2017步步高《单元滚动检测卷》高考数学精练8立体几何与空间向量.doc

步步高高考复习训练 空间向量及其运算一、选择题1．若{a ，b ，c }为空间的一组基底，则下列各项中，能构成基底的一组向量是( )．A ．{a ，a ＋b ，a －b }B ．{b ，a ＋b ，a －b }C ．{c ，a ＋b ，a －b }D ．{a ＋b ，a －b ，a ＋2b }解析 若c 、a ＋b 、a －b 共面，则c ＝λ(a ＋b )＋m (a －b )＝(λ＋m )a ＋(λ－m )b ，则a 、b 、c 为共面向量，此与{a ，b ，c }为空间向量的一组基底矛盾，故c ，a ＋b ，a －b 可构成空间向量的一组基底． 答案 C2．以下四个命题中正确的是( )．A ．空间的任何一个向量都可用其他三个向量表示B ．若{a ，b ，c }为空间向量的一组基底，则{a ＋b ，b ＋c ，c ＋a }构成空间向量的另一组基底C ．△ABC 为直角三角形的充要条件是AB →·AC →＝0 D ．任何三个不共线的向量都可构成空间向量的一组基底解析 若a ＋b 、b ＋c 、c ＋a 为共面向量，则a ＋b ＝λ(b ＋c )＋μ(c ＋a )，(1－μ)a ＝(λ－1)b ＋(λ＋μ)c ，λ，μ不可能同时为1，设μ≠1，则a ＝λ－11－μb＋λ＋μ1－μc ，则a 、b 、c 为共面向量，此与{a ，b ，c }为空间向量基底矛盾． 答案 B3．有下列命题：①若p ＝x a ＋y b ，则p 与a ，b 共面； ②若p 与a ，b 共面，则p ＝x a ＋y b .③若MP →＝xMA →＋yMB →，则P ，M ，A 、B 共面；④若P ，M ，A ，B 共面，则MP →＝xMA →＋yMB →.其中真命题的个数是( )．A ．1B ．2C ．3D ．4 解析 其中①③为正确命题． 答案 B4. 如图，在底面ABCD 为平行四边形的四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 是AC 与BD 的交点，若AB ＝a ，11A D ＝b ，1A A ＝c 则下列向量中与1B M 相等的向量是( )A ．－12a ＋12b ＋cB.12a ＋12b ＋cC.12a －12b ＋cD ．－12a －12b ＋c解析 1B M ＝1B A ＋AM ＝1B B ＋BA ＋AM ＝－12a ＋12b ＋c .答案 A5．如图所示，已知空间四边形OABC ，OB ＝OC ，且∠AOB ＝∠AOC ＝π3，则cos 〈OA →，BC →〉的值为( )．A ．0 B.12 C.32D.22解析 设OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c由已知条件〈a ，b 〉＝〈a ，c 〉＝π3，且|b |＝|c |，OA →·BC →＝a ·(c －b )＝a·c －a·b＝12|a||c |－12|a||b|＝0，∴cos 〈OA →，BC →〉＝0.答案 A6．如图，在大小为45°的二面角A －EF －D 中，四边形ABFE ，CDEF 都是边长为1的正方形，则B ，D 两点间的距离是( )A. 3B. 2 C ．1D.3－ 2解析 ∵BD →＝BF →＋FE →＋ED →，∴|BD →|2＝|BF →|2＋|FE →|2＋|ED →|2＋2BF →·FE →＋2FE →·ED →＋2BF →·ED →＝1＋1＋1－2＝3－2，故|BD →|＝3－ 2. 答案 D 7．下列命题中①若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c ；②不等式|a ＋b |＜|a |＋|b |的充要条件是a 与b 不共线；③若非零向量c 垂直于不共线的向量a 和b ，d ＝λa ＋μb (λ、μ∈R ，且λμ≠0)，则c ⊥d . 正确命题的个数是( )．A ．0B ．1C ．2D ．3 解析 只有命题③是正确命题． 答案 B 二、填空题8．如图所示，已知空间四边形OABC ，其对角线为OB 、AC ，M 、N 分别为OA 、BC 的中点，点G 在线段MN 上，且MG →＝2GN →，若OG →＝xOA →＋yOB →＋zOC →，则x ，y ，z 的值分别为________________．解析 ∵OG →＝OM →＋MG →＝12OA →＋23MN →＝12OA →＋23(ON →－OM →) ＝12OA →＋23ON →－23OM → ＝12OA →＋23×12(OB →＋OC →)－23×12OA → ＝16OA →＋13OB →＋13OC → ∴x ，y ，z 的值分别为16，13，13.答案16，13，139. 设,x y ∈R ，向量()()()4,2,,1,1,-===c y b x a ，且c b c a //,⊥，_______=解析 2402,//(3,1)242x x a c b c a b y y -==⎧⎧⊥⇔⇔⇒+=-=⎨⎨=-=-⎩⎩答案10．在平行六面体(即六个面都是平行四边形的四棱柱)ABCD －A′B′C′D′中，AB ＝1，AD ＝2，AA′＝3，∠BAD ＝90°，∠BAA′＝∠DAA′＝60°，则AC′的长为________．解析 如图，AC′→＝AB →＋BC →＋CC′→＝AB →＋AD →＋AA′→，所以|AC′|＝|AC′→|＝|AB →＋AD →＋AA′→|＝AB →2＋AD →2＋AA′→2＋AB →·AD →＋AB →·AA′→＋AD →·AA′→＝1＋4＋9＋＋＝23.答案 2311．已知ABCD －A 1B 1C 1D 1为正方体，①(11A A ＋11A D ＋11A B )2＝311A B 2；②1A C ·(11A B －11A A )＝0；③向量1AD 与向量1A B 的夹角是60°；④正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的体积为|AB ·1AA ·AD |.其中正确命题的序号是________． 解析 由1AA ⊥11A D ，1AA ⊥11A B ，11A D ⊥11A B ⊥11A B ，得(1A A ＋11A D ＋11A B )2＝3(11A B )2，故①正确；②中11A B －1A A ＝1AB ，由于AB 1⊥A 1C ，故②正确；③中A 1B 与AD 1两异面直线所成角为60°，但1AD 与1A B 的夹角为120°，故③不正确；④中|AB ·1AA ·AD |＝0.故④也不正确． 答案 ①②12．如图，空间四边形OABC 中，OA ＝8，AB ＝6，AC ＝4，BC ＝5，∠OAC ＝45°，∠OAB ＝60°，则OA 与BC 所成角的余弦值等于________．X解析 设OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c .OA 与BC 所成的角为θ， OA →·BC →＝a (c －b )＝a ·c －a ·b ＝a ·(a ＋AC →)－a ·(a ＋AB →)＝a 2＋a ·AC →－a 2－a ·AB →＝24－16 2.∴cos θ＝|OA →·BC →||OA →|·|BC →|＝24－1628×5＝3－225.答案3－225三、解答题13．已知非零向量e 1，e 2不共线，如果AB ＝e 1＋e 2，AC ＝2e 1＋8e 2，AD ＝3e 1－3e 2，求证：A 、B 、C 、D 共面．证明 令λ(e 1＋e 2)＋μ(2e 1＋8e 2)＋v (3e 1－3e 2)＝0. 则(λ＋2μ＋3v )e 1＋(λ＋8μ－3v )e 2＝0. ∵e 1，e 2不共线，∴⎩⎨⎧λ＋2μ＋3v ＝0，λ＋8μ－3v ＝0.易知⎩⎨⎧λ＝－5，μ＝1，v ＝1，是其中一组解，则－5AB ＋AC ＋AD ＝0. ∴A 、B 、C 、D 共面．14．如右图，在棱长为a 的正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，G 为△BC 1D 的重心， (1)试证A 1、G 、C 三点共线； (2)试证A 1C ⊥平面BC 1D ； (3)求点C 到平面BC 1D 的距离．解析 (1)证明 CA 1→＝CB →＋BA →＋AA 1→＝CB →＋CD →＋CC 1→， 可以证明：CG →＝13(CB →＋CD →＋CC 1→)＝13CA 1→，∴CG →∥CA 1→即A 1、G 、C 三点共线．(2)证明 设CB →＝a ，CD →＝b ，CC 1→＝c ，则|a |＝|b |＝|c |＝a ， 且a·b ＝b·c ＝c·a ＝0， ∵CA 1→＝a ＋b ＋c ，BC 1→＝c －a ，∴CA 1→·BC 1→＝(a ＋b ＋c )·(c －a )＝c 2－a 2＝0， ∴CA 1→⊥BC 1→，即CA 1⊥BC 1，同理可证：CA 1→⊥BD →， 因此A 1C ⊥平面BC 1D .(3) ∵CA 1→＝a ＋b ＋c ，∴CA 1→2＝a 2＋b 2＋c 2＝3a 2，即|CA 1→|＝3a ，因此|CG →|＝33a .即C 到平面BC 1D 的距离为33a . 15．把边长为a 的正方形ABCD 沿对角线AC 折起成直二面角，点E 、F 分别是AD 、BC 的中点，点O 是原正方形的中心，求： (1)EF 的长；(2)折起后∠EOF 的大小．解析 如图，以O 点为原点建立空间直角坐标系O －xyz ，则A （0，－22a,0），B （22a,0,0），C （0，22a,0），D （0,0，22a ），E （0，－24a ，24a ）， F （24a ，24a,0）.(1)|EF →|2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫24a －02＋⎝ ⎛⎭24a ＋24a ⎝⎭＝34a 2，∴|EF |＝32a .(2)OE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－24a ，24a ，OF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫24a ，24a ，0，OE →·OF →＝0×24a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－24a ×⎝ ⎛⎭⎪⎫24a ＋24a ×0＝－a 28，|OE →|＝a 2，|OF →|＝a 2，cos 〈OE →，OF →〉＝OE →·OF →|OE →||OF →|＝－12，∴∠EOF ＝120°.16．如图所示，已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线长都等于1，点E ，F ，G 分别是AB 、AD 、CD 的中点，计算：(1)EF →·BA →； (2)EF →·DC →；(3)EG 的长； (4)异面直线AG 与CE 所成角的余弦值． 解析 设AB →＝a ，AC →＝b ，AD →＝c . 则|a |＝|b |＝|c |＝1，〈a ，b 〉＝〈b ，c 〉＝〈c ，a 〉＝60°， (1)EF →＝12BD →＝12c －12a ，BA →＝－a ，DC →＝b －c ， (2)EF →·BA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12c －12a ·(－a )＝12a 2－12a·c ＝14，EF →·DC →＝12(c －a )·(b －c )＝12(b·c －a·b －c 2＋a·c )＝－14；(3)EG →＝EB →＋BC →＋CG →＝12a ＋b －a ＋12c －12b＝－12a ＋12b ＋12c ，|EG →|2＝14a 2＋14b 2＋14c 2－12a·b ＋12b·c －12c·a＝12，则|EG →|＝22. (4)AG →＝12b ＋12c ，CE →＝CA →＋AE →＝－b ＋12a ，cos 〈AG →，CE →〉＝AG →·CE→|AG →||CE →|＝－23，由于异面直线所成角的范围是(0°，90°]， 所以异面直线AG 与CE 所成角的余弦值为23.。

高三单元滚动检测卷·数学考生注意：1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共4页。

2．答卷前，考生务必用蓝、黑色字迹的钢笔或圆珠笔将自己的姓名、班级、学号填写在相应位置上。

3．本次考试时间120分钟，满分150分。

滚动检测五第Ⅰ卷一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.设全集U＝R，集合A＝{x|x(x－2)＜0}，B＝{x|x＜a}，若A与B的关系如图所示，则实数a的取值范围是()A．[0，＋∞)B．(0，＋∞)C．[2，＋∞)D．(2，＋∞)2．两个函数的图像经过平移后能够重合，称这两个函数为“同根函数”，给出四个函数：f1(x)＝2log2(x＋1)，f2(x)＝log2(x＋2)，f3(x)＝log2x2，f4(x)＝log2(2x)，则“同根函数”是() A．f2(x)与f4(x) B．f1(x)与f3(x)C．f1(x)与f4(x) D．f3(x)与f4(x)3．若命题p：函数y＝lg(1－x)的值域为R；命题q：函数y＝2cos x是偶函数，且是R上的周期函数，则下列命题中为真命题的是()A．p且q B．(綈p)或(綈q)C．(綈p)且q D．p且(綈q)4．(2015·河南名校联考)在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，若a2＋b2＝2 016c2，则2tan A·tan Btan C(tan A＋tan B)的值为()A．0 B．2 014 C．2 015 D．2 0165．(2015·渭南模拟)已知椭圆x24＋y23＝1上有n个不同的点P1，P2，…，P n，且椭圆的右焦点为F ，数列{|P n F |}是公差大于11 000的等差数列，则n 的最大值为( )A ．2 001B ．2 000C ．1 999D ．1 9986．(2015·河北衡水中学第二次调研考试)已知f (x )，g (x )都是定义在R 上的函数，g (x )≠0，f ′(x )g (x )＞f (x )g ′(x )，且f (x )＝a x g (x )(a ＞0，且a ≠1)，f (1)g (1)＋f (－1)g (－1)＝52.若数列{f (n )g (n )}的前n 项和大于62，则n 的最小值为( ) A ．6 B ．7 C ．8 D ．97．在三棱锥P －ABC 中，P A ⊥平面ABC ，AC ⊥BC ，D 为侧棱PC 上的一点，它的主视图和左视图如图所示，则下列命题正确的是( )A ．AD ⊥平面PBC 且三棱锥D －ABC 的体积为83B ．BD ⊥平面P AC 且三棱锥D －ABC 的体积为83C ．AD ⊥平面PBC 且三棱锥D －ABC 的体积为163D ．BD ⊥平面P AC 且三棱锥D －ABC 的体积为1638．若tt 2＋9≤a ≤t ＋2t 2在t ∈(0,2]上恒成立，则a 的取值范围是( )A ．[16，1]B ．[16，2 2 ]C ．[16，413]D ．[213，1]9．已知点G 为△ABC 的重心，∠A ＝120°，A B →·A C →＝－2，则|A G →|的最小值是( ) A.33 B.22 C.23 D.3410．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≤3x －2，x －2y ＋1≤0，2x ＋y ≤8，则lg(y ＋1)－lg x 的取值范围为( )A ．[0,1－2lg 2]B ．[1，52]C ．[12，lg 2]D ．[－lg 2,1－2lg 2]11．若存在过点(1,0)的直线与曲线y ＝x 3和y ＝ax 2＋154x －9都相切，则a 等于( )A ．－1或－2564B ．－1或214C ．－74或－2564D ．－74或712．如图，一栋建筑物的高为(30－103)m ，在该建筑物的正东方向有一个通信塔CD ，在它们之间的地面点M (B ，M ，D 三点共线)处测得楼顶A ，塔顶C 的仰角分别为15°和60°，在楼顶A 处测得塔顶C 的仰角为30°，则通信塔CD 的高为( )A ．30 3 mB ．50 mC ．60 mD ．20 6 m第Ⅱ卷二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．已知棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，P ，Q 是面对角线A 1C 1上的两个不同动点，给出以下判断：①存在P ，Q 两点，使BP ⊥DQ ； ②存在P ，Q 两点，使BP ∥DQ ；③若PQ ＝1，则四面体BDPQ 的体积一定是定值； ④若PQ ＝1，则四面体BDPQ 的表面积是定值；⑤若PQ ＝1，则四面体BDPQ 在该正方体六个面上的正投影的面积的和为定值．其中真命题是________．(将正确命题的序号全填上)14．已知矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝a ，若P A ⊥平面AC ，在BC 边上取点E ，使PE ⊥DE ，则满足条件的E 点有两个时，a 的取值范围是________．15．设a >1，若曲线y ＝1x 与直线y ＝0，x ＝1，x ＝a 所围成封闭图形的面积为2，则a ＝________.16．已知M 是△ABC 内的一点(不含边界)，且A B →·A C →＝23，∠BAC ＝30°，若△MBC ，△BMA 和△MAC 的面积分别为x ，y ，z ，记f (x ，y ，z )＝1x ＋4y ＋9z，则f (x ，y ，z )的最小值是________．三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(10分)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，－π2＜φ＜π2，x ∈R )的部分图像如图所示．(1)求函数y ＝f (x )的解析式；(2)当x ∈[－π，－π6]时，求f (x )的取值范围．18．(12分)已知向量a ＝(1,1)，向量a 与向量b 的夹角为3π4，且a ·b ＝－1.(1)求向量b ；(2)若向量b 与q ＝(1,0)共线，向量p ＝(2cos 2C2，cos A )，其中A ，B ，C 为△ABC 的内角，且A ，B ，C 依次成等差数列，求|b ＋p |的取值范围．19．(12分)(2015·咸阳模拟)数列{a n }的前n 项和为S n ，且a n 是S n 和1的等差中项，等差数列{b n }满足b 1＝a 1，b 4＝S 3.(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式；(2)设c n ＝1b n b n ＋1，数列{c n }的前n 项和为T n ，证明：13≤T n ＜12.20．(12分)(2015·保定调研)已知函数f (x )＝ln x ＋ax －a 2x 2(a ≥0)． (1) 若x ＝1是函数y ＝f (x )的极植点，求a 的值； (2)若f (x )＜0在定义域内恒成立，求实数a 的取值范围．21．(12分)如图，P －AD －C 是直二面角，四边形ABCD 是∠BAD ＝120°的菱形，AB ＝2，P A ⊥AD ，E 是CD 的中点，设PC 与平面ABCD 的夹角为45°.(1)求证：平面P AE ⊥平面PCD ；(2)试问在线段AB (不包括端点)上是否存在一点F ，使得平面P AF 与平面PDF 的夹角为45°？若存在，请求出AF 的长，若不存在，请说明理由．22．(12分)(2015·合肥第二次质检)已知△ABC 的三边长|AB |＝13，|BC |＝4，|AC |＝1，动点M 满足CM →＝λCA →＋μCB →，且λμ＝14.(1)求|CM →|最小值，并指出此时CM →与C A →，C B →的夹角；(2)是否存在两定点F 1，F 2，使||MF 1→|－|MF 2→||恒为常数k ？，若存在，指出常数k 的值，若不存在，说明理由．答案解析1．C 2.A 3.A 4.C 5.B 6.A 7.C 8.D 9.C 10.A 11.A 12.C 13．①③⑤解析 当P 与A 1点重合，Q 与C 1点重合时，BP ⊥DQ ， 故①正确；BP 与DQ 异面，故②错误；设平面A 1B 1C 1D 1两条对角线交点为O ，则易得PQ ⊥平面OBD ，平面OBD 可将四面体BDPQ 分成两个底面均为平面OBD ，高之和为PQ 的棱锥，故四面体BDPQ 的体积一定是定值， 故③正确；若PQ ＝1，则四面体BDPQ 的表面积不是定值， 故④错误；四面体BDPQ 在上下两个底面上的投影是对角线互相垂直且对角线长度分别为1和2的四边形，其面积为定值，四面体BDPQ 在四个侧面上的投影， 均为上底为22，下底和高均为1的梯形，其面积为定值， 故四面体BDPQ 在该正方体六个面上的投影的面积的和为定值， 故⑤正确． 14．a >6解析 以A 点为原点，AB ，AD ，AP 所在直线分别为x ，y ，z 轴，如图所示．则D (0，a,0)，设P (0,0，b )，E (3，x,0)，PE →＝(3，x ，－b )，DE →＝(3，x －a,0)， ∵PE ⊥DE ，∴PE →·DE →＝0，∴9＋x (x －a )＝0，即x 2－ax ＋9＝0， 由题意可知方程有两个不同根， ∴Δ>0，即a 2－4×9>0，又a >0，∴a >6. 15．e 2解析 ∵a >1，曲线y ＝1x 与直线y ＝0，x ＝1，x ＝a 所围成封闭图形的面积为2，∴ʃa 11x d x ＝2，∴ |ln x a 1＝2，ln a ＝2，∴a ＝e 2. 16．36解析 由题意得A B →·A C →＝|A B →|·|A C →|cos ∠BAC ＝23，则|A B →|·|A C →|＝4，∴△ABC 的面积为12|A B →|·|A C →|·sin ∠BAC ＝1，x ＋y ＋z ＝1，∴f (x ，y ，z )＝1x ＋4y ＋9z ＝x ＋y ＋z x ＋4(x ＋y ＋z )y ＋9(x ＋y ＋z )z ＝14＋(y x ＋4x y )＋(9x z ＋z x )＋(4zy ＋9y z )≥14＋4＋6＋12＝36(当且仅当x ＝16，y ＝13，z ＝12时，等号成立)． 17．解 (1)由图像得A ＝1，T 4＝2π3－π6＝π2，所以T ＝2π，则ω＝1， 将(π6，1)代入得1＝sin(π6＋φ)， 而－π2＜φ＜π2，所以φ＝π3，因此函数f (x )＝sin(x ＋π3)．(2)由于x ∈[－π，－π6]，－2π3≤x ＋π3≤π6，所以－1≤sin(x ＋π3)≤12，所以f (x )的取值范围是[－1，12]．18．解 (1)设b ＝(x ，y )，则a ·b ＝x ＋y ＝－1，① 又向量b 与向量a 的夹角为3π4，∴x 2＋y 2＝1，② 由①②解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－1y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝－1.∴b ＝(－1,0)或b ＝(0，－1)．(2)由向量b 与q ＝(1,0)共线知b ＝(－1,0)， 由2B ＝A ＋C 得B ＝π3，A ＋C ＝2π3，0＜A ＜2π3，∵b ＋p ＝(cos C ，cos A )，∴|b ＋p |2＝cos 2C ＋cos 2A ＝1＋cos 2A 2＋1＋cos 2C2＝1＋12[cos 2A ＋cos(4π3－2A )]＝1＋12cos(2A ＋π3)．∵0＜A ＜2π3，π3＜2A ＋π3＜5π3，∴－1≤cos(2A ＋π3)＜12，∴12≤1＋12cos(2A ＋π3)＜54， 即|b ＋p |2∈[12，54)，∴|b ＋p |∈[22，52)． 19．(1)解 ∵a n 是S n 和1的等差中项， ∴S n ＝2a n －1.当n ＝1时，a 1＝S 1＝2a 1－1，∴a 1＝1；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2a n －1)－(2a n －1－1)＝2a n －2a n －1. ∴a n ＝2a n －1，即a na n －1＝2，∴数列{a n }是以a 1＝1为首项，2为公比的等比数列， ∴a n ＝2n －1，S n ＝2n －1.设{b n }的公差为d ，b 1＝a 1＝1，b 4＝1＋3d ＝7， ∴d ＝2，∴b n ＝1＋(n －1)×2＝2n －1. (2)证明 c n ＝1b n b n ＋1＝1(2n －1)(2n ＋1)＝12(12n －1－12n ＋1)． ∴T n ＝12(1－13＋13－15＋…＋12n －1－12n ＋1)＝12(1－12n ＋1)＝n 2n ＋1， ∵n ∈N ＋，∴T n ＝12(1－12n ＋1)＜12，T n －T n －1＝n 2n ＋1－n －12n －1＝1(2n ＋1)(2n －1)＞0，∴数列{T n }是一个递增数列， ∴T n ≥T 1＝13，综上所述，13≤T n ＜12.20．解 (1)函数的定义域为(0，＋∞)， f ′(x )＝－2a 2x 2＋ax ＋1x.