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2017年中考数学全等三角形辅助线考点总
结
找全等三角形的方法：
（1）可以从结论出发，看要证明相等的两条线段（或角）分别在哪两个可能全等的三角形中；
（2）可以从已知条件出发，看已知条件可以确定哪两个三角形相等；（3）从条件和结论综合考虑，看它们能一同确定哪两个三角形全等；（4）若上述方法均不行，可考虑添加辅助线，构造全等三角形。
三角形中常见辅助线的作法：
①延长中线构造全等三角形；
②利用翻折，构造全等三角形；
③引平行线构造全等三角形；
④作连线构造等腰三角形。
常见辅助线的作法有以下几种：
1)遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”．
2)遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”．
3)遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理．
4)过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”
5)截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明．这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目．
特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角
形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答．。
初中数学中考复习考点知识与题型专题讲解专题20全等三角形的辅助线问题【考点题型】考点题型一连接两点做辅助线典例1．把正方形ABCD绕着点A，按顺时针方向旋转得到正方形AEFG，边FG与BC 交于点H（如图）．试问线段HG与线段HB相等吗？请先观察猜想，然后再证明你的猜想．【解析】试题分析：要证明HG与HB是否相等，可以把线段放在两个三角形中证明这两个三角形全等，或放在一个三角形中证明这个三角形是等腰三角形，而图中没有这样的三角形，因此需要作辅助线，构造三角形．试题解析：HG=HB，证法1：连接AH，∵四边形ABCD，AEFG都是正方形，∴∠B=∠G=90°，由题意知AG=AB，又AH=AH，∴Rt△AGH≌Rt△ABH（HL），∴HG=HB．证法2：连接GB，∵四边形ABCD，AEFG都是正方形，∴∠ABC=∠AGF=90°，由题意知AB=AG，∴∠AGB=∠ABG，∴∠HGB=∠HBG，∴HG=HB．变式1-1．已知:三角形ABC中,∠A=90°,AB=AC,D为BC的中点.(1)如图,E、F分别是AB、AC上的点,且BE=AF,求证:△DEF为等腰直角三角形.(2)若E、F分别为AB,CA延长线上的点,仍有BE=AF,其他条件不变,那么,△DEF是否仍为等腰直角三角形画出图形,写出结论不证明.【答案】（1）见解析；（2）见解析【分析】(1)先连接AD，构造全等三角形：△BED和△AFD．AD是等腰直角三角形ABC底边上的中线，所以有∠CAD=∠BAD=45°，AD=BD=CD，而∠B=∠C=45°，所以∠B=∠DAF，再加上BE=AF，AD=BD，可证出：△BED≌△AFD，从而得出DE=DF，∠BDE=∠ADF，从而得出∠EDF=90°，即△DEF是等腰直角三角形；(2)根据题意画出图形,连接AD,构造△DAF≌△DBE.得出FD=ED ,∠FDA=∠EDB,再算出∠EDF=90°,即可得出△DEF是等腰直角三角形.【详解】解：（1）连结AD ,∵AB=AC ,∠BAC=90°,D为BC中点,∴AD⊥BC ,BD=AD ,∴∠B=∠BAD=∠DAC=45°,又∵BE=AF ,∴△BDE≌△ADF（SAS）,∴ED=FD ,∠BDE=∠ADF,∴∠EDF=∠EDA+∠ADF=∠EDA+∠BDE=∠BDA=90°,∴△DEF为等腰直角三角形.（2）连结AD∵AB=AC ,∠BAC=90°,D 为BC 中点 , ∴AD=BD ,AD ⊥BC ,∴∠DAC=∠ABD=45°, ∴∠DAF=∠DBE=135°, 又∵AF=BE ,∴△DAF ≌△DBE （SAS ）,∴FD=ED ,∠FDA=∠EDB,∴∠EDF=∠EDB+∠FDB=∠FDA+∠FDB=∠ADB=90°. ∴△DEF 为等腰直角三角形.变式1-2．如图，以O 为直角顶点作两个等腰直角三角形Rt OAB 和Rt OCD △，且点C 在线段AB 上（A B 、除外），求证：222AC BC CD +=【答案】证明见解析【分析】连接BD ，证明△AOC ≌△BOD （SAS ），得到△CBD 为直角三角形，再由勾股定理即可证明．【详解】解：连接BD ，∵△AOB 与△COD 为等腰直角三角形，∴AO=BO ，CO=DO ，∠AOB=∠COD=90°，∠A=∠ABO=45°，∴∠AOC+∠BOC=∠BOD+∠BOC∴∠AOC=∠BOD ，在△AOC 与△BOD 中，AO BO AOC BOD CO DO =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AOC ≌△BOD （SAS ）∴∠A=∠OBD=45°，AC=BD ，∴∠ABO+∠OBD=90°，即∠CBD=90°，∴在Rt △CBD 中，222BD BC CD +=即222AC BC CD +=．考点题型二全等三角形 -倍长中线模型典例2．已知，在Rt ABC △中，90BAC ∠=︒，点D 为边AB 的中点，AE CD ⊥分别交CD ，BC 于点F ，E ．（1）如图1，①若AB AC =，请直接写出EAC BCD ∠-∠=______；②连接DE ，若2AE DE =，求证：DEB AEC ∠=∠；（2）如图2，连接FB ，若FB AC =，试探究线段CF 和DF 之间的数量关系，并说明理由．【答案】（1）①45°；②见解析；（2）2CF DF =，理由见解析【分析】（1）①利用直角三角形两个锐角相加得90︒和三角形的外角等于不相邻的两个内角和的性质结合题干已知即可解题．②延长ED 至点G ，使得DG DE =，连接AG ，从而可证明ADG ≌BDE （SAS ），再利用全等的性质，可知DGA DEB ∠=∠，即可知道//AG BC ，所以GAE AEC ∠=∠，根据题干又可得到AE EG =，所以DGA GAE ∠=∠，从而得出结论．（2）延长CD 至点H ，使得DH DF =，连接BH ，从而可证明HDB ≌FDA △（SAS ），再利用全等的性质，可知BH AF =，90H AFD AFC ∠=∠=∠=︒，根据题干即可证明Rt HBF △≌Rt FAC △（HL ），即得出结论．【详解】（1）①∵90EAC ACD ∠+∠=︒，90AEC BCD ∠+∠=︒∴EAC BCD AEC ACD ∠-∠=∠-∠∵90EAC BAE ∠+∠=︒∴ACD BAE ∠=∠又∵AEC B BAE ∠=∠+∠∴EAC BCD B BAE ACD ∠-∠=∠+∠-∠∴45EAC BCD B ∠-∠=∠=︒故答案为45︒．②如图，延长ED 至点G ，使得DG DE =，连接AG ，∵点D 为AB 的中点，∴BD AD =，又∵ADG BDE ∠=∠，∴ADG ≌BDE ，∴DGA DEB ∠=∠，∴//AG BC ，∴GAE AEC ∠=∠，又∵2AE DE =，∴AE EG =，∴DGA GAE ∠=∠，∴DEB AEC ∠=∠．（2）2CF DF =．如图，延长CD 至点H ，使得DH DF =，连接BH ，∵AD BD =，ADF BDH ∠=∠，∴HDB ≌FDA △，∴BH AF =，90H AFD AFC ∠=∠=∠=︒，∵BF AC =．∴Rt HBF △≌Rt FAC △，∴2CF HF DF ==．变式2-1．某数学兴趣小组在一次活动中进行了探究试验活动，请你来加入．（探究与发现）（1）如图1，AD 是ABC 的中线，延长AD 至点E ，使ED AD =，连接BE ，证明：ACD EBD △≌△．（理解与应用）（2）如图2，EP 是DEF 的中线，若5EF =，3DE =，设EP x =，则x 的取值范围是________．（3）如图3，AD 是ABC 的中线，E 、F 分别在AB 、AC 上，且DE DF ⊥，求证：BE CF EF +>．【答案】（1）见解析；（2）14x <<；（3）见解析【分析】（1）根据全等三角形的判定即可得到结论；（2）延长EP 至点Q ，使PQ PE =，连接FQ ，根据全等三角形的性质得到3FQ DE ==，根据三角形的三边关系即可得到结论；（3）延长FD 至G ，使得GD DF =，连接BG ，EG ，结合前面的做题思路，利用三角形三边关系判断即可．【详解】（1）证明：CD BD =，ADC EDB ∠=∠，AD ED =，ACD EBD ∴≌，（2）14x <<；如图，延长EP 至点Q ，使PQ PE =，连接FQ ，在PDE ∆与PQF ∆中，PE PQ EPD QPF PD PF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，PEP QFP ∴∆≅∆，3FQ DE ∴==，在EFQ ∆中，EF FQ QE EF FQ -<<+，即53253x -<<+， x 的取值范围是14x <<；故答案为：14x <<；（3）延长FD 至G ，使得GD DF =，连接BG ，EG ，在DFC △和DGB 中，DF DG =，CDF BDG ∠=∠，DC DB =，(SAS)DFC DGB ∴≌，BG CF ∴=，在EDF 和EDG △中，DF DG =，90FDE GDE ∠=∠=︒，DE DE =，(SAS)EDF EDG ∴≌，EF EG ∴=，在BEG 中，两边之和大于第三边，BG BE EG ∴+>，又EF EG =，BG CF =，BE CF EF ∴+>变式2-2．