【创新设计】高考数学(北师大版)一轮训练：第10篇 第4讲 复数(数学备课大师网)

第四节 数系的扩充与复数的引入命题分析预测学科核心素养本节是高考的热点，主要考查复数的有关概念和复数的四则运算，一般出现在选择题的较靠前位置，比较简单，属于送分题． 本节通过复数的有关概念和四则运算考查考生的数学运算核心素养和等价转化思想的应用．授课提示：对应学生用书第96页 知识点一 复数的有关概念及意义 1．复数的有关概念 （1）复数的概念：形如a ＋b i （a ，b ∈R ）的数叫复数，其中a ，b 分别是它的实部和虚部Ｗ．若b ＝0，则a ＋b i 为实数；若b ≠0，则a ＋b i 为虚数；若a ＝0且b ≠0，则a ＋b i 为纯虚数． （2）复数相等：a ＋b i ＝c ＋d i ⇔a ＝c 且b ＝d （a ，b ，c ，d ∈R ）． （3）共轭复数：a ＋b i 与c ＋d i 共轭⇔a ＝c ，b ＝－d （a ，b ，c ，d ∈R ）． （4）复数的模：向量OZ →的模r 叫做复数z ＝a ＋b i （a ，b ∈R ）的模，记作|z |或|a ＋b i|，即|z |＝|a ＋b i|＝a 2＋b 2Ｗ． 2．复数的几何意义 （1）复数z ＝a ＋b i复平面内的点Z （a ，b ）（a ，b ∈R ）．（2）复数z ＝a ＋b i （a ，b ∈R ）平面向量OZ →．• 温馨提醒 •利用复数相等a ＋b i ＝c ＋d i 列方程时，注意a ，b ，c ，d ∈R 是前提条件． 1．若复数（a 2－3a ＋2）＋（a －1）i 是纯虚数，则实数a 的值为（ ） A ．1 B ．2 C ．1或2D ．－1解析：由⎩⎪⎨⎪⎧a 2－3a ＋2＝0，a －1≠0，得a ＝2．答案：B2．（2021·合肥市高三二检）已知复数z 满足z ·（1－2i ）＝i （i 是虚数单位），则复数z 在复平面内对应的点在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限解析：由z ·（1－2i ）＝i 可得z ＝i 1－2i ＝i （1＋2i ）1＋4＝－25＋15i ，则复数z 在复平面内对应的点在第二象限． 答案：B3．（易错题）若a 为实数，且2＋a i1＋i＝3＋i ，则a ＝_________．解析：由2＋a i1＋i ＝3＋i ，得2＋a i ＝（3＋i ）（1＋i ）＝2＋4i ，即a i ＝4i ，因为a 为实数，所以a＝4． 答案：4知识点二 复数的代数运算 1．复数的加、减、乘、除运算法则设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i （a ，b ，c ，d ∈R ），则（1）加法：z 1＋z 2＝（a ＋b i ）＋（c ＋d i ）＝（a ＋c ）＋（b ＋d ）i ； （2）减法：z 1－z 2＝（a ＋b i ）－（c ＋d i ）＝（a －c ）＋（b －d ）i ； （3）乘法：z 1·z 2＝（a ＋b i ）·（c ＋d i ）＝（ac －bd ）＋（ad ＋bc ）i ； （4）除法：z 1z 2＝a ＋b i c ＋d i ＝（a ＋b i ）（c －d i ）（c ＋d i ）（c －d i ）＝ac ＋bd c ＋d ＋bc －ad c ＋d i （c ＋d i ≠0）．2．复数加法的运算定律设z 1，z 2，z 3∈C ，则复数加法满足以下运算律： （1）交换律：z 1＋z 2＝z 2＋z 1；（2）结合律：（z 1＋z 2）＋z 3＝z 1＋（z 2＋z 3）Ｗ． • 温馨提醒 •（1）（1±i ）2＝±2i ；1＋i 1－i ＝i ；1－i 1＋i ＝－i ．（2）－b ＋a i ＝i （a ＋b i ）．（3）i 4n ＝1，i 4n ＋1＝i ，i 4n ＋2＝－1，i 4n ＋3＝－i （n ∈N ＋）． （4）i 4n ＋i 4n ＋1＋i 4n ＋2＋i 4n ＋3＝0（n ∈N ＋）．（5）|z |2＝|z －|2＝z ·z －，|z 2|＝|z －|2．（6）|z 1z 2|＝|z 1||z 2|，⎪⎪⎪⎪z 1z 2＝|z 1||z 2|（z 2≠0），|z n |＝|z |n ． 1．（2020·高考全国卷Ⅰ）若z ＝1＋i ，则|z 2－2z |＝（ ） A ．0 B ．1 C ．2D ．2解析：法一：z 2－2z ＝（1＋i ）2－2（1＋i ）＝－2，|z 2－2z |＝|－2|＝2．法二：|z 2－2z |＝|（1＋i ）2－2（1＋i ）|＝|（1＋i ）（－1＋i ）|＝|1＋i||－1＋i|＝2． 答案：D2．（2020·新高考全国卷Ⅰ）2－i1＋2i＝（ ） A ．1 B ．－1 C ．iD ．－i解析：2－i 1＋2i ＝（2－i ）（1－2i ）（1＋2i ）（1－2i ）＝－5i5＝－i ．答案：D3．已知（1＋2i ）z －＝4＋3i ，则z ＝_________．解析：因为z －＝4＋3i 1＋2i ＝（4＋3i ）（1－2i ）（1＋2i ）（1－2i ）＝10－5i5＝2－i ，所以z ＝2＋i ．答案：2＋i授课提示：对应学生用书第97页题型一 复数的有关概念1．（2021·湘潭模拟）若复数z 满足（1＋i ）z ＝2i ，z －是z 的共轭复数，则z －的虚部为（ ） A ．－i B ．1 C ．－1D ．i解析：由题意可知，z ＝2i1＋i＝1＋i ，故z －＝1－i ，所以其虚部为－1．答案：C2．（2020·高考全国卷Ⅰ）若z ＝1＋2i ＋i 3，则|z |＝（ ） A ．0 B ．1 C ． 2D ．2解析：∵z ＝1＋2i ＋i 3＝1＋2i －i ＝1＋i ，∴|z |＝12＋12＝2．答案：C3．（2021·衡水中学大联考）已知复数z ＝5i 2i －1（i 为虚数单位），则复数z 在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限解析：z ＝5i2i －1＝－5i （1＋2i ）（1－2i ）（1＋2i ）＝－i （1＋2i ）＝2－i ，即复数z 在复平面内对应的点（2，－1）位于第四象限． 答案：D1．求解复数概念相关问题的技巧复数的分类、复数相等、复数的模、共轭复数的概念都与复数的实部与虚部有关，所以解答与复数有关概念有关的问题时，需把所给复数化为代数形式，即a ＋b i （a ，b ∈R ）的形式，再根据题意求解．2．复数z 、复平面上的点Z 及向量OZ →相互联系，即z ＝a ＋b i （a ，b ∈R ）⇔Z （a ，b ）⇔OZ →． 3．由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观．题型二 复数的代数运算[例] （1）已知复数z ＝1＋2i1－i，则1＋z ＋z 2＋…＋z 2 018＝（ ） A ．1＋i B ．1－i C ．iD ．0（2）（2021·兰州质检）已知i 是虚数单位，若复数z 满足z i ＝1＋i ，则z 2＝（ ） A ．－2i B ．2i C ．－2D ．2[解析] （1）法一：因为z ＝1＋2i1－i＝1＋2i （1＋i ）2＝i ，所以1＋z ＋z 2＋…＋z 2 018＝1×（1－z 2 019）1－z ＝1－i 2 0191－i ＝1－i 4×504·i 31－i＝i ．法二：因为z ＝1＋2i 1－i ＝1＋2i （1＋i ）2＝i ，所以1＋z ＋z 2＋…＋z 2 018＝1＋i ＋i 2＋…＋i 2 018＝504×（1＋i －1－i ）＋1＋i －1＝i ．（2）法一：由z ＝1＋ii＝1－i ，得z 2＝（1－i ）2＝－2i ．法二：由z i ＝1＋i ，得（z i ）2＝（1＋i ）2，则－z 2＝2i ，即z 2＝－2i ． [答案] （1）C （2）A复数代数形式运算问题的解题策略[题组突破]1．（2020·高考全国卷Ⅲ）若z －（1＋i ）＝1－i ，则z ＝（ ） A ．1－i B ．1＋i C ．－iD ．i解析：因为z －＝1－i 1＋i ＝（1－i ）2（1＋i ）（1－i ）＝－i ，所以z ＝i ．答案：D2．若z ＝1＋2i ，则4izz －－1＝（ ）A ．1B ．－1C ．iD ．－i解析：由z ＝1＋2i ，得z z －＝5，∴4i z z －－1＝4i4＝i ．答案：C3．（2021·烟台高三下学期诊断）已知复数z ＝31＋2i（i 为虚数单位），则z 的共轭复数z －等于（ ）A ．15－25iB ．15＋25iC ．35－65iD ．35＋65i解析：z ＝31＋2i ＝3（1－2i ）5＝35－65i ，z －＝35＋65i ．答案：D复数运算应用中的核心素养创新应用——复数的交汇应用问题[例] （1）（2021·益阳、湘潭调研）已知命题p ：若复数z 满足（z －i ）（－i ）＝5，则z ＝6i ，命题q ：复数1＋i 1＋2i 的虚部为－15i ，则下面为真命题的是（ ）A ．（非p ）且（非q ）B ．（非p ）且qC ．p 且（非q ）D ．p 且q（2）（2021·天津实验中学期中测试）已知复数z ＝⎝⎛⎭⎫cos θ－45＋⎝⎛⎭⎫sin θ－35i 是纯虚数（i 为虚数单位），则tan ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝_________． [解析] （1）由已知可得，复数z 满足（z －i ）（－i ）＝5， 所以z ＝5－i ＋i ＝6i ，所以命题p 为真命题；复数1＋i 1＋2i ＝（1＋i ）（1－2i ）（1＋2i ）（1－2i ）＝3－i 5，其虚部为－15，故命题q 为假命题，所以命题p 且（非q ）为真命题．（2）因为cos θ－45＝0，sin θ－35≠0⇒cos θ＝45，sin θ＝－35⇒tan θ＝－34，所以tan （θ－π4）＝－34－11－34＝－7．[答案] （1）C （2）－7求解复数与其他知识的交汇问题，一定要仔细运算，提升自身的数学运算素养．[题组突破]1．已知复数z ＝x ＋y i （x ，y ∈R ）满足|z －|≤1，则y ≥x ＋1的概率为（ ） A ．34－12πB ．14－12πC ．34＋12πD ．14＋12π解析：复数z ＝x ＋y i （x ，y ∈R ），|z －|≤1，它的几何意义是以O （0，0）为圆心，1为半径的圆以及内部部分．满足y ≥x ＋1的图像如图中圆内阴影部分所示，则概率P ＝π4－12×1×1π＝14－12π． 答案：B2．在复平面内，向量AB →对应的复数是2＋i ，向量CB →对应的复数是－1－3i ，则向量CA →对应的复数是（ ） A ．1－2iB ．－1＋2iC．3＋4i D．－3－4i 答案：D。

高三数学北师大版复数与其运算教案第一章：复数的引入与表示一、复数的定义复数是由实数和虚数构成的数，通常形式为a+bi，其中a和b都是实数，i是虚数单位。

二、复数的表示形式复数可以使用多种表示形式，包括代数形式、三角形式、指数形式等。

1. 代数形式复数的代数形式为a+bi，其中a是实部，bi是虚部。

2. 三角形式复数的三角形式为r(cosθ+isinθ)，其中r表示模，θ表示辐角。

3. 指数形式复数的指数形式为re^iθ，其中r表示模，θ表示辐角。

第二章：复数的运算一、复数的加法复数的加法满足交换律和结合律，即(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i。

