人教版初一数学 第3讲 数轴、相反数和绝对值

第七讲 绝对值一、相反数的定义定义：只有 不同的两个数叫做互为相反数. 特别地， 的相反数是0.相反数的求法：求一个数的相反数就是在这个数的前面加上“－”号，即a 的相反数是－a ，其实质是改变这个数的符号．例1 分别写出下列各数的相反数．－3，2，4.5，0，－ .练1 如图，表示互为相反数的两个数的点是________．二、多重符号的化简例2 化简下列各数：(1)－[＋(－1)]；(2)－{－[－…(－1) …]}. (2n －1)个负号，n 为正整数练1化简下列各数：(1)－[－(＋2)]＝______； (2)－[－(－2 017)]＝________；(3)－[＋(－18)]＝__________； (4) ． 三、相反数的性质－2.5与＋2.5，＋1与－1，＋3与－3性质：每一对数在数轴上的对应点位于原点的两侧，且到原点的距离相等．在一个数的前面添上“＋”号表示这个数本身．在一个数的前面添上“－”号表示原来这个数的相反数．例3 填空：(1) 的相反数为_______； (2)2是______的相反数；(3)x －y 的相反数为_______； (4)π－3的相反数是_______.练1 下列说法：①m 与－m 互为相反数，因此它们一定不相等；②相反数等于它本身的数只有0；③正数和负数互为相反数；④负数的相反数是正数；⑤a 的相反数一定是负数．其中正确的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4四、绝对值的定义定义：一般地，数轴上表示数a 的点与 的距离叫做数a 的绝对值，记作|a |.(这里的数a 可以是正数、负数和0).代数定义：一个正数的绝对值是 ；一个负数的绝对值是 ；0的绝对值是 ；任意一个数的绝对值为 ． 用式子表示为： 2=3⎧⎫⎡⎤⎛⎫⎨⎬ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎩⎭－＋－＋859－000a a a a ⎧⎪=⎨⎪（＞）；（＝）；163例4 写出下列各数的绝对值：，0， ， ，－4.5，－5. 五、绝对值的性质性质：互为相反数的两个数的绝对值 .1. 一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.2.非负性：任何有理数的绝对值都是 ，即 例6 下列各式中无论m 为何值，一定是正数的是( ) A. B. C. +1 D.－(－m )例7 已知 ，求x 与y 的相反数.练1若|a －1|＝a －1，则a 的取值范围是( )A ．a ≥1B ．a ≤1C ．a ＜1D ．a ＞1六、有理数的大小比较用数轴比较两数的大小：1. 在数轴上表示两个数，右边的数总比左边的数 ．2. 利用数轴比较大小关键有两步：一是在数轴上 ；二是观察表示数的点在数轴上的 ．有理数大小比较法则：a.正数都大于零，负数都小于零， 正数都大于负数．b.两个负数比较大小，绝对值大的反而小例8 已知有理数a ，b 在数轴上的位置如图，下列结论错误的是( )A ．|a |＜1＜|b |B ．1＜－a ＜bC ．1＜|a |＜bD ．－b ＜a ＜－1例9 下列说法正确的是( )A ．一个数的绝对值一定比0大B ．一个数的相反数一定比它本身小C ．绝对值等于它本身的数一定是正数D ．最小的正整数是115432－132－0.a m 1＋m m 42=0－＋＋x y七、课堂小练1．只有________不同的两个数互为相反数．相反数具有以下四个特征：(1) 相反数是________出现的；(2) 0的相反数是 ；(3) 在数轴上，表示互为相反数的两个点位于原点的两侧，到原点的距离________．2. 下列说法：①－2是相反数；② 2是相反数；③－2是2的相反数；④－2和2互为相反数．其中正确的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 3．运用相反数的意义化简多重符号，若数字前面的负号有偶数个，则结果为______数；若数字前面的负号有________数个，则结果为负数．4. 下列各组数中，不相等的是( )A ．－(＋2)和＋(－2)B ．－7和－(＋7)C ．＋(－5)和－(－5)D ．－[＋(－8)]和－[－(＋8)]5. 若一个数的相反数不是正数，则这个数一定是( )A ．正数B ．正数或零C ．负数D ．负数或零6. 如图，已知A ，B ，C ，D 四个点在一条没有标明原点的数轴上． (1)若点A 和点C 表示的数互为相反数，则原点为________；(2)若点B 和点D 表示的数互为相反数，则原点为________；(3)若点A 和点D 表示的数互为相反数，请在数轴上标出原点O 的位置．7. 是一个正方体纸盒的平面展开图，若在其中三个正方形A ，B ，C 内分别填入适当的数，使得折成正方体后相对面上的两个数互为相反数，则填入正方形A ，B ，C 内的数分别是多少？8. 数轴上表示数a 的点与原点的________，叫做数a 的绝对值，记作________，读作____________．9. 点M ，N ，P ，Q 在数轴上的位置如图所示，其中表示的数的绝对值最大的点是( )A ．MB ．NC ．PD ．Q 10. 一个正数的绝对值是它________；一个负数的绝对值是它的_________；______的绝对值是0.任何数都有且只有一个绝对值；互为相反数的两数绝对值_______，任何数的绝对值不可能是___数． 11. 若|x |＝4，则x 的值是( ) A ．4 B ．－4 C ．±4 D. 12.有理数比较大小的规定： (1)正数______0，0______负数，正数______负数．(2)两个负数比较大小，绝对值大的__________．1413.已知a＝－1，b＝－2，则()A．a<b B．|a|>|b| C．|a|<|b| D．a>|b|14.若a，b为有理数，a>0，b<0且|a|<|b|，那么a，b，－a，－b的大小关系是()A．b<－a<－b<a B．b<－b<－a<a C．b<－a<a<－b D．－a<－b<b<a 15.如果－a的相反数是最小的正整数，b是绝对值最小的数，求a＋b的值．16.有理数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示．(1) 在横线上填入“＞”或“＜”：a______0，b______0，c______0，|c|______|a|；(2)试在数轴上找出表示－a，－b，－c的点；(3)试用“＜”将a，－a，b，－b，c，－c，0连接起来．。

第三讲 绝对值和有关绝对值的化简【知识要点】（1）几何意义：一般地，数轴上表示数a 的点到原点的距离叫做数a 的绝对值，记作|a|。

（2）代数意义：①正数的绝对值是它的本身；②负数的绝对值是它的相反数；③零的绝对值是零。

也可以写成： ()()()||0a a a a a a ⎧⎪⎪=⎨⎪-⎪⎩当为正数当为0当为负数说明：（Ⅰ）|a|≥0即|a|是一个非负数；（II ）|a| 概念中蕴含分类讨论思想。

（3）绝对值的几何意义可以借助于数轴来认识，它与距离的概念密切相关．在数轴上表示一个数的点离开原点的距离叫这个数的绝对值．结合相反数的概念可知，除零外，绝对值相等的数有两个，它们恰好互为相反数．反之，相反数的绝对值相等也成立．由此还可得到一个常用的结论：任何一个实数的绝对值是非负数．【例题精选】例1、已知a 、b 、c 在数轴上位置如图：则代数式 | a | + | a+b | + | c －a | － | b －c | 的值等于（ A ）A ．－3aB ． 2c －aC ．2a －2bD ． b解：| a | + | a+b | + | c －a | － | b －c |=－a －(a+b)+(c －a)+b －c=－3a例2、已知y=｜x+2｜+｜x-1｜+｜x+1｜，求y 的最小值．3，几何方法及分类讨论两种方法讲解。

例3、x 是什么实数时，下列等式成立：(1)｜(x-2)+(x-4)｜=｜x-2｜+｜x-4｜；24≤≥x x 或(2)｜(7x+6)(3x-5)｜=(7x+6)(3x-5)．7635-≤≥x x 或1)1(+=--xx例4、化简：13++-xx分类例5、观察下列每对数在数轴上的对应点间的距离4与2-，3与5，2-与6-，4-与3. 并回答下列各题：（1）你能发现所得距离与这两个数的差的绝对值有什么关系吗？答：____相等.（2）若数轴上的点A表示的数为x，点B表示的数为―1，则A与B两点间的距离可以表示为．分析：点B表示的数为―1，所以我们可以在数轴上找到点B所在的位置。

第三讲绝对值【解析】原点两侧各有一个点到原点的距离为3，分别是表示3和－3的点．故选D．【答案】D．【例2】若|a＋1|＝3，则a－3的值为（）．A．－1 B．－7 C．－7或－1 D．2或－4【解析】（方法1）因为|a＋1|＝3，由绝对值的几何意义可得，数轴上表示数(a＋1)的点与原点的距离是3．故a＋1＝±3．所以a＝3－1＝2或a＝－3－1＝－4．所以a－3＝2－3＝－1或－4－3＝－7．故选C．（方法2）由|a＋1|＝3，得|a－3＋4|＝3．所以a－3＋4＝±3．将a－3看作一个整体，得a－3＝－3＋4＝－1或a－3＝－3－4=－7．故选C．【答案】C．【例3】若|a|＝2，|b|＝6，a＞0＞b，则a＋b＝________．【解析】由|a|＝2，a＞0可得a＝2．由|b|＝6，b＜0可得b＝－6．所以a＋b＝2＋（－6）＝－4．【答案】－4．知识点2 有理数比较大小（1）利用有理数的性质比较大小①法则：正数大于0,0大于负数，正数大于负数；两个负数，绝对值大的反而小.②比较两个负数大小的步骤：a.分别求出这两个负数的绝对值；b.比较这两个绝对值的大小；c.根据“两个负数，绝对值大的反而小”作出正确判断．（2）利用数轴比较大小数轴上不同的两个点表示的数，左边的点表示的数总比右边的点表示的数小．【注意】比较两个数大小时，在比较两个数的绝对值的大小后，不要忘记比较问题中原数的大小．【例5】在，0，－2，，2这五个数中，最小的数为（）．A．0 B．C．－2 D．【解析】（方法一）正数大于负数；两个负数比较大小，绝对值大的反而小．由此可得－2最小．（方法二）把这几个数在数轴上表示出来，然后根据最左边的点所对应的数最小得出结论．【答案】C．【例6】把表示下列各数的点画在数轴上，再按从小到大的顺序，用“＜”号把这些数连接起来：2，－0.5，0，1.5，－2.5．【解析】先把数2，－0.5，0，1.5，－2.5分别在数轴上表示出来，然后根据数轴上左边的点表示的数小于右边的点表示的数得出结论．【答案】由数轴可得，－2.5＜－0.5＜0＜1.5＜2 ．【例7】 已知a ＞0，b ＞0，且|a|＞|b|，则a ，－a ，b ，－b 的大小关系是_______（用“＜”号连接）．【解析】由a ＞0，b ＞0，且|a|＞|b|，可以得到a ＞b ＞0．由此再得到－a ＜－b ＜0，所以a ，－a ，b ，－b 的大小关系是－a ＜－b ＜b ＜a ．【答案】－a ＜－b ＜b ＜a ．1.互为相反数的两个数的绝对值_____.2.一个数的绝对值越小，则该数在数轴上所对应的点，离原点越_____.3.－32的绝对值是_____. 4.绝对值最小的数是_____.5.绝对值等于5的数是_____，它们互为_____.6.若b ＜0且a =|b |，则a 与b 的关系是______.7.一个数大于另一个数的绝对值，则这两个数的和一定_____0（填“＞”或“＜”）.8.如果|a |＞a ，那么a 是_____. 9.绝对值大于2.5小于7.2的所有负整数为_____.10.将下列各数由小到大排列顺序是_____.－32，51 ，|－21|，0，|－5.1| 11.如果－|a |=|a |，那么a =_____.12.已知|a |+|b |+|c |=0，则a =_____，b =_____，c =_____.13.比较大小（填写“＞”或“＜”号）（1）－53_____|－21|（2）|－51|_____0（3）|－56|_____|－34| 14.计算（1）|－2|×(－2)=_____ （2）|－21|×5.2=_____ （3）|－21|－21=_____ （4）－3－|－5.3|=_____ 15.任何一个有理数的绝对值一定（ ）A.大于0B.小于0C.不大于0D.不小于0 16.若a ＞0，b ＜0，且|a |＜|b |，则a +b 一定是（ ）A.正数B.负数C.非负数D.非正数17.下列说法正确的是（ ）A.一个有理数的绝对值一定大于它本身B.只有正数的绝对值等于它本身C.负数的绝对值是它的相反数D.一个数的绝对值是它的相反数，则这个数一定是负数18.下列结论正确的是（ ）A.若|x |=|y |，则x =－yB.若x =－y ，则|x |=|y |C.若|a |＜|b |，则a ＜bD.若a ＜b ，则|a |＜|b |19.某班举办“迎七一”知识竞赛，规定答对一题得10分，不答得0分，答错一题扣10分，今有甲、乙、丙、丁四名同学所得分数，分别为+50，+20，0，－30，请问哪个同学分数最高，哪个最低，为什么？最高分高出最低分多少？1．在数轴上看，零 一切负数，零 一切正数；两个数，右边的数 左边的数，原点左侧的点所代表的数越向左越 ，即离原点越远，表示的数越 ，所以两个负数比较大小，绝对值大的反而 。

