线性代数期末考试试卷+答案合集-大一期末线性代数试卷
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×××大学线性代数期末考试题一、填空题(将正确答案填在题中横线上。
每小题2分,共10分)1. 若022150131=---x ,则=χ__________。
2.若齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++000321321321x x x x x x x x x λλ只有零解,则λ应满足 。
3.已知矩阵n s ij c C B A ⨯=)(,,,满足CB AC =,则A 与B 分别是 阶矩阵。
4.矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=323122211211a a a a a a A 的行向量组线性 。
5.n 阶方阵A 满足032=--E A A ,则=-1A 。
二、判断正误(正确的在括号内填“√”,错误的在括号内填“×”。
每小题2分,共10分)1. 若行列式D 中每个元素都大于零,则0〉D 。
( )2. 零向量一定可以表示成任意一组向量的线性组合。
( )3. 向量组m a a a ,,,Λ21中,如果1a 与m a 对应的分量成比例,则向量组s a a a ,,,Λ21线性相关。
( )4. ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=0100100000010010A ,则A A =-1。
( ) 5. 若λ为可逆矩阵A 的特征值,则1-A 的特征值为λ。
( )三、单项选择题 (每小题仅有一个正确答案,将正确答案题号填入括号内。
每小题2分,共10分)1. 设A 为n 阶矩阵,且2=A ,则=T A A ( )。
① n 2② 12-n③ 12+n④ 42. n 维向量组 s ααα,,,Λ21(3 ≤ s ≤ n )线性无关的充要条件是( )。
① s ααα,,,Λ21中任意两个向量都线性无关 ② s ααα,,,Λ21中存在一个向量不能用其余向量线性表示③ s ααα,,,Λ21中任一个向量都不能用其余向量线性表示 ④ s ααα,,,Λ21中不含零向量 3. 下列命题中正确的是( )。
线性代数期末考试题一、填空题(将正确答案填在题中横线上。
每小题 5 分,共 25 分)1 3 1 1.若0 5 x 0,则__________。
1 2 2x1 x2 x3 02.若齐次线性方程组x1 x2 x3 0 只有零解,则应满足。
x1x2x303.已知矩阵A,B,C (c ij )s n,满足 AC CB ,则 A 与 B 分别是阶矩阵。
4.已知矩阵A为 3 3的矩阵,且| A| 3,则| 2A|。
5.n阶方阵A满足A23A E 0 ,则A1。
二、选择题(每小题 5 分,共 25 分)6.已知二次型 f x12 x22 5x32 2tx1x2 2x1 x3 4x2 x3,当t取何值时,该二次型为正定?()A. 40 B.4 4C. 0 t4 4 1t5t D. t2 5 5 5 51 42 1 2 37.已知矩阵A 0 3 4 , B 0 x 6 ,且 A ~ B ,求x的值()0 4 3 0 0 5A.3B.-2C.5D.-58 .设 A 为 n 阶可逆矩阵,则下述说法不正确的是()A. A0B. A 1 0C.r (A) nD.A 的行向量组线性相关9 .过点( 0, 2, 4)且与两平面x 2z 1和 y 3z 2 的交线平行的直线方程为()1xy 2 z 4A.312xy 2 z 4C.31 2x y2 z 4B.32 2x y2 z 4D.322103 1 .已知矩阵 A, 其特征值为()51A. 12, 2 4 B. C.12,24D.三、解答题(每小题 10 分,共 50 分)1 12,2, 22441 1 00 2 1 3 40 2 1 30 1 1 011.设B, C 0 2 1 且 矩 阵满足关系式0 0 1 1 00 10 0 0 2T X(C B)E,求。
a1 12212. 问 a 取何值时,下列向量组线性相关?111, 2a ,3。
2 1 21 a22x 1 x 2x 3 313.为何值时,线性方程组x 1 x 2x 3 2有唯一解,无解和有无穷多解?当方x 1 x 2x 32程组有无穷多解时求其通解。
,考试作弊将带来严重后果!线性代数期末考试试卷及答案1. 考前请将密封线内填写清楚;所有答案请直接答在试卷上(或答题纸上); .考试形式:开(闭)卷;题 号 一 二 三四五总分得 分 评卷人单项选择题(每小题2分,共40分)。
.设矩阵22, B 23, C 32A ⨯⨯⨯为矩阵为矩阵为矩阵,则下列矩阵运算无意义的是【 】A . BAC B. ABC C . BCA D. CAB设n 阶方阵A 满足A 2+E =0,其中E 是n 阶单位矩阵,则必有 【 】A. 矩阵A 不是实矩阵B. A=-EC. A=ED. det(A)=1设A 为n 阶方阵,且行列式det(A)=1 ,则det(-2A)= 【 】A. 2-B. ()n2- C. n2- D. 1设A 为3阶方阵,且行列式det(A)=0,则在A 的行向量组中 【 】A.必存在一个行向量为零向量B.必存在两个行向量,其对应分量成比例C. 存在一个行向量,它是其它两个行向量的线性组合D. 任意一个行向量都是其它两个行向量的线性组合.设向量组321,,a a a 线性无关,则下列向量组中线性无关的是 【 】A .133221,,a a a a a a --- B. 212132,,a a a a - C. 32322,2,a a a a + D. 1321,,a a a a -6.向量组(I): )3(,,1≥m a a m 线性无关的充分必要条件是 【 】A.(I)中任意一个向量都不能由其余m-1个向量线性表出B.(I)中存在一个向量,它不能由其余m-1个向量线性表出C.(I)中任意两个向量线性无关D.存在不全为零的常数0,,,111≠++m m m a k a k k k 使7.设a 为n m ⨯矩阵,则n 元齐次线性方程组0=Ax 存在非零解的充分必要条件是【 】A .A 的行向量组线性相关B . A 的列向量组线性相关 C. A 的行向量组线性无关 D. A 的列向量组线性无关 8.设i a 、i b 均为非零常数(i =1,2,3),且齐次线性方程组⎩⎨⎧=++=++00332211332211x b x b x b x a x a x a的基础解系含2个解向量,则必有 【 】A.03221= b b a aB.02121≠ b b a a C. 332211b a b a b a == D. 02131= b b a a9.方程组12312312321 21 3 321x x x x x x x x x a ++=⎧⎪++=⎨⎪++=+⎩有解的充分必要的条件是 【 】A. a=-3B. a=-2C. a=3D. a=110. 设η1,η2,η3是齐次线性方程组Ax = 0的一个基础解系,则下列向量组中也为该方程组的一个基础解系的是 【 】A. 可由η1,η2,η3线性表示的向量组B. 与η1,η2,η3等秩的向量组C.η1-η2,η2-η3,η3-η1D. η1,η1-η3,η1-η2-η3 11. 已知非齐次线性方程组的系数行列式为0,则【 】A. 方程组有无穷多解B. 方程组可能无解,也可能有无穷多解C. 方程组有唯一解或无穷多解D. 方程组无解12.n 阶方阵A 相似于对角矩阵的充分必要条件是A 有n 个 【 】A.互不相同的特征值B.互不相同的特征向量C.线性无关的特征向量D.两两正交的特征向量13. 下列子集能作成向量空间R n 的子空间的是 【 】A. }0|),,,{(2121=a a a a a nB. }0|),,,{(121∑==ni in aa a aC. },,2,1,|),,,{(21n i z a a a a i n =∈D. }1|),,,{(121∑==ni in aa a a14.若2阶方阵A 相似于矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡=3- 201B ,E 为2阶单位矩阵,则方阵E –A 必相似于矩阵【 】A. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡4 10 1B. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡4- 1 0 1-C. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡4 2-0 0D. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡4- 2-0 1-15.若矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=8020001 a a A 正定,则实数a 的取值范围是 【 】 A .a < 8 B. a >4 C .a <-4 D .-4 <a <4二、填空题(每小题2分,共20分)。
