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怀化市中小学课程改革教育质量监测试卷 2015年高三第三次模考 理科数学命题人：怀化三中 蒋晖林 审题人：王 杏、刘 华、丁亚玲、张理科试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分. 时量：120分钟.第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共计50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请把正确答案的代号填在答题卡上. 1．已知集合},3,1{2m A =，},1{m B =．若A B ⊆，则m 的值为 A ．0 B ．1或3 C ．0或3 D ．0或1或3 2．若某几何体的三视图如图所示，则此几何体的侧面积是 A ．π12 B ．π15 C ．π24 D ．π30 3．下列函数中，既是奇函数，又在),(+∞-∞上为增函数的是 A. xy 3= B. xy 1=C. 3y x = D.x y tan = 4．某医疗研究所为了检验某种血清能起到预防感冒的作用，把500名使用血清的人与另外500名未用血清的人一年中的感冒记录作比较，利用2×2列联表计算得918.32≈k 。
则作出“这种血清能起到预防感冒的作用”出错的可能性不超过 A. %95 B. %5 C. %5.97 D.%5.2 5．设函数)32sin()(π+=x x f 的图象为M ，下面结论中正确的是A.图象M 可由x y 2sin =的图象向左平移6π个单位得到 B ．函数()f x 的最小正周期是π4 C ．图像M 关于直线3π=x 对称D ．函数)(x f y =在区间)6,65(ππ-上是增函数 6. 有下列四个命题,其中正确命题的个数是①.“2x ∀≥，2320x x -+≥”的否定．．是“20<∃x ，使023020<+-x x ”. ②. 已知0>a 且1≠a ，则“0log >b a ”是“0)1)(1(>--b a ”的充要条件. ③. 采用系统抽样法从某班按学号抽取5名同学参加活动，若已知学号为5,16,38,49的同学被选出，则被选出的另一个同学的学号为27.④.某学校决定从高三800名学生中利用随机数表法抽取50人进行调研，先将800人按001,002，…,800进行编号；如果从第8行第7列的数开始从左向右读，则最先抽取到的两个人的编号依次为165,538（下面摘取了随机数表中第7行至第9行）（第2题图）8442 1753 3157 2455 0688 7704 7447 6721 7633 5026 83926301 5316 5916 9275 3862 9821 5071 7512 8673 5807 44391326 3321 1342 7864 1607 8252 0744 3815 0324 4299 7931A. 1个B. 2个C. 3个D.4个7. 北京某小学组织6个年级的学生外出参观包括甲博物馆在内的6个博物馆，每个年级任选一个博物馆参观，则有且只有两个年级选择甲博物馆的方案有A．2465A A⨯种 B.246A5⨯种 C.2465C A⨯种 D.246C5⨯8.ABC∆的外接圆圆心为O,半径为2，0=++ACABOA,OA AB=,CBCA方向上的投影为A.3- B.3- C.3 D.39.执行如右图所示的程序框图，输出的S值为A．252(41)3- B．262(41)3-C．5021- D．5121-10．已知函数34)(2+-=xxxf,集合{}0)()(),(≤+=yfxfyxM，集合{}0)()(),(≥-=yfxfyxN，则集合M N的面积为A.4πB.2πC. πD.23π第Ⅱ卷（非选择题共100分）二、填空题:本大题共6小题，考生作答5小题，每小题5分，共25分.把答案填在答题卡上的相应横线上.（一）选作题（请考生在11、12、13三题中任选2题作答，如果全做，则按前2题记分）11. 如图，ABC∆内接于⊙O，点D在OC的延长线上，AD与⊙O相切，割线DM与⊙O相交于点M、N，若30=∠B，1=AC，则DNDM⨯= .12. 函数)0(1213)(2>++=xxxxf的最小值为 .13. 在极坐标系中，直线sin(24πρθ+=被圆=4ρ截得的弦长为 .（二）必做题（14~16题）14.复数iiz++=142，则||z= .15. 如图，在平面直角坐标系xoy中，将直线2xy=与直线1x=及x轴所围成的图形（阴影部分）绕x轴旋转一周得到一个圆锥，圆锥的体积12()2xV dx=⎰π圆锥31.1212x==ππ据此类比：将曲线2(0)y x x =≥与直线2y =及y 轴所围成的图形（阴影部分）绕y 轴旋转一周得到一个旋转体，该旋转体的体积V = .16.已知函数()⎪⎩⎪⎨⎧<≥=0,0,3x e x x f x x ，若对任意的[]12,31--∈a a x ，不等式[]≥-+x x a f )1([]a x f )(恒成立，则实数a 的取值范围是 .三、解答题：本大题共6小题，共75分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．(本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy 中，设锐角α的始边与x 轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点11(,)P x y ，将射线OP 绕坐标原点O 按逆时针方向旋转2π后与单位圆交于点22(,)Q x y .记12()f y y α=+.(Ⅰ)求函数()f α的值域；(Ⅱ)设ABC ∆的角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若()f C =，且a =，1c =，求b .18．（本小题满分12分）某省气象部门为了有效缓解近期的持续高温天气，拟进行人工降雨，为了达到理想效果，首先在电脑上进行人工降雨模拟试验，准备用,,A B C 三种人工降雨方式分别对甲、乙、丙三地实施人工降雨，其试验数据统计如下： 方式 实施地点 大雨 中雨 小雨 模拟试验总次数 A 甲 4次 6次 2次 12次 B 乙 3次 6次 3次 12次 C 丙 2次 2次 8次 12次 假设甲、乙、丙三地实施的人工降雨彼此互不影响. （Ⅰ）求甲、乙两地恰为中雨且丙为小雨的概率；（Ⅱ）考虑到旱情和水土流失，如果甲恰需中雨即能达到理想状态，乙必须是大雨才能达到理想状态，丙是小雨或中雨就能达到理想状态，求降雨量达到理想状态的地方个数的概率分布与期望.19. （本小题满分12分） 如图，直角梯形ABCD 中，CD AB //，BC AB ⊥，1=AB ，2=BC ，21+=CD ，过A 作CD AE ⊥，垂足为E ；F 、G 分别是CE 、AD 的中点. 现将ADE ∆沿AE 折起，使二面角C AE D --的平面角为135． （Ⅰ）求证：平面⊥DCE 平面ABCE ；DA B CE F G ∙∙（Ⅱ）求直线FG 与面DCE 所成角的正弦值．20. （本小题满分13分）设),(11y x A ，),(22y x B 是函数xxx f -+=1log 21)(2的图象上任意两点，P 是AB 中点，且P 的横坐标为21． （Ⅰ）求证：P 点的纵坐标为定值； （Ⅱ）若n S ＝)1()2()1(nn f nf nf -+⋯++，*∈N n ，且n ≥2，求n S ．21. (本小题满分13分)已知椭圆222:1x y aγ+=（常数1a >）的左顶点为R ，点(,1),(,1)A a B a -，O 为坐标原点．（Ⅰ）若P 是椭圆γ上任意一点，OP mOA nOB =+，求22m n +的值； （Ⅱ）设1122(,),(,)M x y N x y 是椭圆γ上的两个动点，满足OMON OA OB k k k k ⋅=⋅，试探究OMN ∆的面积是否为定值，说明理由．22. (本小题满分13分)已知a R ∈，函数()ln 1af x x x=+-，()(ln 1)x g x x e x =-+． （Ⅰ）求函数()f x 在区间(0,]e 上的最小值；（Ⅱ）是否存在实数0(0,]x e ∈，使曲线()y g x =在点0x x =处的切线与y 轴垂直？若存在，求出0x 的值，若不存在，请说明理由；（Ⅲ）求证：*11111(1)ln[(1)(2)]()ln ()234!n n k e k k k n n N n n =++++⋅++>-⋅∈∑怀化市中小学课程改革教育质量监测试卷2015年高三二模 理科数学参考答案一、选择题二、填空题 11、；12、6； 13、[]2,5-；14、 8 ；15、6-； 16、(13,49). 三、解答题17解：（Ⅰ）因为()()sin ,cos cos )22o (s x x x f x a x b ωωωω→→=-=⋅⋅- 2sin cos s 2o x x x ωωω-= 21sin 12)222x x ωω++-=sin(32)x πω+= ……………………… 2分由()f x 的周期为π得 1ω=，即()sin 2)3(x f x π=+ ………… 4分由22(23)22x k k k Z πππππ+≤-≤+∈解得5()126x k k k Z ππππ-≤+∈≤， 所以()f x 的单调增区间为,5[]()126k k Z k ππππ-+∈ ………………… 6分 （Ⅱ）由已知bc a c b 3222+=+及余弦定理2222cos a b c bc A =+-可知cos A =………………… 8分 因为(0,)A π∈， 所以6A π=………………… 10分所以 ()()s i 3n 62f A f ππ===………………… 12分18解：（Ⅰ）至少有一名女同学的概率为310361C C -.65611=-= …………… 4分（Ⅱ）同学甲被选中的概率为,10331029=C C则同学甲被选中且通过测试的概率为0.3×0.7=0.21 ………… 8分（Ⅲ）根据题意，ξ的可能取值为0、1、2、3，31)0(31034===C C P ξ，103)1(3102416===C C C P ξ， 21)2(3101426===C C C P ξ 61)3(31036===C C P ξ所以，ξ的分布列为：8.161321210313010)(=⨯+⨯+⨯+⨯=ξE …………… 12分 19解法1：（Ⅰ）延长B 1E 交F ，11B EC ∆∽△FEB ，BE1， ∴BF 1C 1，从而点F 为BC ∵G 为△ABC 的重心， ∴A 、G 、F 三点共线． 又GE ⊄侧面AA 1B 1B ， ∴GE //侧面AA 1B 1B （Ⅱ）在侧面AA 1B 1B 内，过B 1作B 1H ⊥AB ，垂足为H ，∵侧面AA 1B 1B ⊥底面ABC ， ∴B 1H ⊥底面ABC ． 又侧棱AA 1与底面ABC 成60°1=2，∴∠B 1BH =60°，BH =1，B 1H在底面ABC 内，过H 作HT ⊥AF T ，连B 1T ，由三垂线定理有B 1T ⊥AF ， 又平面B 1CE∴AH =AB +BH =3在Rt △B 1HT 从而平面B 1GE …………… 12分解法2：（Ⅰ）∵侧面111成60°的角，∴∠A 1AB =60°，又AA 1=AB =2，取AB 的中点O ，则AO ⊥底面ABC ．13BE BC =，∴⎝⎭∴310,1,CE AB ⎛⎫== ⎪ ⎪．AA 1B 1B ．（Ⅱ）设平面B 1GE 的法向量为(,,)a b c =n ，则由10,0.B E GE ⋅=⋅=得又底面ABC 设平面B 1GE 与底面ABC 由于θ为锐角，所以故平面B 1GE 与底面ABC 20解：（Ⅰ）因为 1112233(21)33a 4n n n n b a b a b a b +-+++++=…，当2n ≥时，11223311(23)33a 4n n n n b a b a b a b ---+++++=…，两式相减，得 3nn n a b n =⋅（2n ≥），又当1n =时，11a 3b =，适合上式，从而3nn n a b n =⋅（n N +∈） …………… 5分（Ⅱ）因为数列{b }n 的首项为3，公比为3，故3nn b =，n a n =，所以1111(1)23(1)2n a n n n n n n c b λλ+--+=+-⋅=+-⋅．因为对任意的n N +∈，都有1n n c c +>成立， 即12113(1)23(1)2n n n n n n λλ++-++-⋅>+-⋅恒成立，化简得 113(1)()32n n λ--<⋅ …………… 9分当n 为奇数时，13()32n λ<⋅恒成立，所以113()32λ<⋅，即12λ<， 当n 为偶数时，13()()32n λ>-⋅恒成立，所以213()()32λ>-⋅，即34λ>-，综合可得31(,)42λ∈- …………… 13分21解：（Ⅰ）已知(,0)2p F ，则过点F 且斜率为1的直线方程为2py x =-． 联立222p y x y px⎧=-⎪⎨⎪=⎩消去y 得： 22304p x px -+=， 设()1122(,),,M x y N x y ，则 123x x p +=， 所以 |MN |=124x x p p ++==4， 解得p=1．所以抛物线Γ的方程为22y x = ………………………… 5分 （Ⅱ）设000(,)(0),(0,),(0,)P x y x B b C c ≠，不妨设b>c ，直线PB 的方程为 00y by b x x --=， 化简得 000()0y b x x y x b --+=，又圆心（1,0）到直线PB 的距离为1，故1=，即22222000000()()2()y b x y b x b y b x b -+=-+-+， 不难发现02x >，上式又可化为2000(2)20x b y b x -+-=，同理有2000(2)20x c y c x -+-=， 所以b ，c 可以看做关于t 的一元二次方程2000(2)20x t y t x -+-=的两个实数根，则00002,(2)(2)y x b c bc x x --+==--，所以 ()2222000204(2)()4(2)x y x b c b c bc x +--=+-=- 因为点00(,)P x y 是抛物线Γ上的点，所以2002y x =，则22204()(2)x b c x -=-，又02x >，所以0022x b c x -=-． 所以20000014()248222PBCx S b c x x x x ∆=-==-++≥--， 当且仅当04x =时取等号，此时0y =±，所以PBC ∆面积的最小值为8 ………………………… 13分22解：（Ⅰ）'11()((0,))mxf x m x x x-=-=∈+∞， 当0m ≤时，'()0f x >恒成立，则函数()f x 在(0,)+∞上单调递增， 此时函数()f x 的单调递增区间为(0,)+∞，无单调递减区间；当0m >时，由'11()0mx f x m x x-=-=>，得1(0,)x m ∈，由'11()0mx f x m x x -=-=<，得1(,)x m∈+∞，此时()f x 的单调递增区间为1(0,)x m ∈，单调递减区间为1(,)m+∞ …………… 4分（Ⅱ）由（Ⅰ）知：当m ≤0时，f （x ）在(0,)+∞上递增，f （1）=0，显然不成立；当m ＞0时，max 11()()ln 1ln 1f x f m m m m m==-+=-- 只需ln 10m m --≤即可， 令()ln 1g x x x =--， 则'11()1x g x x x-=-=，(0,)x ∈+∞ 得函数()g x 在（0,1）上单调递减，在(1,)+∞上单调递增． ∴min ()(1)0g x g ==()0g x ≥对(0,)x ∈+∞恒成立，也就是ln 10m m --≥对(0,)m ∈+∞恒成立，∴ln 10m m --=，解1m =，∴若()0f x ≤在(0,)x ∈+∞上恒成立，则1m = …………… 8分（Ⅲ）证明：ln()()ln ln ln ln 1111b f b f a b a a b b a a b b a b a b a a a--+--==-=⋅-----，由（Ⅱ）得()0f x ≤在(0,)x ∈+∞上恒成立，即ln 1x x ≤-，当且仅当1x =时去等号，又由0a b <<得1ba>， 所以有 0ln 1b b a a <<-， 即ln11ba b a<-．则2ln1111111(1)(1)1ba aab a a a a a a aa--⋅-<-==<++-，则原不等式()()1(1)f b f ab a a a-<-+成立……………13分。
