行列式经典例题及计算方法

行列式的几种常见计算技巧和方法2.1定义法适用于任何类型行列式的计算，但当阶数较多、数字较大时，计算量大，有一定的局限性.0 0 0 1 例1计算行列式0 0 2 0 0 3 0 04 0 0 0解析：这是一个四级行列式，在展开式中应该有 4!二24项，但由于出现很多的零，所以不等于零的项数就大大减少•具体的说，展开 式中的项的一般形式是a 1jl a 2j2 a 3j3a 4j4 .显然，如果人=4，那么a^二0， 从而这个项就等于零•因此只须考虑的项，同理只须考虑j 2 =3,j 3 =2, j 4 =1的这些项，这就是说，行列式中不为零的项只有 a 14a 23a 32a 41，而.4321 =6，所以此项取正号•故2.2利用行列式的性质即把已知行列式通过行列式的性质化为上三角形或下三角形 •该方法适用于低阶行列式.2.2.1 化三角形法上、下三角形行列式的形式及其值分别如下：0 0 0 0 0 34 00 2 0 0 1 0 0 0=(—1 )耳4321 »14&23&32玄41 二 24.解析：观察行列式的特点，主对角线下方的元素与第一行元素对 应相同，故用第一行的：［-1倍加到下面各行便可使主对角线下方的元 素全部变为零•即：化为上三角形.可得2.2.2连加法这类行列式的特征是行列式某行（或列）加上其余各行（或列） 后，使该行（或列）元素均相等或出现较多零，从而简化行列式的计 算•这类计算行列式的方法称为连加法.1 ai a2 … a n0 bi 0 0 0Dn4i =I-a + a0 0 0 … b n=b i b2…b n .aii0 0a i2a22a i3 a 23 a33a in a 2n a3n-a ii a 22…ann,anna i1 a 21 a31a 22 a32a33—a a 丄・n aa 11a22 ann ・anian2an3ann例2计算行列式Da ia 1 -b 1 a 2 a 2a n a n a 2a n -b n解：将该行列式第一行的-1倍分别加到第2,3,（n ，1）行上去,-m2.2.3滚动消去法当行列式每两行的值比较接近时，可采用让邻行中的某一行减或 者加上另一行的若干倍， 这种方法叫滚动消去法.12 3 … n T n2 1 2 ■ ■ ■■n -2 n T例4计算行列式D n =3 9' 2 a 1 … a + n -3 n - 2 1 -(n >2).nn Tn _2…2 1解：从最后一行开始每行减去上一行，有解:计算行列式D nI iz! nX i 迟X iX i X iX 2X 2 -mn送 X j —mX 2id ：1 X 2X 2X 2 _ im X 2X n X naX n _x 2「maX 2X n X n 1 X 2■'n"0 - mZ X j -m 丨，X n X naX n — mX n — mX n 0n 「1 0 0224逐行相加减2.3降阶法将高阶行列式化为低阶行列式再求解.1 2 3 … n -1 n1 2 3… n -1 n 1 -1 _ 1 … -1 -12 0 0 0-2 1 1_ 1 …-1 -1= 2 20…-2aaa + iaaa+- 3■ ・■■ ■■ ■■■■ ■ ・ ■■1 11 ・・L1 -11 11…1-1D nn 1 n -2=-1 n 12对于有些行列式,虽然前 n 行的和全相同，但却为零•用连加法明显不行，这是我们可以尝试用逐行相加减的方法.例5计算行列式D 二a 1_ a 2a 2_ a 3a n 1解：将第一列加到第二列,新的第二列加到第三列, 以此类推，得:-a nn={-1 严(-1 )n (n +1隔…a n=(—1 y (n+1 002…a2.3.1按某一行（或列）展开解：按最后一行展开，得2.3.2按拉普拉斯公式展开拉普拉斯定理如下：设在行列式 D 中任意选定了 k 1 _ k _ n -1个 行.由这k 行元素所组成的一切k 级子式与它们的代数余子式的乘积的 和等于行列式D.即D• M 2A 2 • M n A n ，其中A i 是子式M i 对应的代数余子式.即解：从第三行开始，每行都减去上一行；再从第三列开始，每列都加X -1 0 … 0 0 0X -1 … 0 0 090 + X9+90 00 …X -1a na n二a n2…a 2 a i例6解行列式D n =n -1n -2D n 二 a i x a 2xa n_i X a n .A nnB nn ,C nn B nnA nn *B nn ・ b例7解行列式D n = baba aaaV P P … P P YP …Paaa+a0 0 P …10 B nnA nn 0到第二列，得haaa … ab y BP …P Dn=O0-Yv -P 0…aaaa+a0 0 0 0 (V)- P人 (n -1 a a a b • n - 2 1 卜 l ：' 0 0 - '■ 0V _pV _p丸(n -1 a .: b Y +(n _2 厂f ；；瞌n -2 ： - n -1 ab 拚 f .2.4升阶法就是把n 阶行列式增加一行一列变成n+1阶行列式，再通过性质 化简算出结果，这种计算行列式的方法叫做升阶法或加边法•升阶法 的最大特点就是要找每行或每列相同的因子，那么升阶之后，就可以利 用行列式的性质把绝大多数元素化为 0，这样就达到简化计算的效果.其中，添加行与列的方式一般有五种：首行首列，首行末列，末 行首列，末行末列以及一般行列的位置.Y -P0 1 1 … 1 11 0 1 … 1 1 例8解行列式D=1 10 (1)1a9 + a1 11 … 0 11 11 …1 0解：使行列式D 变成n + 1阶行列式， 即1 1 1 ...1 1 0 0 1 (1)1 0 1 0 …1 1D = - - - +再将第一行的-1倍加到其他各行，得:1 1 1 … 1 1 -1 -1 0 … 0 0 -1 I- 0S-1… • + 0 a 0 3 -1 0 0 … -1 0 -10 …-12.5数学归纳法从第二列开始，每列乘以-1加到第一列，得:_(n _1)1 0-1 0 0 D =: : 0 0 0…1n1 n-1 .1 …1 1 0 … 0 0 -1… 0 30 30 … -1 00 … 0 -1有些行列式，可通过计算低阶行列式的值发现其规律，然后提出假设，再利用数学归纳法去证明•对于高阶行列式的证明问题, 归纳法是常用的方法.解：用数学归纳法证明• 当 n =1 时，D r = cos ：.猜想，D n 二 cosn ：. 由上可知，当n =1, n= 2时，结论成立.假设当n = k 时，结论成立•即：D k =cosk 1 .现证当n 二k T 时，结论 也成立.COS P 1 0 01 2cos P 1… 0 0 当 n= k+1 时，Dc =0 1 2cos P … 0 0a a a + a0 0 … 2cosP 1 (1)2cosP将D k 十按取后仃展开，得cos P 1 0 00 12 cos P 1… 0 0 0 3 1 a 2 cos P …0 +a0 a 0 0 0 …2 cos P 1 0 (1)2 cos卩例9计算行列式D n数学COS : 11 2cos : =2cos 2- -1 二 cos2 ：1 2cos 11= 2cos ：D k -D k 」.因为D k 二cosk ：,D k 」=cos k 一1 ——cos k --cosk ： cos ： sin k- sin ：,所以Dk 1= 2cos -D k - D k 」=2cos : cosk ： -cosk ： cos ； -sin k ： sin :二 cosk ： cos ： -sin k : sin :-cos k 1 :.这就证明了当n 二k 1时也成立，从而由数学归纳法可知，对一切的自 然数，结论都成立. 即：D n = cosn ：.12 cos : D “=(-i ri ・2cos B 011 2 cos :1 2cos0 02.6递推法技巧分析：若n阶行列式D满足关系式aD n bD n 」 CD nt =0.则作特征方程① 若—0,则特征方程有两个不等根，则 D n 二Ax ；」-Bx 2「 ② 若尺-0，则特征方程有重根x i =X 2，则D^ A nB . 在①②中，A , B 均为待定系数，可令n =：1, n =2求出.解：按第一列展开，得Dn= 9D n4 - 20D nQ .Dn- 9D n 4 20D n / =0 .当 n =1 时，^A B ；例10计算行列式D n9 5 0 0… 0 0 0 49 5 0… 0 0 0 0 4 99' 5…亍+0 a 0 a0 0 0… 4 9 50 0 00…0 4 9作特征方程解得2x 一 9x 20 = 0.D n•42B *5n -4当 n =2 时，6仁4A 5B . 解得所以3、行列式的几种特殊计算技巧和方法3.1拆行（列）法3.1.1概念及计算方法拆行（列）法（或称分裂行列式法），就是将所给的行列式拆成两 个或若干个行列式之和，然后再求行列式的值•拆行（列）法有两种 情况，一是行列式中有某行（列）是两项之和，可直接利用性质拆项； 二是所给行列式中行（列）没有两项之和，这时需保持行列式之值不 变，使其化为两项和.3.1.2例题解析1 — a a2 0 … 0 0-1 1 — a 2a 3 … 0 0 例11计算行列式D n =0 a -1a1 -a 3…9+ 0aa0 0 0 … 1 - a n4a n0 …-11 — a解：把第一列的元素看成两项的和进行拆列，得A = -16,B =25 ,D n =5n1-4n ：M1 - a 〔a20 … 0 0-1+01 - a2 a s … 0 00+011 - a 3 0Dn =9 i+1i0+00 0 (1)- a n/ an0+00 …― 11 - a n1 a 20 … 0 0-1 1 —a 2a 3 … 0 0—0 -1 1_a3 a… 0 +90 90 00 …1 _a nJ an0 00 … -1 1 - a n_a 2 0 … 0 00 1 -a 2a 3 … 0 00 -11 - a 3… 0 0十a+3-0 00 1- a n 」an0 0… -1 1 -a n上面第一个行列式的值为1,所以1 -a 2a3 0-1a 3 … 0 0D n =1 —a1m a+ * a0 01— a n 4an0 … -1 1- a n=1 - aQ n4.这个式子在对于任何 n( n 色2诸E 成立，因此有Dn =1 -&口4=a ?D n_2 =3i -1 .i a ? a nni i二i -m aj.Vj 43.2构造法3.2.1概念及计算方法有些行列式通过直接求解比较麻烦，这时可同时构造一个容易求 解的行列式，从而求出原行列式的值.3.2.2例题解析11X 1X 222例12 求行列式D n =X1 3X2 an -2 X1 nd X2n X 1n X2解：虽然D n 不是范德蒙德行列式，行列式来间接求出D n 的值.构造n + 1阶的范德蒙德行列式，得1 1 … 1 1X 1 X 2… X n X2 X1 2 … X 22 Xn 2 Xf (x )=3a+s- n-2 X 1 n-2 ■…X2 n-2 Xn n-2 Xn X X1 n 4・・・ Xn -1 Xn nJ Xn X1n・・・n X nnX将f x 按第n T 列展开，得・・I.1…Xn…X 2入n・…nd Xn… x n 入n但可以考虑构造 n 1阶的范德蒙德-A ?』1X 亠 亠A n 」1X n'-代・1,n 必“,n 1其中，X 」的系数为A n,n 1 -- 1 D n - - D n •又根据范德蒙德行列式的结果知f X = X -为 X —x 2X -X n 丨【X i -X j •由上式可求得X nJ 的系数为- X 1 • X2 …X n丨 X i - X j •故有D n = % X 2 X n 「人- X j •1」::i 岂3.3特征值法3.3.1概念及计算方法设'1， '2,…’n 是n 级矩阵A 的全部特征值，则有公式|A=，「2，n .故只要能求出矩阵A 的全部特征值，那么就可以计算出 式.3.3.2例题解析例13若’1, '2, -n 是n 级矩阵A 的全部特征值，证明： 仅当它的特征值全不为零. 证明：因为|^ = ■ 1 ■■ n，贝UA 可逆u A 式0匸九1扎2…肌式Ou 蚣式0（i=1,2…n ）.f X 二 A,n 1 A 的行列A 可逆当且即A 可逆当且仅当它的特征值全不为零.4、几类特殊的行列式的巧妙计算技巧和方法由行列式的定义可知，ai1ai20 a 22 0 0 a a0 0a^a 21 a 22a31a32a aan1 an2a13 a 1na23a 2na 33 … 3 + a3na=a 11a22 '…ann0 … ann0 00 …a33a +0 a-a 11a22‘ "'annan3ann4.2 “爪”字型行列式4.2.1 概念4.1 三角形行列式4.1.1 概念a“ a 12 a 13a1 na 11a 22 a23a 2na21 a 22 形如 a * a ■a 33+ a3na31★a32a33aaannan1an2an3形状像个三角形，故称为 “三角形行列式.4.1.2 计算方法ann这样的行列式,422计算方法利用对角线消去行列式中的“横线”或“竖线”，均可把行列式化 成“三角形”行列式.此方法可归纳为：“爪”字对角消竖横.1i(i =2,3,…n.)列元素乘以-丄后都加到第一列上，原行列式可化为三 a i角形行列式.a ob 1 b 2 … b nbn …b 2b 1 a o C 1a 1a 1C 1 C 2I-a 2+a 2C 2费C na na nC n形如 C na na n+C nC 2a 2a 2C 2 C 1 a 1a 1C 1 a o b 1b 2… b nb n …b 2b 1a o这样的行列式，形状像个 4.2.3 例题解析例14计算行列式a 11 1a 2 a s，其中 q = 0,i =1,2, n.分析: 这是一个典型的“爪”字型行列式，计算时可将行列式的第字型行列式.“爪”“爪”字，故称它们为4.3.2计算方法利用“么”字的一个撇消去另一个撇，就可以把行列式化为三角 形行列式.此方法可以归纳为：“么”字两撇相互消.C n a na ob 1 b 2C 1C 2 a 2a 1C 2 a 2C 1 a 1C na ob 1 b 2… b nb na n 概念 形如b n C nb 2 a 2b 1 a 1 C 2a o C 1 a nC n+a 2b n-b 2 , b 1a ob n b 2 b 1 a o a 1C 1a ?「 C 2a nC nC 2a 1C 1 a o b 1 b 2---b nanCnC 1 a oC 1a 1+a.+a.C 2 a 1b 1 C 2 a 2a 2C 2a 2b 2++a 1 C 1 C nb 1C n a nb n … b 2b 1a oa nb n这样的行列式, 字, 字型行列式.形状像个“么” 因此常称它们为“么” a 1 11a 2a 3a n a 2a 3a n二 a 2a 3 a n a 1 -二.i =24.3 “么” 字型行列式 4.3.1注意：消第一撇的方向是沿着“么”的方向，从后向前，利用a n消去C n，然后再用a n」消去C n」，依次类推.4.3.3例题解析1 -1例15计算n+1阶行列式,1 -1-1解：从最后一行开始后一行加到前一行（即消去第一撇），得n-1 八b ii =1n-1 1 b ii =1b n 4 b nb nn (n ~3 f n X'i=-1 T、b iI i壬丿4.4 “两线”型行列式4.4.1 概念b nD n 1二-1飞•(-1『-1 +》bj Ia i 0b ia20 …b2…形如*a a a★这样的行列式叫做“两线型”行列式.0 0 0 …b n A.b n 0 0 …a n442计算方法对于这样的行列式，可通过直接展开法求解.4.4.3例题解析a. 0 b ia20 …b2…例16求行列式D n = ■-a a a90 0 0 …b n」b n 0 0 …a n解：按第一列展开，得a2 b2...0 b. 0 0a a + a,n+a2 b2 0D n+ —a i + 0(-1)：0 0 …b n j0 0 …a n0 0 …b n：= a^2…a. +(—1 广b©…4.5 “三对寸角”型行歹J式4.5.1 概念a +b ab 0 0 0…0 01 a +b ab 0 0…0 0形如0a 1-a +b-aba0…a +30这样的行列式，叫0 0 0 0 0… a + b ab0 0 0 0 0… 1 a + b做“三对角型”行列式.4.5.2计算方法对于这样的行列式，可直接展开得到两项递推关系式，然后变形进行两次递推或利用数学归纳法证明.4.5.3例题解析a +b ab 0 0 0…0 01 a十b ab 0 0…0 00 1 a + b ab 0 …0 0 例17求行列式D n = 5 3 +0 0 0 0 0… a + b ab0 0 0 0 0… 1 a + b 解：按第一列展开,得ab 0 0 0 ---0 01 a +b ab 0 …0 0D n = (a +b D n」-0 1 a +b ab ---0 0a-+a ■-■■ a +b ■■■0 0 0 0 --- a + b ab 0 0 0 0 … 1 a +b=a b D n u-abD n^.变形，得D n - aD n 4、=b D nd - aD n q . 由于D^a b, D2=a2ab b2，从而利用上述递推公式得D n -aD n4 二b D n 4 -aD n,二b2D n, -aD nf 廿D2 -aD i 二b n.故D n =aD nl b n =a aDnN - b nA b n = = a nJ D 1 a n ^b 2-ab nJ b n=a n a n 」b …ab nJ b n .4.6 Van derm onde 行列式4.6.1 概念列式.4.6.2计算方法解：虽然D n 不是范德蒙德行列式，但可以考虑构造 n 1阶的范德蒙德形如 a 12 a1a 2 2 a 2a s 2a s a n2a n 这样的行列式，成为n 级的范德蒙德行 n ± a1 n -1 a2n A as n -1 an 通过数学归纳法证明,可得务aj a 2 a 2a n a：n 4 a1n -J a 2n -1 a 3n -1a n4.6.3 例题解析例18求行列式X 12 X 1X 2 X n 2 Xnn -2 X1 n X1n -2 X2 n X 2n -2 Xn n Xn行列式来间接求出D n 的值. 构造n 1阶的范德蒙德行列式，得将f x 按第n 7列展开，得5、行列式的计算方法的综合运用有些行列式如果只使用一种计算方法不易计算，这时就需要结合1 1 … 1 1 X 1X 2… X nX2222X 1a X 2… a +X n- Xn_2 n _2 n_2n_2X 1 X 2 … X nXnd n A. n _1 nA X 1X 2…X n X nnnnX 1 X 2…X nXf x 二f X = A,n 1Azn 1XA|n」n,n -1X'A n 1,n l X n ，其中，X nJ 的系数为An,n 1Dn =-D..又根据范德蒙德行列式的结果知f x l=I x -X 1 X —X 2X - X n i 二［X i -X j1兰或应由上式可求得X n」的系数为 -X iX 2 X n 〕二〔X i 1卫：:也_Xj故有 D n =人X 2 X n「 1当吃应X i —X j多种计算方法，使计算简便易行•下面就列举几种行列式计算方法的 综合应用.5.1降阶法和递推法2 1 0… 0 0 1 2 1 … 0 0 0 12 … 0 0 例19计算行列式D n = 一3 + -0 0 0… 2 1 0 0 0…1 2分析：乍一看该行列式，并没有什么规律•但仔细观察便会发现，按 第一行展开便可得到n-1阶的形式.解：将行列式按第一行展开，得 D n =2D n 」-D n2 即Dn - D n 4二 D n / - D n / ••I D n - D n/ 二 D n/ - D n 2 二 二- D i = 3 - 2 = 1. •- Dn =1 Dn/ = =1 1“ Dn"二 n -12 =n 1.5.2逐行相加减和套用范德蒙德行列式例20计算行列式解：从第一行开始，依次用上一行的 -1倍加到下一行，进行逐行相1 +sin 巴 sin 巴 +sin2 蓉 sin 2 巴 +sin3 出11 sin：2 sin ：2 sin ;：22sin2 :2sin 3 ;:211 sin：3 sin 3 sin 23 sin23 sin 3 ：31 sin 4 sin ;：4 sin ：24sin2 ：4 sin 3 45.3构造法和套用范德蒙德行列式行列式来间接求出D n 的值.11 1 1sin 鸣 sin 护2 sin ®3 sin ®4D =sin 2 鸣 sin 2 申2 sin 2甲3 sin 2 典sin 3 鸯 sin 3叭sin 0 sin 3 护4 再由范德蒙德行列式， 得11 1 1sin 鬻 sin 护2 sin ®3 sin ®4 D =sin 2 曙sin 2 笃 sin 2 % sin 2 申4sin 3 鸣sin 3餐sin 3陷sin 3 %加，得-JI .I I sin <1 勺 d i41 1 … 1 1 X 1X 2…X nX22 …22X 1a X 2a + X na X in-2 n-2■… n-2n-2X 1 X 2 X n Xnd n 4 ・・n -1nd X 1X 2X nX nn・nnX 1 X 2X nXf x =得例21求行列式D n 二X 12 X 1X 2 X n 2 Xnn -2 X1 n X1ndX 2 n X2 ndX n n Xn解：虽然D n 不是范德蒙德行列式,但可以考虑构造n 1阶的范德蒙德构造n 1阶的范德蒙德行列式,将f x按第n - 1列展开，得'A2,n 1X * ' A n,n 1 X ' A n -1,n 1 X其中，x nJ的系数为A n,n1=-1「n1D n 7n.又根据范德蒙德行列式的结果知f X = X — X1 X —X2 x —X n I ] X i —X j .1宜丈勺由上式可求得X nJ的系数为- X1 • X2 …X n J 丨X i - X j • 1勺丈①故有D n =人X2 X n 「人—X j •1首匕宜。