倍长中线的思想在丁倍长某条线段（被延长的线段a 要满足两个条件：①线段a 一个端点是图中一条线段b 的中点；②线段a 与这条线段b 不共线)，然后进行连接，构造三角形全等，再进一步将某些线段进行等量代换，再证明全等或其他的结论，从而解决问题．（应用举例）如图（1），已知：AD 为ABC ∆的中线，求证：2AB AC AD +>．简证：如图（2），延长AD 到E ，使得DE AD =，连接CE ，易证ABD ECD ∆≅∆，得AB =，在ACE ∆中，AC CE +>，2AB AC AD +>．（问题解决）（1）如图（3），在ABC ∆中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，且BE AC =，延长BE 交AC 于F ，求证：AF EF =．（2）如图（4），在ABC ∆中，90,A D ∠=︒是BC 边的中点，E F 、分别在边AB AC 、上，DE DF ⊥，若3,4BE CF ==，求EF 的长．（3）如图（5），AD 是ABC ∆的中线，,AB AE AC AF ==，且90BAE FAC ∠=∠=︒，请直接写出AD 与EF 的数量关系_及位置关系_．【答案】,CE AE ；（1）详见解析；（2）5；（3）2EF AD =，EF AD ⊥【应用举例】由全等的性质可得AB=EC ，由三角形三边关系可得AC+CE>AE ，即AB+AC>2AD ；故答案为EC ，AE ；【问题解决】（1）由题意不难得到,ACD GBD ∆≅∆所以∠BGD=∠BED=∠AEF=∠DAC ，∴有AF=EF ；（2）延长ED 到G ，使DG=ED ，连结CG 、FG ，不难得到EF=FG ，另同（1）有△BDE ≌△CDG ，所以∠FCG=∠FCD+∠GCD=∠FCD+∠EBD=90°，CG=BE=3，由勾股定理可得FG 即EF 的长；（3）由全等三角形的性质可以得到解答．【详解】【应用举例】,CE AE【问题解决】()1如图()1延长AD 到G ，使得,DG AD =连接,BG易证,ACD GBD ∆≅∆得,BG AC G DAC =∠=∠，,BE AC =,BE BG ∴=,G BEG ∴∠=∠,BEG AEF ∠=∠,AEF EAC ∴∠=∠AF EF ∴=．()2如图()2，延长ED 到G ，使得,DG ED =连接,CG FG 、易证,BDE CDG ∆≅∆得,,CG BE ED GD B DCG ==∠=∠，,DE DF ⊥DF ∴垂直平分,EG,FE FG ∴=90,A ∠=︒90,B ACB ∴∠+∠=︒90,DCG ACB ∴∠+∠=︒即90,FCG ∠=︒在Rt FCG ∆中，3,4CG BE CF ===，5,FG ∴=5,EF ∴=()32EF AD EF AD =⊥，，理由如下：如图3，延长AD 到G ，使AD=DG ，延长DA 交EF 于P ，连结BG ，则不难得到△BGD≌△CAD，∴BG=AC，∠GBD=∠ACD，∠DGB=∠DAC，又AF=AC，∴BG=AF，∴∠ABG=∠ABD+∠GBD=∠ABD+∠ACD=180°-∠BAC=∠EAF，∴在△ABG和△EAF中，AB AEABG EAF BG AF=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABG≌△EAF，∴EF=AG=2AD，∠EFA=∠DGB=∠DAC，∵∠DAC+∠PAF=180°-∠FAC=180°-90°=90°，∴∠EFA+∠PAF=90°，∴∠APF=90°，∴EF⊥AD ．考点题型三全等三角形–旋转模型典例3．在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠BAC＝30°，将△ABC绕点A顺时针旋转一定的角度α得到△AED，点B、C的对应点分别是E、D.(1)如图1，当点E恰好在AC上时，求∠CDE的度数；(2)如图2，若α=60°时，点F是边AC中点，求证：四边形BFDE是平行四边形.【答案】（1）15°；（2）证明见解析.【分析】（1）如图1，利用旋转的性质得CA＝DA，∠CAD＝∠BAC＝30°，∠DEA＝∠ABC＝90°，再根据等腰三角形的性质求出∠ADC，从而计算出∠CDE的度数；（2）如图2，利用直角三角形斜边上的中线性质得到BF＝12AC，利用含30度的直角三角形三边的关系得到BC＝12AC，则BF＝BC，再根据旋转的性质得到∠BAE＝∠CAD＝60°，AB＝AE，AC＝AD ，DE＝BC，从而得到DE＝BF，△ACD和△BAE为等边三角形，接着由△AFD≌△CBA得到DF＝BA，然后根据平行四边形的判定方法得到结论．【详解】解：（1）如图1，∵△ABC绕点A顺时针旋转α得到△AED，点E恰好在AC上，∴∠CAD＝∠BAC＝30°，∠DEA＝∠ABC＝90°，∵CA＝DA，∴∠ACD＝∠ADC＝12（180°−30°）＝75°，∠ADE=90°-30°=60°，∴∠CDE＝75°−60°＝15°；（2）证明：如图2，∵点F是边AC中点，∴BF＝12 AC，∵∠BAC＝30°，∴BC＝12 AC，∴BF＝BC，∵△ABC绕点A顺时针旋转60°得到△AED，∴∠BAE＝∠CAD＝60°，AB＝AE，AC＝AD，DE＝BC，∴DE＝BF，△ACD和△BAE为等边三角形，∴BE＝AB，∵点F为△ACD的边AC的中点，∴DF⊥AC，易证得△AFD≌△CBA，∴DF＝BA，∴DF＝BE，而BF＝DE，∴四边形BEDF是平行四边形．变式3-1．给出定义，若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称该四边形为勾股四边形．（1）在你学过的特殊四边形中，写出两种勾股四边形的名称；（2）如图，将△ABC绕顶点B按顺时针方向旋转60°得到△DBE，连接AD，DC，CE，已知∠DCB=30°．①求证：△BCE是等边三角形；②求证：DC2+BC2=AC2，即四边形ABCD是勾股四边形．【答案】(1)正方形、矩形、直角梯形均可；(2)①证明见解析②证明见解析【分析】（1）根据定义和特殊四边形的性质，则有矩形或正方形或直角梯形；（2）①首先证明△ABC≌△DBE，得出AC=DE，BC=BE，连接CE，进一步得出△BCE 为等边三角形；②利用等边三角形的性质，进一步得出△DCE是直角三角形，问题得解．【详解】解：（1）正方形、矩形、直角梯形均可；（2）①∵△ABC≌△DBE，∴BC=BE，∵∠CBE=60°，∴△BCE是等边三角形；②∵△ABC≌△DBE，∴BE=BC，AC=ED；∴△BCE为等边三角形，∴BC=CE，∠BCE=60°，∵∠DCB=30°，∴∠DCE=90°，在Rt △DCE 中，DC 2+CE 2=DE 2，∴DC 2+BC 2=AC 2．变式3-2．如图，在ABC △中，90BAC ∠=︒，E 为边BC 上的点，且AB AE =，D 为线段BE 的中点，过点E 作EF AE ⊥，过点A 作AF BC ，且AF 、EF 相交于点F .（1）求证：C BAD ∠=∠（2）求证：AC EF =【答案】（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）由等腰三角形的性质可得AD ⊥BC ，由余角的性质可得∠C=∠BAD ；（2）由“ASA”可证△ABC ≌△EAF ，可得AC=EF ．【详解】（1）如图∵AB AE =，∴ABE ∆是等腰三角形 又∵D 为BE 的中点， ∴AD BE ⊥（等腰三角形三线合一） 在Rt ABC ∆和Rt DBA ∆中， ∵B 为公共角，90BAC BDA ∠=∠=︒， ∴C BAD ∠=∠.另解：∵D 为BE 的中点， ∵BD ED =，又AB AE =，AD AD =， ∴ADB ADE ∆≅∆，∴ADB ADE ∠=∠，又180ADB ADE ∠+∠=︒， ∴90ADB ADE ∠=∠=︒ ∴AD BC ⊥，在Rt ABC ∆和Rt DBA ∆中， ∵B 为公共角，90BAC BDA ∠=∠=︒， ∴C BAD ∠=∠.（2）∵AF BC ，∴EAF AEB ∠=∠，∵AB AE =，∴ABE AEB ∠=∠，∴EAF ABC ∠=∠，又∵90BAC AEF ∠=∠=∠︒， ∴BAC AEF ∆≅∆，∴AC EF =.考点题型四全等三角形– 垂线模型典例4．在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，直线MN 经过点C ，且AD ⊥MN 于D ，BE ⊥MN 于E ．(1)当直线MN 绕点C 旋转到图1的位置时，求证：△ADC ≌△CEB ；(2)当直线MN 绕点C 旋转到图2的位置时，试问DE 、AD 、BE 的等量关系?并说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）DE=AD-BE ，理由见解析【分析】（1）由已知推出∠ADC=∠BEC=90°，因为∠ACD+∠BCE=90°，∠DAC+∠ACD=90°，推出∠DAC=∠BCE ，根据AAS 即可得到答案；（2）与（1）证法类似可证出∠ACD=∠EBC ，能推出△ADC ≌△CEB ，得到AD=CE ，CD=BE ，即可得到答案．【详解】解：（1）证明：如图1，∵AD ⊥DE ，BE ⊥DE ，∴∠ADC=∠BEC=90°，∵∠ACB=90°，∴∠ACD+∠BCE=90°，∠DAC+∠ACD=90°，∴∠DAC=∠BCE ，在△ADC 和△CEB 中， CDA BEC DAC ECB AC BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ADC ≌△CEB （AAS ）；（2）结论：DE=AD-BE ．理由：如图2，∵BE ⊥EC ，AD ⊥CE ，∴∠ADC=∠BEC=90°，∴∠EBC+∠ECB=90°，∵∠ACB=90°，∴∠ECB+∠ACE=90°，∴∠ACD=∠EBC ，在△ADC 和△CEB 中，ACD CBE ADC BEC AC BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ADC ≌△CEB （AAS ），∴AD=CE ，CD=BE ，∴DE=EC-CD=AD-BE ．变式4-1．在直角三角形ABC 中，90,30︒︒∠=∠=ACB BAC ，分别以AB 、AC 为边在ABC ∆外侧作等边ABE ∆和等边ACD ∆，DE 交AB 于点F ，求证：=EF FD .【答案】详见解析【分析】过点E 作EG AB ⊥于点G ，则有1122AG BG AE AB ===，再证 ()SAS ACB EGA ≅，得到EG AC =.从而得到90DAF DAC CAB ∠=∠+∠=︒，所以(AAS)ADF GEF ≅，即可完成证明。
