轴对称(例1)

《生活中的轴对称》典型例题例1 指出下列图形中的轴对称图形例2 指出下列图形中的轴对称图形，并指出轴对称图形的对称轴．(1)正方形；(2)长方形；(3)圆；(4)平行四边形．例3 画出下列图形的对称轴。

例4 指出下边哪组图形是轴对称的，并指出对称轴．(1)任意两个半径相等的圆；(2)正方形的一条对角线把一个正方形分成的两个三角形；(3)长方形的一条对角线把长方形分成的两个三角形；(4)两个全等的三角形．(1) (2) (3) (4)(5) (6) (7) (8)例5找出下面的轴对称图形，并说出它们各有几条对称轴．例6 下列图形中，不是轴对称图形的是( )(A)有两个角相等的三角形(B)有一个内角是︒45的直角三角形(C)有一个内角是︒120的三角形30，另一个内角为︒(D)有一个角是︒30的直角三角形例7观察中(1)～(5)，它们是不是轴对称图形?有什么共同特点?例8请分别画出下图中3个图形的对称轴．例9如图，(1)正三角形，(2)正四边形，(3)正五边形，(4)正六边形，(5)正八边形，(6)正九边形都是轴对称图形，数一数它们的对称轴的条数．观察后分析：正多边形对称轴的条数与边数"有什么关系?根据你的分析结果回答，正十边形，正十六边形，正二十九边形分别有几条对称轴?正五十边形呢?正一百边形呢?参考答案例1分析：正确理解轴对称图形概念．解：轴对称图形是(2)(3)(4)(6)(7)(8)例2 分析：判断一个图形是否是轴对称图形，关键是能否找到一条直线使该图的两部分沿这条直线对折后完全重合．解：(1)、(2)、(3)都是轴对称图形，(4)不是轴对称图形．正方形的对称轴是两条对边中点所在的直线和正方形对角线所在的直线；长方形的对称轴是两条对边中点所在的直线；圆的对称轴是任意一条直径所在的直线．说明：对称轴是一条直线，不是线段．例3分析：依据定义可以画出，但可能是多条．解：如图例4 分析：判断两个图形是否是轴对称，关键是能否找到一条直线使这两个图形沿这条直线对折后能够重合．解：(1)和(2)每组的两个图形都是轴对称的．(3)和(4)每组的两个图形不是轴对称的．(1)的对称轴是连结两个圆心的线段的垂直平分线；(2)的对称轴就是原正方形分成两三角形时的这条对角线所在的直线．说明：对称轴是直线而非线段．例5分析：本题主要考查识别轴对称图形的能力．根据轴对称图形的概念来认真识别．但要注意．图(9)(10)这两个图也有“对称”性，但它们没有对称轴．不能把它们误认为是轴对称图形．解：根据图形可知：(1)是轴对称图形，它有3条对称轴；(2)是轴对称图形，它有5条对称轴；(3)是轴对称图形．它有4条对称轴.(4)是轴对称图形．它有1条对称轴；(5)是轴对称图形，它有2条对称轴；(6)不是轴对称图形；(7)是轴对称图形，它有1条对称轴；(8)是轴对称图形，它有1条对称轴；(9)(10)虽然有“对称”性，但都不是轴对称图形．例6 分析：在(A)中，有两个角相等的三角形一定是等腰三角形，而等腰三角形一定是轴对称图形，它的对称轴为底边上的高(或底边上的中线或顶角的平分线). 而(B)和(C)中的两个三角形同样也是等腰三角形，所以也是轴对称图形. 那么(D)中三角形的三个内角各不相等，不是等腰三角形，所以(D)不是轴对称图形.解：选(D)说明：在三角形中，只有等腰三角形才是轴对称图形，而不是等腰三角形的三角形就一定不是轴对称图形.例7分析：本题主要考查两个图形成轴对称图形的理解．可以利用轴对称的概念加以判断，但不能把两个图形成轴对称与一个图形是轴对称图形的概念相混淆．解：它们都是轴对称图形，每一组中都有两个图形．可以沿某一条直线对折使两个图形能完全重合在一起，所以每幅图中的两个图形成轴对称．轴对称图形是一个图形．可以有一条或许多条对称轴．(1)～(5)两个图形成轴对称，一般来说只有一条对称轴．例8分析：找对称轴从不同角度观察，全面分析．解：(1)有6条对称轴；(2)有5条对称轴；(3)有6条对称轴．画图略．例9分析：正多边形并不都是轴对称图形．但是，是轴对称图形的正多边形的对称轴的条数与其边数有着密切的联系，请仔细找出它们之间的规律．解：正三角形有3条对称轴，正四边形有4条对称轴，正五边形有5条对称轴，正六边形就有6条对称轴，正八边形有8条对称轴，正九边形有9条对称轴．正多边形对称轴的条数与边数n之间的关系是：边数是n，对称轴的条数是n条．所以正十边形有10条对称轴，正十六边形有16条对称轴，正二十九边形就有29条对称轴，正五十边形就有50条对称轴，正一百边形就有100条对称轴．。

轴对称典例详解例1. 如图，四边形OABC 是面积为4的正方形，函数)0x (xky >=的图象经过点B .(1) 求k 的值；（2）将正方形OABC 分别沿直线AB ，BC 翻折，得到正方形MABC ′和NA′BC .设线段MC ′，NA′分别与函数)0x (xky >=的图象交于点F ，E . 求线段EF 所在直线的解析式. 解：解：(1) ∵ B （2,2），∴ k = 4 ………………………………………1分 (2) 由翻折可知，M （4,0）N （0,4）可求得F （4,1），E （1,4）………………….3分 设直线EF 的解析式为b kx y +=， 可求得5b ,1k =-= (4)分所以，线段EF 所在直线的解析式为5x y +-=……………………………………5分 例2.(1)观察发现如题26(a)图，若点A ，B 在直线同侧，在直线上找一点P ，使AP+BP 的值最小． 做法如下：作点B 关于直线的对称点B '，连接AB '，与直线的交点就是所求的点P 再如题26(b)图，在等边三角形ABC 中，AB=2，点E 是AB 的中点，AD 是高，在AD 上找一点P ，使BP+PE 的值最小．做法如下：作点B 关于AD 的对称点，恰好与点C 重合，连接CE 交AD 于一点，则这 点就是所求的点P ，故BP+PE 的最小值为 ．题26(a)图 题26(b)图(2)实践运用如题26(c)图，已知⊙O 的直径CD 为4，AD 的度数为60°，点B 是AD 的中点，在直径CD 上找一点P ，使BP+AP 的值最小，并求BP+AP 的最小值．题26(c)图题26(d)图(3)拓展延伸如题26(d)图，在四边形ABCD的对角线AC上找一点P，使∠APB=∠APD．保留作图痕迹，不必写出作法．【答案】解：（1（2）如图：作点B关于CD的对称点E，则点E正好在圆周上，连接OA、OB、OE，连接AE交CD与一点P，AP+BP最短，因为AD的度数为60°，点B是AD的中点，所以∠AEB=15°，因为B关于CD的对称点E，所以∠BOE=60°，所以△OBE为等边三角形，所以∠OEB=60°，所以∠OEA=45°，又因为OA=OE，所以△OAE为等腰直角三角形，所以AE=（3）找B关于AC对称点E，连DE延长交AC于P即可，例3.将边长OA=8，OC=10的矩形OABC 放在平面直角坐标系中，顶点O 为原点，顶点C 、A 分别在x 轴和y 轴上.在OA 、OC 边上选取适当的点E 、F ，连接EF ，将△EOF 沿EF 折叠，使点O 落在AB 边上的点D 处．图1 图2 图2-1（1）如图1，当点F 与点C 重合时，求OE 的长度.（2）如图2，当点F 与点C 不重合时，过点D 作DG ∥y 轴交EF 于点T ，交OC 于点G ，求证：EO=DT.解（1）如图1，设OE 为x ，则AE 为8-x. ∵△EDF 是由△EFO 折叠得到的， ∴OE=DE=x ，OC=DC=10.∵在直角△BCD 中由勾股定理知BD=6，则AD=4， ∴在直角△ADE 中,(8-x)2+16=x 2,则x=5. ∴OE 的长为5. 证明：（2）如图2-1，∵△EDF 是由△EFO 折叠得到的， ∴DE=EO ，∠1=∠2． 又∵DG∥y 轴， ∴∠1=∠3.∴∠2=∠3． ∴DE=DT ． ∴EO=DT ．例4.已知一个直角三角形纸片OAB ，其中9024AOB OA OB ∠===°，，．如图，将该纸片放置在平面直角坐标系中，折叠该纸片，折痕与边OB 交于点C ，与边AB 交于点D ． （1）若折叠后使点B 与点A 重合，求点C 的坐标；（2）若折叠后点B 落在边OA 上的点为B '，设O B x '=，OC y =，试写出y 关于x 的函数解析式，并确定y 的取值范围；（3）若折叠后点B 落在边OA 上的点为B '，且使B D OB '∥，求此时点C 的坐标．答案：（1）如图①，折叠后点B 与点A 重合， 则ACD BCD △≌△.设点C 的坐标为()()00m m >，. 则4BC OB OC m =-=-. 于是4AC BC m ==-.在Rt AOC △中，由勾股定理，得222AC OC OA =+， 即()22242m m -=+，解得32m =. ∴点C 的坐标为302⎛⎫⎪⎝⎭，.（2）如图②，折叠后点B 落在OA 边上的点为B ', 则B CD BCD '△≌△. 由题设OB x OC y '==，， 则4B C BC OB OC y '==-=-，在Rt B OC '△中，由勾股定理，得222B C OC OB ''=+.()2224y y x ∴-=+，即2128y x =-+ 由点B '在边OA 上，有02x ≤≤，∴ 解析式2128y x =-+()02x ≤≤为所求.∴ 当02x ≤≤时，y 随x 的增大而减小，y ∴的取值范围为322y ≤≤.（3）如图③，折叠后点B 落在OA 边上的点为B ''，且B D OB ''∥. 则OCB CB D ''''∠=∠. 又CBD CB D OCB CBD ''''∠=∠∴∠=∠，，有CB BA ''∥.Rt Rt COB BOA ''∴△∽△. 有OB OC OA OB''=，得2OC OB ''=. 在Rt B OC ''△中，设()00OB x x ''=>，则02OC x =. 由（2）的结论，得2001228x x =-+，解得000808x x x =-±>∴=-+，∴点C的坐标为()016.课后作业A 组了解图形的轴对称1.京剧是我国的国粹，剪纸是流传已久的民间艺术，这两者的结合无疑是最能代表中国特色的艺术形式之一．图中京剧脸谱剪纸中是轴对称图形的个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个图①图②图③【答案】：C2．把长为8cm 的矩形按虚线对折，按图中的虚线剪出一个直角梯形，打开得到一个等腰梯形，剪掉部分的面积为6cm 2，则打开后梯形的周长是（ ）A ．（cm B ．（cm C ．22cm D ．18cm 【答案】A 3． 将图(六)的正方形色纸沿其中一条对角线对折后，再沿原正方形的另 一条对角线对折，如图(七)所示。