二、复数的减法复数的减法可以转化为加法运算，即(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i。

三、复数的乘法复数的乘法按照分配率进行计算，即(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i。

四、复数的除法复数的除法可以通过乘以共轭复数进行计算，即(a+bi)/(c+di)=[(a+bi)(c-di)]/(c^2+d^2)。

第三章：复数的性质与应用一、复数的模和共轭复数的模表示复数到原点的距离，记作|a+bi|=sqrt(a^2+b^2)。

复数的共轭表示虚部取负，即共轭复数为a-bi。

二、复数方程的解通过利用复数的运算性质，可以求解一元复数方程，例如求解x^2+1=0的解为x=±i。

三、复数在几何中的应用复数可以用于表示平面几何中的点、向量、旋转等概念，并可以方便地进行运算和推导。

第四章：复数与二次方程一、复数根的性质对于二次方程ax^2+bx+c=0，如果b^2-4ac<0，则方程没有实数根，但可以有复数根。

二、虚根的性质虚根通常以共轭对出现，即如果a+bi是方程的一个根，则a-bi也是方程的一个根。

三、利用复数求解二次方程通过将二次方程转化为复数方程，可以利用复数的性质求解方程的根。

第五章：复数的应用一、电路中的复数复数可以用于表示电路中的电压、电流等物理量，有助于分析电路的特性和性能。

[考纲传真] １．理解复数的概念，理解复数相等的充要条件.２．了解复数的代数表示法及其几何意义.３．能进行复数代数形式的四则运算，了解两个具体复数相加、减的几何意义．１．复数的有关概念（１）复数的概念：形如a＋b i（a，b∈R）的数叫复数，其中a，b分别是它的实部和虚部．若b ＝0，则a＋b i为实数，若b≠0，则a＋b i为虚数，若a＝0且b≠0，则a＋b i为纯虚数．（２）复数相等：a＋b i＝c＋d i⇔a＝c，b＝d（a，b，c，d∈R）．（３）共轭复数：a＋b i与c＋d i共轭⇔a＝c，b＝—d（a，b，c，d∈R）．（４）复数的模：向量错误!的模r叫做复数z＝a＋b i的模，即|z|＝|a＋b i|＝错误!.２．复数的几何意义复数z＝a＋b i错误!复平面内的点Z（a，b）错误!平面向量错误!＝（a，b）．３．复数的运算（１）复数的加、减、乘、除运算法则设z１＝a＋b i，z２＝c＋d i（a，b，c，d∈R），则１加法：z１＋z２＝（a＋b i）＋（c＋d i）＝（a＋c）＋（b＋d）i；２减法：z１—z２＝（a＋b i）—（c＋d i）＝（a—c）＋（b—d）i；３乘法：z１·z２＝（a＋b i）·（c＋d i）＝（ac—bd）＋（ad＋bc）i；４除法：错误!＝错误!＝错误!＝错误!＋错误!i（c＋d i≠0）．（２）复数加法的运算定律复数的加法满足交换律、结合律，即对任何z１，z２，z３∈C，有z１＋z２＝z２＋z１，（z１＋z２）＋z＝z１＋（z２＋z３）．３错误!１．（１±i）２＝±２i；错误!＝i；错误!＝—i.２．i４n＝１，i４n＋１＝i，i４n＋２＝—１，i４n＋３＝—i（n∈N*）．３．z·错误!＝|z|２＝|错误!|２，|z１·z２|＝|z１|·|z２|，错误!＝错误!，|z n|＝|z|n.[基础自测]１．（思考辨析）判断下列结论的正误．（正确的打“√”，错误的打“×”）（１）若a∈C，则a２≥0．（）（２）已知z＝a＋b i（a，b∈R），当a＝0时，复数z为纯虚数．（）（３）复数z＝a＋b i（a，b∈R）的虚部为b i. （）（４）方程x２＋x＋１＝0没有解．[答案]（１）×（２）×（３）×（４）×２．（教材改编）设复数z满足错误!＝i，则|z|等于（）Ａ．１Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．２A[错误!＝i，则z＝错误!＝i，∴|z|＝１．]３．设i是虚数单位，则复数错误!在复平面内所对应的点位于（）Ａ．第一象限Ｂ．第二象限Ｃ．第三象限Ｄ．第四象限B[∵错误!＝错误!＝错误!＝i—１，∴该复数对应的点（—１,１）位于第二象限．]４．（教材改编）在复平面内，向量错误!对应的复数是２＋i，向量错误!对应的复数是—１—３i，则向量错误!对应的复数是（）Ａ．１—２i Ｂ．—１＋２iＣ．３＋４i Ｄ．—３—４iD[∵错误!＝错误!＋错误!＝错误!—错误!＝—１—３i—２—i＝—３—４i，故选Ｄ．]５．（教材改编）已知（１＋２i）错误!＝４＋３i，则z＝________.２＋i [由（１＋２i）错误!＝４＋３i得错误!＝错误!＝错误!＝２—i.∴z＝２＋i.]复数的有关概念１．（２0１9·福州四校联考）如果复数z＝错误!，则（）Ａ．z的共轭复数为１＋i Ｂ．z的实部为１Ｃ．|z|＝２Ｄ．z的实部为—１D[∵z＝错误!＝错误!＝错误!＝—１—i，∴z的实部为—１，故选Ｄ．]２．（２0１9·江西九校联考）设（１＋２i）x＝x＋y i，其中x，y是实数，i为虚数单位，则错误!＝（）Ａ．１Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误!D[由x＋２x i＝x＋y i，x，y∈R，则y＝２x，错误!＝|２＋i|＝错误!，故选Ｄ．]３．如果复数错误!是纯虚数，那么实数m等于（）Ａ．—１Ｂ．0Ｃ．0或１Ｄ．0或—１D[错误!＝错误!＝错误!，因为此复数为纯虚数，所以错误!解得m＝—１或0，故选Ｄ．] [规律方法] 解决复数概念问题的方法及注意事项（１）复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程（不等式）组即可．（２）解题时一定要先看复数是否为a＋b i（a，b∈R）的形式，以确定实部和虚部．【例１】（１）（２0１8·全国卷Ⅱ）错误!＝（）Ａ．—错误!—错误!iＢ．—错误!＋错误!iＣ．—错误!—错误!iＤ．—错误!＋错误!i（２）（２0１9·山西八校联考）已知a，b∈R，i为虚数单位，若３—４i３＝错误!，则a＋b等于（）Ａ．—9 Ｂ．５C．１３Ｄ．9（３）已知复数z满足：（z—i）（１＋２i）＝i３（其中i为虚数单位），则复数z的虚部等于（）Ａ．—错误!Ｂ．—错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误!（１）D（２）A（３）C[（１）错误!＝错误!＝—错误!＋错误!i，故选Ｄ．（２）由３—４i３＝错误!得，３＋４i＝错误!，即（a＋i）（３＋４i）＝２—b i，（３a—４）＋（４a ＋３）i ＝２—b i ，则错误!解得错误!故a ＋b ＝—9，故选Ａ．（３）z ＝错误!＋i ＝错误!＋i ＝错误!＋i ＝—错误!＋错误!i ，故选Ｃ．] [规律方法] 复数的加法、减法、乘法运算可以类比多项式运算，除法关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，注意要把i 的幂写成最简形式．＝（ ）Ａ．１Ｂ．错误! Ｃ．错误! Ｄ．错误!（２）（２0１9·皖南八校联考）设i 是虚数单位，且i ２ 0１9＝错误!，则实数k ＝（ ） Ａ．２Ｂ．１ Ｃ．0 Ｄ．—１（１）B （２）C [（１）由已知，得z ＝错误!＋i ＝错误!＋i ＝错误!—错误!i ＋i ＝错误!—错误!i ，则错误!·z ＝|z |２＝错误!２＋错误!２＝错误!，故选Ｂ．（２）因为i ２ 0１9＝i ５0４×４＋３＝i ３＝—i ，所以—i ＝错误!，可得k ＋i ＝i —k ，∴k ＝0，故选Ｃ．]复数的几何意义【例２】 （１）（２0１8·北京高考）在复平面内复数错误!的共轭复数对应的点位于（ ） Ａ．第一象限Ｂ．第二象限 Ｃ．第三象限 Ｄ．第四象限（２）在复平面内与复数z ＝错误!所对应的点关于实轴对称的点为A ，则A 对应的复数为（ ） Ａ．１＋iＢ．１—i Ｃ．—１—i Ｄ．—１＋i（３）若复数（１—i ）（a ＋i ）在复平面内对应的点在第二象限，则实数a 的取值范围是（ ）Ａ．（—∞，１）Ｂ．（—∞，—１）Ｃ．（１，＋∞）Ｄ．（—１，＋∞）（１）D（２）B（３）B[（１）错误!＝错误!＋错误!，其共轭复数为错误!—错误!，对应点位于第四象限，故选Ｄ．（２）因为z＝错误!＝错误!＝i（１—i）＝１＋i，所以点A的坐标为（１，—１），其对应的复数为１—i.（３）因为复数（１—i）（a＋i）＝a＋１＋（１—a）i在复平面内对应的点在第二象限，所以错误!解得a＜—１．][规律方法] 对复数几何意义的理解及应用（１）复数z、复平面上的点Z及向量错误!相互联系，即z＝a＋b i（a，b∈R）⇔Z（a，b）⇔错误!.（２）由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观．（１）如图，在复平面内，复数z１，z２对应的向量分别是错误!，错误!，则复数z１·z２对应的点位于（）Ａ．第一象限Ｂ．第二象限Ｃ．第三象限Ｄ．第四象限（２）若复数z满足|z—i|≤错误!（i为虚数单位），则z在复平面内所对应的图形的面积为________．（１）D（２）２π[（１）由已知错误!＝（—２，—１），错误!＝（0,１），所以z１＝—２—i，z２＝i，z１z２＝１—２i，它所对应的点为（１，—２），在第四象限．（２）设z＝x＋y i（x，y∈R），由|z—i|≤错误!得|x＋（y—１）i|≤错误!，所以错误!≤错误!，所以x２＋（y—１）２≤２，所以z在复平面内所对应的图形是以点（0,１）为圆心，以错误!为半径的圆及其内部，它的面积为２π.]１．（２0１8·全国卷Ⅰ）设z＝错误!＋２i，则|z|＝（）Ａ．0 Ｂ．错误!Ｃ．１Ｄ．错误!C[因为z＝错误!＋２i＝错误!＋２i＝—i＋２i＝i，所以|z|＝１，故选Ｃ．]２．（２0１8·全国卷Ⅲ）（１＋i）（２—i）＝（）Ａ．—３—i Ｂ．—３＋iＣ．３—i Ｄ．３＋iD[（１＋i）（２—i）＝２＋２i—i—i２＝３＋i.]３．（２0１7·全国卷Ⅲ）复平面内表示复数z＝i（—２＋i）的点位于（）Ａ．第一象限Ｂ．第二象限Ｃ．第三象限Ｄ．第四象限C[∵z＝i（—２＋i）＝—１—２i，∴复数z＝—１—２i所对应的复平面内的点为Z（—１，—２），位于第三象限．故选Ｃ．]４．（２0１6·全国卷Ⅰ）设（１＋i）x＝１＋y i，其中x，y是实数，则|x＋y i|＝（）Ａ．１Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．２B[∵（１＋i）x＝１＋y i，∴x＋x i＝１＋y i.又∵x，y∈R，∴x＝１，y＝x＝１．∴|x＋y i|＝|１＋i|＝错误!，故选Ｂ．]５．（２0１6·全国卷Ⅲ）若z＝１＋２i，则错误!＝（）Ａ．１Ｂ．—１Ｃ．i Ｄ．—iC[因为z＝１＋２i，则错误!＝１—２i，所以z错误!＝（１＋２i）（１—２i）＝５，则错误!＝错误!＝i.故选Ｃ．]6．（２0１6·全国卷Ⅱ）已知z＝（m＋３）＋（m—１）i在复平面内对应的点在第四象限，则实数m的取值范围是（）Ａ．（—３,１）Ｂ．（—１,３）Ｃ．（１，＋∞）Ｄ．（—∞，—３）A[由题意知错误!即—３＜m＜１．故实数m的取值范围为（—３,１）．]。

高中数学复数讲课教案模板主题：复数教学目标：1. 了解复数的定义和表示形式2. 掌握复数的加减乘除运算规则3. 能够将复数在复平面上进行几何表示4. 能够解决与复数相关的实际问题教学内容：1. 复数的定义和表示形式2. 复数的加减乘除运算规则3. 复数在复平面上的几何表示4. 复数的应用教学过程：一、复数的定义和表示形式（15分钟）1. 引入复数的概念，说明实数和虚数的区别2. 讲解复数的表示形式：a+bi3. 举例说明复数的实部和虚部二、复数的加减乘除运算规则（20分钟）1. 讲解复数的加法和减法规则2. 讲解复数的乘法规则：(a+bi)(c+di) = ac+(ad+bc)i-bd3. 讲解复数的除法规则：(a+bi)/(c+di) = ((ac+bd)/(c^2+d^2)) + ((bc-ad)/(c^2+d^2))i三、复数在复平面上的几何表示（15分钟）1. 介绍复平面的概念2. 讲解复数在复平面上的位置表示方法3. 练习解决复数的几何问题四、复数的应用（10分钟）1. 举例说明复数在实际问题中的应用2. 练习解决与复数相关的实际问题五、总结与作业布置（5分钟）1. 总结本节课的重点内容2. 布置练习题目，强化学生对复数的理解和运用教学资源：1. 课件或板书2. 练习题目3. 复平面图纸教学评价：1. 课堂参与程度2. 课后作业的完成情况3. 考试成绩表现扩展阅读：1. 复数的历史2. 复数在科学和工程中的应用教学反思：1. 对课堂教学效果进行评价和总结2. 改进教学方法和策略，提高教学质量备注：本教案可根据实际情况作适当调整，以适应不同学生的学习水平和需求。