全等三角形证明之辅助线讲义➢ 知识与方法梳理1. 为了解决几何问题，在原图的基础上另外添加的直线或线段称为辅助线．辅助线通常画成虚线．辅助线的原则：添加辅助线，构造新图形，形成新关系，建立已知和未知之间的桥梁，把问题转化成自己已经会解的情况． 辅助线的作用：①把分散的条件转为集中； ②把复杂的图形转化为基本图形．添加辅助线的注意事项：明确目的，多次尝试．2. 要证明边相等（或角相等），可以考虑证明它们所在的三角形全等；要证全等，需要找3组条件． ➢ 例题示范例：已知：如图，在△ABC 中，∠C =90°，D 是AB 边上一点，AD =AC ，过点D 作DE ⊥AB ，交BC 于点E ． 求证：CE =DE ． 【思路分析】 ① 读题标注：② 梳理思路：要证CE =DE ，考虑把这两条线段放在两个三角形中证全等，利用全等三角形对应边相等来证明．观察图形，发现不存在全等的三角形．结合条件，AC =AD ，∠C =∠ADE =90°，考虑连接AE ，证明△ACE ≌△ADE ． 【过程书写】 证明：如图，连接AE ∵DE ⊥AB ∴∠ADE =90° ∵∠C =90° ∴∠C =∠ADE在Rt △ACE 和Rt △ADE 中AE AE AC AD=⎧⎨=⎩（公共边）（已知）∴Rt △ACE ≌Rt △ADE （HL ） ∴CE =DE （全等三角形对应边相等）EDC AEDBAEDBCA➢练习题BFEAC D7. 已知：如图，BD ，CE 是△ABC 的高，点P 在BD 的延长线上，BP =AC ，点Q 在CE 上，CQ =AB ．判断线段AP 和AQ 的数量和位置关系，并加以证明．8. 已知：如图，∠B =∠D ，AB =CD ，AD ∥BC ，E ，F 分别是AD ，BC 的中点．求证：AF =CE ．9. 已知：如图，B ，C ，F ，E 在同一条直线上，AB ，DE 相交于点G ，且BC =EF ，GB =GE ，∠A =∠D ．求证：DC =AF ．10. 已知：如图，∠C =∠F ，AB =DE ，DC =AF ，BC =EF ．求证：AB ∥DE ．11. 已知：如图，AB ∥CD ，AD ∥BC ，E ，F 分别是AD ，BC 的中点．求证：BE =DF ．QPEDCBACAEF B DDGC AB EFFEBAD CF E B A DC12. 已知：如图，在正方形ABCD 中，AD =AB ，∠DAB =∠B =90°，点E ，F 分别在AB ，BC 上，且AE =BF ，AF 交DE 于点G ． 求证：DE ⊥AF ．连接BM ，交CN 于点F ．有下列结论：①∠AMB =∠ANB ；②△ACE ≌△MCF ；③CE =CF ；④EN =FB ．其中正确结论的序号是_________________．【参考答案】1. 证明：如图，连接AD在△ABD 和△DCA 中AB DCBD CAAD DA =⎧⎪=⎨⎪=⎩（已知）（已知）（公共边） ∴△ABD ≌△DCA （SSS ）∴∠ABO=∠DCO （全等三角形对应角相等） 2. 证明：如图，连接AC∵AB ∥CDGFEDCBANM EB AFC∴∠CAB =∠ACD ∵AD ∥BC ∴∠DAC =∠BCA 在△ABC 和△CDA 中CAB ACDAC CABCA DAC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩（已证）（公共边）（已证） ∴△ABC ≌△CDA （ASA ）∴AB =CD ，BC =DA （全等三角形对应边相等） 3. 证明：如图，连接AC ，AD在△ABC 和△AED 中，AB AE B EBC ED =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩（已知）（已知）（已知） ∴△ABC ≌△AED （SAS ）∴AC =AD （全等三角形对应边相等） ∵F 是CD 的中点 ∴CF =DF在△ACF 和△ADF 中，AC AD AF AFCF DF =⎧⎪=⎨⎪=⎩（已证）（公共边）（已证） ∴△ACF ≌△ADF （SSS ）∴∠CFA =∠DFA （全等三角形对应角相等） ∵∠CFA +∠DFA =180° ∴∠CFA =90° ∴AF ⊥CD4. 证明：如图，过点A 作AD ⊥BC 于点D∵AD ⊥BC∴∠ADB =∠ADC=90° 在△ADB 和△ADC 中，B CADB ADCAD AD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩（已知）（已证）（公共边） ∴△ADB ≌△ADC （AAS ）∴AB =AC （全等三角形对应边相等） 5. 证明：如图，过点B 作BF ⊥AC 于点FA DBCFCBEDAAD B C6. ∵BC ⊥AD∴∠ACE =∠BCD =90° 在Rt △ACE 和Rt △BCD 中AE BD CE CD =⎧⎨=⎩（已知）（已知）∴Rt △ACE ≌Rt △BCD （HL ）∴∠CAE =∠CBD （全等三角形对应角相等） ∵∠ACE =90° ∴∠CAE +∠AEC =90° ∵∠AEC =∠BEF ∴∠CBD +∠BEF =90° ∴∠BFE =90° ∴AF ⊥BD7. 解：AP =AQ 且AP ⊥AQ ，理由如下：如图，∵BD ⊥AC ，CE ⊥AB ∴∠BEQ =∠BDC =∠ADP =90° ∴∠1+∠3=90° ∠2+∠4=90° ∵∠3=∠4 ∴∠1=∠2在△ABP 和△QCA 中54321QCB PE DA1 2 AB QC BP CA =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩（已知）（已证）（已知） ∴△ABP ≌△QCA （SAS ）∴AP =AQ （全等三角形对应边相等） ∠P =∠5（全等三角形对应角相等） ∵∠ADP =90° ∴∠P +∠PAD =90° ∴∠5+∠PAD =90° 即∠QAP =90° ∴AP =AQ 且AP ⊥AQ 8. 证明：如图，连接AC∵AD ∥BC ∴∠DAC =∠BCA 在△ABC 和△CDA 中，∴△ABC ≌△CDA （AAS ）∴BC =DA （全等三角形对应边相等） ∵E ，F 分别是AD ，BC 的中点 ∴1122BF BC DE AD ==， ∴BF =DE在△ABF 和△CDE 中，∴△ABF ≌△CDE （SAS ）∴AF =CE （全等三角形对应边相等）9. 证明：如图，过点G 作GH ⊥BE 于点H∵GH ⊥BE∴∠GHB =∠GHE =90° 在Rt △GHB 和Rt △GHE 中，BCA DAC B DAB CD （已证）（已知）（公共边）∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩AB CD B DBF DE （已知）（已知）（公共边）=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩H FBA C GDGB GEGH GH=⎧⎨=⎩（已知）（公共边） ∴Rt △GHB ≌Rt △GHE （HL ）∴∠B =∠E （全等三角形对应角相等） ∵BC =EF ∴BC +CF =EF +CF 即BF =EC在△ABF 和△DEC 中，A DB EBF EC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩（已知）（已证）（已证） ∴△ABF ≌△DEC （AAS ） ∴DC =AF10. 证明：如图，连接BE在△AEF 和△DBC 中，AF DCF CEF BC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩（已知）（已知）（已知） ∴△AEF ≌△DBC （SAS ）∴AE =DB （全等三角形对应边相等） 在△ABE 和△DEB 中，AE DB AB DEEB BE =⎧⎪=⎨⎪=⎩（已证）（已知）（公共边） ∴△ABE ≌△DEB （SSS ）∴∠ABE =∠DEB （全等三角形对应角相等） ∴AB ∥DE11. 证明：如图，连接BDCD ABE F∵AB ∥CD ，AD ∥BC∴∠ABD =∠CDB ，∠ADB =∠CBD 在△ABD 和△CDB 中，ABD CDBBD DBADB CBD ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩（已证）（公共边）（已证） ∴△ABD ≌△CDB （ASA ）∴AD =CB （全等三角形对应边相等） ∵E ，F 分别是AD ，BC 的中点 ∴DE =BF在△BED 和△DFB 中，DE BF ADB CBDBD DB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩（已证）（已证）（公共边） ∴△BED ≌△DFB （SAS ）∴BE =DF （全等三角形对应边相等） 12. 证明：如图，在△DAE 和△ABF 中AD BA DAE B AE BF =⎧⎪=⎨⎪=⎩（已知）∠∠（已知）（已知） ∴△DAE ≌△ABF （SAS ）∴∠1=∠2（全等三角形对应角相等） ∵∠DAB =90° ∴∠2+∠3=90° ∴∠1+∠3=90° ∴∠AGD =90° ∴DE ⊥AF 13. B 14. ②③④CDA B E F ABCDEF G第7题图312。
全等三角形问题中常见的辅助线的作法(有答案)总论：全等三角形问题最主要的是构造全等三角形，构造二条边之间的相等，构造二个角之间的相等【三角形辅助线做法】图中有角平分线，可向两边作垂线。