因为x ＝1是函数y ＝f (x )的极值点， 所以f ′(1)＝1＋a －2a 2＝0，解得a ＝－12(舍去)或a ＝1，经检验，当a ＝1时，x ＝1是函数y ＝f (x )的极值点，所以a ＝1. (2)当a ＝0时，f (x )＝ln x ，显然在定义域内不满足f (x )＜0恒成立； 当a ＞0时，令f ′(x )＝(2ax ＋1)(－ax ＋1)x ＝0得，x 1＝－12a (舍去)，x 2＝1a，所以当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：所以f (x )max ＝f (1a )＝ln 1a ＜0，所以a ＞1.综上可得a 的取值范围是(1，＋∞)．21．(1)证明 因为P A ⊥AD ，二面角P －AD －C 是直二面角，所以P A ⊥平面ABCD ，因为DC 平面ABCD ，所以P A ⊥CD ， 连接AC ，因为ABCD 为菱形，∠BAD ＝120°， 所以∠CAD ＝60°，∠ADC ＝60°， 所以△ADC 是等边三角形． 因为E 是CD 的中点， 所以AE ⊥CD ，因为P A ∩AE ＝A ，所以CD ⊥平面P AE ， 而CD 平面PCD ，所以平面P AE ⊥平面PCD .(2)解 方法一 以A 为坐标原点，AB ，AE ，AP 所在直线分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系．因为P A ⊥平面ABCD ，所以∠PCA 是PC 与平面ABCD 的夹角， 所以∠PCA ＝45°，所以P A ＝AC ＝AB ＝2，于是P (0,0,2)，D (－1，3，0)，PD →＝(－1，3，－2)． 设AF ＝λ，则0<λ<2，F (λ，0,0)， 所以PF →＝(λ，0，－2)．设平面PFD 的法向量为n 1＝(x ，y ，z )， 则有n 1·PD →＝0，n 1·PF →＝0，所以⎩⎨⎧－x ＋3y －2z ＝0，λx －2z ＝0，令x ＝1，则z ＝λ2，y ＝λ＋13，所以平面PFD 的法向量为n 1＝(1，λ＋13，λ2)．而平面APF 的法向量为n 2＝(0,1,0)． 所以|cos 〈n 1，n 2〉|＝2|λ＋1|7λ2＋8λ＋16＝22，整理得λ2＋8λ－8＝0，解得λ＝26－4(或λ＝－26－4舍去)， 因为0<26－4<2， 所以在AB 上存在一点F ，使得平面P AF 与平面PDF 的夹角为45°， 此时AF ＝26－4.方法二 设AF ＝x ，延长BA ，过点D 作BA 延长线的垂线DH ， 垂足为H .由于DH ⊥AB ，P A ⊥DH ，且P A ∩AB ＝A ， 故DH ⊥平面P AB ，过H 作PF 的垂线HO ，O 为垂足，再连接DO ， 可得DO ⊥PF ，则∠HOD 就为二面角A －PF －D 的平面角． 在Rt △ADH 中，求得AH ＝1，DH ＝3，∵P A ⊥平面ABCD ，∴∠PCA 是PC 与平面ABCD 的夹角，∴∠PCA ＝45°， ∴P A ＝AC ＝AB ＝2，在△PFH 中，FH ＝AF ＋AH ＝x ＋1，P A ＝2， OH ＝2(1＋x )4＋x2， 在Rt △HOD 中，当∠HOD ＝45°时，则有OH ＝DH ， 此时2(1＋x )4＋x 2＝3，解得x ＝26－4(负值舍去)， 因为0<26－4<2，所以在AB 上存在一点F ，使得平面P AF 与平面PDF 的夹角为45°，此时AF ＝26－4.22．解 (1)由余弦定理知cos ∠ACB ＝12＋42－132×1×4＝12⇒∠ACB ＝π3， 因为|CM →|2＝CM →2＝(λC A →＋μC B →)2＝λ2＋16μ2＋2λμC A →·C B →＝λ2＋1λ2＋1≥3， 所以|CM →|≥3，当且仅当λ＝±1时，“＝”成立，故|CM →|的最小值是3，此时〈CM →，C A →〉＝〈CM →，C B →〉＝π6或5π6. (2)以C 为坐标原点，∠ACB 的平分线所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系(如图)，所以A (32，12)，B (23，－2)，设动点M (x ，y )， 因为CM →＝λC A →＋μC B →， 所以⎩⎨⎧x ＝32λ＋23μ，y ＝12λ－2μ⇒⎩⎨⎧ x 23＝(λ2＋2μ)2，y 2＝(λ2－2μ)2，再由λμ＝14知x 23－y 2＝1， 所以动点M 的轨迹是以F 1(－2,0)，F 2(2,0)为焦点，实轴长为23的双曲线，即||MF 1→|－|MF 2→||恒为常数23，即存在k ＝2 3.。

【步步高】（某某专用）2017版高考数学一轮复习 第八章 立体几何8.5 空间向量及其运算 理1.空间向量的有关概念 名称 概念 表示 零向量 模为0的向量 0 单位向量 长度(模)为1的向量相等向量 方向相同且模相等的向量 a ＝b相反向量 方向相反且模相等的向量a 的相反向量为－a共线向量 表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量a ∥b共面向量平行于同一个平面的向量2.空间向量中的有关定理 (1)共线向量定理对空间任意两个向量a ，b (a ≠0)，b 与a 共线的充要条件是存在实数λ，使得b ＝λa . 推论 如图所示，点P 在l 上的充要条件是OP →＝OA →＋t a ①其中a 叫直线l 的方向向量，t ∈R ，在l 上取AB →＝a ，则①可化为OP →＝OA →＋tAB →或OP →＝(1－t )OA →＋tOB →.(2)共面向量定理如果两个量a ，b 不共线，那么向量p 与向量a ，b 共面的充要条件是存在有序实数组(x ，y )，使得p ＝x a ＋y b .推论的表达式为MP →＝xMA →＋yMB →或对空间任意一点O ，有OP →＝OM →＋xMA →＋yMB →或OP →＝xOM →＋yOA →＋zOB →，其中x ＋y ＋z ＝ 1 .(3)空间向量基本定理如果三个向量e 1，e 2，e 3不共面，那么对空间任一向量p ，存在惟一的有序实数组(x ，y ，z )，使p ＝x e 1＋y e 2＋z e 3，空间中不共面的三个向量e 1，e 2，e 3叫作这个空间的一个基底. 3.空间向量的数量积及运算律 (1)数量积及相关概念 ①两向量的夹角a ，b 是空间两个非零向量，过空间任意一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB 叫做向量a 与向量b 的夹角，记作〈a ，b 〉，其X 围是0≤〈a ，b 〉≤π，若〈a ，b 〉＝π2，则称a 与b 互相垂直，记作a ⊥b . ②两向量的数量积已知空间两个非零向量a ，b ，则|a ||b |cos 〈a ，b 〉叫做向量a ，b 的数量积，记作a ·b ，即a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉. (2)空间向量数量积的运算律 ①结合律：(λa )·b ＝λ(a ·b )； ②交换律：a ·b ＝b ·a ；③分配律：a ·(b ＋c )＝a ·b ＋a ·c . 4.空间向量的坐标表示及其应用 设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3).【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)空间中任意两非零向量a ，b 共面.( √ )(2)在向量的数量积运算中(a ·b )·c ＝a ·(b ·c ).( × ) (3)对于非零向量b ，由a ·b ＝b ·c ，则a ＝c .( × )(4)两向量夹角的X 围与两异面直线所成角的X 围相同.( × ) (5)若A 、B 、C 、D 是空间任意四点，则有AB →＋BC →＋CD →＋DA →＝0.( √ )(6)对空间任意一点O 与不共线的三点A ，B ，C ，若OP →＝xOA →＋yOB →＋zOC →(其中x ，y ，z ∈R )，则P ，A ，B ，C 四点共面.(×)1.如图所示，在平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 为A 1C 1与B 1D 1的交点.若AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，则向量BM →＝(用a ，b ，c 表示).答案 －12a ＋12b ＋c解析 BM →＝BB 1→＋B 1M →＝AA 1→＋12(AD →－AB →)＝c ＋12(b －a )＝－12a ＋12b ＋c .2.与向量(－3，－4,5)共线的单位向量是. 答案 ⎝⎛⎭⎪⎫3210，4210，－22和⎝ ⎛⎭⎪⎫－3210，－4210，22 解析 因为与向量a 共线的单位向量是±a|a |，又因为向量(－3，－4,5)的模为－32＋－42＋52＝52，所以与向量(－3，－4,5)共线的单位向量是±152(－3，－4，5)＝±210(－3，－4,5).3.如图，在四面体O －ABC 中，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，D 为BC 的中点，E 为AD 的中点，则OE →＝(用a ，b ，c 表示).答案 12a ＋14b ＋14c解析 OE →＝12OA →＋12OD →＝12OA →＋14OB →＋14OC →＝12a ＋14b ＋14c . 4.(教材改编)已知a ＝(2,4，x )，b ＝(2，y,2)，若|a |＝6，且a ⊥b ，则x ＋y 的值为. 答案 1或－3解析 依题意得⎩⎪⎨⎪⎧4＋4y ＋2x ＝0，4＋16＋x 2＝36解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝－3，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4，y ＝1.5.(教材改编)正四面体ABCD 的棱长为2，E ，F 分别为BC ，AD 中点，则EF 的长为. 答案2解析 |EF →|2＝EF 2→＝(EC →＋CD →＋DF →)2＝EC 2→＋CD 2→＋DF 2→＋2(EC →·CD →＋EC →·DF →＋CD →·DF →)＝12＋22＋12＋2(1×2×cos 120°＋0＋2×1×cos 120°) ＝2，∴|EF →|＝2，∴EF 的长为 2.题型一 空间向量的线性运算例1 (1)已知在空间四边形OABC 中，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，点M 在OA 上，且OM ＝2MA ，N 为BC 的中点，则MN →＝(用a ，b ，c 表示).(2)如图所示，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，O 为AC 的中点.①化简A 1O →－12AB →－12AD →＝；②用AB →，AD →，AA 1→表示OC 1→，则OC 1→＝.答案 (1)－23a ＋12b ＋12c(2)①A 1A →②12AB →＋12AD →＋AA 1→解析 (1)显然MN →＝ON →－OM →＝12(OB →＋OC →)－23OA → ＝－23a ＋12b ＋12c .(2)①A 1O →－12AB →－12AD →＝A 1O →－12(AB →＋AD →)＝A 1O →－AO → ＝A 1O →＋OA →＝A 1A →. ②OC →＝12AC →＝12(AB →＋AD →)，∴OC 1→＝OC →＋CC 1→＝12(AB →＋AD →)＋AA 1→＝12AB →＋12AD →＋AA 1→. 引申探究1.若本例(1)中将“点M 在OA 上，且OM ＝2MA ”改为“M 为OA 的中点，点G 在线段MN 上，且MG →＝2GN →”，则OG →＝.答案 16a ＋13b ＋13c解析 如图所示，∵OG →＝OM →＋MG → ＝12OA →＋23MN →23＝12OA →＋23ON →－23OM → ＝12OA →＋23×12(OB →＋OC →)－23×12OA → ＝16OA →＋13OB →＋13OC → ＝16a ＋13b ＋13c . 2.若本例(2)中条件不变，问题改为：设E 是棱DD 1上的点，且DE →＝23DD 1→，若EO →＝xAB →＋yAD →＋zAA 1→，试求x ，y ，z 的值.解 EO →＝ED →＋DO → ＝－23DD 1→＋12(DA →＋DC →)＝12AB →－12AD →－23AA 1→， 由条件知，x ＝12，y ＝－12，z ＝－23.思维升华 用已知向量表示某一向量的方法用已知向量来表示未知向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键.要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义.首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量.在立体几何中三角形法则、平行四边形法则仍然成立.在三棱锥O －ABC 中，M ，N 分别是OA ，BC 的中点，G 是△ABC 的重心，用基向量OA →，OB →，OC →表示MG →，OG →. 解 MG →＝MA →＋AG →＝12OA →＋23AN →＝12OA →＋23(ON →－OA →) ＝12OA →＋23[12(OB →＋OC →)－OA →] ＝－16OA →＋13OB →＋13OC →.OG →＝OM →＋MG →＝12OA →－16OA →＋13OB →＋13OC →333题型二 共线定理、共面定理的应用例2 已知E 、F 、G 、H 分别是空间四边形ABCD 的边AB 、BC 、CD 、DA 的中点，(1)求证：E 、F 、G 、H 四点共面； (2)求证：BD ∥平面EFGH ；(3)设M 是EG 和FH 的交点，求证：对空间任一点O ，有OM →＝14(OA →＋OB →＋OC →＋OD →).证明 (1)如图，连结BG ，则EG →＝EB →＋BG → ＝EB →＋12(BC →＋BD →)＝EB →＋BF →＋EH →＝EF →＋EH →， 由共面向量定理的推论知：E 、F 、G 、H 四点共面.(2)因为EH →＝AH →－AE →＝12AD →－12AB →＝12(AD →－AB →)＝12BD →， 所以EH ∥BD .又EH ⊂平面EFGH ，BD ⊄平面EFGH ， 所以BD ∥平面EFGH .(3)找一点O ，并连结OM ，OA ，OB ，OC ，OD ，OE ，OG ，如图所示. 由(2)知EH →＝12BD →，同理FG →＝12BD →，所以EH →＝FG →，即EH 綊FG ， 所以四边形EFGH 是平行四边形.所以EG ，FH 交于一点M 且被M 平分. 故OM →＝12(OE →＋OG →)＝12OE →＋12OG →＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤12OA →＋OB →＋12⎣⎢⎡⎦⎥⎤12OC →＋OD → ＝14(OA →＋OB →＋OC →＋OD →). 思维升华 (1)证明点共线的方法证明点共线的问题可转化为证明向量共线的问题，如证明A ，B ，C 三点共线，即证明AB →，AC →共线，亦即证明AB →＝λAC →(λ≠0). (2)证明点共面的方法证明点共面问题可转化为证明向量共面问题，如要证明P ，A ，B ，C 四点共面，只要能证明PA →＝xPB →＋yPC →或对空间任一点O ，有OA →＝OP →＋xPB →＋yPC →或OP →＝xOA →＋yOB →＋zOC (x ＋y ＋z ＝1)即可.共面向量定理实际上也是三个非零向量所在直线共面的充要条件.如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 是A 1B 上的点，F 是AC 上的点，且A 1E ＝2EB ，CF ＝2AF ，则EF 与平面A 1B 1CD 的位置关系为.答案 平行解析 取AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c 为基底， 易得EF →＝－13(a －b ＋c )，而DB 1→＝a －b ＋c ，即EF →∥DB 1→，故EF ∥DB 1， 且EF ⊄平面A 1B 1CD ，DB 1⊂平面A 1B 1CD ， 所以EF ∥平面A 1B 1CD .题型三 空间向量数量积的应用例3 如图所示，已知空间四边形ABCD 的各边和对角线的长都等于a ，点M 、N 分别是AB 、CD 的中点.(1)求证：MN ⊥AB ，MN ⊥CD ； (2)求MN 的长；(3)求异面直线AN 与CM 所成角的余弦值. (1)证明 设AB →＝p ，AC →＝q ，AD →＝r .由题意可知，|p |＝|q |＝|r |＝a ，且p 、q 、r 三向量两两夹角均为60°. MN →＝AN →－AM →＝12(AC →＋AD →)－12AB →＝12(q ＋r －p )， ∴MN →·AB →＝12(q ＋r －p )·p ＝12(q ·p ＋r ·p －p 2)＝12(a 2cos 60°＋a 2cos 60°－a 2)＝0. ∴MN →⊥AB →.即MN ⊥AB .同理可证MN ⊥CD . (2)解 由(1)可知MN →＝12(q ＋r －p )，∴|MN →|2＝14(q ＋r －p )2＝14[q 2＋r 2＋p 2＋2(q ·r －p ·q －r ·p )] ＝14[a 2＋a 2＋a 2＋2(a 22－a 22－a 22)]＝14×2a 2＝a 22. ∴|MN →|＝22a .∴MN 的长为22a .(3)解 设向量AN →与MC →的夹角为θ. ∵AN →＝12(AC →＋AD →)＝12(q ＋r )，MC →＝AC →－AM →＝q －12p ，∴AN →·MC →＝12(q ＋r )·(q －12p )＝12(q 2－12q ·p ＋r ·q －12r ·p ) ＝12(a 2－12a 2cos 60°＋a 2cos 60°－12a 2cos 60°) ＝12(a 2－a 24＋a 22－a 24)＝a 22.又∵|AN →|＝|MC →|＝32a ，∴AN →·MC →＝|AN →||MC →|cos θ＝32a ×32a ×cos θ＝a 22.∴cos θ＝23.∴向量AN →与MC →的夹角的余弦值为23，从而异面直线AN 与CM 所成角的余弦值为23.思维升华 数量积的应用(1)求夹角，设向量a ，b 所成的角为θ，则cos θ＝a ·b|a ||b |，进而可求两异面直线所成的角.(2)求长度(距离)，运用公式|a |2＝a ·a ，可使线段长度的计算问题转化为向量数量积的计算问题.(3)解决垂直问题，利用a ⊥b ⇔a ·b ＝0(a ≠0，b ≠0)，可将垂直问题转化为向量数量积的计算问题.如图所示，四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，底面为平行四边形，以顶点A 为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为60°.(1)求AC 1的长； (2)求证：AC 1⊥BD ；(3)求BD 1与AC 夹角的余弦值. 解 (1)记AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，则|a |＝|b |＝|c |＝1，〈a ，b 〉＝〈b ，c 〉＝〈c ，a 〉＝60°， ∴a ·b ＝b ·c ＝c ·a ＝12.|AC 1→|2＝(a ＋b ＋c )2＝a 2＋b 2＋c 2＋2(a ·b ＋b ·c ＋c ·a ) ＝1＋1＋1＋2×(12＋12＋12)＝6，∴|AC 1→|＝6，即AC 1的长为 6. (2)∵AC 1→＝a ＋b ＋c ，BD →＝b －a ，∴AC 1→·BD →＝(a ＋b ＋c )(b －a )＝a ·b ＋|b |2＋b ·c －|a |2－a ·b －a ·c ＝b ·c －a ·c＝|b |·|c |cos 60°－|a ||c |cos 60°＝0. ∴AC 1→⊥BD →，∴AC 1⊥BD .(3)BD 1→＝b ＋c －a ，AC →＝a ＋b ，∴|BD 1→|＝2，|AC →|＝3，BD 1→·AC →＝(b ＋c －a )·(a ＋b )＝b 2－a 2＋a ·c ＋b ·c ＝1.∴cos〈BD 1→，AC →〉＝BD 1→·AC →|BD 1→||AC →|＝66.∴AC 与BD 1夹角的余弦值为66.10.“两向量同向”意义不清致误典例 已知向量a ＝(1,2,3)，b ＝(x ，x 2＋y －2，y )，并且a ，b 同向，则x ，y 的值分别为. 易错分析 将a ，b 同向和a ∥b 混淆，没有搞清a ∥b 的意义：a 、b 方向相同或相反. 解析 由题意知a ∥b ，所以x 1＝x 2＋y －22＝y3， 即错误!把①代入②得x 2＋x －2＝0，(x ＋2)(x －1)＝0， 解得x ＝－2或x ＝1，当x ＝－2时，y ＝－6；当x ＝1时，y ＝3. 当⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2y ＝－6时，b ＝(－2，－4，－6)＝－2a ，两向量a ，b 反向，不符合题意，所以舍去.当⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝3时，b ＝(1,2,3)＝a ，a 与b同向，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝3.答案 1,3温馨提醒 (1)两向量平行和两向量同向不是等价的，同向是平行的一种情况.两向量同向能推出两向量平行，但反过来不成立，也就是说，“两向量同向”是“两向量平行”的充分不必要条件；(2)若两向量a，b满足a＝λb(b≠0)且λ>0则a，b同向；在a，b的坐标都是非零的条件下，a，b的坐标对应成比例.[方法与技巧]1.利用向量的线性运算和空间向量基本定理表示向量是向量应用的基础.2.利用共线向量定理、共面向量定理可以证明一些平行、共面问题；利用数量积运算可以解决一些距离、夹角问题.3.利用向量解立体几何题的一般方法：把线段或角度转化为向量表示，用已知向量表示未知向量，然后通过向量的运算或证明去解决问题.[失误与防X]1.向量的数量积满足交换律、分配律，即a·b＝b·a，a·(b＋c)＝a·b＋a·c成立，但(a·b)·c＝a·(b·c)不一定成立.2.求异面直线所成的角，一般可以转化为两向量的夹角，但要注意两种角的X围不同，最后应进行转化.A组专项基础训练(时间：40分钟)1.在下列命题中：①若向量a，b共线，则向量a，b所在的直线平行；②若向量a，b所在的直线为异面直线，则向量a，b一定不共面；③若三个向量a，b，c两两共面，则向量a，b，c共面；④已知空间的三个向量a，b，c，则对于空间的任意一个向量p总存在实数x，y，z使得p ＝x a＋y b＋z c.其中正确命题的个数是.答案0解析a与b共线，a，b所在直线也可能重合，故①不正确；根据自由向量的意义知，空间任两向量a，b都共面，故②错误；三个向量a，b，c中任两个一定共面，但它们三个却不一定共面，故③不正确；只有当a，b，c不共面时，空间任意一向量p才能表示为p＝x a＋y b＋z c，故④不正确，综上可知四个命题中正确的个数为0.2.已知a＝(－2,1,3)，b＝(－1,2,1)，若a⊥(a－λb)，则实数λ的值为.答案 2解析 由题意知a ·(a －λb )＝0，即a 2－λa ·b ＝0， 所以14－7λ＝0，解得λ＝2.3.如图，已知正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，点E 、F 分别是底面A 1C 1和侧面CD 1的中心，若EF →＋λA 1D →＝0，则λ＝.答案 －12解析 连结A 1C 1，C 1D ，则EF 是三角形A 1C 1D 的中位线，∴EF →与A 1D →共线，则EF →＝12A 1D →，∴λ＝－12. 4.空间四边形ABCD 的各边和对角线均相等，E 是BC 的中点，那么下列关系正确的是. ①AE →·BC →<AE →·CD →； ②AE →·BC →＝AE →·CD →； ③AE →·BC →>AE →·CD →；④AE →·BC →与AE →·CD →的大小不能比较. 答案 ③解析 取BD 的中点F ，连结EF ，则EF 綊12CD ，因为〈AE →，EF →〉＝〈AE →，CD →〉>90°，因为AE →·BC→＝0，AE →·CD →<0，所以AE →·BC →>AE →·CD →.5.已知a ，b 是异面直线，A ，B ∈a ，C ，D ∈b ，AC ⊥b ，BD ⊥b 且AB ＝2，CD ＝1，则异面直线a ，b 所成的角等于.答案 60°解析 如图，设AC →＝a ，CD →＝b ，DB →＝c ，则AB →＝a ＋b ＋c ，所以cos 〈AB →，CD →〉＝a ＋b ＋c ·b |a ＋b ＋c ||b |＝12，所以异面直线a ，b 所成的角等于60°.6.在空间四边形ABCD 中，则AB →·CD →＋AC →·DB →＋AD →·BC →的值为.答案 0 解析 方法一如图，令AB →＝a ，AC →＝b ，AD →＝c ，则AB →·CD →＋AC →·DB →＋AD →·BC →＝AB →·(AD →－AC →)＋AC →·(AB →－AD →)＋AD →·(AC →－AB →) ＝a ·(c －b )＋b ·(a －c )＋c ·(b －a ) ＝a ·c －a ·b ＋b ·a －b ·c ＋c ·b －c ·a ＝0.