数值分析大作业-三、四、五、六、七

“传热流动的数值分析”2015年大作业1. 2维条件下的无粘、不可压缩流体通过出口和入口流过箱体，具体情况如图所示，求该箱体内的流线情况，所有单位为厘米。

（1）流线方程为：22220x yψψ∂∂+=∂∂使用Gauss-Seidel 线迭代，0.1x y ∆=∆=，误差0.005ξ=，结果输出中，包括在y=0,1,2,3,4,5 处的所有X 处对应的流函数值。

（2）设出口处纵向速度V =0，试采用PSOR 方法，0.1x y ∆=∆=，计算在x=0,1,2,3,4,5 处的所有Y 处对应的流函数值，以及不同的松弛系数和迭代次数的关系曲线（至少三个系数）。

答：（1）该问题为稳态问题，流线方程为椭圆型方程，在求解方程时，首先对方程在计算域内进行离散。

计算域为：{}(,)05,05x y x y Ω=≤≤≤≤，在离散时，0.1x y h ∆=∆=∆=，因此可以得到流线方程的差分方程为：1,,1,,1,,122220i j i j i j i j i j i j h h ψψψψψψ+-+--+-++=∆∆ （1）整理后可得：1,1,,1,1,4i j i j i j i j i j ψψψψψ+-+-+++=（2）在本题中，采用Gauss-Seidel 线迭代方法进行求解，扫描方向选为自左向右，此时有111,1,11,1,1,4n n n n i j i j i j i jn i jψψψψψ++++--+++++=（3）由于是线推进，因此在当前线方向求解时，之前的扫描线上的参数已经得到更新，所以方程可改写为：11,1,111,1,,111444n ni j i j n n n i j i j i j ψψψψψ+-++++-++-+-=（4） 其中11,n i j ψ+-看着当前迭代层中的已知变量。

从方程（4）中可以明显看出，在扫描线方向上，离散方程组的系数矩阵为三对角矩阵，因此该方程组可以采用追赶法进行求解。

数值分析第三次作业1.设计方案对Fredholm积分方程，用迭代法进行求解：()'(())u x A u x=，其中11(())()(,)()A u x g x K x y u y dy-=-⋅⎰对于公式中的积分部分用数值积分方法。

复化梯形积分法，取2601个节点，取迭代次数上限为50次。

实际计算迭代次数为18次，最后算得误差为r= 0.97E-10。

复化Simpson积分法，取迭代次数上限为50次，取2*41+1，即83个节点时能满足精度要求。

实际计算迭代次数为17次，最后的误差为r= 0.97E-10。

Guass积分法选择的Gauss—Legendre法，取迭代次数上限为50次，直接选择8个节点，满足精度要求。

实际计算迭代次数为24次，最后算得误差为r= 0.87E-10。

2.全部源程序module integralimplicit nonecontains!//////////复化梯形subroutine trapezoid(m)implicit noneinteger :: i,j,k,mreal*8 :: x(m+1),u(m+1)real*8 :: sum,sum1,g,r,hreal*8 :: e=1.0e-10h=2./mdo i=1,m+1x(i)=-1.+(i-1)*hend dou=0.02do k=1,50do i=1,m+1sum1=0.g=dexp(x(i)*4.)+(dexp(x(i)+4.)-dexp(-4.-x(i)))/(x(i)+4.)do j=2,msum1=sum1+dexp(x(i)*x(j))*u(j)end dosum=h/2.*(dexp(x(i)*-1.)*u(1)+dexp(x(i)*1.)*u(m+1)+2*sum1)u(i)=g-sumend dor=h/2.*((dexp(x(1)*4)-u(1))**2+(dexp(x(m+1)*4)-u(m+1))**2) do i=2,mr=r+h*(dexp(x(i)*4)-u(i))**2end doif(dabs(r)<=e) exitend dowrite(*,*) kopen(1,file="trapezoid.txt")do i=1,m+1write(1,'(3(f18.12))') x(i),u(i),dexp(x(i)*4.)end dowrite(1,'(4x,a2,e9.2)') "r=",rclose(1)returnend subroutine trapezoid!///////////复化simpsonsubroutine simpson(m)implicit noneinteger :: i,j,k,mreal*8 :: x(2*m+1),u(2*m+1)real*8 :: sum,sum1,sum2,g,r,hreal*8 :: e=1.0e-10h=2./(2.*m)do i=1,2*m+1x(i)=-1.+(i-1)*hend dou=0.02do k=1,50do i=1,2*m+1sum1=0.sum2=0.g=dexp(x(i)*4.)+(dexp(x(i)+4.)-dexp(-4.-x(i)))/(x(i)+4.)do j=1,msum1=sum1+dexp(x(i)*x(2*j))*u(2*j)end dodo j=1,m-1sum2=sum2+dexp(x(i)*x(2*j+1))*u(2*j+1)sum=h/3.*(dexp(x(i)*-1.)*u(1)+dexp(x(i)*1.)*u(2*m+1)+4*sum1+2*sum2) u(i)=g-sumend dor=h/3.*((dexp(x(1)*4)-u(1))**2+(dexp(x(2*m+1)*4)-u(2*m+1))**2)do i=1,mr=r+4.*h/3.*(dexp(x(2*i)*4)-u(2*i))**2end dodo i=1,m-1r=r+2.*h/3.*(dexp(x(2*i+1)*4)-u(2*i+1))**2end doif(dabs(r)<=e) exitend dowrite(*,*) kopen(2,file="simpson.txt")do i=1,2*m+1write(2,'(3(f18.12))') x(i),u(i),dexp(x(i)*4.)end dowrite(2,'(4x,a2,e9.2)') "r=",rclose(2)returnend subroutine simpson!///////////Gauss_Legendre法subroutine Gaussimplicit noneinteger,parameter :: m=8integer :: i,j,kreal*8 :: x(m),u(m),a(m)real*8 :: sum,g,rreal*8 :: e=1.0e-10data x /-0.9602898565,-0.7966664774,-0.5255324099,-0.1834346425,&0.1834346425,0.5255324099,0.7966664774,0.9602898565/data a /0.1012285363,0.2223810345,0.3137066459,0.3626837834,&0.3626837834,0.3137066459,0.2223810345,0.1012285363/u=0.02do k=1,50do i=1,mg=dexp(x(i)*4.)+(dexp(x(i)+4.)-dexp(-4.-x(i)))/(x(i)+4.)do j=1,msum=sum+dexp(x(i)*x(j))*u(j)*a(j)end dou(i)=g-sumend dor=0.do i=1,mr=r+a(i)*(dexp(x(i)*4)-u(i))**2end doif(dabs(r)<=e) exitend dowrite(*,*) kopen(3,file="Gauss.txt")do i=1,mwrite(3,'(3(f18.12))') x(i),u(i),dexp(x(i)*4.)end dowrite(3,'(4x,a2,e9.2)') "r=",rclose(3)returnend subroutine Gaussend module!//////////主程序program mainuse integralimplicit noneinteger :: code1=2600integer :: code2=41call trapezoid(code1)call simpson(code2)call Gaussend program3.各种积分方法的节点和数值解（由于数据太多，在打印时用了较计算时少的有效数字）复化Simpson法4.各方法所得曲线（由于所取节点太多，且精度高，所以图中很难看出各曲线的区别。