也可将图对折看，对称以后关系现。
角平分线平行线，等腰三角形来添。
角平分线加垂线，三线合一试试看。
线段垂直平分线，常向两端把线连。
要证线段倍与半，延长缩短可试验。
三角形中两中点，连接则成中位线。
三角形中有中线，延长中线等中线。
1.等腰三角形“三线合一”法：遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题2.倍长中线：倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形3.角平分线在三种添辅助线4.垂直平分线联结线段两端5.用“截长法”或“补短法”：遇到有二条线段长之和等于第三条线段的长，6.图形补全法：有一个角为60度或120度的把该角添线后构成等边三角形7.角度数为30、60度的作垂线法：遇到三角形中的一个角为30度或60度，可以从角一边上一点向角的另一边作垂线，目的是构成30-60-90的特殊直角三角形，然后计算边的长度与角的度数，这样可以得到在数值上相等的二条边或二个角。
从而为证明全等三角形创造边、角之间的相等条件。
8.计算数值法：遇到等腰直角三角形，正方形时，或30-60-90的特殊直角三角形，或40-60-80的特殊直角三角形,常计算边的长度与角的度数，这样可以得到在数值上相等的二条边或二个角，从而为证明全等三角形创造边、角之间的相等条件。
常见辅助线的作法有以下几种：最主要的是构造全等三角形，构造二条边之间的相等，二个角之间的相等。
1)遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变D C BAED F CB A换中的“对折”法构造全等三角形．2)遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”法构造全等三角形．3)遇到角平分线在三种添辅助线的方法，（1）可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理．（2）可以在角平分线上的一点作该角平分线的垂线与角的两边相交，形成一对全等三角形。
全等三角形六种辅助线方法及例题全等三角形是初中数学中一个非常重要的概念，掌握全等三角形的判定方法和辅助线方法对于解题至关重要。
本文将介绍全等三角形的六种辅助线方法，并结合例题进行详细讲解。
一、辅助线法1.等角分线法：将三角形内角的平分线相互交点构成的点与三角形的另外一个顶点相连，得到一条辅助线。
这条辅助线将三角形分成两个等角的小三角形，从而得到相似或全等三角形。
2.中线法：将三角形任意两边的中点相连，得到三角形的中线。
相等的中线将三角形分成两个面积相等的小三角形，从而得到相似或全等三角形。
3.高线法：将三角形内任意一条边的垂线向另外两边引出，得到三角形的高线。
相等的高线将三角形分成两个面积相等的小三角形，从而得到相似或全等三角形。
4.角平分线法：将三角形内角的平分线相互交点构成的点相连，得到三角形的角平分线。
相等的角平分线将三角形分成两个面积相等的小三角形，从而得到相似或全等三角形。
5.角平分线中垂线法：将三角形内角的平分线的中垂线相互交点构成的点相连，得到三角形的角平分线中垂线。
相等的角平分线中垂线将三角形分成两个面积相等的小三角形，从而得到相似或全等三角形。
6.外心连线法：将三角形外接圆心与三角形三个顶点分别相连，得到三条辅助线。
这三条辅助线相等，将三角形分成三个面积相等的小三角形，从而得到相似或全等三角形。
二、例题解析1.已知△ABC，点D,E分别为BC,AB边上的中点，连接AD，BE相交于点F，求证：△DEF≌△ABC。
解析：由题意可知，△ABC是由两个等腰三角形组成的，因此可使用中线法证明两个三角形的全等。
由于D，E分别是BC,AB边上的中点，因此DE是AC中线，即DE=1/2AC；同理，AE是BC中线，AF=1/2BC。
因此，△ADB和△AEC是等腰三角形，且AD=EC，AB=AB，∠BAC=∠BAC，因此△ADB≌△AEC。
又因为DE是AC中线，BF是AE中线，因此DE=1/2AC，BF=1/2AE。
全等三角形的辅助线的常见添法一、前言全等三角形是初中数学中一个重要的概念，其性质和应用十分广泛。
在解决全等三角形相关问题时，辅助线的运用是非常常见的方法之一。
本文将介绍几种常见的全等三角形辅助线添法。
二、中线中线是连接三角形一个顶点和对边中点的线段。
在全等三角形的证明中，经常使用到中线。
1. 作平移假设有两个全等三角形ABC和DEF，需要证明它们完全重合。
可以在BC上取一点M，在EF上取一点N，连接MN，并作平移使得BC重合于EF，即可证明ABC和DEF完全重合。
2. 作垂线假设有两个全等三角形ABC和DEF，需要证明它们完全重合。
可以在BC上取一点M，在EF上作MN垂直于EF，并延长至交于P，则BP=FP，CP=EP，因此可以通过SAS（边-角-边）准则证明ABC和DEF完全重合。
三、高线高线是从一个顶点向对边所在直线作垂线所得到的线段。
在证明两个直角三角形相似时常用到高线。
1. 作垂心假设有两个直角三角形ABC和DEF，需要证明它们相似。
可以在ABC 中作垂心H，连接AH、BH、CH，并在DEF中作DH垂直于EF，延长至交于K，则AK=DK，因此可以通过AA（角-角）准则证明ABC 和DEF相似。
2. 作中线假设有两个三角形ABC和DEF，其中BC=EF，需要证明它们相似。
可以在BC上取一点M，在EF上取一点N，连接MN，并作垂线PH 垂直于MN且交于O，则PO为MN的中线。
由于BM=FN，BO=EO（因为PH平分MN），因此可以通过SAS准则证明ABC和DEF相似。
四、角平分线角平分线是从一个顶点出发将角分成两个相等的角所得到的线段。
在证明两个三角形相似时常用到角平分线。
1. 作等腰三角形假设有两个三角形ABC和DEF，其中∠BAC=∠EDF且AC=DF，需要证明它们相似。
可以在BC上取一点M，在EF上取一点N，并连接AN、BM以及CN与AM的交点为P，则AP=PN（因为AP是∠BAC 的平分线），BP=PM（因为BP是∠ABM的平分线），因此可以通过SAS准则证明ABC和DEF相似。
专题12.12 三角形全等作辅助线模型（二）-截长补短（知识讲解）有一类几何题其命题主要证明三条线段长段的“和”或“差”及其比例关系，这一类题目一般可以采取“截长”或“补短”的方法来进行求解。
所谓“截长”，就是将三者中最长的那条线段一分为二，使其中的一条线段与已经线段相等，然后证明其中的另一段与已知的另一段的大小关系。
所谓“补短”，就是将一个已知的较短的线段延长至与另一个已知的较短的长度相等，然后求出延长后的线段与最长的已知线段关系。
有的是采取截长补短后，使之构成某种特定的三角形进行求解。
【典型例题】1、 阅读下面文字并填空：数学习题课上李老师出了这样一道题：“如图1，在ABC V 中，AD 平分BAC Ð，2B C Ð=Ð．求证：AB BD AC +=．李老师给出了如下简要分析：“要证AB BD AC +=就是要证线段的和差问题，所以有两个方法，方法一：‘截长法’如图2，在AC 上截取AE AB =，连接DE ，只要证BD =__________即可，这就将证明线段和差问题__________为证明线段相等问题，只要证出V __________≌△__________，得出B AED Ð=Ð及BD =_________，再证出Ð__________=Ð___________，进而得出ED EC =，则结论成立．此种证法的基础是‘已知AD 平分BAC Ð，将ABD △沿直线AD 对折，使点B 落在AC 边上的点E 处’成为可能．方法二：“补短法”如图3，延长AB 至点F ，使BF BD =．只要证AF AC =即可．此时先证Ð__________C =Ð，再证出V _________≌△_________，则结论成立．”“截长补短法”是我们今后证明线段或角的“和差倍分”问题常用的方法．【答案】方法一：CE ；转化；ABD ；AED ；DE ；EDC ；C ；方法二：F ；AFD ；ACD【分析】方法一：在AC 上截取AE AB =，由SAS 可证ABD AED D @D 可得B AED Ð=Ð，BD=DE ，根据等角对等边得到CE=DE ，即可求证；方法二：延长AB 至点F ，使BF BD =，由AAS 可证AFD ACD D @D ，可得AC=AF ，即可证明：方法一：在AC 上截取AE AB =，连接DE ，如图2∵AD 平分BAC Ð，∴BAD DAC Ð=Ð，在ABD D 和AED D 中AE AB BAD DAC AD AD =ìïÐ=Ðíï=î，∴ABD AED D @D ，∴B AED Ð=Ð，BD=DE ，∵2B C Ð=Ð，∴2AED CÐ=Ð而2AED C EDC C Ð=Ð+Ð=Ð，∴EDC C Ð=Ð，∴DE=CE ，∴AB+BD=AE+CE=AC ，故答案为：CE ；转化；ABD ；AED ；DE ；EDC ；C ；方法二：如图3，延长AB 至点F ，使BF BD =，∴F BDFÐ=Ð∴2ABD F BDF FÐ=Ð+Ð=Ð∴2ABD CÐ=Ð∴F CÐ=Ð在AFD D 和ACD D 中FAD CAD F CAD AD Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î，∴AFD ACD D @D ，∴AC=AF ，∴AC=AB+BF=AB+BD ，故答案为：F ；AFD ；ACD ．【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质，属于截长补短类辅助线，核心思想为数学中的转化思想，此类题的关键是要找到最长边和最短边，然后确定截取辅助线的方式．举一反三：【变式】 数学课上，小白遇到这样一个问题：如图1，在等腰Rt ABC D 中，90BAC Ð=°，AB AC =，AD AE =，求证ABE ACD Ð=Ð；在此问题的基础上，老师补充：过点A 作AF BE ⊥于点G 交BC 于点F ，过F 作FP CD ^交BE 于点P ，交CD 于点H ，试探究线段BP ，FP ，AF 之间的数量关系，并说明理由．