高三教学质量检测试题 数学

安徽省合肥市第一中学2025届高三上学期教学质量检测（11月月考）数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合A={x|y=log3(x2−1)}，集合B={y|y=3−x}，则A∩B=( )A. (0,1)B. (1,2)C. (1,+∞)D. (2,+∞)2.若sinθ(sinθ+cosθ)=25，则tanθ=( )A. 2或−13B. −2或13C. 2D. −23.已知函数f(x)=a−e x1+ae x⋅cos x，则“a=1”是“函数f(x)的是奇函数”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4.函数f(x)={ax2+e x,x≥0x3−ax2+a,x<0在R上单调，则a的取值范围是( )A. (0,1)B. (0,1]C. [0,1)D. [0,1]5.在▵ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知▵ABC的外接圆半径为1，且a2+c2−b2=2ac,1+2sin A 1−2cos A =sin2C1+cos2C，则▵ABC的面积是( )A. 22B. 32C. 1D. 26.已知一个正整数N=a×1010(1≤a<10)，且N的15次方根仍是一个整数，则这个数15次方根为().(参考数据：lg2≈0.3,lg3≈0.48,lg5≈0.7)A. 3B. 4C. 5D. 67.已知函数f(x)=x ln x，g(x)=e x−x2+a，若∃x1,x2∈[1,2]，使得f(x1)=g(x2)，则实数a的取值范围是( )A. (4−e2,ln4+1−e)B. [4−e2,ln4+1−e]C. (ln4+4−e2,1−e)D. [ln4+4−e2,1−e]8.已知正数x，y满足9x2−1+9y2−1=9xy，则4x2+y2的最小值为( )A. 1B. 2C. 3D. 4二、多选题：本题共3小题，共18分。

石家庄市2024年普通高中学校毕业年级教学质量检测（三）数学（本试卷满分150分，考试时间120分钟）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知复数2ii z -=，则|z |=（）A.B.C.3D.5【答案】B 【解析】【分析】根据复数的除法运算化简复数，再求复数的模长即可.【详解】由已知得2i (2i)i 2i 112i i i i 1z --+====--⨯-，所以z ==，故选：B.2.已知圆221:1C x y +=和圆2226890C x y x y +--+=:，则两圆公切线的条数为（）A.1B.2C.3D.4【答案】C 【解析】【分析】根据圆与圆的位置关系求两圆圆心距及两圆半径，从而可判断两圆位置关系，即可得公切线条数.【详解】圆221:1C x y +=的圆心为()10,0C ，半径11r =，圆2226890C x y x y +--+=:的圆心()23,4C ，半径24r =，则12125C C r r ===+，故两圆外切，则两圆公切线的条数为3.故选：C.3.已知等差数列{}n a 的前n 项和为195,1,627n S a S a ==+，则5S =（）A.25 B.27C.30D.35【答案】A 【解析】【分析】借助等差数列及其前n 项和的性质计算可得公差，结合等差数列求和公式计算即可得.【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，则有()()1117894262a a d a d ++⨯++=，又11a =，则()()62714914d d =⨯+++，解得2d =，则()511425252S ++⨯⨯==.故选：A.4.已知双曲线()2222:10,0y x C a b a b-=>>其上焦点到双曲线的一条渐近线的距离为3，则双曲线C 的渐近线方程为（）A.y =B.33y x =±C.32y x =±D.233y x =±【答案】B 【解析】【分析】设双曲线()2222:10,0y x C a b a b-=>>的上焦点为(0,)c ，由题意可得3=，可求b ，由已知可求a ，可求渐近线方程.【详解】设双曲线()2222:10,0y x C a b a b-=>>的上焦点为(0,)c ，双曲线的渐近线方程为0by ax ±=，由点到直线的距离公式可得3b ===，又双曲线()2222:10,0y x C a b a b-=>>a =所以双曲线C 的渐近线方程为30y ±=，即3y x =±.故选：B.5.设,,αβγ是三个不同的平面，,m l 是两条不同的直线，则下列命题为真命题的是（）A.若,,m l αβαβ⊥⊂⊥，则m l ∥B.若,,m l αβαβ⊂⊂ ，则m l∥C.若,,m l m αβαβ⊥⋂=⊥，则l β⊥ D.若,,l m l m αβγ⋂=⊥ ，则αγ⊥【答案】D 【解析】【分析】根据线面位置关系依次讨论各选项即可得答案.【详解】对于A 选项，若,,m l αβαβ⊥⊂⊥，则//l α或l ⊂α，无法确定m 与l 的关系，错误；对于B 选项，根据面面平行的性质定理，缺少m l ∥的条件，它们可能平行或异面，错误；对于C 选项，根据面面垂直的性质定理，缺少条件l ⊂α，,l β平行、相交或l β⊂均有可能，错误；对于D 选项，若,,l m l m αβγ⋂=⊥ ，则l γ⊥，由面面垂直的判定定理可得αγ⊥，正确.故选：D6.某项活动在周一至周五举行五天，现在需要安排甲、乙、丙、丁四位负责人值班，每个人至少值班一天，每天仅需一人值班，已知甲不能值第一天和最后一天，乙要值班两天且这两天必须相邻，则不同安排方法的种数为（）A.24B.10C.16D.12【答案】D 【解析】【分析】分乙值前两天，乙值后两天及乙不值第一天和最后一天进行讨论即可得.【详解】若乙值前两天，则甲有两种选择，共有1222C A 4=，若乙值后两天，则甲有两种选择，共有1222C A 4=，若乙不值第一天和最后一天，共有1222C A 4=，共有44412++=种不同安排方法.故选：D .7.已知角,αβ满足()1tan ,2sin cos sin 3αβαβα==+，则tan β=（）A.13B.16C.17D.2【答案】C 【解析】【分析】借助()βαβα=+-对已知化简，可求出()tan αβ+的值，再由()()tan tan βαβα=+-可解.【详解】因为()2sin cos sin βαβα=+，即()()2sin cos sin αβααβα⎡⎤+-=+⎣⎦，所以()()()2sin cos 2cos sin cos sin αβααβααβα+-+=+，整理得()()2sin cos 3cos sin αβααβα+=+，变形得()31tan tan 22αβα+==，所以()()()tan tan 1tan tan 1tan tan 7αβαβαβααβα+-⎡⎤=+-==⎣⎦++.故选：C8.已知抛物线2:8C y x =的焦点为F ，斜率为()0k k >的直线过F 与C 交于,P Q 两点，若FP FQ -=，则k 的值为（）A.1B.C.2D.3【答案】C 【解析】【分析】设出直线方程，联立曲线后得到横坐标有关韦达定理，结合焦半径公式计算即可得解.【详解】由2:8C y x =可得()2,0F ，则():2PQ l y k x =-，()11,P x y ，()22,Q x y ，联立()228y k x y x⎧=-⎨=⎩，得()22224840k x k x k -++=，42421664641664640k k k k ∆=++-=+>，212224884k x x k k++==+，124x x =，由焦半径公式可得1122p FP x x =+=+，2222pFQ x x =+=+，则12FP FQ x x -=-=，则有21284422k x k ++==+，22284422k x k -+==+，21224254x x k ⎛⎫=+-= ⎪⎝⎭，解得2k =±，又0k >，故2k =.故选：C.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.某校“五一田径运动会”上，共有12名同学参加100米、400米、1500米三个项目，其中有8人参加“100米比赛”，有7人参加“400米比赛”，有5人参加“1500米比赛”，“100米和400米”都参加的有4人，“100米和1500米”都参加的有3人，“400米和1500米”都参加的有3人，则下列说法正确的是（）A.三项比赛都参加的有2人B.只参加100米比赛的有3人C.只参加400米比赛的有3人D.只参加1500米比赛的有1人【答案】ABD 【解析】【分析】根据总人数和各个项目的人数，可求出三项比赛都参加的人数，从而可判定各选项.【详解】根据题意，设A ={x x 是参加100米的同学}，B ={x x 是参加400米的同学}，C ={x x 是参加1500米的同学}，则()()()card 8,card 7,card 5,A B C ===且()()()card 4,card 3,card 3,A B A C B C === 则()()()card 128754332A B C ⎡⎤=-++-++=⎣⎦ ，所以三项比赛都参加的有2人，只参加100米比赛的有3人，只参加400米比赛的有2人，只参加1500米比赛的有1人.故选：ABD10.函数()()ππ4sin 02,22f x x ωϕωϕ⎛⎫=+<≤-<< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则下列说法中正确的是（）A.π6ϕ=-B.()f x 的图象关于直线πx =对称C.()12π4cos 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭D.若方程()2f x =在()0,m 上有且只有5个根，则26π,10π3m ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦【答案】ACD 【解析】【分析】根据图象可求得函数()f x 的解析式，再根据三角函数的性质依次判断各选项.【详解】对于A ，由()02f =-，得4sin 2ϕ=-，即1sin 2ϕ=-，又ππ22ϕ-<<，π6ϕ∴=-，故A 正确；对于C ，又()f x 的图象过点π,03⎛⎫⎪⎝⎭，则π03f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，即ππsin 036ω⎛⎫-= ⎪⎝⎭，πππ36k ω∴-=，即得132k ω=+，k ∈Z ，又02ω<≤，12ω∴=，所以()1ππ12π12π4sin 4sin 4cos 2622323f x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=+-=- ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故C 正确；对于B ，因为()1π4sin 26f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭，而()ππππ4sin 4sin 263f ⎛⎫=-== ⎪⎝⎭故直线πx =不是函数()f x 的对称轴，故B 错误；对于D ，由()2f x =，得12π1cos 232x ⎛⎫-=⎪⎝⎭，解得2π4πx k =+或2π4π3k +，Z k ∈，方程()2f x =在()0,m 上有5个根，从小到大依次为：2π14π26π,2π,,6π,333，而第7个根为10π，所以26π10π3m <≤，故D 正确.故选：ACD.11.如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，M 为11B C 的中点，则下列说法正确的有（）A.若点O 为BD 中点，则异面直线MO 与1CC 所成角的余弦值为5B.若点N 为线段BC 上的动点（包含端点），则MN DN +C.若点P 为CD 的中点，则平面AMP 与四边形11CDD C D.若点Q 在侧面正方形11ADD A 内（包含边界）且1MQ AC ⊥，则点Q 【答案】BD 【解析】【分析】取BC 中点E ，连接,,ME MO OE ，OME ∠为异面直线MO 与1CC 所成角，可判断A ；将侧面11BCC B 延BC 旋转至与平面ABCD 共面，根据两点间线段最短可判断B ；对于C ，如图以点D 为原点，以1,,DA DC DD 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，取11A B 靠近1B 的四等分点，则可证明//MF AP ，判断C ；并确定点Q 的轨迹为直线1x z +=在正方形11ADD A 内的线段，判断D.【详解】对于A ，取BC 中点E ，连接,,ME MO OE ，则1//CC ME ，所以OME ∠为异面直线MO 与1CC 所成角，在Rt OEM △中，25cos 5ME OME OM ∠==，故A 错误；对于B ，将侧面11BCC B 延BC 旋转至与平面ABCD 共面，如图连接DM ，交BC 与点N ，此时MN DN +最小，且MN DN DM +===B 正确；对于C ，如图，以点D 为原点，以1,,DA DC DD 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，则()()()2,0,0,0,1,0,1,2,2,A P M 因为平面//ABCD 平面1111D C B A ，所以平面AMP 与平面1111D C B A 的交线为过点M 且平行于AP 的直线，取11A B 靠近1B 的四等分点F ，连接FM ，并延长交11C D 于点S ，连接SP ，交1CC 于点T ，由32,,22F ⎛⎫⎪⎝⎭，所以()11,,0,2,1,02MF AP ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭ ，则12MF AP =-，则//MF AP ，所以MF 为平面AMP 与平面1111D C B A 的交线，则SP 为平面AMP 与平面11CDD C 的交线，所以TP 为平面AMP 与四边形11CDD C 的交线，由于11Rt Rt FB M SC M ≅ ，所以1112SC FB ==，又1Rt Rt SC T PCT ，所以43CT =，则53PT ==，故C 错误；对于D ，因为点Q 在侧面正方形11ADD A 内，设(),0,Q x z ，则()()12,2,2,1,2,2A C MQ x z =--=---，因为1MQ AC ⊥，所以()()214220x z -----=，化简为1x z +=，则点Q 的轨迹为直线1x z +=在正方形11ADD A，故D 正确.故选：BD【点睛】关键点睛：本题选项D 为空间动点轨迹的探索问题，解答本题的关键是利用空间直角坐标系探索出动点的轨迹.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.为了解全市高三学生的体能素质情况，在全市高三学生中随机抽取了1000名学生进行体能测试，并将这1000名学生的体能测试成绩整理成如下频率分布直方图．则直方图中实数a 的值为______．【答案】0.015【解析】【分析】利用直方图直方块总面积为1，进行运算解出a 即可.【详解】由直方图可知：组距为10，所以()100.0050.0200.0400.0201a ⨯++++=，解得0.015a =.故答案为：0.015.13.给定函数()()21,f x x x g x x x=+=+，用()M x 表示()(),f x g x 中的较大者，记()()(){}max ,M x f x g x =．若函数()y M x =的图象与y a =有3个不同的交点，则实数a 的取值范围是______．【答案】()10,2,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【解析】【分析】在同一坐标系下画出()()21,f x x x g x x x=+=+的图象，求出交点坐标；结合图象再做出满足条件的直线y a =，进而求出a 的取值范围即可.【详解】由()()()2221010x x x x f x x x x x x ⎧+≤-≥⎪=+=⎨---<<⎪⎩或，()1g x x x =+，因为()()(){}max ,M x f x g x =，所以图象变为：其中()()2max1104x xx +=-≤≤，当且仅当12x =-时取最大值；且设两函数在第一象限的交点为P ，即当0,0x y >>，()()21f x x xg x x x ⎧=+⎪⎨=+⎪⎩，解得：()1,2P ，由题意y a =与函数()y M x =的图象有3个不同的交点，由数形结合易知：10a 4<<，或2a >，故答案为：()10,2,4∞⎛⎫⋃+ ⎪⎝⎭.14.已知数列{}n a 满足：12211,2,2n n n a a a a a ++==-=，定义：()mod4a b ≡表示整数a 除以4的余数与整数b 除以4的余数相同，例：()()19mod4,622mod4≡≡．设()()42,0mod4,123mod4kk k k a b k a ⎧⎪≡=⎨≡⎪⎩或或，其中*k ∈N ，数列{}n b 的前n 项和为n S ，则4b =______；满足2024m S ≥的m 最小值为______．【答案】①.2②.40【解析】【分析】由12211,2,2n n n a a a a a ++==-=，可得当n 为4的倍数时，n a 也是4的倍数，当n 不为4的倍数时，n a 也不是4的倍数，则得当k 是4的倍数时，42kk b =，当k 不是4的倍数时，k b k =，即可得4b ，取()*4n s s =∈N，计算出nS后，再计算40S 及39S 即可得解.【详解】由212n n n a a a ++-=，则3415a =+=，410212a =+=，则1a 、2a 、3a 都不是4的倍数，4a 是4的倍数，5432a a a =+，不是4的倍数，65443252a a a a a =+=+，不是4的倍数，76543434321042125a a a a a a a a a =+=+++=+，不是4的倍数，87643434322410522912a a a a a a a a a =+=+++=+，是4的倍数，依次可得当n 为4的倍数时，n a 也是4的倍数，当n 不为4的倍数时，n a 也不是4的倍数，由()()42,0mod4,123mod4kk k k a b k a ⎧⎪≡=⎨≡⎪⎩或或，则有当k 是4的倍数时，42kk b =，当k 不是4的倍数时，k b k =，则44422b ==；当()*4n s s =∈N，12123256722snS=+++++++++ ()212344222484s s s =+++++++++-+++ ()()()212144442122ss s s s -+⨯+=+--21221822222622s s s s s s s ++=++---=+-，当40n =，即10s =时，有14021610226002048226462024S =⨯+-=+-=>，01040394264622646102416222024S b S =-=-=-=<，故满足2024m S ≥的m 最小值为40.故答案为：2；40.【点睛】关键点点睛：本题关键点在于借助题意，得到当k 是4的倍数时，42kkb =，当k 不是4的倍数时，k b k =，从而可通过计算当()*4n s s =∈N 时的n S .四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.在ABC 中，角、、A B C 所对的边分别为,4,9a b c c ab ==、、．（1）若2sin 3C =，求sin sin A B ⋅的值；（2）求ABC 面积的最大值．【答案】（1）14（2）【解析】【分析】（1）根据正弦定理可得sin ,sin 66a bA B ==，从而可求sin sin A B ⋅的值；（2）利用基本不等式可得22218a b ab +≥=，再根据余弦定理可得cos C 的范围，从而可得sin C 的范围，结合三角形面积公式，即可得ABC 面积的最大值．【小问1详解】由正弦定理6sin sin sin c b a C B A ===，可得sin ,sin 66a bA B ==，91sin sin 66364a b A B ∴⋅=⋅==【小问2详解】9ab = ，22218a b ab ∴+≥=，由余弦定理可得2222161cos 2189a b c ab C ab +--=≥=，1cos 19C ∴≤<，()28001cos 81C ∴<-≤，0sin 9C ∴<≤，19sin sin 22S ab C C ∴==≤，当且仅当3a b ==时，等号成立，此时ABC 面积取得最大值16.在推动电子制造业高质量发展的大环境下，某企业统筹各类资源，进行了积极的改革探索．下表是该企业每月生产的一种核心产品的产量()315x x ≤≤（件）与相应的生产总成本y （万元）的四组对照数据．x57911y200298431609企业研究人员建立了y 与x 的两种回归模型，利用计算机算得近似结果如下：经验回归方程①：311733ˆx y =+；经验回归方程②：26860ˆ1yx =-．其中经验回归方程①的残差图如图所示（残差=观测值-预测值）：（1）在下表中填写经验回归方程②的残差，根据残差分析，判断哪一个经验回归方程更适宜作为y 关于x 的回归方程，并说明理由；x57911y200298431609ˆe（2）从该企业在过去几年生产的该产品中随机抽取100件，优等品有60件，合格品有40件．每件优等品利润为20万元，每件合格品利润为15万元．若视频率为概率，该企业某月计划生产12件该产品，记优等品件数为X ，总利润为Y ．（ⅰ）求Y 与X 的关系式，并求()E X 和()E Y ；（ⅱ）记该月的成本利润率p ，在（1）中选择的经验回归方程下，求p 的估计值．（结果保留2位小数）附：成本利润率=总利润总成本.【答案】（1）残差数据表见解析，经验回归方程①更适宜作为y 关于x 的回归方程（2）（ⅰ）1805Y X =+，()7.2E X =，()216E Y =；（ⅱ）0.29【解析】【分析】（1）先列出经验回归方程②的残差数据表以及经验回归方程②的残差图，对比回归方程①进行选择，并给出理由即可；（2）对于（ⅰ），先求出优等品的概率，分析得出()12,0.6X B ~，进而得出求Y 与X 的关系式，并解出()E X 和()E Y 即可；对于（ⅱ），由（ⅰ）知总利润为216万元，总成本估计值319ˆ12173743y =+=（万元），再求出p 的估计值即可.【小问1详解】经验回归方程②的残差数据如下表：x57911y200298431609ˆe 2018-21-21经验回归方程②的残差图如图所示：经验回归方程①更适宜作为y 关于x 的回归方程.（以下理由或其他合理的理由，说出一条即可得分）：理由1：经验回归方程①这4个样本点的残差的绝对值都比经验回归方程②的小.理由2：经验回归方程①这4个样本的残差点落在的带状区域比经验回归方程②的带状区域更窄.理由3：经验回归方程①这4个样本的残差点比经验回归方程②的残差点更贴近x 轴.【小问2详解】（ⅰ）由题意知，每件产品为优等品的概率0600.6100P ==，则()12,0.6X B ~，因此()120.67.2E X =⨯=，由()2015125180Y X X X =+⨯-=+，则()()5180216E Y E X =+=；（ⅱ）由（ⅰ）知总利润为216万元，总成本估计值319ˆ12173743y =+=（万元），则2160.29749p =≈.17.已知函数()()()211ln 02f x x a x a x a =-++>．（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）当2a =时，若函数()()211e 2x g x f x x -=-+，求函数()g x 极值点的个数．【答案】（1）答案见解析（2）2【解析】【分析】（1）求导得()()21x a x af x x'-++=，分类讨论当01a <<，1a >，1a =时分别确定导函数的符合从而得函数单调性即可；（2）求导得()12e 3x g x x --+'=，令()12e 3x h x x-=-+，求导确定其单调性与最值，从而可得()g x 的单调与极值情况.【小问1详解】()()()211x a x a a f x x a x x-++=-++='()()1,0x x a x x --=>，当01a <<时，当()()0,,1,x a x ∞∈∈+时，()()0,f x f x '>单调递增；当(),1x a ∈时，()()0,f x f x '<单调递减．当1a >时，当()()0,1,,x x a ∞∈∈+时，()()0,f x f x '>单调递增；当()1,x a ∈时，()()0,f x f x '<单调递减；当1a =时，()()0,f x f x '≥在()0,∞+单调递增．【小问2详解】2a =时，()()112e32ln ,e 3x x g x x x g x x--=-+-+'=，设()()()11222e3,e ,x x h x h x h x x x--=-+-''=在区间()0,∞+单调递增．因为()()1110,2e 02h h ''=-=-，所以存在唯一()01,2x ∈使得()00h x '=，当()00,x x ∈时，()()0,h x h x '<单调递减，即()g x '单调递减；当()0,x x ∞∈+时，()()0,h x h x '>单调递增，即()g x '单调递增．()10g '=，且()g x '在()01,x 单调递减，所以()00g x '<，又()2e 20g ='->因此()g x '在区间()0,2x 存在唯一零点t当()()0,1,,x x t ∞∈∈+时，()()0,g x g x '>单调递增；当()1,x t ∈时，()()0,g x g x '<单调递减；所以()g x 极值点为1,t ，因此()g x 极值点个数为2.18.如图，在五棱锥S ABCDE -中，平面SAE ⊥平面AED ，,AE ED SE AD ⊥⊥．（1）证明：SE ⊥平面AED ；（2）若四边形ABCD 为矩形，且1,3SE AB AD ===，2BN NC =．当直线DN 与平面SAD 所成的角最小时，求三棱锥D SAE -体积．【答案】（1）证明见解析（2）34【解析】【分析】（1）借助面面垂直的性质定理与线面垂直的判定定理推导即可得；（2）建立适当空间直角坐标系，借助空间向量可得当直线DN 与平面SAD 所成的角最小时EAD ∠的大小，结合体积公式计算即可得解.【小问1详解】因为平面SAE ⊥平面,,AED DE EA DE ⊥⊂平面AED ，平面SAE 平面AED AE =，所以DE ⊥平面SAE ，又SE ⊂平面SAE ，所以DE SE ⊥，又因为,SE AD ED AD D ⊥= ，且,AD DE ⊂平面AED ，所以SE ⊥平面AED ；【小问2详解】以E 为坐标原点，分别以,,EA ED ES 为,,x y z轴建立空间直角坐标系，设π0,2EAD θθ⎛⎫⎛⎫∠=∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则()()()3cos ,0,0,0,3sin ,0,0,0,1A D S θθ，可得CD 与y 轴夹角为θ，所以()sin ,cos ,0DC θθ=，()1cos ,sin ,03CN DA θθ==-，()sin cos ,cos sin ,0DN DC CN θθθθ=+=+-，()()3cos ,0,1,0,3sin ,1SA SD θθ=-=- ，平面SAD 的法向量记为(),,n x y z =，由00n SA n SD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得3cos 03sin 0x z y z θθ-=⎧⎨-=⎩，令3sin cos z θθ=，得()sin ,cos ,3sin cos n θθθθ=，22cos ,DN n =，即26cos ,13DN n =，当π4θ=时，等号成立，此时，直线DN 与平面SAD 的所成的角取得最小值，此时119313344D SAE ADE V S SE -=⋅=⋅⋅= .19.已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为12(F F O 为坐标原点，直线l 与C 交于,A B 两点，点A 在第一象限，点B 在第四象限且满足直线OA 与直线OB 的斜率之积为14-．当l 垂直于x 轴时，1232F A F B =- ．（1）求C 的方程；（2）若点P 为C 的左顶点且满足(0,0)OP OA OB λμλμ=+<<，直线PA 与OB 交于1B ，直线PB 与OA交于1A ．①证明：22λμ+为定值；②证明：四边形11AB A B 的面积是AOB 面积的2倍．【答案】（1）2214x y +=（2）①证明见解析；②证明见解析【解析】【分析】（1）取l 垂直x 轴特殊情况研究，由直线OA 与直线OB 的斜率之积为14-，且1232F A F B ⋅=- 求出A 点坐标，再代入椭圆方程待定系数法求解即可；（2）①由OP OA OB λμ=+建立,,P A B 坐标之间关系，利用,,P A B 在椭圆上及直线OA 与直线OB 的斜率之积为14-消去1122,,,x y x y ，即可得证；②设()()()()1122133144,,,,,,,,:A x y B x y A x y B x y l x my n =+，利用韦达定理将直线OA 与直线OB 的斜率之积为14-表示出来即可得到,m n 的关系2224n m =+，再表示出AOB 面积11sin 2S OA OB AOB =⋅⋅∠，四边形11AB A B 的面积2111sin 2S A A B B AOB =⋅⋅∠；若要证212S S =，只需证112A A B B OA OB ⋅=⋅．转化为证明3142122y y y y y y -⋅-=⋅，由题将,y y 34用12,y y 表示，化简即可.【小问1详解】当l 垂直x 轴时，由直线OA 与直线OB 的斜率之积为14-，故11:,:22OA y x OB y x ==-，设()()()2,,2,0A t t B t t t ->，则22212343332F A F B t t t ⋅=--=-=- ，解得2t =，即22A ⎫⎪⎪⎝⎭，则222221123a b a b ⎧+=⎪⎨⎪-=⎩，解得224,1a b ==，故C 的方程为2214x y +=；【小问2详解】（2）①设()()()1122,,,,2,0A x y B x y P -，由OP OA OB λμ=+ 知121220x x y y λμλμ-=+⎧⎨=+⎩①②，将224+⨯①②得()()22121244x x y y λμλμ+++=，即()()()2222221122121244244xy x y x x y y λμλμ+++++=．由,A B 为C 上点，则2222112244,44x y x y +=+=．又直线OA 与直线OB 的斜率之积为14-，故121214y y x x =-，即121240x x y y +=．因此221λμ+=；②由题直线l 斜率不为0，设()()()1122:,,,,,2,0l x my n A x y B x y P =+-由①联立2244x y x my n⎧+=⎨=+⎩，消去x 得()()222224240,Δ1640m y mny n m n+++-==+->，212122224,44mn n y y y y m m -+=-=++，由()()12121212440x x y y my n my n y y +=+++=，即()()()()2212121212440my n my n y y m y y mn y y n +++=++++=，即2224n m =+．因此有()()22212121212122244,,42m n y y y y y y y y y y n n n-+=-=-=+-=．AOB 面积11sin 2S OA OB AOB =⋅⋅∠，四边形11AB A B 的面积2111sin 2S A A B B AOB =⋅⋅∠，即若要证212S S =，只需证112A A B B OA OB ⋅=⋅．设()()133144,,,A x y B x y ，故只需证3142122y y y y y y -⋅-=⋅即可．直线12122:2,:x xPA x y OB x y y y +=-=，联立解得()12124122212122222y y y y y x y y x y n y y y ==+--+，同理得()12123211121212222y y y y y x y y x y n y y y ==+--+．故()()()()()2222123142121212222212121224222482824n n y y n y y y y y y y y y y n n n y y n y y y y n n ++⋅--⋅-=⋅⋅=⋅⋅=⋅+-----+-+故问题得证．【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是将212S S =表示为112A A B B OA OB ⋅=⋅后将同一直线上的弦长比值问题转化为纵坐标的比值问题，即证明3142122y y y y y y -⋅-=⋅，而,y y 34可以用12,y y 表示出来，从而达到消元化简的目的.。