典型例题一例01．下列图形中，不是轴对称图形的是（ ）（A ）有两个角相等的三角形（B ）有一个内角是的直角三角形︒45（C ）有一个内角是，另一个内角为的三角形︒30︒120（D ）有一个角是的直角三角形︒30分析：在（A ）中，有两个角相等的三角形一定是等腰三角形，而等腰三角形一定是轴对称图形，它的对称轴为底边上的高（或底边上的中线或顶角的平分线）. 而（B ）和（C ）中的两个三角形同样也是等腰三角形，所以也是轴对称图形. 那么（D ）中三角形的三个内角各不相等，不是等腰三角形，所以（D ）不是轴对称图形.解答：选（D ）说明：在三角形中，只有等腰三角形才是轴对称图形，而不是等腰三角形的三角形就一定不是轴对称图形.典型例题二例02．已知：直线MN ，同侧两点A 、B （如图）求作：点P ，使P 在MN 上，并且最小.BP AP +作法 1．作点A 关于直线MN 的对称点.A '2．连结交MN 于PA A '点P 就是所求作的点.说明 这类问题经常遇到，可以和生活中的问题结合衍生出许多应用问题，但本质都是这道题.典型例题三例03．在图（a ）中，分别作出点P 关于OA 、OB 的对称点，，连结交OA 1P 2P 21P P 于M ，交OB 于N ，若，则的周长为多少？cm P P 521=PMN ∆作法：略.解答：如图（b ）所示，∵，P 关于OA 对称，1P ∴PMM P =1同理可得.PN N P =2∴的周长PMN ∆MN PN PM ++=N P MN M P 21++=cmP P 521==∴的周长为. PMN ∆cm 5 说明 准确作图是关键.典型例题四例04．已知：（如图）四边形ABCD 和过点D 的直线MN ，求作：四边形，使四边形与四边形ABCD 关于MN 对称.D C B A ''''D C B A ''''作法 1．作，垂足为E ；延长BE 到，使，得到点B 的对称MN BE ⊥B 'BE E B ='点.2．同法作点A 和点C 的对称点.C A ''3．因为D 在对称轴MN 上，所以点D 的对称点重合.D '4．连结、、.B A ''C B ''D C ''四边形即为所求.D C B A '''' 说明 关键是掌握概念和基本作图.典型例题五例05．有一条小河（如图所示），两岸有A 、B 两地，要设计道路并在河上垂直于河岸架一座桥，用来连接A 、B 间路线怎样走，桥应架在何处，才能使A 到B 的距离最短.分析：桥梁无论架在何处均垂直于河岸，因此桥梁的长度是定值，决定路程长度的关键是选取建桥点的位置，相对应地在河岸A 地同测取一点，使B 与河岸距离等于与河B 'B '岸到桥头的距离之和，于是，这个总是转化为“直线同侧有两点A 、，欲在直线上求一B '点，使这一点与A 、距离之和最短.B '已知：如图，河岸AB 两地求作：线段CD ，使CD 与、均互相垂直，并且最小.1l 2l BD CD AC ++作法：（1）作，与、分别交点、E ，并且1l B B ⊥'1l 2l E 'BEE B =''（2）在上取一点使（或者找到点关于的对称点）E E 'B ''E B E B ''='''B '1l B ''（3）连结，与交于C 点，作，与交于D 点，CD 即为所求作的线段.B A ''l 2l CD ⊥2l 典型例题六例06．如图所示，P 是平分线AD 上一点，P 与A 不重合，.BAC ∠AB AC >求证：ABAC PB PC -<-分析：用对称法. 可利用轴对称图形的知识找出点B 关于直线AD 的对称点，因AD B '为的平分线，故在AC 上，连结，从而构造与两个轴对称图BAC ∠B 'P B 'P B A '∆ABP ∆形，再利用三角形两边之差小于第三边来证明.证明：作点B 关于直线AD 的对称点，连结.B 'P B '∵AD 是的平分线，BAC ∠∴点在AC 上（是以角平分线AD 所在直线为对称轴的轴对称图形），B 'BAC ∠又∵AP 在对称轴AD 上，∴，P B BP B A AB '='=,在中，C B P '∆∵，C B B P PC '<'-，AB AC B A AC C B -='-=' ，P B BP '=∴.AB AC BP PC -<-说明：和就是利用角平分线AD 构造出的轴对称图形，这种方法对于证BAC ∆P B A '∆明有关线段的不等关系非常方便、有效.典型例题七例07．如图，E 、F 是的边AB 、AC 上的点，在BC 上求一点M ，使的ABC ∆EMF ∆周长最小.分析 因为E 、F 是定点，所以EF 是定值. 要使△EMF 的周长最小，只要MF ME +最小.解答 （1）作点F 关于直线BC 的对称点.F '（2）连结交BC 于M ，点M 就是所求.F E '说明 这类问题在日常生活中经常可以遇到.典型例题八例08．如图，过C 作的平分线AD 的垂线，垂足为D ，作交AC 于BAC ∠AB DE //E .求证：.CE AE =分析 由已知条件容易得到，从而. 要证明，只须证明32∠=∠DE AE =CE AE =，联想到AD 是角平分线又是垂线，若延长CD 交AB 的延长线于P ，则C 、P 关CE DE =于直线AD 对称，于是问题可以解决.解答 延长CD 交AB 的延长线于P .在和中，ADP ∆ADC ∆⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠ADP ADC ADAD 21∴（角边角）ADC ADP ∆≅∆故.ACD P ∠=∠又∵，AP DE //∴，P ∠=∠4则.,4CE DE ACD =∠=∠∵，AB DE //∴，31∠=∠又∵，21∠=∠∴，32∠=∠∵（等边对等角），AE DE =∴.CE AE =说明 全等三角形是证明角或线段相等的一种方法，但不是惟一方法，不要一证线段相等就找全等三角形. 等腰三角形的判定定理及其推论，中垂线的性质，都是证线段相等的重要途径.典型例题九例09．如图，AD 是中的平分线，且.ABC ∆BAC ∠AC AB >求证：.DC BC>分析 由于AD 是的平分线，所以可以以AD 为轴构造轴对称图形，即把BAC ∠ADC ∆沿AD 翻折，这样，就可以在中解决问题.︒180DC DE =BED ∆证明 在AB 上截取AE ，使，连结DE .AC AE =∵AD 是的平分线，BAC ∠∴，21∠=∠在和中，AED ∆ACD ∆⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=)()(21)(公共边已证作图AD AD AC AE ∴（边角边），ACD AED ∆≅∆∴，DC DE =∴（全等三角形对应边对应角相等），43∠=∠∵，（内角和定理的推论），3∠>∠BED B ∠>∠4∴（大角对大边），ED BD B BED >∠>∠,∴.DC BD >说明 本题中的的就是利用角平分线构造出来的轴对称图形. 本题还有AED ∆ACD ∆其他构造轴对称图形的方法，比如把沿AD 翻折，也可证明结论.ADB ∆︒180选择题1．选择题（1）在下列命题中：①两个全等三角形是轴对称图形②两个关于直线对称的图形是全等形l ③等边三角形是轴对称图形④线段有三条对称轴正确命题的个数是（）（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4（2）下列图形是一定轴对称图形的是（）（A ）任意三角形 （B ）有一个角等于的三角形︒60（C ）等腰三角形 （D ）直角三角形（3）P 为内一点，且，则P 点是（）ABC ∆PC PB PA ==（A ）三条中线的交点 （B ）三条高的交点（C ）三个角的平分线的交点 （D ）三边垂直平分线的交点（4）已知：D 为的边BC 的中点，且，下面各结论不正确的是（）ABC ∆BC AD ⊥（A ） （B ）ACD ABC ∆≅∆CB ∠=∠（C ）AD 是的平分线 （D ）是等边三角形BAC ∠ABC ∆（5）正五角星的对称轴有（）（A ）1条 （B ）2条 （C ）5条 （D ）10条（6）等边三角形的对称轴共有（）（A ）1条 （B ）3条 （C ）6条 （D ）无数条（7）下列四个图形①等腰三角形 ②等边三角形 ③等腰直角三角形 ④直角三角形中，一定是轴对称图形的有（）（A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个（8）下列图形中，不一定是轴对称图形的是（）（A ）线段 （B ）角 （C ）三角形 （D ）等腰直角三角形参考答案：1．选择题（1）B （2）C （3）D （4）D （5）C （6）B （7）C （8）C 填空题1．填空题（1）等边三角形的对称轴有______条.（2）如果沿着一条直线折叠，两个点能互相重合，那么这两个点叫做_______.（3）把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么这两个图形_______.（4）如果一个图形沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做_______.参考答案1．填空题（1）3 （2）对称点 （3）轴对称 （4）轴对称图形解答题1．如图，已知线段AB 及直线MN ，求作线段AB 关于MN 的对称图形.2．如图，已知及直线EF ，求作关于EF 的对称图形.ABC ∆ABC ∆3．如图，已知折线ABC 及直线PQ ，求作折线ABC 关于直线PQ 的对称图形.4．如图，已知，分别以OM ，ON 为对称轴作三角形与它对称.ABC ∆5．在中，，，垂足为H ，点B 关于AH 的对称点是. ABC ∆C B ∠=∠2BC AH ⊥B '求证：.AB C B ='6．如图，已知：在直线MN 的同侧有两点A 和B .求作：MN 上一点，使.BCN ACM ∠=∠7．如图，EFGH 是一个矩形的台球台面，有黑白两球分别位于A ，B 两点位置上，试问：怎样撞击黑球A ，求能使A 先碰撞台边EF 反弹后两击中白球B ？参考答案1．略 2．略 3．略 4．略5．证明：连结，则易证，B A 'B A AB '=B B A B '∠=∠∵，∴，即.B CAC B B A '∠+∠='∠B ∠=C ∠=2B CA C '∠=∠AB C B AB =''=6．作法：作点A 关于MN 的对称点，连结，与MN 的交点为C ，则点C 就是所A 'A B '要求作的点. 证明：略.7．作点A 关于EF 的对称点，连结与EF 的交点为C ，则沿AC 方向撞击黑球A 'B A '就可以满足要求.。

