拱顶平行于地面的直线为x轴建立如图所示坐标系.设抛物线解析式为，抛物线过点，，解得，抛物线解析式为能实现，由知抛物线解析式为，设“之”的坐标为，则“星”的坐标为，，，，解得，，，能实现，【解析】【分析】建立如图所示坐标系，由待定系数法求函数解析式即可；根据题意求出“之”和“星”的坐标，然后求出a 的值即可．26.【答案】解：将代入抛物线表达式得：，解得：由得，抛物线的表达式为：，则抛物线的对称轴为直线，将点M 、N 、P 的坐标代入抛物线表达式得：，，，①，故答案为：②当时，由点M、N、P的坐标知，点N的函数值最小，则点M、P在x轴上方，即且，解得：当时，同理可得：点N、P在x轴上方，即且，解得：；综上所述，a的取值范围的为：或【解析】【分析】将代入抛物线表达式得：，即可求解；①，即可求解；②当时，由点M、N、P的坐标知，点N的函数值最小，则点M、P在x轴上方，进而求解；当时，同理可解．27.【答案】解：结论：理由：，，，，，①图形如图所示：②结论：是等边三角形．证明：延长BA至点H使，连接CH，FH，如图.，，是等边三角形.，，，，，，，≌，是等边三角形.【解析】【分析】结论：利用直角三角形30度角的性质证明即可；①根据要求作出图形即可；②结论：是等边三角形．延长BA至点H使，连接CH，FH，.证明≌，推出，，可得结论．28.【答案】解：①，②线段AB的融合点在以A、B为圆心，AB为半径的圆及内部，，，，当与圆相切时，或，当时，直线上存在线段AB 的融合点．由可知，的融合点在以、为圆心，为圆心的圆及内部，，，上有的融合点，圆O 与圆、有交点，圆O 与圆、圆的公共区域为以O 为圆心2为半径，以O 为圆心6为半径的圆环及内部区域，当时，a 的最大值为，最小值为，；当时，a 的最大值为，最小值为，综上所述：a 的取值范围为或【解析】【分析】①，，的线段垂直平分线与x 轴的交点为，是线段AB的融合点．，，设直线的垂直平分线与x轴的交点为，，解得，直线的垂直平分线与x轴的交点为，不是线段AB的融合点．，，设直线的垂直平分线与x轴的交点为，，解得，直线的垂直平分线与x轴的交点为，是线段AB的融合点．故答案为：，②线段AB的融合点在以A、B为圆心，AB为半径的圆及内部，当与圆有交点时，直线上存在线段AB的融合点；由可知，的融合点在以、为圆心，为圆心的圆及内部，圆O与圆、圆的公共区域为以O为圆心2为半径，以O为圆心6为半径的圆环及内部区域满足题意，当时，a的最大值为，最小值为，当时，a的最大值为，最小值为，由此可求a的取值范围为或。

海淀区九年级数学第一学期期末练习 2011.1一、选择题（本题共32分，每小题4分）下面各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的． 1．2(-=（ ）A ．3B ．3-C ．3±D ．92．已知两圆的半径分别为2和3，圆心距为5，则这两圆的位置关系是 ） A ．外离B ．外切C ．相交D ．内切3．将一枚硬币抛掷两次，则这枚硬币两次正面都向上的概率为（ ）A ．12B ．13C ．14D ．164．如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，已知∠ABO =30º，则∠ACB 的大小为（ ）A ．60ºB ．30ºC ．45ºD ．50º5．下列一元二次方程中没有．．实数根的是（ ） A ．2240x x +-= B ．2440x x -+= C ．2250x x --=D ．2340x x ++=6．如图，有一枚圆形硬币，如果要在这枚硬币的周围摆放几枚与它完全相同的硬币，使得周围的硬币都和这枚硬币相外切，且相邻的硬币相外切，则这枚硬币周围最多可摆放（ ）A ．4枚硬币B ．5枚硬币C ．6枚硬币D ．8枚硬币7．圆锥的母线长是3，底面半径是1，则这个圆锥侧面展开图圆心角的度数为（ ）A ．90°B ．120°C ．150°D ．180°8．如图，E ，B ，A ，F 四点共线，点D 是正三角形ABC 的边AC 的中点，点P 是直线AB 上异于A ，B 的一个动点，且满足30CPD ∠=︒，则（ ）A ．点P 一定在射线BE 上B ．点P 一定在线段AB 上C ．点P 可以在射线AF 上 ，也可以在线段AB 上D ．点P 可以在射线BE 上 ，也可以在线段 二、填空题（本题共16分，每小题4分）9．已知P 是⊙O 外一点，P A 切⊙O 于A ，PB 切⊙O 于B .若P A ＝6，则PB ＝ ． 10x 的取值范围是 .11．如图，圆形转盘中，A ，B ，C 三个扇形区域的圆心角分别为150°，120°和90°. 转动圆盘后，指针停止在任何位置的可能性都相同（若指针停在分界线上，则重新转动圆盘），则转动圆盘一次，指针停C12．（1） 如图一，等边三角形MNP 的边长为1，线段AB 的长为4，点M 与A 重合，点N 在线段AB 上. △MNP 沿线段AB 按A B →的方向滚动， 直至△MNP 中有一个点与点B 重合为止，则点P 经过 的路程为 ；（2）如图二，正方形MNPQ 的边长为1，正方形ABCD 的边长为2，点M 与点A 重合，点N 在线段AB 上， 点P 在正方形内部，正方形MNPQ 沿正方形ABCD 的边按A B C D A →→→→→ 的方向滚动，始终保持M ,N ,P ,Q 四点在正方形内部或边界上，直至正方形MNPQ 回到初始位置为 止，则点P 经过的最短路程为 .（注：以△MNP 为例，△MNP 沿线段AB 按A B →的方向滚动指的是先以顶点N 为中心顺时针旋转， 当顶点P 落在线段AB 上时， 再以顶点P 为中心顺时针旋转，如此继续. 多边形沿直线滚动与此类 似.）三、解答题（本题共30分，每小题5分） 13．计算：．14（1）根据上表中的信息将两个空格的数据补全（射中9环以上的次数为整数，频率精确到0.01）；（2）根据频率的稳定性，估计这名运动员射击一次时“射中9环以上”的概率（精确到0.1），并简述理由.15．解方程：24120x x +-=． ()A N P图二图一图三(A Q16．如图，在ABC △中，AB 是⊙O 的直径，⊙O 与AC 交于点D，60,75AB B C =∠=︒∠=︒，求B O D ∠的度数；17．如图，正方形ABCD 中,点F 在边BC 上，E 在边BA 的延长线上. （1）若DCF △按顺时针方向旋转后恰好与DAE △重合.则旋转中心是点 ；最少旋转了 度；（2）在（1）的条件下，若3,2AE BF ==,求四边形BFDE 的面积.18．列方程解应用题：随着人们节能意识的增强，节能产品的销售量逐年增加．某地区高效节能灯的年销售量2009年为10万只，预计2011年将达到14.4万只．求该地区2009年到2011年高效节能灯年销售量的平均增长率.四、解答题（本题共20分，每小题5分）19．如图，在△ABC 中，120,C ∠=︒,4AC BC AB ==，半圆的圆心O 在AB 上，且与AC ，BC 分别相切于点D ，E . （1）求半圆O 的半径；（2）求图中阴影部分的面积. ADCBODCFBEA20．如图，O 为正方形ABCD 对角线AC 上一点，以O 为圆心，OA 长为半径的⊙O 与BC 相切于点M . （1）求证：CD 与⊙O 相切；（2）若⊙O 的半径为1，求正方形ABCD 的边长.21．一个袋中有3张形状大小完全相同的卡片，编号为1,2,3，先任取一张，将其编号记为m ，再从剩下的两张中任取一张，将其编号记为n .（1）请用树状图或者列表法，表示事件发生的所有可能情况； （2）求关于x 的方程20x mx n ++=有两个不相等实数根的概率.22．如图一，AB 是O 的直径，AC 是弦，直线EF 和O 相切与点C ，AD EF ⊥，垂足为D . （1）求证CAD BAC ∠=∠；（2）如图二，若把直线EF 向上移动，使得EF 与O 相交于G ，C 两点（点C 在点G 的右侧），连结AC ，AG ，若题中其他条件不变，这时图中是否存在与CAD ∠相等的角？若存在，找出一个这样 的角，并证明；若不存在，说明理由.图一图二五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分） 23．以坐标原点为圆心，1为半径的圆分别交x ，y 轴的正半轴于点A ，B .（1）如图一，动点P 从点A 处出发，沿x 轴向右匀速运动，与此同时，动点Q 从点B 处出发，沿圆周按顺时针方向匀速运动.若点Q 的运动速度比点P 的运动速度慢，经过1秒后点P 运动到点(2,0)，此时PQ 恰好是O 的切线，连接OQ . 求QOP ∠的大小；（2）若点Q 按照（1）中的方向和速度继续运动，点P 停留在点(2,0)处不动，求点Q 再经过5秒后直线PQ 被O 截得的弦长.24．已知关于x的方程221(1)04x a -++=有实根.（1）求a 的值;（2）若关于x 的方程2(1)0mx m x a +--=的所有根均为整数，求整数m 的值.图一图二(备用图)25．如图一，在△ABC 中，分别以AB ，AC 为直径在△ABC 外作半圆1O 和半圆2O ，其中1O 和2O 分别为两个半圆的圆心. F 是边BC 的中点，点D 和点E 分别为两个半圆圆弧的中点. （1）连结1122,,,,,O F O D DF O F O E EF ，证明：12DO F FO E △≌△；（2）如图二，过点A 分别作半圆1O 和半圆2O 的切线，交BD 的延长线和CE 的延长线于点P 和点Q ，连结PQ ，若∠ACB=90°,DB=5，CE=3，求线段PQ 的长;（3）如图三，过点A 作半圆2O 的切线，交CE 的延长线于点Q ，过点Q 作直线F A 的垂线，交BD 的延长线于点P ，连结P A . 证明：P A 是半圆1O 的切线. 图一图二Q图三海淀区九年级数学第一学期期末练习参考答案及评分标准 2011.1说明： 合理答案均可酌情给分，但不得超过原题分数三、解答题（本题共30分，每小题5分）13.解：原式=…………………………….…………………………….2分= …………………………….…………………………….4分 =6 …………………………….…………………………….5分 14．（1）解： 48,…………………………….…………………………….1分 0.81…………………………….…………………………….2分 （2）解：()90.8P =射中环以上…………………………….…………………………….4分从频率的波动情况可以发现频率稳定在0.8附近，所以这名运动员射击一次时“射中9环以上” 的概率是0.8. …………………………….