注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号写在答题卡上。
2．考生作答时，选择题和综合题均须做在答题卡上，在本试卷上答题无效。
考生在答题卡上按答题卡中注意事项的要求答题。
3．考试结束后，将答题卡收回。
4．本试题卷共4页，如有缺页，考生须声明，否则后果自负。
湖南省怀化市中小学课程改革教育质量监测2015届高三上期中考试数学理试题试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分. 时量：120分钟.第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共计50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请把正确答案的代号填在答题卡上.1. 已知全集{}5,4,3,2,1=U ,集合}3,2,1{=A ,}4,2{=B ,则B A C U )(为 A.}4{B.}5,4,2{C.}4,3,2,1{D.}5,4,2,1{2. 设10<<<b a ，则下列不等式成立的是A.33a b >B.11a b< C.1ba > D.()lg 0b a -< 3. 已知向量)1,3(=，)2,(-=x ，)2,0(=，若()⊥-a bc ，则实数x 的值为A ．43 B ．34 C ．34- D ．43- 4. 运行如图1的程序框图，则输出s 的结果是A.16B.2524C.34D.11125. 函数()sin ()f x x x x =+∈RA ．是偶函数,且在(,+)-∞∞上是减函数B ．是偶函数,且在(,+)-∞∞上是增函数C ．是奇函数,且在(,+)-∞∞上是减函数D ．是奇函数,且在(,+)-∞∞上是增函数 6. 由下列条件解ABC ∆,其中有两解的是A ．︒=︒==80,45,20c A bB ．︒===60,28,30B c aC ．︒===45,16,14A c aD ．︒===60,24,34A b a7. 从装有2个黄球和2个蓝球的口袋内任取2个球，则恰有一个黄球的概率是A ．13B ．12 C ． 23D ．568. 方程(x 2＋y 2－4)x ＋y ＋1＝0表示的曲线形状是9. 函数m xx f x--=32)(的一个零点在区间(1,3)内，则实数m 的取值范围是 A ．(-1，7) B ．(0，5)C ．(-7，1)D ．(1，5)10.已知定义域为),0(+∞的单调函数()f x ，若对任意的),0(+∞∈x ，都有12[()log ]3f f x x +=，则方程32)(x x f -=的解的个数是A ．0B ．1C ．2D ．3第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题:本大题共5小题，每小题5分，共25分. 把答案填在答题卡上的相应横线上. 11.已知数列{}n a 满足12a =，111n n na a a ++=-（*n ∈N ），则3a 的值为 . 12.已知=+=∈)4tan(,53sin ),,2(πααππα则＿＿＿＿. 13.已知函数)12(log )(31-=x x f ,则()f x 的定义域为_______________ .14.已知一个正三棱柱的所有棱长均等于2，它的俯视图是一个边长为2的正三角形，那么它的侧（左）视图面积的最小值是________. 15.已知集合{}Rx x mx x M ∈=--+=,031，若φ=M ，则实数m的取值范围是_______________ .三、解答题：本大题共6小题, 共75分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16.（本小题满分12分）函数()sin()(0,0,||)2f x A x A ωφωφπ=+>><部分图象如图所示． （Ⅰ）求()f x 的最小正周期及解析式； （Ⅱ）设()()cos2g x f x x =-，求函数()g x 在区间[0,]2x π∈上的最大值和最小值．17.（本小题满分12分）设p :114≤-x ；q :2(21)(1)0x a x a a -+++≤.若p ⌝是q ⌝的必要而不充分条件,求实数a 的取值范围.18.（本小题满分12分）如图,在四棱锥ABCD S -中,底面ABCD 是正方形,⊥SA 底面ABCD ,AB SA =,点M 是SD 的中点,SC AN ⊥且交SC 于点N .(Ⅰ)求证:平面⊥SAC 平面AMN ； (Ⅱ)求二面角M AC D --的余弦值.19.（本小题满分13分）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且248,40a S ==；数列{}n b 的前n 项和为n T ，且230n n T b -+=，n N *∈．（Ⅰ）求数列{}n a ,{}n b 的通项公式； （Ⅱ）设⎩⎨⎧=为偶数为奇数n b n a c nn n ， 求数列{}n c 的前n 项和n P ．20.（本小题满分13分）在平面直角坐标系xoy 中，O 为坐标原点，以O 为圆心的圆与直线40x -=相切．（Ⅰ）求圆O 的方程；（Ⅱ）若直线l ：3y kx =+与圆O 交于A ，B 两点，在圆O 上是否存在一点Q ，使得OB OA OQ +=，若存在，求出此时直线l 的斜率；若不存在，说明理由．21.（本小题满分13分）已知函数).1,0(ln )(2≠>-+=a a a x x a x f x (Ⅰ)求函数)(x f 在点))0(,0(f 处的切线方程；(Ⅱ)求函数)(x f 单调递增区间；(Ⅲ)若存在]1,1[,21-∈x x ,使得e e x f x f (1)()(21-≥-是自然对数的底数),求实数a 的取值范围.怀化市2014年下期高三期中统一检测理科数学参考答案及评分标准二、填空题：11.12-； 12. 17； 13. ]1,21(； 14. 15. ),61()31,(+∞--∞ .16解：（Ⅰ）由图可得1A =，22362T πππ=-=，所以T =π…………2分 所以2ω= ………3分当6x π=时，()1f x =，可得 sin(2)16ϕπ⋅+=，因为||2ϕπ<， 所以6ϕπ= …………5分所以()f x 的解析式为()sin(2)6f x x π=+……………………6分（Ⅱ）()()cos 2sin(2)cos 26g x f x x x x π=-=+-sin 2coscos 2sin cos 266x x x ππ=+-12cos 22x x =- sin(2)6x π=-…………………9分因为02x π≤≤，所以52666x πππ-≤-≤ …………10分当262x ππ-=，即3x π=时，()g x 有最大值，最大值为1；当266x ππ-=-，即0x =时，()g x 有最小值，最小值为12-．……12分17解:由114≤-x 得,1141≤-≤-x , 故210≤≤x ……………3分由2(21)(1)0x a x a a -+++≤()()10x a x a ⇔--+≤⎡⎤⎣⎦1a x a ⇔≤≤+……6分若p ⌝是q ⌝的必要而不充分条件,∴p 是q 的必要而不充分条件, 即[]1,21,0+⊂⎥⎦⎤⎢⎣⎡a a ………………9分⎪⎩⎪⎨⎧≥+≤⇒2110a a 021≤≤-⇒a …………………11分 故所求a 的取值范围是⎥⎦⎤⎢⎣⎡-0,21 (12)分18证明(Ⅰ)：⊥SA 底面ABCD , SA DC ⊥∴又底面ABCD 是正方形，DA DC ⊥∴ ⊥∴DC 平面SAD , AM DC ⊥∴又AD SA = ,M 是SD 的中点,SD AM ⊥∴,⊥∴AM 面SDC AM SC ⊥∴由已知SC AN ⊥, ⊥∴SC 平面AMN .又⊂SC 面SAC ,∴面⊥SAC 面AMN ………6分 (Ⅱ)取AD 的中点F ,则SA MF //.作AC FQ ⊥于Q ,连结MQ .⊥SA 底面ABCD , ⊥∴MF 底面ABCD AC FQ ⊥ , AC MQ ⊥∴FQM ∠∴为二面角M AC D --的平面角设a AB SA ==，在MFQ Rt ∆中221a SA MF ==,a FQ 42=,a FQ MF MQ 4622=+= 33cos ==∠∴MQ FQ FQM ………………11分 所以二面角M AC D --的余弦值为33…………12分 解法2:(Ⅰ)如图,以A 为坐标原点,建立空间直角坐标系xyz A -,由于AB SA =,可设1===AS AD AB , 则()(),0,1,0,0,0,0B A()()()1,0,0,0,0,1,0,1,1S D C ,⎪⎭⎫⎝⎛21,0,21M …………………3分 ⎪⎭⎫⎝⎛=∴21,0,21AM ,()1,1,1--=CS …………………4分0=∙CS AM , CS AM ⊥∴又AN SC ⊥ 且A AM AN = ⊥∴SC 平面AMN .又⊂SC 平面SAC 所以,平面SAC ⊥平面AMN …………………6分(Ⅱ)⊥SA 底面ABCD AS ∴是平面ABCD 的一个法向量,()1,0,0=AS ……7分 设平面ACM 的一个法向量为()z y x ,,=()0,1,1= ,⎪⎭⎫ ⎝⎛=21,0,21,则⎪⎩⎪⎨⎧=∙=∙00AM n n 得()1,1,1--=n …………9分 33,cos ->=<∴…………11分 ∴二面角M AC D --的余弦值是33…………12分 19解：（Ⅰ）由题意，1184640a d a d +=⎧⎨+=⎩，得14,44n a a n d =⎧∴=⎨=⎩…………3分230n n T b -+=，113n b ∴==当时，，112230n n n b --≥-+=当时，T ，两式相减，得12,(2)n n b b n -=≥数列{}n b 为等比数列，132n n b -∴=⋅…………6分 （Ⅱ）14 32n n nn c n -⎧=⎨⋅⎩为奇数为偶数 ． 当n 为偶数时，13124()()n n n P a a a b b b -=+++++++=212(444)6(14)222214nn n n n ++-⋅-+=+--……………8分当n 为奇数时，法一：1n -为偶数，1n n n P P c -=+(1)1222(1)24221n n n n n n -+=+--+=++- ……11分 法二：132241()()n n n n P a a a a b b b --=++++++++1221(44)6(14)2221214n n n n n n -++⋅-=+=++--……………11分 12222,221n n nn n P n n n +⎧+-∴=⎨++-⎩为偶数，为奇数……………13分 20解：（Ⅰ）设圆O 的半径为r，因为直线40x -=与圆O 相切，所以2r ==………………3分所以圆O 的方程为 224x y +=………………5分（Ⅱ）方法一：因为直线l ：3y kx =+与圆O 相交于A ，B 两点，所以2O l d -=<，所以2k >或2k <-……………7分假设存在点Q ，使得OQ OA OB =+……………8分 因为A ，B 在圆上，且OQ OA OB =+，同时||||OB OA = 由向量加法的平行四边形法则可知四边形OAQB 为菱形，所以OQ 与AB 互相垂直且平分 ……………9分 所以原点O 到直线l ：3y kx =+的距离为1||12d OQ ==…………10分 即1O l d -==，解得28k =，k =±12分所以存在点Q ，使得OQ OA OB =+ …………13分方法二：假设存在点Q ，使得OQ OA OB =+．记OQ 与AB 交于点00(,)C x y 因为A ，B 在圆上，且OQ OA OB =+，由向量加法的平行四边形法则可知四边形OAQB 为菱形，因为直线l 斜率为k ，显然0k ≠，所以OQ 直线方程为1y x k=-…………7分 31y kx y x k =+⎧⎪⎨=-⎪⎩， 解得02023131k x k y k -⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩， 所以点Q 坐标为2266(,)11k M k k -++………9分 因为点Q 在圆上，所以226()1k k -++226()41k =+，解得28k =…………11分即k =±12分 所以存在点Q ，使得OQ OA OB =+…………13分 21解：（Ⅰ）因为函数2()ln (0,1)x f x a x x a a a =->≠+,所以()ln 2ln x f x a a x a '=-+,(0)0f '=,又因为(0)1f =,所以函数()f x 在点(0,(0))f 处的切线方程为1y = ……3分(Ⅱ)由⑴,()ln 2ln 2(1)ln x x f x a a x a x a a '=-=-++.令a a x x h x ln )1(2)(-+=，则0ln 2)('2≥+=a a x h x 所以当0,1a a >≠时, ()f x '在R 上是增函数…………………5分 又(0)0f '=,所以不等式()0f x '>的解集为(0,)∞+ 故函数()f x 的单调增区间为(0,)∞+…………………8分 （Ⅲ）因为存在12,[1,1]x x ∈-,使得12()()e 1f x f x --≥成立,而当[1,1]x ∈-时,12max min ()()()()f x f x f x f x --≤, 所以只要max min ()()e 1f x f x --≥即可. …………………9分 又因为x ,()f x ',()f x 的变化情况如下表所示:所以()f x 在[1,0]-上是减函数,在[0,1]上是增函数,所以当[1,1]x ∈-时,()f x 的最小值 ()()min 01f x f ==,()f x 的最大值()max f x 为()1f -和()1f 中的最大值因为11(1)(1)(1ln )(1ln )2ln f f a a a a a aa--=--=--+++, 令1()2ln (0)g a a a a a =-->,因为22121()1(1)0g a a a a '=-=->+,所以1()2ln g a a a a=--在()0,a ∈+∞上是增函数.而(1)0g =,故当1a >时,()0g a >,即(1)(1)f f >-; 当01a <<时,()0g a <,即(1)(1)f f <-.所以,当1a >时,(1)(0)e 1f f --≥,即ln e 1a a --≥,函数ln y a a =-在(1,)a ∈+∞上是增函数,解得e a ≥………………11分 当01a <<时,(1)(0)e 1f f ---≥,即1ln e 1a a +-≥,函数1ln y a a=+在(0,1)a ∈上是减函数,解得10ea <≤.………………12分综上可知,所求a 的取值范围为1(0,][e,)ea ∈∞+………………13分。