安徽省合肥市2024届高三第二次教学质量检测数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．设全集U =R ，集合{}{}220,1A x x x B x x =-->=≥，则()U B A ⋂=ð（ ）A ．{}12x x ≤≤B ．{}12x x <≤C ．{}2x x >D ．{}12x x ≤<2．已知i2i z z-=+，则z =（ ） A ．12B．2C ．1D ．23．设,αβ是两个平面，,a b 是两条直线，则αβ∥的一个充分条件是（ ） A ．,,a b a b αβ∥∥∥ B ．,,a b a b αβ⊥⊥⊥ C ．,,a b a b αβ⊥⊥∥D ．,,a b a αβ∥∥与b 相交4．甲、乙两名乒乓球运动员进行一场比赛，采用7局4胜制（先胜4局者胜，比赛结束）．已知每局比赛甲获胜的概率均为12，则甲以4比2获胜的概率为（ ） A ．164B ．332C ．532D ．15645．常用放射性物质质量衰减一半所用的时间来描述其衰减情况，这个时间被称做半衰期，记为T （单位：天）．铅制容器中有甲、乙两种放射性物质，其半衰期分别为12,T T ．开始记录时，这两种物质的质量相等，512天后测量发现乙的质量为甲的质量的14，则12,T T 满足的关系式为（ ） A ．125125122T T -+= B ．125125122T T += C ．22125125122log log T T -+= D ．22125125122log log T T += 6．已知函数()22,113,1x x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨-->⎪⎩，若关于x 的方程()()10f x f a --=至少有两个不同的实数根，则a 的取值范围是（ ） A ．(]),4-∞-+∞U B ．[]1,1- C．(-D．⎡-⎣7．记ABC V 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知1112,1tan tan tan tan c A B A B=++=．则ABC V 面积的最大值为（ ）A．1B．1C．D．8．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，点P 在双曲线左支上，线段2PF 交y 轴于点E ，且23P F P E =u u u r u u ur ．设O 为坐标原点，点G 满足：213,0PO GO GF PF =⋅=u u u r u u u r u u u u r u u u r ，则双曲线C 的离心率为（ ） AB．1C．1D．2二、多选题9．已知圆22:1O x y +=，圆22:()(1)4,R C x a y a -+-=∈，则（ ） A ．两圆的圆心距OC 的最小值为1 B ．若圆O 与圆C相切，则a =±C ．若圆O 与圆C恰有两条公切线，则a -<D ．若圆O 与圆C 相交，则公共弦长的最大值为210．已知等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S ，则（ ）A ．11n n S S qS +=+B ．对任意*232,,,n n n n n n S S S S S ∈--N 成等比数列C ．对任意*n ∈N ，都存在q ，使得23,2,3n n n S S S 成等差数列D ．若10a <，则数列{}21n S -递增的充要条件是10q -<< 11．已知函数()ππsin sin sin 66f x x x ⎛⎫=+-- ⎪⎝⎭，则（ ）A ．函数()f x 在π,π2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减B ．函数5π1122y f x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭为奇函数C ．当ππ,22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，函数()41y f x =+恰有两个零点D ．设数列{}n a 是首项为π6，公差为π6的等差数列，则()2024120272i i f a ===-∑三、填空题12．在6x⎛ ⎝的展开式中，3x 的系数为 ．13．抛物线2:4C y x =的焦点为F ，准线为,l A 为C 上一点，以点F 为圆心，以AF 为半径的圆与l 交于点,B D ，与x 轴交于点,M N ，若AB FM =u u u r u u u u r，则AM =u u u u r ． 14．已知实数,,x y z ，满足20y z +-=，则为 ．四、解答题15．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的菱形，60,BAD M ∠=︒是侧棱PC 的中点，侧面PAD 为正三角形，侧面PAD ⊥底面ABCD ．(1)求三棱锥M ABC -的体积；(2)求AM 与平面PBC 所成角的正弦值．16．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点为F ，左顶点为A ，短轴长为点31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭．(1)求椭圆C 的方程；(2)过点F 的直线l （不与x 轴重合）与C 交于,P Q 两点，直线,AP AQ 与直线4x =的交点分别为,M N ，记直线,MF NF 的斜率分别为12,k k ，证明：12k k ⋅为定值．17．树人中学高三（1）班某次数学质量检测（满分150分）的统计数据如下表：在按比例分配分层随机抽样中，已知总体划分为2层，把第一层样本记为123,,,,n x x x x L ，其平均数记为x ，方差记为21s ；把第二层样本记为123,,,,m y y y y L ，其平均数记为y ，方差记为22s ；把总样本数据的平均数记为z ，方差记为2s ．(1)证明：()(){}22222121x s n s z m y m n z s ⎡⎤⎡⎤=+-++-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦+；(2)求该班参加考试学生成绩的平均数和标准差（精确到1）； (3)假设全年级学生的考试成绩服从正态分布()2,N μσ，以该班参加考试学生成绩的平均数和标准差分别作为μ和σ的估计值．如果按照16%,34%,34%,16%的比例将考试成绩从高分到低分依次划分为,,,A B C D 四个等级，试确定各等级的分数线（精确到1）．附：()19P X μσμσ-≤≤+≈≈．18．已知曲线():e e x xC f x x =-在点()()1,1A f 处的切线为l ．(1)求直线l 的方程；(2)证明：除点A 外，曲线C 在直线l 的下方；(3)设()()1212,f x f x t x x ==≠，求证：1221etx x t +<--．19．在数学中，广义距离是泛函分析中最基本的概念之一．对平面直角坐标系中两个点()111,P x y 和()222,P x y ，记1212121212max ,11t x x y y PP x x y y ⎧⎫--⎪⎪=⎨⎬+-+-⎪⎪⎩⎭，称12t PP 为点1P 与点2P 之间的“t -距离”，其中{}max ,p q 表示,p q 中较大者． (1)计算点()1,2P 和点()2,4Q 之间的“t -距离”；(2)设()000,P x y 是平面中一定点，0r >．我们把平面上到点0P 的“t -距离”为r 的所有点构成的集合叫做以点0P 为圆心，以r 为半径的“t -圆”．求以原点O 为圆心，以12为半径的“t -圆”的面积；(3)证明：对任意点()()()111222333131223,,,,,,t t t P x y P x y P x y PP PP P P ≤+．。

九江市第一中学2024年高三教学质量监测（三）数学试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．我国古代数学名著《九章算术》有一问题：“今有鳖臑(b iē naò)，下广五尺，无袤；上袤四尺，无广；高七尺.问积几何？”该几何体的三视图如图所示，则此几何体外接球的表面积为( )A ．90π平方尺B ．180π平方尺C ．360π平方尺D ．13510π平方尺2．已知函数()f x 的定义域为[]0,2，则函数()()282x g x f x =- ）A ．0,1B ．[]0,2 C ．[]1,2 D ．[]1,3 3．M 、N 是曲线y=πsinx 与曲线y=πcosx 的两个不同的交点,则|MN|的最小值为( )A ．πB 2πC 3πD ．2π 4．已知函数()(N )k f x k x+=∈，ln 1()1x g x x +=-，若对任意的1c >，存在实数,a b 满足0a b c <<<，使得()()()g a f b g c ==，则k 的最大值是( )A ．3B ．2C ．4D ．55．如图，双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左，右焦点分别是()()12,0,,0,F c F c -直线2bc y a =与双曲线C 的两条渐近线分别相交于,A B 两点.若12,3BF F π∠=则双曲线C 的离心率为（ ）A ．2B ．423C 2D 236．集合{2,1,1},{4,6,8},{|,,}A B M x x a b b B x B =--===+∈∈,则集合M 的真子集的个数是A ．1个B ．3个C ．4个D ．7个7． 若数列{}n a 满足115a =且1332n n a a +=-，则使10k k a a +⋅<的k 的值为( )A ．21B ．22C ．23D ．248．已知角α的终边与单位圆221x y +=交于点01,3P y ⎛⎫⎪⎝⎭，则cos2α等于（ ）A ．19 B ．79- C ．23- D ．139．已知等比数列{}n a 满足21a =，616a =，等差数列{}n b 中54b a =，n S 为数列{}n b 的前n 项和，则9S =（） A ．36 B ．72 C ．36- D ．36±10．设函数()()21ln 11f x x x =+-+，则使得()()1f x f >成立的x 的取值范围是（ ）．A ．()1,+∞B ．()(),11,-∞-+∞C ．()1,1-D ．()()1,00,1-11．设2,(10)()[(6)],(10)x x f x f f x x -≥⎧=⎨+<⎩ ,则(5)f =( )A ．10B ．11C ．12D ．1312．已知复数11iz i +=-，则z 的虚部是（ ）A ．iB ．i -C ．1-D ．1二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2024-2025学年普通高中高三第一次教学质量检测数学（答案在最后）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分.考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.注意事项：1.答题前，考生务必将本人的姓名､准考证号等考生信息填写在答题卡上，并用2B 铅笔将准考证号填涂在相应位置.2.选择题答案使用2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色墨水签字笔书写，字体工整､笔迹清楚.3.请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效.4.保持卡面清洁，不折叠，不破损.第I 卷一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}2230A x x x =--=∣，{1,}B a =，若{3}A B ⋂=，则A B = （）A.{1,3}B.{1,3}-C.{}113-,, D.{3,1,3}--2.记等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1620a a +=，39a =，则10S =（）A.60B.80C.140D.1603.已知0.42x =，2lg 5y =，0.425z ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则下列结论正确的是（）A.x y z <<B.y z x <<C.z y x<< D.z x y<<4.荀子《劝学》中说：“不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海．”在“进步率”和“退步率”都是1%的前提下，我们可以把()36511%+看作是经过365天的“进步值”，()36511%-看作是经过365天的“退步值”，则大约经过（）天时，“进步值”大约是“退步值”的100倍（参考数据：lg101 2.0043≈，lg 99 1.9956≈）A.100B.230C.130D.3655.若p ：实数a 使得“2000R,20x x x a ∃∈++=”为真命题，q ：实数a 使得“[)0,+,20x x a ∞∀∈->”为真命题，则p 是q 的（）A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件6.已知函数()f x 的定义域为R ，且()21f x -为奇函数，()1f x +为偶函数，当[]1,1x ∈-时，()1f x ax =+，则()2025f =（）A.0B.1C.2D.20257.已知函数2()32ln (1)3f x x x a x =-+-+在区间(1,2)上有最小值，则实数a 的取值范围是（）A.3a >-B.49103a -<<-C.4933a -<<- D.103a -<<-8.已知函数24,0()log ,0x x f x x x x ⎧+>⎪=⎨⎪<⎩，2()g x x ax b =++，若方程()0g f x =⎡⎤⎣⎦有且仅有5个不相等的整数解，则其中最大整数解和最小整数解的和等于（）A.28- B.28C.14- D.14二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.9.已知函数()32xf x x =+，则（）A.()f x 为奇函数B.()f x在区间(.-∞-内单调递增C.()f x 在区间()1,+∞内单调递减D.()f x 有极大值10.已知0a >，0b >，2a b +=，则（）A.222b a a b+≥ B.222a b b a+≥C.2232a b ab +-≥D.224a b ab ++<11.设函数32()1f x x x ax =-+-，则（）A.当1a =-时，()f x 有三个零点B .当13a ≥时，()f x 无极值点C.a ∃∈R ，使()f x 在R 上是减函数D.,()a f x ∀∈R 图象对称中心的横坐标不变第II 卷三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知不等式()220ax a x c +++>的解集为{|12}x x -<<，则函数y =__________.13.曲线e x y =在0x =处的切线恰好是曲线()ln y x a =+的切线，则实数a =______.14.函数()f x 满足：任意()*N ,5n f n n ∈≥.且()()()10f x y f x f y xy +=++.则101()i f i =∑的最小值是__________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.已知{}n a 是各项均为正数，公差不为0的等差数列，其前n 项和为n S ，且21373,,,a a a a =成等比数列．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）定义在数列{}n a 中，使()3log 1n a +为整数的n a 叫做“调和数”，求在区间[1,2024]内所有“调和数”之和．16.某公园有一块如图所示的区域OACB ，该场地由线段OA 、OB 、AC 及曲线段BC 围成.经测量，90AOB ∠=︒，100OA OB ==米，曲线BC 是以OB 为对称轴的抛物线的一部分，点C 到OA 、OB 的距离都是50米.现拟在该区域建设一个矩形游乐场OEDF ，其中点D 在曲线段BC 上，点E 、F 分别在线段OA 、OB 上，且该游乐场最短边长不低于30米.设DF x =米，游乐场的面积为S 平方米.（1）试建立平面直角坐标系，求曲线段BC 的方程；（2）求面积S 关于x 的函数解析式()S f x =；（3）试确定点D 的位置，使得游乐场的面积S 最大.17.已知函数()()22log log 1442x x f x x =⋅≤≤，()44221x x x xg x a a --=+-⋅-⋅+.（1）求函数()f x 的最大值；（2）设不等式()0f x ≤的解集为A ，若对任意1x A ∈，存在[]20,1x ∈，使得()12x g x =，求实数a 的值.18.已知()()21ln 12f x ax x x =-+-+，其中0a >．（1）若函数()f x 在3x =处的切线与x 轴平行，求a 的值；（2）求()f x 的极值点；（3）若()f x 在[)0,+∞上的最大值是0，求a 的取值范围．19.若数列()12:,,,3n A a a a n ≥ 中()*N 1i a i n ∈≤≤且对任意的1121,2k k k k n a a a +-≤≤-+>恒成立，则称数列A 为“U -数列”.（1）若数列1,,,7x y 为“U -数列”，写出所有可能的x y ､；（2）若“U -数列”12:,,,n A a a a L 中，121,1,2017n a a a ===，求n 的最大值；（3）设0n 为给定的偶数，对所有可能的“U -数列”012:,,,n A a a a ，记{}012max ,,,n M a a a = ，其中{}12max ,,,s x x x L 表示12,,, s x x x 这s 个数中最大的数，求M 的最小值.2024-2025学年普通高中高三第一次教学质量检测数学本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分.考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.注意事项：1.答题前，考生务必将本人的姓名､准考证号等考生信息填写在答题卡上，并用2B铅笔将准考证号填涂在相应位置.2.选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色墨水签字笔书写，字体工整､笔迹清楚.3.请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效.4.保持卡面清洁，不折叠，不破损.第I卷一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.【1题答案】【答案】C【2题答案】【答案】C【3题答案】【答案】B【4题答案】【答案】B【5题答案】【答案】A【6题答案】【答案】C【7题答案】【答案】D【8题答案】【答案】A二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.【9题答案】【答案】BCD 【10题答案】【答案】ABD 【11题答案】【答案】BD第II 卷三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.【12题答案】【答案】()0,2【13题答案】【答案】2【14题答案】【答案】1925四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.【15题答案】【答案】（1）1n a n =+（2）1086【16题答案】【答案】（1）()2110005050y x x =-+≤≤（2）3110050S x x =-+，3050x ≤≤.（3）点D 在曲线段BC 上且到OB 的距离为5062米时，游乐场的面积最大.【17题答案】【答案】（1）2（2）12【18题答案】【答案】（1）14 a=；（2）答案见解析；（3）[)1,+∞．【19题答案】【答案】（1）12xy=⎧⎨=⎩或13xy=⎧⎨=⎩或24xy=⎧⎨=⎩（2）65（3）200288n n-+。