方法二 如图，在三棱锥A －BCD 中，不妨令其各棱长都相等，则正四面体的对棱互相垂直.∴AB →·CD →＝0，AC →·DB →＝0， AD →·BC →＝0.∴AB →·CD →＋AC →·DB →＋AD →·BC →＝0.7. A ，B ，C ，D 是空间不共面四点，且AB →·AC →＝0，AC →·AD →＝0，AB →·AD →＝0，则△BCD 的形状是三角形(填锐角、直角、钝角中的一个). 答案 锐角解析 因为BC →·BD →＝(AC →－AB →)·(AD →－AB →) ＝AC →·AD →－AC →·AB →－AB →·AD →＋AB →2 ＝AB →2>0， 所以∠CBD 为锐角.同理∠BCD ，∠BDC 均为锐角.8.设O －ABC 是四面体，G 1是△ABC 的重心，G 是OG 1上的一点，且OG ＝3GG 1，若OG →＝xOA →＋yOB→＋zOC →，则(x ，y ，z )为. 答案 (14，14，14)解析 如图所示，取BC 的中点E ，连结AE .OG →＝34OG 1→＝34(OA →＋AG 1→) ＝34OA →＋12AE → ＝34OA →＋14(AB →＋AC →) ＝34OA →＋14(OB →－OA →＋OC →－OA →) ＝14(OA →＋OB →＋OC →)， ∴x ＝y ＝z ＝14.9.已知空间中三点A (－2,0,2)，B (－1,1,2)，C (－3,0,4)，设a ＝AB →，b ＝AC →. (1)求向量a 与向量b 的夹角的余弦值； (2)若k a ＋b 与k a －2b 互相垂直，某某数k 的值. 解 (1)∵a ＝(1,1,0)，b ＝(－1,0,2)， ∴a ·b ＝(1,1,0)·(－1,0,2)＝－1， 又|a |＝12＋12＋02＝2， |b |＝－12＋02＋22＝5，∴cos〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝－110＝－1010，即向量a 与向量b 的夹角的余弦值为－1010. (2)方法一 ∵k a ＋b ＝(k －1，k,2).k a －2b ＝(k ＋2，k ，－4)，且k a ＋b 与k a －2b 互相垂直，∴(k －1，k,2)·(k ＋2，k ，－4) ＝(k －1)(k ＋2)＋k 2－8＝0， ∴k ＝2或k ＝－52，∴当k a ＋b 与k a －2b 互相垂直时， 实数k 的值为2或－52.方法二 由(1)知|a |＝2，|b |＝5，a ·b ＝－1， ∴(k a ＋b )·(k a －2b )＝k 2a 2－k a ·b －2b 2＝2k 2＋k －10＝0，得k ＝2或k ＝－52.∴当k a ＋b 与k a －2b 互相垂直时，实数k 的值为2或－52.10.如图，在棱长为a 的正方体OABC －O 1A 1B 1C 1中，E 、F 分别是棱AB 、BC 上的动点，且AE ＝BF ＝x ，其中0≤x ≤a ，以O 为原点建立空间直角坐标系O —xyz .(1)写出点E 、F 的坐标； (2)求证：A 1F ⊥C 1E ；(3)若A 1、E 、F 、C 1四点共面，求证：A 1F →＝12A 1C 1→＋A 1E →.(1)解 E (a ，x,0)，F (a －x ，a,0). (2)证明 ∵A 1(a,0，a )，C 1(0，a ，a )， ∴A 1F →＝(－x ，a ，－a )，C 1E →＝(a ，x －a ，－a )， ∴A 1F →·C 1E →＝－ax ＋a (x －a )＋a 2＝0， ∴A 1F →⊥C 1E →， ∴A 1F ⊥C 1E .(3)证明 ∵A 1、E 、F 、C 1四点共面， ∴A 1E →、A 1C 1→、A 1F →共面.选A 1E →与A 1C 1→为在平面A 1C 1E 上的一组基向量，则存在唯一实数对(λ1，λ2)，使A 1F →＝λ1A 1C 1→＋λ2A 1E →，即(－x ，a ，－a )＝λ1(－a ，a,0)＋λ2(0，x ，－a ) ＝(－aλ1，aλ1＋xλ2，－aλ2)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧－x ＝－aλ1，a ＝aλ1＋xλ2，－a ＝－aλ2，解得λ1＝12，λ2＝1.于是A 1F →＝12A 1C 1→＋A 1E →.B 组 专项能力提升 (时间：30分钟)11.已知{a ，b ，c }是空间的一个基底，{a ＋b ，a －b ，c }是空间的另一个基底，一向量p 在基底{a ，b ，c }下的坐标为(4,2,3)，则向量p 在基底{a ＋b ，a －b ，c }下的坐标是. 答案 (3,1,3)解析 设p 在基底{a ＋b ，a －b ，c }下的坐标为x ，y ，z . 则p ＝x (a ＋b )＋y (a －b )＋z c ＝(x ＋y )a ＋(x －y )b ＋z c ，①因为p 在{a ，b ，c }下的坐标为(4,2,3)， 所以p ＝4a ＋2b ＋3c ，②由①②得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝4，x －y ＝2，z ＝3，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝1，z ＝3，即p 在{a ＋b ，a －b ，c }下的坐标为(3,1,3). 12.已知ABCD －A 1B 1C 1D 1为正方体， ①(A 1A →＋A 1D 1→＋A 1B 1→)2＝3A 1B 1→2； ②A 1C →·(A 1B 1→－A 1A →)＝0；③向量AD 1→与向量A 1B →的夹角是60°；④正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的体积为|AB →·AA 1→·AD →|. 其中正确命题的序号是. 答案 ①②解析 ①中(A 1A →＋A 1D 1→＋A 1B 1→)2＝A 1A →2＋A 1D 1→2＋A 1B 1→2＝3(A 1B 1→)2，故①正确； ②中A 1B 1→－A 1A →＝AB 1→，∵AB 1⊥A 1C ，故②正确；③中A 1B 与AD 1两异面直线所成角为60°，但AD 1→与A 1B →的夹角为120°，故③不正确； ④中|AB →·AA 1→·AD 1→|＝0，故④也不正确.13.(2015·某某)已知e 1，e 2是空间单位向量，e 1·e 2＝12，若空间向量b 满足b ·e 1＝2，b ·e 2＝52，且对于任意x ，y ∈R ，|b －(x e 1＋y e 2)|≥|b －(x 0e 1＋y 0e 2)|＝1(x 0，y 0∈R )，则x 0＝，y 0＝，|b |＝. 答案 1 2 2 2解析 方法一 对于任意x ，y ∈R ，|b －(x e 1＋y e 2)|≥|b －(x 0e 1＋y 0e 2)|＝1(x 0，y 0∈R )，说明当x ＝x 0，y ＝y 0时，|b －(x e 1＋y e 2)|取得最小值1.|b －(x e 1＋y e 2)|2＝|b |2＋(x e 1＋y e 2)2－2b ·(x e 1＋y e 2)＝|b |2＋x 2＋y 2＋xy －4x －5y ，要使|b |2＋x 2＋y 2＋xy －4x －5y 取得最小值，需要把x 2＋y 2＋xy －4x －5y 看成关于x 的二次函数，即f (x )＝x 2＋(y －4)x ＋y 2－5y ，其图象是开口向上的抛物线，对称轴方程为x ＝2－y2，所以当x ＝2－y 2时，f (x )取得最小值，代入化简得f (x )＝34(y －2)2－7，显然当y ＝2时，f (x )min ＝－7，此时x ＝2－y2＝1，所以x 0＝1，y 0＝2.此时|b |2－7＝1，可得|b |＝2 2.方法二 ∵e 1·e 2＝|e 1|·|e 2|cos 〈e 1，e 2〉＝12，∴〈e 1，e 2〉＝π3.不妨设e 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，0，e 2＝(1,0,0)，b ＝(m ，n ，t ).由题意知⎩⎪⎨⎪⎧b ·e 1＝12m ＋32n ＝2，b ·e 2＝m ＝52，解得n ＝32，m ＝52， ∴b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫52，32，t .∵b －(x e 1＋y e 2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫52－12x －y ，32－32x ，t ，∴|b －(x e 1＋y e 2)|2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫52－x 2－y 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32－32x 2＋t 2＝x 2＋xy ＋y 2－4x －5y ＋t 2＋7＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y －422＋34(y －2)2＋t 2.由题意知，当x ＝x 0＝1，y ＝y 0＝2时，⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y －422＋34(y －2)2＋t 2取到最小值.此时t 2＝1，故|b |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫522＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋t 2＝2 2. 14.如图所示，已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线长都等于1，点E ，F ，G 分别是AB ，AD ，CD 的中点，计算：(1)EF →·BA →；(2)EF →·DC →； (3)EG 的长；(4)异面直线AG 与CE 所成角的余弦值. 解 设AB →＝a ，AC →＝b ，AD →＝c .则|a |＝|b |＝|c |＝1，〈a ，b 〉＝〈b ，c 〉＝〈c ，a 〉＝60°， EF →＝12BD →＝12c －12a ，BA →＝－a ，DC →＝b －c ，(1)EF →·BA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12c －12a ·(－a )＝12a 2－12a·c ＝14. (2)EF →·DC →＝12(c －a )·(b －c )＝12(b·c －a·b －c 2＋a·c )＝－14. (3)EG →＝EB →＋BC →＋CG →＝12a ＋b －a ＋12c －12b＝－12a ＋12b ＋12c ，|EG →|2＝14a 2＋14b 2＋14c 2－12a·b ＋12b·c －12c·a ＝12，则|EG →|＝22.(4)AG →＝12b ＋12c ，CE →＝CA →＋AE →＝－b ＋12a ，cos 〈AG →，CE →〉＝AG →·CE →|AG →||CE →|＝－23，由于异面直线所成角的X 围是⎝⎛⎦⎥⎤0，π2，所以异面直线AG 与CE 所成角的余弦值为23.15.直三棱柱ABC —A ′B ′C ′中，AC ＝BC ＝AA ′，∠ACB ＝90°，D 、E 分别为AB 、BB ′的中点.(1)求证：CE ⊥A ′D ；(2)求异面直线CE 与AC ′所成角的余弦值. (1)证明 设CA →＝a ，CB →＝b ，CC ′→＝c ， 根据题意得，|a |＝|b |＝|c |， 且a·b ＝b·c ＝c·a ＝0， ∴CE →＝b ＋12c ，A ′D →＝－c ＋12b －12a .∴CE →·A ′D →＝－12c 2＋12b 2＝0.∴CE →⊥A ′D →，即CE ⊥A ′D .(2)解 ∵AC ′→＝－a ＋c ，|AC ′→|＝2|a |，|CE →|＝52|a |.AC ′→·CE →＝(－a ＋c )·⎝⎛⎭⎪⎫b ＋12c ＝12c 2＝12|a |2，∴cos〈AC ′→，CE →〉＝12|a |22·52|a |2＝1010. 即异面直线CE 与AC ′所成角的余弦值为1010.。

高三单元滚动检测卷·数学考生注意：1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共4页．2．答卷前，考生务必用蓝、黑色字迹的钢笔或圆珠笔将自己的姓名、班级、学号填写在相应位置上．3．本次考试时间120分钟，满分150分． 4．请在密封线内作答，保持试卷清洁完整．单元检测十二 推理与证明、算法、复数第Ⅰ卷一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2015·桂林模拟)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，则a 1＝1，S n ＝n 2a n ，试归纳猜想出S n 的表达式为( ) A ．S n ＝2n n ＋1B ．S n ＝2n －1n ＋1C ．S n ＝2n ＋1n ＋1D ．S n ＝2nn ＋22．设a 是实数，且a1＋i ＋1－i 2是实数，则a 等于( )A.12 B ．－1 C ．1 D ．23．四个小动物换座位，开始是鼠、猴、兔、猫分别坐1,2,3,4号位子上(如图)，第一次前后排动物互换座位，第二次左右列动物互换座位，…，这样交替进行下去，那么第2 009次互换座位后，小兔的座位对应的是( )A.编号1 B ．编号2 C ．编号3D ．编号44．如图所示，椭圆中心在坐标原点，F 为左焦点，当F B →⊥A B →时，其离心率为5－12，此类椭圆被称为“黄金椭圆”，类比“黄金椭圆”，可推算出“黄金双曲线”的离心率e 等于( )A.5＋12B.5－12C.5－1D.5＋15．设x ，y ，z ∈(0，＋∞)，a ＝x ＋1y ，b ＝y ＋1z ，c ＝z ＋1x ，则a ，b ，c 三数( )A ．至少有一个不大于2B ．都小于2C ．至少有一个不小于2D ．都大于26．设复数z ＝7＋i 3＋4i－isin θ，其中i 为虚数单位，θ∈[－π6，5π6]，则|z|的取值范围是( )A ．[1，3]B ．[1，5]C ．[132，5] D ．[52，5] 7．某班有24名男生和26名女生，数据a 1，a 2，…，a 50是该班50名学生在一次数学学业水平模拟考试中的成绩(成绩不为0)，如图所示的程序用来同时统计全班成绩的平均数：A ，男生平均分：M ，女生平均分：W.为了便于区别性别，输入时，男生的成绩用正数，女生的成绩用其成绩的相反数，那么在图中空白的判断框和处理框中，应分别填入下列四个选项中的( )A ．T ＞0？，A ＝M ＋W 50B ．T ＜0？，A ＝M ＋W50C ．T ＜0？，A ＝M －W 50D ．T ＞0？，A ＝M －W508．观察下列事实：|x|＋|y|＝1的不同整数解(x ，y)的个数为4，|x|＋|y|＝2的不同整数解(x ，y)的个数为8，|x|＋|y|＝3的不同整数解(x ，y)的个数为12……则|x|＋|y|＝20的不同整数解(x ，y)的个数为( ) A ．76 B ．80 C ．86D ．92第Ⅱ卷二、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在题中横线上)9．已知数列{a n }：11，21，12，31，22，13，41，32，23，14，…，依它的前10项的规律，则a 99＋a 100的值为________．10．如图所示的是由火柴棒拼成的一列图形，第n 个图形由n 个正方形组成，通过观察可以发现第4个图形中，火柴棒有________根；第n 个图形中，火柴棒有________根．11．在复平面内复数11＋i ，11－i 对应的点分别为M ，N ，若点P 为线段MN 的中点，则点P对应的复数是________．12．执行如图所示的程序框图，若输出的结果是8，则输入的数是________．13.如图是网络工作者经常用来解释网络运作的蛇形模型：数字1出现在第1行；数字2,3出现在第2行；数字6,5,4(从左至右)出现在第3行；数字7,8,9,10出现在第4行；依此类推，则第63行从左至右的第2个数应是________．14．执行下面的程序框图，若输入的ε的值为0.25，则输出的n 的值为________．三、解答题(本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15．(13分)已知复数z ＝(m 2＋m －1)＋(4m 2－8m ＋3)i(m ∈R)的共扼复数z 对应的点在第一象限，求实数m 的集合．16.(13分)有一种密英文的明文(真实文)按字母分解，其中英文的a ，b ，c ，…，z 的26个字母(不分大小写)，依次对应1,2,3，…，26这26个自然数，见如下表格：X′＝⎩⎨⎧x ＋12(x ∈N ，1≤x≤26，x 不能被2整除)x2＋13(x ∈N ，1≤x≤26，x 能被2整除)将明文转换成密文，如8→82＋13＝17，即h 变成q ；如5→5＋12＝3，即e 变成c.①按上述规定，将明文good 译成的密文是什么？②按上述规定，若将某明文译成的英文是shxc ，那么原来的明文是什么？17．(13分)已知m ＞0，a ，b ∈R ，用分析法证明：(a ＋mb 1＋m )2≤a 2＋mb 21＋m .18．(13分)如图的程序可产生一系列随机数，其工作原理如下：①从集合D 中随机抽取1个数作为自变量x 输入；②从函数f(x)与g(x)中随机选择一个作为H(x)进行计算；③输出函数值y.若D ＝{1,2,3,4,5}，f(x)＝3x ＋1，g(x)＝x 2.(1)求y ＝4的概率；(2)将程序运行一次，求输出的结果是奇数的概率．19.(14分)一企业生产的某产品在不做电视广告的前提下，每天销售量为b 件．经市场调查后得到如下规律：若对产品进行电视广告的宣传，每天的销售量S(件)与电视广告每天的播放量n(次)的关系可用如图所示的程序框图来体现．(1)试写出该产品每天的销售量S(件)关于电视广告每天的播放量n(次)的函数关系式；(2)要使该产品每天的销售量比不做电视广告时的销售量至少增加90%，则每天电视广告的播放量至少需多少次？20．(14分)在单调递增数列{a n}中，a1＝2，不等式(n＋1)a n≥na2n，对任意n∈N*都成立．(1)求a2的取值范围；(2)判断数列{a n}能否为等比数列，并说明理由．答案解析1．A [S n ＝n 2a n ＝n 2(S n －S n －1)， ∴S n ＝n 2n 2－1S n －1，S 1＝a 1＝1，则S 2＝43，S 3＝32＝64，S 4＝85.∴猜想得S n ＝2nn ＋1，故选A.]2．B [a 1＋i ＋1－i 2＝a(1－i)(1＋i)(1－i)＋(12－12i)＝(a 2＋12)－(a 2＋12)i ，由题意知a 2＋12＝0， ∴a ＝－1.]3．A [由图，经过四次交换后，每个小动物又回到了原来的位置，故此变换的规律是周期为4，∵2 009＝4×502＋1，∴第2 009次互换座位后，小兔的座位对应的是编号1.]4．A [根据“黄金椭圆”的性质是F B →⊥A B →，可以得到“黄金双曲线”也满足这个性质， 设“黄金双曲线”方程为x 2a 2－y 2b 2＝1，则B(0，b)，F(－c,0)，A(a,0)， 在“黄金双曲线”中，∵F B →⊥A B →，∴F B →·A B →＝0， 又F B →＝(c ，b)，A B →＝(－a ，b)， ∴b 2＝ac ，而b 2＝c 2－a 2， ∴c 2－a 2＝ac ，在等号两边同除以a 2得e ＝5＋12， 故选A.]5．C [∵a ＋b ＋c ＝1x ＋x ＋y ＋1y ＋z ＋1z ≥6，∴a ，b ，c 至少有一个不小于2.]6．D [z ＝7＋i 3＋4i －isin θ＝(7＋i)(3－4i)(3＋4i)(3－4i)－isin θ＝25－25i 25－isin θ＝1－(1＋sin θ)i ，所以|z|＝1＋(sin θ＋1)2， 由θ∈[－π6，5π6]知12≤sin θ＋1≤2，所以52≤|z|≤ 5.] 7．D [依题意得，全班成绩的平均数应等于班级中所有的学生的成绩总和除以总人数，注意到当T ＞0时，输入的成绩表示的是某男生的成绩；当T ＜0时，输入的成绩表示的是某女生的成绩的相反数，因此结合题意得，选D.]8．B [由已知条件知|x|＋|y|＝n 的不同整数解(x ，y)的个数为4n ， ∴|x|＋|y|＝20的不同整数解(x ，y)的个数为4×20＝80.] 9.3724解析 通过将数列的前10项分组得到第一组有一个数：11，分子、分母之和为2；第二组有两个数：21，12，分子、分母之和为3；第三组有三个数：31，22，13，分子、分母之和为4；第四组有四个数，依次类推，a 99，a 100分别是第十四组的第8个数和第9个数，分子、分母之和为15，所以a 99＝78，a 100＝69.故a 99＋a 100＝3724.10．13 3n ＋1解析 易得第4个图形中有13根火柴棒，通过观察可得，每增加一个正方形，需增加三根火柴棒，所以第n 个图形中的火柴棒为4＋3(n －1)＝3n ＋1根． 11.12解析 ∵11＋i ＝1－i (1＋i)(1－i)＝1－i 2，11－i ＝1＋i (1－i)(1＋i)＝1＋i 2，∴M ⎝⎛⎭⎫12，－12，N ⎝⎛⎭⎫12，12，而P 是MN 的中点， ∴P ⎝⎛⎭⎫12，0，故点P 对应的复数为12. 12．2或－2 2解析 由 a≥b ，得x 2≥x 3， 解得x≤1，所以当x≤1时，输出a ＝x 2， 当x ＞1时，输出b ＝x 3，当x≤1时， 由a ＝x 2＝8， 解得x ＝－8＝－2 2. 当x ＞1时，由b ＝x 3＝8，得x ＝2， 所以输入的数为2或－2 2. 13．2 015解析 由题意可知：每行的行号数和这一行的数字的个数相同， 奇数行的数字从左向右依次减小， 偶数行的数字从左向右依次增大， 第63行的数字从左向右依次减小，可求出第63行最左边的一个数是63×(63＋1)2＝2 016，从左至右的第2个数应是2 016－1＝2 015. 14．3解析 输入ε＝0.25后，程序执行如下： ①⎩⎪⎨⎪⎧ε＝0.25，F 0＝1，F 1＝2，n ＝1，②⎩⎪⎨⎪⎧ F 1＝F 0＋F 1＝3，F 0＝F 1－F 0＝2，n ＝2，1F 1＝13＞0.25，③⎩⎪⎨⎪⎧F 1＝F 0＋F 1＝5，F 0＝F 1－F 0＝3，n ＝3，1F 1＝15≤0.25.此时满足条件，结束循环，故输出的n 的值为3. 15．解 由题意得z ＝(m 2＋m －1)－(4m 2－8m ＋3)i. 因为z 对应的点位于第一象限，所以⎩⎪⎨⎪⎧ m 2＋m －1＞0，－(4m 2－8m ＋3)＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m －1＞0，4m 2－8m ＋3＜0， 解得⎩⎨⎧ m ＜－5－12或m ＞5－12，12＜m ＜32.所以5－12＜m ＜32， 所以m 的集合为{m|5－12＜m ＜32}． 16．解 ①g→7→7＋12＝4→d ； o→15→15＋12＝8→h ； d→4→42＋13＝15→o ； 则明文good 的密文为dhho.②逆变换公式为x ＝⎩⎪⎨⎪⎧2x′－1，(x′∈N ，1≤x′≤13)2x′－26，(x′∈N ，14≤x′≤26) 则有s→19→2×19－26＝12→l ；h→8→2×8－1＝15→o ；x→24→2×24－26＝22→v ；c→3→2×3－1＝5→e.故密文shxc 的明文为love.17．证明 ∵m ＞0，∴1＋m ＞0，∴要证原不等式成立，只需证(a ＋mb)2≤(1＋m)(a 2＋mb 2)，即证m(a 2－2ab ＋b 2)≥0，即证(a －b)2≥0，而(a －b)2≥0显然成立，故原不等式得证．18．解 (1)∵D ＝{1,2,3,4,5}，f(x)＝3x ＋1，g(x)＝x 2.∴第一步：从集合D 中随机抽取1个数作为自变量x 输入，共有5种方法，第二步：从函数f(x)与g(x)中随机选择一个作为H(x)进行计算，共有2种方法，∴该运算共有f(1)，f(2)，f(3)，f(4)，f(5)，g(1)，g(2)，g(3)，g(4)，g(5)，10种方法， 而满足y ＝4的有f(1)，g(2)两种情况，∴由古典概型概率公式得y ＝4的概率P ＝210＝15.(2)输出结果是奇数有以下几种情况：f(2)，f(4)，g(1)，g(3)，g(5)共5种，∴由古典概型概率公式得输出的结果是奇数的概率P ＝510＝12. 19．解 (1)设电视广告播放量为每天i 次时，该产品的销售量为S i (0≤i≤n ，i ∈N *)． 由题意得，S i ＝⎩⎪⎨⎪⎧b ，i ＝0，S i －1＋b 2i ，1≤i≤n ，i ∈N *， 于是当i ＝n 时，S n ＝b ＋(b 2＋b 22＋…＋b 2n ) ＝b(2－12n )(n ∈N *)． 所以，该产品每天销售量S(件)与电视广告每天播放量n(次)的函数关系式为S ＝b(2－12n )，n ∈N *.(2)由题意，有b(2－12n )≥1.9b ⇒2n ≥10⇒n≥4(n ∈N *)． 所以，要使该产品每天的销售量比不做电视广告时的销售量至少增加90%，则每天电视广告的播放量至少需4次．20．解 (1)因为{a n }是单调递增数列，所以a 2＞a 1，即a 2＞2.又(n ＋1)a n ≥na 2n ，令n ＝1，则有2a 1≥a 2，即a 2≤4，所以a 2∈(2,4]．(2)数列{a n }不能为等比数列．用反证法证明：假设数列{a n }是公比为q 的等比数列，由a 1＝2＞0，得a n ＝2q n －1. 因为数列{a n }单调递增，所以q ＞1.因为(n ＋1)a n ≥na 2n ，对任意n ∈N *都成立，所以对任意n ∈N *，都有1＋1n≥q n ．① 因为q ＞1，所以存在n 0∈N *，使得当n≥n 0时，q n ＞2.因为1＋1n≤2(n ∈N *)． 所以存在n 0∈N *，使得当n≥n 0时，q n ＞1＋1n，与①矛盾，故假设不成立． 故数列{a n }不能为等比数列．。