高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作2015-2016学年湖南省怀化市会同三中高三（下）月考数学试卷（理科）（4）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求.1．设集合I={x||x|＜3，x∈Z}，A={1，2}，B={﹣2，﹣1，2}，则A∪（C I B）=（）A．{1}B．{1，2}C．{2}D．{0，1，2}2．在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次，设命题p是“甲降落在指定范围”，q是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为（）A．（￢p）∨（￢q）B．p∨（￢q）C．（￢p）∧（￢q）D．p∨q3．“sinα=cosα”是“cos2α=0”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件4．设函数f（x）=sin3x+|sin3x|，则f（x）为（）A．周期函数，最小正周期为B．周期函数，最小正周期为C．周期函数，最小正周期为2πD．非周期函数5．已知点A的坐标为（4，1），将OA绕坐标原点O逆时针旋转至OB，则点B的纵坐标为（）A．B．C．D．6．已知函数f（x）=，且f（α）=﹣3，则f（6﹣α）=（）A．﹣ B．﹣C．﹣D．﹣7．已知定义在R上的函数f（x）=2|x﹣m|﹣1（m为实数）为偶函数，记a=f（log0.53），b=f （log25），c=f（2m），则a，b，c的大小关系为（）A．a＜b＜c B．c＜a＜b C．a＜c＜b D．c＜b＜a8．对于R上可导的任意函数f（x），且f′（1）=0若满足（x﹣1）f′（x）＞0，则必有（）A．f（0）+f（2）＜2f（1）B．f（0）+f（2）≤2f（1）C．f（0）+f（2）＞2f（1）D．f（0）+f（2）≥2f（1）9．函数f（x）=（x﹣）cosx（﹣π≤x≤π且x≠0）的图象可能为（）A． B．C．D．10．已知实数a，b满足等式（）a=（）b，下列五个关系式：①0＜b＜a；②a＜b＜0；③0＜a＜b；④b＜a＜0；⑤a=b，其中不可能成立的关系式有（）A．1个B．2个C．3个D．4个11．已知f（x）=ln（1+x）﹣ln（1﹣x），x∈（﹣1，1）．现有下列命题：①f（﹣x）=﹣f（x）；②f（）=2f（x）③|f（x）|≥2|x|其中的所有正确命题的序号是（）A．①②③ B．②③C．①③D．①②12．已知函数f（x）在R上可导，其导函数为f′（x），若f（x）满足＞0，f（2﹣x）=f（x）•e2﹣2x 则下列判断一定正确的是（）A．f（1）＜f（0）B．f（3）＞e3•f（0） C．f（2）＞e•f（0）D．f（4）＜e4•f（0）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．若x2dx=9，则常数T的值为．14．若函数f（x）=|2x﹣2|﹣b有两个零点，则实数b的取值范围是．15．设当x=θ时，函数f（x）=sinx﹣2cosx取得最大值，则cosθ=．16．若函数f（x）=（1﹣x2）（x2+ax+b）的图象关于直线x=﹣2对称，则f（x）的最大值为．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17．已知函数f（x）=2sinxcosx+2cos2x﹣1（x∈R）（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期及在区间[0，]上的最大值和最小值；（Ⅱ）若f（x0）=，x0∈[，]，求cos2x0的值．18．已知函数f（x）=ax3﹣+1（x∈R），其中a＞0．（Ⅰ）若a=1，求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；（Ⅱ）若在区间[﹣]上，f（x）＞0恒成立，求a的取值范围．19．设函数f（x）=﹣klnx，k＞0．（1）求f（x）的单调区间和极值；（2）证明：若f（x）存在零点，则f（x）在区间（1，]上仅有一个零点．20．设函数f（x），g（x）的定义域均为R，且f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，f（x）+g（x）=e x，其中e为自然对数的底数．（1）求f（x），g（x）的解析式，并证明：当x＞0时，f（x）＞0，g（x）＞1；（2）设a≤0，b≥1，证明：当x＞0时，ag（x）+（1﹣a）＜＜bg（x）+（1﹣b）．21．设函数f（x）=（x﹣1）e x﹣kx2（k∈R）．（1）当k=1时，求函数f（x）的单调区间；（2）当时，求函数f（x）在[0，k]上的最大值M．22．在△ABC中，AB=AC，过点A的直线与其外接圆交于点P，交BC延长线于点D．（1）求证：；（2）若AC=3，求AP•AD的值．2015-2016学年湖南省怀化市会同三中高三（下）月考数学试卷（理科）（4）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求.1．设集合I={x||x|＜3，x∈Z}，A={1，2}，B={﹣2，﹣1，2}，则A∪（C I B）=（）A．{1}B．{1，2}C．{2}D．{0，1，2}【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】把集合A用列举法表示，然后求出C I B，最后进行并集运算．【解答】解：因为I={x||x|＜3，x∈Z}={﹣2，﹣1，0，1，2}，B={﹣2，﹣1，2}，所以，C I B={0，1}，又因为A={1，2}，所以A∪（C I B）={1，2}∪{0，1}={0，1，2}．故选D．2．在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次，设命题p是“甲降落在指定范围”，q是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为（）A．（￢p）∨（￢q）B．p∨（￢q）C．（￢p）∧（￢q）D．p∨q【考点】四种命题间的逆否关系．【分析】由命题P和命题q写出对应的￢p和￢q，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”即可得到表示．【解答】解：命题p是“甲降落在指定范围”，则￢p是“甲没降落在指定范围”，q是“乙降落在指定范围”，则￢q是“乙没降落在指定范围”，命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”包括“甲降落在指定范围，乙没降落在指定范围”或“甲没降落在指定范围，乙降落在指定范围”或“甲没降落在指定范围，乙没降落在指定范围”三种情况．所以命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为（￢p）V（￢q）．故选A．3．“sinα=cosα”是“cos2α=0”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】由cos2α=cos2α﹣sin2α，即可判断出．【解答】解：由cos2α=cos2α﹣sin2α，∴“sinα=cosα”是“cos2α=0”的充分不必要条件．故选：A．4．设函数f（x）=sin3x+|sin3x|，则f（x）为（）A ．周期函数，最小正周期为B ．周期函数，最小正周期为C ．周期函数，最小正周期为2πD ．非周期函数【考点】三角函数的周期性及其求法．【分析】可把四个选项中的最小正周期代入f （x +T ）=f （x ）检验，即可得到答案．【解答】解：先将周期最小的选项A 和C 的周期T=和2π代入f （x +）=﹣sin3x +|sin3x |≠f （x ），排除Af （x +2π）=sin3x +|sin3x |=f （x ），再检验（B ）f （x +）=sinx +|sin3x |=f （x ），成立，可推断函数为周期函数排除D ．故选B5．已知点A 的坐标为（4，1），将OA 绕坐标原点O 逆时针旋转至OB ，则点B 的纵坐标为（ ）A ．B ．C ．D ． 【考点】任意角的三角函数的定义．【分析】根据三角函数的定义，求出∠xOA 的三角函数值，利用两角和差的正弦公式进行求解即可．【解答】解：∵点 A 的坐标为（4，1），∴设∠xOA=θ，则sin θ==，cos θ==，将OA 绕坐标原点O 逆时针旋转至OB ，则OB 的倾斜角为θ+，则|OB |=|OA |=，则点B 的纵坐标为y=|OB |sin （θ+）=7（sin θcos +cos θsin ）=7（×+）=+6=，故选：D ．6．已知函数f （x ）=，且f （α）=﹣3，则f （6﹣α）=（ ）A ．﹣B ．﹣C ．﹣D ．﹣【考点】函数的值．【分析】利用分段函数，求出α，再求f （6﹣α）．【解答】解：由题意，α≤1时，2α﹣1﹣2=﹣3，无解；α＞1时，﹣log 2（α+1）=﹣3，∴α=7，∴f（6﹣α）=f（﹣1）=2﹣1﹣1﹣2=﹣．故选：A．7．已知定义在R上的函数f（x）=2|x﹣m|﹣1（m为实数）为偶函数，记a=f（log0.53），b=f （log25），c=f（2m），则a，b，c的大小关系为（）A．a＜b＜c B．c＜a＜b C．a＜c＜b D．c＜b＜a【考点】对数函数图象与性质的综合应用；奇偶性与单调性的综合．【分析】根据函数的奇偶性得出f（x）=2|x|﹣1=，利用单调性求解即可．【解答】解：∵定义在R上的函数f（x）=2|x﹣m|﹣1（m为实数）为偶函数，∴f（﹣x）=f（x），m=0，∵f（x）=2|x|﹣1=，∴f（x）在（0，+∞）单调递增，∵a=f（log0.53）=f（log23），b=f（log25），c=f（2m）=f（0）=0，0＜log23＜log25，∴c＜a＜b，故选：B8．对于R上可导的任意函数f（x），且f′（1）=0若满足（x﹣1）f′（x）＞0，则必有（）A．f（0）+f（2）＜2f（1）B．f（0）+f（2）≤2f（1）C．f（0）+f（2）＞2f（1）D．f（0）+f（2）≥2f（1）【考点】函数的单调性与导数的关系．【分析】对x分段讨论，解不等式求出f′（x）的符号，判断出f（x）的单调性，利用函数的单调性比较出函数值f（0），f（2）与f（1）的大小关系，利用不等式的性质得到选项．【解答】解：∵（x﹣1）f'（x）＞0∴x＞1时，f′（x）＞0；x＜1时，f′（x）＜0∴f（x）在（1，+∞）为增函数；在（﹣∞，1）上为减函数∴f（2）＞f（1）f（0）＞f（1）∴f（0）+f（2）＞2f（1），故选：C．9．函数f（x）=（x﹣）cosx（﹣π≤x≤π且x≠0）的图象可能为（）A． B．C．D．【考点】函数的图象．【分析】先根据函数的奇偶性排除AB，再取x=π，得到f（π）＜0，排除C．【解答】解：f（﹣x）=（﹣x+）cos（﹣x）=﹣（x﹣）cosx=﹣f（x），∴函数f（x）为奇函数，∴函数f（x）的图象关于原点对称，故排除A，B，当x=π时，f（π）=（π﹣）cosπ=﹣π＜0，故排除C，故选：D．10．已知实数a，b满足等式（）a=（）b，下列五个关系式：①0＜b＜a；②a＜b＜0；③0＜a＜b；④b＜a＜0；⑤a=b，其中不可能成立的关系式有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【考点】基本不等式．【分析】先画出函数y=与y=的图象，再讨论时a，b的情况即可．【解答】解：画出函数y=与y=的图象，当x＜0时，y=的图象在y=的图象下方，当x＞0时，y=的图象在y=的图象上方，当a＜0，b＜0时，则a＜b＜0，当a=b=0时，成立，当a＞0，b＞0时，则a＞b＞0，故①②⑤成立，③④不可能成立，故选B11．已知f（x）=ln（1+x）﹣ln（1﹣x），x∈（﹣1，1）．现有下列命题：①f（﹣x）=﹣f（x）；②f（）=2f（x）③|f（x）|≥2|x|其中的所有正确命题的序号是（）A．①②③ B．②③C．①③D．①②【考点】命题的真假判断与应用．【分析】根据已知中函数的解析式，结合对数的运算性质，分别判断三个结论的真假，最后综合判断结果，可得答案．【解答】解：∵f（x）=ln（1+x）﹣ln（1﹣x），x∈（﹣1，1），∴f（﹣x）=ln（1﹣x）﹣ln（1+x）=﹣f（x），即①正确；f（）=ln（1+）﹣ln（1﹣）=ln（）﹣ln（）=ln（）=ln[（）2]=2ln（）=2[ln（1+x）﹣ln（1﹣x）]=2f（x），故②正确；当x∈[0，1）时，|f（x）|≥2|x|⇔f（x）﹣2x≥0，令g（x）=f（x）﹣2x=ln（1+x）﹣ln （1﹣x）﹣2x（x∈[0，1））∵g′（x）=+﹣2=≥0，∴g（x）在[0，1）单调递增，g（x）=f（x）﹣2x≥g（0）=0，又f（x）≥2x，又f（x）与y=2x为奇函数，所以|f（x）|≥2|x|成立，故③正确；故正确的命题有①②③，故选：A12．已知函数f（x）在R上可导，其导函数为f′（x），若f（x）满足＞0，f（2﹣x）=f（x）•e2﹣2x 则下列判断一定正确的是（）A．f（1）＜f（0）B．f（3）＞e3•f（0） C．f（2）＞e•f（0）D．f（4）＜e4•f（0）【考点】利用导数研究函数的单调性；导数的运算．【分析】构造g（x）=，再求出g′（x），判断g（x）的单调性，再根据已知条件，判断即可．【解答】解：令g（x）=，则g′（x）=，∵f（x）满足＞0，∴当x＜1时，f′（x）﹣f（x）＜0．∴g′（x）＜0．此时函数g（x）单调递减．∴g（﹣1）＞g（0）．即∵f（2﹣x）=f（x）•e2﹣2x∴f（3）=f（﹣1）e4＞e﹣1f（0）•e4=e3f（0）．故选：B．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．若x2dx=9，则常数T的值为3．【考点】定积分．【分析】利用微积分基本定理即可求得．【解答】解：==9，解得T=3，故答案为：3．14．若函数f（x）=|2x﹣2|﹣b有两个零点，则实数b的取值范围是0＜b＜2．【考点】函数的零点．【分析】由函数f（x）=|2x﹣2|﹣b有两个零点，可得|2x﹣2|=b有两个零点，从而可得函数y=|2x﹣2|函数y=b的图象有两个交点，结合函数的图象可求b的范围【解答】解：由函数f（x）=|2x﹣2|﹣b有两个零点，可得|2x﹣2|=b有两个零点，从而可得函数y=|2x﹣2|函数y=b的图象有两个交点，结合函数的图象可得，0＜b＜2时符合条件，故答案为：0＜b＜215．设当x=θ时，函数f（x）=sinx﹣2cosx取得最大值，则cosθ=﹣．【考点】两角和与差的正弦函数；正弦函数的定义域和值域．【分析】f（x）解析式提取，利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，由x=θ时，函数f（x）取得最大值，得到sinθ﹣2cosθ=，与sin2θ+cos2θ=1联立即可求出cosθ的值．【解答】解：f（x）=sinx﹣2cosx=（sinx﹣cosx）=sin（x﹣α）（其中cosα=，sinα=），∵x=θ时，函数f（x）取得最大值，∴sin（θ﹣α）=1，即sinθ﹣2cosθ=，又sin2θ+cos2θ=1，联立得（2cosθ+）2+cos2θ=1，解得cosθ=﹣．故答案为：﹣16．若函数f（x）=（1﹣x2）（x2+ax+b）的图象关于直线x=﹣2对称，则f（x）的最大值为16．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；函数与方程的综合运用．【分析】由题意得f（﹣1）=f（﹣3）=0且f（1）=f（﹣5）=0，由此求出a=8且b=15，由此可得f（x）=﹣x4﹣8x3﹣14x2+8x+15．利用导数研究f（x）的单调性，可得f（x）在区间（﹣∞，﹣2﹣）、（﹣2，﹣2+）上是增函数，在区间（﹣2﹣，﹣2）、（﹣2+，+∞）上是减函数，结合f（﹣2﹣）=f（﹣2+）=16，即可得到f（x）的最大值．【解答】解：∵函数f（x）=（1﹣x2）（x2+ax+b）的图象关于直线x=﹣2对称，∴f（﹣1）=f（﹣3）=0且f（1）=f（﹣5）=0，即[1﹣（﹣3）2][（﹣3）2+a•（﹣3）+b]=0且[1﹣（﹣5）2][（﹣5）2+a•（﹣5）+b]=0，解之得，因此，f（x）=（1﹣x2）（x2+8x+15）=﹣x4﹣8x3﹣14x2+8x+15，求导数，得f′（x）=﹣4x3﹣24x2﹣28x+8，令f′（x）=0，得x1=﹣2﹣，x2=﹣2，x3=﹣2+，当x∈（﹣∞，﹣2﹣）时，f′（x）＞0；当x∈（﹣2﹣，﹣2）时，f′（x）＜0；当x∈（﹣2，﹣2+）时，f′（x）＞0；当x∈（﹣2+，+∞）时，f′（x）＜0∴f（x）在区间（﹣∞，﹣2﹣）、（﹣2，﹣2+）上是增函数，在区间（﹣2﹣，﹣2）、（﹣2+，+∞）上是减函数．又∵f（﹣2﹣）=f（﹣2+）=16，∴f（x）的最大值为16．故答案为：16．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17．