操作探究填空题1.( 2016 •山东省东营市・4分)如图，折叠矩形ABCD勺一边AD使点D落在BC边的点F处，已知折痕AE= 5 5cm,3且tan / EFC= 4，那么矩形ABCD勺周长cm.【知识点】折叠(轴对称)一一轴对称的性质、特殊平行四边形一一矩形的性质、锐角三角函数一一三角函数的求法、勾股定理【答案】36.【解析】•••△人尸已和厶ADE关于AE对称，•••/ AFE=Z D= 90°, AF= AD EF= DE •/ tan / EFC= |C= 3,^可设EC= 3x, CF= 4x，那么EF= 5x,• DE= EF= 5x. •- DC= DE^ CE= 3x + 5x= 8x. •- AB= DC= 8x.•••/ EFO Z AFB= 90°, / BAA/ AFB= 90°,:丄 EFC=Z/ / 3 BF 3BAF • tan / BAF= tan / EFC=：,「・=.• AB= 8x, • BF= 6x. • BC= BF+ CF4 AB 4=10x. • AD= 10x.在Rt △ ADE中，由勾股定理，得AD+ DE=AE. •••(10X)2+ (5x)2= (^ 5)2.解得x= 1.AB= 8x = 8, AD= 10x= 10.•矩形ABCD勺周长=8X 2+ 10X 2= 36.【点拨】折叠矩形，可以得到“轴对称”的图形，对于线段相等、对应角相等、对应的三角形全等；由锐角的正切值可以转化为相应直角三角形的直角边之比；在直角三角形中，利用勾股定理可以列出方程解决问题.解答题1. (2016 •江西・6分)如图，六个完全相同的小长方形拼成了一个大长方形，AB是其中一个小长方形的对角线，请在大长方形中完成下列画图，要求：①仅用无刻度直尺，②保留必要的画图痕迹.(1)在图1中画出一个45°角，使点A或点B是这个角的顶点，且AB为这个角的一边；(2)在图2中画出线段AB的垂直平分线.（2）线段AB 的垂直平分线如图所示,点M 是长方形AFBE 是对角线交点，点 N 是正方形ABCD 勺对角线的交点，直线 MN 就是所求 的线段AB 的垂直平分线.2. （2016 •江西• 10分）如图，将正n 边形绕点A 顺时针旋转60°后，发现旋转前后两图形有另一交点O,连接AQ 我们称AO 为“叠弦”；再将“叠弦” AO 所在的直线绕点 A 逆时 针旋转60°后，交旋转前的图形于点 P,连接PQ 我们称/ OAB 为“叠弦角”，△ AOR 为“叠 弦三角形”.【探究证明】（1） 请在图1和图2中选择其中一个证明：“叠弦三角形” （△ AOP 是等边三角形；（2） 如图 2,求证：/ OAB=/ OAE .【归纳猜想】（3） 图1、图2中的“叠弦角”的度数分别为 15°，24° ;（4） 图n 中，“叠弦三角形” 是 等边三角形（填“是”或“不是”） （5） 图n 中，“叠弦角”的度数为 60°— f rac{180 ° }{n}（用含n 的式子表示）【考点】作图一应用与设计作图.［崔起鸣#&爱学％*习〜］【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质即可解决问题.（2）根据正方形、长方形的性质对角线相等且互相平分，即可解决问题.习人］【解答】 解：（1）如图所示，/ ABC=45 . （AB AC 是小长方形的对角线） ［崔％@起鸣爱学&【考点】几何变换综合题.【分析】(1)先由旋转的性质，再判断出△ APD^A AOD'，最后用旋转角计算即可；(2) 先判断出Rt△ AEM^ Rt△ ABN 在判断出Rt△ AP曜Rt△ AON即可；(3) 先判断出厶AD ABO再利用正方形，正五边形的性质和旋转的性质，计算即可;(4) 先判断出厶APF^A AE F'，再用旋转角为60°，从而得出厶PAO是等边三角形；(5) 用(3)的方法求出正n边形的，“叠弦角”的度数.【解答】解：(1)如图1，［崔醒鸣爱学*#人习〜］^＜圉1 (n=4)•/四ABCD是正方形，由旋转知：AD=AD； / D=Z D'=90 °，/ DAD= / OAP=60，•••/ DAP玄D'AO，•••△APD^A AOD' (ASA)［崔A#起@%爱&学习］•AP=AO•••/ OAP=60，•△ AOP是等边三角形，(2)如图2，• *N拼图应n=5)作AML DE于M,作AN L CB 于N.•••五ABCDE!