分式的恒等变形教学提纲

第十一节 分式的恒等变形与证明【知识要点】1．设k 法2．比较法：若0=-b a ，则b a =（比差法）；或若1=ba，则b a =（比商法）； 3．换元法 4．消元法 5．整体代入法6．分析法与综合法：根据推理过程的方向不同，恒等式的证明方法又可分为分析法与综合法．分析法是从要求证的结论出发，寻求在什么情况下结论是正确的，这样一步一步逆向推导，寻求结论成立的条件，一旦条件成立就可断言结论正确，即所谓“执果索因”．而综合法正好相反，它是“由因导果”，即从已知条件出发顺向推理，得到所求结论．【典型例题】例1-1 已知1989x 2=1991y 2=1993z 2，x ＞0，y ＞0，z ＞0，且例1-2 已知,22cb a zc a y c b a x +-=-=++且a 、b 、c 、x 、y 、z 均不为零。

求证：zy x cz x b z y x a +-=-=++22例1-3 已知,333cz by ax ==且1111=++zy x ， 求证：3333222c b a cz by ax ++=++。

例2-1 求证：例2-2 设a c c b b a ac ac r c b c b q b a b a p ++++-=+-=+-=,,,,,其中全不为零．证明：(1+p)(1+q)(1+r)=(1-p)(1-q)(1-r)．例3 已知.0,1=++=++z cy b x a c z b y a x 求证：1222222=++cz b y a x 。

例4 已知,,22ya a z x a a y -=-=求证：z a a x 2-=。

例5 求证：()()()()()()()()()abcdd c b a abcd c b a abc b a ab a a 111111111111++++=++++++++++。

例6-1 若cb a 111=+，则()2222c b a c b a -+=++。

分式的基本性质一、教学目标1．使学生理解并掌握分式的基本性质及变号法则，并能运用这些性质进行分式的恒等变形．2．通过分式的恒等变形提高学生的运算能力．3．渗透类比转化的数学思想方法．二、教学重点和难点1．重点：使学生理解并掌握分式的基本性质，这是学好本章的关键．2．难点：灵活运用分式的基本性质和变号法则进行分式的恒等变形．三、教学方法分组讨论．四、教学手段幻灯片．五、教学过程(一)复习提问1．分式的定义？2．分数的基本性质？有什么用途？(二)新课1．类比分数的基本性质，由学生小结出分式的基本性质：分式的分子与分母都乘以(或除以)同一个不等于零的整式，分式的值不变，即：2．加深对分式基本性质的理解：例1 下列等式的右边是怎样从左边得到的？由学生口述分析，并反问：为什么c≠0？解：∵c≠0，学生口答，教师设疑：为什么题目未给x≠0的条件？(引导学生学会分析题目中的隐含条件．)解：∵x≠0，学生口答．解：∵z≠0，例2 填空：把学生分为四人一组开展竞赛，看哪个组做得又快又准确，并能小结出填空的依据．练习1：化简下列分式(约分)（1）（2）（3）教师给出定义：把分式分子、分母的公因式约去，这种变形叫分式的约分.问：分式约分的依据是什么？分式的基本性质在化简分式时，小颖和小明的做法出现了分歧：小颖：小明：你对他们俩的解法有何看法？说说看！教师指出：一般约分要彻底, 使分子、分母没有公因式.彻底约分后的分式叫最简分式.练习2（通分）：把各分式化成相同分母的分式叫做分式的通分.（1）与（2）与解：（1）最简公分母是（2）最简公分母是（x-5）（x+5）(三)课堂小结1．分式的基本性质．2．性质中的m可代表任何非零整式．3．注意挖掘题目中的隐含条件．4．利用分式的基本性质将分式的分子、分母化成整系数形式，体现了数化繁为简的策略，并为分式作进一步处理提供了便利条件．中国书法艺术说课教案今天我要说课的题目是中国书法艺术，下面我将从教材分析、教学方法、教学过程、课堂评价四个方面对这堂课进行设计。