第1课时认识轴对称图形教学内容教材第29页例1及相关内容。

教学目标1．使学生学会初步认识轴对称现象，理解轴对称的含义。

在活动中培养学生观察、识别、辨析、实践能力，发展学生的空间观念。

2．联系生活中的具体事物，通过观察和动手操作，初步体会生活中的对称现象。

认识轴对称图形的基本特征，会识别并能做出一些简单的轴对称图形。

3．在观察和欣赏轴对称图形的过程中，感受到物体图形的对称美，激发对数学学习的积极情感。

教学重点使学生初步感知什么是轴对称图形，并能指出对称轴。

教学难点结合实例感知轴对称现象。

教学准备轴对称图形卡片、卡纸、剪刀。

教学过程一、实践操作，感知轴对称图形教学例1。

教师剪纸，感知左右重合。

师：同学们，老师这里有一把剪刀和一张卡纸。

我能用它们给大家带来一位新朋友，它是谁呢？请你们仔细观察。

（老师把卡纸对折剪出一件小衣服。

）师：你知道老师剪出的这件小衣服的形状有什么特点吗？生1：老师是对折剪的。

生2：它的左右两边一样。

师：让我们来看看它的两边是不是真的一样。

将图形对折，看前面，能看到另一面吗？反过来这面呢？这两边哪一边也不多哪一边也不少，这就说明这两边是完全重合的，也就是说这两边是对称的。

像这样对折后两边能完全重合的图形，我们就叫它“轴对称图形”。

这节课就让我们走进轴对称图形的世界，来认识轴对称图形。

（板书课题）二、动手操作，认识轴对称图形1．剪一剪，理解轴对称图形的特征。

师：同学们都跃跃欲试，也想来剪一剪。

现在老师就给同学们一个机会，让你们也剪一个轴对称图形。

（课件展示三种剪纸对象，你最喜欢哪一个轴对称图形呢？）（1）小组讨论选择喜欢的轴对称图形来剪。

（2）讨论剪纸方法：剪的时候要把卡纸对折。

（3）小组内检验一下，看看组员剪的是不是轴对称图形。

课件动态展示剪纸过程。

师：同学们，虽然你们剪的轴对称图形的形状不一样，但是都有一个共同的特点，你发现了吗？生：都是对折后剪出来的。

生2：它们都有折痕。

师：这条折痕是一条什么样的线？生：直直的线。

13.1 轴对称1．轴对称图形(1)概念：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线叫做这个图形的对称轴．(2)理解：轴对称图形是对一个图形而言，是一种具有特殊性质的图形，它能被一条直线分割成两部分，沿这条直线折叠时，其中一部分能与这个图形的另一部分重合．(3)对称轴：对称轴是一条直线，有的轴对称图形只有一条对称轴，而有些轴对称图形有几条甚至无数条对称轴．“圆的对称轴是圆的一条直径”为什么不对呢?对称轴是一条直线，而直径是线段，所以圆的对称轴是直径所在的直线．并且圆有无数条对称轴．一定要注意哦！解技巧轴对称图形的识别判断一个图形是否是轴对称图形可以根据定义，把图形沿某一条直线折叠，看直线两旁的部分是否能够重合．另外还可以观察是否有对称轴，能找到对称轴也说明是轴对称图形．【例1】下列图形中，是轴对称图形的是()．A．①②B．③④C．②③D．①④解析：观察图形，①④的图形都能找到一条直线，沿这条直线对折，图形两边能够重合，而②③的图形中找不出这样的直线，因此只有①④是轴对称图形．答案：D2．轴对称(1)概念：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线(成轴)对称．这条直线叫做对称轴．(2)含义：轴对称图形是两个图形之间的关系，这两个图形沿一条直线折叠后能够互相重合，即全等．(3)对称点：折叠后重合的对应点叫对称点，两个图形正是由无数个对称点组合而成的，也正是无数个对称点的重合构成了图形的重合．(4)与轴对称图形的异同：a．区别：轴对称图形指的是一个图形本身的特点，而轴对称指的是两个图形之间的关系．b．联系：都关于某条直线对称，如果把成轴对称的两个图形看成一个整体图形，那么它就是一个轴对称图形，如果把一个轴对称图形沿着对称轴分成两个图形，那么这两个图形关于这条轴对称．析规律轴对称的特点图形的轴对称和平移一样，都是图形位置的变换，共同的特点是变化后图形的大小、形状都没有改变，不同点是变换的方式不同，所以性质也不尽相同，判断的方法关键看变换方式．【例2】如图所示，下列每组中两个图形成轴对称的是()．解析：图A、B、C沿某一条直线折叠，左右两个图形不能重合，所以它们不构成轴对称．如图，D 沿右图所画直线折叠，左右两个图形能够重合，所以成轴对称．答案：D3．线段的垂直平分线(1)概念：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线．(2)性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等．(3)判定：与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．(4)线段的垂直平分线可以看作是到线段两端点距离相等的所有点的集合．这是线段垂直平分线的集合定义．谈重点 线段垂直平分线及性质与判定的理解和应用 ①线段的垂直平分线必须同时具备两个条件：过线段的中点和垂直于这条线段．②线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是线段其中的一条对称轴．③线段垂直平分线的性质是证明线段相等的一种方法，运用过程中可以省去证明三角形全等，使得过程更简便．【例3】 已知线段AB ，直线CD 是AB 的垂线，垂足为O ，且OA ＝OB ，若点M 在直线CD 上，则MA ＝__________；若NA ＝NB ，则点N 在__________．解析：本题是线段垂直平分线性质和判定的最基本的应用，根据CD ⊥AB ，又经过线段AB 的中点O ，所以CD 为线段AB 的垂直平分线，所以有MA ＝MB ，因为NA ＝NB ，由线段垂直平分线的判定定理可知点N 在直线CD 上，即线段AB 的垂直平分线上．答案：MB 线段AB 的垂直平分线CD 上4．线段垂直平分线的画法(1)折叠法：将线段两端点对齐，沿线段折叠重合，折痕就是线段的垂直平分线．(2)尺规作图法：如图，①分别以A 、B 为圆心，以大于12AB 长为半径画弧，两弧相交于C 、D 两点；②作直线CD ；CD 即为所求作的直线．【例4】 如图，在某条公路的同旁有两座城市A 、B ，为了方便市民就医治疗，政府决定在公路边建一所医院，这所医院建在什么位置，能使两座城市到这个医院的路程一样长？分析：两座城市A 、B 到这个医院的路程一样长，说明这所医院要建在AB 的垂直平分线上，又要在公路边，所以应是AB 垂直平分线与公路的交点处．解：如图所示，(1)连接AB ，分别以A ，B 为圆心，以大于12AB 长为半径画弧，两弧相交于C ，D 两点；(2)作直线CD ，交公路所在直线于P ，则点P 即为所建医院的位置．5．轴对称(轴对称图形)的性质(1)关于某条直线轴对称的两个图形全等，对应线段、对应角相等，只要是对应的部分就全等．(2)对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．(3)对应线段所在的直线的交点在对称轴上．谈重点 成轴对称的两个图形的性质特征 (1)成轴对称的两个图形沿对称轴折叠能够相互重合，所以它们一定是全等的，但全等的两个图形不一定是轴对称图形．(2)成轴对称的两个图形能够重合，所以它们的周长、面积也相等，正如全等的两个三角形对应边上的高、中线也相等一样．【例5】如图，△ABC 和△A ′B ′C ′关于直线l 对称，下列结论中：①△ABC ≌△A ′B ′C ′；②∠BAC ′＝∠B ′AC ；③l 垂直平分CC ′；④直线BC 和B ′C ′的交点不一定在l 上．正确的有( )．A．4个B．3个C．2个D．1个解析：①由轴对称性质可知，关于某条直线对称的两图形重合，所以△ABC≌△A′B′C′；②由轴对称性质可知对应角∠BAC＝∠B′A′C′，等号两边同时都加上∠CAC′，可得∠BAC′＝∠B′AC；③点C与点C′为对称点．对称轴垂直平分对称点连线，所以也正确；④BC和B′C′为对应线段，由性质可知，所在直线的交点一定在对称轴上．由以上分析可知①②③都正确，只有④错误，所以选B.答案：B6．轴对称(轴对称图形)对称轴的画法如果两个图形成轴对称，其对称轴就是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．因此，我们只要找到一对对应点，作出连接它们的线段的垂直平分线就可以得到这两个图形的对称轴．同样，对于轴对称图形，只要找到任意一组对应点，作出对应点所连线段的垂直平分线，就得到此图形的对称轴．(1)两个图形成轴对称或轴对称图形的对称轴是对应点连线的垂直平分线，这是画图形的对称轴的依据.(2)作已知图形的对称轴的步骤：找特殊对称点→作对称的两点的垂直平分线.【例6】如图，试作出下列图形中的一条对称轴．分析：作图的关键在于找到对称点，等边三角形ABC中B、C是一对对称点，所以作BC的垂直平分线即可得到△ABC的一条对称轴；同样在正五边形ABCDE中，B与E、C与D是对称点，所以作BE 或CD的对称点都能得到正五边形ABCDE的对称轴．解：如图．7．线段垂直平分线性质的应用线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，在这个性质中，它的条件是“一条直线垂直平分一条线段”，结论是“这条直线上的任意一点到线段两端点的距离相等”，它是证明线段相等常用的一种方法．析规律利用线段垂直平分线的性质证明线段相等用线段垂直平分线性质解决问题，一般需要连接直线上某一点与线段两端点的线段(常用的添加辅助线的方法)，从而由性质可以直接得到相等的两条线段，因为它省去了证明三角形全等，所以较为简便，它通常和三角形周长，等腰三角形知识相结合运用．8．线段垂直平分线判定的应用与一条线段两端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上，它的题设是“一个点到一条线段的两个端点的距离相等”，结论是“这个点在这条线段的垂直平分线上”，这与线段垂直平分线性质的题设和结论正好相反；线段垂直平分线的判定是为数不多的证明点在线上的定理，很多时候用在作图中，用来确定到两固定点距离相等的点．破疑点判定线段垂直平分线的方法判断一条直线是线段的垂直平分线时，必须证明该直线上有两个点到线段两端点的距离相等，因为只有两点才能确定一条直线．【例7】如图1，△ABC中，EF垂直平分AB，GH垂直平分AC，设EF与GH相交于O，则点O与边BC 的关系如何？请用一句话表示：________________________________.图1图2 解析：如图2，连接OA 、OB 、OC ，因为EF 垂直平分AB ，所以OA ＝OB .因为GH 垂直平分AC ，所以OA ＝OC . 所以OB ＝OC ，即点O 到边BC 两端点的距离相等．答案：点O 到边BC 两端点的距离相等(答案不唯一，也可以说成点O 在BC 的垂直平分线上)【例8】 (综合应用题)如图，AD 为△ABC 的角平分线，AE ＝AF ，请判断AD 是否是EF 的垂直平分线？如果不是请说明理由，如果是，请给予证明．解：AD 是EF 的垂直平分线．证明：因为AD 平分∠BAC ，所以∠BAD ＝∠CAD .在△AED 和△AFD 中，⎩⎪⎨⎪⎧ AE ＝AF ，∠BAD ＝∠CAD ，AD ＝AD ，所以△AED ≌△AFD .所以DE ＝DF ，所以D 在EF 的垂直平分线上．同样AE ＝AF ，A 也在EF 的垂直平分线上．所以AD 是EF 的垂直平分线．9．生活中的镜面对称生活中的倒影，镜子中的影像是日常生活中最常见的轴对称，它们都具备轴对称的特点，如果沿某一条直线折叠一样能够重合．因而实物和图形大小形状也完全一样．只要注意观察，会有很多有趣的现象和规律．解技巧 镜面问题的解决方法①镜面对称问题可以看作是沿镜子的左右边沿轴对称，镜子的边沿所在的直线就是对称轴，判断标准是沿镜子左或右边沿折叠就会重合，如果是在透明纸上的图案，从反面看到的影像，就是原来的图案；②对于倒影问题，水面所在的直线是对称轴，沿这条直线折叠观察，就可得到原来图案．【例9－1】 小明从镜子里看到镜子对面电子钟的像如下图所示，则实际时间是( )．A ．21：10B ．10：21C ．10：51D ．12：01解析：镜面中的影像问题是以镜面的左边沿或右边沿所在的直线为对称轴的轴对称，假定最左侧或右侧有一条直线为对称轴，沿此直线折叠都会得到10：51，或将此图案从反面观察，也可得到10：51.答案：C【例9－2】 一个汽车车牌在水中的倒影为，则该车的牌照号码是__________．解析：只需将倒影沿图案上沿或下沿某一条直线翻折，即可得到该车牌的号码为W5236499.同样在纸上也可以从反面，倒看也能得到它的轴对称图形W5236499.答案：W5236499.10.折叠问题中的轴对称折叠问题是近几年中考的热点，它主要分为两类：(1)一类是图形的折叠问题，一般是将矩形、正方形、三角形沿某条线段所在的直线折叠，求角的度数．这类问题，条件隐蔽，要仔细观察图形，善于运用隐含条件解决问题．(2)另一类是折纸问题，大多是将一个正方形纸片，经过几次轴对称折叠，挖取其中的一小部分，观察展开后的图形，观察得到的是哪种图案．解决方法一般是将所给图案按逆顺序复原，看是否能得到折叠后的图案，另一种方法是折叠、观察、想象，最好的办法是动手按题目要求折叠、裁剪、展开观察．析规律利用轴对称性质解决折叠问题解决这类问题的关键是，折叠前后重合的部分全等，即折叠前和折叠后盖上的部分重合，所以对应角、对应线段相等．【例10－1】如图，把一个长方形沿EF折叠后，点D、C分别落在D1、C1的位置．若∠EFB＝65°，则∠AED1＝__________度．解析：因为AD∥BC，所以∠DEF＝∠EFB＝65°.又因为折叠前后重合的部分全等，所以∠AED1＝∠DEF＝65°.所以∠DED1＝130°.所以∠AED1＝180°－∠DED1＝50°.答案：50【例10－2】如下图所示，把一个正方形纸片对折两次后沿虚线剪下，展开后所得的图形是()．解析：解题关键是明确两条折痕都是对称轴，故本题可借助空间想象，将两次对折后的图形沿两条折痕展开，易知展开后的图形应是B.注意折叠方向和剪去的角度．答案：B。

