《应用统计学》第8章：两个总体的假设检验

2. σ12≠σ22 且未知
此时，可用 Excel 的【工具】→“数据分析”→ “ t 检验：双样本异方差假设” 检验 σ12≠σ22且都未知时两个正态总体的均值。
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【案例1】哪种安眠药的疗效好？ 案例 】哪种安眠药的疗效好？
为分析甲、乙两种安眠药的效果，某医院将20个失 眠病人分成两组，每组10人，两组病人分别服用甲、 乙两种安眠药作对比试验。试验结果如下： 两种安眠药延长睡眠时间对比试验(小时)
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案例1——哪种安眠药的疗效好？ 哪种安眠药的疗效好？ 案例 哪种安眠药的疗效好
为分析甲、乙两种安眠药的效果，某医院将20个失 眠病人分成两组，每组10人，两组病人分别服用甲、 乙两种安眠药作对比试验。试验结果如下： 两种安眠药延长睡眠时间对比试验(小时)
病人 安眠药
1 1.9
2 0.8
3 1.1
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解：12 = σ22 = σ2 未知， n1= 5，n2= 6， H0：1= 2 σ
⑴双边检验问题 H1：1≠2。由所给数据，可求得 x1 = 1556, x2 = 1733 , S12=269.62， S22=471.92
2 (n1 1) S 1 + (n2 1) S 2 4 × 269.6 2 + 5 × 471.9 2 2 = 395 Sw = = n1 + n2 2 9
第8章 两个总体的假设检验 章
本章教学目标
掌握运用 Excel 的“数据分析”及其统计函数 功能求解两个总体的假设检验问题。
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本章主要内容： 本章主要内容：
§8.1 §8.2 §8.3 §8.4 §8.5 §8.6 案例介绍 两个独立正态总体均值的检验 成对样本试验的均值检验 两个正态总体方差的检验(F检验) 两个总体比例的检验 两个总体的假设检验小结
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F 分布密度函数的图形
f (x) n1=20, n2=100 n1=20, n2=25 n1=20, n2=10 x
0
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F 分布的右侧 α 分位点 Fα ( n1, n2 ) 右
F 分布的右侧 α 分位点为满足 P{ F > Fα ( n1, n2 ) } = α 的数值 Fα (n1, n2)。
病人 安眠药 甲 乙 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1.9 0.8 1.1 0.1 –0.1 4.4 5.5 1.6 4.6 3.4 0.7 –1.6 –0.2 –1.2 –0.1 3.4 3.7 0.8 0.0 2.0
(1)两种安眠药的疗效有无显著差异？ (2)如果将试验方法改为对同一组10个病人，每人分别 服用甲、乙两种安眠药作对比试验，试验结果仍如 上表，此时两种安眠药的疗效间有无差异？
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§8.4 两个正态总体方差的检验
1. F 分布 则随机变量 Y～χ 2(n2)， 且 X 和 Y 相互独立， 设 X～χ 2(n1)，
X/n1 F= Y/n2
服从自由度为( n1, n2 )的 F 分布，记为 F ～ F ( n 1, n 2 ) n1 为第一(分子的)自由度， n2 为第而，若 “P(T<=t)单尾”或“P(T<=t)双尾”>0.05，则结果为不显著； “P(T<=t)单尾”或“P(T<=t)双尾”<0.05，则一般显著； “P(T<=t)单尾”或“P(T<=t)双尾”<0.01，则高度显著； “P(T<=t)单尾”或“P(T<=t)双尾”<0.001，则极高度显著。 本例中：∵ “P(T<=t)单尾”= 0.2387 >0.05； “P(T<=t)双尾”= 0.4773 >0.05， 故无论单边还是双边检验结果都不显著。 11
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用 Excel 求解
可用 Excel 的【工具】→“数据分析”→ “F检验： 双样本方差” 检验两个正态总体是否是同方差的。 在 Excel 的输出结果中 “P(F<=f)单尾”与“P(T<=t)单尾”的含义是相同 的，即 p 值。 ∵本例中“P(F<=f)单尾”的值为 0.1503， 故其双边检验所达到的显著性水平为 2×0.1503 = 0.3006 > 0.20 故在在水平 α ＝ 0.20下，σ12 与 σ22 间无显著差异。
9 × 2.002 2 + 9 ×1.789 2 = 1.8985 Sw = 18 12.33 0.75 | t |= = 1.8609 < t0.025 (18) = 2.1009 1.8985 1 / 10 + 1 / 10
故不能拒绝H0，两种安眠药的疗效间无显著差异。 用Excel 求解本案例
可用 Excel 的统计函数 FINV 返回 Fα(n1，n2)。 语法规则如下： 格式：FINV(α , n1, n2 ) 功能: 返回 Fα ( n1, n2 )的值。