已知函数f（x）=2sinxcosx+2cos2x﹣1（x∈R）（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期及在区间[0，]上的最大值和最小值；（Ⅱ）若f（x0）=，x0∈[，]，求cos2x0的值．【考点】三角函数中的恒等变换应用；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】先将原函数化简为y=Asin（ωx+φ）+b的形式（1）根据周期等于2π除以ω可得答案，又根据函数图象和性质可得在区间[0，]上的最值．（2）将x0代入化简后的函数解析式可得到sin（2x0+）=，再根据x0的范围可求出cos（2x0+）的值，最后由cos2x0=cos（2x0+）可得答案．【解答】解：（1）由f（x）=2sinxcosx+2cos2x﹣1，得f（x）=（2sinxcosx）+（2cos2x﹣1）=sin2x+cos2x=2sin（2x+）所以函数f（x）的最小正周期为π．因为f（x）=2sin（2x+）在区间[0，]上为增函数，在区间[，]上为减函数，又f（0）=1，f（）=2，f（）=﹣1，所以函数f（x）在区间[0，]上的最大值为2，最小值为﹣1．（Ⅱ）由（1）可知f（x0）=2sin（2x0+）又因为f（x0）=，所以sin（2x0+）=由x0∈[，]，得2x0+∈[，]从而cos （2x 0+）=﹣=﹣．所以cos2x 0=cos [（2x 0+）﹣]=cos （2x 0+）cos+sin （2x 0+）sin =．18．已知函数f （x ）=ax 3﹣+1（x ∈R ），其中a ＞0．（Ⅰ）若a=1，求曲线y=f （x ）在点（2，f （2））处的切线方程；（Ⅱ）若在区间[﹣]上，f （x ）＞0恒成立，求a 的取值范围．【考点】函数恒成立问题；利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程． 【分析】（Ⅰ）把a=1代入到f （x ）中得到切点的坐标，利用导数求出直线切线，即可求出切线方程；（Ⅱ）求出f ′（x ）=0时x 的值，分0＜a ≤2和a ＞2两种情况讨论函数的增减性分别得到f（﹣）和f （）及f （﹣）和f （）都大于0，联立求出a 的解集的并集即可．【解答】（Ⅰ）解：当a=1时，f （x ）=，∴f （2）=3；∵f ′（x ）=3x 2﹣3x ， ∴f ′（2）=6．所以曲线y=f （x ）在点（2，f （2））处的切线方程为y ﹣3=6（x ﹣2）， 即y=6x ﹣9；（Ⅱ）解：f ′（x ）=3ax 2﹣3x=3x （ax ﹣1）． 令f ′（x ）=0，解得x=0或x=． 以下分两种情况讨论：（1）若0＜a ≤2，则；当x 变化时，f ′（x ），f （x ）的变化情况如下表：x（﹣，0）0 （0，）f ′（x ） + 0 ﹣ f （x ）增极大值减当时，f （x ）＞0，等价于即．解不等式组得﹣5＜a ＜5．因此0＜a ≤2；（2）若a ＞2，则当x 变化时，f ′（x ），f （x ）的变化情况如下表：x（﹣，0） 0（0，）（，）f ′（x ） + 0 ﹣ 0 +f （x ）增极大值减极小值 增当时，f （x ）＞0等价于即解不等式组得或．因此2＜a ＜5． 综合（1）和（2），可知a 的取值范围为0＜a ＜5．19．设函数f （x ）=﹣klnx ，k ＞0．（1）求f （x ）的单调区间和极值；（2）证明：若f （x ）存在零点，则f （x ）在区间（1，]上仅有一个零点．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值． 【分析】（1）利用f'（x ）≥0或f'（x ）≤0求得函数的单调区间并能求出极值；（2）利用函数的导数的极值求出最值，利用最值讨论存在零点的情况． 【解答】解：（1）由f （x ）=f'（x ）=x ﹣由f'（x ）=0解得x=f（x ）与f'（x ）在区间（0，+∞）上的情况如下：X（0，）（）f'（x ） ﹣ 0+ f （x ） ↓↑ 所以，f （x ）的单调递增区间为（），单调递减区间为（0，）；f （x ）在x=处的极小值为f （）=，无极大值．（2）证明：由（1）知，f （x ）在区间（0，+∞）上的最小值为f （）=．因为f （x ）存在零点，所以，从而k ≥e当k=e 时，f （x ）在区间（1，）上单调递减，且f （）=0所以x=是f（x）在区间（1，）上唯一零点．当k＞e时，f（x）在区间（0，）上单调递减，且，所以f（x）在区间（1，）上仅有一个零点．综上所述，若f（x）存在零点，则f（x）在区间（1，]上仅有一个零点．20．设函数f（x），g（x）的定义域均为R，且f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，f（x）+g（x）=e x，其中e为自然对数的底数．（1）求f（x），g（x）的解析式，并证明：当x＞0时，f（x）＞0，g（x）＞1；（2）设a≤0，b≥1，证明：当x＞0时，ag（x）+（1﹣a）＜＜bg（x）+（1﹣b）．【考点】不等式的证明；导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】（1）运用奇、偶函数的定义，由函数方程的思想可得f（x）、g（x）的解析式，再由指数函数的单调性和基本不等式，即可证得f（x）＞0，g（x）＞1；（2）当x＞0时，＞ag（x）+1﹣a⇔f（x）＞axg（x）+（1﹣a）x，＜bg（x）+1﹣b⇔f（x）＜bxg（x）+（1﹣b）x，设函数h（x）=f（x）﹣cxg（x）﹣（1﹣c）x，通过导数判断单调性，即可得证．【解答】解：（1）f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，即有f（﹣x）=﹣f（x），g（﹣x）=g（x），f（x）+g（x）=e x，f（﹣x）+g（﹣x）=e﹣x，即为﹣f（x）+g（x）=e﹣x，解得f（x）=（e x﹣e﹣x），g（x）=（e x+e﹣x），则当x＞0时，e x＞1，0＜e﹣x＜1，f（x）＞0；g（x）=（e x+e﹣x）＞×2=1，则有当x＞0时，f（x）＞0，g（x）＞1；（2）证明：f′（x）=（e x+e﹣x）=g（x），g′（x）=（e x﹣e﹣x）=f（x），当x＞0时，＞ag（x）+1﹣a⇔f（x）＞axg（x）+（1﹣a）x，＜bg（x）+1﹣b⇔f（x）＜bxg（x）+（1﹣b）x，设函数h（x）=f（x）﹣cxg（x）﹣（1﹣c）x，h′（x）=f′（x）﹣c（g（x）+xg′（x））﹣（1﹣c）=g（x）﹣cg（x）﹣cxf（x）﹣（1﹣c）=（1﹣c）（g（x）﹣1）﹣cxf（x），①若c≤0则h′（x）＞0，故h（x）在（0，+∞）递增，h（x）＞h（0）=0，（x＞0），即有f（x）＞cxg（x）+（1﹣c）x，故＞ag（x）+1﹣a成立；②若c≥1则h′（x）＜0，故h（x）在（0，+∞）递减，h（x）《h（0）=0，（x＞0），即有f（x）＜cxg（x）+（1﹣c）x，故＜bg（x）+1﹣b成立．综上可得，当x＞0时，a g（x）+（1﹣a）＜＜b g（x）+（1﹣b）．21．设函数f（x）=（x﹣1）e x﹣kx2（k∈R）．（1）当k=1时，求函数f（x）的单调区间；（2）当时，求函数f（x）在[0，k]上的最大值M．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（1）利用导数的运算法则即可得出f′（x），令f′（x）=0，即可得出实数根，通过列表即可得出其单调区间；（2）利用导数的运算法则求出f′（x），令f′（x）=0得出极值点，列出表格得出单调区间，比较区间端点与极值即可得到最大值．【解答】解：（1）当k=1时，f（x）=（x﹣1）e x﹣x2，f'（x）=e x+（x﹣1）e x﹣2x=x（e x﹣2）令f'（x）=0，解得x1=0，x2=ln2＞0所以f'（x），f（x）随x的变化情况如下表：x （﹣∞，0）0 （0，ln2）ln2 （ln2，+∞）f'（x）+0 ﹣0 +f（x）↗极大值↘极小值↗所以函数f（x）的单调增区间为（﹣∞，0）和（ln2，+∞），单调减区间为（0，ln2）（2）f（x）=（x﹣1）e x﹣kx2，x∈[0，k]，．f'（x）=xe x﹣2kx=x（e x﹣2k），f'（x）=0，解得x1=0，x2=ln（2k）令φ（k）=k﹣ln（2k），，所以φ（k）在上是减函数，∴φ（1）≤φ（k）＜φ，∴1﹣ln2≤φ（k）＜＜k．即0＜ln（2k）＜k所以f'（x），f（x）随x的变化情况如下表：ln（2k）（ln（2k），k）x （0，ln（2k））f'（x）﹣0 +f（x）↘极小值↗f（0）=﹣1，f（k）﹣f（0）=（k﹣1）e k﹣k3﹣f（0）=（k﹣1）e k﹣k3+1=（k﹣1）e k﹣（k3﹣1）=（k﹣1）e k﹣（k﹣1）（k2+k+1）=（k﹣1）[e k﹣（k2+k+1）]∵，∴k﹣1≤0．对任意的，y=e k的图象恒在y=k2+k+1下方，所以e k﹣（k2+k+1）≤0所以f（k）﹣f（0）≥0，即f（k）≥f（0）所以函数f（x）在[0，k]上的最大值M=f（k）=（k﹣1）e k﹣k3．22．在△ABC中，AB=AC，过点A的直线与其外接圆交于点P，交BC延长线于点D．（1）求证：；（2）若AC=3，求AP•AD的值．【考点】相似三角形的性质；相似三角形的判定．【分析】（1）先由角相等∠CPD=∠ABC，∠D=∠D，证得三角形相似，再结合线段相等即得所证比例式；（2）由于∠ACD=∠APC，∠CAP=∠CAP，从而得出两个三角形相似：“△APC～△ACD”结合相似三角形的对应边成比例即得AP•AD的值．【解答】解：（1）∵∠CPD=∠ABC，∠D=∠D，∴△DPC～△DBA，∴又∵AB=AC，∴（2）∵∠ACD=∠APC，∠CAP=∠CAP，∴△APC～△ACD∴，∴AC2=AP•AD=92016年10月24日。
怀化市中小学课程改革教育质量监测试卷 2015年高三第三次模考 理科数学试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分. 时量：120分钟.第Ⅰ卷（选择题 共50分） 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共计50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请把正确答案的代号填在答题卡上. 1．已知集合},3,1{2m A =，},1{m B =．若A B ⊆，则m 的值为 A ．0 B ．1或3 C ．0或3 D ．0或1或3 2．若某几何体的三视图如图所示，则此几何体的侧面积是 A ．π12 B ．π15 C ．π24 D ．π30 3．下列函数中，既是奇函数，又在),(+∞-∞上为增函数的是A. xy 3= B. xy 1=C. 3y x = D.x y tan = 4．某医疗研究所为了检验某种血清能起到预防感冒的作用，把500名使用血清的人与另外500名未用血清的人一年中的感冒记录作比较，利用2×2列联表计算得918.32≈k 。
A. %95B. %5C. %5.97D.%5.2 5．设函数)32sin()(π+=x x f 的图象为M ，下面结论中正确的是A.图象M 可由x y 2sin =的图象向左平移6π个单位得到 B ．函数()f x 的最小正周期是π4 C ．图像M 关于直线3π=x 对称D ．函数)(x f y =在区间)6,65(ππ-上是增函数6. 有下列四个命题,其中正确命题的个数是①.“2x ∀≥，2320x x -+≥”的否定．．是“20<∃x ，使023020<+-x x ”. ②. 已知0>a 且1≠a ，则“0log >b a ”是“0)1)(1(>--b a ”的充要条件. ③. 采用系统抽样法从某班按学号抽取5名同学参加活动，若已知学号为5,16,38,49的同学被选出，则被选出的另一个同学的学号为27.④.某学校决定从高三800名学生中利用随机数表法抽取50人进行调研，先将800人按001,002，…,800进行编号；如果从第8行第7列的数开始从左向右读，则最先抽取到的两个人的编号依次为165,538（下面摘取了随机数表中第7行至第9行）8442 1753 3157 2455 0688 7704 7447 6721 7633 5026 8392（第2题图）6301 5316 5916 9275 3862 9821 5071 7512 8673 5807 44391326 3321 1342 7864 1607 8252 0744 3815 0324 4299 7931A. 1个B. 2个C. 3个D.4个7. 北京某小学组织6个年级的学生外出参观包括甲博物馆在内的6个博物馆，每个年级任选一个博物馆参观，则有且只有两个年级选择甲博物馆的方案有A．2465A A⨯种 B.246A5⨯种 C.2465C A⨯种 D.246C5⨯8.ABC∆的外接圆圆心为O,半径为2，=++,OA AB=,CBCA方向上的投影为A.3- B.3- C.3 D.39.执行如右图所示的程序框图，输出的S值为A．252(41)3- B．262(41)3-C．5021- D．5121-10．已知函数34)(2+-=xxxf,集合{}0)()(),(≤+=yfxfyxM，集合{}0)()(),(≥-=yfxfyxN，则集合M N的面积为A.4πB.2πC. πD.23π第Ⅱ卷（非选择题共100分）二、填空题:本大题共6小题，考生作答5小题，每小题5分，共25分. 把答案填在答题卡上的相应横线上.（一）选作题（请考生在11、12、13三题中任选2题作答，如果全做，则按前2题记分）11. 如图，ABC∆内接于⊙O，点D在OC的延长线上，AD与⊙O相切，割线DM与⊙O相交于点M、N，若30=∠B，1=AC，则DNDM⨯= .12. 函数)0(1213)(2>++=xxxxf的最小值为 .13. 在极坐标系中，直线sin(24πρθ+=被圆=4ρ截得的弦长为 .（二）必做题（14~16题）14.复数iiz++=142，则||z= .15. 如图，在平面直角坐标系xoy中，将直线2xy=与直线1x=及x轴所围成的图形（阴影部分）绕x轴旋转一周得到一个圆锥，圆锥的体积12()2xV dx=⎰π圆锥31.1212x==ππ据此类比：将曲线2(0)y x x=≥与直线2y=及y轴所围成的图形（阴影部分）绕y轴旋转一周得到一个旋转体，该旋转体的体积V = .16.已知函数()⎪⎩⎪⎨⎧<≥=0,0,3x e x x f x x ，若对任意的[]12,31--∈a a x ，不等式[]≥-+x x a f )1([]a x f )(恒成立，则实数a 的取值范围是 .三、解答题：本大题共6小题，共75分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．(本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy 中，设锐角α的始边与x 轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点11(,)P x y ，将射线OP 绕坐标原点O 按逆时针方向旋转2π后与单位圆交于点22(,)Q x y .记12()f y y α=+.(Ⅰ)求函数()f α的值域；(Ⅱ)设ABC ∆的角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若()f C=，且a =1c =，求b .18．（本小题满分12分）某省气象部门为了有效缓解近期的持续高温天气，拟进行人工降雨，为了达到理想效果，首先在电脑上进行人工降雨模拟试验，准备用,,A B C 三种人工降雨方式分别对甲、乙、丙三地实施人工降雨，其试验数据统计如下： 方式 实施地点 大雨 中雨 小雨 模拟试验总次数 A 甲 4次 6次 2次 12次 B 乙 3次 6次 3次 12次 C 丙 2次 2次 8次 12次 假设甲、乙、丙三地实施的人工降雨彼此互不影响. （Ⅰ）求甲、乙两地恰为中雨且丙为小雨的概率；（Ⅱ）考虑到旱情和水土流失，如果甲恰需中雨即能达到理想状态，乙必须是大雨才能达到理想状态，丙是小雨或中雨就能达到理想状态，求降雨量达到理想状态的地方个数的概率分布与期望.19. （本小题满分12分） 如图，直角梯形ABCD 中，CD AB //，BC AB ⊥，1=AB ，2=BC ，21+=CD ，过A 作CD AE ⊥，垂足为E ；F 、G 分别是CE 、AD 的中点. 