轴对称典型例题例1．下列图形中，不是轴对称图形的是（）（A ）有两个角相等的三角形（B ）有一个内角是︒45的直角三角形（C ）有一个内角是︒30，另一个内角为︒120的三角形（D ）有一个角是︒30的直角三角形分析：在（A ）中，有两个角相等的三角形一定是等腰三角形，而等腰三角形一定是轴对称图形，它的对称轴为底边上的高（或底边上的中线或顶角的平分线）. 而（B ）和（C ）中的两个三角形同样也是等腰三角形，所以也是轴对称图形. 那么（D ）中三角形的三个内角各不相等，不是等腰三角形，所以（D ）不是轴对称图形.解答：选（D ）说明：在三角形中，只有等腰三角形才是轴对称图形，而不是等腰三角形的三角形就一定不是轴对称图形.例2．已知：直线MN ，同侧两点A 、B （如图）求作：点P ，使P 在MN 上，并且BP AP +最小.作法 1．作点A 关于直线MN 的对称点A '.2．连结A A '交MN 于P点P 就是所求作的点.说明 这类问题经常遇到，可以和生活中的问题结合衍生出许多应用问题，但本质都是这道题.例3．在图（a ）中，分别作出点P 关于OA 、OB 的对称点1P ，2P ，连结21P P 交OA 于M ，交OB 于N ，若cm P P 521=，则PMN ∆的周长为多少？作法：略.解答：如图（b ）所示，∵1P ，P 关于OA 对称，∴PM M P =1同理可得PN N P =2.∴PMN ∆的周长MN PN PM ++=N P MN M P 21++=cm P P 521==∴PMN ∆的周长为cm 5.说明 准确作图是关键.练习题：1．下列图形中：①平行四边形；②有一个角是30°的直角三角形；③长方形；④等腰三角形. 其中是轴对称图形有（ ）个A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2．已知∠AOB ＝30°，点P 在∠AOB 的内部，P 1与P 关于OA 对称，P 2与P 关于OB 对称，则△P 1OP 2是 （ ）A ．含30°角的直角三角形；B ．顶角是30的等腰三角形；C ．等边三角形D ．等腰直角三角形.3．如图：已知∠AOP=∠BOP=15°，PC ∥OA ，PD ⊥OA ，若PC=4，则PD= （ ）A ．4B ．3C ．2D ．1A O4．△ABC中，AB、AC的垂直平分线分别交BC于点E、F，若∠BAC=115°，则∠EAF=___________．5．有一本书折了其中一页的一角，如图：测得AD=30cm,BE=20cm，∠BEG=60°，求折痕EF的长．。

轴对称图形典型例题例1 如下图，已知，PB丄AB, PC丄AC,且PB = PC, D是AP上一点.证明：•••PB丄AB，PC丄AC，且PB= PC,••• / PAB = Z PAC （到角两边距离相等的点在这个角平分线上），/ APB + Z PAB= 90°,/ APC +Z PAC= 90°,/ APB = / APC,在厶PDB和厶PDC中，PB =PC,VAPB =NAPC,.、PD =PD•••△PDB ◎△ PDC （SAS）,/ BDP = / CDP .（图形具有明显的轴对称性，可以通过利用轴对称的性质而不用三角形的全等）注利用角平分线定理的逆定理，可以通过距离相等直接得到角相等，而不用再证明两个三角形全等.例2 已知如下图（1）,在四边形ABCD中，BC > BA, AD = CD , BD平分/ ABC .求证:/A +/ C = 180°.证法一：过D作DE丄AB交BA的延长线于E, DF丄BC于F,BD 平分/ ABC ,• DE = DF ,在Rt△ EAD 和Rt△ FCD 中，；AD = DC,QE =DF.（角平分线是常见的对称轴，因此可以用轴对称的性质或全等三角形的性质来证明. ）Rt△ EAD也Rt△ FCD （HL ）,•••/ C=Z EAD ,/ EAD +Z BAD = 180°,•/ A+Z C = 180°.证法二：如下图（2）,在BC上截取BE= AB，连结DE，证明△ ABD◎△ EBD可得.（2）证法三：如下图（3）,延长BA到E,使BE= BC,连结ED，以下同证法（3）注本题考察一个角平分线上的任意一点到角的两边距离相等的定理来证明线段相等，关键是掌握遇到角的平分线的辅助线的不同的添加方法.例3 已知，如下图，AD ABC的中线，且DE平分Z BDA交AB于E, DF平分Z ADC 交AC于F .证法一：在DA截取DN = DB,连结NE、NF，贝U DN = DC，在△ BDE和厶NDE中,BD = ND,奁BDE =ZNDE ,DE = DE.（遇到角平分线可以考虑利用轴对称的性质或全等三角形的性质来解题）•••△BDE ◎△ NDE （SAS）,• BE= NE （全等三角形对应边相等），同理可证：CF = NF,在厶EFN中，EN + FN > EF （三角形两边之和大于第三边），BE+ CF>EF .证法二：延长ED至M，使DM = ED，连结CM、MF , 在厶BDE和厶CDM中，BD 二CD ,.BDE CDM ,DE =DM .（从另一个角度作辅助线）•••△BDE ◎△ NDE （SAS）,••• CM = BE （全等三角形对应边相等），又•••/ BDE= / ADE,/ ADF = Z CDF ,而/ BDE + / ADE + / ADF + / CDF = 180°,/ ADE+ / ADF = 90°,即/ EDF = 90°,/ FDM =/ EDF = 90°,在厶EDF和厶MDF中，ED 二MD ,EDF = MDF,DF 二DF.•△ EDF◎△ MDF （SAS）,•EF = MF （全等三角形对应边相等），在厶CMF中，CF + CM >EF,BE+ CF >EF.注本题综合考察角平分线、中线的意义，关键是如何使题中的分散的条件集中.例4 已知，如下图，P、Q是厶ABC边BC上的两点，且BP = PQ= QC = AP = AQ.求：/ BAC的度数.解：••• AP= PQ = AQ （已知），••• / APQ=Z AQP = Z FAQ = 60°（等边三角形三个角都是60°）,••• AP= BP （已知），（注意观察图形和条件）•/ PBA =Z PAB （等边对等角），/ APQ=Z PBA +Z FAB = 60°（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和），•/ PBA =Z PAB= 30°，同理/ QAC = 30°,/ BAC = Z BAP +Z FAQ + Z QAC = 30° + 60°+ 30°= 120°.注本题考察等腰三角形、等边三角形的性质，关键是掌握求角的步骤：（1）利用等边对等角得到相等的角；（2）利用三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和得各角之间的关系；（3）利用三角形内角和定理列方程.例5 已知，如下图，在△ ABC中，AB= AC, E是AB的中点，以点E为圆心，EB为半径画弧，交BC于点D,连结ED，并延长ED到点F，使DF = DE ,连结FC .求证：/ F = / A.证明：••• AB = AC,•/ B=Z ACB （等边对等角），EB= ED ,/ B=Z EDB ,•/ ACB = Z EDB （等量代换），•ED // AC （同位角相等，两直线平行），在厶BDE 和厶AED 中，BE = AE=ED ,连结AD 可得，/ EAD =/ EDA，/ EBD = / EDB ,/ EDA + Z EDB = 90 ° ,即卩AD 丄BC,/ EDA +Z EDB = 90°,即卩AD 丄BC,（用什么定理判定三角形全等的？）•D为BC的中点，•△ BDE◎△ CDF ,•/ BED = Z F，而/ BED = Z A,•/ F=Z A.例6 已知，如下图，△ ABC中，AB = AC, E在CA的延长线上，/ AEF = Z AFE . 求证：EF丄BC .证法一：作BC边上的高AD, D为垂足，EAB= AC, AD丄BC,/ BAD = Z CAD(等腰三角形三线合一)，又•••/ BAC=Z E+Z AFE，/ AEF = Z AFE ,/ CAD = Z E,••• AD // EF ,AD 丄BC,EF 丄BC.证法二：过A作AG丄EF于G,Z AEF = Z AFE , AG = AG , Z AGE = Z AGF = 90•△AGE^A AGF (ASA ),AB= AC , • Z B =Z C ,又Z EAF = Z B+Z C,(请对比多种证法的优劣)•Z EAG+Z GAF = Z B +Z C ,Z EAG=Z C , • AG // BC , AG 丄EF , EF 丄BC.证法三：过E作EH // BC交BA的延长线于H ,AB= AC , • Z B =Z C ,•Z H = Z B=Z C=Z AEH ,Z AEF = Z AFE , Z H+Z AFE + Z FEH = 180° ,Z H + Z AEH + Z AEF + Z AFE = 180 ° ,•Z AEF + Z AEH = 90°，即Z FEH = 90° ,EF 丄EH ,又EH // BC,EF 丄BC.AB= AC, • Z B =Z C ,1Z B= 2 (180 °-Z BAC),Z AEF = Z AFE ,Z AFE = 2 (180 ° -Z EAF ),证明：连结BC , ••• AB = AC （已知）， •Z ABC = Z ACB （等边对等角），又•••点A 、D 在线段BC 的垂直平分线上（与线段两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上） ，而两点确定一条直线，• AD 就是线段BC 的垂直平分线，• PB = PC （线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等），• Z PBC = Z PCB （等边对等角），（线段垂直平分线的性质） •Z ABC -Z PBC = Z ACB -Z PCB （等式性质），即Z ABP = Z ACP .注 本题若用三角形全等， 至少需要证两次，现用线段垂直平分线的判定和性质， 就显得比较简洁.例8 如下图，AB = AC , DE 垂直平分 AB 交AB 于D ，交AC 于丘，若厶ABC 的周长为28, BC = 8,求厶BCE 的周长./ BFK = Z AFE ,1/ BFK = 2 ( 180° -Z EAF ),1 1Z B +Z BFK = 2 （180。

