1.1 第3课时 菱形的性质、判定与其他知识的综合1

北师大版初三上册数学菱形的性质与判定
知识点
知识点
菱形的定义：一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。

菱形的性质：具有平行四边形的性质,且四条边都相等,两条对角线互相垂直平分,每一条对角线平分一组对角。

菱形是轴对称图形，每条对角线所在的直线都是对称轴。

菱形的判别方法：一组邻边相等的平行四边形是菱形。

对角线互相垂直的平行四边形是菱形。

四条边都相等的四边形是菱形。

课后练习
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第一章特殊的平行四边形1.1 菱形的判定和面积第3课时一、教学目标1．巩固对菱形的性质定理和判定定理的理解。

2．认识菱形的性质定理和判定定理的区别，正确应用有关定理。

3．运用菱形的性质定理和判定定理解决一些问题。

二、教学重点及难点重点：熟悉菱形的性质定理和判定定理。

难点：灵活运用菱形的性质定理和判定定理解决问题．三、教学用具多媒体课件、直尺或三角板。

四、相关资《菱形的判定》微课五、教学过程【复习引入】在学习本节课之前，请同学们首先回顾一下菱形的性质和判定．师生活动：教师出示问题，学生回顾菱形的性质和判定，教师找学生代表回答．答：1．菱形的性质定理:(1)菱形的四条边相等(2)菱形的对角线互相垂直2．菱形的判定方法：（1）定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．（2）判定定理1：对角线互相垂直的平行四边形是菱形．（3）判定定理2：四条边相等的四边形是菱形．这节课我们研究对菱形性质和判定的综合运用。

设计意图：通过复习菱形的性质和判定为本节课的学习作准备．【探究新知】做一做如图，两张等宽的纸条交叉重叠在一起，重叠的部分ABCD是菱形吗？为什么？师生活动：教师出示问题，引导学生完成解答．答：是菱形；理由：设两张等宽的纸条的宽为h，因为纸条的对应边平行，所以AD∥BC，AB∥DC．所以四边形ABCD是平行四边形．又因为S□ABCD=BC·h=AB·h，所以BC=AB．所以平行四边形ABCD是菱形（一组邻边相等的平行四边形是菱形）．设计意图：巩固学生对菱形判定定理的理解．运用菱形的定义解决问题，也提供了一种制作菱形的方法。

【典例精析】例如图，四边形ABCD是边长为13 cm的菱形，其中对角线BD长10 cm．求：（1）对角线AC的长度；（2）菱形ABCD的面积．师生活动：教师分析、引导学生完成解题过程．分析：本例是菱形性质的应用和菱形面积的计算；学生对于第（1）个问题的解决比较容易，但是学生的书写过程可能不够规范；对于第（2）个问题，教师要注意引导学生用简便方法，并总结菱形面积的计算方法．解：（1）∵四边形ABCD是菱形，AC与BD相交于点E，∴∠AED=90°（菱形的对角线互相垂直），DE=BD=×10=5(cm)（菱形的对角线互相平分）．∴在Rt△ADE中，由勾股定理，得∴AC=2AE=2×12=24(cm)（菱形的对角线互相平分）．（2）S菱形ABCD=S△ABD+S△CBD=2×S△ABD=2××BD×AE=BD×AE=10×12=120(cm2)．总结菱形面积的计算方法：（1）一边长与两对边之间的距离（即菱形的高）的积；（2）四个小直角三角形的面积之和（或一个小直角三角形面积的4倍）；（3）两条对角线长度乘积的一半．设计意图：本例是菱形性质的应用与菱形面积的计算。