数轴、相反数、绝对值辅导教案1．下列说法中正确的是（ ） A ．非负有理数就是正有理数B ．零表示没有，不是自然数C ．正整数和负整数统称为整数D ．整数和分数统称为有理数 2．下列四种说法中正确的是：（ ）A.不是正数的数一定是负数 B ．所有的整数都是正数 C ．－a 一定是负数 D ．0既不是正数，也不是负数 3．给出下列说法：①0是整数； ①-1是负分数； ①4.2不是正数； ①自然数一定是正数； ①负分数一定是负有理数，其中正确的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个4．把下列各数分别填在括号内：-2.1,0.5,98,0,51,221,1453,-38,+3 正有理数集合：｛ …｝ 非负有理数集合：｛ ｝ 整数集合：｛ ｝ 分数集合：｛ ｝【目标导学】1. 认识数轴，会用数轴上的点表示有理数，能利用数轴比较有理数的大小。

2. 借助数轴认识相反数、绝对值的概念。

3. 能求一个数的绝对值，会利用绝对值比较两个负数的大小。

【自主学习】活动一：认真阅读课本P7-P9页的内容，时间要求10分钟 学生思考：（1）什么是数轴？（2）画数轴需要注意哪些问题？试着画出一条数轴 （3）你会用数轴上的点来表示数吗？（4）你能读出下列数轴上的点表示的数吗？如：27,0,3,5.1,4--（5）若a 是一个正数，则数轴上表示数a 的点在原点的什么位置上？ 与原点相距多少个单位长度；表示－a 的点在原点的什么位置上？ ①与原点又相距了多少个长度单位？活动二：认真阅读课本P9-P10页的内容，时间要求5分钟 学生思考：（1）认真思考P9页的探究问题，有什么发现呢？ （认真阅读“归纳”的内容）（2）什么样的两个数是互为相反数？ （3）怎样求一个数的相反数？请举例说明. （4）设a 表示一个数，-a 一定是负数吗？活动三：认真阅读课本P11-P13页的内容，时间要求10分钟 学生思考：（1）绝对值的概念？（2）│-3│= ，│3│= 分别表示什么？M 5M 4M 3M 2M 1-1-2-5-40-354231（3）由绝对值的定义可知，绝对值有哪些性质，一个正数的绝对值是；一个负数的绝对值是它的；0的绝对值是。

