高考数学第二轮专题限时复习题13
专题限时集训(十三)
[第13讲]
1．下列命题中错误
．．的是()
A．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面β
B．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β
C．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥平面γ
D．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β
2．已知直线l，m，平面α，β，且l⊥α，m⊂β，给出下列四个命题：
①若α∥β，则l⊥m；②若l⊥m，则α∥β；③若α⊥β，则l∥m；④若l∥m，则α⊥β.
其中正确命题的个数是()
A．0 B．1 C．2 D．3
3．正方体ABCD－A1B1C1D1中，M为棱AB的中点，则异面直线DM与D1B所成角的余弦值为()
A.15
6 B.
15
5 C.
15
3 D.
15
10
4．对于四面体ABCD，下列命题正确的是________(写出所有正确命题的编号)．
(1)相对棱AB与CD所在的直线异面；
(2)由顶点A作四面体的高，其垂足是△BCD的三条高线的交点；
(3)若分别作△ABC和△ABD的边AB上的高，则这两条高所在直线异面；
(4)分别作三组相对棱中点的连线，所得的三条线段相交于一点；
(5)
1．设l，m，n表示三条直线，α，β，γ
①若l⊥α，m⊥α，则l∥m；
②若m⊂β，n是l在β内的射影，m⊥l，则m⊥n；
③若m⊂α，m∥n，则n∥α；
④若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β.
其中真命题为()
A．①②B．①②③
C．①②③④D．③④
2．已知三个互不重合的平面α、β、γ，且α∩β＝a，α∩γ＝b，β∩γ＝c，给出下列命题：①若a⊥b，a⊥c，则b ⊥c；②若a∩b＝P，则a∩c＝P；③若a⊥b，a⊥c，则α⊥γ；④若a∥b，则a∥c.其中正确命题个数为() A．1个B．2个C．3个D．4个
3．已知E，F，G，H是空间四点，命题甲：E，F，G，H四点不共面，命题乙：直线EF和GH不相交，则命题甲是命题乙成立的()
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
4．图13－1是一几何体的三视图，正视图是一等腰直角三角形，且斜边BD长为2；侧视图为一直角三角形；俯视图为一直角梯形，且AB＝BC＝1，则异面直线PB与CD所成角的正切值是()
A．1 B. 2 C.
2
2 D.
1
2
5．在空间中，有如下命题：
①互相平行的两条直线在同一个平面内的射影必然是互相平行的两条直线；
②若平面α∥平面β，则平面α内任意一条直线m∥平面β；
③若平面α与平面β的交线为m，平面α内的直线n⊥直线m，则直线n⊥平面β；
④若平面α内的三点A，B，C到平面β的距离相等，则α∥β.
其中正确命题的个数为________．
6．如图13－2，四面体OABC的三条棱OA，OB，OC两两垂直，OA＝OB＝2，OC＝3，D为四面体OABC外一点．给出下列命题．
①不存在点D，使四面体ABCD有三个面是直角三角形；
②不存在点D，使四面体ABCD是正三棱锥；
③存在点D，使CD与AB垂直并且相等；
④存在无数个点D，使点O在四面体ABCD的外接球面上．
其中真命题的序号是________．
7．如图13－3，已知三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AC＝BC＝2，AA1＝4，AB＝22，M，N分别是棱CC1，AB的中点．
(1)求证：CN⊥平面ABB1A1；
(2)求证：CN∥平面AMB1；
(3)求三棱锥B1－AMN的体积．
8．如图13－4，在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，CD⊥AB，D为垂足．沿CD将△ABC对折，连接AB，使得AB＝ 3.
(1)对折后，在线段AB上是否存在点E，使CE⊥AD？若存在，求出AE的长；若不存在，说明理由；
(2)对折后，求二面角B－AC－D的平面角的正切值．
13－4
专题限时集训(十三)
【基础演练】
1．D【解析】若面α⊥面β，在面α内与面β的交线不相交的直线平行平面β，故A正确；B中若α内存在直线垂直平面β，则α⊥β，与题设矛盾，所以B正确；由面面垂直的性质知选项C正确；由选项A正确可以推出D错误．
2．C【解析】命题①正确；命题②不正确；命题③不正确；命题④正确．
3．B【解析】如图，取CD的中点N，连接BN，D1N，则BN∥DM，∠D1BN就是异面直线DM与D1B所成角．设
正方体棱长为1，在△D1BN中，BD1＝3，BN＝D1N＝
5
2，由余弦定理得cos∠D1BN＝
(3)2＋⎝⎛⎭⎫
5
2
2－
⎝
⎛
⎭
⎫5
2
2
2·3·
5
2
＝
15
5.
4．(1)(4)(5)【解析】命题(1)中，如果AB，B，C，D共面，所以ABCD为平面图形，这与ABCD是四面体矛盾，命题(1)正确；
命题(2)中，如果命题成立，即顶点A在底面BCD上的射影为底面三角形的垂心，如图(1)，则CD⊥AH，CD⊥BE，根据线面垂直的判定定理CD⊥平面ABH，故CD⊥AB，同理可以证明AD⊥BC、AC⊥BD，但这些条件在题目的已知中是不具备的，故命题(2)不一定成立，即命题不正确；
命题(3)中，如图(2)，当△ABC，△ABD的AB边上的高的垂足为同一个点时，命题不成立，这种情况是完全可能的，如当CA＝CB，DA＝DB时，故命题(3)不正确；
命题(4)中，如图(3)所示，E，F，G，H，I，J分别为BC，AD，AB，CD，AC，BD的中点，连接各中点，容易证明四边形EHFG为平行四边形，故HG，EF相交于一点，且在这点互相平分，即交点为线段HG的中点，设为O；同理可以证明HG，IJ也相交于一点，且在该点互相平分，即线段IJ也过线段HG的中点O，故三组对棱中点的连线交于一点，故命题(4)正确；
命题(5)，如在命题(2)的图中，我们设最长棱为AC，若结论不成立，即不存在端点，由它引出的另两条棱的长度之和大于最长棱，即从两个端点A，C引出的两条棱的长度之和均不大于AC，即AB＋AD≤AC，CB＋CD≤AC，两个不等式相加得AB＋AD＋CB＋CD≤2AC，即(AB＋CB)＋(AD＋CD)≤2AC，由在△ABC和△ADC中AB＋CB>AC，AD ＋CD>AC，两式相加得(AB＋CB)＋(AD＋CD)>2AC，得出矛盾结论，说明我们假设不成立，故命题(5)正确．
【提升训练】
1．A【解析】命题①是真命题，命题②是真命题，③中可能是n在平面α内，④显然是假命题．
2．C【解析】三个平面两两相交有三条交线，这三条直线交于一点或者互相平行，只有命题①不正确．3．A【解析】E，F，G，H四点不共面时，EF，GH一定不相交，否则，由于两条相交直线共面，则E，F，G，H四点共面，与已知矛盾，故甲可以推出乙；反之，EF，GH不相交，含有EF，GH平行和异面两种情况，当EF，GH 平行时，E，F，G，H四点共面，故乙不能推出甲．故甲是乙的充分不必要条件．
4．C【解析】该空间几何体是一个底面为俯视图中的直角梯形，顶点在底面上的射影为俯视图中的点P的四棱锥，其直观图如图，连接BO，有BO∥CD，∠PBO即为异面直线PB与CD所成角，PO＝1，BO＝2，故tan∠PBO
＝1
2
＝
2
2.
5．1【解析】
平面两侧，④不正确．