小白通过研究发现，AFB Ð与HFC Ð有某种数量关系；小明通过研究发现，将三条线段中的两条放到同一条直线上，即“截长补短”，再通过进一步推理，可以得出结论．阅读上面材料，请回答下面问题：（1）求证ABE ACD Ð=Ð；（2）猜想AFB Ð与HFC Ð的数量关系，并证明；（3）探究线段BP ，FP ，AF 之间的数量关系，并证明．【答案】（1）见解析；（2）HFC BFA Ð=Ð，证明见解析；（3）BP AF PF =+，证明见解析【分析】（1）利用SAS 证明ABE ACD @V V 可得结论；（2）设ABE ACD x Ð=Ð=，推出=45BFA x а+，=45HFC x а+，即可证明HFC BFA Ð=Ð；（3）过点C 作CM AC ^交AF 延长线于点M ，延长FP 交AC 于点N ，证明△ABE ≌△CAM ，得出BE AM =和M BEA Ð=Ð，从而证明△NFC ≌△MFC ，得到FM FN =和M FNC Ð=Ð，可得PN=PE ，从而得出BP=AF+PF.（1）证明：∵在△ABE 和△ACD 中，==AB AC A A AE AD ìïÐ=Ðíïî，ABE ACD \D @D （SAS ），ABE ACD \Ð=Ð；（2）设ABE ACD x Ð=Ð=，AF BE ^ ，90BAF x \Ð=°-，()=9045=45BFA x x \а-°-°+，ACD x Ð= ，45HCF x \Ð=°-，FP CD ^ ，()9045=45HFC x x \Ð=°-°-°+，HFC BFA \Ð=Ð；（3）过点C 作CM AC ^交AF 延长线于点M ，延长FP 交AC 于点N ，90BAF FAC Ð+Ð=° ，90BAF ABG Ð+Ð=°，FAC ABG \Ð=Ð，在△ABE 和△CAM 中，===BAE ACM AB AC ABE CAM ÐÐìïíïÐÐî，ABE CAM \D @D （ASA ），BE AM \=，M BEA Ð=Ð，BFA MFC NFC Ð=Ð=Ð ，FC FC =，45ACB BCM Ð=Ð=°，NFC MFC \D @D （ASA ），FM FN \=，M FNC Ð=Ð，FNC BEA \Ð=Ð，PN PE \=，∴BP BE PE AM PE AF FM PE =-=-=+-AF FN PN AF PF =+-=+.【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质以及等角对等边等知识点，解题的关键是根据截长补短法添加适当的辅助线，构造全等三角形证明结论，有一定难度.2、 阅读材料并完成习题：在数学中，我们会用“截长补短”的方法来构造全等三角形解决问题．请看这个例题：如图1，在四边形ABCD 中，∠BAD=∠BCD=90°，AB=AD ，若AC=2cm ，求四边形ABCD 的面积．解：延长线段CB 到E ，使得BE=CD ，连接AE ，我们可以证明△BAE ≌△DAC ，根据全等三角形的性质得AE=AC=2， ∠EAB=∠CAD ，则∠EAC=∠EAB+∠BAC=∠DAC+∠BAC=∠BAD=90°，得S 四边形ABCD =S △ABC +S △ADC =S △ABC +S △ABE =S △AEC ，这样，四边形ABCD 的面积就转化为等腰直角三角形EAC 面积．（1）根据上面的思路，我们可以求得四边形ABCD 的面积为cm 2．（2）请你用上面学到的方法完成下面的习题．如图2，已知FG=FN=HM=GH+MN=2cm ，∠G=∠N=90°，求五边形FGHMN 的面积．【答案】（1）2；（2）4【分析】（1）根据题意可直接求等腰直角三角形EAC 的面积即可；（2）延长MN 到K ，使NK=GH ，连接FK 、FH 、FM ，由（1）易证FGH FNK V V ≌，则有FK=FH ，因为HM=GH+MN 易证FMK FMH V V ≌，故可求解．【详解】（1）由题意知21=22ABC ADC ABC ABE AEC ABCD AC S S S S S S =+=+==V V V V V 四边形，故答案为2；（2）延长MN 到K ，使NK=GH ，连接FK 、FH 、FM ，如图所示：FG=FN=HM=GH+MN=2cm ，∠G=∠N=90°，\∠FNK=∠FGH=90°，\FGH FNK V V ≌，\FH=FK ，又 FM=FM ，HM=KM=MN+GH=MN+NK ，\FMK FMH V V ≌，\MK=FN=2cm ，\12=242FGH HFM MFN FMK FGHMN S S S S S MK FN =++=´×=V V V V 五边形．【点拨】本题主要考查全等三角形的性质与判定，关键是根据截长补短法及割补法求面积的运用．举一反三：【变式】在△ABC中，∠ACB=2∠B，（1）如图①，当∠C=90°，AD为∠ABC的角平分线时，在AB上截取AE=AC，连接DE，易证AB=AC+CD．请证明AB=AC+CD；（2）①如图②，当∠C≠90°，AD为∠BAC的角平分线时，线段AB、AC、CD又有怎样的数量关系？请直接写出你的结论，不要求证明；②如图③，当∠C≠90°，AD为△ABC的外角平分线时，线段AB、AC、CD又有怎样的数量关系？请写出你的猜想并证明．【答案】（1）证明见解析；（2）①AB=AC+CD；②AC+AB=CD，证明见解析．【分析】（1）首先得出△AED≌△ACD（SAS），即可得出∠B=∠BDE=45°，求出BE=DE=CD，进而得出答案；（2）①首先得出△AED≌△ACD（SAS），即可得出∠B=∠BDE，求出BE=DE=CD，进而得出答案；②首先得出△AED≌△ACD（SAS），即可得出∠B=∠EDC，求出BE=DE=CD，进而得出答案．（1）证明：∵AD为∠ABC的角平分线，∴∠EAD=∠CAD，在△AED和△ACD中，∵AE=AC，∠EAD=∠CAD，AD=AD，∴△AED≌△ACD（SAS），∴ED=CD，∠C=∠AED=90°，∵∠ACB=2∠B，∠C=90°，∴∠B=45°，∴∠BDE=45°，∴BE=ED=CD，∴AB=AE+BE=AC+CD；①AB=AC+CD．理由如下：在AB上截取AE=AC，连接DE，∵AD为∠ABC的角平分线，∴∠EAD=∠CAD，在△AED和△ACD中，∵AE=AC，∠EAD=∠CAD，AD=AD，∴△AED≌△ACD（SAS），∴ED=CD，∠C=∠AED，∵∠ACB=2∠B，∴∠AED=2∠B，∵∠B+∠BDE=∠AED，∴∠B=∠BDE，∴BE=ED=CD，∴AB=AE+BE=AC+CD；②AC+AB=CD．理由如下：在射线BA上截取AE=AC，连接DE，∵AD为∠EAC的角平分线，∴∠EAD=∠CAD，在△AED和△ACD中，∵AE=AC，∠EAD=∠CAD，AD=AD，∴△AED≌△ACD（SAS），∴ED=CD，∠ACD=∠AED，∵∠ACB=2∠B，∴设∠B=x，则∠ACB=2x，∴∠EAC=3x，∴∠EAD=∠CAD=1.5x，∵∠ADC+∠CAD=∠ACB=2x，∴∠ADC=0.5x，∴∠EDC=x，∴∠B=∠EDC，∴BE=ED=CD，∴AB+AE=BE=AC+AB=CD．【点拨】此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及三角形外角的性质等知识，利用已知得出△AED≌△ACD是解题关键．3、（初步探索）截长补短法，是初中几何题中一种添加辅助线的方法，也是把几何题化难为易的一种策略．截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短就是通过延长或旋转等方式使两条短边拼合到一起，从而解决问题．（1）如图1，△ABC是等边三角形，点D是边BC下方一点，∠BDC＝120°，探索线段DA、DB、DC之间的数量关系；（灵活运用）（2）如图2，△ABC为等边三角形，直线a∥AB，D为BC边上一点，∠ADE交直线a 于点E，且∠ADE＝60°．求证：CD＋CE＝CA；（延伸拓展）（3）如图3，在四边形ABCD中，∠ABC＋∠ADC＝180°，AB＝AD．若点E在CB的延长线上，点F在CD的延长线上，满足EF＝BE＋FD，请直接写出∠EAF与∠DAB的数量关系．【答案】（1）DA=DC+DB，证明见详解；（2）见详解；（3）∠EAF=11802DAB°-Ð，证明见详解.【分析】（1）由等边三角形知AB=AC，∠BAC=60°，结合∠BDC=120°知∠ABD+∠ACD=180°，由∠ACE+∠ACD=180°知∠ABD=∠ACE，证△ABD≌△ACE得AD=AE，∠BAD=∠CAE，再证△ADE是等边三角形得DA=DE=DC+CE=DC+DB；（2）首先在AC上截取CM=CD，由△ABC为等边三角形，易得△CDM是等边三角形，继而可证得△ADM≌△EDC，即可得AM=EC，则可证得CD+CE=CA；（3）在DC延长线上取一点G，使得DG=BE，连接AG，先判定△ADG≌△ABE，再判定△AEF≌△AGF，得出∠FAE=∠FAG，最后根据∠FAE+∠FAG+∠GAE=360°，进而推导得到2∠FAE+∠DAB=360°，即可得出结论．解答：DA=DC+DB，理由如下：（1）如图1，延长DC到点E，使CE=BD，连接AE，∵△ABC是等边三角形，∴AB=AC，∠BAC=60°，∵∠BDC=120°，∴∠ABD+∠ACD=180°，又∵∠ACE+∠ACD=180°，∴∠ABD=∠ACE ，∴△ABD ≌△ACE （SAS ），∴AD=AE ，∠BAD=∠CAE ，∵∠BAC=60°，即∠BAD+∠DAC=60°，∴∠DAC+∠CAE═60°，即∠DAE=60°，∴△ADE 是等边三角形，∴DA=DE=DC+CE=DC+DB ，即DA=DC+DB ；（2）证明：在AC 上截取CM=CD ，∵△ABC 是等边三角形，∴∠ACB=60°，∴△CDM 是等边三角形，∴MD=CD=CM ，∠CMD=∠CDM=60°，∴∠AMD=120°，∵∠ADE=60°，∴∠ADE=∠MDC ，∴∠ADM=∠EDC ，∵直线a ∥AB ，∴∠ACE=∠BAC=60°，∴∠DCE=120°=∠AMD ，在△ADM 和△EDC 中，ADM EDC MD CDAMD ECD Ð=Ðìï=íïÐ=Ðî∴△ADM≌△EDC(ASA)，∴AM=EC，∴CA=CM+AM=CD+CE；即CD+CE=CA.