数轴、相反数、绝对值（讲义）一、知识点睛1.去绝对值：___________________________________________________2.分类讨论：___________________________________________________3.绝对值的几何意义：___________________________________________________二、精讲精练1.设有理数a，b，c在数轴上的对应点如图所示，则b-a____0，a+c________0，所以2-+-+-化简后的结果为____________．b ac a c a2.设有理数a，b在数轴上的对应点如图所示，化简a b a b b+---+-．13.设有理数a，b在数轴上的对应点如图所示，化简---+--．11a b a b4.已知m m---．m m=-，化简125.已知a +b <0，化简13a b a b +----．6.已知a <0<c ，ab >0，b c a >>，化简b a b c a b c -++-++．7.已知a <0<c ，ab <0，>>a c b ，化简a a c b c b -+----．8.若15x -=，1y =，则x y -的值为__________________．9.若24x +=，3y =，则x y +的值为__________________．10.若4a =，2b =，且a b a b +=+，则a b -的值是多少？11.若3x =，2y =，且x y y x -=-，则x y +的值是多少？12.若ab ≠0，则a b a b+的值为______________．13.若abc ≠0，则cc b b a a ++的值为_______________．14.已知x为有理数，则12-+-的最小值为______．x x15.已知x为有理数，则12x x++-的最小值为______．16.已知x为有理数，则123-+-+-的最小值为______．x x x17.已知x为有理数，若123-+-=，则x=________．x x18.∵____0a∴当a=____时，a取值最小我们称a有最小值____；∴当a=_____时，2a+取得最____值是______．∵____0-a∴当a=_____时，a-取值最大我们称a-有最大值______；∴当a=____时，10a-+取得最____值是_____．同理可知，23--+有最____值是_____，此时a=_____．a类似地，a∵2____0a-有最____值是_____．∴2a有最____值是_____，22三、回顾与思考_____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ ________________________【参考答案】一、知识点睛1.去绝对值：①看整体，定符号；②依法则，留括号；③化简，验证．2.分类讨论：①画树状图，分类；②根据限制条件筛选、排除．3.绝对值的几何意义：a b-表示在数轴上数a与数b对应点之间的距离．二、精讲精练1.<，<，-b2.b-13.-2a-2b4.-15.-26.-b7.08.3，5，79.1，3，5，910.2，611.-1，-512.-2，0，213.-3，-1，1，314.115.316.217.0，318.≥，0，0；0，小，2．≤，0，0；0，大，10．大，3，2．≥，小，0，小，-2数轴、相反数、绝对值（随堂测试）1.已知c <0<a ，ab <0，<<a b c ，化简a b c a b c b ----++．2.若4m =，5n =，且m n n m -=-，那么m n +的值是多少？3.若ab ≠0，则ab ab a b ab++的值为___________．4.6a -+的最大值是________；22a -的最小值是________．【参考答案】1.-b +2c2.1，93.3，-14.6，-2数轴、相反数、绝对值（作业）1.若a a =-，b b -=，则2b a -=________．2.若ab ab -=-，则必有（）A ．a <0，b <0B ．a <0，b >0C ．ab ≥0D ．ab ≤03.若a >0，b <0，且a b >，则a +b 一定是（）A ．正数B ．负数C ．非负数D ．非正数4.设有理数a ，b ，c 在数轴上的对应点如图所示，化简c a a c a b --+--．5.设有理数a ，b 在数轴上的位置如图所示，化简12a b a b a +--+++-．6.若23x -=，21y +=，则x y +的值为_____________．7.若2a =，13b +=，且a b b a -=-，则a +b 的值是多少？8.若ab <0，则a b a b+的值为____________．9.若ab ≠0，则a b ab a b ab+-的值为____________．10.已知x 为有理数，则32x x ++-的最小值为___________．11.∵_____0m ∴当m =_____时，m 有最______值是_____；∴1m -有最______值是________．∵_____0m -∴当m =_____时，m -有最_____值是_____；∴5m -+有最_______值是_______．【参考答案】1.b -2a2.D3.A4.a +b5.-a +16.2，47.4，08.09.-3，110.511.≥，0，小，0，小，-1．≤，0，大，0，大，5．有理数混合运算（讲义）一、知识点睛1.有理数混合运算处理方法：_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________2.有理数运算技巧：___________________________________________________二、精讲精练1.222118(3)(4)9(0.75)-÷-+-÷÷-2.20141416(2)823⎛⎫--÷-⨯-÷- ⎪⎝⎭3.3222112334(0.5)0.2-+-------4.21111531352⎛⎫÷---- ⎪⎝⎭5.练习：（1）2221110.5633(0.5)---÷-÷-（2）2213(3)(6)76÷-+-⨯-+（3）311112(1)1123463⎛⎫-+÷-+-- ⎪⎝⎭（4）3323138(2)1(3)(2)0.25⎡⎤--÷--+-⨯-÷⎣⎦6.12345678979899100+--++--+++--7. 2 0131111(24)(1)46812⎛⎫-⨯-+---- ⎪⎝⎭8.241515181(2)296⎛⎫--⨯--+--- ⎪⎝⎭9.211(370)0.2524.55(25%)(2)42⎛⎫⎛⎫-⨯-+⨯+-⨯--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭10.523.228(9)(3.772)9(3)9+(1)+(3)⨯-+-⨯+-⨯--11.43510.712(15)0.7(15)9494⎛⎫⎛⎫⨯+⨯-+⨯+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭12.1111+13355720112013+++⨯⨯⨯⨯13.计算：11121399100+++++．14.计算：23100S=++++．222215.计算：2320S=++++．3333三、回顾与思考_____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ ________________________【参考答案】一、知识点睛1.有理数混合运算处理方法：①观察结构划部分；②有序操作依法则；③每次推进一点点．2.有理数运算技巧：①归类组合；②凑整分解；③裂项相消；④倒序相加；⑤错位相减．二、精讲精练1.-12.1323.274.1095.（1）-3；（2）7；（3）-1；（4）-436.-1007.88.-79.9610.-8211.-43.612.1006201313.499514.10122--15.21332有理数混合运算（随堂测试）1.计算：（1）3211(3)2(2)8540.125⎛⎫⎛⎫-÷-÷-----÷ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（2）(13)21292721(47)+2933-⨯+⨯+⨯-⨯（3）355551277272⎛⎫⨯--⨯- ⎪⎝⎭（4）233.785(7)(3.215)7(3)7(1)⨯-+-⨯+-⨯+-【参考答案】1.（1）-41；（2）480；（3）52；（4）13有理数混合运算（作业）1.21922.510.245⎡⎤⎛⎫÷--+⨯- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦2.3116(2)23322÷---⨯-÷⨯3.3211511(2)224623⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⨯---⨯+÷- ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭4.20131347(154)(1)620512⎛⎫-⨯⨯--+-+- ⎪⎝⎭5.2112(2)(3)2102543.⎛⎫-÷⨯--⨯-+ ⎪⎝⎭6.320131515(2)(1)212÷--⨯+-7.1957315719434331⨯-⨯+⨯-⨯8.117(9)213222⨯--÷-÷+9.211(455)365455211545545365⨯-+⨯-⨯+⨯10.计算：135799+++++．【参考答案】1.2522.354-3.44.55.43-6.-17.-12008.29.15400010.2500代数式求值（讲义）一、知识点睛1.去中括号时，需将小括号看作一个整体进行处理．2.整体代入：_________________________________________．3.数位表示：_________________________________________．二、精讲精练1.化简：222(54)m m m m ⎡⎤---+⎣⎦．2.化简：2225184(6)4(1)24m m m m m ⎡⎤---+--⎢⎥⎣⎦．3.化简：22225111124244228a b a b ab ab a b ab ⎡⎤⎛⎫⎛⎫--+-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦．4.若关于x ，y 的多项式222258(735)mx x x x y x -++--+的值与x 无关，求m的值．5.若关于x ，y 的多项式22232(25)(102)x x x y ax x y -+----的值与x 无关，求2225(53)6()a a a a a a ⎡⎤-+---⎣⎦的值．6.若221a a +=，则代数式2322(2)5(2)7a a a a +-+-的值是___________．7.若252m n m n -=+，则代数式3(2)5(2)322m n m n m n m n-+-++-的值是____________．8.若代数式223a b +的值是6，则代数式2468a b ++的值是__________．9.若3440x x -+=，则代数式331210x x -+的值是_________．10.当1x =时，代数式31px qx ++的值是2015；则当1x =-时，代数式31px qx ++的值是_________．11.当7x =时，代数式35ax bx +-的值是7；则当7x =-时，代数式35ax bx +-的值是_________．12.当2x =时，代数式31ax bx -+的值是-17；则当1x =-时，代数式31235ax bx --的值是_________．13.一个三位数，中间数字为9，百位数字为a ，个位数字为b ，用代数式表示这个三位数是______________________．14.一个三位数，个位数字为a ，十位数字比个位数字大b ，百位数字比个位数字的平方小2，用代数式表示这个三位数是______________________________．15.若a 表示一个两位数，b 表示一个一位数，把b 放在a 的左边组成一个三位数，则这个三位数用代数式可表示为______________________．16.若x 表示一个两位数，y 表示一个三位数，把x 放在y 的左边组成一个五位数，则这个五位数用代数式可表示为______________________．三、回顾与思考_____________________________________________________________________________________________【参考答案】一、知识点睛2.①确定整体；②建立联系；③代入求值．3.①画数位图；②对应计数单位．二、精讲精练1.244m m -+-2.92m --3.22ab 4.4m =5.-26.-107.178.209.-210.-201311.-1712.2213.10090a b ++14.21001110200a ab ++-15.100b a+16.1000x y+代数式求值（随堂测试）1.若关于x ，y 的多项式332327112232329x x xy mx xy ⎛⎫⎛⎫--+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值与x ，y 无关，求2217122(4)422m m m m m ⎡⎤----⎢⎥⎣⎦的值．2.若代数式238a b -++的值是18，则代数式962b a -+的值是__________．3.若m 表示一个两位数，n 表示一个三位数，把n 放在m 的左边组成一个五位数，则这个五位数用代数式可表示为_________________．【参考答案】1.-22.323.100n m+代数式求值（作业）1.化简：223122(1)3(2)6223m n m m n n n ⎡⎤⎛⎫-+---+ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭．2.若关于x 的多项式2214(45)64x mx x x mx mx ⎛⎫+---+- ⎪⎝⎭的值与x 无关，求232323(1)363m m m m ⎡⎤-+--⎢⎥⎣⎦的值．3.若232a b a b -=+，则代数式2(2)15(2)22a b a b a b a b-+-+-+的值是______．4.若代数式2346x x -+的值是9，则代数式2463x x -+的值是___________．5.当3x =-时，代数式535ax bx cx ++-的值是7；则当3x =时，代数式535ax bx cx ++-的值是__________．6.若a表示一个一位数，b表示一个两位数，c表示一个三位数，把c放到a的左边，b放在a的右边，组成一个六位数，则这个六位数用代数式可表示为____________________．【参考答案】1.5m--2.53.114.75.-176.1000100++c a b探索规律（讲义）一、知识点睛1.图形规律：______________________________________________________________________________________________________2.循环规律：_________________________________________________________________ _____________________________________二、精讲精练1.观察表1，寻找规律．（1）表2、表3分别是从表1中选取的一部分，则a+b的值为________．（2）表4、表5分别是从表1中选取的一部分，则c+d的值为________．2.如下数表是由从1开始的连续自然数组成，观察规律并完成下列各题．（1）表中第8行的最后一个数是_____，它是自然数____的平方，第8行共有________个数；（2）用含n的代数式表示：第n行的第一个数是__________，最后一个数是_______，第n行共有__________个数．3.下列图案由边长相等的黑白两色正方形按一定规律拼接而成，依此规律，第n个图案中白色正方形有__________个．4.如图，房间地面的图案是用大小相同的黑、白正方形镶嵌而成．图中，第1个黑色形由3个正方形组成，第2个黑色形由7个正方形组成，…，那么组成第6个黑色形的正方形有（）A．22个B．23个C．24个D．25个5.图1是一种瓷砖的图案，用这种瓷砖铺设地面，铺成2×2的近似正方形图2时，其中完整的菱形共有5个；铺成3×3的近似正方形图3时，其中完整的菱形共有13个；铺成4×4的近似正方形图4时，其中完整的菱形共有25个；如此下去，可铺成一个n×n的近似正方形图案．当得到共181个完整的菱形时，n的值为（）A．7B．8C．9D．106.如图是一组有规律的图案，第1个图案由4个基本图形组成，第2个图案由7个基本图形组成，…，依此规律，则第n个图案由________个基本图形组成．7.将一张长方形纸对折，如图所示可得到一条折痕（图中虚线），继续对折，对折时每次折痕与上次的折痕保持平行，连续对折三次后，可以得到7条折痕，那么对折四次可以得到_____条折痕；如果对折n 次，那么可以得到__________条折痕．第一次对折第二次对折第三次对折8.观察图中每一个大三角形中白色三角形的排列规律，则第5个大三角形中白色三角形有________个．图1图2图39.若图1中的线段长为1，将此线段三等分，并以中间的一段为边作等边三角形，然后去掉这一段，得到图2；再将图2中的每一段作类似变形，得到图3；按上述方法继续下去得到图4，则图4中的折线总长度为（）A ．2B ．1627C ．169D ．642710.如图，圆圈中分别标有0，1，2，3，4，…，11这12个数字．电子跳蚤每跳一次，可以从一个圆圈跳到相邻的圆圈，现在一只电子跳蚤从标有数字“2”的圆圈开始，按逆时针方向跳了2013次后，落在一个圆圈中，则该圆圈所标的数字是__________．11.如图，四个电子宠物排座位：一开始，小鼠、小猴、小兔、小猫分别坐在1，2，3，4号的座位上，以后它们不停地交换位置，第1次上下两排交换位置，第2次是在第1次交换位置后，再左右两列交换位置，第3次是在第2次交换位置后，再上下两排交换位置，第4次是在第3次交换位置后，再左右两列交换位置，…，这样一直交换位置，则第2013次交换位置后，小鼠所在的座号是_____．12.如图为手的示意图，在各个手指间标记字母A，B，C，D．请你按图中箭头所指方向（即A→B→C→D→C→B→A→B→C→…的方向）从A开始数连续的正整数1，2，3，4，…，当数到14时，对应的字母是________；当字母C第2013次出现时，恰好数到的数是_________；当字母C第2n次出现时（n为正整数），恰好数到的数是____________（用含n的代数式表示）．13.如图，平面内有公共端点的六条射线OA，OB，OC，OD，OE，OF，从射线OA开始按逆时针方向依次在射线上写出数字1，2，3，4，5，6，7，…．（1）“17”在射线__________上；（2）请写出任意三条射线上的数字排列规律；（3）“2013”在哪条射线的第几个位置？三、回顾与思考_____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ ________________________【参考答案】一、知识点睛1.①观察图形构成：分类、去重、补形；②转化：转化成数字规律，转成其他图形的规律．2.①确定起始位置；②找循环节．二、精讲精练1.（1）121，（2）1022.（1）64，8，15；（2）(n-1)2+1，n2，2n-13.(5n+3)4.B5.D6.(3n+1)7.15，2n-18.1219.D10.511.312.B，6039，6n-113.（1）OE（2）OA：6n-5，OB：6n-4，OC：6n-3，OD：6n-2，OE：6n-1，OF：6n14.（3）OC，第336个位置．探索规律（随堂测试）1.下列图案由边长相等的黑白两色小正方形按一定规律拼接而成，依此规律，则第n个图案中白色小正方形和黑色小正方形共有_______________个．