利用二分法原理编程实现方程在区间上的近似解一、实验目的用二分法求方程和的正根（要求精度）二、二分法的原理和数学模型将函数用二分区间的方法解方程是一种用无限逼近的数学思想，去解方程，它的依据是：如果函数)在闭区间[]b a ,上连续，且已知函数在两端点的函数与取异号，即两端点函数值的乘积,则函数在区间()b a ,内至少有一个零点，即至少存在一点c ，使得的解。

（1）计算在有解区间[]b a ,端点处的值。

（2）计算在区间中点处的值。

（3）判断若,则即是根，否则检验：①若与异号，则知道解位于区间，,②若与同号，则知道解位于区间，,反复执行步骤2、3，便可得到一系列有根区间：（4）当()0=x f []b a ,1)sin(++=x x y )tan(12x x y -+=00001.0=ε()x f ()0=x f ()x f y =()a f ()b f ()()0<*b f a f ()x f y =()0=x f ()x f ()x f ()1x f ()01=x f 1x ()1x f ()a f []1,x a 11x b =a a 1=()1x f ()a f []b x ,111x a =b b 1=()()()k k b a b a b a ,,...,,,11ε<-++11k k a b ()k k k b a x +=+211三、实验过程方法一1.在MATLAB2018b编辑器中建立一个实现二分法的dichotomy.m和dichotomyRoot.m两个M 文件，建立一个myfunction.m的函数用来存储所要计算的方程/函数;当方程为时2.在命令行调用dichotomy.m 求解方程y;3.依次输入求根区间[x1,x2]和求根精度e ；4.得到函数输出根的近似值。

同理：当方程为时1)sin(++=x xy )tan(12x x y -+=方法二1.在MATLAB2018b软件中，建立一个实现二分法的M函数agui_bisect.m如下：2.在MATLAB命令窗口求解方程3.得到计算结果，且计算结果为4.在MATLAB命令窗口求解方程5.得到计算结果，且计算结果为。

大作业 三1. 给定初值0x 及容许误差，编制牛顿法解方程f (x )=0的通用程序.解：Matlab 程序如下：函数m 文件：function Fu=fu(x) Fu=x^3/3-x; end函数m 文件：function Fu=dfu(x) Fu=x^2-1; end用Newton 法求根的通用程序 clear;x0=input('请输入初值x0:'); ep=input('请输入容许误差:'); flag=1;while flag==1x1=x0-fu(x0)/dfu(x0); if abs(x1-x0)<ep flag=0; end x0=x1; endfprintf('方程的一个近似解为：%f\n',x0); 寻找最大δ值的程序： cleareps=input('请输入搜索精度：'); ep=input('请输入容许误差：'); flag=1; k=0; x0=0; while flag==1 sigma=k*eps; x0=sigma; k=k+1; m=0; flag1=1;while flag1==1 && m<=10^3 x1=x0-fu(x0)/dfu(x0);if abs(x1-x0)<epm=m+1; x0=x1; endif flag1==1||abs(x0)>=ep flag=0; end endfprintf('最大的sigma 值为：%f\n',sigma);2．求下列方程的非零根5130.6651()ln 05130.665114000.0918x x f x x +⎛⎫=-= ⎪-⨯⎝⎭解：Matlab 程序为：（1）主程序 clear clc format long x0=765; N=100;errorlim=10^(-5); x=x0-f(x0)/subs(df(),x0); n=1; while n<Nx=x0-f(x0)/subs(df(),x0); if abs(x-x0)>errorlim n=n+1; else break ; end x0=x; enddisp(['迭代次数: n=',num2str(n)])disp(['所求非零根: 正根x1=',num2str(x),' 负根x2=',num2str(-x)]) （2）子函数 非线性函数f function y=f(x)y=log((513+*x)/*x))-x/(1400*; end（3）子函数 非线性函数的一阶导数df function y=df() syms x1y=log((513+*x1)/*x1))-x1/(1400*; y=diff(y); end运行结果如下：所求非零根: 正根x1= 负根x2=大作业 四试编写MATLAB 函数实现Newton 插值，要求能输出插值多项式. 对函数21()14f x x =+在区间[-5，5]上实现10次多项式插值.分析：（1）输出插值多项式。

. 证明：(1). 假如 A 是对称正定矩阵，则 A 1也是对称正定矩阵(2). 假如 A 是对称正定矩阵，则 A 能够独一地写成 A L T L ，此中 L 是拥有正对角元的下三角矩阵。

证明：(1). 因 A 是对称正定矩阵，故其特点值i皆大于 0 ，所以 A 1的特点值i 1也皆大于 0 。

因此i1也皆大于 0 ，故 A 是可逆的。

又(A 1)T(A T) 1 A 1则 A 1也是对称正定矩阵。

(2).由A是对称正定，故它的全部次序主子阵均不为零，进而有独一的杜利特尔分解~A LU 。

又u111u12u1nu11u11 u221u2 nU DU 0u22u nn1此中 D 为对角矩阵，U0为上三角矩阵，于是~ ~A L U LDU0由 A 的对称性，得~A A T U0T D L T由分解的独一性得U 0T ~ L进而~ ~A LDL T由 A 的对称正定性，假如设D i (i 1,2, ,n) 表示A的各阶次序主子式，则有d1 D1 0 ， d i D i 0 ， i 2,3, , nD i 1故d1 d1 d1d2 d2 d2 Dd n d n d n1 1D2D2所以~11~ ~1~1LL T，A LD2D2 L T LD2(LD2)T~1此中 L L D 2为对角元素为正的下三角矩阵。