轴对称图形轴对称图形典型例题例1 如下图，已知，PB ⊥AB ，PC ⊥AC ，且PB ＝PC ，D 是AP 上一点．求证：∠BDP ＝∠CDP ．证明：∵ PB ⊥AB ，PC ⊥AC ，且PB ＝PC ，∴ ∠PAB ＝∠PAC （到角两边距离相等的点在这个角平分线上），∵ ∠APB ＋∠PAB ＝90°，∠APC ＋∠PAC ＝90°，∴ ∠APB ＝∠APC ，在△PDB 和△PDC 中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠= PD PD APC APB PC PB .，，∴ △PDB ≌△PDC （SAS ），∴ ∠BDP ＝∠CDP ．（图形具有明显的轴对称性，可以通过利用轴对称的性质而不用三角形的全等）注 利用角平分线定理的逆定理，可以通过距离相等直接得到角相等，而不用再证明两个三角形全等．例2 已知如下图（1），在四边形ABCD 中，BC ＞BA ，AD ＝CD ，BD 平分∠ABC ．求证：∠A ＋∠C ＝180°．（1）证法一：过D 作DE ⊥AB 交BA 的延长线于E ，DF ⊥BC 于F ，∵ BD 平分∠ABC ，∴ DE ＝DF ，在Rt △EAD 和Rt △FCD 中，⎩⎨⎧==.DF DE DC AD ，（角平分线是常见的对称轴，因此可以用轴对称的性质或全等三角形的性质来证明．） ∴ Rt △EAD ≌Rt △FCD （HL ），∴ ∠C ＝∠EAD ，∵ ∠EAD ＋∠BAD ＝180°，∴ ∠A ＋∠C ＝180°．证法二：如下图（2），在BC 上截取BE ＝AB ，连结DE ，证明△ABD ≌△EBD 可得．（2）证法三：如下图（3），延长BA 到E ，使BE ＝BC ，连结ED ，以下同证法二．（3）注 本题考察一个角平分线上的任意一点到角的两边距离相等的定理来证明线段相等，关键是掌握遇到角的平分线的辅助线的不同的添加方法．例3 已知，如下图，AD 为△ABC 的中线，且DE 平分∠BDA 交AB 于E ，DF 平分∠ADC 交AC 于F ．求证：BE ＋CF ＞EF ．证法一：在DA 截取DN ＝DB ，连结NE 、NF ，则DN ＝DC ，在△BDE 和△NDE 中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=.DE DE NDE BDE ND BD ，，（遇到角平分线可以考虑利用轴对称的性质或全等三角形的性质来解题）∴ △BDE ≌△NDE （SAS ），∴ BE ＝NE （全等三角形对应边相等），同理可证：CF ＝NF ，在△EFN 中，EN ＋FN ＞EF （三角形两边之和大于第三边），∴ BE ＋CF >EF ．证法二：延长ED 至M ，使DM ＝ED ，连结CM 、MF ，在△BDE 和△CDM 中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=.DM DE CDM BDE CD BD ，，（从另一个角度作辅助线）∴ △BDE ≌△NDE （SAS ），∴ CM ＝BE （全等三角形对应边相等），又∵ ∠BDE =∠A DE ，∠ADF ＝∠CDF ，而∠BDE ＋∠ADE ＋∠ADF ＋∠CDF ＝180°，∴ ∠ADE +∠ADF ＝90°，即∠EDF ＝90°，∴ ∠FDM ＝∠EDF ＝90°，在△EDF 和△MDF 中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=.DF DF MDF EDF MD ED ，，∴ △EDF ≌△MDF （SAS ），∴ EF ＝MF （全等三角形对应边相等），在△CMF 中，CF ＋CM >EF ，∴ BE ＋CF >EF ．注 本题综合考察角平分线、中线的意义，关键是如何使题中的分散的条件集中．例4 已知，如下图，P 、Q 是△ABC 边BC 上的两点，且BP ＝PQ ＝QC ＝AP ＝AQ ．求：∠BAC 的度数．解：∵ AP ＝PQ ＝AQ （已知），∴∠APQ＝∠AQP＝∠PAQ＝60°（等边三角形三个角都是60°），∵AP＝BP（已知），（注意观察图形和条件）∴∠PBA＝∠PAB（等边对等角），∴∠APQ＝∠PBA＋∠PAB＝60°（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和），∴∠PBA＝∠PAB＝30°，同理∠QAC＝30°，∴∠BAC＝∠BAP＋∠PAQ＋∠QAC＝30°＋60°＋30°＝120°．注本题考察等腰三角形、等边三角形的性质，关键是掌握求角的步骤：（1）利用等边对等角得到相等的角；（2）利用三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和得各角之间的关系；（3）利用三角形内角和定理列方程．例5 已知，如下图，在△ABC中，AB＝AC，E是AB的中点，以点E为圆心，EB为半径画弧，交BC于点D，连结ED，并延长ED到点F，使DF＝DE，连结FC．求证：∠F＝∠A．证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB（等边对等角），∵EB＝ED，∴∠B＝∠EDB，∴∠ACB＝∠EDB（等量代换），∴ED∥AC（同位角相等，两直线平行），在△BDE和△AED中，BE＝AE=ED，连结AD可得，∠EAD＝∠EDA，∠EBD＝∠EDB，∠EDA＋∠EDB＝90°，即AD⊥BC，∴∠EDA＋∠EDB＝90°，即AD⊥BC，（用什么定理判定三角形全等的？）∴D为BC的中点，∴△BDE≌△CDF，∴∠BED＝∠F，而∠BED＝∠A，∴∠F＝∠A．例6 已知，如下图，△ABC中，AB＝AC，E在CA的延长线上，∠AEF＝∠AFE．求证：EF⊥BC．证法一：作BC边上的高AD，D为垂足，∴ ∠BAD ＝∠CAD（等腰三角形三线合一），又∵ ∠BAC ＝∠E ＋∠AFE ，∠AEF ＝∠AFE ，∴ ∠CAD ＝∠E ，∴ AD ∥EF ，∵ AD ⊥BC ，∴ EF ⊥BC ．证法二：过A 作AG ⊥EF 于G ，∵ ∠AEF ＝∠AFE ，AG ＝AG ，∠AGE ＝∠AGF ＝90°，∴ △AGE ≌△AGF （ASA ），∵ AB ＝AC ，∴ ∠B ＝∠C ，又∠EAF ＝∠B ＋∠C ，（请对比多种证法的优劣）∴ ∠EAG ＋∠GAF ＝∠B ＋∠C ，∴ ∠EAG ＝∠C ，∴ AG ∥BC ，∵ AG ⊥EF ，∴ EF ⊥BC ．证法三：过E 作EH ∥BC 交BA 的延长线于H ，∵ AB ＝AC ，∴ ∠B ＝∠C ，∴ ∠H ＝∠B ＝∠C ＝∠AEH ，∵ ∠AEF ＝∠AFE ，∠H ＋∠AFE ＋∠FEH ＝180°，∴ ∠H ＋∠AEH ＋∠AEF ＋∠AFE ＝180°，∴ ∠AEF ＋∠AEH ＝90°，即∠FEH ＝90°，∴ EF ⊥EH ，又EH ∥BC ，∴ EF ⊥BC ．证法四：延长EF 交BC 于K ，∵ AB ＝AC ，∴ ∠B ＝∠C ，∴ ∠B ＝21（180°－∠BAC ），∵ ∠AEF ＝∠AFE ，∴ ∠AFE ＝21（180°－∠EAF ），∴ ∠BFK ＝21（180°－∠EAF ），∴ ∠B ＋∠BFK ＝21（180°－∠BAC ）＋21（180°－∠EAF ）∵ ＝21[360°－（∠EAF ＋∠BAC ）]，∴ ∠EAF ＋∠BAC ＝180°，∴ ∠B ＋∠BFK ＝90°，即∠FKB ＝90°，∴ EF ⊥BC ．注 本题考察等腰三角形性质的应用，解题的关键是通过添加辅助线，建立EF 与BC 的联系，仔细体会以上各种不同的添加辅助线的方法．例7 如下图，AB ＝AC ，DB ＝DC ，P 是AD 上一点．求证：∠ABP ＝∠ACP ．证明：连结BC ，∵ AB ＝AC （已知），∴ ∠ABC ＝∠ACB （等边对等角），又∵ 点A 、D 在线段BC 的垂直平分线上（与线段两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上），而两点确定一条直线， ∴ AD 就是线段BC 的垂直平分线，∴ PB ＝PC （线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等），∴ ∠PBC ＝∠PCB （等边对等角），（线段垂直平分线的性质）∴ ∠ABC －∠PBC ＝∠ACB －∠PCB （等式性质），即∠ABP ＝∠ACP ．注 本题若用三角形全等，至少需要证两次，现用线段垂直平分线的判定和性质，就显得比较简洁．例8 如下图，AB ＝AC ，DE 垂直平分AB 交AB 于D ，交AC 于E ，若△ABC 的周长为28，BC ＝8，求△BCE 的周长．解：∵ 等腰△ABC 的周长＝28，BC ＝8，∴ 2AC ＋BC ＝28，∴ AC ＝10， （理由是什么？）∵ DE 垂直平分AB ，∴ AE ＝BE ，∴ △BCE 的周长＝BE ＋EC ＋BC＝AE ＋EC ＋BC＝AC ＋BC ＝10＋8＝18．注 本题考察线段垂直平分线的性质定理的运用，关键是运用线段垂直平分线的性质得到线段的等量关系．例9 已知，如下图，△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝120°，EF 为AB 的垂直平分线，EF 交BC 于F ，交AB 于E ，求证：FC BF 21=．证法一：连结AF ，则AF ＝BF ，∴ ∠B ＝∠FAB （等边对等角），∵ AB ＝AC ，∴ ∠B ＝∠C （等边对等角），∵ ∠BAC ＝120°，∴ ∠B ＝∠C ＝302180=∠-BAC （三角形内角和定理），∴ ∠FAB ＝30°，∴ ∠FAC ＝∠BAC －∠FAB ＝120°－30°＝90°，又∵ ∠C ＝30°，（线段的垂直平分线是常见的对称轴之一）∴ FC AF 21=（直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半），∴ FC BF 21=．证法二：连结AF，过A作AG∥EF交FC于G，∵EF为AB的垂直平分线，∴AF＝BF，又∵∠B＝30°，∴∠AFG＝60°，∠BAG＝90°，∴∠A G B＝60°，△AFG为等边三角形，又∵∠C＝30°，∴∠G AC＝30°，∴AG＝GC，（构造等边三角形是证明线段相等的一种好方法）∴BF＝FG＝GC＝FC21．例10 已知，如下图，AB⊥BC，CD⊥BC，∠AMB＝75°，∠DMC＝45°，AM＝MD．求证：AB ＝BC．思路分析从结论分析，要证AB＝BC，可连结AC，使BC与AB能落在一个三角形内，再看∠BAC与∠BCA能否相等？证明：连结AC，交DM于H，∵∠AMB＝75°，∠DMC＝45°（已知），∴∠AMD＝60°（平角定义）又∵AM＝MD，∴△AMD为等边三角形（有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形），∴AM＝AD（等边三角形三边相等），∵CD⊥BC，∴∠DCM＝90°，∵∠DMC＝45°，∴∠MDC＝45°（三角形内角和定理），∴CD＝CM（等角对等边），∴AC是DM的垂直平分线（和线段两端点等距离的点，在线段的垂直平分线上），∴∠MHC＝90°，∴∠HCM＝45°，∵∠B＝90°，∴∠BAC＝45°，∴AB＝BC（等角对等边）．【典型热点考题】例1 如图7—15，等腰△ABC的对称轴与底边BC相交于点D，请回答下列问题：(1)AD是哪个角的平分线；(2)AD是哪条线段的垂直平分线；(3)有哪几条相等的边；(4)有哪几对相等的角．点悟：本题主要考查等腰三角形的所有特征．所以应该根据等腰三角形是轴对称图形的性质来解答问题．解：等腰三角形是轴对称图形，直线AD是它的对称轴．(1)AD是顶角∠BAC的平分线．(2)AD是线段BC的垂直平分线．(3)AB＝AC，BD＝DC．(4)∠BAD＝∠CAD，∠ABC＝∠ACB，∠ADB＝∠ADC．例2 如图7—16，已知PB⊥AB，PC⊥AC，且PB＝PC，D是AP上一点．求证：∠BDP＝∠CDP．点悟：利用三角形全等证明两个角相等最直观，但因为图形具有明显的轴对称性，可以通过利用轴对称的性质而不用三角形全等同样可以，证明：∵ PB⊥AB，PC⊥AC，且PB＝PC，∴∠PAB＝∠PAC(到角两边距离相等的点在这个角的平分线上)．∵∠APB＋∠PAB＝90°，∠APC＋∠PAC＝90°，∴∠APB＝∠APC．在△PDB和△PDC中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=PD PD APCAPB PC PB ∴ △PDB ≌△PDC(SAS)∴ ∠BDP ＝∠CDP ．例3 如图7—17，先找出下列各图形中的轴对称图形，再画出它们的对称轴(有几条，画几条)．点悟：先确定是否是轴对称图形，如果是轴对称图形，就将它们的对称轴全部画出来． 解：(1)是，它有3条对称轴．(2)是，它有2条对称轴．(3)是，它有2条对称轴．(4)是，它只有一条对称轴．(5)它不是轴对称图形，故没有对称轴．(6)它是轴对称图形，有一条对称轴．图均略．例4 如图7—18，△ABC 中，AB ＝AC ，D 在BC 上，且BD ＝AD ，DC ＝AC ，将图中的等腰三角形全部写出来，并求出∠B 的度数．点悟：图中共有三个等腰三角形，要将它们一一写出来，不能遗漏．在计算∠B 的度数时，要充分利用三角形的一个外角等于它的两个不相邻的两个内角的和．解：图中共有三个等腰三角形，它们分别是：△ABC ，△ABD ，△CAD ．设∠B ＝x ，则∠C ＝x ＝∠BAD ，∠ADC ＝∠DAC ＝2x ．∴ ∠B ＋∠C ＋∠BAC ＝∠B ＋∠C ＋∠BAD ＋∠DAC＝x ＋x ＋x ＋2x ＝5x ＝180°∴ ︒=︒==∠365180x B ．例5 如图7—19，在金水河的同一侧居住两个村庄A 、B ．要从河边同一点修两条水渠到A 、B 两村浇灌蔬菜，问抽水站应修在金水河MN 何处两条水渠最短?点悟：先将具体问题抽象成数学模型．河流为直线MN ，在直线MN 的同一侧有A 、B 两点．在直线MN 上找一点P ，使P 点到A 、B 两点的距离之和为最小．这里就要充分运用轴对称图形的性质加以解决．解：如图7—19所示．作B 点关于直线MN 的对称点B ′，连结AB ′，与MN 相交于P ，则P 点即为所求．事实上，如果不是P 点而是P '点时，则连结B P 、P A ''和B P ''．由轴对称性知道，B P PB B P B P '=''=',，所以P '到A 、B 的距离之和，B P P A B P P A ''+'='+'，而P 到A 、B 的距离之和B A B P AP PB AP '='+=+在'P B A '∆中，三角形两边之和大于第三边，B A B P P A '>''+'所以P 点即为所求的点．例6 如图7—20，已知，AD 为△ABC 的中线，且DE 平分∠BDA 交AB 于E ，DF 平分∠ADC 交AC 于F ．求证：BE ＋CF ＞EF ．点悟：遇到角平分线就可以考虑利用轴对称的性质或全等三角形的性质来解决问题． 证法一：在DA 上截取DN ＝DB ．连结NE 、NF ．则DN ＝DC ．在△BDE 和△NDE 中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=,,,DE DE NDE BDE ND BD ∴ △BDE ≌△NDE ．∴ BE ＝NE ．同理可得，CF ＝NF ．在△EFN 中，EN ＋FN ＞EF(三角形两边之和大于第三边)．∴ BE ＋CF ＞EF ．证法二：如图7—21，延长DE 至M ，使DM ＝ED ，连结CM 、MF ．在△BDE 和△CDM 中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=,,,DM DE CDM BDE CD BD∴ △BDE ≌△CDM(SAS)．∴ CM ＝BE(全等三角形对应边相等)又∵ ∠BDE ＝∠ADE ，∠ADF ＝∠CDF ，而∠BDE ＋∠ADE ＋∠ADF ＋∠CDF ＝180°∴ ∠ADE ＋∠ADF ＝90°，即∠EDF ＝90°．∴ ∠FDM ＝∠EDF ＝90°．在△EDF 和△MDF 中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=,,,DF DF MDF EDF MD ED ∴ △EDF ≌△MDF(SAS)∴ EF ＝MF(全等三角形对应边相等)．在△CMF 中，CF ＋CM ＞MF ，∴ BE ＋CF ＞EF ．点拨：本题综合考查角平分线，中线的意义，三角形全等及线段之间的等量关系，关键是要把题目中的已知条件集中巧妙应用．【易错例题分析】例 已知如图7—22，在四边形ABCD 中，BC ＞BA ，AD ＝CD ，BD 平分∠ABC ．求证：∠A＋∠C＝180°．证法一：如图7—22，过D作DE⊥AB交BA的延长线于E，DF⊥BC于F．∵ BD平分∠ABC，∴ DE＝DF在Rt△EAD和Rt△FCD中，∵ AD＝DC，DE＝DF，∴ Rt△EAD≌Rt△FCD(HL)∴∠C＝∠EAD，∵∠EAD＋∠BAD＝180°，∴∠A＋∠C＝180°．证法二：如图7—23，在BC上截BE＝AB，连结DE，证明△ABD≌△EBD可得．证法三：延长BA到E，使BE＝BC，连结ED，以下同证法二，如图7—24．警示：本题直接加以证明则不可能，需要巧妙的添加适当的辅助线，不会添加辅助线或添加不适当的辅助线则是最常见的误区．本题是用一个角的平分线上任意一点到角的两边距离相等的定理来证明线段相等，添加辅助线的方法有多种情况，应该很好感悟尽快掌握．。

