初中数学函数知识点大全+典型例题
知识点一、二次函数的概念和图像
1、二次函数的概念
一般地，如果特)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数，，特别注意a 不为零
那么y 叫做x 的二次函数。
)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数，叫做二次函数的一般式。
2、二次函数的图像 二次函数的图像是一条关于a
b x 2-
=对称的曲线，这条曲线叫抛物线。 抛物线的主要特征：
①有开口方向；②有对称轴；③有顶点。
3、二次函数图像的画法
五点法：
（1）先根据函数解析式，求出顶点坐标，在平面直角坐标系中描出顶点M ，并用虚线画出对称轴
（2）求抛物线c bx ax y ++=2与坐标轴的交点：
当抛物线与x 轴有两个交点时，描出这两个交点A,B 及抛物线与y 轴的交点C ，再找到点C 的对称点D 。将这五个点按从左到右的顺序连接起来，并向上或向下延伸，就得到二次函数的图像。
当抛物线与x 轴只有一个交点或无交点时，描出抛物线与y 轴的交点C 及对称点D 。由C 、M 、D 三点可粗略地画出二次函数的草图。如果需要画出比较精确的图像，可再描出一对对称
点A 、B ，然后顺次连接五点，画出二次函数的图像。
知识点二、二次函数的解析式
二次函数的解析式有三种形式：口诀----- 一般 两根 三顶点
（1）一般 一般式：)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数，
（2）两根 当抛物线c bx ax y ++=2与x 轴有交点时，即对应二次好方程02=++c bx ax 有实根1x 和2x 存在时，根据二次三项式的分解因式))((212x x x x a c bx ax --=++，二次函数c bx ax y ++=2可转化为两根式))((21x x x x a y --=。如果没有交点，则不能这样表示。
a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。
（3）三顶点 顶点式：)0,,()(2≠+-=a k h a k h x a y 是常数，
知识点三、二次函数的最值
如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值），即当
a
b x 2-=时，a b a
c y 442-=最值。 如果自变量的取值范围是21x x x ≤≤，那么，首先要看a
b 2-是否在自变量取值范围21x x x ≤≤内，若在此范围内，则当x=a
b 2-时，a b a
c y 442-=最值；若不在此范围内，则需要考虑函数在21x x x ≤≤范围内的增减性，如果在此范围内，y 随x 的增大而增大，则当2x x =时，
c bx ax y ++=222最大，当1x x =时，c bx ax y ++=121最小；如果在此范围内，y 随x 的增大而减
小，则当1x x =时，c bx ax y ++=121最大，当2x x =时，c bx ax y ++=222
最小。
知识点四、二次函数的性质
1、二次函数的性质
2、二次函数)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数，中，c b 、、a 的含义：
a 表示开口方向：a >0时，抛物线开口向上
a <0时，抛物线开口向下
b 与对称轴有关：对称轴为x=a
b 2-
c 表示抛物线与y 轴的交点坐标：
（0，c ）
3、二次函数与一元二次方程的关系
一元二次方程的解是其对应的二次函数的图像与x 轴的交点坐标。 因此一元二次方程中的ac 4b 2-=∆，在二次函数中表示图像与x 轴是否有交点。
当∆>0时，图像与x 轴有两个交点；
当∆=0时，图像与x
轴有一个交点；
当∆<0时，图像与x 轴没有交点。
知识点五 中考二次函数压轴题常考公式（必记必会，理解记忆）
1、两点间距离公式（当遇到没有思路的题时，可用此方法拓展思路，以寻求解题方法）
如图：点A 坐标为（x 1，y 1）点B 坐标为（x 2，y 2）
则AB 间的距离，即线段AB 的长度为()()221221y y x x -+-
2，二次函数图象的平移
① 将抛物线解析式转化成顶点式()2
y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ② 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下：
【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位
③平移规律
在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”．
函数平移图像大致位置规律（中考试题中，只占3分，但掌握这个知识点，对提高答题速度有很大帮助，可以大大节省做题的时间）
特别记忆--同左上加 异右下减 (必须理解记忆)
说明① 函数中ab 值同号，图像顶点在y 轴左侧同左，a b 值异号，图像顶点必在Y 轴右侧异右
②向左向上移动为加左上加，向右向下移动为减右下减
3、直线斜率：1
212tan x x y y k --==α b 为直线在y 轴上的截距4、直线方程： 4、①两点 由直线上两点确定的直线的两点式方程，简称两式:
)()(tan 11
2121x x x x x y y b x b kx y y ---=+=+=-α 此公式有多种变形 牢记
②点斜 )(11x x kx y y -=-
③斜截 直线的斜截式方程，简称斜截式: y ＝kx ＋b (k ≠0)
④截距 由直线在x 轴和y 轴上的截距确定的直线的截距式方程，简称截距式：
1=+b
y a x 牢记 口诀 ---两点斜截距--两点 点斜 斜截 截距
5、设两条直线分别为，1l ：11y k x b =+ 2l ：22y k x b =+ 若12//l l ，则有1212//l l k k ⇔=且12b b ≠。 若1212
1l l k k ⊥⇔⋅=-
6、点P （x 0，y 0）到直线y=kx+b(即：kx-y+b=0) 的距离: 1)1(2002200++-=-++-=
k b y kx k b y kx d
7、抛物线c bx ax y ++=2中， a b c,的作用
（1）a 决定开口方向及开口大小，这与2ax y =中的a 完全一样.
（2）b 和a 共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线c bx ax y ++=2的对称轴是直线 a b x 2-
=，故：①0=b 时，对称轴为y 轴；②0>a
b （即a 、b 同号）时，对称轴在y 轴左侧；③0c 的大小决定抛物线c bx ax y ++=2与y 轴交点的位置.
当0=x 时，c y =，∴抛物线c bx ax y ++=2与y 轴有且只有一个交点（0，c ）： ①0=c ，抛物线经过原点;
②0>c ,与y 轴交于正半轴；
③0以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在y 轴右侧，则
0b .
二次函数图像与性质口诀:二次函数抛物线，图象对称是关键；开口、顶点和交点,它们确