菱形的性质与判定菱形是一种具有特殊性质的四边形，它的对角线长度相等，且相交于垂直的交点。

在几何学中，我们可以通过一些准确的判定方法来确定一个四边形是否为菱形。

本文将介绍菱形的性质，并详细探讨判定菱形的几种方法。

一、菱形的性质1. 对角线相等：菱形的两条对角线长度相等，即AC=BD。

这是菱形的最基本特征。

2. 对角线相交垂直：菱形的两条对角线相交于一个垂直的交点。

换句话说，∠ACD和∠BCD是两条相交直线上的垂直角。

3. 对边平行：菱形的两对边互相平行，即AB║CD且AD║BC。

4. 具有四个等边角：菱形的四个内角均相等，每个角度为90度。

二、判定菱形的方法1. 利用对角线相等判定：如果一个四边形的两条对角线相等，那么它就是一个菱形。

例如：已知一个四边形ABCD，我们可以测量AC和BD的长度，如果AC=BD，那么我们可以确定该四边形是一个菱形。

2. 利用对边平行判定：如果一个四边形的两对边互相平行，那么它就是一个菱形。

例如：已知一个四边形ABCD，我们可以测量AB、BC、CD、DA的长度，并检查相邻边是否平行。

如果AB║CD且AD║BC，那么可以确认该四边形是一个菱形。

3. 利用角度特征判定：如果一个四边形的四个内角均为90度，那么它就是一个菱形。

例如：已知一个四边形ABCD，我们可以测量∠ABC、∠BCD、∠CDA和∠DAB的度数，如果每个角度都等于90度，那么可以断定该四边形是一个菱形。

以上三种方法可以独立或结合使用，来判定一个四边形是否为菱形。

在实际问题中，根据提供的信息，我们可以选择最适合的方法进行判定。

值得注意的是，只满足菱形的一些性质，比如对角线相等，不一定就能判定一个四边形是菱形。

必须满足菱形的所有性质才能确定。

三、菱形的应用菱形在几何学中有很多应用，以下列举几个常见的应用：1. 菱形判断：在解决几何问题时，判定一个四边形是否为菱形可以帮助我们简化推理过程，节省解题时间。

2. 菱形面积计算：菱形的面积计算公式为S=a×b/2，其中a和b分别表示菱形的对角线长度。

第一章特殊的平行四边形1.1.3菱形的性质与判定的综合应用午井初中杨乃荣一、学生知识状况分析学生的知识技能分析：经过八年级下册平行四边形相关知识的学习，学生已经基本掌握了平行四边形的相关性质及判定；本节课是菱形的性质与判定的第三课时，通过前两节课的学习，学生已经经历了对菱形的性质及判定的探究及验证过程，基本掌握了菱形的各项性质及判别方法。

学生的活动经验分析：在前两节课的学习中教师引导学生通过动手操作、小组合作等方式探究发现了菱形的性质及判别方法，并对这些发现进行了严格的推理证明。

在探究过程中学生积累了许多关于菱形的活动经验，同时在学习中倡导学生进行合作学习，因此学生具有了一定的合作学习经验，也具备了合作交流的能力。

二、教学任务分析教科书对于本部分的安排，是在学生充分经历了菱形的性质及判定的基础上进行设计的的，学生理解了菱形的概念，探索并证明了菱形的性质定理及判别方法，本节课是对菱形性质及判定的巩固，要求学生能利用性质定理及判定定理解决一些相关的问题。

基于以上任务分析，本节课的三维目标定为：1.知识与技能能灵活运用菱形的性质定理及判定定理解决一些相关问题，并掌握菱形面积的两种求法。

2.过程与方法经历菱形性质定理及判定定理的应用过程，体会数形结合、转化等思想方法。

3.情感态度与价值观在学习过程中感受数学与生活的联系，增强学生的数学应用意识；在学习过程中通过小组合作交流，培养学生的合作交流能力与数学表达能力。

教学重难点：能灵活运用菱形的性质定理及判定定理解决一些相关问题，并掌握菱形面积的求法．三、教学过程分析本节课设计了六个教学环节：第一环节：复习回顾、加深记忆；第二环节：创设情境，导入新课；第三环节：动手操作、拓展提高；第四环节：课堂练习、效果检测；第五环节：课堂小结；第六环节：分层作业。