8分式恒等变形满分晋级代数式10级二次根式的概念及运算代数式11级分式恒等变形代数式12级二次根式的综合化简漫画释义对于分式的混合运算和化简求值来说，最为重要的就是细心运算，不要跳步.个别的题目要注意是否有简便方法.【引例】 计算2233x y x yx y x x y x x ⎡⎤+-⎛⎫---÷⎪⎢⎥+⎝⎭⎣⎦ 【解析】 原式()2233x y x yx y x x y xx ⎧⎫+-⎡⎤=--+÷⎨⎬⎢⎥+⎣⎦⎩⎭ ()22233x y x y x y x x y x x y x ⎡⎤+-=-⋅++÷⎢⎥++⎣⎦ 2x x y=⋅-2x x y =-【点评】 此题还可以先将小括号里的式子通分，再打开括号，但是运算量会加大，所以在运算的 时候需要思考一下简单方法.例题精讲思路导航知识互联网题型一：分式的混合运算与化简求值【例1】 计算：⑴2322()x y x x y xy x y ⎛⎫⎛⎫-÷+⋅ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⑵2212239a a a a a a -+÷--- 【解析】 ⑴2()()x x y y x y +-；⑵原式()()()331232a a a a a a a+-=+⋅--- 1322a a a +=+--1322a a a --=+-- 2222a a a a --+==---【探究对象】条件分式求值的方法与技巧 【探究一】将条件式变形后代入求值【变式一】已知234x y z==，求22x y z x y z +--+的值． 【解析】 设234x y zk ===，则x =2k ，y =3k ，z =4k ∴原式＝223444223455k k k k k k k k +⨯-==⨯-+．【备注】已知连比，常设比值k 为参数，这种解题方法叫见比设参法．【变式二】已知2260a ab b +-=，求a ba b-+的值． 【解析】 由2260a ab b +-=，有()()320a b a b +-=，∴30a b +=或20a b -=， 解得3a b =-或2a b =．当3a b =-时，原式＝323b bb b --=-+；当2a b =时，原式＝2123b b b b -=-+．典题精练【探究二】将所求式变形代入求值．【变式三】已知0a b c ++=，求111111()()()c b a a b c a b c+++++的值．【解析】 原式111111111()1()1()1c b a a b c c a b b c a=++-+++-+++-111()()3c b a a b c=++++- ∵0a b c ++=， ∴原式3=-．【变式四】已知0abc ≠，且0a b c ++=，求代数式222a b c bc ca ab++的值．【解析】 原式()333333b c b ca b c abc abc--++++==()3322333333b c b c bc b c abcbc b c abc ----++=-+==【探究三】将条件式和求值式分别变形后代入求值．【变式五】已知2210a a +-=，求分式22214()2442a a a a a a a a ----÷++++的值． 【解析】 原式2212[](2)(2)4a a a a a a a --+=-⋅++- 2(2)(2)(1)2(2)4a a a a a a a a -+--+=⋅+- 242(2)4a a a a a -+=⋅+- 211(2)2a a a a==++ ∵2210a a +-=， ∴221a a +=， ∴原式＝1．【备注】本例是将条件式化为“221a a +=”代入化简后的求值式再求值，这种代入的技巧叫做整体代入．【变式六】若4360x y z --=，()2700x y z xyz +-=≠，求222222522310x y z x y z +---的值．【解析】 由于0xyz ≠，∴4()3()60x y z z --=，2()70x y z z +-=，解得x z =3，yz=2∴222222522310x y z x y z +---=22222222(52)(2310)x y z z x y z z +-÷--÷ =22225()2()12()3()10x yz z x y z z+---=222253221233210⨯+⨯-⨯-⨯- =524-=13-．【例2】 将下列式子先化简，再求值⑴已知：2380x x +-=，求代数式21441212x x x x x x -+-⋅--++的值； ⑵已知：31=+xx ，求1242++x x x 的值； ⑶已知：2410a a ++=，且42321533a ma a ma a++=++，求m 的值；⑷已知113x y -=，求2322x xy yx xy y+---的值．【解析】 ⑴原式2332x x -=++ 当2380x x +-=时，238x x += 原式382-=+310=-⑵22224111x x x x x ++=++21()218x x =+-+=，故811242=++x x x ⑶∵2410a a ++=，∴14a a +=-，22114a a+=又∵24223211145333123a m a ma m a a ma a ma m a+++++===++-+++ ∴372m =⑷解法一：将分子、分母同除以xy ，得：原式11222332333113251122x y y xy x x y ⎛⎫--++-⎪-⨯+⎝⎭====⎛⎫------- ⎪⎝⎭．解法二：由113x y -=，得3y x xy-=，即3y x xy -=，代入所求分式得： ()232326333223255x y xy x xy y xy xy xy x xy y x y xy xy xy xy -++--+-====-------．恒等概念是对两个代数式而言，如果两个代数式里的字母换成任意的数值，这两个代数式的值都相等，就说这两个代数式恒等．表示两个代数式恒等的等式叫做恒等式．将一个代数式换成另一个和它恒等的代数式，叫做恒等变形(或恒等变换)． 以恒等变形的意义来看，它不过是将一个代数式从一种形式变为另一种形式，但有一个条件，要求变形前和变形后的两个代数式是恒等的，就是“形”变“值”不变．【引例】 已知有理数a 、b 、c 满足1111a b c a b c++=++，求证：a b =-，或b c =-，或c a =-．【解析】 1111a b c a b c ++=++1111a b a b c c+=-++ ()()()a b a b c a b cab c a b c c a b c -++---==++++ ① 若0a b +≠ 则()11ab c a b c -=++ ∴2ac bc c ab ++=- 20ab ac bc c +++= ∴()()0a b c c b c +++=()()0a c b c ++=∴0a c +=或0b c +=②当0a b +=时，即a b =-综上所述c a =-，或a b =-，或b c =-．【点评】 此结论十分有用，利用它，一些题可以迎刃而解．例题精讲思路导航题型二：分式的恒等变形【例3】 若n 为自然数，且1111a b c a b c ++=++，求证：2121212121211111n n n n n n a b c a b c++++++++=++． 【分析】 若1111a b c a b c++=++，则a b =-或b c =-或c a =-，用以解决本题就容易多了．【解析】 证明：由1111a b c a b c ++=++得a b =-或b c =-或c a =-，不妨设a b =-，代入左边左边()212121111n n n b c b +++=++- 212121111n n n bbc+++=-++211n c +=，而右边()21212121212111n n n n n n b b cb bc ++++++==-++-++ 211n c +=，∴左边=右边，原式成立．【例4】 若1abc =，求证：1111a b cab a bc b ca c ++=++++++【解析】 证法1：∵1abc =，∴1c ab=代入到等式左边左边1111111a b ab ab a b b a ab ab ab=++++⨯++⨯++ 1111a ab ab a ab a ab a =++++++++ 1==右边证法2：左边1a ab abcab a abc ab a ab ca abc ab=++++++⨯++ 1111a ab ab a ab a ab a =++++++++ 1==右边典题精练题型三：部分分式与分离常数此类题型常见于解决整除问题，特别常见于一元二次方程整数根问题.【引例】 已知2a x +与2b x -的和等于244xx -，求a 、b 的值． 【解析】 22()2()42244a b a b x a b xx x x x +--+==+--- 所以40a b a b +=⎧⎨-=⎩，解得22a b =⎧⎨=⎩【例5】 已知()()237231111x x A Bx x x x -+=++-+-+，其中A 、B 为常数，求42A B -的值．【解析】 1A =-，6B =-，原式8=【例6】 ⑴若整数m 使61mm-+为正整数，则m 的值为 ．⑵若x 取整数，则使分式6321x x +-的值为整数的x 的值有（ ）．A ．3个B ．4个C ．6个D ．8个【解析】 ⑴ 0m =；⑵ B ，∵63632121x x x +=+--，又()21|6x -，216x -=±，3±，2±，1± ∴x 的整数值有4个.【例7】 已知a b ck b c a c a b===+++，求k 的值． 典题精练例题精讲思路导航【解析】因为a b ck b c a c a b ===+++． 所以()a k b c =+，① ()b k a c =+，② ()c k a b =+，③由①+②+③得()()()a b c k b c k a c k a b ++=+++++， 即2()a b c k a b c ++=++．当0a b c ++≠时，21k =，所以12k =．当0a b c ++=时，b c a +=-，所以1a a k b c a ===-+-，所以k 的值是12或1-．训练1. ⑴若不论x 为何值，分式212x x c++总有意义，则c ．⑵已知分式22153x x x +--的值为零，那么x 的值是 .⑶当x 时，分式215x x -+的值为正数.⑷当x 满足 时，102x x +<-.【解析】 ⑴1c >；⑵5- ；⑶1x > ；⑷12x -<<;训练2. ⑴2322()x y x x y xy x y ⎛⎫⎛⎫-÷-⋅ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⑵2225241244a a a a a a ⎛⎫-+-+÷ ⎪+++⎝⎭，其中23a =+【解析】 ⑴()()222x x y y x y +-⑵2225224424a a a a a a a ⎛⎫-+++++=⋅ ⎪+-⎝⎭()()()()22222222a a a a a a -+=⋅=-++- 当23a =+时，原式2323=+-=训练3. 已知13x x -=，求1242++x x x 的值.【解析】 22224111x x x x x ++=++21()2112x x =-++=，故2421112x x x =++.训练4. 已知()22221111x x A B Cx x x x x +-=++--，其中A 、B 、C 为常数，求A B C ++的值．【解析】 原式右边()()()()()()()22222211211111Ax x B x Cx A C x B A x B x x x x x x x x -+-+++--+-===---，得2A C +=，1B A -=，11B -=-，解得10A =，11B =，8C =-，从而13A B C ++=．思维拓展训练(选讲)题型一 分式的混合运算与化简求值 巩固练习【练习1】 计算： 22222112326246x x x x x x x x ⎛⎫++⎛⎫-÷- ⎪ ⎪-+--⎝⎭⎝⎭ 【解析】 原式=1x x+-【练习2】 若4x y +=-，3xy =-，则式子1111x y +++的值为 . 【解析】 13题型二 分式的恒等变形 巩固练习【练习3】 已知x 、y 、z 为三个不相等的实数，且111x y z y z x+=+=+，求证：2221x y z =. 【解析】 由11x y y z +=+，得11y z x y z y yz --=-=，故y z yz x y -=-，同理可得z x zx y z -=-，x y xy z x-=-， 故2221y z z x x y x y z x y y z z x ---=⋅⋅=---.题型三 部分分式与分离常数 巩固练习【练习4】 若28224M N x x x x --=+--恒成立，求M 、N 的值． 【解析】 ∵28224M N x x x x --=+--， ∴822(2)(2)M N x x x x x --=+-+- ∴ (2)(2)8M x N x x --+=-则228Mx M Nx N x ---=-，即228Mx Nx N M x ---=-故()2()8M N x N M x --+=-， ∴14M N N M -=⎧⎨+=⎩ 解得：5232M N ⎧⎪⎨⎪=⎩＝ 复习巩固【练习5】 当x 为何值时，分式22365112x x x x ++++有最小值？最小值是多少？ 【解析】 22223652266122(1)112x x x x x x x ++=-=-++++++ ∴当1x =-时，原分式有最小值4．测试1. ⑴计算：22266(3)443x x x x x x x -+-÷+⋅-+- ⑵先化简，再求值：22121124x x x x ++⎛⎫-÷ ⎪+-⎝⎭，其中3x =-． 【解析】 ⑴22266(3)443x x x x x x x-+-÷+⋅-+-22(3)1(3)(2)2(2)3(3)2x x x x x x x -+-=⋅=--+---． ⑵原式()()()2121222x x x x x ++-=÷++- ()()()222121x x x x x +-+=⋅++21x x -=+． 当3x =-时，原式325312--==-+测试2. ⑴已知：2232a b ab -=，求2a b a b+-的值. ⑵已知113a b+=，则32a ab b a ab b -+++的值是 ． 【解析】 ⑴变形可得：()(3)0a b a b +-=，所以a b =-或3a b =，所以212a b a b +=--或52. ⑵∵113a b+=，∴0a ≠，0b ≠，0ab ≠ 1133(3)330112(2)322a ab b a ab b ab b a a ab b a ab b ab b a -+-+-+÷-====++++÷+++课后测第十五种品格：创新微生物之父列文胡克是是一位没有受到正式高等教育的英国皇家学会成员。