10.3 复数的三角形式及其运算[课程目标] 1.掌握复数的三角形式的乘、除及乘方运算；2.掌握复数的代数形式与三角形式的转化关系．知识点一 复数的三角形式[填一填]1．如果非零复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )在复平面内对应点Z (a ，b )，且r 为向量OZ →的模，θ是以x 轴正半轴为始边、射线OZ 为终边的一个角，那么r ＝|z |＝a 2＋b 2，根据任意角余弦、正弦的定义可知，cos θ＝a r ，sin θ＝b r.因此，a ＝r cos θ，b ＝r sin θ，如下图，从而z ＝a ＋b i ＝(r cos θ)＋(r sin θ)i ＝r (cos θ＋isin θ)，上式的右边称为非零复数z ＝a ＋b i 的三角形式(对应地，a ＋b i 称为复数的代数形式)，其中的θ称为z 的辐角．2．任何一个非零复数z 的辐角都有无穷多个，而且任意两个辐角之间都相差2π的整数倍．特别地，在[0,2π)内的辐角称为z 的辐角主值，记作arg z .[答一答]1．复数的三角形式条件是什么？ 提示：z ＝r (cos θ＋isin θ)， ①r ≥0. ②加号连接．③余弦在前，正弦在后． ④θ前后一致，可任意值．知识点二复数三角形式的乘法[填一填]1．设z1＝r1(cosθ1＋isinθ1)，z2＝r2(cosθ2＋isinθ2)，那么z1z2＝r1(cosθ1＋isinθ1)×r2(cosθ2＋isinθ2)＝r1r2[cos(θ1＋θ2)＋isin(θ1＋θ2)]．2．两个复数相乘的几何意义：设z1，z2对应的向量分别为OZ1→，OZ2→，将OZ1→绕原点旋转θ2，再将OZ1→的模变为原来的r2倍，如果所得向量为OZ→，那么OZ→对应的复数即为z1z2，如下图．3．如果n∈N，那么[r(cosθ＋isinθ)]n＝r n[cos(nθ)＋isin(nθ)]．[答一答]2．复数三角形式的乘法的运算原那么是什么？提示：两个复数相乘，其积还是一个复数，它的模等于两个复数模的积，它的辐角等于两个复数辐角的和．也就是说，两个复数相乘，是把模相乘作为积的模，把辐角相加作为积的辐角．知识点三复数三角形式的除法[填一填]1．设z1＝r1(cosθ1＋isinθ1)，z2＝r2(cosθ2＋isinθ2)(z2≠0)，那么z1z2＝r1cosθ1＋isinθ1r2cosθ2＋isinθ2＝r1r2[cos(θ1－θ2)＋isin(θ1－θ2)]．2．两个复数相除的几何意义：设z1，z2对应的向量分别为OZ1→，OZ2→，将OZ1→绕原点顺时针旋转θ2，再将OZ→的模变为原来的1r2，如果所得向量为OZ→，那么OZ→对应的复数即为z1z2，如下图．[答一答]3．复数三角形式除法的运算法那么是什么？提示：两个复数相除(除数不为0)，其商还是一个复数，它的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，它的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差．也就是说，两个复数相除(除数不为0)，是把模相除作为商的模，辐角相减作为商的辐角．类型一由复数的代数形式化三角形式[例1] 以下各式是否是三角形式，假设不是，化为三角形式．(1)z1＝－2(cosθ＋isinθ)；(2)z2＝cosθ－isinθ；(3)z3＝－sinθ＋icosθ；(4)z4＝sinθ－icosθ；(5)z5＝cos60°＋isin30°.[分析] 由三角形式的结构特征，确定判断的依据和变形的方向变形时，可按照如下步骤进行：首先确定复数z在复平面内对应点所在象限(此处可假定θ为锐角)，其次判断是否要变换三角函数名称，最后确定辐角，此步骤可简称为“定点→定名→定角〞这样，使变形的方向更具操作性，能有效提高解决此类问题的正确率．[解](1)由“模非负〞知，不是三角形式，需做变换z1＝2(－cosθ－isinθ)，z1在复平面上对应的点(－2cosθ，－2sinθ)在第三象限(假定θ为锐角)，余弦“－cosθ〞已在前，不需再变换三角函数名称，因此可用诱导公式“π＋θ〞将θ变换到第三象限，∴z1＝2(－cosθ－isinθ)＝2[co s(π＋θ)＋isin(π＋θ)]．(2)由“加号连〞知，不是三角形式．z2在复平面内对应的点(cosθ2，－sinθ)在第四象限(假定θ为锐角)，不需改变三角函数名称，可用诱导公式“2π－θ〞或“－θ〞将θ变换到第四象限．∴z2＝cosθ－isinθ＝cos(－θ)＋isin(－θ)或z2＝cosθ－isinθ＝cos(2π－θ)＋isin(2π－θ)．(3)由“余弦前〞知，不是三角形式．z 3在复平面内对应的点(－sin θ，cos θ)在第二象限(假定θ为锐角)，需改变三角函数名称，可用诱导公式“π2＋θ〞将θ变换到第二象限．∴z 3＝－sin θ＋icos θ＝cos(π2＋θ)＋isin(π2＋θ)．(4)同理(3)z 4＝sin θ－icos θ＝cos(32π＋θ)＋isin(32π＋θ)．(5)z 5＝cos60°＋isin30°＝12＋12i ＝12(1＋i)＝12×2(cos π4＋isin π4)＝22(cos π4＋isin π4)．考虑到复数辐角的不唯一性，复数的三角形式也不唯一．对这类与三角形式很相似的式子，如何将之变换为三角形式，对于初学者来讲是个难点，有了“定点→定名→定角〞这样一个可操作的步骤，应能够很好地解决此类问题.[变式训练1] 把以下复数代数式化成三角式： (1)3＋i ；(2)1＋i ；(3)－4＋3i. 解：(1)r ＝3＋1＝2，∵3＋i 对应的点在第一象限，∴tan θ＝13，即θ＝π6，∴3＋i ＝2⎝⎛⎭⎪⎫cos π6＋isin π6.(2)∵r ＝1＋1＝2，而1＋i 对应的点在第一象限， ∴tan θ＝11＝1，∴θ＝π4，∴1＋i ＝2(cos π4＋isin π4)．(3)∵r ＝9＋16＝5.－4＋3i 对应点在第二象限，tan θ＝－34，∴θ＝π－arctan 34，∴－4＋3i ＝5[cos(π－arctan 34)＋isin(π－arctan 34)]．类型二 复数的模及辐角主值[例2] 求复数z ＝1＋cos θ＋isin θ(π<θ<2π)的模与辐角主值．[分析] 式子中多了个“1”，只有将“1”消去，才能更接近三角形式，因此可利用三角公式消“1”．[解]z ＝1＋cos θ＋isin θ＝1＋(2cos2θ2－1)＋2isinθ2cosθ2＝2cosθ2(cosθ2＋isin θ2)．(1)∵π<θ<2π，∴π2<θ2<π，∴cos θ2<0，∴(1)式右端＝－2cos θ2(－cos θ2－isin θ2)＝－2cos θ2[cos(π＋θ2)＋isin(π＋θ2)]∴r ＝－2cos θ2. ∵π2<θ2<π，∴32π<π＋θ2<2π，∴arg z ＝π＋θ2.复数2cos θ2(cos θ2＋isin θ2)从形式上看似乎就是三角形式，不少同学认为r ＝2cos θ2，arg z ＝θ2.错误之处在于他们没有去考虑θ角的X 围，因此一定要用“模非负，角相同，余弦前，加号连〞来判断是否为三角形式．看了这道例题，你一定能解决如z 1＝1－cos θ－isin θ(π<θ<2π)，z 2＝1＋cos θ－isin θ(π<θ<2π)等类似问题．[变式训练2] (1)复数sin50°－isin140°的辐角主值是( D )A ．150° B．40° C ．－40° D．320°解析：sin50°>0，－sin140°<0，复数sin50°－isin140°在复平面内的对应点在第四象限，因为sin50°－isin140°＝cos40°－isin40°＝cos(360°－40°)＋isin(360°－40°)＝cos320°＋isin320°，所以辐角主值为320°.(2)当实数m ＝0时，复数(m 2－m －2)＋(2m 2－3m －2)i 的辐角主值是54π.解析：因为辐角主值为54π，那么⎩⎪⎨⎪⎧m 2－m －2≤0，2m 2－3m －2≤0，2m 2－3m －2m 2－m －2＝1，解得m ＝0.类型三 复数三角形式的乘法运算[例3] 计算：3(cos20°＋isin20°)[2(cos50°＋isin50°)]· [10(cos80°＋isin80°)]．[解] 3(cos20°＋isin20°)[2(cos50°＋isin50°)][10(cos80°＋isin80°)] ＝3×2×10[cos(20°＋50°＋80°)＋isin(20°＋50°＋80°)] ＝60(cos150°＋isin150°) ＝60(－32＋12i) ＝－303＋30i.假设遇到复数的代数式与三角式混合相乘时，需将相混的复数统一成代数式或三角式，然后进行复数的代数式相乘或三角式相乘.[变式训练3] 计算：(－1＋i)[3(cos 74π＋isin 74π)]．解：|－1＋i|＝－12＋12＝2，cos θ＝－12＝－22，sin θ＝12＝22，∴可取θ＝34π. 故－1＋i 的三角形式为2(cos 34π＋isin 34π)．原式＝2(cos 34π＋isin 34π)[3(cos 74π＋isin 74π)]＝2·3[cos(34π＋74π)＋isin(34π＋74π)]＝6(cos 52π＋isin 52π)＝6(cos π2＋isin π2)＝6i.[例4] n ∈N *，求证：(cos θ－isin θ)n＝cos nθ－isin nθ. [证明] 左边＝[cos(－θ)＋isin(－θ)]n＝[cos(－nθ)＋isin(－nθ)]＝cos nθ－isin nθ＝右边．复数n 次幂的模等于这个复数的模的nn 倍.也就是说，复数的n 次幂n ∈N ，是把模的n 次幂作为幂的模，把辐角的n 倍作为幂的辐角.[变式训练4] 计算： (1)[2(cos π4＋isin π4)]10；(2)[2(cos 2π15＋isin 2π15)]5.解：(1)[2(cos π4＋isin π4)]10＝(2)10(cos 52π＋isin 52π)＝32(cos π2＋isin π2)＝32i.(2)[2(cos 2π15＋isin 2π15)]5＝25(cos 2π3＋isin 2π3)＝32(－12＋32i)＝－16＋16 3 i.类型四 复数三角形式的除法运算[例5] 复数z ＝r (cos θ＋isin θ)，r ≠0，求1z的三角形式．[解]1z＝cos0°＋isin0°r cos θ＋isin θ＝1r [cos(0°－θ)＋isin(0°－θ)]＝1r[cos(－θ)＋isin(－θ)]．由此例可以看出，一个非零复数的倒数，其模是原来复数的模的倒数，其辐角是原来复数辐角的相反数.[变式训练5] 计算：4(cos80°＋isin80°)÷[2(cos320°＋isin320°)]． 解：4(cos80°＋isin80°)÷[2(cos320°＋isin320°)] ＝42[cos(80°－320°)＋isin(80°－320°)] ＝2[cos(－240°)＋isin(－240°)] ＝2(－12＋32i)＝－1＋3i.1．复数12－32i 的三角形式是( D )A ．cos(－π3)－isin(－π3)B ．cos π3＋isin π3C ．cos π3－isin π3D ．cos 5π3＋isin 5π32．设z 1＝－1＋3i ，z 2＝(12z 1)2，那么z 2的辐角主值是( B )A.5π6 B.4π3 C.11π6 D.5π33．如果θ∈(π2，π)，那么复数(1＋i)(cos θ－isin θ)的三角形式是( A )A.2[cos(9π4－θ)＋isin(9π4－θ)]B.2[cos(2π－θ)＋i sin(2π－θ)]C.2[cos(π4＋θ)＋isin(π4＋θ)]D.2[cos(3π4＋θ)＋isin(3π4＋θ)]4．复数3＋i －1－3i的三角形式是cos 56π＋isin 56π.解析：3＋i－1－3i＝2cos π6＋isinπ62cos 4π3＋isin 43π＝cos(π6－43π)＋isin(π6－43π)＝cos(－76π)＋isin(－76π)＝cos 56π＋isin 56π.。