2.如图，将表示一个角形的纸对折，可以得到1条折痕（图中虚线），那么连续对折六次后，可以得到__________条折痕．3.将正方形ABCD的各边按如图所示延长，从射线DA开始，按顺时针方向依次在各射线上标记点1，2，3，…．（1）写出射线AB上的数字排列规律_________________；（2）点2013在射线_____________上．【参考答案】1.24n n +2.633.（1）42n -，（2）DA探索规律（作业）1.将1，-2，3，-4，5，-6，…按一定规律排成下表：第一行1第二行-2，3第三行-4，5，-6第四行7，-8，9，-10……（1）写出第8行的数；（2）写出第50行的第一个数，并说明是怎么找到的．2.下列图形由边长为1的正方形按某种规律排列而成，依此规律，则第8个图形中正方形有（）A ．38个B ．41个C ．43个D ．48个3.如图是由形状相同的正六边形和正三角形镶嵌而成的一组有规律的图案，则第n 个图案中阴影小三角形的个数是______．4.一等边三角形的周长为1，将这个等边三角形的每边三等分，在每边上分别以中间的一段为边作等边三角形，然后去掉这一段，得到图2；再将图2中的每一段作类似变形，得到图3；按上述方法继续下去得到图4，则第4个图形的周长为________，第n个图形的周长为_____________．5.小时候我们就用手指练习过数数，一个小朋友按图中的规则练习数数，数到2013时对应的手指头是（）A．大拇指B．食指C．小拇指D．无名指6.如图，平面内有公共端点的八条射线OA ，OB ，OC ，OD ，OE ，OF ，OG ，OH ，从射线OA 开始按逆时针方向依次在射线上写出数字1，2，3，4，5，6，7，8，9，…．（1）“20”在射线______________上；（2）请任意写出三条射线上的数字排列规律；（3）“2013”在哪条射线上？【参考答案】1.（1）第8行：29，-30，31，-32，33，-34，35，-36（2）观察图形可以得到，每一行的最后一个数的绝对值是行数相加，所以第49行最后一个数的绝对值是：1+2+3+…+49=1225，所以第50行第一个数的绝对值是1226；又可以观察到，奇数是正，偶数是负，所以第50行第一个数是-1226．2.C3.4n -24.343⎛⎫ ⎪⎝⎭（或者6427），143n -⎛⎫ ⎪⎝⎭5.C6.（1）OD （2）OA ：8n -7，OB ：8n -6，OC ：8n -5，OD ：8n -4，OE ：8n -3，OF ：8n -2，OG ：8n -1，OH ：8n（3）OE含字母的方程（讲义）一、知识点睛含字母的方程一般处理思路：若解已知，将解代入对应方程求解字母的值；若解未知，将字母当作常数求解方程，然后根据题意求解字母的值；若方程含有字母系数，则先化成最简形式：__________，然后对___________进行讨论．二、精讲精练1.m 为何值时，代数式513132m m -+-与代数式324m +的和等于5？2.如果5x =是方程452ax x a +=-的解，那么a =________．3.小虎在解关于x 的方程5213a x -=时，误将“2x -”看成了“7x -”，得方程的解为1x =，则a 的值是_______，原方程的解为_________．4.小王在解关于y 的方程326a y -=时，误将“2y -”看成了“2y +”，得方程的解为3y =-，则原方程的解为_______．5.小明在解方程时，不小心将方程中的一个常数污染了看不清楚，被污染的方程是：1212x x -♥=+，怎么办呢？（1）小明猜想“♥”部分是2，请你算一算此时x 的值．（2）小明翻看了书后的答案，此方程的解是1x =．请你算一算这个常数应是多少．6.若a b ，互为相反数（0a ≠），则关于x 的一元一次方程20ax b +=的解是_____________．7.方程3(21)23x x -=+的解与关于x 的方程622(3)3kx -=+的解互为相反数，求k 的值．8.方程23(1)0x -+=的解与关于x 的方程3222m xm x +--=的解互为倒数，求m 的值．9.已知关于x 的方程23x a +=和203a x--=是同解方程，求a 的值．10.已知方程340x +=与关于x 的方程3418x k +=是同解方程，求k 的值．11.求关于x 的方程ax b =的解．12.当a b ，满足什么条件时，关于x 的方程51a bx -=-：（1）有唯一解；（2）有无穷多解；（3）无解．13.当a b ，满足什么条件时，关于x 的方程31b ax -=-：（1）有唯一解；（2）有无穷多解；（3）无解．三、回顾与思考__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________【参考答案】一、知识点睛ax =b ；a ，b二、精讲精练1.6411m =2.33.4，72x =4.3y =5.x =2，126.x =27.1k =-8.1m =9.5a =10.112k =11.（1）当0a ≠时，方程有唯一解b x a=；（2）当a =0且b =0时，方程有无穷多解；（3）当a =0且0b ≠时，方程无解．12.（1）当0b ≠时，方程有唯一解4a x b-=；（2）当b =0且a =4时，方程有无穷多解；（3）当b =0且4a ≠时，方程无解．13.（1）当0a ≠时，方程有唯一解2b x a-=；（2）当a =0且b =2时，方程有无穷多解；（3）当a =0且2b ≠时，方程无解．含字母的方程（随堂测试）1.小王在解关于y 的方程329a y -=时，误将“-2y ”看成了“-y ”，得方程的解为y =-3，则原方程的解为__________．2.方程13(1)32x x --=+的解与关于x 的方程332xx a -=+的解互为倒数，则a 的值为________．3.已知关于x 的方程332xa x -=+和321x a +=是同解方程，则a 的值为多少？【参考答案】1.32y =-2.343.78a =含字母的方程（作业）1.如果y =1是方程1243y a y-+=的解，那么a 的值是________．2.小明在做家庭作业时，发现练习册上一道解方程的题目被墨水污染了：151232x x +-=-⊕-，“⊕”是被污染的数．他很着急，翻开书后的答案，此方程的解是x =2，你能帮他补上“⊕”所代表的数吗？3.小明在解关于x 的方程1233()2x a x a -+-=-时，误将“12x -”看成了“x ”，得方程的解为72x =，则a 的值是______，原方程的解为___________．4.若m ，n 互为相反数（0m ≠），则关于x 的一元一次方程3(1)3mx n ++=的解是___________．5.方程156213x ⎛⎫--= ⎪⎝⎭的解与关于x 的方程23x m m x -=-的解互为倒数，求m的值．6.已知方程5318x +=与关于x 的方程13324x k +=-是同解方程，求k 的值．7.已知关于x 的方程324x x a ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭和23130x a +-=是同解方程，则a 的值为多少？8.当a ，b 满足什么条件时，关于x 的方程621a bx -=-：（1）有唯一解；（2）有无穷多解；（3）无解．【参考答案】1.2-2.43.2，x =24.x =35.6m =-6.1112k =7.a =28.（1）当b ≠0时，方程有唯一解25a x b-=；（2）当b =0且52a =时，方程有无穷多解；（3）当b=0且52a 时，方程无解．行程问题及方案类应用题（讲义）一、知识点睛1.理解题意，找关键词，即_____、______、______，将生活语言转化为数学语言．2.________与_______相结合分析运动过程．3.表达，列方程求解．4.结果验证．二、精讲精练1.一列火车匀速行驶，经过一条长300m的隧道需要20s的时间；隧道的顶上有一盏灯，垂直向下发光，灯光照在火车上的时间是10s．根据以上数据，你能否求出火车的长度？2.甲、乙两人分别后，沿着铁轨反向而行，此时，一列火车匀速地向甲迎面驶来，火车在甲身旁开过，用了15秒，然后在乙身旁开过，用了17秒．已知两人的步行速度都是3.6千米/时，请计算这列火车的长度．3.郑州地铁1号线预计将于2013年年底前建成通车试运营，其中一期工程西起西流湖站、东至市体育中心站，预计地铁从西流湖站到市体育中心站行驶时间约为25分钟．某次试车时，试验列车由西流湖站到市体育中心站的行驶时间比预计时间多用了3分钟，而返回时的行驶时间与预计时间相同．如果这次试车时，返回时平均每小时多行驶6.6千米，那么这次试车时，由西流湖站到市体育中心站的平均速度是每小时多少千米？4.某人在上午8时从甲地出发到乙地，按计划在中午12时到达．在上午10时汽车发生故障而停车修理15分钟，修好后司机为了能及时赶到，把每小时的车速又提高了8千米前进，结果在11时55分提前到达乙地，求汽车原来的速度．5.在“十一”黄金周期间，某超市推出如下表所示的优惠方案：购物金额折扣一次性购物不足100元时不打折一次性购物不少于100元且不足300元时九折一次性购物不少于300元时八折小丽在该超市两次购物分别付款80元、252元．如果小丽改成在该超市一次性购买与上次完全相同的商品，那么应付款多少元？6.我国个人所得税法规定，公民全月的工资、薪金收入不超过3500元的部分不必纳税；超过3500元的部分为全月应纳税所得额，此项税款按下表分段累计计算．全月应纳税所得额税率不超过1500元的部分3%超过1500元至4500元的部分10%超过4500元至9000元的部分20%若小丽爸爸2013年5月份缴纳的个人所得税为185元，则他当月的税前工资是多少？三、回顾与思考__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________【参考答案】一、知识点睛1.路程、速度、时间；2.画线段图，列表二、精讲精练1.解：设火车的长度为x 米，根据题意得3002010x x+=解得x =300答：火车的长度为300米．2.解：3.6千米/小时=1米/秒设这列火车的长度为x 米，根据题意得1511711517x x -⨯+⨯=解得255x =答：这列火车长为255米．3.解：设由西流湖站到市体育中心站的平均速度是x 千米/时，根据题意得2825( 6.6)6060x x ⋅=+解得55x =答：由西流湖站到市体育中心站的平均速度是55千米/时．4.解：设汽车原来的速度为x 千米/时，根据题意得155(128)(108)1210(8)6060x x x ⎛⎫-=-+---+ ⎪⎝⎭解得40x =答：汽车原来的速度为40千米/时．5.解：∵80<100×90%∴付款80元时没有打折；设付款252元时的购物金额为x 元．当100≤x <300时，根据题意得：0.9x =252解得x=280∵80+280=360>300∴360×0.8=288（元）当x≥300时，根据题意得：0.8x=252解得x=315∵80+315=395>300∴395×0.8=316（元）答：小丽应付款288元或316元．6.解：1500×3%=45（元）1500×3%+(4500-1500)×10%=345（元）∵45＜185＜345∴小丽爸爸2013年5月全月应纳税所得额应该超过1500元至4500元．设小丽爸爸当月的税前工资是x元，根据题意得1500×3%+(x-3500-1500)×10%=185解得x=29002900+3500=6400（元）答：小丽爸爸当月的税前工资是6400元．行程问题及方案类应用题（随堂测试）1.一条平行于铁路的小路上有一行人和一骑车人同时向东行进，行人速度为3.6千米/时，骑车人速度为10.8千米/时．如果有一列火车从他们背后开过来，火车通过行人用了22秒，通过骑车人用了26秒，问这列火车的长度为多少米？s（米）v（米/秒）t（秒）过行人行人火车过骑车人骑车人火车【参考答案】1.s （米）v （米/秒）t （秒）过行人行人22122火车x +2222过骑车人骑车人26×3326火车x +26×326解：设这列火车的长度为x 米．3.6千米/时=1米/秒10.8千米/时=3米/秒根据题意得：222632226x x ++⨯=解得：x =286答：这列火车的车身长为286米．行程问题及方案类应用题（作业）2.一支部队在行军的过程中，队尾的通讯员要与最前面的营长联系，他用了6分钟的时间跑步追上营长．为了回到队尾，他在追上营长后立即以同样的速度跑步返回，用了4分钟的时间回到队尾．已知通讯员跑步的速度为250米/分，那么队伍的长度是多少米？s （米）v （米/分）t （分）去时部队通讯员返回部队通讯员3.我国个人所得税法规定，公民全月的工资、薪金收入不超过3500元的部分不必纳税；超过3500元的部分为全月应纳税所得额，此项税款按下表分段累计计算．全月应纳税所得额税率不超过1500元的部分3%超过1500元至4500元的部分10%超过4500元至9000元的部分20%若小红妈妈2013年11月份缴纳的个人所得税为545元，则她当月的税前工资是多少元？4.某超市经销A，B两种商品，A种商品每件售价30元，B种商品每件售价48元．在“五一”期间，该超市对A，B两种商品进行如下优惠促销活动：打折前一次购物总金额优惠措施不超过300元不优惠超过300元且不超过400元售价打八折超过400元售价打七折促销活动期间，小颖去该超市购买A种商品，小华去该超市购买B种商品，分别付款210元和268.8元．促销活动期间，小明决定去该超市一次性购买与小颖、小华同样多的商品，则他需付款多少元？5.解下列方程：（1）3140.610.50.4x x --=（2）()()532221353x x x ⎡⎤⎢⎥⎣⎦--=-【参考答案】1.s （米）v （米/分）t （分）去时部队2506x ⨯-6通讯员2506⨯2506返回部队2504x -⨯4通讯员2504⨯2504队伍的长度是1200米．2.9000元3.382.2元4.（1）245x =；（2）4x =．经济问题（讲义）一、知识点睛1.理解题意，找关键词．①“进价、投资、成本、返利”是指_____________；②“获利、盈利、收益”是指_____________；③“几折出售、销售额、卖出、销售价格、销售单价”是指_________．2.列表，梳理对应数据．3.根据表格，列方程求解．4.结果验证．二、精讲精练1.网络购物方便快捷，逐渐成为人们日常购物的一种重要方式．国庆期间某网店推出一系列并行优惠活动：（1）在国庆期间，网店全部商品以8折销售；（2）凡在本网店购物均可享受5%的返利（在成交价的基础上返还5%）．小李是该网店的店主，他想将商铺中进价为每件296元的羽绒服卖出，且保证在自己承担10元运费的情况下每件获得150元的利润，请问他该如何给这件羽绒服标价？2.商场出售的A型冰箱每台售价2190元，每日耗电量为1度，而B型节能冰箱每台售价比A型冰箱高出10%，但每日耗电量为0.55度．现将A型冰箱打折出售，问商场将A型冰箱打几折，消费者买A型冰箱10年花费的总费用与买B型冰箱10年花费的总费用相同（每年365天，每度电按0.56元计算）？（总费用=买冰箱费用+使用总电费）3.某商场购进一批小型家用电器，每个进价40元．经市场预测，当销售单价为52元时，每天可售出x个（x>20）；调查显示：销售单价每增加1元，日销售量将减少10件．（1）请用含x的代数式表示出当销售单价为54元时，商场每天获得的销售利润．（2）当x取何值时，才能使销售单价为52元与销售单价为54元的销售利润相等？4.牙刷由牙刷头和牙刷柄组成．某时期，甲、乙两厂家分别生产老式牙刷（牙刷头不可更换）和新式牙刷（牙刷头可更换），有关销售策略与售价等信息如下表所示．某段时间内，甲厂家销售了3200个牙刷，乙厂家销售的牙刷头数量是牙刷柄数量的20倍，乙厂家获得的利润是甲厂家的2倍．问这段时间内，乙厂家销售了多少个牙刷柄，多少个牙刷头？老式牙刷新式牙刷牙刷柄牙刷头售价5（元/个）8（元/个）2（元/个）成本2（元/个）4（元/个）1（元/个）5.某小店老板从面包厂购进面包的价格是每个0.6元，按每个面包1.0元的价格出售，卖不完的以每个0.2元于当天返还厂家．在一个月（30天）里，小店有20天平均每天卖出面包80个，其余10天平均每天卖出面包50个，这样小店老板获纯利600元．如果小店老板每天从面包厂购进相同数量的面包，那么这个数量是多少？6.某企业生产电脑配件，今年1月至5月，每件配件的原材料价格为750元，人力成本为50元；当每件配件的售价为1000元时，每月销售量达到1.8万件．到了6月，该企业要完成半年累积利润2280万元的任务，在人力成本和原材料价格不变的情况下，售价在前1个月的基础上提高了a%，而销售量比前1个月降低了0.2万件．（1）6月份的销售利润是多少元？（2）求a的值．三、回顾与思考_____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ ________________________【参考答案】一、知识点睛1.成本；利润；售价．二、精讲精练1.600元2.六八折3.（1）（14x-280）元；（2）140元4.乙厂家销售了800个牙刷柄，16000个牙刷头5.906.（1）480万元；（2）a的值为10．经济问题（随堂测试）5.商场有甲商品10个，乙商品15个，一个甲商品和一个乙商品的成本一共是200元，甲商品按40%的利润定价，乙商品按20%的利润定价．后应顾客要求，两种商品都按定价的90%出售，全部销售完毕后共获利380元，则乙商品的成本是每个多少元？售价成本利润销量甲乙【参考答案】2.100元经济问题（作业）1.某商店购进一批商品，每件成本是500元，商店决定按成本提高60%来标价．由于天气的缘故，需要尽早处理这批商品，于是决定打折销售，并赠送一把成本为20元的雨伞，此时得到的利润是打折前的40%．请问打了几折？售价成本利润打折前打折后2.一种商品按定价出售，每个可获利36元．若按定价打八折出售5个所获得的利润，与按定价每个降价28元出售10个所获得的利润相同，则这种商品的定价是每个多少元？售价成本利润销量打折降价3.剃须刀由刀片和刀架组成．某时期，甲、乙两厂家分别生产老式剃须刀（刀片不可更换）和新式剃须刀（刀片可更换），有关销售策略与售价等信息如下表所示．某段时间内，甲厂家销售了8400把剃须刀，乙厂家销售的刀片数量是刀架数量的50倍，乙厂家获得的利润是甲厂家的2倍．问这段时间内，乙厂家销售了多少把刀架，多少片刀片？老式剃须刀新式剃须刀刀架刀片售价7.5（元/把）5（元/把）0.55（元/片）成本2.5（元/把）2（元/把）0.05（元/片）4.我市高新技术开发区的某公司，生产某种产品每件需成本费40元．当销售单价定为100元时，年销售量为x （x >200）万件；调查显示：该产品的销售单价每增加1元，年销售量将减少10万件．当销售单价为120元时，要想使年销售利润为24000万元，则x 的取值为多少？【参考答案】9.八折10.100元11.乙厂家销售了3000把刀架，150000片刀片12.500售价成本利润销量情况一情况二角的相关计算和证明（讲义）一、知识点睛在证明的过程中，由平行想到____________、____________、____________；由垂直想到__________________、_____________________；由外角想到________________________________________．二、精讲精练1.如图，AB∥EF∥CD，∠ABC=45°，∠CEF=155°，则∠BCE=__________．第1题图第2题图2.如图，在正方形ABCD中，∠ADC=∠DCB=90°，G是B边上一点，连接DG，AE⊥DG于E，CF⊥DG于F．若∠DAE=25°，则∠GCF=_________．3.已知：如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠B=∠C=45°，在Rt△AFG中，∠G=90°，∠F=∠FAG=45°，∠CAG=20°，则∠AEB=_________，∠ADC=_________．第3题图第4题图4.如图，ED⊥AB于D，EF∥AC，∠A=35°，则∠DEF=________．。