第一环节 复习回顾、加深记忆1、如图，在菱形ABCD 中，AB ＝6.(1)AD ＝6，DC ＝6，BC ＝6.（菱形的四条边都相等）(2)对角线AC 与BD 的位置关系是互相垂直平分.(3)若∠ADC ＝120°，AC ＝ 63.2、在□ABCD 中添加一个条件，使其成为菱形（菱形的判定定理） BC AB =BD AC ⊥学生回忆并回答，为本课的学习提供迁移或类比方法.第二环节 创设情境，导入新课1、平行四边形的面积等于底乘以高.2、菱形是特殊的平行四边形，那么它的面积等于底乘以底上的高.思考：如果知道菱形的对角线的长度能否计算出它的面积？（等于四个小直角三角形的和）归纳：菱形面积的计算公式：①如图，S 菱形ABCD ＝AB·DE ，即菱形的面积等于底乘高；A D CB CD②S 菱形ABCD ＝12AC ·BD ，即菱形的面积等于两条对角线乘积的一半. 3.典型例题：例 如图，四边形ABCD 是边长为13cm 的菱形，其中对角线BD 长为10cm.求：(1)对角线AC 的长度；(2)菱形ABCD 的面积.解：(1)∵四边形ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD,即∠AED=90°， DE=12BD ×10=5（cm ） ∴在Rt △ADE 中，由勾股定理可得：12().AE cm ==∴AC=2AE=2×12=24(cm)（2）S 菱形ABCD = S △ABD + S △CBD=2×S △ABD =2×12×BD ×AE = BD ×AE=10×12=120(cm 2).设计意图：通过例题让学生对菱形的相关性质进行灵活应用，同时学生对于具体的问题通过自主思考、小组交流、学生展讲、教师点拨后基本能形成比较好的解题思路。

数学菱形判定知识点总结一、菱形的定义菱形是一种特殊的四边形，它具有以下特点：1. 四边相等：菱形的四条边长度相等。

2. 对角线相等：菱形的对角线长度相等。

3. 对角线垂直：菱形的对角线互相垂直。

4. 相邻角互补：菱形的相邻角互补，即相邻的两个角的和为180°。

二、菱形的判定方法1. 利用对角线判定菱形：如果一个四边形的对角线相等，则这个四边形是菱形；即AC=BD，则ABCD为菱形。

2. 利用边长判定菱形：如果一个四边形的四边相等，则这个四边形是菱形；即AB=BC=CD=DA，则ABCD为菱形。

3. 利用角度判定菱形：如果一个四边形的相邻角互补且对角线相等，则这个四边形是菱形；即∠A+∠B=∠B+∠C=∠C+∠D=∠D+∠A=180°，并且AC=BD，则ABCD为菱形。