《线性代数》期末试卷 (综合卷)一、填空与选择题(本题满分30分,每空3分)1. 如果矩阵1232636A x x ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭正定,则x 的取值范围是( 9x > ).2. 设3阶方阵11133112k -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭A ,若存在3阶非零方阵B ,使得=0AB ,则k =( 3- ),方阵B 的秩()R =B ( 1 ),=B ( 0 ).3. 行列式10010010a bab a b ab a b aba b++=++( 432234a a b a b ab b ++++ ).4. 已知线性方程组()12312312321232320x x x x x a x x ax x ++=⎧⎪+++=⎨⎪+-=⎩无解,则=a ( -1 ).5. 设3阶方阵A 相似于方阵B ,若A 有特征值1,1,2,-,则+=B E ( -4 ).6. 已知123,,ααα线性相关,而234,,ααα线性无关,则1234,,,αααα中 (4α )不能用另外3个向量线性表示.7. 如果123,,ξξξ是向量组A 的极大无关组,则:( A )也是向量组A 的极大无关组. (A )122331,,ξξξξξξ+++ (B )1223321,,2ξξξξξξξ++++ (C )1213321,,23ξξξξξξξ++++ (D )1323321,,32ξξξξξξξ++++ 8. 123,,,αααβ线性无关,而123,,,αααγ线性相关,则( D ).(A) 123,,,αααβγ+c 线性相关. (B) 123,,,αααβγ+c 线性无关. (C) 123,,,αααβγ+c 线性相关. (D)123,,,αααβγ+c 线性无关.二、 (本题满分10分) 已知矩阵430210001⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭A ,3阶方阵B 满足()1*--=-B E A E ,求1-B . 解:()()()()1*---=--B E B E B E A E ,()()**---=B A E E A E E ,()**-=B A E A ,()**-=B A A EA A A ,()-=B A E A A E ,又2=A ,于是()22-=B E A E ,()122-=BE A E ,从而 ()131021112102223002-⎛⎫-- ⎪⎪ ⎪=-=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭B E A E A =。
大一线性代数期末试题及答案,考试作弊将带来严重后果!线性代数期末考试试卷及答案:1、 考前请将密封线内填写清楚;、 所有答案请直接答在试卷上(或答题纸上); 考试形式:开(闭)卷;单项选择题(每小题2分,共40分)。
设矩阵22, B 23, C 32A ⨯⨯⨯为矩阵为矩阵为矩阵,则下列矩阵运算无意义的就是【 】A 、 BACB 、 ABC C 、 BCAD 、 CAB、设n 阶方阵A 满足A 2+E =0,其中E 就是n 阶单位矩阵,则必有 【 】A 、 矩阵A 不就是实矩阵B 、 A=-EC 、 A=ED 、 det(A)=1、设A 为n 阶方阵,且行列式det(A)=1 ,则det(-2A)= 【 】A 、 2-B 、 ()n2- C 、 n2- D 、 1、设A 为3阶方阵,且行列式det(A)=0,则在A 的行向量组中 【 】A 、必存在一个行向量为零向量B 、必存在两个行向量,其对应分量成比例C 、 存在一个行向量,它就是其它两个行向量的线性组合D 、 任意一个行向量都就是其它两个行向量的线性组合设向量组321,,a a a 线性无关,则下列向量组中线性无关的就是 【 】A.133221,,a a a a a a --- B 、 212132,,a a a a - C 、 32322,2,a a a a + D 、 1321,,a a a a -、向量组(I): )3(,,1≥m a a m Λ线性无关的充分必要条件就是 【 】A 、(I)中任意一个向量都不能由其余m-1个向量线性表出B 、(I)中存在一个向量,它不能由其余m-1个向量线性表出C 、(I)中任意两个向量线性无关D 、存在不全为零的常数0,,,111≠++m m m a k a k k k ΛΛ使7.设a 为n m ⨯矩阵,则n 元齐次线性方程组0=Ax 存在非零解的充分必要条件就是【 】A .A 的行向量组线性相关B 、 A 的列向量组线性相关C 、 A 的行向量组线性无关D 、 A 的列向量组线性无关 8、设i a 、i b 均为非零常数(i =1,2,3),且齐次线性方程组⎩⎨⎧=++=++00332211332211x b x b x b x a x a x a的基础解系含2个解向量,则必有 【 】 A 、03221= b b a a B 、02121≠ b b a a C 、 332211b a b ab a == D 、 02131= b b a a9、方程组12312312321 21 3 321x x x x x x x x x a ++=⎧⎪++=⎨⎪++=+⎩有解的充分必要的条件就是【 】A 、 a=-3B 、 a=-2C 、 a=3D 、 a=110、 设η1,η2,η3就是齐次线性方程组Ax = 0的一个基础解系,则下列向量组中也为该方程组的一个基础解系的就是 【 】A 、 可由η1,η2,η3线性表示的向量组B 、 与η1,η2,η3等秩的向量组C 、η1-η2,η2-η3,η3-η1D 、 η1,η1-η3,η1-η2-η3 11、 已知非齐次线性方程组的系数行列式为0,则【 】A 、 方程组有无穷多解B 、 方程组可能无解,也可能有无穷多解C 、 方程组有唯一解或无穷多解D 、 方程组无解12、n 阶方阵A 相似于对角矩阵的充分必要条件就是A 有n 个 【 】A 、互不相同的特征值B 、互不相同的特征向量C 、线性无关的特征向量D 、两两正交的特征向量13、 下列子集能作成向量空间R n 的子空间的就是 【 】A 、 }0|),,,{(2121=a a a a a n ΛB 、 }0|),,,{(121∑==ni in aa a a ΛC 、 },,2,1,|),,,{(21n i z a a a a i n ΛΛ=∈D 、 }1|),,,{(121∑==n i inaa a a Λ14、若2阶方阵A 相似于矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡=3- 201B ,E 为2阶单位矩阵,则方阵E –A 必相似于矩阵【 】A 、 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡4 10 1 B 、 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡4- 1 0 1- C 、 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡4 2-0 0 D 、 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡4- 2-0 1- 15、若矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=8020001 a a A 正定,则实数a 的取值范围就是 【 】 A.a < 8 B 、 a >4 C.a <-4 D.-4 <a <4 二、填空题(每小题2分,共20分)。