数轴与绝对值一、绝对值定义：正数的绝对值是这个正数本身，负数的绝对值是这个负数的相反数，零的绝对值是零。

也就是说：一个数的绝对值是按照这个数的符号情况，来分类决定的。

如果用字母a 表示这个数，那么用式子来表示就是：)0()0(0000a a a a a a a aaa a 它本身，所以，因为零的相反数就是时），（当时），（当时），（当即：零和正数的绝对值是它本身，零和负数的绝对值是它的相反数。

这里，a 表示什么？如果它是2，结果怎样？如果是-3呢？如果是x -2呢？如果没有告诉你x 的取值范围，那么该如何化简2x ？（示例）。

）；（）解方程：（例x x x x 21212111.1解：（1）略；（2）当x + 1 < 0，即x < - 1 时，原方程为– (x + 1) = 2x ，x =31；当x + 1 ≥0，即x ≥ - 1 时，原方程为x + 1 = 2x ，x = 1，∴原方程的根是x 1 = 31, x 2 = 1 。

指导学生：①分析解题依据及步骤；②检查答案（2）的正确性。

既然已经发现答案是错误的，那么可以肯定解答过程有误，请找出错误。

指导语：在解这类含有绝对值的方程（或不等式）时，应注意：（1）需根据绝对值符号内的整体内容的符号来决定将绝对值符号去掉后的内容，是原来的，还是其相反数。

也就是说，要根据绝对值符号内的整体的“零点”情况来划分自变量的取值范围，对方程（或不等式）进行分类讨论。

（2）要注意检查相应的“解”是否在相应讨论的数的范围之内。

（3）当方程（或不等式）中含有多个绝对值时，应该针对所有的“零点”来划分自变量的取值区间，对方程（或不等式）进行分类讨论。

例2.解方程：|x - 2|+|x + 3| = 6 .二、绝对值与相反数的几何意义1.绝对值：|a| ←→数轴上，和数a对应的点与原点之间的距离。

某数的绝对值越大，则在数轴上，与该数对应的点与原点之间的距离就越大；反之，在数轴上，若某一点距原点越近，那么与之对应的数的绝对值就越小。

第3讲 绝对值与相反数1．借助数轴理解绝对值和相反数的概念；2．知道|a|的绝对值的含义以及互为相反数的两个数在数轴上的位置关系； 3．会求一个数的绝对值和相反数，并会用绝对值比较两个负有理数的大小； 4．通过应用绝对值解决实际问题，体会绝对值的意义和作用．考点01：相反数1．定义：如果两个数只有符号不同，那么称其中一个数为另一个数的相反数．特别地，0的相反数是0． 要点诠释：（1）“只”字是说仅仅是符号不同，其它部分完全相同． （2）“0的相反数是0”是相反数定义的一部分，不能漏掉． （3）相反数是成对出现的，单独一个数不能说是相反数． （4）求一个数的相反数，只要在它的前面添上“-”号即可． 2．性质：（1）互为相反数的两数的点分别位于原点的两旁，且与原点的距离相等（这两个点关于原点对称）．（2）互为相反数的两数和为0．考法01：20161-的相反数是（ ） A ．2016 B ．﹣2016 C ．20161 D ．20161-【思路】解决这类问题的关键是抓住互为相反数的特征“只有符号不同”，所以只要将原数的符号变为相反的符号，即可求出其相反数． 【答案】C【解析】解：∵20161-与20161只有符号不同， ∴﹣20161的相反数是20161．故选：C ．【总结】求一个数的相反数，只改变这个数的符号，其他部分都不变．考点02：多重符号的化简多重符号的化简，由数字前面“-”号的个数来确定，若有偶数个时，化简结果为正，如-{-[-(-4)]}=4 ；若有奇数个时，化简结果为负，如-{+[-(-4)]}=-4 ． 要点诠释：（1）在一个数的前面添上一个“＋”，仍然与原数相同，如＋5＝5，＋（－5）＝－5． （2）在一个数的前面添上一个“－”，就成为原数的相反数．如－（－3）就是－3的相反数，因此，－（－3）＝3．考法02：（本溪校级月考）化简：（1）﹣{+[﹣（+3）]}； （2）﹣{﹣[﹣（﹣|﹣3|）]}． 【答案】解：（1）原式=﹣{+[﹣3]}=﹣{﹣3}=3；（2）原式=﹣{﹣[﹣（﹣3）]}=﹣{﹣[+3]}=﹣{﹣3}=3．【总结】运用多重符号化简的规律解决这类问题较为简单．即数一下数字前面有多少个负号．若有偶数个，则结果为正；若有奇数个，则结果为负．考点03：绝对值1．定义：在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做这个数的绝对值，例如+2的绝对值等于2，记作|+2|=2；-3的绝对值等于3，记作|-3|=3． 要点诠释：（1）绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．即对于任何有理数a 都有：（2）绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是表示这个数的点到(0)||0(0)(0)a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩原点的距离，离原点的距离越远，绝对值越大；离原点的距离越近，绝对值越小． （3）一个有理数是由符号和绝对值两个方面来确定的． 2．性质：（1）0除外，绝对值为一正数的数有两个，它们互为相反数． （2）互为相反数的两个数（0除外）的绝对值相等.（3）绝对值具有非负性，即任何一个数的绝对值总是正数或0．考法03：求下列各数的绝对值． 112-，-0.3，0，132⎛⎫-- ⎪⎝⎭【思路】112，-0.3，0，132⎛⎫-- ⎪⎝⎭在数轴上位置距原点有多少个单位长度，这个数字就是各数的绝对值．还可以用绝对值法则来求解． 【答案】 方法1：因为112-到原点距离是112个单位长度，所以111122-=． 因为-0.3到原点距离是0.3个单位长度，所以|-0.3|＝0.3． 因为0到原点距离为0个单位长度，所以|0|＝0． 因为132⎛⎫-- ⎪⎝⎭到原点的距离是132个单位长度，所以113322⎛⎫--= ⎪⎝⎭．方法2：因为1102-<，所以111111222⎛⎫-=--= ⎪⎝⎭． 因为-0.3＜0，所以|-0.3|＝-(-0.3)＝0.3． 因为0的绝对值是它本身，所以|0|＝0 因为1302⎛⎫--> ⎪⎝⎭，所以113322⎛⎫--= ⎪⎝⎭【总结】求一个数的绝对值有两种方法：一种是利用绝对值的几何意义求解(如方法1)，一种是利用绝对值的代数意义求解(如方法2)，后种方法的具体做法为：首先判断这个数是正数、负数还是零．再根据绝对值的意义，确定去掉绝对值符号的结果是它本身，是它的相反数，还是零．从而求出该数的绝对值．考点04：有理数的大小比较1．数轴法：在数轴上表示出这两个有理数，左边的数总比右边的数小． 如：a 与b 在数轴上的位置如图所示，则a ＜b ． 2．法则比较法：两个数比较大小，按数的性质符号分类，情况如下：两数同号同为正号：绝对值大的数大同为负号：绝对值大的反而小两数异号 正数大于负数 －数为0正数与0：正数大于0负数与0：负数小于0要点诠释：利用绝对值比较两个负数的大小的步骤：（1）分别计算两数的绝对值；（2）比较绝对值的大小：（3）判定两数的大小．3． 作差法：设a 、b 为任意数，若a-b ＞0，则a ＞b ；若a-b ＝0，则a ＝b ；若a-b ＜0，a ＜b ；反之成立．4． 求商法：设a 、b 为任意正数，若1a b >，则a b >；若1a b =，则a b =；若1ab<，则a b <；反之也成立．若a 、b 为任意负数，则与上述结论相反．5． 倒数比较法：如果两个数都大于零，那么倒数大的反而小．考法04：比较下列有理数大小：(1)-1和0； (2)-2和|-3| ； (3)13⎛⎫-- ⎪⎝⎭和12- ； （4）1--______0.1-- 【答案】(1)0大于负数，即-1＜0；(2)先化简|-3|＝3，负数小于正数，所以-2＜3，即-2＜|-3|；(3)先化简1133⎛⎫--=⎪⎝⎭，1122-=，1123>，即1132⎛⎫--<- ⎪⎝⎭．(4)先化简11--=-，0.10.1--=-，这是两个负数比较大小：因为11-=，0.10.1-=，而10.1>，所以10.1-<-，即1--＜0.1--【解析】(2)、(3)、（4）先化简，再运用有理数大小比较法则．【总结】在比较两个负数的大小时，可按下列步骤进行：先求两个负数的绝对值，再比较两个绝对值的大小，最后根据“两个负数，绝对值大的反而小”做出正确的判断．考向01：绝对值的非负性已知|2-m|+|n-3|＝0，试求m-2n 的值．【思路】由｜a ｜≥0即绝对值的非负性可知，｜2-m ｜≥0，｜n-3｜≥0，而它们的和为0．所以｜2-m ｜＝0，|n-3|＝0．因此，2-m ＝0，n-3＝0，所以m ＝2，n ＝3． 【答案】解：因为|2-m|+|n-3|＝0且|2-m|≥0，|n-3|≥0 所以|2-m|＝0，|n-3|＝0 即2-m ＝0，n-3＝0 所以m ＝2，n ＝3 故m-2n ＝2-2×3＝-4．【解析】由｜a ｜≥0即绝对值的非负性可知，｜2-m ｜≥0，｜n-3｜≥0，而它们的和为0．所以｜2-m ｜＝0，|n-3|＝0．因此，2-m ＝0，n-3＝0，所以m ＝2，n ＝3．【总结升华】若几个数的绝对值的和为0，则每个数都等于0，即|a|+|b|+…+|m|＝0时，则a ＝b ＝…＝m ＝0．考向02：绝对值的应用正式足球比赛对所用足球的质量有严格的规定，下面是6个足球的质量检测结果，用正数记超过规定质量的克数，用负数记不足规定质量的克数．检测结果(单位：克)：-25，+10，-20，+30，+15，-40．裁判员应该选择哪个足球用于这场比赛呢?请说明理由．【答案】 因为｜+10｜＜｜+15｜＜｜-20｜＜｜-25｜＜｜+30｜＜｜-40｜，所以检测结果为+10的足球的质量好一些．所以裁判员应该选第二个足球用于这场比赛．【解析】根据实际问题可知，哪个足球的质量偏离规定质量越小，则足球的质量越好．这个偏差可以用绝对值表示，即绝对值越小偏差也就越小，反之绝对值越大偏差也就越大． 【总结】绝对值越小，越接近标准．考向03：化简已知有理数a ，b ，c 在数轴上对应的点的位置如图所示：化简：【答案】由图所示，可得．∴ 30a c ->，，，∵．∴ 原式．【易错01】若|x ﹣2|与（y+3）2互为相反数，则x+y= ． 【答案】-1.∵|x ﹣2|与（y+3）2互为相反数， ∴|x ﹣2|+（y+3）2=0， ∴x ﹣2=0，y+3=0， 解得x=2，y=﹣3， ∴x+y=2+（﹣3）=﹣1． 故答案为：﹣1． 【易错02】如果|x|＝6，|y|＝4，且x ＜y ．试求x 、y 的值．四、考场失分防范【思路】6和-6的绝对值都等于6，4和-4的绝对值都等于4，所以要注意分类讨论．【答案】因为|x|＝6，所以x＝6或x＝-6；因为|y|＝4，所以y＝4或y＝-4；由于x＜y，故x只能是-6，因此x＝-6，y＝±4．【总结】已知绝对值求原数的方法：(1)利用概念；(2)利用数形结合法在数轴上表示出来．无论哪种方法但要注意若一个数的绝对值是正数，则此数有两个，且互为相反数．此外，此题x＝-6，y＝±4，就是x＝-6，y＝4或x＝-6，y＝-4．【易错03】若﹣1＜x＜4，则|x+1|﹣|x﹣4|= ．【思路】根据绝对值的性质：当a是正有理数时，a的绝对值是它本身a；当a是负有理数时，a的绝对值是它的相反数﹣a,可得|x+1|=x+1，|x﹣4|=﹣x+4，然后再合并同类项即可．【答案】2x﹣3．【解析】解：原式=x+1﹣（﹣x+4），=x+1+x﹣4，=2x﹣3.【总结】此题主要考查了绝对值，关键是掌握绝对值的性质，正确判断出x+1，x﹣4的正负性．【易错04】已知a、b为有理数，且满足：12，则a=_______，b=________．【答案】由，，，可得∴【总结】由于任何一个数的绝对值大于或等于0，要使这两个数的和为0，需要这两个数都为0．几个非负数的和为0，则每一个数均为0．五、考试真题探秘【真题01】一只可爱的小虫从点O 出发在一条直线上来回爬行，假定向右爬行的路程记为正数，向左爬行的路程记为负数，小虫爬行的各段路程(单位：cm)依次记为：+5，-3，+10，-8，-6，+12，-10，在爬行过程中，如果小虫每爬行1cm 就奖励2粒芝麻，那么小虫一共可以得到多少粒芝麻?【思路】总路程应该为小虫爬行的距离和，和方向无关. 【答案】小虫爬行的总路程为：|+5|+|-3|+|+10|+|-8|+|-6|+|+12|+|-10|＝5+3+10+8+6+12+10＝54(cm) 小虫得到的芝麻数为54×2＝108(粒) 答：小虫一共可以得到108粒芝麻．【总结】此题是绝对值的应用问题，当求爬行路程是即为各数的绝对值之和，如果求最后所在的位置时即为各数之和，最后看正负来决定方向.【真题02】已知|a|=2，|b|=2，|c|=3，且有理数a ，b ，c 在数轴上的位置如图所示，计算a+b+c 的值．【答案】解：由数轴上a 、b 、c 的位置知：b ＜0，0＜a ＜c ； 又∵|a|=2，|b|=2，|c|=3， ∴a=2，b=﹣2，c=3； 故a+b+c=2﹣2+3=3．【真题03】已知有理数a ，b 满足ab 2＜0，a ＋b ＞0，且|a |＝2，|b |＝3，求⎪⎪⎪⎪⎪⎪a －13＋(b －1)2的值．【答案】解：由ab 2＜0，知a ＜0.因为a ＋b ＞0，所以b ＞0.又因为|a |＝2，|b |＝3， 所以a ＝－2，b ＝3.所以⎪⎪⎪⎪⎪⎪a －13＋(b －1)2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－2－13＋(3－1)2＝73＋4 ＝613. 【真题04】如图，A ，B ，C 三点在数轴上，A 表示的数为－10，B 表示的数为14，点C 在点A 与点B 之间，且AC ＝BC .(1)求A ，B 两点间的距离； (2)求C 点对应的数；(3)甲、乙分别从A ，B 两点同时相向运动，甲的速度是1个单位长度/s ，乙的速度是2个单位长度/s ，求相遇点D 对应的数．【答案】解：(1)A ，B 两点间的距离为24. (2)C 点对应的数为2. (3)相遇点D 对应的数为－2.【真题05】已知|2－xy |＋(1－y )2＝0. (1)求y2 019＋(－y )2 019的值；(2)求1xy ＋1（x ＋1）（y ＋1）＋1（x ＋2）（y ＋2）＋…＋1（x ＋2 019）（y ＋2 019）的值．【答案】解：因为|2－xy |＋(1－y )2＝0，而|2－xy |≥0，(1－y )2≥0， 所以2－xy ＝0 ①，1－y ＝0 ②. 由②得y ＝1.把y ＝1代入①得2－x ＝0，故x ＝2. (1) y2 019＋(－y )2 019＝12 019＋(－1)2 019＝1＋(－1)＝0. (2)1xy ＋1（x ＋1）（y ＋1）＋1（x ＋2）（y ＋2）＋…＋1（x ＋2 019）（y ＋2 019）＝11×2＋12×3＋13×4＋…＋12 020×2 021＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋(13－14)＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12 020－12 021 ＝1－12＋12－13＋13－14＋…＋12 020－12 021＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＋13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－14＋14＋…＋(－12 020＋12 020)－12 021＝1－12 021＝2 0202 021.1．2021的相反数是（ ）A.2021B.-2021C. 20211-D.20211【答案】B2．如果0a b +=，那么,a b 两个数一定是（ ）．A ．都等于0B ．一正一负C ．互为相反数D ．互为倒数 【答案】C【解析】若0a b +=，则,a b 一定互为相反数；反之，若,a b 互为相反数，则0a b += 3．下列判断中，正确的是( )．A ．如果两个数的绝对值相等，那么这两个数相等；B ．如果两个数相等，那么这两个数的绝对值相等；C ．任何数的绝对值都是正数；D ．如果一个数的绝对值是它本身，那么这个数是正数． 【答案】B【解析】A 错误，因为两个数的绝对值相等，这两个数可能互为相反数；B 正确；C 错误，因为0的绝对值是0，而0不是正数；D 错误，因为一个数的绝对值是它本身的数除了正数还有0．4．已知点M 、N 、P 、Q 在数轴上的位置如图，则其中对应的数的绝对值最大的点是（ ）A ．MB ．NC ．PD ．Q 【答案】D【解析】解：∵点Q 到原点的距离最远，∴点Q 的绝对值最大． 故选：D ．5．下列各式中正确的是( )． A ．103<- B ．1134->- C ．-3.7＜-5.2 D ．0＞-2 【答案】D六、对点通关训练【解析】0大于负数．6．若两个有理数a 、b 在数轴上表示的点如图所示，则下列各式中正确的是( )．A ．a ＞bB ．|a|＞|b|C ．-a ＜-bD ．-a ＜|b|【答案】B【解析】离原点越远的数的绝对值越大．7．如果a 与1互为相反数，则|a+2|等于________．【答案】1【解析】∵a 与1互为相反数，∴a=﹣1，把a=﹣1代入|a+2|得，|a+2|=|﹣1+2|=1．8． 化简下列各数： (1)23⎛⎫--= ⎪⎝⎭_ ；(2)45⎛⎫-+= ⎪⎝⎭ ；(3){[(3)]}-+-+=________． 【答案】24;;335- 【解析】多重符号的化简是由“-”的个数来定，若“-”个数为偶数个时，化简结果为正；若“-”个数为奇数个时，化简结果为负．9．已知|x|＝2，|y|＝5，且x ＞y ，则x ＝________，y ＝________．【答案】 ±2，-5【解析】| x |＝2，则x=±2； | y |＝5， y=±5．但由于x ＞y ，所以x=±2，y=-510．数a 在数轴上的位置如图所示．则|a-2|＝ ．【答案】a-2【解析】由图可知：a ≥2，所以|a-2|=a-2．11．在数轴上，与-1表示的点距离为2的点对应的数是 ．【答案】-3，112．已知4334x x -=-，则x 的取值范围是________．【答案】 34x ≤ 【解析】将43x -看成整体a ，即a a =-，则0a ≤，故430x -≤，34x ≤．13．绝对值大于2而小于6的所有整数的和是多少？（列式计算）【解析】解：根据题意画出数轴，如图所示：根据图形得：绝对值大于2而小于6的所有整数有：﹣3，﹣4，﹣5，3，4，5，这几个整数的和为：（﹣3）+（﹣4）+（﹣5）+3+4+5=[（﹣3）+3]+[（﹣4）+4]+[（﹣5）+5]=0．答：绝对值大于2而小于6的所有整数的和是0．14．化简下列各数，再用“<”连接．(1)-(-54) (2)-(+3.6) (3)53⎛⎫-+ ⎪⎝⎭(4)245⎛⎫--⎪⎝⎭【解析】 (1)-(-54)＝54(2)-(+3.6)＝-3.6(3)5533⎛⎫-+=- ⎪⎝⎭（4）224455⎛⎫--=⎪⎝⎭，按从小到大排列可得：52(+3.6)<(+)<(4)(54)35----<--15．已知：a是﹣（﹣5）的相反数，b比最小的正整数大4，c是最大的负整数．计算：3a+3b+c 的值是多少？【解析】解：∵a是﹣（﹣5）的相反数，∴a=﹣5，∵b比最小的正整数大4，∴b=1+4=5，∵c是最大的负整数，∴c=﹣1，∴3a+3b+c=3×（﹣5）+3×5﹣1，=﹣15+15﹣1=-11.（漳州）﹣13的相反数是（）A . 13 B .-13 C .-3 D .3【答案】A2．在①+（+1）与-（-1）；②-（+1）与+（-1）；③+（+1）与-（+1）；④+（-1）与-(-1)中，互为相反数的是（）．A．①② B．②③ C．③④ D．②④【答案】C【解析】先化简在判断，①+（+1）=1，-（-1）=1，不是相反数的关系；②-（+1）=-1，+（-1）=-1，不是相反数的关系；③+（+1）=1，-（+1）=-1，是相反数的关系；④+（-1）=-1，-(-1)=1，是相反数的关系，所以③④中的两个数是相反数的关系，所以答案为：C 3．满足|x|＝-x的数有( )．A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个【答案】D【解析】x为负数或零时都能满足|x|＝-x，故有无数个．4．已知1|3|a=-，则a的值是( )．A．3 B．-3 C．13D．13+或13-【答案】D【解析】∵13a=，∴13a=±，∴13a=±5．a、b为有理数，且a＞0、b＜0，|b|＞a，则a、b、-a、-b的大小顺序是( )． A．b＜-a＜a＜-b B．-a＜b＜a＜-b C．-b＜a＜-a＜b D．-a＜a＜-b＜b 【答案】A【解析】画数轴，数形结合．6．下列推理：①若a ＝b ，则|a|＝|b|；②若|a|＝|b|，则a ＝b ；③若a ≠b ，则|a|≠|b|；④若|a|≠|b|，则a ≠b ．其中正确的个数为( )．A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个【答案】C【解析】①正确；②错误，如|-2|＝|2|，但是-2≠2；③错误，如-2≠2，但是|-2|＝|2|；④正确．故选C ．7．数轴上离原点的距离小于3.5的整数点的个数为m , 距离原点等于3.5的点的个数为n , 则3____m n -=．【答案】1【解析】由题意可知：7,2m n ==，所以27321m n -=-⨯=8．已知x 与y 互为相反数，y 与z 互为相反数，又2z =，则z x y -+= ．【答案】-2【解析】因为,x z 均为y 的相反数，而一个数的相反数是唯一的，所以z x =，2z =，而y 为z 的相反数，所以y 为-2，综上可得：原式等于-2．9．1的相反数是 ； 的相反数是它本身．【答案】213-，0.10．绝对值不大于11的整数有 个．【答案】23【解析】要注意考虑负数．绝对值不大于11的数有：-11 、-10……0 、1 ……11共23个．11．如果m ，n 互为相反数，那么|m+n ﹣2021|= ．【答案】2021.【解析】解：∵m ，n 互为相反数，∴m+n=0，∴|m+n ﹣2021|=|﹣2021|=2021；故答案为2021．12．若1a a =-，则a 0；若a a ≥，则a ． 【答案】＜；任意数.13．若有理数x 、y 满足|x|=5，|y|=2，且|x+y|=x+y ，求x ﹣y 的值．【解析】∵|x|=5，∴x=±5，又|y|=2，∴y=±2，又∵|x+y|=x+y ，∴x+y ≥0，∴x=5，y=±2，当x=5，y=2时，x ﹣y=5﹣2=3，当x=5，y=﹣2时，x ﹣y=5﹣（﹣2）=7．14．若|a+1.2|+|b ﹣1|=0，那么a+（﹣1）+（﹣1.8）+b 等于多少？【解析】解：∵|a+1.2|+|b ﹣1|=0，∴a+1.2=0，b ﹣1=0，∴a=﹣1.2，b=1，∴a+（﹣1）+（﹣1.8）+b=﹣3．15．阅读下面的材料：点A 、B 在数轴上分别表示实数a 、b ，A 、B 两点之间的距离表示为∣AB ∣，当A 、B 两点中有一点在原点时，不妨设点A 在原点，如图1-1-1,∣AB ∣＝∣OB ∣=∣b ∣=∣a-b ∣；当A 、B 两点都不在原点时:①如图1-1-2，点A 、B 都在原点的右边:∣AB ∣=∣OB ∣-∣OA ∣=∣b ∣-∣a ∣=b-a=∣a-b ∣；②如图1-1-3，点A 、B 都在原点的左边:∣AB∣=∣OB∣-∣OA∣=∣b∣-∣a∣=-b-（-a）=∣a-b∣；③如图1-1-4，点A、B在原点的两边:∣AB∣=∣OA∣+∣OB∣=∣a∣+∣b∣=a+（-b）=∣a-b∣，综上，数轴上A、B两点之间的距离∣AB∣=∣a-b∣．回答下列问题:①数轴上表示2和5的两点之间的距离是_________，数轴上表示-2和-5的两点之间的距离是________，数轴上表示1和-3的两点之间的距离是___________；②数轴上表示x和-1的两点A和B之间的距离是________，如果∣AB∣=2，那么x为__________．③当代数式∣x+1∣+∣x-2∣取最小值时，相应的x的取值范围是______________．【解析】①∣2-5∣=3，∣-2-（-5）∣=3，∣1-（-3）∣=4．②∣AB∣=∣x-（-1）∣=∣x+1∣．∵∣AB∣=2，∴∣x+1∣=2，∴x+1=2或-2，∴x=1或-3．③令x+1=0，x-2=0，则x=-1，x=2．将-1、2在数轴上表示出来，如图1-1-5，则-1、2将数轴分为三部分x＜-1、-1≤x≤2、x＞2．当x＜-1时，∣x+1∣+∣x-2∣=-（x+1）+〔-（x-2）〕=-2x+1＞3；当-1≤x≤2时，∣x+1∣+∣x-2∣=x+1+2-x=3;当x＞2时，∣x+1∣+∣x-2∣=x+1+x-2=2x-1＞3．∴∣x+1∣+∣x-2∣的最小值是3，相应的x的取值范围是-1≤x≤2．。

