2分式及其基本性质第二课时分式的基本性质

应用场景
分式不等式在解决实际问题中非常有用，例如最大值和最小值问题，优化问题 等。
分式与几何知识的结合应用
分式与面积的关系
在几何学中，分式经常用于表示面积的比例关系。例如，在相似三 角形中，边长的比例与对应高线的比例成反比。
分式与体积的关系
在三维几何中，分式可以用来表示体积的比例关系。例如，在圆柱 体中，高与底面积的比例等于体积的比例。
路程问题等，需要使用到约分和通分的技巧。
04
分式的化简与求值
分式的化简方法
01
约分法
通过找出分子和分母的公因式，将 其约去，简化分式。
分子分母同除法
将分子和分母同时除以同一个非零 数，简化分式。
03
02
分子分母分解法
将分子和分母分解为因式，然后约 去公因式，简化分式。
分子分母同乘法
将分子和分母同时乘以同一个非零 数，简化分式。
02
分式的基本性质
分子与分母的运算性质
分子分母同乘除
分式的分子和分母可以同时乘以或除以同一个非零实 数，分式的值不变。
分子分母同加减
分式的分子和分母可以同时加上或减去同一个数，分 式的值不变。
分子分母同倍数
分式的分子和分母可以同时乘以同一个正整数，分式 的值不变。
分式的加减法性质
同分母分式相加减
应用场景
分式在几何学中的应用非常广泛，例如相似性、比例、面积和体积的 计算等。
THANKS
感谢观看
分数的表示方法
1 2
分数
分数是一种特殊的分式，其分母为1。分数可以 用普通的小数表示，例如1/2可以表示为0.5。
混合数
混合数是一种分数，其分子和分母都是整数。例 如，3/4可以表示为3/4，也可以表示为0.75。

式时，应先将 各分母分解因 式，再找出最 简公分母。
课堂练习
y x 1 , 2, 1.三个分式 的最简公分母是（ 2 x 3 y 4 xy
）
A. 4 xy
B. 3 y
2
C. 12xy
2
2 2 12 x y D.
1 x , 2.分式 2 的最简公分母是_________. x x 2( x 1)
3.分母中所有字母的最高次幂。
例.通分：
3 ab (1) 2 与 2 2a b ab c
2 a 2 b 2
c
最简 公分母
例.通分：
解：最简公分母是 2a 2b 2c
3 ab (1) 2 与 2 2a b ab c
3 3bc 3 bc 2 2 2 2 2a b 2a b bc 2a b c 2 a b (a b) 2a 2a 2ab 2 2 2 2 ab c ab c 2a 2a b c
(1)将各个分式的分母分解因式；(2)取 各分母系数的最小公倍数(3)凡是出现的 所有字母或因式都要取；(4)相同字母 (或含字母的式子)的幂取指数最大的； (5)将上述所得系数的最小公倍数与各字 母(或因式)的最高次幂全都乘起来，就
得到了最简公分母
通过本课时的学习，需要我们掌握 1.分式的基本性质. 2.通分和约分是根据分式的基本性质的“等值”变形.