第十章复数*10.3复数的三角形式及其运算课后篇巩固提升基础达标练1。

12(cos 30°+isin 30°）×2(cos 60°+isin 60°）×3(cos 45°+isin 45°）=（）A。

3√22+3√22i B.3√22−3√22iC。

—3√22+3√22i D.—3√22−3√22i+isin30°)×2(cos60°+isin60°)×3(cos45°+isin45°）=12×2×3[cos（30°+60°+45°）+isin（30°+60°+45°）］=3（cos135°+isin135°）=3(-√22+√22i)=-3√22+3√22i。

故选C.2。

(cosπ2+isinπ2)×3(cosπ6+isinπ6)=（)A.32+3√32i B.32−3√32iC.-32+3√32i D.—32−3√32iπ2+isinπ2)×3(cosπ6+isinπ6)=3[cos(π2+π6)+isin(π2+π6)]=3(cos2π3+isin2π3)=—32+3√32i.故选C.3。

4(cos π+isin π)÷[2(cosπ3+isinπ3)]=()A.1+√3i B。

1—√3i C。

-1+√3i D。

—1-√3i（cosπ+isinπ)÷[2(cosπ3+isinπ3)]=2[cos(π-π3)+isin(π-π3)]=2(cos2π3+isin2π3)=—1+√3i.故选C。

4.2÷［2(cos 60°+isin 60°)］=（）A。

12+√32i B。

12−√32iC.√32+12i D.√32−12i÷2[（cos60°+isin60°)］=2（cos0°+isin0°）÷[2（cos60°+isin60°)] =cos(0°-60°)+isin（0°-60°)=cos(-60°)+isin（-60°)=12−√32 i。

第4讲数系的扩充与复数的引入1．已知i 是虚数单位，则i2 0171＋i＝()A.1－i 2B.1＋i 2C.－1－i 2D.－1＋i 2解析：选B.i 2 0171＋i ＝i 1＋i ＝i （1－i ）2＝1＋i2，选B.2．已知复数z 满足(z －1)i ＝1＋i ，则z ＝() A ．－2－i B ．－2＋i C ．2－i D ．2＋i解析：选C.因为(z －1)i ＝i ＋1，所以z －1＝i ＋1i＝1－i ，所以z ＝2－i.3．已知a ∈R ，若1＋a i2－i为实数，则a ＝()A ．2B ．－2C ．－12 D.12解析：选C.1＋a i 2－i ＝（1＋a i ）（2＋i ）（2－i ）（2＋i ）＝2＋i ＋2a i －a 5＝2－a 5＋1＋2a 5i ，因为1＋a i 2－i 为实数，所以1＋2a 5＝0，所以a ＝－12.4．已知⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋2i 2＝a ＋b i(a ，b ∈R ，i 为虚数单位)，则a ＋b ＝() A ．－7 B ．7 C ．－4 D ．4解析：选A.因为⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋2i 2＝1＋4i ＋4i 2＝－3－4i ，所以－3－4i ＝a ＋b i ，则a ＝－3，b ＝－4， 所以a ＋b ＝－7，故选A.5．复数2－i31－2i的共轭复数为()A ．iB ．－iC ．22－iD ．－22＋i解析：选B.2－i 31－2i ＝2＋i 1－2i ＝i （2＋i ）i （1－2i ）＝i （2＋i ）2＋i＝i ，所以所求的共轭复数为－i ，故选B.6．设z 1，z 2是复数，则下列命题中为假命题的是() A ．若|z 1－z 2|＝0，则z 1＝z 2B ．若z 1＝z 2，则z 1＝z 2C ．若|z 1|＝|z 2|，则z 1·z 1＝z 2·z 2D ．若|z 1|＝|z 2|，则z 21＝z 22解析：选D.对于A ，|z 1－z 2|＝0⇒z 1＝z 2⇒z 1＝z 2，是真命题；对于B ，C 易判断是真命题；对于D ，若z 1＝2，z 2＝1＋3i ，则|z 1|＝|z 2|，但z 21＝4，z 22＝－2＋23i ，是假命题．7．已知i 是虚数单位，m ，n ∈R ，且m (1＋i)＝1＋n i ，则⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋n i m －n i 2＝________． 解析：由m (1＋i)＝1＋n i ，得m ＋m i ＝1＋n i ，即m ＝n ＝1，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋n i m －n i 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 2＝i 2＝－1.答案：－18．已知m ∈R ，复数m ＋i 1＋i －12的实部和虚部相等，则m ＝________．解析：m ＋i 1＋i －12＝（m ＋i ）（1－i ）（1＋i ）（1－i ）－12＝（m ＋1）＋（1－m ）i 2－12＝m ＋（1－m ）i 2，由已知得m ＝1－m ，则m ＝12.答案：129．已知复数z ＝4＋2i（1＋i ）2(i 为虚数单位)在复平面内对应的点在直线x －2y ＋m ＝0上，则m ＝________．解析：z ＝4＋2i （1＋i ）2＝4＋2i 2i ＝（4＋2i ）i2i2＝1－2i ，复数z 在复平面内对应的点的坐标为(1，－2)，将其代入x －2y ＋m ＝0，得m ＝－5. 答案：－510．已知复数z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，且|z －2|＝3，则y x的最大值为________． 解析：因为|z －2|＝（x －2）2＋y 2＝3，所以(x －2)2＋y 2＝3. 由图可知⎝ ⎛⎭⎪⎫y x max＝31＝ 3. 答案： 311．计算：(1)（1＋2i ）2＋3（1－i ）2＋i；(2)1－i （1＋i ）2＋1＋i （1－i ）2；(3)1－3i （3＋i ）2. 解：(1)（1＋2i ）2＋3（1－i ）2＋i ＝－3＋4i ＋3－3i2＋i＝i 2＋i ＝i （2－i ）5＝15＋25i. (2)1－i （1＋i ）2＋1＋i （1－i ）2＝1－i 2i ＋1＋i －2i ＝1＋i －2＋－1＋i 2＝－1. (3)1－3i （3＋i ）2＝（3＋i ）（－i ）（3＋i ）2＝－i3＋i＝（－i ）（3－i ）4＝－14－34i.12．已知复数z 的共轭复数是z ，且满足z ·z ＋2i z ＝9＋2i.求z . 解：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z ＝a －b i. 因为z ·z ＋2i z ＝9＋2i ，所以(a ＋b i)(a －b i)＋2i(a ＋b i)＝9＋2i ，即a 2＋b 2－2b ＋2a i ＝9＋2i ，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2－2b ＝9，①2a ＝2.②由②得a ＝1，代入①，得b 2－2b －8＝0. 解得b ＝－2或b ＝4.所以z ＝1－2i 或z ＝1＋4i.1．已知复数(1＋i)(a ＋b i)＝2＋4i(a ，b ∈R )，则函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫ax ＋π6＋b 图像的一个对称中心是() A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，1B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π18，0 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，3D.⎝ ⎛⎭⎪⎫5π18，1 解析：选D.因为(1＋i)(a ＋b i)＝2＋4i ，所以a ＋b i ＝2＋4i 1＋i ＝（2＋4i ）（1－i ）（1＋i ）（1－i ）＝3＋i ，所以a ＝3，b ＝1.f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋π6＋1，令3x ＋π6＝k π，k ∈Z ，所以x ＝－π18＋k π3，k ∈Z ，令k ＝1，得x ＝5π18，所以f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π6＋1的一个对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫5π18，1，故选D.2．设x ，y 为实数，且x 1－i ＋y 1－2i ＝51－3i，则x ＋y ＝________．解析：因为x 1－i ＋y 1－2i ＝51－3i ，所以1＋i 2x ＋1＋2i 5y ＝1＋3i10×5，利用实部和虚部对应相等可知x ＋y ＝4. 答案：43．实数m 分别取什么数值时，复数z ＝(m 2＋5m ＋6)＋(m 2－2m －15)i (1)与复数2－12i 相等；(2)与复数12＋16i 互为共轭复数； (3)对应的点在x 轴上方．解：(1)根据复数相等的充要条件得 ⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋5m ＋6＝2，m 2－2m －15＝－12， 解得m ＝－1.(2)根据共轭复数的定义得 ⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋5m ＋6＝12，m 2－2m －15＝－16， 解得m ＝1.(3)根据复数z 对应点在x 轴上方可得m 2－2m －15＞0，解得m ＜－3或m ＞5.4．复数z 1＝3a ＋5＋(10－a 2)i ，z 2＝21－a ＋(2a －5)i ，若z 1＋z 2是实数，求实数a 的值．解：z 1＋z 2＝3a ＋5＋(a 2－10)i ＋21－a＋(2a －5)i＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3a ＋5＋21－a ＋[(a 2－10)＋(2a －5)]i ＝a －13（a ＋5）（a －1）＋(a 2＋2a －15)i. 因为z 1＋z 2是实数，所以a 2＋2a －15＝0， 解得a ＝－5或a ＝3. 因为a ＋5≠0，所以a ≠－5，故a ＝3.。

第4讲 复 数基础巩固题组 (建议用时：40分钟)一、选择题1．(2013·江西卷)复数z ＝i(－2－i)(i 为虚数单位)在复平面内所对应的点在( )．A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析 z ＝－2i －i 2＝1－2i ，z 在复平面内对应点Z (1，－2)．故选D. 答案 D2．(2013·新课标全国Ⅰ卷)1＋2i－2＝( )．A ．－1－12iB ．－1＋12iC ．1＋12iD ．1－12i解析1＋2i －2＝1＋2i－2i＝＋－＝－2＋i 2＝－1＋12i.答案 B3．(2014·成都摸底考试)设复数z ＝(3－4i)(1＋2i)，则复数z 的虚部为( )．A ．－2B ．2C ．－2iD ．2i解析 z ＝(3－4i)(1＋2i)＝11＋2i ，所以复数z 的虚部为2. 答案 B4．(2013·新课标全国Ⅱ卷)⎪⎪⎪⎪⎪⎪21＋i ＝( )．A ．2 2B ．2 C. 2D ．1解析 ⎪⎪⎪⎪⎪⎪21＋i ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－2＝|1－i|＝ 2. 答案 C5．(2013·陕西卷)设z 是复数，则下列命题中的假命题是( )．A ．若z 2≥0，则z 是实数 B ．若z 2＜0，则z 是虚数 C ．若z 是虚数，则z 2≥0D ．若z 是纯虚数，则z 2＜0解析 举反例说明，若z ＝i ，则z 2＝－1＜0，故选C. 答案 C 二、填空题6．(2013·重庆卷)已知复数z ＝1＋2i ，则|z |＝________.解析 |z |＝12＋22＝ 5. 答案57．(2014·绵阳期末)⎝⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 4＝________.解析 ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2i －2i 2＝1. 答案 18．(2013·上海卷)设m ∈R ，m 2＋m －2＋(m 2－1)i 是纯虚数，则m ＝________.解析 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m －2＝0，m 2－1≠0，解得m ＝－2.答案 －2 三、解答题9．已知复数z 1满足(z 1－2)(1＋i)＝1－i(i 为虚数单位)，复数z 2的虚部为2，且z 1·z 2是实数，求z 2.解 (z 1－2)(1＋i)＝1－i ⇒z 1＝2－i.设z 2＝a ＋2i(a ∈R )， 则z 1·z 2＝(2－i)(a ＋2i)＝(2a ＋2)＋(4－a )i. ∵z 1·z 2∈R .∴a ＝4.∴z 2＝4＋2i.10．当实数m 为何值时，z ＝m 2－m －6m ＋3＋(m 2＋5m ＋6)i ，(1)为实数； (2)为虚数；(3)为纯虚数；(4)复数z 对应的点在复平面内的第二象限．解 (1)若z 为实数，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋5m ＋6＝0，m ＋3≠0，解得m ＝－2.(2)若z 为虚数，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋5m ＋6≠0，m ＋3≠0，解得m ≠－2且m ≠－3.(3)若z 为纯虚数，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋5m ＋6≠0，m 2－m －6m ＋3＝0，解得m ＝3.(4)若z 对应的点在第二象限，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2－m －6m ＋3＜0，m 2＋5m ＋6＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧m ＜－3或－2＜m ＜3，m ＜－3或m ＞－2，∴m ＜－3或－2＜m ＜3.能力提升题组 (建议用时：25分钟)一、选择题1．(2014·川师附中月考)⎝⎛⎭⎪⎫1－i 1＋i 2 014＝( )．A ．－iB ．iC ．－1D ．1解析 ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－i 1＋i 2 014＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2＋－2 014＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－2i 2 2 014＝(－i)2 104＝i2 014＝i4×503＋2＝－1.答案 C2．方程x 2＋6x ＋13＝0的一个根是( )．A ．－3＋2iB ．3＋2iC ．－2＋3iD ．2＋3i解析 法一 x ＝－6±36－522＝－3±2i.法二 令x ＝a ＋b i ，a ，b ∈R ，∴(a ＋b i)2＋6(a ＋b i)＋13＝0，即a 2－b 2＋6a ＋13＋(2ab ＋6b )i ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2－b 2＋6a ＋13＝0，2ab ＋6b ＝0，解得a ＝－3，b ＝±2，即x ＝－3±2i. 答案 A 二、填空题3．(2014·北京西城模拟)定义运算⎪⎪⎪⎪a c b d ＝ad －bc .若复数x ＝1－i 1＋i，y ＝⎪⎪⎪⎪4i 2 x i x ＋i ，则y ＝________.解析 因为x ＝1－i1＋i＝－22＝－i. 所以y ＝⎪⎪⎪⎪4i 2 x i x ＋i ＝⎪⎪⎪⎪4i210＝－2.答案 －2 三、解答题4.如图，平行四边形OABC ，顶点O ，A ，C 分别表示0,3＋2i ，－2＋4i ，试求：(1)AO →所表示的复数，BC →所表示的复数； (2)对角线CA →所表示的复数； (3)求B 点对应的复数．解 (1)AO →＝－OA →，∴AO →所表示的复数为－3－2i. ∵BC →＝AO →，∴BC →所表示的复数为－3－2i.(2)CA →＝OA →－OC →，∴CA →所表示的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i. (3)OB →＝OA →＋AB →＝OA →＋OC →，∴OB →所表示的复数为(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i ， 即B 点对应的复数为1＋6i.。