正五边形，由旋转知：AE=AE',Z E=Z E'=108 °，/ EAE'=Z OAP=60 •••/ EAP=/ E'AO•••△APE^A AOE' ( ASA•••/ OAE'=Z PAE在Rt△ AEM和Rt△ ABN中，/ AEM M ABN=72 , ?? AE=AB •Rt△ AEM2 Rt△ ABN ( AAS，•••/ EAM M BAN AM=AN ［崔起&*鸣爱学习@%〜］在Rt△ APM和Rt△ AON中，AP=AO AM=AN•Rt△ AP曜Rt△ AON ( HL).•••/ PAM M OAN•••/ PAE M OAB•M OAE'=M OAB (等量代换).(3)由(1)有，△ APD^A AOD；［崔起鸣&爱~%学习#］•M DAP M D' AO在厶AD O和△ ABO中，=ABAO 二AO，［崔起鸣爱％S学习@#］•△AD O^A ABO•M D' AO M BAO由旋转得，M DAD =60°，•••M DAB=90，•M D' AB=/ DAB-M DAD =30°，1•M D' AD= M D' AB=15，同理可得，M E' AO=24，故答案为：15°，24°.(4)如图3，图3 { n=6)•••六边形ABCDE和六边形A B' C E F'是正六边形，•••/ F=F' =120°,由旋转得，AF=AF , EF=E F',•••△APF^A AE F',•••/ PAF=/ E' AF',由旋转得，/ FAF =60°, AP=AO•••/ PAO M FAO=60 ,• △ PAO是等边三角形.故答案为：是（5）同（3）的方法得，/ OAB=［（ n - 2）x 180°+ n-60° ］-2=60°- ■-故答案：60°- ■-.［崔&起鸣~%爱学习人］3. （2016 •湖北荆州・3分）请用割补法作图，将一个锐角三角形经过一次或两次分割后，重新拼成一个与原三角形面积相等的平行四边形（只要求用一种方法画出图形，把相等的线段作相同的标记）.【分析】沿AB的中点E和BC的中点F剪开，然后拼接成平行四边形即可. 【解答】解：如图所示.［崔A起％^爱#学*习@］AE=BE DE=EF AD=CF【点评】本题考查了图形的剪拼，操作性较强，灵活性较大，根据三角形的中位线定理想到从AB BC的中点入手剪开是解题的关键.（2016 •黑龙江龙东・8分）已知：点P是平行四边形ABC%角线AC所在直线上的一个动点（点P不与点A C重合），分别过点A、C向直线BP作垂线，垂足分别为点E、F,点O 为AC的中点.【考点】四边形综合题.［崔〜起@#鸟人爱学&习］【分析】(1)由厶AOE^A COF 即可得出结论.(2)图2中的结论为：CF=OE+AE 延长 EO 交CF 于点 G 只要证明厶EOA^A GOC ^OFG 是等边三角形，即可解决问题.图3中的结论为：CF=O E AE 延长EO 交FC 的延长线于点 G,证明方法类似.【解答】 解：(1)v AE1PB CF 丄BP,•••/ AEO N CFO=90，在A AEO 和A CFO 中，f ZAE0=ZCF0* ZAOE^ZCOFAO=OC• △ AOE^A COF•••OE=OF(2)图2中的结论为：CF=OE+AE ［崔*~起鸣%爱&人学习］ 图3中的结论为： CF=O E AE选图2中的结论证明如下：延长EO 交CF 于点G•/ AE1 BP, CF 丄 BP,• AE// CF,•••/ EAO N GCO在厶EOA 和厶GOC 中，f ZEA0=ZGC0AOOCZ AOB =Z COG• △ EOA^ GOC• EO=GO AE=CG在RT ^EFG 中，T EO=OG ［崔起鸣％人@1 &学习*］• OE=OF=GO•••/ OFE=30，(1) 当点P 与点0重合时如图1，易证OE=OF(不需证明)(2) 直线BP 绕点B 逆时针方向旋转，当/ OFE=30时，如图2、图3的位置，猜想线段CF 、 AE 0E 之间有怎样的数量关系？请写出你对图 2、图3的•••/ OFG=90 - 30° =60°，•••△ OFG是等边三角形，•••OF=GF•/ OE=OF•OE=FG•/ CF=FG+CG•CF=OE+AE选图3的结论证明如下：延长EO交FC的延长线于点G,•/ AE! BP, CF丄BP,•AE// CF,•••/ AEO N G,在厶AOE和厶COG中 ,f ZAE0=ZG<Z AOE=Z GOCAO=OC•••△ AOE^A COG•••OE=OG AE=CG 在RT^ EFG中，•/ OE=OG •OE=OF=OG•••/ OFE=30 ,•••/ OFG=90 - 30° =60°,•△ OFG是等边三角形，•OF=FG•/ OE=OF•OE=FG•••CF=F G CG•CF=O G AEG/ */ 'C［崔@起鸣爱学习&杯］4. ( 2016 •湖北黄石・12 分)在厶ABC 中，AB=AC / BAC=Z DAE=2 a .