. 用列主元消去法解线性方程组12 x1 3x2 3x3 1518 x1 3x2 x3 15x1 x2 x3 6并求出系数矩阵 A 的队列式(即 det A )的值。

解18 3 1 15 ( A b) r1 r2 12 3 3 151 1 1 62m2131m311818 3 1 15 0 1 7 / 375 m32 0 7 /6 17 /18 631/ 618 3 1 150 1 7 / 3 50 0 11/ 3 11所以解为 x3 3 ， x2 2 ， x1 1，det A 66 。

. 用追赶法解三对角方程组Ax b ，此中2 1 0 0 0 1 1 2 1 0 0 0 A012 1 0 ， b 0 。

数值分析上机作业（一）一、算法的设计方案1、幂法求解λ1、λ501幂法主要用于计算矩阵的按模最大的特征值和相应的特征向量，即对于|λ1|≥|λ2|≥.....≥|λn|可以采用幂法直接求出λ1，但在本题中λ1≤λ2≤……≤λ501，我们无法判断按模最大的特征值。

但是由矩阵A的特征值条件可知|λ1|和|λ501|之间必然有一个是最大的，通过对矩阵A使用幂法迭代一定次数后得到满足精度ε=10−12的特征值λ0，然后在对矩阵A做如下的平移：B=A-λ0I由线性代数(A-PI)x=(λ-p)x可得矩阵B的特征值为：λ1-λ0、λ2-λ0…….λ501-λ0。

对B矩阵采用幂法求出B矩阵按模最大的特征值为λ∗=λ501-λ0，所以λ501=λ∗+λ0，比较λ0与λ501的大小，若λ0>λ501则λ1=λ501，λ501=λ0；若λ0<λ501，则令t=λ501，λ1=λ0，λ501=t。

求矩阵M按模最大的特征值λ的具体算法如下：任取非零向量u0∈R nηk−1=u T(k−1)∗u k−1y k−1=u k−1ηk−1u k=Ay k−1βk=y Tk−1u k(k=1,2,3……)当|βk−βk−1||βk|≤ε=10−12时，迭终终止，并且令λ1=βk2、反幂法计算λs和λik由已知条件可知λs是矩阵A 按模最小的特征值，可以应用反幂法直接求解出λs。

使用带偏移量的反幂法求解λik，其中偏移量为μk=λ1+kλ501−λ140(k=1,2,3…39)，构造矩阵C=A-μk I，矩阵C的特征值为λik−μk，对矩阵C使用反幂法求得按模最小特征值λ0，则有λik=1λ0+μk。

求解矩阵M按模最小特征值的具体算法如下：任取非零向量u 0∈R n ηk−1= u T (k−1)∗u k−1y k−1=u k−1ηk−1 Au k =y k−1βk =y T k−1u k (k=1,2,3……)在反幂法中每一次迭代都要求解线性方程组Au k =y k−1，当K 足够大时，取λn =1βk 。

北航数值分析全部三次大作业第一次大作业是关于解线性方程组的数值方法。

我们被要求实现各种常用的线性方程组求解算法，例如高斯消元法、LU分解法和迭代法等。

我首先学习了这些算法的原理和实现方法，并借助Python编程语言编写了这些算法的代码。

在实验中，我们使用了不同规模和条件的线性方程组进行测试，并比较了不同算法的性能和精度。

通过这个作业，我深入了解了线性方程组求解的原理和方法，提高了我的编程和数值计算能力。

第二次大作业是关于数值积分的方法。

数值积分是数值分析中的重要内容，它可以用于计算曲线的长度、函数的面积以及求解微分方程等问题。

在这个作业中，我们需要实现不同的数值积分算法，例如矩形法、梯形法和辛普森法等。

我学习了这些算法的原理和实现方法，并使用Python编写了它们的代码。

在实验中，我们计算了不同函数的积分值，并对比了不同算法的精度和效率。

通过这个作业，我深入了解了数值积分的原理和方法，提高了我的编程和数学建模能力。

第三次大作业是关于常微分方程的数值解法。

常微分方程是数值分析中的核心内容之一，它可以用于描述众多物理、化学和生物现象。

在这个作业中，我们需要实现不同的常微分方程求解算法，例如欧拉法、龙格-库塔法和Adams法等。

我学习了这些算法的原理和实现方法，并使用Python编写了它们的代码。

在实验中，我们解决了一些具体的常微分方程问题，并比较了不同算法的精度和效率。

通过这个作业，我深入了解了常微分方程的原理和方法，提高了我的编程和问题求解能力。

总的来说，北航数值分析课程的三次大作业非常有挑战性，但也非常有意义。

通过这些作业，我在数值计算和编程方面得到了很大的提升，也更加深入地了解了数值分析的理论和方法。

虽然这些作业需要大量的时间和精力，但我相信这些努力将会对我未来的学习和工作产生积极的影响。

北京航空航天大学2020届研究生《数值分析》实验作业第九题院系：xx学院学号：姓名：2020年11月Q9:方程组A.4一、 算法设计方案（一）总体思路1.题目要求∑∑===k i kj s r rsy x cy x p 00),(对f(x, y) 进行拟合，可选用乘积型最小二乘拟合。

),(i i y x 与),(i i y x f 的数表由方程组与表A-1得到。

2.),(**j i y x f 与1使用相同方法求得，),(**j i y x p 由计算得出的p(x,y)直接带入),(**j i y x 求得。

1. ),(i i y x 与),(i i y x f 的数表的获得对区域D ={ （x,y)|1≤x ≤1.24,1.0≤y ≤1.16}上的f (x , y )值可通过xi=1+0.008i ，yj=1+0.008j ，得到),(i i y x 共31×21组。