…………………………….5分 注：简述的理由合理均可给分 15．解法一：因式分解，得()()620x x +-= …………………………….…………………………….2分 于是得 60x +=或20x -= 126,2x x =-= ………………………….5分 解法二：1,4,12a b c ===-2464b ac ∆=-=…………………………….…………………………….2分482x -±== …………………………….…………………………….4分126,2x x =-= …………………………….…………………………….5分16．解：在ABC △中，60,75B C ∠=︒∠=︒ ,45A ∴∠=︒. …………………………….…………………………….2分AB 是⊙O 的直径，⊙O 与AC 交于点D, ∴290DOB A ∠=∠=︒. …………………………….…………………………….5分17．解：（1）D ；90︒. …………………………….…………………………….2分 （2）DCF DEA △旋转后恰好与△重合， DCF DAE ∴△≌△.3,2AE CF BF ∴===又. 5BC BF CF ∴=+=.AED BFDE ABFD S S S ∴=+△四边形四边形DCF ABFD S S ∆=+四边形ABCD S =正方形2BC =25= 5分18．解：设该地区2009年到2011年高效节能灯年销售量的平均增长率为x .……………….1分依据题意，列出方程 ()210114.4x += ……………………….…………………………….2分 化简整理，得： ()21 1.44x +=, 解这个方程，得 11.2x +=±, ∴ 120.2, 2.2x x ==-. ∵ 该地区2009年到2011年高效节能灯年销售量的平均增长率不能为负数. ∴ 2.2x =-舍去. ∴ 0.2x =. …………………….…………………………….4分四、解答题（本题共20分，每小题5分） 19．（1）解：连结OD ，OC ，∵半圆与AC ，BC 分别相切于点D ，E . ∴DCO ECO ∠=∠,且OD AC ⊥. ∵AC BC =，∴CO AB ⊥且O 是AB 的中点.∴122AO AB ==. ∵120C ∠=︒,∴60DCO ∠=︒. ∴30A ∠=︒.∴在R t AOD △中，112OD AO ==.即半圆的半径为1. …………………………….…………………………….3分（2）设CO =x ，则在R t AOC △中，因为30A ∠=︒，所以AC =2x ，由勾股定理得： 222AC OC AO -= 即 222(2)2x x -= 解得x =（x =舍去）∴11422ABC S AB OC =⋅=⨯=△……….…………………………….4分∵ 半圆的半径为1，∴ 半圆的面积为2π,∴2S π=-=阴影…………………………….…………………………….5分20．（1）解：过O 作ON CD ⊥于N ，连结OM ，则OM BC ⊥. ∵ AC 是正方形ABCD 的对角线， ∴ AC 是BCD ∠的平分线. ∴ OM =ON.即圆心O 到CD 的距离等于⊙O 半径， ∴ CD 与⊙O 相切.…………………………….…………………………….3分（2）由（1）易知MOC △为等腰直角三角形，OM 为半径， ∴ OM =MC =1.∴ 222112OC OM MC =+=+=, ∴OC =.∴1AC AO OC =+= 在R t ABC △中，AB =BC ,有 222A C A BB C=+ ∴ 222AB AC = ∴AB =…………………………….…………………………….5分故正方形ABCDN21．（1）解：依题意画出树状图（或列表）如下或…………………………….…………………………….2分注：画出一种情况就可给2分（2）解：当240m n ->时，关于x 的方程20x mx n ++=有两个不相等实数根，而使得240m n ->的m ，n 有2组，即(3，1)和(3，2). ………….…………………………….4分则关于x 的方程20x mx n ++=有两个不相等实数根的概率是13.∴P （有两个不等实根）=13. …………………….5分22．（1）证明：如图一，连结OC ，则OC EF ⊥，且OC=OA ,易得OCA OAC ∠=∠.∵ AD EF ⊥，∴OC//AD.∴OCA ∠=CAD ∠,∴CAD ∠=OAC ∠. 即 C A D B A C ∠=∠.…………………………….…………………………….2分 （2）解：与CAD ∠相等的角是BAG ∠.…………………………….…………………………….3分证明如下： 如图二，连结BG .∵ 四边形ACGB 是O 的内接四边形， ∴ 180ABG ACG ∠+∠=︒. ∵ D ，C ，G 共线，∴ 180ACD ACG ∠+∠=︒. ∴ ACD ABG ∠=∠.∵ AB 是O 的直径, ∴ 90BAG ABG ∠+∠=︒ ∵ AD EF ⊥ ∴ 90CAD ACD ∠+∠=︒ ∴ CAD BAG ∠=∠. …………………………….…………………………….5分五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）23．（1）解：如图一，连结AQ ．由题意可知：OQ =OA =1. ∵OP =2, ∴A 为OP 的中点. ∵PQ 与O 相切于点Q ,∴OQP △为直角三角形. …………1分∴112AQ OP OQ OA ==== . …………2分即ΔOAQ 为等边三角形.123123312m n 图一图二（2）解：由（1）可知点Q 运动1秒时经过的弧长所对的圆心角为30°，若Q 按照（1）中的方向和速度继续运动，那么再过5秒，则Q 点落在O 与y 轴负半轴的交点处（如图二）.设直线PQ 与O 的另外一个交点为D ，过O 作OC ⊥QD 于点C ，则C 为QD 的中点. …………4分 ∵∠QOP =90°，OQ =1，OP =2,∴QP…………5分 ∵1122OQ OP QP OC ⋅=⋅, ∴OC. …………6分∵OC ⊥QD ，OQ =1，OC∴QC∴QD． …………7分24．（1）解：∵关于x的方程为221(1)04x a -++=为一元二次方程，且有实根.故满足：220,1(4(1)0.4a a ≥⎧⎪⎨∆=--⨯⨯+≥⎪⎩ ……….…………………………….2分（注：每个条件1分） 整理得 20,(1)0.a a ≥⎧⎨-≤⎩ ∴1a =……….…………………………….4分（2）由（1）可知1a =,故方程2(1)0mx m x a +--=可化为2(1)10mx m x +--=.①当m =0时，原方程为10x -=，根为1x =，符合题意. ………………………….5分②当m ≠0时，2(1)10mx m x +--=为关于x 的一元二次方程，2222(1)4(1)12421(1)0m m m m m m m m ∆=--⨯⨯-=-++=++=+≥.此时，方程的两根为 1211,x x m==-. ∵两根均为整数, ∴m =1±.………………………….7分综上所述，m 的值为1-，0 或1.图二1125．（1）证明：如图一，∵1O ，2O ，F 分别是AB ，AC ，BC 边的中点，∴1O F ∥AC 且1O F =A 2O ，2O F ∥AB 且2O F =A 1O ， ∴∠B 1O F=∠BAC ，∠C 2O F=∠BAC , ∴∠B 1O F=∠C 2O F∵点D 和点E 分别为两个半圆圆弧的中点， ∴1O F =A 2O =2O E ，2O F =A 1O =1O D ，分 ∠B 1O D =90°，∠C 2O E =90°， ∴∠B 1O D=∠C 2O E . ∴∠D 1O F=∠F2O E .∴12DO F FO E △≌△.………………………….3分（2）解：如图二，延长CA 至G ，使AG =AQ ,连接BG 、AE .∵点E 是半圆2O 圆弧的中点， ∴AE=CE=3 ∵AC 为直径 ∴∠AEC =90°，∴∠ACE =∠EAC =45°，AC = ∵AQ 是半圆2O 的切线， ∴CA ⊥AQ ，∴∠CAQ =90°，∴∠ACE =∠AQE =45°，∠GAQ =90° ∴AQ =AC =AG =同理：∠BAP =90°，AB =AP = ∴CG =∠GAB =∠QAP ∴AQP AGB △≌△. ……………………..5分∴PQ =BG ∵∠ACB =90°，∴BC ∴BG ∴PQ=……………………..6分（3） 证法一：如图三，设直线F A 与PQ 的垂足为M ，过C 作CS ⊥MF 于S ，过B 作BR ⊥MF 于R ，连接DR 、AD 、DM.∵F 是BC 边的中点，∴ABF ACF S S =△△. ∴BR=CS ，由（2）已证∠CAQ =90°, AC =AQ,∴∠2+∠3=90° ∵FM ⊥PQ , ∴∠2+∠1=90°， ∴∠1=∠3, 同理：∠2=∠4,∴AMQ CSA △≌△， ∴AM=CS ， ∴AM=BR ，图一图二图三12同（2）可证AD=BD ，∠ADB =∠ADP =90°,∴∠ADB =∠ARB =90°, ∠ADP =∠AMP =90° ∴A 、D 、B 、R 四点在以AB 为直径的圆上，A 、D 、P 、M 四点在以AP 为直径的圆上， 且∠DBR+∠DAR =180°, ∴∠5=∠8, ∠6=∠7, ∵∠DAM +∠DAR =180°, ∴∠DBR =∠DAM ∴DBR DAM △≌△， ∴∠5=∠9, ∴∠RDM =90°，∴∠5+∠7=90°， ∴∠6+∠8=90°， ∴∠P AB =90°，∴P A ⊥AB ,又AB 是半圆1O 直径， ∴P A 是半圆1O 的切线.……………………..8分证法二：假设P A 不是是半圆1O 的切线，如图四，过点A 作半圆1O 的切线交BD 的延长线于点P '， 则点P '异于点P ，连结P Q '，设直线F A 与PQ 的 垂足为M ，直线F A 与P Q '的交点为M '.延长AF 至N ，使得AF =FN ，连结BN ，CN ，由于点F 是 BC 中点，所以四边形ABNC 是平行四边形. 易知，180BAC ACN ∠+∠=︒， ∵AQ 是半圆2O 的切线,∴∠QAC =90°，同理90P AB '∠=︒. ∴180P AQ BAC '∠+∠=︒. ∴P AQ ACN '∠=∠.由（2）可知，,AQ AC AB AP '==,∴P AQ NCA '△≌△. ∴NAC P QA '∠=∠. ∵90QAC ∠=︒,∴90NAC M AQ '∠+∠=︒.即 90AQM M AQ ''∠+∠=︒.∴90AM Q '∠=︒. 即 P Q A F '⊥.∵ PQ AF ⊥,∴ 过点Q 有两条不同的直线P Q '和PQ 同时与AF 垂直.这与在平面内过一点有且仅有一条直线与已知直线垂直相矛盾,因此假设错误.所以P A 是是半圆1O 的切线.Q图四。