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2. 两总体方差的检验 ( F 检验 )
原假设为 H0：σ12=σ22。 当 H0为真时， 统计量
S12 F = 2 ～ F ( n1-1, n2-1 ) S2
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§8.2 两个独立正态总体均值的检验
设总体 X1～ N ( 1, σ12)， X2～N ( 2, σ22)， 且 X1和 X2 相互独立。 X 1 , X 2 和 S12, S22 分别是 它们的样本的均值和样本方差， 样本容量分别为 n 1和 n 2。 原假设为 H0：1 = 2
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1. σ12 = σ22 = σ 2，但 σ 2 未知 ( t 检验 )
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成对样本试验— §8.3 成对样本试验 案例 1 (2)解答 解答
由于此时 X1, X2 为同一组病人分别服用两种安眠 成对样本试验。 成对样本试验 药的疗效， 因此 X1, X2 不独立，属于成对样本试验 对于这类“成对样本试验 成对样本试验”的均值检验，应当化 成对样本试验 为单个正态总体的均值检验。方法如下： 设 X=X1-X2 (服用甲、乙两种安眠药延长睡眠时 间之差)， 则 X～N ( , σ 2 )。 H0： = 0， H1：≠0 由表中所给数据，可求得 x = 1.58, S =1.23，n =10
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§8.1 案例介绍
【案例1】新工艺是否有效？ 案例 】新工艺是否有效？
某厂生产的一种钢丝的平均抗拉强度为 10560 (kg/cm2)。 现采用新工艺生产了一种新钢丝，随机抽取 10 根， 测得抗拉强度为： 10512, 10623, 10668, 10554, 10776 10707, 10557, 10581, 10666, 10670 求得新钢丝的平均抗拉强度为 10631.4(kg/cm2)。 是否就可以作出新钢丝的平均抗拉强度高于原钢丝， 即新工艺有效的结论?
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案例 1 解答
(1)设服用甲、乙两种安眠药的延长睡眠时间分别为 X1, X2， X1～N( 1, σ 2)，X2～N( 2, σ 2)， n1 = n2 =10。 由试验方法知 X1, X2 独立。 H0：1=2，H1：1≠2 由表中所给数据，可求得：
x1 = 2.33, S12=2.0022， x2 = 0.75, S22=1.7892
f (t) “P(T<=t)单尾”的值(概率) 0 t (统计量)
由图可知：P(T<=t)双尾 = 2×P(T<=t)单尾
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“P(T<=t)单尾”与“P(T<=t)双尾”的使用
“P(T<=t)单尾” 由图可知： t > tα 等价于 “P(T<=t)单尾”< α t > tα/2 等价于 “P(T<=t)双尾”< α
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用 Excel 检验两总体均值
可用 Excel 的【工具】→“数据分析”→“ t检验：双 样本等方差假设”，检验 σ12=σ22=σ 2，但σ 2未知时 两个总体的均值。 在Excel 的输出结果中： 临界显著性水平； 临界显著性水平 “P(T<=t)单尾”—单边检验达到的临界显著性水平 临界显著性水平。 临界显著性水平 “P(T<=t)双尾” —双边检验达到的临界显著性水平 “P(T<=t)单尾”和“P(T<=t)双尾”统称为“ p 值 ”。
| x1 x2 | | 1556 1733 | | t |= = = 0.74 S w 1 / n1 + 1 / n2 395 1 / 5 + 1 / 6
∵ | t | = 0.74 < tα/2 (n1+n2-2) = t0.025(9) = 2.2622 故两种轿车的平均首次故障里程间无显著差异， 即两种轿车的该项质量指标是处于同一水平的。
完全类似地，可以得到如下检验方法：
统计量 备择假设 拒绝域
F > Fα / 2 (n1 1, n2 1)
S F= S
2 1 2 2
σ ≠σ
2 1
2 2
或 F < F1α / 2 (n1 1, n2 1) F > Fα (n1 1, n2 1) F < F1α (n1 1, n2 1)
备择假设
Sw
1 ≠ 2 1 > 2 1 < 2
拒绝域 | t |< tα / 2 (n1 + n2 2)
t > tα (n1 + n2 2) t < tα (n1 + n2 2)
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【案例2】轿车质量差异的检验 案例 】
测得甲, 乙两种品牌轿车的首次故障里程数数据如下： 甲品牌 X1：1200, 1400, 1580, 1700, 1900 乙品牌 X2：1100, 1300, 1800, 1800, 2000, 2400 设 X1和 X2 的方差相同。问在水平 α ＝ 0.05 下， (1)两种轿车的平均首次故障里程数之间有无显著差异? (2)乙品牌轿车的平均首次故障里程是否比甲品牌有显 著提高?