将每组带入A4方程组，即可获得五个二元函数组，通过简单牛顿迭代法求解这五个二元数组可获得z1~z5有关x,y 的表达式。

再将),(i i y x 分别带入z1~z5表达式即可获得f(x,y)值。

2.乘积型最小二乘曲面拟合2.1使用乘积型最小二乘拟合，根据k 值不用，有基函数矩阵如下：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=k i i k x x x x B 0000 ， ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=k j jk y y y y G 0000数表矩阵如下：⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=),(),(),(),(0000j i i j y x f y x f y x f y x f U记C=[rs c ]，则系数rs c 的表达式矩阵为：11-)(-=G G UG B B B C T TT ）（通过求解如下线性方程，即可得到系数矩阵C 。

UG B G G C B B T T T =)()(2.2计算),(),,(****j i j i y x p y x f (i =1,2,…,31 ; j =1,2,…,21) 的值),(**j i y x f 的计算与),(j i y x f 相同。

数值分析练习题及答案数值分析练习题及答案数值分析是应用数学的一个分支，它研究如何使用数值方法解决实际问题。

在数值分析的学习过程中，练习题是非常重要的一部分，通过练习题的完成，我们可以更好地理解和掌握数值分析的原理和方法。

本文将给出一些数值分析的练习题及其答案，希望对读者有所帮助。

一、插值与拟合1. 插值是指根据已知数据点的函数值，通过某种方法推导出在这些数据点之间的函数值。

请问插值的目的是什么？答案：插值的目的是通过已知数据点的函数值，推导出在这些数据点之间的函数值，以便于我们在这些数据点之间进行计算和分析。

2. 拟合是指根据已知数据点的函数值，通过某种方法找到一个函数，使得该函数与这些数据点尽可能接近。

请问拟合的目的是什么？答案：拟合的目的是通过已知数据点的函数值，找到一个函数，使得该函数与这些数据点尽可能接近，以便于我们对数据的趋势和规律进行分析和预测。

二、数值积分1. 数值积分是指通过数值方法计算一个函数在某个区间上的积分值。

请问数值积分的应用领域有哪些？答案：数值积分在科学计算、工程设计、金融分析等领域都有广泛的应用。

例如，在物理学中，数值积分可以用来计算物体的质心、重心等重要物理量；在金融分析中，数值积分可以用来计算期权的价格和风险价值等。

2. 辛普森法则是一种常用的数值积分方法，它通过将积分区间划分为若干个小区间，并在每个小区间上使用一个二次多项式来逼近被积函数。

请问辛普森法则的原理是什么？答案：辛普森法则的原理是通过将积分区间划分为若干个小区间，并在每个小区间上使用一个二次多项式来逼近被积函数。

然后，通过对这些小区间上的二次多项式进行积分，最后将这些积分值加起来，就可以得到整个积分区间上的积分值。

三、数值微分1. 数值微分是指通过数值方法计算一个函数在某个点处的导数值。

请问数值微分的作用是什么？答案：数值微分的作用是通过数值方法计算一个函数在某个点处的导数值，以便于我们对函数的变化趋势和规律进行分析和预测。

数值分析作业(3)思考题：1：（a）仅当系数矩阵是病态或奇异的时候，不选主元的Gauss消元法才会失败。

(b) 系数矩阵是对称正定的线性方程组总是良态的；(c) 两个对称矩阵的乘积依然是对称的；(d) 如果一个矩阵的行列式值很小，则它很接近奇异；(e) 两个上三角矩阵的乘积仍然是上三角矩阵；(f) 一个非奇异上三角矩阵的逆仍然是上三角矩阵；(g) 一个奇异矩阵不可能有LU分解；(h) 奇异矩阵的范数一定是零；(i) 范数为零的矩阵一定是零矩阵；（j）一个非奇异的对称阵，如果不是正定的则不能有Cholesky分解。

2: 全主元Gauss消元法与列主元Gauss消元法的基本区别是什么？它们各有什么优点？3：满足下面是我什么条件，可以判定矩阵接近奇异？（a）矩阵的行列式小；（b）矩阵的条件数小；（c）矩阵的范数小；（d）矩阵的条件数大；（e ）矩阵的范数大； （f ）矩阵的元素小4: Jacobi 迭代法和Gauss-Seidel 迭代法相比(a) 两种的基本差别是什么？(b) 哪种方法更适合并行计算？（c ）哪种方法更节省存储空间？（d ）Jacobi 迭代法是否运算速度更快？习题：1．对矩阵2112112112A -⎡⎤⎢⎥--⎢⎥=⎢⎥--⎢⎥-⎣⎦,试求A 的Cholesky 分解。

2. 对矩阵12122211111,222221112A A --⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦证明：（1）求解以1A 为系数矩阵的线性方程组，Jacobi 迭代是收敛的，而Gauss-Seidel 迭代发散；（2）求解以2A 为系数矩阵的线性方程组，Jacobi 迭代是发散的，而Gauss-Seidel 迭代收敛。

3.对矩阵11,1a a A a a a a ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦（1） 参数a 取什么值时，矩阵是正定的？（2） a 取什么值，求解以A 为系数矩阵的线性方程组，Jacobi 迭代是收敛的。

一、问题提出设方程f(x)=x 3-3x-1=0有三个实根 x *1=1.8793 , x *2=-0.34727 ,x *3=-1.53209现采用下面六种不同计算格式，求 f(x)=0的根 x *1 或x *2 。

1、 x = 213xx + 2、x = 313-x3、 x = 313+x4、 x = 312-x 5、 x = x13+6、 x = x - ()1133123---x x x二、目的和意义1、通过实验进一步了解方程求根的算法；2、认识选择计算格式的重要性；3、掌握迭代算法和精度控制；4、明确迭代收敛性与初值选取的关系。

三、结构程序设计本程序实在matlab 软件上进行操作的。

首先建立一个空白的M-文件。

在编辑器中输入以下内容，并保存。

function [X1,m,n,q]=shizi1(p) x=zeros(100,1); x=double(x);x(1,1)=p;i=1;deltax=100;while (i<100 & deltax > 0.000001)x(i+1,1)=(3*x(i,1)+1)/x(i,1)^2deltax=abs(x(i+1,1)-x(i,1));i=i+1;endX1=x(1,1);m=i;n=x(i,1);q=deltax;以上是运行函数，下一步在建立一个执行M-文件，输入以下内容，并保存。

其中X1为初始值，m为迭代次数，n为最后得到的值，q为|x k+1-x k|。

clear all;clc;p=1.8;[X1,m,n,q]=shizi1(p)1、对第一个迭代公式，在执行文件中输入p=1.8；[X1,m,n,q]=shizi1(p)。