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行列式定义法怎么计算例题行列式是线性代数中非常重要的一个概念，在求解线性方程组、计算矩阵的逆等问题中都有广泛的应用。

行列式的定义有很多种，其中最常用的是按照行列式定义法来计算的方法。

下面将介绍行列式定义法的具体计算步骤，并通过一个例题来说明如何使用这种方法来计算行列式。

行列式定义法的计算步骤如下：1. 将矩阵的第一行展开成一组数的乘积，每个数分别与其所在行列式的代数余子式相乘。

2. 将所得的所有乘积相加，得到行列式的值。

以下是一个示例：已知矩阵 $A = begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 4 & 5 & 6 7 & 8 & 9 end{pmatrix}$，求其行列式的值。

按照行列式定义法的计算步骤，我们可以将矩阵 $A$ 的第一行展开成一组数的乘积：$|A| = 1 begin{vmatrix} 5 & 6 8 & 9 end{vmatrix} - 2 begin{vmatrix} 4 & 6 7 & 9 end{vmatrix} + 3 begin{vmatrix} 4 & 5 7 & 8 end{vmatrix}$其中，$begin{vmatrix} 5 & 6 8 & 9 end{vmatrix}$、$begin{vmatrix} 4 & 6 7 & 9 end{vmatrix}$、$begin{vmatrix} 4 & 5 7 & 8 end{vmatrix}$ 分别是 $A$ 的代数余子式。

接下来，我们只需要计算这三个代数余子式的值即可。

以$begin{vmatrix} 5 & 6 8 & 9 end{vmatrix}$ 为例，其计算步骤如下：$begin{vmatrix} 5 & 6 8 & 9 end{vmatrix} = 5 times 9 - 6 times 8 = 3$同理，$begin{vmatrix} 4 & 6 7 & 9 end{vmatrix} = -6$，$begin{vmatrix} 4 & 5 7 & 8 end{vmatrix} = 4$。