（1）空间向量与平行关系直线的方向向量：直线的方向向量是指和这条直线平行或重合的向量，一条直线的方向向量有无数个．平面的法向量：直线l ⊥α，取直线l 的方向向量a ，则向量a 叫做平面α的法向量．空间中平行关系的向量表示线线平行：设直线l ，m 的方向向量分别为a ＝(a 1，b 1，c 1)，b ＝(a 2，b 2，c 2)，且a 2b 2c 2≠0，则l ∥m ⇔//a b ⇔a b λ=⇔线面平行：设直线l 的方向向量为a ＝(a 1，b 1，c 1)，平面α的法向量为u ＝(a 2，b 2，c 2)，则l ∥α⇔a u ⊥⇔0a u ⋅=⇔1212120a a b b c c ＋＋＝.(3)面面平行设平面α，β的法向量分别为u ＝(a 1，b 1，c 1)，v ＝(a 2，b 2，c 2)，则α∥β⇔//u v ⇔u v λ=⇔（2）空间向量与垂直关系 ⇔a b ⊥_⇔//a u⇔u v ⊥空间向量与空间角,a ba ba b⋅〈〉=⋅＝,a na na n⋅〈〉=⋅12,n nn nn n⋅〈〉=⋅热点一：利用空间向量求角与距离问题【典例】【2017南通三模】如图，在四棱锥中，平面ABCD，四边形是直角梯形，，，．（1）求二面角的余弦值；（2）设是棱上一点，是的中点，若与平面所成角的正弦值为，求线段的长．【答案】(1) ;(2) .【解析】（2）由（1）知，则，．设（），则，所以．易知平面，所以是平面的一个法向量．设与平面所成的角为，所以，即，得或（舍）．所以，，所以线段的长为．【题型概述】运用空间向量坐标运算求空间角的一般步骤：①建立恰当的空间直角坐标系；②求出相关点的坐标；③写出向量坐标；④结合公式进行论证、计算；⑤转化为几何结论．-中，底面ABCD是矩形，面PAD⊥底面ABCD，【跟踪练习1】如图，在四棱锥P ABCD∆是边长为的等边三角形，，M在PC上，且PA∥面BDM.且PAD（1）求直线PC与平面BDM所成角的正弦值；（2）求平面BDM与平面PAD所成锐二面角的大小.（1）设PC 与面BDM 31313n n⋅=⋅PC PC 所以直线PC 与平面BDM 所成角的正弦值为……………………6分 （2）面PAD 的法向量为向量(0,-3,0)CD =，设面BDM 与面PAD 所成的锐二面角为ϕ，则12n n⋅=⋅CD CD ，故平面BDM 与平面PAD 所成锐二面角的大小为…………………10分【跟踪练习2】如图，在四棱锥P ABCD -中，已知棱AB ，AD ，AP 两两垂直，长度分别为1，2，2.若DC AB λ=（R λ∈），且向量PC 与BD 夹角的余弦值为（1）求 的值；（2）求直线PB与平面PCD所成角的正弦值.考点: 1、空间两向量夹角余弦公式；2、利用向量求直线和平面说成角的正弦.热点二：离散型随机变量的分布列、均值与方差【典例】【2017苏锡常镇三模】已知袋中装有大小相同的2个白球、2个红球和1个黄球．一项游戏规定：每个白球、红球和黄球的分值分别是0分、1分和2分，每一局从袋中一次性取出三个球，将3个球对应的分值相加后称为该局的得分，计算完得分后将球放回袋中．当出现第局得分（*n∈）的情况就算游戏过关，同时游戏结束，若四局过后仍未过N关，游戏也结束．（1）求在一局游戏中得3分的概率；（2）求游戏结束时局数X的分布列和数学期望()E X．………………………………………………………………………………………………8分【题型概述】1. 求离散型随机变量均值、方差的基本方法(1)已知随机变量的分布列求它的均值、方差和标准差，可直接按定义(公式)求解； (2)已知随机变量的均值、方差，求的线性函数a b ηξ=+的均值、方差和标准差，可直接用的均值、方差的性质求解；(3)如能分析所给随机变量是服从常用的分布(如两点分布、二项分布等)，可直接利用它们的均值、方差公式求解． 2. 求离散型随机变量均值的步骤(1)理解随机变量X 的意义，写出X 可能取得的全部值； (2)求X 的每个值的概率； (3)写出X 的分布列； (4)由均值定义求出()E X ．【跟踪练习1】电子商务在我国发展迅猛，网上购物成为很多人的选择.某购物网站组织了一次促销活动，在网页的界面上打出广告：高级口香糖，10元钱三瓶，有8种口味供你选择（其中有一种为草莓口味）.小王点击进入网页一看，只见有很多包装完全相同的瓶装口香糖排在一起，看不见具体口味，由购买者随机点击进行选择（各种口味的高级口香糖均超过3瓶，且各种口味的瓶数相同，每点击选择一瓶后，网页自动补充相应的口香糖）. （1）小王花10元钱买三瓶，请问小王共有多少种不同组合选择方式？（2）小王花10元钱买三瓶，由小王随机点击三瓶，请列出有小王喜欢的草莓味口香糖瓶数的分布列，并计算其数学期望和方差.13,8B ⎛⎫⎪⎝⎭所以的分布列为考点：排列组合的应用；离散型随机变量的期望与方差.【跟踪练习2】甲、乙两个乒乓球选手进行比赛，他们的水平相当，规定“七局四胜”，即先赢四局者胜，若已知甲先赢了前两局，求：（1）乙取胜的概率；（2）比赛打满七局的概率；（3）设比赛局数为X，求X的分布列和数学期望．(3)随机变量X的所有可能取值为4，5，6，7，所以X的分布列为故随机变量X考点：（1）互斥事件的概率加法公式；（2)离散型随机变量及其分布列.。

高三单元转动检测卷 · 数学考生注意：1．本试卷分第Ⅰ卷 (选择题 )和第Ⅱ卷 (非选择题 )两部分，共4 页．2．答卷前，考生务必用蓝、黑色笔迹的钢笔或圆珠笔将自己的姓名、班级、学号填写在相应地点上．3．本次考试时间 120 分钟，满分 150 分．4．请在密封线内作答，保持试卷洁净完好．单元检测九平面分析几何第Ⅰ卷一、选择题 (本大题共8 小题，每题 5 分，共 40 分．在每题给出的四个选项中，只有一项是切合题目要求的)1．当方程 x 2＋ y 2＋ kx ＋ 2y ＋ k 2＝ 0 所表示的圆的面积最大时，直线 y ＝ (k － 1)x ＋2 的倾斜角α的值为 ()3π π A. 4B.43π 5πC. 2D. 42．(2015 西·安质检 )已知中心在原点的椭圆 C 的右焦点为1，则 C 的方程F(1,0)，离心率等于 2 是 ( )2222x＋ y＝ 1B.x＋y＝1 A. 3443222C.x ＋ y＝ 1D.x＋ y 2＝ 14 34x 2 y 223．已知双曲线 4 － 12＝ 1的离心率为 e ，抛物线 x ＝2py的焦点为 (e,0)，则 p 的值为 ()A ． 2B ．111 C.4D.164．若 AB 是过椭圆x 2＋ y 2＝ 1 中心的弦， F 1 为椭圆的焦点， 则 △ F 1AB 面积的最大值为 ( )2516 A ． 6 B ．12 C ． 24D ． 485． (2015 北·京海淀区期末练习 )双曲线 C 的左，右焦点分别为 F 1， F 2，且 F 2 恰巧为抛物线y 2＝ 4x 的焦点， 设双曲线 C 与该抛物线的一个交点为 A ，若 △ AF 1F 2 是以 AF 1 为底边的等腰三角形，则双曲线 C 的离心率为 ()A.2B ．1＋ 2C ． 1＋ 3D ．2＋ 36．点 M(a ，b) 是圆 x 2＋ y 2＝ r 2 内异于圆心的一点，则直线 ax ＋by － r 2＝ 0 与圆的交点的个数是 ( )A ． 1B ．2C ． 0D ．需议论确立227． (2016 福·州质检 )已知 F 1， F 2 是双曲线x2－ y2＝ 1(a ＞ 0， b ＞ 0)的左，右焦点，若双曲线左a b支上存在一点 P 与点 F 2 对于直线 y ＝bx对称，则该双曲线的离心率为 ()aA. 5B. 52 C.2D ． 28．设动点 P 在直线 x ＝ 1 上，O 为坐标原点，以 OP 为直角边、点 O 为直角极点作等腰 Rt △ OPQ ，则动点 Q 的轨迹是 ( )A ．圆B ．两条平行直线C ．抛物线D ．双曲线第Ⅱ卷二、填空题 (本大题共 6 小题，每题 5 分，共 30 分．把答案填在题中横线上 )229．已知三个数 2，m,8 组成一个等比数列，则圆锥曲线x ＋ y＝ 1 的离心率为 ________．m 2 2 2 2π 2 2xya ＋e 10．若双曲线 a 2 －b 2＝ 1(a ＞ 0，b ＞0) 的一条渐近线的倾斜角为 3 ，离心率为 e ，则2b 的最小值为 ________．11．过抛物线 y 2＝ 4x 的焦点，作倾斜角为 α的直线交抛物线于A ，B 两点，且 |AB| ＝16，则3α＝________.12． (2015 ·汉调研武 ) 已知 O 为坐标原点， F 为抛物线 C ： y 2＝4 2x 的焦点， P 为 C 上一点，若 |PF|＝4 2，则 △ POF 的面积为 ________．2213． (2014 辽·宁 )已知椭圆 C ： x ＋y＝ 1，点 M 与 C 的焦点不重合．若 M 对于 C 的焦点的 9 4 对称点分别为 A ， B ，线段 MN 的中点在 C 上，则 |AN|＋ |BN|＝ ________.14． (2014 江·西 )过点M(1,1) 作斜率为－1x2y2的直线与椭圆C：2＋2＝ 1(a＞ b＞0)订交于 A ， B 2a b两点，若 M 是线段 AB 的中点，则椭圆 C 的离心率等于 ________．三、解答题 (本大题共 6 小题，共 80 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15． (13 分 )(2015 安·徽六校联考 )如图，在平面直角坐标系xOy 中，点 A(0,3) ，直线 l ：y＝ 2x － 4，设圆 C 的半径为1，圆心在 l 上．(1)若圆心 C 也在直线 y＝ x－ 1 上，过点 A 作圆 C 的切线，求切线的方程；(2)若圆 C 上存在点 M ，使 |MA| ＝2|MO| ，求圆心 C 的横坐标 a 的取值范围．16． (13 分)已知中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆 C 的离心率为1，其一个极点是抛物线 x2 2＝－ 4 3y 的焦点．(1) 求椭圆 C 的标准方程；(2) 若过点 P(2,1)的直线 l 与椭圆 C 在第一象限相切于点M ，求直线 l 的方程和点M 的坐标．117.(13 分 )已知椭圆 C 的中心在原点，焦点在 x 轴上，焦距为 2，离心率为 2.(1) 求椭圆 C 的方程；(2) 设直线 l 经过点 M(0,1) ，且与椭圆 C 交于 A ，B 两点，若→ →，求直线 l 的方程．AM ＝2MB2 y 218． (13 分 )已知 F 1， F 2 分别是椭圆 E ： xa 2＋ b 2＝ 1(a ＞ b ＞ 0)的左，右焦点， P 是椭圆 E 上的点，线段 F 1P 的中点在 → → 1 2 π，与椭圆 E 交于 y 轴上， PF 1·PF 2＝16 a .倾斜角等于 的直线 l 经过 F 1 3A ，B 两点．(1) 求椭圆 E 的离心率；(2) 设 △F 1PF 2 的周长为 2＋ 3，求 △ ABF 2 的面积 S 的值．x 2 y 219.(14 分 )(2015 江·西百所要点中学诊疗 )设椭圆 C ： a 2 ＋ b 2＝ 1(a ＞ b ＞ 0)的左，右焦点分别为F 1， F 2，点 P 在椭圆上， △ PF 1 F 2 的周长为16，直线 2x ＋ y ＝ 4 经过椭圆的上极点．(1) 求椭圆 C 的方程；(2) 直线 l 与椭圆交于 A ，B 两点，若以 AB 为直径的圆同时被直线l 1：10x － 5y － 21＝ 0 与 l 2：10x － 15y － 33＝ 0 均分，求直线 l 的方程．20． (14 分 )如图，已知点 F(a,0)(a>0) ，点 P 在 y 轴上运动，点 M 在 x 轴上运动，点N 为动→ → → →点，且 PM ·PF ＝ 0，PN ＋ PM ＝ 0.(1) 求点 N 的轨迹 C ；→ → (2) 过点 F(a,0)的直线 l(不与 x 轴垂直 )与曲线 C 交于 A 、B 两点，设 K( － a,0)，KA 与 KB 的夹π角为 θ，求证： 0<θ<2.答案分析1． A 2.C 3.D 4.B 5.B 6.C7． B[ 记线段 PF2与直线 y＝bx 的交点为 M ，a依题意，直线 y＝bx 是题中的双曲线的一条渐近线，M 是 PF2的中点，且 |PF2|＝2|MF 2|＝ 2b；a又点 O 是 F1F2的中点，所以有 |PF1 |＝2|OM| ＝ 2a；由点 P 在双曲线的左支上得|PF2|＝ |PF1|＋ 2a＝ 4a＝ 2b， b＝2a，该双曲线的离心率是 e＝b 25，应选 B.] 1＋()＝a8． B[ 设 P(1， a)， Q(x， y)．以点 O 为直角极点作等腰直角三角形OPQ，ay＝－ 1， x＝－ ay，x×1∵|OP|＝ |OQ|，∴1＋ a2＝ x2＋ y2＝a2y2＋ y2＝ (a2＋ 1)y2，而 a2＋ 1>0 ，∴ y2＝ 1，∴ y＝ 1 或 y＝－ 1，∴动点 Q 的轨迹是两条平行于x 轴的直线． ]9.2或 3 2分析∵ 2， m,8 成等比数列，∴m2＝ 16， m＝±4，当 m＝ 4 时， e＝c＝2；a 2当 m＝－ 4 时， e＝ca＝ 3.2 310.3分析由题意，b＝3，∴ b＝3a，a222＋4＝ a ＋ 2 2 3∴ c＝ 2a， e＝ 2，a＋ e＝a(当且仅当 a＝ 2时取等号 )，2b23a 2 33a≥3则 a2＋ e2的最小值为2 32b 3.11． 60°或 120 °分析当α＝90°时， |AB| ＝ 4 不建立；当α≠ 90时°，设直线方程为y＝ tan α－(x 1)，与抛物线方程联立得：(tan α)2 x2－[2(tan α)2＋ 4]x ＋(tan α)2＝0，2(tan 2＋ 4∴由根与系数的关系得： x ＋ x)α＝2，12(tan )α 2(tan2＋4)α＋ 2＝16， ∴ |AB| ＝ x 1＋ x 2＋ p ＝2(tan)α 3∴ tan α＝ ± 3，∴ α＝ 60°或 120°.12．2 313． 12分析 取 MN 的中点 G ， G 在椭圆上，由于点M 对于 C 的焦点 F 1， F 2 的对称点分别为A ，B ，故有 11|BN| ，|GF 1|＝ |AN| ， |GF 2|＝2 2所以 |AN| ＋ |BN|＝ 2(|GF 1|＋ |GF 2 |)＝ 4a ＝ 12.214. 2分析设 A(x 1， y 1)， B(x 2， y 2)，分别代入椭圆方程相减得(x 1 －x 2 )(x 1＋ x 2)＋(y 1－ y 2)(y 1＋ y 2)2b 2a＝ 0，依据题意有 x ＋ x ＝ 2×1＝2， y ＋ y ＝ 2×1＝ 2，且y 1－ y 2＝－ 1，1212x 1－x 222 2 1所以 2＋ 2×(－ )＝ 0，a b2得 a 2＝ 2b 2，所以 a 2＝ 2(a 2－c 2)，整理得 a 2＝ 2c2得 c a ＝ 22，2所以 e ＝ 2 .y ＝ 2x － 4， 15．解(1)由y ＝ x －1得圆心 C(3,2)，∵圆 C 的半径为 1，22∴圆 C 的方程为 (x －3) ＋(y － 2) ＝ 1，设所求圆 C 的切线方程为 y ＝ kx ＋ 3，即 kx － y ＋ 3＝ 0，∴|3k － 2＋ 3|＝ 1，k 2＋ 1∴ |3k ＋ 1|＝ k 2＋ 1，∴ 2k(4k ＋ 3)＝ 0，∴ k ＝ 0 或 k ＝－ 3，4∴所求圆 C 的切线方程为 y ＝ 3 或 y ＝－ 34x ＋ 3， 即 y ＝ 3 或 3x ＋ 4y － 12＝ 0.(2) ∵圆 C 的圆心在直线 l ： y ＝ 2x － 4 上，∴设圆心 C 为 (a,2a －4) ，则圆 C 的方程为 (x －a)2 ＋ [y － (2a － 4)]2＝ 1.又∵ |MA| ＝ 2|MO| ，∴设 M(x ， y), 则x 2＋ (y － 3)2＝ 2 x 2＋ y 2，22整理得 x ＋ (y ＋ 1) ＝4，设为圆 D ，∴点 M 既在圆 C 上又在圆 D 上，即圆 C 和圆 D 有交点，∴ 2－ 1≤ a 2＋ [(2a － 4)－ (－ 1)] 2≤2 ＋ 1，12解得 a 的取值范围为 [0， 5 ]．x 2y 216．解 (1)设椭圆 C 的方程为 a 2 ＋b 2＝ 1(a ＞ b ＞ 0)，由题意得 b ＝ 3， c＝ 1，a 2 解得 a ＝ 2， c ＝ 1.x 2 y 2故椭圆 C 的标准方程为 4 ＋ 3 ＝1.(2) 由于过点P(2,1)的直线 l 与椭圆 C 在第一象限相切，所以直线l 的斜率存在，故可设直线 l 的方程为 y ＝ k(x － 2)＋ 1(k ≠0)．22x＋ y ＝ 1，由 4 3y ＝ k(x －2) ＋ 1得 (3＋ 4k 2)x 2－ 8k(2k － 1)x ＋16k 2－ 16k －8＝ 0.①由于直线 l 与椭圆 C 相切，所以＝ [－ 8k(2k －1)] 2－ 4(3＋4k 2)(16k 2－16k － 8)＝ 0.整理，得 96(2k ＋ 1)＝ 0，解得 k ＝－ 1.2所以直线 l 的方程为 y ＝－11x ＋ 2. (x － 2)＋ 1＝－ 22将 k ＝－1代入①式，能够解得M 点的横坐标为1，2故切点 M 的坐标为 (1，32)．x 2 y 217．解(1)设椭圆方程为 a 2＋ b 2＝ 1(a ＞ b ＞ 0)，由于 c ＝ 1， c a ＝ 12，所以 a ＝ 2， b ＝ 3，所以椭圆方程为x 2 2＋y＝ 1.4 3(2) 由题意得直线 l 的斜率存在， 设直线 l 的方程为 y ＝ kx ＋ 1，y ＝ kx ＋ 1，则由 x 2 y 2＋＝ 143得 (3＋ 4k 2)x 2＋ 8kx － 8＝ 0，且 ＞0.设 A(x 1， y 1)， B(x 2 ，y 2)，→ →得 x 1＝－ 2x 2.则由 AM ＝2M B－ 8kx 1＋x 2＝2，3＋ 4k又－ 8x 1·x 2＝3＋ 4k 2，－ 8k－ x 2＝2，＋ 4k3所以－ 2x 22＝－ 8 2， 3＋ 4k消去 x 2，得 (8k2)2＝4 2，3＋ 4k3＋ 4k21 1 解得 k＝，k ＝ ± ，42所以直线 l 的方程为 1y ＝ ± x ＋1，2 即 x － 2y ＋ 2＝ 0 或 x ＋ 2y － 2＝0.18．解(1)∵ F 1，F 2 分别是椭圆 E 的左，右焦点， P 是椭圆 E 上的点，线段F 1P 的中点在 y轴上，2b→ → 122 1 2 又∵ PF 1·PF 2＝16a ，∴|PF 2 | ＝a ，16即b 2 1 22，＝ a ，∴ a ＝ 4ba4即 a 2＝ 4(a 2－ c 2 )，化简得： 3a 2＝4c 2，c 3∴ ＝ .a 23∴椭圆 E 的离心率为 2 .(2) ∵△ F 1PF 2 的周长等于 2＋ 3，∴ 2a ＋ 2c ＝2＋ 3.2a ＋ 2c ＝ 2＋ 3，a ＝ 1， 解方程组 c3得3a ＝2 ，c ＝ 2 .∴ b2＝ 14，∴椭圆 E 的方程为 x 2＋ 4y 2＝ 1.设 A(x 1， y 1)， B(x 2 ，y 2)．由已知得直线 l 的方程为 y ＝ 3(x ＋ 23)， 即 2 3x － 2y ＋ 3＝ 0，∴ F 2(3，0) 到直线 l 的距离 d ＝ 3 .223由 y ＝ 3(x ＋ 2)，x 2＋ 4y 2 ＝1得 13x 2＋ 12 3x ＋8＝ 0.123x 1＋x 2＝－，∴8x 1x 2＝13.28∴ |AB| ＝ 2 (x 1＋ x 2) － 4x 1x 2＝ ，∴ S ＝ 1|AB| d ·＝ 6，2 13∴△ ABF 2 的面积 S 的值等于 6 .1319．解(1)设椭圆的半焦距为c ，b ＝ 4，a ＝ 5， 则由题设得2a ＋ 2c ＝ 16， 解得a 2＝b 2＋c 2，c ＝ 3，22故椭圆 C 的方程为 25x ＋ 16y＝ 1.(2) 设 AB 的中点为 M(x ， y)，10x －5y － 21＝0， 则10x －15y － 33＝ 0，解得 M( 32，－ 65)．设 A(x 1， y 1)， B(x 2 ，y 2)，易知 x 1≠x 2，x 12＋ y 12 ＝ 1， 依题意有25 16x 22＋ y 22＝ 1，25 16两式相减得 x 12－ x 22 y 12－ y 22＋＝ 0，2516∴(x 1 ＋x 2 )(x 1－ x 2)＋ (y 1＋ y 2)(y 1－ y 2) ＝ 0，25163 6 又 AB 的中点为 M( ，－ )，2512∴ x 1＋ x 2＝ 3， y 1＋ y 2＝－ 5 ，∴ 3 (x 1－ x 2)＝ 3(y 1－ y 2)，25 20y 1－ y2＝ 4， x 1－ x 2 5即直线 l 的斜率为 45，故直线 l 的方程为6 4 3 y ＋ ＝ (x － )，5 52即 4x － 5y － 12＝ 0.→→20． (1)解设 N(x ， y)，∵ PN ＋PM ＝，∴ M( － x,0) ， P(0，y2) ．→ ＝ (－ x ，－y→＝(a ，－yPM 2)， PF 2)，→ → → →2 y ＝ 0，∵ PM ·PF ＝0，∴ PM ·PF ＝－ ax ＋ 4∴ y 2＝ 4ax.故点 N 的轨迹为以F 为焦点的抛物线．(2) 证明 设 A(x 1 ，y 1)， B(x 2， y 2)，∴直线 l ： y ＝ k(x － a)，→ →KA ＝ (x 1＋ a ， y 1)， KB ＝ (x 2＋ a ， y 2)，y＝ k(x － a)，联立y2＝ 4ax消去 x 得 ky 2－ 4ay－4ka2＝ 0，4a222a(k2＋ 2)，∴ y1＋ y2＝， y1 y2＝－ 4a，x1x2＝ a ，x1＋ x2＝2k k → →∴ KA ·KB ＝ (x1＋ a)(x2＋a)＋y1y22＝ x1x2＋ a(x1＋x2) ＋ a ＋y1y2＝ 2a2＋2a2(k2＋2)－ 4a2＝2a2(k2＋2)－ 2a2 k2k2224a 2＝ 2a (1＋2－1)＝k 2 >0，∴cosθ>0，kπ∵ θ∈ [0，π]，∴θ∈(0，)．2。