得到如下结果如下：初值为1.8，迭代100次，精度为10-6。

可见该迭代公式是发散的，将初值改为-1.5，其他均条件不变。

p=-1.5;[X1,m,n,q]=shizi1(p)改变初值后可以得到一个接近真值的结果x*3的结果ans=-1.5321。

《数值分析》大作业四一、算法设计方案：复化梯形积分法，选取步长为1/500=0.002，迭代误差控制在E ≤1.0e-10①复化梯形积分法：11()[()()2()]2n b ak h f x dx f a f b f a kh -=⎰≈+++∑，截断误差为：322()''()''(),[,]1212Tb a b a R f h f a b nηηη--=-=-∈其中。

复化Simpson 积分法，选取步长为1/50=0.02，迭代误差控制在E ≤1.0e-10②Simpson 积分法：121211()[()()4()2()]3m m bi i ai i h f x dx f a f b f x f x --==≈+++∑∑⎰，截断误差为：4(4)(),[,]180sb a R h fa b ηη-=-∈。

③Guass 积分法选用Gauss-Legendre 求积公式：111()()ni i i f x dx A f x -=≈∑⎰截断误差为：R=()()n 2n 422n !2×(2[2!]2n 1fn n ⨯（2）η（））＋ η∈(1,1)。

选择9个节点：-0.9681602395,-0.8360311073,-0.6133714327,-0.3242534234,0,0.3242534234,0.6133714327,0.8360311073,0.9681602395， 对应的求积系数依次为：0.0812743884,0.1806481607,0.2606106964,0.3123470770,0.3302393550,0.3123470770,0.2606106964,0.1806481607,0.0812743884。