现将ADE ∆沿AE 折起，使二面角C AE D --的平面角为135． （Ⅰ）求证：平面⊥DCE 平面ABCE ；（Ⅱ）求直线FG 与面DCE 所成角的正弦值．DCEFG ∙∙20. （本小题满分13分）设),(11y x A ，),(22y x B 是函数xx x f -+=1log 21)(2的图象上任意两点，P 是AB 中点，且P 的横坐标为21． （Ⅰ）求证：P 点的纵坐标为定值； （Ⅱ）若n S ＝1()2(1(nn f nf nf -+⋯++，*∈N n ，且n ≥2，求n S ．21. (本小题满分13分)已知椭圆222:1x y aγ+=（常数1a >）的左顶点为R ，点(,1),(,1)A a B a -，O 为坐标原点．（Ⅰ）若P 是椭圆γ上任意一点，OP mOA nOB =+，求22m n +的值； （Ⅱ）设1122(,),(,)M x y N x y 是椭圆γ上的两个动点，满足OMON OA OB k k k k ⋅=⋅，试探究OMN ∆的面积是否为定值，说明理由．22. (本小题满分13分)已知a R ∈，函数()ln 1af x x x=+-，()(ln 1)x g x x e x =-+． （Ⅰ）求函数()f x 在区间(0,]e 上的最小值；（Ⅱ）是否存在实数0(0,]x e ∈，使曲线()y g x =在点0x x =处的切线与y 轴垂直？若存在，求出0x 的值，若不存在，请说明理由；（Ⅲ）求证：*11111(1)ln[(1)(2)]()ln ()234!n n k e k k k n n N n n =++++⋅++>-⋅∈∑怀化市中小学课程改革教育质量监测试卷 2015年高三三模 理科数学参考答案一、选择题二、填空题11、3； 12、10； 13、34； 14、10； 15、π2； 16、⎥⎦⎤⎝⎛1,52.三、解答题17解：（Ⅰ）由题意，得12sin ,sin()cos 2y y πααα==+= ………………3分 所以()sin cos )4f παααα=+=+ ………………5分因为(0,)2πα∈，所以3(,)444πππα+∈，故()f α∈ ………7分 （Ⅱ）因为()sin()4f C C π=+=(0,)2C π∈，所以4C π= ……9分在ABC ∆中，由余弦定理得2222cos c a b ab C =+-， 即212b =+-， 解得1b = ……………12分 18解:（Ⅰ）记“甲、乙两地恰为中雨且丙为小雨”为事件A ，则P （A ）=61128126126=⨯⨯ ………………5分故甲、乙两地恰为中雨且丙为小雨的概率为.61 ………………6分 （Ⅱ）甲、乙、丙三地能达到理想状态的概率分别为65,41,21。
湖南省怀化市2012届高三第三次模拟考试统一检测数学（理）试题注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号写在答题卡上。
2．考生作答时，选择题、填空题、解答题均须做在答题卡上，在本试卷上答题无效。
考生在答题卡上按答题卡中注意事项的要求答题。
3．考试结束后，将本试题卷和答题卡一并收回。
4．本试题卷共4页，如有缺页，考生须声明，否则后果自负。
第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在答题卡上.1．设全集}7,5,3,1{=U ，集合}5,3{=A ,}7,3,1{=B ，则)(B C A U 等于 A ．{5} B ．{3，5} C ．{1，5，7}D ．φ2．如图，是CCTV 青年歌手大奖赛上某位选手得分的茎叶图， 去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的中位数是 A ．68 B ．84 C ．85 D ．863．下列函数在其定义域内既是奇函数又是增函数的是A ．tan y x =B ．3xy = C ．13y x =D ．lg y x =4．设a 、R b ∈，那么“1ab>”是“0>>b a ”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C .充要条件 D.既不充分也不必要条件5．将函数sin y x =图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把所得各点向右平行移动10π个单位长度，所得图象的函数解析式是 A.sin(2)10y x π=- B.1sin()220y x π=- C.sin(2)5y x π=-D.1sin()210y x π=-6．学校组织一年级4个班外出春游，每个班从指定的甲、乙、丙、丁四个景区中任选一个游览，则恰有2个班选择了甲景区的选法共有A ．2243A ⋅种B ． 2243A A ⋅种C ．2243C ⋅种D ．2243C A ⋅种7．如图，梯形ABCD 中，CD AB //，且CD AB 2=，对角线AC 、DB 相交于点O ，若AD a = ，AB b =，则AO 的值为A ．4233a b -B ．1233a b +C. 2133a b -D. 2133a b +8．已知定义在R 上的函数)(x f 满足)2(f = 1，)(x f '为)(x f 的导函数.已知)(x f y '=的图象如图所示,若两个正数b a ,满足1)2(>+b a f ，则21--a b 的取值范围是A. () 1 , 21-B.) , 1 ()21 , (∞+--∞C.) 1 , 2(-D.) , (1)2 , (∞+--∞第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共8小题，考生作答7小题，每小题5分，满分35分.（一）选做题（请考生在9、10、11三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题记分） 9. 如图，CD 是⊙O 的直径，AE 切⊙O 于点B ，连接DB ，若20D ∠=︒，则DBE ∠的大小为 . 10．在极坐标系中，过点)2,2(π且平行于极轴的直线的极坐标方程是 .11．用0.618法寻找最佳点时，要达到精度0.1的要求, 需要_________次试验. (参考值lg0.618=-0.209)（二）必做题（12～16题）12．在二项式61x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，含4x 的项的系数是___________.13．⎰-3029dx x 的值等于____________．14. 算法程序如左下图所示，则输出的结果是 .15.已知某几何体的三视图如右上图，则该几何体的表面积为__________ . 16.如图所示的数阵叫“莱布尼兹调和三角形”，他们是由整数的倒数组成的，第n 行有n 个数且两端的数均为1(2)n n≥，每个数是它下一行左右相邻两数的和， 如：111111111,,1222363412=+=+=+…，则 （1）第6行第3个数字是 ．（2）第(3)n n ≥行第3个数字是 ．三、解答题：本大题共6小题，共75分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. （本小题满分12分）在ABC ∆中，内角A 、B 、C 所对的边分别为,,a b c ，已知1tan 2B =，1tan 3C =，且1c =.(Ⅰ)求tan A ；(Ⅱ)求a 值.18．(本小题满分12分)如图，一个圆形游戏转盘被分成6个均匀的扇形区域．用力旋转转盘，转盘停止转动时，箭头A 所指区域的数字就是每次游戏所得的分数（箭头指向两个区域的边界时重新转动），且箭头A 指向每个区域的可能性都是相等的．在一次家庭抽奖的活动中，要求每个家庭派一位儿童和一位成人先后分别转动一次游戏转盘，得分情况记为(,)a b （假设儿童和成人的得分互不影响，且每个家庭只能参加一次活动）．（Ⅰ）求某个家庭得分为)3,5(的概率？（Ⅱ）若游戏规定：一个家庭的得分为参与游戏的两人得分之和，且得分大于等于8的家庭可以获得一份奖品．请问某个家庭获奖的概率为多少？（Ⅲ）若共有6个家庭参加家庭抽奖活动．在（Ⅱ）的条件下，记获奖的家庭数为X ，求X 的数学期望．19. (本小题满分12分)在直角梯形ABCD 中，BC AD //，22BC AD AB ===90ABC ∠=,如图，把ABD ∆沿BD 翻折，使得平面BCD ABD 平面⊥. （Ⅰ）求证：CD AB ⊥；（Ⅱ）若点M 为线段BC 中点，求点M 到平面ACD 的距离；20.（本小题满分13分）国家助学贷款是由财政贴息的信用贷款，旨在帮助高校家庭经济困难学生支付在校学习期间所需的学费、住宿费及生活费.每一年度申请总额不超过6000元.某大学2010届毕业生李顺在本科期间共申请了24000元助学贷款，并承诺在毕业后3年内（按36个月计）全部还清.签约的单位提供的工资标准为第一年内每月1500元，第13个月开始，每月工资比前一个月增加5%直到4000元.李顺同学计划前12个月每个月还款额为500元，第13个月开始，每月还款额比前一月多x 元.（1）若李顺恰好在第36个月（即毕业后三年）还清贷款，求x 的值；（2）当50x =时，李顺同学将在第几个月还清最后一笔贷款？他还清贷款的那一个月的工资余额是多少？（参考数据：181920211.05 2.406,1.05 2.526,1.05 2.653,1.05 2.786====） 21．（本小题满分13分）已知点(2,0),(2,0)M N -，动点P 满足PM PN -=P 的轨迹为W . （1）求W 的方程；（2）过)0,2(N 作直线l 交曲线W 于,A B 两点，使得=||AB 22，求直线l 的方程. （3）若从动点P 向圆C ：22(4)1x y +-=作两条切线，切点为A 、B ，令d PC =||，试用d 来表示PA PB ⋅ ，并求PA PB ⋅的取值范围.22．(本小题满分13分)已知函数2()()x f x ax x e =+，其中e 是自然对数的底数，a R ∈. （1）当0a <时，解不等式()0f x >；（2）若()f x 在[]1,1-上是单调增函数，求a 的取值范围；（3）当0a =时，求整数k 的所有值，使方程()2f x x =+在[]1,+k k 上有解．怀化市2012年高三第三次模拟考试统一检测试卷数 学（理科）参考答案一、选择题：ADCB 、BCDA 二、填空题：9．70︒； 10．2sin =θρ； 11．6； 12. 6； 13．49π；14．7； 15．323++ 16.601 2(1)(2)n n n ⨯-⨯- 三、解答题17解：（I ）因1tan 2B =，1tan 3C =,tan tan tan()1tan tan B CB C B C ++=-…………1分 代入得到，1123tan()111123B C ++==-⨯……………3分因为180A B C =-- ………………4分所以tan tan(180())tan()1A B C B C =-+=-+=- ………………6分18解：（Ⅰ）记事件A ：某个家庭得分情况为(5,3)，则1816131)(=⨯=A p 所以某个家庭得分情况为(5,3)的概率为181．……… 4分 （Ⅱ）记事件B ：某个家庭在游戏中获奖，则符合获奖条件的得分包括(5,3),(5,5),(3,5)共3类情况． 所以92316131316131)(=⨯+⨯+⨯=B p ． 所以某个家庭获奖的概率为92．………… 8分19（Ⅰ）证：由已知条件可得2,2,BD CD ==BD CD ⊥…………………2分∵平面BCD ABD 平面⊥，BD BCD ABD =⋂平面平面． ∴BD A CD 平面⊥…………………4分又∵ABD AB 平面⊂，∴CD AB ⊥…………………6分（Ⅱ）解法一：以点D 为原点，BD 所在的直线为x 轴，DC 所在的直线为y 轴，建立空间直角坐标系，如图．由已知可得(1,0,1),(2,0,0),(0,2,0),(0,0,0),A B C D (1,1,0)M ．)0,2,0(-=∴CD ，)10,1(--=， ………8分设平面ACD 的法向量为),,(z y x =， 则⊥⊥, ∴0,0,y x z =⎧⎨+=⎩令1x =，得平面ACD 的一个法向量为)1,0,1(-=………………10分∴点M 到平面ACD的距离n MCd MC⋅== ………………12分∴312121===---ABD C ADC B ADC M V V V ， ∵AD CD ⊥，，∴221=⋅=∆DC AD S ACD ， 设点M 到平面ACD 的距离为d ，则1133ADC d S ∆⋅=，即1133d ⨯=解得d =22，∴设点M 到平面ACD 的距离等于22……………12分（2）设李顺第n 个月还清，则应有(12)(121)12500(50050)(12)50240002n nn -⨯--⨯++⨯-+⋅≥整理可得238280n n --≥，解之得30n ≥>，取31n =，即李顺工作31个月就可以还清贷款.这个月，李霄的还款额为(3012)(30121)24000[12500(50050)(3012)50]4502-⨯---⨯++⨯-+⋅=元，第31个月李顺的工资为191500 1.051500 2.5263789⨯=⨯=元，因此，李顺的剩余工资为37894503339-=.…………………13分21解：（1）由PM PN -=P 的轨迹是以(2,0),(2,0)M N -为焦点，实轴长为…………… 2分 即设242,a c a c b ==⇔==所以所求的W 的方程为222x y -=…………… 4分（2）若k 不存在，即x=2,可得A(2,2)，B(2,-2),|AB|=22满足题意……5分若k 存在，可设l :y=k(x-2)联立⎩⎨⎧=--=2)2(22y x x k y ，⇒0244)1(2222=--+-k x k x k 由题意知⎩⎨⎧>∆≠-0012k ⇒R k ∈且1±≠k ……………6分设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则|AB|=21|a |k +∆ 即 2221|1|88k k k +-+=22 ⇒ k=0 即l :y=0……………7分所以直线l 的方程为 x=2或y=0……………8分（3）22cos (1)(12sin )PA PB PA PB APB d APO '⋅=∠=--222221(1)(2)(1)12d d d d d ⎡⎤--⎛⎫=--=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦……………10分 又2222222(4)2(4)28182(2)1010d x y y y y y y =+-=++-=-+=-+≥22解：⑴因为e 0x>，所以不等式()0f x >即为20ax x +>，又因为0a <，所以不等式可化为1()0x x a +<，所以不等式()0f x >的解集为1(0,)a-．………………………………………4分⑵22()(21)e ()e [(21)1]e x x xf x ax ax x ax a x '=+++=+++，①当0a =时，()(1)e xf x x '=+，()0f x '≥在[11]-，上恒成立，当且仅当1x =-时 取等号，故0a =符合要求；………………………………………………………5分 ②当0a ≠时，令2()(21)1g x ax a x =+++，因为22(21)4410a a a ∆=+-=+>， 所以()0g x =有两个不相等的实数根1x ，2x ，不妨设12x x >， 因此()f x 有极大值又有极小值．若0a >，因为(1)(0)0g g a -⋅=-<，所以()f x 在(11)-，内有极值点， 故()f x 在[]11-，上不单调．………………………………………………………6分 若0a <，可知120x x >>，因为()g x 的图象开口向下，要使()f x 在[11]-，上单调，因为(0)10g =>， 必须满足(1)0,(1)0.g g ⎧⎨-⎩≥≥即320,0.a a +⎧⎨-⎩≥≥所以203a -<≤.综上可知，a 的取值范围是2[,0]3-．………………………………………8分⑶当0a =时, 方程即为e 2xx x =+，由于e 0x >，所以0x =不是方程的解，所以原方程等价于2e 10x x --=，令2()e 1x h x x=--，因为22()e 0x h x x '=+>对于()(),00,x ∈-∞+∞ 恒成立， 所以()h x 在(),0-∞和()0,+∞内是单调增函数，……………………………10分 又(1)e 30h =-<，2(2)e 20h =->，31(3)e 03h --=-<，2(2)e 0h --=>，所以方程()2f x x =+有且只有两个实数根，且分别在区间[]12，和[]32--，上， 所以整数k 的所有值为{}3,1-．………………………………………………………13分。