行列式的几种常见计算技巧和方法2.1 定义法适用于任何类型行列式的计算，但当阶数较多、数字较大时，计算量大，有一定的局限性．例1 计算行列式0004003002001000.解析：这是一个四级行列式，在展开式中应该有244=！项，但由于出现很多的零，所以不等于零的项数就大大减少．具体的说，展开式中的项的一般形式是43214321j j j j a a a a ．显然，如果41≠j ，那么011=j a ，从而这个项就等于零．因此只须考虑41=j 的项，同理只须考虑1,2,3432===j j j 的这些项，这就是说，行列式中不为零的项只有41322314a a a a ，而()64321=τ，所以此项取正号．故004003002001000=()()241413223144321=-a a a a τ.2.2 利用行列式的性质即把已知行列式通过行列式的性质化为上三角形或下三角形.该方法适用于低阶行列式． 2.2.1 化三角形法上、下三角形行列式的形式及其值分别如下：nn n nn a a a a a a a a a a a a a2211nn333223221131211000000=，nn nnn n n a a a a a a a a a a a a a 2211321333231222111000000=. 例2 计算行列式nn n n b a a a a a b a a a a ++=+21211211n 111D .解析：观察行列式的特点，主对角线下方的元素与第一行元素对应相同，故用第一行的()1-倍加到下面各行便可使主对角线下方的元素全部变为零．即：化为上三角形．解：将该行列式第一行的()1-倍分别加到第2,3…（1n +）行上去，可得121n 11210000D 0n n na a ab b b b b +==.2.2.2 连加法这类行列式的特征是行列式某行（或列）加上其余各行（或列）后，使该行（或列）元素均相等或出现较多零，从而简化行列式的计算．这类计算行列式的方法称为连加法．例3 计算行列式mx x x x m x x x x mx D n n n n ---=212121.解： mx x mxx m x m xx x mxn ni in ni in ni i-----=∑∑∑===212121n Dmx x x m x x x m x n n nn i i --⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∑=2221111mm x x m x nn i i --⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∑=0000121()⎪⎭⎫ ⎝⎛--=∑=-m x m ni i n 11.2.2.3 滚动消去法当行列式每两行的值比较接近时，可采用让邻行中的某一行减或者加上另一行的若干倍，这种方法叫滚动消去法．例4 计算行列式()2122123123122121321D n ≥-------=n n n n n n n n nn.解：从最后一行开始每行减去上一行，有1111111111111111321D n ---------=n n 1111120022200021321----=n n 0111100011000011132122+-=-n n n ()()21211-++-=n n n .2.2.4 逐行相加减对于有些行列式，虽然前n 行的和全相同，但却为零．用连加法明显不行，这是我们可以尝试用逐行相加减的方法．例5 计算行列式111110000000000000D 32211n na a a a a a a ----=. 解：将第一列加到第二列，新的第二列加到第三列，以此类推，得：13210000000000000000D 321+----=n na a a a n()()()()()n n n a a a n a a a n 21n 21n 2211111+-=+--=+.2.3 降阶法将高阶行列式化为低阶行列式再求解．2.3.1 按某一行（或列）展开例6 解行列式1221n 1000000000100001D a a a a a xx x x n n n-----=.解：按最后一行展开，得n n n n n a x a x a x a D ++++=---12211 .2.3.2 按拉普拉斯公式展开拉普拉斯定理如下：设在行列式D 中任意选定了()1-n k 1k ≤≤个行.由这k 行元素所组成的一切k 级子式与它们的代数余子式的乘积的和等于行列式D.即n n 2211A M A M A M D +++= ，其中i A 是子式i M 对应的代数余子式．即nn nn nn nn nnB A BC A ∙=0， nn nn nnnn nn B A B C A ∙=0.例7 解行列式γβββββγββββγλbbbaa a a n =D .解：从第三行开始，每行都减去上一行；再从第三列开始，每列都加到第二列，得βγβγγββββγλ---=0000D n b aa a a()()βγβγββββγλ---+-=0000021n b aa aa n ()()βγβγβγλ--∙-+-=000021n ba n ()()[]()21n 2-----+=n ab n βγβλλγ.2.4 升阶法就是把n 阶行列式增加一行一列变成n+1阶行列式，再通过性质化简算出结果，这种计算行列式的方法叫做升阶法或加边法．升阶法的最大特点就是要找每行或每列相同的因子,那么升阶之后，就可以利用行列式的性质把绝大多数元素化为0，这样就达到简化计算的效果．其中，添加行与列的方式一般有五种：首行首列，首行末列，末行首列，末行末列以及一般行列的位置．例8 解行列式D=111110111110111110111110 .解：使行列式D 变成1+n 阶行列式，即111010110110101110011111D=. 再将第一行的()1-倍加到其他各行，得：D=1101001001010001111111--------. 从第二列开始，每列乘以()1-加到第一列，得：100100000100000101111)1n D ------=（ ()()1n 11n --=+.2.5数学归纳法有些行列式，可通过计算低阶行列式的值发现其规律，然后提出假设，再利用数学归纳法去证明．对于高阶行列式的证明问题，数学归纳法是常用的方法．例9 计算行列式βββββcos 211cos 200000cos 210001cos 210001cos=n D .解:用数学归纳法证明. 当1=n 时，βcos 1=D . 当2=n 时，ββββ2cos 1cos 2cos 211cos 22=-==D .猜想，βn D n cos =.由上可知，当1=n ，2=n 时，结论成立．假设当k n =时，结论成立．即：βk D k cos =.现证当1+=k n 时，结论也成立．当1+=k n 时，βββββcos 211cos 200000cos 210001cos 210001cos 1=+k D .将1+k D 按最后一行展开，得()βββββcos 20000cos 21001cos 21001cos cos 21D 111k ∙-=++++k k()10cos 21001cos 2101cos 11 βββkk ++-+ 1cos 2--=k k D D β.因为βk D k cos =，()()βββββββsin sin cos cos cos 1cos 1k k k k D k +=-=-=-，所以1+k D 1cos 2--=k k D D βββββββsin sin cos cos cos cos 2k k k --= ββββsin sin cos cos k k -= ()β1cos +=k .这就证明了当1+=k n 时也成立，从而由数学归纳法可知，对一切的自然数，结论都成立． 即：βn D n cos =.2.6 递推法技巧分析：若n 阶行列式D 满足关系式021=++--n n n cD bD aD .则作特征方程02=++c bx ax .① 若0≠∆，则特征方程有两个不等根，则1211--+=n n n Bx Ax D ．② 若0=∆，则特征方程有重根21x x =，则()11-+=n n x nB A D ． 在①②中， A ，B 均为待定系数，可令2,1==n n 求出．例10 计算行列式94000005940000000594000005940000059D n =.解：按第一列展开，得21209---=n n n D D D .即020921=+---n n n D D D ．作特征方程02092=+-x x .解得5,421==x x .则1154--∙+∙=n n n B A D .当1=n 时，B A +=9；当2=n 时，B A 5461+=. 解得25,16=-=B A ，所以1145++-=n n n D .3、行列式的几种特殊计算技巧和方法3.1 拆行（列）法3.1.1 概念及计算方法拆行（列）法（或称分裂行列式法），就是将所给的行列式拆成两个或若干个行列式之和，然后再求行列式的值．拆行（列）法有两种情况，一是行列式中有某行（列）是两项之和，可直接利用性质拆项；二是所给行列式中行（列）没有两项之和，这时需保持行列式之值不变，使其化为两项和． 3.1.2 例题解析例11 计算行列式nn n n a a a a a a a a --------=-1110000011000110001D 133221.解：把第一列的元素看成两项的和进行拆列，得nn n n a a a a a a a a --+-+--+-+--=-11010000001100001010001D 133221.1101000001100010000110001000001100011000113322113322nn n nnn a a a a a a a a a a a a a a a -------+-------=--上面第一个行列式的值为1，所以nn n n a a a a a a a ------=-1101000010011D 13321111--=n D a .这个式子在对于任何()2≥n n 都成立，因此有111--=n n D a D()()n n n a a a a a a D a a 2112112211111---+++-==--=()∏∑==-+=ij j ii a 1n111.3.2 构造法3.2.1 概念及计算方法有些行列式通过直接求解比较麻烦，这时可同时构造一个容易求解的行列式，从而求出原行列式的值． 3.2.2 例题解析例12 求行列式n nn nn nn n nnn x x x x x x x x x x x x D21222212222121111---=.解：虽然n D 不是范德蒙德行列式，但可以考虑构造1+n 阶的范德蒙德行列式来间接求出n D 的值． 构造1+n 阶的范德蒙德行列式，得()nnnn nn n nn n n n nn n n nx x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x f21111211222221222221211111--------=. 将()x f 按第1+n 列展开，得()n n n n n n n n x A x A x A A x f 1,111,1,21,1++-+++++++= ，其中，1-n x的系数为()()n n n n n n D D A -=-=+++11,1.又根据范德蒙德行列式的结果知()()()()()∏≤<≤----=ni j j in x xx x x x x x x f 121 .由上式可求得1-n x 的系数为()()∏≤<≤-+-ni j j in x xx x x 121 .故有()()∏≤<≤-+++=ni j j in n x xx x x D 121 .3.3 特征值法3.3.1 概念及计算方法设n λλλ ，，21是n 级矩阵A 的全部特征值，则有公式 n A λλλ 21=.故只要能求出矩阵A 的全部特征值，那么就可以计算出A 的行列式．3.3.2 例题解析例13 若n λλλ ，，21是n 级矩阵A 的全部特征值，证明：A 可逆当且仅当它的特征值全不为零． 证明：因为n A λλλ 21=，则A 可逆()n i i n 2,1000A 21=≠⇔≠⇔≠⇔λλλλ.即A 可逆当且仅当它的特征值全不为零．4、几类特殊的行列式的巧妙计算技巧和方法4.1 三角形行列式4.1.1 概念形如nn n n n a a a a a a a a a a 333223221131211，nnn n n a a a a a a a a a a321333231222111这样的行列式，形状像个三角形，故称为“三角形”行列式． 4.1.2 计算方法 由行列式的定义可知，nn nnn nn a a a a a a a a a a a a a2211333223221131211000000=,nn nnn n n a a a a a a a a a a a a a 2211321333231222111000000=. 4.2 “爪”字型行列式4.2.1 概念形如nn na c a c a cb b b a2211210，nn n c a c a c a a b b b2211012，n nn b b b a a c a c a c 211122，121122a b b b c a c a c a n n n这样的行列式，形状像个“爪”字，故称它们为“爪”字型行列式． 4.2.2 计算方法利用对角线消去行列式中的“横线”或“竖线”，均可把行列式化成“三角形”行列式．此方法可归纳为：“爪”字对角消竖横． 4.2.3 例题解析例14 计算行列式na a a a 111111321，其中.,2,1,0n i a i =≠分析：这是一个典型的“爪”字型行列式，计算时可将行列式的第.),3,2(n i i =列元素乘以ia 1-后都加到第一列上，原行列式可化为三角形行列式．解:na a a a 111111321nni ia a a a a 00011113221∑=-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=∑=ni i n aa a a a 21321. 4.3 “么”字型行列式4.3.1 概念形如n n n b b b a a c a c a c 211122，nn na b c a b c a b c a2221110，n n nc a c a c a a b b b 2211012，0111222a cb ac b a c b a nn n ，121122c a c a b a b c a b nnn，n n n a c a c a c b b b a2211210，0121122a b b b c a c a c a nnn，nnn b a b c b a b a c a c 12211201这样的行列式，形状像个“么”字，因此常称它们为“么”字型行列式． 4.3.2 计算方法利用“么”字的一个撇消去另一个撇，就可以把行列式化为三角形行列式．此方法可以归纳为：“么”字两撇相互消．注意：消第一撇的方向是沿着“么”的方向，从后向前，利用n a 消去n c ，然后再用1-n a 消去1-n c ，依次类推． 4.3.3 例题解析例15 计算1+n 阶行列式nn n b b b D 1111111111----=-+ .解：从最后一行开始后一行加到前一行（即消去第一撇），得nnn ni ini in b b b bb D 11111111-+--+-=-==+∑∑()()()⎪⎭⎫ ⎝⎛+--∙-=∑=+ni i nn n b 121111()()⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=∑=+ni i n n b 12311.4.4 “两线”型行列式4.4.1 概念形如nnn a b b b a b a0000000012211-这样的行列式叫做“两线型”行列式． 4.4.2 计算方法对于这样的行列式，可通过直接展开法求解． 4.4.3 例题解析例16 求行列式nn n n a b b b a b a00000000D 12211-=. 解：按第一列展开，得()12211122110001000-+-+-+=n n n nn n b b a b b a b b a a D()n n n b b b a a a 211211+-+=.4.5 “三对角”型行列式4.5.1 概念形如ba ab ba ab b a abb a ab b a +++++10000000000100000100000这样的行列式，叫做“三对角型”行列式．4.5.2 计算方法对于这样的行列式，可直接展开得到两项递推关系式，然后变形进行两次递推或利用数学归纳法证明． 4.5.3 例题解析例17 求行列式ba ab ba ab b a abb a ab b a n +++++=10000000000000100000100000D.解：按第一列展开，得()ba ab ba b a ab b a abb a ab D b a n n +++++-+=-100000010000100000D 1()21---+=n n abD D b a .变形，得()211D ----=-n n n n aD D b aD .由于2221,b ab a D b a D ++=+=， 从而利用上述递推公式得()211D ----=-n n n n aD D b aD ()()n n n n b aD D b aD D b =-==-=---122322 .故()nn n n n n n n n n b ab b a D a b b aD a b aD D ++++==++=+=------12211121 n n n n b ab b a a ++++=--11 .4.6 Vandermonde 行列式4.6.1 概念形如113121122322213211111----n nn n n nna a a a a a a a a a a a这样的行列式，成为n 级的范德蒙德行列式．4.6.2 计算方法通过数学归纳法证明，可得()∏≤<≤-----=11113121122322213211111i j j i n nn n n nna a a a a a a a a a a a a a. 4.6.3 例题解析例18 求行列式n nn nn nn n nnn x x x x x x x x x x x x D21222212222121111---=.解：虽然n D 不是范德蒙德行列式，但可以考虑构造1+n 阶的范德蒙德行列式来间接求出n D 的值． 构造1+n 阶的范德蒙德行列式，得()nnnn nn n nn n n n nn n n nx x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x f21111211222221222221211111--------=. 将()x f 按第1+n 列展开，得()n n n n n n n n x A x A x A A x f 1,111,1,21,1++-+++++++= ， 其中，1-n x 的系数为()()n n n n n n D D A -=-=+++11,1.又根据范德蒙德行列式的结果知()()()()()∏≤<≤----=ni j j in x xx x x x x x x f 121 .由上式可求得1-n x 的系数为()()∏≤<≤-+-ni j j in x xx x x 121 ,故有()()∏≤<≤-+++=ni j j in n x xx x x D 121 .5、行列式的计算方法的综合运用有些行列式如果只使用一种计算方法不易计算，这时就需要结合多种计算方法，使计算简便易行．下面就列举几种行列式计算方法的综合应用．5.1 降阶法和递推法例19 计算行列式2100012000002100012100012D =n .分析：乍一看该行列式，并没有什么规律．但仔细观察便会发现，按第一行展开便可得到1-n 阶的形式．解：将行列式按第一行展开，得212D ---=n n n D D . 即211D ----=-n n n n D D D .∴12312211=-=-==-=----D D D D D D n n n n . ∴()()111111---++++==+=n n n n D D D()121+=+-=n n .5.2 逐行相加减和套用范德蒙德行列式例20 计算行列式43423332232213124243232221214321sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin 1sin 1sin 1sin 11111D ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ++++++++++++=解：从第一行开始，依次用上一行的()1-倍加到下一行，进行逐行相加，得43332313423222124321sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin 1111ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ=D .再由范德蒙德行列式，得()∏≤<≤-==4143332313423222124321sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin 1111i j j i D ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ.5.3 构造法和套用范德蒙德行列式例21 求行列式n nn nn nn n nnn x x x x x x x x x x x x D21222212222121111---=.解：虽然n D 不是范德蒙德行列式，但可以考虑构造1+n 阶的范德蒙德行列式来间接求出n D 的值． 构造1+n 阶的范德蒙德行列式，得()nnnn nn n nn n n n nn n n nx x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x f21111211222221222221211111--------=.将()x f 按第1+n 列展开，得()n n n n n n n n x A x A x A A x f 1,111,1,21,1++-+++++++= ，其中，1-n x 的系数为()()n n n n n n D D A -=-=+++11,1.又根据范德蒙德行列式的结果知()()()()()∏≤<≤----=ni j j in x xx x x x x x x f 121 .由上式可求得1-n x 的系数为()()∏≤<≤-+-ni j j in x xx x x 121 .故有()()∏≤<≤-+++=ni j j in n x xx x x D 121 .。