线性代数期末考试试卷合集(共十一套)目录线性代数期末试卷及参考答案(第一套) .............................................................................. 1 线性代数期末试卷及参考答案(第二套) .............................................................................. 9 南京工程学院期末试卷(第一套) ........................................................................................ 17 南京工程学院期末试卷(第二套) ........................................................................................ 24 南京工程学院期末试卷(第三套) ........................................................................................ 30 线性代数 期末试卷(A 卷) .................................................................................................. 36 线性代数 期末试卷(B 卷) .................................................................................................. 41 线性代数 期末试卷(C 卷) .................................................................................................. 46 线性代数 期末试卷(D 卷) .................................................................................................. 51 线性代数 期末试卷(E 卷) .................................................................................................. 57 线性代数 期末试卷(F 卷) (62)线性代数期末试卷及参考答案(第一套)一、单项选择题(本大题共5小题,每小题3分,共15分)1、设矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=3223A 满足B AB =,则矩阵=B ( )(A ) ⎪⎪⎭⎫⎝⎛21k k ; (B )⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛11; (C ) ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--2121k k k k ; (D ) ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-2111k k .(21k k ,为任意常数) 2、设n 阶方阵A ,B 满足E AB =,则下列一定成立的是 ( ) (A )E B A == ; (B )E B A =+ ; (C )1=A 或1=B ; (D )1=⋅B A .3、设矩阵,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=001010100A 则 =-++)()(E A R E A R ( )(A ) 2; (B ) 3; (C ) 4; (D ) 5 .4、设向量组A :r a a a,,,21可由向量组B :s b b b ,,,21线性表示,则正确的是 ( )(A )当s r >时,向量组A 必线性相关; (B ) 当s r <时,向量组A 必线性相关; (C )当s r >时,向量组B 必线性相关; (D ) 当s r <时,向量组B 必线性相关.5、设A 为n m ⨯的矩阵,0=x A 是非齐次线性方程组b x A =所对应的齐次线性方程组,则下列结论正确的是( )(A ) 若0=x A 仅有零解,则b x A =有唯一解;(B ) 若b x A =有无穷多解,则0=x A 有非零解;(C ) 若n m =,则b x A=有唯一解;(D ) 若A 的秩m A R <)(,则b x A=有无穷多解.二、填空题(本大题共5小题,每小题3分,共15分)1、设方阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=010002cb a A ,当c b a ,,满足 时,A 为可逆方阵.2、若可逆方阵A 的有一个特征值3,则13-)(A 必有一个特征值为 .3、设A 为54⨯的矩阵,且秩2=)(A R ,则齐次方程组0=x A 的基础解系所含向量个数是 .4、若三阶行列式222023z y x =1,则行列式1117110111------z y x = . 5、设向量组⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛13232121,,x 线性相关,则常数x= .三、计算题(本题共6小题,共50分)1、(6分)设矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=b a a A 140132121的秩2=)(A R , 求常数b a ,及一个最高阶非零子式.2、(8分)求矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=314020112A 的特征值和特征向量. 3、(8分)设3阶方阵A 与B 满足BA A BA A 22+=*, 其中,⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=400030001A 求B .4、(10分)设向量组A :.,,,⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=77103 1301 3192 01414321αααα 求: (1) 向量组A 的秩; (2) 向量组A 的一个最大线性无关组; (3) 将此最大无关组之外的其它向量用最大无关组线性表示.5、(8分)计算行列式aa a a D ++++=4321432143214321,其中0≠a .6、(10分)设线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=--=--532403321321321x x x b ax x x x x x , 问:当参数b a ,取何值时,(1)此方程组有唯一解? (2)此方程组无解? (3)此方程组有无穷多解? 并求出通解.四、判断题(本大题共5小题,每小题2分,共10分) 1、设矩阵B A ,为3阶方阵,且42==B A ,,则121=-AB.( )2、由3维向量构成的向量组4321a a a a,,,中必有一个可由其余向量线性表示. ( ) 3、对任意n 阶方阵C B A ,,,若AC AB =,且O A ≠,则一定有C B =.( )4、设向量21ηη ,是线性方程组b x A =的解,则212ηη -也是此方程组的一个解.( ) 5、正交向量组321a a a ,,线性无关.( )五、证明题(本题共2小题,每小题5分,共10分) 1、设n 阶对称矩阵A 满足关系式O E A A =++862,证明:(1)E A 3+是可逆矩阵,并写出逆矩阵; (2) E A 3+是正交矩阵.2、若3210a a a a,,,是n 元非齐次线性方程组b x A =的线性无关解,且,)(3-=n A R证明:030201a a a a a a---,,是其对应的齐次线性方程组0 =x A 的基础解系.参考答案一、选择题(本题5小题, 每小题3分, 共15分)1. C ;2. D ;3. B ;4. A ;5. B .二、填空题(本题5小题, 每小题3分, 共15分)1. c ab 2≠;2.91; 3. 3; 4. 23- ; 5. 5. 三、计算题(本题6小题, 共50分)1. 解: A →⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------210022170121b a a a (2分), 由R (A ) = 2知,⎩⎨⎧=-=--0201b a , ⎩⎨⎧=-=∴21b a ,一个最高阶非零子式3221-. 2.