六安市2024年高三教学质量检测数学试题（答案在最后）注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名和座位号填写在答题卡上.2、回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}2log 1,A x x x =≤∈Z，{}220B x xx =+-<，则A B = （）A.{}0,1 B.{}2,1-- C.{}1,0- D.{}1-【答案】D 【解析】【分析】解出对数不等式和一元二次不等式，再根据交集含义即可.【详解】2log ||1x ≤，即22log ||log 2x ≤，则22x -≤≤且0x ≠，则{}2,1,1,2A =--，{}21B x x =-<<，所以{}1A B ⋂=-.故选：D .2.已知复数z 的共轭复数在复平面内对应的点为()2,2-，则复数1z的虚部为（）A.1-B.i- C.14-D.1i 4-【答案】C 【解析】【分析】得到22i z =+，利用复数除法法则得到111i 44z =-，求出虚部.【详解】由已知得22i z =+，()()122i 1i 11i 22i 22i 444z --===-+-，则复数1z 的虚部为14-.故选：C3.已知向量a =，向量(1,b =- ，则a 与b 的夹角大小为（）A.30︒B.60︒C.120︒D.150︒【答案】D 【解析】【分析】根据给定条件，利用向量夹角的坐标表示求解即得.【详解】向量a =，(1,b =-，则cos ,222a b 〈〉==-⨯ ，而0,180a b ︒≤〈〉≤︒ ，所以a，b的夹角为150︒.故选：D4.等差数列{}n a 的公差不为0，其前n 项和为n S ，若()83124m S a a a =++，则m =（）A.11B.12C.13D.14【答案】C 【解析】【分析】由等差数列的前n 项和公式与通项公式转化为基本量计算即可.【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，所以81828S a d =+，则有()11118282214a d a d a m d a +=+++-+⎡⎤⎣⎦，即()141d m d =+，又0d ≠，所以114m +=，所以13m =.故选：C.5.函数()e 4,1ln ,1x x x f x x x ⎧+-<=⎨≥⎩，若()()()21105f a f a f +≤--，则实数a 的取值范围是（）A.{}1- B.(],1-∞-C.[)1,-+∞ D.11,e⎡⎫--⎪⎢⎣⎭【答案】A 【解析】【分析】原不等式变形为()()25110f a f a ⎡⎤+≤-⎣⎦，再利用分段函数的单调性即可得到不等式，解出即可.【详解】当1x <时，()e 4xf x x =+-，因为e ,4x y y x ==-在(),1∞-上单调递增，此时()f x 单调递增，当1x ≥时，易知()ln f x x =单调递增，且当1x =时，1e 14e 30ln1+-=-<=，则()f x 在R 上单调递增，因为211a +≥，则()()()()()222215ln 1ln5ln5151f a f a a f a ⎡⎤++=++=+=+⎣⎦，所以由()()()21105f a f a f +≤--得()()25110f a f a ⎡⎤+≤-⎣⎦，所以()25110a a +≤-，解得1a =-.故选：A .6.已知ππcos 2cos 63αα⎛⎫⎛⎫-=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则2πsin 23α⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A.35 B.45C.45-D.35-【答案】B 【解析】【分析】根据诱导公式结合二倍角公式，利用齐次式计算可得.【详解】因为πππ632αα⎛⎫⎛⎫-++=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以ππcos sin 63αα⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则ππsin 2cos 33αα⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即πtan 23α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以222πππ2sin cos 2tan 2πππ4333sin 22sin cos πππ3335sin cos tan 1333ααααααααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪ ⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎝⎭⎝⎭⎝⎭+=++=== ⎪ ⎪ ⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎝⎭⎝⎭⎝⎭+++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故选：B.7.圆()222:0O x y r r +=>上一点1,22A r r ⎛⎫⎪⎝⎭关于x 轴的对称点为B ，点E ，F 为圆O 上的两点，且满足EAB FAB ∠=∠，则直线EF 的斜率为（）A.B.3C.3D.13【答案】B 【解析】【分析】根据圆的性质以及斜率乘积与直线垂直的关系即可.【详解】由EAB FAB ∠=∠知BOE BOF ∠=∠，所以OB EF ⊥，而212OB OArk k r =-=-=，∴3EF k =.故选：B.8.某种生命体M 在生长一天后会分裂成2个生命体M 和1个生命体N ，1个生命体N 生长一天后可以分裂成2个生命体N 和1个生命体M ，每个新生命体都可以持续生长并发生分裂.假设从某个生命体M 的生长开始计算，记n a 表示第n 天生命体M 的个数，n b 表示第n 天生命体N 的个数，则11a =，10b =，则下列结论中正确的是（）A.413a = B.数列{}nnb a 为递增数列C.5163ni b==∑ D.若{}n n a b λ+为等比数列，则1λ=【答案】B 【解析】【分析】根据给定条件，求出递推公式，进而求出数列{},{}n n a b 的通项公式，再逐项分析判断即得.【详解】依题意，12n n n a a b +=+，12n n n b b a +=+，则113()n n n n a b a b +++=+，而111a b +=，因此数列{}n n a b +是首项为1，公比为3的等比数列，13n n n a b -+=，又11n n n n a b a b ++=--，因此111n n a a b b -=-=，于是1312n n a -+=，1312n n b --=，对于A ，3431142a +==，A 错误；对于B ，11131213131n n n n n b a ----==-++，显然数列12{}31n -+是递减数列，因此{}n n b a 为递增数列，B 正确；对于C ，51014134058ni b==++++=∑，C 错误；对于D ，1122331,2,54a b a b a b λλλλλ==+=++++，由{}n n a b λ+为等比数列，得2(2)54λλ+=+，解得1λ=或1λ=-，当1λ=时，13n n n b a λ-+=，显然数列{}n n a b λ+是等比数列，当1λ=-时，1n n a b λ+=，显然数列{}n n a b λ+是等比数列，因此当数列{}n n a b λ+是等比数列时，1λ=或1λ=-，D 错误.故选：B【点睛】思路点睛：涉及求数列单调性问题，可以借助作差或作商的方法判断单调性作答，也可以借助函数单调性进行判断.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.下列函数中，既是偶函数，又在区间()0,∞+上单调递增的是（）A.ln y x =B.ln y x= C.2y x -= D.e e x xy -=+【答案】AD 【解析】【分析】A 选项，根据函数奇偶性得到()ln f x x =为偶函数，且在()0,∞+单调递增，A 正确；B 不满足奇偶性，C 不满足单调性；D 选项，满足为偶函数，且求导得到函数在()0,x ∈+∞上单调递增，得到答案.【详解】A 选项，()ln f x x =定义域为()(),00,x ∈-∞⋃+∞，且()()ln ln f x x x f x -=-==，故()ln f x x =为偶函数，且()0,x ∈+∞时，ln y x =单调递增，故A 正确；B 选项，ln y x =的定义域为()0,∞+，故不是偶函数，故B 项错误；C 选项，()0,x ∈+∞时，2y x -=单调递减，故C 项错误；D 选项，()e exxg x -=+的定义域为R ，且()()e e x xg x g x --=+=，故()e exxg x -=+是偶函数，且()0,x ∈+∞时，()e e0xxg x -'=->，函数单调递增，故D 项正确.故选：AD10.地震释放的能量E 与地震震级M 之间的关系式为lg 4.8 1.5E M =+，2022年9月18日我国台湾地区发生的6.9级地震释放的能量为1E ，2023年1月28日伊朗西北发生的5.9级地震释放的能量为2E ，2023年2月6日土耳其卡赫拉曼马拉什省发生的7.7级地震释放的能量为3E ，下列说法正确的是（）A.1E 约为2E 的10倍B.3E 超过2E 的100倍C.3E 超过1E 的10倍D.3E 低于1E 的10倍【答案】BC 【解析】【分析】根据题意，结合对数运算公式，即可判断.【详解】A.()12lg lg 1.5 6.9 5.9E E -=⨯-，所以 1.51210E E =，故A 错误；B.()32lg lg 1.57.7 5.9E E -=⨯-， 2.73210100E E =>，故B 正确；C.()31lg lg 1.57.7 6.9E E -=⨯-， 1.2311010E E =>，故C 项正确，D 项错误.故选：BC11.已知函数()f x 的导函数为()f x '，对任意的正数x ，都满足()()()22f x xf x f x x <<-'，则下列结论正确的是（）A.()1122f f ⎛⎫< ⎪⎝⎭B.()()1122f f <C.()11422f f ⎛⎫<- ⎪⎝⎭D.()()11214f f <+【答案】BC 【解析】【分析】设()()()0f x g x x x=>，利用导数求出()g x 的单调性，据此即可判断A 和B 选项，设()()()220f x x h x x x-=>，根据导数求出()h x 的单调性，据此即可求解C 和D 选项.【详解】设()()()0f x g x x x=>，则()()()20xf x f x g x x'-='>，所以()g x 在()0,∞+上单调递增，由()112g g ⎛⎫>⎪⎝⎭得()1122f f ⎛⎫> ⎪⎝⎭，故A 项错误；由()()12g g <得()()1122f f <，故B 项正确；设()()()220f x x h x x x-=>，则()()()()()()()()243222220f x x f x x x xf x f x x h x x x ---⋅--=''=<'，所以()h x 在()0,∞+上单调递减，由()112h h ⎛⎫<⎪⎝⎭得()11422f f ⎛⎫<- ⎪⎝⎭，故C 项正确：由()()12h h >得()()11214f f >+，故D 项错误.故选：BC.12.在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，P 为棱上一点，满足1PA PC d +=（d 为定值），记P 点的个数为n ，则下列说法正确的是（）A.当d =2n =B.1d <<+时，6n =C.当d =时，15n =D.n 的最大值为18【答案】AD 【解析】【分析】由点P 的位置进行分类讨论判断求解即可.【详解】当点P 位于A 或1C 处时，d当P 在AB 棱上由A 到B 移动时，d 1，当P 在AD ，1AA ，1C C ，11C B ，11C D 等棱上移动时，d 1+当P 在1BB 棱上由B 到1B 移动时，d 由11+；当P 在BC ，DC ，1D D ，11A B ，11A D 等棱上移动时，d 也是由1+再由增大到1+.故选：AD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.抛物线24y x =的焦点F 与x 轴上一点A 的连线的中点P 恰在抛物线上，则线段AF 的长为______.【答案】316##0.1875【解析】【分析】根据题意求线段AF 的中点坐标，结合抛物线的定义分析求解.【详解】因为24y x =，即214x y =，可知抛物线的焦点10,16F ⎛⎫⎪⎝⎭，准线为116y =-，设(),0A a ，则线段AF的中点为1,232a ⎛⎫⎪⎝⎭，则113321632PF =+=，所以3216AF PF ==.故答案为：316.14.如图，在四边形ABCD 中，AD AB ⊥，120ADC ∠=︒，AB =，1AD =，2CD =，求四边形ABCD 绕直线AD 旋转一周所成几何体的表面积为______.【答案】(12π+【解析】【分析】作出辅助线，求出各边长度，求出以AB 为半径的圆的面积，以CD 为母线和CE 为半径的圆锥的侧面积，以BC 为母线的圆台的面积，相加后得到答案.【详解】作CE AD ⊥，CFAB ⊥，E ，F 为垂足，因为120ADC ∠=︒，所以60EDC ∠=︒，因为2CD =，所以1DE =，CE =，故==AF CE ，又AB =1AD =，故2CF AE AD DE ==+=，BF AB AF =-=，由勾股定理得CB ==，四边形ABCD 绕直线AD 旋转一周所成几何体的表面积分为三部分，以AB 为半径的圆的面积(2π12π=，以CD 为母线和CE 为半径的圆锥的侧面积πrl =，以BC 为母线的圆台的侧面积+=所以该几何体的表面积为(12π+.故答案为：(12π+15.已知函数()()()22cos0f x x ωω=>的最小正周期为π，将函数()y f x =的图象上的所有点向右平移π6个单位长度，再将所得的图象上各点的横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变，得到()y g x =的图象，则()y g x =在ππ,124⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为______.【答案】1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】化简()f x 的解析式，根据()f x 的最小正周期求得ω，根据三角函数图象变换的知识求得()g x ，进而求得()g x 在ππ,124⎡⎤⎢⎣⎦上的值域.【详解】()cos21f x x ω=+，2ππ2ω=，22ω=，()cos21f x x =+，将函数()y f x =的图象上的所有点向右平移π6个单位长度，得到ππcos 21cos 2163y x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=-+ ⎪ ⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，再将所得的图象上各点的横坐标缩短为原来的12，得到()πcos 413g x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，因为ππ,124x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以π2π40,33x ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，所以π1cos 4,132x ⎛⎫⎡⎤-∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以()y g x =在ππ,124⎡⎤⎢⎣⎦上的值域为1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦.故答案为：1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦16.已知2F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点，圆222:O x y a +=与双曲线C 的渐近线在第一象限交于点A ，点B 在双曲线C 上，222BF F A =-，则双曲线C 的渐近线方程为______.【答案】2y x =±【解析】【分析】求出点A 的坐标及2AF 长，由222BF F A =-可得点A 为2BF 的中点，再结合双曲线定义求解即得.【详解】由222BF F A =-，得点A 为2BF 的中点，记1F 为C 的左焦点，连接1BF ，令半焦距为c ，则122BF OA a ==，由222b y x ax y a ⎧=⎪⎨⎪+=⎩，解得2a x cab y c ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即2(,)a ab A c c ，而2(,0)F c ，因此2222()()a ab AF c b c c=-+=，由双曲线定义得222b a a -=，即2b a =，所以双曲线C 的渐近线方程为2y x =±.故答案为：2y x=±四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，()()140n n S a λλλ-=->.（1）求证：数列{}n a 为等比数列；（2）当2λ=时，设1221log log n n n a n a n b a a ++++=+，求数列{}n b 的前n 项和n T .【答案】（1）证明见解析（2）261939n n nT n +=+【解析】【分析】（1）根据11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩作差得到1n n a a λ+=，即可得证；（2）由（1）可得12n n a +=，则321122323n n n b n n n n ++=+=+-++++，再利用裂项相消法计算可得.【小问1详解】证明：因为()()140n n S a λλλ-=->，当1n =时，()1114S a λλ-=-，解得14a =，由()14n n S a λλ-=-得()1114n n S a λλ++-=-，两式作差得()()()111144n n n n S S a a λλλλ++---=---，即()111n n n a a a λλλ++-=-，则1n n a a λ+=，又0λ>，所以数列{}n a 是首项为4，公比为λ的等比数列.【小问2详解】当2λ=时，由（1）得11422n n n a -+=⨯=，又223121322232log log log log 2322n n n n n n n a n a n n n b a a n n ++++++++++=+=+=+++，所以322131112232323n n n n n b n n n n n n +++++-=+=+=+-++++++，所以1111112344523n T n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+-+⋅⋅⋅+-⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭1111112344523n n n ⎛⎫=+-+-+⋅⋅⋅+- ⎪++⎝⎭21161923339n n n n n +⎛⎫=+-=⎪++⎝⎭.18.在ABC 中，内角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c .（1）若12b a =，6sin sin B A -=，求角A 的值；（2）若π3A =，且b 是a 和3c 的等差中项，求cos B 的值.【答案】（1）π3A =或2π3（2）1cos 7B =-【解析】【分析】（1）根据题意利用正弦定理边化角即可得结果；（2）由等差中项可得23a b c =-，结合余弦定理解得83b c =，73a c =，代入余弦定理即可得结果.【小问1详解】因为12b a =，由正弦定理sin sin b a B A=得1sin sin 2B A =，又因为6sin sin B A -=sin 2A =，且()0,πA ∈，所以π3A =或2π3.【小问2详解】显然0,0,0a b c >>>，由b 是a 和3c 的等差中项得23b a c =+，即230a b c =->，可得32b c >，因为π3A =，由余弦定理2222cos a b c bc A =+-可得()22223b c b c bc -=+-，化简得2231180b bc c -+=，即()()380b c b c --=，解得83b c =或b c =（舍去），由23a b c =-，可得73a c =，由余弦定理222cos 2a c b B ac +-=，得22278133cos 7723c c c B c c ⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭==-⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭.19.已知函数()()36R f x x ax a =+-∈.（1）若函数()f x 的图象在2x =处的切线与x 轴平行，求函数()f x 的图象在3x =-处的切线方程；（2）讨论函数()f x 的单调性.【答案】19.15480x y -+=20.答案见解析【解析】【分析】（1）先求导函数再求斜率最后写出切线方程；（2）分类讨论列表根据导函数求单调性.【小问1详解】()23f x x a ='+.由题意()2120f a ='+=，解得12a =-，所以()3126f x x x =--，()33f -=，()315f '-=()f x 在3x =-处的切线方程为15480x y -+=【小问2详解】()23f x x a ='+.①当0a ≥时，()0f x '≥，()f x 在R 上单调递增.②当0a <时，由()0f x '=得x =，()f x 在R 上的变化情况如下表：由上表可得()f x 在,∞⎛- ⎝上单调递增，在⎛ ⎝上单调递减，在∞⎫+⎪⎪⎭上单调递增.综上，当0a ≥时，增区间为(),∞∞-+，无减区间；当0a <时，增区间为,∞⎛- ⎝和∞⎫+⎪⎪⎭，减区间为⎛ ⎝.20.如图，在三棱锥A BCD -中，CE BD ⊥，垂足为点E ，AH ⊥平面BCD ，垂足H 在CE 上，点F 在AC 上，且CEF CAH ∠=∠.（1）证明：AC ⊥平面BDF ；（2）若22BE DE ==，22CH EH ==，三棱锥A BCD -的体积为BF 与平面ABD 所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2）5.【解析】【分析】（1）利用线面垂直得到线线垂直，由CEF CAH ∠=∠，可得出AC EF ⊥，利用线面垂直的判定定理可以证得AC ⊥平面BDF ；（2）通过三棱锥A BCD -的体积，可以求出AH ，进一步求AC ，由两个三角形AHC ，EFC 相似，得出F 为AC 的中点，然后建立空间直角坐标系，求平面ABD 的法向量，进而可以求得直线与平面所成角的正弦值.【小问1详解】由AH ⊥平面BCD ，BD ⊂平面BCD ，得AH BD ⊥，又CE BD ⊥，而AH ⊂平面ACE ，CE ⊂平面ACE ，AH CE H = ，所以BD ⊥平面ACE ，又AC ⊂平面ACE ，所以BD AC ⊥.再由AH ⊥平面BCD ，EC ⊂平面BCD ，得AH EC ⊥，得90AHC ∠=︒，又CEF CAH ∠=∠，ACH ECF ∠=∠，得90EFC AHC ︒∠=∠=，即AC EF ⊥.又EF ⊂平面BDF ，BD ⊂平面BDF ，EF BD E = ，所以AC ⊥平面BDF .【小问2详解】由条件知11133322A BCD BCD V S AH BD CE AH AH -=⋅=⨯⨯⨯⨯==所以AH =，在Rt AHC 中，2228412AC AH CH =+=+=，所以AC =由（1）知Rt Rt AHC EFC ~△△，所以FC ECHC AC =，即2FC =，得FC =，可知F 为AC 的中点，过点H 作HG BD ∥交BC 于点G由（1）易得HG ，HC ，HA 两两垂直，以{HG 、HC 、}HA正交基底，建立空间直角坐标系H xyz -，如图所示由题意可知，(0,0,A ，()2,1,0B -，()0,1,0E -，()0,2,0C，(F .则(0,1,EA = ，()2,0,0EB =，(2,BF =- ，设平面ABD 的一个法向量为(),,n x y z =，则020EA n y EB n x ⎧⋅=+=⎪⎨⋅==⎪⎩，令1z =-，则y =，所以平面ABD的一个法向量()0,1n =-，设直线BF 与平面ABD 所成角θ，则sin =cos<,5n BF n BF n BFθ⋅>===⋅.故直线BF 与平面ABD所成角的正弦值为5.21.平面内一动点P 到直线:4l y =的距离，是它到定点()0,1F 的距离的2倍.（1）求动点P 的轨迹Γ的方程；（2）经过点F 的直线（不与y 轴重合）与轨迹Γ相交于M ，N 两点，过点M 作y 轴平行线交直线l 于点T ，求证：直线NT 过定点.【答案】（1）22143y x +=（2）证明见解析【解析】【分析】（1）由题意得4y -=，化简即可得解；（2）设直线MN 的方程以及,,M N T 的坐标，联立若椭圆方程，由韦达定理得()121232kx x x x =+，表示出NT 的方程，令0x =，证明此时y 为定值即可得证.【小问1详解】由题意，设动点P 的坐标为(),x y，则4y -=，平方整理得22143y x +=，所以点P 的轨迹Γ方程为22143y x+=.【小问2详解】由题意，设直线MN 的方程为1y kx =+，()11,M x y ，()22,N x y ，则()1,4T x .将1y kx =+代入22143y x +=得()2234690k x kx ++-=，所以122634k x x k -+=+，122934x x k -=+，显然0∆>，所以()121232kx x x x =+.因为直线NT 的方程为()212144y y x x x x --=--，令0x =，则()21221221122121214144x x kx x x y x x kx x y x x x x x x -+---===---()()21122121213545222x x x x x x x x x x --+-===--，因此，直线NT 过定点50,2⎛⎫ ⎪⎝⎭.【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是采用设线法，设直线MN 的方程为1y kx =+，再将其椭圆方程联立得到韦达定理式，再化积为和得到()121232kx x x x =+，再得到直线NT 的方程，令0x =计算即可.22.已知函数()()()22ln 211R 2m f x x x m x m =+-++∈.（1）求函数()f x 的极值；（2）设函数()f x 有两个极值点12,x x ，求证：()()122f x f x f m ⎛⎫+< ⎪⎝⎭.【答案】（1）答案见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）求定义域，求导，对导函数因式分解，分0m ≤，12m =，12m >，102m <<，得到函数的单调性，进而得到函数的极值情况；（2）由（1）得110,,22m ∞⎛⎫⎛⎫∈⋃+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，并得到()()12212ln 222f x f x m m m +=---，2222ln 44f m m ⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭，作差法得到()()21222f x f x f m ⎛⎫⎫+-=-- ⎪⎪ ⎪⎭⎝⎭，结合m 的范围得到结论.【小问1详解】()()22ln 2112m f x x x m x =+-++的定义域为()0,∞+，()()()()()()2212212210mx m x x mx f x mx m x x x x-++--'=+-+==>①若0m ≤，则()20f '=，()0,2x ∈时()0f x '>，()2,x ∞∈+时()0f x '<，故()f x 在()0,2x ∈上单调递增，在()2,x ∞∈+上单调递减，所以函数的极大值为()22ln221f m =--，无极小值，②若12m =，则()()2202x f x x'-=≥，()f x 在()0,∞+上单调递增，无极值.③若12m >，由()()()210x mx f x x--'==得2x =或1x m =，10,x m ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时()0f x '>，1,2x m ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时()0f x '<，()2,x ∞∈+时()0f x '>，故()f x 在10,m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()2,∞+上单调递增，在1,2m ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，所以极大值为112ln 12f m m m ⎛⎫=---⎪⎝⎭，极小值为()22ln221f m =--.④若102m <<，由()()()210x mx f x x--'==得2x =或1x m =，()0,2x ∈时()0f x '>，12,x m ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时()0f x '<，1,x m ∞⎛⎫∈+ ⎪⎝⎭时()0f x '>，故()f x 在()0,2，1,m ∞⎛⎫+⎪⎝⎭上单调递增，在12,m ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，所以极大值为()22ln221f m =--，极小值为112ln 12f m m m ⎛⎫=---⎪⎝⎭.综上，当0m ≤时，极大值为()22ln221f m =--，无极小值；当102m <<时，极大值为()22ln221f m =--，极小值为112ln 12f m m m ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭；当12m =时，()f x 无极值；当12m >时，极大值为112ln 12f m m m ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭，极小值为()22ln221f m =--.【小问2详解】由（1）知函数()f x 有两个极值点时，110,,22m ∞⎛⎫⎛⎫∈⋃+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.()()()121122ln2212ln 12f x f x f f m m m m ⎛⎫+=+=----- ⎪⎝⎭212ln222m m m=---，()222224ln 222122ln 44f m m m m m ⎛⎫=+-++=-++ ⎪ ⎪⎝⎭，所以()()122122462f x f x f m m m ⎛⎫+-=--++- ⎪⎪⎝⎭22442⎫=-+-=-⎪⎭，因为110,,22m ∞⎛⎫⎛⎫∈⋃+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2≠，所以()()212220f x f x f m ⎛⎫⎫+-=-+< ⎪⎪ ⎪⎭⎝⎭，即()()1222f x f x f m ⎛⎫+<- ⎪ ⎪⎝⎭.【点睛】方法点睛：在导数解答题中，单调性问题是绕不开的一个问题，因为单调性是解决后续问题的关键，利用导函数求解函数单调性步骤，先求定义域，再求导，导函数能因式分解的要进行因式分解，根据导函数的正负号，确定函数的单调区间，若不能直接求出，可能需要多次求导.。