八年级数学学习提纲之《分式》课题 分式的复习时间 2011 年 3 月 12 日第4 周 课型复习课时3主备人黄兴审核人1． 知识网络2．需要注意的问题分式的基本概念和基本性质1. 区分整式和分式，分式是除式中含有字母的有理式，它表示分子除以分母的商，因此它既是有理式，又是与整式联系的代数式。

2. 特别注意，只有当分子等于零而分母不等于零时，分式的值才是零。

3. 使分式有意义时字母的取值范围，又称为分式字母的允许值范围，如分式 的字母 允许值范围是a≠0 。

不能约分后再求分式的取值范围，要防止以下错误：，当a≠1时，分式有意义(丢掉了a≠0 )。

4. 分式加减法的最后结果应化为最简分式或整式。

5. 对于含有绝对值符号的分式，应根据绝对值的概念，先去掉绝对值符号，再化简分式。

6. 分式化简与解分式方程不能混淆。

分式化简是恒等变形，不能随意去掉分母。

分式的基本概念及其性质看似简单，但在一些考试（包括中招考试）中却经常涉及，其主要考查对分式概念的理解、分式有意义的条件、分式值为零的条件、利用分式的基本性质改变分式的形式等。

下面就针对以上几种情况，进行简要分析。

一、对分式概念的理解同学们要能够从一些式子中找出分式。

正确理解分式的概念，不能只看形式，要抓住分母中是否含有字母这一关键条件，这是判断一个式子是否为分式的重要标准。

如果一个式子的分母中含有字母，那么这个式子就是分式；反之，它就不是分式。

例1 代数式x y x +，21+x ，π4，112+-x x ，32yx -中，属于分式的是____________。

解析 解答本题的易错点有两个：一个是π4，分母里的π是一个确定的值，不要把它当做字母处理了；另一个是112+-x x ，虽然这个式子的分子与分母能够约分化为整式，但它是一个分式，因为它的分母中含有字母。