解: 由λλλλ-----=-314020112E A (),)(0212=-+-=λλ 得A 的特征值为.,21321==-=λλλ当11-=λ时, 解 ().0=+x E A,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-−→−⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=+000010101414030111r E A得基础解系:,⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1011p 对应11-=λ的全部特征向量为)(0111≠k p k当232==λλ时, 解().02=-x E A,⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--−→−⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=-000000414111140001142r E A 得基础解系:,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=401 2p ,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=041 3p对应232==λλ的特征向量为)0,(323322不全为k k p k p k+ 3. 解: B= 2(|A |E -2A ) -1 A |A |=12(|A |E -2A ) -1 =⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛4100061000101, B=2⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛410061000101⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛400030001 =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛20001000514. 解: ),,,(4321αααα=A=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------71307311100943121→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--0000110024103121 → ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-0000110020102001 所以,秩3=A R , (1分)一个最大线性无关组为,,,321ααα(2分)且321422αααα++-=5. 解:aa a a D ++++=43214321432143214321c c c c +++aa a a a a a +++++++432104321043210432101r r i -aa a a 00000000043210+=)(103+a a 6. 解: 增广矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----==5312410131b ab A B ),( →⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+---120011100131b a(1) 当12-≠=b a ,时, 32=<=)()(B R A R ,此时方程组无解. (2) 当b a ,2≠取任意数时, 3==)()(B R A R ,此时方程组有唯一解. (3) 当12-==b a ,时, 32<==)()(B R A R ,此时方程组有无穷多解.B →⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--000011100131 →⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000011103201即⎩⎨⎧+-=+-=1323231x x x x 原方程组的通解为)(R c c ∈⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--013112.四、判断题(本题5小题, 每小题2分, 共10分)1. ×;2. √;3. ×;4. √;5. √.五、证明题(本题2小题, 每小题5分, 共10分)1.证明: (1)由O E A A =++862得E E A A =++962,即E E A E A =++))((33 所以E A 3+可逆,且E A E A 331+=+-)(.(2)由A 为n 阶对称矩阵知,E A E A E A TT T 333+=+=+)()(,故()()()E E A E A E A E A T=++=++333)3(,所以E A 3+是正交矩阵.2. 证明: 3210a a a a,,,是n 元非齐次线性方程组b x A =的解,030201a a a a a a---∴,,是对应齐次方程组0 =x A 的解;又,)(3-=n A R 所以0 =x A 的基础解系中含向量个数为3)(=-A R n 个; 下证 030201a a a a a a---,,线性无关即可.设0033022011 =-+-+-)()()(a a k a a k a a k 即00321332211=++-++a k k k a k a k a k )(又 3210a a a a ,,,线性无关, 故⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++-===0000321321)(k k k k k k 有唯一解0321===k k k所以030201a a a a a a---,, 线性无关,从而030201a a a a a a---,,是其对应的齐次方程组0 =x A 的基础解系线性代数期末试卷及参考答案(第二套)一、填空题(本大题共7小题,每小题3分,共21分)1、设向量⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=123,321βα ,则当k = 时,.正交与βαα +k2、设方阵A 满足关系式O A A =+322,则1)(-+E A = .3、若三阶行列式930021-=x xxx ,则 =x . 4、设矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=0211A ,多项式x x x f 2)(2+=,则=)(A f . 5、设向量组⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-13,032,101λ线性相关,则常数λ= .6、n 元非齐次线性方程组b x A=有无穷多解的充要条件是 .7、设矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=2135212b a A 的对应特征值λ的一个特征向量为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-111,则 ._______________,______,===b a λ二、单项选择题(本大题共5小题,每小题3分,共15分)1、设A ,B 是任意n 阶方阵(2≥n ),则下列各式正确的是 ( )(A ) B A B A +=+; (B ) 22B A B A B A -=-⋅+; (C ) B A B A ⋅=; (D ) A B AB T⋅= .2、下列4个条件中,①A 可逆 ; ②A 为列满秩(即A 的秩等于A 的列数); ③A 的列向量组线性无关; ④ O A ≠ ;可使推理“ 若O AB =, 则O B = ”成立的条件个数是 ( )(A ) 1个 ; (B ) 2个; (C ) 3个; (D ) 4个.3、向量组s ααα,,,21)2(≥s 线性无关,且可由向量组s βββ ,,,21线性表示, 则下列结论中不成立的是( )(A ) 向量组s βββ,,,21线性无关;(B ) 对任一个j α )1(s j ≤≤,向量组s j βββα,,,,21线性相关;(C ) 存在一个j α )1(s j ≤≤,向量组s j βββα,,,,21线性无关;(D ) 向量组s ααα,,,21与向量组s βββ ,,,21等价. 4、设A ,B 均为3阶方阵, 3)(=A R ,2)(=B R , 则=)(AB R( )(A ) 1; (B ) 2; (C ) 3; (D ) 6 .5、设A 为n m ⨯的矩阵,r A R =)(,则非齐次线性方程组b x A=( )(A ) 当n r = 时有唯一解; (B ) 当n m r == 时有唯一解;(C ) 当n m = 时有唯一解; (D ) 当n r < 时有无穷多解. 