2024—2025学年高三9月质量检测考试数 学全卷满分150分，考试时间120分钟.注意事项：1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考场号、座位号、考生号填写在答题卡上.2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知，i 为虚数单位，为z 的共轭复数，则（ ）A.B. 4C. 3D.2.已知集合，，则（ ）A. B. C. D. 3. 半径为4的实心球与半径为2的实心球体积之差的绝对值为（ ）A.B. C. D.4. 已知向量，，其中，若，则（ ）A. 40B. 48C. 51D. 625. 已知的内角A ，B ，C 的对边a ，b ，c 成等差数列，且，，则（ ）A. 5B. C. 4D. 36. 已知点在抛物线C：上，则C 的焦点与点之间的距离为（ ）A. 4B.C. 2D.7. 已知a ，且，，，则（ ）24i z =+z 1z -=(){}3log 22M x y x ==+<{}2024x N y y ==M N = ()2,7-()2,3-()0,7()7,+∞1O 2O 224π376π75π215π3()1,54a λ=+ ()2,8b λ=+ 0λ≥a b ∥ ()a ab ⋅+=ABC △20ac =4cos 5B =b =121,34A p p ⎛⎫++ ⎪⎝⎭()220x py p =>()1,2b ∈R 0b ≠1a b ≠-1sin 1a b a bα-=+ab =A.B. C.D. 8. 已知当时，恒成立，则实数a 的取值范围为（ ）A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9. 已知直线与圆D ：有两个交点，则整数m 的可能取值有（ ）A. 0B. －3C. 1D. 310. 已知对数函数，则下列说法正确的有（ ）A. 的定义域为B. 有解C. 不存在极值点D. 11. 北京时间2024年8月12日凌晨，第33届法国巴黎奥运会闭幕式正式举行，中国体育代表团以出色的表现再次证明了自己的实力，最终取得了40枚金牌、27枚银牌和24枚铜牌的最佳境外参赛成绩，也向世界展示了中国体育的蓬勃发展和运动员们顽强拼搏的精神.某校社团为发扬奥运体育精神举办了竞技比赛，此比赛共有5名同学参加，赛后经数据统计得到该5名同学在此次比赛中所得成绩的平均数为8，方差为4，比赛成绩，且，则该5名同学中比赛成绩的最高分可能为（ ）A. 13B. 12C. 11D. 10三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 曲线在点处的切线方程为______.13. 被10除的余数为______.14. 在中，若，，三点分别在边，，上（均不在端点上），则，，的外接圆交于一点O ，称为密克点.在梯形ABCD 中，，，M 为CD 的中点，动点P 在BC 边上（不包含端点），与的外接圆交于点Q （异于点P ），则BQ 的最小值为______.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（13分）已知椭圆C ：的焦距为.（1）求C 的标准方程；1cos 1cos αα-+πtan 4α⎛⎫+⎪⎝⎭1sin 1sin αα-+2πtan 42α⎛⎫+ ⎪⎝⎭0x >ln e ln x x x x a -≥(],1-∞(21,e ⎤⎦(],2-∞[)e,+∞y x =22224x y my m +-=-()()log 1x f x x =+()f x ()0,+∞()2f x =()f x ()()()11f x f x x >+>[]0,15x ∈*x ∈N 21e1x y x -=-()1,0203111A B C △1M 1N 1P 11A B 11B C 11C A 111A M P △111B M N △111C N P △60B C ∠=∠=︒22AB AD ==ABP △CMP △()222210x y a b a b +=>>（2）若，直线l ：交椭圆C 于E ，F 两点，且，求t 的值.16.（15分）交通强国，铁路先行，每年我国铁路部门都会根据运输需求进行铁路调图，一铁路线l 上有自东向西依次编号为1，2，…，21的21个车站.（1）为调查乘客对调图的满意度，在编号为10和11两个站点多次乘坐列车P 的旅客中，随机抽取100名旅客，得出数据（不完整）如下表所示：车站编号满意不满意合计102840113合计85完善表格数据并计算分析：依据小概率值的独立性检验，在这两个车站中，能否认为旅客满意程度与车站编号有关联？（2）根据以往调图经验，列车P 在编号为8至14的终到站每次调图时有的概率改为当前终到站的西侧一站，有的概率改为当前终到站的东侧一站，每次调图之间相互独立.已知原定终到站编号为11的列车P 经历了3次调图，第3次调图后的终到站编号记为X ，求X 的分布列及均值.附：，其中.0.10.010.0012.7066.63510.82817.（15分）如图，四棱锥的底面为平行四边形，且，.（1）仅用无刻度直尺作出四棱锥的高PH ，写出作图过程并证明；（2）若平面平面PCD ，平面平面PBC ，证明：四边形ABCD 是菱形.18.（17分）已知.（1）证明：是奇函数；5,02A ⎛⎫- ⎪⎝⎭()302x ty t =+>AEF △0.001α=1323()()()()()22n ad bc a b c d a c b d χ-=++++n a b c d =+++αx αP ABCD -AP CP =BP DP =P ABCD -PAB ⊥PAD ⊥()()ln 0x a f x ax a x a -⎛⎫=+>⎪+⎝⎭()f x（2）若，证明在上有一个零点，且.19.（17分）对于一个正项数列，若存在一正实数，使得且，有，我们就称是-有限数列.（1）若数列满足，，，证明：数列为1-有限数列；（2）若数列是-有限数列，，使得且，，证明：.()()()12120f x f x x x =<<()f x (),a +∞0x 2102x x x -≤{}n a λ*n ∀∈N 2n ≥121n n a a a a λ-+++≥ {}n a λ{}n a 11a =21a =()123n n n a a a n --=+≥{}n a {}n a λ0M ∃>*n ∀∈N 2n ≥n a M ≤222111121111n i in a a M a a a a λ=⎛⎫≥+- ⎪+++⎝⎭∑2024—2025学年高三9月质量检测考试数学参考答案1. A 【解析】由，可得.故选A.2. C 【解析】由可得，则；，故，则.故选C.3. A【解析】由题意可知体积之差的绝对值为.故选A.4. C 【解析】因为，，且，故，解得或（舍去），经检验当时，，故.故选C.5. B 【解析】由题意可得，，由余弦定理可得，，解得.故选B.6. D 【解析】因为点在抛物线C 上，所以，整理得，解得或（舍去），故焦点为，故C 的焦点与点之间的距离为故选D.7. D 【解析】由题意可得，解得.24i z =+24i 11i 14z --=-==-=()3log 22x +<029x <+<()2,7M =-20240xy =>()0,N =+∞()0,7M N = 334425632224π4π2πππ33333⨯-⨯=-=()1,54a λ=+ ()2,8b λ=+a b ∥ ()()54218λλ++=⨯0λ=145-0λ=a b ∥ ()()()1,43,121341251a a b ⋅+=⋅=⨯+⨯= 20ac =2b a c =+()2222282cos 24725b ac ac B a c ac ac b =+-=+--=-b =121,34A p p ⎛⎫++⎪⎝⎭()2121234p p p ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭272102p p --=2p =14-()0,1()1,2=1sin 1ab a bα-=+2222sin cos 2sincos1sin 22221sin sin cos 2sin cos 2222a b αααααααααα+++==-+-22222sin cos 1tan π222tan 42sin cos 1tan 222ααααααα⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭==+ ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=故选D.8. A 【解析】由对恒成立，令，则，令，得，当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，即.令，，，当时，；当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，所以.故选A.9. AC 【解析】联立，消去x 可得，则，解得故选AC.10. BCD 【解析】对于A 选项，由对数函数的定义知的定义域为，故A 错误.对于B 选项，令，则，即，解得（负值舍去），故B 正确.对于C 选项，，可知，ln e ln x x x x a -≥0x >()ln f x x x =()ln 1f x x ='+()0f x '=1ex =10e x <<()0f x '<1e x >()0f x '>()f x 10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭()11e ef x f ⎛⎫≥=-⎪⎝⎭1ln e x x ≥-ln t x x =()1e e t g t t t ⎛⎫=-≥- ⎪⎝⎭()e 1t g t '=-10e t -≤<()0g t '<0t >()0g t '>()g t 1,0e ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭()0,+∞()()min 01g t g ==1a ≤22224y xx y my m=⎧⎨+-=-⎩222240y my m -+-=()()222840m m ∆=--->m -<<()f x ()()0,11,+∞ ()log 12x x +=21x x =+210x x --=x =()()()ln 1log 1ln x x f x x x+=+=()()()()2ln 1ln 11ln x x x x f x x x x-+++'=设函数，可知，令，解得，则在上单调递减，在上单调递增，且在上，则的图象为的图象向左平移一个单位长度，易得两者无交点，则无零点，即不存在极值点，故C 正确.对于D 选项，方法一：由的单调性可知，D 正确.方法二：作差有，且，故，D 正确.故选BCD.11. BC 【解析】设该5名同学在此次比赛中所得成绩分别为，，，，，易得，则，且，则，不妨设最大.对于A 选项，若，则不成立，故A 错误；对于B 选项，若，例如7，7，7，7，12，满足题意，故B 正确；对于C 选项，若，例如5，7，8，9，11，满足题意，故C 正确；对于D 选项，若，则，可得，可知该方程组无正整数解，故D 错误.故选BC.12. 【解析】，故时，，故曲线在点处的切线方程为.13. 1 【解析】()ln g x x x =()ln 1g x x ='+()0g x '=1e x =()g x 10,e ⎛⎫⎪⎝⎭1,e⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭()0,1()0g x <()()1ln 1y x x =++()g x ()f x '()f x ()f x ()()()()()11log 1log 2x x f x f x x x +-+=+-+()()()2ln 1ln ln 2ln ln 1x x x x x +-⋅+⋅+=()()()()222ln ln 22ln 1ln ln 2ln 122x x x x x x ⎡⎤⎡⎤+++⋅+<<=+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦()()()11f x f x x >+>1x 2x 3x 4x 5x ()12345185x x x x x x =++++=1234540x x x x x ++++=()()()()()2222212243588814588x s x x x x -+-+-+-+⎡⎤==⎣⎦-()()()()()22222123458888820x x x x x -+-+-+-+-=5x 513x =()()()()2222123488885x x x x -+-+-+-=-512x =511x =510x =()()()()22221234888816x x x x -+-+-+-=12342222123430496x x x x x x x x +++=⎧⎨+++=⎩33y x =-()212e x y x x -'=+1x =3y '=21e 1x y x -=-()1,033y x =-()10201010192891010103910110C 10C 10C 101==-=-⨯+⨯--⨯+，所以被10除的余数为1.14.【解析】如图，延长BA ，CD 交于点E ，则为正三角形.由题设结论，，，的外接圆有唯一公共点，该公共点即为题中的点Q ，故点Q 在的外接圆上.由题意得，，则是直角三角形，故其外接圆半径.在中，由余弦定理可知，，当Q 在线段BD 上，且时，BQ.15. 解：（1）由题意得，，（2分）又，（4分）则，（5分）所以C 的标准方程为.（6分）（2）由题意设，，联立，整理得，（7分）则，，（8分）故.（10分）设直线l 与x 轴的交点为，()9182791010101010C 10C 10C 1⨯-⨯+⨯--=+ 2031-EBC △ABP △CMP △AME △AME △120BAD ∠=︒90BAM ∠=︒AME △1R AD ==ABD △BD ==1QD =1-2c =c =c e a ==2a =2222b a c =-=22142x y +=()11,E x y ()22,F x y 2232142x ty x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩()2272304t y ty ++-=12232ty y t +=-+()122742y y t =-+12y y -===3,02D ⎛⎫⎪⎝⎭又，则，（11分）故，（12分）解得.（13分）16. 解：（1）补充列联表如下：车站编号满意不满意合计102812401157360合计8515100（3分）零假设为：旅客满意程度与车站编号无关，则，（6分）所以根据小概率值的独立性检验，推断不成立，即认为旅客满意程度与车站编号有关联.（7分）（2）经分析，X 的可能取值为8，10，12，14.（8分）；（9分）；（10分）；（11分），（12分）则X 的分布列为X 8101214P（13分）所以.（15分）17. 解：（1）连接AC ，BD 交于点H ，连接PH ，5,02A ⎛⎫-⎪⎝⎭35422AD ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭12122AEF S AD y y =⋅-==△t =0H ()220.001100283571220010.8284060851517x χ⨯⨯-⨯==>=⨯⨯⨯0.001α=0H ()3288327P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭()2214103339P X ⎛⎫==⨯⨯= ⎪⎝⎭()2122123339P X ⎛⎫==⨯⨯= ⎪⎝⎭()31114327P X ⎛⎫===⎪⎝⎭8274929127()8421810121410279927E X =⨯+⨯+⨯+⨯=则PH 是四棱锥的高.（2分）由于该四棱锥底面为平行四边形，故点H 为AC 与BD 的中点.（3分）又，，故有，，（4分）又，AC ，平面ABCD ，故平面ABCD ，即PH 为四棱锥的高.（6分）（2）（方法一）证明：以H 为原点，以、的方向分别为x 轴、z 轴的正方向，以垂直于BC 的直线为y 轴，建立如图所示的空间直角坐标系.（7分）设，，，，.则，，.（8分）设平面PAB 、平面PCD 的法向量分别为，，则，，（9分）令，解得，.所以，.（10分）因为平面平面PCD ，所以，①（11分）同理可得平面PAD 、平面PBC 的一个法向量分别为，.故，即，②（12分）P ABCD -AP CP =BP DP =PH AC ⊥PH BD ⊥AC BD H = BD ⊂PH ⊥P ABCD -BC HP (),,0A a d (),,0B b d -(),,0C a d --(),,0D b d -()0,0,P h (),2,0BA CD a b d ==- (),,BP b d h =- (),,DP b d h =-()1111,,n x y z = ()2222,,n x y z =()11111200a b x dy bx dy hz ⎧-+=⎨-++=⎩()22222200a b x dy bx dy hz ⎧-+=⎨-+=⎩122x x dh ==1112()()x dh y b a h z b a d =⎧⎪=-⎨⎪=+⎩2222()()x dh y b a h z b a d =⎧⎪=-⎨⎪=-+⎩()()()12,,n dh b a h b a d =-+ ()()()22,,n dh b a h b a d =--+PAB ⊥()()2222221240n n d h b a h a b d ⋅=+--+= ()30,,n h d = ()40,,n h d =-22340n n h d ⋅=-= h d =①②联立解得.（13分）因此，.（14分）故，而四边形ABCD 是平行四边形，故四边形ABCD 是菱形.（15分）（方法二）证明：过点H 作交AB 于点E ，交CD 于点F ，过点H 作交BC 于点M ，交AD 于点N ，连接PE ，PF ，PM ，PN ，因为平面ABCD ，AB ，平面ABCD ，所以，.（7分）因为EF ，平面PEF ，所以平面PEF ，又平面PEF ，所以.（8分）易得平面PAB 与平面PCD 的交线平行于AB ，又平面平面PCD ，平面PAB ，所以平面PCD ，又平面PCD ，所以.（10分）因为MN ，平面PMN ，所以平面PMN ，又平面PMN ，所以.（11分）易得平面PAD 与平面PBC 的交线平行于BC ，又平面平面PBC ，平面PBC ，所以平面PAD ，又平面PAD ，所以.（13分）因为H 为平行四边形ABCD 对角线的交点，所以，，所以，所以，（14分）又，所以，所以平行四边形ABCD 是菱形.（15分）18. 证明：（1）易得的定义域为，（2分）.由奇函数的定义知是奇函数.（6分）2ab d =AD a b =--AB a b ===--AB AD =EF AB ⊥MN BC ⊥PH ⊥BC ⊂PH AB ⊥PH BC ⊥PH ⊂AB ⊥PE ⊂AB PE ⊥PAB ⊥PE ⊂PE ⊥PF ⊂PE PF ⊥PH ⊂BC ⊥PM ⊂BC PM ⊥PAD ⊥PM ⊂PM ⊥PN ⊂PM PN ⊥HE HF =HM HN =1122PH EF MN ==EF MN =AB EF BC MN ⋅=⋅AB BC =()f x ()(),,a a -∞-+∞ ()()ln x a f x a x x a --⎛⎫--=--- ⎪-+⎝⎭()ln ln x a x a ax ax f x x a x a -+-⎛⎫⎛⎫+=+= ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭=--()f x（2）由对称性，不妨取，则，（7分）而.（8分）下证，设，，，，则（当且仅当，，即时取等号）.（14分）另一方面，的定义域为，.由对称性，不妨取，则，故在上单调递增.（15分）当时，；当时，.由零点存在定理知在上有一个零点，（16分）故.（17分）19. 证明：（1）当时，；（2分）当时，，（6分）故数列是1-有限数列.（7分）（2）由，得，（9分）31x x =-()()()()()()()23232323ln 0x a x a f x f x a x x x a x a ⎡⎤--+=++=⎢⎥++⎢⎥⎣⎦()()()()()2232323232ln 2x a x a x x f a x x x a x a ⎡⎤-+-+⎛⎫=++⎢⎥ ⎪+++⎝⎭⎢⎥⎣⎦()()2323202x x f f x f x +⎛⎫≥=+ ⎪⎝⎭2x a m -=3x a n -=2x a p +=3x a q +=()()()()()()()()()()22232322323x a x a x a x a m n mn x a x a x a x a pq p q ⎡⎤-+---+-=-⎢⎥++++++⎢⎥⎣⎦()()()()()()2222pq m n mn p q pm qn qm pn p q pq p q pq +-+--++==()()()22323220a x x x x p q pq +-=≥+m n =p q =23x x =()f x ()(),,a a -∞-+∞ ()()()2a f x a x a x a =++-'x a >()0f x a '>>()f x (),a +∞x a →()f x →-∞x →+∞()f x →+∞()f x (),a +∞0x 2102x x x -≤2n =121a a ==2n >122121n n n n n a a a a a a a ----++++>+= {}n a 121n n a a a a λ-+++≥ ()2221211n n a a a a λ-≥+++于是有（13分）.（17分）()222212112111nn i i i i a a a a a λ==-≥++++∑∑ ()()2221121121n i i i a a a a a a a λ=-≥+++++++∑ 222112112111n i i i i a a a a a a a a λ=-⎛⎫+⋅-≥ ⎪++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+⎝⎭=∑222112112111n i i i a M a a a a a a λ=-⎛⎫+⋅- ⎪++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+⎝⎭∑221112111n a M a a a a λ⎛⎫+- ⎪+=++⎝⎭。