2023-2024学年北京市海淀区九年级（上）期末数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．下图为部分“卦”的符号，其中是中心对称图形的是.()A. B. C. D.2.抛物线的顶点坐标是.()A. B. C. D.3.若关于x的一元二次方程有一个根为1，则m的值为.()A.3B.0C.D.4.在平面直角坐标系xOy中，抛物线如图所示，则关于x的方程的根的情况为.()A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.有实数根D.没有实数根5.如图，在中，AB为直径，C，D为圆上的点，若，则的大小为.()A. B. C. D.6.如图，的半径为2，将的内接正六边形ABCDEF绕点O顺时针旋转，第一次与自身重合时，点A 经过的路径长为.()A.2B.C.D.7.林业部门考察某种幼树在一定条件下的移植成活率，统计数据如下：移植总数m1027075015003500700014000成活数n823566213353180629212628成活的频率结果保留小数点后三位下列说法正确的是.()A.若移植10棵幼树，成活数将为8棵B.若移植270棵幼树，成活数不会超过235棵C.移植的幼树越多，成活率越高D.随着移植总数的增加，幼树移植成活的频率总在左右摆动，显示出一定的稳定性，可以估计该幼树在同等条件下移植成活的概率为8.如果一个圆的内接三角形有一边的长度等于半径，那么称其为该圆的“半径三角形”．给出下面四个结论：①一个圆的“半径三角形”有无数个；②一个圆的“半径三角形”可能是锐角三角形、直角三角形或钝角三角形；③当一个圆的“半径三角形”为等腰三角形时，它的顶角可能是，或；④若一个圆的半径为2，则它的“半径三角形”面积最大值为上述结论中，所有正确结论的序号是.()A.①②B.②③C.①②③D.①②④二、填空题：本题共8小题，每小题4分，共32分。

2022-2023学年北京市海淀区首都师大附中九年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。

在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1. 抛物线y=3(x−1)2−4的对称轴是直线( )A. x=1B. x=−1C. x=4D. x=−42. 围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有4000多年的历史．2017年5月，世界围棋冠军柯洁与人工智能机器人AlpℎaGo进行围棋人机大战．截取首局对战棋谱中的四个部分，由黑白棋子摆成的图案是中心对称的是( )A. B. C. D.3. 若关于x的一元二次方程mx2−2x+6=0的一个根是−1，则m的值是( )A. −3B. −2C. −1D. −84. 在平面内，已知OP=2，OQ=4，若点P在⊙O上，那么点Q与⊙O的位置关系是( )A. 点Q在⊙O内B. 点Q在⊙O上C. 点Q在⊙O外D. 无法判断5. 如图，点A，B，C均在⊙O上，若∠AOB=50°，则∠ACB的度数是( )A. 25°B. 50°C. 75°D. 100°6. 如图，在正方形ABCD中，点E在边BC上，且BE=1，∠BAE=30°，将△ABE绕点A逆时针旋转至△ADF，使点B与点D重合，则点E，F之间的距离为( )A. √3B. 2C. 2√2D. 37. 二次函数y=ax2+bx+c的部分图象如图所示，则关于x的不等式ax2+bx+c≥2的解集是( )A. x≤2B. x≤0C. −3≤x≤0D. x≤−3或x≥08. 在一次足球比赛小组赛中，每两支队伍之间都要各进行一次主场比赛、一次客场比赛，主办方共投入使用6个球场，每天每个球场共安排4场比赛，若连续10天才能保证小组赛全部比完，则本次小组赛参赛球队有( )A. 15支B. 16支C. 17支D. 18支二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）9. 将抛物线y=5x2向下平移2个单位长度，所得新抛物线的表达式为______．10. 设x1，x2分别是一元二次方程x2−2x−3=0的两个不相等的实数根，则x1⋅x2的值为______．11. 如图，BD是⊙O的直径，C是AB⏜的中点，若∠AOC=70°，则∠AOD的度数为______．12. 请写出一个开口向下，且经过点(2,−4)的抛物线的表达式为______．13. 如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC=3，点D在AC上，且AD=2，将点D绕着点A顺时针方向旋转，使得点D的对应点E恰好落在AB边上，则旋转角的度数为，CE 的长为．14. 如图，点O为线段AB的中点，点B，C，D到点O的距离相等，连接AC，BD.请写出图中任意一组互补的角为______和______(不添加辅助线，不添加数字角标和字母)．15. 关于x的方程kx2−(2k+1)x+k=0有两个不相等的实根，则k的取值范围是______；若该方程的两个实根均为有理数，则整数k的最小值为______．16. 我们将满足等式x2+y2=1+|x|y的每组x，y的值在平面直角坐标系中画出，便会得到如图所示的“心形”图形．下面三个结论中，(1)“心形”图形是轴对称图形；(2)“心形”图形所围成的面积一定大于2；(3)“心形”图形上任意一点到原点的距离都小于√2，所有正确结论的序号是______．三、计算题（本大题共1小题，共4.0分）17. 解方程：x2−7x+6=0．四、解答题（本大题共9小题，共48.0分。

2023-2024学年北京市海淀区九年级（上）期中数学试卷一、选择题（共16分，每题2分）A．1，3，1B．1，3，-1C．0，-3，1D．0，-3，-1 1．（2分）一元二次方程x2+3x-1=0的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（ ）解：一元二次方程x2+3x-1=0的二次项系数、一次项系数、常数项分别是1，3，-1．故选：B．【解答】A．B．C．D．2．（2分）下列图形中，是中心对称图形的是（ ）解：选项A、B、C的图形不都能找到一个点，使图形绕某一点旋转180度后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形．选项D的图形能找到一个点，使图形绕某一点旋转180度后与原来的图形重合，所以是中心对称图形．故选：D．【解答】A．y1>y2B．y1<y2C．y1=y2D．不能确定大小关系3．（2分）已知A（-1，y1），B（-2，y2）都在抛物线y=3x2上，则y1与y2之间的大小关系是（ ）解：∵函数y=3x2上的对称轴为y轴，∴A（-1，y1）、B（-2，y2）在对称轴左侧，∴抛物线开口向上，对称轴左侧y随x的增大而减小．∵-1>-2∴y1<y2．故选：B．【解答】A．-3B．-7C．1D．74．（2分）一元二次方程x2-4x+3=0经过配方变形为（x-2）2=k,则k的值是（ ）解：x2-4x+3=0，x2-4x=-3，x2-4x+4=-3+4，（x-2）2=1，∴k=1，故选：C．【解答】A．开口方向改变B．开口大小改变C．对称轴不变D．顶点位置不变5．（2分）将抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）向下平移，关于平移前后的抛物线，下列说法正确的是（ ）解：将抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）向下平移后，抛物线对称轴不变，开口方向和大小不变，顶点位置改变，【解答】故选：C ．A ．30B ．45C ．60D ．1056．（2分）陀螺是一款常见的玩具．图1为通过折纸制作的一种陀螺，图2为这种陀螺的示意图．若将图2中的图案绕点O 旋转x °可以与自身重合，则x 的值可以是（ ）解：该图形内部是八边形，那么最小的旋转角度为x =3608=45，故选：B ．【解答】A ．2×150x =216B ．150x 2=216C ．150+150x 2=216D ．150（1+x ）2=2167．（2分）小明热爱研究鸟类，每年定期去北京各个湿地公园观鸟．从他的观鸟记录年度总结中摘取部分数据如下：观鸟记录年度总结2020年：观测鸟类150种2021年：观测鸟类2022年：观测鸟类216种设小明从2020年到2022年观测鸟类种类数量的年平均增长率为x ,则下列方程正确的是（ ）解：由题意得：150（1+x ）2=216．故选：D ．【解答】A ．若α=30°，则b =12a B ．若α=45°，则b =2aC ．若α=60°，则b =aD ．若α=90°，则b =2a 8．（2分）如图，在正方形ABCD 中，AC 为对角线，将AC 绕点A 逆时针旋转α（0°<α≤90°），得到线段AE ，连接CE ，设AB =a ,CE =b ,下列说法正确的是（ ）√解：当α=30°时，过点C 作CF ⊥AE ，如图：∵四边形是正方形，∴AC =2a ,【解答】√二、填空题（共16分，每题2分）根据旋转的性质可得AE =2a ,∴CF =22a ,AF =62a ,EF =2a −22a ，在Rt △CEF 中，根据勾股定理可得b 2=（3-2）a 2，∴b ≠12a ,故A 不合题意；当α=45°时，如图，AE =AC =2a ,CD =a ,根据勾股定理b 2=a 2+（2a ）2=3a 2，∴b =3a ,故B 不合题意；当α=60°时，如图，∵AE =AC 2a ,∴△ACE 是等边三角形，∴b =2a ,故C 不合题意；当α=90°时，如图，∴AC =AE =2a ,∴CE =2a ,∴b =2a .故选：D ．√√√√√√√√√√√√9．（2分）方程x 2-4=0的解是．解：x 2-4=0，移项得：x 2=4，两边直接开平方得：x 1=2，x 2=-2，故答案为：x 1=2，x 2=-2．【解答】10．（2分）在平面直角坐标系xOy 中，点A （3，4）与点B 关于原点对称，则点B 的坐标是．解：∵点A （3，4）与点B 关于原点对称，∴点B 的坐标是（-3，-4）．