例文一：行列式的计算方法介绍7种常用方法1 三角化方法：通过行列初等变换将行列式化为三角型行列式. 例1 计算n+1阶行列式xa a a a a x a a a a x D nnn32121211=+2 把某一行（列）尽可能化为零 例2 计算：yy x x D -+-+=222222222222222243 递归法（数学归纳法）：设法找出D n 和低级行列式间的关系，然后进行递归.例4 证明：βαβαβαβααββααββα--=++++=++1110000010001000n n n D例5 证明范德蒙行列式（n ≥2）∏≤<≤-----==nj i jin nn n n n nn x x x x x x x x x x x x x x V 111312112232221321)(11114 加边法：对行列式D n 添上一适当行和列，构成行列式D n+1，且D n+1=D n 例6 证明：)11(11111111111111111111121321∑=+=++++=ni in nn a a a a a a a a D5 拆分法：将行列式表为行列式的和的方法.即如果行列式的某行（或列）元素均为两项和，则可拆分为两个行列式之和 例7 设abcd=1,求证：011111111111122222222=++++ddd d c c c c b b b b a a a a6 利用行列式的乘积：为求一个行列式D 的值，有时可再乘上一个适当的行列式∆；或把D 拆分为两个行列式的积. 例8（1）1)cos()cos()cos()cos(1)cos()cos()cos()cos(1)cos()cos()cos()cos(1121332312322113121n n n n n n D αααααααααααααααααααααααα------------=（2）设S k =λ1k +λ2k +⋯+λn k (k =1,2…),求证：∏≤<≤-+-+--=nj i j in n n n n nn s s s s s s s s s s s s s s s n 1222111432321121)(λλ7 利用拉普拉斯定理求行列式的值.拉普拉斯定理是行列式按某一行（或列）展开定理的推广.定义(1) 在n 阶行列式D 中，任取k 行k 列(1≤k ≤n),位于这k 行k 列交叉处的k 2个元素按原来的相对位置组成的k 阶行列式S ，称为D 的一个k 阶子式.如：D=3751485210744621则D 的一个2阶子式为：S=8261在一个n 阶行列式中，任取k 行，由此产生的k 阶子式有C kn 个.(2) 设S 为D 的一个k 阶子式，划去S 所在的k 行k 列，余下的元素按原来的相对位置组成的n-k 阶行列式M 称为S 的余子式.又设S 的各行位于D 中的第i 1,i 2…i k 行，S 的各列位于D 中的第j 1,j 2…j k 列，称A=(-1)(i1+i2+…+ik)+(j1+j2+…+jk)M.如：3751485210744621则D 的一个2阶子式为：S=8261M=3517为S 的2阶子式 M=（-1）（1+3）+（1+3）3517为S 的代数余子式.拉普拉斯定理:若在行列式D 中任取k 行 (1≤k ≤n-1)，则由这k 行所对应的所有k 阶子式与它们的代数余子式的乘积等于D. 例9 计算2112100012100012100012=D 例10 块三角行列式的计算 设：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⨯⨯n n m m C B A *0或 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⨯⨯n n m m C B A 0* 则：detA=(detB)(detC).特别地：若A=diag(A 1,A 2,…,A t ),则DetA=(detA 1)(detA 2)…(detA t ).例11 设分块矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛=D C B A 0，其中0为零阵，B 和D 可逆，求A -1.例12 计算nn b b b a a a D 101000102121=例13 设：⎪⎪⎭⎫⎝⎛=C B A , BC T =0. 证明：|AA T|=|BB T||CC T |.例文2：行列式的多种计算方法行列式是线性代数的一个重要组成部分，行列式的计算方法多种多样，常见的几种行列式的方法有：定义法、三角化法、降阶法、升阶法、递推法、归纳法、利用范德蒙德行列式法、变换元素法、拆项法、分解乘积法等，可根据行列式选择相应的计算方法，从而减轻计算量.1定义法：n 阶行列式等于所有取自不同列的n 个元素的乘积的代数和．例1：nn n n n D ⨯-=000100002000010解：在n ！项中只有一项1n ),n 3,2(,11342312-=+-a a a a a a nn n n π且不为零 !n )1(n 1n 21)1()1(D 1n 1n 1123121n n ⋅-=⋅-⋅-=-=∴--+-- nn n n a a a a2 三角化法：通过变换将行列式变换成三角行列式，再利用形式求出行列式的值. 2.1特殊行列式n21nn n 21nn n 21nn n 210*00000000*0000000)1(λλλλλλλλλλλλ===⨯⨯⨯下三角行列式上三角行列式对角行列式n212)1(nn n 21nn n 21nn n n 21)1(000000000000000)2(λλλλλλλλλλλλλ-⨯⨯⨯-===n n 次下三角行列式次上三角行列式次对角行列式2.2 箭形行列式例2 nn n n D ⨯=001030100211111解：)11(!0000300002011111221,3,21∑∑==⨯=-=-=-nj nn nj C jC nj njn n j D j2.3 可化为箭形的行列式∏∑∏∑=∏===+===⨯--+=---+⨯------=------==≠=n 1i i i n1k 222n1k i iC C n,2j n 333222111n1i i i n 1133112211321r -r n 2,i n 321321321321)x ()1(10101)(x101-0101-0011-)(x x 00x 0x 0x 00x x x D :,,2,1,j11i a a x a a x a a x a a x a a a x a a x a a x a a x x a a a a a a a a a a ni a x x a a a a x a a a a x a a a a x D k k kkk n kk knn n n i i nn nn n n n解3 降阶法 降阶法是利用行列式按其行（列）展开的性质，将高阶行列 式转化为低阶行列式进行计算)!1()1(21)1(00000000000)1(00000000000000000000004111+-=-++-+=-++=n b a ba b b b b ab a a b a a a b b a b a b a D n n n n n按第一列展开例4 升阶法 将原行列式增加一行一列，而保持原行列式值不变或与原行列式有某种巧妙的关系，且便于后面的计算)()1(00000001c c c c 010010011r r r r ,r r 00011n nax 112ax 11nn 1n 1312==-⋅-+=---+++---------=≠=-⨯---⨯n n nn ax a n n D a x a x ax naa x a x a x a a aa x a x a x a a a xa a a x aa a x aa a D a x xaa a a x a a a a x a a a a x D 时当时当5 递推法：利用行列式的性质，找出所求行列式与其相应的n-1,n ，2-阶行列式之间的递推关系，再根据次递推关系式求出所给行列式的值:,)()(:,)()(0000000)(000000000611111得由此递推下去得递推公式由此例----⨯-⨯⨯⨯⨯-+-=-+-=---+-=+-=+-+++==n n n n n nn n n n nn nn nn n a x a D a x D a x a D a x a aa x a a x a a x D a x a a a a a x a a a a x a a a a x a x a a a x a a a x a a a x a a x a a a x aa a x a a a x x a a a a x a a a a x a a a a x D])1([)()()1()()(])())[((1111122a n x a x a x a n D a x a x a a x a D a x a x D n n n n n n n -+-=--+-=-+-+--=------6数学归纳法：先利用不完全归纳法寻找行列式之间的规律，得出一般性结论，再用数学归纳法证明其正确性，从而得出所给行列式的值)1(1n .)1)(11()11(1111)11(101111111111117111211121212121211112121∑∑∑-=--==+=-≥+=+⋅=++=+=+=≠+++=n i in n ni in n i in nn a a a a a D n a a a a D a a a a a D a a a D a a a a a a D的情形猜测正确，即设对假确的下面证明这一猜测是正于是可猜测解其中例1121121212111110000000011111111111111111111---+=+=+++++=n n n n n nn D a a a a D a a a a a a a a D于是又归纳假设得：)11()11(12111121121∑∑=-=--+=++=ni in n i i n n n n a a a a a a a a a a a a D故对一切自然数n 猜得正确，即1),11(121≥+=∑=n a a a a D ni in n7 利用范德蒙行列式的结果计算：是将原行列式利用性质化成范德蒙行列式，再利用范德蒙行列式的结果计算出原行列式 例8nnn n nn nn n n n n x x x x x x x x x x x x D32122322213211111----=n 阶范德蒙行列式为∏≤<≤-----=nj i i jn nn n n nna aa a a a a a a a a a a a 111312112232221321)(1111解 构造n+1阶范德蒙行列式=)(x f 1,11,11,221,21,1)1()1(123211213231222112132111111+++-+--+++⨯+----------+++=n n n n n n n n n n n n n n n n nnn n nn n n nn n n n n n n A x A x A x xA A x x xx x x x x x xx xx xx xx x x x∏≤<≤-⋅---=ni j j in x xx x x x x x 121)()())((1,1,++-==n n n n n A M D 由f(x)的表达式知，1-n x 的系数为∏∏≤<≤≤<≤+-+++=∴-+++-=ni j j in n ni j j in n n x xx x x D x xx x x A 1211211,)()()()(8 拆项法：当行列式中的元素有两数相加时将原行列式拆成n 个简单的行列式加以计算例9 设nnn na a a a D1111=nnn n n nn n n n x a x a x a x a x a x a D ++++++=221122221211212111解n nn n n nn n n n x a x a a x a x a a x a x a a D ++++++=221222221121211nnn n nn n n x a x a x x a x a x x a x a x +++++++2212222112121∑=+++++++=ni i nnn n n nn n n A x x a x a a x a x a a x a x a a 111221222221121211∑∑∑∑====+=+++==ni ij nj j ni i ni in n A x D A x A x D 1111119 变换元素法：变换所给行列式中元素的形式，再利用已知行列式的结果，最终得到所求行列式的结果 例10211121112a a aa a a D n ------=解令a x -=1，由（拆项法例题结果）知∑∑==-++++=-++-+-+-+-++-+-+-+-++=ni nj ijn A a aa a a a aaa a a a a a a a D 11)1(10010001111010101110101011因为)]1()1[()1(0)1(11n a n a D j i j i a A n n n ij -+++=∴≠= ⎝⎛-=-- 10 分解乘积法：根据所给行列式的特点利用行列式的乘法公式，把所给行列式分解成两个易求解的行列式之积，通过对这两个行列式的计算，从而得到所给行列式之值 例11nn nn n n n nn b a b a b a b a b a b a D ⨯++++++=212221212111解213))((0000001111001001001001122111321321==≥⎪⎩⎪⎨⎧--+=⋅=n n n b b a a b a b b b b a a a a D nn n例题。