步步高高考复习 立体几何中的向量方法（Ⅰ）----证明平行与垂直一、选择题1．若直线l 1，l 2的方向向量分别为a ＝(2,4，－4)，b ＝(－6,9,6)，则( )． A ．l 1∥l 2B ．l 1⊥l 2C ．l 1与l 2相交但不垂直D ．以上均不正确 答案 B2．直线l 1，l 2相互垂直，则下列向量可能是这两条直线的方向向量的是( ) A ．s 1＝(1,1,2)，s 2＝(2，－1,0) B ．s 1＝(0,1，－1)，s 2＝(2,0,0) C ．s 1＝(1,1,1)，s 2＝(2,2，－2)D ．s 1＝(1，－1,1)，s 2＝(－2,2，－2)解析 两直线垂直，其方向向量垂直，只有选项B 中的两个向量垂直． 答案 B3．已知a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－32，52，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，λ，－152满足a∥b ，则λ等于( )．A.23B.92 C ．－92 D ．－23 解析 由1－3＝－32λ＝52－152，可知λ＝92.答案 B4．若直线l 的方向向量为a ，平面α的法向量为n ，能使l ∥α的是 ( )． A ．a ＝(1,0,0)，n ＝(－2,0,0) B ．a ＝(1,3,5)，n ＝(1,0,1) C ．a ＝(0,2,1)，n ＝(－1,0，－1) D ．a ＝(1，－1,3)，n ＝(0,3,1) 解析 若l ∥α，则a²n ＝0. 而A 中a²n ＝－2， B 中a²n ＝1＋5＝6，C 中a²n ＝－1，只有D 选项中a²n ＝－3＋3＝0.答案 D5．若平面α，β平行，则下面可以是这两个平面的法向量的是( ) A ．n 1＝(1,2,3)，n 2＝(－3,2,1) B ．n 1＝(1,2,2)，n 2＝(－2,2,1) C ．n 1＝(1,1,1)，n 2＝(－2,2,1)D ．n 1＝(1,1,1)，n 2＝(－2，－2，－2)解析 两个平面平行时其法向量也平行，检验知正确选项为D. 答案 D6．已知a ＝(2，－1,3)，b ＝(－1,4，－2)，c ＝(7,5，λ)，若a ，b ，c 三向量共面，则实数λ等于( )．A.627B.637C.607D.657 解析 由题意得c ＝t a ＋μb ＝(2t －μ，－t ＋4μ，3t －2μ)，∴⎩⎨⎧7＝2t －μ5＝－t ＋4μ，λ＝3t －2μ∴⎩⎪⎨⎪⎧t ＝337μ＝177λ＝657.答案 D7．已知平面α内有一个点A (2，－1,2)，α的一个法向量为n ＝(3,1,2)，则下列点P 中，在平面α内的是( ) A ．(1，－1,1) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，3，32C.⎝⎛⎭⎪⎫1，－3，32D.⎝⎛⎭⎪⎫－1，3，－32解析 对于选项A ，PA ＝(1,0,1)，则PA ²n ＝(1,0,1)²(3,1,2)＝5≠0，故排除A ；对于选项B ，PA ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－4，12，则PA ²n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－4，12²(3,1,2)＝0，验证可知C 、D 均不满足PA ²n ＝0. 答案 B二、填空题8．两不重合直线l 1和l 2的方向向量分别为v 1＝(1,0，－1)，v 2＝(－2,0,2)，则l 1与l 2的位置关系是_______． 解析 ∵v 2＝－2v 1，∴v 1∥v 2. 答案 平行9．平面α的一个法向量n ＝(0,1，－1)，如果直线l ⊥平面α，则直线l 的单位方向向量是s ＝________.解析 直线l 的方向向量平行于平面α的法向量，故直线l 的单位方向向量是 s ＝±⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22，－22.答案 ±⎝⎛⎭⎪⎫0，22，－2210．已知点A ，B ，C ∈平面α，点P ∉α，则AP →²AB →＝0，且AP →²AC →＝0是AP →²BC →＝0的_______．解析由⎩⎪⎨⎪⎧AP →²AB →＝0AP →²AC →＝0，得AP →²(AB →－AC →)＝0，即AP →²CB →＝0，亦即AP →²BC →＝0， 反之，若AP →²BC →＝0，则AP →²(AC →－AB →)＝0⇒AP →²AB →＝AP →²AC →，未必等于0. 答案 充分不必要条件11．已知AB →＝(2,2,1)，AC →＝(4,5,3)，则平面ABC 的单位法向量是________． 解析 设平面ABC 的法向量n ＝(x ，y ，z )． 则⎩⎪⎨⎪⎧AB →²n ＝0，AC →²n ＝0，即⎩⎨⎧2x ＋2y ＋z ＝0，4x ＋5y ＋3z ＝0.令z ＝1，得⎩⎨⎧x ＝12，y ＝－1，∴n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－1，1，∴平面ABC 的单位法向量为±n |n|＝±⎝ ⎛⎭⎪⎫13，－23，23.答案 ±⎝ ⎛⎭⎪⎫13，－23，2312．已知AB →＝(1,5，－2)，BC →＝(3,1，z)，若AB →⊥BC →，BP →＝(x －1，y ，－3)，且BP ⊥平面ABC ，则实数x ，y ，z 分别为________． 解析 由题知：BP →⊥AB →，BP →⊥BC →.所以⎩⎨⎧AB →²BC →＝0，BP →²AB →＝0，BP →²BC →＝0，即⎩⎨⎧1³3＋5³1＋－＝0，x －1＋5y ＋－－＝0，－＋y －3z ＝0.解得x ＝407，y ＝－157，z ＝4. 答案407，－157，4 三、解答题13．已知：a ＝(x,4,1)，b ＝(－2，y ，－1)，c ＝(3，－2，z )，a∥b ，b⊥c ，求：a ，b ，c .解析 因为a∥b ，所以x－2＝4y ＝1－1， 解得x ＝2，y ＝－4，这时a ＝(2,4,1)，b ＝(－2，－4，－1)． 又因为b⊥c ，所以b²c ＝0，即－6＋8－z ＝0， 解得z ＝2，于是c ＝(3，－2,2)．14.如图所示，在正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别是C 1C 、B 1C 1的中点．求证：MN ∥平面A 1BD .证明 法一 如图所示，以D 为原点，DA 、DC 、DD 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1， 则M ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1，12，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，1，D (0,0,0)，A 1(1,0,1)，B (1,1,0)，于是MN →＝⎝⎛⎭⎪⎫12，0，12， 设平面A 1BD 的法向量是n ＝(x ，y ，z )． 则n ²DA 1→＝0，且n ²DB →＝0，得⎩⎨⎧x ＋z ＝0，x ＋y ＝0.取x ＝1，得y ＝－1，z ＝－1.∴n ＝(1，－1，－1)． 又MN →²n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，12²(1，－1，－1)＝0，∴MN →⊥n ，又MN ⊄平面A 1BD ， ∴MN ∥平面A 1BD .法二 MN →＝C 1N →－C 1M →＝12C 1B 1→－12C 1C →＝12(D 1A 1→－D 1D →)＝12DA 1→， ∴MN →∥DA 1→，又∵MN 与DA 1不共线，∴MN ∥DA 1， 又∵MN ⊄平面A 1BD ，A 1D ⊂平面A 1BD ， ∴MN ∥平面A 1BD .15．如图，已知ABCDA 1B 1C 1D 1是棱长为3的正方体，点E 在AA 1上，点F 在CC 1上，且AE ＝FC 1＝1.(1)求证：E ，B ，F ，D 1四点共面；(2)若点G 在BC 上，BG ＝23，点M 在BB 1上，GM ⊥BF ，垂足为H ，求证：EM ⊥面BCC 1B 1.证明 (1)建立如图所示的坐标系，则BE →＝(3,0,1)，BF →＝(0,3,2)，BD 1→＝(3,3,3)．所以BD 1→＝BE →＋BF →， 故BD 1→、BE →、BF →共面． 又它们有公共点B ， 所以E 、B 、F 、D 1四点共面． (2)如图，设M (0,0，z )，则GM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－23，z ，而BF →＝(0,3,2)，由题设得GM →²BF →＝－23³3＋z ²2＝0，得z ＝1.因为M (0,0,1)，E (3,0,1)，所以ME →＝(3,0,0)． 又BB 1→＝(0,0,3)，BC →＝(0,3,0)， 所以ME →²BB 1→＝0，ME →²BC →＝0， 从而ME ⊥BB 1，ME ⊥BC . 又BB 1∩BC ＝B ， 故ME ⊥平面BCC 1B 1.16．如图所示，已知正方形ABCD 和矩形ACEF 所在的平面互相垂直，AB ＝2，AF ＝1，M 是线段EF 的中点．求证：(1)AM ∥平面BDE ； (2)AM ⊥平面BDF .证明 (1)建立如图所示的空间直角坐标系， 设AC ∩BD ＝N ，连接NE . 则点N 、E 的坐标分别为⎝ ⎛⎭⎪⎫22，22，0、(0,0,1)．∴NE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，－22，1.又点A 、M 的坐标分别是(2，2，0)、⎝ ⎛⎭⎪⎫22，22，1∴AM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，－22，1.∴NE →＝AM →且NE 与AM 不共线．∴NE ∥AM . 又∵NE ⊂平面BDE ，AM ⊄平面BDE ， ∴AM ∥平面BDE .(2)由(1)知AM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，－22，1，∵D (2，0,0)，F (2，2，1)，∴DF →＝(0，2，1) ∴AM →²DF →＝0，∴AM ⊥DF . 同理AM ⊥BF .又DF ∩BF ＝F ，∴AM ⊥平面BDF .（Ⅱ）----求空间角、距离一、选择题1．如图所示，在正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，O 是底面正方形ABCD 的中心，M 是D 1D 的中点，N 是A 1B 1上的动点，则直线NO 、AM 的位置关系是( )．A ．平行B ．相交C ．异面垂直D ．异面不垂直 解析 建立坐标系如图，设正方体的棱长为2， 则A (2,0,0)，M (0,0,1)，O (1,1,0)，N (2，t,2)，NO →＝(－1,1－t ，－2)， AM →＝(－2,0,1)，NO →²AM →＝0，则直线NO 、AM 的 位置关系是异面垂直． 答案 C2．正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，点M 在AC 1上且AM →＝12MC 1→，N 为B 1B 的中点，则|MN →|为( )． A.216a B.66a C.156a D.153a 解析 以D 为原点建立如图所示的空间直角坐标系D ­xyz ，则A (a,0,0)，C 1(0，a ，a )，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，a ，a 2.设M (x ，y ，z )，∵点M 在AC 1上且AM →＝12MC 1→，∴(x －a ，y ，z )＝12(－x ，a －y ，a－z )∴x ＝23a ，y ＝a 3，z ＝a 3.得M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 3，a 3，a 3，∴|MN →|＝ ⎝ ⎛⎭⎪⎫a －23a 2＋⎝⎛⎭⎪⎫a －a 32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－a 32＝216a .答案 A3．在正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别为棱AA 1和BB 1的中点，则sin 〈CM →，D 1N →〉的值为( )．A.19B.49 5C.29 5D.23 解析 设正方体的棱长为2，以D 为坐标原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴建立空间直角坐标系(如图)，可知CM →＝(2，－2,1)，D 1N →＝(2,2，－1)， cos 〈CM →，D 1N →〉＝－19，sin 〈CM →，D 1N →〉＝459，答案 B4．两平行平面α，β分别经过坐标原点O 和点A (2,1,1)，且两平面的一个法向量n ＝(－1,0,1)，则两平面间的距离是( ) A.32 B.22C. 3 D ．3 2 解析 两平面的一个单位法向量n 0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，0，22，故两平面间的距离d ＝|OA →²n 0|＝22. 答案 B5．已知直二面角α­l ­β，点A ∈α，AC ⊥l ，C 为垂足，点B ∈β，BD ⊥l ，D 为垂足，若AB ＝2，AC ＝BD ＝1，则CD ＝( )．A ．2 B. 3 C. 2 D ．1解析 如图，建立直角坐标系D ­xyz ，由已 知条件B (0,0,1)，A (1，t,0)(t ＞0)，由AB ＝2解得t ＝ 2. 答案 C6．正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E 是棱BB 1中点，G 是DD 1中点，F 是BC 上一点且FB ＝14BC ，则GB 与EF 所成的角为( )． A ．30° B ．120° C ．60° D ．90° 解析 如图建立直角坐标系D ­xyz ， 设DA ＝1，由已知条件 G ⎝⎛⎭⎪⎫0，0，12，B ()1，1，0， E ⎝⎛⎭⎪⎫1，1，12，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫34，1，0， GB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，1，－12，EF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，0，－12cos 〈GB →，EF →〉＝GB →²EF →|GB →||EF →|＝0，则GB →⊥EF →.答案 D7．如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠ACB ＝90°，2AC ＝AA 1＝BC ＝2.若二面角B 1－DC －C 1的大小为60°，则AD 的长为()A. 2B. 3 C ．2D.22解析 如图，以C 为坐标原点，CA ，CB ，CC 1所在的直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则C (0,0,0)，A (1,0,0)，B 1(0,2,2)，C 1(0,0,2)，D (1,0,1)设AD ＝a ，则D 点坐标为(1,0，a )，CD ＝(1,0，a )，1CB ＝(0,2,2)，设平面B 1CD 的一个法向量为m ＝(x ，y ，z )． 则⎩⎪⎨⎪⎧m ²1CB ＝0m ²CD ＝0⇒⎩⎨⎧2y ＋2z ＝0x ＋az ＝0，令z ＝－1，得m ＝(a,1，－1)，又平面C 1DC 的一个法向量为n (0,1,0)， 则由cos60°＝m²n |m ||n |，得1a 2＋2＝12，即a ＝2， 故AD ＝ 2. 答案：A二、填空题8．已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，点P 在线段BD 1上．当∠APC 最大时，三棱锥P －ABC 的体积为________． 解析 以B 为坐标原点，BA 为x 轴，BC 为y 轴，BB 1为z 轴建立空间直角坐标系(如图)，设BP ＝λ1BD ，可得P (λ，λ，λ)，再由cos ∠APC ＝AP ²CP | AP ||CP |可求得当λ＝13时，∠APC 最大，故V P －ABC ＝13³12³1³1³13＝118.答案 1189．如图，在空间直角坐标系中有棱长为a 的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1，点M 是线段DC 1上的动点，则点M 到直线AD 1距离的最小值为________．解析 设M (0，m ，m )(0≤m ≤a )，AD 1→＝(－a,0，a )，直线AD 1的一个单位方向向量s 0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，0，22，由MD 1→＝(0，－m ，a －m )，故点M 到直线AD 1的距离d ＝|MD 1→|2－|MD 1→²s 0|2＝m 2＋a －m 2－12a －m 2＝32m 2－am ＋12a 2，根式内的二次函数当m ＝－－a 2³32＝a 3时取最小值32⎝ ⎛⎭⎪⎫a 32－a ³a 3＋12a 2＝13a 2，故d 的最小值为33a . 答案33a 10．若向量a ＝(1，λ，2)，b ＝(2，－1,2)且a 与b 的夹角的余弦值为89，则λ＝________.解析 由已知得89＝a²b |a ||b |＝2－λ＋45＋λ2²9， ∴8 5＋λ2＝3(6－λ)，解得λ＝－2或λ＝255. 答案 －2或25511．正四棱锥S ­ABCD 中，O 为顶点在底面上的射影，P 为侧棱SD 的中点，且SO ＝OD ，则直线BC 与平面PAC 的夹角的大小为________． 解析 如图所示，以O 为原点建立空间 直角坐标系O ­xyz .设OD ＝SO ＝OA ＝OB ＝OC ＝a ，则A (a,0,0)，B (0，a,0)，C (－a,0,0)，P ⎝⎛⎭⎪⎫0，－a 2，a 2.则CA →＝(2a,0,0)，AP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－a ，－a 2，a 2，CB →＝(a ，a,0)．设平面PAC 的法向量为n ，可求得n ＝(0,1,1)，则cos 〈CB →，n 〉＝CB →²n |CB →||n |＝a2a 2²2＝12. ∴〈CB →，n 〉＝60°，∴直线BC 与平面PAC 的夹角为90°－60°＝30°. 答案 30°12．已知点E 、F 分别在正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1的棱BB 1，CC 1上，且B 1E ＝2EB ，CF ＝2FC 1，则面AEF 与面ABC 所成的二面角的正切值为________． 解析 如图，建立直角坐标系D ­xyz ， 设DA ＝1由已知条件A (1,0,0)， E ⎝⎛⎭⎪⎫1，1，13，F ⎝⎛⎭⎪⎫0，1，23， AE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1，13，AF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，1，23，设平面AEF 的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 面AEF 与面ABC 所成的二面角为θ， 由⎩⎪⎨⎪⎧n ²AE →＝0，n ²AF →＝0得⎩⎪⎨⎪⎧y ＋13z ＝0，－x ＋y ＋23z ＝0.令y ＝1，z ＝－3，x ＝－1，则n ＝(－1,1，－3) 平面ABC 的法向量为m ＝(0,0，－1) cos θ＝cos 〈n ，m 〉＝311，tan θ＝23.答案 23三、解答题13. 如图，四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥底面ABCD .四边形ABCD 中，AB ⊥AD ，AB ＋AD＝4，CD ＝2，∠CDA ＝45°.(1)求证：平面PAB ⊥平面PAD ；(2)设AB ＝AP .若直线PB 与平面PCD 所成的角为30°，求线段AB 的长． 解析：(1)证明：因为PA ⊥平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ， 所以PA ⊥AB .又AB ⊥AD ，PA ∩AD ＝A ，所以AB ⊥平面PAD .又AB ⊂平面PAB ，所以平面PAB ⊥平面PAD .(2)以A 为坐标原点，建立空间直角坐标系A －xyz (如图)． 在平面ABCD 内，作CE ∥AB 交AD 于点E ，则CE ⊥AD . 在Rt △CDE 中，DE ＝CD ²cos45°＝1，CE ＝CD ²sin45°＝1. 设AB ＝AP ＝t ，则B (t,0,0)，P (0,0，t )． 由AB ＋AD ＝4得AD ＝4－t ，所以E (0,3－t,0)，C (1,3－t,0)，D (0,4－t,0)，CD ＝(－1,1,0)，PD ＝(0,4－t ，－t )．设平面PCD 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )， 由n ⊥CD ，n ⊥PD ，得⎩⎨⎧－x ＋y ＝0，－t y －tz ＝0.取x ＝t ，得平面PCD 的一个法向量n ＝(t ，t,4－t )．又PB ＝(t,0，－t )，故由直线PB 与平面PCD 所成的角为30°得 cos60°＝|n ²PB|n |²|PB ||，即|2t 2－4t |t 2＋t 2＋－t 2²2t 2＝12，解得t ＝45或t ＝4(舍去，因为AD ＝4－t >0)，所以AB ＝45.14．如图所示，四棱锥A ­BCDE 中，底面BCDE 为矩形，侧面ABC ⊥底面BCDE ，BC ＝2，CD ＝2，AB ＝AC .(1)证明：AD ⊥CE ；(2)设侧面ABC 为等边三角形，求二面角C ­AD ­E 的大小． 解析 (1)证明 取BC 中点O ， 连接AO ，则AO ⊥BC 由已知条件AO ⊥平面BCDE ，如图，建立直角坐标系O ­xyz ， 则A (0,0，t )，D (1，2，0)，C (1,0,0)，E (－1，2，0)， AD →＝(1，2，－t )， CE →＝(－2，2，0)， 则AD →²CE →＝0，因此AD ⊥CE . (2) 作CF ⊥AD 垂足为F ，连接EF ， 由AD ⊥平面CEF 知EF ⊥AD ， 则∠CFE 为二面角C ­AD ­E 的平面角． 在Rt △ACD 中，CF ＝AC ²CD AD ＝233， 在等腰△ADE 中EF ＝303，cos ∠CFE ＝CF 2＋EF 2－CE 22CF ²EF ＝－1010.∴二面角CADE 的余弦值为－1010. 15．在如图所示的几何体中，四边形ABCD 为平行四边形，∠ACB ＝90°，EA ⊥平面ABCD ，EF ∥AB ，FG ∥BC ，EG ∥AC ，AB ＝2EF .(1)若M 是线段AD 的中点， 求证：GM ∥平面ABFE ；(2)若AC ＝BC ＝2AE ，求二面角A ­BF ­C 的大小． 解析 (1)证明 法一 因为EF ∥AB ，FG ∥BC ，EG ∥AC ， ∠ACB ＝90°，所以∠EGF ＝90°，△ABC ∽△EFG . 由于AB ＝2EF ，因此BC ＝2FG . 连接AF ，由于FG ∥BC ，FG ＝12BC ，在▱ABCD 中，M 是线段AD 的中点，则AM ∥BC ，且AM ＝12BC ，因此FG ∥AM 且FG ＝AM ，所以四边形AFGM 为平行四边形，因此GM ∥FA . 又FA ⊂平面ABFE ，GM ⊄平面ABFE ， 所以GM ∥平面ABFE .法二 因为EF ∥AB ，FG ∥BC ，EG ∥AC ，∠ACB ＝90°， 所以∠EGF ＝90°，△ABC ∽△EFG ， 由于AB ＝2EF ，所以BC ＝2FG . 取BC 的中点N ，连接GN ，因此四边形BNGF 为平行四边形，所以GN ∥FB . 在▱ABCD 中，M 是线段AD 的中点，连接MN ， 则MN ∥AB .因为MN ∩GN ＝N ，AB ∩FB ＝B ， 所以平面GMN ∥平面ABFE . 又GM ⊂平面GMN ， 所以GM ∥平面ABFE .(2)法一 因为∠ACB ＝90°，所以∠CAD ＝90°，又EA ⊥平面ABCD ， 所以AC ，AD ，AE 两两垂直．分别以AC ，AD ，AE 所在直线为x 轴、y 轴和z 轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 不妨设AC ＝BC ＝2AE ＝2，则由题意得A (0,0,0)，B (2，－2,0)，C (2,0,0)，E (0,0,1)，所以AB →＝(2，－2,0)，BC →＝(0,2,0)．又EF ＝12AB ，所以F (1，－1,1)，BF →＝(－1,1,1)． 设平面BFC 的法向量为m ＝(x 1，y 1，z 1)， 则m ²BC →＝0，m ²BF →＝0， 所以⎩⎨⎧y 1＝0，x 1＝z 1，取z 1＝1，得x 1＝1，所以m ＝(1,0,1)． 设平面ABF 的法向量为n ＝(x 2，y 2，z 2)， 则n ²AB →＝0，n ²BF →＝0， 所以⎩⎨⎧x 2＝y 2，z 2＝0，取y 2＝1，得x 2＝1，则n ＝(1,1,0)， 所以cos 〈m ，n 〉＝m²n |m|²|n|＝12.因此二面角A ­BF ­C 的大小为60°.法二 由题意知，平面ABFE ⊥平面ABCD ， 取AB 的中点H ，连接CH ， 因为AC ＝BC ，所以CH ⊥AB ， 则CH ⊥平面ABFE .过H向BF引垂线交BF于R，连接CR，则CR⊥BF，所以∠HRC为二面角A­BF­C的平面角．由题意，不妨设AC＝BC＝2AE＝2.在直角梯形ABFE中，连接FH，则FH⊥AB，又AB＝22，所以HF＝AE＝1，BH＝2，因此在Rt△BHF中，HR＝6 3.由于CH＝12AB＝2，所以在Rt△CHR中，tan∠HRC＝263＝3，因此二面角A­BF­C的大小为60°.16．如图，已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，△ACD为等边三角形，AD＝DE＝2AB，F为CD的中点．(1)求证：AF∥平面BCE；(2)求证：平面BCE⊥平面CDE；(3)求直线BF和平面BCE所成角的正弦值．解析方法一：(1)证法一：取CE的中点G，连接FG、BG.∵F为CD的中点，∴GF∥DE且GF＝12 DE，∵AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，∴AB∥DE，∴GF∥AB.又AB＝12DE，∴GF＝AB.又DE＝2AB，∴四边形GFAB为平行四边形，则AF∥BG. ∵AF⊄平面BCE，BG⊂平面BCE，∴AF∥平面BCE.证法二：取DE的中点M，连接AM、FM，∵F为CD的中点，∴FM∥CE.∵AB ⊥平面ACD ，DE ⊥平面ACD ，∴DE ∥AB .又AB ＝12DE ＝ME ，∴四边形ABEM 为平行四边形，则AM ∥BE . ∵FM 、AM ⊄平面BCE ，CE 、BE ⊂平面BCE ， ∴FM ∥平面BCE ，AM ∥平面BCE .又FM ∩AM ＝M ，∴平面AFM ∥平面BCE . ∵AF ⊂平面AFM ， ∴AF ∥平面BCE .(2)证明：∵△ACD ∴AF ⊥CD .∵DE ⊥平面ACD ，AF ⊂平面ACD ，∴DE ⊥AF . 又CD ∩DE ＝D ，故AF ⊥平面CDE . ∵BG ∥AF ，∴BG ⊥平面CDE . ∵BG ⊂平面BCE ，∴平面BCE ⊥平面CDE .(3)在平面CDE 内，过F 作FH ⊥CE 于H ，连接BH ， ∵平面BCE ⊥平面CDE ，∴FH ⊥平面BCE . ∴∠FBH 为BF 和平面BCE 所成的角．设AD ＝DE ＝2AB ＝2a ，则FH ＝CF sin45°＝22a ，BF ＝AB 2＋AF 2＝a 2＋3a2＝2a ， 在Rt △FHB 中，sin ∠FBH ＝FH BF ＝24.∴直线BF 和平面BCE 所成角的正弦值为24. 方法二：设AD ＝DE ＝2AB ＝2a ，建立如图所示的坐标系A －xyz ，则A (0,0,0)，C (2a,0,0)，B (0,0，a )，D (a ，3a,0)，E (a ∵F 为CD 的中点，∴F ⎝ ⎛⎭⎪⎫32a ，32a ，0.(1)证明：AF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32a ，32a ，0，BE →＝(a ，3a ，a )，BC →＝(2a,0，－a )，∵AF →＝12(BE →＋BC →)，AF ⊄平面BCE ，∴AF ∥平面BCE .(2)证明：∵AF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32a ，32a ，0，CD →＝(－a ，3a,0)，ED →＝(0,0，－2a )，∴AF →²CD →＝0，AF →²ED →＝0，∴AF →⊥CD →，AF →⊥ED →. ∴AF →⊥平面CDE ，又AF ∥平面BCE ， ∴平面BCE ⊥平面CDE .(3)设平面BCE 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，由n ²BE →＝0，n ²BC →＝0可得 x ＋3y ＋z ＝0,2x －z ＝0，取n ＝(1，－3，2)．又BF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32a ，32a ，－a ，设BF 和平面BCE 所成的角为θ，则sin θ＝|BF →²n ||BF →|²|n |＝2a 2a ²22＝24.∴直线BF 和平面BCE 所成角的正弦值为24.。