三、菱形的性质1. 对角线垂直：菱形的对角线互相垂直；即AC⊥BD。

2. 对角线平分：菱形的对角线互相平分；即AC=BD。

3. 角性质：菱形的内角为90°；即∠A=∠B=∠C=∠D=90°。

4. 边长性质：菱形的四边相等；即AB=BC=CD=DA。

四、菱形的应用1. 解题方法：在解题过程中，如果遇到了菱形的相关问题，可以根据菱形的判定方法和性质来解答。

通过判定四边形是否满足菱形的条件，再根据菱形的性质进行推理和计算，从而得出答案。

2. 几何证明：在几何证明中，菱形的性质和判定方法经常被应用。

可以利用菱形的对角线垂直、对角线平分等性质，来推导出与菱形相关的定理和结论。

3. 建模应用：菱形作为一种特殊的几何图形，在建模过程中也有着特殊的应用。

例如在建筑、设计等领域中，可以利用菱形的性质和特点来构建特定的结构和图案。

五、拓展延伸菱形是一种特殊的四边形，它的性质和应用涉及到了数学的多个知识点。

在学习菱形的基础上，可以进一步拓展延伸相关的数学知识，例如平行四边形、矩形、正方形等特殊的四边形，从而更好地理解和运用几何知识。

第3课时菱形的性质与判定的综合1.菱形的两条对角线长分别是6和8,则此菱形的边长是( D )(A)10 (B)8 (C)6 (D)52.如图,小红在作线段AB的垂直平分线时,是这样操作的:分别以点A,B为圆心,大于线段AB长度一半的长为半径画弧,相交于点C,D,则直线CD即为所求.连接AC,BC,AD,BD,根据她的作图方法可知,四边形ADBC一定是( B )(A)矩形(B)菱形(C)一般四边形(D)只有一组对边平行的四边形3.菱形的周长为8 cm,高为1 cm,则该菱形两邻角度数比为( C )(A)3∶1 (B)4∶1 (C)5∶1 (D)6∶14.如图,在▱ABCD中,AE,CF分别是∠BAD和∠BCD的平分线.添加一个条件,仍无法判断四边形AECF为菱形的是( C )(A)AE=AF (B)EF⊥AC(C)∠B=60° (D)AC是∠EAF的平分线5.(2018甘孜州)如图,在菱形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,AC=8,BD=6,OE⊥AD于点E,交BC于点F,则EF的长为.6.如图,四边形ABCD的四边相等,且面积为120 cm2,对角线AC=24 cm,则四边形ABCD的周长为52 cm.7.如图,已知菱形ABCD的一个内角∠BAD=80°,对角线AC,BD相交于点O,点E在AB上,且BE=BO,求∠EOA的度数.解:因为四边形ABCD是菱形,所以AB=AD,AC⊥BD,因为∠BAD=80°,所以∠BAO=∠BAD=×80°=40°,所以∠ABO=90°-∠BAO=50°,因为BE=BO,所以∠BEO=∠BOE=(180°-∠ABO)=×(180°-50°)=65°,所以∠EOA=90°-∠BOE=25°.8.如图,在平行四边形ABCD中,AE平分∠BAD,与BC相交于点E,EF∥AB,与AD相交于点F.求证:四边形ABEF是菱形.证明:因为四边形ABCD是平行四边形,所以AF∥BE,所以∠FAE=∠BEA,因为AE平分∠BAF,所以∠BAE=∠FAE,所以∠BAE=∠BEA,所以BA=BE,又因为EF∥AB,所以四边形ABEF为平行四边形,所以平行四边形ABEF 为菱形.9.如图,在菱形ABCD中,M,N分别在AB,CD上,且AM=CN,MN与AC交于点O,连接BO.若∠DAC=28°,则∠OBC的度数为( C )(A)28°(B)52°(C)62°(D)72°10.(2018益阳)如图,在△ABC中,AB=AC,D,E,F分别为AB,BC,AC的中点,则下列结论:①△ADF≌△FEC;②四边形ADEF为菱形;③S△ADF∶S△A B C=1∶4.其中正确的结论是①②③.(填写所有正确结论的序号)11.(2018贺州改编)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,O,D分别是边AC,AB的中点,过点C作CE∥AB,交DO的延长线于点E,连接AE.(1)求证:四边形AECD是菱形;(2)若四边形AECD的面积为24,=,求BC的长.(1)证明:因为点O是AC中点,所以OA=OC,因为CE∥AB,所以∠DAO=∠ECO,在△AOD和△COE中,所以△AOD≌△COE(ASA),所以OD=OE,所以四边形AECD是平行四边形,因为O,D分别是AC,AB的中点,所以OD是△ABC的中位线,所以OD∥CB,因为∠ACB=90°,所以∠AOD=90°,即AC⊥DE,所以四边形AECD是菱形.(2)解:在Rt△AOD中,=,设OD=3x,OA=4x,则ED=2OD=6x,AC=2OA=8x,由题意可得,S菱形AECD=DE·AC=×6x×8x=24,解得x=1,所以OD=3,因为OD是△ABC的中位线,所以BC=2OD=2×3=6.12.(拓展探究题)已知,△ABC≌△DBC,AD平分∠BAC,AD交BC于点O.(1)如图1,求证:四边形ABDC是菱形;(2)如图2,点E为BD边的中点,连接AE交BC于点F,若∠AFO=∠ADC,在不添加任何辅助线和字母的条件下,请写出图2中所有长度是线段EF长度的偶数倍的线段,并说明理由.(1)证明:因为△ABC≌△DBC,所以AB=BD,AC=CD,所以∠BAD=∠BDA,∠CAD=∠CDA,因为AD平分∠BAC,所以∠DAB=∠DAC,所以∠ADB=∠ADC,在△ADB和△ADC中,所以△ADB≌△ADC(ASA),所以AB=AC,所以AB=BD=CD=AC,所以四边形ABDC是菱形.(2)解:因为四边形ABDC是菱形,所以∠ADC=∠ADB,因为∠AFO=∠ADC=∠ADB,∠AFO+∠EFO=180°,所以∠EFO+∠EDO =180°,所以∠FED+∠FOD=180°,因为四边形ABDC是菱形,所以AD⊥BC,即∠FOD=90°,所以∠FED=90°,即AE⊥BD,因为BE=ED,所以AB=AD,所以AB=AD=BD,所以△ABD是等边三角形,∠ABD=60°,所以∠EBF=∠ABD=×60°=30°,所以在Rt△BEF中,BF=2EF,因为∠FBA=∠FAB=30°,所以FA=FB,因为AC∥BD,AB∥CD,所以∠FAC=180°-∠AED=180°-90°=90°,∠ACF=∠EBF=30°,所以在Rt△AFC中,CF=2AF=4EF.综上所述,长度是线段EF长度的偶数倍的线段有BF,AF,CF.。