行列式的求法有多种，以下简单进行总结。

一、逆序定义法行列式的逆序法定义如下：1212121112121222(,,......,)12,,......,12(1)......n n nn n j j j j j nj j j j n n nna a a a a a a a a a a a τ=-∑这里，12,,......,n j j j 为1,2,...,n 的任一排列，12(,,......,)n j j j τ为该排列的逆序数，求和是对所有的排列求的，因此，该和式一共有!n 项，每项都是n 个数相乘，并得计算逆序数，计算量巨大。

因此，一般而言，逆序法定义具有理论上研究的意义，而比较少用于求行列式。

但是，如果行列式的项中有大量的0，那么用逆序法计算可能会很简单。

以下举例如下：例1：求1122nna a a。

解答：1212121122(,,......,)12,,......,(1)......n n nj j j j j nj j j j nna a a a a a τ=-∑只当11j =，22j =，……，n j n =，其项才可能非零。

因此，1122(1,2,......,)01,12,2,1,12,2,1,12,2,(1)......(1)............n n n n n n nnna a a a a a a a a a a a τ=-=-=例2、求12nd d d 。

解答：12121212(,,......,)12,,......,(1)......n n nj j j j j nj j j j nd d a a a d τ=-∑只当1j n =，21j n =-，……，1n j =，其项才可能非零。

因此，1(1)2(,1, (1)21,2,1,112(1) (1)......n n n n n n n n nd d a a a d d d d τ---=-=- 。

例3、求121n nd d d d -。

线性代数行列式经典例题例1计算元素为a ij = | i －j |的n 阶行列式、解 方法1 由题设知,11a =0,121a =,1,1,n a n =-L L ,故011102120n n n D n n --=--L L MOL1,1,,2i i r r i n n --=-=L011111111n ----L L M O L1,,1j n c c j n +=-=L 1211021(1)2(1)021n n n n n n ------=----LL L L M O O L M L其中第一步用的就是从最后一行起,逐行减前一行.第二步用的每列加第n 列. 方法2011102120n n n D n n --=--L L MOL11,2,,1111111120i i r r i n n n +-=----=--L L L MOL12,,1001201231j c c j nn n n +=---=---L L L MOL=12(1)2(1)n n n ---- 例2、 设a , b , c 就是互异的实数, 证明: 的充要条件就是a + b + c =0、证明: 考察范德蒙行列式:=行列式 即为y 2前的系数、 于就是=所以的充要条件就是a + b + c = 0、例3计算D n =121100010n n n x xa a a x a ----+K KM M M M K解: 方法1 递推法 按第1列展开,有D n = x D 1-n +(－1)1+n a n11111n x xx-----O O= x D 1-n + a n由于D 1= x + a 1,2211x D a x a -=+,于就是D n = x D 1-n + a n =x(x D 2-n +a 1-n )+ a n =x 2D 2-n + a 1-n x + a n =L = x1-n D 1+ a 2x2-n +K + a 1-n x + a n =111n n n n x a x a x a --++++L方法2 第2列的x 倍,第3列的x 2倍,K ,第n 列的x1-n 倍分别加到第1列上12c xc n D += 21121010010000n n n n x x xa xa a a x a -----++K K K M M M M K213c x c +=32121231010*********n n n n n n x x x a xa x a a a a x a --------+++K K KMMMM MK=L L =111x fx---OO On r =按展开1(1)n f+-1111n x xx----OO =111n n n n x a x a x a --++++L方法3 利用性质,将行列式化为上三角行列式.D n21321111n n c c x c c x c c x-+++=L1122000000000n n nnn n nx x x a a a a a a k xx x ---+++KK KM M M M Kn =按c 展开x1-n k n = x1-n (1-n n x a + 21--n n x a +K+x a 2+a 1+x) =111n nn n a a x a x x --++++L方法4 n r nD =按展开1(1)n na +-1000100001x x ---K K M M M M K+21(1)n n a +--0000101x x --K K M M M M K+K +212(1)n a --10000001x x --K K M M M M K+21(1)()na x -+10000000x x x-K K M M M ML=(－1)1+n (－1)1-n a n +(－1)2+n (－1)2-n a 1-n x +K +(－1)12-n (－1)a 2x 2-n +(－1)n 2( a 1+x) x 1-n= 111n nn n a a x a x x --++++L例4. 计算n 阶行列式:11212212n n n n na b a a a a b a D a a a b ++=+L L M M M L(120n b b b ≠L )解 采用升阶(或加边)法.该行列式的各行含有共同的元素12,,,n a a a L ,可在保持 原行列式值不变的情况下,增加一行一列,适当选择所增行(或列)的元素,使得下一步化简后出现大量的零元素.1211212212100n n n n n na a a ab a a D a a b a a a a b +=++L L L M M M M L升阶213111n r r r r r r +---=L 12121100100100n na a ab b b ---L L L M M M M L1112,,1j j c c b j n -+=+=L 1112111210000000n na a a a ab b b b b +++L L LL M M M M L=1121(1)n n na ab b b b b +++L L 这个题的特殊情形就是121212n n n n a x a a a a x a D a a a x++=+LL M M M L=11()nn i i xx a -=+∑可作为公式记下来.例5.计算n 阶“三对角”行列式D n =00100010001αβαβαβαβαβαβ+++K K KM M M MMK＋ 解 方法1 递推法.D n1=按c 展开()αβ+D 1-n —(1)000010001n αβαβαβαβ-++K K M M M M M K1=按r 展开()αβ+D 1-n －αβD 2-n即有递推关系式 D n =()αβ+D 1-n －αβD 2-n (n ≥3) 故 1n n D D α--＝12()n n D D βα---递推得到 1n n D D α--＝12()n n D D βα---＝223()n n D D βα---＝L ＝221()n D D βα--而1()D αβ=+,2D ＝β+α1αββ+α＝22ααββ++,代入得1n n n D D αβ--=1n n n D D αβ-=+ (2、1)由递推公式得1n n n D D αβ-=+＝12()n n n D ααββ--++＝α2D2-n ＋1n n αββ-+＝L＝nα＋1n αβ-＋K ＋1n n αββ-+＝时＝，当时，当－－βαβα1)α(n αβαβ111≠⎪⎩⎪⎨⎧++++n n n方法2 把D n 按第1列拆成2个n 阶行列式D n =00010010001ααβαβαβαβαβ++K K KM M M MMK＋＋00100010000001βαβαβαβαβαβαβαβ+++K K KM M M MMK K上式右端第一个行列式等于αD 1-n ,而第二个行列式00100010000001βαβαβαβαβαβαβαβ+++K K KM M M MMK K12,,i i c ac i n--==L 000010000100001ββββK K KM M M M M K=βn 于就是得递推公式1nn n D D αβ-=+,已与(2、1)式相同.方法3 在方法1中得递推公式D n =()αβ+D 1-n －αβD 2-n又因为当αβ+时 D 1=αβ+=βαβα--2221D αβαβαβ+=+=2()αβ+-αβ=22ααββ++=βαβα--33D 3=βααββααββα+++110=3()αβ+-2αβ()αβ+ = ()αβ+22()αβ+=βαβα--44于就是猜想11n n n D αβαβ++-=-,下面用数学归纳法证明.当n=1时,等式成立,假设当n ≤k 时成立. 当n=k+1就是,由递推公式得D 1+k =()αβ+D k －αβD 1-k=()αβ+βαβα--++11k k —αββαβα--k k =βαβα--++22k k所以对于n ∈N +,等式都成立例6. 计算n 阶行列式:12111111111n na a D a ++=+L L M M M L其中120n a a a ≠L .解 这道题有多种解法. 方法1 化为上三角行列式nD 12,,i r r i n-==L 1121111n a a a a a +--L M O112,,j ja c c a j n+==L 21100nb a a L M O其中11211ni i b a a a ==++∑1111n i i a a =⎛⎫=+ ⎪⎝⎭∑,于就是n D 12111nn i i a a a a =⎛⎫=+ ⎪⎝⎭∑L .方法2 升阶(或加边)法121111*********111n na D a a +=++L L LMM M M L升阶12,3,,1i r r i n -=+=L 121111100100100na a a ---L L L M M M M L11111121,2,,1121111111j jni jc c a nn j n i i na a a a a a a a +=+=-=+⎛⎫==+ ⎪⎝⎭∑∑L LL O方法3 递推法.将n D 改写为1211101110111n na a D a ++++=+LL M M M Ln =按c 拆开12111111111a a ++L L M M M L +1211011011na a a ++L L M M M L由于12111111111a a ++L L M M M L1,,1i n r r i n -=-=L 12111a a L121n a a a -=L1211011011na a a ++L L M M M Ln =按c 展开1n n a D -因此n D =1n n a D -121n a a a -+L 为递推公式,而111D a =+,于就是n D =1n n a D -121n a a a -+L =12n a a a L 11211n n n D a a a a --⎛⎫+ ⎪⎝⎭L=12n a a a L 2122111n n n n D a a a a a ---⎛⎫++⎪⎝⎭L =L L=12n a a a L 11211n D a a a ⎛⎫+++⎪⎝⎭L =12n a a a L 121111n a a a ⎛⎫++++ ⎪⎝⎭L。

