2024—2025学年广西柳州高级中学高三上学期阶段性测试(二)数学试卷

2024—2025学年广西柳州高级中学高三上学期阶段
性测试(二)数学试卷
一、单选题
(★★) 1. （）
A．B．C．2D．5
(★★) 2. 已知命题，命题，则（）
A．和均为真命题B．和均为真命题
C．和均为真命题D．和均为真命题
(★★) 3. 已知，，且，则在上的投影向量为
（）
A．B．C．D．
(★★★) 4. 某运动制衣品牌为了使成衣尺寸更精准，现选择15名志愿者，对其身高和臂展进行测量（单位：），图①为选取的15名志愿者身高与臂展的折线图，图②为身高与臂展所对应的散点图，并求得其回归直线方程为，则下列结论中不正确的为（）
A．15名志愿者身高的极差小于臂展的极差
B．15名志愿者身高和臂展成正相关关系
C．可估计身高为的人臂展大约为
D．身高相差的两人臂展都相差
(★★★) 5. 长为2的线段的两个端点和分别在轴和轴上滑动，则点
关于点的对称点的轨迹方程为（）
A．B．C．D．
(★★★) 6. 若正三棱台的各顶点都在表面积为的球的表面上，且，，则正三棱台的高为（）
A．B．4C．或3D．3或4
(★★★★) 7. 已知函数的图象和函数的图象
有唯一交点，则实数的值为（）
A．1B．3C．或3D．1或3
(★★★★) 8. 已知函数，，若，则
的最大值为（）
A．B．C．D．
二、多选题
(★★★) 9. 已知函数，则（）
A．关于直线对称
B．的最大值为
C．在上不单调
D．在，方程（为常数）最多有个解
(★★★) 10. 已知随机事件，满足，，则下列结论正确的是（）
A．B．
C．D．
(★★★★) 11. 已知抛物线的准线l与圆相切，P为C上的动点，N是圆M上的动点，过P作l的垂线，垂足为Q，C的焦点为F，则下列结论正确的是（）
A．点F的坐标为
B．的最小值为
C．存在两个P点，使得
D．若为正三角形，则圆M与直线PQ相交
三、填空题
(★★) 12. 设等比数列的前n项和是.已知，则
__________ .
(★★★) 13. 已知，且，则的最大
值为 ______ .
(★★★) 14. 在三棱锥中，且.记直线与
平面所成角分别为，，已知，当三棱锥的体积最小时，的长为 __________ .
四、解答题
(★★★) 15. 已知锐角的内角的对边分别为.且
.
(1)求角；
(2)如图，边的垂直平分线交于，交边于，
求长.
(★★★) 16. 如图，已知四边形ABCD为矩形，，E为DC的中点，将沿AE进行翻折，使点D与点P重合，且．
(1)证明：；
(2)求平面与平面所成角的正弦值．
(★★★) 17. 已知函数
(1)当时，求的极值；
(2)若曲线与曲线存在2 条公切线，求a的取值范围.
(★★★) 18. 箱中装有大小相同的黄､白两种颜色的乒乓球，黄､白乒乓球的数量
比为.现从箱中每次任意取出一个球，若取出的是黄球则结束，若取出的是
白球，则将其放回箱中，并继续从箱中任意取出一个球，但取球的次数最多不
超过次，以表示取球结束时已取到白球的次数.
(1)求的分布列；
(2)求的数学期望.
(★★★★) 19. 在平面直角坐标系中，对于点、直线，我们称为点到直线的方向距离.
（1）设双曲线上的任意一点到直线，
的方向距离分别为，求的值；
（2）设点、到直线的方向距离分别为，试问是否存在实数，对任意的都有成立？说明理由；
（3）已知直线和椭圆，设椭圆的两个焦点到直线的方向距离分别为满足，且直线与轴的交点为、与轴的交点为，试比较的长与的大小.。