故答案为：（-3，-4）．【解答】11．（2分）写出一个顶点在坐标原点，开口向下的抛物线的表达式 ．解：顶点在坐标原点，开口向下的抛物线的表达式可为y =-x 2．故答案为：y =-x 2．（答案不唯一）【解答】12．（2分）若关于x 的一元二次方程x 2-2x +m =0有两个相等的实数根，则实数m 的值为．解：∵关于x 的一元二次方程x 2-2x +m =0有两个相等的实数根，∴Δ=0，∴（-2）2-4m =0，∴m =1，故答案为：1．【解答】13．（2分）如图，在△ABC 中，AB =AC ，∠BAC =50°，将△ABC 绕点A 逆时针旋转到△ADE ．若AD ⊥BC ，则旋转角的度数是 ．解：∵AB =AC ，AD ⊥BC ，∴∠BAD =∠CAD =12∠BAC ，∵∠BAC =50°，∴∠BAD =25°，故答案为：25°．【解答】14．（2分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，以某点为中心，将右上方图形“”旋转到图中左下方的阴影位置，则旋转中心的坐标是 ．解：如图，点Q 即为旋转中心，Q （3，2）．故答案为：（3，2）．【解答】15．（2分）如图，二次函数y =2（x -1）2+k 的图象与y 轴的交点坐标为（0，1），若函数值y <1，则自变量x 的取值范围是 ．解：∵二次函数y =2（x -1）2+k 的图象与y 轴的交点坐标为（0，1），对称轴为直线x =1，∴当x =2时，y =1，∵抛物线开口向上，【解答】三、解答题（共68分，第17-20题，每题5分，第21题6分，第22-23题，每题5分，第24-26题，每题6分，第27-28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.∴函数值y <1，自变量x 的取值范围是0<x <2，故答案为：0<x <2．16．（2分）在平面直角坐标系xOy 中，点P 的坐标为（m ,n ），称关于x 的方程x 2+mx +n =0为点P 的对应方程．如图，点A （-1，0），点B （1，1），点C （-2，2）．给出下面三个结论：①点A 的对应方程有两个相等的实数根；②在图示网格中，若点P （m ,n ）（m ,n 均为整数）的对应方程有两个相等的实数根，则满足条件的点P有3个；③线段BC 上任意点的对应方程都没有实数根．上述结论中，所有正确结论的序号是．解：①∵点A （-1，0），∴点A 的对应方程为x 2-x =0，解得x =0或x =1，故①错误；②∵点P （m ,n ）（m ,n 均为整数）的对应方程有两个相等的实数根，∴方程x 2+mx +n =0有两个相等的实数根，∴Δ=m 2-4n =0，∴m 2=4n ,∵m ,n 都为整数，∴在图示网格中，m ,n 的整数解有V W X m =2n =1、V W X m =−2n =1、V W X m =0n =0共3个；故②正确；③∵点B （1，1），点C （-2，2），∴线段BC 的解析式为y =-13x +43（-2≤x ≤1），∴线段BC 上任意点的坐标为（m ,-13m +43），其对应方程为x 2+mx -13m +43=0，∴Δ=m 2-4（-13m +43）=m 2+43m -163=（m +23）2-529，∵-2≤m ≤1，∴-43≤m +23≤53，∴Δ=（m +23）2-529<0，∴线段BC 上任意点的对应方程都没有实数根，故③正确．故答案为：②③．【解答】17．（5分）解方程：x 2-6x +2=0（用配方法）．解：x 2-6x +2=0移项，得x 2-6x =-2，即x 2-6x +9=-2+9，∴（x -3）2=7，解得x -3=±7，即x =3±7．∴x 1=3+7，x 2=3-7．【解答】√√√√18．（5分）如图，⏥ABCD 的对角线AC ，BD 交于点O ，EF 过点O 且分别与AD ，BC 交于点E ，F ．（1）求证：△AOE ≌△COF ；（2）记四边形ABFE 的面积为S 1，⏥ABCD 的面积为S 2，用等式表示S 1和S 2的关系．（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，对角线AC ，BD 交于点O ，∴AD ∥BC ，OA =OC ，∴∠OAE =∠OCF ，【解答】在△AOE 和△COF 中，V Y Y W Y Y X ∠OAE =∠OCF OA =OC ∠AOE =∠COF，∴△AOE ≌△COF （ASA ）．（2）在△ABC 和△CDA 中，V Y Y W Y Y X AB =CD BC =DA AC =CA，∴△ABC ≌△CDA （SSS ），∴S △ABC =S △CDA =12S ⏥ABCD ，∵△AOE ≌△COF ，∴S △AOE =S △COF ，∴S 四边形ABFE =S △四边形ABFO +S △AOE =S △四边形ABFO +S △COF =S △ABC =12S ⏥ABCD ，∴S 1=12S 2．19．（5分）已知m 是方程x 2-x -2=0的根，求代数式 m （m -1）+5 的值．解：∵m 是方程x 2-x -2=0的根，∴m 2-m -2=0，∴m 2-m =2，∴m （m -1）+5=m 2-m +5=2+5=7．【解答】20．（5分）已知二次函数y =x 2-2x .（1）在如图所示的平面直角坐标系中画出该二次函数的图象；（2）点P （-2，7） 该函数的图象上（填“在”或“不在”）．解：（1）列表：x …-10123…y …30-103…描点、连线，画出函数图象如图：；（2）∵当x =-2时，y =x 2-2x =8，∴点P （-2，7）不在该函数的图象上．故答案为：不在．【解答】21．（6分）已知关于x 的一元二次方程x 2+（m -1）x +m -2=0．（1）求证：该方程总有两个实数根；（2）若该方程有一个根是正数，求m 的取值范围．（1）证明：∵一元二次方程x 2+（m -1）x +m -2=0，∴Δ=（m -1）2-4（m -2）=m 2-2m +1-4m +8=（m -3）2．∵（m -3）2≥0，∴Δ≥0．∴该方程总有两个实数根．（2）解：∵x 2+（m -1）x +m -2=0，∴（x +m -2）（x +1）=0，∴x 1=2-m ,x 2=-1．∵该方程有一个根是正数，∴2-m >0，∴m <2．【解答】22．（5分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，A （-2，4），B （-2，0），将△OAB 绕原点O 顺时针旋转90°得到△OA 'B '（A '，B '分别是A ，B 的对应点）．（1）在图中画出△OA ′B ′，点A '的坐标为 ；（2）若点M （m ,2）位于△OAB 内（不含边界），点M '为点M 绕原点O 顺时针旋转90°的对应点，直接写出M '的纵坐标n 的取值范围．解：（1）如图，△OA ′B ′即为所求．由图可得，A '（4，2）．故答案为：（4，2）．（2）由题意得，-2<m <-1，∴点M '在线段CD 上，且不与点C ，D 重合，∴1<n <2．【解答】23．（5分）阅读下面的材料并完成解答．《田亩比类乘除捷法》是我国南宋数学家杨辉的著作，其中记载了这样一个数学问题：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，欲先求阔步，得几何？”意思是：一块矩形田地的面积为864平方步，只知道它的长与宽之和为60步，问它的宽是多少步？书中记载了这个问题的几何解法：①将四个完全相同的面积为864平方步的矩形，按如图所示的方式拼成一个大正方形，则大正方形的边长为步；②中间小正方形的面积为平方步；③若设矩形田地的宽为x 步，则小正方形的面积可用含x 的代数式表示为 ；④由②③可得关于x 的方程 ，进而解得矩形田地的宽为24步．解：①∵矩形田地的长与宽之和为60步，∴按如图所示的方式拼成一个大正方形，则大正方形的边长为60步．故答案为：60；②根据题意得：中间小正方形的面积为60×60-864×4=144（平方步）．故答案为：144；③若设矩形田地的宽为x 步，则长为（60-x ）步，中间小正方形的边长为（60-x -x ）=（60-2x ）步，【解答】∴小正方形的面积为（60-2x ）2平方步．故答案为：（60-2x ）2平方步；④由②③可得关于x 的方程：（60-2x ）2=144．故答案为：（60-2x ）2=144．24．（6分）在平面直角坐标系xOy 中，二次函数y =x 2+bx +c 的图象经过点（1，0），（3，0）．（1）求该二次函数的解析式；（2）当x >3时，对于x 的每一个值，函数y =x +n 的值小于二次函数y =x 2+bx +c 的值，直接写出n 的取值范围．解：（1）∵二次函数y =x 2+bx +c 的图象经过点（1，0），（3，0），∴二次函数解析式为y =（x -1）（x -3），即y =x 2-4x +3；（2）当直线y =x +n 经过点（3，0）时，3+n =0，解得n =-3，此时函数y =x +n 的值等于二次函数y =x 2+bx +c 的值，所以当n ≤-3时，数y =x +n 的值小于二次函数y =x 2+bx +c 的值，即n 的取值范围为n ≤-3．【解答】25．（6分）在投掷实心球时，球以一定的速度斜向上抛出，不计空气阻力，在空中划过的运动路线可以看作是抛物线的一部分．如图，建立平面直角坐标系xOy ,实心球从出手到落地的过程中，它的竖直高度y （单位：m ）与水平距离x （单位：m ）近似满足二次函数关系，记出手点与着陆点的水平距离为投掷距离．（1）小刚第一次投掷时水平距离x 与竖直高度y 的几组数据如下：水平距离x /m01234竖直高度y /m 1.6 2.1 2.42.5 2.4①根据上述数据，实心球运行的竖直高度的最大值为m ；②求小刚第一次的投掷距离；（2）已知第二次投掷出手点竖直高度与第一次相同，且实心球达到最高点时水平距离与第一次也相同．若小刚第二次投掷距离比第一次远，则实心球第二次运行过程中竖直高度的最大值比第一次 （填“大”或“小”）．解：（1）①由表格数据可知，抛物线的对称轴为直线x =2+42=3，当x =3时，y =2.5，故答案为：2.5；②设抛物线的解析式为：y =a （x -3）2+2.5，∵当x =0时，y =1.6，∴1.6=a ×32+2.5，解得a =−110，∴抛物线的解析式为：y =−110（x -3）2+2.5，当y =0时，0=−110（x -3）2+2.5，解得x 1=-2（舍去），x 2=8，答：小刚第一次的投掷距离为8m ；（2）∵第二次投掷实心球达到最高点时水平距离与第一次也相同，∴第二次投掷抛物线对称轴与第一次对称轴相同，又∵第二次投掷出手点竖直高度与第一次相同，第二次投掷距离比第一次远，∴实心球第二次运行过程中竖直高度的最大值比第一次小，故答案为：小．