2015年普通高等学校招生全国统一考试试题（模拟）数 学（理工类）本试卷4页共22题,其中15、16题为选考题。
满分150分，考试用时120分钟★祝考试顺利★注意事项：1．答卷前，先将自己的某某、某某号填写在试题卷和答题卡上，并将某某号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用统一提供的2B 铅笔将答题卡上的试卷类型A 后的方框图黑。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用统一提供的2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号图黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．填空题和解答题的作答：用统一提供的签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用统一提供的2B 铅笔图黑。
答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
5．考试结束后，请将本试题卷和答题卡上交。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中只有一个符合题目的要求。
1．已知i 是虚数单位，复数|1|)Z i =，Z 是Z 的共轭复数，则Z 的虚部为A ．4B ．－ 4C ．2D ．－22．已知集合4{|log -1}A x x =<,1{|}2B x x =≤，命题p ：,23x x x A ∀∈<；命题q ：x B ∃∈，321x x =-，则下列命题中为真命题的是A ．p ∧qB ．p ∧⌝qC ．⌝p ∧qD ．⌝p ∧⌝q3．函数32()31f x x x =-+在点(1,1)-处的切线方程是A ．32y x =-+B ．34y x =-C ．43y x =-+D ．45y x =-- 4．下列四个结论：①“a b <”是“22am bm <”的充分不必要条件;②已知幂函数()f x x α=的图象经过点2(2,)2，则(4)f 的值等于12； ③某学校有男、女学生各500名．为了解男、女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异，拟从全体学生中抽取100名学生进行调查，则宜采用的抽样方法是分层抽样;④设某大学的女生体重y (单位：kg)与身高x (单位：cm)具有线性相关关系，回归方程为0.8585.71y x =-，则可以得出结论：该大学某女生身高增加1 cm ，则其体重约增加0.85 kg ． 其中正确的结论个数是 A ．4B ．1 C ．2D ．35．如图1，已知正方体ABCD －A 1B 1C l D 1的棱长为a ，动点M 、N 、Q 分别在线段1111,,AD B C C D上.当三棱锥Q-BMN 的俯视图如图2所示时，三棱锥Q-BMN 的正视图面积等于A. 212a B.224aC. 214a D. 234a6.已知12112(12)n x x dx π-=--⎰,则21nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中的常数项为 A.60- B.50- C.50D.607．如图，在程序框图中输入n =14，按程序运行后输出的结果是A ．3B ．2C ．0D ．4 8．若数列{}n a 满足110n npa a +-=，*n N ∈,P 为非零常数，则称数列{}n a 为“梦想数列”．已 知正项数列1nb ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为“梦想数列”，且99123992b b b b =，则892b b +的最小值是A ．2B ．4C ．6D ．8正视方向图1图2D B 11CDBMN9．已知2F 、1F 是双曲线()222210,0y x a b a b-=>>的上、下焦点，点2F 关于渐近线的对称点恰好落在以1F 为圆心，1OF 为半径的圆上，则双曲线的离心率为 A. 3B. 2C. 2D. 310．定义在()1,1-上的函数()()⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=-xy y x f y f x f 1；当()1,0x ∈-时，()0f x >，若11511P f f ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()1,02Q f R f ⎛⎫== ⎪⎝⎭；则P ，Q ，R 的大小关系为A. R ＞P ＞QB. R ＞Q ＞PC. P ＞R ＞QD. Q ＞P ＞R二、填空题：本大题共6小题，考生共需作答5小题，每小题5分，共25分，请将答案填写在答题卡对应题号．．．．．．．的位置上。
某某市中小学课程改革教育质量监测试卷 2015年高三第二次模考 文科数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分. 时量：120分钟. 第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共计50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请把正确答案的代号填在答题卡上. 1.已知集合{}220A x x x =--≤，}1|{<=x x B ，则B A 为A.()12，B.(]12，C.[)11-， D.()11-，2. 下列说法正确的是A ．命题“若21x =，则1x =”的否命题为“若21x =，则1x ≠”；B ．命题“01,02<-+≥∀x x x ”的否定是“01,02<-+<∃x x x ”； C ．命题“若x y =，则sin sin x y =”的逆否命题为真命题； D ．“1x =-” 是“2560x x --=”的必要不充分条件. 3.设i i z +-=|3|（i 为虚数单位），则z 的共轭复数为 A ．2i - B ．2i + C ．4i - D ．4i + 4．对任意非零实数b a ,，定义b a ⊗的算法原理如右侧程序框图所示.设52a =，2=b ,则计算机执行该运算后输出的结果是7.5A 7.4B 7.3C 7.2D5.某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是3， 则正视图中的x 的值是A.2B.92C.32D.36. 定义在R 上的奇函数()f x 满足(1)()f x f x +=-，当10,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，)1(log )(2+=x x f ，则()f x 在区间31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭内是A.减函数且()0f x >B.减函数且()0f x <C.增函数且()0f x >D.增函数且()0f x < 7.若正项数列{}n a 满足1lg lg 1n n a a +-=,且20152010200320022001=++++a a a a ，则2020201320122011a a a a ++++ 的值为A ．2015×1010B ．2015×1011C ．2016×1010D ．2016×10118.设1F 、2F 是椭圆的两个焦点,若椭圆上存在点P ，使12021=∠PF F ,则椭圆离心率e 的取值X 围是A.)1,23[B.)1,23(C.)23,0(D.]23,0( 9.已知非零向量,a b 满足233a b a b a +=-=，则a b +与a b -的夹角为A.6πB.3πC.23πD.56π10.定义域为R 的函数1,22()1,2x x f x x ⎧≠⎪-=⎨⎪=⎩,若关于x 的函数21)()()(2++=x af x f x h有5个不同的零点1x ，2x ，3x ，4x ，5x ，则2222212345x x x x x ++++等于A.15B.20C.30D.35第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题:本大题共5小题，每小题5分，共25分. 把答案填在答题卡上的相应横线上. 11.在极坐标系中，圆4cos ρθ=的圆心到直线()6R πθρ=∈的距离是.12.已知(,)M x y 为由不等式组02x y x ⎧≤≤⎪≤⎨⎪≤⎩所确定的平面区域上的动点，若点)A ，则z OM OA =⋅的最大值为 .13.已知命题P :[]0,1,x x a e ∀∈≥，命题q :2,40,x R x x a ∃∈++=若命题“q p ∧”是真命题，则实数a 的取值X 围是 .14. 式子70sin 220sin 10cos 2-的值为 .15．设函数)(x f 定义域为D ，若存在非零实数t ，使得对任意)(D M M x ⊆∈,都有M t x ∈+，且)()(x f t x f ≥+成立，则称)(x f 为M 上的“t 频函数”. 若22)(x x f =为区间),21[+∞-上的“t 频函数”，则t 的取值X 围是 .三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．(本小题满分12分)设函数23()sin 3cos 2f x x x x =-+.（Ⅰ）求)(x f 的最小正周期及值域；（Ⅱ）已知ABC ∆中，角C B A ，，的对边分别为c b a ，，，若()0f A =，3=a ，3=+c b ，求ABC ∆的面积．17．(本小题满分12分)在中学生综合素质评价某个维度的测评中，分“优秀、合格、尚待改进”三个等级进行学生互评．某校高一年级有男生500人，女生400人，为了了解性别对该维度测评结果的影响，采用分层抽样方法从高一年级抽取了45名学生的测评结果，并作出频数统计表如下： 表1：男生 表2：女生等级 优秀 合格尚待改进 等级 优秀 合格 尚待改进频数 15x 5频数153y（Ⅰ）从表2的非优秀学生中随机选取2人交谈，求所选2人中恰有1人测评等级为合格的概率；（Ⅱ）由表中统计数据填写右边22⨯列联表，并判断 是否有90%的把握认为“测评结果优秀与性别有关”．参考数据与公式：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++． 临界值表：20()P K k >0.10 0.05 0.01k2.7063.841 6.635此表放在答题卡上！18．(本小题满分12分)如图，四棱锥ABCD P -中，PAB ∆是正三角形，四边形ABCD 是矩形，且面⊥PAB 面ABCD ,1=PA ,2=PC .(Ⅰ) 若点E 是PC 的中点，求证：//PA 面BDE ；(Ⅱ) 若点F 在线段PA 上，且13PF PA=,求三棱锥AFD B -的体积.19．(本小题满分13分) 已知数列{}n a 是等差数列，数列{b }n 是等比数列，113a b =，且对任意的+∈N n ，都有1112233(21)334n n n n a b a b a b a b +-+++++=…．（Ⅰ）求数列{}n n a b 的通项公式；（Ⅱ）若数列{b }n 的首项为3，公比为3，设11(1)2n a n n n c b λ+-=+-⋅，且对任意的+∈N n ，都有1n nc c +>成立，某某数λ的取值X 围．20．(本小题满分13分)已知抛物线的顶点是坐标原点O ，焦点F 在x 轴正半轴上，抛物线上一点),3(m 到焦点距离为4，过点F 的直线l 与抛物线交于A B 、两点． （Ⅰ）求抛物线的方程；（Ⅱ）若点P 在抛物线准线上运动，其纵坐标的取值X 围是[2,2]-，且16=⋅PB PA ，点Q 是以AB 为直径的圆与准线的一个公共点，求点Q 的纵坐标的取值X 围．21. (本小题满分13分)已知函数1()ln f x x x =+.（Ⅰ）求函数()f x 在(2,(2))f 处的切线方程；（Ⅱ）若mx x f x g +=)()(在[)1,+∞上为单调函数，某某数m 的取值X 围；（Ⅲ）若在],[e 1上至少存在一个0x ，使得0002x ex f kx >-)(成立，某某数k 的取值X 围.某某市中小学课程改革教育质量监测试卷 2015年高三二模 文科数学参考答案 一、选择题：二、填空题：11、1； 12、4； 13、[],4e ； 14、 ； 15、),1[∞+.16解： （Ⅰ）23()sin cos 2f x x x x =-+=cos 213x π⎛⎫++ ⎪⎝⎭……3分 所以()f x 的最小正周期为T π=…………………4分∵x R ∈∴1cos 213x π⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭，故()f x 的值域为[02]，……………6分 （Ⅱ）由()cos 2103f A A π⎛⎫=++= ⎪⎝⎭得cos(2)13A π+=-，又(0)A π∈，，得3A π=…………………8分由余弦定理，得2222cos3a b c bc π=+-=2()3b c bc +-，又a =3b c +=，所以393bc =-，解得2bc =………………10分所以ABC ∆的面积11sin 2232S bc π==⨯=…………………12分 17解：（Ⅰ）设从高一年级男生中抽出m 人，则45500500400m =+，25m =，∴21820,52025=-==-=y x ……………2分表2中非优秀学生共5人，记测评等级为合格的3人为,,a b c ，尚待改进的2人为,A B ， 则从这5人中任选2人的所有可能结果为：),(b a ，),(c a ，),(c b ，),(B A ，),(A a ，),(B a ，),(A b ，),(B b ，),(A c ，),(B c 共10种…………………4分设事件C 表示“从表二的非优秀学生5人中随机选取2人，恰有1人测评等级为合格”， 则C 的结果为：()()()()()(),,,,,,,,,,,a A a B b A b B c A c B ，共6种……………6分∴63()105P C ==， 故所求概率为35…………………8分（Ⅱ） 10.90.1-=，∵2( 2.706)0.10P K ≥=，而()224515515109 1.125 2.706301525208K ⨯-⨯===<⨯⨯⨯…………………11分所以没有90%的把握认为“测评结果优秀与性别有关” …………………12分 18解：（Ⅰ）连接AC ，设ACBD O =,E PC 点是的中点。
