高一数学 第八章 平面向量
第一讲 向量的概念与线性运算 一．【要点精讲】 1．向量的概念
①向量：既有大小又有方向的量。几何表示法AB u u u r ，a
；坐标表示法),(y x j y i x a 。
向量的模（长度），记作|AB u u u r |.即向量的大小，记作｜a
|。向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小.
②零向量：长度为0的向量，记为0
，其方向是任意的，规定0r 平行于任何向量。（与0的区别）
③单位向量｜
a ｜＝1。④平行向量（共线向量）方向相同或相反的非零向量，记作a ∥b
⑤相等向量记为b a 。大小相等，方向相同
),(),(2211y x y x 2121y y x x 2．向量的运算（1）向量加法：求两个向量和的运算叫做向量的加法.如图，已知向量a ，b ，在平面内任
取一点A ，作AB u u u r
a ，BC u u u r
b ，则向量AC 叫做a 与b 的和，记作a+b ，即 a+b AB BC AC u u u r u u u r u u u r
特殊情况：
a
b
a
b a+b
b
a
a+b
(1)
平行四边形法则三角形法则C
B
D
C
B
A
A
向量加法的三角形法则可推广至多个向量相加：
AB BC CD PQ QR AR u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r
L ，但这时必须“首尾相连”。②向量减法： 同一个图中画出
a b a b r r r r 、
要点:向量加法的“三角形法则”与“平行四边形法则”（1）用平行四边形法则时，两个已知向量是要共始点的，和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线，而差向量是另一条对角线，方向是从减向量指向被减向量。（2） 三角形法则的特点是“首尾相接”，由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和；差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点.（3）实数与向量的积
3．两个向量共线定理：向量b 与非零向量a
共线 有且只有一个实数 ，使得b =a 。 二．【典例解
析】
题型一： 向量及与向量相关的基本概念概念 例1判断下列各命题是否正确
(1)零向量没有方向 (2)b a 则,
(3)单位向量都相等 (4) 向量就是有向线段
(5)两相等向量若共起点,则终点也相同 (6)若b a ，c b ，则c a ； (7)若b a //，c b //，则c a // (8) b a 的充要条件是||||b a 且b a //；
(9) 若四边形ABCD 是平行四边形,则
,A
练习. (四川省成都市一诊)在四边形ABCD 中，“AB →＝2DC →
”是“四边形ABCD 为梯形”的 A 、充分不必要条件
B 、必要不充分条件
C 、充要条件
D 、既不充分也不必要条件
题型二: 考查加法、减法运算及相关运算律 例2 化简)()( =
练习1.下列命题中正确的是
A ．OA O
B AB u u u r u u u r u u u r B ．0AB BA u u u r u u u r
C ．00AB r u u u r r
D ．AB BC CD AD u u u r u u u r u u u r u u u r
2.化简AC u u u r BD u u u r CD u u u r AB u u u r
得
A ．A
B u u u r
B ．
C ．
D ．0r
3．如图，D 、E 、F 分别是△ABC 的边AB 、BC 、CA 的中点，则( ) A.AD →＋BE →＋CF →＝0 B.BD →－CF →＋DF →
＝0 C.AD →＋CE →－CF →＝0 D.BD →－BE →－FC →＝0 题型三: 结合图型考查向量加、减法 例3在ABC 所在的平面上有一点P ，满足
PA PB PC AB u u u r u u u r u u u r u u u r
，则PBC 与ABC 的面积之比是
( )
A ．13
B ．12
C ．23
D ．34
例4重心、垂心、外心性质
CB →
练习: 1．如图，在ΔABC 中，D 、E 为边AB 的两个三等分点，CA →
=3a ，=2b ，求CD → ，CE →
． 2已知
a b a b
r r r r =求证a b r r
3若O 为ABC 的内心，且满足
()(2)0OB OC OB OC OA u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r
，
则
ABC 的形状为（ ）
A.等腰三角形
B.正三角形
C.直角三角形
D.钝角三角形
A
B
C
D
E
4．已知O 、A 、B 是平面上的三个点，直线AB 上有一点C ，满足2AC →＋CB →＝0，则OC →
＝( ) A ．2OA →－OB → B ．－OA →＋2OB →
C.23OA →－13OB → D ．－13OA →＋23OB → 5．已知平面上不共线的四点O ，A ，B ，C .若OA →－3OB →＋2OC →
＝0，则|AB →||BC →|等于________．
6．已知平面内有一点P 及一个△ABC ，若PA →＋PB →＋PC →＝AB →
，则( )
A ．点P 在△ABC 外部
B ．点P 在线段AB 上
C ．点P 在线段BC 上
D ．点P 在线段AC 上
7．在△ABC 中，已知D 是AB 边上一点，若AD →＝2DB →，CD →＝13CA →＋λCB →
，则λ等于( ) A.23 B.13 C ．－13 D ．－23 题型四: 三点共线问题
例4 设21,e e 是不共线的向量,已知向量2121212,3,2e e CD e e CB e k e AB ,若A,B,D 三点共
线,求k 的值
例5已知A 、B 、C 、P 为平面内四点， A 、B 、C 三点在一条直线上 PC → =mPA → +nPB →
，求证： m+n=1． 练习：1．已知：212121
2CD ,B C ),(3e e e e e e AB ，则下列关系一定成立的是（ ）
A 、A ，
B ，
C 三点共线 B 、A ，B ，
D 三点共线 C 、C ，A ，D 三点共线 D 、B ，C ，D 三点共线
2．(原创题)设a ，b 是两个不共线的向量，若AB →＝2a ＋k b ，CB →＝a ＋b ，CD →
＝2a －b ，且A ，B ，D 三点共线，则实数k 的值等于________． 第2讲 平面向量的基本定理与坐标表示
一．【要点精讲】1．平面向量的基本定理如果21,e e 是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内
的任一向量a ，有且只有一对实数21, 使：
2211e e a 其中不共线的向量21,e e 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底. 2．平面向量的坐标表示
如图，在直角坐标系内，我们分别取与x 轴、y 轴方向相同的_单位向量_ i r 、j r
作为基底任作一个
向量a r ，有且只有一对实数x 、y ，使得a xi yj r …………○1，把),(y x 叫做向量a r 的（直角）坐标，
记作(,)a x y r …………○2其中x 叫做a r 在x 轴上的坐标，y 叫做a r
在y 轴上的坐标，○2式叫做向量的坐
标表示
与a r
相等的向量的坐标也为,(y x 特别地，
(1,0)i r ，(0,1)j r ，
0(0,0) r