【解答】26．（6分）已知二次函数y =12x 2+bx +1．（1）若b =-1，求该二次函数图象的对称轴及最小值；（2）若对于任意的0≤x ≤2，都有y ≥-1，求b 的取值范围．解：（1）当b =-1时，y =12x 2+bx +1=12x 2-x +1=12（x -1）2+12，∴二次函数图象的对称轴为直线x =1，最小值为12；（2）∵y =12x 2+bx +1，∴对称轴为直线x =-b 2×12=-b ,①当x =-b ≤0，即b ≥0时，∴当0≤x ≤2时，y 随x 的增大而增大，∴当x =0时，y 最小，最小值为1>-1，∴b ≥0；②当0<-b <2时，即-2<b <0，此时对称轴在0～2段内，∴当x =-b 时y 有最小值，∴y min =12×（-b ）2+b ×（-b ）+1=-12b 2+1，令-12b 2+1≥-1，解得-2≤b ≤2，∴-2<b <0；③当x =-b ≥2时，即b ≤-2，∴当0≤x ≤2时，y 随x 的增大而减小，∴当x =2时，y min =12×22+2b +1=2b +3≥-1，解得b ≥-2，∴b =-2，综上所述，b 的取值范围为b ≥-2．【解答】27．（7分）如图，在△ABC 中，AC =BC ，∠ACB =90°，点D 在AB 上（BD <AD ），过点D 作DE ⊥BC 于点E ，连接AE ，将线段EA 绕点E 顺时针旋转90°，得到线段EF ，连接DF ．（1）依题意补全图形；（2）求证：FD =AB ；（3）DF 交BC 于点G ，用等式表示线段CE 和FG 的数量关系，并证明．（1）解：如图所示：（2）证明：∵AC =BC ，∠ACB =90°，∴∠B =∠BAC =45°，∵DE ⊥BC ，∴∠B =∠BDE =45°，∴BE =DE ，∵将线段EA 绕点E 顺时针旋转90°，得到线段EF ，∴AE =EF ，∠AEF =90°=∠BED ，∴∠BEA =∠DEF ，∴△BEA ≌△DEF （SAS ），∴FD =AB ；（3）FG =2CE ，理由如下：如图，过点D 作DH ⊥AC 于H ，又∵DE ⊥BC ，AC ⊥BC ，∴四边形DECH 是矩形，∴EC =DH ，∵DH ⊥AC ，∠BAC =45°，∴△ADH 是等腰直角三角形，∴AD =2DH =2EC ，∵△BEA ≌△DEF ，∴∠B =∠EDG =45°，∴DE =DG ，∵∠AEF =∠DEC =90°，∴∠DEA =∠CEF ，又∵AE =EF ，∴△DEA ≌△GEF （SAS ），∴FG =AD ，∴FG =2CE ．【解答】√√√√28．（7分）在平面直角坐标系xOy 中，已知点M 不与原点重合．对于点P 给出如下定义：点P 关于点M 的对称点为P ′，点P ′关于直线OM 的对称点为Q ，称点Q 是点P 关于点M 的“转称点”．（1）如图，已知点M （t ,0），P （t +1，1），点Q 是点P 关于点M 的“转称点”．①当t =2时，在图中画出点Q 的位置，并直接写出点Q 的坐标；②PQ 的长度是否与t 有关？若无关，求PQ 的长；若有关，说明理由；（2）已知点A （3，4），△ABC 是边长为2的等边三角形（点A ，B ，C 按逆时针方向排列），点N 是点B 关于点C 的“转称点”，在△A BC 绕点A 旋转的过程中，当BN 最大时，直接写出此时OB 的长．解：（1）①当t =2时，点M （2，0），P （3，1），如图：∵点Q 是点P 关于点M 的“转称点”．∴P ′（1，-1），Q （1，1）；②∵点M （t ,0），P （t +1，1），∴P ′（t -1，-1），Q （t -1，1），∴PQ ∥x 轴，∴PQ =t +1-（t -1）=2；∴PQ 的长度与t 有无关，PQ 的长为2；（2）如图：由“转称点”的定义得C 为BB ′的中点，D 为NB ′的中点，∴CD ∥BN ，CD =12BN ，∴当CD 最大时，BN 最大，由图得在△ABC 绕点A 旋转的过程中，当O 、B ，C 、B ′共线时，BN 最大，如图：∵△ABC 是边长为2的等边三角形【解答】∴BC =CB ′=2，AH =3，BH =1，∵点A （3，4），∴OA =32+42=5，∴OH =OA 2−AH 2=52−(3)2=22，∴OB =22-1．√√√√√√√。

2015-2016 学年北京市海淀区九年级（上）期末数学试卷一、选择题（本题共30 分，每小题3 分）1．（3 分）在△ABC 中，∠C＝90°，BC＝3，AB＝5，则sin A 的值是（）A． B． C． D．2．（3 分）如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，若∠AOB＝100°，则∠ACB 的度数是（）A．40°B．50°C．60°D．80°3．（3 分）抛物线y＝（x﹣2）2+1 的顶点坐标是（）A．（﹣2，﹣1）B．（﹣2，1）C．（2，﹣1）D．（2，1）4．（3 分）若点A（a，b）在双曲线上，则代数式ab﹣4 的值为（）A．﹣12 B．﹣7 C．﹣1 D．15．（3分）如图，在▱ABCD 中，E 是AB 的中点，EC 交BD 于点F，则△BEF 与△DCF 的面积比为（）A． B． C． D．6．（3 分）抛物线y＝2x2 向左平移1 个单位，再向下平移3 个单位，则平移后的抛物线的解析式为（）A．y＝2（x+1）2+3 B．y＝2（x+1）2﹣3C．y＝2（x﹣1）2﹣3 D．y＝2（x﹣1）2+37．（3分）已知点（x1，y1）、（x2，y2）、（x3，y3）在双曲线上，当x1＜0＜x2＜x3 时，y1、y2、y3 的大小关系是（）A．y1＜y2＜y3 B．y1＜y3＜y2 C．y3＜y1＜y2 D．y2＜y3＜y18．（3 分）如图，AB 是⊙O 的直径，C、D 是圆上的两点．若BC＝8，，则AB 的长为（）B．C．D．129．（3分）在平面直角坐标系xOy 中，A为双曲线上一点，点B 的坐标为（4，0）．若△AOB 的面积为6，则点A 的坐标为（）A．（﹣4，）B．（4，）C．（﹣2，3）或（2，﹣3）D．（﹣3，2）或（3，﹣2）10．（3 分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y＝x2+bx+c 与x 轴只有一个交点M，与平行于x 轴的直线l 交于A、B 两点，若AB＝3，则点M 到直线l 的距离为（）A． B． C．2 D．二、填空题（本题共18 分，每小题3 分）11．（3 分）请写一个图象在第二、四象限的反比例函数解析式：．12．（3 分）已知关于x 的方程x2﹣6x+m＝0 有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是．13．（3 分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，△ABC 与△A′B′C′顶点的横、纵坐标都是整数．若△ABC 与△A′B′C′是位似图形，则位似中心的坐标是．A．14．（3 分）如图，正比例函数y＝mx（m≠0）与反比例函数y＝的图象交于A、B 两点，若点A 的坐标为（1，2），则点B 的坐标是．15．（3 分）古算趣题：“笨人执竿要进屋，无奈门框拦住竹，横多四尺竖多二，没法急得放声哭．有个邻居聪明者，教他斜竿对两角，笨伯依言试一试，不多不少刚抵足．借问竿长多少数，谁人算出我佩服．”若设竿长为x 尺，则可列方程为．16．（3 分）正方形CEDF 的顶点D、E、F 分别在△ABC 的边AB、BC、AC 上．（1）如图，若tan B＝2，则的值为；（2）将△ABC 绕点 D 旋转得到△A′B′C′，连接BB′、CC′．若，则tan B 的值为．三、解答题（本题共72 分，第17～26 题，每小题5 分，第27 题6 分，第28 题8 分，第29 题8 分）17．（5 分）计算：sin30°+3tan60°﹣cos245°．18．（5 分）解方程：x2+2x﹣5＝0．19．（5 分）如图，D 是AC 上一点，DE∥AB，∠B＝∠DAE．求证：△ABC∽△DAE．20．（5 分）已知m 是方程x2+x﹣1＝0 的一个根，求代数式（m+1）2+（m+1）（m﹣1）的值．21．（5 分）已知二次函数y＝x2+bx+8 的图象与x 轴交于A、B 两点，点A 的坐标为（﹣2，0），求点B 的坐标．22．（5 分）如图，矩形ABCD 为某中学课外活动小组围建的一个生物苗圃园，其中两边靠墙（墙足够长），另外两边用长度为16 米的篱笆（虚线部分）围成．设AB 边的长度为x 米，矩形ABCD 的面积为y 平方米．（1）y 与x 之间的函数关系式为（不要求写自变量的取值范围）；（2）求矩形ABCD 的最大面积．23．（5 分）如图，在△ABC 中，∠ACB＝90°，D 为AC 上一点，DE⊥AB 于点E，AC＝12，BC＝5．（1）求cos∠ADE 的值；（2）当DE＝DC 时，求AD 的长．24．（5 分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，双曲线y＝与直线y＝kx﹣2 交于点A （3，1）．（1）求直线和双曲线的解析式；（2）直线y＝kx﹣2 与x 轴交于点B，点P 是双曲线y＝上一点，过点P 作直线PC∥x 轴，交y 轴于点C，交直线y＝kx﹣2 于点D．若DC＝2OB，直接写出点P 的坐标为．25．（5 分）如图，小嘉利用测角仪测量塔高，他分别站在A、B 两点测得塔顶的仰角α＝45°，β＝50°．AB 为10 米．已知小嘉的眼睛距地面的高度AC 为1.5 米，计算塔的高度．（参考数据：sin50°取0.8，cos50°取0.6，tan50°取1.2）26．（5 分）如图，△ABC 内接于⊙O，过点B 作⊙O 的切线DE，F 为射线BD 上一点，连接CF．（1）求证：∠CBE＝∠A；（2）若⊙O 的直径为5，BF＝2，tan A＝2，求CF 的长．27．（6 分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，定义直线x＝m 与双曲线y n＝的交点A m，n（m、n 为正整数）为“双曲格点”，双曲线y n＝在第一象限内的部分沿着竖直方向平移或以平行于x 轴的直线为对称轴进行翻折之后得到的函数图象为其“派生曲线”．