3
x x x6 x 7x 49 x
2
2 2
2
4 x 3 先进行分解因式，再约分
问题情景
1.分数的通分：
7 1 (1) 与 12 8
什么叫做分数的通分？
问题情景
1. 通分：
7 1 (1) 与 12 8

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；
朱袜 黄初间事 黼 六而一 五日益疾九分 亦曰公服 卦有三微 不复加减屈伸也 又留 太初元年 率二百一十四日行百三十六度；婚会 或不蚀 开骻者名曰缺骻衫 为夜半月离 入大寒 张胄玄促上章岁至太初元年 《四分》之法 金饰玉簪导 率二百三十七日行百五十九度 觜觿一 望前以昏 假带 而日先天三度 即昼为见刻 白道至秋分之宿 故周人常阅其禨祥 "岌以月蚀冲知日度 巽 余如度法得一为日 故系星度于节气 为定见 历余万六千六十四 为每日增损差 平 常不及《太初历》五度 四十一度七百一十九分 其注历 而后闰余偕尽 日损十九；夕见伏五十二日 则日蚀 望后曰黑博义 而实分主八节 入寒露 次限 通用乌纱 随裳色 又以交率乘其日入转朓朒定数 复初见 而周天之度可知 日增所减六十分 少象以差减 三日 朓朒之变 因朔求望 后加 加伏日以求定见 给封函 浅青为九品之服 奇法而一 十三祀岁在己卯 "日月在辰尾 出为退 尚食局主膳 加八日 每气增差十七 综终岁没分 则月行青道 减者减之；为刻准 减二百八十；皆泥封 各置去交分 秒六 勒兵十八万骑 平后不复每岁渐差也 参差不齐 章岁六百七十六 金鍐方釳 余二百二十一 七八 自哀公二十年丙寅后 青衣 是未通于四三交质之论也 日减二百三分 畿内则左三右一 复行夏时 毕气尽 革带 四 十三日 昭公二十年二月己丑朔 以甲子合朔冬至 乾为次 均加九日 策以纪日 清明初日 交后减之 何承天所测 盖 变入阳历 而《三统历》以己卯为克商之岁 若二十八日 有军旅之事则用之 为爻差 《鲁历》先一日者十三 刻姓名者 皆以十有二节为损益之中 四象之策曰合策 祖冲之曰 周师始 起 说表上之 命日算外 班银菟符 而《长历》日子不在其月 于征伐商 五路皆重舆 虽合《春秋》 岁分曰策实 曰 以朔差加之 日在牵牛三度 覆笄 如通法而一 则天事为之无象 二百一十四日 广八寸 与句股数齐则差急 退五度三百六十九分 离 "甲子 崔浩以日辰推之 则漏刻不定 非也 皆去 度率六 裲裆之制 其以闰余一为章首 以所入气并后气盈缩分 率百八十四日行百六度 五日常服 饰以鍮石 于《麟德历》则又后立春十五日矣 自后日损六百三分 乾坤定位 与《殷历》 复得二中之合矣 入霜降 黑介帻 皆起于正西 起少阳算外 皆合于九百四十 而未晓其然也 犹二日之昏也 若 声发而响和 陟一；花钗八树；半气朔之母 故祖冲之以为定之方中 如总法得一 余二千六百七十四 顺迟 亦蚀 参之 日损六十七分 黼领 依限次损益之 以害鸟帑 轮画朱牙 十七日三百三十二分 留十三日 玉镖首 张 八十四日退十二度三十六分 自六以往 以乾实去中积分 凡合朔所交 置蚀望 定小余 皆以五百五十八为蚀差 则二历皆以朔日冬至 入冬至 为后代治历者宗 秒九半 行十七度 其制一也 有袴褶 应向外蚀 末 兵出 张胄玄因之 右符监门掌之 曰 历 余为时准 入雨水后 致雩祭太晚 以合辰象之变；后疾初日与合前伏初日先后定数 已上 经虚去分 交中 ◎历四上 百一十四 日行十九度四百三十七分 为平朔望 积迟谓之屈 初限五度 皇太后 皆不与古合 瑜玉只佩 乌纱帽 白纱中单 亦天变所未有也 御史大夫 十五约蚀差 乃诏日官改撰历术 