班级小组姓名成绩（满分120）一、轴对称现象（一）轴对称和轴对称图形（共4小题，每题3分，题组共计12分）例1.如图,下列图案是我国几家银行的标志，其中轴对称图形有()A.1个B.2个C.3个D.4个例1.变式1.下列图形中对称轴最多是()A.圆B.正方形C.角D.线段例1.变式2.如图所示的图形是由棋子围成的正方形图案，图案的每条边有4个棋子，这个图案有条对称轴.例1.变式3.如图所示的方格纸中，请你把任意五个方格涂黑，使这五个方格构成一个轴对称图形(图形不能重复，至少设计三个)二、探索轴对称的性质（一）轴对称的性质（共4小题，每题3分，题组共计12分）例2.下列说法：①长方形的对称轴有两条；②角是轴对称图形，它的平分线就是它的对称轴；③两点关于连接它们的线段的垂直平分线对称.其中正确的有（）A.1个B.2个C.3个D.0个例2.变式1.如图，△ABC与△A'B'C'关于直线l对称，且∠A=78°,∠C'=48°,则∠B的度数为()A.48°B.54°C.74°D.78°例2.变式2.如图所示，AC垂直平分线段BD，若AB=3cm，CD=5cm，则四边形ABCD的周长是()A.11cmB.13cmC.16cmD.18cm例2.变式3.如图，把一张长方形纸ABCD折叠,使点C与点A重合，折痕为EF.如果∠DEF=123°,那么∠BAF=.（三）轴对称的性质及应用（共4小题，每题3分，题组共计12分）例3.轴对称图形对应点连线被,对应角、对应线段都.例3.变式1.如图，∠AOB内有一点P，分别画出P关于OA，OB的对称点P1，P2，连接P1P2交OA于M，交OB于N，若P1P2=5cm，则△PMN的周长为多少?例3.变式2.如图，将长方形纸片ABCD沿其对角线AC折叠，使点B落到点B'的位置，AB'与CD交于点E，若AB=8，AD=3，则图中阴影部分的周长为()A.16B.19C.22D.25例3.变式3.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，点D在边AB上，连接CD，将△BCD沿CD翻折得到△ECD，使DE∥AC，CE交AB于点F，若∠B=α，则∠ADC的度数是(用含α的代数式表示).三、简单的轴对称图形（一）等腰三角形的性质（共4小题，每题3分，题组共计12分）例4.等腰三角形是轴对称图形,它的对称轴是()A.过顶点的直线B.底边上的高C.腰上的高所在的直线D.顶角平分线所在的直线例4.变式1.等边三角形对称轴的条数是()A.1B.2C.3D.4例4.变式2.如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点.已知A，B是两格点，如果C也是图中的格点，且使得△ABC为等腰三角形，则点C的个数是()A.6B.7C.8D.9例4.变式3.等腰三角形中有一个角是50°，那么这个等腰三角形的底角是.（二）等腰三角形的性质二（共4小题，每题3分，题组共计12分）例5.下列说法中正确的是()A.关于某条直线对称的两个三角形是全等三角形B.全等三角形一定是关于某条直线对称的C.两个图形关于某条直线对称,则这两个图形一定分别位于这条直线的两侧D.若A，B两点关于直线MN对称，则AB垂直平分MN例5.变式1.如图，BD是△ABC的角平分线，∠ABD=36°，∠C=72°，则图中的等腰三角形有个.例2.变式2.如图，在△ABC中，DE垂直平分AC交AB于E，∠A=30°，∠ACB=80°，则∠BCE=.例5.变式3.有一个三角形的支架如图所示，AB=AC，小明过点A和BC边的中点D又架了一个细木条，经测量∠B=30°,你在不用任何测量工具的前提下,能得到∠BAD和∠ADC的度数吗?（三）线段和角的轴对称性（共4小题，每题3分，题组共计12分）例6.如图，点P是∠BAC的平分线AD上一点，PE⊥AC于点E，已知PE=3，则点P到AB的距离是()A.3B.4C.5D.6例6.变式1.如图所示，下列推理中正确的个数是()①因为OC平分∠AOB，点P，D，E分别在OC，OA，OB上，所以PD=PE；②因为P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，所以PD=PE；③因为P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，且OC平分∠AOB，所以PD=PE.A.0B.1C.3D.4例6.变式2.小明把一张长方形的纸对折了两次，如图所示，使A，B都落在DC上，折痕分别是DE，DF,则∠EDF的度数为.例6.变式3.如图，已知△ABC中，DE垂直平分AC，且交AC于点E，交BC于点D，△ABD的周长是20，AC=8，你能计算出△ABC的周长吗？（四）等腰(边)三角形的性质的综合应用（共4小题，每题3分，题组共计12分）例7.在△ABC中，若BC=AC，∠A=58°，则∠C=,∠B=.例7.变式1.等边三角形的两条中线相交所成的钝角度数是.例7.变式2.如图P，Q是△ABC的边BC上的两点，且BP=PQ=QC=AP=AQ，则∠BAC=.例7.变式3.如图，已知△ABC中，∠C=90°，AC<BC，D为BC上一点，且到A，B两点的距离相等.（1）用直尺和圆规，作出点D的位置(不写作法,保留作图痕迹)；（2）连接AD，若∠B=37°，求∠CAD的度数.（五）轴对称图形的综合运用（共4小题，每题3分，题组共计12分）例8.如图所示，△ABC中，∠B与∠C的平分线相交于点O，过点O作MN∥BC，分别交AB，AC于点M，N，若AB=6cm，AC=9cm，BC=12cm，则△AMN的周长为.例8.变式1.如图所示，将两个全等的有一个角为30°的直角三角形拼在一起，其中两条较长直角边在同一条直线上，则图中等腰三角形有个.例8.变式2.如图所示，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于D，AB+AC+BC=50cm，AB+BD+AD=40cm，则AD=cm.例8.变式3.如图，∠BOC=9°，点A在OB上，且OA=1，按下列要求画图：以A为圆心，1为半径向右画弧交OC于点A1，得第1条线段AA1；再以A1为圆心，1为半径向右画弧交OB于点A2，得第2条线段A1A2；再以A2为圆心，1为半径向右画弧交OC于点A3，得第3条线段A2A3；照这样画下去,直到得第n条线段，之后就不能再画出符合要求的线段了,则n=.（六）轴对称图形的综合运用二（共4小题，每题3分，题组共计12分）例9.如图，D，E是△ABC的BC边上的两点，且BD=DE=EC=AD=AE，求∠BAC的度数.例9.变式1.如图，∠1=∠2，AE⊥OB于点E，BD⊥OA于点D，AE，BD交于点C，试说明AC=BC.例9.变式2.如图所示,△ABC是等边三角形，点D是AC的中点，DE∥AB，AE∥BC，DE与AE交于点E，点G是AE的中点，GF∥DE，EF∥AC，EF交GF于点F，若AB=4cm，则图形ABCDEFG的外围的周长是多少?例9.变式3.如图，△ABC中，AB=2AC，∠1=∠2，DA=DB，你能说明DC⊥AC吗?四、利用轴对称进行设计（共4小题，每题3分，题组共计12分）例10.如图，把一张长方形纸片对折，折痕为AB，再以AB的中点O为顶点把平角∠AOB三等分，沿平角的三等分线折叠，将折叠后的图形剪出一个以O为顶点的等腰三角形，那么剪出的等腰三角形全部展开铺平后得到的平面图形一定是()A.正三角形B.正方形C.正五边形D.正六边形例10.变式1.如左下图，将一张正方形纸片沿对角线折叠一次，然后在得到的三角形的三个角上各挖去一个大小相等的圆洞，最后将正方形纸片展开，得到的图案是右下图中的()例10.变式2.当你面对镜子的时候，右手拿笔向左挥动，对于镜子中的像来说是()A.右手拿笔,向右挥动B.左手拿笔,向左挥动C.右手拿笔,向左挥动D.左手拿笔,向右挥动例10.变式3.某一车牌在平面镜中的像是,则这辆车的实际号码是()。