（1）①“双曲格点”A2，1 的坐标为；②若线段A4，3A4，n 的长为1 个单位长度，则n＝；（2）图中的曲线f 是双曲线y1＝的一条“派生曲线”，且经过点A2，3，则f 的解析式为y＝；（3）画出双曲线y3＝的“派生曲线”g（g 与双曲线y3＝不重合），使其经过“双曲格点”A2，a、A3，3、A4，b．28．（8 分）（1）如图1，△ABC 中，∠C＝90°，AB 的垂直平分线交AC 于点D，连接BD．若AC＝2，BC＝1，则△BCD 的周长为；（2）O 为正方形ABCD 的中心，E 为CD 边上一点，F 为AD 边上一点，且△EDF 的周长等于AD 的长．①在图2 中求作△EDF（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；②在图3 中补全图形，求∠EOF 的度数；③若，则的值为．29．（8 分）在平面直角坐标系xOy 中，定义直线y＝ax+b 为抛物线y＝ax2+bx 的特征直线，C （a，b）为其特征点．设抛物线y＝ax2+bx 与其特征直线交于A、B 两点（点A在点B 的左侧）．（1）当点A 的坐标为（0，0），点B 的坐标为（1，3）时，特征点C 的坐标为；（2）若抛物线y＝ax2+bx 如图所示，请在所给图中标出点A、点B 的位置；（3）设抛物线y＝ax2+bx 的对称轴与x 轴交于点D，其特征直线交y 轴于点E，点F 的坐标为（1，0），DE∥CF．①若特征点C 为直线y＝﹣4x 上一点，求点D 及点C 的坐标；②若＜tan∠ODE＜2，则b 的取值范围是．2015-2016 学年北京市海淀区九年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共30 分，每小题3 分）1．（3 分）在△ABC 中，∠C＝90°，BC＝3，AB＝5，则sin A 的值是（）A． B． C． D．【分析】根据锐角的正弦为对边比斜边，计算即可．【解答】解：∵∠C＝90°，BC＝3，AB＝5，∴sin A＝＝，故选：A．【点评】本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．2．（3 分）如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，若∠AOB＝100°，则∠ACB 的度数是（）A．40°B．50°C．60°D．80°【分析】已知⊙O 是△ABC 的外接圆，∠AOB＝100°，根据圆周角定理可求得∠ACB 的度数．【解答】解：∵⊙O 是△ABC 的外接圆，∠AOB＝100°，∴∠ACB＝∠AOB＝×100°＝50°．故选：B．【点评】本题主要考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半．3．（3 分）抛物线y＝（x﹣2）2+1 的顶点坐标是（）A．（﹣2，﹣1）B．（﹣2，1）C．（2，﹣1）D．（2，1）【分析】已知抛物线的顶点式，可知顶点坐标和对称轴．【解答】解：∵y＝（x﹣2）2+1 是抛物线的顶点式，根据顶点式的坐标特点可知，对称轴为直线x＝2，故选：D．【点评】考查了二次函数的性质，顶点式y＝a（x﹣h）2+k，顶点坐标是（h，k），对称轴是x＝h．4．（3 分）若点A（a，b）在双曲线上，则代数式ab﹣4 的值为（）A．﹣12 B．﹣7 C．﹣1 D．1【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征得到k＝xy，由此求得ab 的值，然后将其代入所求的代数式进行求值即可．【解答】解：∵点A（a，b）在双曲线上，∴3＝ab，∴ab﹣4＝3﹣4＝﹣1．故选：C．【点评】本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征，所有在反比例函数上的点的横纵坐标的积应等于比例系数．5．（3分）如图，在▱ABCD 中，E 是AB 的中点，EC 交BD 于点F，则△BEF 与△DCF 的面积比为（）A． B． C． D．【分析】先根据平行四边形的性质得AB∥CD，AB＝CD，而E 是AB 的中点，BE＝AB＝CD，再证明△BEF∽△DCF，然后根据相似三角形的性质可计算的值．【解答】解：∵四边形ABCD 为平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD，∵E 是AB 的中点，∴BE＝AB＝CD；∵BE∥CD，∴△BEF∽△DCF，∴＝（）2＝．故选：C．【点评】本题考查了三角形相似的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；在运用相似三角形的性质时主要利用相似比计算相应线段的长．6．（3 分）抛物线y＝2x2 向左平移1 个单位，再向下平移3 个单位，则平移后的抛物线的解析式为（）A．y＝2（x+1）2+3 B．y＝2（x+1）2﹣3C．y＝2（x﹣1）2﹣3 D．y＝2（x﹣1）2+3【分析】根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可．【解答】解：由“左加右减、上加下减”的原则可知，把抛物线y＝2x2 的图象向左平移1 个单位，再向下平移3 个单位，则平移后的抛物线的表达式为y＝2（x+1）2﹣3．故选：B．【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．7．（3分）已知点（x1，y1）、（x2，y2）、（x3，y3）在双曲线上，当x1＜0＜x2＜x3 时，y1、y2、y3 的大小关系是（）A．y1＜y2＜y3 B．y1＜y3＜y2 C．y3＜y1＜y2 D．y2＜y3＜y1【分析】先根据反比例函数的解析式判断出函数图象所在的象限及其增减性，再由x1＜0＜x2＜x3 判断出各点所在的象限，进而可得出结论．【解答】解：∵函数中，k＝1＞0，∴此函数的图象的两个分支位于一三象限，且在每一象限内，y 随x 的增大而减小．∵x1＜0＜x2＜x3，∴点 A （x 1，y 1）在第三象限，B （x 2，y 2）、C （x 3，y 3）在第一象限，∴y 1＜0，0＜y 3＜y 2，∴y 1＜y 3＜y 2． 故选：B ．【点评】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的 坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．8．（3 分）如图，AB 是⊙O 的直径，C 、D 是圆上的两点．若 BC ＝8，，则 AB 的长为（ ）B ．C ．D ．12【分析】连接 AC ，根据圆周角定理得到∠B ＝∠D ，∠ACB ＝90°，根据余弦的定义计 算即可．【解答】解：连接 AC ， 由圆周角定理得，∠B ＝∠D ，∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90°，∴cos B ＝ ＝，又 BC ＝8，∴AB ＝12，故选：D ．【点评】本题考查的是圆周角定理和锐角三角函数的定义，掌握在同圆或等圆中，同弧 或等弧所对的圆周角相等、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．9．（ 3 分） 在平面直角坐标系 xOy 中， A 为双曲线上一点， 点 B 的坐标为（ 4， 0）．若△AOB 的面积为 6，则点 A 的坐标为（ ）A ．A．（﹣4，）B．（4，）C．（﹣2，3）或（2，﹣3）D．（﹣3，2）或（3，﹣2）【分析】设点A 的坐标为（﹣，a），根据点B 的坐标为（4，0），△AOB 的面积为6，列方程即可得到结论．【解答】解：设点A 的坐标为（﹣，a），∵点B 的坐标为（4，0）．若△AOB 的面积为6，∴S△AOB＝4×|a|＝6，解得：a＝±3，∴点A 的坐标为（﹣2，3）（2．﹣3）．故选：C．【点评】本题考查了反比例函数系数k 的几何意义，三角形的面积的计算，在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是，且保持不变．10．（3 分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y＝x2+bx+c 与x 轴只有一个交点M，与平行于x 轴的直线l 交于A、B 两点，若AB＝3，则点M 到直线l 的距离为（）A． B． C．2 D．【分析】设M 到直线l 的距离为m，则有x2+bx+c＝m 两根的差为3，又x2+bx+c＝0 时，△＝0，列式求解即可．【解答】解：抛物线y＝x2+bx+c 与x 轴只有一个交点，∴△＝b2﹣4ac＝0，∴b2﹣4c＝0，设M 到直线l 的距离为m，则有x2+bx+c＝m 两根的差为3，可得：b2﹣4（c﹣m）＝9，解得：m＝．故选：B．【点评】此题主要考查抛物线与x 轴和直线的交点问题，会用根的判别式和根与系数的关系进行列式求解是解题的关键．二、填空题（本题共18 分，每小题3 分）11．（3 分）请写一个图象在第二、四象限的反比例函数解析式： y＝﹣．【分析】根据反比例函数的性质可得k＜0，写一个k＜0 的反比例函数即可．【解答】解：∵图象在第二、四象限，∴y＝﹣，故答案为：y＝﹣．【点评】此题主要考查了反比例函数（k≠0），（1）k＞0，反比例函数图象在一、三象限；（2）k＜0，反比例函数图象在第二、四象限内．12．（3 分）已知关于x 的方程x2﹣6x+m＝0 有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是m＜9 ．【分析】若一元二次方程有两个不相等的实数根，则根的判别式△＝b2﹣4ac＞0，建立关于m 的不等式，解不等式即可求出m 的取值范围．【解答】解：∵关于x 的方程x2﹣6x+m＝0 有两个不相等的实数根，∴△＝b2﹣4ac＝（﹣6）2﹣4m＝36﹣4m＞0，解得：m＜9．故答案为m＜9．【点评】本题考查了根的判别式，一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac 有如下关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△＝0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．