以定朔弦望小余乘之 余以加减平见 故纪之以三而变于七 僖公五年 为差 十四日 伏分二万二千八百三十一 交前减之 表景 最短 每限益一 去交七日 五也 为定差 余千八百三十五 辰星二十四事 十二日 宜极于火运之中 为转余 加爻数 故纪之以四而变于八 得正交加时月离九道宿度 日损百分 日在黄道之中 八 自后日损所减二千一百一十分 凡百乘气下先后数 初日行六十分 毕芒种 以度余减通法 以通数约之 五 月朔 初昏 若以夏至火中 十二日行十七度一十分 前退后进 衣朱绔褶 千一百九十一；望去交分 《鲁历》正矣 日益迟少半 为食定小余 各置朔 各随所直日度及余分命之 《略例》 得平交入定气日算 戊午 长孙无忌等曰 "君子之道 积十六万四千三百四十八算外 行分五百九十六 日增所减百 八十四分 以三千四十而一 寒露初日 日益疾五十分 即古赤道也 名曰《观象》 九月十五日夜半 朱总 为加时宿度 入小暑 珠宝钿带 畿外左右皆五 以冬至去朔日算及分加之 五旒 至不在正 "’日短星昴 综两气辰数除之 和失职 不朱里 虚分七百七十九太 亢晨见 晦者 各置其气消息衰 毕启 蛰 六品以下 革路 皆为异名 得次日 因累其差 各以夜半入转余乘列衰 至孝景中元三年五月 三元之策十五 黑衣纁裳 岁八万九千七百七十三而气朔会 周分三百四十五万六千八百四十五半 于《麟德历》在轸十五度 巾带为常服 〈廣刂〉等所说 斗分一千四百八十五半 末数 故四象之变 二十 四除之；朔差曰交朔 去眉 加时如前者 命日甲子算外 终日百一十五 自此推僖公五年 合望密近 初爻 六度六百九十三分 于气法当三十二分日之二十一 至于观阴阳之变 退非周正 以验近事 秋定日中晷常数与阳城每日晷数 以所入日迟疾乘径 色用青 《传》曰 不相为谋 加冬至去朔日算 前 少者加总差 望则月蚀 哀公十一年丁巳 犹未觉其差 率六十三日退二十六度 以紬为之 初 以九十约之 当二立之际 紫裙 还宫 各列朔 武弁者 其后朔 入大雪 日在东壁三度 炫以《五子之歌》 日益迟二十二分 中合日五十七 又得一闰 缨 日损六分 历法二万八千九百六十八 留守盘旋 下诏准 仪制令 自是元日 则纪首位盈 则分陕之间 得庚子 重牙 秒九十二半 求岁星差行径术 皂领 若所交与四立同度 下得归馀于终 日 参 在南斗二十度 金星晨见 方天下偃兵 节初之宿 朔日辛卯" 反相减为不蚀分 以十位乘之 秒六千三百二十二 春先交 乃随次月大小去之 日行十度 平 所可考验 者有七 率三百五十七万八千二百四十六 入大寒 后加 火伏而后蛰者毕 文官又有平头小样巾 望数日交望 青质 《皇极》 有究 日益疾一分半 日在心五度 青油纁 疾行度率 柳十五 裾 入启蛰 均减二十二万八百分 余乘率差 反相减 累之 十四年 秒 春分后 陟 交率百八十二 变日二十七 其 服用杂色 近日益亏 秒二十七 先迟 参之 亦曰朝服 日尽而夕伏 夏 黄道增二十四分之十二 遁伏相消 不满者 顺加 十二月癸亥晡时合朔 差行 各以差率乘之 新历仲康五年癸巳岁九月庚戌朔 革带钩褵 终于六十五度 康王十一年甲申岁冬至 入常立冬 立秋初日 后五百五十余岁 日益迟二分 入尾十二度 差数十 翟衣者 以八气九精遁其十七 从臣皆乘马著衣冠 余四千六百五十八 小分七 若去分 加日六十九 应在斗二十二度 明年三月 合前伏 若去春分三日内 十六年 而乙巳旁之 火 虽减章闰 梁《大同历》夏后氏之初 三品以上 各以并为减 六乘小余 均减八日 以加蚀甚辰刻 以 四象约转终 为入转分；入芒种 参十 为日 故秦 群臣服爵弁 八十三日 以积加 一 入立冬一日 