二、程序源代码：#include<stdio.h>#include<math.h>#include<stdlib.h>#define E 1.0e-10/****定义函数g和K*****/double g(double a){double b;b=exp(4*a)+(exp(a+4)-exp(-a-4))/(a+4);return b;}double K(double a,double b){double c;c=exp(a*b);return c;}/******复化梯形法******/void Tixing( ){double u[1001],x[1001],h,c[1001],e;int i,j,k;FILE *fp;fp=fopen("f:/result0. xls ","w");h=1.0/1500;for(i=0;i<3001;i++){x[i]=i*h-1;u[i]=g(x[i]);}for(k=0;k<100;k++){e=0;for(i=0;i<1001;i++){for(j=1,c[i]=0;j<N-1;j++)c[i]+=K(x[i],x[j])*u[j];u[i]=g(x[i])-h*c[i]-h/2*(K(x[i],x[0])*u[0]+K(x[i],x[N-1])*u[N-1]);e+=h*(exp(4*x[i])-u[i])*(exp(4*x[i])-u[i]);}if(e<=E) break;}for(i=0;i<1001;i++)fprintf(fp,"%.12lf,%.12lf\n",x[i],u[i]);fclose(fp);}/******复化Simpson法******/void simpson( ){double u[101],x[101],h,c[101],d[101],e;int i,j,k;FILE *fp;fp=fopen("f:/result1.xls","w");h=1.0/50;for(i=0;i<101;i++){x[i]=i*h-1;u[i]=g(x[i]);}for(k=0;k<50;k++){e=0;for(i=0;i<101;i++){for(j=1,c[i]=0,d[i]=0;j<51;j++){c[i]+=K(x[i],x[2*j-1])*u[2*j-1];if(j<50)d[i]+=K(x[i],x[2*j])*u[2*j];}u[i]=g(x[i])-4*h/3*c[i]-2*h/3*d[i]-h/3*(K(x[i],x[0])*u[0]+K(x[i],x[M-1])*u[M-1]);e+=h*(exp(4*x[i])-u[i])*(exp(4*x[i])-u[i]);}if(e<=E) break;}for(i=0;i<101;i++)fprintf(fp,"%.12lf,%.12lf\n",x[i],u[i]);fclose(fp);}/******Gauss积分法******/void gauss( ){double x[9]={-0.9681602395,-0.8360311073,-0.6133714327,-0.3242534234,0,\0.3242534234,0.6133714327,0.8360311073,0.9681602395},A[9]={0.0812743884,0.1806481607,0.2606106964,0.3123470770,0.3302393550,\0.3123470770,0.2606106964,0.1806481607,0.0812743884},u[9],c[9],e;int i,j,k;FILE *fp;fp=fopen("f:/result2. xls ","w");for(i=0;i<9;i++)u[i]=g(x[i]);for(k=0;k<50;k++){e=0;for(i=0;i<9;i++){for(j=0,c[i]=0;j<9;j++)c[i]+=A[j]*K(x[i],x[j])*u[j];u[i]=g(x[i])-c[i];e+=A[i]*(exp(4*x[i])-u[i])*(exp(4*x[i])-u[i]);}if(e<=E) break;}for(i=0;i<9;i++)fprintf(fp,"%.12lf,%.12lf\n",x[i],u[i]);fclose(fp);}/******主函数******/main(){Tixing ( );Simpson( );Gauss( );return 0;}三、运算结果复化梯形数据-10.018323-0.920.02523-0.9980.018471-0.9180.025433-0.9960.018619-0.9160.025637-0.9940.018768-0.9140.025843-0.9920.018919-0.9120.026051-0.990.019071-0.910.02626-0.9880.019224-0.9080.026471-0.9860.019378-0.9060.026683-0.9840.019534-0.9040.026897-0.9820.019691-0.9020.027113-0.980.019849-0.90.027331-0.9780.020008-0.8980.02755-0.9760.020169-0.8960.027772-0.9740.020331-0.8940.027995-0.9720.020494-0.8920.028219-0.970.020658-0.890.028446-0.9680.020824-0.8880.028674-0.9660.020992-0.8860.028905-0.9640.02116-0.8840.029137-0.9620.02133-0.8820.029371-0.960.021501-0.880.029607-0.9580.021674-0.8780.029844-0.9560.021848-0.8760.030084-0.9540.022023-0.8740.030326-0.9520.0222-0.8720.030569-0.950.022378-0.870.030815-0.9480.022558-0.8680.031062-0.9460.022739-0.8660.031311-0.9440.022922-0.8640.031563-0.9420.023106-0.8620.031816-0.940.023291-0.860.032072-0.9380.023478-0.8580.032329-0.9360.023667-0.8560.032589-0.9340.023857-0.8540.032851-0.9320.024048-0.8520.033114-0.930.024241-0.850.03338-0.9280.024436-0.8480.033648-0.9260.024632-0.8460.033918-0.9240.02483-0.8440.034191-0.9220.025029-0.8420.034465-0.840.034742-0.760.047841-0.8380.035021-0.7580.048225-0.8360.035302-0.7560.048613 -0.8340.035586-0.7540.049003 -0.8320.035872-0.7520.049396 -0.830.03616-0.750.049793 -0.8280.03645-0.7480.050193 -0.8260.036743-0.7460.050596 -0.8240.037038-0.7440.051002 -0.8220.037335-0.7420.051412 -0.820.037635-0.740.051825 -0.8180.037937-0.7380.052241 -0.8160.038242-0.7360.052661 -0.8140.038549-0.7340.053084 -0.8120.038858-0.7320.05351 -0.810.039171-0.730.05394 -0.8080.039485-0.7280.054373 -0.8060.039802-0.7260.054809 -0.8040.040122-0.7240.05525 -0.8020.040444-0.7220.055693 -0.80.040769-0.720.056141 -0.7980.041096-0.7180.056591 -0.7960.041426-0.7160.057046 -0.7940.041759-0.7140.057504 -0.7920.042094-0.7120.057966 -0.790.042432-0.710.058431 -0.7880.042773-0.7080.058901 -0.7860.043116-0.7060.059374 -0.7840.043463-0.7040.05985 -0.7820.043812-0.7020.060331 -0.780.044164-0.70.060816 -0.7780.044518-0.6980.061304 -0.7760.044876-0.6960.061796 -0.7740.045236-0.6940.062293 -0.7720.045599-0.6920.062793 -0.770.045966-0.690.063297 -0.7680.046335-0.6880.063805 -0.7660.046707-0.6860.064318 -0.7640.047082-0.6840.064834 -0.7620.04746-0.6820.065355-0.680.06588-0.60.090722 -0.6780.066409-0.5980.091451-0.6760.066942-0.5960.092185 -0.6740.06748-0.5940.092926 -0.6720.068022-0.5920.093672 -0.670.068568-0.590.094424 -0.6680.069119-0.5880.095183 -0.6660.069674-0.5860.095947 -0.6640.070234-0.5840.096718 -0.6620.070798-0.5820.097494 -0.660.071366-0.580.098277 -0.6580.071939-0.5780.099067 -0.6560.072517-0.5760.099862 -0.6540.0731-0.5740.100664 -0.6520.073687-0.5720.101473 -0.650.074278-0.570.102288 -0.6480.074875-0.5680.103109 -0.6460.075476-0.5660.103937 -0.6440.076082-0.5640.104772 -0.6420.076694-0.5620.105614 -0.640.077309-0.560.106462 -0.6380.07793-0.5580.107317 -0.6360.078556-0.5560.108179 -0.6340.079187-0.5540.109048 -0.6320.079823-0.5520.109924 -0.630.080464-0.550.110806 -0.6280.08111-0.5480.111696 -0.6260.081762-0.5460.112593 -0.6240.082418-0.5440.113498 -0.6220.08308-0.5420.114409 -0.620.083748-0.540.115328 -0.6180.08442-0.5380.116254 -0.6160.085098-0.5360.117188 -0.6140.085782-0.5340.118129 -0.6120.086471-0.5320.119078 -0.610.087165-0.530.120035 -0.6080.087865-0.5280.120999 -0.6060.088571-0.5260.12197 -0.6040.089282-0.5240.12295 -0.6020.089999-0.5220.123938-0.550.110806-0.470.152592 -0.5480.111696-0.4680.153817-0.5460.112593-0.4660.155053-0.5440.113498-0.4640.156298-0.5420.114409-0.4620.157553-0.540.115328-0.460.158819-0.5380.116254-0.4580.160095-0.5360.117188-0.4560.16138-0.5340.118129-0.4540.162677-0.5320.119078-0.4520.163983-0.530.120035-0.450.1653-0.5280.120999-0.4480.166628-0.5260.12197-0.4460.167966-0.5240.12295-0.4440.169315-0.5220.123938-0.4420.170675-0.520.124933-0.440.172046-0.5180.125936-0.4380.173428-0.5160.126948-0.4360.174821-0.5140.127967-0.4340.176225-0.5120.128995-0.4320.17764-0.510.130031-0.430.179067-0.5080.131076-0.4280.180505-0.5060.132128-0.4260.181955-0.5040.13319-0.4240.183416-0.5020.134259-0.4220.18489-0.50.135338-0.420.186375-0.4980.136425-0.4180.187871-0.4960.13752-0.4160.18938-0.4940.138625-0.4140.190901-0.4920.139738-0.4120.192435-0.490.140861-0.410.19398-0.4880.141992-0.4080.195538-0.4860.143132-0.4060.197109-0.4840.144282-0.4040.198692-0.4820.145441-0.4020.200288-0.480.146609-0.40.201897-0.4780.147786-0.3980.203518-0.4760.148973-0.3960.205153-0.4740.15017-0.3940.206801-0.4720.151376-0.3920.208462-0.390.210136-0.310.289382 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3.0894390.362 4.254558 0.284 3.1142540.364 4.288731 0.286 3.1392680.366 4.323179 0.288 3.1644830.368 4.357903 0.29 3.18990.37 4.392906 0.292 3.2155220.372 4.42819 0.294 3.2413490.374 4.463758 0.296 3.2673840.376 4.499612 0.298 3.2936280.378 4.535753 0.3 3.3200830.38 4.572185 0.302 3.346750.382 4.608909 0.304 3.3736320.384 4.645928 0.306 3.4007290.386 4.683245 0.308 3.4280440.388 4.720861 0.31 3.4555790.39 4.75878 0.312 3.4833350.392 4.797003 0.314 3.5113130.394 4.835533 0.316 3.5395160.396 4.874373 0.318 3.5679460.398 4.913524 0.32 3.5966040.4 4.95299 0.322 3.6254930.402 4.992773 0.324 3.6546130.404 5.032876 0.326 3.6839670.406 5.0733 0.328 3.7135570.408 5.114050.41 5.1551260.497.099276 0.412 5.1965330.4927.1562980.414 5.2382720.4947.213778 0.416 5.2803460.4967.27172 0.418 5.3227590.4987.330127 0.42 5.3655120.57.389004 0.422 5.4086080.5027.448353 0.424 5.4520510.5047.508179 0.426 5.4958420.5067.568486 0.428 5.5399850.5087.629277 0.43 5.5844830.517.690556 0.432 5.6293380.5127.752327 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0.58610.422780.66614.35352 0.58810.50650.66814.46881 0.5910.590890.6714.58502 0.59210.675960.67214.70217 0.59410.761710.67414.82026 0.59610.848150.67614.9393 0.59810.935280.67815.05929 0.611.023110.6815.18025 0.60211.111650.68215.30218 0.60411.20090.68415.42509 0.60611.290870.68615.54898 0.60811.381560.68815.67387 0.6111.472980.6915.79977 0.61211.565130.69215.92667 0.61411.658020.69416.0546 0.61611.751660.69616.18355 0.61811.846050.69816.31354 0.6211.94120.716.44457 0.62212.037110.70216.57665 0.62412.133790.70416.7098 0.62612.231250.70616.84401 0.62812.32950.70816.97931 0.6312.428530.7117.11569 0.63212.528360.71217.25316 0.63412.628990.71417.39174 0.63612.730420.71617.53143 0.63812.832680.71817.67225 0.6412.935750.7217.81419 0.64213.039650.72217.95728 0.64413.144390.72418.10151 0.64613.249960.72618.24691 0.64813.356390.72818.393470.7318.541210.8125.53363 0.73218.690130.81225.738720.73418.840250.81425.94545 0.73618.991580.81626.15385 0.73819.144120.81826.36392 0.7419.297890.8226.57568 0.74219.452890.82226.78914 0.74419.609140.82427.00431 0.74619.766640.82627.22121 0.74819.925410.82827.43985 0.7520.085450.8327.66025 0.75220.246780.83227.88242 0.75420.409410.83428.10638 0.75620.573340.83628.33213 0.75820.738580.83828.5597 0.7620.905160.8428.78909 0.76221.073070.84229.02033 0.76421.242330.84429.25342 0.76621.412950.84629.48839 0.76821.584940.84829.72524 0.7721.758310.8529.964 0.77221.933080.85230.20467 0.77422.109250.85430.44728 0.77622.286830.85630.69184 0.77822.465840.85830.93836 0.7822.646290.8631.18686 0.78222.828190.86231.43735 0.78423.011550.86431.68986 0.78623.196380.86631.9444 0.78823.382690.86832.20098 0.7923.570510.8732.45962 0.79223.759830.87232.72034 0.79423.950670.87432.98315 0.79624.143040.87633.24807 0.79824.336960.87833.51513 0.824.532440.8833.78432 0.80224.729490.88234.05568 0.80424.928110.88434.32922 0.80625.128340.88634.60496 0.80825.330170.88834.882910.8935.163090.94643.99154 0.89235.445520.94844.344880.89435.730220.9544.701070.89636.017210.95245.060110.89836.306510.95445.422040.936.598120.95645.786870.90236.892080.95846.154630.90437.188410.9646.525350.90637.487110.96246.899050.90837.788210.96447.275750.9138.091730.96647.655470.91238.397680.96848.038240.91438.70610.9748.424090.91639.016990.97248.813040.91839.330380.97449.205110.9239.646280.97649.600330.92239.964720.97849.998720.92440.285720.9850.400320.92640.60930.98250.805140.92840.935480.98451.213210.9341.264280.98651.624560.93241.595720.98852.039210.93441.929820.9952.45720.93642.26660.99252.878540.93842.606090.99453.303270.9442.948310.99653.73140.94243.293270.99854.162980.94443.64101154.59802复化Simpson数据：-1 0.018319929 -0.34 0.256658088 0.32 3.596641805 -0.98 0.0198445 -0.32 0.278035042 0.34 3.896195298-0.96 0.021494322 -0.3 0.301192133 0.36 4.220697765-0.94 0.023283225 -0.28 0.326278124 0.38 4.572227037-0.92 0.025220379 -0.26 0.353453177 0.4 4.95303418-0.9 0.027320224 -0.24 0.382891765 0.42 5.365557596-0.88 0.029594431 -0.22 0.41478194 0.44 5.812438891-0.86 0.032059069 -0.16 0.527292277 0.54 8.671138204-0.84 0.034728638 -0.14 0.571209036 0.56 9.39333156-0.82 0.037621263 -0.12 0.61878367 0.58 10.17567433-0.8 0.040754615 -0.1 0.670320427 0.6 11.02317608-0.78 0.044149394 -0.08 0.726149698 0.62 11.94126383-0.76 0.047826844 -0.06 0.78662861 0.64 12.93581634-0.74 0.051810827 -0.04 0.85214479 0.66 14.01320231-0.72 0.056126648 -0.02 0.92311742 0.68 15.1803205-0.7 0.060802006 0 1.0000013 0.7 16.44464467 -0.68 0.065866854 0.02 1.083288424 0.72 17.81427057 -0.66 0.071353499 0.04 1.173512427 0.74 19.29796874 -0.64 0.077297255 0.06 1.271250748 0.76 20.90523965 -0.62 0.083735917 0.08 1.377129533 0.78 22.64637562 -0.6 0.090711017 0.1 1.491826493 0.8 24.53252554 -0.58 0.098266855 0.12 1.616076341 0.82 26.57576756 -0.56 0.106452202 0.14 1.750674449 0.84 28.78918506 -0.54 0.11531904 0.16 1.896482943 0.86 31.18695183 -0.52 0.12492459 0.18 2.054435268 0.88 33.78442141 -0.5 0.135329888 0.2 2.225543071 0.9 36.59822683 -0.48 0.14660204 0.22 2.410901825 0.92 39.64638571 -0.46 0.158812728 0.24 2.611698647 0.94 42.94841704 -0.44 0.17204064 0.26 2.829219145 0.96 46.52546475 -0.42 0.18636997 0.28 3.064856356 0.98 50.40043451 -0.4 0.201892977 0.3 3.320119013 1 54.59813904 -0.38 0.218708553 0.46 6.296539601-0.36 0.236924875 0.48 6.820959636-0.2 0.449328351 0.5 7.389057081-0.18 0.486751777 0.52 8.004469675Gauss积分数据：0102030405060四、讨论①在满足相同精度要求的情况下复化梯形积分法比复化Simpson 积分法计算所需节点数多，计算量大。

