开口向下；
a 相等，抛物线的开口大小、形状相同.
对称轴：平行于y 轴（或重合）的直线记作2b
x a
=-
.特别地，y 轴记作直线0=x .
顶点坐标：），（a
b a
c a b 4422
--
顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数a 相同，
那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同.
✧ 抛物线c bx ax y ++=2中，c b a ,,与函数图像的关系 二次项系数a
二次函数2y ax bx c =++中，a 作为二次项系数，显然0a ≠．
⑴ 当0a >时，抛物线开口向上，a 越大，开口越小，反之a 的值越小，开口越大；
⑵ 当0a <时，抛物线开口向下，a 越小，开口越小，反之a 的值越大，开口越大．
总结起来，a 决定了抛物线开口的大小和方向，a 的正负决定开口方向，a
的大小决定开口的大小．
一次项系数b
在二次项系数a 确定的前提下，b 决定了抛物线的对称轴． ⑴ 在0a >的前提下，
当0b >时，02b
a -
<，即抛物线的对称轴在y 轴左侧； 当0b =时，02b
a -=，即抛物线的对称轴就是y 轴；
当0b <时，02b
a
->，即抛物线对称轴在y 轴的右侧．
⑵ 在0a <的前提下，结论刚好与上述相反，即
当0b >时，02b
a -
>，即抛物线的对称轴在y 轴右侧； 当0b =时，02b
a -=，即抛物线的对称轴就是y 轴；
当0b <时，02b
a
-<，即抛物线对称轴在y 轴的左侧．
总结起来，在a 确定的前提下，b 决定了抛物线对称轴的位置．
总结：
常数项c
⑴ 当0c >时，抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正；
⑵ 当0c =时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0；
⑶ 当0c <时，抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，即抛物线与y 轴交点的纵
坐标为负．
总结起来，c 决定了抛物线与y 轴交点的位置．
总之，只要a b c ，
，都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的． ✧ 求抛物线的顶点、对称轴的方法
公式法：a b ac a b x a c bx ax y 44222
2
-+⎪⎭⎫ ⎝
⎛+=++=，∴顶点是
），（a
b a
c a b 4422--，对称轴是直线a b x 2-=.
配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为()k h x a y +-=2的形
式，得到顶点为(h ,k )，对称轴是直线h x =.
运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以
对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.
用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失. ✧ 用待定系数法求二次函数的解析式
一般式：c bx ax y ++=2.已知图像上三点或三对x 、y 的值，通常选择
一般式.
顶点式：()k h x a y +-=2.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式. 交点式：已知图像与x 轴的交点坐标1x 、2x ，通常选用交点式：
()()21x x x x a y --=.
✧ 直线与抛物线的交点
y 轴与抛物线c bx ax y ++=2得交点为(0, c ).
与y 轴平行的直线h x =与抛物线c bx ax y ++=2有且只有一个交点
(h ,c bh ah ++2).
抛物线与x 轴的交点:二次函数c bx ax y ++=2的图像与x 轴的两个交点
的横坐标1x 、2x ，是对应一元二次方程02=++c bx ax 的两个实数根.抛物线与x 轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：
①有两个交点⇔0>∆⇔抛物线与x 轴相交；
②有一个交点（顶点在x 轴上）⇔0=∆⇔抛物线与x 轴相切； ③没有交点⇔0<∆⇔抛物线与x 轴相离.
平行于x 轴的直线与抛物线的交点
可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标
相等，设纵坐标为k ，则横坐标是k c bx ax =++2的两个实数根.
一次函数()0≠+=k n kx y 的图像l 与二次函数()02≠++=a c bx ax y 的
图像G 的交点，由方程组 2
y kx n
y ax bx c
=+⎧⎨=++⎩的解的数目来确定：①方程组有两组不同的解时⇔l 与G 有两个交点; ②方程组只有一组解时⇔l 与G 只有一个交点；③方程组无解时⇔l 与G 没有交点. 抛物线与x 轴两交点之间的距离：若抛物线c bx ax y ++=2与x 轴两交点
为()()0021，，，
x B x A ，由于1x 、2x 是方程02=++c bx ax 的两个根，故