所以本题的分式应该有两个：xyx +，112+-x x 。

二、分式有意义的条件由分式的概念可知，分式有意义的条件为：分母不能为0。

分式的恒等变形————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：ﻩ第二讲 分式的恒等变形 【专题知识点概述】 分式的恒等变形是代数式恒等变形的一种。

它以整式恒等变形为基础,并结合分式自身的特点,因此更具有独特的复杂性和技巧性,在数学竞赛中常常出现有关这方面的命题。

分式的恒等变形涉及到的主要内容有:分式性质、概念的灵活应用,分式的各种运算、化简、求值及恒等证明等等。

一:基本知识 1.分式的运算规律 (1）加减法:)(同分母cb ac b c a ±=± )(异分母bcbd ac c d b a ±=± （2）乘法：bdac d c b a =• （3）除法：bcad d c b a =÷ （4）乘方：n nn ba b a =)( 2.分式的基本性质（１))0(,≠÷÷==m mb m a b a bm am b a (2）分子、分母与分式本身的符号,改变其中任何两个，分式的值不变。

３.比例的重要性质(1）如果ef b a e f c d c d b a ===那么,(传递性） (2）如果bd ac cd b a ==那么（内项积等于外项积） (3)如果)(合比性质那么cd c b b a d c b a ±=±= (4)如果)()0(,合分比性质那么db d bc a c ad b d c b a -+=-+≠-= (5）如果,0,≠+++==n d b nm d c b a 且 那么)(等比性质ba n db mc a =++++++4.倒数性质（1）如果两个数互为倒数，那么这两个数的乘积为1。

（2)如果两个数互为倒数，那么这两个数的同次幂仍互为倒数。

（3）如果两个正数互为倒数,那么这两个正数的和不小于2。

二、有关分式的运算求值问题乘法公式是进行整式恒等变形的常用的重要的工具，我们通过下面的例题来说明在整式的恒等变形中,如何灵活巧妙的运用乘法公式。

分式（三）分式恒等变形【学习目标】1.学习分式恒等变形常用的各类技巧方法.2.锻炼代数计算能力.3.增强轮换对称式的认识和理解.【专题简介】分式恒等变形可以包括各类代数技巧，课内大型考试不涉及，但是小型周练和老师平时的拓展会大量涉及.分式恒等变形为联赛考察热点之一，变形复杂，难度较大，学习的关键在于基本计算能力和轮换对称式的理解，同学们在学习的时候应注意多练习自己的代数计算能力，不要怕算，更不能不算，大多数题目的技巧都是计算过后才能发现和总结的.【专题分类】1、整体代入：2、连等式：3、配项法：4、乘法公式与因式分解：题型1 整体代入基础夯实【例1】已知a2－3b2＝2ab，求2a ba b+-的值.【练1】(1)若x＋y＝－4，xy＝－3，求11x+＋11y+的值.(2)已知1x＋1y＝5，求2522x xy yx xy y-+++的值.强化挑战【例2】当x分别取值12007，12006，12005，…，12，1，2，…，2005，2006，2007时，计算代数式2211xx-+的值，将所得的结果相加，其和等于( )A.－1B.1C.0D.2007【练2】对于正数x ，规定f (x )＝1x x +，例如f (3)＝313+＝34，f (13)＝13113+＝14，计算：f (12013)＋f (12012)＋f (12011)＋…＋f (13)＋f (12)＋f (1)＋…＋f (2011)＋f (2012)＋f (2013)＝题型2 连等 基础夯实【引例】若2x ＝3y ＝4z，求222234xy yz zx x y z ++++的值.【例3】(第20届“希望杯”全国数学邀请赛初2第1试)若a b c +＝b c a +＝c a b +，则223a b ca b c+++-＝ .【练3】(“希望杯”邀请赛试题)若a b ＝b c ＝c d ＝d a ，则a b c da b c d-+-+-+的值为 .强化挑战 【拓3.1】已知x y z u ++＝y z u x ++＝z u x y ++＝u x y z ++，求x y z u ++＋y zu x++＋z u x y ++＋u x y z ++的值.【拓3.2】已知x b c a +-＝y c a b +-＝za b c+-，求(b －c )x ＋(c －a )y ＋(a －b )z 的值.【拓3.3】(第20届“希望杯”全国数学邀请赛初2第2试)已知实数x ，y ，z 满足1x x +＝2y y +＝3z z +＝3x y z++，则x ＋y ＋z ＝ .【拓3.4】已知y z x x y z +-++＝z x y y z x +-+-＝x y zz x y+-+-＝p .求p 3＋p 2＋p 的值.【拓3.5】已知p ＋q ＋r ＝9，且2p x yz -＝2q y zx -＝2r z xy -，求px qy rz x y z++++的值.【拓3.6】已知x ，y ，z 互不相等，x ＋1y ＝y ＋1z ＝z ＋1x＝k ，求 (1)xyz 的值； (2)k 的值.题型3 配项法(拆添) 强化挑战【例4】已知实数a 、b 、c 满足a ＋b ＋c ＝11与1a b +＋1b c +＋1c a +＝1317，求a b c +＋b c a +＋ca b+的值.【练4】(2012年全国初中数学竞赛)如果a ，b ，c 是正数，且满足a ＋b ＋c ＝9,(不完整)【例5】若x y z +＋yz x+＋z x y +＝1，求2x y z +＋2y z x +＋2z x y +的值.【练5】若2x y z +＋2y z x +＋2z x y +＝0，求x y z +＋yz x+＋z x y +的值.巅峰突破 【例6】已知a b c -＋b c a -＋ca b -＝0，求证：()2a b c -＋()2b c a -＋()2c a b -＝0.【练6】(2015年联赛初二组)已知()2ab c -＋()2bc a -＋()2ca b -＝0，求证：a b c -＋b c a -＋ca b-＝0【例7】已知a 、b 、c 满足a 2＋b 2＋c 2＝1，a (1b ＋1c )＋b (1a ＋1c)＋c (1a ＋1b )＝－3,那么a ＋b ＋c 的值为多少?【练7】已知非零实数a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝0，求证：(a b c -＋b c a -＋c a b -)(c a b -＋a b c -＋bc a-)＝9.题型4 乘法公式与因式分解 强化挑战【例8】已知xyz ＝1，x ＋y ＋z ＝2，x 2＋y 2＋z 2＝16，求代数式12xy z +＋12yz x +＋12zx y+的值.【练8】(2012年全国初中数学联赛1试)已知实数a ，b ，c 满足abc ＝－1，a ＋b ＋c ＝4，231a a a --＋231bb b --＋231cc c --＝49，求a 2＋b 2＋c 2的值.【拓8】a ，b ，c 是实数，若2222b c a bc +-，2222c a b ac +-，2222a b c ab+-之和恰等于1，求证：这三个分式的值有两个为1，一个为－1.第6讲 七年级尖端班课后作业分式（三）分式恒等变形【习1】实数a 、b 满足ab ＝1，记M ＝11a +＋11b +，N ＝1a a +＋1b b +，则M 与N 的关系是：( ) A .M ＞NB .M ＝NC .M ＜ND .不确定【习2】若1a ＋1b ＝5a b+，则22b a ＋22a b ＝ .【习3】当x 分别取值2013，2012，2011，…，3，2，1，…，12011，12012，12013；计算代数式2211x x -+的值，将所得的结果相加，其和等于( ) A .－1 B .1 C .0 D .2009 【习4】如果a ＋b ＋c ＝1，11a +＋12b +＋13c +＝0，那么(a ＋1)2＋(b ＋2)2＋(c ＋3)2的值为( ) A .36B .16C .49D .0【习5】有这样一组数据a 1，a 2，a 3，…，a n ，满足以下规律，a 1＝12，a 2＝111a -，a 3＝211a -，…，a n＝111n a --(n ≥2且n 为正整数)，则a 2013的值为 .(结果用数字作答)【习6】设有理数a 、b 、c 都不为零，且a ＋b ＋c ＝0，则2221b c a +-＋2221c a b +-＋2221a b c +-的值是( )A .正数B .负数C .零D .不能确定【习7】设1x －1y ＝14，求2322y xy x y x xy +---的值.【习8】已知x y ＝12，求2222x x xy y -+·22x y x y -+＋2y x y -的值.【习9】已知2m ＋n ＝0，求分式222m nm n +-·(m ＋n )的值.【习10】已知2x ＋y ＝0，求22x y x xy -+·(x 2－y 2)÷2244x xy y x-+的值.【习11】(全国数学竞赛)若4x －3y －6z ＝0，x ＋2y －7z ＝0(xyz ≠0)，求222222522310x y z x y z +---的值.【习12】若x y z z +-＝x y z y -+＝x y z x-++，求()()()x y y z z x xyz +++的值.【习13】若x ＋y ＋z ＝3，则()()()()()()333111111x y z x y z ----+-+-的值是 .【习14】已知x＋y＋z＝3a(a≠0)，那么()()()()()()()()()222x a y a y a z a z a x ax a y a z a--+--+---+-+-的值是.【习15】已知有理数a、b、c满足1a＋1b＋1c＝1a b c++，求证：a＝－b，或b＝－c，或c＝－a.【习16】已知3x y+＝4y z+＝5z x+，则222x y zxy yz zx++++＝.【习17】设a＋b＋c＝0，求222aa bc+＋222bb ac+＋222cc ab+的值.【习18】已知xyz＝－6，x＋y＋z＝2，x2＋y2＋z2＝14，求代数式12xy z+＋12yz x+＋12zx y+的值.【习19】已知abc＝1，a＋b＋c＝2，a2＋b2＋c2＝3，求11ab c+-＋11bc a+-＋11ca b+-的值.【习20】设x，y，z为互不相等的非零实数，且x＋1y＝y＋1z＝z＋1x，求证：x2y2z2＝1。