单元检测八 立体几何与空间向量(提升卷)考生注意：1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共4页．2．答卷前，考生务必用蓝、黑色字迹的钢笔或圆珠笔将自己的姓名、班级、学号填写在相应位置上．3．本次考试时间100分钟，满分130分． 4．请在密封线内作答，保持试卷清洁完整．第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2018·广东省广州市培正中学模拟)下列命题中，错误的是( ) A ．平行于同一平面的两个平面平行 B ．平行于同一直线的两个平面平行C ．一条直线与两个平行平面中的一个相交，那么这条直线必和另一个平面相交D ．一条直线与两个平行平面所成的角相等 答案 B解析 选项A 正确，是面面平行的传递性．选项B 错误，比如正方体的两相邻侧面与一侧棱都平行，但两侧面所在平面相交．选项C 正确，由反证法，若直线与另一平面不相交，则直线在平面内或直线与平面平行，与直线与第一个平面相交矛盾．选项D 正确，由线面角定义可知正确．2．长方体的一个顶点上三条棱长分别是3,4,5，且它的8个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是( )A ．25πB ．50πC ．125πD ．都不对 答案 B解析 长方体的8个顶点都在同一球面上，则这个球是长方体的外接球，所以球的直径等于长方体的体对角线长，即R ＝32＋42＋522＝522，所以球的表面积为4πR 2＝4π·⎝ ⎛⎭⎪⎫5222＝50π，故选B.3.如图，在多面体ABCDEF 中，已知平面ABCD 是边长为3的正方形，EF ∥AB ，EF ＝32，且EF与平面ABCD 的距离为2，则该多面体的体积为( )A.92B ．5C ．6D.152 答案 D解析 分别取AB ，CD 的中点G ，H ，连接EG ，GH ，EH ，把该多面体分割成一个四棱锥与一个三棱柱，可求得四棱锥的体积为3，三棱柱的体积为92，进而整个多面体的体积为152.4．如图，一个空间几何体的正视图，侧视图，俯视图为全等的等腰直角三角形，如果直角三角形的直角边的长为1，那么这个几何体的体积为( )A.16B.12C.13D ．1 答案 A解析 由三视图还原可知原图形是底面是直角边为1的等腰直角三角形，两侧面也是直角边为1的等腰直角三角形，另一侧面是边长为2的等边三角形的三棱锥． 所以体积为V ＝13×⎝ ⎛⎭⎪⎫12×1×1×1＝16，选A.5．(2018·西安模拟)若平面α与β的法向量分别是a ＝(2,4，－3)，b ＝(－1,2,2)，则平面α与β的位置关系是( ) A ．平行 B ．垂直 C ．相交但不垂直 D ．无法确定答案 B解析 因为a ·b ＝(2,4，－3)·(－1,2,2)＝0，所以a ⊥b ，所以两平面垂直．6.如图，长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，∠DAD 1＝45°，∠CDC 1＝30°，那么异面直线AD 1与DC 1所成角的余弦值是( )A.28 B.38 C.24D.34答案 C解析 由长方体∠DAD 1＝45°，∠CDC 1＝30°，设AD ＝DD 1＝1，CD ＝ 3.连接BC 1，BD . 由AD 1∥BC 1，所以异面直线AD 1与DC 1所成角，即∠BC 1D .在△BDC 1中，BC 1＝2，BD ＝2，C 1D ＝2，由余弦定理可得cos∠BC 1D ＝C 1D 2＋BC 21－BD22C 1D ·BC 1＝22＋2－222×2×2＝24， 所以异面直线AD 1与DC 1所成角的余弦值是24，选C. 7．△ABC 所在的平面为α，直线l ⊥AB ，l ⊥AC ，直线m ⊥BC ，m ⊥AC ，则直线l ，m 的位置关系是( )A ．相交B ．平行C ．异面D ．不确定 答案 B解析 ∵l ⊥AB ，l ⊥AC ，AB ∩AC ＝A ，AB ，AC ⊂平面ABC ， ∴l ⊥平面ABC .∵m ⊥BC ，m ⊥AC ，BC ∩AC ＝C ，BC ，AC ⊂平面ABC ， ∴m ⊥平面ABC ， ∴l ∥m ，故选B.8．已知向量a ＝(2,4,5)，b ＝(3，x ，y )分别是直线l 1，l 2的方向向量，若l 1∥l 2，则( ) A ．x ＝6，y ＝15 B ．x ＝3，y ＝152C ．x ＝3，y ＝15D ．x ＝6，y ＝152答案 D解析 ∵l 1∥l 2，∴存在实数k 使得b ＝k a ， 即(3，x ，y )＝k (2,4,5)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧3＝2k ，x ＝4k ，y ＝5k ，解得x ＝6，y ＝152，故选D.9．(2018·湖南省长沙市周南中学模拟)如图，在所有棱长均为a 的直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，D ，E 分别为BB 1，A 1C 1的中点，则异面直线AD ，CE 所成角的余弦值为( )A.12B.32C.15D.45答案 C解析 设AC 的中点为O ，以OB →，OC →，OE →为x ，y ，z 轴建立坐标系(图略)，则A ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－a 2，0，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫32a ，0，a 2，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a 2，0，E (0,0，a )， 则AD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32a ，a 2，a 2，CE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－a 2，a ，设AD 与CE 所成的角为θ，则cos θ＝0×32a －a 2×a 2＋a2×a 34a 2＋a 24＋a 24·a 24＋a2＝15，故选C. 10．已知α，β是两个平面，直线l ⊄α，l ⊄β，若以①l ⊥α；②l ∥β；③α⊥β中两个为条件，另一个为结论构成三个命题，则其中正确的命题有( ) A ．①③⇒②；①②⇒③ B ．①③⇒②；②③⇒① C ．①②⇒③；②③⇒①D ．①③⇒②；①②⇒③；②③⇒① 答案 A解析 因为α⊥β，所以在β内找到一条直线m ，使m ⊥α，又因为l ⊥α，所以l ∥m .又因为l ⊄β，所以l ∥β，即①③⇒②；因为l ∥β，所以过l 可作一平面γ∩β＝n ，所以l ∥n ，又因为l ⊥α，所以n ⊥α，又因为n ⊂β，所以α⊥β，即①②⇒③.故选A.11.如图，空间四边形OABC 中，M ，N 分别是OA ，BC 的中点，点G 在线段MN 上，且MG ＝2GN ，若OG →＝xOA →＋yOB →＋zOC →，则( )A ．x ＝13，y ＝13，z ＝13B ．x ＝13，y ＝13，z ＝16C ．x ＝16，y ＝16，z ＝13D ．x ＝16，y ＝13，z ＝13答案 D解析 由向量的运算法则有 OG →＝OM →＋MG →＝12OA →＋MG →，①OG →＝OC →＋CN →＋NG →，② OG →＝OB →＋BN →＋NG →，③ 又BN →＝－CN →，MG →＝－2NG →，∴①＋②＋③得3OG →＝12OA →＋OB →＋OC →，据此可知x ＝16，y ＝13，z ＝13.12.点P 在正方体侧面BCC 1B 1及其边界上运动，并且保持AP ⊥BD 1，则点P 的轨迹为( )A ．线段B 1CB ．BB 1的中点与CC 1的中点连成的线段 C ．线段BC 1D ．BC 的中点与B 1C 1的中点连成的线段 答案 A解析 ∵AP ⊥BD 1恒成立，∴要保证AP 所在的平面始终垂直于BD 1.∵AC ⊥BD 1，AB 1⊥BD 1，AC ∩AB 1＝A ，AB 1，AC ⊂平面AB 1C ， ∴BD 1⊥平面AB 1C ，∴P 点在线段B 1C 上运动．故选A.第Ⅱ卷(非选择题 共70分)二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．正四面体ABCD 的棱长为2，半径为2的球O 过点D, MN 为球O 的一条直径，则AM →·AN →的最小值是______． 答案 4－4 2解析 很明显当O ，D ，M ，N 四点共面时数量积能取得最值， 由题意可知OD ＝OM ＝ON ，则△MDN 是以点D 为顶点的直角三角形，且 AM →·AN →＝(AD →＋DM →)·(AD →＋DN →) ＝AD →2＋AD →·(DM →＋DN →)＋DM →·DN → ＝4＋2AD →·DO →＋0，当向量AD →，DO →反向时，AM →·AN →取得最小值4－2×2×2＝4－4 2.14.如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是棱AA 1和AB 上的点，若∠B 1MN 是直角，则∠C 1MN ＝________.答案 90°解析 因为C 1B 1⊥平面ABB 1A 1，MN ⊂平面ABB 1A 1，所以C 1B 1⊥MN .又因为MN ⊥MB 1，MB 1，C 1B 1⊂平面C 1MB 1，MB 1∩C 1B 1＝B 1，所以MN ⊥平面C 1MB 1， 所以MN ⊥C 1M ，所以∠C 1MN ＝90°.15.如图，∠BAC ＝90°，PC ⊥平面ABC ，则在△ABC 和△PAC 的边所在的直线中，与PC 垂直的直线有________；与AP 垂直的直线有________．答案 AB ，BC ，AC AB解析 ∵PC ⊥平面ABC ，∴PC 垂直于直线AB ，BC ，AC ；∵AB ⊥AC ，AB ⊥PC ，AC ∩PC ＝C ， ∴AB ⊥平面PAC ，∴与AP 垂直的直线是AB .16.如图，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝1，AD ＝2，AA 1＝3，∠BAD ＝90°，∠BAA 1＝∠DAA 1＝60°，则AC 1＝________.答案23解析 ∵∠BAA 1＝∠DAA 1＝60°，∴A 1在平面ABCD 上的射影必落在直线AC 上， ∴平面ACC 1A 1⊥平面ABCD ， ∵AB ＝1，AD ＝2，AA 1＝3，AC 1→＝AC →＋CC 1→＝AB →＋AD →＋AA 1→，∴|AC 1→|2＝(AB →＋AD →＋AA 1→)2＝|AB →|2＋|AD →|2＋|AA 1→|2＋2AB →·AD →＋2AB →·AA 1→＋2AD →·AA 1→ ＝1＋4＋9＋0＋2×1×3×12＋2×2×3×12＝23，∴|AC 1→|＝23， ∴AC 1＝23.三、解答题(本题共4小题，共50分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(12分)如图，在直三棱柱(侧棱垂直于底面)ABC －A 1B 1C 1中，AC ＝9，BC ＝12，AB ＝15，AA 1＝12，点D 是AB 的中点．(1)求证：AC ⊥B 1C ； (2)求证：AC 1∥平面CDB 1.证明 (1)∵三棱柱ABC －A 1B 1C 1为直三棱柱， ∴CC 1⊥平面ABC ，又AC ⊂平面ABC ，∴CC 1⊥AC . 又∵AC ＝9，BC ＝12，AB ＝15， ∴AC 2＋BC 2＝AB 2，∴AC ⊥BC .∵CC 1，BC ⊂平面BB 1C 1C ，CC 1∩BC ＝C ，∴AC ⊥平面BB 1C 1C ， 又B 1C ⊂平面BB 1C 1C ， ∴AC ⊥B 1C .(2)取A 1B 1的中点D 1，连接C 1D 1，D 1D 和AD 1.∵AD ∥D 1B 1，且AD ＝D 1B 1，∴四边形ADB 1D 1为平行四边形，∴AD 1∥DB 1， 又∵AD 1⊄平面CDB 1，DB 1⊂平面CDB 1， ∴AD 1∥平面CDB 1. ∵CC 1∥DD 1，且CC 1＝DD 1，∴四边形CC 1D 1D 为平行四边形，∴C 1D 1∥CD ， 又∵CD ⊂平面CDB 1，C 1D 1⊄平面CDB 1， ∴C 1D 1∥平面CDB 1.∵AD 1∩C 1D 1＝D 1，AD 1，C 1D 1⊂平面AC 1D 1， ∴平面AC 1D 1∥平面CDB 1，又AC 1⊂平面AC 1D 1，∴AC 1∥平面CDB 1.18．(12分)如图，在四棱锥P －ABCD 中，AD ⊥平面PDC ，AD ∥BC ，PD ⊥PB ，AD ＝1，BC ＝3，CD ＝4，PD ＝2.(1)求异面直线AP 与BC 所成角的余弦值； (2)求证：PD ⊥平面PBC ；(3)求直线AB 与平面PBC 所成角的正弦值．(1)解 由已知AD ∥BC ，得∠DAP 或其补角即为异面直线AP 与BC 所成的角．因为AD ⊥平面PDC ，所以AD ⊥PD .在Rt△PDA 中，由已知，得AP ＝AD 2＋PD 2＝5，故cos∠DAP ＝AD AP ＝55.所以异面直线AP 与BC 所成角的余弦值为55. (2)证明 因为AD ⊥平面PDC ，直线PD ⊂平面PDC ，所以AD ⊥PD . 又因为BC ∥AD ，所以PD ⊥BC ，又PD ⊥PB ，BC ，PB ⊂平面PBC ，BC ∩PB ＝B ， 所以PD ⊥平面PBC .(3)解 过点D 作AB 的平行线交BC 于点F ，连接PF ，则DF 与平面PBC 所成的角等于AB 与平面PBC 所成的角．因为PD ⊥平面PBC ，故PF 为DF 在平面PBC 上的射影，所以∠DFP 为直线DF 和平面PBC 所成的角．由于AD ∥BC ，DF ∥AB ，故BF ＝AD ＝1，由已知，得CF ＝BC －BF ＝2.又AD ⊥DC ，故BC ⊥DC ，在Rt△DCF 中，可得DF ＝CD 2＋CF 2＝25，在Rt△DPF 中，可得sin∠DFP ＝PD DF ＝55. 所以，直线AB 与平面PBC 所成角的正弦值为55. 19．(13分)如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是边长为4的菱形，∠ABC ＝60°，PA ⊥平面ABCD ，PA ＝4，F 是棱PA 上一点，且AF ＝1，E 为PD 的一个靠近D 点的三等分点．(1)求证：CE ∥平面BDF ；(2)求平面BDF 与平面PAD 所成的锐二面角的余弦值．(1)证明 以点A 为坐标原点，以AD ，AP 所在的直线分别为y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系如图．则A (0,0,0)，D (0,4,0)，P (0,0,4)，F (0,0,1)，B (23，－2,0)，C (23，2,0) CE →＝CD →＋13DP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，23，43，设平面BDF 的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 又BD →＝(－23，6,0)，DF →＝(0，－4,1)，所以⎩⎨⎧－2 3 x ＋6y ＝0，－4y ＋z ＝0，取y ＝1，得n ＝(3，1,4)，所以CE →·n ＝－6＋23＋163＝0，即CE →⊥n .又CE ⊄平面BDF ，所以CE ∥平面BDF .(2)解 由(1)知平面BDF 的一个法向量为n ＝(3，1,4)， 又平面PAD 的一个法向量可取n 1＝(1,0,0)，所以平面BDF 与平面PAD 所成锐二面角的余弦值为|cos 〈n ，n 1〉|＝33＋1＋16·1＝1510. 20．(13分)(2018·北京市城六区模拟)如图1，在边长为2的正方形ABCD 中，P 为CD 中点，分别将△PAD, △PBC 沿PA ，PB 所在直线折叠，使点C 与点D 重合于点O ，如图2，在三棱锥P －OAB 中，E 为PB 中点． (1)求证：PO ⊥AB ；(2)求直线BP 与平面POA 所成角的正弦值； (3)求二面角P －AO －E 的大小．(1)证明 在正方形ABCD 中，P 为CD 中点，PD ⊥AD ，PC ⊥BC ，所以在三棱锥P －OAB 中，PO ⊥OA ，PO ⊥OB .因为OA ∩OB ＝O ，OA ，OB ⊂平面OAB ，所以PO ⊥平面OAB .因为AB ⊂平面OAB ，所以PO ⊥AB .(2)解 取AB 中点F ，连接OF ，取AO 中点M ，连接BM .过点O 作AB 的平行线OG .因为PO ⊥平面OAB ，所以PO ⊥OF ，PO ⊥OG . 因为OA ＝OB ，F 为AB 的中点， 所以OF ⊥AB .所以OF ⊥OG .如图所示，建立空间直角坐标系Oxyz .A (1，3，0)，B (－1，3，0)，P (0,0,1)，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，0. 因为BO ＝BA ，M 为OA 的中点，所以BM ⊥OA .因为PO ⊥平面OAB ，PO ⊂平面POA ，所以平面POA ⊥平面OAB .因为平面POA ∩平面OAB ＝OA ，BM ⊂平面OAB ，所以BM ⊥平面POA . 因为BM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－32，0.所以平面POA 的一个法向量m ＝(3，－1,0).BP →＝(1，－3，1)． 设直线BP 与平面POA 所成角为α，则sin α＝|cos 〈m ，BP →〉|＝|m ·BP →||m ||BP →|＝155. 所以直线BP 与平面POA 所成角的正弦值为155. (3)由(2)知E ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32，12，OE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32，12， OA →＝(1，3，0)．设平面OAE 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则有⎩⎪⎨⎪⎧ OA →·n ＝0，OE →·n ＝0，即⎩⎨⎧ x ＋3y ＝0，－x ＋3y ＋z ＝0.令y ＝－1，则x ＝3，z ＝23，即n ＝(3，－1,23)．由(2)知平面OAP 的一个法向量为m ＝(3，－1,0)，所以cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m ||n |＝3＋12×4＝12. 由题意知二面角P －AO －E 为锐角，所以它的大小为π3.精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。

第八编 立体几何§8.1 空间几何体的结构及其三视图和直观图基础自测1.下列命题中正确的是（ ）A .有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱B .有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱C .有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体叫棱锥D .有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形的几何体叫棱锥 答案 D2.如果圆锥的侧面展开图是半圆，那么这个圆锥的顶角（圆锥轴截面中两条母线的夹角）是( )A .30°B .45°C .60°D .90°答案 C3.如果一个几何体的三视图如图所示（单位长度：cm ），则此几何体的表面积是( )A .(20+42) cm2B .21 cm2C .(24+42) cm 2D .24 cm 2答案 A4.（2008·广东，理5文7）将正三棱柱截去三个角（如图1所示），A ，B ，C 分别是△GHI 三边的中点得到几何体如图2，则该几何体按图2所示方向的左视图为（答案A5.已知正三角形ABC 的边长为a ,那么△ABC 的直观图△'''C B A 的面积为 ( )A .243a B .283a C .286a D .2166a 答案 D例1 下列结论正确的是（ ）A .各个面都是三角形的几何体是三棱锥B .以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥 C.棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此棱锥可能是六棱锥 D .圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线 答案 D例2 （12分）已知△ABC 的直观图'''C B A 是边长为a 的正三角形，求原三角形ABC 的面积.解 建立如图所示的xOy 坐标系，△ABC 的顶点C 在y 轴上，AB 边在x 轴上，OC 为△ABC 的 高.3分 把y 轴绕原点顺时针旋转45°得y ′轴，则点C 变为点C ′，且OC =2OC ′，A 、B 点即为A ′、 B ′点，AB =''B A .6分已知''B A =''C A =a ，在△O ''C A 中， 由正弦定理得''∠'C OA OC sin =45sin ''C A ，8分所以OC ′=a45sin 120sin =a 26, 所以原三角形ABC 的高OC =6a ， 10分 所以S △ABC =21×a ×6a =a 262.12分例3 一个正三棱柱的三视图如图所示，求这个三棱柱的表面积和体积.解 由三视图易知，该正三棱柱的形状如图所示：且AA ′=BB ′=CC ′=4cm,正三角形ABC 和正三角形'''C B A 的高为23cm. ∴正三角形ABC 的边长为|AB |=60sin 32=4.∴该三棱柱的表面积为 S =3×4×4+2×21×42sin60°=48+83(cm 2). 体积为V =S 底·|AA ′|=21×42sin60°×4=163(cm 3). 故这个三棱柱的表面积为（48+83）cm 2,体积为163cm 3.例4 棱长为2的正四面体的四个顶点都在同一个球面上，若过该球球心的一个截面如图所示，求图中三角形（正四面体的截面）的面积. 解 如图所示，△ABE 为题中的三角形， 由已知得AB =2，BE =2×23=3,BF =32BE =332,AF =22BF AB -=344-=38, ∴△ABE 的面积为 S =21×BE ×AF =21×3×38=2. ∴所求的三角形的面积为2.1.如果四棱锥的四条侧棱都相等，就称它为“等腰四棱锥”，四条侧棱称为它的腰，以下四个命题中，假命题是（ ） A .等腰四棱锥的腰与底面所成的角都相等B .等腰四棱锥的侧面与底面所成的二面角都相等或互补C .等腰四棱锥的底面四边形必存在外接圆D .等腰四棱锥的各顶点必在同一球面上 答案 B2.一个平面四边形的斜二测画法的直观图是一个边长为a 的正方形,则原平面四边形的面积等于 . 答案 22a 23.已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形，主视图（或称正视图）是一个底边长为8、高为4的等 腰三角形，左视图（或称侧视图）是一个底边长为6、高为4的等腰三角形.（1）求该几何体的体积V ； （2）求该几何体的侧面积S .解 （1）由该几何体的俯视图、主视图、左视图可知，该几何体是四棱锥，且四棱锥的底面 ABCD 是边长为6和8的矩形，高VO =4，O 点是AC 与BD 的交点. ∴该几何体的体积 V =31×8×6×4=64.