(1)如图1,若点D关于直线AE的对称点为F,求证：△ AD MA ABC(2)如图2,在(1)的条件下，若a =45° 求证：DE=BD+CE;(3)如图3,若a =45°，点E在BC的延长线上，则等式DE=BD+cE还能成立吗？请说明理由.【分析】(1)根据轴对称的性质可得/ EAF=/ DA E，AD=AF再求出/ BAC K DAF然后根据两边对应成比例，夹角相等两三角形相似证明；(2)根据轴对称的性质可得EF=DE AF=AD再求出/ BAD K CAF然后利用“边角边”证明厶ABD 和厶ACF全等，根据全等三角形对应边相等可得CF=BD全等三角形对应角相等可得/ ACF K B,然后求出/ ECF=90，最后利用勾股定理证明即可；(3)作点D关于AE的对称点F，连接EF、CF，根据轴对称的性质可得EF=DE AF=AD再根据同角的余角相等求出/ BAD K CAF 然后利用“边角边”证明△ ABD和厶ACF 全等，根据全等三角形对应边相等可得CF=BD全等三角形对应角相等可得/ ACF K B,然后求出/ ECF=90，最后利用勾股定理证明即可.【解答】证明：(1 )•••点D关于直线AE的对称点为F，•••K EAF=/ DAE AD=AF又BAC=K DAE•K BAC K DAF•/ AB=AC [崔起#鸣爱&学〜习@%]•工** ，AD AF• △ADF MA ABC(2)•••点D关于直线AE的对称点为F，•EF=DE AF=AD•a =45°•K BAD=90 -K CADK CAF K DAE K EAF-K CAD=45 +45°-/ CAD=90 -K CAD•K BAD K CAFi r AB=AC在厶ABD^D A ACF中,ZBAD二ZCAF，t AD=AF•△ABD^A ACF( SAS，•CF=BD K ACF K B,•AB=AC K BAC=2 a , a =45°［崔起鸣A* 爱〜％学&习］•△ ABC是等腰直角三角形，•K B=K ACB=45 ,•K ECF K ACB K ACF=45 +45° =90°,在Rt△ CEF中，由勾股定理得，EF^CF+CE2，所以，D E=B D+C E；[崔A起&鸣爱〜％学习*]（3）D E=B D+C E还能成立.理由如下：作点D关于AE的对称点F，连接EF、CF,由轴对称的性质得，EF=DE AF=AD•/ a =45°•••/ BAD=90 -Z CAD/ CAF Z DAE Z EAF-Z CAD=45 +45°-Z CAD=90 -Z CAD•Z BAD Z CAFi r AB=AC在AA BD和厶ACF中，t ZBAD二ZXAF，l AD=AF•••△ ABD^ ACF（ SAS，•CF=BD Z ACF Z B,■/ AB=AC Z BAC=2 a , a =45°,•△ ABC是等腰直角三角形，•Z B=Z ACB=45，•Z ECF Z ACB-Z ACF=45 +45° =90°，在Rt△ CEF中，由勾股定理得，EF^C F+C^，所以，D E=B D+C E.<3)J£S【点评】本题是相似形综合题，主要利用了轴对称的性质，相似三角形的判定，同角的余角相等的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，此类题目，小题间的思路相同是解题的关键.5. (2016 •陕西)问题提出(1)如图①，已知△ ABC请画出△ ABC关于直线AC对称的三角形.问题探究(2)如图②，在矩形ABCD中, AB=4, AD=6 AE=4, AF=2,是否在边BC CD上分别存在点G H,使得四边形EFGH勺周长最小？若存在，求出它周长的最小值；若不存在，请说明理由.问题解决(3)如图③，有一矩形板材ABCD・AB=3米，AD=6米，现想从此板材中裁出一个面积尽可能大的四边形EFGH部件，使Z EFG=90 , EF=FG= 米，Z EHG=45 ,经研究，只有当点E、F、G分别在边AD AB BC上，且AF V BF,并满足点H在矩形ABCC内部或边上时，才有可能裁出符合要求的部件，试问能否裁得符合要求的面积尽可能大的四边形EFGH部件？若能，求出裁得的四边形EFGH部件的面积；若不能，请说明理由.事常与人违，事总在人为。
![中考数学“动手操作”专题训练试题[1]](https://img.taocdn.com/s1/m/3e5db4dd6f1aff00bed51e50.png)