第三节 分式的化简求值与恒等变形一、课标导航二、核心纲要给出一定的条件，在此条件下求分式的值称为有条件的分式求值．分式的化简与求值是紧密相连的，求值之前必须先化简，化简的目的是为了求值，先化简后求值是解有条件的分式的化简与求值的基本策略． 解有条件的分式化简与求值问题时，既要瞄准目标．又要抓住条件，既要根据目标变换条件．又要依据条件来调整目标，除了要用到整式化简求值的方法外，还常常用到如下技巧：(1)恰当引入参数．(2)取倒数或利用倒数关系．(3)拆项变形或拆分变形．(4)整体代入．(5)利用比例性质等．本节重点讲解：一种求值．一种变形三、全能突破基 础 演 练1．若,02=+y x 则2222x xy y xy x -++的值为( )． 51.-A 53.-B 1.C D ．无法确定2．已知,31=+x x 则=+221x x =-x x 13．已知,411=-b a 则分式bab a b ab a 2722-+--的值为 4．课堂上，李老师给大家出了这样一道题：当37,225,3+-=x 时，求代数式12211222+-÷-+-x x x x x 的值，小明一看，说：“太复杂了，怎么算呢？”你能帮小明解决这个问题吗？请你写出具体的解题过程．5．化简求值：),111()111)(1(--÷-+x x 其中⋅-=21x ),232(21)2(2++-÷+--x x x x x 其中⋅=21x6．已知,121)12)(1(45---=---x B x A x x x 求A 、B 的值． 能 力 提 升7.当x 分别取值2009,2008,2007,,2,1,21,,20071,20081,20091 时，计算代数式2211x x +-的值，将所得的结果相加，其和等于( )．1.-A 1.B 0.C 2009.D8．已知a 、b 、c 是互不相等的实数，且,ac z c b y b a x -=-=-则z y x ++的值为( )． 1.-A 0.B 1.C 2.D9．若73222++y y 的值为,41则16412-+y y 的值为( )．1.A 1.-B .C .D10.已知,0201352=--x x 则代数式21)1()2(23-+---x x x 的值是( )．2012.A 2014.B 2017.C 2019.D11．(1)已知.51=+a a 则=++1242a a a(2)已知,712=+-x x x 则=++1242x x x12.若,a d d c c b b a ===则d c b a dcb a +-+-+-的值是13．(1)已知ab=1，求⋅+++1111b a(2)已知,1=abc 求⋅++++++++111c ca cb bc b a ab a14．(1)已知,8=+b a 求b a a b b b a a-÷---1])()[(22的值．(2)若,0136422=++-+y x y x 求x y y y x x y x -+-+2222).(的值．15.如果,21<<x 求x x x x x x |||1|12|2|+-----的值．16.当正整数a 为何值时，代数式2804399++a a 的值为整数． 17.不等于0的三个数a 、b 、c 满足,1111c b a c b a ++=++求证：a 、b 、c 中至少有两个互为相反数．18.已知,32)3)(2(12-+-+=---x c x b a x x x 当3,2,1=/x 时永远成立，求以a 、-b 、c 为三边长的四边形的 第四边d 的取值范围．19.已知：,0(3=/=++a a z y x 且x ，y ，z 不全相等），求222)()()())(())(())((a z a y a x a x a z a z a y a y a x -+-+---+--+-- 的值．20.已知分式xyy x -+1的值是m ，如果用x ，y 的相反数代入这个分式，那么所得的值为n ，则m 、n 是什么 关系？ 中 考 链 接21．（2012．湖南张家界）先化简：,1224422++÷--a a a a 再用一个你最喜欢的数代替a 计算结果． 22.（2012．江苏南京）化简代数式,12122x x x x x -÷+-并判断当x 满足不等式组⎩⎨⎧->-<+6)1(212x x 时该代数式 的符号．23．（2012．北京）已知,032=/=b a 求代数式)2(42522b a b a b a -⋅--的值． 巅 峰 突 破24.已知,3,2,1222=++=++=C b a c b a abc 则111111-++-++-+b ca a bc c ab 的值为( )． 1.-A .21.-B 2.C 32.-D25.已知052,0423=-+=--z y x z y x 且,0=/xyz 求)2242,(1222222zy xy x z y xyz z x z y x z z y x z -++++--++++ 的值．26.已知：,1===cz by ax 求444444111111111111z y x c b a +++++++++++的值．。