七年级数学《绝对值》教学设计一、学生起点分析：学生的知识技能基础：学生已经认识数轴，并且知道了相反数的概念，能够用数轴上的点来表示有理数，也已经知道数轴上的一个点与原点的距离，会比较这些距离的大小。

并初步体会到了数形结合的思想方法。

学生活动经验基础：在前面相关知识的学习过程中，学生已经经历了归纳、比较、交流等一些活动，解决了一些简单的现实问题，感受到了数学活动的重要性；同时在以前的数学学习中学生已经经历了很多合作学习的过程，具有了一定的合作学习的经验，具备了一定的合作与交流的能力。

二、学习任务分析：绝对值知识是解决有理数比较大小、距离等知识的重要依据，同时它也是我们后面学习有理数运算的基础。

借助数轴引出对绝对值的概念，并通过计算、观察、交流、发现绝对值的性质特征，让学生直观理解绝对值的含义，不要在绝对值符号内部出现多重符号和字母，多鼓励学生通过观察、归纳、验证三、教学目标：（1）、知识与能力：借助于数轴，初步理解绝对值的概念，能求一个数的绝对值，初步学会求绝对值等于某一个正数的有理数。

（2）、过程与方法：通过从数形两个侧面理解绝对值的意义，初步了解数形结合的思想方法。

通过应用绝对值解决实际问题，体会绝对值的意义。

（3）、情感态度与价值观：通过应用绝对值解决实际问题，培养学生浓厚的学习兴趣，使学生能积极参与数学学习活动，对数学有好奇心与求知欲。

四、教学重点与难点教学重点：绝对值的概念和求一个数的绝对值教学难点：绝对值的几何意义及求绝对值等于某一个正数的有理数。

五、教学方法《绝对值》是人教版初中数学代数七年级上册第一章的内容。

绝对值是学生所认识的第一个非负数，对于从没有学习过类似知识的六年级学生来说，接受起来有点难和慢，尤其在绝对值的意义方面有一定的难度。

因此，教学开始时，让学生观看视频，理解绝对值的概念，掌握绝对值的意义，会求一个数的绝对值，这样既直观又能记忆深刻。

并且充分利用多媒体教学手段加强直观教学，增大思维密度，有利地突出重点，突破难点,采用了情景教学的教学方法。

数轴、相反数、绝对值第一部分：知识精讲知识点一、数轴1、数轴的定义：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴．2、数轴三要素：原点、正方向、单位长度3、数轴的画法：①在平面内画一条直线；②标出原点；③用一定的长度作为单位长度，左边和右边标出数字4、数轴上的点的意义：一般地，设a是一个正数，则数轴上表示a的点在原点的右边，与原点的距离是a个单位长度；表示－a的点在原点的左边，与原点的距离是a个单位长度。