2015-2016学年湖南省怀化市会同三中高三（下）月考数学试卷（理科）（4）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求.1．设集合I={x||x|＜3，x∈Z}，A={1，2}，B={﹣2，﹣1，2}，则A∪（CB）=（）IA．{1} B．{1，2} C．{2} D．{0，1，2}2．在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次，设命题p是“甲降落在指定范围”，q是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为（）A．（￢p）∨（￢q）B．p∨（￢q）C．（￢p）∧（￢q）D．p∨q3．“sinα=cosα”是“cos2α=0”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件4．设函数f（x）=sin3x+|sin3x|，则f（x）为（）A．周期函数，最小正周期为B．周期函数，最小正周期为C．周期函数，最小正周期为2πD．非周期函数5．已知点A的坐标为（4，1），将OA绕坐标原点O逆时针旋转至OB，则点B的纵坐标为（）A．B．C．D．6．已知函数f（x）=，且f（α）=﹣3，则f（6﹣α）=（）A．﹣ B．﹣ C．﹣ D．﹣3），b=f 7．已知定义在R上的函数f（x）=2|x﹣m|﹣1（m为实数）为偶函数，记a=f（log0.55），c=f（2m），则a，b，c的大小关系为（）（log2A．a＜b＜c B．c＜a＜b C．a＜c＜b D．c＜b＜a8．对于R上可导的任意函数f（x），且f′（1）=0若满足（x﹣1）f′（x）＞0，则必有（）A．f（0）+f（2）＜2f（1）B．f（0）+f（2）≤2f（1）C．f（0）+f（2）＞2f（1）D．f（0）+f（2）≥2f（1）9．函数f（x）=（x﹣）cosx（﹣π≤x≤π且x≠0）的图象可能为（）A． B． C．D．10．已知实数a ，b 满足等式（）a =（）b ，下列五个关系式：①0＜b ＜a ；②a ＜b ＜0；③0＜a ＜b ；④b ＜a ＜0；⑤a=b ，其中不可能成立的关系式有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个11．已知f （x ）=ln （1+x ）﹣ln （1﹣x ），x ∈（﹣1，1）．现有下列命题：①f （﹣x ）=﹣f （x ）；②f （）=2f （x ）③|f （x ）|≥2|x|其中的所有正确命题的序号是（ ）A ．①②③B ．②③C ．①③D ．①②12．已知函数f （x ）在R 上可导，其导函数为f ′（x ），若f （x ）满足＞0，f （2﹣x ）=f （x ）•e 2﹣2x 则下列判断一定正确的是（ ）A ．f （1）＜f （0）B ．f （3）＞e 3•f （0）C ．f （2）＞e •f （0）D ．f （4）＜e 4•f （0）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．若x 2dx=9，则常数T 的值为 ． 14．若函数f （x ）=|2x ﹣2|﹣b 有两个零点，则实数b 的取值范围是 ．15．设当x=θ时，函数f （x ）=sinx ﹣2cosx 取得最大值，则cos θ= ．16．若函数f （x ）=（1﹣x 2）（x 2+ax+b ）的图象关于直线x=﹣2对称，则f （x ）的最大值为 ．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17．已知函数f （x ）=2sinxcosx+2cos 2x ﹣1（x ∈R ）（Ⅰ）求函数f （x ）的最小正周期及在区间[0，]上的最大值和最小值； （Ⅱ）若f （x 0）=，x 0∈[，]，求cos2x 0的值． 18．已知函数f （x ）=ax 3﹣+1（x ∈R ），其中a ＞0．（Ⅰ）若a=1，求曲线y=f （x ）在点（2，f （2））处的切线方程；（Ⅱ）若在区间[﹣]上，f （x ）＞0恒成立，求a 的取值范围． 19．设函数f （x ）=﹣klnx ，k ＞0．（1）求f （x ）的单调区间和极值；（2）证明：若f （x ）存在零点，则f （x ）在区间（1，]上仅有一个零点．20．设函数f（x），g（x）的定义域均为R，且f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，f（x）+g（x）=e x，其中e为自然对数的底数．（1）求f（x），g（x）的解析式，并证明：当x＞0时，f（x）＞0，g（x）＞1；（2）设a≤0，b≥1，证明：当x＞0时，ag（x）+（1﹣a）＜＜bg（x）+（1﹣b）．21．设函数f（x）=（x﹣1）e x﹣kx2（k∈R）．（1）当k=1时，求函数f（x）的单调区间；（2）当时，求函数f（x）在[0，k]上的最大值M．22．在△ABC中，AB=AC，过点A的直线与其外接圆交于点P，交BC延长线于点D．（1）求证：；（2）若AC=3，求AP•AD的值．2015-2016学年湖南省怀化市会同三中高三（下）月考数学试卷（理科）（4）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求.B）=（）1．设集合I={x||x|＜3，x∈Z}，A={1，2}，B={﹣2，﹣1，2}，则A∪（CIA．{1} B．{1，2} C．{2} D．{0，1，2}【考点】交、并、补集的混合运算．B，最后进行并集运算．【分析】把集合A用列举法表示，然后求出CI【解答】解：因为I={x||x|＜3，x∈Z}={﹣2，﹣1，0，1，2}，B={﹣2，﹣1，2}，所以，CB={0，1}，IB）={1，2}∪{0，1}={0，1，2}．又因为A={1，2}，所以A∪（CI故选D．2．在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次，设命题p是“甲降落在指定范围”，q是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为（）A．（￢p）∨（￢q）B．p∨（￢q）C．（￢p）∧（￢q）D．p∨q【考点】四种命题间的逆否关系．【分析】由命题P和命题q写出对应的￢p和￢q，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”即可得到表示．【解答】解：命题p是“甲降落在指定范围”，则￢p是“甲没降落在指定范围”，q是“乙降落在指定范围”，则￢q是“乙没降落在指定范围”，命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”包括“甲降落在指定范围，乙没降落在指定范围”或“甲没降落在指定范围，乙降落在指定范围”或“甲没降落在指定范围，乙没降落在指定范围”三种情况．所以命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为（￢p）V（￢q）．故选A．3．“sinα=cosα”是“cos2α=0”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】由cos2α=cos2α﹣sin2α，即可判断出．【解答】解：由cos2α=cos2α﹣sin2α，∴“sinα=cosα”是“cos2α=0”的充分不必要条件．故选：A．4．设函数f（x）=sin3x+|sin3x|，则f（x）为（）A．周期函数，最小正周期为B．周期函数，最小正周期为C．周期函数，最小正周期为2πD．非周期函数【考点】三角函数的周期性及其求法．【分析】可把四个选项中的最小正周期代入f（x+T）=f（x）检验，即可得到答案．【解答】解：先将周期最小的选项A和C的周期T=和2π代入f（x+）=﹣sin3x+|sin3x|≠f（x），排除Af（x+2π）=sin3x+|sin3x|=f（x），再检验（B）f（x+）=sinx+|sin3x|=f（x），成立，可推断函数为周期函数排除D．故选B5．已知点A的坐标为（4，1），将OA绕坐标原点O逆时针旋转至OB，则点B的纵坐标为（）A．B．C．D．【考点】任意角的三角函数的定义．【分析】根据三角函数的定义，求出∠xOA的三角函数值，利用两角和差的正弦公式进行求解即可．【解答】解：∵点 A的坐标为（4，1），∴设∠xOA=θ，则sinθ==，cosθ==，将OA绕坐标原点O逆时针旋转至OB，则OB的倾斜角为θ+，则|OB|=|OA|=，则点B的纵坐标为y=|OB|sin（θ+）=7（sinθcos+cosθsin）=7（×+）=+6=，故选：D．6．已知函数f（x）=，且f（α）=﹣3，则f（6﹣α）=（）A．﹣ B．﹣ C．﹣ D．﹣【考点】函数的值．【分析】利用分段函数，求出α，再求f（6﹣α）．【解答】解：由题意，α≤1时，2α﹣1﹣2=﹣3，无解；（α+1）=﹣3，∴α=7，α＞1时，﹣log2∴f（6﹣α）=f（﹣1）=2﹣1﹣1﹣2=﹣．故选：A．7．已知定义在R上的函数f（x）=2|x﹣m|﹣1（m为实数）为偶函数，记a=f（log3），b=f0.55），c=f（2m），则a，b，c的大小关系为（）（log2A．a＜b＜c B．c＜a＜b C．a＜c＜b D．c＜b＜a【考点】对数函数图象与性质的综合应用；奇偶性与单调性的综合．【分析】根据函数的奇偶性得出f （x ）=2|x|﹣1=，利用单调性求解即可．【解答】解：∵定义在R 上的函数f （x ）=2|x ﹣m|﹣1（m 为实数）为偶函数，∴f （﹣x ）=f （x ），m=0，∵f （x ）=2|x|﹣1=，∴f （x ）在（0，+∞）单调递增，∵a=f （log 0.53）=f （log 23），b=f （log 25），c=f （2m ）=f （0）=0，0＜log 23＜log 25，∴c ＜a ＜b ，故选：B8．对于R 上可导的任意函数f （x ），且f ′（1）=0若满足（x ﹣1）f ′（x ）＞0，则必有（ ）A ．f （0）+f （2）＜2f （1）B ．f （0）+f （2）≤2f （1）C ．f （0）+f （2）＞2f （1）D ．f （0）+f （2）≥2f （1）【考点】函数的单调性与导数的关系．【分析】对x 分段讨论，解不等式求出f ′（x ）的符号，判断出f （x ）的单调性，利用函数的单调性比较出函数值f （0），f （2）与f （1）的大小关系，利用不等式的性质得到选项．【解答】解：∵（x ﹣1）f'（x ）＞0∴x ＞1时，f ′（x ）＞0；x ＜1时，f ′（x ）＜0∴f （x ）在（1，+∞）为增函数；在（﹣∞，1）上为减函数∴f （2）＞f （1）f （0）＞f （1）∴f （0）+f （2）＞2f （1），故选：C ．9．函数f （x ）=（x ﹣）cosx （﹣π≤x ≤π且x ≠0）的图象可能为（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】函数的图象．【分析】先根据函数的奇偶性排除AB ，再取x=π，得到f （π）＜0，排除C ．【解答】解：f （﹣x ）=（﹣x+）cos （﹣x ）=﹣（x ﹣）cosx=﹣f （x ），∴函数f （x ）为奇函数，∴函数f （x ）的图象关于原点对称，故排除A ，B ，当x=π时，f （π）=（π﹣）cos π=﹣π＜0，故排除C ，故选：D．10．已知实数a，b满足等式（）a=（）b，下列五个关系式：①0＜b＜a；②a＜b＜0；③0＜a＜b；④b＜a＜0；⑤a=b，其中不可能成立的关系式有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【考点】基本不等式．【分析】先画出函数y=与y=的图象，再讨论时a，b的情况即可．【解答】解：画出函数y=与y=的图象，当x＜0时，y=的图象在y=的图象下方，当x＞0时，y=的图象在y=的图象上方，当a＜0，b＜0时，则a＜b＜0，当a=b=0时，成立，当a＞0，b＞0时，则a＞b＞0，故①②⑤成立，③④不可能成立，故选B11．已知f（x）=ln（1+x）﹣ln（1﹣x），x∈（﹣1，1）．现有下列命题：①f（﹣x）=﹣f（x）；②f（）=2f（x）③|f（x）|≥2|x|其中的所有正确命题的序号是（）A．①②③B．②③ C．①③ D．①②【考点】命题的真假判断与应用．【分析】根据已知中函数的解析式，结合对数的运算性质，分别判断三个结论的真假，最后综合判断结果，可得答案．【解答】解：∵f（x）=ln（1+x）﹣ln（1﹣x），x∈（﹣1，1），∴f（﹣x）=ln（1﹣x）﹣ln（1+x）=﹣f（x），即①正确；f（）=ln（1+）﹣ln（1﹣）=ln（）﹣ln（）=ln （）=ln[（）2]=2ln（）=2[ln（1+x）﹣ln（1﹣x）]=2f（x），故②正确；当x∈[0，1）时，|f（x）|≥2|x|⇔f（x）﹣2x≥0，令g（x）=f（x）﹣2x=ln（1+x）﹣ln（1﹣x）﹣2x（x∈[0，1））∵g′（x）=+﹣2=≥0，∴g（x）在[0，1）单调递增，g（x）=f（x）﹣2x≥g（0）=0，又f（x）≥2x，又f（x）与y=2x为奇函数，所以|f（x）|≥2|x|成立，故③正确；故正确的命题有①②③，故选：A12．已知函数f（x）在R上可导，其导函数为f′（x），若f（x）满足＞0，f（2﹣x）=f（x）•e2﹣2x 则下列判断一定正确的是（）A．f（1）＜f（0）B．f（3）＞e3•f（0）C．f（2）＞e•f（0）D．f（4）＜e4•f（0）【考点】利用导数研究函数的单调性；导数的运算．【分析】构造g（x）=，再求出g′（x），判断g（x）的单调性，再根据已知条件，判断即可．【解答】解：令g（x）=，则g′（x）=，∵f（x）满足＞0，∴当x＜1时，f′（x）﹣f（x）＜0．∴g′（x）＜0．此时函数g（x）单调递减．∴g（﹣1）＞g（0）．即∵f（2﹣x）=f（x）•e2﹣2x∴f（3）=f（﹣1）e4＞e﹣1f（0）•e4=e3f（0）．故选：B．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．若x2dx=9，则常数T的值为 3 ．【考点】定积分．【分析】利用微积分基本定理即可求得．【解答】解： ==9，解得T=3，故答案为：3．14．若函数f（x）=|2x﹣2|﹣b有两个零点，则实数b的取值范围是0＜b＜2 ．【考点】函数的零点．【分析】由函数f（x）=|2x﹣2|﹣b有两个零点，可得|2x﹣2|=b有两个零点，从而可得函数y=|2x﹣2|函数y=b的图象有两个交点，结合函数的图象可求b的范围【解答】解：由函数f（x）=|2x﹣2|﹣b有两个零点，可得|2x﹣2|=b有两个零点，从而可得函数y=|2x﹣2|函数y=b的图象有两个交点，结合函数的图象可得，0＜b＜2时符合条件，故答案为：0＜b＜215．设当x=θ时，函数f（x）=sinx﹣2cosx取得最大值，则cosθ= ﹣．【考点】两角和与差的正弦函数；正弦函数的定义域和值域．【分析】f（x）解析式提取，利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，由x=θ时，函数f（x）取得最大值，得到sinθ﹣2cosθ=，与sin2θ+cos2θ=1联立即可求出cosθ的值．【解答】解：f（x）=sinx﹣2cosx=（sinx﹣cosx）=sin（x﹣α）（其中cos α=，sinα=），∵x=θ时，函数f（x）取得最大值，∴sin（θ﹣α）=1，即sinθ﹣2cosθ=，又sin2θ+cos2θ=1，联立得（2cosθ+）2+cos2θ=1，解得cosθ=﹣．故答案为：﹣16．若函数f （x ）=（1﹣x 2）（x 2+ax+b ）的图象关于直线x=﹣2对称，则f （x ）的最大值为 16 ．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；函数与方程的综合运用．【分析】由题意得f （﹣1）=f （﹣3）=0且f （1）=f （﹣5）=0，由此求出a=8且b=15，由此可得f （x ）=﹣x 4﹣8x 3﹣14x 2+8x+15．利用导数研究f （x ）的单调性，可得f （x ）在区间（﹣∞，﹣2﹣）、（﹣2，﹣2+）上是增函数，在区间（﹣2﹣，﹣2）、（﹣2+，+∞）上是减函数，结合f （﹣2﹣）=f （﹣2+）=16，即可得到f （x ）的最大值．【解答】解：∵函数f （x ）=（1﹣x 2）（x 2+ax+b ）的图象关于直线x=﹣2对称，∴f （﹣1）=f （﹣3）=0且f （1）=f （﹣5）=0，即[1﹣（﹣3）2][（﹣3）2+a •（﹣3）+b]=0且[1﹣（﹣5）2][（﹣5）2+a •（﹣5）+b]=0， 解之得，因此，f （x ）=（1﹣x 2）（x 2+8x+15）=﹣x 4﹣8x 3﹣14x 2+8x+15，求导数，得f ′（x ）=﹣4x 3﹣24x 2﹣28x+8， 令f ′（x ）=0，得x 1=﹣2﹣，x 2=﹣2，x 3=﹣2+， 当x ∈（﹣∞，﹣2﹣）时，f ′（x ）＞0；当x ∈（﹣2﹣，﹣2）时，f ′（x ）＜0； 当x ∈（﹣2，﹣2+）时，f ′（x ）＞0； 当x ∈（﹣2+，+∞）时，f ′（x ）＜0∴f （x ）在区间（﹣∞，﹣2﹣）、（﹣2，﹣2+）上是增函数，在区间（﹣2﹣，﹣2）、（﹣2+，+∞）上是减函数．