三、计算题(本题共6小题,共54分)1、(7分)设矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=61011152121λλA 的秩2)(=A R , 求常数λ及一个最高阶非零子式.2、(9分)求矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=320230001A 的全部特征值和特征向量.3、(8分)设3阶方阵C B A ,,满足方程 A B A C =-)2(,试求矩阵A ,其中 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=100010301B , ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=300020001C .4、(10分)设向量组A :.6721 ,11313 ,5652 ,21214321⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=αααα 求: (1) 向量组A 的秩; (2) 向量组A 的一个最大线性无关组; (3) 将此最大无关组之外的其它向量用最大无关组线性表示.5、(8分)计算行列式cc b b a a x x x x D ---=000000, 其中x c b a ,,,全不为0.6、(12分)设线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++bx x x x a x x x x x 3213213214231202, 问:当参数b a ,取何值时,(1)此方程组有唯一解? (2)此方程组无解? (3)此方程组有无穷多解? 并求出通解.四、证明题(本题共2小题,每小题5分,共10分)1、若向量321,,ααα线性无关, 求证 2132αα +,324αα +,135αα + 也线性无关.2、设矩阵T E A ηη -=, 其中E 是3阶单位矩阵,⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=321x x x η 是单位向量,证明:(1) A A =2; (2) A 不可逆.参考答案一、填空题(本题7小题, 每小题3分, 共21分)1. 75-; 2. E A +2; 3. 3±; 4. ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--2631 ; 5. 6 ; 6. n b A R A R <=),()(; 7. -1 ,-3 ,0 .二、选择题(本题5小题, 每小题3分, 共15分)1. D ;2. C ;3. C ;4. B ;5. B .三、计算题(本题6小题, 共54分)1. 解: A →⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--+---3390022110121λλλλλ(3分), 由R (A ) = 2知,⎩⎨⎧=-=-03039λλ,3=∴λ (2分), 一个最高阶非零子式5221 .2.解: 由λλλλ---=-32230001E A (),01)5(2=--=λλ得A 的特征值为.1,5321===λλλ当51=λ时, 解 ().05=-x E A,0001100012202200045⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-−→−⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=-r E A得基础解系:,1101⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=p 对应51=λ的全部特征向量为)(0111≠k p k当132==λλ时, 解().0=-x E A,000000110220220000⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛−→−⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-r E A 得基础解系:,001 2⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=p ,110 3⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=p对应132==λλ的特征向量为)0,(323322不全为k k p k p k+.3. 解: CB A E C =-)2( ;⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-5000300012E C ; ⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=--51000310001)2(1E C ; ⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⋅-=-5300032030110001030130002000151000310001)2(1CB E C A . 4. 解: ),,,(4321αααα =A →⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---00210045101321 → ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--000021********001 (初等变换步骤不一,请酌情给分)所以,秩3=A R , (1分) 一个最大线性无关组为,,,321ααα(2分)且32142617αααα--=5. 解:)1,2,3(1=++i c c i i Dcb a xx x x---0000000234=xabc 4- .6. 解: 增广矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛==b a b A B 4231120211),( →⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----120014100211b a a , (1) 当b a ,2≠取任意数时, 3)()(==B R A R , 此时方程组有唯一解; (2). 当1,2≠=b a 时, 3)(2)(=<=B R A R ,此时方程组无解;(3) 当1,2==b a 时, 32)()(<==B R A R ,此时方程组有无穷多解.B →⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-000012100211 →⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-000012101001 即⎩⎨⎧--==121321x x x原方程组的通解为)(011120R c c ∈⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-.四、证明题(本题2小题, 每小题5分, 共10分)1.证明: 由题意 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=+++540013102),,()5,4,32(321133221ααααααααα , 记 AK B = .K K ∴≠=,022 可逆, 又321,,ααα线性无关,所以)5,4,32(133221αααααα +++R 3),,(321==αααR , 即 2132αα +,324αα +,135αα+ 也线性无关.2. 证明: (1) η为单位向量,1=∴ηηT ,A E E E E A T T T T T T T =-=+--=--=∴ηηηηηηηηηηηηηη)())((2.(2) 由(1)知,A A =2, 即 O E A A =-)(,3)()(≤-+∴E A R A R ,η为单位向量,O E A T ≠-=-∴ηη , 1)(≥-E A R ,从而32)(<≤A R , 所以0=A , 故A 不可逆.另一证法: 0)(=-=-=-=ηηηηηηηηηηT T E A ,的非零解,为线性方程组0=∴ηηA所以0=A , 故A 不可逆.南京工程学院期末试卷(第一套)共6 页第1页课程所属部门:基础部课程名称:线性代数A 考试方式:闭卷(A卷)使用班级:工科本科南京工程学院试卷共 6 页第 4 页南京工程学院期末试卷(第二套)共6 页第1页课程所属部门:基础部课程名称:线性代数A 考试方式:闭卷(A卷)使用班级:工科本科南京工程学院期末试卷(第三套)共6 页第1页课程所属部门:数理部课程名称:线性代数A 考试方式:闭卷(A卷)使用班级:工科本科线性代数 期末试卷(A 卷)一、(本大题共8小题,每题3分,共24分)1. 