注意：任何一个有理数都可以用数轴上的点来表示。

知识点二、相反数1、相反数的代数概念：只有符号不同的两个数称互为相反数。

0的相反数是0.2、相反数的几何意义：在数轴上，表示互为相反数的两个数分别位于原点两侧，且与原点的距离相等。

说明：（1）相反数是指只有符号不同的两个数;（2）相反数是成对出现的，不能单独存在，因而不能说“-6是相反数”。

特别强调的是0的相反数为0，因为0既不是正数，也不是负数，它到原点的距离就是0，这是相反数等于本身的唯一的数。

规定:在任何一个数的前面添上一个"+"号,表示这个数本身;添上一个"-"号,就表示这个数的相反数.一般地，数a的相反数是－a，其中a可是正数和负数和0．注意：a 不一定是正数，同样－a 也不一定是负数。

3、“-”号的三种主要意义：① 性质符号：写在一个数值的前面，表示这个数是负数. 比如，-5表示“负5”这个负数，在这里的“-”号就是表示负数的一种符号，它表明“-5”的性质是负数.② 相反数符号：表示一个数的相反数时，我们常在这个数的前面添上“-”号.③ 运算符号：知识点三、绝对值1、绝对值的定义：我们把在数轴上表示数a 的点与原点的距离叫做数a 的绝对值)。

记作|a|。

2、绝对值的一般规律：① 一个正数的绝对值是它本身；② 0的绝对值是0；③ 一个负数的绝对值是它的相反数。

即：①若a ＞0，则|a|=a ； ②若a ＜0，则|a|=–a ； 或写成：)0()0()0(0<=>⎪⎩⎪⎨⎧-=a a a a a a 。

第三讲相反数4.若a+b=0，a和b一定互为，其中a和b可以都是0；a和b可以是一正一5.若a与b互为相反数，则a+b=0，其中a和b可以都是；a和b可以是6.多重符号的化简法则：与“+”个数（添“有关”或“无关”），有奇数个“﹣”号结果为，有偶数个“﹣”号，结果为1.熟练掌握相反数的求法2.化简多重符号例1．﹣3的相反数是（）A.±3B.3C.－3D.1 3例2．x+y﹣z的相反数是（）A．x+y+z B．z﹣x﹣y C．x﹣y+z D．﹣x+y﹣z例3．如图，数轴上有A、B、C、D四个点，其中表示互为相反数的点是（）A．点A与点D B．点A与点C C．点B与点D D．点B与点C例4．如果3是a﹣3的相反数，那么a的值是（）A．0B．3C．6D．﹣6例5．若﹣（a﹣3）是负数，则a﹣3是，若﹣[﹣（a+b）]是负数，则a+b是．例6．计算：﹣（﹣）= ．A档1．﹣2014的相反数是（）A. ﹣2014B.12014C.12014- D. 20142．5的相反数是（）A. 5B.-5C.±5D.1 5 -3．a的相反数是（）A. aB.- aC.±aD. 1 a4．化简﹣（﹣3）的结果是（）A.3B.- 3C. 13D.13-5．如图，数轴上有A，B，C，D四个点，其中表示2的相反数的点是（）A．点A B．点B C．点C D．点DB档6．—2015的相反数为．7．a的相反数是﹣9，则a= ．8．若3a﹣4b与7a﹣6b互为相反数，则a与b的关系为．9．相反数等于它本身的数是．10．如果5x+3与﹣2x+9是互为相反数，则x﹣2的值是．C档11．化简：（1）﹣{+[﹣（+3）]}；（2）﹣{﹣[﹣（﹣|﹣3|）}．12．化简：（1）+（﹣0.5）（2）﹣（+10.1）（3）+（+7）（4）﹣（﹣20）（5）+[﹣（﹣10）]（6）﹣[﹣（﹣）]．13．已知a为一个有理数，解答下列问题：（1）如果a的相反数是a，求a的值；（2）10a一定大于a吗？说明你的理由．14．已知4a﹣1与﹣（a+14）互为相反数，求a的值．15．已知4a﹣6与﹣6互为相反数，求a的值．1.15-的相反数是（）A.15- B.15C. -5D. 52．如果a与2的和为0，那么a是（）A.2B. 12C.12- D. -23．已知M 是6的相反数，N 比M 的相反数小2，则M ﹣N= ．4．化简：﹣[﹣（+8）]= ．5．已知2x 与﹣6互为相反数，求x 的值．1．32的相反数是 ，﹣（﹣3）是 的相反数． 2．化简：﹣〔﹣（﹣3）〕= ．3．一个数的相反数比它的本身大，则这个数是 ．4．若x 、y 互为相反数，m 、n 互为倒数，则x+mn+y= ．5．如果﹣a=2，则a= ．6．已知m ，n 互为相反数，则3+m+n= ．7．如果a 和b 表示有理数，在什么条件下，a+b 和a ﹣b 互为相反数？8．化简下列各数：﹣（+2），+（﹣11.5），﹣（﹣），﹣[+（﹣2.560）]．9．在数轴上分别用点A ，B ，C ，D 表示﹣4.5，3，﹣1.5，0各数，并用点E ，F ，G ，H 在数轴上表示它们的相反数．课程顾问签字： 教学主管签字：。

七年级上册数学知识点归纳人教版初一上册数学重要知识点归纳总结正负数1.正数：大于0的数。

2.负数：小于0的数。

3.0即不是正数也不是负数。

4.正数大于0，负数小于0，正数大于负数。

有理数1.定义：由整数和分数组成的数。

包括：正整数、0、负整数，正分数、负分数。

可以写成两个整之比的形式。

2.数轴：在数学中，可以用一条直线上的点表示数，这条直线叫做数轴。

3.相反数：相反数是一个数学术语，指绝对值相等，正负号相反的两个数互为相反数。

4.绝对值：绝对值是指一个数在数轴上所对应点到原点的距离。

正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数;0的绝对值是0，两个负数，绝对值大的反而小。

5.有理数的加减法同号相加，到相同符号，并把绝对值相加。

异号相加，取绝对值大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。

6.有理数的乘法两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。

任何数与0相乘，积为0.例：0×1=07.有理数的除法除以一个不为0的数，等于乘这个数的倒数。

两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。

0除以任何一个不为0的数，都得0。

8.有理数的乘方求n个相同因数乘积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂。

其中，a叫做底数，n 叫做指数。

当a?看作a的n次乘方的结果时，也可读作“a的n次幂”或“a的n次方”。

数轴1.数轴：用直线上的点表示数，这条直线叫做数轴。

(画一条直线，在直线上任取一点表示数0，这个零点叫做原点，规定直线上从原点向右或向上为正方向;选取适当的长度为单位长度，以便在数轴上取点。

)2.数轴的三要素：原点、正方向、单位长度。

3.相反数：只有符号不同的两个数叫做互为相反数。

0的相反数还是0。

4.绝对值：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数;0的绝对值是0，两个负数，绝对值大的反而小。

一元一次方程1.等式：用“=”号连接而成的式子叫等式。

2.等式的性质：等式性质1：等式两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式; 等式性质2：等式两边都乘以(或除以)同一个不为零的数，所得结果仍是等式。

初一数学知识点归纳总结人教版（最全）七年级数学知识点总结1.有理数：(1)凡能写成形式的数，都是有理数.正整数、0、负整数统称整数;正分数、负分数统称分数;整数和分数统称有理数.注意：0即不是正数，也不是负数;-a不一定是负数，+a也不一定是正数;π不是有理数;(2)注意：有理数中，1、0、-1是三个特殊的数，它们有自己的特性;这三个数把数轴上的数分成四个区域，这四个区域的数也有自己的特性;2.数轴：数轴是规定了原点、正方向、单位长度的一条直线.3.相反数：(1)只有符号不同的两个数，我们说其中一个是另一个的相反数;0的相反数还是0;(2)注意：a-b+c的相反数是-a+b-c;a-b的相反数是b-a;a+b 的相反数是-a-b;4.绝对值：(1)正数的绝对值是其本身，0的绝对值是0，负数的绝对值是它的相反数;注意：绝对值的意义是数轴上表示某数的点离开原点的距离;(2)绝对值可表示为：绝对值的问题经常分类讨论;(3)a|是重要的非负数，即|a|≥0;注意：|a|?|b|=|a?b|,5.有理数比大小：(1)正数的绝对值越大，这个数越大;(2)正数永远比0大，负数永远比0小;(3)正数大于一切负数;(4)两个负数比大小，绝对值大的反而小;(5)数轴上的两个数，右边的数总比左边的数大;(6)大数-小数>0，小数-大数<0.初中数学的学习方法一、抓住课堂理科学习重在平日功夫，不适于突击复习。

平日学习最重要的是课堂45分钟，听讲要聚精会神，思维紧跟老师。

同时要说明一点，许多同学容易忽略老师所讲的数学思想、数学方法，而注重题目的解答，其实诸如“化归”、“数形结合”等思想方法远远重要于某道题目的解答。

二、高质量完成作业所谓高质量是指高正确率和高速度。

写作业时，有时同一类型的题重复练习，这时就要有意识的考查速度和准确率，并且在每做完一次时能够对此类题目有更深层的思考，诸如它考查的内容，运用的数学思想方法，解题的规律、技巧等。

知识点：一、有理数：注：⑴正数和零统称为非负数；⑵负数和零统称为非正数； ⑶正整数和零统称为非负整数； ⑷负整数和零统称为非正整数.例题：【例1】 ⑴如果收入2000元，可以记作2000+元，那么支出5000元，记为 .⑵高于海平面300米的高度记为海拔300+米，则海拔高度为600-米表示 .⑶某地区5月平均温度为20C ︒，记录表上有5月份5天的记录分别为 2.7+，0，1.4+，3-， 4.7-，那么这5项记录表示的实际温度是 .⑷向南走200-米，表示 .【例2】 ⑴在下列各数：(2)--，2(2)--，2--，2(2)-，2(2)--中，负数的个数为 个．⑵①10a -；②21a --；③a -；④2(1)a -+一定是负数的是 （填序号）．练习题：1、下列说法正确的是（ ）A ．a -一定是负数B ．一个数不是正数就是负数C ．0-是负数D ．在正数前面加“-”号，就成了负数2、下列说法正确的是（ ）A 、一个数不是正数就是负数B 、整数又叫自然数C 、正整数又叫自然数D 、整数与分数统称为有理数 3、下列说法正确的是（）A 、0是正整数B 、0是正数C 、0是整数D 、0既不是奇数又不是偶数 4、下列说法正确的是（ ）A ．a -表示负有理数B ．一个数的绝对值一定不是负数C ．两个数的和一定大于每个加数D ．绝对值相等的两个有理数相等二、数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线.⑴原点、正方向、单位长度称为数轴的三要素，三者缺一不可.⑵单位长度和长度单位是两个不同的概念，前者指所取度量单位的长度，后者指所取度量单位的名称，即单位长度是一条人为规定的代表“1’的线段，这条线段可长可短，按实际情况来规定，同一数轴上的单位长度一旦确定，则不能再改变.⑶数轴的画法及常见错误分析①画一条水平的直线；②在这条直线上适当位置取一实心点作为原点：③确定向右的方向为正方向，用箭头表示；④选取适当的长度作单位长度，用细短线画出，并对应标注各数，同时要注意同一数轴的单位长度要一致.数轴画法的常见错误举例：错例原因无原点没有正方向单位长度不统一无原点没有单位长度有理数与数轴的关系：一切有理数都可以用数轴上的点表示出来.在数轴上，右边的点所对应的数总比左边的点所对应的数大.正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数.注意：数轴上的点不都代表有理数，如 .例题：m 0 nM ND C B A0DC BA 【例3】如右图所示，数轴上的点M 和N 分别对应有理数m 、n ， 那么以下结论正确的是( )A .0m <，0n <，m n >B .0m <，0n >，m n >C .0m >，0n >，m n <D .0m <，0n >，m n <【例4】数a b c d ，，，所对应的点A B C D ，，，在数轴上的位置如图所示，那么a c +与b d +的大小关系为（ ）A.a c b d +<+B.a c b d +=+C.a c b d +>+D.不确定的【例5】在数轴上任取一条长度为119999的线段，则此线段在这条数轴上最多能盖住的整数点的个数为 练习题：1、如图，数轴上标出若干个点，每相邻两点相距1个单位，点A B C D ，，，对应的数分别为整数a b c d ，，，，并且29b a -=，那么数轴的原点对应点为（ ） A ．A 点 B ．B 点 C ．C 点 D ．D 点2、数轴上有一点到原点的距离是5.5，那么这个点表示的数_________3、已知数轴上有A B ，两点，A B ，之间的距离为1，点A 与原点O 的距离为3，那么点B 所对应的数为4、轴上表示整数的点称为整点。

第3讲 绝对值姓名 学校 日期【知识要点】一、绝对值的概念1．定义：一个数的绝对值就是数轴上表示a 的点与原点的距离，数a 的绝对值记作a ，读作a 的绝对值。

2．绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值还是0。

3．绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离，离原点的距离越远，绝对值越大，离原点的距离越近，绝对值越小。