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求2023-2024学年广东省佛山市高三数学普通高中教学质量检测的。

1.已知集合，，则( )A. B. C.D. 2.已知▱ABCD 的顶点，，，则顶点D 的坐标为( )A. B.C. D.3.记数列的前n 项和为，则“”是“为等差数列”的( )A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4.“基础学科拔尖学生培养试验计划”简称“珠峰计划”，是国家为回应“钱学森之问”而推出的一项人才培养计划，旨在培养中国自己的学术大师.已知浙江大学、复旦大学、武汉大学、中山大学均有开设数学学科拔尖学生培养基地，某班级有5位同学从中任选一所学校作为奋斗目标，则每所学校至少有一位同学选择的不同方法数共有( )A. 120种B. 180种C. 240种D. 300种5.科技是一个国家强盛之根，创新是一个民族进步之魂，科技创新铸就国之重器，极目一号如图是中国科学院空天信息研究院自主研发的系留浮空器年5月，“极目一号”Ⅲ型浮空艇成功完成10次升空大气科学观测，最高升空至9050米，超过珠穆朗玛峰，创造了浮空艇大气科学观测海拔最高的世界纪录，彰显了中国的实力.“极目一号”Ⅲ型浮空艇长55米，高19米，若将它近似看作一个半球、一个圆柱和一个圆台的组合体，正视图如图2所示，则极目一号体积约为( )参考数据：，，A. B. C. D.6.已知方程，其中现有四位同学对该方程进行了判断，提出了四个命题：甲：可以是圆的方程;乙：可以是抛物线的方程;丙：可以是椭圆的标准方程;丁：可以是双曲线的标准方程.其中，真命题有( )A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个7.若斜率为1的直线l与曲线和圆都相切，则实数a的值为( )A. B. 0 C. 2 D. 0或28.已知函数，若存在，，，且，使，则的值为( )A. B. C. D.二、多选题：本题共4小题，共20分。

一、单选题二、多选题1.已知数列满足，（，），则的整数部分是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．32. 已知全集，，，.则（ ）A．B．C．D．3.已知集合，集合，集合，则（ ）A．B．C．D．4. 函数的单调递增区间是（ ）A．B．C．D ．和5. 我国已进行了7次人口普查，如图是7次人口普查男性、女性人数及有大学文化的人数占比的统计图.据统计图中的信息，下列说法不正确的是（）A ．1964年至1982年间人口增长数最多B ．1982年后，全国总人口增长率逐步放缓C ．具有大学文化的人数逐步增大D ．男性人数与女性人数的差值逐步减小6.已知且，若任意，不等式均恒成立，则的取值范围为（ ）A．B．C．D．7. 已知圆锥的侧面积是底面积的倍，则该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角大小为（ ）A．B．C．D．8.已知二次函数，满足，且在区间上的最大值为，若函数有唯一零点，则实数的取值范围是（ ）A．B．C．D．9. 如图，在多面体中，，，两两垂直，四面体是正四面体，，分别为，的中点，则下列结论正确的是（ ）浙江省衢州、丽水、湖州三地市2024届高三上学期11月教学质量检测数学试题三、填空题四、解答题A．B．C ．平面D．10.已知曲线，则下面结论正确的是（ ）A ．把上各点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线B．把上各点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C．把向左平移个单位长度，再把得到的曲线上各点的横坐标变为原来的倍．纵坐标不变，得到曲线D．把向左平移个单位长度，再把得到的曲线上各点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到曲线11. 在平面直角坐标系中，，点是圆上的动点，则（ ）A．当的面积最大时，点的坐标为B．C ．若点不在轴上，则平分D ．当直线与圆相切时，12. 已知定义在上的函数满足，且函数为奇函数，则（ ）A．函数是周期函数B ．函数为上的偶函数C ．函数为上的单调函数D ．函数的图像关于点对称13. 已知，，从点处射出的光线经x 轴反射后，反射光线与平行，且点B到该反射光线的距离为，则实数______．14.的展开式中的系数为______．15.写出一个对称中心为的函数___________.16. 在平面直角坐标系中，直线的参数方程为(为参数)，直线与曲线交于两点.(1)求的长；(2)在以为极点，轴的正半轴为极轴建立的极坐标系中，设点的极坐标为，求点到线段中点的距离.17.已知正项数列的前n项和为，给出以下三个条件：①，；②；③，.从这三个条件中任选一个解答下面的问题.(1)求数列的通项公式；(2)设，求数列的前n 项和.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分18. 已知椭圆：（）的左，右焦点分别为，，为椭圆上的一个动点，的最大值为，且点到右焦点距离的最大值为．(1)求椭圆的方程；(2)已知过点的直线交椭圆于，两点，当的面积最大时，求此时直线的方程．19. 已知函数．(1)若曲线在处的切线与直线垂直，求实数的值．(2)，使得成立，求实数的取值范围．20. 某兴趣小组为了研究昼夜温差大小与患感冒人数多少之间的关系，请一所中学校医务室人员统计近期昼夜温差情况和到该校医务室就诊的患感冒学生人数，如下是2021年10月、11月中的5组数据：日期10月8日10月18日10月28日11月8日11月18日昼夜温差x（℃）8116155就诊人数y131712199(1)通过分析，发现可用线性回归模型拟合就诊人数y与昼夜温差x之间的关系，请用以上5组数据求就诊人数关于昼夜温差的线性回归方程（结果精确到0.01）；(2)若由（1）中所求的线性回归方程得到的估计数据与所选出的数据的误差均不超过2人，则认为得到的线性回归方程是理想的试用11月8和11月18日两组数据检验（1）中所求的线性回归方程是否理想？参考数据：，．参考公式：，．21. 已知函数．（1）讨论函数的单调性；（2）对给定的，函数有零点，求的取值范围；（3）当，时，，记在区间上的最大值为m，且，求n的值．。