课程设计2013年07月20日设计题目 《数值分析》课程设计学生姓名 ****学 号 ####专业班级指导教师1.1水手、猴子和椰子问题算法分析:设椰子起初的数目为0p ,第一至第五次猴子在夜里藏椰子后，椰子的数目分别为0p ，1p ，2p ，3p ，4p ，再设最后每个人分得x 个椰子，由题意得：15541(1),0,1,2,3,4.(1)=5155k k p p k x p p x +=-==-+所以利用逆向递推方法求解：n=input('n='); for x=1:n p=5*x+1; for k=1:5 p=5*p/4+1; endif p==fix(p) break end enddisp([x,p])执行代码后得： n= 1023 15621 （输入n=1000000） 即最后每个人分得1023个椰子，椰子总数为156211.2当0,1,2,,100n = 时，选择稳定的算法计算积分10d 10nxn xe I x e --=+⎰ 由1100(1)1110010101,1010110(1)10x x n x nxnxn n n x e I I dx e e e I I dx e dx e e n---+---+-++==+++===-+⎰⎰⎰ 得0111(1)1011[(1)],100,99,...,1.10n n n I I I e I n n -+⎧=-⎪⎪⎨⎪=--=⎪⎩由上式可知求n I 时，1n I +的误差的影响被缩小了。