2020年初中数学竞赛讲义：分式恒等变形一、分式恒等变形 (1)第1 页共6 页第 1 页 共 6 页一、 分式恒等变形1. （1993年全国初中数学联赛1试）当x 变化时，分式22365112x x x x ++++的最小值是____________．【难度】 ★★【解析】4 22222236561210226612422(1)112x x x x x x x x x x x ++++==-=-++++++++ ∴当1x =-时，公式取最小值4．2. （1994年全国初中数学联赛1试）若在关于x 的恒等式222Mx N c x x x a x b +=-+-++中，22Mx N x x ++-为最简分式，且有a b >，a b c +=，则N =_________． 【难度】 ★★【解析】 4-∵()()2212x x x x +-=-+，且a b >， 所以，取2a =，1b =-，从而1c a b =+=． 因此，221121Mx N x x x x +==+-+-． 在上式中，令0x =，得4N =-.3. （1996年全国初中数学联赛1试）实数a ，b 满足1ab =，记1111M a b=+++，11a b N a b=+++，则M ，N 的关系为（） A ．M N > B ．M N = C ．M N <D ．不确定 【难度】 ★★【解析】B 1111b a M a b b ab a ab=+=+++++， 又由1ab =，得到11b a M N b a =+=++． 选B ．4. （2000年全国初中数学联赛1试）设a ，b 是不相等的任意正数，又21b x a+=，21a y b+=，则x ，y 这两个数一定（） A ．都不大于2 B ．都不小于2。

第三节 分式的化简求值与恒等变形一、课标导航二、核心纲要给出一定的条件，在此条件下求分式的值称为有条件的分式求值. 分式的化简与求值是紧密相连的，求值之前必须先化简，化简的目的是为了求值，先化简后求值是解有条件的分式的化简与求值的基本策略.解有条件的分式化简与求值问题是，既要瞄准目标，又要抓住条件，既要根据目标变换条件，又要依据条件来调整目标，除了要用到整式化简求值的方法外，还常常用到如下技巧： （1）恰当引入参数． （2）取倒数或利用倒数关系． （3）拆项变形或拆分变形． （4）整体代入． （5）利用比例性质等．三、全能突破基础演练1．若2x + y = 0 ，则2222x xy y xy x -++的值为（ ）A ．51-B ． 53- C ． 1 D ． 无法确定 2．已知31=+x x ，则=+221x x ；=-x x 1.3．已知411=-b a ，则分式bab a bab a 2722-+--的值为 .4．课堂上，李老师给大家出了这样一道题：当x =3，22-5，37+时，求代数式12211222+-÷-+-x x x x x 的值. 小明一看，说：“太复杂了，怎么算呢？”你能帮小明解决这个问题吗？请你写出具体的解题过程.5．化简求值：（1）⎪⎭⎫ ⎝⎛--÷⎪⎭⎫ ⎝⎛-+111111x x ，其中21-=x （2）)232(2-12++-÷+-x x xx x ，其中21=x 6． 已知121)12)(1(45---=---x Bx A x x x ，求A 、B 的值.能力提升7．当x 分别取值2009200820072121200712008120091，　，　，　，　，　，，　，　，　Λ时，计算代数式221-1x x +的值，将所得的结果相加，其和等于（ ）. A ．－1 B ． 1 C ．0 D ．2009 8．已知a 、b 、c 是互不相等的实数，且ac zc b y b a x -=-=-，则x +y +z 的值为（ ）. A ．－1 B ． 0 C ． 1 D ．2 9．若73222++y y 的值为41，则16412-+y y 的值为（ ） A ．1 B ．－1 C ． D ．10．已知0201352=--x x ，则代数式21)1(223-+---x x x ）（的值是（ ）A ．2012B ．2014C ．2017D ．201911．（1）已知51=+a a ，则=++1242a a a ．（2）已知712=+-x x x，则1242++x x x = ． 12．若a d d c c b b a ===，则dc b a dc b a +-+-+-的值是 ． 13．（1）已知ab = 1，求1111+++b a ． （2）已知abc = 1，求111++++++++c ca cb bc b a ab a ．14．（1）已知a +b =8，求b a a b b b a a -÷⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-122的值． （2）若x 2 +y 2-4x +6y +13=0，求()x y y yx x y x -+-•+2222的值．15．如果1<x <2，求xxx x xx +-----1122的值．16．当正整数a 为何值时，代数式2804399++a a 的值为整数．17．不等于0的三个数a 、b 、c 满足cb ac b a ++=++1111，求证：a 、b 、c 中至少有两个互为相反 数．18．已知32)3)(2(12-+-+=---x cx b a x x x ，当x ≠1,2,3时永远成立，求以a 、-b 、c 为三边长的四边形的第四边d 的取值范围．19．已知：x +y +z =3a （a ≠0,且x ，y ，z 不全相等），求222)()()())(())(()(a z a y a x a x a z a z a y a y a x -+-+---+--+--）（ 的值．20．已知分式xyyx -+1的值是m ，如果用x 、y 的相反数代入这个分式，那么所得的值为n ，则m 、n 是什么关系？中考链接21．（2012·湖南张家界）先化简：1224422++÷--a aa a ，再用一个你最喜欢的数代替a 计算结果．22．（2012·江苏南京）化简代数式22112x x x x x --÷+，并判断当x 满足不等式组()21216x x +<⎧⎪⎨->-⎪⎩时该代数式的符号．23．（2012·北京）已知023a b =≠，求代数式()225224a ba b a b -⋅--的值．巅峰突破24．已知abc =1，a +b +c =2，3222=++c b a ，则111111-++-++-+b ca a bc c ab 的值为（ ）． A ．－1 B ．21- C ． 2 D ． 32-25． 已知3x - 2y -4z = 0 ，2x +y - 5z =0 且xyz ≠0，求)2242(1222222zy xy x zy xyz z x z y x z z y x z -++++--++++的值．26．已知ax = by = cz = 1，求444444111111111111zy x c b a +++++++++++的值．。