轴对称例一：如图，AD ⊥BC ，BD=DC ，点C 在AE 的垂直平分线上，AB 、AC 、CE 的长度有什么关系？AB+BD 与DE 有什么关系？解析：（1（2）利用三线合一BD 、DC 联系起来，并利用（1）的结论。

例二：如图，△ABC 和△A’B ’C ’关于直线l 对称，根据图中的条件，求∠A ’B ’C ’的度数 和AB 的长？解析：两问都用到轴对称的性质，对边 对角都相等。

例三：如图l与l ’是公路，A 、B 是两个城镇，要在l 上一点C 建一车站，且A 、B 城距C 点距离相同。

问C 应建在何处？解析：由中垂线上的点到这条线段两 个端点的距离相等可知，C 点一定在 AB 的中垂线上。

例四：要在燃气管道l 上建泵站C 向A 、B 镇供气，那么C 站建在哪管道最少？解析：利用两点之间线段最短和轴对称 将B 转化为B ’后，A 、B 便在一条线段上， 那么AB ’与l 的交点就是C 。

例五：如图，A 为马厩，B 为帐篷，牧马人一天要从马厩牵出马，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，然后回到帐篷，请帮忙确定最短路线？B EB'C LBl l'l解析：确定A 关于草地的对称点A ’，B 关于河的对称点B ’，连接A ’ B ’，与河和草地的交点就是最短路程。

例六：如图，在△ABC 中，AB=AC ，点D 在AC 上，且BD=BC=AD ，求△ABC 各角的度数？解析：根据条件找出图形中相等的角，列出方程，根据 参数求解。

例七：如图，AC 和BD 相交与点O ， 且AB ∥DC ，OA=OB ，求证OC=OD 。

解析：这道题主要是求出AC=BD, 可以通过平移BD 来完成，使BD=CE ， 然后通过倒角使∠A=∠E 。

例八：如图，点D 、E 在△ABC 的边B 、C 上，AB=AC ，AD=AE ，求证：BD=CE 。

解析：这道题不用证全等，利用三线 和一的性质来解决。

例九：如图△ABD 、△AEC 都是等边三角形，求证BE=DC 。

图形折叠中的启示——轴对称例1如图 1，矩形纸片ABCD中，AB=3厘米，BC＝4厘米．现将A，C重合，使纸片折叠压平，设折痕为EF．试确定重叠部分△AEF的面积．分析通过折叠以后，我们看到直角梯形ECDF变为直角梯形EAGF．△CDF变为△AGF．换句话说EF所在直线是它们的对称轴，在折纸操作中隐含着轴对称这种图形的运动．解设CE＝x，则AE=AF＝x，BE=4-x．在Rt△，ABE中，AE2=AB2+BE2，即 x2=32＋(4－x)2．通过例1，我们看到折纸是具体实现轴对称的一种形式．一般情况下，关于某条直线为轴对称的两个图形是全等的．通过轴对称这种运动可以将在对称轴一侧的某个图形全等地变到对称轴另一侧的半平面上，达到使本来分散的图形的元素相对集中，从而便于我们揭示其中隐藏的关系．例2点M是凸四边形ABCD的BC边的中点．∠AMD＝120°，些线段相对集中．将△ABM沿AM对折压平到△AB′M的位置．将△CDM沿DM对折压平到△DC′M的位置．这样△AB′M≌△ABM，△MC′D≌△MCD．连结B′C′．由于∠AMD＝120°，所以∠AMB＋∠DMC＝180°-120°＝60°．从而∠B′MA＋∠C′MD＝60°．因此，∠B′MC′=120°-(∠B′MA＋∠C′MD)＝120°－60°＝60°．AB′＋B′C′＋CD≥AD，以上的分析加以简化就是本题的证明．例3如图3，∠POQ=20°，A为OQ上一点，B为OP上一点且OA＝1，OB＝2，在OB上取点A1，在AQ上取点A2．设l =AA1＋A1A2+A2B．求l的最小值．分析要求l=AA1＋A1A2＋A2B的最小值．设法将AA1，A1A2，A2B变位后与一条固定线段相比较，利用“两点间直线段最短”的原理去求解．再由20°角为60°角便于证明．解以OP所在直线为对称轴，作∠POQ的轴对称图形∠POQ0．以OQ所在直线为对称轴，作∠QOP的轴对称图形∠QOP0．这时，A关于OP的对称点为OQ0上的A0点，B关于OQ的对称点为OP0上的B0点． OA0=1，OB0=2，∠A0OB0＝60°．由轴对称性知 A0A1=AA1，B0A2=BA2．所以l=AA1＋A1A2＋A2B=A0A1＋A1A2＋A2B0≥A0B0．因此l的最小值为A0B0的长．问题归结为△A0OB0中，OA0＝1，OB0＝2，∠A0OB0＝60°，求A0B0．对于初二同学可以这样求解，作△A′B′O′，使∠O′A′B′＝90°，O′A′=1，O′B′=2，则∠A′O′B′=60°．(如图4所示)由勾股定理得又△A0OB0与△A′O′B′中，OA0＝A′O′=1，OB0＝O′B′＝2，∠A0OB0＝0∠A′O′B′＝60°．例4矩形ABCD中，AB＝20厘米，BC＝10厘米，若在AC，AB上各取一点M、N，使得BM＋MN的值最小，求这个最小值．解作B关于AC的对称点B′，连结AB′．则N点关于AC的对称点在AB′上的N′点．这时，B到M到N的最小值等于B→M→N′的最小值．等于B到AB′的距离BH′．即BM+MN的最小值为BH′．现在求BH′的长，设AB′与DC交于P点，连结BP，则△ABP的面积等于注意到PA=PC．(想想为什么？)设 AP＝x，则PC=x， DP＝ 20－x．所以由勾股定理，得PA2=DP2＋DA2即 x2＝(20－x)2+102，x2＝400－40x+x2＋100，解得 x=12．56(厘米)．即BM＋MN的最小值是 16厘米．光线折射、打台球弹子折射都有入射角等于反射角，其中都与轴对称相联系．例5在台球桌矩形，ABCD上，放有两个球P和Q，恰有∠PAB和∠QAD相等．如果打击球P使它撞在AB的M点反弹后撞到球Q，其路线记为P→M→Q；如果打击球 Q，使它撞在AD的N点反弹后撞到球P，其路线记为Q→N→P．证明 P→M→Q与Q→N→P 的路线长相等．解台球P撞AB于M反弹打到Q，满足∠PMB=∠QMA，即对P的路线是作P关于BA 的对称点P1，连结P1Q交 BA于 M点，则 P→M→Q为球P的路线．再作Q关于AD的对称点Q1连结PQ1交AD于N点，则 Q→N→P为球Q的路线．由对称性，知P1A=PA，Q1A=QA．∠3＝∠1 ＝∠2＝∠4．PM＋MQ=P1M＋MQ＝P1Q，QN＋NP＝Q1N＋NP=Q1P．因此，要证P→M→Q与Q→N→P的路线长相等，即证明PM＋MQ＝QN＋NP．也就是要证P1Q=Q1P．在△P1AQ与△PAQ1中，∵ P1A＝PA，QA＝Q1A，∠P1AQ＝∠3＋∠BAQ＝∠2+∠BAQ＝90°，而∠PAQ1=∠PAD+∠4=∠PAD+∠1=90°，∴∠P1AQ＝∠PAQ1，∴△P1AQ≌△PAQ1(边，角，边)，∴P1Q=Q1P．所以P→M→Q与Q→N→P的路线长相等．例6 A、B、C三个村庄在一条东西向的公路沿线上，如图8，AB=2千米，BC＝3千米．在B村的正北方有一个D村，测得∠ADC＝45°．今将△ACD区域规划为开发区，除其中4平方千米的水塘外，均作为建筑或绿化用地．试求这个开发区的建筑及绿化用地的面积是多少平方千米？解如图8，作Rt△ADB关于DA所在直线的轴对称图形Rt△ADB1，易知Rt△ADB≌Rt△ADB1．作Rt△CDB关于DC所在直线的轴对称图形Rt△CDB2，易知Rt△CDB≌Rt△CDB2．延长B1A，B2C相交于 E，则B1DB2E是正方形．设BD＝x，则B1D=DB2＝B2E＝EB1=x，AB1=AB=2，CB2＝CB=3，AC=5．∴AE＝x－2，CE＝x-3．在Rt△AEC中，根据勾股定理，得AE2+CE2＝AC2，即 (x－2)2＋(x－3)2＝(2＋3)2．整理，得 x2－5x－6=0，分解因式 (x－6)(x＋1)=0．∵x＞0，则x＋1＞0，∴ x-6＝0，x＝6，即 DB＝6(千米)．由于已知开发区中有4平方千米的水塘，所以这个开发区的建筑及绿化用地面积是15－4＝11(平方千米)．例7单位正方形周界上任意两点之间连一条曲线，如果它把这个正方形分成两个面积相等的部分．试证这个曲线长度不小于1．提示分三种情况讨论．(1)“周界任两点”在正方形一组对边上，如图9(a)，显然结论成立即l≥1．(2)“周界任意两点”在正方形一组邻边上，可连对角线MN，如图9(b)．曲线l必与对角线相交，(如若不然，与这曲线平分正方形面积不苻)．从N开始B1为正方形一组对边上的点，问题转化为(1)的情形，得l≥1．(3)“周界任二点”在正方形同一边上时，如图9(c)，连一组对边中点连线，经过轴对称化归为(1)的情形，参照图9(c)，请读者写出证明．综合(1)，(2)，(3)可得命题成立．在轴对称图形中，经常想到设法利用轴对称性添加辅助线，会使我们证题思路开阔起来．。