福建省漳州市2025届高三毕业班第一次教学质量检测数学试题一、单选题（本大题共8小题）1．若集合{}2340A x x x =-->∣，则A =R ð（）A．{}14xx -≤≤∣B．{14}xx -<<∣C．{41}xx -<<∣D．{}41xx -≤≤∣2．设复数3i1iz -=+，则复数z 的虚部为（）A．-2i B．2-C．2iD．23．已知,a b 为单位向量，若0a b a b +--= ，则a b -= （）A．2B．C．1D．04．若()tan 2tan ,sin t αβαβ=-=，则()sin αβ+=（）A．2tB．2t-C．3tD．3t-5．已知双曲线22:4C x y -=，点M 为C 上一点，过M 分别作C 的两条渐近线的垂线，垂足分别为,A B ，则四边形OAMB （O 为原点）的面积为（）A．1B．2C．4D．66．在正四棱锥1111P A B C D -中，11PB PD ⊥．用一个平行于底面的平面去截该正四棱锥，得到几何体111111,1,2ABCD A B C D AB A B -==，则几何体1111ABCD A B C D -的体积为（）A．6B．3C．6D．97．已知函数()πtan (0)4f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，若方程()1f x =在区间()0,π上恰有3个实数根，则ω的取值范围是（）A．(]2,3B．[)2,3C．(]3,4D．[)3,48．已知函数()222cos x x f x x x -=+++，若()()()3,e ,πa f b f c f =-==，则（）A．b a c <<B．b c a <<C．c a b<<D．c b a<<二、多选题（本大题共3小题）9．已知()2,X N μσ~，则（）A．()E X μ=B．()D X σ=C．()()1P X P X μσμσ≤++≤-=D．()()2P X P X μσμσ≥+>≤-10．已知定义在R 上的函数()f x 不恒等于()0,π0f =，且对任意的,x y ∈R ，有()()()()222f x f y f x y f x y +=+-，则（）A．()01f =B．()f x 是偶函数C．()f x 的图象关于点()π,0中心对称D．2π是()f x 的一个周期11．在2024年巴黎奥运会艺术体操项目集体全能决赛中，中国队以69.800分的成绩夺得金牌，这是中国艺术体操队在奥运会上获得的第一枚金牌．艺术体操的绳操和带操可以舞出类似四角花瓣的图案，它可看作由抛物线2:2(0)C y px p =>绕其顶点分别逆时针旋转90180270 ､､后所得三条曲线与C 围成的（如图阴影区域），,A B 为C 与其中两条曲线的交点，若1p =，则（）A．开口向上的抛物线的方程为212y x =B．4AB =C．直线x y t +=截第一象限花瓣的弦长最大值为34D．阴影区域的面积大于4三、填空题（本大题共3小题）12．（x ﹣1x）4的展开式中的常数项为.13．已知数列{}n a 的前n 项和2n S n n =+，当9n nS a +取最小值时，n =.14．2024年新高考数学Ⅰ卷多选题的计分标准如下：①本题共3小题，每小题6分，共18分；②每小题的四个选项中有两个或三个正确选项，全部选对的得6分，有选错或不选的得0分；③部分选对的得部分分（若某小题正确选项为两个，漏选一个正确选项得3分；若某小题正确选项为三个，漏选一个正确选项得4分，漏选两个正确选项得2分）．考生甲在此卷多选题的作答中，第一小题选了三个选项，第二小题选了两个选项，第三小题选了一个选项，则他多选题的所有可能总得分（相同总分只记录一次）的第80百分位数为．四、解答题（本大题共5小题）15．在ABC V 中，,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且满足__________．请在①()()()()sin sin sin a b A C a c A C -+=-+；②ππ1sin cos 634C C ⎛⎫⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，这两个中任选一个作为条件，补充在横线上，并解答问题．(1)求C ；(2)若ABC V 的面积为D 为AC 的中点，求BD 的最小值．16．某学校食堂有,A B 两家餐厅，张同学第1天选择A 餐厅用餐的概率为13．从第2天起，如果前一天选择A 餐厅用餐，那么次日选择A 餐厅用餐的概率为34；如果前一天选择B 餐厅用餐，那么次日选择A 餐厅用餐的概率为12．设他第n 天选择A 餐厅用餐的概率为n P ．(1)求2P 的值及1n P +关于n P 的表达式；(2)证明数列23n P ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是等比数列，并求出{}n P 的通项公式．17．已知边长为4的菱形ABCD （如图1），π,3BAD AC ∠=与BD 相交于点,O E 为线段AO 上一点，将三角形ABD 沿BD 折叠成三棱锥A BCD -（如图2）．(1)证明：BD CE ⊥；(2)若三棱锥A BCD -的体积为8，二面角B CE O --的余弦值为10，求OE 的长．18．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的两个焦点分别为12,F F ，离心率为2，点P为C 上一点，12PF F 周长为2，其中O 为坐标原点．(1)求C 的方程；(2)直线:l y x m =+与C 交于,A B 两点，（i）求OAB △面积的最大值；（ii）设OQ OA OB =+，试证明点Q 在定直线上，并求出定直线方程．19．定义：如果函数()f x 在定义域内，存在极大值()1f x 和极小值()2f x ，且存在一个常数k ，使()()()1212f x f x k x x -=-成立，则称函数()f x 为极值可差比函数，常数k 称为该函数的极值差比系数．已知函数()1ln f x x a x x=--．(1)当52a =时，判断()f x 是否为极值可差比函数，并说明理由；(2)是否存在a 使()f x 的极值差比系数为2?a -若存在，求出a 的值；若不存在，请说明理由；(3)若522a ≤≤，求()f x 的极值差比系数的取值范围．参考答案1．【答案】A【分析】解出一元二次不等式可得集合A ，再由补集定义即可求得结果.【详解】解不等式2340x x -->可得4x >或1x <-，即{4A xx =>∣或}1x <-，因此可得{}14A xx =-≤≤R ∣ð.故选A.2．【答案】D【解析】根据复数的除法运算化简求出z 即可.【详解】23i (3i)(1i)34i i 12i 1i 22z ----+====-+，12iz ∴=+∴z 的虚部为2.故选D.3．【答案】B【分析】先由已知条件得a b a b +=- ，两边平方得0a b⋅= ，进而由向量模长公式即可计算求解a b -.【详解】因为0a b a b +--=，故a b a b +=- ，所以22a b a b +=- 即()()22a ba b +=- ，所以22a b a b ⋅=-⋅ 即0a b⋅= ，所以a b -故选B.4．【答案】C【分析】利用同角的三角函数关系以及两角差的正弦公式求出sin cos 2,cos sin t t αβαβ==，再利用两角和的正弦公式即可求得答案.【详解】由tan 2tan αβ=，得sin 2sin cos cos αβαβ=，即sin cos 2cos sin αβαβ=，由()sin t αβ-=，得sin cos cos sin t αβαβ-=，故sin cos 2,cos sin t t αβαβ==，则()sin sin cos cos sin 3t αβαβαβ+=+=.故选C.5．【答案】B【分析】先确定四边形OAMB 为矩形，然后点(),M m n ，求出其到两个渐近线的距离，相乘计算即可得答案.【详解】双曲线C ：224x y -=，即22144x y -=，为等轴双曲线，渐近线的夹角为90 ，则四边形OAMB 为矩形，设点(),M m n ，且224m n -=，点(),M m n 到渐近线0x y -=的距离为，点(),M m n 到渐近线0x y +=的距离为，则四边形的面积为2222m n -=.故选B.6．【答案】C【分析】由题可知，几何体1111ABCD A B C D -为正四棱台，求出正四棱台高，再由台体的体积公式即可得出答案.【详解】设正四棱锥1111P A B C D -的侧棱长为a ，连接11A C 与11B D 交于点1O ，连接1PO ，则1PO ⊥平面ABCD ，因为112A B =，所以11B D ==因为11PB PD ⊥，所以在Rt 11PB D !中，(222a a +=，解得：2a =，所以1PO =又因为用一个平行于底面的平面去截该正四棱锥，得到几何体1111,1ABCD A B C D AB -=，则几何体1111ABCD A B C D -为正四棱台，连接,AC BD 交于点O ，所以O 为1PO 的中点，所以122PO OO ==，所以几何体1111ABCD A B C D -的体积为：(22121326⋅+⋅=.故选C.7．【答案】C【分析】借助正切型函数的图象性质计算即可得.【详解】当()0,πx ∈时，πππ,π444x ωω⎛⎫+∈+ ⎪⎝⎭，则由题意可得tan 1y x =-在ππ,π44x ω⎛⎫∈+ ⎪⎝⎭上有3个实数根，即可得πππ3ππ4π444ω+<+≤+，解得34ω<≤，即ω的取值范围是(]3,4.故选C.8．【答案】A【分析】先求出函数()f x 的奇偶性，由奇偶性得()()33a f f =-=，接着利用导数工具二次求导研究函数()f x 在()0,+∞上单调性，由单调性即可判断,,a b c 的大小关系.【详解】因为()222cos x x f x x x -=+++，所以函数定义域为R ，()()()()2222cos 22cos x x x x f x x x x x f x ---=++-+-=+++=，所以函数()f x 为偶函数，故()()33a f f =-=，当0x >时，()()()()22ln 22sin x xf x x xg x -=+'--=，所以()()()()222ln 22cos x xg x x -=++-'，因为()()222ln 20,2cos 0x xx -+>->，所以()0g x '>，所以()g x 在()0,+∞单调递增，故()()00g x g >=即()0f x '>，所以()f x 在()0,+∞单调递增，又e 3π<<，所以()()()e 3πf f f <<，所以b a c <<.故选A.【思路导引】比较函数值大小问题通常通过研究函数的奇偶性和单调性来分析，故本题先求出函数()f x 的奇偶性，接着利用导数工具研究函数()f x 在()0,+∞上单调性，进而由函数奇偶性和单调性即可判断,,a b c 的大小关系.9．【答案】AC【分析】正确理解正态分布的概念，即可判断A,B 两项，利用正态分布曲线的对称性以及概率分布的特点易推理判断C,D 两项.【详解】由()2,X N μσ~可得()E X μ=，()2D X σ=，故A 正确；B 错误；对于C，利用正态曲线的对称性可知，()()P X P X μσμσ≤-=≥+，故()()()()1P X P X P X P X μσμσμσμσ≤++≤-=≤++≥+=，即C 正确；对于D，利用正态曲线的对称性可知，()()P X P X μσμσ≤-=≥+，而()()2P X P X μσμσ≥+>≥+，故()()2P X P X μσμσ≥+<≤-，故D 错误.故选AC.10．【答案】ABC【分析】利用赋值法令x y =根据表达式可判断A 正确，再根据偶函数定义可得B 正确；取πx y +=并根据对称中心定义可得C 正确，由对称中心以及偶函数性质可判断4π是()f x 的一个周期，可得D 错误.【详解】对于A,根据题意令x y =，则由()()()()222f x f y f x y f x y +=+-可得()()()()22220f x f x f x f +=，解得()01f =，即A 正确；对于B,令x y =-可得()()()()()2220222f x f x f f x f x +-==，所以()()22f x f x =-，即可得对任意的x ∈R 满足()()f x f x =-，即()f x 是偶函数，所以B 正确；对于C,令πx y +=，则由()()()()222f x f y f x y f x y +=+-可得()()()()2π222ππ20f y f y f f y -+=-=，即()f x 满足()()2π0f x f x -+=，因此可得()f x 的图象关于点()π,0中心对称，即C 正确；对于D,由于()f x 是偶函数且()()2π0f x f x -+=，所以满足()()2π0f x f x -+=，即()()2π0f x f x ++=，可得()()2π2πf x f x -=+，也即()()4πf x f x =+，所以4π是()f x 的一个周期，即D 错误.故选ABC.11．【答案】ABD【分析】对于A，利用旋转前后抛物线焦点和对称轴变化，即可确定抛物线方程；对于B，联立抛物线方程，求出点,A B 的坐标，即得；对于C，将直线与抛物线方程联立求出,M N 的坐标，由两点间距离公式求得弦长，利用换元和函数的图象即可求得弦长最大值；对于D，利用以直线近似取代曲线的思想求出三角形面积，即可对阴影部分面积大小进行判断.【详解】由题意，开口向右的抛物线方程为2:2C y x =，顶点在原点，焦点为11(,0)2F ,将其逆时针旋转90 后得到的抛物线开口向上，焦点为21(0,)2F ，则其方程为22x y =，即212y x =，故A 正确；对于B，根据A 项分析，由2222y xx y ⎧=⎨=⎩可解得，0x =或2x =，即2A x =，代入可得2A y =，由图象对称性，可得(2,2),(2,2)A B -,故4AB =，即B 正确；对于C，如图，设直线x y t +=与第一象限花瓣分别交于点,M N ,由22y x t y x =-+⎧⎨=⎩解得11M M x t y ⎧=+⎪⎨=⎪⎩22y x t x y =-+⎧⎨=⎩解得，11N N x y t ⎧=⎪⎨=+⎪⎩,即得(11),1,1M t N t +--+,则弦长为：|||2|MN t =+-，由图知，直线x y t +=经过点A 时t 取最大值4，经过点O 时t 取最小值0，即在第一象限部分满足04t <≤，不妨设u =13u <≤，且212u t -=，代入得，221|||22||(2)1|22u MN u u -=+---，（13u <≤）由此函数的图象知，当2u =时，||MN取得最大值为2，即C 错误；对于D，根据对称性，每个象限的花瓣形状大小相同，故可以先求18部分面积的近似值.如图，在抛物线21,(0)2y x x =≥上取一点P ，使过点P 的切线与直线OA 平行，由1y x '==可得切点坐标为1(1,)2P ,因:0OA l x y -=,则点P 到直线OA的距离为124d =，于是11242OPA S = ,由图知，半个花瓣的面积必大于12，故原图中的阴影部分面积必大于1842⨯=，故D 正确.故选ABD.【思路导引】本题主要考查曲线与方程的联系的应用问题，解题思路是，理解题意，结合图形对称性特征，通过曲线方程联立，计算判断，并运用函数的图象单调性情况，有时还需要以直代曲的思想进行估算、判断求解.12．【答案】6；【分析】先得出二项式的展开式中的通项()42+141rr r r T C x -=-，令420r -=，可得答案.【详解】因为（x ﹣1x ）4的展开式中的通项为：()442+14411rr r r r r r T C x C x x --⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，令420r -=，得2r =，所以（x ﹣1x）4的展开式中的常数项为()223416T C =-=，故答案为：6.13．【答案】3【分析】根据n S 求得n a ，再结合对勾函数的单调性，即可求得结果.【详解】因为2n S n n =+，则当2n ≥时，()()221112n n n a S S n n n n n -=-=+----=，又当1n =时，112a S ==，满足2n a n =，故2n a n =；则9n n S a +29191222n n n n n ++⎛⎫==++ ⎪⎝⎭，又9y x x=+在()1,3单调递减，在()3,+∞单调递增；故当3n =时，9n n+取得最小值，也即3n =时，9n n S a +取得最小值.故答案为：3.14．【答案】13【分析】根据多选题的计分标准，结合甲在此卷多选题的作答情况、百分位数的定义进行求解即可.【详解】甲在此卷多选题的作答中，第一小题选了三个选项，因此甲此题的得分可以是0分，或6分；第二小题选了两个选项，因此甲此题的得分可以是0分，或4分，或6分；第三小题选了一个选项，因此甲此题的得分可以是0分，或2，或3，因此甲多选题的所有可能总得分为0分，2分，3分，4分，6分，7分，8分，9分，12分，13分，14分，15分，共12种情况，因为1280%=9.6⨯，所以甲多选题的所有可能总得分（相同总分只记录一次）的第80百分位数为13分，故答案为：13.15．【答案】(1)任选一条件，都有π3C =(2)【分析】（1）选①，由正弦定理角化边结合余弦定理，即可求得答案；选②，利用三角函数诱导公式求出2π1cos 34C ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，结合角的范围即可求得答案；（2）利用三角形面积可求出20ab =，再将BD BC CD =+ 平方后结合基本不等式，即可求得答案；另外，也可利用BCD △的面积以及在BCD △中利用余弦定理求解.【详解】（1）选择条件①，()()()()sin sin sin a b A C a c A C -+=-+，则()()()sin sin sin a b B a c A C -=-+，由正弦定理可得()()()a b b a c a c -=-+，即222a b c ab +-=，所以2221cos 22a b c C ab +-==，由()0,πC ∈，所以π3C =．选择条件②，ππ1sin cos 634C C ⎛⎫⎛⎫-+= ⎪ ⎝⎭⎝⎭，即πππ1sin cos 2343C C ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以2π1cos 34C ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，由()ππ4π0,π,333C C ∈<+<，则π1cos 32C ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，所以π2π33C +=，则π3C =．（2）由11sin 22S ab C ab ===20ab =．又BD BC CD =+ ，所以2222()2BD BC CD BC BC CD CD =+=+⋅+ 222211111122224222b a a b b a ab ab ab ab ⎛⎫⎛⎫=+⨯⨯-+=+-≥-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭10=所以BD ≥ ，当且仅当a b ==时等式成立，所以BD 的最小值是．另解：因为ABC S D = 为AC 中点，所以111πsin 22223BDC ABC S S a b ===⋅⋅⋅ ，得20ab =，在BCD △中，由余弦定理得2222cos BD BC CD BC CD C=+-⋅⋅221111121042222a b ab a b ab ab =+-≥⋅-==所以BD ≥a b ==所以BD 的最小值是．16．【答案】(1)2712P =，11142n n P P +=+．(2)证明见解析，121334n n P -=-⨯．【分析】(1)根据题意，利用互斥事件的概率公式可求得2P ，再根据第n 天选择A 餐厅用餐的概率得到1n P +关于n P 的表达式；(2)由(1)可得到123n P +-是等比数列，利用等比数列的通项公式可求得n P .【详解】（1）设n A =“第n 天去A 餐厅用餐”，n B =“第n 天去B 餐厅用餐”，则Ωn n A B = ，且n A 与n B 互斥．根据题意得()()()()()111112,1,133n n P P A P B P A P B P A ===-==-，()()1131,42n n n n P A A P A B ++==∣∣，()()()()()2212112113217343212P P A P A P A A P B P A B ==+=⨯+⨯=∣∣，()()()()()()111131142n n n n n n n n n n P P A P A P A A P B P A B P P ++++==+=+-∣∣，即11142n n P P +=+．（2）12112111234234643n n n n P P P P +⎛⎫⎛⎫-=+-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭又因为121033P -=-≠，所以23n P ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是以13-为首项，14为公比的等比数列，所以1211334n n P -⎛⎫⎛⎫-=-⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，从而121334n n P -=-⨯．17．【答案】(1)证明见解析(2)2OE =【分析】（1）要证BD CE ⊥，只需证BD ⊥平面ACO ，只需证,AO BD CO BD ⊥⊥，由题易证；（2）由体积求出AO 的长，建立空间直角坐标系，假设()0,0,(0)E n n >，求出平面BCE CEO 、的法向量，由余弦值为10，求出n ，进而可求OE 的长.【详解】（1）因为四边形ABCD 是边长为4的菱形，并且π3BAD ∠=，所以,ABD BCD 均为等边三角形，故,AO BD CO BD ⊥⊥，且AO CO ==因为AO ⊂平面,ACO CO ⊂平面ACO ，且AO CO O = ，所以BD ⊥平面ACO因为CE ⊂平面ACO ，所以BD CE ⊥．（2）设A 到平面BCD 的距离为h ，因为等边三角形BCD △的边长为4，所以三棱锥A BCD -的体积为214834h ⨯⨯=，所以h =因为AO =AO ⊥平面BCD ，以O 为坐标原点，OB 所在直线为x 轴，OC 所在直线为y 轴，OA 所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系O xyz -；则()()0,0,0,2,0,0O B，()(0,,0,0,C A ，设()0,0,(0)E n n >因为BD ⊥平面ACO ，所以()11,0,0m = 是平面ECO 的一个法向量，设平面BCE 的法向量为()2,,m x y z = ，又()()2,,2,0,BC BE n =-=- ，故222020m BC x m BE x nz ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩取x =1,y z ==得2m =⎭ ，因为二面角B CE O --的余弦值为所以1212m m m m ⋅=⋅解得：2n =或n =2OE =．18．【答案】(1)2212x y +=(2)（i）2；（ii）证明见解析，12y x =-．【分析】（1）根据题意，列出关于,,a b c 的方程组，即可求解；（2）（ⅰ）直线与椭圆方程联立，利用韦达定理求弦长AB ，并求点到直线的距离，结合三角形的面积公式，以及基本不等式，即可求面积的最大值；（ⅱ）利用韦达定理，结合向量的坐标公式，表示点Q 的坐标，即可求解定直线方程.【详解】（1）设焦距为2c，依题意，222,c a a c ⎧=⎪⎨⎪+=+⎩解得1,a c ⎧=⎪⎨=⎪⎩又222a b c =+，所以2221b a c =-=，所以C 的方程为2212x y +=．（2）（i）设()()1122,,,A x y B x y ，因为2212x y y x m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，所以2234220x mx m ++-=，()221643220Δm m =-⨯⨯->，解得23m <，所以21212422,33m m x x x x -+=-=，3AB ===点O 到直线:0l x y m -+=的距离dOAB △的面积123S=⨯()2233322m m -+=⨯=当且仅当223mm -=，即m =OAB △面积的最大值为2．（ii）设(),Q x y ，由OQ OA OB =+ ，有()()1212,,x y x x y y =++，即1212x x x y y y =+⎧⎨=+⎩因为1243m x x +=-，所以1212223m y y x x m +=++=，故4323m x my ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，于是有12y x =-，所以点Q 在定直线12y x =-．【关键点拨】本题第二问的关键是利用韦达定理表示弦长，以及坐标.19．【答案】(1)()f x 是极值可差比函数，理由见解析；(2)不存在a 使()f x 的极值差比系数为2a -，理由见解析；(3)102ln2,23ln23⎡⎤--⎢⎥⎣⎦．【分析】（1）利用函数的导函数求出单调区间，由此得出极大值与极小值，由“极值可差比函数”的定义，求出极值差比系数k 的值，这样的值存在即可判断.（2）反证法，假设存在这样的a ，又根据“极值可差比函数”的定义列出等量关系，证明无解即可.（3）由（2）得到参数a 与极值点的关系式，对关系式进行转化，得出相应函数，利用导函数求出单调性即可得出函数取值范围.【详解】（1）当52a =时，()15ln (0)2f x x x x x =-->，所以()()()2221215122x x f x x x x -='-=+-，当()10,2,2x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '>；当1,22x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，所以()f x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭和()2,+∞上单调递增，在1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，所以()f x 的极大值为153ln2222f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，极小值为()352ln222f =-，所以()110122ln22232f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，因此()f x 是极值可差比函数．（2）()f x 的定义域为()()210,,1a f x x x+∞=+-'，即()221x ax f x x -+'=，假设存在a ，使得()f x 的极值差比系数为2a -，则12,x x 是方程210x ax -+=的两个不等正实根，21212401Δa x x a x x ⎧=->⎪+=⎨⎪=⎩，解得2a >，不妨设12x x <，则21x >，由于()()1211221211ln ln f x f x x a x x a x x x ⎛⎫-=----- ⎪⎝⎭()11212211ln x x x a x x x ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭()()11121221222ln2ln ,x x a x x a x x x x x x ⎛⎫=--=-- ⎪-⎝⎭所以112222ln x a a x x x -=--，从而11221ln 1x x x x =-，得()22212ln 0,*x x x --=令()()2222121(1)2ln (1),0x x x g x x x x g x x x x -+-=-->==>'，所以()g x 在()1,+∞上单调递增，有()()10g x g >=，因此()*式无解，即不存在a 使()f x 的极值差比系数为2a -．（3）由（2）知极值差比系数为11222ln x a x x x --，即1211222ln x x x x x x +--，不妨设120x x <<，令()12,0,1x t t x =∈，极值差比系数可化为12ln 1t t t +--，()2122121221122x x x x a t x x x x t+==++=++，又52a ≤≤，解得1142t ≤≤，令()()212ln 1112ln ,142(1)t t t t p t t t p t t t +-+⎛⎫=-≤≤= '⎪--⎝⎭，设()()2221121212ln 1,14t t h t t t t h t t t t t --⎛⎫=+-≤≤=--= ⎪'⎝⎭22(1)0t t -=-≤所以()h t 在1,14⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，当1,14t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()()1102h t h h ⎛⎫≥>= ⎪⎝⎭，从而()0p t '>，所以()p t 在11,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，所以()1142p p t p ⎛⎫⎛⎫≤≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即()102ln223ln23p t -≤≤-．故()f x 的极值差比系数的取值范围为102ln2,23ln23⎡⎤--⎢⎥⎣⎦．【思路导引】合理利用导函数和“极值可差比函数”定义，在（2）利用极值点的性质找到几个变量间的基本关系，利用函数单调性判断方程无解.（3）中的需要重复利用（2）几个重要的数量关系，对变量进行转化，利用导函数求出单调区间，得出取值范围是关键.。