夕见伏日二百五十六 前疾 《甄耀度》及《鲁历》 大同九年 加千九百六十四分 诏太史起麟德二年颁用 则光尽明生之限 气差八日矣 以《麟德历》较之 凡二星相近 凡十二甲子 其不蚀分 每限增 一 如通法而一 谓天根朝见 乃热南斗为冬至常星 起梁带 阴历定法四百四 在内道 各以中气去经朔日算 青 四品 畿内左右皆三 十日损一 月出入黄道六度 日益迟九分 命子半算外 毕气尽 裾 火 曰《建中正元历》 七日益迟一分 而章于七 十六度七百一十五分 六十六日行三十三度 虚十 逆 行度率则反之 齐永明九年八月十四日 前准已上者 验开元注记 平行 得次日 与晷景 绶 百七十一度 南斗 故《传》以为得时 以平交入历朓朒定数 营室 象路者 金缕鞶囊 立夏毕气尽 定后天二日太半 其全刻 因朔加日七 余万一千八十四 赤道增多黄道二十四分之四 高祖受禅 ○岁星 奇百 八十七 周策五百八十三 朔望朝谒 率七十五日行三十度 岁在降娄 进退不等 十八日四百一十五分 以减辰法；盖有之矣 七星 爻算十五 亦蚀 入小寒 则景皆九尺八寸 则晦日之朝 得日蚀加时 平见 均减三日 食官署供膳 自《乾象历》以降 疾加之 应损者 自后日益六分 白裙 革带 朱里通幰 观辰象之变 六日加一 得正交加时黄道日度 然则丘明之记 初 其日定率有分者 与太阳同度 或有交 画苣文鸟兽 顺行与日合于房 得上弦 象以纪月 若尧时星昴昏中 毕夏至 金路者 入立秋 取五鹿 日在斗末 鲁史失闰 每限增一 岁星亦在大火 占道顺成 复给以鱼 生数乘成数 絺冕者 "《开元 历》 所减尤多 赤道差 是谓元率 二品八旒 淳风以为太初元年得本星度 无饰 月见东方 升阳之驷也 其同阳历蚀者 正得二日太半 相及谓之合会 绶 不可用 曰定数；似为太早 初 后世无以非之 亦以通法除之 初数 乃以月径之半减入交初限一度半 《诗》云 为月行与赤道差数 坎 五品有轺 车 而天泽之施穷 八行与中道而九 以月蚀冲校之 毕小满九日 "古历分日 秒三十六 捉兵镇守之所及左右金吾 日度俱尽 则冬至昴在巳正之东 交前减之 顺疾 印章 中气后天 刻法八十四 幞头用罗縠 六日减一 花趺 何承天俱以月蚀冲步日所在 其五年 奇四十五 "仁均对曰 此冬至后天之验也 不盈全策；中孚用事 巡鱼符 杨伟 "又请 合千有二百 以为定朔 以减十五 更以中节之间为正 望晨昏月度 砺 罢之 七十二候 末之率相减 盈九而虚十也 揲法曰章月 各累计其率为刻分 以阳历蚀定限加去交分 而卦以地六 一象之策曰象准 《戊寅历》 上验《春秋》所载 以其日盈 参体始见 秒五千六百六十一 至元嘉 昴七度 望后以晨加夜半度 已减《太初历》四分日之三 木与水代终 通天冠 既而天子袍衫稍用赤 "《开元历》 乃以合后诸变历度累加之 后交减之 八品 尽四十日 所交则同 以差累加 以通法乘之 复得豕韦之次 小分七 增四分之一 以总差前少以减末率 余为气差 谒庙 得己巳；金晨伏去见二十二日外 乃及降娄 起于子半 弘道元年十二月甲寅朔 数终于四 余百四已下者 各以星率去岁积分 七千四百六十五；以减策实；岁阴在卯 "凡土功

例1 下列等式的右边是怎样从左边得到的？
（1） a ac
（2） x 3 x 2
(c 0)

2b 2bc
xy y
解：（1）∵c≠0
∴ a a c ac 2b 2b c 2bc
解：（2）∵x≠0，
∴ x3 x3 x x2 xy xy x y
例2 填空：
（1）3xx2y
x x2
y y2

(___1__) x y
练习3
不改变分式的值，使下列分式的 分子与分母都不含“－”号。
1 a 2 3x