§复数2022高考会这样考1考查复数的基本概念，复数相等的条件；2考查复数的代数形式的运算，复数的几何意义．复习备考要这样做1复习时要理解复数的相关概念如实部、虚部、纯虚数、共轭复数等，以及复数的几何意义；2要把复数的基本运算作为复习的重点，尤其是复数的四则运算与共轭复数的性质等．因考题较容易，所以重在练基础．1．复数的有关概念1复数的概念形如a＋b i a，b∈R的数叫作复数，其中a，b分别是它的实部和虚部．若b＝0，则a ＋b i为实数，若b≠0，则a＋b i为虚数，若a＝0且b≠0，则a＋b i为纯虚数．2复数相等：a＋b i＝c＋d i⇔a＝c且b＝da，b，c，d∈R．3共轭复数：a＋b i与c＋d i共轭⇔a＝c，b＝－da，b，c，d∈R．4复平面建立直角坐标系来表示复数的平面，叫作复平面．轴叫作实轴，轴叫作虚轴．实轴上的点都表示实数；除原点外，虚轴上的点都表示纯虚数；各象限内的点都表示非纯虚数．5复数的模向量错误!错误!错误!错误!0”2＋m＋1＋m2＋m－4i m∈R，m＝1”是“1＝2”的2＝3－2i，则“A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件思维启迪：1若＝a＋b i a，b∈R，则b＝0时，∈R；b≠0时，是虚数；a＝0且b≠0时，是纯虚数．2直接根据复数相等的条件求解．答案1A 2A解析1由错误!＝错误!＝错误!＝错误!＋错误!i是纯虚数，得a＝1，此时错误!＝i，其虚部为12由错误!，解得m＝－2或m＝1，所以“m＝1”是“1＝2”的充分不必要条件．探究提高处理有关复数的基本概念问题，关键是找准复数的实部和虚部，从定义出发，把复数问题转化成实数问题来处理．1若复数＝2－1＋－1i为纯虚数，则实数的值为A．－1 B．0C．1 D．－1或12设复数满足2－3i＝6＋4ii为虚数单位，则的模为________．答案1A 22解析1由复数为纯虚数，得错误!，解得＝－1，故选A2方法一∵2－3i＝6＋4i，∴＝错误!＝错误!＝2i，∴||＝2方法二由2－3i＝6＋4i，得＝错误!则||＝错误!＝错误!＝错误!＝2题型二复数的运算例2 已知1，2为复数，3＋i1为实数，2＝错误!，且|2|＝5错误!，求2思维启迪：两种思路解此类问题：一是设出1、2，然后代入解方程；二是利用整体代换的思想求解．解1＝22＋i，3＋i1＝22＋i3＋i＝25＋5i∈R，∵|2|＝5错误!，∴|25＋5i|＝50，∴25＋5i＝±50，∴2＝±错误!＝±错误!＝±5－5i．探究提高复数的综合运算中会涉及模、共轭及分类等，求时要注意是把看作一个整体还是设为代数形式应用方程思想；当是实数或纯虚数时注意常见结论的应用．1已知复数＝错误!，错误!是的共轭复数，则·错误!＝________ 2复数错误!的值是________．3已知复数满足错误!＝2－i，则＝__________答案1错误!2－16 3－错误!－错误!i解析1方法一||＝错误!＝错误!，·\to＝||2＝错误!方法二＝错误!＝－错误!＋错误!，·\to＝错误!错误!＝错误!2错误!＝错误!＝24·错误!＝－163由错误!＝2－i，得＝错误!－i＝错误!－i＝错误!i－错误!－i＝－错误!－错误!i题型三复数的几何意义例3 如图所示，平行四边形OABC，顶点O，A，C分别表示0,3＋2i，－2＋4i，试求：1错误!错误!4a2a2a错误!2a2a2a2a2a2a6a2 a＝错误!＝错误!三、解答题7．13分已知复数，且||＝2，求|－i|的最大值，以及取得最大值时的解方法一设＝＋i，∈R，∵||＝2，∴2＋2＝4，|－i|＝|＋i－i|＝|＋－1i|＝错误!＝错误!＝错误!∵2＝4－2≤4，∴－2≤≤2故当＝－2时，5－2取得最大值9，从而错误!取得最大值3，此时＝0，即|－i|取得最大值3时，＝－2i方法二类比实数绝对值的几何意义，可知方程||＝2表示以原点为圆心，以2为半径的圆，而|－i|表示圆上的点到点A0,1的距离．如图，连接AO并延长与圆交于点B0，－2，显然根据平面几何的知识可知，圆上的点B到点A的距离最大，最大值为3，即当＝－2i时，|－i|取最大值3。