13．（3 分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，△ABC 与△A′B′C′顶点的横、纵坐标都是整数．若△ABC 与△A′B′C′是位似图形，则位似中心的坐标是（8，0）．【分析】根据位似图形的主要特征：每对位似对应点与位似中心共线画图解答．【解答】解：直线AA′与直线BB′的交点坐标为（8，0），所以位似中心的坐标为（8，0）．故答案为：（8，0）【点评】本题考查的是位似图形的概念，如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．14．（3 分）如图，正比例函数y＝mx（m≠0）与反比例函数y＝的图象交于A、B 两点，若点A 的坐标为（1，2），则点B 的坐标是（﹣1，﹣2）．【分析】由题意，点A 的坐标适合正反比例函数的解析式，把点A 的坐标（1，2）代入y＝mx（m≠0）与y＝，分别求出m、n 的值为2、2．即正比例函数y＝2x①与反比例函数y＝②，利用①②组成的方程组可得：2x＝，得x＝±1，故点B 的横坐标为﹣1，纵坐标为﹣2．【解答】解：把点A 的坐标为（1，2）代入y＝mx 与y＝，得m＝2，n＝2．即y＝2x①，y＝②，解之得：x＝±1，将x＝﹣1 代入①得y＝﹣2，∴点B 的坐标是（﹣1，﹣2）．方法二：∵A、B 关于原点对称，A（1，2），∴B（﹣1，﹣2）．故答案为：（﹣1，﹣2）．【点评】本题可将问题转化为方程来求解．图象经过点，则点适合方程．15．（3 分）古算趣题：“笨人执竿要进屋，无奈门框拦住竹，横多四尺竖多二，没法急得放声哭．有个邻居聪明者，教他斜竿对两角，笨伯依言试一试，不多不少刚抵足．借问竿长多少数，谁人算出我佩服．”若设竿长为x 尺，则可列方程为（x﹣2）2+（x﹣4）2＝x2 ．【分析】设竿长为x 尺，根据题意可得，则房门的宽为x﹣4，高为x﹣2，对角线长为x，然后根据勾股定理列出方程．【解答】解：设竿长为x 尺，由题意得，（x﹣2）2+（x﹣4）2＝x2．故答案为：（x﹣2）2+（x﹣4）2＝x2．【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解答本题的关键是根据题意表示出各个边的长度以及勾股定理的应用．16．（3 分）正方形CEDF 的顶点D、E、F 分别在△ABC 的边AB、BC、AC 上．（1）如图，若tan B＝2，则的值为；（2）将△ABC 绕点 D 旋转得到△A′B′C′，连接BB′、CC′．若，则tan B 的值为．【分析】（1）由正方形的性质得ED＝EC，∠CED＝90°，再在Rt△BDE 中，利用正切的定义得到DE＝2BE，则CE＝BE，所以＝；（2）连结DC、DC′，如图，根据旋转的性质得DB＝DB′，DC＝DC′，∠BDB′＝∠CDC′，则可判断△DBB′∽△DCC′，根据相似三角形的性质得＝＝，则可设DC＝3 x，BD＝5x，然后利用正方形性质得DE＝3x，接着利用勾股定理计算出BE＝4x，最后根据正切的定义求解．【解答】解：（1）∵四边形CEDF 为正方形，∴ED＝EC，∠CED＝90°，在Rt△BDE 中，∵tan B＝＝2，∴DE＝2BE，∴＝＝；（2）连结DC、DC′，如图，∵△ABC 绕点D 旋转得到△A′B′C′，∴DB＝DB′，DC＝DC′，∠BDB′＝∠CDC′，即＝，∴△DBB′∽△DCC′，∴＝＝，设DC＝3x，BD＝5x，∵四边形CEDF 为正方形，∴DE＝3x，在Rt△BDE 中，BE＝＝＝4x，∴tan B＝＝＝．故答案为，．【点评】本题考查了三角形相似的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；在运用相似三角形的性质时主要利用相似比计算相应线段的长和得到对应角相等．解决（2）的关键是证明△DBB′∽△DCC ′得到＝．三、解答题（本题共72 分，第17～26 题，每小题5 分，第27 题6 分，第28 题8 分，第29 题8 分）17．（5 分）计算：sin30°+3tan60°﹣cos245°．【分析】将特殊角的三角函数值带入求解．【解答】解：原式＝+3 ﹣＝．【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值．18．（5 分）解方程：x2+2x﹣5＝0．【分析】根据配方法的步骤先把常数项移到等号的右边，再在左右两边同时加上一次项系数2 的一半的平方，配成完全平方的形式，然后开方即可．【解答】解：x2+2x﹣5＝0x2+2x＝5，x2+2x+1＝6，（x+1）2＝6，x+1＝±，x1＝﹣1+，x2＝﹣1﹣．【点评】此题考查了配方法解一元二次方程，一元二次方程的解法有直接开平方方法，公式法，配方法，因式分解法等等，学生在平时的训练中，学会根据方程的特征，选择恰当的方法，提高解题效率．19．（5 分）如图，D 是AC 上一点，DE∥AB，∠B＝∠DAE．求证：△ABC∽△DAE．【分析】由平行线的性质得出∠CAB＝∠EDA．再由已知条件即可得出结论．【解答】证明：∵DE∥AB，∴∠CAB＝∠EDA．∵∠B＝∠DAE，∴△ABC∽△DAE．【点评】本题考查了相似三角形的判定方法、平行线的性质；熟练掌握平行线的性质，熟记两角相等的两个三角形相似是解决问题的关键．20．（5 分）已知m 是方程x2+x﹣1＝0 的一个根，求代数式（m+1）2+（m+1）（m﹣1）的值．【分析】由m 为已知方程的解，将x＝m 代入方程求出m2+m 的值，原式整理后代入计算即可求出值．【解答】解：把x＝m 代入方程得：m2+m﹣1＝0，即m2+m＝1，则原式＝m2+2m+1+m2﹣1＝2（m2+m）＝2．【点评】此题考查了一元二次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．21．（5 分）已知二次函数y＝x2+bx+8 的图象与x 轴交于A、B 两点，点A 的坐标为（﹣2，0），求点B 的坐标．【分析】先把A 点坐标代入y＝x2+bx+8 中求出b 的值，从而得到二次函数解析式为y＝x2+6x+8，然后解方程x2+6x+8＝0 即可得到B 点坐标．【解答】解：∵二次函数y＝x2+bx+8 的图象与x 轴交于点A （﹣2，0），∴0＝4﹣2b+8，∴b＝6，∴二次函数解析式为y＝x2+6x+8，当y＝0 时，x2+6x+8＝0，解得x1＝﹣2，x2＝﹣4，∴抛物线与x 轴的交点B 的坐标为（﹣4，0）．【点评】本题考查了抛物线与x 轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c 是常数，a≠0）与x 轴的交点坐标问题转化为解关于x 的一元二次方程．22．（5 分）如图，矩形ABCD 为某中学课外活动小组围建的一个生物苗圃园，其中两边靠墙（墙足够长），另外两边用长度为16 米的篱笆（虚线部分）围成．设AB 边的长度为x 米，矩形ABCD 的面积为y 平方米．（1）y 与x 之间的函数关系式为y＝﹣x2+16x （不要求写自变量的取值范围）；（2）求矩形ABCD 的最大面积．【分析】（1）设AB 边的长度为x 米，CB 的长为（16﹣x）米，利用矩形的面积公式列出矩形面积y 与x 的关系式；（2）利用配方法求得函数的最大值即可．【解答】解：（1）y＝（16﹣x）x＝﹣x2+16x；（2）∵y＝﹣x2+16x，∴y＝﹣（x﹣8）2+64．∵0＜x＜16，∴当x＝8 时，y 的最大值为64．答：矩形ABCD 的最大面积为64 平方米．【点评】此题考查了二次函数的实际应用问题．解题的关键是根据矩形的面积构建二次函数模型，然后根据二次函数的性质求解即可．23．（5 分）如图，在△ABC 中，∠ACB＝90°，D 为AC 上一点，DE⊥AB 于点E，AC＝12，BC＝5．（1）求cos∠ADE 的值；（2）当DE＝DC 时，求AD 的长．【分析】（1）根据三角形的内角和得到∠A+∠ADE＝90°，∠A+∠B＝90°，根据余角的性质得到∠ADE＝∠B，根据勾股定理得到AB＝13，由三角函数的定义即可得到结论；（2）由（1）得，设AD 为x，则，由于AC＝AD+CD ＝12，列方程即可得到结论．【解答】解：（1）∵DE⊥AB，∴∠DEA＝90°，∴∠A+∠ADE＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠A+∠B＝90°，∴∠ADE＝∠B，在Rt△ABC 中，∵AC＝12，BC＝5，∴AB＝13，∴，∴；（2）由（1）得，设AD 为x，则，∵AC＝AD+CD＝12，∴，解得，∴．【点评】本题考查了解直角三角形，正确掌握解直角三角形的方法是解题的关键．24．（5 分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，双曲线y＝与直线y＝kx﹣2 交于点A （3，1）．（1）求直线和双曲线的解析式；（2）直线y＝kx﹣2 与x 轴交于点B，点P 是双曲线y＝上一点，过点P 作直线PC∥ x 轴，交y 轴于点C，交直线y＝kx﹣2 于点D．若DC＝2OB，直接写出点P 的坐标为P（，2）或（﹣，﹣6）．【分析】（1）把A 的坐标分别代入双曲线y＝与直线y＝kx﹣2，根据待定系数法即可求得；（2）根据平行线分线段成比例定理得出＝＝，得出CF＝2OF，即可求得直线CD 与y 轴的交点坐标，从而求得P 的纵坐标，代入（1）求得的解析式即可求得P 点的坐标．【解答】解：（1）∵直线y＝kx﹣2 过点A（3，1），∴1＝3k﹣2．∴k＝1．∴直线的解析式为y＝x﹣2．∵双曲线y＝过点A（3，1），∴m＝3．∴双曲线的解析式为．（2）∵PC∥x 轴，DC＝2OB，∴＝＝，∴CF＝2OF，由直线y＝x﹣2 可知F（0，﹣2），∴OF＝2，∴CF＝4，∴C 的坐标为（0，2）或（0，﹣6），∴P 的纵坐标为2 或﹣6，代入y＝得，2＝，解得x＝，﹣6＝，解得x＝﹣，∴P（，2）或（﹣，﹣6）．故答案为P（，2）或（﹣，﹣6）．【点评】本题考查了用待定系数法求一次函数的解析式和反比例函数的解析式，一次和图象上点的坐标特征，平行线分线段成比例定理的应用，求得直线CD 与y 轴的交点坐标是解题的关键．25．（5 分）如图，小嘉利用测角仪测量塔高，他分别站在A、B 两点测得塔顶的仰角α＝45°，β＝50°．AB 为10 米．已知小嘉的眼睛距地面的高度AC 为1.5 米，计算塔的高度．