《分式的恒等变形》微设计学习目标:1．指导学生初步学会利用拆项添项、取倒数、引入参数等技巧进行分式恒等变形；2．通过分式的恒等变形，体会化繁为简的乐趣，强化方程、转化等数学思想；3．经历探究过程，激发学生学习数学的兴趣，提高学习数学的自信心.学习重点：引导学生合理选择方法化繁为简.学习难点：针对分式特征运用技巧解题.教学过程：一、知识概述分式的恒等变形是代数式恒等变形的一种.它以整式恒等变形为基础，并结合分式自身的特点，因此更具有独特的复杂性和技巧性.分式的恒等变形的依据主要有：1.分式的基本性质2.分式的运算规律3.比例的重要性质①传递性e f b a e f c d c d b a ===那么如果, ②基本性质bd ac c d b a ==则若③合比性质c d c b b a d c b a ±=±=那么如果 ④等比性质,0,≠+++==n d b n m d c b a 且如果ba n db mc a =++++++ 那么 4.倒数的性质二、例题解析例1 化简 1111(1)(2)(2)(3)(3)(4)(4)(5)x x x x x x x x +++++++++++的结果是 . 分析：由于111111,(1)(2)12(2)(3)23x x x x x x x x =-=-++++++++，… ，将每一项拆成两项后正好可以两两抵消.例2 已知x 、y 、z 满足235x y z z x ==-+，则52x y y z -+的值为 . 分析：由235x y z z x==-+可得x 、y-z 、z+x 的比为2:3:5，因此可设参数来化简所求分式. 例3 已知2,3,4xy xz yz x y x z y z===+++，求7x +5y -2z 的值. 分析：直接化简,,xy xz yz x y x z y z +++求x 、y 、z 比较麻烦，但是这三个分式的倒数分别是11x y +、11x z +、11y z +因此可考虑将三个分式取倒数，分别先求出1x 、1y 、1z的值.三、感悟提升。

第二节分式的化简求值与恒等变形分式的求值：给出一定的条件，在此条件下求分式的值称为有条件的分式求值。

注：①分式的化简与求值是紧密相连的，求值之前必须先化简，化简的目的是为了求值，先化简后求值是解有条件的分式求值的基本策略。

①解有条件的分式化简与求值问题时，既要瞄准目标，又要抓住条件，既要根据目标变换条件，又要依据条件来调整目标。

1.分式的化简求值先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值。

注：在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简，化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式。

2.分式化简求值时需注意的问题（1）化简求值，一般是先化简为最简分式或整式，再代入求值，化简时不能跨度太大，而缺少必要的步骤，代入求值的模式一般为“当…时，原式=…”。

（2）代入求值时，有直接代入法，整体代入法等常用方法。

解题时可根据题目的具体条件选择合适的方法。

当未知数的值没有明确给出时，所选取的未知数的值必须使原式中的各分式都有意义，且除数不能为0.（注意负数和分数加括号的问题）3.分式化简求值需要用到下面的一些技巧①适当引入参数；①取倒数或利用倒数关系；①拆项变形或拆分变形；①整体代入；①利用比例的性质。

1、已知4z 3y 2x==，则222x x z 2-yz x y z y +++=________。

2、化简：1221421x 222+-+÷-+-+x x x x x x ，然后在不等式x ≤2的非负整数解中选择一个适当的数代入求值。

3、如果k fe d c b ===a（b+d+f ≠0），且a+c+e=3（b+d+f ），那么k=________。

4、先化简，再求值：1211x 222++-÷⎪⎭⎫ ⎝⎛-+x x x x x ，其中x 的值从不等式组⎩⎨⎧≤41-x 21x - 的整数解中选取。

5、先化简，再求值：24444x 2-122++--+-÷⎪⎭⎫ ⎝⎛x x x x x ，其中x ²+2x-15=06、已知()2y -x 21-2x +=0，求代数式⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛y x 2y xy 2x y -x 2y xy -2x 2y 1-2x 1的值。