第四节 数系的扩充与复数的引入【考纲下载】1．理解复数的基本概念，理解复数相等的充要条件．2．了解复数的代数表示法和几何意义，会进行复数代数形式的四则运算． 3．了解复数代数形式的加、减运算的几何意义．1．复数的有关概念 (1)复数的定义形如a ＋b i(a 、b ∈R )的数叫做复数，其中实部是a ，虚部是b . (2)复数的分类 复数z ＝a ＋b ia ，b ∈R⎩⎨⎧实数b ＝，虚数b ≠⎩⎪⎨⎪⎧ 纯虚数a ＝0，b ≠，非纯虚数a ≠0，b(3)复数相等a ＋b i ＝c ＋d i ⇔a ＝c 且b ＝d (a ，b ，c ，d ∈R )． (4)共轭复数a ＋b i 与c ＋d i 共轭⇔a ＝c 且b ＝－d (a ，b ，c ，d ∈R )． (5)复数的模向量OZ 的模叫做复数z ＝a ＋b i 的模，记作|z |或|a ＋b i|，即|z |＝|a ＋b i|＝r ＝a 2＋b 2(r ≥0，a 、b ∈R )．2．复数的几何意义 (1)复平面的概念建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面． (2)实轴、虚轴在复平面内，x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴，实轴上的点都表示实数；除原点以外，虚轴上的点都表示纯虚数．(3)复数的几何表示复数z ＝a ＋b i 一一对应复平面内的点Z (a ，b )一一对应平面向量OZ . 3．复数的运算(1)复数的加、减、乘、除运算法则设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R )，则：①加法：z 1＋z 2＝(a ＋b i)＋(c ＋d i)＝(a ＋c )＋(b ＋d )i ； ②减法：z 1－z 2＝(a ＋b i)－(c ＋d i)＝(a －c )＋(b －d )i ； ③乘法：z 1·z 2＝(a ＋b i)(c ＋d i)＝(ac －bd )＋(ad ＋bc )i ；④除法：z 1z 2＝a ＋b i c ＋d i ＝a ＋b c －d c ＋d c －d ＝ac ＋bd c 2＋d 2＋bc －adc 2＋d 2i(c ＋d i≠0)．(2)复数的加法的运算定律复数的加法满足交换律、结合律，即对任何z 1、z 2、z 3∈C ，有z 1＋z 2＝z 2＋z 1，(z 1＋z 2)＋z 3＝z 1＋(z 2＋z 3)．(3)复数的乘法的运算定律复数的乘法满足交换律、结合律、分配律，即对于任意z 1，z 2，z 3∈C ，有z 1·z 2＝z 2·z 1，(z 1·z 2)·z 3＝z 1·(z 2·z 3)，z 1(z 2＋z 3)＝z 1z 2＋z 1z 3.1．复数a ＋b i(a ，b ∈R )为纯虚数的充要条件是a ＝0吗？提示：不是，a ＝0是a ＋b i(a ，b ∈R )为纯虚数的必要条件，只有当a ＝0，且b ≠0时，a ＋b i 才为纯虚数．2．z 1，z 2是复数，z 1－z 2>0，那么z 1>z 2，这个命题是真命题吗？提示：假命题．例如：z 1＝1＋i ，z 2＝－2＋i ，z 1－z 2＝3>0，但z 1>z 2无意义，因为虚数无大小概念．3．若z 1，z 2∈R ，z 21＋z 22＝0，则z 1＝z 2＝0，此命题对z 1，z 2∈C 还成立吗？提示：不一定成立．比如z 1＝1，z 2＝i 满足z 21＋z 22＝0.但z 1≠0，z 2≠0.1．(2013·湖南高考)复数z ＝i·(1＋i)(i 为虚数单位)在复平面上对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限解析：选B ∵z ＝i·(1＋i)＝－1＋i ，∴复数z 在复平面上对应的点的坐标为(－1,1)，位于第二象限．2．复数5i1－2i＝( )A ．2－iB ．1－2iC ．－2＋iD ．－1＋2i解析：选C 5i 1－2i ＝＋－＋＝5i ＋10i 21－＝5i －105＝－2＋i. 3．(2013·新课标全国卷Ⅱ)⎪⎪⎪⎪⎪⎪21＋i ＝( )A ．2 2B ．2 C. 2 D ．1解析：选C ∵21＋i ＝－＋－＝－2＝1－i ，∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪21＋i ＝|1－i|＝12＋－2＝ 2. 4．已知a ＋2ii ＝b ＋i(a ，b ∈R )，其中i 为虚数单位，则a ＋b ＝________.解析：根据已知可得a ＋2ii＝b ＋i ⇒2－a i ＝b ＋i ⇔⎩⎪⎨⎪⎧b ＝2，－a ＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧b ＝2，a ＝－1.从而a ＋b ＝1.答案：15．设a 是实数，且a 1＋i ＋1＋i2是实数，则a ＝________.解析：a 1＋i ＋1＋i 2＝a －a i 2＋1＋i 2＝a ＋＋－a2为实数，故1－a ＝0，即a ＝1. 答案：1[例1] (1)(2013·安徽高考)设i 是虚数单位，若复数a －103－i(a ∈R )是纯虚数，则a的值为( )A ．－3B ．－1C ．1D ．3(2)(2013·山东高考)复数z 满足(z －3)(2－i)＝5(i 是虚数单位)，则z 的共轭复数z 为( )A ．2＋iB ．2－iC ．5＋iD ．5－i[自主解答] (1)∵a －103－i ＝a －＋－＋＝(a －3)－i 为纯虚数，∴a －3＝0，即a ＝3.(2)由(z －3)(2－i)＝5，得z ＝3＋52－i ＝＋－＋＋3＝＋5＋3＝5＋i ，∴z ＝5－i. [答案] (1)D (2)D【互动探究】若将本例(2)中的“z －3”改为“z －i”，则z 为何值？解：∵(z －i)(2－i)＝5，则z －i ＝52－i ，∴z ＝i ＋52－i ＝i ＋(2＋i)＝2＋2i ，∴z ＝2－2i.【方法规律】解决复数概念问题的方法及注意事项(1)复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可．(2)解题时一定要先看复数是否为a ＋b i(a ，b ∈R )的形式，以确定实部和虚部．1．设复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )的共轭复数为z ＝a －b i ，则z －z 为 ( ) A ．实数 B ．纯虚数 C ．零 D ．零或纯虚数 解析：选D 由题意知z －z ＝(a ＋b i)－(a －b i)＝2b i ， 当b ＝0时，z －z 为0；当b ≠0时，z －z 为纯虚数．2．若复数z ＝1＋i(i 为虚数单位)，z 是z 的共轭复数，则z 2＋z 2的虚部为( ) A ．0 B ．－1 C ．1 D ．－2解析：选A ∵z 2＋z 2＝(1＋i)2＋(1－i)2＝0，∴z 2＋z 2的虚部为0.[例2] (1)(2013·江西高考)已知复数z 的共轭复数z ＝1＋2i(i 为虚数单位)，则z 在复平面内对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限(2)(2013·四川高考)如图，在复平面内，点A 表示复数z ，则图中表示z 的共轭复数的点是( )A ．AB ．BC ．CD ．D(3)(2013·辽宁高考)复数z ＝1i －1的模为( )A.12B.22C. 2 D ．2 [自主解答] (1)由共轭复数的定义知：z ＝1－2i ，则复数z 在复平面内对应的点的坐标为(1，－2)，位于第四象限．(2)设z ＝－a ＋b i(a >0，b >0)，则z 的共轭复数z －＝－a －b i.它对应的点为(－a ，－b )，是第三象限的点，即图中的B 点．(3)∵z ＝1i －1＝i ＋1－＋＝i ＋1－1－1＝－12－12i ，∴|z |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－122＝22.[答案] (1)D (2)B (3)B【方法规律】判断复数在平面内的点的位置的方法首先将复数化成a ＋b i(a ，b ∈R )的形式，其次根据实部a 和虚部b 的符号来确定点所在的象限．1．在复平面内，复数6＋5i 、－2＋3i 对应的点分别为A ，B ，若C 为线段AB 的中点，则点C 对应的复数是( )A ．4＋8iB ．8＋2iC ．2＋4iD ．4＋i解析：选C 由题意得A (6,5)，B (－2,3)，所以AB 中点C 的坐标为(2,4)，所以点C 对应的复数为2＋4i.2．已知复数z 1＝－1＋2i ，z 2＝1－i ，z 3＝3－2i ，它们所对应的点分别为A ，B ，C .O 为坐标原点，若OC ＝x OA ＋y OB ，则x ＋y 的值是________．解析：由已知得A (－1,2)，B (1，－1)，C (3，－2)，∵OC ＝x OA ＋y OB ，∴(3，－2)＝x (－1,2)＋y (1，－1)＝(－x ＋y,2x －y )， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ －x ＋y ＝3，2x －y ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝4，故x ＋y ＝5. 答案：5高频考点 考点三 复数代数形式的运算1．复数代数形式的四则运算是每年高考的必考内容，题型为选择题或填空题，难度较小，属容易题．2．高考对复数代数形式的运算的考查主要有以下几个命题角度： (1)复数的乘法运算； (2)复数的除法运算； (3)利用复数相等求参数．[例3] (1)(2013·浙江高考)已知i 是虚数单位，则(2＋i)(3＋i)＝( )A ．5－5iB ．7－5iC ．5＋5iD ．7＋5i(2)(2013·新课标全国卷Ⅰ)1＋2i－2＝( )A ．－1－12iB ．－1＋12iC ．1＋12iD ．1－12i(3)(2013·广东高考)若i(x ＋y i)＝3＋4i ，x ，y ∈R ，则复数x ＋y i 的模是( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5[自主解答] (1)(2＋i)(3＋i)＝6＋5i ＋i 2＝5＋5i.(2)1＋2i －2＝1＋2i －2i ＝＋－＝－2＋i 2＝－1＋12i. (3)由已知得x ＋y i ＝3＋4ii ＝4－3i ，故|x ＋y i|＝42＋－2＝5. [答案] (1)C (2)B (3)D复数代数形式运算问题的常见类型及解题策略(1)复数的乘法．复数的乘法类似于多项式的四则运算，可将含有虚数单位i 的看作一类同类项，不含i 的看作另一类同类项，分别合并即可．(2)复数的除法．除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把i 的幂写成最简形式．(3)利用复数相等求参数．a ＋b i ＝c ＋d i ⇔a ＝c ，b ＝d (a ，b ，c ，d ∈R )．1．若复数z 满足z (2－i)＝11＋7i(i 为虚数单位)，则z 为( ) A ．3＋5i B ．3－5i C ．－3＋5i D ．－3－5i解析：选A 由题意知z ＝11＋7i 2－i ＝＋＋－＋＝15＋25i5＝3＋5i.2．i 为虚数单位，则⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 2 014＝( )A ．－iB ．－1C ．iD ．1解析：选B ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 2 014＝i 2 014＝i 2＝－1.3．设a ，b ∈R ，a ＋b i ＝11－7i1－2i(i 为虚数单位)，则a ＋b 的值为________．解析：∵11－7i 1－2i ＝－＋－＋＝25＋15i5＝5＋3i ＝a ＋b i ，∴a ＋b ＝8.答案：8———————————[课堂归纳——通法领悟]————————————————个分类——复数的分类 对复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )， 当b ＝0时，z 为实数； 当b ≠0时，z 为虚数；当a ＝0，b ≠0时，z 为纯虚数．个技巧——复数的运算技巧(1)设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，利用复数相等和相关性质将复数问题实数化是解决复数问题的常用方法．(2)在复数代数形式的四则运算中，加、减、乘运算按多项式运算法则进行，除法则需分母实数化．个结论——复数代数运算中常用的三个结论(1)(1±i)2＝±2i；1＋i 1－i ＝i ；1－i 1＋i＝－i ；(2)－b ＋a i ＝i(a ＋b i)； (3)i 4n ＝1，i 4n ＋1＝i ，i 4n ＋2＝－1，i 4n ＋3＝－i ，i 4n ＋i 4n ＋1＋i 4n ＋2＋i 4n ＋3＝0，n ∈N *.前沿热点(六)与复数有关的新定义问题1．复数的定义及运算的考查多以客观题的方式呈现，也常从与实数的一些性质类比的角度命制新定义问题．2．解决此类问题的关键是抓住新定义或新运算的特征，对所给的新信息进行分析，并将所给信息与所学相关知识结合．[典例] (2014·南昌模拟)在实数集R 中，我们定义的大小关系“>”为全体实数排了一个“序”．类似地，我们在复数集C 上也可以定义一个称为“序”的关系，记为“>”．定义如下：对于任意两个复数z 1＝a 1＋b 1i ，z 2＝a 2＋b 2i(a 1，a 2，b 1，b 2∈R )，z 1>z 2当且仅当“a 1>a 2”或“a 1＝a 2且b 1>b 2”．按上述定义的关系“>”，给出如下四个命题： ①若z 1>z 2，则|z 1|>|z 2|； ②若z 1>z 2，z 2>z 3，则z 1>z 3；③若z 1>z 2，则对于任意z ∈C ，z 1＋z >z 2＋z ； ④对于复数z >0，若z 1>z 2，则zz 1>zz 2. 其中所有真命题的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4[解题指导] 新定义复数的“序”：对于任意两个复数z 1＝a 1＋b 1i ，z 2＝a 2＋b 2i(a 1，a 2，b 1，b 2∈R )，z 1>z 2当且仅当“a 1>a 2”或“a 1＝a 2且b 1＞b 2”．[解析] 对于复数z 1＝2＋i ，z 2＝1－3i ，显然满足z 1>z 2，但|z 1|＝5，|z 2|＝10，不满足|z 1|>|z 2|，故①不正确；设z 1＝a 1＋b 1i ，z 2＝a 2＋b 2i ，z 3＝a 3＋b 3i ，由z 1>z 2，z 2>z 3可得“a 1>a 3”或“a 1＝a 3且b 1>b 3”，故②正确；设z 1＝a 1＋b 1i ，z 2＝a 2＋b 2i ，z ＝a ＋b i ，由z 1>z 2可得“a 1>a 2”或“a 1＝a 2且b 1>b 2”．显然有“a 1＋a >a 2＋a ”或“a 1＋a ＝a 2＋a 且b 1＋b >b 2＋b ”，从而z 1＋z >z 2＋z ，故③正确；对于复数z 1＝2＋i ，z 2＝1－3i 显然满足z 1>z 2，令z ＝1＋i ，则zz 1＝(1＋i)(2＋i)＝1＋3i ，zz 2＝(1＋i)(1－3i)＝4－2i ，显然不满足zz 1>zz 2，故④错误．综上②③正确，故选B. [答案] B[名师点评] 解决本题的关键有以下两点：(1)根据所给的新定义把所给的复数大小比较问题转化为复数的实部、虚部之间的大小比较问题来处理．(2)能善于利用举反例的方法解决问题．定义一种运算如下：⎥⎦⎤⎢⎣⎡2211y xy x ＝x 1y 2－x 2y 1，则复数z ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3＋i －1 3－i i (i 是虚数单位)的共轭复数是________．解析：由定义可知，z ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3＋i －13－i i ＝(3＋i)·i－(－1)·(3－i)＝3i ＋i 2＋3－i ＝(3－1)i ＋3－1，∴z －＝(3－1)＋(1－3)i.答案：(3－1)＋(1－3)i[全盘巩固]1．(2013·浙江高考)已知i 是虚数单位，则(－1＋i)(2－i)＝( ) A ．－3＋i B ．－1＋3i C ．－3＋3i D ．－1＋i 解析：选B (－1＋i)(2－i)＝－1＋3i.2．(2013·北京高考)在复平面内，复数i(2－i)对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限解析：选A ∵z ＝i(2－i)＝2i －i 2＝1＋2i ，∴复数z 在复平面内的对应点为(1,2)，在第一象限． 3．若(x －i)i ＝y ＋2i ，x ，y ∈R ，则复数x ＋y i ＝( ) A ．－2＋i B ．2＋i C ．1－2i D ．1＋2i 解析：选B 由(x －i)i ＝y ＋2i ，得x i ＋1＝y ＋2i. ∵x ，y ∈R ，∴x ＝2，y ＝1，故x ＋y i ＝2＋i.4．(2013·新课标全国卷Ⅰ)若复数z 满足 (3－4i)z ＝|4＋3i|，则z 的虚部为( )A ．－4 B.－45 C.4 D.45解析：选 D 因为|4＋3i|＝42＋32＝5，所以已知等式为(3－4i)z ＝5，即z ＝53－4i＝＋－＋＝＋25＝3＋4i 5＝35＋45i ，所以复数z 的虚部为45.5．设z 1，z 2是复数，则下列命题中假命题的是( ) A ．若|z 1－z 2|＝0，则z 1＝z 2 B ．若z 1＝z 2，则z 1＝z 2C ．若|z 1|＝|z 2|，则z 1·z 1＝z 2·z 2D ．若|z 1|＝|z 2|，则z 21＝z 22解析：选D 对于A ，|z 1－z 2|＝0⇒z 1＝z 2⇒z 1＝z 2，是真命题；对于B ，C 易判断是真命题；对于D ，若z 1＝2，z 2＝1＋ 3 i ，则|z 1|＝|z 2|，但z 21＝4，z 22＝－2＋23i ，是假命题．6．若复数z ＝a 2－1＋(a ＋1)i(a ∈R )是纯虚数，则1z ＋a的虚部为( )A ．－25B ．－25i C.25 D.25i解析：选A 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 2－1＝0，a ＋1≠0，所以a ＝1，所以1z ＋a ＝11＋2i＝1－2i ＋－＝15－25i ，根据虚部的概念，可得1z ＋a 的虚部为－25. 7．若3＋b i 1－i＝a ＋b i(a ，b 为实数，i 为虚数单位)，则a ＋b ＝________.解析：由3＋b i 1－i ＝＋b ＋1－＋＝3－b ＋＋b 2＝a ＋b i ，得a ＝3－b 2，b ＝3＋b2，解得b ＝3，a ＝0，所以a ＋b ＝3.答案：38．复数z ＝11＋i(i 是虚数单位)的共轭复数在复平面上对应的点位于第________象限．解析：由题意得z ＝11＋i ＝1－i ＋－＝12－12i ，所以其共轭复数z －＝12＋12i ，在复平面上对应的点位于第一象限．答案：一9．定义运算⎪⎪⎪⎪⎪⎪a c b d ＝ad －bc ，复数z 满足⎪⎪⎪⎪⎪⎪z i 1 i ＝1＋i ，则复数z 的模为________．解析：由⎪⎪⎪⎪⎪⎪z i 1 i ＝1＋i ，得z i －i ＝1＋i ⇒z ＝1＋2i i ＝2－i ，故|z |＝22＋－2＝ 5. 答案： 5 10．计算：(1)－1＋＋i 3；(2)＋2＋－2＋i； (3)1－i ＋2＋1＋i －2；(4)1－3i3＋2. 解：(1)－1＋＋i 3＝－3＋i－i ＝－1－3i. (2)＋2＋－2＋i ＝－3＋4i ＋3－3i 2＋i ＝i 2＋i ＝－5＝15＋25i.(3)1－i ＋2＋1＋i －2＝1－i 2i ＋1＋i －2i ＝1＋i －2＋－1＋i 2＝－1. (4)1－3i 3＋2＝3＋－3＋2＝－i3＋i＝－3－4＝－14－34i.11．实数m 分别取什么数值时，复数z ＝(m 2＋5m ＋6)＋(m 2－2m －15)i (1)与复数2－12i 相等；(2)与复数12＋16i 互为共轭复数； (3)对应的点在x 轴上方．解：(1)根据复数相等的充要条件得⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋5m ＋6＝2，m 2－2m －15＝－12，解得m ＝－1.(2)根据共轭复数的定义得⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋5m ＋6＝12，m 2－2m －15＝－16，解得m ＝1.(3)根据复数z 对应点在x 轴上方可得m 2－2m －15＞0，解得m ＜－3或m ＞5.12．复数z 1＝3a ＋5＋(10－a 2)i ，z 2＝21－a ＋(2a －5)i ，若z 1＋z 2是实数，求实数a 的值．解：z 1＋z 2＝3a ＋5＋(a 2－10)i ＋21－a＋(2a －5)i＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3a ＋5＋21－a ＋[(a 2－10)＋(2a －5)]i ＝a －13a ＋a －＋(a 2＋2a －15)i.∵z 1＋z 2是实数，∴a 2＋2a －15＝0，解得a ＝－5或a ＝3.∵a ＋5≠0，∴a ≠－5，故a ＝3. [冲击名校]1．若sin α＋2icos α＝2i(i 为虚数单位)，则α的取值范围为( )A ．{α|α＝k π，k ∈Z } B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫αα＝k π2，k ∈ZC ．{α|α＝2k π，k ∈Z } D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫αα＝2k π＋π2，k ∈Z 解析：选C 由两个复数相等的条件得：sin α＝0，cos α＝1，所以α的终边落在x 轴的正半轴上．2．(2013·全国自主招生“北约”卷)若模均为1的复数A ，B ，C 满足A ＋B ＋C ≠0，则AB ＋BC ＋CAA ＋B ＋C的模长为( )A ．－12B ．1C ．2D ．无法确定解析：选B 根据公式|z |＝z ·z 知，A ·A ＝1，B ·B ＝1，C ·C ＝1.于是知：⎪⎪⎪⎪⎪⎪AB ＋BC ＋CA A ＋B ＋C ＝ AB ＋BC ＋CA A ＋B ＋C ·AB ＋BC ＋CAA ＋B ＋C＝A B ＋A B ＋B C ＋BC ＋C A ＋C A ＋3A B ＋A B ＋B C ＋B C ＋C A ＋C A ＋3＝1.所以AB ＋BC ＋CAA ＋B ＋C 的模长为1.[高频滚动]1.如图所示，P 为△AOB 所在平面上一点，向量OA ＝a ，OB ＝b ，且P 在线段AB 的垂直平分线上，向量OP ＝c .若|a |＝3，|b |＝2，则c ·(a －b )的值为( )A.5B.3C.52D.32解析：选C 设AB 的中点为D ，连接OD ，则c ＝OP ＝OD ＋DP ，所以c ·(a －b )＝(OD＋DP )·BA ＝OD ·BA ＋DP ·BA ＝OD ·BA ＝12(a ＋b )·(a －b )＝12(|a |2－|b |2)＝52. 2．已知O 为平面内一点，A ，B ，C 是平面内不共线的三点，且OP ＝12( OB ＋OC )＋λcos cos AB ACAB B AC C ⎛⎫ ⎪+⎪⎝⎭，λ∈(0，＋∞)，则P 点的轨迹一定过△ABC 的( ) A ．内心 B ．垂心 C ．重心 D ．外心解析：选 D 设D 点为△ABC 中BC 边的中点，则已知等式可变为OP ＝OD ＋λcos cos AB AC AB B AC C ⎛⎫ ⎪+ ⎪⎝⎭，DP ＝λcos cos AB ACAB B AC C ⎛⎫ ⎪+⎪⎝⎭，等式两边点乘向量BC 得BC ·DP ＝λcos cos AB BC AC BC AB B AC C ⎛⎫⋅⋅ ⎪+⎪⎝⎭＝λ(－|BC |＋|BC |)＝0，所以BC ⊥DP .故P 点的轨迹一定通过△ABC 的外心．。