设B A ,均为n 阶方阵,则下面各式正确的是----------------------------------( C ) (A)TTTB A AB =)( (B) 222)(B A AB = (C) || ||AB BA = (D)AB BA = 2. 下列命题正确的是--------------------------------------------------------------------( C ) (A) 若02=A ,则0=A (B) 若A A =2,则0=A 或E A = (C) 若E A =,则E A n = (D) 若E A =2,则E A ±=3. 若行列式的所有元素都变号,则--------------------------------------------------( D ) (A) 行列式一定变号 (B) 行列式一定不变号 (C) 偶阶行列式变号 (D) 奇阶行列式变号4. 设k c c c b b b a a a =321321321,则112311231123232323a a a a b b b b c c c c ++=+-------------------------------( B ) (A) k 6 (B) k 3 (C) k 2 (D) k5. 若某线性方程组的系数行列式为零,则该方程组------------------------------( D ) (A) 有唯一解 (B) 有非零解 (C) 无解 (D) 有非零解或无解6.已知TT T t ),3,1(,)3,2,1(,)1,1,1(321===ααα线性相关的,则t =-----( B )(A) 4 (B) 5 (C) 6 (D) 77. 设方阵A 相似于(1,1,1)diag -,则10A =---------------------------------------- ( A )(A) E (B) 10E (C) E - (D) 10E - 8. 设A 为n 阶方阵,则下列说法中正确的是--------------------------------------( B ) (A) 若A 可对角化,则A 为实对称阵 (B) 若A 为实对称阵,则A 可对角化 (C) 若A 可对角化,则A 必可逆 (D) 若A 可逆,则A 可对角化二、填空题(本大题共4小题,每题4分,共16分)1.设2110A ⎛⎫=⎪-⎝⎭,则*A =0112-⎛⎫ ⎪⎝⎭,1A-=0112-⎛⎫ ⎪⎝⎭。
线性代数期末考试题及答案一、选择题(每题4分,共20分)1. 设矩阵A为3阶方阵,且|A|=2,则矩阵A的逆矩阵的行列式为:A. 1/2B. 1/4C. 2D. 4答案:B2. 向量α=(1,2,3)和向量β=(4,5,6),则向量α和向量β的点积为:A. 32B. 22C. 14D. 0答案:A3. 设A为3×3矩阵,且A的秩为2,则A的行向量线性相关,下列说法正确的是:A. 正确B. 错误答案:A4. 若A为n阶方阵,且A^2=0,则A的秩为:A. nB. n-1C. 0D. 不确定答案:C5. 设A为3阶方阵,且A的特征值为1,2,3,则矩阵A的迹为:A. 6B. 1C. 2D. 3答案:A二、填空题(每题5分,共30分)1. 设矩阵A=\[\begin{bmatrix}1 & 2 \\ 3 & 4\end{bmatrix}\],则矩阵A的转置为\[\begin{bmatrix}1 & 3 \\ 2 & 4\end{bmatrix}\]。
答案:\[\begin{bmatrix}1 & 3 \\ 2 & 4\end{bmatrix}\]2. 设向量α=(2,3),向量β=(4,6),则向量α和向量β共线,其比例系数为2。
答案:23. 若矩阵A=\[\begin{bmatrix}1 & 1 \\ 2 & 2\end{bmatrix}\],则矩阵A的行列式为2。
答案:24. 设矩阵B=\[\begin{bmatrix}0 & 1 \\ -1 & 0\end{bmatrix}\],则矩阵B的逆矩阵为\[\begin{bmatrix}0 & -1 \\ 1 &0\end{bmatrix}\]。
答案:\[\begin{bmatrix}0 & -1 \\ 1 & 0\end{bmatrix}\]5. 设矩阵C=\[\begin{bmatrix}1 & 0 \\ 0 & 2\end{bmatrix}\],则矩阵C的特征值为1和2。
《线性代数》期末考试卷(2020—2021学年第一学期)一、 单项选择题(每题3分,共18分)1.设A 、B 为n 阶方阵,当( )时,22()()A B A B A B +-=-不成立。
A . A E = B. ,AB 为任意矩阵C . AB BA =D .A B = 2.下列命题正确的是 ( )。
A .如果有全为零的数12,,,n k k k 使得11220n n k k k ααα+++=,则12,,,n ααα线性无关 B. 向量组12,,,n ααα,若其中有一个向量可由该向量组线性表示,则12,,,n ααα线性相关C .向量组12,,,n ααα的一个部分组线性相关,则原向量组线性相关D .向量组12,,,n ααα线性相关,则每一个向量都可由其余向量线性表示3.若方程13213602214x x xx -+-=---,则x =( )。
A. 2-或3B.3-或2C.2-或3-D.2或3 4.设A 是n 阶可逆矩阵,则()**A =( )。
A.n A EB. AC. nA A D. 2n AA -5.设A 为m n ⨯矩阵,则n 元齐次方程组0Ax =有非零解的充分必要条件是( )。
A. A 的行向量组线性相关 B. A 的列向量组线性相关 C. A 的行向量组线性无关 D. A 的列向量组线性无关6.下列( )是初等矩阵。
A.100002⎛⎫ ⎪⎝⎭B. 100010011⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭C. 011101001-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭D. 010002100⎛⎫⎪- ⎪ ⎪⎝⎭二、 填空题(每题3分,共24分)1. 排列975824361的逆序数为__________。
2. 行列式222111ab c a b c =__________。
3. 设()33ijA a ⨯=,且2A =-,则22112112221323212122222323()()a A a A a A a A a A a A ++++++ 2312132223323()a A a A a A ++=__________。
×××大学线性代数期末考试题一、填空题(将正确答案填在题中横线上。
每小题2分,共10分)1.若022150131=---x ,则=χ__________。
2.若齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++000321321321x x x x x x x x x λλ只有零解,则λ应满足。
3.已知矩阵n s ij c C B A ⨯=)(,,,满足CB AC =,则A 与B 分别是阶矩阵。
4.矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=323122211211a a a a a a A 的行向量组线性。
5.n 阶方阵A 满足032=--E A A ,则=-1A。
二、判断正误(正确的在括号内填“√”,错误的在括号内填“×”。
每小题2分,共10分)1.若行列式D 中每个元素都大于零,则0〉D 。
()2.零向量一定可以表示成任意一组向量的线性组合。
()3.向量组m a a a ,,, 21中,如果1a 与m a 对应的分量成比例,则向量组s a a a ,,, 21线性相关。
()4.⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=0100100000010010A ,则A A =-1。
() 5.若λ为可逆矩阵A 的特征值,则1-A 的特征值为λ。
()三、单项选择题(每小题仅有一个正确答案,将正确答案题号填入括号内。
每小题2分,共10分)1.设A 为n 阶矩阵,且2=A ,则=T A A ()。
①n2②12-n③12+n ④42.n 维向量组s ααα,,, 21(3?s ?n )线性无关的充要条件是()。
①s ααα,,, 21中任意两个向量都线性无关 ②s ααα,,, 21中存在一个向量不能用其余向量线性表示③s ααα,,, 21中任一个向量都不能用其余向量线性表示 ④s ααα,,, 21中不含零向量 3.下列命题中正确的是()。