（3）∠EAF=11802DAB°-Ð；证明：如图3，在DC延长线上取一点G，使得DG=BE，连接AG，∵∠ABC+∠ADC=180°，∠ABC+∠ABE=180°，∴∠ADC=∠ABE，又∵AB=AD，∴△ADG≌△ABE（SAS），∴AG=AE，∠DAG=∠BAE，∵EF=BE+FD=DG+FD=GF，AF=AF，∴△AEF≌△AGF（SSS），∴∠FAE=∠FAG，∵∠FAE+∠FAG+∠GAE=360°，∴2∠FAE+（∠GAB+∠BAE）=360°，∴2∠FAE+（∠GAB+∠DAG）=360°，即2∠FAE+∠DAB=360°，∴∠EAF=11802DAB°-Ð.【点拨】本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，以及等边三角形的性质的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，根据全等三角形的对应角相等进行推导变形．举一反三：【变式1】 如图，AB CD ∥，BE 平分ABC Ð，CE 平分BCD Ð，点E 在AD 上，求证：BC AB CD =+.【分析】在BC 上取点F ，使BF=BA ，连接EF ，由角平分线的性质可以得出∠1=∠2，从而可以得出△ABE ≌△FBE ，可以得出∠A=∠5，进而可以得出△CDE ≌△CFE ，就可以得出CD=CF ，即可得出结论．证明：在BC 上取点F ，使BF=BA ，连接EF ，∵BE 、CE 分别是∠ABC 和∠BCD 的平分线，∴∠1=∠2，∠3=∠4，在△ABE 和△FBE 中，12AB FB BE BE =ìïÐ=Ðíï=î，∴△ABE ≌△FBE(SAS)，∴∠A=∠5，∵AB ∥CD ，∴∠A+∠D=180°，∴∠5+∠D=180，∵∠5+∠6=180°，∴∠6=∠D ，在△CDE 和△CFE 中，634D CE CE Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î，∴△CDE ≌△CFE(AAS)，∴CF=CD ．∵BC=BF+CF ，∴BC=AB+CD．【点拨】本题考查了角平分线的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，解答时运用截取法正确作辅助线是关键．【变式2】如图，在△ABC 中，60BAC Ð=°，40ACB Ð=°，P 、Q 分别在BC 、CA 上，并且AP 、BQ 分别是∠BAC 、∠ABC 的角平分线．求证：（1）BQ CQ =；（2）BQ AQ AB BP +=+．【答案】（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）由三角形的内角和就可以得出∠ABC ＝80°，再由角平分线的性质就可以得出∠QBC ＝40°，就有∠QBC ＝∠C 而得出结论；（2）延长AB 至M ，使得BM ＝BP ，连结MP ，根据条件就可以得出∠M ＝∠C ，进而证明△AMP ≌△ACP 就可以得出结论．（1）证明：∵BQ 是ABC Ð的角平分线，∴12QBC ABC Ð=Ð．∵180ABC ACB BAC Ð+Ð+Ð=°，且60BAC Ð=°，40ACB Ð=°，∴80ABC Ð=°，∴180402QBC Ð=´°=°，∴QBC C Ð=Ð，∴BQ CQ =；（2）证明：延长AB 至M ，使得BM BP =，连结MP ．∴M BPM Ð=Ð，∵△ABC 中60BAC Ð=°，40C Ð=°，∴80ABC Ð=°，∵BQ 平分ABC Ð，∴40QBC C Ð=°=Ð，∴BQ CQ =，∵ABC M BPM Ð=Ð+Ð，∴40M BPM C Ð=Ð=°=Ð，∵AP 平分BAC Ð，∴MAP CAP Ð=Ð，在△AMP 和△ACP 中，∵M C MAP CAP AP AP Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î，∴△AMP ≌△ACP ，∴AM AC =，∵AM AB BM AB BP =+=+，AC AQ QC AQ BQ =+=+，∴AB BP AQ BQ+=+【点拨】本题主要考查全等三角形的判定与性质的知识点，解答本题的关键是熟练掌握判定两个三角形全等的一般方法：SSS 、SAS 、ASA 、AAS 、HL ．注意：AAA 、SSA 不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．。
全等三角形几何证明常用辅助线
辅助线证明三角形全等
一、辅助线定义
辅助线，又称辅助规则，是专门用来证明几何结论的辅助线，它可以
指向几何结论的前提或结果，以更清晰地证明几何结论。
二、辅助线用法
1.在证明三角形全等的情况下，用辅助线来证明角的相等性：用一条
辅助线平分角A，然后将辅助线平移到角B上，如果辅助线可以在角B上
的两点重合，则说明角A和角B是相等的。
2.在证明三角形全等的情况下，用辅助线来证明边的相等性：用一条
辅助线平分边AB，然后将辅助线平移到边CD上，如果辅助线可以在边CD
上的两点重合，则说明边AB和边CD是相等的。
3.在证明三角形全等的情况下，用辅助线来证明两个三角形的相等性：在三角形ABC中画出一条辅助线，然后将该辅助线平移到三角形CDE中，
如果辅助线可以在三角形CDE中的三个点重合，则说明两个三角形ABC和CDE是相等的。
三、辅助线证明三角形全等的步骤
1.识别出待证明的相关图形，并将其准确地表示在平面上。
2.根据定义，确定三角形全等的前提条件，并假设三角形全等。
3.画出两个三角形之间的辅助线，如果相交点都在两个三角形相交的
边上，证明该辅助线可以同时在两个三角形中存在。
专题：三角形全等常用辅助线及模型※题型讲练考点一三角形全等常见辅助线一：倍长中线法1．如图，在△ABC中，D为BC的中点．(1)求证：AB+AC>2AD；(2)若AB=5，AC=3，求AD的取值范围．解：(1)延长AD至点E，使DE=AD，连接BE．∵D为BC的中点，∴CD=BD．又∵AD=ED，∠ADC=∠EDB，∴△ADC≌△EDB．∴AC=EB．∵AB+BE>AE，∴AB+AC>2AD．(2)∵AB-BE<AE<AB+BE，∴AB-AC<2AD<AB+AC．∵AB=5，AC=3，∴2<2AD<8．∴1<AD<4．2．如图，AB=AE，AB⊥AE，AD=AC，AD⊥AC，M为BC的中点，求证：(1)DE=2AM；(2) AM⊥DE．证明：(1)延长AM至点N，使MN=AM，连接BN．∵M为BC的中点，∴BM=CM．又∵AM=MN，∠AMC=∠NMB，∴△AMC≌△NMB(SAS)，∴AC=BN，∠C=∠NBM，∴∠ABN=∠ABC+∠NBM=∠ABC+∠C=180°-∠BAC=∠EAD．∵AD=AC，AC=BN，∴AD=BN．又∵AB=AE，∴△ABN≌△EAD(SAS)，∴DE=NA．又∵AM=MN，∴DE=2AM．(2)互余证法，证明略；3．如图，△ABC中，BD=AC，∠ADC=∠CAD，E是DC的中点，求证：AD平分∠BAE．解：延长AE到M，使EM=AE，连结DM易证△DEM≌△CEA∴∠C=∠MDE, DM=AC又BD=AC∴DM=BD,又∠ADB=∠C +∠CAD，∠ADM=∠MDE+∠ADC，∠ADC=∠CAD∴∠ADM=∠ADB∴△ADM≌△ADB∴∠BAD=∠MAD即AD平分∠BAE考点二三角形全等常见辅助线二：截长补短法1．如图，已知AP∥BC，∠PAB的平分线与∠CBA的平分线相交于点E，CE的延长线交AP于点D．求证：AD+BC=AB．证明：在AB上截取AF=AD，∵AE平分∠PAB，∴∠DAE=∠FAE，在△DAE和△FAE中，∴△DAE≌△FAE(SAS)，∴∠AFE=∠ADE．∵AD∥BC，∴∠ADE+∠C=180°，∵∠AFE+∠EFB=180°，∴∠EFB=∠C．∵BE平分∠ABC，∴∠EBF=∠EBC，在△BEF和△BEC中，∴△BEF≌△BEC(AAS)，∴BC=BF，∴AD+BC=AF+BF=AB．2．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B ＝∠ADC＝90°．E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝60°．求证：EF＝FD＋BE．证明：如图，延长FD到点G，使DG＝BE，连结AG．∵∠B＝∠ADC＝90°，∴∠B＝∠ADG＝90°．∵AB＝AD，∴△ABE≌△ADG．∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG．又∵∠BAD＝120°，∠EAF＝60°，∴∠BAE＋∠FAD＝60°，∠DAG＋∠FAD＝60°．即∠GAF＝60°，∴∠EAF＝∠GAF＝60°．∴△EAF≌△GAF．∴EF＝GF＝FD＋DG，∴EF＝FD＋BE．考点三三角形全等常见模型一：一线三等角1．如图，在△ABC中，AB＝AC，P、M分别在BC、AC边上，且∠APM＝∠B，若AP＝MP，求证：PB＝MC.证明：∵∠B＋∠BAP＝∠APM＋∠CPM，∠B＝∠APM，∴∠BAP＝∠CPM.∵AB＝AC，∴△ABC为等腰三角形．∴∠B＝∠C，又∵AP＝PM，∴△APB≌△PMC.∴PB＝MC 2．如图，一次函数y=－23x+4的图象分别与x轴、y轴交于点A，B，以AB为边在第一象限内作等腰Rt△ABC，∠BAC=90°．则过B，C两点的直线表达式为y=15x+4．3．(1)已知，如图①，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D，E，则线段BD、CE、DE之间的关系是：DE＝BD＋CE ；(2)如图②，将(1)中的条件改为：在△ABC中，AB＝AC，D，A，E三点都在直线m上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，其中α为任意钝角，请问(1)中结论是否成立？