（2）如图所示，侧面VAB 中，VE ⊥AB ，则 VE =22OE VO +=2234+=5 ∴S △VAB =21×AB ×VE =21×8×5=20 侧面VBC 中，VF ⊥BC ，则VF =22OF VO +=2244+=42. ∴S △VBC =21×BC ×VF =21×6×42=122 ∴该几何体的侧面积S =2（S △VAB +S △VBC ）=40+242.4.在一个倒置的正三棱锥容器内,放入一个钢球,钢球恰好与棱锥的四个面都接触,经过棱锥的一条侧棱和高作截面,正确的 截面图形是( )答案B一、选择题1.利用斜二测画法可以得到：①三角形的直观图是三角形，②平行四边形的直观图是平行四边形，③正方形的直观图是正方形，④菱形的直观图是菱形，以上结论正确的是（ ）A .①②B .①C .③④D .①②③④答案 A2.如图所示，甲、乙、丙是三个几何体图形的三视图，甲、乙、丙对应的标号正确的是（ ）①长方体；②圆锥；③三棱锥；④圆柱. A .④③②B .②①③C .①②③D .③②④答案 A3.下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是（ ）A .①②B .① ③C .①④D .②④答案 D4.用若干个大小相同，棱长为1的正方体摆成一个立体模型，其三视图如下：根据三视图回答此立体模型的体积为（ ）A .4B .5C .6D .7答案 B5.棱长为1的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的8个顶点都在球O 的表面上，E 、F 分别是棱AA 1、DD 1的中点，则直线EF 被球O 截得的线段长为（ ）A .22B .1C .1+22D .2答案 D6.（2008·湖北理，3）用与球心距离为1的平面去截球，所得的截面面积为π，则球的体积为( ) A .38π B .328πC .8π2D .332π答案 B 二、填空题7.用小立方块搭一个几何体，使得它的主视图和俯视图如图所示，这样的几何体至少要 个小立方块.最多只能用 个小立方块.答案 9 148.（2009·兴化市板桥高级中学高三12月月考）如下图所示，一个空间几何的主视图和左视图都是边长为1的正方形，俯视图是一个直径为1的圆，那么这个几何体的全面积为 .答案 π23三、解答题9.正四棱台AC1的高是17 cm ，两底面的边长分别是4 cm 和16 cm ，求这个棱台的侧棱长和斜高. 解 如图所示，设棱台的两底面的中心分别是O 1、O ，B 1C 1和BC 的中 点分别是E 1和E ，连接O 1O 、E 1E 、O 1B 1、OB 、O 1E 1、OE ， 则四边形OBB 1O 1和OEE 1O 1都是直角梯形. ∵A 1B 1=4 cm ，AB =16 cm ， ∴O 1E 1=2 cm ，OE =8 cm ， O 1B 1=22 cm ，OB =82 cm ， ∴B 1B 2=O 1O 2+（OB -O 1B 1)2=361 cm 2， E 1E 2=O 1O 2+（OE -O 1E 1)2=325 cm 2，∴B 1B =19 cm ，E 1E =513cm.答 这个棱台的侧棱长为19 cm ，斜高为513cm.10.圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，轴截面的面积等于392 cm 2,母线与轴的夹角是45°，求这个圆台的高、母线长和两底面半径.解 圆台的轴截面如图所示，设圆台上下底面半径分别为x cm,3x cm.延长AA 1交OO 1的延长线于S ， 在Rt △SOA 中，∠ASO =45°, 则∠SAO =45°，∴SO =AO =3x ，∴OO 1=2x ， 又S 轴截面=21（6x +2x ）·2x =392，∴x =7. 故圆台的高OO 1=14 (cm)，母线长l =2O 1O =142 (cm)， 两底面半径分别为7 cm,21 cm.11.正四棱锥的高为3，侧棱长为7，求侧面上斜高（棱锥侧面三角形的高）为多少？ 解 如图所示，正棱锥S -ABCD 中高OS =3，侧棱SA =SB =SC =SD =7， 在Rt △SOA 中， OA =22OS SA =2， ∴AC =4.∴AB =BC =CD =DA =22.作OE ⊥AB 于E ，则E 为AB 中点. 连接SE ，则SE 即为斜高，则SO ⊥OE . 在Rt △SOE 中，∵OE =21BC =2，SO =3， ∴SE =5，即侧面上的斜高为5.12. 如图所示的几何体中，四边形AA 1B 1B 是边长为3的正方形，CC 1=2，CC 1∥AA 1，这个几何体是棱柱吗？若是，指出是几棱柱.若不是棱柱，请你试用一个平面截去一部分，使剩余部分是一个棱长为2的三棱柱，并指出截去的几何体的特征，在立体图中画出截面.解 这个几何体不是棱柱；在四边形ABB 1A 1中，在AA 1上取点E ，使AE =2；在BB 1上取F 使BF =2；连接C 1E ，EF ，C 1F ，则过C 1EF 的截面将几何体分成两部分，其中一部分是棱柱ABC —EFC 1，其棱长为2；截去的部分是一个四棱锥C 1—EA 1B 1F.§8.2 空间几何体的表面积与体积1.（2008·山东，6）如图是一个几何体的三视图,根据图中数据,可得该几何体的表面积是（ ）基础自测A .9πB .10πC .11πD .12π答案 D2.如图所示，在棱长为4的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，P 是A 1B 1上一点，且PB 1=41A 1B 1，则多面体P -BCC 1B 1的体积为（ ）A .38 B .316 C .4 D .16答案 B3.如图所示，一个空间几何体的主视图、左视图是周长为4，一个内角为60°的菱形，俯视图是圆及其圆心，那么这个几何体的表面积为( )A .2π B .π C .23π D .2π答案 B4.已知正方体外接球的体积为332π,那么正方体的棱长等于 ( )A .22B .332 C .324 D .334 答案 D5.（2008·福建，15）若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为3，则其外接球的表面积是 . 答案 9π6.三棱锥S —ABC 中，面SAB ，SBC ，SAC 都是以S 为直角顶点的等腰直角三角形，且AB =BC =CA =2，则三棱锥S —ABC 的表面积是 .答案 3+3ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB =a ，BC =b ，例1 如图所示，长方体BB1=c ，并且a ＞b ＞c ＞0.求沿着长方体的表面自A 到C 1 的最短线路的长.解 将长方体相邻两个面展开有下列三种可能，如图所示.三个图形甲、乙、丙中AC 1的长分别为： 22)(c b a ++=ab c b a 2222+++，22)(c b a ++=bc c b a 2222+++， 22)(b c a ++=ac c b a 2222+++，∵a ＞b ＞c ＞0,∴ab ＞ac ＞bc ＞0. 故最短线路的长为bc c b a 2222+++.例2 如图所示,半径为R 的半圆内的阴影部分以直径AB 所在直线为轴,旋转一周得到一几何体,求该几何体的表面积(其中∠BAC =30°)及其体积.解 如图所示,过C 作CO 1⊥AB 于O 1,在半圆中可得∠BCA =90°,∠BAC =30°,AB =2R ,∴AC =3R ,BC =R ,CO 1=23R , ∴S 球=4πR 2,侧圆锥1AO S =π×23R ×3R =23πR 2,侧圆锥1BO S =π×23R ×R =23πR 2, ∴S 几何体表=S 球+侧圆锥1AO S +侧圆锥1BO S =211πR 2+23πR 2=2311+πR 2, ∴旋转所得到的几何体的表面积为2311+πR 2. 又V 球=34πR 3,1AO V 圆锥=31·AO 1·πCO 12=π41R 2·AO 11BO V 圆锥=31BO 1·πCO 12=41BO 1·πR 2∴V 几何体=V 球-（1AO V 圆锥+1BO V 圆锥）=34πR 3-21πR 3=65πR 3.例3 如图所示，长方体ABCD —''''D C B A 中，用截面截下一个棱锥C —''DD A ，求棱锥C —''DD A 的体积与剩余部分的体积之比.解 已知长方体可以看成直四棱柱''A ADD —''B BCC .设它的底面''A ADD 面积为S ，高为h ，则它的体积为V =Sh . 而棱锥C —''DD A 的底面面积为21S ，高是h , 因此，棱锥C —''DD A 的体积 V C —A ′DD ′=31×21Sh =61Sh . 余下的体积是Sh -61Sh =65Sh . 所以棱锥C —''DD A 的体积与剩余部分的体积之比为1∶5.例4 （12分）如图所示，在等腰梯形ABCD 中，AB =2DC =2，∠DAB =60°，E 为AB 的中点，将△ADE 与△BEC 分别沿ED 、EC 向上折起，使A 、B 重合，求形成的三棱锥的外接球的体积.解 由已知条件知，平面图形中AE =EB =BC =CD =DA =DE =EC =1. ∴折叠后得到一个正四面体.2分方法一 作AF ⊥平面DEC ，垂足为F ，F 即为△DEC 的中心. 取EC 的中点G ，连接DG 、AG ， 过球心O 作OH ⊥平面AEC . 则垂足H 为△AEC 的中心.4分∴外接球半径可利用△OHA ∽△GFA 求得. ∵AG =23，AF =2)33(1-=36，6分在△AFG 和△AHO 中，根据三角形相似可知，AH =33.∴OA =AF AH AG ∙=363323∙=46. 10分∴外接球体积为π34×OA 3=34·π·3466=π86.12分方法二 如图所示，把正四面体放在正方体中.显然，正四面体 的外接球就是正方体的外接球.3分∵正四面体的棱长为1， ∴正方体的棱长为22， ∴外接球直径2R =3·22， 6分 ∴R =46，9分∴体积为π34·346⎪⎪⎭⎫⎝⎛=π86.∴该三棱锥外接球的体积为π86. 12分1.如图所示，在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，底面为直角三角形，∠ACB =90°，AC =6，BC =CC 1=2. P 是BC 1上一动点，则CP +PA 1的最小值是 . 答案 522.如图所示，扇形的圆心角为90°，其所在圆的半径为R ，弦AB 将扇形分成两个部分，这两部分各以AO 为轴旋转一周，所得旋转体的体积V 1和V 2之比为（ ）A .1∶1B .1∶2C .1∶2D .1∶3答案 A3.如图所示，三棱锥A —BCD 一条侧棱AD =8 cm ，底面一边BC =18 cm ，其余四条棱的棱长都是17 cm ，求三棱锥A —BCD 的体积.解 取BC 中点M ，连接AM 、DM ，取AD 的中点N ，连接MN ∵AC =AB =CD =BD ， ∴BC ⊥AM ，BC ⊥DM ， 又∵AM ∩DM =M ， ∴BC ⊥平面ADM ，BC =18， AC =AB =DB =DC =17.∴AM =DM =413， ∴NM ⊥AD ，∴MN =83. ∴S △ADM =21·MN ·AD =21·83·8=323. ∴V A —BCD =V B —ADM +V C —ADM =31×S △ADM ×（BM +CM ）=31×323×18 =1923（cm 3）.4.如图所示，已知正四棱锥S —ABCD 中，底面边长为a ,侧棱长为2a .（1）求它的外接球的体积； （2）求它的内切球的表面积.解 （1）设外接球的半径为R ，球心为O ，则OA =OC =OS ，所以O 为△SAC 的外心，即△SAC的外接圆半径就是球的半径.∵AB =BC =a ，∴AC =2a .∵SA =SC =AC =2a ，∴△SAC 为正三角形. 由正弦定理得2R =a a ASC AC 36260sin 2sin ==∠ ，因此，R =36a ，V 球=34πR 3=2768πa 3. （2）设内切球半径为r ，作SE ⊥底面ABCD 于E ， 作SF ⊥BC 于F ，连接EF ，则有SF =22BF SB -=a a a 27)2()2(22=-.S △SBC =21BC ·SF =21a ×27a =47a 2.S 棱锥全=4S △SBC +S 底=（7+1）a 2. 又SE =22EF SF -=22)2()27(a a -=a 26， ∴V 棱锥=31S 底h =31a 2×26a =366a . ∴r =a a a S V 12642)17(663323-=+⨯=棱锥全棱锥,S 球=4πr 2=374-πa 2.一、选择题1.如图所示，E 、F 分别是边长为1的正方形ABCD 边BC 、CD 的中点， 沿线AF ，AE ，EF 折起来，则所围成的三棱锥的体积为（ ）A .31B .61 C .121D .241答案D2.长方体的过一个顶点的三条棱长的比是1∶2∶3，对角线长为214，则这个长方体的体积是( )A .6B .12C .24D .48答案D3.已知三棱锥S —ABC 的各顶点都在一个半径为r 的球面上，球心O 在AB 上，SO ⊥底面ABC ，AC =2r ，则球的体积与三棱锥体积之比是（ ）A .πB .2πC .3πD . 4π答案 D4.如图所示，三棱锥P —ABC 的高PO =8，AC =BC =3，∠ACB =30°，M 、N 分别在BC 和PO 上， 且CM =x ，PN =2CM ，下面的四个图象中能表示三棱锥N —AMC 的体积V 与x （x ∈（0，3）） 的关系的是（答案A5.已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积是( )A .16πB .20πC .24πD .32π答案 C6.一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积 是( )A .433B .33C .43D .123 答案 C 二、填空题7.（2008·四川理，15）已知正四棱柱的对角线的长为6，且对角线与底面所成角的余弦值为33，则该正四棱柱的体积等于 . 答案 28.（2008·上海春招）已知一个凸多面体共有9个面，所有棱长均为1，其平面展开图如图所示，则该凸多面体的体积V = . 答案 1+62 三、解答题9.一个正三棱台的上、下底面边长分别是3 cm 和6 cm,高是23cm, （1）求三棱台的斜高；（2）求三棱台的侧面积和表面积.解 （1）设O 1、O 分别为正三棱台ABC —A 1B 1C 1的上、下底面正三角形的中心，如图所示， 则O 1O =23，过O 1作O 1D 1⊥B 1C 1，OD ⊥BC ，则D 1D 为三棱台的斜高； 显然，A 1，O 1，D 1三点共线，A ，O ，D 三点共线. 过D 1作D 1E ⊥AD 于E ，则D 1E =O 1O =23， 因O 1D 1=63×3=23,OD =63×6=3, 则DE =OD -O 1D 1=3-23=23. 在Rt △D 1DE 中,D 1D =221EDE D +=22)23()23(+=3.(2)设c 、c ′分别为上、下底的周长，h ′为斜高， S 侧=21（c +c ′）h ′=21 (3×3+3×6)×3=2327(cm 2), S 表=S 侧+S 上+S 下=2327+43×32+43×62=4399 (cm 2).故三棱台斜高为3 cm,侧面积为2327 cm 2，表面积为4399 cm 2.10.如图所示，正△ABC 的边长为4，D 、E 、F 分别为各边中点，M 、N 、P 分别为BE 、DE 、EF 的中点，将△ABC 沿DE 、EF 、DF 折成了三棱锥以后. （1）∠MNP 等于多少度？（2）擦去线段EM 、EN 、EP 后剩下的几何体是什么？其侧面积为多少？ 解 （1）由题意，折成了三棱锥以后，如图所示， △MNP 为正三角形，故∠MNP =∠ADF =60°.（2）擦去线段EM 、EN 、EP 后，所得几何体为棱台， 其侧面积为S 侧=S E —ADF 侧-S E —MNP 侧 =3×43×22-3×43×12=439.11.如图所示，在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AB =BC =1，BB 1=2， E 是棱CC 1上的点，且CE =41CC 1. （1）求三棱锥C —BED 的体积； （2）求证：A 1C ⊥平面BDE . （1）解 ∵CE =41CC 1=21， ∴V C —BDE =V E —BCD =31S △BCD ·CE =31×21×1×1×21=121.(2)证明 连接AC 、B 1C . ∵AB =BC ，∴BD ⊥AC . ∵A 1A ⊥底面ABCD , ∴BD ⊥A 1A . ∵A 1A ∩AC =A ， ∴BD ⊥平面A 1AC . ∴BD ⊥A 1C . ∵tan ∠BB 1C =B B BC 1=21, tan ∠CBE =CB CE =21,∴∠BB 1C =∠CBE . ∵∠BB 1C +∠BCB 1=90°,∴∠CBE +∠BCB 1=90°,∴BE ⊥B 1C . ∵BE ⊥A 1B 1，A 1B 1∩B 1C =B 1， ∴BE ⊥平面A 1B 1C ， ∴BE ⊥A 1C .∵BD ∩BE =B ，BE ⊂平面BDE ，BD ⊂平面BDE ，∴A 1C ⊥平面BDE .12.三棱锥S —ABC 中，一条棱长为a ,其余棱长均为1，求a 为何值时V S —ABC 最大，并求最大值. 解 方法一 如图所示，设SC =a ，其余棱长均为1， 取AB 的中点H ，连接HS 、HC ， 则AB ⊥HC ，AB ⊥HS ， ∴AB ⊥平面SHC .在面SHC 中，过S 作SO ⊥HC ，则SO ⊥平面ABC . 在△SAB 中，SA =AB =BS =1， ∴SH =23， 设∠SHO =θ，则SO =SH sin θ=23sin θ， ∴V S —ABC =31S △ABC ·SO =31×43×12×23sin θ =81sin θ≤81. 当且仅当sin θ=1，即θ=90°时，三棱锥的体积最大. a =2SH =2×23=26，V max =81.∴a 为26时，三棱锥的体积最大为81.方法二 取SC 的中点D ，可通过V S —ABC =31S △ABD ·SC ， 转化为关于a 的目标函数的最大值问题，利用基本不等式或配方法解决.§8.3 空间点、直线、平面之间的位置关系基础自测1.给出下列四个命题：①垂直于同一直线的两条直线互相平行； ②垂直于同一平面的两个平面互相平行；③若直线l 1、l 2与同一平面所成的角相等，则l 1,l 2互相平行；④若直线l 1、l 2是异面直线，则与l 1、l 2都相交的两条直线是异面直线. 其中假命题的个数是 . A .1B .2C .3D .4答案 D2.已知m 、n 为异面直线，m ⊂平面α，n ⊂平面β,βα =l ,则l（ ）A .与m 、n 都相交B .与m 、nC .与m 、nD .至多与m 、n答案B3.若三个平面两两相交，且三条交线互相平行，则这三个平面把空间分成（ ）A .5部分B .6部分C .7部分D .8部分答案 C4.如图所示，点P ，Q ，R ，S 分别在正方体的四条棱上，且是所在棱的中点，则直线PQ 与RS 是异面直线的一个图是（ ）答案C5.如图所示，在正三角形ABC 中，D 、E 、F 分别为各边的中点，G 、H 、I 、J 分别为AF 、AD 、BE 、DE 的中点，将△ABC 沿DE 、EF 、DF 折成三棱锥以后，GH 与IJ 所成角的度数为（ ）A .90°B .60°C .45°D .0°答案 B例1 如图所示，空间四边形ABCD 中，E 、F 、G 分别在AB 、BC 、CD 上，且满足AE ∶EB =CF ∶FB =2∶1， CG ∶GD =3∶1，过E 、F 、G 的平面交AD 于H ，连接EH . （1）求AH ∶HD ；（2）求证：EH 、FG 、BD 三线共点. (1)解 ∵EB AE =FBCF=2，∴EF ∥AC . ∴EF ∥平面ACD .而EF ⊂平面EFGH ， 且平面EFGH ∩平面ACD =GH ， ∴EF ∥GH .而EF ∥AC ， ∴AC ∥GH . ∴HD AH =GDCG=3,即AH ∶HD =3∶1. （2）证明 ∵EF ∥GH ,且AC EF =31，AC GH =41， ∴EF ≠GH ，∴四边形EFGH 为梯形.令EH ∩FG =P ，则P ∈EH ，而EH ⊂平面ABD ， P ∈FG ，FG ⊂平面BCD ，平面ABD ∩平面BCD =BD ， ∴P ∈BD .∴EH 、FG 、BD 三线共点.例2 如图所示，正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别是A 1B 1，B 1C 1的中点.问：（1）AM 和CN 是否是异面直线？说明理由； （2）D 1B 和CC 1是否是异面直线？说明理由. 解 （1）不是异面直线.理由如下： ∵M 、N 分别是A 1B 1、B 1C 1的中点. ∴MN ∥A 1C 1，又∵A 1A D 1D ，而D 1D C 1C ，∴A 1A C 1C ，∴四边形A 1ACC 1为平行四边形.∴A 1C 1∥AC ，得到MN ∥AC ， ∴A 、M 、N 、C 在同一个平面内， 故AM 和CN 不是异面直线. （2）是异面直线，证明如下：假设D 1B 与CC 1在同一个平面D 1CC 1内， 则B ∈平面CC 1D 1，C ∈平面CC 1D 1. ∴BC ⊂平面CC 1D 1，这与正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中BC ⊥面CC 1D 1相矛盾. ∴假设不成立，故D 1B 与CC 1是异面直线.例3 （12分）如图所示，在四棱锥P —ABCD 中，底面是边长为2的菱形，∠DAB =60°， 对角线AC 与BD 交于点O ，PO ⊥平面ABCD ，PB 与平面ABCD 所成角为60°. （1）求四棱锥的体积；（2）若E 是PB 的中点，求异面直线DE 与PA 所成角的余弦值. 解 （1）在四棱锥P —ABCD 中， ∵PO ⊥平面ABCD ，∴∠PBO 是PB 与平面ABCD 所成的角， 即∠PBO =60°， 2分在Rt △POB 中， ∵BO =AB ·sin30°=1，又PO ⊥OB ，∴PO =BO ·tan60°=3, ∵底面菱形的面积S =2×21×2×2×23=23. ∴四棱锥P —ABCD 的体积 V P —ABCD =31×23×3=2. 6分（2）取AB 的中点F ，连接EF ，DF ， ∵E 为PB 中点，∴EF ∥PA ，∴∠DEF 为异面直线DE 与PA 的夹角（或其补角）.8分在Rt △AOB 中，AO =AB ·cos30°=3=OP ， ∴在Rt △POA 中，PA =6，∴EF =26. 10分在正三角形ABD 和正三角形PDB 中，DF =DE =3， 由余弦定理得∴cos ∠DEF =EF DE DF EF DE ∙-+2222=2632)3()26()3(222⨯⨯-+=2346=42. 所以异面直线DE 与PA 所成角的余弦值为42. 12分1.如图，E 、F 、G 、H 分别是空间四边形AB 、BC 、CD 、DA 上的点，且EH 与FG 相交于点O .求证：B 、D 、O 三点共线. 证明 ∵E ∈AB ，H ∈AD ， ∴E ∈平面ABD ，H ∈平面ABD . ∴EH ⊂平面ABD .∵EH ∩FG =O ，∴O ∈平面ABD . 同理可证O ∈平面BCD ，∴O ∈平面ABD ∩平面BCD ，即O ∈BD ， 所以B 、D 、O 三点共线.2.在正方体AC 1中，E 是CD 的中点，连接AE 并延长与BC 的延长线交于点F ，连接BE 并延长交AD 的延长线于点G ，连接FG .求证：直线FG ⊂平面ABCD 且直线FG ∥直线A 1B 1. 证明 由已知得E 是CD 的中点，在正方体中，由于A ∈平面ABCD ，E ∈平面ABCD ， 所以AE ⊂平面ABCD .又AE ∩BC =F ，从而F ∈平面ABCD . 同理G ∈平面ABCD ， 所以FG ⊂平面ABCD .因为EC21AB ，故在Rt △FBA 中，CF =BC ， 同理DG =AD .又在正方形ABCD 中，BC AD ，所以CF DG ，所以四边形CFGD 是平行四边形， 所以FG ∥CD .又CD ∥AB ，AB ∥A 1B 1， 所以直线FG ∥直线A 1B 1.3.如图所示，等腰直角三角形ABC 中，∠A =90°，BC =2，DA ⊥AC ，DA ⊥AB ，若DA =1，且E 为DA 的中点.求异面直线BE 与CD 所成角的余弦值.解 取AC 的中点F ，连接EF ，BF ，在△ACD 中，E 、F 分别是AD 、AC 的中点， ∴EF ∥CD ，∴∠BEF 即为异面直线BE 与CD 的夹角或其补角. 在Rt △EAB 中，AB =AC =1，AE =21AD =21，∴BE =25， 在Rt △EAF 中， AF =21AC =21，AE =21，∴EF =22， 在Rt △BAF 中，AB =1，AF =21，∴BF =25， 在等腰三角形EBF 中，cos ∠FEB =254221=BE EF=1010，∴异面直线BE 与CD 所成角的余弦值为1010.一、选择题1.若直线a 与b 是异面直线，直线b 与c 是异面直线，则直线a 与c 的位置关系是（ ）A .相交B .相交或异面C .平行或异面D .平行、相交或异面答案 D2.给出下列命题：①若平面α内的直线a 与平面β内的直线b 为异面直线，直线c 是α与β的交线，那么直线c 至多与a 、b 中的一条相交；②若直线a 与b 为异面直线，直线b 与c 平行，则直线a 与c 异面； ③一定存在平面α和异面直线a 、b 同时平行. 