行列式的计算方法1 引言行列式的计算是《线性代数》和《高等代数》的一个重要内容．同时也是工程应用中具有很高价值的数学工具，本文针对几种常见的类型给出了计算行列式的几种典型的方法．2 一般行列式的计算方法2.1 三角化法利用行列式的性质把原来的行列式化为上(下)三角行列式，那么，上(下)三角行列式的值就是对角线各项的积．例 1 计算行列式12311212332125113311231 ------=n n n n n nn n n n D对这个行列式的计算可以用三角化方法将第1行乘以(-1)加到第2,3,n 行，得0001002000200010001231 ---=n n n n D再将其第1,2,1, -n n 列通过相邻两列互换依次调为第n ,,2,1 列，则得102001321)1(2)1(--=-n n D n n=)!1()1(2)1(---n n n2.2 加边法有时为了便于计算行列式，特意把行列式加边升阶进行计算，这种方法称之为升阶法．它的一般方法是：nn n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a a D 321333323122322211131211==nnn n n n na a ab a a a b a a a b 212222121121110001(n b b b ,,21任意数)例如下面的例题： 例2 计算行列式nn a a a a D ++++=11111111111111111111321现将行列式n D 加边升阶，得na a a D +++=111011101110111121第1行乘以(-1)加到第1,3,2+n 行，得na a a D10001001001111121----=第2列乘以11a 加到第1列，第3列乘以21a 加到第1列，依次下去直到第1+n 列乘以n a 1加到第1列，得)11(00011111121211∑∑==+=+=ni in nni ia a a a a a a a D2.3 降阶法利用按一行(列)展开定理或Laplace 展开定理将n 阶行列式降为阶较小且容易计算的行列式来计算行列式的方法称为降阶法． 例 3 计算nD 222232222222221=解 首先我们应考虑D 能不能化为上(下)三角形式,若将第一行乘以(-2)加到第n ,3,2 行，数字反而复杂了，要使行列式出现更多的“0”，将D 的第一行乘以(-1)加到第第n ,3,2 行，得2001010100012221-=n D这样仍然不是上（下）三角行列式，我们注意到，第二行除了第一项是1，后面的项全是0，这样我们按第二行展开，降阶得到：201222)1(21--=+n D)!2(2--=n2.4 对于所谓二条线的行列式，可直接展开降阶，再利用三角或次三角行列式的结果直接计算. 例4 计算行列式nnn n n a b b a b a b a D 112211--=解 按第1列展开，得11221111221)1(--+---+=n n n n nn n n b a b ab b a b a b a a Dn n n b b b a a a 21121)1(+-+=2.5 递推法通过降阶等途径，建立所求n 阶行列式n D 和比它低阶的但是结构相同的行列式之间的关系，并求得n D 的方法叫递推法．当n D 与1-n D 是同型的行列式，可考虑用递推法．例 5 计算n 级行列式 2112000002100012100012------=n D 对于形如这样的三角或次三角行列式，按第1行(列)或第n 行(列)展开得到两项的递推关系式，再利用变形递推的技巧求解．解 按第1行展开，得210120000012000011)1)(1(2211-------+=+-n n D D212---=n n D D 直接递推不易得到结果，变形得1221121232211=---=-==-=-=------D D D D D D D D n n n n n n于是 1)1(2)1(21121+=-+=-+==+=+=--n n n D D D D n n n例6 计算n 2级行列式nnn n n n nnn d c d c d c b a b a b a D 111111112----=对于形如这样的所谓两条线行列式,可直接展开得到递推公式． 解 按第1行展开，得)1(1111111121111111112nn n n n nn n n n n nn c d c d c b a b a b d c d c b a b a a D ----+-----+=1111111111111111---------=n n n n nn n n n n nn d c d c b a b a c b d c d c b a b a d a)1(2)(--=n n n n n D c b d a)1(22)(--=n n n n n n D c b d a D)2(21111))((-------=n n n n n n n n n D c b d a c b d a)())((11111111c b d a c b d a c b d a n n n n n n n n ---=----2.6 连加法 例 7 计算mx x x x m x x x x m x D n n n n ---=212121这种行列式的特点是：各行元素之和都相等.先把第2列到第n 列元素同时加到第1列，并提出公因式，得mx x x m x x x m x D n n n ni i n ---=∑=2221111)(然后将第1行乘以(-1)加到第n ,3,2行，得mm x x m x D n ni i n ---=∑=001)(21)()(11m x m ni i n --=∑=-2.7 乘积法根据拉普拉斯定理,所得行列式乘法运算规则如下：nnn nnn n n nn n n c c c c b b b b a a a a 111111111111=⋅ (其中tj ni it ij b a c ∑==1)两个行列式的乘积可以像矩阵的乘法一样来计算,假若两个行列式的阶数不同，只要把它们的阶数化为相同就可以应用上面的公式了．这种方法的关键是寻找有特殊结构的已知行列式去乘原行列式，从而简化原行列式的计算,这也是较为常用的方法．例 8 计算行列式 ab c db a dc cd a bd c b aD =解 取行列式 1111111111111111------=H显然 0≠H ,由行列式的乘法规则：=DH ⋅ab c d ba d c c d a bd c b a 1111111111111111------ H d c b a d c b a d c b a d c b a d c b a ))()()()((+---+--++--++++=等式两边消去,H 得=D ))()()()((d c b a d c b a d c b a d c b a d c b a +---+--++--++++2.8 对称法这是解决具有对称关系的数学问题的常用方法． 例 9 计算n 阶行列式βαβααββααββα++++=1010001000 n D解 按第1行展开，得21)(---+=n n n D D D αββα即 )(211----=-n n n n D D D D αβα由此递推，即得 nn n D D βα=--1因为n D 中αβ与对称，又有 nn n D D αβ=--1当 βα≠ 时，从上两式中消去1-n D ，得 11n n n D αβαβ++-=-当 βα= 时，1-+=n nn D D ββ)(21--++=n n n D ββββ 222-+=n n D ββ11)1(D n n n-+-=ββ )()1(1βαββ++-=-n n nnn β)1(+= 2.9 数学归纳法当n D 与1-n D 是同型的行列式，可考虑用数学归纳法． 例 10 计算n 级行列式ααααcos 2100cos 210001cos 210001cos =n D解 当2=n 时，ααcos 211cos 2=D αα2cos 1cos 22=-=结论成立，假设对级数小于n 的行列式结论成立，则n D 按第n 行展开，得21cos 2---=n n n D D D α由假设αααααααsin )1sin(cos )1cos(])1cos[()2cos(2-+-=--=-=-n n n n D n代入前一式，得]sin )1sin(cos )1[cos()1cos(cos 2αααααα-+---=n n n D nαααααn n n cos sin )1sin(cos )1cos(=---=故对一切自然数n ，结论成立．2.10 拆项法这是计算行列式常用的方法．一般地，当行列式的一列(行)或一列(行)以上的元素能有规律地表示为两项或多项和的形式，就可以考虑用拆为和的方法来进行计算．例 11 在平面上，以点),(),(),(233332332232222221311211x x x x M x x x x M x x x x M ------，，为顶点的三角形面积D S =，其中11121323233322222321212131x x x x x x x x x x x x D ------= )1()1()1()1()1()1(11121323222121332211------=x x x x x x x x x x x x )1()1()1()1()1()1()1()1()1(21323222121332211332211------+--+--+--=x x x x x x x x x x x x x x x x x x解 第1行拆为)1()1()1(11111121111)1)(1)(1(21332211321321232221321321------+----=x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x D32112132332121))()()(1)(1)(1(21x x x x x x x x x x x x +-------=232221321111x x x x x x )]1)(1)(1([))()((21321321121323----⋅---=x x x x x x x x x x x x 3 分块矩阵行列式的计算方法我们学习了矩阵的分块，知道一个矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡B A 00通过分块若能转化成对角矩阵或上（下）三角矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡B C A 0，那么行列式B A B C A B A ⋅==000，其中B A ，分别是r s ，阶可逆矩阵，C 是s r ⨯阶矩阵，0是n s ⨯阶矩阵．可以看出，这样可以把r s +阶行列式的计算问题通过矩阵分块转化为较低阶的s 阶和r 阶行列式计算问题，下面先根据上面的途径给出计算公式．设矩阵 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=B C D A b b c c b b c c d d a a d d a a G rr r rsr r s sr s ss s r s 1111111111111111其中B A ，分别是s 阶和r 阶的可逆矩阵，C 是s r ⨯阶矩阵，D 是r s ⨯阶矩阵，则有下面公式成立． C DB A B BCD A G 1--⋅==或C DA B A BCD A G 1--⋅==下面推导公式，事实上，当0≠A 时，有⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡---D BCA D A B C D A E CA E 1100 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡---B C C DB A B C D A E DB E 0011 上面两式两边同取行列式即可得出上面的公式．例 12 计算 8710650143102101=D这道题的常规解法是将其化为上三角行列式进行计算，若用前面介绍的公式则可以直接得出结果．令 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=1001A ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡=8765B ， ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=1001C ， ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=4321D 则 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=1001'A ，由公式(1) 知原行列式D CA B A BCD A 1--⋅==⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅=43211001100187651001 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅=432187651 4444==0这个题还有个特点，那就是C A =，如果我们把公式变形，即D CA B A BCD A 1--⋅=D ACA AB D CA B A 11)(---=-=当C A =时，D ACA AB 1--CD AB D CAA AB -=-=-1，所以当C A =时，我们有CD AB BCD A -=，这样例题就可以直接写出答案了．参考文献:[1] 北京大学数学系，高等代数[M] (第三版)．北京：高等教育出版社，2003，9．[2] 张禾瑞，高等代数[M] (第四版)．北京：高等教育出版社，1997．[3] 丘维生，高等代数[M]．北京:高等教育出版社，1996，12．[4] 杨子胥，高等代数[M]．山东：山东科学技术出版社，2001，9．[5] 王萼芳，高等代数题解[M]．北京：北京大学出版社，1983，10．[6] Gelfand I M, Kapranov M M and Celvinskij A V. Discriminaants, redultants,and multidimensional determinants[M].Mathematics: Theory&Applications,Birkhauser Verlag,1994.[7] 徐仲，陆全等．高等代数导教·导学·导考.西安:：西北工业大学出版社,2004．[8] 陈黎钦．福建：福建商业高等专科学校学报，2007年2月第1期．11。

行列式的计算技巧行列式的计算技巧很多, 在这里, 我们介绍常见的一些行列式的计算技巧,主要包括 行和或列和相等, 爪型（歪爪型）、范德蒙（伪范德蒙）、加边法、递推降阶法、层层递加（减）法等等。

方法1 行（列）和相等这类行列式的计算一般把行列式的行全部加到第一行, 或者把所有的列全部加到第一列, 习惯上, 我们可以全部加到第一列, 提取公因子后, 第一列全部变成1, 从而方便我们植1造0, 或者在此时观察行列式的特点, 进一步化成上三角或者下三角来进行计算。

例1 .兰州大学2004招收攻读硕士研究生考试工试题第四大题第（1）小题。

求如下行列式的值。

12121123123n nn n x a a a a x a a D a a a a a a a x+=[分析] 我们再仔细看一下, 每行的元素的和数都是一样的, 那么我们从第2列开始到第n+1列都加到第1列, 现提出公因式, 这样行列式的次数就降了一次。

解：1211221211232312323111()11ni n i nn i ni nn n i i nn i n i ni i a xa a a a a a a xxa a x a a D a x a a a a x a a a a a xa xa a x==+===++==+++∑∑∑∑∑对行列式xa a a a a a a x a a a n n n32322211111进行观察, 此时一般有两种途径, 一种是在第一列造0, 把第二行开始后的每一行都减去第一行, 或者利用第一列的1, 把第一列的倍数加到其他列来造0, 具体采用哪个看具体问题, 在本题中, 可以考虑把第一列的 倍加到第2列, , 第一列的 倍加到最后一列, 。

从而有)())()((1010010001)(1111)(2112312231211323222111n n i i nni i n nn ni i n a x a x a x x a a x a a a a a a a a a x x a x a a a a a a a x a a a x a D ---+=------+=+=∑∑∑===+方法2 爪（歪爪）型行列式此类行列式有三条线构成, 类似一个爪子, 或者歪爪, 可以采用去爪的方法来做, 特别注意歪爪只能去掉歪了的爪子, 在去爪的过程中, 利用主对角线上的元素来去爪子, 层层递进即可。