又∵f （﹣2﹣）=f （﹣2+）=16，∴f （x ）的最大值为16．故答案为：16．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17．已知函数f （x ）=2sinxcosx+2cos 2x ﹣1（x ∈R ）（Ⅰ）求函数f （x ）的最小正周期及在区间[0，]上的最大值和最小值； （Ⅱ）若f （x 0）=，x 0∈[，]，求cos2x 0的值． 【考点】三角函数中的恒等变换应用；函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换．【分析】先将原函数化简为y=Asin （ωx+φ）+b 的形式（1）根据周期等于2π除以ω可得答案，又根据函数图象和性质可得在区间[0，]上的最值．（2）将x 0代入化简后的函数解析式可得到sin （2x 0+）=，再根据x 0的范围可求出cos （2x 0+）的值，最后由cos2x 0=cos （2x 0+）可得答案．【解答】解：（1）由f （x ）=2sinxcosx+2cos 2x ﹣1，得f （x ）=（2sinxcosx ）+（2cos 2x ﹣1）=sin2x+cos2x=2sin （2x+）所以函数f （x ）的最小正周期为π． 因为f （x ）=2sin （2x+）在区间[0，]上为增函数，在区间[，]上为减函数， 又f （0）=1，f （）=2，f （）=﹣1，所以函数f （x ）在区间[0，]上的最大值为2，最小值为﹣1．（Ⅱ）由（1）可知f （x 0）=2sin （2x 0+）又因为f （x 0）=，所以sin （2x 0+）= 由x 0∈[，]，得2x 0+∈[，] 从而cos （2x 0+）=﹣=﹣．所以cos2x 0=cos[（2x 0+）﹣]=cos （2x 0+）cos+sin （2x 0+）sin =．18．已知函数f （x ）=ax 3﹣+1（x ∈R ），其中a ＞0．（Ⅰ）若a=1，求曲线y=f （x ）在点（2，f （2））处的切线方程； （Ⅱ）若在区间[﹣]上，f （x ）＞0恒成立，求a 的取值范围．【考点】函数恒成立问题；利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程． 【分析】（Ⅰ）把a=1代入到f （x ）中得到切点的坐标，利用导数求出直线切线，即可求出切线方程；（Ⅱ）求出f ′（x ）=0时x 的值，分0＜a ≤2和a ＞2两种情况讨论函数的增减性分别得到f （﹣）和f （）及f （﹣）和f （）都大于0，联立求出a 的解集的并集即可． 【解答】（Ⅰ）解：当a=1时，f （x ）=，∴f （2）=3；∵f ′（x ）=3x 2﹣3x ， ∴f ′（2）=6．所以曲线y=f （x ）在点（2，f （2））处的切线方程为y ﹣3=6（x ﹣2）， 即y=6x ﹣9；（Ⅱ）解：f ′（x ）=3ax 2﹣3x=3x （ax ﹣1）． 令f ′（x ）=0， 解得x=0或x=． 以下分两种情况讨论： （1）若0＜a ≤2，则；当x 变化时，f ′（x ），f （x ）的变化情况如下表：x（﹣，0）0（0，）f′（x）+ 0 ﹣ f（x）增极大值减当时，f（x）＞0，等价于即．解不等式组得﹣5＜a＜5．因此0＜a≤2；（2）若a＞2，则当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：x（﹣，0） 0（0，）（，）f′（x）+ 0 ﹣ 0 + f（x）增极大值减极小值增当时，f（x）＞0等价于即解不等式组得或．因此2＜a＜5．综合（1）和（2），可知a的取值范围为0＜a＜5．19．设函数f（x）=﹣klnx，k＞0．（1）求f（x）的单调区间和极值；（2）证明：若f（x）存在零点，则f（x）在区间（1，]上仅有一个零点．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．【分析】（1）利用f'（x）≥0或f'（x）≤0求得函数的单调区间并能求出极值；（2）利用函数的导数的极值求出最值，利用最值讨论存在零点的情况．【解答】解：（1）由f（x）=f'（x）=x﹣由f'（x）=0解得x=f（x）与f'（x）在区间（0，+∞）上的情况如下：X （0，）（） f'（x）﹣ 0 +f（x）↓↑所以，f（x）的单调递增区间为（），单调递减区间为（0，）；f（x）在x=处的极小值为f（）=，无极大值．（2）证明：由（1）知，f（x）在区间（0，+∞）上的最小值为f（）=．因为f（x）存在零点，所以，从而k≥e当k=e时，f（x）在区间（1，）上单调递减，且f（）=0所以x=是f（x）在区间（1，）上唯一零点．当k＞e时，f（x）在区间（0，）上单调递减，且，所以f（x）在区间（1，）上仅有一个零点．综上所述，若f（x）存在零点，则f（x）在区间（1，]上仅有一个零点．20．设函数f（x），g（x）的定义域均为R，且f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，f（x）+g（x）=e x，其中e为自然对数的底数．（1）求f（x），g（x）的解析式，并证明：当x＞0时，f（x）＞0，g（x）＞1；（2）设a≤0，b≥1，证明：当x＞0时，ag（x）+（1﹣a）＜＜bg（x）+（1﹣b）．【考点】不等式的证明；导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】（1）运用奇、偶函数的定义，由函数方程的思想可得f（x）、g（x）的解析式，再由指数函数的单调性和基本不等式，即可证得f（x）＞0，g（x）＞1；（2）当x＞0时，＞ag（x）+1﹣a⇔f（x）＞axg（x）+（1﹣a）x，＜bg（x）+1﹣b⇔f（x）＜bxg（x）+（1﹣b）x，设函数h（x）=f（x）﹣cxg（x）﹣（1﹣c）x，通过导数判断单调性，即可得证．【解答】解：（1）f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，即有f（﹣x）=﹣f（x），g（﹣x）=g（x），f（x）+g（x）=e x，f（﹣x）+g（﹣x）=e﹣x，即为﹣f（x）+g（x）=e﹣x，解得f（x）=（e x﹣e﹣x），g（x）=（e x+e﹣x），则当x＞0时，e x＞1，0＜e﹣x＜1，f（x）＞0；g（x）=（e x+e﹣x）＞×2=1，则有当x＞0时，f（x）＞0，g（x）＞1；（2）证明：f′（x）=（e x+e﹣x）=g（x），g′（x）=（e x﹣e﹣x）=f（x），当x＞0时，＞ag（x）+1﹣a⇔f（x）＞axg（x）+（1﹣a）x，＜bg（x）+1﹣b⇔f（x）＜bxg（x）+（1﹣b）x，设函数h（x）=f（x）﹣cxg（x）﹣（1﹣c）x，h′（x）=f′（x）﹣c（g（x）+xg′（x））﹣（1﹣c）=g （x ）﹣cg （x ）﹣cxf （x ）﹣（1﹣c ）=（1﹣c ）（g （x ）﹣1）﹣cxf （x ）， ①若c ≤0则h ′（x ）＞0，故h （x ）在（0，+∞）递增，h （x ）＞h （0）=0，（x ＞0）， 即有f （x ）＞cxg （x ）+（1﹣c ）x ，故＞ag （x ）+1﹣a 成立；②若c ≥1则h ′（x ）＜0，故h （x ）在（0，+∞）递减，h （x ）《h （0）=0，（x ＞0）， 即有f （x ）＜cxg （x ）+（1﹣c ）x ，故＜bg （x ）+1﹣b 成立．综上可得，当x ＞0时，a g （x ）+（1﹣a ）＜＜b g （x ）+（1﹣b ）．21．设函数f （x ）=（x ﹣1）e x ﹣kx 2（k ∈R ）． （1）当k=1时，求函数f （x ）的单调区间； （2）当时，求函数f （x ）在[0，k]上的最大值M ．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值． 【分析】（1）利用导数的运算法则即可得出f ′（x ），令f ′（x ）=0，即可得出实数根，通过列表即可得出其单调区间；（2）利用导数的运算法则求出f ′（x ），令f ′（x ）=0得出极值点，列出表格得出单调区间，比较区间端点与极值即可得到最大值． 【解答】解：（1）当k=1时，f （x ）=（x ﹣1）e x ﹣x 2， f'（x ）=e x +（x ﹣1）e x ﹣2x=x （e x ﹣2） 令f'（x ）=0，解得x 1=0，x 2=ln2＞0 所以f'（x ），f （x ）随x 的变化情况如下表：x （﹣∞，0）0 （0，ln2） ln2 （ln2，+∞）f'（x ） + 0 ﹣ 0 + f （x ） ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ 所以函数f （x ）的单调增区间为（﹣∞，0）和（ln2，+∞），单调减区间为（0，ln2） （2）f （x ）=（x ﹣1）e x ﹣kx 2，x ∈[0，k]，．f'（x ）=xe x ﹣2kx=x （e x ﹣2k ），f'（x ）=0，解得x 1=0，x 2=ln （2k ） 令φ（k ）=k ﹣ln （2k ），，所以φ（k ）在上是减函数，∴φ（1）≤φ（k ）＜φ，∴1﹣ln2≤φ（k ）＜＜k ．即0＜ln （2k ）＜k 所以f'（x ），f （x ）随x 的变化情况如下表：x （0，ln （2k ））ln （2k ） （ln （2k ），k ）f'（x ） ﹣ 0 + f （x ） ↘ 极小值 ↗ f （0）=﹣1， f （k ）﹣f （0）=（k﹣1）e k﹣k3﹣f（0）=（k﹣1）e k﹣k3+1=（k﹣1）e k﹣（k3﹣1）=（k﹣1）e k﹣（k﹣1）（k2+k+1）=（k﹣1）[e k﹣（k2+k+1）]∵，∴k﹣1≤0．对任意的，y=e k的图象恒在y=k2+k+1下方，所以e k﹣（k2+k+1）≤0所以f（k）﹣f（0）≥0，即f（k）≥f（0）所以函数f（x）在[0，k]上的最大值M=f（k）=（k﹣1）e k﹣k3．22．在△ABC中，AB=AC，过点A的直线与其外接圆交于点P，交BC延长线于点D．（1）求证：；（2）若AC=3，求AP•AD的值．【考点】相似三角形的性质；相似三角形的判定．【分析】（1）先由角相等∠CPD=∠ABC，∠D=∠D，证得三角形相似，再结合线段相等即得所证比例式；（2）由于∠ACD=∠APC，∠CAP=∠CAP，从而得出两个三角形相似：“△APC～△ACD”结合相似三角形的对应边成比例即得AP•AD的值．【解答】解：（1）∵∠CPD=∠ABC，∠D=∠D，∴△DPC～△DBA，∴又∵AB=AC，∴（2）∵∠ACD=∠APC，∠CAP=∠CAP，∴△APC～△ACD∴，∴AC2=AP•AD=92016年10月24日。
湖南省怀化市数学高三下学期文数阶段性检测试卷姓名:________班级:________成绩:________一、 单选题 (共 10 题；共 20 分)1. （2 分） (2019·浙江模拟) 已知 i 是虚数单位，若，则 z 的共轭复数 等于（ ）A.B.C.D.2. （2 分） (2016 高二下·海南期中) 对一批产品的长度（单位：毫米）进行抽样检测，如图为检测结果的 频率分布直方图．根据标准，产品长度在区间[20，25）上为一等品，在区间[15，20）和[25，30）上为二等品， 在区间[10，15）和[30，35]上为三等品．用频率估计概率，现从该批产品中随机抽取 1 件，则其为二等品的概率 是（ ）A . 0.09B . 0.20C . 0.25D . 0.453.（2 分）等差数列 的前 n 项和为 ，且 9 ，3 ， 成等比数列. 若 =3，则 =（ ）A.7B.8第1页共8页C . 12 D . 164. （2 分） 在的二项展开式中任取 2 项， 表示取出的 2 项中有 i 项系数为奇数的概率. 若用随机变量 表示取出的 2 项中系数为奇数的项数 i，则随机变量 的数学期望 （ ）A.B.C.D. 5. （2 分） (2016 高三上·黑龙江期中) 已知某四棱锥的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A.2 B. C. D. 6. （2 分） (2018 高二上·惠来期中) 要得到函数 （）的图象，只要将函数A . 向右平移 单位第2页共8页的图象B . 向左平移 单位C . 向左平移 单位D . 向右平移 单位7. （2 分） (2016·铜仁) 椭圆 圆周长为 ， A,B 两点的坐标分别为的左、右焦点分别为， 弦 AB 过 ， 若和，则的值为（ ）的内切A. B. C. D.8. （2 分） 设函数 满足且当 时，函数在上的零点个数为（）A.B.C.D.， 又函数，则9.（2 分）(2019 高三上·禅城月考) 设首项为 ，公比为 的等比数列 A.的前 项和为 ，则（ ）B.第3页共8页C. D. 10. （2 分） 抛物线 y＝ax2 的准线方程是 y＝1，则实数 a 的值为（ ）A.B.－ C.4 D . －4二、 填空题 (共 5 题；共 6 分)11. （1 分） (2017·肇庆模拟) 已知 =（1，2）， =（4，2）， =m + （m∈R），且 与 的 夹角等于 与 的夹角，则 m=________．12. （1 分） 在△ABC 中，若 tanA=﹣ ， 则 sinA+cosA=________13. （2 分） (2018 高一下·虎林期末) 在 ΔABC 中，已知 a=1，b= , A=30°，则 B 等于________； 14. （1 分） (2018 高二下·海安月考) 已知一组数据 x1 ， x2 ， …，x100 的方差是 ，则数据 3x1 ， 3x2 ， …，3x100 的标准差为________.15. （1 分） (2017·武邑模拟) 数列{an}中， 恒成立，则实数 t 的取值范围是________．三、 解答题 (共 5 题；共 50 分)16. （10 分） 解答题，若不等式（1） 已知 α 是第三象限角，且，求 sinα，cosα 的值．（2） 已知角 α 的终边上有一点 P 的坐标是（3a，4a），其中 a≠0，求 sinα，cosα，tanα．17. （10 分） (2016 高一下·水富期中) 在公差为 d 的等差数列{an}中，已知 a1=10，5a1a3=（2a2+2）2 ．第4页共8页（1） 求 d 和 an 的值； （2） 若 d＜0，求|a1|+|a2|+|a3|+…+|a2021|的值． 18. （10 分） (2016 高三上·海淀期中) 如图，△ABC 是等边三角形，点 D 在边 BC 的延长线上，且 BC=2CD， AD= ．（1） 求 CD 的长； （2） 求 sin∠BAD 的值．19. （10 分） (2018·长安模拟) 已知曲线 C： （Ⅰ）求曲线 C 的直角坐标方程；，直线 ：（t 为参数，）.（Ⅱ）设直线 与曲线 C 交于 A、B 两点（A 在第一象限），当时，求 的值.20. （10 分） (2014·天津理) 某大学志愿者协会有 6 名男同学，4 名女同学，在这 10 名同学中，3 名同学来 自数学学院，其余 7 名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院，现从这 10 名同学中随机选取 3 名同学， 到希望小学进行支教活动（每位同学被选到的可能性相同）．（1） 求选出的 3 名同学是来自互不相同学院的概率；（2） 设 X 为选出的 3 名同学中女同学的人数，求随机变量 X 的分布列和数学期望．第5页共8页一、 单选题 (共 10 题；共 20 分)1-1、 2-1、 3-1、 4-1、 5-1、 6-1、 7-1、 8-1、 9-1、 10-1、二、 填空题 (共 5 题；共 6 分)11-1、 12-1、 13-1、 14-1、 15-1、参考答案第6页共8页三、 解答题 (共 5 题；共 50 分)16-1、 16-2、 17-1、17-2、 18-1、第7页共8页18-2、19-1、20-1、 20-2、第8页共8页。