其中正确命题的序号是 （ ）.A .①B .②C .③D .①③ 答案 C3.已知a ，b 是异面直线，直线c ∥直线a ,则c 与b（ ）A .一定是异面直线B .一定是相交直线C .不可能是平行直线D .不可能是相交直线 答案 C4.若P 是两条异面直线l 、m 外的任意一点，则（ ）A .过点P 有且仅有一条直线与l 、m 都平行B .过点P 有且仅有一条直线与l 、m 都垂直C .过点P 有且仅有一条直线与l 、m 都相交D .过点P 有且仅有一条直线与l 、m 都异面 答案 B5.（2008·辽宁文，12）在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为棱AA 1、CC 1的中点，则在空间中与三条直线A 1D 1、EF 、CD 都相交的直线（ ） A .不存在 B .有且只有两条 C .有且只有三条D .有无数条答案 D6.正四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AA 1=2AB ，则异面直线A 1B 与AD 1所成角的余弦值为（ ）A .51B .52C .53 D .54 答案 D 二、填空题7.如图所示，在三棱锥C —ABD 中，E 、F 分别是AC 和BD 的中点，若CD =2AB =4， EF ⊥AB ，则EF 与CD 的夹角是 . 答案 30°8.已知a 、b 为不垂直的异面直线,α是一个平面，则a 、b 在α上的射影可能是①两条平行直线； ②两条互相垂直的直线； ③同一条直线；④一条直线及其外一点.则在上面的结论中，正确结论的编号是 （写出所有正确结论的编号）.答案 ①②④ 三、解答题9.如图所示，正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是AB 和AA 1的中点. 求证：（1）E ，C ，D1，F 四点共面； （2）CE ，D 1F ，DA 三线共点.证明 （1）如图所示，连接CD 1，EF ，A 1B ， ∵E 、F 分别是AB 和AA 1的中点，∴EF ∥A 1B 且EF =21A 1B ， 又∵A 1D 1 BC ,∴四边形A 1BCD 1是平行四边形，∴A 1B ∥CD 1，∴EF ∥CD 1， ∴EF 与CD 1确定一个平面α， ∴E ，F ，C ，D 1∈α， 即E ，C ，D 1，F 四点共面. （2）由（1）知EF ∥CD 1，且EF =21CD 1， ∴四边形CD 1FE 是梯形，∴CE 与D 1F 必相交，设交点为P ， 则P ∈CE ⊂平面ABCD ， 且P ∈D 1F ⊂平面A 1ADD 1，∴P ∈平面ABCD 且P ∈平面A 1ADD 1. 又平面ABCD ∩平面A 1ADD 1=AD ， ∴P ∈AD ，∴CE ，D 1F ，DA 三线共点.10.定线段AB 所在的直线与定平面α相交，P 为直线AB 外的一点，且P 不在α内，若直线AP 、BP 与α分别交于C 、D 点，求证：不论P 在什么位置，直线CD 必过一定点.证明 设定线段AB 所在直线为l ,与平面α交于O 点，即l ∩α=O . 由题意可知，AP ∩α=C ，BP ∩α=D ，∴C ∈α，D ∈α. 又∵AP ∩BP =P ,∴AP 、BP 可确定一平面β且C ∈β，D ∈β.∴CD =α∩β. ∵A ∈β，B ∈β,∴l ⊂β,∴O ∈β.∴O ∈α∩β，即O ∈CD . ∴不论P 在什么位置，直线CD 必过一定点.11.如图所示，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为CC 1、AA 1的中点，画出平面BED 1F与平面ABCD 的交线.解 在平面AA 1D 1D 内，延长D 1F ， ∵D 1F 与DA 不平行，因此D 1F 与DA 必相交于一点，设为P ， 则P ∈FD 1，P ∈DA .又∵FD 1⊂平面BED 1F ，AD ⊂平面ABCD ， ∴P ∈平面BED 1F ，P ∈平面ABCD .又B 为平面ABCD 与平面BED 1F 的公共点，连接PB ， ∴PB 即为平面BED1F 与平面ABCD 的交线.如图所示.12.如图所示，在四面体ABCD 中，E 、F 分别是线段AD 、BC 上的点，ED AE =FC BF =21，AB =CD =3，EF =7，求AB 、CD 的夹角的大小.解 如图所示，在线段BD 上取一点G ，使GD GB =21.连接GF 、GE 、EF . ED AE =GD BG =FC BF =21，GE ∥AB ，且GE =32AB =2， 同理，GF ∥CD ，且GF =31CD =1， 在△EGF 中，cos ∠EGF =12271222⨯⨯-+=-21,∴∠EGF =120°.由GF ∥CD ,GE ∥AB 可知,AB 与CD 夹角应是∠EGF 的补角为60°.§8.4 直线、平面平行的判定及性质基础自测1.下列命题中，正确命题的个数是（ ）①若直线l 上有无数个点不在平面α内，则l ∥α;②若直线l 与平面α平行，则l 与平面α内的任意一条直线都平行； ③如果两条平行直线中的一条直线与一个平面平行，那么另一条直线也与这个平面平行；④若直线l 与平面α平行，则l 与平面α内的任意一条直线都没有公共点. A .0B .1C .2D .3答案 B2.下列条件中，能判断两个平面平行的是（ ）A .一个平面内的一条直线平行于另一个平面B .一个平面内的两条直线平行于另一个平面C .一个平面内有无数条直线平行于另一个平面D .一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面 答案 D3.对于平面α和共面的直线m 、n ，下列命题中真命题是（ ）A .若m ⊥α，m ⊥n ，则n ∥αB .若m ∥α，n ∥α，则m ∥nC .若m ⊂α，n ∥α，则m ∥nD .若m 、n 与α所成的角相等，则m ∥n 答案 C4.已知直线a ,b ,平面α，则以下三个命题： ①若a ∥b ,b ⊂α,则a ∥α; ②若a ∥b ,a ∥α,则b ∥α; ③若a ∥α,b ∥α,则a ∥b . 其中真命题的个数是（ ）A .0B .1C .2D .3答案 A5.如图所示，在三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，M 、N 分别是BC 和A 1B 1的中点. 求证：MN ∥平面AA 1C 1.证明 设A 1C 1中点为F ，连接NF ，FC ，∵N 为A 1B 1中点， ∴NF ∥B 1C 1，且NF =21B 1C 1， 又由棱柱性质知B 1C 1 BC ，又M 是BC 的中点， ∴NFMC ，∴四边形NFCM 为平行四边形. ∴MN ∥CF ，又CF ⊂平面AA 1C 1， MN ⊄平面AA 1C 1， ∴MN ∥平面AA 1C 1.例1 如图所示，正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，侧面对角线AB 1，BC 1上分别有两点E ，F ，且B 1E =C 1F .求证：EF ∥平面ABCD .证明 方法一 分别过E ，F 作EM ⊥AB 于M ，FN ⊥BC 于N ，连接MN . ∵BB 1⊥平面ABCD ， ∴BB 1⊥AB ，BB 1⊥BC ，∴EM ∥BB 1，FN ∥BB 1， ∴EM ∥FN .又∵B 1E =C 1F ，∴EM =FN ，故四边形MNFE 是平行四边形，∴EF ∥MN . 又MN ⊂平面ABCD ，EF ⊄平面ABCD ， 所以EF ∥平面ABCD .方法二 过E 作EG ∥AB 交BB 1于G ， 连接GF ，则BB GB A B E B 1111=， ∵B 1E =C 1F ，B 1A =C 1B ， ∴BB GB BC F C 1111=，∴FG ∥B 1C 1∥BC ， 又EG ∩FG =G ，AB ∩BC =B ，∴平面EFG ∥平面ABCD ，而EF ⊂平面EFG ， ∴EF ∥平面ABCD .例2 已知P 为△ABC 所在平面外一点，G 1、G 2、G 3分别是△PAB 、△PCB 、△PAC 的重心. （1）求证：平面G 1G 2G 3∥平面ABC ； （2）求S △321G G G ∶S △ABC .（1）证明 如图所示，连接PG 1、PG 2、PG 3并延长分别与边AB 、BC 、AC 交于点D 、E 、F ，连接DE 、EF 、FD ，则有PG 1∶PD =2∶3，PG 2∶PE =2∶3，∴G 1G 2∥DE . 又G 1G 2不在平面ABC 内，∴G 1G 2∥平面ABC .同理G 2G 3∥平面ABC .又因为G 1G 2∩G 2G 3=G 2， ∴平面G 1G 2G 3∥平面ABC . （2）解 由（1）知PE PG PD PG 21==32，∴G 1G 2=32DE .又DE =21AC ，∴G 1G 2=31AC . 同理G 2G 3=31AB ，G 1G 3=31BC . ∴△G 1G 2G 3∽△CAB ，其相似比为1∶3， ∴S △321G G G ∶S △ABC =1∶9.例3 （12分）如图所示，平面α∥平面β，点A ∈α，C ∈α，点B ∈β，D ∈β,点E ，F 分别在线段AB ，CD 上，且AE ∶EB =CF ∶FD . （1）求证：EF ∥β;（2）若E ，F 分别是AB ，CD 的中点，AC =4，BD =6，且AC ，BD 所成的角为60°， 求EF 的长.（1）证明 ①当AB ，CD 在同一平面内时， 由α∥β，平面α∩平面ABDC =AC ， 平面β∩平面ABDC =BD ，∴AC ∥BD ， 2分∵AE ∶EB =CF ∶FD ，∴EF ∥BD ， 又EF ⊄β,BD ⊂β,∴EF ∥β.4分②当AB 与CD 异面时，设平面ACD ∩β=DH ，且DH =AC . ∵α∥β，α∩平面ACDH =AC ，∴AC ∥DH ，∴四边形ACDH 是平行四边形， 6分在AH 上取一点G ，使AG ∶GH =CF ∶FD ，又∵AE ∶EB =CF ∶FD ，∴GF ∥HD ，EG ∥BH ， 又EG ∩GF =G ，∴平面EFG ∥平面β. ∵EF ⊂平面EFG ，∴EF ∥β.综上，EF ∥β. 8分（2）解 如图所示，连接AD ，取AD 的中点M ，连接ME ，MF .∵E ，F 分别为AB ，CD 的中点， ∴ME ∥BD ，MF ∥AC ，且ME =21BD =3，MF =21AC =2， ∴∠EMF 为AC 与BD 所成的角（或其补角）， ∴∠EMF =60°或120°，10分∴在△EFM 中由余弦定理得，EF =EMF MF ME MF ME ∠∙∙-+cos 222 =212322322⨯⨯⨯±+=613±， 即EF =7或EF =19.12分1.如图所示，已知S 是正三角形ABC 所在平面外的一点，且SA =SB =SC ，SG 为△SAB 上的高，D 、E 、F 分别是AC 、BC 、SC 的中点，试判断SG 与平面DEF 的位置关系，并给予证明.解 SG ∥平面DEF ，证明如下：方法一 连接CG 交DE 于点H ，如图所示.∵DE 是△ABC 的中位线， ∴DE ∥AB .在△ACG 中，D 是AC 的中点， 且DH ∥AG . ∴H 为CG 的中点. ∴FH 是△SCG 的中位线， ∴FH ∥SG .又SG ⊄平面DEF ，FH ⊂平面DEF ， ∴SG ∥平面DEF .方法二 ∵EF 为△SBC 的中位线，∴EF ∥SB . ∵EF ⊄平面SAB ，SB ⊂平面SAB ， ∴EF ∥平面SAB .同理可证，DF ∥平面SAB ，EF ∩DF =F ， ∴平面SAB ∥平面DEF ，又SG ⊂平面SAB ， ∴SG ∥平面DEF .2.如图所示，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 、F 、G 、H 分别是BC 、CC 1、C 1D 1、A 1A 的中点.求证： （1）BF ∥HD 1； （2）EG ∥平面BB 1D 1D ； （3）平面BDF ∥平面B 1D 1H .证明 （1）如图所示，取BB 1的中点M ，易证四边形HMC 1D 1是平行四边形，∴HD 1∥MC 1.又∵MC1∥BF ，∴BF ∥HD 1.（2）取BD 的中点O ，连接EO ，D 1O ， 则OE 21DC ，又D 1G21DC ，∴OE D 1G ，∴四边形OEGD 1是平行四边形， ∴GE ∥D 1O .又D 1O ⊂平面BB 1D 1D ，∴EG ∥平面BB 1D 1D .（3）由（1）知D 1H ∥BF ，又BD ∥B 1D 1，B 1D 1、HD 1⊂平面HB 1D 1，BF 、BD ⊂平面BDF ，且B 1D 1∩HD 1=D 1， DB ∩BF =B ，∴平面BDF ∥平面B 1D 1H .3.如图所示，四边形EFGH 为空间四边形ABCD 的一个截面，若截面为平行四边形.（1）求证：AB ∥平面EFGH ，CD ∥平面EFGH . （2）若AB =4，CD =6，求四边形EFGH 周长的取值范围. （1）证明 ∵四边形EFGH 为平行四边形，∴EF ∥HG . ∵HG ⊂平面ABD ，∴EF ∥平面ABD . ∵EF ⊂平面ABC ，平面ABD ∩平面ABC =AB ， ∴EF ∥AB .∴AB ∥平面EFGH . 同理可证，CD ∥平面EFGH .(2)解 设EF =x （0＜x ＜4），由于四边形EFGH 为平行四边形，∴4xCB CF =. 则6FG =BC BF =BC CF BC -=1-4x.从而FG =6-x 23. ∴四边形EFGH 的周长l =2(x +6-x 23)=12-x . 又0＜x ＜4,则有8＜l ＜12,∴四边形EFGH 周长的取值范围是（8，12）.一、选择题1.下列命题中真命题的个数为（ ）①直线l 平行于平面α内的无数条直线，则l ∥α； ②若直线a 在平面α外，则a ∥α; ③若直线a ∥b ,直线b ⊂α,则a ∥α；④若直线a ∥b ,b ⊂α,那么直线a 就平行于平面α内的无数条直线. A .1B .2C .3D .4答案 A2.平面α∥平面β的一个充分条件是（ ）A .存在一条直线a ,a ∥α,a ∥βB .存在一条直线a ,a ⊂α,a ∥βC .存在两条平行直线a ,b ,a ⊂α,b ⊂β,a ∥β,b ∥αD .存在两条异面直线a ,b ,a ⊂α,b ⊂β,a ∥β,b ∥α 答案 D3.（2008·长沙模拟）对于不重合的两个平面α与β，给定下列条件： ①存在平面γ，使得α，β都垂直于γ; ②存在平面γ，使得α，β都平行于γ; ③存在直线l ⊂α,直线m ⊂β,使得l ∥m ;④存在异面直线l 、m ，使得l ∥α,l ∥β,m ∥α,m ∥β. 其中，可以判定α与β平行的条件有（ ）A .1个B .2个C .3个D .4个答案 B4.（2008·海南，宁夏文，12）已知平面α⊥平面β,α∩β=l ,点A ∈α,A ∉l ,直线AB ∥l ,直线AC ⊥l ,直线m ∥α,m ∥β,则下列四种位置关系中,不一定成立的是（ ） A .AB ∥mB.AC ⊥mC.AB ∥βD.AC ⊥β 答案 D5.（2008·湖南理，5）设有直线m 、n 和平面α、β.下列命题中，正确的是（ ）A .若m ∥α,n ∥α,则m ∥nB .若m ⊂α，n ⊂α,m ∥β,n ∥β,则α∥βC .若α⊥β，m ⊂α，则m ⊥βD.若α⊥β,m ⊥β,m ⊄α,则m ∥α答案 D6.给出下列关于互不相同的直线m ,l ,n 和平面α，β的四个命题： ①若m ⊂α,l ∩α=A ,点A ∉m ，则l 与m 不共面；②若m ,l 是异面直线，l ∥α,m ∥α,且n ⊥l ,n ⊥m ,则n ⊥α; ③若l ∥α,m ∥β,α∥β,则l ∥m ;④若l ⊂α,m ⊂α,l ∩m =A ,l ∥β,m ∥β,则α∥β. 其中为假命题的是（ ）。

【创新设计】（浙江专用）2017版高考数学一轮复习 第八章 立体几何 第5讲 空间向量及其运算练习基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1.在空间直角坐标系中，A (1，2，3)，B (－2，－1，6)，C (3，2，1)，D (4，3，0)，则直线AB 与CD 的位置关系是( )A.垂直B.平行C.异面D.相交但不垂直解析 由题意得，AB →＝(－3，－3，3)，CD →＝(1，1，－1)，∴AB →＝－3CD →，∴AB →与CD →共线，又AB →与CD →没有公共点.∴AB ∥CD .答案 B2.空间四边形ABCD 的各边和对角线均相等，E 是BC 的中点，那么( )A.AE →·BC →＜AE →·CD →B.AE →·BC →＝AE →·CD →C.AE →·BC →＞AE →·CD →D.AE →·BC →与AE →·CD →的大小不能比较解析 取BD 的中点F ，连接EF ，则EF 綉12CD ，因为〈AE →，EF →〉＝〈AE →，CD →〉＞90°，因为AE →·BC →＝0，∴AE →·CD →＜0，所以AE →·BC →＞AE →·CD →.答案 C3.(2016·济南月考)O 为空间任意一点，若OP →＝34OA →＋18OB →＋18OC →，则A ，B ，C ，P 四点( ) A.一定不共面B.一定共面C.不一定共面D.无法判断解析 因为OP →＝34OA →＋18OB →＋18OC →，且34＋18＋18＝1.所以P ，A ，B ，C 四点共面. 答案 B4.已知向量a ＝(1，1，0)，b ＝(－1，0，2)，且k a ＋b 与2a －b 互相垂直，则k 的值是( )A.－1B.43C.53D.75解析 由题意得，k a ＋b ＝(k －1，k ，2)，2a －b ＝(3，2，－2).所以(k a ＋b )·(2a －b )＝3(k －1)＋2k －2×2＝5k －7＝0，解得k ＝75. 答案 D5.已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线的长都等于a ，点E ，F 分别是BC ，AD 的中点，则AE →·AF →的值为( )A.a 2B.12a 2C.14a 2D.34a 2解析 如图，设AB →＝a ，AC →＝b ，AD →＝c ，则|a |＝|b |＝|c |＝a ，且a ，b ，c 三向量两两夹角为60°.AE →＝12(a ＋b )，AF →＝12c ，∴AE →·AF →＝12(a ＋b )·12c ＝14(a ·c ＋b ·c )＝14(a 2cos 60°＋a 2cos 60°)＝14a 2. 答案 C二、填空题6.(2016·衡阳模拟)已知a ＝(2，1，－3)，b ＝(－1，2，3)，c ＝(7，6，λ)，若a ，b ，c 三向量共面，则λ＝________.解析 由题意知c ＝x a ＋y b ，即(7，6，λ)＝x (2，1，－3)＋y (－1，2，3)，∴⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＝7，x ＋2y ＝6，－3x ＋3y ＝λ，解得λ＝－9.答案 －97.已知2a ＋b ＝(0，－5，10)，c ＝(1，－2，－2)，a ·c ＝4，|b |＝12，则以b ，c 为方向向量的两直线的夹角为________.解析 由题意得，(2a ＋b )·c ＝0＋10－20＝－10.即2a ·c ＋b·c ＝－10，又∵a·c ＝4，∴b·c ＝－18， ∴cos 〈b ，c 〉＝b·c |b |·|c |＝－1812×1＋4＋4＝－12，∴〈b ，c 〉＝120°，∴两直线的夹角为60°.答案 60°8.(2016·徐州模拟)已知O 点为空间直角坐标系的原点，向量OA →＝(1，2，3)，OB →＝(2，1，2)，OP →＝(1，1，2)，且点Q 在直线OP 上运动，当QA →·QB →取得最小值时，OQ →的坐标是__________. 解析 ∵点Q 在直线OP 上，∴设点Q (λ，λ，2λ)，则QA →＝(1－λ，2－λ，3－2λ)，QB →＝(2－λ，1－λ，2－2λ)，QA →·QB →＝(1－λ)(2－λ)＋(2－λ)(1－λ)＋(3－2λ)(2－2λ)＝6λ2－16λ＋10＝6⎝⎛⎭⎪⎫λ－432－23. 即当λ＝43时，QA →·QB →取得最小值－23.此时OQ →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫43，43，83. 答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫43，43，83 三、解答题9.已知空间中三点A (－2，0，2)，B (－1，1，2)，C (－3，0，4)，设a ＝AB →，b ＝AC →.(1)若|c |＝3，且c ∥BC →，求向量c .(2)求向量a 与向量b 的夹角的余弦值.解 (1)∵c ∥BC →，BC →＝(－3，0，4)－(－1，1，2)＝(－2，－1，2)，∴c ＝mBC →＝m (－2，－1，2)＝(－2m ，－m ，2m )，∴|c |＝（－2m ）2＋（－m ）2＋（2m ）2＝3|m |＝3，∴m ＝±1.∴c ＝(－2，－1，2)或(2，1，－2).(2)∵a ＝(1，1，0)，b ＝(－1，0，2)，∴a·b ＝(1，1，0)·(－1，0，2)＝－1，又∵|a |＝12＋12＋02＝2，|b |＝（－1）2＋02＋22＝5， ∴cos 〈a ，b 〉＝a·b |a |·|b |＝－110＝－1010， 即向量a 与向量b 的夹角的余弦值为－1010. 10.如图，在棱长为a 的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，G 为△BC 1D 的重心，(1)试证：A 1，G ，C 三点共线；(2)试证：A 1C ⊥平面BC 1D .证明 (1)CA 1→＝CB →＋BA →＋AA 1→＝CB →＋CD →＋CC 1→，可以证明CG →＝13(CB →＋CD →＋CC 1→)＝13CA 1→，∴CG →∥CA 1→，又CG →与CA 1→有公共点C ，即A 1，G ，C 三点共线.(2)设CB →＝a ，CD →＝b ，CC 1→＝c ，则|a |＝|b |＝|c |＝a ，且a·b ＝b·c ＝c·a ＝0，∵CA 1→＝a ＋b ＋c ，BC 1→＝c －a ，∴CA 1→·BC 1→＝(a ＋b ＋c )·(c －a )＝c 2－a 2＝0，因此CA 1→⊥BC 1→，即CA 1⊥BC 1，同理CA 1⊥BD ，又BD 与BC 1是平面BC 1D 内的两相交直线，故A 1C ⊥平面BC 1D .能力提升题组(建议用时：20分钟)11.若向量c 垂直于不共线的向量a 和b ，d ＝λa ＋μb (λ，μ∈R ，且λμ≠0)，则( )A.c ∥dB.c ⊥dC.c 不平行于d ，c 也不垂直于dD.以上三种情况均有可能 解析 由题意得，c 垂直于由a ，b 确定的平面.∵d ＝λa ＋μb ，∴d 与a ，b 共面.∴c ⊥d .答案 B12.在空间四边形ABCD 中，AB →·CD →＋AC →·DB →＋AD →·BC →＝( )A.－1B.0C.1D.不确定解析 如图，令AB →＝a ，AC →＝b ，AD →＝c ，则AB →·CD →＋AC →·DB →＋AD →·BC →＝a ·(c －b )＋b ·(a －c )＋c ·(b －a )＝a ·c －a ·b ＋b ·a －b ·c ＋c ·b －c ·a ＝0.答案 B13.(2016·北京西城模拟)如图所示，正方体ABCD －A1B 1C 1D 1的棱长为1，若动点P 在线段BD 1上运动，则DC →·AP →的取值范围是________.解析 如图所示，由题意，设BP →＝λBD 1→，其中λ∈[0，1]，DC →·AP →＝AB →·(AB→＋BP →)＝AB →·(AB →＋λBD 1→)＝AB →2＋λAB →·BD 1→＝AB →2＋λAB →·(AD 1→－AB →)＝(1－λ)AB →2＝1－λ∈[0，1].因此DC →·AP →的取值范围是[0，1].答案 [0，1]14.如图所示，已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线长都等于1，点E ，F ，G 分别是AB ，AD ，CD 的中点，计算：(1)EF →·BA →；(2)EG 的长；(3)异面直线AG 与CE 所成角的余弦值.解 设AB →＝a ，AC →＝b ，AD →＝c .则|a |＝|b |＝|c |＝1，〈a ，b 〉＝〈b ，c 〉＝〈c ，a 〉＝60°，(1)EF →＝12BD →＝12c －12a ，BA →＝－a ，DC →＝b －c ， EF →·BA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12c －12a ·(－a )＝12a 2－12a·c ＝14， (2)EG →＝EB →＋BC →＋CG →＝12a ＋b －a ＋12c －12b ＝－12a ＋12b ＋12c ， |EG →|2＝14a 2＋14b 2＋14c 2－12a·b ＋12b·c －12c·a ＝12，则|EG →|＝22. (3)AG →＝12b ＋12c ，CE →＝CA →＋AE →＝－b ＋12a ， cos 〈AG →，CE →〉＝AG →·CE →|AG →||CE →|＝－23， 由于异面直线所成角的范围是⎝⎛⎦⎥⎤0，π2， 所以异面直线AG 与CE 所成角的余弦值为23.。