若成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．图①图②解：(1)DE＝BD＋CE．(2)当α为任意钝角时，结论DE＝BD＋CE仍成立，理由：∵∠BDA＝∠BAC＝α，∴∠DBA＋∠BAD＝∠BAD＋∠CAE＝180°－α，∴∠CAE＝∠ABD，∵在△ADB和△CEA中，⎩⎨⎧∠ABD＝∠CAE，∠BDA＝∠AEC，AB＝CA，∴△ADB≌△CEA(AAS)，∴AE＝BD，AD＝CE，∴DE＝AE＋AD＝BD＋CE．考点四三角形全等常见模型二：手拉手1．如图，△ABC，△CDE是等边三角形，B，C，E三点在同一直线上，连接AE、BD交于点O．(1)求证：AE=BD；(2)求∠BOE的度数；(3)若BD和AC交于点M，AE和CD交于点N，求证：CM=CN．解：(1)∵△ABC和△DCE均为等边三角形，∴AC=BC，CE=CD，∠ACB=∠DCE=60°．∴∠BCD=∠ACE=120°．在△ACE和△BCD中，∴△ACE≌△BCD(SAS)，∴AE=BD．(2) ∠BOE的度数为120°；(3)∵△ACE≌△BCD，∴∠CBD=∠CAE．∵∠ACN=180°-∠ACB-∠DCE=60°，∴∠BCM=∠ACN．在△BCM和△ACN 中，∴△BCM≌△ACN(ASA)，∴CM=CN．2．如图，∠BAD =∠CAE=90°，AB=AD，AE=AC，AF⊥CF，垂足为F．(1)求证：BC=DE．(2)求∠EAF的度数；(3)若AC=10，求四边形ABCD的面积．解：(1)易证△ABC≌△ADE(SAS)，∴BC=DE．(2) ∠EAF的度数为135°；(3) 四边形ABCD的面积=三角形ACE的面积=50．※课后练习1．如图，∠ACB=90°，AC=BC，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别是D，E．AD=3，BE=1，则DE的长是 2 ．2．如图，C为线段AE上的一个动点(不与点A，E重合)，在AE同侧分别作等边△ABC和等边△CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ．则下列结论：①AD=BE；②∠AOB=60°；③AP=BQ；④DE=DP．其中正确的是①②③．(填序号)3．如图，AB=AC，AB⊥AC，AD⊥AE，且∠ABD=∠ACE．求证：AD=AE．证明：∵AB⊥AC，AD⊥AE，∴∠BAC=∠DAE=90°，∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC，即∠BAD=∠CAE．在△ABD和△ACE中，∠BAD=∠CAE，AB=AC，∠ABD=∠ACE，∴△ABD≌△ACE，∴AD=AE．4．正方形ABCD中，E为BC上的一点，F为CD上的一点，∠EAF=45°，求证：BE+DF=EF．证明：延长EB使得BG=DF，连接AG，在△ABG和△ADF中，由AB＝AD，∠ABG＝∠ADF＝90°，BG＝DF，可得△ABG≌△ADF（SAS），∴∠DAF=∠BAG，AF=AG，又∵∠EAF=45°∴∠GAE=∠EAF=45°在△AEG和△AEF中，AE＝AE，∠GAE=∠EAF，AG＝AF∴△AEG≌△AEF（SAS），∴EF=GE= BG+BE即BE+DF=EF．5．如图，D是△ABC的边BC上的点，且CD=AB，∠ADB= ∠BAD，AE是△ABD的中线．求证：AC=2AE．解：延长AE到M ，使EM=AE，连结DM易证△DEM≌△BEA∴∠B=∠MDE, DM=AB又CD=AB∴DM=CD,又∠ADC=∠B+∠BAD，∠ADM=∠MDE+∠ADB，∠ADB=∠BAD∴∠ADM=∠ADC∴△ADM≌△ADC∴AC=AM=2AE6．如图，在△ABC中，∠ABC＝60°，AD，CE分别平分∠BAC，∠ACB，AD，CE交于O．(1)求∠AOC的度数；(2)求证：AC＝AE＋CD．解：(1)∵∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝180°－∠B＝120°，∠1＝∠2，∠3＝∠4，∴∠2＋∠3＝60°，∴∠AOC＝180°－60°＝120°；(2)在AC上截取AF＝AE，连接OF，∵AE＝AF，∠1＝∠2，AO＝AO，∴△AEO≌△AFO(SAS)，∴∠AOE＝∠AOF，∵∠AOC＝120°，∴∠AOE＝∠DOC＝60°，∴∠AOF＝∠COF＝60°，在△OFC和△ODC中，⎩⎨⎧∠FOC＝∠DOC＝60°，OC＝OC，∠3＝∠4，∴△OFC≌△ODC(ASA)，∴FC＝DC，∵AF＋FC＝AC，∴AC＝AE＋CD．7．Rt△ABC中，BC=AC，∠ACB=90°，D为射线AB上一点，连接CD，过点C作线段CD的垂线l，在直线l上分别在点C 的两侧截取与线段CD相等的线段CE和CF，连接AE，BF．(1)当点D在线段AB上时(点D不与点A，B重合)，如图1，线段BF，AD所在直线的位置关系为垂直，线段BF，AD的数量关系为相等．(2)当点D在线段AB的延长线上时，如图2，则(1)中的结论是否仍然成立?如果成立请证明；如果不成立，请说明理由．解：(2)成立．理由如下：∵CD⊥EF，∴∠DCF=90°，∵∠ACB=90°，∴∠DCF+∠BCD=∠ACB+∠BCD，即∠ACD=∠BCF，∵BC=AC，CD=CF，∴△ACD≌△BCF，∴AD=BF，∠BAC=∠FBC，∴∠ABF=∠ABC+∠FBC=∠ABC+∠BAC=90°，即BF⊥AD．8．如图，△ABC中，E、F分别在AB、AC上，DE⊥DF，D 是中点，求证：BE+CF＞EF．证明：延长FD至G，使得GD=DF，连接BG，EG∵在△DFC和△DGB中，DF=DG∠CDF=∠BDGDC=DB，∴△DFC≌△DGB（SAS），∴BG=CF，∵在△EDF和△EDG中DF=DG∠FDE=∠GDE=90°DE=DE∴△EDF≌△EDG（SAS），∴EF=EG在△BEG中，两边之和大于第三边，∴BG+BE＞EG又∵EF=EG，BG=CF，∴BE+CF＞EF．9．如图，过线段AB的两个端点作射线AM、BN，使AM∥BN，按下列要求画图并回答：画∠MAB、∠NBA的平分线交于E(1)求∠AEB的度数；(2)过点E作一直线交AM于D，交BN于C，求证：DE=CE；(3)无论DC的两端点在AM、BN如何移动，只要DC经过点E，①AD+BC=AB；②AD+BC=CD谁成立？并说明理由．解：（1）∵AM∥BN，∴∠MAB+∠ABN=180°，又AE，BE分别为∠MAB、∠NBA的平分线，∴∠1+∠3=（∠MAB+∠ABN）=90°，∴∠AEB=180°-∠1-∠3=90°，即∠AEB为直角；（2）过E点作辅助线EF使其平行于AM，∵AM∥BN，EF∥BC，∴EF∥AD∥BC，∴∠AEF=∠4，∠BEF=∠2，∵∠3=∠4，∠1=∠2，∴∠AEF=∠3，∠BEF=∠1，∴AF=FE=FB，∴F为AB的中点，又EF∥AD∥BC，根据平行线等分线段定理得到E为DC中点，∴ED=EC；（3）由（2）中结论可知，无论DC的两端点在AM、BN如何移动，只要DC经过点E，总满足EF为梯形ABCD中位线的条件，所以总有AD+BC=2EF=AB．所以①成立。
初三数学几何辅助线解题技巧
初三数学中，几何是一个比较重要的章节，而在几何中使用辅助线解题技巧是十分必要的。
辅助线可以帮助我们找到几何图形中的对称点、平分线、垂线等，从而解决难题。
以下是一些常见的几何问题和辅助线解题技巧：
1. 求正方形对角线的长度
解法：通过连接正方形的对角线，我们可以构成两个全等的直角三角形，如图所示。
因此，我们可以使用勾股定理求出正方形对角线的长度。
2. 求等腰三角形中，底角的大小
解法：连接等腰三角形的底边中点和顶点，如图所示。
这条线段会将等腰三角形分成两个全等的直角三角形。
因此，我们可以使用三角形内角和公式求得底角的大小。
3. 求平行四边形中对角线的交点
解法：连接平行四边形的相邻顶点，如图所示。
这条线段可以将平行四边形分成两个全等的三角形，并且交点即为两条对角线的交点。
4. 求正弦函数的值
解法：在三角形中，我们可以使用正弦函数求解一个角的正弦值。
如图所示，我们可以通过连接角的顶点和对边中点，构成一个直角三角形，从而使用正弦函数求解。
以上是几种常见的辅助线解题技巧，希望能够帮助同学们更好地应对几何问题。
同时，在解题过程中，我们要注意辅助线的选择和使用，避免增加难度或者引入冗余信息，从而导致解题失败。