§13.5 复 数2014高考会这样考 1.考查复数的基本概念，复数相等的条件；2.考查复数的代数形式的运算，复数的几何意义．复习备考要这样做 1.复习时要理解复数的相关概念如实部、虚部、纯虚数、共轭复数等，以及复数的几何意义；2.要把复数的基本运算作为复习的重点，尤其是复数的四则运算与共轭复数的性质等．因考题较容易，所以重在练基础．1．复数的有关概念 (1)复数的概念形如a ＋b i (a ，b ∈R )的数叫作复数，其中a ，b 分别是它的实部和虚部．若b ＝0，则a ＋b i 为实数，若b ≠0，则a ＋b i 为虚数，若a ＝0且b ≠0，则a ＋b i 为纯虚数．(2)复数相等：a ＋b i ＝c ＋d i ⇔a ＝c 且b ＝d (a ，b ，c ，d ∈R )． (3)共轭复数：a ＋b i 与c ＋d i 共轭⇔a ＝c ，b ＝－d (a ，b ，c ，d ∈R )． (4)复平面建立直角坐标系来表示复数的平面，叫作复平面．x 轴叫作实轴，y 轴叫作虚轴．实轴上的点都表示实数；除原点外，虚轴上的点都表示纯虚数；各象限内的点都表示非纯虚数．(5)复数的模向量OZ →的模r 叫作复数z ＝a ＋b i 的模，记作__|z |__或|a ＋b i|，即|z |＝|a ＋b i|＝a 2＋b 2.2．复数的几何意义 (1)复数z ＝a ＋b i复平面内的点Z (a ，b )(a ，b ∈R )．(2)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )平面向量OZ →. 3．复数的运算(1)复数的加、减、乘、除运算法则设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i (a ，b ，c ，d ∈R )，则①加法：z 1＋z 2＝(a ＋b i)＋(c ＋d i)＝(a ＋c )＋(b ＋d )i ； ②减法：z 1－z 2＝(a ＋b i)－(c ＋d i)＝(a －c )＋(b －d )i ； ③乘法：z 1·z 2＝(a ＋b i)·(c ＋d i)＝(ac －bd )＋(ad ＋bc )i ；④除法：z 1z 2＝a ＋b i c ＋d i ＝a ＋b c －dc ＋d c －d＝ac ＋bd c 2＋d 2＋bc －ad c 2＋d 2i(c ＋d i≠0)．(2)复数加法的运算定律复数的加法满足交换律、结合律，即对任何z 1、z 2、z 3∈C ，有z 1＋z 2＝z 2＋z 1，(z 1＋z 2)＋z 3＝z 1＋(z 2＋z 3)． [难点正本 疑点清源]1．对于复数z ＝a ＋b i 必须满足a 、b 均为实数，才能得出实部为a ，虚部为b .对于复数相等必须先化为代数形式才能比较实部与虚部．2．复数问题的实数化是解决复数问题的最基本也是最重要的方法，其依据是复数相等的充要条件和复数的模的运算及性质．1．i 是虚数单位，则11＋i＋i ＝________.答案 12＋12i解析 11＋i ＋i ＝1－i 2＋i ＝1＋i 2＝12＋12i.2．若复数(1＋i)(1＋a i)是纯虚数，则实数a ＝________. 答案 1解析 由(1＋i)(1＋a i)＝(1－a )＋(a ＋1)i 是纯虚数得⎩⎪⎨⎪⎧1－a ＝01＋a ≠0，由此解得a ＝1. 3．复数(3＋4i)i(其中i 为虚数单位)在复平面上对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案 B解析 由于(3＋4i)i ＝－4＋3i ，因此该复数在复平面上对应的点的坐标是(－4,3)，相对应的点位于第二象限，选B.4．(2011·浙江)把复数z 的共轭复数记作z ，i 为虚数单位．若z ＝1＋i ，则(1＋z )·z 等于( )A ．3－iB ．3＋iC ．1＋3iD ．3答案 A解析 (1＋z )·z ＝(2＋i)·(1－i)＝3－i.5．(2012·北京)设a ，b ∈R .“a ＝0”是“复数a ＋b i 是纯虚数”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件答案 B解析 当a ＝0，且b ＝0时，a ＋b i 不是纯虚数；若a ＋b i 是纯虚数，则a ＝0. 故“a ＝0”是“复数a ＋b i 是纯虚数”的必要而不充分条件.题型一 复数的概念例1 (1)已知a ∈R ，复数z 1＝2＋a i ，z 2＝1－2i ，若z 1z 2为纯虚数，则复数z 1z 2的虚部为( )A ．1B ．iC.25D ．0(2)若z 1＝(m 2＋m ＋1)＋(m 2＋m －4)i(m ∈R )，z 2＝3－2i ，则“m ＝1”是“z 1＝z 2”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件思维启迪：(1)若z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则b ＝0时，z ∈R ；b ≠0时，z 是虚数；a ＝0且b ≠0时，z 是纯虚数．(2)直接根据复数相等的条件求解． 答案 (1)A (2)A解析 (1)由z 1z 2＝2＋a i1－2i ＝＋a＋5＝2－2a 5＋4＋a5i 是纯虚数，得a ＝1，此时z 1z 2＝i ，其虚部为1.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m ＋1＝3m 2＋m －4＝－2，解得m ＝－2或m ＝1，所以“m ＝1”是“z 1＝z 2”的充分不必要条件．探究提高 处理有关复数的基本概念问题，关键是找准复数的实部和虚部，从定义出发，把复数问题转化成实数问题来处理．(1)若复数z ＝(x 2－1)＋(x －1)i 为纯虚数，则实数x 的值为( )A ．－1B ．0C ．1D ．－1或1(2)设复数z 满足z (2－3i)＝6＋4i(i 为虚数单位)，则z 的模为________． 答案 (1)A (2)2解析 (1)由复数z 为纯虚数，得⎩⎪⎨⎪⎧x 2－1＝0x －1≠0，解得x ＝－1，故选A.(2)方法一 ∵z (2－3i)＝6＋4i ，∴z ＝6＋4i 2－3i ＝26i 13＝2i ，∴|z |＝2.方法二 由z (2－3i)＝6＋4i ，得z ＝6＋4i2－3i .则|z |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪6＋4i 2－3i ＝|6＋4i||2－3i|＝62＋4222＋－2＝2. 题型二 复数的运算例2 已知z 1，z 2为复数，(3＋i)z 1为实数，z 2＝z 12＋i，且|z 2|＝52，求z 2.思维启迪：两种思路解此类问题：一是设出z 1、z 2，然后代入解方程；二是利用整体代换的思想求解． 解 z 1＝z 2(2＋i)，(3＋i)z 1＝z 2(2＋i)(3＋i)＝z 2(5＋5i)∈R ， ∵|z 2|＝52， ∴|z 2(5＋5i)|＝50，∴z 2(5＋5i)＝±50，∴z 2＝±505＋5i ＝±101＋i＝±(5－5i)．探究提高 复数的综合运算中会涉及模、共轭及分类等，求z 时要注意是把z 看作一个整体还是设为代数形式应用方程思想；当z 是实数或纯虚数时注意常见结论的应用．(1)已知复数z ＝3＋i－32，z 是z 的共轭复数，则z ·z ＝________. (2)复数－1＋351＋3i的值是________．(3)已知复数z 满足iz ＋i＝2－i ，则z ＝__________. 答案 (1)14 (2)－16 (3)－15－35i解析 (1)方法一 |z |＝|3＋i|－32|＝12， z ·z ＝|z |2＝14.方法二 z ＝3＋i －＋3＝－34＋i 4， z ·z ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－34＋i 4⎝ ⎛⎭⎪⎫－34－i 4＝14.(2)－1＋351＋3i＝25⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i 52⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋32i＝24·－12－32i 12＋32i ＝－16.(3)由iz ＋i ＝2－i ，得z ＝i 2－i －i ＝＋5－i ＝25i －15－i ＝－15－35i.题型三 复数的几何意义例3 如图所示，平行四边形OABC ，顶点O ，A ，C 分别表示0,3＋2i ，－2＋4i ，试求：(1)AO →、BC →所表示的复数；(2)对角线CA →所表示的复数； (3)求B 点对应的复数．思维启迪：结合图形和已知点对应的复数，根据加减法的几何意义，即可求解．解 (1)AO →＝－OA →，∴AO →所表示的复数为－3－2i. ∵BC →＝AO →，∴BC →所表示的复数为－3－2i. (2)CA →＝OA →－OC →，∴CA →所表示的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i. (3)OB →＝OA →＋AB →＝OA →＋OC →， ∴OB →所表示的复数为(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i ， 即B 点对应的复数为1＋6i.探究提高 根据复平面内的点、向量及向量对应的复数是一一对应的，要求某个向量对应的复数，只要找出所求向量的始点和终点，或者用向量相等直接给出结论．已知z 是复数，z ＋2i 、z2－i均为实数(i 为虚数单位)，且复数(z ＋a i)2在复平面内对应的点在第一象限，求实数a 的取值范围． 解 设z ＝x ＋y i(x 、y ∈R )，∴z ＋2i ＝x ＋(y ＋2)i ，由题意得y ＝－2.∵z2－i ＝x －2i 2－i ＝15(x －2i)(2＋i) ＝15(2x ＋2)＋15(x －4)i ， 由题意得x ＝4.∴z ＝4－2i.∵(z ＋a i)2＝(12＋4a －a 2)＋8(a －2)i ，根据条件，可知⎩⎪⎨⎪⎧12＋4a －a 2>0a －，解得2<a <6，∴实数a 的取值范围是(2,6)．解决复数问题的实数化思想典例：(12分)已知x ，y 为共轭复数，且(x ＋y )2－3xy i ＝4－6i ，求x ，y .审题视角 (1)x ，y 为共轭复数，可用复数的基本形式表示出来；(2)利用复数相等，将复数问题转化为实数问题． 规范解答解 设x ＝a ＋b i (a ，b ∈R )，则y ＝a －b i ，x ＋y ＝2a ，xy ＝a 2＋b 2，[3分] 代入原式，得(2a )2－3(a 2＋b 2)i ＝4－6i ，[5分] 根据复数相等得⎩⎪⎨⎪⎧ 4a 2＝4－a 2＋b 2＝－6，[7分]解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1b ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1b ＝－1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1b ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1b ＝－1.[9分]故所求复数为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋i y ＝1－i 或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－i y ＝1＋i 或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋iy ＝－1－i 或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1－iy ＝－1＋i .[12分]温馨提醒 (1)复数问题要把握一点，即复数问题实数化，这是解决复数问题最基本的思想方法．(2)本题求解的关键是先把x 、y 用复数的形式表示出来，再用待定系数法求解．这是常用的数学方法．(3)本题易错原因为想不到利用待定系数法，或不能将复数问题转化为实数方程求解.方法与技巧1．复数的代数形式的运算主要有加、减、乘、除及求低次方根．除法实际上是分母实数化的过程．2．在复数的几何意义中，加法和减法对应向量的三角形法则的方向是应注意的问题，平移往往和加法、减法相结合．3．要记住一些常用的结果，如i 、－12＋32i 的有关性质等，可简化运算步骤提高运算速度． 失误与防范1．判定复数是实数，仅注重虚部等于0是不够的，还需考虑它的实部是否有意义． 2．对于复系数(系数不全为实数)的一元二次方程的求解，判别式不再成立．因此解此类方程的解，一般都是将实根代入方程，用复数相等的条件进行求解． 3．两个虚数不能比较大小．4．利用复数相等a ＋b i ＝c ＋d i 列方程时，注意a ，b ，c ，d ∈R 的前提条件． 5．z 2<0在复数范围内有可能成立，例如：当z ＝3i 时z 2＝－9<0.A 组 专项基础训练 (时间：35分钟，满分：57分)一、选择题(每小题5分，共20分)1．(2012·广东)设i 为虚数单位，则复数5－6ii 等于( ) A ．6＋5i B ．6－5i C ．－6＋5iD ．－6－5i答案 D解析 5－6i i＝－i2＝－(5i －6i 2)＝－(5i ＋6)＝－6－5i ，故选D.2．(2012·山东)若复数z 满足z (2－i)＝11＋7i(i 为虚数单位)，则z 为( ) A ．3＋5i B ．3－5i C ．－3＋5iD ．－3－5i答案 A解析 ∵z (2－i)＝11＋7i ，∴z ＝11＋7i 2－i ＝＋＋－＋＝15＋25i5＝3＋5i. 3．(2012·福建)若复数z 满足z i ＝1－i ，则z 等于( ) A ．－1－iB ．1－iC ．－1＋iD ．1＋i答案 A解析 方法一 由z i ＝1－i 得z ＝1－i i ＝1i －1＝－1－i.方法二 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，由z i ＝1－i ， 得(a ＋b i)i ＝1－i ，即－b ＋a i ＝1－i.由复数相等的充要条件得⎩⎪⎨⎪⎧ －b ＝1，a ＝－1，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－1.∴z ＝－1－i. 4．若a1－i＝1－b i ，其中a ，b 都是实数，i 是虚数单位，则|a ＋b i|等于( ) A. 5B. 2C. 3D ．1答案 A解析 由a1－i ＝1－b i 得a ＝2，b ＝－1，所以a ＋b i ＝2－i ，所以|a ＋b i|＝ 5.所以选A.二、填空题(每小题5分，共15分)5．(2012·上海)计算：3－i1＋i＝________(i 为虚数单位)．答案 1－2i解析 3－i 1＋i＝－－＋－＝2－4i2＝1－2i. 6．(2012·江苏)设a ，b ∈R ，a ＋b i ＝11－7i1－2i(i 为虚数单位)，则a ＋b 的值为________．答案 8 解析 ∵11－7i1－2i＝－＋－＋＝15(25＋15i)＝5＋3i ， ∴a ＝5，b ＝3.∴a ＋b ＝8.7．已知复数z 满足1＋2iz＝1－2i ，则复数z ＝____________.答案 －35＋45i解析 z ＝1＋2i1－2i＝＋2－＋＝－3＋4i 5＝－35＋45i.三、解答题(共22分)8．(10分)(2011·上海)已知复数z 1满足(z 1－2)(1＋i)＝1－i(i 为虚数单位)，复数z 2的虚部为2，且z 1·z 2是实数，求z 2. 解 (z 1－2)(1＋i)＝1－i ⇒z 1＝2－i. 设z 2＝a ＋2i ，a ∈R ，则z 1·z 2＝(2－i)(a ＋2i)＝(2a ＋2)＋(4－a )i.∵z 1·z 2∈R ，∴a ＝4.∴z 2＝4＋2i.9．(12分)复数z 1＝3a ＋5＋(10－a 2)i ，z 2＝21－a ＋(2a －5)i ，若z 1＋z 2是实数，求实数a的值．解 z 1＋z 2＝3a ＋5＋(a 2－10)i ＋21－a＋(2a －5)i ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3a ＋5＋21－a ＋[(a 2－10)＋(2a －5)]i ＝a －13a ＋a －＋(a 2＋2a －15)i.∵z 1＋z 2是实数，∴a 2＋2a －15＝0，解得a ＝－5或a ＝3.又(a ＋5)(a －1)≠0，∴a ≠－5且a ≠1，故a ＝3.B 组 专项能力提升 (时间：25分钟，满分：43分)一、选择题(每小题5分，共15分)1．(2012·湖北)方程x 2＋6x ＋13＝0的一个根是 ( )A ．－3＋2iB ．3＋2iC ．－2＋3iD ．2＋3i答案 A解析 方法一 x ＝－6±36－522＝－3±2i，故应选A.方法二 令x ＝a ＋b i ，a ，b ∈R ，∴(a ＋b i)2＋6(a ＋b i)＋13＝0， 即a 2－b 2＋6a ＋13＋(2ab ＋6b )i ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 2－b 2＋6a ＋13＝0，2ab ＋6b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝±2，即x ＝－3±2i，故应选A.2．设f (n )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－i 1＋i n (n ∈N *)，则集合{f (n )}中元素的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．无数个答案 C解析 f (n )＝⎝⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－i 1＋i n ＝i n ＋(－i)n ，f (1)＝0，f (2)＝－2，f (3)＝0，f (4)＝2，f (5)＝0，…∴集合中共有3个元素．3．对任意复数z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，i 为虚数单位，则下列结论正确的是 ( ) A ．|z －z |＝2y B ．z 2＝x 2＋y 2C ．|z －z |≥2xD ．|z |≤|x |＋|y |答案 D解析 ∵z ＝x －y i(x ，y ∈R )，|z －z |＝|x ＋y i －x ＋y i|＝|2y i|＝|2y |，∴A 不正确；对于B ，z 2＝x 2－y 2＋2xy i ，故不正确；∵|z －z |＝|2y |≥2x 不一定成立，∴C 不正确； 对于D ，|z |＝x 2＋y 2≤|x |＋|y |，故D 正确． 二、填空题(每小题5分，共15分)4．(2012·湖南)已知复数z ＝(3＋i)2(i 为虚数单位)，则|z |＝________. 答案 10解析 方法一 ∵z ＝(3＋i)2，∴|z |＝|(3＋i)2|＝|3＋i|2＝10. 方法二 ∵z ＝(3＋i)2＝9＋6i ＋i 2＝8＋6i ， ∴|z |＝82＋62＝10.5．(2011·江苏)设复数z 满足i(z ＋1)＝－3＋2i(i 为虚数单位)，则z 的实部是________． 答案 1解析 设z ＝a ＋b i(a 、b ∈R )，由i(z ＋1)＝－3＋2i ， 得－b ＋(a ＋1)i ＝－3＋2i ，∴a ＋1＝2，∴a ＝1.6．已知复数z ＝x ＋y i ，且|z －2|＝3，则yx的最大值为________． 答案3解析 ∵|z －2|＝x －2＋y 2＝3，∴(x －2)2＋y 2＝3.由图可知⎝ ⎛⎭⎪⎫y x max ＝31＝ 3. 三、解答题7．(13分)已知复数z ，且|z |＝2，求|z －i|的最大值，以及取得最大值时的z . 解 方法一 设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，∵|z|＝2，∴x2＋y2＝4，|z－i|＝|x＋y i－i|＝|x＋(y－1)i|＝x2＋y－2＝－y2＋y－2＝5－2y.∵y2＝4－x2≤4，∴－2≤y≤2.故当y＝－2时，5－2y取得最大值9，从而5－2y取得最大值3，此时x＝0，即|z－i|取得最大值3时，z＝－2i.方法二类比实数绝对值的几何意义，可知方程|z|＝2表示以原点为圆心，以2为半径的圆，而|z－i|表示圆上的点到点A(0,1)的距离．如图，连接AO并延长与圆交于点B(0，－2)，显然根据平面几何的知识可知，圆上的点B到点A的距离最大，最大值为3，即当z＝－2i时，|z－i|取最大值3.。