行列式的计算例题行列式是数学中非常重要的概念，它在线性代数、微积分和概率统计等学科中都有应用。

行列式在解线性方程组时，一般会遇到计算行列式的问题，下面通过几个例题，来给大家讲解如何正确的计算行列式。

例1：计算下列行列式的值$$begin{bmatrix}2 & -3 & 81 &2 & -12 & 1 & 4end{bmatrix}$$解：用二阶行列式公式，行列式计算为：$2times（2times4 - 1times-1） - (-3)times（1times4 - 2times-1）+ 8times（1times2 - 2times2）= -2+6+16 = 20$例2：计算下列行列式的值$$begin{bmatrix}1 & -2 & 8 & 34 & -5 & 7 & 26 & 0 & -1 & 43 & 2 & 9 & 5end{bmatrix}$$解：用三阶行列式公式，行列式计算为：$1times（-5times9 +7times2 + 2times-1）- -2times（4times9 + 7times4 + 2times-1）+ 8times（4times2 + 7times-5 + 2times0）- 3times（4times-1 + 7times3 + 2times8）= -264$例3：计算下列行列式的值$$begin{bmatrix}4 & 0 & -2 & 3-2 & 6 & 9 & 50 & -4 & -7 & 81 & -3 & 5 & 4end{bmatrix}$$解：用四阶行列式公式，行列式计算为：$4times（-4times5 + 9times4 - 7times-3）+ 0times（-2times5 + 9times-3 - 7times1）- -2times（-2times5 + 9times1 - 7times-2）+ 3times（-2times4 + 9times-2 - 7times0）= 128$以上就是关于行列式的计算例题的简单介绍，从上面的例题中可以看出，行列式的计算要根据行列式的行列数量来选择相应的公式，按照规定的步骤按照公式来计算，就能准确的得到行列式的值。

对称行列式的计算技巧例题对称行列式是一种常见的矩阵，其特点是对角线两侧的元素按照代数余子方式排列构成。

对称行列式在数学和物理中有着广泛的应用，如求解线性方程组、计算特征值等。

下面，我们将通过几个例题，介绍对称行列式的计算技巧。

例题 1：计算｜Δ芊Δ｜的值，其中 A 是 3x3 对称矩阵：[1, 2, 3;4, 5, 6;7, 8, 9]方法 1：代数余子方式展开法｜Δ芊Δ｜ = ［a₁₁+a₂２+a₃３+a₁２a₂３+a₂１a３３+a₃１a１３］－［a₁２+a２３］［b１１+b２２］［b３３］解：根据 A 的特点，我们可将 A 拆成两个矩阵 A 和 B 的和，即 A=［1, 2; 4, 5］，B=［7, 8; 9, ］。

因此，｜Δ芊Δ｜ = ［a₁₁+a₂２+a₃３］－［a₁２+a２３］［b１１+b２２］［b３３］=［1+5+9］－［2+8］［7］［］=［］方法 2：降阶法｜Δ芊Δ｜ =［］=［］=［］=［］解：根据矩阵的特点，我们可将 A 拆成两个矩阵的和，即 A=［］，B=［］。

因此，｜Δ芊Δ｜ =［］=［］=［］。

例题 2：计算｜A＇A｜的值，其中 A 是 4x4 对称矩阵：[0, -3, -3;-3, 7, -6;-3, -6, 5]方法 3：简化矩阵求值法在求对称矩阵的行列式时，可以通过将对称矩阵化简为最简形式，从而简化求值过程。

具体来说，可以将对称矩阵的主对角线元素相加，再与其他元素按列相乘即可得到行列式的值。

解：根据矩阵的特点，我们可将 A 化简为最简形式 B-Cx，其中 B 是上三角矩阵：[5, -3;0, -6]C 是下三角矩阵：-6]因此，｜A＇A｜ =(B-Cx)-×C=(B)-x=-(x)=［-18］x=-3=［］x=-24。

方法：4．展开二阶范德蒙行列式法根据二阶范德蒙行列式的展开式进行计算。

解：｜A＇A｜=(Δ′EΔ)×(A-＇E)=(-3Δ′Δ)×(-)=(-3)×(-)=［］=［］。

行列式的题型题法大全专题讲座一、行列式的基础题型与题法【例1】求极限23123sin 2lim1111sin cos 111x x xxx x L x x →=+-解：应用罗毕达法则22323123100123000123123sin 2sin 2cos 10002lim lim40001111111111sin cos 1cos sin 01sin cos 11001111011x x x x x xxx xxx x x x x L x x x x x x →→++====-++-++---●同步练习：()()23221236026x x xF x x xF x xx'=⇒=【例2】行列式的分解方法和重要结论设n 阶同型矩阵，()()(); ij ij ij ij A a B b A B a b ==⇒+=+，而行列式只是就某一列分解，所以，A B +应当是2n 个行列式之和，即A B A B +≠+。

以我们经常遇到三阶行列式的特征值问题举例如下：()()()111213111213212223212223313233313233131211232221333231111(112)12121111132123313320000000000000000000000a a a a a a E A a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a λλλλλλλλλλλλλλλλλ-------=---=------------=+-+-+------+----()()()()11121112111213212221222122233132313231323312221221222000a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a λλ-------+--+--+----------()()()()11121322231113111232112233212223323331332122313233123112233111213123212223313233 1根据韦达定理，马上可以得到两个重要公式：na a a a a a a a a E A a a a a a a a a a a a a a a a a a a Tr A a a a a a a A a a a λλλλλλλλλλ⎛⎫-=-+++++-⎪⎝⎭⎧++=--++=⎡⎤⎣⎦⎪⎪⎨=-⋅-=⎪⎪⎩其中，()111表示取被展开的行列式中的各列的第一子列，余类推。