4绝对值的非负性：由于距离总是正数或0，故有理数的绝对值不可能是负数，即对任意有理数a ，总有a ≥0。

5．互为相反数的两个数的绝对值相等，但绝对值相等的两个数相等或互为相反数。

6．绝对值等于它本身的数一定是非负数，绝对值等于它的相反数的数一定是非正数。

二、绝对值的求法绝对值是一种运算，这个运算符号是“”，求一个数的绝对值就是想办法去掉绝对值符号，对于任意有理数a ，有 （1）(0)0(0)(0)a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩（2）(0)(0)a a a a a ≥⎧⎨-<⎩ （3）(0)(0)a a a a a >⎧⎨-≤⎩ 【典型例题】例1 求下列各数的绝对值。

（1）34= ； （2）13-= ； （3）144-= ； （4）132= ； 例2 （1）一个数的绝对值是3，则这个数是 。

（2）一个数的绝对值是0，则这个数是 。

（3）有没有一个数的绝对值是-4？ 。

思考：a 与0的大小关系例3 （1）若2m -=，求m 的值；（2）若a b =，则a b 与的关系是什么？例4 写出绝对值不大于3的所有整数，并求出它们的和。

例5 如果a 的相反数是最大的负整数，b 是绝对值最小的数，那么a 与b 的和是多少?例6 数b a ,在数轴上的位置如图，观察数轴，并回答：（1）比较a 和b 的大小；（2）比较a 和b 的大小； （3）判断b a a b b a b a ⨯--+,,,的符号；（4）试化简a b b a -+--经典练习一、填空题1．31-的绝对值是 ，31的绝对值是 ， 的绝对值是31．2.一个正数的绝对值为8，这个数是 ，一个负数的绝对值为8，这个数是 ．3. 的绝对值是它本身， 的绝对值是它的相反数．4.若0>a ，则=a ；若0<a ，则=a ；若0=a ，则=a ．5.若a a =，则a 0，若a a -=，则a 0．6. 的绝对值比它的本身大．7.一个数的绝对值不大于3，则满足条件的最大的负数是 ．二、选择题1．下列等式中，成立的是（ ）A 、33±=+B 、()33--=-C 、33±=±D 、3131=--2．下列计算中，错误的是（ ）A 、1257=-+-B 、04.03.034.0=---C 、535154=-- D 、311312213=---a b3．如果两个数的绝对值相等，那么这两个数必满足（ ）A 、相等B 、都是0C 、互为相反数D 、相等或互为相反数4．下列各式中，不正确的是（ ）A 、01.001.0->-B 、001.001.0->-C 、⎪⎭⎫⎝⎛--<--3131D 、2.32.3->--5．下列判断正确的是（ ）A 、若b a =，则b a =B 、若b a =，则b a =C 、若b a <，则b a <D 、若b a >，则b a >三、解答题1．试写出：（1）绝对值小于5的所有负整数 ；（2）绝对值小于5.2而又大于2.1的所有整数 ．2．已知一组数；4，－3，21-，+5.1，214-，0，－2.2．在这组数中：（1）绝对值最大的数为 ；绝对值最小的数为 ；（2）相反数最大的数为 ；相反数最小的数为 ．3．如图，直线上有三个不同的点A 、B 、C ，且AB ≠BC ，那么，到A 、B 、C 三点距离的和最小的点（ ）（A ）是B 点 （B ）是AC 的中点 （C ）是AC 外一点 （D ）有无穷多个4．对任意有理数a ，式子1a -，1a +，1a -+，1a +中，取值不为0的是 。

数轴、相反数、绝对值（讲义）课前预习1.为了表示相反意义的量，我们可以把其中一个量规定为正的，用正数来表示，而把与这个量意义相反的量规定为负的，用负数来表示．请根据上述内容回答问题：（1）如果规定向东为正，那么向东走5 m 可记作+5 m，向西走8 m可记作m．（2）一种袋装食品标准净重为 200 g，质监工作人员为了了解该种食品每袋的净重与标准的误差，把食品净重 205 g 记为+5 g，那么食品净重197 g 就记为g．2.正数可分为正整数和正分数，那么负数也可以分为负整数和负分数．比如：-2，-5 等都是负整数，而-1.5，1都是负分2数．请将下列各数进行分类：3，-2.5，3.14，3，-9，100，0 2其中属于整数的有：；其中属于分数的有：；其中属于正数的有：；其中属于负数的有：．3.如图，点A 表示小明的家，动物园在小明家西边500 米，书店在小明家东边500 米，车站在书店东边200 米，小明从动物园出发向东走1 000 米，到达；动物园和书店到小明家的距离都是米；小明从家出发，走了500 米，可以到达；动物园和车站之间的距离为米．B AC D??知识点睛1. 与 统称为有理数．2. 有理数的分类：有理数有理数3. 非正数：；非负数： ． 非正整数：；非负整数： ． 4. 数轴的定义：规定了、、的一条叫做数轴．任何一个都可以用数轴上的一个点来表示．5. 数轴的作用：、 、．6. 利用数轴比较大小：数轴上两个点表示的数，越往右数越，越往左数越 ，右边的总比左边的 ．正数0，负数0，正数负数．7. 相反数的定义：的两个数，互为相反数．特别地，．互为相反数的两个数，和为 0．8. 绝对值的定义：在上，一个数所对应的点与原点的叫做这个数的绝对值．9. 绝对值法则：正数的绝对值是；；．字母表示： a画数轴时注意以下几点： ①三要素； ②直线；③数字和点的位置． 画数轴：精讲精练1.若上升5 m 记作+5 m，则8 m 表示；如果10 元表示支出10 元，那么+50 元表示；如果零上5℃记作+5℃，那么零下2℃记作；太平洋中的马里亚纳海沟深达11 034 m，可记作海拔11 034 m（即低于海平面11 034 m），则比海平面高50 m 的地方，它的高度记作海拔，比海平面低30 m 的地方，它的高度记作海拔．2.有四包真空小包装火腿，每包以标准克数（450 克）为基数，超过的克数记作正数，不足的克数记作负数，以下数据是记录结果，其中表示实际克数最接近标准克数的是（） A．+2 B． 3 C．+3 D．+43.某超市出售的三种品牌的洗衣液袋上分别标有净重为(800±2) g，(800±3) g，(800±5) g 的字样，从中任意拿出两袋，它们的质量最多相差（）A．10 g B．8 g C．7 g D．5 g4.把下列各数填入它所在的集合里：2，7，2，0，2 015，0.618，3.14， 1.732，5，+3 3①正数集合：{ …}②负数集合：{ …}③整数集合：{ …}④非正数集合：{ …}⑤非负整数集合：{ …}⑥有理数集合：{ …}5. 在数轴上表示下列各数：0， 3.5，11，1，+3， 22，并2 3比较它们的大小．6.a ，b 为有理数，在数轴上的位置如图所示，则下列关于 a ，b ，0 三者之间的大小关系，正确的是（）bA ．0<a <bB ．a <0<bC ．b <0<aD ．a <b <07. 在数轴上大于 4.12 的负整数有．8. 到原点的距离等于 3 的数是．9.数轴上表示 2 和101 的两个点分别为 A ，B ，则 A ，B 两点间的距离是 . 10. 在数轴上，点 M 表示的数是2，将它先向右移 4.5 个单位， 再向左移 5 个单位到达点 N ，则点 N 表示的数是.11. 文具店、书店和玩具店依次坐落在一条东西走向的大街上， 文具店在书店西边 20 米处，玩具店位于书店东边 100 米处， 小明从书店沿街向东走了 40 米，接着又向东走了60 米，此时小明的位置在（） A ．玩具店B ．文具店C ．文具店西边 40 米D ．玩具店东边60 米12. 已知数轴上点 A 与原点的距离为 2，则点 A 对应的有理数是，点 B 与点 A 之间的距离为 3，则点 B 对应的有理数是．13. 下列各组数中，互为相反数的是（）A ．0.4 与0.41C ．(8) 与 8 14.下列化简不正确的是（B ． 3.8 与 2.9D ． (3) 与(3)A ． (4.9)4.9 C ． ( 4.9) 4.9B ． ( 4.9) 4.9D ．( 4.9)4.9 15. 下列各数中，属于正数的是（）A ． (2)C ． (a )B ． 3 的相反数 D ．3 的相反数的相反数16. a ，b 是有理数，它们在数轴上的对应点的位置如图所示，把a ，a ，b ， b 按照从小到大的顺序排列正确的是（）aA ． b a a bC ． b a a bB ． b a b a D ． b ba a17. 有理数的绝对值一定是（）A ．正数B ．整数C ．正数或零D ．非正数18. 下列说法正确的是（）A ．一个数的绝对值一定大于它本身B ．只有正数的绝对值等于它本身C ．负数的绝对值是它的相反数D ．一个数的绝对值是它的相反数，则这个数一定是负数19. 填空：3.5 =； 1=2 ； 5 = ；若 x <0，则 x， x；若 m <n ，则 m n．20. 下列各数中：2， 1， 3 ， 0 ， 2 ，(2)，2 ，3是正数的有 ．21. 若 xx ，则 x 的取值范围是（）A ． x 1B ． x 0C ．x ≥0D ．x ≤0 22. 若 a3 ，则 a =；若 3a ，则 a =；若 a2 ，a <0，则 a =． 23. 若 a b ，b =7， 则 a =；若 a b ，b =7，a ≠b ， 则 a = ． 24. 填空：（1） 11=； 3（2） 4.2 4.2 = = _； （3） 3 5 = += ；（4）22 =||= ；（5） 3 6.2 = × = _；（6）214= ÷ =×=．33?? ? ? ?? ? ? ?【参考答案】课前预习1. （1）-8.（2）-3．2. 其中属于整数的有：3，-9，100，0；其中属于分数的有：-2.5，3.14， 3；2其中属于正数的有：3，3.14，100；其中属于负数的有：-2.5， 3，-9．23. 书店，500，动物园或书店，1 200．知识点睛1. 整数、分数正整数 整数0正整数 正有理数2.有理数负整数有理数正分数正分数分数 负分数负整数负有理数 负分数3. 负数和 0；正数和 0；负整数和 0；正整数和 04. 原点、单位长度、正方向、直线； 有理数． 5. 表示数 比较大小 表示距离 6. 大，小；大；大于，小于，大于 7. 符号不同．0 的相反数为 0． 8. 数轴，距离9. 它本身；负数的绝对值是它的相反数；0 的绝对值是 0a ( a 0) a 0 ( a 0)a ( a 0)右侧框内答案框 2：图略框 3：-a ，a ，-a +b框 4：正数和 0，负数和 0精讲精练1. 下降 8 m收入 50 元-2℃+50 m -30 m2. A3. A4. ①7，2 015，0.618，3.14，+3； ②-2， 2，-1.732，-53 ③-2，7，0，2 015，-5，+3； ④-2， 2，0，-1.732，-53⑤7，0，2 015，+3；⑥-2，7， 2，0，2 015，0.618，3.14，-1.732，-5，+335.2 21 0 11 33 2图略；6. B7. -4，-3，-2，-1 8. ±3 9. 99 10. -2.511. B12. ±2；-5，1，-1，513. C 14. D 15. B 16. C 17. C 18. C19. 3.51 2-5 -x -x -m +n20. 1， 3 ，-(-2)3 21. D 22. ±3 3 -2 23. ±7-7 24. （1） 11； （2）4.2 4.2 0； （3）35 8；3（4）2 2 0；（5）3 6.2 18.6；（6）2 143 32 3 1 ． 3 14 7。

第三讲：数轴与绝对值模块一 绝对值及其性质：观察图形，探究知识：在图中，我们能得到下面的信息：1. 大象在数轴上表示的数为___________，这个数到原点的距离为____________。

2. 两只小狗在数轴上表示的数分别是－3与3，我们知道－3与3是相反数，它们只有符号 不同，它们什么相同呢？答：它们到原点的距离____________，都等于___________。

学习归纳：在数轴上，一个数所对应点与原点的________，叫做这个数的绝对值。

导学练习：1. －3的绝对值是表示－3的点到原点的距离，－3的绝对值是_______，记作33=-； 3的绝对值是表示_______________________，3的绝对值是______，记作：________。

2. =-12____________，=325____________，=-5.0____________。

学习归纳：1. 一个正数的绝对值是它_______，一个负数的绝对值是它的_______，0的绝对值是____。

即：当a 是正数时，____=a ；当a 是负数时，____=a ；当a 是零时，____=a 。

2. 如果a 表示有理数，那么a 表示_________________________________；从而可知：a 是一个_______数或________，即a 是一个非负数。

3. 若a 、b 为有理数，且0=+b a ，则=a _______，=b _______。

4. 互为相反数的两个数的绝对值____________。

即：若6=a ，则=a 。

模块二 利用绝对值比较两个负数的大小做一做：（1）在数轴上表示下列各数，并比较它们的大小：5.1- 3- 1- 5-（2）求出（1）中各数的绝对值，并比较它们的大小：（3）你发现了什么？两个负数比较大小，绝对值大的反而小。

典型例题讲解(理解新知识)：题型一：利用绝对值求有理数例1（1）若2=x ，则=x ；(2) 已知2=a ，3=b ，且b a >，求a 、b 的值。