九师联盟2024届高三教学质量监测10月联考（新高考卷）数学试题及参考答案一、选择题：本题8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数z 满足i zi-=+13，则=z （）A .5B .2C .3D .22.设集合(){}3ln -==x y x A ，{}1-≤=x x B ，则{}=≤<-31x x （）A .()B AC R B .()B A C R C .()B C A R D .()B C A R 3.已知()θθcos ,sin P 是角3π-的终边上一点，则=θtan （）A .3-B .33-C .33D .34.已知平面向量b a ，和实数λ，则“b aλ=”是“b a 与共线”的（）A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分又不必要条件5.扇子是引风用品，夏令营必备之物.我国传统扇文化源远流长，是中华文化的一个组成部分.历史上最早的扇子是一种礼仪工具，后来慢慢演变为纳凉、娱乐、观赏的生活用品和工艺品.扇子的种类较多，受大众喜爱的有团扇和折扇.如图1是一把折扇，是用竹木做扇骨，用特殊纸或凌娟做扇面而制成的.完全打开后的折扇为扇形（如图2），若图2中θ=∠AOB ,D C ,分别在OB OA ,上，m BD AC ==，弧AB 的长为l ，则该折扇的扇面ABDC 的面积为（）A .()2θ-l m B .()2m l m θ-C .()22θ-l m D .()22m l m θ-6.已知6.023-⎪⎭⎫⎝⎛=a ，41log 31=b ，9.032⎪⎭⎫⎝⎛=c ，则（）A .ac b >>B .ba c >>C .c ab >>D .bc a >>7.如图，已知两个单位向量OB OA ,和向量OC ，2=OC .OA 与OC 的夹角为θ，且53cos =θ，OB 与OC 的夹角为45°，若()R y x OB y OA x OC ∈+=,，则=+y x （）A .3B .2C .1D .228.已知函数()()22ln 2ln x eax x a x x f +-=有三个零点321,,x x x ，且321x x x <<，则a 的取值范围是（）A .⎪⎭⎫⎝⎛--0,12e e B .⎪⎭⎫ ⎝⎛-0,12e C .⎪⎭⎫⎝⎛-0,21e D .⎪⎭⎫ ⎝⎛-0,2e 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知函数()()⎪⎭⎫⎝⎛<>+=2,0sin πϕωϕωx x f ，21,x x 为()x f 的两个极值点，且21x x -的最小值为2π，直线3π=x 为()x f 的图象的一条对称轴，将()x f 图象向左平移12π个单位长度后得到函数()x g 的图象，则（）A .4=ωB .6πϕ-=C .()x f 的图象关于点⎪⎭⎫⎝⎛-0,6π对称D .()x g 的图象关于点⎪⎭⎫⎝⎛0,2π对称10.下列式子中最小值为4的是（）A .x x 22sin 4sin +B .x x -+222C .x x 22cos 1sin 1+D .()()xx x x +++-+1ln1ln42211.已知函数()x f 的定义域为R ，其导数为()x f '，若R x ∈∀，()()04=--+x f x f ，且()1+x f 为奇函数，()11-='f ，则（）A .()01=fB .4为()x f 的一个周期C .()12='f D .()12023='f12.在ABC ∆中，内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，P 为ABC ∆内一点，则下列命题正确的是（）A .若032=++PC PB P A ，则P AC ∆的面积与P AB ∆的面积之比是3:2B .若4423π===A b a ，，，则满足条件的三角形有两个CBC AC BC AB =，则ABC ∆为等腰三角形D .若点P 是ABC ∆的重心，且03322 =⋅+⋅+⋅PC c PB b P A a ，则ABC ∆为直角三角形二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知函数()x ex x f 1-=，则曲线()x f y =在点()()0,0f 处的切线方程为.14.=︒+︒20sin 420tan .15.函数xx xx y cos sin 2cos sin --=的值域为.16.函数()()()[]()6,03sin 62∈++--=x a x x x x x f 的最大值为M ，最小值为m ，若8=+m M ，则=a .三、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（10分）已知()x x a sin ,cos 22= ，⎪⎭⎫ ⎝⎛=x b cos 3,21 ，()b a x f ⋅=.（1）求函数()x f 的最小正周期和单调递减区间；（2）在ABC ∆中，π127=+B A ，()1=A f ，32=BC ，求边AC 的长.18.（12分）已知函数()()x m x f x-+=1log 3（0>m ，且1≠m ）是偶函数.（1）求m 的值；（2）若关于x 的不等式()()()0333321≤+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-⋅-a xx x f 在R 上有解，求实数a 的最大整数值.19.（12分）已知αsin 是方程06752=--x x 的根.（1）求()()⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛--⋅-⋅⎪⎭⎫⎝⎛-⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛--απαπαπαπαππα2cos 2cos tan 2cos 23cos 23sin 的值；（2）若α是第四象限角，⎪⎭⎫ ⎝⎛<<=⎪⎭⎫ ⎝⎛-201356sin πβπβ，求⎪⎭⎫ ⎝⎛+-3sin παβ的值.20.（12分）南京玄武湖称“金陵明珠”，是我国仅存的皇家园林湖泊.在玄武湖的一角有大片的荷花，每到夏季，荷花飘香，令人陶醉.夏天的一个傍晚，小胡和朋友游玄武湖，发现观赏荷花只能在岸边，无法深入其中，影响观赏荷花的乐趣，于是他便有了一个愿景：若在玄武湖一个盛开荷花的一角（该处岸边近似半圆形，如图所示）设计一些栈道和一个观景台，观景台P 在半圆形的中轴线OC 上（图中OC 与直径AB 垂直，P 与C O ,不重合），通过栈道把AB PC PB P A ,,,连接起来，使人行在其中，犹如置身花海之感.已知m AB 200=，θ=∠P AB ，栈道总长度为函数()θf .（1）求()θf ；（2）若栈道的造价为每米5万元，试确定观景台P 的位置，使实现该愿景的建造费用最小（观景台的建造费用忽略不计），并求出实现该愿景的建造费用的最小值.21.（12分）在锐角ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，S 为ABC ∆的面积，且()222c b S a -+=.（1）求A tan 的值；（2）若8=a ，证明：5816≤+<c b .22.（12分）已知函数()x x e x f xcos sin --=，()x f '为其导数.（1）求()x f 在[)∞+-，π上极值点的个数；（2）若()()R a x ax x f ∈-+≥'cos 22对[)+∞-∈∀,πx 恒成立，求a的值.参考答案一、选择题1.A解析：由i z i -=+13，得()()()()i i i i i i i z 21111313+=+-++=-+=，∴52122=+=z .2.B 解析：由题意得{}3>=x x A ，∴φ=B A ，则()R B A C R = ，故A 错误；{}31>-≤=x x x B A 或 ，则()=B A C R {}31≤<-x x ，故B 正确；又{}1->=x x B C R ，∴(){}3>=x x B C A R ，故C 错误；(){}1->=x x B C A R ，故D 错误.3.B解析：213cos sin =⎪⎭⎫ ⎝⎛-=πθ，233sin cos -=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=πθ，∴33cos sin tan -==θθθ.4.A 解析：若b a λ=，由共线向量定理知b a 与共线，知“b aλ=”是“b a 与共线”的充分条件；若b a 与共线，如()()0,02,1==b a ，，则b a λ=不成立，故“b aλ=”不是“b a 与共线”的必要条件.综上，“b aλ=”是“b a 与共线”的充分不必要条件.5.D解析：由弧长公式可知，OA l ⋅=θ，∴θlOA =，则m lOC -=θ，∴该折扇的扇面的面积为：=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅-⋅22121m l l l θθθ()22m l m θ-.6.C 解析：9.06.06.00323223231⎪⎭⎫⎝⎛>⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫⎝⎛>⎪⎭⎫ ⎝⎛=-，即c a >>1，又14log 41log 331>=，∴c a b >>.7.D 解析：由[]πθθ，，053cos ∈=，得54531sin 2=⎪⎭⎫⎝⎛-=θ，由题意得245cos 21=︒⨯=⋅OC OB ，()5245cos 21-=︒+⨯=⋅θOC OA ，53=⋅OB OA ，在OB y OA x OC +=两边分别点乘OB OA ,，得y x OC OA 53+=⋅，y x OC OB +=⋅53，两式相加，得()y x +=-58522，∴22=+y x .8.D 解析：由题意知0>x ，∴()0=x f 可化为0ln 2ln 2=+⋅-⎪⎭⎫⎝⎛e a x x a x x ，令()x x x g u ln ==，则()2ln 1xxx g -='，∴当e x <<0时，()0>'x g ，()x g 在()e ,0上单调递增；当e x >时，()0<'x g ，()x g 在()+∞,e 上单调递减，∴()()ee g x g 1max ==，又0→x 时，()-∞→x g ；+∞→x 时，()0→x g ，故()x g 的值域为⎥⎦⎤ ⎝⎛∞-e1,，且其图象如图所示.则问题转化为()e au a u u h +-=22的零点：①一个在⎪⎭⎫ ⎝⎛e 1,0内，另一个为e1，则()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<<=⎪⎭⎫ ⎝⎛>>∆e a e h h 14001000，即⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧<<=+->>-e a e a e a e ea e aa 40021004422无解.②一个在⎪⎭⎫ ⎝⎛e 1,0内，另一个在(]0，∞-内，若()00=h ，则0=a ，()2u u h =，函数()u h 有一个零点，不合题意，则()⎪⎩⎪⎨⎧>⎪⎭⎫ ⎝⎛>0100e h h ，即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+-<02102ea e a e ea，解得02<<-a e.二、选择题9.BD解析：∵21,x x 为()x f 的两个极值点，且21x x -的最小值为2π，∴()x f 的周期π=T ，∴22==Tπω，故A 错误；又3π=x 为()x f 的图象的一条对称轴，∴()Z k k ∈+=+ππϕπ232，即()Z k k ∈+-=ππϕ6，∵2πϕ<，∴6πϕ-=，故B 正确；将()x f 图象向左平移12π个单位长度，得()x x g 2sin =，∴0163sin 6≠-=⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛-πππf ，0sin 2==⎪⎭⎫⎝⎛ππg ，故C 错误，D 正确.10.BC解析：4sin 4sin 2sin 4sin 2222=⨯≥+xx x x ，当且仅当x x 22sin 4sin =，即2sin 2=x 时等号成立，∵1sin ≤x ，∴2sin 2=x 不成立，故A 错误；42222222=⨯≥+--x x x x ，当且仅当x x -=222，即1=x 时等号成立，故B 正确；()4cos sin sin cos 2cos sin cos 1sin 1cos 1sin 12222222222≥++=+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+xx x x x x x x x x ，当且仅当xx x x 2222cos sin sin cos =，即x x cos sin =时等号成立，故C 正确；∵当0=x 时，()()01ln1ln 422=+++-+x x x x ，∴最小值不为4，故D 错误.11.ABD解析：∵()1+x f 为奇函数，即()()11+-=+-x f x f ，则()01=f ，∴()()x f x f +-=-2，又()()04=--+x f x f ，∴()()24+-=+x f x f ，即()()x f x f -=+2，∴()()()x f x f x f =+-=+24，即()x f 的一个周期为4，故A,B 正确；由()()x f x f -=+2两边求导，得()()x f x f '-=+'2.∵()()11+-=+-x f x f ，两边求导，得()()()111+'-=-⋅+-'x f x f ，即()()11+'=+-'x f x f ，∴()()x f x f -'='2，又由()()04=--+x f x f ，两边求导得()()04=-'++'x f x f ，∴()02='f .由()()x f x f =+4两边求导得()()x f x f '=+'4，故()x f '的一个周期为4，∴()()()1112023='-=-'='f f f ，故C 错误，D 正确.12.ACD 解析：对于A，由032=++PC PB P A ，得()PC PB PC P A +-=+2，分别取BC AC ,的中点E D ,，则PE PD 2-=，∴322==∆∆∆∆P AB P AD P AB P AC S S S S ，故A 正确；对于B，b a >，则B A >，∴ABC ∆是以角C 为钝角的钝角三角形，故B 错误；对于BC AC BC AB =，得0=⋅⎪⎫⎛+BC AC AB ，易知AC AB +BAC ∠的角平分线共线，∴BAC ∠的角平分线与BC 垂直，故AC AB =，ABC ∆为等腰三角形，故C 正确；对于D，∵P 是ABC ∆的重心，∴()AC AB AP +=31，()BC BA BP +=31,()CA CB CP +=31，代入条件并整理，得()033233222 =⋅⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⋅-BC c b AC c a AB b a ，又AB AC BC -=，代入并整理，得0334233222 =⋅⎪⎪⎭⎫⎝⎛-++⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-AC c b a AB c b a ，∵AC AB ,不共线，∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+=+-03342033222c b a cb a ，解得⎩⎨⎧==ac a b 32.∴22224b a c a ==+，故B 为直角，∴ABC ∆为直角三角形，故D 正确.二、填空题13.012=--y x 解析：()()()x x xx exe e x e xf -=--='212，∴()20='f ，又()10-=f ，故所求切线方程为()()021-=--x y ，即012=--y x .14.3解析：︒︒︒+︒=︒+︒︒=︒+︒20cos 20cos 20sin 420sin 20sin 420cos 20sin 20sin 420tan ()320cos 20sin 20cos 320sin 20cos 2060sin 220sin 20cos 40sin 220sin =︒︒-︒+︒=︒︒-︒+︒=︒︒+︒=15.⎥⎦⎤⎢⎣⎡-522522，解析：令x x t cos sin -=，则()2221cos sin 2≤≤--=t t x x ，∴232tty +=()22≤≤-t ，当0=t 时，0=y ，当22≤≤-t ，且0≠t 时，tt y 32+=，令tt u 3+=，已知u 的值域为⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡∞+⎥⎦⎤ ⎝⎛-∞-，，522522 ，∴tt y 32+=的取值范围为⎦⎤⎝⎛⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡-52200522，， .综上所述，所求函数的值域为⎦⎤⎢⎣⎡-522522，.16.1解析：()()()()[]()a x x x a x x x x x f ++---=++--=3sin 933sin 622，令[]()3,33-∈-=t x t ，则原函数变为()a t t t y +++-=3sin 92，令()()[]()3,3sin 92-∈+-=t t t t t g ，∴()a t g y ++=3，∴()a t g M ++=3max ，()a t g m ++=3min ，∴()()a t g t g m M 26min max +++=+.∵()()t g t g -=-，∴()t g 为奇函数，∴()()0min max =+t g t g ，∴826=+=+a m M ，解得1=a .三、解答题17.解：（1）由题意得()2162sin 2sin 232cos 2121cos sin 3cos 2+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++=+=πx x x x x x x f ，∴()x f 的最小正周期ππ==22T ,令()Z k k x k ∈+≤+≤+πππππ2236222，解得()Z k k x k ∈+≤≤+ππππ326，∴()x f 的单调递减区间为()Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++ππππ326，.（2）由（1）知()12162sin =+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=πA A f ,∴2162sin =⎪⎭⎫ ⎝⎛+πA ，又()π，0∈A ，∴⎪⎭⎫ ⎝⎛∈+613662πππ，A ，∴6562ππ=+A ，∴3π=A .∵π127=+B A ，∴4π=B ，由正弦定理得ABCB AC sin sin =，∴22232232sin sin =⨯==A B BC AC .18.解：（1）∵()x f 为偶函数，∴()()x f x f -=对任意的R x ∈恒成立，即()()x m x m x x-+=++-1log 1log 33对任意的R x ∈恒成立，又()()()m x m m m mm mxx x xx x333333log 1log log 1log 1log 1log -+=-+=+=+-，∴()()x m x m x m xx-+=+-+1log log 1log 333对任意的R x ∈恒成立，即()02log 3=-m x 对任意的R x ∈恒成立，必须02log 3=-m ，即9=m ，故9=m .（2）由（1）知，()()x x f x-+=19log 3，故()()x x x x f x 3133319log 3+==-+.设()()()233≥+=-t t x x ，则23132++=x x t ，即23132-=+t x x ，∴圆原问题等价于关于t 的不等式013212≤-+-a t t 在[)∞+，2上有解，∴max21321⎪⎭⎫⎝⎛--≤t t a ，又()[)+∞∈+--=--=,2,211321132122t t t t y ，∴当3=t 时，211max =y ，∴211≤a ，故实数a 的最大整数值为5.19.解：（1）由αsin 是方程06752=--x x 的根，得53sin -=α或2sin =α（舍），原式()()αααααππαsin sin tan cos 23cos 23sin -⋅-⋅⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=()()αααααααααααcos sin cos sin cos cos sin tan cos sin cos 2-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯=---=.由53sin -=α，∴α是第三象限或第四象限角，若α是第三象限角，则54cos -=α，此时54cos =-α；若α是第四象限角，则54cos =α，此时54cos -=-α.故所求式子的值为54或54-.（2）由（1）知，当α是第四象限角时，53sin -=α，54cos =α，由⎪⎭⎫ ⎝⎛<<=⎪⎭⎫ ⎝⎛-201356sin πβπβ，得13126cos =⎪⎭⎫ ⎝⎛-πβ，∴⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-απβπαπβπαβ6cos 26sin 6sin απβαπβsin 6sin cos 6cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=653353135541312=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯+⨯=.20.解：（1）由题意知θ=∠P AB ，40πθ<<，AB OC ⊥,100==OB OA ,则θcos 100==PB P A ，θtan 100=PO ，∴θtan 100100-=PC ，∴()200tan 100100cos 200+-+=+++=θθθAB PC PB P A f ⎪⎭⎫ ⎝⎛<<⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=403cos sin 2100πθθθ.（2）建造栈道的费用()()⎪⎭⎫⎝⎛+-==3cos sin 25005θθθθf F ，()θθθ2cos 1sin 2500-⨯='F ，令()0='θF ，得21sin =θ，又40πθ<<，∴6πθ=.当60πθ<<时，()0<'θF ，当46πθπ<<时，()0>'θF ，∴()θF 在⎪⎭⎫⎝⎛60π，上单调递减，在⎪⎭⎫⎝⎛46ππ，上单调递增，∴()()335006min +=⎪⎭⎫ ⎝⎛=πθF F ，此时331001006tan 100100-=-=πPC ，故观景台位于离岸边半圆弧中点距离⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-33100100米时，建造费用()33500+万元.21.解：（1）∵ABC ∆的面积为A bc S sin 21=，()222c b a S --=，∴bc c b a A bc 2sin 222+--=，由余弦定理得A bc c b a cos 2222-=--,∴A bc bc A bc cos 22sin --，∵0≠bc ，∴2cos 2sin =+A A ，又⎪⎭⎫ ⎝⎛∈20π，A ，1cos sin 22=+A A ，∴2sin 12sin 2=-+A A ，化简得0sin 4sin 52=-A A ，解得54sin =A 或0sin =A （不合题意，舍去）.∵⎪⎭⎫⎝⎛∈20π，A ，∴53sin 1cos 2=-=A A ，34cos sin tan ==A A A .（2）证明：由正弦定理，得10548sin sin sin ====A a C c B b ，∴()B A C c B b +===sin 10sin 10sin 10，，∴()()ϕ+=+=++=+B B B B A B c b sin 58cos 8sin 16sin 10sin 10，其中ϕ为锐角，且552cos 55sin ==ϕϕ，.∵⎪⎭⎫⎝⎛∈20π，A ，⎪⎭⎫ ⎝⎛∈20πϕ，，∴22πϕπ<-<-A ，又ϕsin sin >A ，∴ϕ>A ，∴20πϕ<-<A ，∴220πϕπ<+-<A ，又⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<<<2020ππB C ，即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<<--<2020πππB B A ，∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<-<<-202πππB A B A ，∴22ππ<<-B A .∴ϕπϕϕπ+<+<+-22B A ，∵函数x y sin =在⎪⎭⎫⎝⎛20π，上单调递增，在⎪⎭⎫⎝⎛ππ，2上单调递减，且()A A A A sin sin cos cos cos 2sin ϕϕϕϕπ+=-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-552545553552=⨯+⨯=552cos 2sin ==⎪⎭⎫ ⎝⎛+ϕϕπ，∴()58sin 585258≤+<⨯ϕB ，即5816≤+<c b .22.解：（1）()⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=+-='4sin 2sin cos πx e x x e x f x x ，①当43ππ-<≤-x 时，πππ-<-≤-445x ，∴04sin 2>⎪⎭⎫ ⎝⎛-πx ，又0>x e ，∴()0>'x f ，∴()x f 在⎪⎭⎫⎢⎣⎡--43ππ，上单调递增；②当243ππ-<≤-x 时，434πππ-<-≤-x ，∵()⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=''4cos 2πx e x f x ，且1<x e ，14cos 2-<⎪⎭⎫ ⎝⎛-≤-πx ，∴()0<''x f ，∴()x f '在⎪⎭⎫⎢⎣⎡--243ππ，上单调递减，又04343>=⎪⎭⎫ ⎝⎛-'-ππe f ，0122<-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-'-ππe f ，∴存在⎪⎭⎫ ⎝⎛--∈2430ππ，x ，使得()00='x f ，且在⎪⎭⎫ ⎝⎛-043x π上，()00>'x f ，在⎪⎭⎫ ⎝⎛-2,0πx 上，()00<'x f ，∴()x f 在⎪⎭⎫ ⎝⎛-043x π上单调递增，在⎪⎭⎫ ⎝⎛-2,0πx 上单调递减；③当02<≤-x π时，4443πππ-<-≤-x ，∴14sin 22-≤⎪⎭⎫ ⎝⎛-≤-πx ，又1<x e ，∴()0<'x f ，故()x f 在⎪⎭⎫⎢⎣⎡-02π上单调递减；④当40π<≤x 时，044<-≤-ππx ，∴04sin 21<⎪⎭⎫ ⎝⎛-≤-πx ，又1≥x e ，∴()0≥'x f ，当且仅当0=x 时取等号，∴()x f 在⎪⎭⎫⎢⎣⎡40π，上单调递增；⑤当4π≥x 时，04≥-πx ，24>≥πe e x ，24sin 2->⎪⎭⎫ ⎝⎛-πx ，∴()0>'x f 在⎪⎭⎫ ⎝⎛∞+，4π上恒成立，∴()x f 在⎪⎭⎫ ⎝⎛∞+，4π上单调递增.综上所述，()x f 在[)0,x π-上单调递增，在()0,0x 上单调递减，在[)∞+，0上单调递增，∴()x f 在[)∞+-，π上仅有2个极值点.（2）当π-≥x 时，()()R a x ax x f ∈-+≥'cos 22恒成立，即()R a ax x x e x∈≥--++02cos sin ，令()2cos sin --++=ax x x e x xϕ，则()0≥x ϕ，∵()0≥x ϕ且()00=ϕ，∴当0=x 时，()x ϕ取得最小值.()a x x e x x -+-='cos sin ϕ，则0=x 为函数()x ϕ的极小值点，故()020=-='a ϕ，解得2=a .下面证明：当2=a 时，0=x 为函数()x ϕ的最小值点，()2cos sin -+-='x x e x xϕ.令()2cos sin -+-=x x e x h x ，()()x f x x e x h x=--='sin cos ，由（1）知，()01>+=--ππe f ，∴当π-≥x 时，()x f 的最小值为()00=f ，∴函数()0≥'x h 在[)∞+-，π上恒成立，∴()x h （即()x ϕ'）在[)∞+-，π上单调递增，又()00='ϕ，∴当0<≤-x π时，()0<'x ϕ；当0>x 时，()0>'x ϕ，∴函数()x ϕ在[)0，π-上单调递减，在()∞+，0上单调递增，∴()()00=≥ϕϕx ，符合题意.综上所述，2=a .。