行列式的几种常见计算技巧和方法2.1 定义法适用于任何类型行列式的计算，但当阶数较多、数字较大时，计算量大，有一定的局限性．例1 计算行列式0004003002001000.解析：这是一个四级行列式，在展开式中应该有244=！项，但由于出现很多的零，所以不等于零的项数就大大减少．具体的说，展开式中的项的一般形式是43214321j j j j a a a a ．显然，如果41≠j ，那么011=j a ，从而这个项就等于零．因此只须考虑41=j 的项，同理只须考虑1,2,3432===j j j 的这些项，这就是说，行列式中不为零的项只有41322314a a a a ，而()64321=τ，所以此项取正号．故004003002001000=()()241413223144321=-a a a a τ.2.2 利用行列式的性质即把已知行列式通过行列式的性质化为上三角形或下三角形.该方法适用于低阶行列式． 2.2.1 化三角形法上、下三角形行列式的形式及其值分别如下：nn n nn a a a a a a a a a a a a a K ΛM O M M M K K K 2211nn333223221131211000000=，nn nnn n n a a a a a a a a a a a a a K ΛM O M M M K K K 2211321333231222111000000=. 例2 计算行列式nn nnb a a a a a b a a a a ++=+KM O M M M K K 21211211n 111D . 解析：观察行列式的特点，主对角线下方的元素与第一行元素对应相同，故用第一行的()1-倍加到下面各行便可使主对角线下方的元素全部变为零．即：化为上三角形．解：将该行列式第一行的()1-倍分别加到第2,3…（1n +）行上去，可得121n 11210000D 000n n na a ab b b b b +==KK M M M O M K.2.2.2 连加法这类行列式的特征是行列式某行（或列）加上其余各行（或列）后，使该行（或列）元素均相等或出现较多零，从而简化行列式的计算．这类计算行列式的方法称为连加法．例3 计算行列式mx x x x m x x x x mx D n nn n ---=ΛM O M M ΛΛ212121. 解： mx x mxx m x m xx x mxn ni in ni in ni i-----=∑∑∑===ΛM O M MΛΛ212121n Dmx x x m x x x m x n n n n i i --⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∑=ΛM O M M ΛΛ2221111mm x x m x n n i i --⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∑=ΛM OM M ΛΛ0000121()⎪⎭⎫ ⎝⎛--=∑=-m x m n i i n 11. 2.2.3 滚动消去法当行列式每两行的值比较接近时，可采用让邻行中的某一行减或者加上另一行的若干倍，这种方法叫滚动消去法．例4 计算行列式()2122123123122121321D n ≥-------=n n n n n n n n nn ΛM M O M M M ΛΛΛ. 解：从最后一行开始每行减去上一行，有1111111111*********D n ---------=ΛM M O M M M ΛΛΛn n 1111120022200021321----=ΛM M O M M M ΛΛΛn n 0111100011000011132122ΛM M O M M M ΛΛΛ+-=-n n n ()()21211-++-=n n n .2.2.4 逐行相加减对于有些行列式，虽然前n 行的和全相同，但却为零．用连加法明显不行，这是我们可以尝试用逐行相加减的方法．例5 计算行列式111110000000000000D 32211ΛΛM M O M M MΛMΛn n a a a a a a a ----=. 解：将第一列加到第二列，新的第二列加到第三列，以此类推，得：13210000000000000000D 321+----=n na a a a n ΛΛM M O M M M ΛΛΛ ()()()()()n n n a a a n a a a n ΛΛ21n 21n 2211111+-=+--=+.2.3 降阶法将高阶行列式化为低阶行列式再求解．2.3.1 按某一行（或列）展开例6 解行列式1221n 1000000000100001D a a a a a x x x x n n nKKM M O M M M O K K -----=.解：按最后一行展开，得n n n n n a x a x a x a D ++++=---12211K .2.3.2 按拉普拉斯公式展开拉普拉斯定理如下：设在行列式D 中任意选定了()1-n k 1k ≤≤个行.由这k 行元素所组成的一切k 级子式与它们的代数余子式的乘积的和等于行列式D.即n n 2211A M A M A M D +++=Λ，其中i A 是子式i M 对应的代数余子式．即nn nn nnnn nnB A BC A •=0， nn nn nnnnnn B A B C A •=0. 例7 解行列式γβββββγββββγλΛMO M M M M ΛΛΛb bbaa a a n =D .解：从第三行开始，每行都减去上一行；再从第三列开始，每列都加到第二列，得βγβγγββββγλ---=ΛM O M M M M ΛΛΛ00000D n b aa a a()()βγβγββββγλ---+-=ΛM O M M M M ΛΛΛ00000021n b a a aa n ()()βγβγβγλ--•-+-=ΛMO M M Λ000021n ba n ()()[]()21n 2-----+=n ab n βγβλλγ.2.4 升阶法就是把n 阶行列式增加一行一列变成n+1阶行列式，再通过性质化简算出结果，这种计算行列式的方法叫做升阶法或加边法．升阶法的最大特点就是要找每行或每列相同的因子,那么升阶之后，就可以利用行列式的性质把绝大多数元素化为0，这样就达到简化计算的效果．其中，添加行与列的方式一般有五种：首行首列，首行末列，末行首列，末行末列以及一般行列的位置．例8 解行列式D=111110111110111110111110ΛΛM M O M M M ΛΛΛ. 解：使行列式D 变成1+n 阶行列式，即111010110110101110011111D ΛΛM M OM M M ΛΛΛ=. 再将第一行的()1-倍加到其他各行，得：D=1101001001010001111111--------ΛΛM M O M M M ΛΛΛ. 从第二列开始，每列乘以()1-加到第一列，得：10010000010000011111)1n D ------=ΛΛM M O M M M ΛΛΛ（ ()()1n 11n --=+.2.5数学归纳法有些行列式，可通过计算低阶行列式的值发现其规律，然后提出假设，再利用数学归纳法去证明．对于高阶行列式的证明问题，数学归纳法是常用的方法．例9 计算行列式βββββcos 211cos 200000cos 210001cos 210001cos ΛΛM M O M M M ΛΛΛ=n D . 解:用数学归纳法证明. 当1=n 时，βcos 1=D . 当2=n 时，ββββ2cos 1cos 2cos 211cos 22=-==D .猜想，βn D n cos =.由上可知，当1=n ，2=n 时，结论成立．假设当k n =时，结论成立．即：βk D k cos =.现证当1+=k n 时，结论也成立．当1+=k n 时，βββββcos 211cos 200000cos 210001cos 210001cos 1ΛΛM M O M M M ΛΛΛ=+k D .将1+k D 按最后一行展开，得()βββββcos 20000cos 21001cos 21001cos cos 21D 111k ΛM O M M M ΛΛΛ•-=++++k k()10cos 21001cos 21001cos 11ΛM O M M M ΛΛΛβββkk ++-+ 1cos 2--=k k D D β.因为βk D k cos =，()()βββββββsin sin cos cos cos 1cos 1k k k k D k +=-=-=-，所以1+k D 1cos 2--=k k D D βββββββsin sin cos cos cos cos 2k k k --= ββββsin sin cos cos k k -= ()β1cos +=k .这就证明了当1+=k n 时也成立，从而由数学归纳法可知，对一切的自然数，结论都成立． 即：βn D n cos =.2.6 递推法技巧分析：若n 阶行列式D 满足关系式021=++--n n n cD bD aD .则作特征方程02=++c bx ax .① 若0≠∆，则特征方程有两个不等根，则1211--+=n n n Bx Ax D ．② 若0=∆，则特征方程有重根21x x =，则()11-+=n n x nB A D ． 在①②中， A ，B 均为待定系数，可令2,1==n n 求出．例10 计算行列式94000005940000000594000005940000059D n ΛΛM M M O M M M M ΛΛΛ=.解：按第一列展开，得21209---=n n n D D D .即020921=+---n n n D D D ．作特征方程02092=+-x x .解得5,421==x x .则1154--•+•=n n n B A D .当1=n 时，B A +=9；当2=n 时，B A 5461+=. 解得25,16=-=B A ，所以1145++-=n n n D .3、行列式的几种特殊计算技巧和方法3.1 拆行（列）法3.1.1 概念及计算方法拆行（列）法（或称分裂行列式法），就是将所给的行列式拆成两个或若干个行列式之和，然后再求行列式的值．拆行（列）法有两种情况，一是行列式中有某行（列）是两项之和，可直接利用性质拆项；二是所给行列式中行（列）没有两项之和，这时需保持行列式之值不变，使其化为两项和． 3.1.2 例题解析例11 计算行列式nn n n a a a a a a a a --------=-1110000011000110001D 133221ΛΛM M O M M M ΛΛΛ.解：把第一列的元素看成两项的和进行拆列，得nn n n a a a a a a a a --+-+--+-+--=-110010000001100001010001D 133221ΛΛM M O M M M ΛΛΛ .1101000001100010000110001000001100011000113322113322nnn nn n a a a a a a a a a a a a a a a -------+-------=--ΛΛM MO M M M ΛΛΛΛΛM M O M M M ΛΛΛ上面第一个行列式的值为1，所以nnn n a a a a a a a ------=-11001000010011D 13321ΛΛM M O M MΛΛ 111--=n D a .这个式子在对于任何()2≥n n 都成立，因此有111--=n n D a D()()n n n a a a a a a D a a ΛΛΛ2112112211111---+++-==--=()∏∑==-+=ij j ii a 1n111.3.2 构造法3.2.1 概念及计算方法有些行列式通过直接求解比较麻烦，这时可同时构造一个容易求解的行列式，从而求出原行列式的值． 3.2.2 例题解析例12 求行列式n nn nn n n n nnn x x x x x x x x x x x x D ΛΛMM MM ΛΛΛ21222212222121111---=.解：虽然n D 不是范德蒙德行列式，但可以考虑构造1+n 阶的范德蒙德行列式来间接求出n D 的值． 构造1+n 阶的范德蒙德行列式，得()nn nn nn n n n n n n n n n n n x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x f ΛΛΛM M O M MΛΛΛ21111211222221222221211111--------=. 将()x f 按第1+n 列展开，得()n n n n n n n n x A x A x A A x f 1,111,1,21,1++-+++++++=Λ，其中，1-n x的系数为()()n n n n n n D D A -=-=+++11,1.又根据范德蒙德行列式的结果知()()()()()∏≤<≤----=ni j j in x xx x x x x x x f 121Λ.由上式可求得1-n x 的系数为()()∏≤<≤-+-ni j j in x xx x x 121Λ.故有()()∏≤<≤-+++=ni j j in n x xx x x D 121Λ.3.3 特征值法3.3.1 概念及计算方法设n λλλΛ，，21是n 级矩阵A 的全部特征值，则有公式 n A λλλΛ21=.故只要能求出矩阵A 的全部特征值，那么就可以计算出A 的行列式．3.3.2 例题解析例13 若n λλλΛ，，21是n 级矩阵A 的全部特征值，证明：A 可逆当且仅当它的特征值全不为零． 证明：因为n A λλλΛ21=，则A 可逆()n i i n ΛΛ2,1000A 21=≠⇔≠⇔≠⇔λλλλ.即A 可逆当且仅当它的特征值全不为零．4、几类特殊的行列式的巧妙计算技巧和方法4.1 三角形行列式4.1.1 概念形如nn n nn a a a a a a a a a a M OKK K 333223221131211，nnn n n a a a a a a a a a a ΛO M M M 321333231222111这样的行列式，形状像个三角形，故称为“三角形”行列式． 4.1.2 计算方法 由行列式的定义可知，nn nnn nn a a a a a a a a a a a a a K ΛM O M M M K K K 2211333223221131211000000=,nn nnn n n a a a a a a a a a a a a a K ΛM O M M M K K K 2211321333231222111000000=. 4.2 “爪”字型行列式4.2.1 概念形如nn na c a c a cb b b a OM Λ2211210，nnnc a c a c a a b b b M N Λ2211012，nnn b b b a a c a c a c ΛNM 2101122，121122a b b b c a c a c a nn nΛMO这样的行列式，形状像个“爪”字，故称它们为“爪”字型行列式． 4.2.2 计算方法利用对角线消去行列式中的“横线”或“竖线”，均可把行列式化成“三角形”行列式．此方法可归纳为：“爪”字对角消竖横． 4.2.3 例题解析例14 计算行列式na a a a 111111321OM Λ，其中.,2,1,0n i a i Λ=≠分析：这是一个典型的“爪”字型行列式，计算时可将行列式的第.),3,2(n i i Λ=列元素乘以ia 1-后都加到第一列上，原行列式可化为三角形行列式．解:na a a a 111111321OM Λ nni ia a a a a 00011113221OM Λ∑=-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=∑=ni i n aa a a a 21321Λ. 4.3 “么”字型行列式4.3.1 概念形如n nn b b b a a c a c a c ΛNN 2101122，nn n a b c a b c a b c a OO2221110，n n nc a c a c a a b b b N N Λ2211012，0111222a c b a c b a c b a n n n OM O ，1021122c a c a b a b c a b nn n NN M ，n nna c a c a cb b b a O OΛ2211210，0121122a b b b c a c a c a nn nΛO O，nnn b a b c b a b a c a c 12211201NN 这样的行列式，形状像个“么”字，因此常称它们为“么”字型行列式． 4.3.2 计算方法利用“么”字的一个撇消去另一个撇，就可以把行列式化为三角形行列式．此方法可以归纳为：“么”字两撇相互消．注意：消第一撇的方向是沿着“么”的方向，从后向前，利用n a 消去n c ，然后再用1-n a 消去1-n c ，依次类推． 4.3.3 例题解析例15 计算1+n 阶行列式nn n b b b D 1111111111----=-+M NN M NN .解：从最后一行开始后一行加到前一行（即消去第一撇），得nnn ni ini in b b b bb D 11111111-+--+-=-==+∑∑MN MN()()()⎪⎭⎫ ⎝⎛+--•-=∑=+ni i nn n b 121111()()⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=∑=+ni i n n b 12311.4.4 “两线”型行列式4.4.1 概念形如nnn a b b b a b a ΛΛM M M M MΛΛ00000000012211-这样的行列式叫做“两线型”行列式． 4.4.2 计算方法对于这样的行列式，可通过直接展开法求解． 4.4.3 例题解析例16 求行列式nn n n a b b b a b a ΛΛM M M M MΛΛ000000000D 12211-=. 解：按第一列展开，得()122111221100010000-+-+-+=n n n nn n b b a b b a b b a a D ΛM O M M ΛΛΛΛM O M M Λ()n n n b b b a a a ΛΛ211211+-+=.4.5 “三对角”型行列式4.5.1 概念形如ba ab b a ab b a abb a ab b a +++++10000000000100000100000ΛΛM M O M M M M M ΛΛΛ 这样的行列式，叫做“三对角型”行列式．4.5.2 计算方法对于这样的行列式，可直接展开得到两项递推关系式，然后变形进行两次递推或利用数学归纳法证明． 4.5.3 例题解析例17 求行列式ba ab b a ab b a abb a ab b a n +++++=10000000000000100000100000D ΛΛM M O M M M M M ΛΛΛ. 解：按第一列展开，得()ba ab b a b a ab b a abb a ab D b a n n +++++-+=-10000010000100000D 1ΛΛM M O M M M ΛΛΛ ()21---+=n n abD D b a .变形，得()211D ----=-n n n n aD D b aD .由于2221,b ab a D b a D ++=+=， 从而利用上述递推公式得()211D ----=-n n n n aD D b aD ()()n n n n b aD D b aD D b =-==-=---122322Λ.故()nn n n n n n n n n b ab b a D a b b aD a b aD D ++++==++=+=------12211121ΛΛn n n n b ab b a a ++++=--11Λ.4.6 Vandermonde 行列式4.6.1 概念形如113121122322213211111----n nn n n n n a a a a a a a a a a a a ΛM O M M M ΛΛΛ这样的行列式，成为n 级的范德蒙德行列式．4.6.2 计算方法通过数学归纳法证明，可得()∏≤<≤-----=11113121122322213211111i j j i n nn n n nn a a a a a a a a a a a a a a ΛM O M M M ΛΛΛ. 4.6.3 例题解析例18 求行列式n nn nn n n n nnn x x x x x x x x x x x x D ΛΛMM MM ΛΛΛ21222212222121111---=.解：虽然n D 不是范德蒙德行列式，但可以考虑构造1+n 阶的范德蒙德行列式来间接求出n D 的值． 构造1+n 阶的范德蒙德行列式，得()nn nn nn n n n n n n n n n n n x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x f ΛΛΛM M O M MΛΛΛ21111211222221222221211111--------=. 将()x f 按第1+n 列展开，得()n n n n n n n n x A x A x A A x f 1,111,1,21,1++-+++++++=Λ， 其中，1-n x 的系数为()()n n n n n n D D A -=-=+++11,1.又根据范德蒙德行列式的结果知()()()()()∏≤<≤----=ni j j in x xx x x x x x x f 121Λ.由上式可求得1-n x 的系数为()()∏≤<≤-+-ni j j in x xx x x 121Λ,故有()()∏≤<≤-+++=ni j j in n x xx x x D 121Λ.5、行列式的计算方法的综合运用有些行列式如果只使用一种计算方法不易计算，这时就需要结合多种计算方法，使计算简便易行．下面就列举几种行列式计算方法的综合应用．5.1 降阶法和递推法例19 计算行列式2100012000002100012100012D ΛΛM M O M M M ΛΛΛ=n . 分析：乍一看该行列式，并没有什么规律．但仔细观察便会发现，按第一行展开便可得到1-n 阶的形式．解：将行列式按第一行展开，得212D ---=n n n D D . 即211D ----=-n n n n D D D .∴12312211=-=-==-=----D D D D D D n n n n Λ. ∴()()111111---++++==+=n n n n D D D ΛΛ()121+=+-=n n .5.2 逐行相加减和套用范德蒙德行列式例20 计算行列式43423332232213124243232221214321sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin 1sin 1sin 1sin 11111D ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ++++++++++++=解：从第一行开始，依次用上一行的()1-倍加到下一行，进行逐行相加，得43332313423222124321sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin 1111ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ=D .再由范德蒙德行列式，得()∏≤<≤-==4143332313423222124321sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin 1111i j j i D ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ.5.3 构造法和套用范德蒙德行列式例21 求行列式n nn nn n n n nnn x x x x x x x x x x x x D ΛΛMM MM ΛΛΛ21222212222121111---=.解：虽然n D 不是范德蒙德行列式，但可以考虑构造1+n 阶的范德蒙德行列式来间接求出n D 的值． 构造1+n 阶的范德蒙德行列式，得()nn nn nn n n n n n n n n n n n x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x f ΛΛΛM M O M MΛΛΛ21111211222221222221211111--------=.将()x f 按第1+n 列展开，得()n n n n n n n n x A x A x A A x f 1,111,1,21,1++-+++++++=Λ，其中，1-n x 的系数为()()n n n n n n D D A -=-=+++11,1.又根据范德蒙德行列式的结果知()()()()()∏≤<≤----=ni j j in x xx x x x x x x f 121Λ.由上式可求得1-n x 的系数为()()∏≤<≤-+-ni j j in x xx x x 121Λ.故有()()∏≤<≤-+++=ni j j in n x xx x x D 121Λ.。