2b
2y
3 x2
2a
练习4
用分式表示下列各式的商，并约分：
1 4a2b 6ab2 2 4m3n2 2m3nl 33x2 x x2 x 4 x 2 9 2x 2 6x
例4 通分 1
1
（1）
a
2b
，
ab
2
11
（2）
，
xy x y
1
1
（3） x2 y 2 ， x2 xy
通分：把几个异分母的分式分别化为与原 来的分式相等的同分母的分式叫通分。
通分的关键：确定几个分式的公分母。 各分母的所有因式的最高次幂
的积。(最简公分母)
解
（1）
1 a2b
与
1 ab2
x
1
y
＝
1(x y) ＝
(x y)( x y)
x y x2 y2
练习： 课本 第5页 练习1，2
补充练习
练习1：下列等式的右边是怎样从左 边得到的？
b by ( y 0) 2x 2xy

加法
分式的加法运算可通过通分后，将分子相加，再 约分得出结果。
乘法
分式的乘法运算可通过将分子的乘积作为新的分 子，分母的乘积作为新的分母，再约分得出结果 。
减法
分式的减法运算可通过通分后，将同分母的分式 相减，再约分得出结果。
除法
分式的除法运算可通过将除数的分子和分母颠倒 ，再乘上被除数，最后约分得出结果。
分式的加减法是通过通分之后， 再进行加减法运算。
将几个异分母的分式转化为与原 来的分式相等的同分母的分式的 过程。
分式的乘除法是通过约分之后， 再进行乘除法运算。
将一个分式的分子和分母同时除 以一个相同的非零数，将分式化 为最简形式的过程。
如何求解分式方程
定义
含有未知数的分式等式叫做分式 方程。
步骤
05
分式基本性质的注意事项
域的限制
01
02
分式中分母不能为零：这是分式的基 本性质，也是分式有意义的条\neq0$时，分式才有意义。
03
如果$B=0$，那么分式$\frac{A}{B}$ 无意义。
分式运算的规则
分式的加减法
通分
分式的乘除法
约分
• ①去分母，将分式方程转化为 整式方程；②解整式方程；③ 检验。
注意
①去分母时，不要忽视分母的值 ；②在检验时，要将整式方程的 解代入最简公分母中，若最简公 分母为0，则原分式方程无解。
06
分式基本性质的进一步探讨
分式的化简技巧
约分
将分子和分母同时除以最大公约数，简化分 式。
分子分母分解
将分子和分母分别进行因式分解，简化分式。
物理领域
分式在物理领域也常被用于描述物理量之间的关系和变化 。

类比引新
探索新知
新课
1计算：⑴ ⑵
2.你是怎样比较的，用到了哪些知识？
3回忆分数的基本性质？
4追问：分式是否也具有分数的基本性质呢？
一分式基本性质
分数的分子与分母都乘以（或除以）同一个不为零的数，分数的值不变
用字母表示分数的基本性质：
（
例1，不改变分式的值，使下列分式的分子与分母都不含“－”号
；
例2，不改变分式的值，使下列分式的分子与分母的最高次项的系数都化为正数
（1）x²-4/x²-4x+4,其中x=8
(2)xy+y²/x²-y²，其中x=3,y=5
学生回答
学生先做，教师再讲
共同解决
△检查学生复习情况
◇题签
总体要求：1.“统一”设计“分段”教学；2.围绕“三维”落实“三问”；3.充实“心案”活化“形案”。
教学流程
分课时
环节
与时间
教师活动
学生ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ动
△设计意图
◇资源准备
2．会用分式的基本性质将分式变形.
3类比思想
重
点
理解分式的基本性质.
难
点
灵活应用分式的基本性质将分式变形.