（参考数据：sin50°取0.8，cos50°取0.6，tan50°取1.2）【分析】设EF＝x 米，在Rt△FCE 中，∠FCE＝∠FEC＝45°，可得出FC＝EF，FD ＝x﹣10，在Rt△FBE 中利用锐角三角函数的定义即可求出x 的值，进而可得出结论．【解答】解：如图，依题意，可得CD＝AB＝10，FG＝AC＝1.5，∠EFC＝90°，在Rt△EFD 中，∵β＝50°，，∴EF＝1.2FD，在Rt△EFC 中，∵α＝45°，∴CF＝EF＝1.2FD，∵CD＝CF﹣FD＝10，∴FD＝50，∴EF＝1.2FD＝60，∴EG＝EF+FG＝60+1.5＝61.5答：塔的高度为61.5 米．【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．26．（5 分）如图，△ABC 内接于⊙O，过点B 作⊙O 的切线DE，F 为射线BD 上一点，连接CF．（1）求证：∠CBE＝∠A；（2）若⊙O 的直径为5，BF＝2，tan A＝2，求CF 的长．【分析】（1）连接BO 并延长交⊙O 于点M，连接MC，根据圆周角定理求出∠A＝∠M，∠MCB＝90°，求出∠M+∠MBC＝90°，根据切线性质求出∠CBE+∠MBC＝90°，推出∠CBE＝∠M 即可；（2）过点C 作CN⊥DE 于点N，求出∠CNF＝90°，求出tan M＝tan∠CBE＝tan A＝2，解直角三角形求出BC、CN、BN，求出FN，根据勾股定理求出即可．【解答】（1）证明：如图，连接BO 并延长交⊙O 于点M，连接MC，∴∠A＝∠M，∠MCB＝90°，∴∠M+∠MBC＝90°，∵DE 是⊙O 的切线，∴∠CBE+∠MBC＝90°，∴∠CBE＝∠M，∴∠CBE＝∠A；（2）解：过点C 作CN⊥DE 于点N，∴∠CNF＝90°，由（1）得，∠M＝∠CBE＝∠A，∴tan M＝tan∠CBE＝tan A＝2，在Rt△BCM 中，∵BM＝5，tan M＝2，∴，在Rt△CNB 中，∵，∴CN＝4，BN＝2，∵BF＝2，∴FN＝BF+BN＝4，在Rt△FNC 中，∵FN＝4，CN＝4，∴．【点评】本题考查了解直角三角形，勾股定理，切线的性质，圆周角定理的应用，能求出∠M＝∠CBE＝∠A 是解此题的关键，题目比较好，难度偏大．27．（6 分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，定义直线x＝m 与双曲线y n＝的交点A m，n（m、n 为正整数）为“双曲格点”，双曲线y n＝在第一象限内的部分沿着竖直方向平移或以平行于x 轴的直线为对称轴进行翻折之后得到的函数图象为其“派生曲线”．（1）①“双曲格点”A2，1 的坐标为（2，）；②若线段A4，3A4，n 的长为1 个单位长度，则n＝7 ；（2）图中的曲线f 是双曲线y1＝的一条“派生曲线”，且经过点A2，3，则f 的解析式为y＝+1 ；（3）画出双曲线y3＝的“派生曲线”g（g 与双曲线y3＝不重合），使其经过“双曲格点”A2，a、A3，3、A4，b．【分析】（1）①把x＝2 代入y＝即可求得点的纵坐标；②首先求得A4，3A4，n 的坐标，然后根据线段A4，3A4，n 的长为1 个单位长度即可求得n 的值；（2）把x＝2 代入y＝求得点A2，3 的坐标，然后设f 的解析式为y＝+k，把点A2，3的坐标代入即可求得k 的值，进而求得代数式；（3）首先求得“双曲格点”A2，a、A3，3、A4，b 的坐标，把y＝进行上下平移或把y＝沿平行与x 轴的直线翻折，进行平移即可求得．【解答】解：（1）①把x＝2 代入y＝得：y＝，则A 的坐标是（2，）；②把x＝4 代入y＝得y＝．根据题意得：（4﹣2）2+（﹣）2＝1，解得：n＝7．故答案是：（2，），7；（2）把x＝2 代入y＝得y＝，则点A2，3 的坐标是（2，）．设f 的解析式为y＝+k，把（2，）代入，得＝+k，解得：k＝1．则f 的解析式是：；（3）把x＝2 代入y＝得y＝，则A2，a 的坐标是（2，）；把x＝3 代入y＝得y＝1，则A3，3 的坐标是（3，1）；把x＝4 代入y＝得y＝，则A4，b 的坐标是（4，）．如图．【点评】本题考查了反比例函数的图象的平移与翻折以及待定系数法求函数的解析式，理解“派生曲线”和“双曲格点”的定义，理解定义求得“双曲格点”的坐标是关键．28．（8 分）（1）如图1，△ABC 中，∠C＝90°，AB 的垂直平分线交AC 于点D，连接BD．若AC＝2，BC＝1，则△BCD 的周长为 3 ；（2）O 为正方形ABCD 的中心，E 为CD 边上一点，F 为AD 边上一点，且△EDF 的周长等于AD 的长．①在图2 中求作△EDF（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；②在图3 中补全图形，求∠EOF 的度数；③若，则的值为．【分析】（1）由线段垂直平分线的性质得出BD＝AD，得出△BCD 的周长＝BC+CD+BD＝BC+AC，即可得出结果；（2）①在AD 上截取AH＝DE，再作EH 的垂直平分线，交AD 于F，△EDF 即为所求；②连接OA、OD、OH，由正方形的性质得出∠1＝∠2＝45°，由SAS 证明△ODE≌△OAH，得出∠DOE＝∠AOH，OE＝OH，得出∠EOH＝90°，证出EF＝HF，由SSS 证明△EOF≌△HOF，得出∠EOF＝∠HOF＝45°即可；③作OG⊥CD 于G，OK⊥AD 于K，设AF＝8t，则CE＝9t，设OG＝m，由正方形的性质得出GE＝CE﹣CG＝9t﹣m，DE＝2CG﹣CE＝2m﹣9t，FK＝AF﹣KA＝8t﹣m，DF＝2DK﹣A F＝2m﹣8t，由HL 证明Rt△E OG≌Rt△H OK，得出GE＝K H，因此EF＝GE+FK＝17t﹣2m，由勾股定理得出方程，解方程求出m＝6t，得出OG＝OK＝6t，GE ＝9t﹣m＝9t﹣6t＝3t，FK＝8t﹣m＝2t，由勾股定理即可得出结果．【解答】解：（1）∵AB 的垂直平分线交AC 于点D，∴BD＝AD，∴△BCD 的周长＝BC+CD+BD＝BC+AC＝1+2＝3，故答案为：3；（2）①如图1 所示：△EDF 即为所求；②如图2 所示：AH＝DE，连接OA、OD、OH，∵点O 为正方形ABCD 的中心，∴OA＝OD，∠AOD＝90°，∠1＝∠2＝45°，在△ODE 和△OAH 中，，∴△ODE≌△OAH（SAS），∴∠DOE＝∠AOH，OE＝OH，∴∠EOH＝90°，∵△EDF 的周长等于AD 的长，∴EF＝HF，在△EOF 和△HOF 中，，∴△EOF≌△HOF（SSS），∴∠EOF＝∠HOF＝45°；③作OG⊥CD 于G，OK⊥AD 于K，如图3 所示：设AF＝8t，则CE＝9t，设OG＝m，∵O 为正方形ABCD 的中心，∴四边形OGDK 为正方形，CG＝DG＝DK＝KA＝AB＝OG，∴GE＝CE﹣CG＝9t﹣m，DE＝2CG﹣CE＝2m﹣9t，FK＝AF﹣KA＝8t﹣m，DF＝2DK﹣AF＝2m﹣8t，由（2）②知△EOF≌△HOF，∴OE＝OH，EF＝FH，在Rt△EOG 和Rt△HOK 中，，∴Rt△EOG≌Rt△HOK（HL），∴GE＝KH，∴EF＝GE+FK＝9t﹣m+8t﹣m＝17t﹣2m，由勾股定理得：DE2+DF2＝EF2，∴（2m﹣9t）2+（2m﹣8t）2＝（17t﹣2m）2，整理得：（m+6t）（m﹣6t）＝0，∴m＝6t，∴OG＝OK＝6t，GE＝9t﹣m＝9t﹣6t＝3t，FK＝8t﹣m＝2t，∴＝＝＝＝．故答案为．【点评】本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质、勾股定理、解方程等知识；本题综合性强，有一定难度，熟练掌握正方形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．29．（8 分）在平面直角坐标系xOy 中，定义直线y＝ax+b 为抛物线y＝ax2+bx 的特征直线，C（a，b）为其特征点．设抛物线y＝ax2+bx 与其特征直线交于A、B 两点（点A 在点B 的左侧）．（1）当点A 的坐标为（0，0），点B 的坐标为（1，3）时，特征点C 的坐标为（3，0）；（2）若抛物线y＝ax2+bx 如图所示，请在所给图中标出点A、点B 的位置；（3）设抛物线y＝ax2+bx 的对称轴与x 轴交于点D，其特征直线交y 轴于点E，点F 的坐标为（1，0），DE∥CF．①若特征点C 为直线y＝﹣4x 上一点，求点D 及点C 的坐标；②若＜tan∠ODE＜2，则b 的取值范围是或．【分析】（1）根据点A、B 求出直线解析式，得到a、b 值，即可写出点C 坐标；（2）联立直线与抛物线解析式，即可求出点A（1，a+b），B（﹣，0），根据图象描出两点即可；（3）求出点D 坐标，根据点F、C、E 坐标及平行四边形性质，即可求出特征点C 的坐标，根据已知和已证得：C（a，b），E（0，b），F（1，0），D（﹣，0），由CEDF 平行四边形性质可以得出b 关于a 的函数关系式，利用已知＜tan∠ODE＜2 求出a 的取值范围，进而求出b 的取值范围；【解答】解：（1）∵A（0，0），B（1.3），代入：直线y＝ax+b，解得：a＝3，b＝0，∴直线y＝3x，抛物线解析式：y＝3x2，∴C（3，0）．故答案为：（3，0）；（2）联立直线y＝ax+b 与抛物线y＝ax2+bx，得：ax2+（b﹣a）x﹣b＝0，∴（ax+b）（x﹣1）＝0，解得：x＝﹣，x＝1，∴A（1，a+b），B（﹣，0）．点A、点B 的位置如图所示；（3）①如图，∵特征点C 为直线y＝﹣4x 上一点，∴b＝﹣4a．∵抛物线y＝ax2+bx 的对称轴与x 轴交于点D，∴对称轴．∴点D 的坐标为（2，0）．∵点F 的坐标为（1，0），∴DF＝1．∵特征直线y＝ax+b 交y 轴于点E，∴点E 的坐标为（0，b）．∵点C 的坐标为（a，b），∴CE∥DF．∵DE∥CF，∴四边形DECF 为平行四边形．∴CE＝DF＝1．∴a＝﹣1．∴特征点C 的坐标为（﹣1，4）．②由已知和已证得：C（a，b），E（0，b），F（1，0），D（﹣，0），∵＜tan∠ODE＜2，∴＜＜2，∴＜| |＜2，解得：＜|2a|＜2，∴﹣1＜a＜﹣或＜a＜1，∵DE∥CF，CE∥DF，∴CE＝DF，由题意可得：1+ ＝a，（可以画出三种图象，由此得出这个结论）整理得：b＝2a2﹣2a即：b＝2（a﹣）2﹣当b＝2（a﹣）2﹣时，当﹣1＜a＜﹣，可得．当＜a＜1 时，可得﹣≤b＜0 综上所述：或﹣≤b＜0．【点评】题目考查了新定义特征点、特征线及二次函数综合应用，题目整体难易适中，对学生最大的难点在于对新定义的理解．适合学生对中考压轴题目训练．。