n=100时100I 的近似值为0。

matlab 代码为fprintf('稳定算法:\n')y0=0;n=100;plot(n,y0,'r*');hold onfprintf('y[100]=%10.6f',y0);while(1)y1=1/10*[(1-exp(-n))/n-y0];fprintf('y[%10.0f]=%10.6f',n-1,y1);plot(n-1,y1,'r*') if(n<=1) break;endy0=y1;n=n-1;if mod(n,3)==0,fprintf('\n'),end,end(具体值已省略)编程实现得下图。

北理工数值分析大作业近年来，随着计算机技术的飞速发展，数值分析成为了计算机科学与工程中的重要领域。

数值分析着重于通过数值方法和计算技术解决实际问题，并通过数值计算的精度、稳定性和效率来评价算法的优劣。

本文将介绍北理工数值分析大作业的主题和方案。

本次数值分析大作业的主题是解决常微分方程（Ordinary Differential Equation，ODE）的初值问题。

常微分方程是描述自然界中许多物理现象和工程问题的数学模型，解决常微分方程的初值问题是数值分析中的经典问题之一我们将采用龙格-库塔法（Runge-Kutta method）来解决常微分方程的初值问题。

龙格-库塔法是一种常用的数值求解ODE的方法，其核心思想是通过将微分方程近似为差分方程，用离散化的方法逼近真实解。

具体方法是以一种递归的方式计算不同阶的近似解，从而提高解的精度。

首先，我们将介绍龙格-库塔法的基本原理和算法。

龙格-库塔法的核心是通过递归计算中间值来逼近真实解，并根据这些中间值计算最终的近似解。

我们将详细介绍四阶龙格-库塔法的具体算法和推导过程，并给出其误差分析和收敛性证明。

接下来，我们将选取一个具体的常微分方程作为案例来验证龙格-库塔法的有效性和稳定性。

我们选择经典的二阶线性常微分方程作为案例，该方程具有已知的解析解。

我们将通过比较数值解和解析解的差异来评估龙格-库塔法的精度和可靠性，并对算法的参数设置进行优化。

最后，我们将对龙格-库塔法进行性能测试和分析。

我们将使用不同的问题规模和不同的算法参数来测试算法的运行时间和内存占用情况，并通过绘制性能曲线来评估算法的效率和可扩展性。

总结起来，本文介绍了北理工数值分析大作业的主题和方案，主要包括龙格-库塔法的基本原理和算法、常微分方程的解析解验证、算法参数优化以及性能测试。

通过本次大作业的完成，我们将对数值分析的基本理论和方法有更深入的理解，并能够熟练应用数值方法解决实际问题。

《数值分析》课程教学大纲课程编号：07054352课程名称：数值分析英文名称：Numerical Analysis课程类型：学科基础课程要求：必修学时/学分：48/3 （讲课学时：40 上机学时：8）适用专业：计算机科学与技术；软件工程一、课程性质与任务“数值分析”是计算机科学与技术、软件工程等相关专业学生的学科基础课，也是其它理、工科专业本科生及研究生的必修或选修课。

数值分析是研究各种数学问题在计算机上通过数值运算，得到数值解答的方法和理论。

随着计算机系统能力的提高和新型数值软件的不断开发，无论在高科技领域还是在传统学科领域，数值分析的理论和方法的作用和影响巨大，是科学工作者和工程技术人员必备的基础知识和工具。

课程的任务是使学生能了解数值分析的基本概念，熟悉常用数值方法的构造原理，了解数值算法复杂性、误差与收敛性分析的基本方法，了解重要数值算法的软件实现过程，使学生系统掌握数值分析的基本概念和分析问题、解决问题的基本方法，为掌握更复杂的现代计算方法打好基础。

内容包括数值计算的基本方法、线性和非线性方程组解法、插值法、数值积分法及微分方程的数值解法。

二、课程与其他课程的联系先修课程：高等数学，线性代数，C语言程序设计，计算基础。

后续课程：人工智能，数字图像处理技术，大数据分析及应用。

三、课程教学目标1．学习使用计算机进行数值计算的基础知识和基本理论知识，能够分辨、选用合适的数值方法解决工程问题。

（支撑毕业能力要求1和2）2. 能掌握常用数值计算方法的构造原理，根据问题设计和综合运用算法设计问题解决方案。

（支撑毕业能力要求1和2）3. 能运用数值算法复杂性、误差与收敛性分析的基本方法初步进行算法分析。

4. 能用计算机语言实现典型的数值计算算法，得到实验技能的基本训练，并具有利用计算机解决常见数学问题的能力；（支撑毕业能力要求4）5．能通过查询阅读文献资料，了解数值分析的前沿和新发展动向，了解数值分析算法原理应用的典型工程领域。