浙江省台州市2025届高三第一次教学质量评估数学试题本试题卷分选择题和非选择题两部分。

满分150分，考试时间120分钟。

请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上。

选择题部分 (共58分)一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知t anα=2, 则c os 2α的值为A. A.255 B. 45C.35D.−352. 椭圆E1:x29+y24=1与椭圆E2:x29−k+y24−k=1(0＜k＜4)的A. 长轴长相等B. 短轴长相等C. 离心率相等D. 焦距相等3.若复数z是方程x²−2x+5=0的一个虚根，则. z+z=A. - 2B. 2C. - 4iD. 4i4.已知集合 A=x|x²+2x＜3,B=x|2ˣ+x＜3,则 “x∈A”是“x∈B”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件5.已知变量x与y的成对样本数据具有线性相关关系，由一元线性回归模型根据最小二乘法, 计算得经验回归方程为y=1.6x+a, 若∑=10, y=15, 则a=A. 6.6B. 5C. - 1D. - 146.已知f(x)是定义在R 上的奇函数, 当x∈(0,+∞)时, f(x)=log₃x,则f(-9)=A. - 3B. - 2C. 2D. 37.已知球O的半径为3，P是球O表面上的定点，S是球O表面上的动点，且满足( (2SO+SP)⋅OP=0,则线段OS 轨迹的面积为A. 32πB. 35πC. 62πD. 65π8.台州某校为阳光体育设计了一种课间活动，四位同学(两男两女) 随机地站到4×4的方格场地中(每人站一格，每格至多一人)，则两个男生既不同行也不同列，同时两个女生也既不同行也不同列的概率是A. 2465 B. 1235C. 2165D. 3391二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分。

山东省济宁市2024-2025学年高三上学期期中教学质量检测数学试题一、单选题1．已知集合{P x y ==，{Q y y ==，则()R P Q = ð（）A ．∅B ．[)1,+∞C ．(),0-∞D ．(],1-∞-2．若复数12i=-z （i 为虚数单位），则z =（）A ．21i55-B ．21i55+C ．33i55-D ．33i55+3．已知角α的顶点与原点重合，始边与x 轴正半轴重合，终边经过点()1,2--，则tan 2α=（）A ．34B ．43C ．34-D ．43-4．已知函数()f x 的定义域为R ，满足()()()2024f x y f x f y +-+=⎡⎤⎣⎦，则下列说法正确的是（）A ．()f x 是偶函数B ．()f x 是奇函数C ．()2024f x +是奇函数D ．()2024f x +是偶函数5．向量()1,2a = ，()1,1b =- ，则a 在b上的投影向量是（）A．2-B．C ．11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．12,55⎛⎫-- ⎪⎝⎭6．已知函数()21,11,11x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨>⎪-⎩，则()()3f f =（）A ．8B ．34-C ．109-D ．127．已知πcos 5a =，πsin 4b =，3log 2c =，则（）A ．b a c<<B ．b c a <<C ．c a b <<D ．c b a<<8．如图，在ABC V中，AC =AB =90A ∠=︒，若PQ 为圆心为A 的单位圆的一条动直径，则BP CQ ⋅的最大值是（）A ．2B ．4CD 1二、多选题9．下列说法正确的是（）A ．命题“x ∀∈R ，210x x ++>”的否定形式是“x ∃∈R ，210x x ++≤”B ．当()0,πx ∈时，4sin sin y x x=+的最小值为4C ．tan 25tan 20tan 25tan 201︒+︒+︒︒=D ．“ππ4k θ=±（k ∈Z ）”是“π4k θ=（k ∈Z ）”的必要不充分条件10．已知函数()cos f x x x =+，则（）A ．函数()f x 在π2,6π3⎡⎤⎢⎣⎦上单调递减B ．函数()f x 的图象关于点5π,06⎛⎫⎪⎝⎭对称C ．函数()f x 的图象向左平移m （0m >）个单位长度后，所得的图象关于y 轴对称，则m 的最小值是π3D ．若实数m 使得方程()f x m =在[]0,2π上恰好有三个实数解1x ，2x ，3x ，则1238π3x x x ++=11．设数列{}n a 前n 项和为n S ，满足()()214100n n a S -=-，*N n ∈且10a >，10n n a a -+≠（2n ≥），则下列选项正确的是（）A ．223n a n =-B ．数列n S n ⎧⎫⎨⎩⎭为等差数列C ．当10n =时，n S 有最大值D ．设12n n n n b a a a ++=，则当8n =或10n =时，数列{}n b 的前n 项和取最大值三、填空题12．已知a ，b 都是正数，且230a b ab +-=，则a b +的最小值为．13．已知函数()21ln 22x f x x ax =-+在区间()2,+∞上没有零点，则实数a 的取值范围是．14．已知函数e 1()e 1x x f x -=+，()(1)2g x f x =-+，则()g x 的对称中心为；若12321()()()()n n a g g g g n n n n-=+++⋅⋅⋅+（*n ∈N ），则数列{}n a 的通项公式为．四、解答题15．已知在ABC V 中，角A ，B ，C ，所对的边分别为a ，b ，c ，()2cos 3cos cos b B a C c A =+．(1)求角B ；(2)过点A 作AD BC ∥，连接CD ，使A ，B ，C ，D 四点组成四边形ABCD ，若7AB =，2AC =，2CD =，求AD 的长．16．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，22n n a S =+，（*n ∈N ）.(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)记2log n n c a =，数列n n c a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，若关于n 的不等式()()221n n n T n λ+-≤+恒成立，求实数λ的取值范围．17．已知函数()223,02ln ,0x x x f x x x ⎧+-≤=⎨-+>⎩(1)请在网格纸中画出()f x 的简图，并写出函数的单调区间（无需证明）；(2)定义函数()()2241,2012,022f x x x xg x x x ⎧--+-≤≤⎪=⎨-<≤⎪⎩在定义域内的0x ，若满足()00g x x =，则称0x 为函数()g x 的一阶不动点，简称不动点；若满足()()00g g x x =，则称0x 为函数()g x 的二阶不动点，简称稳定点.①求函数()g x 的不动点；②求函数()g x 的稳定点.18．摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色，如图，某摩天轮最高点距离地面高度为100m ，转盘直径为90m ，均匀设置了依次标号为1～48号的48个座舱．开启后摩天轮按照逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，开始转动min t 后距离地面的高度为m H ，转一周需要24min．(1)求在转动一周的过程中，H 关于t 的函数解析式；(2)若甲、乙两人分别坐在1号和9号座舱里，在运行一周的过程中，求两人距离地面的高度差h （单位：m ）关于t 的函数解析式，并求t 为何值时高度差h 最大．（参考公式：sin sin 2cos sin 22θϕθϕθϕ+--=，cos cos 2sin sin 22θϕϕθθϕ+--=）19．已知a ∈R ，函数()ln af x x x=+，()ln 2g x ax x =--.(1)当()f x 与()g x 都存在极小值，且极小值之和为0时，求实数的值；(2)若()()()12122f x f x x x ==≠，求证：12112x x a+>.。

浙江省湖州、衢州、丽水等3地市2024-2025学年高三上学期11月教学质量检测数学试题一、单选题1．已知集合{}1,2,3,4,5,6A =，{}2B xx A =∈∣，则A B = （）A ．{}1B ．{}1,2C ．{}1,2,4D ．{}1,2,3,4,5,62．已知复数1i z =-（其中i 是虚数单位），则2z z +=（）A ．2B ．1CD 3．双曲线的另一种定义：动点(),M x y 与定点(),0F c 的距离和它与定直线l ：2a x c=的距离的比是常数()0ca c a<<，则点M 的轨迹是一个双曲线.动点M 与定点)F 的距离和它与定直线l ：x =M 的轨迹方程为（）A ．2212y x -=B ．2212y x -=C ．2212x y -=D ．2212x y -=4．为研究光照时长x （小时）和种子发芽数量y （颗）之间的关系，某课题研究小组采集了9组数据，绘制散点图如图所示，并对x ，y 进行线性回归分析.若在此图中加上点P 后，再次对x ，y 进行线性回归分析，则下列说法正确的是（）A ．x ，y 不具有线性相关性B ．决定系数2R 变大C ．相关系数r 变小D ．残差平方和变小5．已知ABC V 的外接圆圆心为O ，且2AO AB AC =+ ，AO AB = ，则向量BA在向量BC 上的投影向量为（）A ．14BCB ．4BCC ．14BC-D ． 6．古代农耕常用水车作为灌溉引水的工具，是人类的一项古老的发明，也是人类改造自然的成果之一.如图是一个半径为r 的水车，以水车的中心为原点，过水车的中心且平行于水平面的直线为x 轴，建立平面直角坐标系，一个水斗从点()2A -出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时60秒.经过t 秒后，水斗旋转到P 点，设P 点的坐标为(,)x y ，其纵坐标满足()πsin 0,0,2y r t t ωϕωϕ⎛⎫=+≥>< ⎪⎝⎭，当45t =秒时，PA =（）A ．B C ．D ．47．已知长方体1111ABCD A B C D -，E 是棱11C D 的中点，平面1AB E 将长方体分割成两部分，则体积较小部分与体积较大部分的体积之比为（）A ．715B ．12C ．724D ．7178．已知函数()cos3cos2f x x x =-，(0,π)x ∈，若()f x 有两个零点1212,()x x x x <，则（）A ．12}π{,5x x ∈B ．213x x =C ．121cos cos 2x x +=D ．121cos cos 4x x =-二、多选题9．已知0a >，0b >，则下列说法正确的是（）A ．若1a b +=，则22log log 2a b +≤-B ．若1a b +=1<C ．若1a b -=，则1212ab->D ．若1a b -=，则221a b +>10．现有一个抽奖活动，主持人将奖品放在编号为1、2、3的箱子中，甲从中选择了1号箱子，但暂时未打开箱子，主持人此时打开了另一个箱子（主持人知道奖品在哪个箱子，他只打开甲选择之外的一个空箱子）.记()1,2,3i A i =表示第i 号箱子有奖品，()2,3j B j =表示主持人打开第j 号箱子.则下列说法正确的是（）A ．()3212PB A =∣B ．()1313P A B =∣C ．若再给甲一次选择的机会，则甲换号后中奖概率增大D ．若再给甲一次选择的机会，则甲换号后中奖概率不变11．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，12AC BC CC ===，AC BC ⊥，Q 是线段AB 的中点，P 是线段1BC 上的动点（含端点），则下列命题正确的是（）A ．三棱锥1P AQC -的体积为定值B ．在直三棱柱111ABC A B C -内部能够放入一个表面积为4π的球C ．直线PQ 与ACD ．1A P PQ +三、填空题12．在()(12)N n x n *-∈的展开式中，x 的系数为10-，则n =.13．已知椭圆C ：()222210+=>>x y a b a b ，过左焦点F 作直线l 与圆M ：2224c x y +=相切于点E ，与椭圆C 在第一象限的交点为P ，且3PE EF =，则椭圆离心率为.14．若()()()32222f x x x =-+-+，已知数列{}n a 中，首项1120a =，32123n n a a a a a n=++++ ，*n N ∈，则()791i i f a ==∑.四、解答题15．如图，在三棱锥P ABC -中，底面ABC 是边长为2的等边三角形，PC ⊥平面ABC ，点E 是PB 的中点，点F 在线段CE 上且:2:1CF EF =，G 为三角形ABC 的重心.(1)求证：//GF 平面PAB ；(2)当PC 的长为何值时，二面角E AC B --的大小为60o .16．在ABC V 中，角,,A B C 对应的的三边分别是a，b ，c ，且bB c-=.(1)求角C 的值；(2)若1c =，2tan 3tan A B =，求ABC V 的面积.17．已知数列{}n a 的首项是1，其前n 项和是n S ，且121n n a a n +=++，*N n ∈.(1)求2a ，3a 的值及数列{}n a 的通项公式；(2)若存在实数λ，使得关于n 的不等式25n S n λ+≤，*N n ∈有解，求实数λ取到最大值时n 的值.18．已知函数()()21lnR 1x f x ax a x -=+∈-.(1)当1a =时，求曲线=在点()()2,2f 处的切线方程；(2)若103a <≤，3,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，证明：()2f x <；(3)若1x >，恒有()32ln22f x ≥+，求实数a 的取值范围.19．直线族是指具有某种共同性质的直线的全体，例如()1R y kx k =+∈表示过点0,1的直线族（不包括直线y 轴），直线族的包络曲线定义为：直线族中的每一条直线都是该曲线上某点处的切线，且该曲线上的每一点处的切线都是该直线族中的某条直线.(1)圆M ：()2234x y +-=是直线族()1,R mx ny m n +=∈的包络曲线，求m ，n 满足的关系式；(2)若点()00,N x y 不在直线族()2Ω:R y tx t t =-∈的任意一条直线上，求0y 的取值范围及直线族Ω的包络曲线E 的方程；(3)在（1）（2）的条件下，过曲线E 上动点P 向圆M 做两条切线PA ，PB ，交曲线E 于点A ，B ，求PAB 面积S 的最小值.。

江苏省如皋中学2024-2025学年高三上学期教学质量调研（一）数学试题一、单选题 1．已知集合(){}2,A x y y x ==，(){},21B x y y x ==-，则A B =I （ ）A ．()1,1B ．{}1C ．(){}1,1D ．{}1,1x y ==2．已知椭圆C ：()22210x y a a+=>，则“a =是“椭圆C ”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．已知一组数据1，2，3，4，x 的下四分位数是x ，则x 的可能取值为（ ） A ．5B ．4C ．3D ．24．已知*x ∈N ，若20241213x y =+，013y ≤<，则y =（ ） A ．1B ．6C ．7D ．125．不透明盒子中装有除颜色外完全相同的2个红球、2个白球，现从盒子里随机取2个球．记事件M ：至少一个红球，事件N ：一个红球一个白球，则下列说法正确的是（ ） A ．M N N += B ．MN N = C ．M 与N 互斥D ．M 与N 独立6．已知函数()f x 图象如图所示，则()1f x -的图象是（ ）A ．B ．C ．D ．7．已知三棱锥P ABC -满足3AB =，4BC =，5AC =，且其表面积为24，若点P （正投影在ABC V 内部）到AB ，BC ，AC 的距离相等，则三棱锥的体积为（ ）A ．B ．C．D ．8．若()211mm n m n aa a a +--+≥>，则（ ）A ．m n =B ．m n ≥C ．m n ≤D ．无法确定二、多选题9．已知一组数据1，2，3，5，5，6，则特征量为5的是（ ） A ．平均数B ．中位数C ．众数D ．极差10．已知随机事件B ，A ，则（ ）A ．()()1P P A AB B +=∣∣ B ．若()()P BA PB =∣，则A ，B 独立C ．若()()P BA P AB =∣∣，则A ，B 互斥 D ．若()()P BA PB A =∣∣，则()()P B P B = 11．已知函数()f x 的定义域为R ，若满足()()211f x f x -+-=-，且函数()f x 图像关于()1,0中心对称，则（ ）A ．()01f =-B ．()20242023f =C ．()()2024f x f x +=D ．()202420244049i f i =-=-∑三、填空题12．曲线()21e 2x f x x =-在0x =处的切线方程为13．双曲线C ：()22221,0x y a b a b-=>的两焦点分别为1F ，2F ，焦距为2c ，P 为双曲线上一点，且满足2PF c =，12PF PF ⊥，则双曲线C 的离心率为.14．已知数据125,x x x ⋅⋅⋅的均值为6，方差为5.数据1210,y y y ⋅⋅⋅的均值为3，方差为2.则数据125,x x x ⋅⋅⋅，1210,y y y ⋅⋅⋅的方差为四、解答题15．《黑神话：悟空》是由游戏科学公司制作的动作角色扮演游戏，为了调查玩家喜欢该款游戏是否与性别有关，特选取了100名玩家进行了问卷调查，得到如下的2×2列联表.在100名玩家中随机抽取1人，若抽到不喜欢该游戏的概率为0.2.(1)依据小概率值0.05α=的独立性检验，分析男、女玩家对该款游戏的喜爱是否有差异？ (2)从喜欢该游戏的玩家中用分层抽样的方法抽取8名玩家，再在这8名玩家中抽取3人调查其喜欢的游戏，用X 表示3人中女生的人数，求X 的分布及数学期望16．在四棱锥P ABCD -中，已知PCD △是正三角形，底面ABCD 为矩形，且平面PCD ⊥平面ABCD .若AB .(1)证明：⊥BC 面PCD ；(2)求二面角面P BD C --的余弦值.17．已知函数()()2ln f x x a x =+.(1)若12a =时，求()f x 的最小值； (2)若()21f x x x ≥--恒成立，求实数a 的取值范围.18．已知椭圆C ：()222210+=>>x y a b a b ()0,1A 在C 上.(1)求C 的方程；(2)设C 的右顶点为B ，点P ，Q 是椭圆上的两点（异于顶点），若直线AP ，AQ 与x 轴交于点E ，F ，若BE BF =，求证：直线PQ 恒过定点.19．甲、乙、丙参加某竞技比赛，甲轮流与乙和丙共竞技n 场，每场比赛均能分出胜负，各场比赛互不影响.(1)假设乙的技术比丙高，如果甲轮流与乙和丙竞技3场，甲只要连胜两局即可获胜，甲认为：先选择与实力弱的丙比赛有优势，判断甲猜测的正确性；(2)假设乙与丙的技术相当，且甲与乙，甲与丙竞技甲获胜的概率都是12，设()*3,n P n n ≥∈N 为甲未获得连续3次胜利的概率. ①求3P ，4P ； ②证明：1n n P P +≤.。