①任意n 个1+n 维向量线性相关 ②任意n 个1+n 维向量线性无关 ③任意1+n 个n 维向量线性相关 ④任意1+n 个n 维向量线性无关4.设A ,B 均为n 阶方阵,下面结论正确的是()。
×××大学线性代数期末考试题一、填空题(将正确答案填在题中横线上。
每小题2分,共10分)1. 若022150131=---x ,则=χ__________。
2.若齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++000321321321x x x x x x x x x λλ只有零解,则λ应满足 。
3.已知矩阵n s ij c C B A ⨯=)(,,,满足CB AC =,则A 与B 分别是 阶矩阵。
4.矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=323122211211a a a a a a A 的行向量组线性 。
5.n 阶方阵A 满足032=--E A A ,则=-1A 。
二、判断正误(正确的在括号内填“√”,错误的在括号内填“×”。
每小题2分,共10分)1. 若行列式D 中每个元素都大于零,则0〉D 。
( )2. 零向量一定可以表示成任意一组向量的线性组合。
( )3. 向量组m a a a ,,, 21中,如果1a 与m a 对应的分量成比例,则向量组s a a a ,,, 21线性相关。
( )4. ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=010*********0010A ,则A A =-1。
( ) 5. 若λ为可逆矩阵A 的特征值,则1-A 的特征值为λ。
( )三、单项选择题 (每小题仅有一个正确答案,将正确答案题号填入括号内。
每小题2分,共10分)1. 设A 为n 阶矩阵,且2=A ,则=T A A ( )。
① n2② 12-n③ 12+n ④ 42. n 维向量组 s ααα,,, 21(3 ≤ s ≤ n )线性无关的充要条件是( )。
① s ααα,,, 21中任意两个向量都线性无关 ② s ααα,,, 21中存在一个向量不能用其余向量线性表示 ③ s ααα,,, 21中任一个向量都不能用其余向量线性表示④ s ααα,,, 21中不含零向量 3. 下列命题中正确的是( )。
用心用情 服务社会1广东工业大学考试试卷 ( A )课程名称: 线性代数 试卷满分 100 分考试时间: 2009 年 6 月 9 日 (第 17 周 星期 二 ) 题 号 一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 总分 评卷得分评卷签名 复核得分 复核签名一、 填空题 (每小题4分,共20分)1. 已知三阶行列式D 中第一行的元素依次为a 、2 、 1,它们的余子式分别是-2、-5、4,且D =10,则a = 。
2. 5,A A A *=-=设为三阶方阵,若则 。
3. 若n 阶矩阵A 满足O E A A =--422,则 ()1-+E A = 。
4.02030x ky z y z kx y z +-=⎧⎪+=⎨⎪--=⎩如果齐次线性方程组 有非零解,则k= 。
5.设33500012,025A B ⨯⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭的列向量组线性无关,则R(AB)= 。
二、选择题(每小题4分,共16分)1.A 为n m ⨯矩阵,0=AX 仅有零解的充分必要条件是( )(A)A 的列向量组线性无关 (B)A 的列向量组线性相关 (C)A 的行向量组线性无关 (D)A 的行向量组线性相关 2.设A ,B ,C 均为n 阶方阵,E 为n 阶单位矩阵,且E ABC =,则下列等式总成立的有( )(A) E ACB = (B) E CBA = (C) E BAC = (D) E BCA =用心用情 服务社会2 3. 如果1333231232221131211=a a a a a a a a a ,则=---333231312322212113121111324324324a a a a a a a a a a a a ( ) (A)8 (B)-12 (C)24 (D )-244. 下列哪一个不是n 阶方阵为非奇异矩阵的充要条件( )(A) A 的行秩为n (B)A 的每个行向量都是非零向量 (C) n A r =)( (D) 线性方程0=Ax 只有零解三、(10分)四、解矩阵方程 B AX X +=2,其中⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=101121011A , ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=202031B .(12分)五、求非齐次线性方程组的一个解及对应的齐次方程组的基础解系。
×××大学线性代数期末考试题一、填空题(将正确答案填在题中横线上。
每小题2分,共10分)1. 若022150131=---x ,则=χ__________。
2.若齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++000321321321x x x x x x x x x λλ只有零解,则λ应满足 。
3.已知矩阵n s ij c C B A ⨯=)(,,,满足CB AC =,则A 与B 分别是 阶矩阵。
4.矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=323122211211a a a a a a A 的行向量组线性 。
5.n 阶方阵A 满足032=--E A A ,则=-1A 。
二、判断正误(正确的在括号填“√”,错误的在括号填“×”。
每小题2分,共10分)1. 若行列式D 中每个元素都大于零,则0〉D 。
( )2. 零向量一定可以表示成任意一组向量的线性组合。
( )3. 向量组m a a a ,,, 21中,如果1a 与m a 对应的分量成比例,则向量组s a a a ,,, 21线性相关。
( )4. ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=010*********0010A ,则A A =-1。
( ) 5. 若λ为可逆矩阵A 的特征值,则1-A 的特征值为λ。
( )三、单项选择题 (每小题仅有一个正确答案,将正确答案题号填入括号。
每小题2分,共10分)1. 设A 为n 阶矩阵,且2=A ,则=T A A ( )。
① n2② 12-n③ 12+n ④ 42. n 维向量组 s ααα,,, 21(3 ≤ s ≤ n )线性无关的充要条件是( )。
① s ααα,,, 21中任意两个向量都线性无关 ② s ααα,,, 21中存在一个向量不能用其余向量线性表示 ③ s ααα,,, 21中任一个向量都不能用其余向量线性表示④ s ααα,,, 21中不含零向量 3. 下列命题中正确的是( )。
① 任意n 个1+n 维向量线性相关 ② 任意n 个1+n 维向量线性无关 ③ 任意1+n 个n 维向量线性相关 ④ 任意1+n 个n 维向量线性无关4. 设A ,B 均为n 阶方阵,下面结论正确的是( )。
① 若A ,B 均可逆,则B A +可逆 ② 若A ,B 均可逆,则 A B 可逆 ③ 若B A +可逆,则 B A -可逆④ 若B A +可逆,则 A ,B 均可逆5. 若4321νννν,,,是线性方程组0=X A 的基础解系,则4321νννν+++是0=X A 的( )① 解向量② 基础解系③ 通解 ④ A 的行向量四、计算题 ( 每小题9分,共63分)1. 计算行列式x ab c d a x b c d a b x c d abcx d++++。
解·3)(000000001)(1111)(x d c b a x xx x dc bd c b a x d x cb dc x bd c b x dc bd c b a x d x cbd c b a x d c x b d c b a x d c b x d c b a x d c b d c b a x d x cbad c x b ad c b x a d c b a x ++++=++++=+++++++=+++++++++++++++++++=++++2. 设B A AB 2+=,且A ,410011103⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛= 求B 。