专题：三角形全等常用辅助线及模型※题型讲练考点一三角形全等常见辅助线一：倍长中线法1．如图，在△ABC中，D为BC的中点．(1)求证：AB+AC>2AD；(2)若AB=5，AC=3，求AD的取值范围．解：(1)延长AD至点E，使DE=AD，连接BE．∵D为BC的中点，∴CD=BD．又∵AD=ED，∠ADC=∠EDB，∴△ADC≌△EDB．∴AC=EB．∵AB+BE>AE，∴AB+AC>2AD．(2)∵AB-BE<AE<AB+BE，∴AB-AC<2AD<AB+AC．∵AB=5，AC=3，∴2<2AD<8．∴1<AD<4．2．如图，AB=AE，AB⊥AE，AD=AC，AD⊥AC，M为BC的中点，求证：(1)DE=2AM；(2) AM⊥DE．证明：(1)延长AM至点N，使MN=AM，连接BN．∵M为BC的中点，∴BM=CM．又∵AM=MN，∠AMC=∠NMB，∴△AMC≌△NMB(SAS)，∴AC=BN，∠C=∠NBM，∴∠ABN=∠ABC+∠NBM=∠ABC+∠C=180°-∠BAC=∠EAD．∵AD=AC，AC=BN，∴AD=BN．又∵AB=AE，∴△ABN≌△EAD(SAS)，∴DE=NA．又∵AM=MN，∴DE=2AM．(2)互余证法，证明略；3．如图，△ABC中，BD=AC，∠ADC=∠CAD，E是DC的中点，求证：AD平分∠BAE．解：延长AE到M，使EM=AE，连结DM易证△DEM≌△CEA∴∠C=∠MDE, DM=AC又BD=AC∴DM=BD,又∠ADB=∠C +∠CAD，∠ADM=∠MDE+∠ADC，∠ADC=∠CAD∴∠ADM=∠ADB∴△ADM≌△ADB∴∠BAD=∠MAD即AD平分∠BAE考点二三角形全等常见辅助线二：截长补短法1．如图，已知AP∥BC，∠PAB的平分线与∠CBA的平分线相交于点E，CE的延长线交AP于点D．求证：AD+BC=AB．证明：在AB上截取AF=AD，∵AE平分∠PAB，∴∠DAE=∠FAE，在△DAE和△FAE中，∴△DAE≌△FAE(SAS)，∴∠AFE=∠ADE．∵AD∥BC，∴∠ADE+∠C=180°，∵∠AFE+∠EFB=180°，∴∠EFB=∠C．∵BE平分∠ABC，∴∠EBF=∠EBC，在△BEF和△BEC中，∴△BEF≌△BEC(AAS)，∴BC=BF，∴AD+BC=AF+BF=AB．2．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B ＝∠ADC＝90°．E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝60°．求证：EF＝FD＋BE．证明：如图，延长FD到点G，使DG＝BE，连结AG．∵∠B＝∠ADC＝90°，∴∠B＝∠ADG＝90°．∵AB＝AD，∴△ABE≌△ADG．∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG．又∵∠BAD＝120°，∠EAF＝60°，∴∠BAE＋∠FAD＝60°，∠DAG＋∠FAD＝60°．即∠GAF＝60°，∴∠EAF＝∠GAF＝60°．∴△EAF≌△GAF．∴EF＝GF＝FD＋DG，∴EF＝FD＋BE．考点三三角形全等常见模型一：一线三等角1．如图，在△ABC中，AB＝AC，P、M分别在BC、AC边上，且∠APM＝∠B，若AP＝MP，求证：PB＝MC.证明：∵∠B＋∠BAP＝∠APM＋∠CPM，∠B＝∠APM，∴∠BAP＝∠CPM.∵AB＝AC，∴△ABC为等腰三角形．∴∠B＝∠C，又∵AP＝PM，∴△APB≌△PMC.∴PB＝MC 2．如图，一次函数y=－23x+4的图象分别与x轴、y轴交于点A，B，以AB为边在第一象限内作等腰Rt△ABC，∠BAC=90°．则过B，C两点的直线表达式为y=15x+4．3．(1)已知，如图①，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D，E，则线段BD、CE、DE之间的关系是：DE＝BD＋CE ；(2)如图②，将(1)中的条件改为：在△ABC中，AB＝AC，D，A，E三点都在直线m上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，其中α为任意钝角，请问(1)中结论是否成立？若成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．图①图②解：(1)DE＝BD＋CE．(2)当α为任意钝角时，结论DE＝BD＋CE仍成立，理由：∵∠BDA＝∠BAC＝α，∴∠DBA＋∠BAD＝∠BAD＋∠CAE＝180°－α，∴∠CAE＝∠ABD，∵在△ADB和△CEA中，⎩⎨⎧∠ABD＝∠CAE，∠BDA＝∠AEC，AB＝CA，∴△ADB≌△CEA(AAS)，∴AE＝BD，AD＝CE，∴DE＝AE＋AD＝BD＋CE．考点四三角形全等常见模型二：手拉手1．如图，△ABC，△CDE是等边三角形，B，C，E三点在同一直线上，连接AE、BD交于点O．(1)求证：AE=BD；(2)求∠BOE的度数；(3)若BD和AC交于点M，AE和CD交于点N，求证：CM=CN．解：(1)∵△ABC和△DCE均为等边三角形，∴AC=BC，CE=CD，∠ACB=∠DCE=60°．∴∠BCD=∠ACE=120°．在△ACE和△BCD中，∴△ACE≌△BCD(SAS)，∴AE=BD．(2) ∠BOE的度数为120°；(3)∵△ACE≌△BCD，∴∠CBD=∠CAE．∵∠ACN=180°-∠ACB-∠DCE=60°，∴∠BCM=∠ACN．在△BCM和△ACN 中，∴△BCM≌△ACN(ASA)，∴CM=CN．2．如图，∠BAD =∠CAE=90°，AB=AD，AE=AC，AF⊥CF，垂足为F．(1)求证：BC=DE．(2)求∠EAF的度数；(3)若AC=10，求四边形ABCD的面积．解：(1)易证△ABC≌△ADE(SAS)，∴BC=DE．(2) ∠EAF的度数为135°；(3) 四边形ABCD的面积=三角形ACE的面积=50．※课后练习1．如图，∠ACB=90°，AC=BC，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别是D，E．AD=3，BE=1，则DE的长是 2 ．2．如图，C为线段AE上的一个动点(不与点A，E重合)，在AE同侧分别作等边△ABC和等边△CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ．则下列结论：①AD=BE；②∠AOB=60°；③AP=BQ；④DE=DP．其中正确的是①②③．(填序号)3．如图，AB=AC，AB⊥AC，AD⊥AE，且∠ABD=∠ACE．求证：AD=AE．证明：∵AB⊥AC，AD⊥AE，∴∠BAC=∠DAE=90°，∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC，即∠BAD=∠CAE．在△ABD和△ACE中，∠BAD=∠CAE，AB=AC，∠ABD=∠ACE，∴△ABD≌△ACE，∴AD=AE．4．正方形ABCD中，E为BC上的一点，F为CD上的一点，∠EAF=45°，求证：BE+DF=EF．证明：延长EB使得BG=DF，连接AG，在△ABG和△ADF中，由AB＝AD，∠ABG＝∠ADF＝90°，BG＝DF，可得△ABG≌△ADF（SAS），∴∠DAF=∠BAG，AF=AG，又∵∠EAF=45°∴∠GAE=∠EAF=45°在△AEG和△AEF中，AE＝AE，∠GAE=∠EAF，AG＝AF∴△AEG≌△AEF（SAS），∴EF=GE= BG+BE即BE+DF=EF．5．如图，D是△ABC的边BC上的点，且CD=AB，∠ADB= ∠BAD，AE是△ABD的中线．求证：AC=2AE．解：延长AE到M ，使EM=AE，连结DM易证△DEM≌△BEA∴∠B=∠MDE, DM=AB又CD=AB∴DM=CD,又∠ADC=∠B+∠BAD，∠ADM=∠MDE+∠ADB，∠ADB=∠BAD∴∠ADM=∠ADC∴△ADM≌△ADC∴AC=AM=2AE6．如图，在△ABC中，∠ABC＝60°，AD，CE分别平分∠BAC，∠ACB，AD，CE交于O．(1)求∠AOC的度数；(2)求证：AC＝AE＋CD．解：(1)∵∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝180°－∠B＝120°，∠1＝∠2，∠3＝∠4，∴∠2＋∠3＝60°，∴∠AOC＝180°－60°＝120°；(2)在AC上截取AF＝AE，连接OF，∵AE＝AF，∠1＝∠2，AO＝AO，∴△AEO≌△AFO(SAS)，∴∠AOE＝∠AOF，∵∠AOC＝120°，∴∠AOE＝∠DOC＝60°，∴∠AOF＝∠COF＝60°，在△OFC和△ODC中，⎩⎨⎧∠FOC＝∠DOC＝60°，OC＝OC，∠3＝∠4，∴△OFC≌△ODC(ASA)，∴FC＝DC，∵AF＋FC＝AC，∴AC＝AE＋CD．7．Rt△ABC中，BC=AC，∠ACB=90°，D为射线AB上一点，连接CD，过点C作线段CD的垂线l，在直线l上分别在点C 的两侧截取与线段CD相等的线段CE和CF，连接AE，BF．(1)当点D在线段AB上时(点D不与点A，B重合)，如图1，线段BF，AD所在直线的位置关系为垂直，线段BF，AD的数量关系为相等．(2)当点D在线段AB的延长线上时，如图2，则(1)中的结论是否仍然成立?如果成立请证明；如果不成立，请说明理由．解：(2)成立．理由如下：∵CD⊥EF，∴∠DCF=90°，∵∠ACB=90°，∴∠DCF+∠BCD=∠ACB+∠BCD，即∠ACD=∠BCF，∵BC=AC，CD=CF，∴△ACD≌△BCF，∴AD=BF，∠BAC=∠FBC，∴∠ABF=∠ABC+∠FBC=∠ABC+∠BAC=90°，即BF⊥AD．8．如图，△ABC中，E、F分别在AB、AC上，DE⊥DF，D 是中点，求证：BE+CF＞EF．证明：延长FD至G，使得GD=DF，连接BG，EG∵在△DFC和△DGB中，DF=DG∠CDF=∠BDGDC=DB，∴△DFC≌△DGB（SAS），∴BG=CF，∵在△EDF和△EDG中DF=DG∠FDE=∠GDE=90°DE=DE∴△EDF≌△EDG（SAS），∴EF=EG在△BEG中，两边之和大于第三边，∴BG+BE＞EG又∵EF=EG，BG=CF，∴BE+CF＞EF．9．如图，过线段AB的两个端点作射线AM、BN，使AM∥BN，按下列要求画图并回答：画∠MAB、∠NBA的平分线交于E(1)求∠AEB的度数；(2)过点E作一直线交AM于D，交BN于C，求证：DE=CE；(3)无论DC的两端点在AM、BN如何移动，只要DC经过点E，①AD+BC=AB；②AD+BC=CD谁成立？并说明理由．解：（1）∵AM∥BN，∴∠MAB+∠ABN=180°，又AE，BE分别为∠MAB、∠NBA的平分线，∴∠1+∠3=（∠MAB+∠ABN）=90°，∴∠AEB=180°-∠1-∠3=90°，即∠AEB为直角；（2）过E点作辅助线EF使其平行于AM，∵AM∥BN，EF∥BC，∴EF∥AD∥BC，∴∠AEF=∠4，∠BEF=∠2，∵∠3=∠4，∠1=∠2，∴∠AEF=∠3，∠BEF=∠1，∴AF=FE=FB，∴F为AB的中点，又EF∥AD∥BC，根据平行线等分线段定理得到E为DC中点，∴ED=EC；（3）由（2）中结论可知，无论DC的两端点在AM、BN如何移动，只要DC经过点E，总满足EF为梯形ABCD中位线的条件，所以总有AD+BC=2EF=AB．所以①成立。