七年级数学 第5讲生活中的轴对称一、知识结构：二、思想方法 1、数形结合思想数形结合思想，就是在研究问题的过程中，把数和形结合起来考虑，一方面可以把抽象的数量关系用直观形象的图象来表示，便于观察总结获取信息；另一方面可以把图象问题用数学关系来表示，便于深入细致地研究．例1 在ABC ∆中，BC AD AC AB ⊥=,于点,50,cm BC AC AB D =++BD AB ++cm AD 40=求AD 的长．2、转化思想解决实际问题时，常常要把实际问题转化为对称问题来解决，例如求最短距离的问题． 例2 如图(1)所示，某住宅小区计划在休闲场地的三条道路n m l ,,上修建三个凉亭A ，B ，C ，且凉亭用长廊两两连通，如果凉亭A ，B 的位置已经选定，那么凉亭C 建在什么位置才能使工程造价最低？请简要说明理由．-3、分类讨论思想当要研究的问题包含多种可能情况而又不能一概而论时，需要按可能出现的所有情况来分别讨论，从而得出各种不同情况下相应的结论．例3 等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为,30 则顶角的度数是 ( )60.A c B 120. ︒60.C 或 150 o D 60.或 1204、方程思想所谓方程思想，就是把所研究的问题中的已知量与未知量之间的数量关系转化为方程（组），从而使问题得到解决的思想方法．例4 如图5 - 109所示，ABC ∆是等腰三角形，,AC AB =分别向ABC ∆外作等边三角形ADB 和等边三角形ACE.若=∠DAE ,DBC ∠求ABC ∆三个内角的度数．三、中考链接考点一 识别轴对称图形及其对称轴例1 （2014．泰安中考）如图5- 110所示的四个图形，其中是轴对称图形，且对称轴的条数为2的图形的个数是 ( ) A. 1 B. 2 C. 3 D ．4 考点二 轴对称的性质例 2 （2014．宁波中考）如图5- 111所示，用长方形纸片折出直角的平分线，下列折法正确的是 ( )考点三 简单的轴对称图形及其性质例3 如图5- 112所示，ABC ∆中，,15, =∠=DBC AC AB AB 的垂直平分线MN 交AC 于点D ，则A ∠的度数是 ．例4如图5- 113所示，AB DE CD BD AC AB ⊥==,,于点AC DF E ⊥,于点F ，试说明.DF DE =考点四 尺规作角平分线、线段的垂直平分线例5 在ABC ∆中，按以下步骤作图：①分别以B ，C 为圆心，以大于BC 21的长为半径作弧，两弧相交于M ，N 两点；②作直线MN 交AB 于点D ，连接CD ，若,25, =∠=B AC CD 则ACB ∠的度数为 ．四、考点训练：1．如图5 - 132所示，ABC ∆与ABD ∆关于直线AB 对称,36,80o o C CAD =∠=∠ 则ABD ∠的度数为 .2.若等腰三角形的一个角为︒30,则它的顶角为 .3.如图5- 133所示，在ABC ∆中，BC AD AC AB ⊥=,于D, AB DE ⊥于点E, AC DF ⊥于点F,图中除AC AB =外，相等的线段还有____对．4.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为,36 则该等腰三角形的底角的度数为____．5．在黑板报的设计中，小敏遇到了如下的问题：如图5 - 134所示，直线l 与AB 垂直，要作ABC ∆关于l 成轴对称的图形．小敏已作出了一步，请你用直尺和圆规作出这个图形的其余部分，保留作图痕迹，并写出相应的作法．作法：(1)以B 为圆心，BA 长为半径作弧，与AB 的延长线交于点P ， ； (2) 就是所要作的图形．6.如图5- 135所示的是一块正三角形花圃，为了能分别种上红、黄、紫三种颜色的花，要求把它划分成三块面积相同的部分，并且使整个图形呈轴对称图形．请你至少设计3种不同方案．7.如图5- 136所示，ABC ∆中，.30,90 =∠=∠A C (1)用尺规作AB 边上的中垂线DE ，交AC 于点 D ，交AB 于点E （保留作图痕迹，不要求写作法）(2)连接BD ，试说明BD 平分.CBA ∠8．如图5 - 137所示，E A ,90 =∠为BC 上一点，A 点和E 点关于BD 对称，B 点、C 点关于DE 对称，求ABC ∠和C ∠的度数．。

轴对称应用举例生活中很多图形的形状都有一个共同的特性——轴对称．在日常生活中利用轴对称的性质能解决很多问题，下面举例说明．一、确定方向【例1】如图1，四边形ABCD是长方形的弹子球台面，有黑白两球分别位于E、F两点的位置，试问，怎样撞击黑球E，才能使黑球先碰撞台边DC，反弹后再击中白球F【解】作E点关于直线CD的对称点E′，连接FE′，与CD的交点P即为撞击点，点P 即为所求．【例2】如图2，甲车从A处沿公路L向右行驶，乙车从B处出发，乙车行驶的速度与甲车行驶的速度相同，乙车要在最短的时间追上甲车，请问乙车行驶的方向【解】作AB的垂直平分线EF，交直线L于点C，乙车沿着BC方向行驶即可．二、确定点的位置找最小值【例3】如图3，AB∥CD，AC⊥CD，在AC上找一点Ｅ，使得BE+DE最小．【解】作点B关于AC的对称点B′，连接DB′，交AC于点E，点E就是要找的点．【例4】如图4，点A是总邮局，想在公路L1上建一分局D，在公路L2上建一分局E，使AD+DE+EA的和最小．【解】作点A关于L1和L2的对称点B、C．连接BC，交L1于点D，交L2于点E．点D、E就是要找的点．三、与其他学科结合唐朝某地建造了一座十佛寺，竣工时，太守在庙门右边写了一副上联“万瓦千砖百匠造成十佛寺”，望有人对出下联，且表达恰如其分，你能对出下联来吗对联中有数字万、千、百、十，几个月过去了，无人能对，有个文人李生路过，感觉庙前没有下联不像话，十分感慨．一连几天在庙前苦思冥想，未能对出下联，有次在庙前散步，望见一条大船由远而来，船夫正使劲的摇橹，这时李生突发灵感，对出了下联——“一舟二橹四人摇过八仙桥”．太守再次路过此庙时，看到下联，连连称赞“妙妙妙”．这副对联数字对数字，事物对事物，对称美如此的和谐．可见，对称美在文学方面也有生动深刻的体现．生活中的轴对称无处不在，只要你善于观察,将会发现其间所蕴涵的丰富的文化价值和对称美给人带来的回味无穷的享受．。

初二数学轴对称 典型例题 01证明题例1. 如图1所示，△ABC 是等边三角形，AE=BD ，EB 交DC 于P 点。

求证：∠=BPC 60°。

分析：欲证∠=BPC 60°，可从两方面考虑,一方面在△BPC 中，可证∠+∠=PBC PCB 120°，另一方面可利用外角∠=∠+∠BPC D DBP 求解，由已知可得∆∆ABE BCD ≅,则可求出对应角相等，从而为证∠=BPC 60°提供了条件.证明：∵△ABC 是等边三角形∴∠=∠==BAC ABC AB BC 60°； ∴∠=∠=EAB DBC 120°在△EAB 和△DBC 中 图 1 EA DB EAB DBC AB BC EAB DBC SAS EBA BCD=∠=∠=⎧⎨⎪⎩⎪∴≅∴∠=∠∆∆()∠=∠∴∠=∠∴∠+∠=∠+∠EBA DBPDBP BCDPBC BCP DBP PBC即∠=∠+∠DBC PBC BCP在△PBC 中，∠+∠+∠=BPC PBC BCP 180°∴∠=-∠+∠=-∠=∠=BPC PBC BCP DBC BPC 1801806060°即°()例2。

如图2所示，已知:等边△ABC 中，D 为BC 上一点，△DEC 也是等边三角形,BE 延长线和AC 延长线交于点M,AD 的延长线和CE 延长线交于点N ，求证：CM=CN 。

分析：欲证CM=CN,只须证CM 与CN 所在的两个三角形全等，即∆∆ACN BCM ≅。

证明: ∆ABC 为等边三角形EAB CD P∴=∠=∴=∴∠=∴∠=∴∠=∠=BC AC ACB DCE DC EC DCE ECM ACN BCM ，°为等边三角形°°°606060120 ∆ 在△ACD 和△BCE 中AC BC ACD BCE DC EC =∠=∠=⎧⎨⎪⎩⎪∴≅∴∠=∠∠=∠=∠=∠⎧⎨⎪⎩⎪∆∆∆∆ACD BCE SAS NAC MBC ACN BCM NAC CBMAC BCACN BCM ()在和中∴≅∴=∆∆ACN BCM ASA CM CN ()例3. 如图3所示，AD 是△ABC 的中线，BE 交AC 于E ，交AD 于F,且AE=EF.求证：AC=BF 。