解.A B E A =-)2( ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----=--111122112)2(1E A ,⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----=-=-322234225)2(1A E A B3. 设,1000110001100011⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=B ⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=2000120031204312C 且矩阵X 满足关系式'(),X C B E -= 求X 。
4. 问a 取何值时,下列向量组线性相关?123112211,,221122a a a ααα⎛⎫⎛⎫-⎛⎫ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪=-==- ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭ ⎪⎝⎭⎝⎭。
5. λ为何值时,线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧-=++-=++-=++223321321321x x x x x x x x x λλλλ有唯一解,无解和有无穷多解?当方程组有无穷多解时求其通解。
① 当1≠λ且2-≠λ时,方程组有唯一解; ②当2-=λ时方程组无解③当1=λ时,有无穷多组解,通解为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=X 10101100221c c6. 设.77103 ,1301 ,3192 ,01414321⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=αααα 求此向量组的秩和一个极大无关组,并将其余向量用该极大无关组线性表示。
7. 设100010021A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,求A 的特征值及对应的特征向量。
五、证明题 (7分)若A 是n 阶方阵,且,I AA =T,1-=A 证明 0=+I A 。
其中I 为单位矩阵。
×××大学线性代数期末考试题答案一、填空题 1. 5 2. 1≠λ3. n n s s ⨯⨯,4. 相关5. E A 3- 二、判断正误 1. × 2. √3. √4. √5. ×三、单项选择题 1. ③ 2. ③3. ③4. ②5. ①四、计算题 1.3)(000000001)(1111)(x d c b a x xx x dc bd c b a x d x cb dc x bd c b x dc bd c b a x d x cbd c b a x d c x b d c b a x d c b x d c b a x d c b d c b a x d x cbad c x b a d c b x a d c b a x ++++=++++=+++++++=+++++++++++++++++++=++++ 2.A B E A =-)2( ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----=--111122112)2(1E A ,⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----=-=-322234225)2(1A E A B3.()[]()[]⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---=-=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---=-⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=-⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=---12101210012000112100121001200011234012300120001)(10002100321043211'1''B C E X B C B C B C ,,4.)22()12(812121212121212321-+=------=a a aa aa a a ,,当21-=a 或1=a 时,向量组321a a a ,,线性相关。
5.① 当1≠λ且2-≠λ时,方程组有唯一解; ②当2-=λ时方程组无解③当1=λ时,有无穷多组解,通解为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=X 10101100221c c 6.⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡------→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--------→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡------=0000110020102001131300161600241031217130104302410312171307311100943121)(4321a a a a ,,,则 ()34321=a a a a r ,,,,其中321a a a ,,构成极大无关组,321422a a a a ++-= 7.0)1(1210013=-=----=-λλλλλA E特征值1321===λλλ,对于λ1=1,⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=-020*******A E λ,特征向量为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100001l k 五、证明题()()'+-='+-='+='+=+A I A I A I A A A A I A∴()02=+A I , ∵()0=+A I一、选择题(本题共4小题,每小题4分,满分16分。
每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求)1、设A ,B 为n 阶方阵,满足等式0=AB ,则必有( )(A)0=A 或0=B ; (B)0=+B A ; (C )0=A 或0=B ; (D)0=+B A 。
2、A 和B 均为n 阶矩阵,且222()2A B A AB B +=++,则必有( ) (A) A E =; (B)B E =; (C ) A B =. (D) AB BA =。
3、设A 为n m ⨯矩阵,齐次方程组0=Ax 仅有零解的充要条件是( ) (A) A 的列向量线性无关; (B) A 的列向量线性相关; (C ) A 的行向量线性无关; (D) A 的行向量线性相关. 4、 n 阶矩阵A 为奇异矩阵的充要条件是( ) (A) A 的秩小于n ; (B) 0A ≠;(C) A 的特征值都等于零; (D) A 的特征值都不等于零; 二、填空题(本题共4小题,每题4分,满分16分)5、若4阶矩阵A 的行列式5A =-,A *是A 的伴随矩阵,则*A = 。
6、A 为n n ⨯阶矩阵,且220A A E --=,则1(2)A E -+= 。
7、已知方程组⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+43121232121321x x x a a 无解,则a = 。
8、二次型2221231231213(,,)2322f x x x x x tx x x x x =++++是正定的,则t 的取值围是 。
三、计算题(本题共2小题,每题8分,满分16分)9、计算行列式1111111111111111xx D y y+-=+-10、计算n 阶行列式121212333nn n n x x x x x x D x x x ++=+四、证明题(本题共2小题,每小题8分,满分16分。
写出证明过程) 11、若向量组123,,ααα线性相关,向量组234,,ααα线性无关。
证明: (1) 1α能有23,αα线性表出; (2) 4α不能由123,,ααα线性表出。
12、设A 是n 阶矩方阵,E 是n 阶单位矩阵,E A +可逆,且1()()()f A E A E A -=-+。
证明(1) (())()2E f A E A E ++=; (2) (())f f A A =。
五、解答题(本题共3小题,每小题12分,满分32分。