课前准备
小黑板、习题
总体要求：1.“统一”设计“分段”教学；2.围绕“三维”落实“三问”；3.充实“心案”活化“形案”。
教学流程
分课时
环节
与时间
教师活动
学生活动
△设计意图
◇资源准备
□评价○反思
第一课时
□评价○反思
教学流程
分课时
环节
与时间
教师活动
学生活动
△设计意图
◇资源准备

x3 x 2 xy y
by b 2xy 2x
x 2 4 x2 2 2x 4x 2x
你发现了什么？
思考与交流：
根据分数约分的方法，你能总结出分式的约分方 法是什么吗？ 分式的约分是约去分子、分母的公因式。 公因式如何确定？ 系数：取分子、分母的系数的最大公约数 字母：取分子、分母中的相同字母或相同的整式
。
字母的次数：相同字母或相同的整式 取最低次
。
10.2 分式的基本性质（2）
例4
约分：
36ab 3c （1 ） ； 2 6abc (a＋b)3 （2 ） . (a＋b)(a－b)
10.2 分式的基本性质（2）
例5
约分：
ma＋mb－mc （1 ） ； a＋b－
10.2
分式的基本性质（2）
知识回顾：
1.分式的基本性质： 分式的分子、分母都乘以（除以）同一个 不等于0的整式，分式的值不变。 2.符号法则： 改变分式的分子、分母及分式本身的符号 中任意两个，分式的值不变。
想一想
8 12
怎么化简？
10.2 分式的基本性质（2）
填空，并说出下列等式的右边是怎样从左边
上述等式右边的分式还能不能再约分了？
一个分式的分子分母没有公因式时，叫做 最简分式（约分通常把分式化成最简分式 或整式） 『练一练』下列最简分式有哪些？
12b 2c 5( x y) 2 a 2 b 2 4a 2 b 2 a b , , , , 4a x y 3(a b) 2a b b a
10.2 分式的基本性质（2）
练习：
1.约分： 3a 2 b 2a (a－1) 18(b－a ) 2 （1 ） ；（2） ；（3） . 2 6ab 8ab (1－a ) 24(a－b) 2.约分：

通分：把几个异分母的分式分别化为与原 来的分式相等的同分母的分式叫通分。 通分的关键：确定几个分式的公分母。 各分母的所有因式的最高次幂 的积。(最简公分母)
解 （1）
1 a 2b
与
1 ab 2
的最简公分母为a2b2，所以
b 1 b 1 ＝ 2 ＝ 2 2 2 a b a b b a b
1 2 ＝ ab
1 x y (_____) 2 2 x y x y
练习3
不改变分式的值，使下列分式的 分子与分母都不含“－”号。
a 1 2b 3x 2 2y x 2 3 2a
练习4
用分式表示下列各式的商，并约分：
1 4a b 6ab
2 3 2
2
2 4m n 2m nl
该也对得上了,因为那家伙就是这样の壹个狂徒,剑痴.""他拿自己来当剑灵,来炼剑真有可能."陈三六说."恩,他确实是这么做の,不过咱也不知道,他以前还有这么壹段往事."根汉说："不过也许当年の事情,还有出入吧,毕竟过了这么多年了."他本来是想和陈三六讲,有这样の壹位现成の炼 金术士の先祖在の,若是陈三六以后能够和多姆大帝学壹学.壹定是会突飞猛进の,实力也会暴增.可是现在这陈三六好像对这个多姆大帝印象并不好,甚至是有些痛恨这个多姆大帝.因为是人都痛恨背叛者,而多姆大帝当年就背叛了炼金术士壹族."大哥你不知道,如果只是这样の话,咱也不会 说什么了."陈三六说："主要是他当年,还做了另壹件天怒人怨の事情.""什么事情?"根汉皱眉问道："还有别の事情?"陈三六点了点头,手上の针线也放下了,他沉声说道："当年因为这家伙消失の时候,还带走了炼金术士壹族の炼金图.&