聚焦复数中的创新题由于高考强化能力立意，因此创新试题不断出现，在复数这一单元也不例外．下面例析复数中创新情景题，以开阔同学们视野和思维．一、“符号”创新题例1 我们用符号i e θ表示复数cos θ＋i sin θ，即i e θ＝cos θ＋i sin θ (其中e ＝2.718…是自然对数的底数，θ的单位是弧度)，则①222i e i π=；②sin 2i i e e θθθ-+=；③10i e π+=．其中正确的式子序号是( ) (A) ① (B) ①② (C) ①③ (D) ②③分析：关键是理解规定符号i e θ的含义，实质上就是复数的三角形式，可把每一个式子都化为三角形式，再利用特殊角的三角函数值即可解决．解：由i e θ＝cos θ＋i sin θ，则 ①222(cos sin )2(01)222i e i i i πππ=+=+⨯=，故①正确； ②cos sin cos()sin()cos sin 22i i e e i i θθθθθθθθ-+++-+-==≠，故②错误； ③1cos sin 0i e i πππ+=+=，故③正确．综上所述，其中正确的序号为①、③，故选(C)．评注：高中课本中虽然对复数的三角形式没有要求，其实它的加法仍可按向量的三角形法则及平行四边形法则进行计算，三角运算时需运用到三角知识，要避免运算出错．二、“运算”创新题例2 已知1z ，2z 是复数，定义复数的一种运算“⊗”为：1122121212(||||)(||||)z z z z z z z z z z ⎧>⎪⊗=⎨⎪-≤⎩，当13z i =-，223z i =--时，12z z ⊗＝( ) (A) 5＋2i (B) 1＋2i (C) 9＋7i (D) 1－4i分析：掌握新运算是利用复数的模的大小来定义，可先算出|z 1|，|z 2|，比较出大小，再利用新运算，得到应是它们的“商”还是“差”，再利用复数的运算法则．解：由复数模的定义，知|z 1|=，|z 2|＝=，则|z 1|＜|z 2|，由新“运算”法则，得12z z ⊗＝12z z -＝(3－i )－(－2－3i )＝5＋2i ，故选(A)．评注：给出一个新“运算”，让学生自主运用此“运算”法则解题，在各类各级考试中层出不穷，但不会很难，关键是自主学习新定义的能力及理解能力．三、“推广”创新题例3 若,a b 为非零实数，则下列四个命题都成立： ①10a a+≠； ②()2222a b a ab b +=++； ③若a b =，则a b =±； ④若2a ab =，则a b =．则对于任意非零复数,a b ，上述命题仍然成立的序号是_____。