第十六章《分式》 自学提纲1【自学内容】分式的概念和基本性质 【学习达成目标】【学习过程】一、阅读教材P2-P8，总结你学到的知识，写下你的疑惑，完成课后练习.二、探究新知 （一）分式的概念 1、分式的定义用A ,B 表示的整式, A B ÷可化为A B 的形式,如果B 中含有字母,我们就说AB叫分式. 例1．（1）判断下列各式是否为分式90x , 660x -， 23541x x -+ ， xx 2（2）在下列各式022*********；；；；；；；πba x y x k y x a +--+-中，整式有____________________________________；分式有____________________________________；2、有理式的概念整式和分式统称为有理式⎧⎧⎪⎨⎨⎩⎪⎩单项式整式有理式多项式分式3、分式有意义的条件 分式AB有意义，则 0B ≠ 例2 . 当x 取何值时,下列分式有意义(1) 2x x - (2) 23541x x -+ (3) 34x x - (4) 212x -(5) 221x x + (6) 293x x -- (7) ()()2424x x x -+-4、分式值为零的条件分式0AB = ⇔ 00A B =⎧⎨≠⎩ 例3. 当x 取何值时,下列分式的值为零(1) 225x x +- (2) 236x x -+ (3) 2105x x -- (4) 293x x--例4. 已知xx y 232-=，当x 为何值时(1) y 为正数；(2) y 为负数 (3) y 为0 .（二）分式的基本性质分式的分子、分母同乘以(或除以)同一个不等于0的整式，分式的值不变.字母表示:A AMB BM = (0M ≠) A A M B B M÷=÷ (0M ≠)例5．不改变分式的值,使下列各式的分子,分母的系数都化为整数.(1) 12231223x y x y+- (2)0.30.50.2a ba b+-例6. 不改变分式的值,使下列分式的分子，分母都不含” -”号.(1)56b a -- (2) 3xy- (3) 2m n - (4) 45m n --例7. 不改变分式的值，使下列分式的分子、分母按降幂排列并使最高项的系数为正数. (1)21x x - (2) 212a a --- (3) 223xx --+（三）分式的约分约分的定义：根据分式的基本性质,将分式的分子,分母的最大公因式约去,叫做分式的约分. 约分的步骤：把分子,分母都分解因式；约去分子,分母的最大公因式. 最简分式： 一个分式的分子、分母没有公因式时称为最简分式. 约分的目的：一般为了将分式化为最简分式.例8. 约分(1) 2323224a b c b cd - (2) 3239m m m -- (3) 22444x x x ++-(4) 2222a ab a ab b +++ (5) ()()()()22222444a a a a a a a -+++- (6) 2221m m m m -+-例9. 先化简,再求值：2223712a a a a ---+, 其中 a=23.（四）分式的通分通分的定义：把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分． 通分的依据：分式的基本性质通分的关键：确定几个分式的公分母．最简公分母：通常取各分母的所有因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母． 例10. 通分 ( 1 )222435,,5102a c b b c a b ac - ( 2 ) ()21,21x x x x+-通分的关键是确定几个分式的最简公分母，其步骤如下： 1.将各个分式的分母分解因式； 2.取各分母系数的最小公倍数；3.凡出现的字母或含有字母的因式为底的幂的因式都要取；4.相同字母或含字母的因式的幂的因式取指数最大的；5.将上述取得的式子都乘起来，就得到了最简公分母；6.原来各分式的分子和分母同乘一个适当的整式，使各分式的分母都化为最简公分母.三、拓展提高例11. 已知x+1x =3，求2421x x x ++的值.【自我评价】本节课，我独立学习的时间约为_________分钟，小组讨论的时间约为___________分钟； 我已能达到_________级目标的要求. 我尚未解决的问题有：第十六章《分式》 自学提纲2【自学内容】分式的乘除 【学习达成目标】【学习过程】一、阅读教材P10-P14，总结你学到的知识，写下你的疑惑，完成课后练习.二、探究新知1．计算：（1）a cb d ⨯= ；（2）a cb d÷= . 分式乘法法则：_________________ __ _________分式除法法则：________________________ _________ 三、典型例题 例1．约分：（1）323642m n m n - （2）()()231227a y x x y -- （3）22444x x x ++-例2．先化简,再求值：322112x x x x x--++-，其中 2x =例3．已知4x y xy -=，求2322x xy yx xy y+---例4．计算：（1）3432x y y x⋅ （2）2222324ab a b c cd -÷（3）2224332a a a a a a --⋅-+ （4）()2x y xy x xy --÷（5）()222663443x x x x x x x -+-÷+⋅-+- （6）23422x y y y x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--÷- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭五、拓展提高化简：232211aa a a a +-+--【自我评价】本节课，我独立学习的时间约为_________分钟，小组讨论的时间约为___________分钟； 我已能达到_________级目标的要求. 我尚未解决的问题有：第十六章《分式》 自学提纲3【自学内容】分式的加减 【学习达成目标】【学习过程】一、阅读教材P15-P22，总结你学到的知识，写下你的疑惑，完成课后练习.二、探究新知1. 计算：（1）=+c b c a __；（2）=-cbc a . 同分母分式加减法则：_______________________ ______________________________________2．计算：（1）=+d c b a = __；（2）=-dc b a = . 异分母分式加减法则：____________________________ _________________________________三、典型例题 例1、计算： （1）a a 31+ （2）13212+--+-a a a a （3）ba b a b a a b b a b a ++-+-+++34335例2、计算：（1）252x x - （2）1111+---+a a a a （3）xyy x x y y x 22++-例3、计算：（1）421422---x x （2）2214311x x x x x -+-+-+ （3）y x yx y x y x y x y x 442+--++--+-四、混合运算 （1）211111x x ⎛⎫⎛⎫-- ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭ （2）4222xx x x x x⎛⎫-÷ ⎪-+-⎝⎭ （3）352242m m m m -⎛⎫÷+- ⎪--⎝⎭（4）22214244x x x x x x x x +--⎛⎫-÷ ⎪--+⎝⎭（5）22221244a b a b a b a ab b ---÷+++五、拓展提高先计算x x ++-1111，通过以上计算，请你用一种你认为较简便的方法计算下列各式 ⑴ 4214121111x x x x ++++++- ⑵ 84218141211xx x x +++++++【自我评价】本节课，我独立学习的时间约为_________分钟，小组讨论的时间约为___________分钟； 我已能达到_________级目标的要求. 我尚未解决的问题有：。